Đang tải... (xem toàn văn)
PP Toạ độ trong không gian Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện.. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện.[r]
(1)PP Toạ độ không gian III PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG Vectô phaùp tuyeán – Caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng Vectơ n là VTPT () giá n vuông góc với () Hai vectô a , b khoâng cuøng phöông laø caëp VTCP cuûa () neáu caùc giaù cuûa chuùng song song nằm trên () Chuù yù: Neáu n laø moät VTPT cuûa () thì kn (k ≠ 0) cuõng laø VTPT cuûa () Neáu a , b laø moät caëp VTCP cuûa () thì n a , b laø moät VTPT cuûa () Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng Ax By Cz D với A B C Neáu () coù phöông trình Ax By Cz D thì n ( A; B; C ) laø moät VTPT cuûa () Phöông trình maët phaúng ñi qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù moät VTPT n ( A; B; C ) laø: A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) Các trường hợp riêng Caùc heä soá Phöông trình maët phaúng () Ax By Cz By Cz D D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 Chuù yù: Ax Cz D Ax By D Cz D By D Ax D Tính chaát maët phaúng () () qua gốc toạ độ O () // Ox () Ox () // Oy () Oy () // Oz () Oz () // (Oxy) () (Oxy) () // (Oxz) () (Oxz) () // (Oyz) () (Oyz) Nếu phương trình () không chứa ẩn nào thì () song song chứa trục tương ứng x y z 1 a b c () cắt các trục toạ độ các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: (): A1 x B1y C1z D1 (): A2 x B2 y C2 z D2 (), () caét A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 () // () A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 () () A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 () () A1 A2 B1B2 C1C2 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = Ax0 By0 Cz0 D d M0 ,( ) A2 B C VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng () ta cần xác định điểm thuộc () và VTPT nó Trang 36 Lop12.net (2) Daïng 1: () ñi qua ñieåm M x0 ; y0 ; z0 coù VTPT n A; B;C : PP Toạ độ không gian (): A x x0 B y y0 C z z0 Daïng 2: () ñi qua ñieåm M x0 ; y0 ; z0 coù caëp VTCP a , b : Khi đó VTPT () là n a , b Dạng 3: () qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0: (): A x x0 B y y0 C z z0 Daïng 4: () ñi qua ñieåm khoâng thaúng haøng A, B, C: Khi đó ta có thể xác định VTPT () là: n AB, AC Dạng 5: () qua điểm M và đường thẳng (d) không chứa M: – Treân (d) laáy ñieåm A vaø VTCP u – Moät VTPT cuûa () laø: n AM , u Dạng 6: () qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d): VTCP u đường thẳng (d) là VTPT () Dạng 7: () qua đường thẳng cắt d1, d2: – Xác định các VTCP a , b các đường thẳng d1, d2 – Moät VTPT cuûa () laø: n a , b – Lấy điểm M thuộc d1 d2 M () Dạng 8: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định các VTCP a , b các đường thẳng d1, d2 – Moät VTPT cuûa () laø: n a , b – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 M () Dạng 9: () qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: – Xác định các VTCP a , b các đường thẳng d1, d2 – Moät VTPT cuûa () laø: n a , b Dạng 10: () qua đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (): – Xaùc ñònh VTCP u cuûa (d) vaø VTPT n cuûa () – Moät VTPT cuûa () laø: n u , n – Laáy moät ñieåm M thuoäc d M () Dạng 11: () qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt (), (): – Xaùc ñònh caùc VTPT n , n cuûa () vaø () – Moät VTPT cuûa () laø: n u , n Dạng 12: () qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: – Giả sử () có phương trình: Ax By Cz+D A2 B C – Lấy điểm A, B (d) A, B () (ta hai phương trình (1), (2)) – Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,( )) k , ta phương trình (3) – Giaûi heä phöông trình (1), (2), (3) (baèng caùch cho giaù trò moät aån, tìm caùc aån coøn laïi) Dạng 13: () là tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H: – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I vaø baùn kính R – Moät VTPT cuûa () laø: n IH Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học lớp 11 Trang 37 Lop12.net (3) PP Toạ độ không gian Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và có VTPT n cho trước: a) M 3;1;1 , n 1;1;2 b) M 2;7;0 , n 3;0;1 c) M 4; 1; 2 , n 0;1;3 d) M 2;1; 2 , n 1;0;0 e) M 3;4;5 , n 1; 3; 7 f) M 10;1;9 , n 7;10;1 Bài Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước, với: a) A(2;1;1), B(2; 1; 1) b) A(1; 1; 4), B(2; 0; 5) c) A(2; 3; 4), B(4; 1; 0) 1 1 d) A ; 1;0 , B 1; ;5 e) A 1; ; , B 3; ;1 f) A(2; 5; 6), B(1; 3; 2) 2 2 Bài Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và có cặp VTCP a , b cho trước, với: a) M (1; 2; 3), a (2;1; 2), b (3; 2; 1) b) M (1; 2; 3), a 3; 1; 2), b (0; 3; 4) c) M (1; 3; 4), a (2; 7; 2), b (3; 2; 4) Baøi d) M (4; 0; 5), a (6; 1; 3); b (3; 2;1) Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M và song song với mặt phẳng cho trước, với: a) M 2;1; , Oxy b) M 1; 2;1 , : x y c) M 1;1; , : x y z 10 d) M 3; 6; 5 , : x z e) M (2; 3; 5), ( ) : x y z f) M (1;1;1), ( ) : 10 x 10 y 20 z 40 Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M và song song với các mặt phẳng toạ độ, với: a) M 2;1; b) M 1; 2;1 c) M 1;1; d) M 3; 6; 5 e) M(2; 3; 5) f) M(1;1;1) g) M(1;1; 0) h) M(3; 6; 5) Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với: a) A(1; 2; 4), B(3; 2; 1), C (2;1; 3) b) A(0; 0; 0), B(2; 1; 3), C (4; 2;1) c) A(1; 2; 3), B(2; 4; 3), C (4; 5; 6) d) A(3; 5; 2), B(1; 2; 0), C (0; 3; 7) e) A(2; 4; 0), B(5;1; 7), C (1; 1; 1) f) A(3; 0; 0), B(0; 5; 0), C (0; 0; 7) Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm A và vuông góc với đường thẳng qua hai điểm B, C cho trước, với: a) A(1; 2; 4), B(3; 2; 1), C (2;1; 3) b) A(0; 0; 0), B(2; 1; 3), C (4; 2;1) c) A(1; 2; 3), B(2; 4; 3), C (4; 5; 6) d) A(3; 5; 2), B(1; 2; 0), C (0; 3; 7) e) A(2; 4; 0), B(5;1; 7), C (1; 1; 1) f) A(3; 0; 0), B(0; 5; 0), C (0; 0; 7) Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng () cho trước, với: A(3;1; 1), B(2; 1; 4) A(2; 1; 3), B(4; 2;1) A(2; 1; 3), B(4; 7; 9) a) b) c) : x y 3z : x 3y z : x y 8z A(3; 1; 2), B(3;1; 2) d) : x y z Bài Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (), () cho trước, với: a) M (1; 2; 5), : x y 3z 0, : x 3y z b) M (1; 0; 2), : x y z 0, : x y z c) M (2; 4; 0), : x 3y z 0, : x y 8z d) M (5;1; 7), : x y 3z 0, : x y 5z Baøi 10 Vieát phöông trình maët phaúng () ñi qua ñieåm M vaø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), Trang 38 Lop12.net (4) PP Toạ độ không gian (Q) cho trước, với: a) M 1; 2; 3 , P : x 3y z 0, Q : x y 5z b) M 2;1; 1 , P : x y z 0, Q : x y z c) M 3; 4;1 , P : 19 x y z 27 0, Q :42 x y 3z 11 d) M 0; 0;1 , P : x 3y z 0, Q : x y z Bài 11 Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : y z 0, (Q) : x y z 0, ( R) : x y z b) ( P ) : x y z 0, (Q) : y z 0, ( R) : x y 19 c) ( P ) : x y z 0, (Q) : x y 0, ( R) : x z Bài 12 Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : x 3y 0, (Q) : y 3z 0, ( R) : x y 3z b) ( P ) : y z 0, (Q) : x y z 0, ( R) : x y z c) ( P ) : x y z 0, (Q) : x y z 0, ( R) : x y 3z d) ( P ) : x y z 0, (Q) : x y 0, ( R) : x z Bài 13 Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước khoảng k, với: a) ( P ): x y 0, (Q) : x 13y z 0, M (1; 2; 3), k VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Bài Xét vị trí tương đối các cặp mặt phẳng sau: x 3y z 3 x y 3z a) b) 3 x y 8z 3 x y 5z 2 x y 4z e) 25 5 x y 10 z Bài Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: song song 3 x my z 5 x y mz 11 a) b) nx y z x ny z 3 x y mz x y 3z d) e) 2 x ny z mx y z x y 6z d) 12 x y 12 z 5 x y 5z c) 3 x 3y 3z 3 x y z 23 f) 3 x y z 33 caét truøng 2 x my 3z c) nx y z 3 x y mz f) x y 3z x my z 2 x ny z 3 x (m 3) y z g) h) i) 2 x y 4nz 3 x y mz (m 2) x y mz 10 Bài Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với 2 x y mz (2m 1) x 3my z a) b) x y z 15 mx (m 1) y z mx y mz 12 c) x my z x 3y 3z e) mx y z 3 x (m 3) y z d) (m 2) x y mz 10 3 x y mz f) x 3y z VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trang 39 Lop12.net (5) PP Toạ độ không gian Khoảng cách hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm trên mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = Ax0 By0 Cz0 D d M0 ,( ) A2 B C Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách chúng MH , n cuøng phöông Ñieåm H laø hình chieáu cuûa ñieåm M treân (P) H (P ) Điểm M đối xứng với điểm M qua (P) MM MH Baøi Cho maët phaúng (P) vaø ñieåm M Tính khoảng cách từ M đến (P) Tìm toạ độ hình chiếu H M trên (P) Tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua (P) M (2; 3; 5) M (1; 4; 2) a) ( P ) : x y z 0, b) ( P ) : x y 5z 14 0, M (3;1; 2) M (2; 3; 4) c) ( P ) : x y 3z 12 0, d) ( P ) : x y z 0, M (2;1; 1) M (1; 2; 4) e) ( P ) : x y z 0, f) ( P ) : x y z 0, Bài Tìm khoảng cách hai mặt phẳng: x y 3z 6 x y z a) b) 2 x y 3z 6 x y z 2 x y 4z c) 3 x y z x y 8z 2 x y 4z 3 x y 3z d) e) f) x y z x y z x 2y z Bài Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng khoảng k cho trước: a) x 3y z 0, k b) x y z 0, k c) x y 3z 12 0, k d) x y z 14 0, k Bài Tìm tập hợp các điểm cách hai mặt phẳng: x y 3z 6 x y z a) b) 2 x y 3z 6 x y z 2 x y 4z c) 3 x y z x y 8z 2 x y 4z 3 x y 3z d) e) f) x y z x y z x 2y z Bài Tìm tập hợp các điểm có tỷ số các khoảng cách đến hai mặt phẳng k cho trước: x y z 10 6 x y z 6 x y z a) 2 x y z b) 6 x y z c) 2 x y z k k k Bài Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách điểm N và mặt phẳng (P): a) ( P ) : x y z 0, N (1; 2; 2) b) ( P ) : x y 5z 14 0, N (1; 4; 2) c) ( P ) : x y 3z 12 0, N (3;1; 2) d) ( P ) : x y z 0, N (2; 3; 4) e) ( P ) : x y z 0, N (2;1; 1) f) ( P ) : x y z 0, N (1; 2; 4) Bài Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách hai mặt phẳng: x y z 1 x y 2z 2 x y 4z a) b) c) x y z 2 x y z 4 x y z x y 8z 2 x y 4z 3 x y 3z d) e) f) x y 8z 3 x y z x 2y z Trang 40 Lop12.net (6) PP Toạ độ không gian Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua điểm A và song song với mặt phẳng (Q) cho trước Tính khoảng cách (P) và (Q): a) A 1; 2; –3 , (Q) : x y z b) A 3; 1; –2 , (Q) : x y 3z 12 Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A khoảng k cho trước: a) (Q) : x y z 0, A(2; 1; 4), k b) (Q) : x y z 0, A(2; 3; 4), k Bài 10 Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) khoảng k: a) (Q) : x y z 0, k 14 b) (Q) : x 3y z 0, k 29 VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: (): A1 x B1y C1z D1 (): A2 x B2 y C2 z D2 Góc (), () bù với góc hai VTPT n1 , n2 n1.n2 cos ( ),( ) n1 n2 Chuù yù: ( ),( ) 900 00 A1 A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 ( ) ( ) A1 A2 B1B2 C1C2 Bài Tính góc hai mặt phẳng: x y z 1 x y 2z a) b) x y z 2 x y z 2 x y 2z 4 x y 2z d) e) 2 x 4z y z 12 2 x y 4z c) 4 x y z f) x 3y 3z 4 x y 4z Bài Tìm m để góc hai mặt phẳng sau cho trước: (2m 1) x 3my z mx y mz 12 (m 2) x 2my mz a) mx (m 1) y z b) x my z c) mx (m 3) y z 900 450 900 mx y mz d) (2m 1) x (m 1) y (m 1)z 300 Bài Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với đôi Gọi , , là các góc hợp các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC) Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng: a) Tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn b) cos cos cos VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Cho maët phaúng (): Ax By Cz D vaø maët caàu (S): ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 R () vaø (S) khoâng coù ñieåm chung d (I ,( )) R () tiếp xúc với (S) d (I ,( )) R () laø tieáp dieän Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) và vuông góc với () – Tìm toạ độ giao điểm H d và () H là tiếp điểm (S) với () () cắt (S) theo đường tròn d (I ,( )) R Trang 41 Lop12.net (7) PP Toạ độ không gian Để xác định tâm H và bán kính r đường tròn giao tuyến ta có thể thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) và vuông góc với () – Tìm toạ độ giao điểm H d và () H là tâm đường tròn giao tuyến (S) với () Bán kính r đường tròn giao tuyến: r R IH Bài Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): ( P ) : x y z ( P ) : x 3y z a) b) 2 2 2 (S ) : x y z x y z (S ) : ( x 1) ( y 3) ( z 2) 16 ( P ) : x y z 11 c) 2 (S ) : x y z x y z ( P ) : x y z d) 2 (S ) : x y z x y 8z 13 ( P ) : x y z ( P ) : z e) f) 2 2 2 (S ) : x y z x y z 10 (S ) : x y z x y 16 z 22 Bài Biện luận theo m, vị trí tương đối mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): a) ( P ) : x y z 0; (S ) : x y z2 2(m 1) x 4my z 8m b) ( P ) : x y z 0; (S ) : ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 (m 1)2 c) ( P ) : x y z 0; (S ) : ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 1)2 (m 2)2 d) ( P ) : x 3y z 10 0; (S ) : x y z2 4mx 2(m 1) y z 3m 5m Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: a) I (3; 5; 2), ( P ) : x y 3z b) I (1; 4; 7), ( P ) : x y z 42 c) I (1;1; 2), ( P ) : x y z d) I (2;1;1), ( P ) : x y z Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước: a) (S ) : ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 2)2 24 taïi M(1; 3; 0) b) (S ) : x y z2 x y z taïi M(4; 3; 0) c) (S ) : ( x 1)2 ( y 3)2 ( z 2)2 49 taïi M(7; 1; 5) d) (S ) : x y z2 x y z 22 và song song với mặt phẳng x y z 14 e) (S ) : x y z2 x y z 11 và song song với mặt phẳng x 3z 17 f) (S ) : x y z2 x y z và song song với mặt phẳng x y z g) vaø chứa đường thaúng (S ) : x y z x y z d : x 4t 4, y 3t 1, z t h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; – 1), D(4; 1; 0) i) Tiếp xúc với mặt cầu: x y z 10 x y 26 z 113 và song song với đường thaúng: d1 : x y z 13 x y 1 z , d1 : 3 2 Baøi taäp oân: Phöông trình maët phaúng Bài Cho tứ diện ABCD Viết phương trình các mặt tứ diện Trang 42 Lop12.net (8) PP Toạ độ không gian Viết phương trình mặt phẳng chứa cạnh và song song với cạnh đối diện Viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh và song song với mặt đối diện Viết phương trình mặt phẳng qua cạnh AB và vuông góc với (BCD) Viết phương trình mặt phẳng trung trực các cạnh tứ diện Tìm toạ độ các điểm A, B, C, D là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C, D qua các mặt đối diện Tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện đến mặt đối diện Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm I và bán kính R cuûa (S) Viết phương trình các tiếp diện (S) các đỉnh A, B, C, D tứ diện Viết phương trình các tiếp diện (S) song song với các mặt tứ diện a) A 5;1; 3 , B 1; 6; , C 5; 0; , D 4; 0; b) A 1;1; , B 0; 2;1 , C 1; 0; , D 1;1;1 c) A 2; 0; , B 0; 4; , C 0; 0; , D 2; 4; d) A(2; 3;1), B(4;1; 2), C (6; 3; 7), D(5; 4; 8) e) A(5; 7; 2), B(3;1; 1), C (9; 4; 4), D(1; 5; 0) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (2; 2; 2), D(1; 1; 2) Bài Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt ba trục toạ độ các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; –3) vaø E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1) a) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa (P) vaø (Q) b) Tính độ dài đường cao hình chóp O.ABC c) Tính góc hai mặt phẳng (P), (Q) Baøi Cho boán ñieåm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) vaø D(1; 3; 3) a) Chứng minh ABCD là tứ diện b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi vuông góc c) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa caùc maët phaúng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD) d) Tính góc các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD) Trang 43 Lop12.net (9)