Chuyên đề vector trong không gian quan hệ vuôn góc

Lời giải.. Bài toán 03: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD là một hình bình hành. Mặt phẳng qua[r]

CHƯƠNG III VECTO-QUAN

MỤC LỤC

TẬP VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

A.TĨM TẮT GIÁO KHOA

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ.

Bài toán 02: CHỨNG MINH BA VEC TƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG.

Bài tốn 03: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG.

Bài toán 04: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BỐN ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 10

CHƢƠNG III VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

TẬP VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Định nghĩa.

Các khái niện phép toán vec tơ không gian định nghĩa ho|n to|n giống mặt phẳng.Ngoài ta cần nhớ thêm: Qui tắc hình hộp : Nếu ABCD.A'B'C'D'

hình hộp AC' AB AD AA' a b c     

2 Qui tắc trọng tâm tứ diện.

G trọng tâm tứ diện ABCD hai điều kiện sau xảy ra:

 GA GB GC GD 0   

 MA MB MC MD 4MG, M    

3 Ba véc tơ a,b,c đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng.

Điều kiện cần v| đủ để ba véc tơ a,b,c đồng phẳng có số m,n,p không đồng thời cho ma nb pc 0  

Cho hai vec tơ không phương điều kiện cần v| đủ để ba vec tơ a,b,c đồng phẳng có số m,n cho c ma nb 

Nếu ba véc tơ a,b,c khơng đồng phẳng vec tơ d phân tích cách dạng d ma nb pc  

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ

Phƣơng pháp:

c

b a

C

D B

B'

A' D'

Sử dụng qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp<để biến đổi vế thành vế

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD hình chữ nhật Chứng minh

2 2

SA SC SB SD Lời giải

Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD Ta có OA OB OCOD

 2

2 2

SA  SO OA SO OA 2SO.OA (1)

 2

2 2

SC  SO OC SO OC 2SO.OC(2) Từ  1  2 suy

 

2 2 2

SA SC 2SO OA OC 2SO OA OC

2 2

2SO OA OC

   ( OA OC 0  ) Tương tự SB2SD22SO2OB2OD2 Từ suy SA2SC2SB2SD2

Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M N l| c{c điểm thuộc cạnh AB CD cho MA 2MB,ND 2NC; c{c điểm I,J,K thuộc AD,MN,BC cho

IA kID,JM kJN,KB kKC  

Chứng minh với điểm O ta có OJ 1OI 2OK

3

 

Lời giải

Vì MA 2MB nên với điểm O ta có OA OM  2 OB OM   OA 2OB

OM

3 

 

Tương tự ta có : OD 2OC ON

3 

 , OI OA kOD k

 

 ,

OB kOC OK

1 k  

 ,

OM kON OJ

1 k  



Từ ta có OJ 1OA 2OB kOD 2kOC k

   



O D

A D

C S

J A

B

D

C M

N K

     

1 1

[ k OI k OK] OI 2OK

1 k 3

     



Vậy OJ 1OI 2OK

3

 

Bài toán 02: CHỨNG MINH BA VEC TƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG Phƣơng pháp:

Để chứng minh ba vec tơ a,b,c đồng phẳng ta thực theo cách sau:  Chứng minh giá ba vec tơ a,b,c song song với mặt phẳng

 Phân tích c ma nb  a,b l| hai vec tơ khơng phương

Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ta chứng minh ba vec tơ AB,AC,AD đồng phẳng Ngoài sử dụng kết quen thuộc sau:

Điều kiện cần v| đủ để điểm DABC với điểm O ta có OD xOA yOB zOC   x y z 1  

Các ví dụ

Ví dụ Cho tứ diện ABCD , c{c điểm M,N l| trung điểm AB,CD Gọi P,Q c{c điểm thỏa mãn PA kPD, QB kQC k 1    Chứng minh M,N,P,Q đồng phẳng

Lời giải

Ta có PA kPD MA MP k MD MP     MA kMD

MP

1 k 

 



Tương tự QB kQC MQ MA kMC k



  



Suy MP MQ MA kMD MB kMC k

  

 



 

k

MC MD k

 

 ( Do MA MB 0  )

Mặt khác N l| trung điểm CD nên MC MD 2MN MP MQ 2k MN k

    

 suy ba vec tơ MP,MQ,MN đồng phẳng, hay bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng

Ví dụ Cho tứ diện ABCD , c{c điểm M,N x{c định MA xMC,NB yND  x,y 1  Tìm điều kiện x y để ba vec tơ AB,CD,MN đồng phẳng

Lời giải

A

B

D

C M

N Q

Đặt DA a,DB b,DC c   a,b,c khơng đồng phẳng

 

MA xMC DA DM x DC DM   DM DA xDC a xc  1 x x

 

  

 

Lại có NB yND DN DB b 2  y y

   

 

Từ  1  2 suy MN DN DM a b x c x y x



    

  

Ta có AB DB DA b a,CD     c ; AB CD l| hai vec tơ không phương nên AB,CD,MN đồng phẳng MN mAB nCD  , tức a b x c m b a  nc

1 x y x

     

  

1 x

m a m b n c

1 x y x

 

   

         

  

     

1 m

1 x

m x y

1 y x n

1 x 



 

 

   

  

  

 

Vậy ba vec tơ AB,CD,MN đồng phẳng x y

Lƣu ý : Ta sử dụng điều kiện đồng phẳng ba vec tơ để xét vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng:

Cho ba đường thẳng d ,d ,d chứa ba vec tơ 1 2 3 u ,u , u1 2 3 d ,d cắt 1 2

 

3

d mp d ,d Khi :

 d3 d ,d1 2u ,u ,u1 2 3 l| ba vec tơ đồng phẳng

 d3mp d ,d 1 2Mu ,u ,u1 2 3 l| ba vec tơ không đồng phẳng

A

B

D

C M

N

d3

d1

d2 u1

u3

u2

Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' , M,N l| c{c điểm thỏa MA 1MD

  , NA' 2NC

3

  Chứng minh MN BC'D 

Lời giải

Đặt BA a,BB' b,BC c   a,b,c l| ba vec tơ không đông phẳng BD BA AD BA BC a c     

BC' b c,BA' a b    Ta có

 

1

MA MD BA BM BD BM

4

       5BM BA 1BD

4

  

  4a a c

4BA BD 5a c

BM

5 5

 

 

   

Tương tự BN 3a 3b 2c

 

 , MN BN BM 2a 3b c 2 a c 3(b c) 2BD 3BC'

5 5 5

  

          

Suy MN,DB,BC' đồng phẳng mà NBC'DMN BC'D

Nhận xét: Có thể sử dụng phương ph{p để chứng minh hai mặt phẳng song song

Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi M,N l| trung điểm AA',CC' G trọng tâm tam giác A'B'C'

Chứng minh MGC' AB'N Lời giải

Đặt AA' a,AB b,AC c  

Vì M,N trung điểm AA',CC' nên AM 1AA' 1a

2

  ,

 

1

AN AC AC' a b

2

   

Vì G trọng tamm tam giác A'B'C' nên

 

1 1

AG AA' AB' AC' a b c

3 3

     

Ta có MG AG AM 1a 1b 1c MG 1AB' 1AN

2 3

        suy MG,AB',AN đòng phẳng, Mắt khác

 

G AB'N MG AB'N  1

Tương tự MC' AC' AM a c 1u 1u k AN 2

        MC' AB'N 2  

C B

D

A'

B' C'

D' A M

N

I N M

C B

A'

B'

C' A

Từ  1  2 suy MG / /(AB'N)  MGC' AB'N MC' AB'N

 





Bài tốn 03: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG Phƣơng pháp:

Để tính độ dài đoạn thẳng theo phương ph{p vec tơ ta sử dụng sở a2a2 a a2 Vì để tính độ dài đoạn MN ta thực theo bước sau:

 Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a,b,c so cho độ dài chúng tính góc chúng tính

 Phân tích MN ma nb pc  

 Khi MN MN  MN2 ma nb pc  2

     

2 2

2 2

m a n b p c 2mncos a,b 2npcos b,c 2mpcos c,a

     

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất mặt hình thoi cạnh a góc

0

BAA' BAD DAA' 60   Tính độ d|i đường chéo AC' Lời giải

Đặt AB a,AD b,AA' c        

a b  c a, a,b  b,c  c,a 60 Ta có AC' a b c  

2 2

AC' a b c 2ab 2bc 2ca

      

2 0

3a a b cos60 b c cos60 c a cos60 6a

     AC' a 6

Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất mặt hình vng canh a Lấy M thuộc đoạn A'D , N thuộc đoạn BD với AM DN x x a 2      Tính MN theo a x

Lời giải

Đặt AB a,AD b,AA' c  

Ta có      

a b  c a, a,b  b,c  c,a 90

   

DN x x

DN DB AB AD a b

DB a a

    

   

AM x x

AM AD' AD AA' b c

AD' a 2 a 2

    

C'

B' A'

D

A B

C D'

M

N C B

D

A'

B' C'

Suy MN MA AD DN x  a b b x  b c

a a

       

x x x

a b c

a a a

 

    

 

2 2 2

2 2

2

2

x x x x x x

MN a b c a b c

2a 2a

a a a a

     

          

   

 

2

2 2

2

2x x 3x

x a 2ax a

a 2a

 

       

 

2

2

3x

MN 2ax a

2

  

Bài toán 04: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BỐN ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI TỐN HÌNH KHÔNG GIAN

Phƣơng pháp: Sử dụng kết

 A,B,C,D bốn điểm đồng phẳng DA mDB nDC 

 A,B,C,D bốn điểm đồng phẳng với điểm O ta có OD xOA yOB zOC   x y z 1  

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B',D' trungđiểm cạnh SB,SD Mặt phẳng AB'D' cắt SC C' Tính SC'

SC Lời giải.

Đặt a SA,b SA,c SD   m SC' SC  Ta có SB' 1b,SD' 1c

2

  SC' mSC m SB BC     m b a c   SC' 2mSB' mSA 2mSD'

   

Do A,B',C',D' đồng phẳng nên 2m  m 2m m

     

Vậy SC' SC 3

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD hình bình hành Gọi K l| trung điểm cạnh SC Mặt phẳng qua AK cắt cạnh SB,SD M,N Chứng minh SB SD

SMSN Lời giải

D' B'

C

B A

D S

Đặt a SA,b SA,c SD   SB m, SM

SD n SN Ta có SM SMSB SB;SN SNSD 1SD

SB m SD n

   

 

1

SK SC SD DC

2

   1SD AB 1 SD SB SA

2

    

n m

SN SM SA

2 2

  

Mặt ta có A,M,K,N đồng phẳng nên m n 1 m n

2 2

 

      

 

Vậy SB SD SMSN

Ví dụ Cho tứ diện ABCD , cạnh AB,AC,AD lấy c{c điểm K,E,F Các mặt phẳng

BCF , CDK , BDE     cắt M Đường thẳng AM cắt KEF N cắt mặt phẳng BCD P Chứng minh NP 3MP

NA MA Lời giải

- Chỉ tồn điểm M Gọi I CF BK CIBCF  CDK Gọi J DE CFBCF  BDEBJ

Khi M CI BJ l| giao điểm ba mặt phẳng

BCF , CDK , BDE    

- Chứng minh NP 3MP NA MA Giả sử ABαAK,AC βAE,AD γAF 

Do M,N thuộc đoạn AP nên tồn số m,n 1 cho AP mAM nAN 

Ta có B,C,D,P đồng phẳng nên tồn x,y,z với x y z 1     cho AP xAB yAC zAD  

αxAK βyAE γzAF

   AN αxAK βyAE γzAF

n n n

   

Mặt khác NKEF nên αx βy γz αx βy γz n 2 

n  n  n      L|m tương tự ta có

   

M BCE   x y γz m 3

K

D

A B

C S

N

M

N

P M A

B

D

C K

E

   

M CDK  x βy γz m 4 

   

M BDE αx y z m 5  

Từ      3 , , suy x y z   αx βy γz 3m  

Kết hợp với    1 , ta n 3m AP 3AP NP MP

AN AM NA MA

 

          

 

NP MP

NA MA

  ( đpcm)

Ví dụ Cho đa gi{c lồi A A A n 21 n   nằm  P S điểm nằm  P Một mặt

phẳng  α cắt cạnhSA ,SA , ,SA hình chóp 1 2 n S.A A A c{c điểm 1 2 n B ,B , ,B cho 1 2 n

1 n

1 n

SA SB SA a

SB SB  SB  ( a 0 cho trước) Chứng minh  α qua điểm cố định Lời giải

Trên canh SAi lấy c{c điểm X i 1,2, ni   cho i i

SA SX

a 

Gọi I l| điểm x{c định SI SX 1SX2  SXn I l| điểm cố định ( c{c điểm S

1 n

X ,X , ,X ccos định)

Ta có n

1 n n

1 n

SX SX SX

SI SX SX SX SB SB SB

SB SB SB

       

Do n n

1 n n

SX SX SX SA SA SA

SB SB  SB aSB aSB  aSB  nên c{c điểm I,B ,B , ,B1 n đồng phẳng suy mặt phẳng  α qua điểm I cố định

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Câu 1. Cho tứ diện ABCD Gọi E,F l| c{c điểm thỏa nãm EA kEB,FD kFC  P,Q,R l| c{c điểm x{c định PA lPD,QE lQF,RB lRC   Chứng minh ba điểm P,Q,R thẳng hàng.Khẳng định sau đ}y l| đúng?

A P, Q, R thẳng hàng

Bài làm:

1.Ta có PQ PA AE EQ 1    

 

PQ PD DF FQ 2  

Từ  2 ta có lPQ lPD lDF lFQ    3

Lấy    1  theo vế ta có

 1 l PQ AE lDF  

1 l

PQ AE DF

1 l l

  

 

Tương tự QR EB l FC l l

 

 

Mặt khác EA kEB,FD kFC  nên PQ AE l DF k EB kl FC kQR l l l l



     

   

Vậy P,Q,R thẳng hàng

Câu 2. Cho tứ diện ABCD Gọi I,J l| trung điểm AB CD , G l| trung điểm IJ a) Giả sử a.IJ AC BD  giá trị a là?

A.2 B.1 C.1 D.1

2 b) Cho c{c đẵng thức sau, đẵng thức n|o đúng?

A. GA GB GC GD 0    B. GA GB GC GD 2IJ    C. GA GB GC GD JI    D. GA GB GC GD    2JI

c) X{c định vị trí M để MA MB MC MD   nhỏ

A.Trung điểm AB B.Trùng với G C.Trung điểm AC D.Trung điểm CD Bài làm:

a) IJ IA AC CJ

IJ IB BD DJ

   

 



  

 2IJ AC BD 

b) GA GB GC GD   GA GB   GC GD 

 

2GI 2GJ GI GJ

    

Q A

B

C

D E

F R

p

G A

c) Ta có MA MB MC MD   4 MG nên MA MB MC MD   nhỏ M G

Câu 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' X{c định vị trí c{c điểm M,N AC DC' cho MN BD' Tính tỉ số MN

BD'bằng? A.1

3 B

1

2 C 1 D

2 Bài làm:

3 BA a,BC b,BB' c   Giả sử AM xAC,DN yDC' 

Dễ dàng có biểu diễn BM 1 x a xb  BN 1 y a b yc   Từ suy

     

MN x y a  1 x b yc 1

Để MN BD' MN zBD' z a b c       2

Từ  1  2 ta có: x y a   1 x b yc =z a b c     

x y z a 1 x z b y z c=0

       

2 x

3 x y z

1 x z y

3

y z 1

z   

    

 

     

   

  



Vậy c{c điểm M,N x{c định AM 2AC,DN 1DC'

3

 

Ta có MN zBD' 1BD' MN

3 BD'

   

Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh a góc

0

B'A'D' 60 ,B'A'A D'A'A 120  

a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A'D ; AC' với B'D

A.  

AB,A' D 60 ; 

AC', B' D 90 B.  

AB,A' D 50 ; 

AC', B' D 90 C. AB,A' D400; 

AC', B' D 90 D. AB,A' D300; 

AC', B' D 90 D'

M

C'

A'

D

A B

C D'

b) Tính diện tích tứ giác A'B'CD ACC'A'

A.

A' B'CD

S a 3;

AA'C'C

S a B.

A' B'CD

S a ;

AA'C'C

S a 2

C.

A' B'CD

1

S a

2

 ;

AA'C'C

S 2a D.

A' B'CD

S a ;

AA'C'C

S a

c) Tính góc đường thẳng AC' với c{c đường thẳng AB,AD,AA' A. AC',AB AC',AD AC',AA' arccos

2

  

B. AC',AB AC',AD AC',AA' arccos

  

C. AC',AB AC',AD AC',AA' arccos

  

D. AC',AB AC',AD AC',AA' arccos

  

Bài làm: 4

a) Đặt AA' a,A'B' b,A'D' c  

Ta có A'D a c  nên

   

cos AB,A'D cos AB,A'D  

a a c AB.A' D

AB A' D a a c 

 



Để ý a c a,  

a a a c

2  

Từ    

cos AB,A' D AB,A' D 60

  

Ta có AC' b c a,B'D a b c      , từ tính

    

AC'B'D b c a a b c     0 AC',B'D 90

b) A'C a b c,B'D a b c      A'C.B'Da b c a b c      A'C B'D

  nên A'B'DC

1

S A'C.B'D



C'

B' A'

D

A B

Dễ d|ng tính A'B'CD

1

A'C a ,B'D a S a 2a a

    

 

AA'C'C

S AA'ACsin AA',AC , AA' a,Ac a 3 

Tính   2 

sin AA',AC cos AA',AC

  

Vậy  

AA'C'C

6

S AA'ACsin AA',AC a.a a

  

c) ĐS:AC',AB AC',AD AC',AA' arccos

  

Câu 5 Cho tam giác ABC , cơng thức tính diện tích n|o sau đ}y l|

A. 2

S AB AC BC

  B. 2 1 2

S AB AC AB.AC

2

 

C. 2 1 2

S AB AC AB.AC

2

  D. 2  2

S AB AC AB.AC

 

Bài làm:

5. 2 2 2 

ABC

1 1

S ABACsin A AB AB sin A AB AC cos A

2 2

   

 2 2

1

AB AC AB.AC

 

Câu 6. Cho tứ diện ABCD Lấy c{c điểm M,N,P,Q thuộc AB,BC,CD,DA cho

1

AM AB,BN BC,AQ AD,DP kDC

3

   

Hãy x{c định k để M,N,P,Q đồng phẳng A. k

2

 B. k

3

 C. k

4

 D. k

5  Bài làm:

6.Cách 1.

Ta có AM 1AB BM BA 1BA

3

    

2 BM BA

3

 

Lại có BN 2BC

Vậy Nếu M,N,P,Q đồng phẳng MNPQ  ACDPQ AC PC QA

1 PD QD

   hay DP 1DC k

2

  

Cách 2. Đặt DA a,DB b,DC c   khơng khó khăn ta có c{c biểu diễn

2

MN a b

3

   , MP 2a 1b kc 3

    , MN 1a 1b

6   

C{c điểm M,N,P,Q đồng phẳng c{c vec tơ MN,MP,MQ đồng phẳng

x,y : MP xMN yMQ

   

2 2 1

a b kc x a c y a b

3 3

   

          

   

Do c{c vec tơ a,b,c không đồng phẳng nên điều n|y tương đương với

2

x y

3

1

y x ,y 1,k

3

2 x k

   

 

      

 

 



Câu Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a   , ASB BSC CSA  α Gọi  β mặt phẳng qua A v| c{c trung điểm SB,SC

Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  β A.

2

2

a

S cos α 16cos α

2

   B.

2

2

a

S cos α 6cos α

2

  

C.

2

a

S cos α 6cos α

8

   D.

2

2

a

S cos α 16cos α

8

  

Bài làm:

Q A

B

C

D M

7 Gọi B',C' l| trung điểm SB,SC Thiết diện tam giác AB'C' Theo tập 2  2

AB'C'

1

S AB' AC' AB'.AC'

 

Ta có AB' SB' SA 1SB SA

   

2 2

AB' SB SA SASB

   

 

2

a

5 4cosα

4

  Tính tương tự, ta có

 

2

a

AB'AC' 3cosα

4

 

Vậy    

4

2

AB'C'

1 a a

S 4cosα 3cosα

2 16 16

   

2

2

a

7 cos α 16cosα

8

  

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC , mặt phẳng  α cắt tia SA,SB,SC,SG ( G trọng tâm tam giác ABC) c{c điểm A',B',C',G' Ta có SA SB SC kSG

SA'SB'SC' SG' Hỏi k bao nhiêu?

A.3 B.4 C.2 D.1

Bài làm:

8.Do G trọng tâm ΔABC nên GA GB GC 0   3SG SA SB SC  

SG SA SB

3 SG' SA' SB' SG' SA' SB' SC

SC' SC'

  



Mặt khác A',B',C',G' đồng phẳng nên

SA SB SC SG SA'SB'SC' SG'

Chú ý: Ta có kết quen thuộc hình học phẳng :

Nếu M l| điểm thuộc miền tam giác ABC S MA S MB S MC 0a  b  c  S ,S ,Sa b c

lần lượt diện tích tam giác MBC,MCA,MAB Vì ta có tốn tổng qu{t sau: Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng  α cắt tia SA,SB,SC,SM( Ml| điểm thuộc miền tam giác ABC) c{c điểm A',B',C',M'

B' C'

S

B

A

Chứng minh: S SAa S SBb S SCc S.SM

SA'  SB'  SC'  SM' ( Với S ,S ,Sa b c diện tích tam giác MBC,MCA,MAB S diện tích tam giác ABC)

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD hình bình hành Một mặt phẳng  α cắt cạnh SA,SB,SC,SD A',B',C',D' Đẳng thức n|o sau đ}y đúng?

A. SA 2SC SB 2SD

SA' SC'SB' SD' B.

SA SC SB SD SA'2SC'SB'2SD' C. SA SC SB SD

SA'SC'SB'SD' D.

SA SC SB SD SA'SC'SB'SD'

Bài làm:

9.Gọi O tâm hình bình hành ABCD

SA SC SB SD 2SO   

SA SB SB SC

SA' SC' SB' SC' SA' SB' SB' SC'

    Do A',B',C',D' đồng phẳng nên đẳng thức SA SC SB SD

SA' SC' SB' SD'

   

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA a,SB b,SC c   Một mặt phẳng  α qua trọng tâm tam giác ABC , cắt cạnh SA,SB,SC A',B',C' Tìm giá trị nhỏ

2 2

1 1

SA' SB' SC' A. 2 32 2

a b c B. 2

2

a b c C. 2

2

a b c D. 2

9 a b c

G'

G B'

C' S

B

A

C

A'

O D

A B

C S

A'

Bài làm:

10.Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có 3SG SA SB SC  

SA SB SC

SA' SB' SC' SA' SB' SC'

  

Mà G,A',B',C' đồng phẳng nên SA SB SC a b c SA'SB'SC' SA'SB'SC'

Theo BĐT Cauchy schwarz:

Ta có  

2 2

2 2

1 1 a b c

a b c

SA' SB' SC' SA' SB' SC'

         

   

   

2 2 2

1 1

SA' SB' SC' a b c

   

 

Đẳng thức xảy

1 1

aSA'bSB'cSC' kết hợp với

a b c

3

SA'SB'SC' ta

2 2 2 2 2

a b c a b c a b c

SA' ,SB' ,SC'

3a 3b 3c

     

  

Vậy GTNN 12 12 12

SA' SB' SC' 2

9 a b c

Câu 11. Cho tứ diện ABCD , M điểm nằm tứ diện C{c đường thẳng AM,BM,CM,DM cắt mặt BCD , CDA , DAB , ABC       A',B',C',D' Mặt phẳng  α qua M song song với BCD cắt A'B',A'C',A'D' c{c điểm B ,C ,D1 1 1.Khẳng định n|o sau đ}y l| Chứng minh M trọng tâm tam giác B C D1 1

A. M trọng tâm tam giác B C D 1 1 1 B. M trực tâm tam giác B C D 1

C. M l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam giác B C D 1 1 1 D. M l| t}m đường tròn nội tiếp tam giác B C D 1 1 1

Bài làm:

11.Vì M nằm tứ diện ABCD nên

Gọi  α mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng

BCD Ta có

   

   

    1

α BCD

BB'A' α MB MB BA'

BB'A' BCD BA' 

   



  



Do  

1

MB MB' MB'

MB BA' BA'  BB'   BB'

Trong  1 , chiếu c{c vec tơ lên đường thẳng BB' theo phương

ACD ta được:

 

xMB' yMB zMB' tMB' 0     x y z MB' yMB 0   

  MB' y

x y z t MB' yBB'

BB' x y z t

      

  

Từ  2 suy MB1 y BA' 3  x y z t



  

Tương tự ta có  

z

MC CA'

x y z t 

  

 

1

z

MD DA'

x y z t 

  

Mặt khác chiếu c{c vec tơ  1 lên mặt phẳng BCDtheo phương AA' tì thu

yA'B zA'C tA'D 0   Vậy từ      3 , , ta có

 

1 1

1

MB MC MD yBA' zCA' tDA' x y z t

     

   , hay M trọng tâm tam giác B C D1 1

Câu 12. Cho tứ diện ABCD có BC DA a,CA DB b,AB DC c     

Gọi S diện tích tồn phần ( tổng diện tích tất mặt) Tính giá trị lớn

2 2 2

1 1

a b b c c a A. 92

S B.

3

S C.

2

S D.

2 S Bài làm:

12. Do tứ diện ABCD có BC DA a,CA DB b,AB DC c      nên

ΔBCD ΔADC ΔDAB ΔCBA   Gọi S' diện tích R l| b{n kính đường trịn ngoại tiếp

B1

M A

B

D

C B'

mặt S 4S' abc R

  , nên bất đẳng thức cần chứng minh 2 2

2 2 2 2

1 1

a b c 9R a b b c c a S    

Theo cơng thức Leibbnitz: Với điểm M G trọng tâm tam giác ABC

 

2 2 2 2 2 2

MA MB MC GA GB BC 3MG a b c 9MG

         

Cho M trùng với t}m đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta 2 2 2 2

9R aa b  c 9OG a b c

Câu 13. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' v| c{c điểm M,N,P x{c định

 

MA kMB' k ,NB xNC',PC yPD'   

Hãy tính x,y theo k để ba điểm M,N,P thẳng hàng

A. x k, y

2 k k



  

 B.

1 2k

x , y

1 2k 2k      C. k 1 x , y

2 k 2k 

  

 D.

1 k

x ,y

1 k k



  

 Bài làm

13.Đặt AD a,AB b,AA' c   Từ giả thiết ta có :

   

k

AM b c k

 



   

x

AN b a c x

  

   

y

AP a b c b y

   



Từ ta có

MN AN AM  x a b x k c x k x k

             y x c x y

 

  

 

 

y y k

MP AP AM a ( )b c

y k y k

 

           

 

Ba điểm M,N,P thẳng hàng tồn λ cho MNλMP  *

Thay c{c vec tơ MN,MP vào  * v| lưu ý a,b,c khơng đồng phẳng ta tính x k,y

1 k k

Câu 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Một đường thẳng Δ cắt c{c đường thẳng AA',BC,C'D' M,N,P cho NM 2NP Tính MA

MA' A. MA

MA' B.

MA

MA' C.

MA

MA' D.

MA MA' Bài làm

14 Đặt AD a,AB b,AA' c   Vì M AA' nên AM kAA' kc 

N BC BN lBC la  , P C'D' C'P mb

Ta có NM NB BA AM      la b kc NP BN BB' B'C' C'P (1 l)a mb c       

Do NM 2NP    la b kc 2[ l a mb c]    

 

l l

1 2m k 2,m ,l

2 k

  



       

  

Vậy MA MA'

Câu 15. Giả sử M,N,P l| ba điểm nằm ba cạnh SA,SB,SC cỏa tứ diện SABC Gọi I giao điểm ba mặt phẳng BCM , CAN , ABP     J l| giao điểm ba mặt phẳng

ANP , BPM , CMN    

Ta S,I,J thẳng hàng tính đẳng thức n|o sau đ}y đúng? A. MS NS PS JS

MANBPC 2 JI B.

MS NS PS JS MANBPC 4 JI C. MS NS PS JS

MANBPC 3 JI D.

MS NS PS JS MANBPC  JI Bài làm: 15 Goi E BP CN,F CM AP,T AN BM

Trong BCM có I BF CT ANP có NFPT J Đặt SA a,SB b,SC c   SM xMA,SN yNB,Sp zPC  

Ta có SM x a,SN y b,SP z c

x y z

  

   x 0,y 0,z 0   

M

D

C B

A'

B' C'

D' A

N

P

J F

I E T

S

A C

M

N

Do T AN BM nên  

 

ST αSM α SB

T AN

T BM ST βSN 1 β SA

   

  

  

  

  αSM 1 α SB βSN   1 β SA

  βy  

αx

a α b b β a

x y

     

  Vì a,b khơng phương nên ta có x

αx α

1 β

x y x y

x

ST a b

βy y x y 1 x y 1

1 α β

y x y



   



   

    

     

    



   

 

Ho|n to|n tương tự ta có :

y z z x

SE b c, SF c a

y z y z z x z x

   

       

L|m tương tự hai giao điểm I BF CT NFPT J ta :

   

1

SI xa yb zc , SJ xa yb zc

x y z x y z

     

     

Suy SJ x y z 1SI SJ x y z IJ x y z

  

     

  

CHƯƠNG III VECTO-QUAN

HỆ VNG GĨC

MỤC LỤC

GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG HAI ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC. A CHUẨN KIẾN THỨC B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài tốn 01: TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG.

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GÓC

A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm lần lượt song song trùng với a b.

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài tốn 01: TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG Phƣơng pháp:

Để tính góc hai đường thẳng d d1, 2 khơng gian ta thực theo hai cách

Cách 1. Tìm góc hai đường thẳng d d1, 2 cách chọn điểm O

thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng)

Từ O dựng đường thẳng ' ' 1,

d d song song ( trịng O

nằm hai đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường

thẳng ' ' 1,

d d góc hai đường thẳngd d1, 2

Lƣu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác 2

cos

2

b c a

A

bc

  

Cách 2. Tìm hai vec tơ phương u u1, 2của hai đường thẳng d d1, 2

Khi góc hai đường thẳng d d1, 2 xác định  1 2 2 cos ,

u u d d

u u



Lƣu ý 2: Để tính u u u1 2, 1 ,u2 ta chọn ba vec tơ a b c, , không đồng phẳng mà tính độ dài góc chúng,sau biểu thị vec tơ u u1, 2 qua vec tơ a b c, , thực tính tốn

Các ví dụ

Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm BC AD, biết

,

2

a

AB CD a MN Tính góc hai đường thẳng AB CD

Lời giải Cách

d1

d2

d'2

d'1

Gọi I trung điểm AC Ta có

IM AB IN CD



 

 AB CD,  = IM IN,  Đặt MIN

Xét tam giác IMN có , ,

2 2 2

AB a CD a a

IM  IN  MN Theo định lí

cơsin, ta có

2 2

2 2

3

2 2 1

cos

2 2 .

2

a a a

IM IN MN

a a IM IN



 

      

     

   

   

    

0 120

MIN

  suy AB CD, =060

Cách 2.     cos AB CD, cos IM IN, = IM IN

IM IN



 2

2 2 2

2

MNIN IM MN  IN IM IM IN  IN IM

2 2

2

IM IN MN a IN IM    

   

cos , cos , =

2

IM IN

AB CD IM IN

IM IN

 

Vậy AB CD, =600

Ví dụ Cho tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M N, trung điểm AB

CD Tính góc gữa đường thẳng MN với đường thẳng AB BC, CD

Lời giải

Đặt AD a AB b AC ,  , c

Khi đó, ta có a  b  c m      a b,  b c,  c a, 600 Ta có

2

m a b b c c a

Vì M N, trung điểm AB CD nên

   

1

2

MN AD BC  a c b 

2 2

2 2 2 2

4

m MN  a b  c ac ab b c

I

N

M A

B

D C

A

D

N M

B

2

m MN

 

- 1 

2

MN AB a c b b   ab bc b  

Vậy góc hai đường thẳng MN AB 90

- 1   2

2

MNCD a c b a c    a ac ab ac c   bc

Vậy góc hai đường thẳng MN CD 900

-   

2

2

m

MNBC a c b    b c cosMN BC,  MNBC

MN BC

 

2

2

2

2

m

m m

 

Vậy góc hai đường thẳng MN BC 450

Bài tốn 02: DÙNG TÍCH VƠ HƢỚNG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC Phƣơng pháp:

Để chứng minh d1d2 ta có phần ta thực theo cách sau:

 Chứng minh d1 d2 ta chứng minh u u1 2 0 u u1, 2 vec tơ phương d1

và d2

 Sử dụng tính chất b c a b a c



   



 Sử dụng định lí Pitago xác định góc d d1, 2 tính trực tiếp góc

Các ví dụ

Ví dụ Cho tứ diện đềuABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn noại tiếp tam giác BCD Chứng minh

AOCD

Lời giải

Ta có CD OD OC  , ta lưu ý tam giác ABC 2

2

AB AC BC

ABAC  

suy

 

AOCDAO OD OC  OAOD OAOC

2

2 2 2

0

2

OA OD CD OA OC AC

   

( Vì ACAD a OD OC ,  R) Vậy AOCD

O A

C

Ví dụ Cho tứ diện ABCD có

CD AB Gọi , ,I J K trung điểm BC AC BD, , Cho biết

6

JK AB Tính góc đường thẳng CD với đường thẳng IJ AB

Lời giải

Ta có

IJ AB,

2

IK CD AB  

2 2 25 1

4 36

IJ IK  AB  AB  AB

Mà 25  2

6 36

JK ABJK  AB

Từ  1  2 suy IJ2IK2JK2JIIK Mặt khác ta có IJ AB IK CD, ABCD Tương tự IJ AB IJ CD

AB CD



 

 



Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABACAD Gọi O điểm thỏa mãn OA OB OC OD   G trọng tâm tam giác ACD, gọi E trung điểm BG F trung điểm AE Chứng minh OF

vng góc với BG OD vng góc với AC

Lời giải

Đặt OA OB OC OD   R 1 OA a OB b OC ,  , c OD d,  Ta có ABACAD nên AOB AOC AOD c c c    suy

 

AOB AOC AOD  , từ  1  2 suy a b a c a d  3 Gọi M trung điểm CD AG2GM nên

3BGBA2BMBA BC BD 

 

3

OA OB OC OB OD OB a c d b

         

Gọi ,E F theo thứ tự trung điểm AE BG, ta có

   

12OF 6 OA OE 6OA3 OB OG 6OA3OB3OG

 

6OA 3OB OA 2OM 7OA 3OB OC OD 7a 3b c d

            Từ  4  5 ta có

  

36BG OF  7a3b c d a  3b c d 

2 2

=7a 9b  c d 18ab8ac8ad2cd

J

K I

A

B

D

C

F

E

M A

B

D

C O

Theo (3) ta có 36BG OF 2d c a  2OD AC suy BG OF  0 OD AC 0 hay OFBGODAC

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Câu 16 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác a) Khẳng định sau

A.AB CD chéo

B.AB CD vng góc với

C.AB CD đồng phẳng

D.AB CD cắt

b) Gọi M N P Q, , , trung điểm cạnh AC BC BD DA, , , Khẳng định sau nhất?

Chứng minh MNPQ hình chữ nhật

A. MNPQ hình vngB. MNPQ hình bình hành

C. MNPQ hình chữ nhật D. MNPQ hình thoi

Bài làm 16

a) Đặt ABADACa

Ta có CD AB AD AC AB 

0

cos 60 cos 60

AB AD AB AC

 

2

a a a a

  

Vậy ABCD

b) Ta có MN PQ AB

2

AB a

MNPQ  nên tứ giác

MNPQ hình bình hành

Lại có

MN AB

NP CD MN NP AB CD



  



 



, MNPQ hình chữ nhật

Câu 17. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Trên cạnh DC BB' lấy điểm M N

sao cho MDNBx0 x a Khẳng định sau đúng? a) Khẳng định sau đúng?

A. AC'B D' ' B.AC’ cắt B’D’

C.AC’và B’D’ đồng phẳng D.Cả A, B, C Q

P N M

C

A

b) khẳng định sau ?

A. AC'MN

B.AC’ MN cắt

C.AC’ MN đồng phẳng

D.Cả A, B, C

Bài làm 17 Đặt AA'a AB b AD c,  ,  a) Ta có AC'  a b c, ' 'B D  c b nên

  

' ' '

AC B D  a b c c b  

  2 2 2

0

a c b c b a a

      

' ' '

AC B D

 

b) MNAN AM AB BN   AD DM  b xa - c xb xa 1-x b c

-a a a a

     

       

     

Từ ta có AC MN' a b c[ b xa - c xb xa 1-x b c- ]

a a a a

     

          

     

2 2 2 2

1

x x x

a b c x a a a

a a a

   

          

   

Vậy AC'MN

Câu 18. Cho hình chóp S ABC có SA SB SC  a BCa Tính góc hai đường thẳng AB

SC

A. AB SC, 600 B. AB SC, 450 C. AB SC, 300 D. AB SC, 900

Bài làm 18 Gọi M N P, , trung điểm SA SB AC, , , MN AB nên

AB SC,   MN SC, 

Đặt  NMP, tam giác MNP có

 

2 2

cos

2

MN MP NP MN MP

  

Ta có

2

a

MNMP , AB2AC2BC2 ABC vng A,

2 2

a

PB AP AC  ,

2

4

a

PS  Trong tam giác PBS theo cơng thứ tính đường trung tuyến ta có

B

C D

A'

D' C'

B' A

M

N

φ N

P M

S

A

B

2

2 2 2

2

5

3

4

2 4

a a

PB PS SB a a

PN

 

    

Thay MN MP NP, , vào  1 ta cos 1200

    Vậy AB SC,   MN SC, 600

Câu 19. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, SAAB SABC a) Tính góc hai đường thẳng SD BC

A. BC SD, 300 B. BC SD, 450 C. BC SD, 600 D. BC SD, 500

b) Gọi ,I J điểm thuộc SB SD cho IJ BD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J

A. IJ AC, 900 B. IJ AC, 600 C. IJ AC, 300 D. IJ AC, 450

Bài làm 19 a) BC SD, 450 b) IJ AC, 900

Câu 20. Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a) Khẳng định sau nhất?

A. ADBC B.AD cắt BC

C.AD BC chéo D.Cả A, B, C

b) Gọi M N, điểm thuộc đường thẳng AB DB cho MAkMB ND, kNB Tính góc hai đường thẳng MN BC

A. MN BC, 900 B. MN BC, 800 C. MN BC, 600 D. MN BC, 450

Bài làm 20

a) Gọi P trung điểm BC, tam giác

ABCvà DBC cân nên AP BC

DP BC

 

 



Ta có BC AD BC PD PA  0 Vậy BCAD

P A

B

D M

b) Ta có MA kMB MA k MB

   , ND kNB ND k NB

   MA ND

MB NB

 

suy MN ADMN BC,   AD BC, 900( Theo câu a)

Câu 21. Cho hình hộp thoi ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cạnh a

' ' 60

ABCB BAB BC Tính góc hai đường thẳng AC B’D’

A. AC, 'D'B 900 B. AC, 'D'B 600 C. AC, 'D'B 450 D. AC, 'D'B 300

Bài làm 21 HS tự giải

Câu 22 Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm cạnh BC AD Cho biết AB CD 2a

và MNa Tính góc hai đường thẳng AB CD

A. AB CD, 300 B. AB CD, 450

C. AB CD, 600 D. AB CD, 900

Bài làm 22 Gọi O trung điểm AC, ta có OM ON a

 ,   ,  OM AB

AB CD OM ON ON CD



 

 

Áp dụng định lí cơsin cho tam giác OMN ta có 2

cos

2

OM ON MN MON

OM ON

 



 2 2

3 1

2

a a a a a

 

  

Vậy AB CD, 600

Câu 23. Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M N P Q R, , , , trung điểm , , ,

AB CD AD BC AC

a) Khẳng định sau đúng nhất?

A. MNRP MN, RQ B. MNRP,MN cắt RQ

C.MN chéo RP; MN chéo RQ D.Cả A, B, C sai

b) Tính góc hai đường thẳng AB CD?

N

M O

A

B

A. AB CD, 600 B. AB CD, 300 C. AB CD, 450 D. AB CD, 900

Bài làm23 a) Ta có

a

MCMD nên tam giác MCD cân

M, MNCD Lại có RP CDMNRQ b) Tương tự ta có QPAD

Trong tam giác vng PDQ ta có

2 2 2 2

2 2

a a a

QP QD DP      

 

  Ta có :

2

2 2

2

a a

RQ RP       a QP

   

Do tam giác RPQ vng R, hay RPRQ

Vì

AB RQ

CD RP AB CD RP RQ



  



 



Câu 24. Cho tứ diện ABCD có AB CD a AC  , BD b AD , BCc a)Khẳng định sau đúng nhất

A.các đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc với hai cạnh

B.các đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối khơng vng góc với hai cạnh

C.các đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối có thể vng góc khơng vng góc với hai cạnh

D.cả A, B, C sai

b) Tính góc hai đường thẳng AC BD

A.    

2

2 , arccos a c

AC BD

b

 

B.    

2

2 , arccos a c

AC BD

b

 

C.    

2

2 , arccos

3

a c

AC BD

b

 

N

M P

Q

R A

B

D C

N M

A

B

D C

D.    

2

2 , arccos a c

AC BD

b

 

Bài làm 24 Gọi M N P, , trung điểm cạnh AB CD AD, ,

a) Do hai tam giác ACD BCD có CD chung ACBD AD, BC nên chúng nhau, suy

MCMD

Vậy tam giác MCD cân M có trung tuyến MN nên MNCD Tương tự MNAB

Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối lại

b) Ta có PM BD BD AC,  PM PN, 

PN AC



 

 

Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có

 2 2 2

2

2 4

b c a

CA CB AB

CM      

Tương tự   2 2

4

b c a

DM    , nên  

2 2

2 2 2 2

2

2 4

b c a

MC MD CD a b c a

MN          

Áp dụng định lí sin cho tam giác PMN ta có

 

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2

cos

2

2 2

b b b c a

a c PM PN MN

MPN

PM PN b b b

                              

Vậy    

2

2 , arccos a c

AC BD

b





Câu 25. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành với AB a AD , 2a

Tam giác SAB vuông can A, M điểm cạnh AD( M khác A D) Mặt phẳng   qua

M song sog với SABcắt BC SC SD, , N P Q, , a) MNPQ hình gi?

A. MNPQ hình thang vng B. MNPQ hình vng

C. MNPQ hình chữ nhật D. MNPQ hình bình hành

b)Tính diện tích MNPQ theo a

A. MNPQ a

S  B.

2

MNPQ a

S  C.

2

4

MNPQ a

S  D.

2

Bài làm 25 a) Ta có

           

SAB

SAB ABCD AB ABCD MN

  

  



  



MN AB



Tương tự

           

SAB

SBC SAB SB NP SB SBC NP

  

   



  



           

SAB

SAD SAB SA MQ SA SAD MQ

  

   



  



Dễ thấy MN PQ AB CD nên MNPQ hình bình hành

Lại có

MN AB

MQ SA MN MQ AB SA



  



 



Vậy MNPQ hình thang vng

b) Ta có MNAB a ,

2

SA a MQ  ,

2

CD a PQ 

Vậy 1 

2

MNPQ

S  MN PQ MQ

2

1

2 2

a a a a

 

    

 

Q P

N

M A

B C

CHƯƠNG III

VECTO- QUAN HỆ VNG GĨC

MỤC LỤC

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VNG GĨC A CHUẨN KIẾN THỨC B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG.

Bài toán 02: THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ VNG GĨC VỚI MỘT ĐƢỜNG THẲNG

Bài tốn 03: TÍNH GĨC GỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 11

Bài tốn 04: TÌM TẬP HỢP HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM TRÊN MỘT ĐƢỜNG THẲNG HAY MỘT MẶT PHẲNG DI ĐỘNG. 16 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 19

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VNG GĨC

A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Định nghĩa.

Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng  α vng góc với đường thẳng nằm tromg  α

Vậy d α    d a, a  α

2 Điều kiện để đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng.

Định lí: Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  α vng góc với hai đường thẳng cắt

nhau nằm tromg  α       d a

d b

a α a α ,b α

a b M    

  

  

    

3 Tính chất.

 Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

 Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

4 Sự liên quan quan hệ song song quan hệ vuông góc.

1.  a b  α b α a

  

 

 ( h1) 2.   

a b

a α a b b α

 

  

   

( h2)

3.    

   

α β

a β a α

  

 

 (h3) 4.

     

     

α β

α a α β

β a

 

  



 



( h4)

a b d

5.  

 

a α

b a b α

  

 

 (h5) 6.

 

   

a α

a b a α α b

  

 



 



(h6)

a

b

(h1) α

b

a

(h2) α

a

β

(h3) α

a

β

(h4) α

b a

(h5)

α a

b

b'

β

5 Phép chiếu vng góc định lý ba đƣờng vng góc.

5.1.Định nghĩa : Cho đường thẳng d α

Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng  α gọi phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng  α

5.2 Định lí ba đƣờng vng góc

Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng  α b đường thẳng không thuộc  α đồng thời không vuông góc với  α Gọi b' hình chiếu

của b  α Khi a  b a b'

5.3.Góc đƣờng thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng  α

 Nếu d vng góc với mặt phẳng  α ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng  α bẳng

90

 Nếu d khơng vng góc với mặt phẳng  α góc d với hình chiếu d'

 α gọi góc đường thẳng d mặt phẳng  α B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Phƣơng pháp:

Muốn chứng minh đương thẳng d α ta dùng môt hai cách sau Cách 1. Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a,b cắt  α

     

d a d b

a α a α ,b α

a b I    

  

  

    

Cách 2. Chứng minh d vng góc với đường thẳng a mà a vng góc với  α

   

d a

d α α a

  

 



Các ví dụ

d

α

M

Ví dụ Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O có SAABCD Gọi H,K hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB,SC SD

a) Chứng minh BCSAB ,CD SAD ,BD SAC

b) Chứng minh SCAHK điểm I thuộc mặt phẳng AHK  c) Chứng minh HKSAC HKAI

Lời giải

a) Vì ABCD hình vng nên BCAB , lại có

 

SA ABCD SABC Vậy BC AB BC SAB

BC SA

 

 

 



Tương tự CD AD CD SAD CD SA

 

 

 



Ta có đáy ABCD hình vng nên BDAC,

 

BDSABD SAC

b) Ta có  

 

BC SAB

BC AH AH SAB

 

  

 



Vậy AH BC AH SBC AH SC AH SB

 

   

 



Tương tự AK SD AK SCD AK SC AK CD

 

   

 



Vậy SC AH SC AHK SC AK

 

 

 



 

   

A AHK

AI SC AI AHK SC AHK

  

  



 



c) SA ABCD SA AB SA AD

 

  





Hai tam giác vng SAB SAD ( có SA chung AB AD ) suy SH SK

SB SD,SH SK HK BD

SB SD

    

Mặt khác BDACHKAC

O A

B C

D S

K

H

Vậy HK SC HK SAC HK AC

 

 

 



 

 

AI SAC

HK AI HK SAC

 

  

 



Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng ABC Chứng minh:

a) BCOAH

b) H trực tâm ΔABC c) 2 12 12 12

OH OA OB OC Lời giải

a) Ta có OA OB OA OBC OA BC 1  OA OC

 

   

 



Lại có  

   

OH ABC

OH BC BC ABC

 

  

  

Từ  1  2 suy BCOAH b) Do OHABCOHAC  3

   

OB OA

OB OAC OB AC OB OC

 

   

 

 Từ  3  4 suy

   

AC OBH ACBH

Lại có BCOAHAHBC  6 Từ    5 , suy H trực tâm tam giác ABC c) Gọi I AH BC,  

 

OI OAH

BC OI BC OAH

 

  

 



Ta giác OAI vuông O có đường cao OH nên ta có 2 12 12  * OH OA OI Tương tự cho tam giác OBC ta có 12 12 12

OI OB OC thay vào (*) thư 2 2

1 1

OH OA OB OC

A

O C

B

Ví dụ Cho đường trịn  C đường kính AB mặt phẳng  α , đường thẳng d vng góc với

 α A ; d lấy điểm S A  C lấy điểm M ( M khác A,B ) a) Chứng minh MBSAM

b) Dựng AH vng góc với SB H ; AK vng góc với SM K Chứng minh

   

AK SBM ,SB AHM

c) Gọi I giao điểm HK MB Chứng minh AI tiếp tuyến đường tròn  C Lời giải

a) Ta có  

   

SA α

SA MB MB α

 

  

  

Lại có MBMA  2 ( t/c góc chắn nửa đường trịn) Từ    1 , suy MBSAM

b) Ta có AKSM,

   

MB SAM ,AK SAM MBAK Suy AKSBM

Tương tự  

 

AK SBM

AK SB SB SBM

 

  

 

 ,

lại có AHSB suy SBAHK

c) Ta có  

   

AI AHK

AI SB SB AHK

 

  

  

 

   

AI α

AI SA SA α

 

  

 

 Từ    3 , suy AISABAIAB hay AI tiếp tuyến đường trịn  C

Ví dụ Cho tam giác ABC cân đỉnh A có góc A 120 0, cạnh BC a 3 Lấy điểm SABC cho SA a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Chứng minh AOSBC

Lời giải

Để giải toán này, trước tiên chứng minh kết sau: I

A B

S

Trong không gian tập hợp điểm cách ba đỉnh tam giác đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp vng góc với mặt phẳng chứa tam giác ( đường thẳng gọi trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đó).

Chứng minh: Gọi M điểm cách ba đỉnh tam giác ABC O hình chiếu M ABC 

Các tam giác vng MOA,MOB,MOC có MO chung

Vậy MA MB MC  OA OB OC  O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vậy tập hợp điểm M cách ba đỉnh tam giác đường thẳng vng góc với mạt phẳng ABC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Quay lại toán

Gọi M trung điểm BC , ta có ΔABC cân AAMBC

0

a

BM 2

AB a

sin 60

   Mặt khác AC a

suy AS AB AC a   , điểm A cách ba đỉnh S,B,C ΔSBC, gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp ΔSBC AO trục đường tròn ngoại tiếp ΔSBC suy AOSBC

Bài toán 02: THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ VNG GĨC VỚI MỘT ĐƢỜNG THẲNG Phƣơng pháp:

Để xác định thiết diện mặt phẳng  α qua điểm O vng góc với đường thẳng d với hình chóp ta thực theo hai cách sau:

Cách 1. Tìm tất đường thẳng vng góc với d ,  α song song chứa đường thẳng ta chuyển dạng thiết diện song song biết ( dạng 2, §2 chương II)

Cách 2. Ta dựng mặt phẳng  α sau:

O

M S

A

B

C

Δ

O M

A

B

C

a b

d

α I

Dựng hai đường thẳng a,b cắt vng góc với d có đường thẳng qua O ,  α mặt phẳng mp a,b  

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A,B với

AB BC a,AD 2a   ; SAABCD SA 2a Gọi M điểm cạnh AB ,  α mặt phẳng qua M vng góc với AB Đặt AM x x a    

a) Xác định thiết diện hình chóp cắt  α b) Tính diện tích thiết diện theo a x

Lời giải

a) Ta có

 

   

B α

BC AB BC α α AB          Tương tự       A α

SA AB SA α α AB          Do           M ABCD

BC ABCD α ABCD MQ BC,Q CD BC α            Tương tự            

M SAB α

SA SAB α SAB MN SA,N SB SA α                        

N SBC α

BC SBC α SBC NP BC,P SC BC α            

Thiết diện tứ giác MNPQ b) Ta có MQ BC MQ NP

NP BC 

 

 nên tứ giác MNPQ hình thang

Mặt khác

MQ AB

MN SA MQ MN SA AB        

suy thiết diện hình thang vng M N

 

MNPQ

1

S MQ NP MN

Gọi I trung điểm AD K CI MQ

Do MN SA nên MN BM MN BM.SA 2a a x   2 a x

SA BA BA a



     

NP SN AM BC.AM a.x

NP x

BC SB  AB   AB  a  Xét hình thang ABCD ta có :

 

a a x KQ CK AM ID.BM

KC a x

ID CI AB BA a



      

 

MQ MK KQ a    a x 2a x

     

MNPQ

1

S 2a x x a x 2a a x

     

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SAABC SA 2a Gọi  α mặt phẳng qua B vng góc với SC

a) Xác định thiết diện hình chóp S.ABC cắt  α b) Tính diện tích thiết diện

Lời giải

a) Gọi I trung điểm AC , dựng IHSC,H SC Ta có BI AC BI SAC

BI SA  

 

 

 Mặt khác IHSC nên BIHSC Vậy

BIH mặt phẳng  α qua B vng góc với SC Thiết diện tam giác IBH

b) Do BISACIBIH nên ΔIBH vuông I a

BI

 ( đường cao tam giác cạnh a )

Hai tam giác CHI CAS có góc C chung nên chúng đồng dạng Từ suy

2 2

a 2a

IH CI CI.SA CI.SA 2 5

IH

SACS  CS  SA AC  4a a  Vậy

2 BIH

1 a a a 15

S

2 20

 

I S

A

B

Bài toán 03: TÍNH GĨC GỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phƣơng pháp:

Để xác định góc đường thẳng a mặt phẳng  α ta thực theo bước sau:

- Tìm giao điểm O a  α

- Dựng hình chiếu A' điểm A a xuống  α - Góc AOA'φ góc đường thẳng a  α Lƣu ý:

- Để dựng hình chiếu A' điểm A  α ta chọn đường thẳng b α AA' b - Để tính góc φ ta sử dung hệ thức lượng tam giác vng ΔOAA' Ngồi khơng xác

định góc φ ta tính góc đường thẳng a mặt phẳng  α theo công thức u.n

sin φ u n

 u VTCP a cịn n vec tơ có giá vng góc với  α

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SAABCD SA a 6 Tính a) Góc đường thẳng SB với mặt phẳng SAC

b) Góc AC với mặt phẳng SBC Lời giải

a) Ta có BO AC BO SAC BO SA

 

 

 

 suy SO hình chiếu SB

SAC

Vậy SB, SAC = BSO = φ

2

a

BO OB 2 14

sin φ

SB AB AS a 14

   



1 φ arcsin

14

 

b) Trong SAB gọi H hình chiếu A SB

a

a'

φ

α O

A

A'

O A

B C

D S

Vì BC AB BC SAB BC AH BC SA

 

   

 



Từ ta có AH SB AH SBC AH BC

 

 

 

 , hay CH hình chiếu CA SBC Vậy

 

AC, SBC =ACH α =

2 2 2

1 1 1

AH a AH AS AB 6a a 6a  

6 a

AH 21 21

sinα α arcsin

AC a 7

    

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , O tâm đáy , SOABCD; M,Nlần lượt trung điểm SA,CD Biết góc MN với ABCD  600 Tính góc MN SBD 

Lời giải

Cách 1. Kẻ MH SO,H OA Do MH SO  MH ABCD

SO ABCD

  

 

 suy NH hình chiếu MN ABCD MNH góc đường thẳng MN với ABCD

Ta có

2 2

2

2

2

HB OH OB

a a a a

4

5a

 

   

     

   



a NH

2

  Xet ΔMHN có 0 a HN 2 2 a MN

1

cos60

2

   , a 15

MH NHtan60

2

 

Gọi I trung diểm OB , J trung điểm SO MJ INvà MJ IN Gọi

K IJ MN JK IJ

    MJSBDMKJ góc MN SBD 

Ta có

2

2 2 2 15a a 2

IJ JO OI MH OI 2a

8

 

       

 

K

I J

H

N M

O D

A B

IJ a

  IK a

2



Đặt

a MJ 4 MKJ φ tan φ

JK a 2 2

    

Vậy góc MN SBD  φ arctan1



Cách 2.Ta có MN 1SC AB 1 SO OC AO OB 1 SO AC OB

2 2

        

Suy  

2 2 2 5a

MN SO AC OB SO

4

 

      

 

2

1 5a

MN SO

2

  

Ta có φ góc MN SBD nên  sin φ MN.n MN n

 ( n vec tơ có giá vng góc với SBD ).

Do AC SO AC SBD AC BD

 

 

 

 nên chọn n AC , từ ta có

 

 

2

2 2

2

1 1

SO AC OB AC AC

2 2 2a

sin φ *

1 5a 5a 2SO 5a

SO a SO a

2 2

 

  



 

Do góc đường thẳng MN ABCD

60 nên

 

2

2 2

2

1 SO MN.SO

3 2

8SO 2SO 5a

2 MN SO 1 5a

SO SO

2

     



2

2SO 15a

  Thay vào  * suy sin φ φ arcsin

5

  

Vậy góc MN SBD φ arcsin



Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , tâm O SOABCD.Mặt phẳng

 α qua A vng góc với SC cắt hình chóp theo thiết diện có diện tích td

1

S a

2

 Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD 

Giả sử  α cắt cạnh SB,SC,SD điểm H,J,K Do

 

BD SO

BD SAC BD SC BD AC

 

   

 

 mà  α SC α BD

Vậy

 

 

     

BD SBD

BD α KH BD HK SAC HK AJ

SBD α HK

 

     



  



do SAHJK 1HK.AI



Do SOABCDOC hình chiếu SC ABCD suy SC, ABCD SCO φ Ta có AJ ACsinφ a sinφ  ; SO OCtan φ a 2tan φ

2

 

ΔSOC ΔSJI SIJ SCO φ  AIO SIJ φ  Từ ta có OI OAcot φ a 2cot φ

2

 

2

a cot φ

HK SI OI 2

1 1 cot φ

BC SO SO a 2 tan φ

      

   

KH BD cot φ a cot φ

    

Vậy    

AHJK

1

S HK.AI a sin φ.a cot φ 2a sin φ cot φ

    

Từ giả thiết suy 2a sin φ cot φ2   1a2

 

4sin φ sinφ

   

1 33 sin φ

8 

 ( φ π

  nên sinφ 0 ) 33

φ arcsin 

 

Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD φ arcsin1 33 



Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy ABCD hình vng Tìm góc lớn 1 1 1 1 đường thẳng BD mặt phẳng 1 BDC 1

Lời giải Cách

α

I

O A

D C

B S

K

Gọi I AC BD,O trung điểm BD 1 OCAA C1 1

Do  1 1

1

BD AC

BD CAA C BD CC

 

  

 

 , hạ OHIC ,H IC1 

 1

OH BDC , góc đường thẳng BD mặt phẳng BDC 1

góc OBH α Đặt AB AD a,AA  1bthì

2 2 2

1

2

BD AB AB DD 2a b 2a b OB         Dễ thấy 2

2 2 2

1 OH

HO sin α

OB

2 a b

2

a b b a

            Do 2 2

a b 1

2 sinα α arcsin

3

b a      ( Do

π α

2

  )

Vậy maxα arcsin1

 a b

Cách 2. CB x,CD y,CC  1  z x y a, zb

1

BD    x y z, 2 2

1

BD  x y z  2a b

Gọi H hình chiếu C C I1 CHC I1 CHBDCHBDC1

Ta có

2 2

1 1

2 2

1

C H C H.C I CC b 2b IH IH.IC CI a 2 a

2             nên 2 2 1

2 2 2

2

2b

1 a a b

CH CC CI CC 2CI

2b 2b a 2b a 2b

1

a a

   

 

 

2 2 2

1

2 2 2 2 2

a b b b a

CC CI x y z

a 2b a 2b a 2b a 2b a 2b

     

4 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

b b a ab

CH x y x

a 2b

a 2b a 2b a 2b

   



  

Vậy

  2

2 2 2

1

2

2

b b a

x y z x y z

CH.BD a 2b a 2b a 2b

sin α

ab

CH BD 2a b

 2 2 ab

a 2b 2a b 

 

Theo BĐT AGM ta có

 2 2 4 4

ab ab

3 a 2b 2a b a b b a

 

 

Vậy sinα α arcsin1 maxα arcsin1

3 3

     a b

Bài tốn 04: TÌM TẬP HỢP HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM TRÊN MỘT ĐƢỜNG THẲNG HAY MỘT MẶT PHẲNG DI ĐỘNG

Phƣơng pháp:

Để giải toán dạng trước tiên ta cần nắm lời giải hai tốn gốc sau:

Bài Tốn 1: Trong khơng gian cho α hai điểm cố định A O với A α ,O α , d đường thẳng di động  α qua O Gọi H hình chiếu A đường thẳng d Tìm tập hợp điểm H d di động

Lời giải

Dựng AH α suy H cố định Ta có d AH d AMH

d AM  

   

 d HM

 

Trong mặt phẳng  α điểm M nhìn đoạn OH cố định

một góc vng suy M thuộc đường trịn đường kính OH  α Bài Tốn 2: Trong khơng gian cho đường thẳng d điểm A cố định

 α mặt phẳng di động ln chứa d Tìm tập hợp hình chiếu vng góc A  α

 α di động Lời giải

Gọi  β mặt phẳng qua A vng góc với d a   α  β Trong

 β gọi H hình chiếu A a

 

E d  β Ta có A,E cố định mặt phẳng  β điểm H nhì đoạn AE

góc vng nên H thuộc đường trịn đường kính AE

d

α

A

H

M O

d β

α H E

A

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất mặt hình vng với O tâm hình hộp 1 1

và M điểm chuyển động đoạn AB Gọi H hình chiếu C xuống đường thẳng OM Tìm quỹ tích điểm H

Lời giải Phần thuận

Gọi I C B BC1,  1

AB BC

AB BCC B AB CI AB BB

 

    

 



mà CIBC1CIABC D1 1CIOH, mặt khác OHCHnên

 

OH CHI OHIH Điểm H nhì đoạn thẳng OI cố định góc vng đồng thời H OM ABC D1 1 cố định nên H thuộc đường trịn đường kính OI ABC D 1 1

Giới hạn

Khi M A H H 1 H1 hình chiếu C AC1 Khi M B H H 2 H2 hình chiếu C D B1 Vậy H chạy cung H H1 2

Phần đảo.

Giả sử H' điểm cung H H , ta chứng minh tồn điểm M' đoạn AB cho

H' hình chiếu C OM'

Gọi M' OH' AB  Dễ thấy ICABC1ICOM' Vậy OM' IC OM' ICH' CH' OM'

OM' IH'

 

   

 

 , hay H' hình chiếu C OM' Kết luận : Tập hợp điểm H cung H H 1 2

Ví dụ Trong mặt phẳng  α , cho điểm O cố định , đường thẳng d cố định không qua O, góc vng xOy quay xung quanh điểm O Các tia Ox,Oy cắt d theo thứ tự A,B Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng  α qua O , lấy điểm S cố định Dựng

OESA,OFSB Tìm quỹ tích điểm E F vng xOy quay xung quanh điểm O Lời giải

I O

C B

D

A1

D1 C1

B1

A M

Dựng OHSABthì H cố dịnh Do OHSABOHSE, mặt khác OESE SEOEHSEEH Điểm E nhìn đoạn

SH cố định mặt phẳng mp S,d nên E thuộc đường trịn  đường kính SH mặt phẳng mp S,d  

Tương tự F thuộc đường tròn đường kính SH mặt phẳng

 

mp S,d

Phần đảo.( bạn đọc tự giải)

Vậy tập hợp điểm E F đường trịn đường kính SH mặt phẳng mp S,d bỏ hai điểm S H

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SAABC, tam giác ABC vuông B Gọi M điểm cạnh SA Tìm tập hợp hình chiếu vng góc S MBC M di động đoạn SA Lời giải

Phần thuận

Ta có BC SA BC SAB BC AB

 

 

 



Dựng SHMB,H MB , ta có

 

   

SH SAB

SH BC SH MBC BC SAB

 

    

 

 Vậy H hình chiếu S mặt phẳng MBC

Trong mặt phẳng SAB điểm H nhì đoạn SB góc vng nên H thuộc đường trịn

 C đường kính SB nằm SAB Gới hạn.

Khi M S  H S Khi M A  H A

Vậy M di động đoạn SA H di động cung nhỏ SA đường tròn  C Phần đảo

Gọi H' điểm cung nhỏ SA đường tròn  C , gọi M' BH' SA  Ta có

 

SH' BM'

SH' M' BC SH' BC

 

 

 

 hay H' hình chiếu S MBC  Kết luận : Tập hợp điểm H cung nhỏ SA đường tròn  C

x

y

d F E

O S

H

A

B

S

A

B

C M

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Câu 26. Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vng B SAABC a) Khẳng định sau Chứng minh BCSAB

A. BCSAB B. BCSAC C.AD BC, 450 D. AD BC, 800

b) Gọi AH đường cao tam giác SAB , khẳng định sau Chứng minh AHSC

A. AHAD B. AHSC C. AHSAC D. AHAC

Bài làm: 26. a) Ta có SAABC nên SABC Do BC SA BC SAB

BC AB

 

 



  Chọn A

b) Ta có BCSABBCAH

Vậy AH BC AH SC AH SB

 

 



  Chọn B

Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA SC,SB SD  a)Khẳng định sau là sai?

A. SOABCD B.SOAC

C. SOBD D.Cả A, B, C sai b) Khẳng định sau là sai?

A. ACSBD B. ACSO C. ACSB D.Cả A, B, C sai Bài làm: 27 a) Ta có O trung điểm AC

SA SC SOAC Tương tự SOBD

Vậy SO AC SO ABCD SO BD

 

 



  Chọn D

b) Ta có ACBD ( ABCD hình thoi) Lại có ACSO( SOABCD)

Suy ACSBDACSD.Chọn D

A

B

C D

H

O A

B

Câu 28. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc Kẻ OHABC a) Khẳng định nhất? H trực tâm ΔABC

A. H trực tâm ΔABC B. H tâm đường tròn nội tiếp ΔABC C. H trọng tâm ΔABC D. H tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC b) ΔABC tam giác gì?

A. ΔABC tam giác nhọn B. ΔABC tam giác tù C. ΔABC tam giác vuông D. ΔABC tam giác cân

c) Khẳng định sau nhất? 2 2 ΔABC ΔOAB ΔOBC ΔOCA

S S S S

A. 2 2

ΔABC ΔOAB ΔOBC ΔOCA

1 1

S S S S

2 2

   B. 2 2

ΔABC ΔOAB ΔOBC ΔOCA

1

S S S S

2   

C. 2 2

ΔABC ΔOAB ΔOBC ΔOCA

1

S S S S

3    D.

2 2

ΔABC ΔOAB ΔOBC ΔOCA

S S S S

d) Tìm tập hợp điểm M không gian cho 2 2

MA MB MC 3MO

A. M thuộc mặt phẳng qua I vng góc với OG, I điểm cách điểm

O,A,B,C G trọng tâm tam giác ABC

B. M thuộc mặt phẳng qua I song song với OG ,trong I điểm cách điểm

O,A,B,C G trọng tâm tam giác ABC

C. M thuộc mặt phẳng qua O vng góc với OG, G trọng tâm tam giác ABC

D. M thuộc mặt phẳng qua O song song với OG, đóG trọng tâm tam giác

ABC

Bài làm: 28

a) Ta có OA OB OA OBC OA BC OA OC

 

   



 

Lại có OHABCOHBC

Vậy BC OA BC OAH BC OH

 

 



 

 

BC AH

 

A

O

B

C I

Tương tự AC OB AC OBH AC OH

 

 



  BHAC 2 

Từ    1 , suy H trực tâm tam giác ABC b) Đặt OA a,OB b,OC c  

Ta có 2 2

BC OB OC  b c

Tương tự 2 2

AC a c ,AB a b

Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có

   

 

2 2 2

2 2

2 2

a b (a c ) b c AB AC BC

cos A

2AB.AC 2 a b (a b )

    

 

 

 

 

2

2 2

a

0 a b (a b )

 

  suy A nhọn

Tương tự góc B,C nhọn

c) Ta có 2  2 2 ABC

1

S AI BC OI OA OB OC

4

   

2 2 2

1 1

OI BC OA OB OA OC

4 4

   2

ΔOAB ΔOBC ΔOCA

S S S

  

d) Gọi I điểm cách điểm O,A,B,C G trọng tâm tam giác ABCthì ta có :

2 2

MA MB MC 3MO

  2  2 2

2

MI IA MI IB MI IC 3(MI IO)

       

IA IB IC IM 3IO.MI

    3IG.MI 3IO.IM OGMI 0 MIOG ( IA IB IC 3IG   ) Vậy M thuộc mặt phẳng qua I vng góc với OG

Câu 29. Cho hai hình chữ nhật ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng khác cho hai đường thẳng AC BF vng góc với Gọi CH FK đường cao hai tam giác

BCE ADF Chứng minh :

a) Khẳng định sau tam giác ΔACH BFK ?

A. ΔACH BFK tam giác vuông B. ΔACH BFK tam giác tù C. ΔACH BFK tam giác nhọn D. ΔACH BFK tam giác cân

b) Khẳng định sau sai?

A. BFAH B.BF AH, 450

Bài làm: 29

a) Ta có AB BC AB BCE AB BE

 

 



 

AB CH

 

Vậy CH AB CH ABEF CH BE

 

 

 

 CH AH

  ,hay ΔACH vuông H Tương tự FK AD FK ABCD

FK AB

 

 



 

ΔBFK

 vuông K

b) Ta có CHABEFCHBF, mặt khác ACBFBFACHBFAH Tương tự AC KF AC BKF AC BK

AC BF

 

   



 

Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAABCD SA a Gọi I,K trung điểm cạnh AB SC Tính IK

A. IK a 2

 B. IK a

2  C. IK a

3

 D. IK 3a

2 

Bài làm: 30 Ta có

2

2 a a

IS AI AS a

2

 

      

  Tương

tự ID IC a

  suy

IS ID IC  nên I thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

SCD

Mặt khác CD AD CD SAD CD SA

 

 

 



CD SD ΔSCD

   vuông D, lại có K trung điểm

SC nên K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD, KISCD

Ta có 2 2 2 1 2

IK ID DK ID SC ID SA AC

4

      

E C

A

B D

F

H K

K

I A

D C

 

2

2

5a a a

a 2a IK

4 4    

Câu 31. Cho tứ diện ABCD có DA,DB,DC đơi vng góc Gọi α,β,γ góc đường thẳng DA,DB,DC với mặt phẳng ABC 

Tìm Giá trị nhỏ    

M cot α cot β cot γ  

A.64 B.8 C.1 D. 64

Bài làm: 31 Gọi H hình chiếu D ABC

Khi H trực tâm tam giác ABC Và DA, ABC DA,AHDAH α

Đặt DA a,DB b,DC c  

Gọi I AH BCthì DI đường cao tam giác DBC nên 2

DB.DC bc DI

BC b c

 



 

2 2

2

a b c DA

cot α

DI b c 

   

2 2 2

2

2

a b c 2a 4a

2 cot α 2

bc

b c bc



       Vậ

y 4a  

2 cot α bc

 

Tương tự 4b  

2 cot β ac

  4c  

2 cot γ ab

 

Nhân theo vế BĐT      1 , , ta    

2 cot α cot β cot γ   64 ( đpcm)

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, Gọi H trung điểm AB

 

SH ABCD Gọi K trung điểm cạnh AD a) Khẳng định sau sai?

A. ACSH B. ACKH C. ACSHK D.Cả A, B, C sai

b) Khẳng định sau sai?

A. CKSD B. DHCK

C.

DKC ADH 90  D.Cả A, B, C sai Bài làm: 32

A

D C

a) Ta có SHABCDSHAC

lại có HK BD AC HK AC BD



 

 



 

AC SHK

 

b) Dễ thấy ΔAHD ΔDKC AHD DKC

mà

AHD ADH 90 

0

DKC ADH 90

   hay DHCK, mặt khác ta có

 

SHCKCK SDH CKSD

Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có SAABC Gọi H,K trực tâm tam giác ABC SBC Khẳng định sau

a) AH,SK BC đồng qui

A.AH BC chéo B.AH SK chéo

C. AH,SK BC đồng qui D. AH,SK BC không đồng qui

b) Khẳng định sau sai?

A. SBCHK B. SBHK C. CHSAB D.Cả A, B, C sai c) HKSBC.Khẳng định sau sai?

A. HKSBC B. BC SAI C. BCHK D.Cả A, B, C sai Bài làm: 33

a) Gọi I AH BC, để chứng minh AH,SK BC đồng qui Ta cần chứng minh SI đường cao tam giác SBC, điều BCSA BCAI

b) Ta có SBCK

thêm ta có CH AB CH SAB CH SB CH SA

 

   

 



Vậy SBCHK

b) Theo chứng minh ta có

J K

H A

D

C

B S

S

A

B

C

I H

 

SB CHK SBHK BC SAI BCHK HKSBC

Câu 34. Trong mặt phẳng  α cho đường tròn đường kính cố định BC M điểm di động đường trịn Trên đường thẳng d vng góc với  α B lấy điểm A

a) Khẳng định sau đúng?

A.các mặt tứ diện ABMC tam giác vuông B.các mặt tứ diện ABMC tam giác vuông cân C.tam giác ACM vuông A

D.tam giác ACM vuông cân M

b) Gọi H,K hình chiếu B AM AC Khẳng định sau sai? A. ACBHK B. BHAC C.A, B D.A, B sai

c) Tìm tập hợp điểm H M di động

A. H thuộc đường trịn đường kính BK B. H thuộc đường trịn đường kính AC C. H thuộc đường trịn đường kính BM D. H thuộc đường trịn đường kính AB

d) Tìm vị trí M để đoạn AM lớn

A. M C B. M B

C. M H D. M K

e) Tìm vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn

A. M giao điểm đường trịn đường kính BC với đường trịn tâm B bán kính 2

BA.BC

2BA BC

B. M giao điểm đường trịn đường kính BC với đường trịn tâm B bán kính

2

1 BA.BC 2BA BC

C. M giao điểm đường trịn đường kính BC với đường trịn tâm B bán kính 2

BA.BC

D. M giao điểm đường trịn đường kính BC với đường trịn tâm B bán kính 2

BA.BC 2BA BC

Bài làm: 34

a) Ta có AB  α AB BM AB BC

 

  



 suy tam giác ABM ABC vng B

Tiếp theo ta có MC MB MC ABM MC AB

 

 

 

 MC AM

  hay tam giác ACM vuông M b) Ta có BH AM BH ACM

BH MC

 

 

 

 BH AC

 

Vậy AC BH AC BHK AC BK

 

 



 

c) Dễ thấy BK cố định

BHK 90 nên điểm H thuộc đường trịn đường kính BK.Từ ta có tập hợp điểm M đường trịn đường kính BK

d) 2

MA AB BM mà AB không đỏi nên AM lớn MB lớn BM BC M C e) Ta có

2 2

BHK

1 BH HK BK

S BH.HK

2 4



   không đổi nên

2 BHK

BK

maxS BH HK

4

   , lúc ΔHBK vuông cân H nên BH BK



Ta có 12 12 2; 12 12 12 BH BA BM BK AB BC

nên 12 12 12 12 2 12 22

BA BC BM BA BM BA BC

      

 

 

2

BA.BC MB

2BA BC

 



Vậy

2 BHK

BK maxS

4

 

2

BA.BC MB

2BA BC

 

  M giao điểm đường trịn đường kính BC với đường trịn tâm B bán kính

2

BA.BC 2BA BC

A

B

M

C K

Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác SC a 2 Gọi H,K trung điểm cạnh AB AD

a) Khẳng định sau sai?

A. SHABCD B. SHHC C.A, B D.A, B sai b) Khẳng định sau sai?

A. CKHD B. CKSD

C. ACSK D.Cả A, B, C sai Bài làm: 35

a) Vì H trung điểm AB tam giác SAB nên

SHAB

Lại có SH a 3,SC a ,

  HC = DH2 DC2 a

2

 

Do

2

2 3a 5a 2

HC HS 2a SC

4

    

ΔHSC

 vuông HSHHC

Vậy SH HC SH ABCD SH AB

 

 

 



b) Ta có ACHKvà ACSHACSHK AC SK

 

Tương tự CKHD ( 32) CKSHCKSDHCKSD.

Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a,BC a 3  , mặt bên SBC tam giác vuông B , mặt bên SCD vuông D SD a 5

a) Tính SA

A. SA a B. SA 2a C. SA 3a D. SA 4a

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB,CD I,J Gọi H hình chiếu A SC Gọi K,L giao điểm K,L SB,SD với  HIJ

Khẳng định sau nhất?

A. AKSBC , B. ALSCD C. AKSC D.Cả A, B, C Bài làm: 36

K

H

D

B C

a) ΔSBC vuông BBCSB mà BCADBCSAB BC SA

 

Tương tự ta có SACD nên SAABCD Ta có

2

2

SC DS DC a SB SC BC a

  

   

2

SA SB AB a

   

Vậy SA a

b) Do IJ AC IJ SAC IJ SC IJ SA

 

   

  

Lại có AHSC HIJ SCAKSC  1

Dế thấy BCSABBCAK  2

Từ    1 , suy AKSBC Lập luận tương tự ta có ALSCD

Câu 37 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB a,SA a 3 

 

SA ABC Gọi M điểm cạnh AB AM x x a    , mặt phẳng  α qua M vng góc với AB

Giả sử thiết diện hình chóp S.ABC với  α tứ giác MNPQ

a) Hỏi tứ giác MNPQ hình

A.Hình chữ nhật B.hình vng C.hình thang D.hình bình hành b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn

A. x a

 B. x a

2

 C. x 3a

2

 D. x a

Bài làm:37 Ta có  α AB SA  α SA AB

 

 

  

Do

   

 

     

M SAB α

SA SAB α SAB MN SA

SA α

  

    

  

Tương tự  α AB BC  α BC AB

 

 

  

L K

I

J

D

B C

A S

   

 

 

   

M α ABC BC ABC BC α

α ABC MQ BC,Q AC

                       

N SBC α

BC SBC α SBC NP BC,P SC BC α            

Thiết diện tứ giác MNPQ

b) Ta có MN SA,PQ SAMN PQ

MQ BC,NP BCMQ NP nên MNPQ hình bình hành

Mặt khác

MN SA

NP BC MN NP SA BC        

Vậy MNPQ hình chữ nhật

b) Ta có MQ AM x  , MN MB MN MB.SA a x a 3 a x 

SA AB AB a



     

  2

MNPQ

a a a

S MN.MQ a x x 3[ x ]

4

            MNPQ a maxS

 x a

2 

Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAABCD SA a 2 Giả sử tồn tiết diện hình chóp với mặt phẳng  α qua A vng góc với SC Tính diện tích thiết diện A. a S  B. a S  C. a S  D. 4a S  Bài làm: 38 Gọi K hình chiếu A SC

 

K α Trong SAC gọi I SO AK Ta có BD SA BD SAC

BD AC        BD SC

  , mặt khác  α SC nên BD  α

Vậy

   

 

 

  α SBD HL BD,H SD,L SB

    

Thiết diện tứ giác AHKL

b) Do AHKL

HL BD

HL AK S AH.KL

BD AK



   

 



Ta có SA AC a 2  ΔSAC cân A, mà AKSC nên K trung điểm

SC AK SC 2a a 2

   

HL SH SI 2 2a

HL BD HL BD

BD SD SO 3

      

Vậy

2 AHKL

1 2a a

S a

2 3

 

Câu 39. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , đường cao SO 2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA' tam giác ABC Xét mặt phẳng  α qua M vng góc với AA' Đặt

AM x Giả sử tồn thiết diện hình chóp cắt  α

Giả sử tính diện tích thiết diện theo a x Xác định vị trí M để diện tích thiết diện lớn A. x a

8

 B. x 3a

2

 C. x 3a

8

 D. x 3a

8  Bài làm: 39 Vì S.ABC hình chóp nên

 

SO ABC ( O tâm tam giác ABC).Do SOAA1

mà  α AA1SO  α Tương tự ta có BC  α

Trường hợp 1 x 0 thiết diện điểm A

Trường hợp 2 x a 3

  M thuộc đoạn AO M A   Ta có :

   

 

     

M ABC α

BC ABC α ABC IJ BC,I AB,J AC BC α

  

      

  

Tương tự

   

 

     

1

1

M α SAA

SO SAA α SAA MK SO,K SA SO α

  

     

  

K

J I

A1

S

A

C

Thiết diện tam giác KIJ

Trường hợp 3. a x a

3   M thuộc đoạn

 

OA M 0;M A 

Tương tự trường hợp ta có:

   

 

 

M ABC α BC ABC BC α        

  α ABC IJ BC, I AB,J AC

             1

M α SAA SO SAA SO α        

  α SAA1 MN SO,N SA1

   

   

 

     

N α SBC

BC SBC α SBC EF IJ,N EF BC α            

Thiết diện tứ giác IJEF

Trường hợp 4. x a

 thiết diện đoạn BC b) Xét trường hợp:

td

x 0 S 0, x a

 Std0 a

0 x

  , IJK

1 S IJ.MK  Ta có

IJ AM x 2x

IJ BC IJ

BC AA a 3

2

    

Tương tự MK AM x MK 2x SO AO a

3

   

Vậy

IJK

1 2x

S 2x 2x

2

 

a a x

3   , dễ thây IJEF hình thang nên IJEF  

1

2x IJ

3

 ,  

1

a x

EF SN OM 3

EF x a BC SA OA a

6 

     

 

1

a x MA

MN 2

MN 3a 2x SO OA a 3

6 

    

Vậy IJEF   

2

S 4x 3a 3a 2x 3

  

Xét trường hợp ta thấy Std lớn trường hợp

a a x

3  

2 IJEF

3a maxS

4



3a x

8



Câu 40. Cho tam giác ABC C có cạnh huyền nằm mặt phẳng  P cạnh góc vng tạo với  P góc α,β Giả sử  độ lớn góc đường cao CK với  P Khẳng định sau nhất?

A. 2

sin  2sin α 2sin β B. 2

sin  sin α sin β C. sin sin α sin β2

3

   D. sin 2 sin α sin β2  Bài làm: 40 Kẻ CH P CKH góc CK  P dễ thấy

 

CA, P CAH α, CB, P   CBH β

Đặt CH h , ta có CA h ,CB h sinα sinβ

 

2

2 2

2

h h

AB CA CB

sin α sin β

   

2

2

1

h

sin α sin β

 

   

 

Xét tam giác ABC có CK.AB CA.CB

P

C

H A

2

2 2

h h sin α sinβ CA.CB

CK

AB 1 sin α sin β h sin α sin β

  

  

 

 

2

h sin α sin β 



Ta có CH 2

sinCKH sin α sin β CK

  

Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O

 

SO ABCD , đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng ABCD  SBC góc Gọi H hình chiếu A SBC

a)Tính SA HB a  A.

2

a

B

a

C

a

D

a

b) Tính góc đường thẳng SA với ABCD A. φ arctan

5

 B. φ arctan

7 

C. φ arctan

 D. φ arctan

2 

Bài làm: 41

a) Dễ thấy SA, ABCD SAO φ nên SO SAcosφ 1   Gọi I trung điểm BC ta có OI BC BC  SIO

SO BC

 

 

 



Kẻ OKSI OKBC nên OKSBC Kẻ At OK cắt CK H, ta có

   

AH CK

AH SBC CK SBC

  

 

 nên SA, SBC SAH φ

 

AH SAcosφ 2

H

I O

D

A B

C S

Từ    1 , ta có AH SO Khi BH a

2

 tam giác vng HAB có

2 2 a a

AH AB HB a

2

 

     

 

2

2

a a a a

SO AH SA SO OA

2 2

   

           

   

b)

a

SO 2 3

tan φ φ arctan

OA a 2

2

    

Câu 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SAABCD, SC a Góc đường thẳng SC với mặt phẳng ABCD  SAB  α β

a) Tính SA

A. SA asinα B. SAacosα

C. SA a tanα D. SA 2asinα

b) Tính AB

A.1a cos α β cos α β   

2   B.2a cos α β cos α β      C.3a cos α β cos α β      D.a cos α β cos α β      Bài làm: 42

a) Do SAABCDSA, ABCD  SAC α

 

Tương tự BC AB BC SAB BC SA

 

 

 



 

SC, SAB  SBC β

  

SA SCsinα asinα 

b) SB SCsinβ asinβ 

2 2 2

AB SB SA  a sin β a sin α

   

1 cos 2β cos 2α a

2

a cos α β cos α β

 

 

  

β

α A

D C

Câu 43 Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc Gọi H trực tâm tứ diện Gọi A,B,C ba góc tương ứng tam giác ABC

Đặt α AOH,β BOH,γ COH   Khẳng định sau nhất? A.

2

2 sin β

sin γ sin α

sin A  sin B  sin C B.

2

2 sin 2β

sin 2γ sin 2α

sin 2A  sin 2B  sin 2C C.

2

2

sin 2β sin 2γ sin 2α

sin A  sin B  sin C D.

2

2

sin β sin γ sin α

sin 2Asin 2Bsin 2C Bài làm: 43 ( HS tự giải)

Câu 44. Cho tứ diện ABCD có

BDC 90 Hình chiếu H D mặt phẳng ABC trực tâm tam giác ABC

a) Tính CDA

A.

CDA 60 B.

CDA 90 C.

CDA 45 D.

CDA 30

b)Khẳng định sau

A.  2 2  2

6 DA DB DC  AB BC CA  B.  2 2  2

6 DA DB DC 5 AB BC CA 

C.  2 2  2

3 DA DB DC  AB BC CA  D.  2 2  2

2 DA DB DC 3 AB BC CA 

Bài làm:44

a) Vì BC DH BC ADH BC AH

 

 

 



 

BC DA

 

Tương tự ta có BDHACDBAC,

 

DB DC

DB ACD DB AC

 

 

 



 

DB DA

 

Từ    1 , suy DABCDDADC

CDA 90

b) Từ câu a) ta thấy tứ diện ABCD có cạnh DA,DB,DC đơi vng góc

H D

B

A

C

Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có

 2  2 2 2

AB BC CA  3 AB BC CA

Mà

2 2

2 2

2 2

AB DA DB BC DB DC CA DA DC

  



 



  



nên  2  2 2

AB BC CA  6 DA DB DC

Đẳng thức xảy AB BC CA  ΔABC đều, kết hợp với chân đường cao D trùng với tâm đáy ta D.ABClà hình chóp đỉnh D

Câu 45 Cho tứ diện OABC có cạnh OA,OB,OC đơi vng góc M điểm thuộc miền tam giác ABC

a) Tìm giá trị nhỏ

2 2

2 2

MA MB MC T

OA OB OC

  

A. minT 3 B. minT 2 C. minT 4 D. minT 6

b) Gọi H trực tâm tam giác ABC α,β,γ góc gữa đường thẳng OH với đường thẳng OA,OB,OC Tìm giá trị lớn A cot αcotβcot γ

A.max A

 B max A

 C max A

 D maxA 2

c) Tìm GTNN S cosα cosβ2 cosβ cos γ2 cos γ cosα2 cos γ cos α cos β

  

  

A. minS 3 B. S C. minS 6 D. minS 4 Bài làm: 45

a) Gọi N AM BC, kẻ MM1 OA ta có

   

1

OA OBC

MM OBC MM OA

 

  

 

kẻ MA1OA,A1OA Khi

2 2 2

1 1

AM AA MA AA MO OA

  

2

1 1

OM AA OA AA OA

   

 

2

1

OM OA OA 2OA

  

2

1

OM OA 2OA.OA

  

Suy  

2

1

2

2OA AM OM

1

OA OA OA  

A1

M1

N

O

B

A

Tương tự gọi B ,C1 điểm tương tự A1 ta có   2 2 2OB MB OM OB OB  OB  

  2 2 2OC MC OM OC OC  OC  

Từ      1 , , ta có 1

2 2

OA OB OC

1 1

T OM

OA OB OC OA OB OC

 

 

        

   

Gọi H trực tâm tam giác ABC ta biết kết quen thuộc

2 2

1 1

OA OB OC OH nên

2

1 1

2

OA OB OC OM

T

OA OB OC OH

 

     

 

Mặt khác MBC

ABC

S OA NM

OA NA S

Tương tự MAC MAB ABC ABC

S S

OB OC

,

OB  S OC S nên

1 1

OA OB OC OA  OB  OC 

Do

2

OM

T

OH

   OM OH Vậy minT 2 M H

Cách Đặt OA a,OB b,OC c   Do A,B,C,M đồng phẳng nên tồn x,y,z cho

 

OM xOA yOB zOC x y z 1     

Ta có AM OM OA  x a b c    , bình phương vơ hướng ta

    2 2

2

2 2 2

2 2

y b

MA z c

AM x a y b z c x

OA a a

        

Tương tự    

2 2 2 2 2

2

2 2 2

y b MB x a z c MC x a

y , z

OB  b    b OC  c  c  

Vì  2 2 2

2 2

1 1

T a x b y c z

a b c

 

      

 

2

1 1

.ax by cz

a b c

 

     

  ( Theo Cauchy-Schwarz)

Vậy minT 2

b) Dễ thấy α AOH,β BOH,γ COH   Ta có

2 2

2 2

1 1 OH OH OH

1

OA OB OC

OA OB OC OH

     

         

 

2 2

cos α cos β cos γ 1

   

Lại có  

2

2

2 2

1 cot x

1 tan x cos x *

cos x tan x cot x

    

 

Áp dụng CT (*) cho x nhận giá trị α,β,γ kết hợp với  1 thu

2

2

2 2

cot β cot γ cot α

1 cot α 1 cot β 1 cot γ 

Đặt 2  

x cot α,y cot β,z cot γ x,y,z 0    tốn trỏ thành Cho x,y,z 0 thỏa x y z

1 x 1 y 1 z  Chứng minh

1 xyz

8 

Ta có x y z 1 x y z  yz 

1 x 1 y 1 z   1 x 1 y 1 z  y z 

 yz   

1

2

1 x y z

 

  

Tương tự ta có :

    

1 xz

2

1 y  x z       xy

1

2

1 z  x y 

Nhân theo vế BĐT     2 , ta xyz dpcm



CHƯƠNG III VECTO-QUAN

MỤC LỤC

HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

A CHUẨN KIẾN THỨC

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP .4

Bài tốn 01: TÍNH GĨC GI ỮA HAI MẶT PHẲNG.

Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC.

Bài tốn 03: ỨNG DỤNG CƠNG THỨC HÌNH CHIẾU. 12

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƢỜNG THẲNG VÀ VNG GĨC VỚI MỘT MẶT PHẲNG. 15

KHOẢNG CÁCH 18

A CHUẨN KIẾN THỨC 18

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP 19

Bài tốn 01: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƢỜNG THẲNG Δ. 19

Bài tốn 02: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG. 21

Bài toán 03: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU. 26

Bài tốn 03: ỨNG DỤNG PHÉP CHIẾU VNG GĨC ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU. 39

HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TĨM TẮT GIÁO KHOA.

1 Góc hai mặt phẳng.

Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng với hai mặt phẳng

 

        

a P

P , Q a,b b Q

 

  

  

Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng

0 Diện tích hình chiếu S' Scos φ

Trong S diện tích đa giác nằm  P , S' diện tích đa giác nằm  Q cịn φ góc  P  Q

2 Hai mặt phẳng vng góc. 2.1 Định nghĩa

Hai mặt phẳng vng góc với góc chúng

0

90

       

P  Q  P , Q 90 2.2 Tính chất

 Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng

 

     

a P

P Q

a Q  

  

 



 Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tyến vng góc với mặt phẳng

     

     

P Q

a P

a Q

b P Q

a b

 

 

  



 

   

b a

Q P

Q P

 Cho hai mặt phẳng  P  Q vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng  P dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Q đường thẳng nằn  P

     

   

A P

P Q a P

A a Q  

   

    

 Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng

       

     

P R

Q R Δ R

P Q Δ

 

   



  



3 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật.

 Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với hai mặt đáy

- Các mặt bên hình chữ nhật - Các mặt bên vng góc với hai đáy

- Lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi lăng trụ

 Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật - Tất mặt hình chữ nhật

- Đường chéo d a2b2c2 với a,b,c ba kích thước

 Hình lập phương hình hộp chữ nhật có đáy mặt bên hình vng

4 Hình chóp hình chóp cụt đều.

 Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy

- Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc - Các mặt bên hình chóp tam giác cân - Các mặt bên hình chóp tạo với đáy góc  Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song

với đáy cắt tất cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt

- Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng

O D

B C S

A D' C'

B'

O D

B C

A

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài tốn 01: TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Phƣơng pháp:

Để tính góc hai mặt phẳng  α  β ta thực theo cách sau:

Cách 1. Tìm hai đường thẳng a,b vng góc với hai mặt phẳng  α  β Khi góc hai đường thẳng a,b góc hai mặt phẳng  α  β

 

        

a α

α , β a,b

b β

 

  

 



Cách 2. Tìm hai vec tơn ,n có giá vng góc với 1 2  α  β góc hai mặt phẳng

 α  β xác định

1

n n cosφ

n n



Cách 3. Sử dụng cơng thức hình chiếu S' Scos φ, từ để tính cosφ ta cần tính S S' Cách 4. Xác định cụ thể góc hai mặt phẳng sử dụng hệ thức lượng tam giác để tính Ta thường xác định góc hai mặt phẳng theo hai cách sau:

a)

 Tìm giao tuyến Δ   α  β

 Chọn mặt phẳng  γ Δ

 Tìm giao tuyến a   γ  α ,b   γ  β

    α , β  a,b

b)

 Tìm giao tuyến Δ   α  β

 Lấy M β Dựng hình chiếu H M  α

 Dựng HN Δ MNΔ

Phương pháp có nghĩa tìm hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng    α , β vuông góc với giao tuyến Δ điểm giao tuyến

Các ví dụ

a b

p q

γ

β α

φ β

α

M

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB a,AD a 3  Cạnh bên SA vng góc với đáy SA a

a) Góc hai mặt phẳng SCD  ABCD  b) Góc hai mặt phẳng SBC  SAD  Lời giải

a) Ta có SCD  ABCDCD

 

CD SA

CB SAD CD AD

 

 

 



SAD  ABCDAD, SAD   SCDSD

   

 SCD , ABCD  DA,SD SDA φ

   

0

SA a

tanφ φ 30

AD a 3 3

    

b) Ta có

 

     

AD SAD

BC SBC SAD SBC d AD BC AD BC

 

    

  

Vì SA d SA d d AD

 

 



 ,

d AD

d AB AD AD



 

 

 nên SABd

SAB  SBCSB, SAB   SADSA suy ASB góc hai mặt phẳng SBC 

SAD 

Tam giác ASB vuông cân A nên ASB 45

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính góc hai mặt phẳng A' BC  A'CD  Lời giải.

Cách

Ta có A'BC  A'CDA'C Gọi O tâm hình vng ABCD H hình chiếu vng góc O A'C

Do BD AC BD ACA' BD A'C BD AA'

 

   

 



d β

α A

B C

Vậy A'C OH A'C BDH A'C BD

 

 

 



BDH  A'CDHD, BDH   A'BCBH

   

 A'BC , A'BD  HB,HD

 

Tam giác BCA' vuông B có đường cao BH ,  

2 2 2

1 1 1

BH BA' BC  a 2 a 2a

2 BH a

3

 

Tương tự DH a



Áp dụng định lí cơsin cho ΔHBD ta có

2 2

2 2

2

2a 2a 2a

HB HD BD 3 3

cos BHD

2HB.HD 2a

2

 

 

   

0

BHD 120

  Vậy      

A'BC , A'BD  HB,HD 60

Cách 2.Gọi H A'C BDC', mặt chéo BDC' ứng với đường chéo A'C nên  BDC'A'C Vậy góc hai đường thẳng HB,HD góc hai mặt phẳng A' BC  A'CD  Do CB CD CC'  HB HD HC'  BD BC' DC' a 2   suy H la tâm tam giác

0

C'BDBHD 120

Vậy      

A'BC , A'BD  HB,HD 60

Cách 3: Do AB' A'B AB' A'BC AB' BC

 

 

 



Tương tự AD'A'CD nên A'BC , A'BD  AB',AD'600 ( ΔAB'D' đều)

Ví dụ Cho tứ diện ABCD cóAB b,AC c,AD d   đơi vng góc Gọi α,β,γ góc mặt phẳng BCD với mặt phẳng  ACD , ABD , ABC     

a)Chứng minh 2

cos α cos β cos γ 1   b) Tính SBCD theo

0 0

α 30 ,β 45 ,γ 60  

Lời giải. a) Cách 1.

O C' B'

D'

A

B C

D A'

Kẻ đường cao AH tam giác ACD ,

 

AB AC

AB ACD AB CD AB AD

 

   

 



Vậy ABHCD CD giao tuyến hai mặt phẳng ACD BCD nên  α AHB

Ta có

AB b tanα

AH AH

  , mà 2 12 12 12 12 AH AC AD c d nên

2

b c d tanα cd   Mặt khác 2 2

2 2 2 2

1 c d

1 tan α cos α

cos α b c c d d b

   

 

Tương tự ta có :

2 2

2 2 2

b d cosβ

b c c d d b 

  ,

2 2

2 2 2

b c cos γ

b c c d d b 

 

Từ suy 2

cos α cos β cos γ 1  

Cách 2. Gọi H hình chiếu A BCD I trung điểm CD Đặt AB b,AC c,AD d    bb, cc, d d

Dễ thấy AHBCD  

2

2 2 2

2 2

2

BH.BI BA b b c d

BH

k c d IH c d

IH.IB IA c d               Suy AH AB k AI

1 k k

 

  , mà

2 2

2 2 2

IC AC c d c

AI AC CD

IDAD d  c d c d nên

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

c d b c d b d c

AH AB AC AB

b c c d d b b c c d d b c d c d

 



    

       

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

c d d b b c

b c d

b c c d d b b c c d d b b c c d d b

  

     

Lại có b,c,d vec tơ vng góc với mặt phẳng ACD , ABD , ACB Từ ta có:    

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

b c d

b.AH cd

b c c d d b cosα

b AH b c c d d b b c c d d b b

b c d

Tương tự :

2 2 2 2 2 2

c.AH bd d.AH bc

cosβ ,cosγ

b AH b c c d d b b AH b c c d d b

   

   

Suy 2

cos α cos β cos γ 1  

b) Sử dụng cơng thức hình chiếu

Gọi H hình chiếu A BCD 

Trước tiên ta chứng minh tam giác BCD nhọn Không giảm tổng quát, giả sử B lớn

Ta có 2 2

CD AC AD c d Tương tự 2 2 2

CB b c ,DB b d Áp dụng định lí cơsin cho ΔBCD ta có

2 2

BC BD CD cos B

2BC.BD

 



     

  

2 2 2

2 2

b c b d c d

2 b c b d

    



 

  

2

2 2

2b

0 b c b d

 

  B nhọn, hay tam giác BCD nhọn Ta có AH CD BH CD

AB CD

 

 

 

 , tương tự ta có CHBD từ suy H trực tâm ΔBCD, mà

ΔBCD nhọn nên H thuộc miền tam giác BCD Do

BCD HBC HBD HCD ABC ABD ACD

S S S S S cosγ S cosβ S cosα

0 0

1 1 bc 2bd 3cd

bccos60 bdcos45 cdcos30

2 2

 

   

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB 2a ; cạnh bên SA vng góc với đáy SA a 3

a) Tính góc hai mặt phẳng SAD  SBC  b) Tính góc hai mặt phẳng SBC  SCD  Lời giải.

a) Gọi I AD BC SISAD  SBC BD AD BD SAD BD SI BD SA

 

   

 

 Dựng DESI,E SI

khi BDESI Do BED góc hai mặt phẳng SAD  SBC 

I A

B

D

Do đáy ABCD nửa lục giác nên

IAB IBA 60  ΔIBA Vì AI AB 2a  ,    

2 2

2

SI SA AI  a  2a a

Dễ thấy ΔSAI ΔDEI DE DI a DE SA a

SA SI a 7 7 7

      

 

BD SAD BDDE Trong tam giác vng BDE ta có BD a

tan BED BED arctan DE

a

    

Vậy SAD , SBC  arctan b) Dựng APSH,P SH

Do CDSAHAPCDAPSCD Tương tự, dựng AQ SC,Q SC  AQSBC Do PAQSBC , SCD  

Trong tam giác SAH ta có :  

2 2 2

1 1 1

AP AS AH a 3 a 3 3a

5 AP a

3

    

 

 

 

 

 

Dễ thấy ΔSAC vuông cân A nên AQ 1SC SA a

2 2

  

 

AP SCD APPQ

Trong ΔAPQ có

3 a

AP 10 10

cos APQ APQ arccos

AQ a 5

2

    

Vậy SBC , SCD   arccos 10



Bài tốn 02: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Phƣơng pháp:

Để chứng minh hai mặt phẳng  α  β vng góc với ta dùng cách sau: I

D C

B S

A E

H P

Cách 1. Xác định góc hai mặt phẳng , tính trực tiếp góc

90

   

     

α , β 90  α  β

Cách 2.Chứng minh mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng

 

     

a α

α β

a β

 

  

 



Cách 3. Tìm hai vec tơ n ,n vng góc với mặt phẳng 1 2    α , β chứng minh n n1 20

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA a , cạnh lại b a) Chứng minh SAC  ABCD SAC  SBD

b) Tính đường cao hình chóp S.ABCD theo a,b

c) Tìm liên hệ a b để S.ABCD hình chóp Lời giải

a) Gọi O AC BD, tứ giác ABCD có tất cạnh b nên hình thoi, ACBD O trung điểm BD

Mặt khác SB SD b  ΔSBDcân S , SOBD Vậy BD AC BD SAC

BD SO

 

 

 



SAB ABCD

  SAC  SBD b) Ta có    

SACSAC ABCDABCD AC

 

 

 

 nên SAC kẻ  SHAC,H AC SHABCD, hay SH đường cao hình chóp

Do hình chóp có cạnh SB SD b,CB Cd b,AB AD b      nên tam giác SBD,CBD,ABD tam giác cân suy OS OA OC  ΔSAC vng S Từ ta có

2

SA.SC ab SH.AC SA.SC SH

AC a b

   



b) Hình chóp S.ABCD hình chóp cạnh bên nên a b

Và a b AC a 2 mà ABCD hình thoi cạnh a nên hình vng , tứ S.ABCD hình chóp

Vậy S.ABCD hình chóp a b

O B

A D

C S

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng A qua BC Trên đường thẳng

 

d ABCD A lấy điểm S cho SD a

 Chứng minh SAB  SAC Lời giải.

Gọi I trung điểm BC AIBC I trung điểm AD Ta có BC AD BC SAD BC SA

BC SD

 

   

 



Dựng IH SA,H SA  , ta có SA IH SA HCB SA CB

 

 

 

 Suy

góc hai mặt phẳng SAB SAC BHC Ta có ΔAHI ΔADS IH AI

SD AD

  

Mà AI a 3,AD 2AI a

   ,

 2

2 a 3a

SA AD SD a

2

 

     

  suy

a a

AI.SD 2 2 a BC IH

AD 3a 2

2

   

BHC 90

 

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC , có độ dài cạnh đáy a Gọi M,N trung điểm cạnh SA,SB Tính diện tích tam giác AMN biết AMN  SBC ( ĐH khối A-2002)

Lời giải.

Gọi K trung điểm BC I SK MN Từ giả thiết ta có

1 a

MN BC ,MN / /BC I

2

   trung điểm SK MN Ta có

ΔSAB ΔSAC  hai trung tuyến tương ứng AM AN ΔAMN

cân AAIMN

Mặt khác

   

   

 

SBC AMN SBC AMN MN AI AMN AI MN              

AI SBC AI SK ΔSAK

     cân A SA AK a

  

Ta có

2 2 2 3a a a

SK SB BK

4

    

2

2 2 SK a 10

AI SA SI SA

Ta có

2 AMN

1 a 10

S MN.AI

2 16

 

Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB AD a,AA' b   Gọi M trung điểm CC' Xác định tỉ số a

b để hai mặt phẳng A'BD  MBD vng góc với ( ĐH khối A-2003)

Lời giải.

Gọi O tâm hình vng ABCD

Ta có BDA'BD  MBD, AC BD ACC'A' BD AA' BD

 

 

 



Vậy

 

   

   

ACC'A' BD

ACC'A' A' BD OA' ACC'A' MBD OM

 

  



  



góc hai đường thẳng OM,OA' góc hai mặt

phẳng A'BD MBD  Ta có

2 2 2

AC' AB AD AA' 2a b OM

2 2

  

  

2

2

2 2 a 2 a

OA' AO AA' b b

2

 

      

 

2 2

2 2 2 b 5b

MA' A'C' MC' a b a

2

 

       

 

Hai mặt phẳng A'BD  MBD vng góc với nhau ΔOMA' vng 2

OOM OA' MA'

2 2

2 2

2a b a 5b a

b a a b

4 b

   



         

   

A'BD  MBD a

b ( Khi ABCD.A'B'C'D' hình lập phương) Bài tốn 03: ỨNG DỤNG CƠNG THỨC HÌNH CHIẾU

Giả sử S diện tích đa giác  H nằm  P S' diện tích hình chiếu  H'  H  P' S' Scos φ φ góc hai mặt phẳng  P  P'

O M

B'

C' D'

A

D C

B A'

S'=Scosα H'

H

P'

Các ví dụ

Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' Một mặt phẳng  α hợp với mặt phẳng đáy

ABCD góc 

45 cắt cạnh bên lăng trụ M,N,P,Q Tính diện tích thiết diện, biết cạnh đyá lăng trụ a

Lời giải

Gọi S diện tích thiết diện MNPQ

Ta có hình chiếu MNPQ xng ABCDchính hình vng ABCD

2 ABCD

S' S a

Gọi φ  α , ABCD

φ 45

Do 2

S' Scosφ S S 2S' 2a

2

    

Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 3a , đường cao CH a AH a nằm mặt phẳng  P Trên đường thẳng vng góc với  P kẻ từ A,B,C lấy điểm A',B',C' tương ứng nằm phía  P cho AA13a,BB12a,CC1a Tính diện tích tam giác A'B'C'

Lời giải Ta có

2 ABC

3a S

2



Vì CHAB,CH a,AH a  AC a 2

BAC 45 Gọi I B'C' BC,J A'C' AC   

Ta có CC' 1BB' BC CI

  

1 a

CC' AA' CJ AC

3 2

   

Xét ΔBCH ta có BC2BH2CH25a2BC a 5 Mặt khác

2 2

AB CA CB 2CA.ABcosC

2 2

CA CB AB cosC

2CA.CB 10

 

   

Xét ΔICJ ta có

2

2 2 26a

IJ CI CJ 2CI.CJcosICJ

   

α Q

C' B' A'

D

A B

C D'

M

N P

K I

J A

B

C A'

H

Kẻ đường cao CK ΔICK, CC' ICJ nên C'KIJ Vậy C'KC góc hai mặt phẳng ABC  A' B'C' nên SABCSA'B'C'cosC'KC

Ta có

2 ICJ ABC

1 3a

S S

2

  , mặt khác SICJ 1IJ.CK 

2

ICJ

3a

2S 2 3a

CK

IJ 26a 26

   

Xét ΔC'CK ta có tan C'KC CC' a 26 3a

CK

26

  

Mà

2

1

1 tan C'KC cosC'KC 35 cos C'KC

   

Vậy ABC

ABC A'B'C' A'B'C'

S 35

S S cosC'KC S a

2 cosC'KC

   

Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi  α mặt phẳng qua tâm O hình lập phương vng góc với đường chéo AC' Tính diện tích thiết diện hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cát  α

Lời giải

Gọi M trung điểm BC , MA MC' a 5  nên ΔMAC' cân M, mà O trung điểm AC'MOAC' M α

Tương tự ,  α cắt cạnh DC,DD',A'D',A',B'BB' điểm N,P,Q,N,S Thiết diện lục giác

MNPQRS.Xét phép chiếu vng góc xuống mặt phẳng A'B'C'D' , ta có hình chiếu lục giác

MNPQRS lục giác M'N'D'QRB'

Gọi S,S' diện tích lực giác MNPQRS

M'N'D'QRB'thì S' Scos φ 1  với φ góc mặt phẳng  α mặt phẳng A'B'C'D' 

Ta có S' S A'B'C'D'SA'QRSC'M'N'

 

2 2 a a 3a

a

8

 

   

 

I

N' M'

S

R Q

P N M

O

D C A

B'

A'

15

Gọi I tâm hình vng A'B'C'D' ICC'B'D' nên CIC' góc hai mặt phẳng CB'D' mặt phẳng A'B'C'D' 

Ta có

2 2

2

a

IC IC 2

cosCIC'

IC' CC' IC a 3

a

   

 

Lại có   α / / CB'D' nên φ CIC' cos φ  3

3

  

Từ      1 , , ta có

2

2

3a

S' 4 3a S

1

cosφ

3

  

Vậy diện tích thiết diện

2

3 3a S

4



Bài toán 01: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƢỜNG THẲNG VÀ VNG GĨC VỚI MỘT MẶT PHẲNG

Phƣơng pháp:

Bài Toán: Cho mặt phẳng  α đường thẳng a khơng vng góc với  α Xác định mặt phẳng  β chứa a vng góc với  α Để giải toán ta làm theo bước sau:

 Chọn điểm A a

 Dựng đường thẳng b qua A vng góc với  α Khi mp a,b mặt phẳng    β

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a

cạnh SAABCD SA a 3 Goi  α mặt phẳng chứa AB vng góc với mặt phẳng SCD  Xác định tính thiết diện hình chóp S.ABCD cắt  α

Lời giải Kẻ AHSD

Do SAABCDSACD , lại có CDADnên

 

CD SAD CDAD

Từ ta có AH SD AH SCD AH CD

 

 

 



a

b d

β

α

A

H

K A

S

16

ABH SCD

 

Vậy ABH mặt phẳng   α Ta có

 

 

   

AB α

CD SCD AB CD H α SCD

 

    

  



  α SCD HK AB CD

   Thết diện tứ giác AHKB

Dễ thấy AHKB hình thang vng A H , nên SAHKB 1AB HK AH

 

Ta có

 

2 2 2

1 1 1 a

AH AH AS AD  a 3 a 3a  

Trong ΔSCDcó HK CD nên

2

2

HK SH SH.SD SA CDSD SD SD

2

2 2

SA 3a

4 SA AD 3a a

  

 

3

HE CD a

4

  

Vậy  

2 AHKB

1 3a 3a 7a

S AB HK AH a

2 16

 

      

 

Ví dụ

a)  α mặt phẳng chứa SD vng góc với SAC Xác định tính diện tích thiết diện   α

với hình chóp S.ABCD

b) Gọi M trung điểm SA , N điểm thuộc cạnh AD cho AN x Mặt phẳng  β qua MN vng góc với SAD Xác định tính diện tích thiết diện hịnh chóp cắt   β Lời giải

a) Gọi E trung điểm cạnh AB O giao điểm AC DE ADCE hình vng có tâm O

Ta có SAABCDSAOD, thêm ODACODSAC Từ ta có ODSAC  SDO  SAC

Vậy SDO mặt phẳng   α

Thiết diện hình chóp với mặt phẳng  α tam giác SDE Q M

Ta có

2

2 a 2

SO OA AS a a

2

 

      

 

BC DE a 2  , DE SAC DE AO SSDE 1SO.DE

    

2

1 a

.a a

2 2

 

b) Ta có  

     

AB SAD

AB β β SAD

 

 

 



Vậy

   

 

     

M β SAB

AB SAB β SAB MQ AB,Q SB

AB β

  

     

  

Tương tự,

   

 

     

N β ABCD

AB ABCD β ABCD NP AB,P BC

AB β

  

     

  

Thiết diện tứ giác MNPQ Do NP AB NP MQ 1 

MQ AB 

 



Lại có  

   

MN SAD

AB MN AB SAD

 

  

 



Từ    1 , suy tứ giác MNPQ hình thang vng M N Do SMNPQ 1NP MQ MN

2

 

2 2

2 a a 4x

MN AM AN x

4



     , MQ 1AB a

2

 

   

2a a x

NP DN AB.DN

NP a x

AB DA DA a



     

Vậy      

2 2

MNPQ

3a x a 4x

1 a 4x

S a x a

2 2

 



KHOẢNG CÁCH

A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Khoảng cách từ điểm tới đƣờng thẳng.

Cho điểm M đường thẳng Δ Trong mp M, Δ gọi H hình chiếu vng góc M Δ Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến Δ

 

d M,Δ MH

Nhận xét: OH OM, M  Δ

2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.

Cho mặt phẳng  α điểm M, gọi H hình chiếu điểm M

trên mặt phẳng  α Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  α

 

 

d M, α MH

Nhận xét: OH MO, M   α

3 Khoảng cách từ đƣờng thẳng tới mặt phẳng.

Cho đường thẳng Δ mặt phẳng  α song song với Khi khoảng cách từ điểm Δ đến mặt phẳng  α gọi khoảng cách đường thẳng Δ mặt phẳng  α

 

    

d Δ, α d M, α ,M Δ

4 Khoảng cách hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng  α  β song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳn gọi khoảng cách hai mặt phẳng  α  β

   

       

d α , β d M, β d N, α ,M α ,N β 5 Khoảng cách hai đƣờng thẳng.

α

O

H M

α H M O

H M

β α M

M'

N

Cho hai đường thẳng chéo a,b Độ dài đoạn vng góc chung

MN a bđược gọi khoảng cách hai đường thẳng a b

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài tốn 01: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƢỜNG THẲNG Δ Phƣơng pháp:

Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định hình chiếu H điểm

M đường thẳng Δ, xem MH đường cao tam giác để tính Điểm H

thường dựng theo hai cách sau:

 Trong mp M, Δ vẽ MH Δ d M,Δ MH

 Dựng mặt phẳng  α qua M vng góc với Δ H

 

d M,Δ MH

 

Hai cơng thức sau thường dùng để tính MH

 ΔMAB vng M có đường caoAH 2 2 2

MH MA MB

 MH làđườngcao ΔMABthì MH 2SMAB

AB



Các ví dụ

Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Tính khoảng từ đỉnh D' đến đường chéo AC'

Lời giải

Gọi H hình chiếu D' AC' Do C' D' D'A' C' D' ADD'A'

C' D' DD'

 

 

 



C'D' D'A

 

Vậy tam giác D'AC' vng D' có đường cao D'H suy

 

2 2 2

1 1 1

D'H D'A D'C'  a 2 a 2a

3 D'H a

2

 

Vậy d D',AC'  a



b

a M

N

A

B C

D'

A' B'

C' D

Ví dụ Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm Ocạnh a, cạnh SA vng góc với mặt phẳng ABCD SA a Gọi Ilà trung điểm cạnh SC M trung điểm đoạn

AB Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM Lời giải

Trong ICM kẻ IHCM d I,CM IH Gọi N MO DC,N CD  

Ta có ΔMHO ΔMNC OH OM

CN MC

 

Mà a 2

OM CN ,CM BM BC

   

2

a a

a

2

 

    

 

Suy OH CN.OM a MC 2 5

  ,OI đường trung bình tam giác SAC nên OI SA a 2

 

Ta có OI / /SA  OI ABCD OI OH SA ABCD

    

 

 ΔOHI vuông O nên

2

2 a a a 30

IH OH OI a

2 10 10

2

   

        

 

 

Vậy d I,CM  a 30 10



Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm Ocạnh a, góc

ABC 120 ,

 

SC ABCD SC h Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SA theo a h Lời giải

Kẻ OH SA,H SA  d O,SA OH Do ABCD hình thoi cạnh avà

ABC 120 nên ΔCBD cạnh

a CO a

  CA 2CO a 3   2

2 2 2

SA CS CA  h  a  3a h

Hai tam giác vuông AHO va ACS đồng dạng nên

O I

M A

D C

B S

H N

O B

C

D A S

21

2 2

a h

OH OA OA.SC 2 ah

OH

SC  SA   SA  3a h 2 3a h

Vậy  

2

3ah d O,SA OH

2 3a h

 



Ví dụ .Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a cạnh bên SAABCD,

SA a Gọi E trung điểm cạnh CD.Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BE Lời giải

Trong SBM kẻ SHBM d S,BM SH Gọi N BM AD , ta có

DN MD

AD BC DN BC a

BC MC

     

AN 2a

 

Tronh tam giác vng ABN có 2 12 2

AH AB AN

 

2 2

1

a 2a 4a

  

2a AH

5

 

 

SA ABCD SAAHΔASH vng A, 2 2 3a

SH AH AS a a

5

    

Vậy d S,BM  SH 3a 5

 

Bài tốn 02: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Phƣơng pháp:

Để tính khoảng từ điểm Mđến mặt phẳng  α điều quan trọng ta phải xác định hình chiếu điểm M  α Để xác định vị trí hình chiếu

này ta có số lưu ý sau:

 Nếu có d α MH d (h1) d

α H M

N A

B C

D S

 Chọn  β chứa điểm M, xác định giao tuyến Δ   α  β Trong  β dựng

 

MH Δ MH α (h2)

 Nếu  α có hai điểm A,B cho MA MB  α kẻ đường trung trực dcủa đoạn AB, mp M,d dựng MHd Khi MH α (h3)

Thật , Gọi I trung điểm AB Do MA MB nên ΔMAB cân

 

MMIAB α Lại có AB d ABmp M,d  AB MH

 

Vậy MH AB MH  α

MH d

 

 

 



 Nếu  α có điểm A đường thẳng d khơng qua

Asao cho MAdthì  α kẻ đường thẳng d' qua A

d'd, mp M,d' kẻ MHd'MH α ( h4) Thật , dd' dMA d mp M,d'  d MH

Lạicó MHd'MHmp d,d'    α

 Nếu  α có điểm A ,A , ,A n 31 2 n   mà

1 n

MA MA   MA đường thẳng MA ,MA , ,MA1 n tạo với

 α góc hình chiếu M  α tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác A A A1 n

 Nếu  α có điểm A ,A , ,A n 31 n   mà mặt phẳng

MA A , MA A , , MA A1 2  3  n 1 hình chiếu M tâm đường tròn

nội tiếp đa giác A A A1 n

 Đôi khi, thay hình chiếu điểm M xuống  α ta dựng hình chiếu điểm N khác thích hợp cho MN  α Khi

 

    

d M, α d N, α (h5)

 Một kết có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tứ diện vuông (tương tư hệ thức lượng tam giác vng) là:

 Nếu tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc có đường cao OH 2 2 12 12

OH OA OB OC

β

h2 α

M

H

d

h3

α A I

B M

H

d d'

h4 α

M

H A

d(M,(α))=d(N,(α)) α

h5

M' N'

M N

A

O

C

B H

Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SA vng góc với

ABC SA h , góc hai mặt phẳng SBC ABC

60 Tính khoảng cách từ A đến

SBC theo a h Lời giải

Gọi I trung điểm BC, ta có AI BC  SAI BC SA BC

 

 

 



Vậy AIS góc hai mặt phẳng SBC ABC

0

AIS 60

 

Trong SBCkẻ AHSI Ta có  

 

BC SAI

AH BC AH SAI

 

  

 



Vậy AH BC AH SBC AH SI

 

 

 



 

 

d A, SBC AH

 

Tam giác ABC cạnh a nên AI a 

Trong tam giác AIS ta có

2

2 2 2 2

1 1 1 4h 3a

AH AI AS a 3 h 3a h



    

 

 

 

 

2

ah AH

4h 3a

 



Hay   

2

ah d A, SBC

4h 3a 



Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B,

BA BC a,AD 2a   Cạnh bên SA vng góc với đáy SA a 2 Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng

SCD Lời giải

S

A

B

C I H

N H

K

A D

S

Trong ABCD gọi M AB CD, SAM gọi K AH SM, kẻ AESC E gọi N trung điểm AD

Dễ thấy ABCN hình vng nên NC AB a  Do NA NC ND a   ΔACD vuông

CCDAC, lại có CDSACDSAC SAC  SCD

Vậy

   

   

     

SAC SCD SAC SCD SC

AE SCD AE SAC

AE SC

 



 

  

  

 



Trong AKE kẻ HF AE,F KE , từ (1) suy HFSCD

 

 

d H, SCD HF

 

Do BC AD MB BC a MA 2AB 2a B MA AD 2a

        trung điểm MA Lại có

 

2

2 2

2

BH BH.BS BA a

BS  BS AB AS a  a 2 3

Vậy H trọng tâm tam giác SAM, HF KH HF 1AE AEKA 3 3

Tứ diện ADMS có ba cạnh AD,AM,AS đơi vng góc AESMD nên

2 2

1 1

AE AD AM AS

2 2

1 1

4a 4a 2a a

    AE a

Vậy d H, SCD   HF 1AE a

3

   

Nhận xét: Từ ta thấy đường thẳng AB

cắt  α I   

 

 

d A, α IA

IB d B, α 

Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ba kích thức AB a,AD b,AA' c   Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng DA'C'

α A

I H

Lời giải

Gọi I tâm hình bình hành ADD'A' I trung điểm

AD'

Ta có   

 

 

d A, DA'C' IA ID' d D', DA'C'  

 

    

d A, DA'C' d D', DA'C'

 

Mặt khác ta có tứ diện D'ADC' có cạnh D'D,D'A',D'C' đơi vng góc nên

 

  2

2

1 1

D' D D'A' D'C' d D', DA'C'   

2 2 2 2 2 2

1 1 a b b c c a a b c a b c

 

   

Vây   

2 2 2 2 2

1 abc

d A, DA'C'

1 1 a b b c c a a b c

 

 

 

Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất mặt hình thoi cạnh a, góc

BAA' BAD DAA' 60   Tính khoảng cách từ A' đến ABCD Lời giải

Do ABCD.A'B'C'D' có tất mặt hình thoi cạnh a

BAA' BAD DAA' 60   nên tam giác ABA',ABD,ADA' tam giác đếu cạnh aA'A A'B A'D  ( A' cách đếu ba đỉnh ΔABD)

Gọi H hình chiếu A' ABCD tam giác vng A'HA,A'HB,A'HD nên HA HB HD  suy H tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABD

Gọi O giao điểm AC BD, ta có AH 2AO a a

3 3

  

2 2 a

A'H AA' AH a

a

 

     

 



Vậy d A', ABCD   A'H a

 

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, tam giác SAD

đều có cạnh 2a, BC 3a mặt bên tạo với đáy góc Tính khoảng cách từ

S đến mặt phẳng ABCD Lời giải

C' D'

B'

O D

A B

C A'

H

I

A' B'

C'

D

A B

ọi I hình chiếu vng góc S trênABCD, Gọi I ,I ,I ,I1 hình chiếu I cạnh AB,BC,CD,DA góc II S i 1,4i    góc mặt bên mặt đáy chúng nhau,suy tam giác vng SII ,SII ,SII ,SII1 nên II1II2II3II4 I tâm đường trịn nội tiếp hình thang ABCD

ì tứ giác ABCD ngoại tiếp nên AB DC AD BC 5a   

Diện tích hình thang ABCD 1 

S AB DC AD 5a.2a 5a

2

   

ọi p nửa chu vi r bán kính đường trịn nội tiếp hình thang ABCD p AB DC AD BC 10a 5a

2

  

  

2

4

S 5a

S pr r a II r a

p 5a

       

Tam giác SADđều có cạnh 2a nên 2 2

4 4

2a

SI a SI SI - II 3a - a a 2

      Vậy d S, ABCD  SI a 2 Bài toán 03: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phƣơng pháp:

Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau:

 Dựng đoạn vng góc chung MN a b Khi

 

d a,b MN Sau số cách dựng đoạn vng góc chung thường dùng : Nếu ab ta dựng đoạnvng góc chung a b sau

- Dựng mặt phẳng  α chứa b vng góc với a - Tìm giao điểm O a  α

- Dựng OHb

Đoạn OH đoạn vng góc chung a b

Nếu a,b khơng vng góc với dựng đoạn vng góc chung a b theo hai cách sau:

Cách

- Dựng mặt phẳng  α chứa b song song với a - Dựng hình chiếu A' điểm A a  α

- Trong  α dựng đường thẳng a' qua A' song song với a

cắt b M, từ M dựng đường thẳng song song với AA' cắt a

N Đoạn MN đoạn vng góc chung a b

A B

C S

I D I4

I3

I1

I2

b a

α H O

a

b a' α

N

M A'

Cách

- Dựng mặt phẳng  α vng góc với a - Tìm giao điểm O a  α

- Dựng hình chiếu b' b  α

- Trong  α dựng OHb' H

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A - Đoạn AB đoạn vng góc chung a b

 Xem khoảng cách hai đường thẳng a,b chéo khoảng cách từ điểm A a đến mặt phẳng  α chứa b

 α a

 Sử dụng d a,b d   α , β d A, β ,A    α

 Sử dụng phương pháp vec tơ

a) MN đoạn vng góc chung AB vàCDkhi

AM xAB CN yCD MN.AB MN.CD

 



 



 

 



b) Nếu  α có hai vec tơ khơng phương u ,u1

 

 

 

1

2

OH u OH d O, α OH u

H α

 



  

  

 

1

2

OH.u OH.u H α

 



 

  

Các ví dụ

b' b

α

A B

H O

a

b β

α

H M

N

A

A

B

C

D M

N

u2

u1

α

28 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD SA a Tính khoảng cách hai đường thẳng

a) SB AD b) BD SC Lời giải

a) Kẻ đường cao AH tam giác SAB Ta có

 

AD AB

AD SAB AD AH AD SA

 

   

 

 Vậy AH đoạn vng góc

chung SB AD, nên d AD,SB AH

Tam giác SAB vuông cân A có đường cao AH nên

1 a AH SB

2

 

Vậy d AD,SB AH=a

2

b) Ta có BD AC BD SAC BD SA

 

 

 

 Gọi O tâm hình vng ABCD kẻ OK SC,K SC  OK đoạn vng góc chung BD SC

Vậy d BD,SC  OK 1AI

  ( I trung điểm SC) Ta có 2 12 12 12 12 32 AK a

3 AK AS AC a 2a 2a  

Vậy d BD,SC  a 6



Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng ISABCD SI a



Gọi M,N,P trung điểm cạnh BC,SD,SB Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng sau:

a) NP AC b) MN AP Lời giải

a) Trong SAB kẻ PJ SI , từ J kẻ JE BD,E AC Từ E kẻ EF PJ,F PN

j

O A

B C

D S

I K H

H F

P

N

A D

S

Do PJ SI  PJ ABCD SI ABCD

  

  

 

PJ AC

 

Lại có PN BD PN AC 2  BD AC



 

 



Từ    1 , ta có AC vng góc với PNJ E, mà EFPNJACEF Vậy EF đoạn vng góc chung NP AC

  a

d AC,PN EF PJ SI

2

   

b) Gọi Q trung điểm AB

Ta có MQ AB,ABSABMQ SAB Tương tự NQ SA,SASABNQ SAB

Vậy MNQ SAB NM SAB Lại có MB AB MB SAB B MB SI

 

  

 

 hình chiếu M

SAB Từ B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AP K BK hình chiếu MN

SAB Từ K kẻ đường thẳng song song với MB cắt MN H KH đoạn vng góc chung MN AP

Vậy d MN,AP  KH MB a

  

Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng

AD' BD Lời giải

Cách 1.Dựng đường vng góc chung (theo cách 1) tính độ dài đoạn vng góc chung

Do BD B' D' 

AD' AB' D' 

 

 nên AB' D' mặt phẳng chứa AD'

song song với BD

Gọi O tâm hình vng ABCD

Ta dựng hình chiếu điểm O AB' D'

N M

H I G

O

B'

C' D'

A

D C

Do B'D' A'C' B'D' CC'A' B'D' A'C 1  B'D' CC'

 

   

 



Tương tự A'CAD'  2

Từ    1 , suy A'CAB'D' Gọi G A'C AB'D'

Do ΔAB'D' A'A A'B' A'D'  nên G trọng tâm tam giác AB'D' Vậy Gọi I tâm hình vng A'B'C'D' AI trung tuyến tam giác AB'D' nên A,G,I thẳng hàng Trong ACC'A' dựng OH CA' cắt AI H H hình chiếu O BD AB' D' Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD' M, từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD N MN đoạn vng góc chung AD' BD d AD',BD MN Dễ thấy MNOH hình chữ nhật nên MN OH Do OH đường trung bình tam giác

1 ACG OH CG

2

 

Mặt khác GC AC CG 2GA' CG 2CA' 2a 3a GA'A'I    3 3  3a a

OH

2 3

  

Vậy d AD',BD  MN OH a 3

  

Cách 2. Dựng đường vng góc chung (theo cách 2) tính độ dài đoạn vng góc chung

Chon DCB'A' vng góc với AD' trung điểm O

AD' Gọi I tâm hình vng BCC'B' BICB'

BICD nên BIDCB'A' từ DI hình chiếu DB lên

DCB'A'

Trong DCB'A' kẻ OHDI, từ H dựng đường thẳng song song với AD' cắt BD M, từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt OA N MN đoạn vng góc chung của AD' BD d AD',BD MN

Ta có OHMN hình chữ nhật nên MN OH , mạt khác OH đường cao tam giác vuông

ODI nên 2 12 12 2 12 32 OH a 3 OH OD OI a 2 a a

2

      

 

 

 

 

I O

B'

C' D'

A

D C

B A'

Vậy d AD',BD  MN OH a 3

  

Cách 3. Giả sử MN đoạn vng góc chung AD' BD

với M AD',N BD  Từ M kẻ MPAD, từ N kẻ NQ AD Dễ thấy BDMNPBDNP; AD'MNQAD'MQ Hai tam giác AMQ DNP vuông cân nên

a QD QN QP MP PA

3

    

Lại có PN DP 2a a 2

  

Từ

2

2 2

2 2 a a a a

MN PM PN MN

3 3

 

 

        

   

Cách 4.Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường

Dễ thấy

 

 

   

AD' AB' D' BD BDC'

AB' D' BDC'

 

    

     

d AD',BD d AB'D' , BDC'

 

Gọi I,J giao điểm A'C với mặt phẳng

AB'D' , BDC'  

Theo chứng minh cách I,J trọng tâm tam giác AB'D' BDC' Mạt khác dễ dạng chứng minh A'CAB'D' ,A'C BDC'

suy d AD',BD  d AB'D' , BDC'    IJ 1A'C a

3

   

Cách 5. Sử dụng phương pháp vec tơ

Gọi MN đoạn vng góc chung AD' BD với M AD',N BD  Đặt AB x,AD y,AA' z    x y  z a,xy yz zx 0  

   

AD' y z  AM kAD' k y z ,DB x y     DN m x y  Ta có MN AN AM AD DN AM mx        1 k m y kz 

N

P

B'

C' D'

A

D C

B A'

M

Q

J I

B'

C' D'

A

D C

Vì MNDBMN.DB 0 mx  1 k m y kz x y    0 2m k

   

Tương tự MN.AD' 0  1 m 2k 0  , từ ta có hệ 2m k m k

m 2k

  

  

  



Vậy MN 1x 1y 1z MN MN x2 y2 z2 a

3 3

 

         

 

Ví dụ Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC đơi vng góc SA SB SC a   Gọi M,N trung điểm AB SA Dựng đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng SM CN

Lời giải

Cách 1.Dựng đoạn vng góc chung IK hai đường thẳng

SM CN( theo cách 1) tính IK

Gọi E trung điểm AM, ta có NE CNE SM CNE SM NE

 

 



 ,

do CNE mặt phẳng chứa CN song song với SM Trong SAB, kẻ SFNE

     

NE SF

NE CSF CSF CNE NE CS

 

   

 

 Trong CSF kẻ

 

SHCFSH CNE H hình chiếu S CNE, từ

H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN K, từ K kẻ đường thẳng song song với SH cắt

SM I IK đoạn vng góc chung SN CN Ta có SF AM a

4

  , 12 12 12

SH SF SC 2

1

a a a

4

  

 

 

 

 

a SH

3

 

Vậy d SM,CN  IK SH a

  

Cách 2. Dựng đoạn vng góc chung IK hai đường thẳng SM CN( theo cách 2) tính IK

Gọi P,Q trung điểm

SB vàCN, E giao điểm NP SM

I K

F

E N

M S

B C

A H

K I

H

E Q P

M S

B C

Khi NQ CS,CSSAB

 

NQ SAB NQ SM

   

Lại có SMNPSMNPQ E, dựng hình bình hành CSEHCH SE, mà

   

SE NPQ CH NPQ , NH hình chiếu NC NPQ.Kẻ EFNH F, từ

F kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN I, từ I kẻ đường thẳng song song với EF cắt SM

tại K IK đoạn vng góc chung CN SM Tam giác EHN vng E có đường cao EF

2 2 2 2

1 1 1

EF EH EN CS AB a a a

4

       

 

 

 

a EF

3

  Vậy d CN,SM  IK EF a

  

Cách 3.Sử dụng phương pháp vec tơ

Gọi EF đoạn vng góc chung SM CN

Đặt SA a,SB b,SC c    a b  c a ab bc ca 0  

EF đoạn vng góc chung SM CN SE xSM

E SM

F CN CF yCN EF SM EF.SM 0 EF CN EF.CN 0

 

  

   



 

 

 

  

  

Ta có EF ES SC CF SC CF SE c yCN xSM        

     

x 1

c a b y a c y x a xb y c

2 2

 

          

 

Ta có

4 x EF.SM 2x y 9

x 5y

EF.CN y

9  

     

  

    

 

 

 



Vậy đường vng góc chung SM CN đường thẳng EF

với SE 4SM,CF 8CN

9

 

Lúc EF 2a 2b 1c EF a2 b2 c2 a

9 9 81 81 81

Vậy d CN,SM  EF a  

Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng

AD' BD Lời giải

Cách 1.Dựng đường vng góc chung (theo cách 1) tính độ dài đoạn vng góc chung

Do BD B' D' 

AD' AB' D' 

 

 nên AB' D' mặt phẳng chứa AD' song

song với BD

Gọi O tâm hình vng ABCD

Ta dựng hình chiếu điểm O AB' D' Do B'D' A'C' B'D' CC'A' B'D' A'C 1 

B'D' CC'

 

   

 



Tương tự A'CAD'  2

Từ    1 , suy A'CAB'D' Gọi G A'C AB'D'

Do ΔAB'D' A'A A'B' A'D'  nên G trọng tâm tam giác AB'D' Vậy Gọi I tâm hình vng A'B'C'D' AI trung tuyến tam giác AB'D' nên A,G,I thẳng hàng Trong ACC'A' dựng OH CA' cắt AI H H hình chiếu O BD AB' D' Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD' M, từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD N MN đoạn vng góc chung AD' BD d AD',BD MN Dễ thấy MNOH hình chữ nhật nên MN OH Do OH đường trung bình tam giác

1 ACG OH CG

2

 

Mặt khác GC AC CG 2GA' CG 2CA' 2a 3a GA'A'I    3 3  3a a

OH

2 3

  

Vậy d AD',BD  MN OH a 3

  

Cách 2.Dựng đường vng góc chung (theo cách 2) tính độ dài đoạn vng góc chung

N M

H I G

O

B'

C' D'

A

D C

35 Chon DCB'A' vng góc với AD' trung điểm O

AD' Gọi I tâm hình vng BCC'B' BICB'

BICD nên BIDCB'A' từ DI hình chiếu DB lên

DCB'A'

Trong DCB'A' kẻ OHDI, từ H dựng đường thẳng song song với AD' cắt BD M, từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt OA N MN đoạn vng góc chung của AD' BD d AD',BD MN

Ta có OHMN hình chữ nhật nên MN OH , mạt khác OH đường cao tam giác vuông ODI nên

2 2 2

1 1 1 a

OH OH OD OI a 2 a a

2

      

 

 

 

 

Vậy d AD',BD  MN OH a 3

  

Cách 3 Giả sử MN đoạn vng góc chung AD'

BD với M AD',N BD  Từ M kẻ MPAD, từ N kẻ NQAD

Dễ thấy BDMNPBDNP; AD'MNQAD'MQ Hai tam giác AMQ DNP vuông cân nên

a QD QN QP MP PA

3

    

Lại có PN DP 2a a 2

  

Từ

2

2 2

2 2 a a a a

MN PM PN MN

3 3

 

 

        

   

Cách Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường

I O

B'

C' D'

A

D C

B A'

H M N

N

P

B'

C' D'

A

D C

B A'

M

Q

I

B'

C' D'

36 Dễ thấy

 

 

   

AD' AB' D' BD BDC'

AB' D' BDC'

 

    

     

d AD',BD d AB'D' , BDC'

 

Gọi I,J giao điểm A'C với mặt phẳng AB'D' , BDC'  

Theo chứng minh cách I,J trọng tâm tam giác AB'D' BDC' Mạt khác dễ dạng chứng minh A'CAB'D' ,A'C BDC'

suy d AD',BD  d AB'D' , BDC'    IJ 1A'C a

3

   

Cách 5.Sử dụng phương pháp vec tơ

Gọi MN đoạn vng góc chung AD' BD với M AD',N BD  Đặt AB x,AD y,AA' z    x y  z a,xy yz zx 0  

   

AD' y z  AM kAD' k y z ,DB x y     DN m x y  Ta có MN AN AM AD DN AM mx        1 k m y kz 

Vì MNDBMN.DB 0 mx  1 k m y kz x y    0 2m k

   

Tương tự MN.AD' 0  1 m 2k 0  , từ ta có hệ 2m k m k

m 2k

  

  

  



Vậy MN 1x 1y 1z MN MN x2 y2 z2 a

3 3

 

         

 

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD SA a Tính khoảng cách hai đường thẳng

a) SB AD b) BD SC Lời giải

a) Kẻ đường cao AH tam giác SAB Ta có

 

AD AB

AD SAB AD AH AD SA

 

   

 

 Vậy AH đoạn vng

góc chung SB AD, nên d AD,SB AH

D S

Tam giác SAB vng cân A có đường cao AH nên AH 1SB a

2

 

Vậy d AD,SB AH=a

2

b) Ta có BD AC BD SAC BD SA

 

 

 

 Gọi O tâm hình vng ABCD kẻ OK SC,K SC  OK đoạn vng góc chung BD SC

Vậy d BD,SC  OK 1AI

  ( I trung điểm SC) Ta có 2 12 12 12 12 32 AK a

3 AK AS AC a 2a 2a  

Vậy d BD,SC  a 6



Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng ISABCD SI a



Gọi M,N,P trung điểm cạnh BC,SD,SB Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng sau:

a) NP AC b) MN AP Lời giải

a) Trong SAB kẻ PJ SI , từ J kẻ JE BD,E AC Từ E kẻ EF PJ,F PN

Do PJ SI  PJ ABCD SI ABCD

  

  

 

PJ AC

 

Lại có PN BD PN AC 2  BD AC



 

 



Từ    1 , ta có AC vng góc với PNJ E, mà EFPNJACEF Vậy EF đoạn vuông góc chung NP AC

  a

d AC,PN EF PJ SI

2

   

b) Gọi Q trung điểm AB

H Q F

E

J P

N

M I

O A

B

C

D S

Ta có MQ AB,ABSABMQ SAB Tương tự NQ SA,SASABNQ SAB

Vậy MNQ SAB NM SAB Lại có MB AB MB SAB B MB SI

 

  

 

 hình chiếu M

SAB Từ B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AP K BK hình chiếu MN

SAB Từ K kẻ đường thẳng song song với MB cắt MN H KH đoạn vng góc chung MN AP

Vậy d MN,AP  KH MB a

  

Ví dụ Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC đơi vng góc SA SB SC a   Gọi M,N trung điểm AB SA Dựng đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng SM CN.Cho tam giác ABC , dựng ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ

BC Lời giải

Cách 1.Dựng đoạn vng góc chung IK hai đường thẳng

SM CN( theo cách 1) tính IK

Gọi E trung điểm AM, ta có NE CNE SM CNE SM NE

 

 



 ,

do CNE mặt phẳng chứa CN song song với SM Trong SAB, kẻ SFNE

     

NE SF

NE CSF CSF CNE NE CS

 

   

 

 Trong CSF kẻ

 

SHCFSH CNE H hình chiếu S CNE, từ

H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN K, từ K kẻ đường thẳng song song với SH cắt

SM I IK đoạn vng góc chung SN CN Ta có SF AM a

4

  , 12 12 12

SH SF SC 2

1

a a a

4

  

 

 

 

 

a SH

3

 

Vậy d SM,CN  IK SH a

  

I K

F

E N

M S

B C

Cách 2.Dựng đoạn vng góc chung IK hai đường thẳng SM CN( theo cách 2) tính

IK

Gọi P,Q trung điểm

SB vàCN, E giao điểm NP SM Khi NQ CS,CSSAB

 

NQ SAB NQ SM

   

Lại có SMNPSMNPQ E, dựng hình bình hành CSEHCH SE, mà SENPQCHNPQ , NH hình chiếu NC NPQ.Kẻ

EFNH F, từ F kẻ đường thẳng song song với SM

cắt CN I, từ I kẻ đường thẳng song song với EF cắt

SM K IK đoạn vng góc chung CN

SM

Tam giác EHN vng E có đường cao EF

2 2 2 2

1 1 1

EF EH EN CS AB a a a

4

       

 

 

 

a EF

3

  Vậy d CN,SM  IK EF a

  

Bài tốn 03: ỨNG DỤNG PHÉP CHIẾU VNG GĨC ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Phƣơng pháp:

Cho hai đường thẳng chéo AB CD

Xét mặt phẳng  α vng góc với CD điểm O.Gọi IJ đoạn vng góc chung AB CD ( I AB,J CD  )

Xét phép chiếu vng góc lên  α , Gọi A',B',I' hình chiếu A,B,I IJ OI' , từ d AB,CD  d O,A'B'

Vậy để tính IJ ta qui tính OI' mặt phẳng  α

K I

H

E Q P

N

M S

B C

A F

α J

B

O

A' I'

B' A I

Các ví dụ

Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M,N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai đường thẳng BN CM

Lời giải

Gọi H tâm tam giác BCD AHBCD Gọi  α mặt phẳng qua N song song với AH  α BN Xét phép chiếu vng góc lên  α , gọi A',B',C',D',H',M',N' ảnh A,B,C,D,H,M,N B' N' H' N   , C' C,D' D 

Ta có d CM,CD  d N,CM'

2 a a BH BN

3 3

   ,

2

2 2 a

AH AB BH a a

3

 

     

 

1 a

NM' AH a

2

  

Tam giác NCM' vuông N nên

 

2 2

1 1

d N,CM' CN NM' 2  

1 10 a 10

d N,CM' 10 a

a a

2 6

    

   

   

   

Vậy d CM,BN  d N,CM' a 10 10

 

Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi M,N trung điểm AB B'C' Tính khoảng cách hai đường thẳng AN DM

Lời giải

Gọi E trung điểm BC

Dễ thấy ΔADM ΔBAE nên AMD AEB , mà

0

AEB BAE 90  AMD BAE 90  DM AE

  Lại có ENABCDENDM

AENDM I

Xét phép chiếu vng góc lên ANE, ta có AN hình chiếu nên

   

d DM,AN d I,AN

M' A'

N M

A

B

C

D H

I

E

N M

A B

C

A'

D' C'

B'

Gọi K hình chiếu cuả I AN d I,AN IK Ta có ΔAKI ΔAEN, suy IK AI IK AI.EN  1

ENAN  AN

2

2 2 2 9a 3a

AN AE EN AB BE EN AN

4

       

2 2 2

1 1 a

AI AI AD AM a a a  

Thay vào  1 ta IK 2a 15



Vậy d DM,AN  2a 15



CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Câu 64 Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc OA OB OC a   Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng:

a) OA BC A a

3 B.

3a

2 C.

a

12 D.

a

b) AI OC A a

4 B.

a

6 C.

a

7 D.

a 5 Bài làm: 64 a) Do OA OB OA OBC OA OI

OA OC

 

   

 



Lại có OB OC I trung điểm BC nên OIBC Vậy OI

là đoạn vng góc chung OA BC

BC a OI

2

 

b) Gọi J trung điểm OBthì mặt phẳng  AIJ chứa AI song song với OC Hạ OH AJ,H AJ 

Ta có IJ OC  IJ OAB IJ OH OC OAB

    

 

 OH AIJ Từ H kẻ đường thẳng song song

với IJ cắt AI E, từ E kẻ đường thẳng song song với OH cắt OC F EF đoạn vng góc chunh AI OC

F E

J A

O B

C I

Trong tam giác OAJ có 2 12 12 52 OH a 5 OH OA OJ a  

Vậy EF OH a 5

 

Câu 65. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SAABCvà SA a



Tính khoảng cách từ A đến SBC A d A, SBC   a

2

 B. d A, SBC   a

 C.d A, SBC   a 3

 D. d A, SBC   a 2  Bài làm:65 Gọi I trung điểm BC Do tam giác ABC nên AIBC, mặt khác

     

SA ABC SABC SAI  SBC

do hạ AHSI H AHSBC Vậy d A, SBC  AH

Ta có AI a 3,SA a

2

  suy

2 2 2

1 1 1

AH AI AS a 3 a 6

2

   

   

   

   

   

2

2 a

AH a

  

Hay d A, SBC   a 2



Câu 66. Cho tứ diện ABCD có ADABC, AC AD 4cm  , AB 3cm,

BC 5cm Tính khoảng cách từ A đến BCD A d A, DBC   34

17

 B. d A, DBC   12 17

 C.d A, DBC   17

 D. d A, DBC   34 17  Bài làm: 66 Chứng minh AB,AC,AD đôi vuông góc , từ tính

 

  34 d A, DBC

17



I S

A

B

( Trích đề thi ĐH Khối D Năm 2002) Câu 67 Cho hai mặt phẳng  P  Q vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng Δ Trên

Δ lấy hai điểm A,B cho AB a Trong mặt phẳng  P lấy điểm C, mặt phẳng  Q lấy điểm D cho AC,BD vng góc với Δ AC BD AB  Tính khoảng cách từ A đến

BCD

A d A, BCD   a

 B. d A, BCD   a

 C.d A, BCD   a

 D. d A, BCD   a 2  Bài làm:67 Gọi O trung điểm CD

Ta có    P  Q Δ   P  Q , mà ACΔ

 

AC Q AC AD

    ΔACD vuông

AOA OC OD 

Tương tự ΔBCD vuông BOB OC OD  Vậy OA OB OC OD  

Hạ AHCB AH BC AH BCD AH BD

 

 

 



 

  a

d A, BCD AH

 

Câu 68. Cho tứ diện ABCD có AB a,AC b,AD c  

BAC CAD DAB 60   Tính khoảng cách từ D đến ABC

A d D, ABC   c

 B. d D, ABC   c

 C.d D, ABC   c

 D. d D, ABC   c  Bài làm:68 Gọi H hình chiếu D ABC

Hạ HM AB,HN AC 

Xét hai tam giác vngAMD AND có AD chung,

MAD NAD 60  nên

ΔMAD ΔNAD DM DN HM HN AH đường phân giác góc A tam giác ABC

Ta có c

AM ADcos60

 

Q P

O C

D

A B

H

A

D B

C

H M

0

c

AM 2 c AH

3 cos 30

2

  

2 2 c a

DH AD AH c

3

    

Vậy d D, ABC   c



Câu 69 Cho hình chóp S.ABC có SA 3a SAABC Tam giác ABC có AB BC 2a  , góc

ABC 120 Tính khoảng cách từ A đến SBC A d A, SBC   3a

2

 B. d A, SBC   a

 C.d A, SBC   7a

 D. d A, SBC  2a Bài làm:69 Kẻ AIBC,I BC , ta có BC AI

BC SA

 

 



 

BC SAI

 

Kẻ AHSI AH SI AH SBC AH BC

 

 

 



Vậy d A, SBC  AH

Ta có

ABI 60 ,

AI ABsin60 2a a

  

   

2 2 2

1 1 1

AH AS AI  3a  a 3

2

4 3a

AH 9a

  

Vậy d A, SBC   3a 

Câu 70. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông BA BC a  , cạnh bên

AA' a 2 Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM,B'C ( Trích đề thi ĐH Khối D Năm 2008) A d AM, B'C  a

2

 B. d AM, B'C  a 3

 C.d AM,B'C  a 7

 D. d AM, B'C  a 5 

120

S

A

C

Bài làm: 70 Gọi N trung điểm BB' ; ta có

   

B'C MN

B'C AMN MN AMN

 

 



    

d AM,B'C d B', AMN Mặt khác N trung điểm BB'

nên d B', AMN  d B, AMN  

Kẻ BIAM AMBNI,kẻ BHNIBHAMN nên

 

 

d B, AMN BH Ta có 12 12 12

BH BN BI

2 2

1 1

BN BA BM a

   

a BH

7

  Vậy d AM,B'C  a 7



Cách 2. Kẻ BIAM IBB'AM, kẻ CK AM CKIBB'

Xét phép chiếu vng góc lên IBB' ta có B'K hình chiếu

B'C IBB' nên d AM,B'C  d I,B'K Hạ IH B'K,H B'K  , ta có

2 2

1 1 a

BI BI BA BM a  

Dễ thấy BK 2a 5



2

2 a 14

B'K BK BB' 2a a

5

    

Ta có ΔKHI ΔKBB' IH IK

BB' B'K

 

IK.BB' a 5 a

IH a

B'K a 14

   

Vậy d AM,B'C  a 7



Câu 71 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, BA BC a,AD 2a   Cạnh bên SAABCD SA a 2 Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ H đến SCD

N

M

C'

A'

B

A

C B'

I H

K M

C'

A' B

A

C B'

A d H, SCD   a

 B. d H, SCD   a

 C.d H, SCD  a D. d H, SCD   a  Bài làm:71 Gọi I trung điểm AD, IA ID IC AD

2

   nên ΔACD vuông C

 

CD AC

 

Lại có SAABCD

 

SA CD

  Từ    1 , suy

 

CD SAC CDSC, hay tam giác SCD vuông C Gọi d ,d1 2 khoảng cách từ B,H đến SCD Ta có

2

2

1

d SH SH.SB SA d SB  SB  SB 3

2

2

d d

3



Kẻ AFSC dễ thấy AFSCD, kẻ BK AF,K EF d1BK Gọi E AB CD

Ta có BK EB BK 1AF AFEA 2 2

Mặt khác,trong tam giác vng SAC ta có 12 12 12 12 12 12 AF a AF AC AS 2a 2a a  

1

a a a a

KB d d

2 3

      

Vậy   

a d H, SCD d

3  

Lƣu ý: Có thể tính khoảng cách từ H đến SCD theo cách khác sau:

Gọi E AB CD,K AH SE   

Dễ thấy B trung điểm AE SH

SB 3 nên H

trọng tâm tam giác ASE Ta có   

 

 

d H, SCD KH 1 KA d A, SCD  

K

E

I

B C

S

A D

H

F

K I

B C

S

A D

Tứ diện ABES có AB,AE,AS đơi vng góc nên

 

  2

2

1 1

AE AD AS

d A, SCD    2 2

1 1

4a 4a 2a a

   

 

     a

d A, SCD a d H, SCD

   

Câu 72 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến SBC b Tính SH

A 2 2ab SH a 16b 

 B. 2

ab SH

a 16b 

 C. 2

2ab SH

3a 16b 

 D. 2

3ab SH

a 16b 

 Bài làm: 72 Gọi E trung điểm BC, ta có

  BC HE BC SHE BC SH       

SHE SBC

  Do IKSEthì IKSBCIK b Ta có ΔSKI ΔSHE IK SK

HE SH     HE.SK SH * IK

  , mà

2

2 2

a SH

HE ,IK b,SK SI IK b

2

      nên

 

2

2

a SH 2ab

* SH b SH

2b a 16b

      Vậy 2 2ab SH a 16b  

Câu 73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a AC a Gọi H trung điểm cạnh AB, biết SHABCD SH a Tính khoảng cách

a) Từ O đến SCD A d O, SCD   a

14

 B. d O, SCD   a 21  C. d O, SCD   3a 21

14

 D. d O, SCD   a 21 14 

b) Từ A đến SBC

A d A, SBC   a 57 19

 B. d A, SBC   2a 19  C. d A, SBC   2a

19

 D. d A, SBC   2a 57 19  Bài làm:73 a) Gọi I HO CD   

 

 

d O, SCD OI 1 HI d H, SCD

  

Tam giác ABC nên CHAB mà AB CDCH CD Mặt khác CDSHdo CDSHC, kẻ

 

HJSC,J SC HJ SCD d H, SCD  HJ Ta có HC a

2

 , tam giác SHCcó 12 12 12

HJ HC HS

2 2 2

1

a 3a a 3a a

2

    

 

 

 

 

 

    

3 a 21 a 21

HJ a d O, SCD d H, SCD

7 14

     

b) Ta có B AB SBC nên   

 

 

d A, SBC BA BH d H, SBC  

Gọi E,F trung điểm BC,BE AE BC HF BC HF AE

 

 

 

Vậy BC HF BC SHF SBC SHF BC SH

 

   

 

 , kẻ HKSF HKSBCnên

 

 

d H, SBC HK

Ta có HF AE a 12 12 12 162 12 192 HK HF HS 3a a 3a

       

 

    

a 2a 57

HK d A, SBC 2d H, SBC

19 19

    

Vậy d A, SBC   2a 57 19



Câu 74. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cạnh a Gọi M,N trung điểm AA',BB' Tính khoảng cách hai đường thẳng B'M CN

E

O I

H A

B C

D S

F K

A d B'M,CN  3a

 B. d B'M,CN  5a

 C.d B'M,CN  7a

 D. d B'M,CN  a  Bài làm:74

Gọi O,O' trung điểm BC,B'C' , I OO' CN  Do B'M AN  B'M CAN

AN ACN

 

 



    

d B'M,CN d B'M, ACN

 

 

   

d B', ACN



Mặt khác N trung điểm BB' nên

 

      

d B', ACN d B, CAN

Ta có     

 

   

d B, CAN CB

CB CAN C

CO d O, CAN

    

Dễ thấy tứ diện OACI có OA,OC,OI đơi vng góc nên

 

  2  

2

1 1

4 OA OC OI d O, ACN   

Dễ thấy OC a,OI CN a,OA a

2

    nên

 

  2 2 2

2

1 1 4 16 64

3a a a 3a d O, ACN a 3 a a

2

2

      

     

     

     

 

 

  a  

d O, ACN

 

Từ          1 , , , , ta có d B'M,CN  a



Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SOABCD,

AC 4,BD 2,SO   Tính a) Khoảng cách từ A đến SBC

A d A, SBC   19

 B. d A, SBC   17 

I O

O'

N

M A' B'

C

B

C. d A, SBC   19

 D. d A, SBC   19 

b) Khoảng cách hai đường thẳng AB SD A d AB,SD 

19

 B. d AB,SD  19

 C.d AB,SD  19

 D. d AB,SD  19  Bài làm: 75

a) Ta có AOSBCC nên   

 

   

d A, SBC CA CO d O, SBC  

Mặt khác dễ thấy tứ diện OBCS có cạnh OB,OC,OS đơi vng góc nên

 

  2

2

1 1

OB OC OS d O, SBC    1 19

1

4 12

    d O, SBC   19

 

 

  d A, SBC

19

 

b) Ta có SCD mặt phẳng chứa SD song song với AB d AB,SD d AB, SCD  d B, SCD  Tương tự câu a) ta có d B, SCD  2d O, SCD   mà

 

  d O, SCD

19

 d B, SCD   19

  , hay d AB,SD  19



Câu 76. Cho tứ diện ABCD có AB CD a,AD BC b,AC BD c      Tính khoảng cách cặp cạnh đối tứ diện

A  

2 2

a c b d AD, BC

2

 

 ,  

2 2

a b c d AC, BD

2

 



B.  

2 2

a c b d AD, BC

3

 

 ,  

2 2

a b c d AC, BD

3

 



C.  

2 2

a c b d AD, BC

2

 

 ,  

2 2

a b c d AC, BD

2

 



D.  

2 2

a c b d AD,BC

2

 

 ,  

2 2

Bài làm: 76

Gọi M,N trung điểm AB CD

Xét hai tam giác ACD BCD có CD chung AC BD,AD BC  nên ΔACD ΔBCD , mà M trung điểm AB nên MNAB

Lí lưaanj tương tự ta có MNCD

Vậy MN đường vng góc chung AB CD,

 

d AB,CD MN

Ta có  

2 2

2 2

2 AC AD CD b c a

AN

2 4

 



  

 2 2 2 2 b c a a

MN AN AM

4

 

   

2 2

b c a

 

 MN b2 c2 a2

2

 

  , hay  

2 2

b c a d AB,CD

2

 



Tính tương tự ta có :

  2

a c b d AD,BC

2

 

 ,  

2 2

a b c d AC,BD

2

 



Câu 77 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MNBD

và tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC

( Trích đề thi ĐH Khối B Năm 2007) A d MN,AC  a3

4

 B. d MN,AC  5a

 C.d MN,AC  7a

 D. d MN,AC  a  Bài làm: 77 Gọi P trung điểm SA

Ta có MP đường trung bình

ΔEADMP ADMP BC

Do MP NC nên MPCN hình bình hànhMN CP Mặt khác ABCD hình chóp nên dễ dàng chứng minh BDSACBDCP

Vậy MN CP MN BD BD CP



 

 



a

b

c b

a c

N M

A

B

D

C

M

N E

P

A

D C

Ta có SAC mặt phẳng chứa AC song song với MN nên d MN,AC d N, SAC  

 

 

1 a

d B, SAC

2

 

Vậy d MN,AC  a



Câu 78 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a,AD 2a  , cạnh

 

SA ABCD , cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc

60 Trên SA lấy điểm M cho

a AM

3

 Tính khoảng cách từ S đến BCM

A d S, BCM  2a B. d S, BCM  a C.d S, BCM   1a

 D. d S, BCM   1a  Bài làm:78 Kẻ SHBM Ta có

 

BC AB

BC SAC BC SH BC SA

 

   

 

 Lại có

 

SH BM

SH MBC SH BC

 

 

 



Vậy d S, MBC  SH

Ta có SAABCDSB, ABCD 

0

SBA 60

 

SA ABtan60 a

  

2 2 a 2a

MB AB AM a

3

 

     

 

Dễ thấy ΔMHS ΔMAB nên

2a a

MH MS MS.MA 3 3 a

HM

2a

MA MB MB

3

    

2 2

2a a

BH BM MH a SH SB BH 4a 3a a

3

          

Vậy d S, BCM  a

A

B C

D S

Câu 79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M,N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SHABCD SH a 3 Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC

A d DM,SC  a 57 19

 B. d DM,SC  2a 57

 C.d DM,SC  2a 19

 D. d DM,SC  2a 57 19  Bài làm: 79 Ta có DM CN DM SCN

DM SH

 

 

 

 DM SC

  Gọi I hình chiếu H SC HI đoạn vng góc chung SC DM nên d DM,SC HI

Tứ giác AMHN nội tiếp nên DH.DM DN.DA DH DN.DA DM

  

2

2 2

2

a a a

5

2 AM AD a

2 a

4

  

 

Ta có

2

2 2 a 4a 2a

HC DC DH a HC

5 5

      

Tam giác SCH vuông H có đường cao HI nên 12 12 12

HI HS HC

 2 2 2

1 1 19 3a

HI

3a 4a 12a 19

2a a

5

      

 

 

 

Vậy d DM,SC  2a 57 19



Câu 80. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB a,AC 2a,AA' 2a 5  

BAC 120 Gọi M trung điểm cạnh CC' Tính khoảng cách từ A đến A' BM

A d A, A' BM   a

 B. d A, A' BM   a 3  C. d A, A' BM   a

3

 D. d A, A' BM   a  Bài làm: 80.Áp dụng định lí sin ta có

2 2 2

BC AB AC 2AB.ACcosA a 4a 2.2a.a 7a

 

       

 

BC a

 

H N M

A

B C

D S

Ta có 2 2

BM BC MC 2a 3,A'B AB AA' a 21

2

A'M A'C C'M 3a, từ ta có 2 2

MB MA' 21a A'B nên tam giác MA'B vuông M

hay MBMA'.Kẻ BIAC I

Gọi N A'N AC, ta có IAA'BMN nên   

 

 

d A, A' BM NA NI d I, A' BM 

Ta có AN 2AC 4a  , a

AI ABcos60

  nên IN IA AN a 4a 9a

2

     ,

 

 

 

 

d A, A' BM 4a 8 9a d I, A' BM

2

 

Dễ thấy BIACC'A'BIA'M,

 

A'M BI

A'M IMB A'M MB

 

 

 



IBM  A'BMBM nên kẻ IKBM

 

IK A'BM

Vậy d I, A'BM  IK Ta có

2

2 5a 2a 3a

IM IC CM

2 2

 

 

       

   

2 2 2

1 1 4 64 3a

IK IK IM IB 3a 45a 45a  

Do d A, A' BM   3a a

9

 

Lƣu ý: Có thể sử dụng   

 

 

d A, A' BM NA NC

d C, A' BM  dựng hình vẽ tính khoảng cách từ A

đến A' BM

N M

C'

B'

B

C A

A'

CHƯƠNG III

VEC TO – QUAN HỆ VNG GĨC

MỤC LỤC

TỔNG HỢP LẦN CHƯƠNG III QUAN HỆ VNG GĨC

ĐÁP ÁN 17

TỔNG HỢP LẦN CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 17

BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 17 BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC 18 BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 19 BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 21 BÀI 5: KHOẢNG CÁCH 25

TỔNG HỢP LẦN CHƯƠNG VECTO - QUAN HỆ VNG GĨC 27

ĐÁP ÁN 33

TỔNG HỢP LẦN CHƯƠNG III QUAN HỆ VUÔNG GĨC Câu 1. Trong khơng gian,

A vectơ đoạn thẳng

B vectơ đoạn thẳng phân biệt điểm điểm đầu, điểm điểm cuối

C vectơ hình gồm hai điểm, có điểm điểm đầu điểm điểm cuối

D vectơ đoạn thẳng xác định

Câu 2. Trong không gian cho vectơ AB Khi đó,

A giá vectơ AB AB B giá vectơ AB AB

C giá vectơ AB đoạn thẳng AB D giá vectơ AB đường thẳng AB

Câu 3. Trong không gian cho vectơ AB Khi đó,

A độ dài vectơ AB AB B độ dài vectơ AB AB

C độ dài vectơ AB đoạn thẳng AB D.độ dài vectơ AB đường thẳng AB

Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó, vectơ vectơ AB vectơ đây? A CD B B A' ' C D C' ' D BA

Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó, vectơ vectơ AB vectơ đây? A CD B B A' ' C D C' ' D A A'

Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó, ba vectơ khơng đồng phẳng A CD B A, ' ' D C' ' B CD B A, ' ' AB C CD B A, ' ' A A' D CD C D, ' ' AB

Câu 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó,

A D A D C'  ' 'D D' B D A D C'  ' 'D C' C D A D C'  ' 'D B' D D A D C'  ' 'D A'

Câu 8. Cho tứ diện ABCD có I, J tương ứng trung điểm cảu cạnh AB CD Với điểm M bất kì, ta có: A MA MB MC MD   4IJ B MA MB MC MD   MI MJ

C MA MB MC MD   2IJ D MA MB MC MD   2MI MJ 

Câu 9. Cho hai hình bình hành ABCD MNPQ có O O’ tương ứng giao hai đường chéo hình Khi đó,

A AM BN CP DQ   4OO' B AM BN CP DQ   2OO' C AM BN CP DQ OO    ' D AM BN CP DQ   0

Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó, A AB AC AD AA   'AB'AC'AD'4AC' B AB AC AD AA   'AB'AC'AD'3AC'

D AB AC AD AA   'AB'AC'AD' 0

Câu 11. Cho biết mệnh đề sau sai?

A AD'ABBD' B AD'AB CD 'CB C AD'ABBC CD ' D AD'AB BA 'A C CD' 

Câu 12. Trong không gian,

A ba vectơ đồng phẳng ba vectơ phải nằm mặt phẳng B ba vectơ đồng phẳng ba vectơ hướng

C ba vectơ đồng phẳng giá ba vectơ song song với

D ba vectơ đồng phẳng giá ba vectơ song song với mặt phẳng

Câu 13. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ', AB BC', ' BD

A ba vectơ đồng phẳng B ba vectơ không đồng phẳng C ba vectơ phương D ba vectơ hướng

Câu 14. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có AC, BD hai đường chéo hình vng ABCD ' ', ' '

A C B D hai đường chéo hình vng A B C D' ' ' ' Gọi ACBD O A B' 'B D' 'O' Các điểm M, N tương ứng cạnh BB' ' 'C D cho BM C N ' Khi AB C O', ' MN

A ba vectơ đồng phẳng B Ba vectơ không đồng phẳng C ba vectơ phương D ba vectơ hướng

Câu 15. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có AC, BD hai đường chéo hình vng ABCD ' ', ' '

A C B D hai đường chéo hình vng A B C D' ' ' ' Gọi ACBD O A B' 'B D' 'O' Các điểm M, N tương ứng cạnh BB' ' 'C D cho '

' ' '

BM C N

BB C D Khi AB C O', ' MN

A ba vectơ đồng phẳng B Ba vectơ không đồng phẳng C ba vectơ phương D ba vectơ hướng

Câu 16. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành, gọi M, N tương ứng trung điểm cạnh BC

và SC Gọi I giao điểm AM với BD Gọi G trọng tâm tam giác SAB Khi AD GI, MN

là

A ba vectơ đồng phẳng B ba vectơ không đồng phẳng C ba vectơ phương D ba vectơ hướng

Câu 17. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M, N tương ứng trung điểm cạnh DA DC Khi ', '

AC BB MN

A ba vectơ đồng phẳng B ba vectơ không đồng phẳng C ba vectơ phương D ba vectơ không phương

Câu 18. Cho hình bình hành ABCD (các đỉnh lấy theo thứ tự đó) M điểm Khi đó, ta kết luận mối quan hệ MA MB MC, , MD?

A MA MB MC MD B MA MB MC MD

C MA MC MB MD D MA MC MB MD

Câu 19. Cho hình chóp S.ABC, gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có

A SA SB SC SG   B SA SB SC  2SG

C SA SB SC  3SG D SA SB SC  4SG

Câu 20. Cho hình chóp S.ABC, gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi đó, SG phương với

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC, gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi đó, SG hướng với

A SA SB SC  B SA SB SC  C SA SB SC  D SA SB SC 

Câu 22. Cho hình chóp S.ABC, điểm M, N tương ứng trung điểm cạnh SA, BC Gọi I trung điểm

MN, P điểm Khi đó, PI phương với

A PA PB B PA PB PC 

C PA PB PC PS   D PA PC

Câu 23. Cho hình chóp S.ABC, điểm M, N tương ứng trung điểm cạnh SA, BC Gọi I trung điểm

MN, P điểm Khi đó, PA PB PC PS   phương với

A PA PB B PA PC C PB PC D PM PN

Câu 24. Cho hình chóp S.ABC, điểm M, N tương ứng trung điểm cạnh SA, BC Gọi I trung điểm

MN, P điểm Khi đó, PA PB PC PS   hướng với

A PA PB B PA PC C PB PC D PM PN

Câu 25. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó, góc hai vectơ B C' ' AC góc đây? A B C A' ' ' B C A B' ' ' C DAC D DCA

Câu 26. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó, góc hai vectơ AC' BB' góc đây? A C AC' B C AA' ' C AC C' D AC A' '

Câu 27. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó, góc hai vectơ CB CD C C C B'  ' 'C D' ' góc đây?

A C AC' B C AA' ' C AC C' D AC A' '

Câu 28. Cho vectơ a khác vectơ khơng vectơ b vectơ khơng Khi đó, góc hai vectơ a b góc có số đo bao nhiêu?

A 00 B 900 C 1800 D Tùy ý.

Câu 29. Trong không gian, với hai vectơ a b khác vectơ khơng, ta ln có :

A a b b a B a b b a  0 C a b b a D a b b a  0

Câu 30. Trong không gian, với ba vectơ a b, c khác vectơ khơng, ta ln có : A  a b c a b c .  B  a b c a b c   0 C  a b c a b c .  D  a b c a b c   0

Câu 31. Trong không gian, với hai vectơ a b khác vectơ không, ta ln có :

A a b  a b B a b  a b C a b  a b D a b  a b

Câu 32. Trong không gian, với hai vectơ a b khác vectơ khơng, ta ln có :

A a b 0 B a b 0 C a b 0 D a b số thực

Câu 33. Trong không gian, với hai vectơ a b khác vectơ khơng, ta ln có : A a a  a2 B a a  a2

C a a 0 D .a a không xác định

Câu 34. Cho tứ diện ABCD, gọi góc hai đường thẳng AB CD α Ta ln có : A cos cosAB CD,  B cos

AB CD AB CD

C cos

AB CD AB CD

   D cos

AB CD AB CD

 

Câu 35. Trong mệnh đề sau mệnh đề nàosai?

A Tích vơ hướng hai vectơ a b vectơ B Tích vơ hướng hai vectơ a b góc C Tích vô hướng hai vectơ a b số

D Tích vơ hướng hai vectơ a b số vectơ

Câu 36. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ', vectơ

A AB CD, B AA D D', ' C DB B D, ' ' D BA CD', '

Câu 37. Cho tứ diện MNPQ, đẳng thức sai đẳng thức nào?

A MN NP MP B MN NP  0 MP

C NP NQ NM D NP PQ NM MQ

Câu 38. Cho hình chóp S.MNPQ có đáy hình bình hành Ta có :

A MQ MN MS B MQ MN MP C MQ MN QN D MQ MN NQ

Câu 39. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Ta có :

A AB AD' '4a2 B AB AD' '2a2 C AB AD' 'a2 D AB AD' ' 0

Câu 40. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Khi đó,

A AC B D ' '4a2 B AC B D ' '2a2 C AC B D ' 'a2 D. AC B D ' ' 0

Câu 41. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Khi đó,

A AB BC'. '4a2 B AB BC'. '2a2 C AB BC'. 'a2 D. AB BC'. ' 0

Câu 42. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Khi đó,

A A C BD' 6a2 B A C BD' a2 6 C AC BD'. a2 3 D. A C BD' 0

Câu 43. Nếu đường thẳng d có vectơ phương u0

A đường thẳng có vectơ phương u B đường thẳng có hai vectơ phương u u

C đường thẳng có thêm vectơ phương ku, với k0 D đường thẳng có vơ số vectơ phương ku, với k0, k

Câu 44. Hãy cho biết mệnh đề sau sai?

A Một đường thẳng d hoàn toàn xác định biết hai điểm A, B (phân biệt) thuộc d B Một đường thẳng d hoàn toàn xác định biết vectơ phương d

C Một đường thẳng d hoàn toàn xác định biết điểm A thuộc d biết d song song với đường thẳng a

D Một đường thẳng d hoàn toàn xác định biết điểm A thuộc d biết đường thẳng d vng góc với đường thẳng a

Câu 45. Hãy cho biết mệnh đề sau sai? Hai đường thẳng vng góc

A góc hai vectơ phương chúng 900 B góc hai đường thẳng 900

Câu 46. Cho biết khẳng định sau sai?

Cho tam giác ABC, ABD ABE, ABC ABD thuộc mặt phẳng cịn ABE

khơng thuộc mặt phẳng Gọi I trung điểm AB, ta có : A.CE vng góc với DE B.CD vng góc với AB C BE vng góc với AE D.AB vng góc với EI

Câu 47. Trong khơng gian,

A góc hai vectơ 1800 giá hai vectơ song song với B góc hai vectơ 1800 giá hai vectơ trùng

C góc hai vectơ 1800 hai vectơ phương D góc hai vectơ 1800 hai vectơ hướng

Câu 48. Nếu a b  a b

A góc hai vectơ lng 1800 B góc hai vectơ ln 00 C hai vectơ ln phương D Hai vectơ ln hướng

Câu 49. a b  a b thỏa điều kiện đây?

A cos a b, 1 B cos a b,  1 C cos a b, 1 D

 

0

cos ,

a a b

a b b

  



 

    

 

  

Câu 50. Cho biết khẳng định sau sai?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, hai đường chéo AC, BD cắt O

SA SB SC SD   Khi đó,

A.AC vng góc với BD B.SO vng góc với AC

C.SO vng góc với BD D.SO vng góc với (ABCD)

Câu 51. Cho biết khẳng định sau sai?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, hai đường chéo AC, BD cắt O

SA SB SC SD   Khi đó,

A OA OB OC OD   B OA OB OC OD  

C OA OB OC  OD D OA OB OC OD  

Câu 52. Cho hai tam giác cân chung đáy ABC ABD không thuộc mặt phẳng Khi đó, A.AB vng góc với CD

B.AC vng góc với BD C AD vng góc với BC

D cặp cạnh đối tứ diện ABCD vng góc với

Câu 53. Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy đáy tam giác vng đỉnh B Khi số mặt hình chóp cho tam giác vuông bao nhiêu?

A B C D

Câu 54. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hìn thang vng có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC Khi số mặt bên hình chóp cho tam giác vng bao nhiêu?

Câu 55. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó, A mặt phẳng ACC A' ' vng góc với BD B mặt phẳng ACC A' ' vng góc với BD' C mặt phẳng ACC A' ' vng góc với B D' D mặt phẳng ACC A' ' vuông góc với BC'

Câu 56. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó, A mặt phẳng AB D' ' vng góc với A C' ' B mặt phẳng AB D' ' vuông góc với A D' C mặt phẳng AB D' ' vng góc với A B' D mặt phẳng AB D' ' vng góc với A C'

Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang cân có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời cạnh bên AB = BC Khi số mặt bên hình chóp cho tam giác vng bao nhiêu?

A B C D

Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang cân có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời cạnh bên AB = BC Khi đó, tam giác SAD, SAB, SBD, SCD số tam giác vuông bao nhiêu?

A B C D

Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang cân có đáy lớn AD gấp đơi đáy nhỏ BC, đồng thời cạnh bên AB = BC Khi đó, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy góc đây?

A SCB B SCD C SCA D BCA

Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang cân có đáy lớn AD gấp đơi đáy nhỏ BC, đồng thời cạnh bên AB = BC Khi đó, góc đường thẳng SD mặt phẳng (SAB) góc đây?

A DSA B DSB C DBA D DAB

Câu 61. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hìn thang vng có đáy lớn AD gấp đơi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC Khi góc SD với mặt phẳng (SAC) góc đây?

A DCS B DSC C DAC D DCA

Câu 62. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hìn thang vng có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC Khi góc BC với mặt phẳng (SAC) góc đây?

A BSC B BCA C BAC D BCS

Câu 63. Trong không gian cho điểm O không thuộc đường thẳng d Tập hợp đường thẳng qua O cng góc với d

A mặt phẳng (P) xác định O d

B mặt phẳng (P) qua O (P) vơng góc với d C mặt phẳng (P) qua O (P) song song với d D tất đường thẳng qua O

Câu 65. Cho hình chóp A.BCD có AB vng góc với đáy đáy tam giác vuông C Gọi BH đường cao tam giác ABC (H thuộc cạnh AC) Gọi K thuộc cạnh AD cho AH AK

AC  AD Khi KH khơng

vng góc với đoạn thẳng đây?

A.AB B.AC C AD D.BC

Câu 66. Cho biết khẳng định sau sai?

Cho điểm M không thuộc mặt phẳng (P) Qua M kẻ MH vng góc với (P) Qua M kẻ MI, MK khơng vng góc với (P) Khi đó,

A MI = MK HI = HK B HI = HK MI = MK C MI > MK HI > HK D MI < MK HI > HK

Câu 67. Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Khi đó, góc hai mặt phẳng A góc hai đường thẳng vng góc với d

B góc hai đường thẳng a b, a song song với (P) cịn b song song với (Q) C góc hai giao tuyến ( mặt phẳng (R) vuông góc với d cắt hai mặt phẳng cho) D góc hai vectơ u v, u vng góc với (P) cịn v vng góc với (Q)

Câu 68. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang vng có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC Khi góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là góc đây?

A BSD B BAD C SAB D SAD

Câu 69. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang vng có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC Khi góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) góc đây?

A SCA B SBA C ABC D BCD

Câu 70. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang vng có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC Khi góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) góc đây?

A SCA B SBC C SCD D SDA

Câu 71. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang vng có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC Khi góc hai mặt phẳng khơng vng góc với là:

A.(SAB) (SBC). B.(SAB) (ABCD).

C.(SCD) (SAC). D.(SCD) (SAD).

Câu 72. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ mặt phẳng (ACC’A’) khơng vng góc với mặt phẳng dươí đây?

A.(BDD’B’). B.(BDA’).

C.(CB’D’). D (DCB’A’).

Câu 73. Trong khơng gian, mặt phẳng (P) vng góc với mặt phẳng (Q) thì:

A đường thẳng nằm mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (Q).

B đường thẳng nằm mặt phẳng (Q) vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (P).

D đường thẳng nằm mặt phẳng (P) mà cắt giao tuyến (P) (Q) vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (Q).

Câu 74. Nếu hai mặt phẳng vng góc thì:

A đường thẳng song song với mặt phẳng phải vng góc với mặt phẳng B đường thẳng vng góc với mặt phẳng phải song song với mặt phẳng C đường thẳng vng góc với mặt phẳng phải nằm mặt phẳng

D đường thẳng vng góc với mặt phẳng khơng có điểm chung với giao tuyến hai mặt phẳng, phải song song với mặt phẳng

Câu 75. Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì: A song song với

B trùng

C không song song với

D song song với cắt theo giao tuyến vng góc với mặt phẳng thứ ba

Câu 76. Cho biết khẳng định sau sai? A Hình hộp lăng trụ đứng

B Hình hộp chữ nhật lăng trụ đứng C Hình lập phương lăng trụ đứng

D Hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy lăng trụ đứng

Câu 77. Trong không gian

A Hình lăng trụ có đáy đa giác đểu hình lăng trụ B Hình lăng trụ có đáy hình vng hình lăng trụ

C Hình lăng trụ đứng có đáy hình thoi hình lăng trụ D Hình lăng trụ đứng có đáy hình vng hình lăng trụ

Câu 78. Cho mặt phẳng (P), biết hai cạnh AB BC tam giác ABC cắt mặt phẳng (P) ( giao điểm không trùng với đỉnh tam giác) Khi cạnh CA

A khơng cắt mp (P). B Có cắt mp (P).

C song song với (P). D Nằm (P).

Câu 79. Cho hai đường thẳng cắt a b, biết đường thẳng c cắt hai đường thẳng cho, ba đường thẳng

A đồng phẳng đôi cắt B đồng phẳng đồng quy

C không đồng phẳng

D đồng phẳng khơng đồng phẳng

Câu 80. Trong không gian, ba đường thẳng đôi cắt phải A đồng phẳng

B đồng phẳng đồng quy C không đồng phẳng

A đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng đồng phẳng

B đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng đồng phẳng

C đường thẳng cắt hai đường thẳng song song cho trước ba đường thẳng đồng phẳng

D đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo cho trước ba đường thẳng đồng phẳng

Câu 82. Trong không gian

A đường thẳng có điểm chung với cạnh tam giác đường thẳng nằm mặt phẳng chứa tam giác

B đường thẳng có điểm chung với hai cạnh tam giác đường thẳng nằm mặt phẳng chứa tam giác

C đường thẳng có điểm chung vơí hai đường thẳng, tương ứng chứa hai cạnh tam giác đường thẳng nằm mặt phẳng chứa tam giác

D đường thẳng có điểm chung vơí ba đường thẳng, tương ứng chứa ba cạnh tam giác đường thẳng nằm mặt phẳng chứa tam giác

Câu 83. Trong khơng gian cho hai đường thẳng chéo a b, đường thẳng c song song với đường thẳng b Khi

A.a c chéo B.a c cắt C.a c song song

D.a c không song song với không trùng

Câu 84. Cho tứ diện ABCD Gọi M N tương ứng trung điểm AB DC, I trung điểm MN Đường thẳng AI cắt mặt phẳng (BCD) G Khi G

A trực tâm tam gíac BCD B trọng tâm tam gíac BCD

C tâm đường trịn ngoại tiếp tam gíac BCD D tâm đường trịn nội tiếp tam gíac BCD

Câu 85. Cho tứ diện ABCD, điểm M cạnh AC Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai cạnh AB CD

sẽ cắt tứ diện theo thiết diện

A tứ giác lồi (khơng có cặp cạnh đối song song với nhau) B hình thang

C hình bình hành D tam giác

Câu 86. Cho ba đường thẳng đơi chéo Khi đó:

A khơng có đường thẳng cắt ba đường thẳng cho B có đường thẳng cắt ba đường thẳng cho C có hai đường thẳng (phân biệt) cắt ba đường thẳng cho D có vơ số đường thẳng cắt ba đường thẳng cho

Câu 87. Cho biết khẳng định sau sai? Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đó:

B AC' ( ' A BD)M AC ' (CB'D') NthìM N tương ứng trọng tâm tam giác A’BD và

CB’D’

C AMMNNC'

D.AC’ vng góc với (A’BD) (CB’D’).

Câu 88. Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), tam giác ABC có hình chiếu tam giác A’B’C’ Qua phép chiếu song song

A trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác A’B’C’ B trọng tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A’B’C’

C tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’.

D tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC biến thành tâm đường tròn nội tiếp tam giác

A’B’C’

Câu 89. Trong không gian cho điểm O không thuộc mặt phẳng (P) Tập hợp đường thẳng qua O song song với (P) là

A toàn không gian

B mặt phẳng song song với (P).

C hai mặt phẳng song song với (P).

D mặt phẳng qua O song song với (P).

Câu 90. Trong không gian cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tập hợp ba điểm A tập rỗng

B tập hợp gồm điểm O, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C mặt phẳng

D đường thẳng d qua O, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC d vng góc với mặt phẳng

(ABC).

Câu 91. Cho điểm O không thuộc mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O (P) Tập hợp điểm M nằm mặt phẳng (P) cách O khoảng R > OH

A tập rỗng

B tập hợp gồm điểm C.một đường thẳng

D đường trịn có tâm H bán kính R2OH2

Câu 92. Tam giác ABC cạnh a có cạnh BC song song với mặt phẳng (P) Mặt phẳng chứa tam giác tạo với mặt phẳng (P) góc 300 Tam giác ABC có hình chiếu vng góc lên (P) là tam giác A’B’C’ (phương chiếu

không song song với cạnh tam giác ABC) Khi đó, diện tích tam giác A’B’C’ bao nhiêu?

A 3

;

a

B

;

a

C

;

a

D 3

;

a

Câu 93. Tam giác ABC cạnh a có cạnh BC song song với mặt phẳng (P) Mặt phẳng chứa tam giác tạo với mặt phẳng (P) góc 600 Tam giác ABC có hình chiếu vng góc lên (P) tam giác A’B’C’ (phương chiếu

không song song với cạnh tam giác ABC) Khi đó, đường cao tam giác A’B’C có độ dài bao nhiêu?

A a 3; B 3;

2

a

C 3;

a

D ;

a

A 30 ;0 B 45 ;0 C 60 ;0 D 75 ;0

Câu 95. Cho biết khẳng định sau sai?

Cho tứ diện ABCD có tất cạnh (và a > 0) Khi

A tất cạnh bên nghiêng đáy ( tức cạnh bên tạo với đáy góc nhau) B tất mặt bên nghiêng đáy ( tức mặt bên tạo với đáy góc nhau) C tất cạnh bên mặt bên nghiêng đáy ( tức cạnh bên mặt bên tạo với đáy góc nhau)

D tất mặt tứ diện

Câu 96. Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a > 0 Khi đó, mặt bên (ABC) tạo với mặt đáy (BCD) góc thỏa điều kiện đây?

A cos

  B cos

3  C cos

4

  D cos

2  

Câu 97. Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a > 0 Khi đó, cạnh bên AB tạo với mặt đáy

(BCD) góc thỏa điều kiện đây? A cos

2

  B cos

2   C cos

3

  D cos

2  

Câu 98. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi , ,   tương ứng góc tạo mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA)với (ABC) Khi đó, ba góc , ,   thỏa điều kiện đây?

A cos2cos2cos2 2 B sin2sin2sin2 2 C tan2tan2tan2 2 D cot2cot2cot2 2

Câu 99. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với M điểm thuộc tam gíac

ABC khơng nằm cạnh tam giác Gọi , ,   tương ứng góc tạo OM với OA, OB, OC Khi đó, ba góc , ,   thỏa điều kiện đây?

A cos2cos2cos2 2 B sin2sin2sin2 2 C tan2tan2tan2 2 D cot2cot2cot2 2

Câu 100. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ M điểm thuộc hình chữ nhật BB’C’C không nằm cạnh hình chữ nhật Gọi , ,   tương ứng góc tạo AM với AB, AD, AA’ Khi đó, ba góc , ,   thỏa điều kiện đây?

A cos2cos2cos2 1 B sin2sin2sin2 1 C tan2tan2tan2 1 D cot2cot2cot2 1

Câu 101. Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a > 0 Khi khoảng từ đỉnh A đến mặt đáy (BCD) bao nhiêu?

A h 2;

a

 B h 3;

3

a

 C h 6;

3

a

 D h 8;

3

a



Câu 102. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi a, b, c tương ứng độ dài cạnh

OA, OB, OC Gọi h khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) h có giá trị bao nhiêu?

C

2 2 2 2 2

a b b c c a

h

a b c

 

 D

2 2 2

abc h

a b b c c a



 

Câu 103. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đ hình thang vng có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC = a Khi khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng

(SAD) là bao nhiêu?

A ha; B h ;

2

a

 C h 2;

2

a

 D h 3;

2

a



Câu 104. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đ hình thang vng có đáy lớn AD gấp đơi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC = a Biết SAa Khi khoảng cách hai đường thẳng chéo AD SC bao nhiêu?

A h2 ;a B h ;

a

 C h 2;

2

a

 D h 3;

2

a



Câu 105. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đ hình thang vng có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC = a Biết SAa Khi khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng SC bao nhiêu?

A h2 ;a B ha 10; C ha 5; D h 10;

a



Câu 106. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a > 0 Khi đó, khỏang cách hai mặt phẳng (AB’D’)

và (C’BD) bao nhiêu?

A

3

a

h B

2

a h C

3

a

h D

3

a h

Câu 107. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a > 0 Khi đó, khỏang cách hai đường thẳng chéo AB’ BC’ bao nhiêu?

A

3

a

h B

2

a h C

3

a

h D

3

a h

Câu 108. Cho biết khẳng định sau sai?

Cho hình chóp S.A1A2 An (n3). Xét mệnh đề sau:

(1) Hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy (2) Hình chóp có mặt bên nghiêng đáy (3) Hình chóp có cạnh bên

(4) Đáy A1A2 An đa giác nội tiếp chân đường cao hình chóp tâm đường trịn ngoại tiếp

của đáy

Các mệnh đề tương đương là:

A (1)(2) B (1)(3)

C (1)(4) D (3)(4)

Câu 109. Cho biết khẳng định sau sai?

(1) Hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy (2) Hình chóp có mặt bên nghiêng đáy

(3) Đáy A1A2 An đa giác nội tiếp chân đường cao hình chóp tâm đường trịn ngoại tiếp

của đáy

(4) Hình chóp có độ dài đường cao tam giác mặt bên (đỉnh S) Các mệnh đề tương đương là:

A (1)(2) B (1)(3)

C (1)(4) D (3)(4)

Câu 110. Cho biết khẳng định sau sai?

Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b

A khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), trong điểm M thuộc đường thẳng a mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b song song với a

B khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b song song với a điểm N thuộc mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b C độ dài đoạn OI, đường thẳng OI vng góc với hai đường thẳng a b, O, I tương ứng

thuộc hai đường thẳng chéo

D độ dài đoạn OI, O giao đường thẳng a với mặt phẳng (P) chứa b vng góc với đường thẳng a điểm I thuộc đường thẳng b

Câu 111. Cho hình chóp S.ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh

BC, CA, AB Khi vectơ SA SB SC  phương với vectơ đây?

A SM SN SG  B SM SN SP 

C SG SN SP  D SM SG SP 

Câu 112. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N theo thứ tự thuộc cạnh D’D CB cho D’M= CN Khi ba vec tơ A D MN D C' , , '

A.đồng phẳng B Không đồng phẳng

C D Có tổng vec tơ không

Câu 113. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, gọi I trung điểm BC’ Khi AI cắt mặt phẳng A’B’C’ J, A J giao điểm AI A’C’

B.J giao điểm AI B’C’.

C.J giao điểm AI A’T, T trung điểm B’C’

D.J giao điểm AI A’M, M thuộc B’C’ khơng trung điểm B’C’

Câu 114. Cho hai đường thẳng chéo vng góc với d d’ Trên d lấy điểm A cho mặt phẳng xác định điểm A d’ khơng vng góc với d Trên d’ lấy hai điểm B C phân biệt Gọi H trực tâm tam giác ABC, gọi a đường thẳng qua H vng góc vơí mặt phẳng chứa tam giác ABC Khi

A đường thẳng a song song với đường thẳng d B đường thẳng a cắt với đường thẳng d

C đường thẳng a đường thẳng d chéo D đường thẳng a đường thẳng d trùng

tâm tam giác ABC, gọi a đường thẳng qua H vng góc vơí mặt phẳng chứa tam giác ABC Khi đó, đường thẳng a qua điểm cố định

A giao điểm a d

B trực tâm tam giác OBC, với O giao điểm d với mặt phẳng (R) chứa d’ vng góc với d C trọng tâm tam giác OBC, với O giao điểm d với mặt phẳng (R) chứa d’ vng góc với d D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC, với O giao điểm d với mặt phẳng (R) chứa d’ vng góc với d

Câu 116. Cho tứ diện OABC có OA vng góc với mặt phẳng (OBC) Gọi H trực tâm tam giác ABC, gọi d đường thẳng qua H vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D giao điểm d với tia đối OA Khi đó, ABCD tứ diện

A khơng có cặp cạnh đối diện vng góc với B có cặp cạnh đối diện vng góc với C có hai cặp cạnh đối diện vng góc với D có ba cặp cạnh đối diện vng góc với

Câu 117. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N tương ứng trung điểm cạnh BB’ C’D’ Khi MN song song với mặt phẳng đây?

A ( ' 'A D DA); B ( 'B );A D C (ABC'D'); D (C'BD);

Câu 118. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N, P tương ứng trung điểm cạnh BB’, C’D’

DA Khi mặt phẳng (MPN) song song với mặt phẳng đây?

A ( ' 'A D DA); B ( 'B );A D C.(ABC'D'); D (C'BD);

Câu 119. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Điểm M di động miền tam giác

ABC (kể biên cạnh AB, BC, CA) Gọi , ,   tương ứng góc tao OM với OA, OB, OC Khi đó, ba góc , ,   thỏa điều kiện đây?

A cos2cos2cos2 1 B cos2cos2cos2 2 C cos2cos2cos2 3 D cos2cos2cos2 4

Câu 120. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Điểm M thuộc tam giác ABC (kể biên cạnh AB, BC, CA) Gọi x, y, z tương ứng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Gọi a OA , b OB , c OC Khi

A x y z

a  b c B x y z  1

C ax by cz  abc D x2y2z2abc

Câu 121. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a0, gọi M, N, P trung điểm cạnh AB,

BC DD' Khi khoảng cách từ P đến MN bao nhiêu?

A

a B 22

4

a C

2

a D

3

a

Câu 122. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a0, gọi M, N, P trung điểm cạnh AB,

BC DD' Khi mặt phẳng (MNP) cắt lập phương theo thiết diện có diện tích bao nhiêu?

A 25 17 96

a B 23 17 32

a C 11

a D 17

a

Câu 123. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a0, gọi M, N, P trung điểm cạnh AB,

A cos 16 17

  B cos 11

11

  C cos

2 17

  D cos

17  

Câu 124. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy tứ giác lồi, giao điểm cặp cạnh đối ADBCE

AB CD F Biết SE vng góc SF Mặt phẳng (P) song song với SE SF đồng thời cắt cạnh SA,

SB, SC, SDtương ứng A B C D', ', ', ' Khi đó,

A A B C D' ' ' ' hình thang B A B C D' ' ' ' hình bình hành C A B C D' ' ' ' hình thoi D A B C D' ' ' ' hình chữ nhật

Câu 125. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang cân có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời cạnh bên AB đáy nhỏ Biết BCa SA, 2a Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bao nhiêu?

A ha B h2a C 21

a

h D

a h

Câu 126. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang cân có đáy lớn AD gấp đơi đáy nhỏ BC, đồng thời cạnh bên AB đáy nhỏ Một mặt phẳng (P) qua A vng góc với SD cắt

, ,

SB SC SD tương ứng B C D', ', ' Khi ta kết luận tứ giác AB C D' ' '? A AB C D' ' ' tứ giác nội tiếp (khơng có cặp cạnh đối song song) B AB C D' ' 'là hình chữ nhật

C AB C D' ' ' hình thang D AB C D' ' ' hình bình hành

Câu 127. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình thang cân có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời cạnh bên AB đáy nhỏ Biết BCa SA, 2a Khi hai mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SCD) tạo với góc có số đo bao nhiêu?

A 900 B 600 C 450 D 300

Câu 128. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Một mặt phẳng (P) qua trung điểm M cạnh '

BB đồng thời vng góc với đường thẳng A C' , cắt hình lập phương theo thiết diện hình gì? A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Lục giác

Câu 129. Cho hai đường thẳng cố định d 'd vng góc với mặt phẳng (P) cố định Hai mặt phẳng di động (Q) (R), vng góc với Biết (Q) (R) tương ứng chứa d d' Gọi a giao tuyến (Q) (R) Gọi M giao điểm a (P) Khi ta kết luận điểm M?

A.M chạy đường thẳng B.M chạy mặt cong C M chạy cung tròn

D.M chạy đường trịn đường kính AB, A, B tương ứng giao điểm đường thẳng d 'd với (P)

Câu 130. Cho biết khẳng định sau sai?

Cho hình chóp S.ABCD có SA SB SC SD   có đáy ABCD hình bình hành, hai đường chéo AC, BD

cắt O Khi đó,

A.SO vng góc với AB B.SO vng góc với AC C SO vng góc với BD D.SO vng góc với SA

Câu 131. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy tứ giác có hai đường chéo AC, BD vng góc với Gọi M, N tương ứng trung điểm SB, SD Khi MN khơng vng góc với đoạn thẳng đây?

ĐÁP ÁN

1B 2D 3B 4C 5D 6C 7C 8D 9A 10A 11D 12D 13A 14A 15A 16A 17A 18C 19C 20A 21A 22C 23D 24D 25C 26B 27D 28D 29A 30C 31D 32D 33B 34D 35C 36D 37C 38B 39C 40C 41C 42D 43D 44B 45D 46C 47C 48C 49D 50A 51D 52A 53D 54D 55A 56D 57C 58D 59C 60B 61B 62B 63B 64D 65C 66D 67C 68B 69B 70A 71D 72D 73C 74D 75D 76A 77D 78A 79D 80D 81C 82D 83D 84B 85C 86D 87D 88B 89D 90D 91D 92B 93C 94C 95C 96B 97C 98B 99B 100A 101C 102D 103A 104D 105D 106A 107A 108A 109A 110D 111B 112A 113C 114B 115B 116D 117D 118C 119A 120A 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

TỔNG HỢP LẦN CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, M trung điểm BB’ Đặt CAa,CB b , AA'c Khẳng định sau đúng?

A

2

AM  b c a B

2

AM  a c b C

2

AM  a c b D

2

AM  b a c

Câu 2. Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:

A.OA OB OC OD   0B OA OC OB OD  

C 1

2

OA OB OC  OD D 1

2

OA OCOB OD

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA= a; SB= b; SC= c; SD= d Khẳng định sau đúng?

A. a c  d b B. a b c d   C. a d b c   D. a c d b   0

Câu 4. Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB b ,ACc, ADd.Khẳng định sau đúng?

A 1( )

2

MP c d b  b) 1( )

MP d b c  C 1( )

MP c b d  D 1( )

MP c d b 

Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC'u,CA'v, BD'x,

A 2 1( )

OI u v x y   b)2 1( )

OI  u v x y  

C 2 1( )

4

OI u v x y   D 2 1( )

OI  u v x y  

Câu 6. * Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi I K tâm hình bình hành ABB’A’ BCC’B’ Khẳng định sau sai?

A 1 ' '

2

IK AC A C B.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng

C. BD2IK2BC D.Ba vectơ BD IK B C; ; ' ' không đồng phẳng

Câu 7. * Cho tứ diện ABCD Người ta định nghĩa “ G trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD   0” Khẳng

định sau sai?

A.G trung điểm đoạn IJ (I, J trung điểm AB CD) B.G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD C.G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AD BC D.Chưa thể xác định

Câu 8. Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt xAB; yAC; zAD Khẳng định sau đúng?

A 1( )

3

AG x y z  B. 1( )

3

AG  x y z  C 2( )

3

AG x y z  D 2( )

3

AG  x y z 

Câu 9. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O Đặt ABa;BCb M điểm xác định 1( )

OM a b Khẳng định sau đúng?

A.M tâm hình bình hành ABB’A’ B.M tâm hình bình hành BCC’B’ C.M trung điểm BB’ D.M trung điểm CC’

BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

Câu 10. Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c Khẳng định sau sai?

A.Nếu a b vng góc với c a//b

B.Nếu a//b c  a c  b

C.Nếu góc a c góc b c a//b

D.Nếu a b nằm mp ( ) // c góc a c góc b c Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ =

2

a

(I, J trung điểm BC AD) Số đo góc hai đường thẳng AB CD :

A.300 B.450 C.600 D.900

Câu 12. Cho tứ diện ABCD có AB = a, BD = 3a Gọi M N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN

A.MN = 10

2

a

B.MN =

3

a

C.MN =

2

a

D.MN =

3

a

Câu 13. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Giả sử tam giác AB’C A’DC’ có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A’D góc sau đây?

A. BDB’ B. AB’C C. DB’B D. DA’C’

Sau lời giải:

Bước 1: AB AC .AC AD  AC AB AD.(  ) 0

 AC DB 0 AC BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD AD AB ta ADBC AB AC AD AB ta ABCD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương

Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu?

A.Đúng B.Sai từ bước C.Sai từ bước D.Sai bước

Câu 15. Cho tứ diện ABCD (Tứ diện có tất cạnh nhau) Số đo góc hai đường thẳng AB CD bằng:

A.300 B.450 C.600 D.900

Câu 16. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A.A’C’BD B.BB’BD C.A’BDC’ D.BC’A’D

Câu 17. Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cos(AB,DM) bằng:

A

6 b)

2

2 C

3

2 D

1

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc (MN, SC) bằng:

A.300 B.450 C.600 D.900

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc (IJ, CD) bằng:

A.300 B.450 C.600 D.900

Câu 20. Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I, J, E, F trung điểm AC, BC, BD, AD Góc (giữa (IE, JF) bằng:

A.300 B.450 C.600 D.900

BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG

Câu 21. Khẳng định sau sai ?

A.Nếu đường thẳng d () d vng góc với hai đường thẳng ()

B.Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm () d ()

C.Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm () d vng góc với đường thẳng nằm ()

D.Nếu d () đường thẳng a // () d  a

Câu 22. Trong không gian cho đường thẳng  điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với  cho trước?

A.1 B.2 C.3 D.Vô số Câu 23. Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước?

A.1 B.2 C.3 D.Vô số Câu 24. Mệnh đề sau sai ?

A.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B.Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song

C.Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song

D.Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song

A.SA  BC B.AH  BC C.AH  AC D.AH  SC Câu 26. Trong không gian tập hợp điểm M cách hai điểm cố định A B là:

A.Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B.Đường trung trực đoạn thẳng AB C.Mặt phẳng vng góc với AB A D.Đường thẳng qua A vng góc với AB

Câu 27. Cho tứ diện ABCD có AB = AC DB = DC Khẳng định sau đúng?

A.AB  (ABC) B.AC  BD C.CD  (ABD) D.BC  AD

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA = SC SB = SD Khẳng định sau sai

?

A.SO  (ABCD) B.CD  (SBD) C.AB  (SAC) D.CD AC

Câu 29. * Cho hình chóp S.ABC có SA= SB = SC tam giác ABC vuông B Vẽ SH  (ABC), H(ABC) Khẳng định sau đúng?

A.H trùng với trọng tâm tam giác ABC B.H trùng với trực tâm tam giác ABC

C.H trùng với trung điểm AC D.H trùng với trung điểm BC

Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA (ABC) đáy ABC tam giác cân C Gọi H K trung điểm AB SB Khẳng định sau sai ?

A.CH  SA B.CH  SB C.CH  AK D.AK  SB

Câu 31. Cho hình chóp S.ABC có SA= SB = SC Gọi O hình chiếu S lên mặt đáy ABC Khẳng định sau đúng?

A.O trọng tâm tam giác ABC B.O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C O trực tâm tam giác ABC D.O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABC) đáy ABCD hình chữ nhật Gọi O tâm ABC I trung điểm SC Khẳng định sau sai ?

A.BC  SB B.(SAC) mặt phẳng trung trực đoạn BD

C.IO  (ABCD) D.Tam giác SCD vuông D

Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA (ABCD) Gọi I, J, K trung điểm AB, BC SB Khẳng định sau sai ?

A.(IJK) // (SAC) B.BD  (IJK)

C.Góc SC BD có số đo 600 D.BD  (SAC)

Câu 34. Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc Hãy điểm O cách bốn điểm A, B, C, D

A.O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B.O trọng tâm tam giác ACD

C.O trung điểm cạnh BD D O trung điểm cạnh AD

Câu 35. Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) AB BC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC H hình chiếu vng góc O lên (ABC) Khẳng định sau ?

A.H trung điểm cạnh AB B H trung điểm cạnh AC

C.H trọng tâm tam giác ABC D.H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 36. Cho tứ diện ABCD Vẽ AH  (BCD) Biết H trực tâm tam giác BCD Khẳng định sau không sai ?

A. AB = CD B.AC = BD C.AB CD D.CD BD

Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng có tâm O, SA (ABCD) Gọi I trung điểm SC Khẳng định sau sai ?

A.IO (ABCD) B.(SAC) mặt phẳng trung trực đoạn BD

C.BD SC D.SA= SB= SC

A.Góc AC (BCD) góc ACB B.Góc AD (ABC) góc ADB

C.Góc AC (ABD) góc CAB D.Góc CD (ABD) góc CBD

Câu 39. Cho tam giác ABC vuông cân A BC = a Trên đường thẳng qua A vng góc với (ABC) lấy điểm S cho SA =

2

a

Tính số đo đường thẳng SA (ABC)

A.300 B.450 C.600 D.750

Câu 40. Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với (ABCD) lấy điểm S Biết góc SA (ABCD) có số đo 450 Tính độ dài SO

A.SO = a B.SO= a C.SO =

2

a

D.SO=

2

a

Câu 41. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a Lấy điểm S không thuộc (ABCD) cho SO(ABCD) Biết tanSOB=

1

2 Tính số đo góc SC (ABCD)

A.300 B.450 C.600 D.750

Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a SA (ABCD) Biết SA =

3

a

Tính góc SC (ABCD)

A.300 B.450 C.600 D.750

Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA = SB = SC = SD Gọi H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Khẳng định sau sai ?

A.HA = HB = HC = HD

B.Tứ giác ABCD hình bình hành

C.Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

D.Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD góc

Câu 44. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác đều.Tính số đo góc SA (ABC)

A.300 B.450 C.600 D.750

Câu 45. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cạnh huyền BC = a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) trùng với trung điểm BC Biết SB = a Tính số đo góc SA (ABC)

A.300 B.450 C.600 D.750

BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) đáy ABC vng A Khẳng định sau sai ?

A. (SAB)  (ABC)

B.(SAB)  (SAC)

C.Vẽ AH  BC , H BC  góc ASH góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC)

D.Góc hai mặt phẳng (SBC) (SAC) góc SCB

Câu 47. Cho tứ diện ABCD có AC = AD BC = BD Gọi I trung điểm CD Khẳng định sau sai ?

A.Góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) góc AIB B.(BCD)  (AIB)

C.Góc hai mặt phẳng (ABC) (ABD) góc CBD D.(ACD)  (AIB)

Câu 48. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) AB  BC Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc sau đây?

A.Góc SBA B.Góc SCA C.Góc SCB D.Góc SIA (I trung điểm BC)

B.Góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) góc SOA (O tâm hình vng ABCD)

C.Góc hai mặt phẳng (SAD) (ABCD) góc SDA

D.(SAC) (SBD)

Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SO  (ABCD), SO = a đường trịn ngoại

tiếp ABCD có bán kính a Tính góc hợp mặt bên với đáy?

A.300 B.450 C.600 D.750

Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O khoảng cách từ A đến BD

5

a

Biết SA  (ABCD) SA = 2a Gọi  góc hai mặt phẳng (ABCD) (SBD) Khẳng định sau sai ?

A.(SAB) (SAD) B.(SAC) (ABCD) C.tan = D. =  SOA

Câu 52. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi, AC = 2a Các cạnh bên AA’, BB’… vng góc với đáy AA’ = a Khẳng định sau sai ?

A.Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật

B.Góc hai mặt phẳng (AA’C’C) (BB’D’D) có số đo 600

C.Hai mặt bên (AA’C) (BB’D) vng góc với hai đáy

D.Hai hai mặt bên AA’B’B AA’D’D

Câu 53. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ Hình chiếu vng góc A’ lên (ABC) trùng với trực tâm H tam giác ABC Khẳng định sau khơng đúng?

A.(AA’B’B)(BB’C’C) B.(AA’H)(A’B’C’) C.BB’C’C hình chữ nhật D (BB’C’C)(AA’H)

Câu 54. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) đáy ABC tam giác cân A Gọi H hình chiếu vng góc A lên (SBC) Khẳng định sau đúng?

A.H  SB B.H trùng với trọng tâm tam giác SBC

C.H  SC D.H  SI (I trung điểm BC)

Câu 55. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) (SAC) vng góc với đáy (ABC) Khẳng định sau sai?

A.SC  (ABC) B.Nếu A’ hình chiếu vng góc A lên (SBC) A’  SB

C.(SAC)  (ABC) D.BK đường cao tam giác ABC BK  (SAC)

Câu 56. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy (ABC), tam giác ABC vng cân A có đường cao AH (H BC) Gọi O hình chiếu vng góc A lên (SBC) Khẳng định sau sai?

A.SC  (ABC) B.(SAH)  (SBC)

C.O SC D.Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc SBA

Câu 57. * Cho tứ diện ABCD có hai mặt bên ACD BCD hai tam giác cân có đáy CD Gọi H hình chiếu vng góc B lên (ACD) Khẳng định sau sai?

A.AB nằm mặt phẳng trung trực CD

B.HAM (M trung điểm CD)

C.Góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) góc ADB

D.(ABH)  (ACD)

Câu 58. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân A H trung điểm BC Khẳng định sau sai?

A.Các mặt bên ABC.A’B’C’ hình chữ nhật

B.(AA’H) mặt phẳng trung trực BC

C.Nếu O hình chiếu vng góc A lên (A’BC) O A’H

Câu 59. Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ trở thành hình lăng trụ tứ giác phải thêm điều kiện sau đây?

A.Tất cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy

B.Cạnh bên cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy

C.Có mặt bên vng góc với mặt đáy đáy hình vng

D.Các mặt bên hình chữ nhật mặt đáy hình vng

Câu 60. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Khẳng định sau khơng đúng?

A.Hình hộp có mặt hình chữ nhật

B.Hai mặt ACC’A’ BDD’B’ vng góc

C.Tồn điểm O cách tám đỉnh hình hộp

D.Hình hộp có đường chéo đồng qui trung điểm đường Câu 61. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Khẳng định sau sai ?

A.Hai mặt ACC’A’ BDD’B’ vng góc

B.Bốn đường chéo AC’, A’C, BD’, B’D a

C.Hai mặt ACC’A’ BDD’B’là hai hình vng

D.AC  BD’

Câu 62. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AD = 2a Gọi α góc đường chéo A’C đáy ABCD Tính α

A.α  20045’ B.α  2405’ C.α  30018’ D.α  25048’

Câu 63. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (ABCD) (ABC’) có số đo 600 Cạnh bên hình lăng trụ bằng:

A 3a B a C 2a D a

Câu 64. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AA’ = a, BC = 2a, CA = a Khẳng định sau sai ?

A.Đáy ABC tam giác vuông

B.Hai mặt AA’B’B BB’C’ vng góc

C.Góc hai mặt phẳng (ABC) (A”BC) có số đo 450

D.AC’ = 2a

Câu 65. Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ có cạnh bên a ADD’A’ hình vng Cạnh đáy lăng trụ bằng:

A.a B

2

a

C

3

a

D

2

a

Câu 66. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có ACC’A’ hình vng, cạnh a Cạnh đáy hình lăng trụ bằng:

A

2

a

B.a C

3

a

D a

Câu 67. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy 2a cạnh bên 2a Gọi G G’ trọng tâm hai đáy ABC A’B’C’ Khẳng định sau nói AA’G’G?

A. AA’G’G hình chữ nhật có hai kích thước 2a 3a B.AA’G’G hình vng có cạnh 2a

C.AA’G’G hình chữ nhật có diện tích 6a2 D.AA’G’G hình vng có diện tích 8a2

Câu 68. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Khẳng định sau sai?

B.Nếu  góc AC’ cos =

3

C.ACC’A’ hình chữ nhật có diện tích 2a2

D.Hai mặt AA’C’C BB’D’D hai mặt phẳng vng góc với Câu 69. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SH Xét mệnh đề sau:

I) SA = SB = SC

II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC III) Tam giác ABC tam giác

IV) H trực tâm tam giác ABC

Các yếu tố chưa đủ để kết luận S.ABC hình chóp đều?

A.(I ) (II ) B.(II) (III ) C.(III ) (IV ) D.(IV ) (I )

Câu 70. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a đường cao SH cạnh đáy Tính số đo góc hợp cạnh bên mặt đáy

A.300 B.450 C.600 D.750

Câu 71. Cho hình chóp tú giác có cạnh đáy a chiều cao

2

a

Tính số đo góc mặt bên mặt đáy

A.300 B.450 C.600 D.750

Câu 72. Tính cosin góc hai mặt tứ diện

A

2 B

2

3 C

1

2 D

1

Câu 73. Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính độ dài đường cao

SH

A.SH =

2

a

B.SH =

2

a

C.SH =

3

a

D.SH =

3

a

Câu 74. Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc mặt bên mặt đáy

A 1

2 B

1

3 C

1

3 D

1

Câu 75. Cho ba tia Ox, Oy, Oz vng góc đơi Trên Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C cho OA = OB = OC = a Khẳng định sau sai?

A O.ABC hinhd chóp B.Tam giác ABC có diện tích S =

2 3

a

C.Tam giác ABC có chu vi 2p =

2

a

D.Ba mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA)vng góc với đơi

Câu 76. Cho hình thoi ABCD có cạnh a  = 600 Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) O (O tâm ABCD), lấy điểm S cho tam giác SAC tam giác Khẳng định sau đúng?

A S.ABCD hình chóp đềuB Hình chóp S.ABCD có mặt bên tam giác cân

C.SO =

2

a

Câu 77. Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’ với đáy lớn ABC có cạnh a Đáy nhỏ A’B’C’ có cạnh

2

a

, chiều cao OO’ =

2

a

Khẳng định sau sai ?

A. Ba đường cao AA’, BB’, CC’ đồng qui S B.AA’= BB’= CC’ =

2

a

C.Góc cạnh bên mặt đáy góc SIO (I trung điểm BC)

D.Đáy lớn ABC có diện tích gấp lần diện tích đáy nhỏ A’B’C’

Câu 78. Cho hình chóp cụt tứ giác ABCD.A’B’C’D’cạnh đáy nhỏ ABCD

3

a

và cạnh đáy lớn A’B’C’D’bằng a Góc cạnh bên mặt đáy 600

Tính chiều cao OO’ hình chóp cụt cho

A.OO’=

3

a

B.OO’ =

2

a

C.OO’ =

3

a

D.OO’ =

4

a

BÀI 5: KHOẢNG CÁCH

Câu 79. Cho tứ diện SABC SA, SB, SC vng góc với đôi SA = 3a, SB = a, SC=2a Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

A 3

2

a

B 7

5

a

C 8

3

a

D 5

6

a

Câu 80. Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  (BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng:

A. a

3 B.a

6

11 C.a

7

5 D.a

4

Câu 81. Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  (BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a M trung điểm BD Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:

A 3

2

a

B 2

3

a

C 4

3

a

D 11

2

a

Câu 82. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) đáy ABCD hình thoi cạnh a Bˆ= 600 Biết SA= 2a Tính khỏang cách từ A đến SC

A 3

2

a

B 4

3

a

C 2

5

a

D 5

2

a

Câu 83. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD), SA= 2a, ABCD hình vng cạnh a Gọi O tâm ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC

A

3

a

B

4

a

C

3

a

D

4

a

Câu 84. Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a góc hợp cạnh bên mặt đáy α Khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên bằng:

A.a 2cotα B.a 2tan C

2

a

cosα D

2

a

sinα

Câu 85. Cho hình chóp S.ABC SA, AB, BC vng góc với đơi Biết SA = 3a, AB=a 3, BC = a Khỏang cách từ B đến SC bằng:

Câu 86. Cho hình chóp S.ABC SA, AB, BC vng góc với đôi Biết SA = a 3, AB=a Khỏang cách từ A đến (SBC) bằng:

A

2

a

B

3

a

C 2

5

a

D

6

a

Câu 87. Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD = 2a, SA = a Khỏang cách từ A đến (SCD) bằng:

A 3

2

a

B 2

3

a

C

5

a

D

7

a

Câu 88. Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy 2a chiều cao a Tính khaỏng cách từ tâm O đáy ABC đến mặt bên:

A

2

a

B 2

3

a

C.a

10 D.a

2

Câu 89. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Tính khỏang cách từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên:

A

2

a

B

3

a

C 2

3

a

D

2

a

Câu 90. Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD hình thang vng có chiều cao AB = a Gọi I J trung điểm AB CB Tính khỏang cách đường thẳng IJ (SAD)

A

2

a

B

3 a C a D a

Câu 91. Cho hình thang vng ABCD vng A D, AD = 2a Trên đường thẳng vng góc D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a Tính khỏang cách đường thẳng DC (SAB)

A

3

a

B

2

a

C.a D

3

a

Câu 92. Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH =

3

a

Gọi M N trung điểm OA OB Khỏang cách đường thẳng MN (ABC) bằng:

A

2

a

B

2

a

C

3

a

D

3

a

Câu 93. Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách AB CD

A

2

a

b )

3

a

C

2

a

D

3

a

Câu 94. Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật với AC = a 5và BC=a Tính khoảng cách SD BC

A 3

4

a

B 2

3

a

C

2

a

D.a

Câu 95. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Khoảng cách BB’ AC bằng:

A a B a

C

2

a

D

3

a

A

3 B

2

2 C

2

5 D

3

Câu 97. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a Gọi M, N, P trung điểm AD, DC, A’D’ Tính khoảng cách hai mặt phẳng (MNP) (ACC’)

A

3

a

B

4

a

C

3

a

D

4

a

Câu 98. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên hợp với đáy góc 600, đáy ABC tam giác

đều A’ cách A, B, C Tính khoảng cách hai đáy hình lăng trụ

A.a B.a C

2

a

D 2

3

a

Câu 99. Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách từ A đến (BCD) bằng:

A

2

a

B

3

a

C

6

a

D

3

a

Câu 100.Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai cạnh đối AB CD bằng:

A

2

a

B

2

a

C

2

a

D

3

a

TỔNG HỢP LẦN CHƯƠNG VECTO - QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Câu 1 Cho điểm phân biệt không gian A, B, C, D, M, N Giả thiết suy ba vecto , ,

AB CD MN đồng phẳng?

A Bốn điểm A, B, C, D nằm mặt phẳng B Đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ABC) C Hai đường thẳng AB CD song song với

D Có ba số m, n, p thuộc R, cho mAB nCD MN  0

Câu 2 Cho bốn điểm A, B, C, D không gian điểm S thỏa mãn hệ thức SA SC SB SD   Mệnh đề sau sai?

A Bốn ddierm A, B, C, D đồng phẳng

B Hai đoạn thẳng AB CD có trung điểm trùng

C Hai véc tơ BA CD D Tứ giác ABCD hình bình hành

Câu 3 Cho tứ giác SABC với G trọng tâm tam giác ABC Mệnh đề sau sai?

A 1 

3

SG SA SB SC  B GA GB GC  0

C 2 

3

AG AB AC D 1 

3

AG AB AC

Câu 4 Cho ba đường thẳng a, b, c khơng gian Ta có: A a b vng góc với c a//b

C abvà b//c ac

D Cả ba câu

Câu 5 Cho hai đường thẳng a, b phân biệt mặt phẳng (P) a vng góc với (P) Mệnh đề sau sai? A b/ / P ba

B bathì b/ / P

C b P b//a D b//a b P

Câu 6 Cho ba đường thẳng a, b, c phân biệt, a, b nằm mặt phẳng (P) c không nằm (P) Mệnh đề sau sai?

A c song song với a b c song song với (P) B c vng góc với (P) c vng góc với a b C c vng góc với a b c vng với với (P) D c vng góc với a b , c khơng vng góc với (P) a//b

Câu 7 Cho ba mặt phẳng phân biệt (P), (Q), (R) (P) cắt (Q) theo giao tuyến D. Mệnh đề sau ?

A. ( )P ( )Q ( )Q ( )R ( )P ( )R

B. ( )P ( )Q ( )Q ( )R ( ) / /( )P R

C. ( )P ( )R ( )Q ( )R d( )R

D.Cả ba câu

Câu 8 Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với theo giao tuyến hai dường thẳng d d’ cho

 

d P , d' Q Mệnh đề sau sai? A. d   d d'

B. dd'   d

C.d cắt d’ d cắt  D.d// d’ d/ /

Câu 9 Cho hai đường thẳng d  không nằm mặt phẳng (P) Mệnh đề sau sai? A. d  ( )P   d/ /( )P

B. / /( )P d( )P   d

C.  ( )P d/ / d ( )P

D. / /( )P d   d ( )P Câu 10 Mệnh đề sau sai?

A.Hình hộp có bốn đường chéo hình hộp chữ nhật

C.Hình hộp có ba mặt qua đỉnh ba hình chữ nhật hình hộp chữ nhật D.Hình hộp có năm mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật

Câu 11 Mệnh đề sau đúng?

A.Qua đường thẳng a , có mặt phẳng vng góc với đường thẳng b cho trước B.Qua đường thằng a, có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (P) cho trước C.Qua điểm A, có mặt phẳng phẳng vng góc với đường thẳng b cho trước D.Qua điểm A, có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (P) cho trướC.

Câu 12 Hình chóp SABC có đáy tam giác vng B, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H K hình chiếu điểm A lên SB SC. Mệnh đề sau sai?

A.d[A,(SBC)] = AH B.d[A,(SBC)] = AK C.d[C,(SAB)] = BC D.d[S,(ABC)] = SA

Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A tam giác ADC vuông D nằm hai mặt phẳng vng góc với AB=CD. Gọi I K trung điểm AD BC. Mệnh đề sau sai?

A.IB  IC. B.IK  AD. C.IK  BC. D.AB  CD.

Câu 14 Cho tam giác ABC hai điểm M,N nằm mặt phẳng (ABC) với MA=MB=MC NA= NB= NC. Đường thẳng MN cắt (ABC) H

Xét bốn mệnh đề sau đây: (I) AB  MN

(II) AB  MC.

(III) H trực tâm tam giác ABC (IV) H tâm đường tròn (ABC) Kết luận sau đúng?

A.Chỉ (I) (III) B. Chỉ (II) (III) C. Chỉ (IV) D.Chỉ (I) (IV)

Câu 15 Cho tứ diện ABCD với AC= AD BC = BD. Hạ AH vng góc với mặt phẳng (BCD) Gọi I,J trung điểm CD AB. Khẳng định sau đúng?

A. AB=CD B.AB  CD

C.IJ vng góc với AB CD D.H trực tâm tam giác BCD.

Câu 16 Cho ba vec tơ i j k, , đơi vng góc với cho a2ik bmik với giá trị m

ab ?

A.m=0 B.m=3 C.m= -3 D.m=4

Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Gọi O tâm hình vng ABCD M,N,H,K trung điểm AA’, DD’,BC,CD. Vec tơ sau đồng phẳng với

vec tơ BA' CB'?

A. OM B. OB' C.MN D.HK

Phân tích vec tơ A K' theo aAB ,bAD,cAA' Phân tích sau đúng? A. '

2

A K a b c  B. A K'   a b c

C. '

A K a b c  D. '

2

A K   a b c

Câu 19 ABCD.A’B’C’D’.Gọi M N trung điểm BC A’D’ Trong số đường thẳng AB, AC’,AD’,BD’,B’D MN có đường thẳng chéo với A’C?

A.2 B.3 C.4 D.5

Câu 20 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Trong số đường thẳngAC’,AB’,BD,C’D,BC’, Có đường thẳng vng góc với A’C?

A.1 B.2 C.3 C.4

Câu 21 Cho ba vec tơ i , j,k có độ dài vng góc với đơi x 2i 3jk số vec tơ sau đây, có vec tơ vng góc với vec tơ x

2

a i k

3

b  i j k c  i j k

2

d  i j k

2

c  i j k

A.2 B.3 C.4 D.5

Câu 22 Trong không gian cho đoạn thẳng AB cố định điểm M di động thỏa mãn điều kiện AM AB. AB2 Tập hợp điểm M :

A.Một đường trịn cố định có bán kính AB B.Một đường thẳng cố định vng góc với AB B C.Một mặt phẳng cố định vng góc với AB A D.Một mặt phẳng cố định vng góc với AB B

Câu 23 Cho hình chóp ngũ giác S.ABCDE Góc cạnh bên SA cạnh đáy có số đo lớn

A.36O B.54O C.72O D.90O

Câu 24 Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF, cạnh A. Gọi O hình chiếu S lên mặt đáy với SO = A. Góc cạnh bên SA cạnh đáy có số đo nhỏ :

A. 30O B. 45O C. 60O D. 90O

A. 450 B. 450 C.  D. 600

Câu 26 Cho hình chóp tứ diện S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy A. Gọi O giao điểm AC BD. Khẳng định sau ?

A.Góc đường thẳng SB mặt phẳng (SCD) 90O

B.Góc đường thẳng SB mặt phẳng (SCD) góc đường thẳng BC mặt phẳng (SCD); C.Góc đường thẳng SA mặt phẳng (SCD) lớn góc đường thẳng BC mặt phẳng (SCD); D.Góc đường thẳng SA mặt phẳng (SCD) tích với góc đường thẳng SO mặt phẳng (SCD)

Câu 27 Cho mệnh đề sau:

(I) Hình chóp có đáy tứ diện đều, mặt bên bốn tam giác cân chung đỉnh hình chóp đều; (II) Hình chóp có bốn cạnh bên bốn cạnh đáy hình chóp tứ giác đều;

(III) Hình chóp có mặt bên bốn tam giác cân chung đỉnh hình chóp tứ giác

Trong phát biều sau câu ?

A.Chỉ (I) (II) B.Chỉ (I) (III) C.Chỉ (II) (III) A. Cả (I) (II) (III)

Câu 28 Hình chóp S.ABC có hai mặt ABC SBC hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I J trung điểm BC SA. Thế ta có :

A.SA (JBC) B.BC (SAI)

C.IJ đoạn vng góc chung SA BC D.Cả ba câu

Câu 29 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a AA’ = A. Khoảng cách AB’ CC’

là: A.

3

a

B.

a

C. 2

a

D.

a

Câu 30. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh A. Gọi O’ tâm hình vng A’B’C’D’  góc hai mặt phẳng (O’AB) (ABCD) góc thỏa hệ thức sau đây?

A.cos=1

2 B. tan = C.sin=

2 D.tan=

1

Câu 31 Mệnh đề đúng?

A.Hình chóp có bốn cạnh bên có đáy hình bình hành hình chóp tứ giác

C.Hình chóp có bốn cạnh bên có đáy hình chữ nhật hình chóp tứ giác D.Hình chóp có bốn cạnh bên đáy hình thoi hình chóp tứ giác

Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, bốn cạnh bên 3a AB=a, BC=a Khoảng cách từ S đến (ABCD) :

A.2a B.a

2 C.2a D.a

Giả thiết sau chung cho hai câu 33 34

Cho hình chóp S.ABC có SB = SC = a, AB = AC = 2a, SA = a Gọi I trung điểm BC đặt BC= 2x (x>0)

Câu 33 Khẳng định sau sai? A.SA vng góc với mặt phẳng (SBC) B.BC vng góc với mặt phẳng (SAI) C.SI vng góc với mặt phẳng (ABC) D.SI vng góc với SA BC

Câu 34 Góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) 450 giá trị x :

A.a B.a

2 C.a 2 D.2

a

2

Giả thiết sau chung cho bốn câu 35,36,37,38

Cho hai tam giác ABD CBD nằm hai mặt phẳng vng góc với AB=AD=CB=CD=a, BD = 2x Gọi M N trung điểm BD AC.

Câu 35 Khẳng định sau sai?

A.AM CM B.BN DN

C.BD( MAC) D.AC( NBD)

Câu 36 Mặt phẳng (ACB) vng góc với mặt phẳng (ACD) có thêm giả thiết sau đây? A.MN đoạn vng góc chung AC BD.

B.MN=

AC

C.MN=

BD

D.MN=

BD

Câu 37. Độ dài đoạn MN bằng: A. 2

2 a x B.

2 2(a x ) C. 2( 2)

2 a x C.

2 2 (a x )

A. a B.

a

C.

a

D.

a

Giả thiết sau dùng cho câu 39,40,41,42

Cho tứ diện ABCD cạnh A. Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Câu 39. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là: A.a

3 B.

3

a

C.

a

D.

a

Câu 40. Khoảng cách AD BC : A.

3

a

B. 2

a

C.

a

D.

a

Câu 41. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) là: A.2

3

a

B.

a

C. 6

a

D.

a

Câu 42 Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là: A.

2

a

B.

a

C. 3

a

D.

a

Giả thiết sau dùng cho câu 43,44,45

Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a, AA’ =2a điểm M thuộc đoạn CD’ thỏa mãn MC=2MD’ Điểm N tâm hình chữ nhật AA’D’D. Đặt aAB ,bAD,cAA'

Câu 43 Phân tích vec tơ AN theo vec tơ a ,b,c ta được:

A. 1

2

AN b c B. AN b c

C. 1

2

AN b c D. AN b c

Câu 44 Phân tích vec tơ AM theo vec tơ a ,b,c ta được:

A.

3

AM a b  c B.

3

AM a b  c

A.

3

AM a b  c D.

3

AM a b  c Câu 45 Tính độ dài đoạn MN ta được:

A.MN =

a

B.MN = 15

a

C.MN = 17 36

a

D.MN = 14 36

a

ĐÁP ÁN