Tài liệu gồm 671 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Chín Em tóm tắt lý thuyết, phân dạng và hướng dẫn giải các bài toán thuộc các chủ đề: vectơ trông không gian, hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, khoảng cách … trong chương trình Hình học 11 chương 3: vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc.
MỤC LỤC CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC VEC - TƠ TRONG KHƠNG GIAN 1 A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1 Các định nghĩa Các quy tắc tính tốn với véc-tơ Một số hệ thức véc-tơ trọng tâm, cần nhớ Điều kiện đồng phẳng ba véc-tơ Phân tích véc-tơ theo ba véc-tơ khơng đồng phẳng Tích vơ hướng hai véc-tơ B Các dạng toán Dạng Xác định véc-tơ khái niệm có liên quan Dạng Chứng minh đẳng thức véc-tơ Dạng Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ Dạng Tích vơ hướng hai véc-tơ Dạng Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng Dạng Phân tích véc-tơ theo véc-tơ không đồng phẳng cho trước Dạng Ứng dụng véc-tơ chứng minh tốn hình học C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÁP ÁN HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC 17 19 A TĨM TẮT LÝ LÝ THUYẾT 19 Tích vơ hướng hai véc-tơ khơng gian 19 Góc hai đường thẳng 19 B CÁC DẠNG TOÁN 20 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dạng Xác định góc hai véc-tơ 20 Dạng Xác định góc hai đường thẳng khơng gian 21 Dạng Sử dụng tính chất vng góc mặt phẳng 22 Dạng Hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng thứ ba 23 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 24 ĐÁP ÁN 42 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 43 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 43 Định nghĩa 43 Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng 43 Tính chất 43 Liên hệ quan hệ song song quan hệ vuông góc đường thẳng mặt phẳng 44 Phép chiếu vng góc định lý ba đường vng góc 45 B CÁC DẠNG TOÁN 45 Dạng Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 45 Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng 47 Dạng Xác định thiết diện khối đa diện cắt mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước 49 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 50 ĐÁP ÁN 83 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 85 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 85 Định nghĩa góc hai mặt phẳng 85 Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt 85 Diện tích hình chiếu đa giác 85 Hai mặt phẳng vng góc 85 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 86 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Hình chóp hình chóp cụt 86 B CÁC DẠNG TỐN 86 Dạng Tìm góc hai mặt phẳng 86 Dạng Tính diện tích hình chiếu đa giác 88 Dạng Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 88 Dạng Thiết diện chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 90 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 91 C KHOẢNG CÁCH 125 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 125 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 125 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng 125 Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song 125 Khoảng cách hai mặt phẳng song song 125 Đường thẳng vng góc chung khoảng cách hai đường thẳng chéo 126 B CÁC DẠNG TOÁN 126 Dạng Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng 126 Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 127 Dạng Khoảng cách đường mặt song song - Khoảng cách hai mặt song song 128 Dạng Đoạn vng góc chung - Khoảng cách hai đường thẳng chéo 130 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 132 ĐÁP ÁN 186 D ÔN TẬP CHƯƠNG III 187 ĐÁP ÁN 191 CHƯƠNG BÀI QUAN HỆ VNG GĨC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT CÁC ĐỊNH NGHĨA VEC - TƠ TRONG KHÔNG GIAN Véc-tơ đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu điểm cuối) #» Véc-tơ - khơng véc-tơ có điểm đầu điểm cuối trùng Ký hiệu #» # » Ký hiệu véc-tơ: AB (điểm đầu A, điểm cuối B) hay #» a , b , #» x , #» y, Độ dài véc-tơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối véc-tơ # » # » Độ dài AB ký hiệu |AB|, độ dài #» a ký hiệu | #» a | Giá véc-tơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối véc-tơ Hai véc-tơ gọi phương giá chúng song song trùng Hai véc-tơ phương hướng ngược hướng Hai véc-tơ hai véc-tơ hướng có độ dài #» Tức #» a = b ⇔ #» #» a , b hướng #» | #» a | = | b | Hai véc-tơ đối hai véc-tơ ngược hướng có độ dài 10 Các phép tốn cộng, trừ, nhân véc-tơ với số định nghĩa tương tự mặt phẳng CÁC QUY TẮC TÍNH TỐN VỚI VÉC-TƠ # » # » # » Quy tắc ba điểm (với phép cộng): AB + BC = AC # » # » # » Quy tắc ba điểm (với phép trừ): OB − OA = AB # » # » # » # » # » # » Quy tắc ba điểm (mở rộng): AX1 + X1 X2 + X2 X3 + · · · + Xn−1 Xn + Xn B = AB Quy tắc hình bình hành: # » # » # » (a) AB + AD = AC # » # » # » (b) AB + AD = 2AE ABCD hình bình hành E trung điểm BD C B Quy tắc hình hộp: # » # » # » # » AB + AD + AA = AC D A ABCD.A B C D hình hộp B A C D https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 MỘT SỐ HỆ THỨC VÉC-TƠ TRỌNG TÂM, CẦN NHỚ #» #» # » #» # » #» I trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ IA + IB = ⇔ OA + OB = 2OI (với O điểm bất kỳ) # » # » # » #» # » # » # » # » G trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔ OA + OB + OC = 3OG # » 2# » ⇔ AG = AM (với O điểm bất kỳ, M trung điểm cạnh BC) # » # » # » # » #» G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = # » # » # » # » # » # » 3# » ⇔ OA + OB + OC + OD = 4OG ⇔ AG = AA (với điểm O bất kỳ, A trọng tâm BCD) # » # » #» ⇔ GM + GN = (với M, N trung điểm cặp cạnh đối diện) #» #» #» #» a b = phương ⇔ ∃k ∈ R : #» a = k· b #» #» #» #» a b = hướng ⇔ ∃k ∈ R+ : #» a = k· b #» #» #» #» a b = ngược hướng ⇔ ∃k ∈ R− : #» a = k· b # » # » Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ∈ R : AB = k · AC ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC-TƠ Định nghĩa Trong không gian, ba véc-tơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Hệ Nếu có mặt phẳng chứa véc-tơ đồng thời song song với giá hai véc-tơ ba véc-tơ đồng phẳng #» Định lí (Điều kiện để ba véc-tơ đồng phẳng) Trong không gian cho hai véc-tơ #» a b không #» phương véc-tơ #» c Khi #» a , b #» c đồng phẳng tồn cặp số (m; n) cho #» #» #» c = m a + n b (cặp số (m; n) nêu nhất) ! # » # » # » # » # » # » Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng ⇔ AB, AC, AD đồng phẳng ⇔ AB = mAC + nAD PHÂN TÍCH MỘT VÉC-TƠ THEO BA VÉC-TƠ KHƠNG ĐỒNG PHẲNG Định lí #» Cho ba véc-tơ #» a , b #» c không đồng phẳng Với véc-tơ #» x , ta tìm #» số (m; n; p) cho #» x = m #» a + n b + p #» c #» c #» a #» x #» b TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ Định nghĩa #» #» #» #» #» #» Nếu #» a = b = #» a · b = | #» a | · b · cos( #» a, b ) #» #» #» #» a = b = #» a · b = Nếu #» Bình phương vô hướng véc-tơ: #» a = | #» a |2 ! Một số ứng dụng tích vơ hướng #» #» #» #» #» Nếu #» a = b = ta có #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 #» #» Cơng thức tính cơ-sin góc hợp hai véc-tơ khác : cos( #» a, b ) = # » Công thức tính độ dài đoạn thẳng: AB = AB = B #» a· #» |a| · #» b #» b # » AB CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định véc-tơ khái niệm có liên quan Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa khái niệm liên quan đến véc-tơ (xem mục 1) Dựa vào tính chất hình học hình hình học cụ thể #» Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A B C D Hãy xác định véc-tơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối đỉnh hình hộp ABCD.A B C D # » b) phương AA # » a) phương với AB; ✍Lời giải # » a) Các véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối đỉnh hình hộp phương với AB # » # » # » # » # » # » # » BA; CD; DC; A B ; B A ; C D ; D C # » b) Các véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối đỉnh hình hộp phương với AA # » # » # » # » # » # » # » # » AA ; A A; BB ; B B; CC ; C C; DD ; D D Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A B C D Gọi O, O giao điểm hai đường #» chéo hai đáy Hãy xác định véc-tơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối đỉnh hình lập phương ABCD.A B C D cho # » a) OO # » b) AO ✍Lời giải # » # » # » # » # » a) Ta có OO = AA = BB = CC = DD # » # » # » # » b) Ta có Các véc-tơ thỏa mãn là: AO = A O = OC = O C Dạng Chứng minh đẳng thức véc-tơ Phương pháp giải: Để chứng minh đẳng thức véc-tơ ta thường sử dụng: Qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp Tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích số với véc-tơ Để biến đổi vế thành vế Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C, D khơng gian Chứng minh rằng: # » # » # » # » AB + CD = AD + CB ✍Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » T ac : AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + DB + BD # » # » #» # » # » = AD + CB + = AD + CB Ví dụ Cho tứ diện A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB, CD # » Ä # » # »ä AD + BC a) Chứng minh rằng: IJ = # » # » # » # » # » b) Cho G trung điểm I, J Chứng minh rằng: 4M G = M A + M B + M C + M D, với điểm M không gian ✍Lời giải # » Ä # » # »ä AD + BC a) Chứng minh rằng: IJ = # » # » # » #2 » #» # » # » # » Ta có IJ = IA + AD + DJ IJ = IB + BC + CJ # » # » # » # » # » # » # » Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä Suy 2IJ = IA + AD + DJ + IB + BC + CJ = IA + IB + AD + BC + DJ + CJ #» Ä # » # »ä #» # » # » = + AD + BC + = AD + BC # » # » # » # » # » b) Cho G trung điểm I, J Chứng minh rằng: 4M G = M A + M B + M C + M D, với điểm M không gian # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» # » # » # » #» Tacó M A+ M B + M C + M D = 4M G+ GA+ GB + GC + GD = 4M G+2GI +2GJ = 4M G+2 = 4M G (Vì I trung điểm AB, J trung điểm CD, G trung điểm IJ) Dạng Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ Phương pháp giải: Dựa vào yếu tố cố định điểm véc-tơ Các bước thực hành giải toán: # » Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho trước dạng: OM = #» v Trong đó: Điểm O véc-tơ #» v biết Nếu muốn dựng điểm M , ta lấy O làm gốc dựng véc-tơ véc-tơ #» v , điểm véc-tơ M Ứng dụng tính chất tâm tỉ cự hệ điểm n Với điểm A1 , A2 , · · · , An số α1 , α2 , · · · , αn thỏa mãn điều kiện n Tồn điểm M cho: = i=1 # » #» αi M A i = i=1 Điểm M gọi tâm tỉ cự hệ điểm {A1 , A2 , · · · , An } với hệ số tương ứng {α1 , α2 , · · · , αn } Trong trường hợp αi = αj ∀i, j điểm M gọi trọng tâm hệ điểm {A1 , A2 , · · · , An } Một số kết thường sử dụng Với A, B, C điểm cố định, #» v véc-tơ biết Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ # » # » Chương - Hình học 11 #» M A + M B = ⇒ M trung điểm AB # » # » # » #» Nếu A, B, C không thẳng hàng M A + M B + M C = ⇒ M trọng tâm tam giác ABC # » # » Tập hợp điểm M thỏa mãn M A = M B mặt phẳng trung trực AB # » # » Tập hợp điểm M thỏa mãn M C = k AB mặt cầu tâm C bán kính k.AB Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Xác định vị trí điểm O cho: # » # » # » # » # » # » # » # » #» OA + OB + OC + OD + OA1 + OB1 + OC1 + OD1 = ✍Lời giải Gọi G, G giao điểm đường chéo ABCD A1 B1 C1 D1 Khi ta # »có: # » # » # » # » # » # » # » OA + OB + OC + OD + OA1 + OB1 + OC1 + OD1 # » # » # » # » # » = GA + GB + GC + GD + G A1 + # » # » # » # » # » G B1 + G C1 + G D1 + 4(GO + G O) # » # » #» = 4(GO + G O) = Suy O trung điểm GG D1 C1 G B1 A1 O C D G A B Ví dụ Cho tứ diện ABCD Xác định điểm I, H, G thỏa mãn #» # » # » # » AI = AB + AC + AD # » # » # » # » AH = AB + AC − AD # » # » # » # » #» GA + GB + GC + GD = ✍Lời giải #» # » # » # » # » # » # » # » # » Mà (AB + AC) + AD = AG + AD với G đỉnh lại hình bình # » # » # » hành ABGC AG = AB + AC #» # » # » Vậy AI = AG + AD với I đỉnh lại hình bình hành AGID Do AI đường chéo hình hộp có ba cạnh AB, AC, AD # » # » # » # » Ta có: AH = AB + AC − AD # » # » # » # » # » # » Mà (AB + AC) − AD = AG − AD = DG # » # » Vậy AH = DG nên F đỉnh lại hình bình hành ADGH # » # » # » # » # » # » #» # » # » Ta có: GA + GB + GC + GD = 4GP + P D = ⇒ P D = 4P G với P trọng tâm tam giác ABC ⇒ G điểm nằm đoạn thẳng DP cho P D = 4P G Điểm G thỏa mãn đẳng thức gọi trọng tâm tứ diện H Ta có: AI = AB + AC + AD B G P A C I D Ví dụ Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định khơng thẳng hàng, tìm tập hợp điểm # » # » # » # » # » # » M cho: M A + M B + M C = 2M A − M B − M C ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi G trọng tâm ABC, ta biến đổi đẳng thức dạng: # » # » # » # » # » 3M G = 3M A − 3M G ⇔ M G = GA ⇒ M thuộc mặt cầu tâm G, bán kính GA cố định Dạng Tích vơ hướng hai véc-tơ Phương pháp giải: dựa vào định nghĩa tính chất tích vơ hướng (xem mục 6), quy tắc tính tốn véc-tơ (xem mục 2) hệ thức véc-tơ trọng tâm (xem mục 3) để giải tốn #» #» #» #» Ví dụ Cho hai véc-tơ #» a b Chứng minh rằng: #» a b = ( #» a + b − #» a− b ) ✍Lời giải 1 #»2 #» #» #»2 #»2 #» #» #» #» #» #» Ta có: V P = ( #» a + b − #» a − b ) = (( #» a + b ) −( #» a − b ) ) = ( #» a + b +2 a b −( a + b −2 a b )) = 4 #» #» a b = V T Ä # » # »ä # » Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Tính AB + AD B D ✍Lời giải Ä # » # »ä # » # » # » # »# » Ta có: AB + AD B D = AC.B D = (vì AC⊥B D ⇒ AC.B D = 0) #» #» #» #» a , b ) = 120◦ Tính #» a + b #» a− b Ví dụ Cho | #» a | = 2, b = 3, ( #» ✍Lời giải #» Ta có: #» a+ b Ä #» #» #»ä2 a b = | #» a |2 + = #» a + b = | #» a |2 + b + #» √ #» 22 + 32 + 2.2.3 cos 120◦ = ⇒ #» a + b = #» #» #»ä2 #» Ä a b = | #» a |2 + a − b = | #» a |2 + b − #» Ta có: #» a − b = #» √ #» 22 + 32 − 2.2.3 cos 120◦ = 19 ⇒ #» a + b = 19 Ä #»ä #» #» #» a , b ⇒ #» a+ b a | b cos #» b + | #» Ä #»ä #» #» #» a , b ⇒ #» a+ b a | b cos #» b − | #» = = #» #» #» a b = −6 Tính góc hợp hai véc-tơ #» a b Ví dụ Cho | #» a | = 3, b = 4, #» ✍Lời giải Ä #»ä Ä #»ä #» #» Ta có #» a b = | #» a | b cos #» a , b ⇔ cos #» a, b = #» Vậy góc hợp hai véc-tơ #» a b 120◦ #» #» a b −6 #» = 3.4 = − #» |a| b Dạng Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng Phương pháp giải: Để chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng, ta chứng minh hai cách: Chứng minh giá ba véc-tơ song song với mặt phẳng #» #» Dựa vào điều kiện để ba véc-tơ đồng phẳng : Nếu có m, n ∈ R : #» c = m #» a + n b #» a , b , #» c đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Chứng minh rẳng # » # » # » véc-tơ BC, AD, M N đồng phẳng ✍Lời giải % Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi P, Q trung điểm AC, BD P N M Q Ta có ⇒ M N P Q hình bình hành P N = M Q = AD Mặt khác (M N P Q) chứa đường thẳng M N song song với đường thẳng AD BC ⇒ ba đường thẳng M N, AD, BC song song với mặt phẳng # » # » # » Do véc-tơ BC, AD, M N đồng phẳng A M P B D Q N C Ví dụ Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm 1# » # » # » # » M cho M S = −2M A đoạn BC lấy điểm N cho N B = − N C Chứng minh ba # » # » # » véc-tơ AB, M N , SC đồng phẳng ✍Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có : M N = M A + AB + BN ⇒ 2M N = 2M A + 2AB + 2BN (1) # » # » # » # » # » # » # » Mặt khác : M N = M S + SC + CN = −2M A + SC + 2N B (2) # » # » # » # » 1# » 2# » Cộng vế theo vế, ta : 3M N = SC + 2AB hay M N = SC + AB 3 # » # » # » Vậy :AB, M N , SC đồng phẳng Dạng Phân tích véc-tơ theo véc-tơ không đồng phẳng cho trước Phương pháp giải: #» Để phân tích véc-tơ #» x theo ba véc-tơ #» a , b , #» c không đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho #» #» x = m #» a + n b + p #» c # » Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm CD, I trung điểm BM Đặt AB = #» # » #» #» # » #» b , AC = b AD = #» c phân tích véc-tơ AI theo véc-tơ #» a , b , #» c ✍Lời giải #» #» # » # » b + c # » # » # » # » AC + AD Ta có 2AI = AB + AM = AB + = #» a+ 2 #» #» Vậy AI = #» a + + b + #» c 4 Dạng Ứng dụng véc-tơ chứng minh tốn hình học Phương pháp giải: Chọn véc-tơ không đồng phẳng làm sở Biểu diễn véc-tơ cần tính tốn hệ véc-tơ sở Dựa vào hệ thức biểu diễn ta tìm mối quan hệ véc-tơ cần xét Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Gọi G trọng tâm tam giác A BD Chứng minh A, G, C thẳng hàng ✍Lời giải # » # » #» # » #» # » Đặt AA = #» a , AB = b , AD = #» c Khi AC = #» a + b + #» c #» # » # » # » # » # » # » AG = AA + A G = AA + (A D + A B) = ( #» a + b + #» c) 3 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S H A B K O D C Kẻ OK ⊥ BC mà SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC nên BC ⊥ (SOK) ⇒ (SBC) ⊥ (SOK) Mặt khác: (SBC) ∩ (SOK) = SK Trong mp(ABCD), kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ (SBC) nên d(O; (SBC)) = OH ’ = 120◦ nên CAB ’ = ACB ’ = CBA ’ = 60◦ ⇒ ABC Ta có: DAB √ a a ; OC = AC = ABC đều⇒ OB = 2 1 4 16 Trong OBC vuông O ⇒ = + = + = OK OC OB a 3a 3a √ 1 16 16 a = + = + = ⇒ OH = Mà OSK ta có: OH SO2 OK 6a 3a a √ a Ta thấy O trung điểm DB nên d(D; (SBC)) = 2d(O; (SBC)) = 2OH = Chọn đáp án B ◦ ’ Câu 558 Cho hình chóp SABCD có đáy √ hình thoi cạnh a DAB = 120 Gọi O giao điểm a AC, BD Biết SO ⊥ (ABCD) SO = Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a a a a A B C D 4 ✍Lời giải S H A B K O D C Kẻ OK ⊥ BC mà SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC nên BC ⊥ (SOK) ⇒ (SBC) ⊥ (SOK) Mặt khác: (SBC) ∩ (SOK) = SK Trong mp(ABCD), kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ (SBC) nên d(O; (SBC)) = OH ’ = 120◦ nên CAB ’ = ACB ’ = CBA ’ = 60◦ ⇒ ABC Ta có: DAB √ a a ABC đều⇒ OB = ; OC = AC = 2 1 4 16 Trong OBC vuông O ⇒ = + = + = 2 2 OK OC OB a 3a 3a √ 1 16 16 a Mà OSK ta có: = + = + = ⇒ OH = OH SO2 OK 6a 3a a √ a Ta thấy O trung điểm DB nên d(D; (SBC)) = 2d(O; (SBC)) = 2OH = Th.s Nguyễn Chín Em 654 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B Câu 559 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A D, AB = 2a, AD = DC = a Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Góc SC mặt đáy 60◦ Khoảng cách hai đường thẳng AC SB √ √ √ a 2a 15 A 2a B C D a 2 ✍Lời giải Cách Do (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy nên suy SA ⊥ (ABCD) ’ = 60◦ Khi (SC, (ABCD)) = SCA Gọi E trung điểm AB Khi đó, tứ giác ADCE hình vng Suy AE = EB CE = AB Vậy tam giác ACB vuông C Suy BC ⊥ AC S G F E B A D C Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ Bx song song với AC Từ A kẻ AF ⊥ Bx Do ® AC BF nên AC (SBF ) ⇒ d(AC, SB) = d(AC, (SBF )) = d(A, (SBF )) BF ⊥ AF ⇒ BF ⊥ (SAF ) ⇒ (SAF ) ⊥ (SBF ) Do BF ⊥ SA Từ A kẻ AG ⊥ SF ⇒ AG ⊥ (SBF ) ⇒ d(A, (SBF )) = AG √ √ √ √ √ ’ = a · = a Ta có AC = a 2, BC = AF = a SA = AC · tan SCA √ 1 a Trong tam giác vng SAF , ta có = + = ⇒ AG = 2 AG SA AF 6a cách 2: Dùng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta cóÄA(0; 0; 0),ä B(0; 2a; 0), C(a; a; 0), D(a; 0; 0), √ S 0; 0; a Ä √ ä # » # » # » AC = (a; a; 0), SB = 0; 2a; −a , AB = (0; 0) ä ỵ # » # »ó ỵ # 2a; » # »ó Ä √ √ AC, SB = −a 6; a 6; 2a2 , AC, SB · √ # » AB = 2a3 z S B y A D C x ỵ # » # »ó # » AC, SB · AB Khi d(AC, SB) = = ỵ # » # »ó AC, SB √ √ 2a3 a = Ä √ ä2 Ä √ ä2 −a2 + a2 + (2a2 )2 Chọn đáp án B √ Câu 560 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Gọi M trung điểm cạnh SC Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD) √ √ √ √ a a 10 a a 10 A B C D 10 ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 655 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O = AC ∩ BD, G = AM ∩ SO, suy G trọng tâm tam giác SAC ⇒ d(M, (SBD)) = d(A, (SBD)) Do ABCD hình vng SA ⊥ (ABCD) nên BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) Kẻ AH ⊥ SO, H ∈ SO Do BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBD) ⇒ d(A, (SBD)) = AH √ Tam giác SAO vng A, có SA = a 2, AO = AC = √ √ 1 a 10 a ⇒ = + = ⇒ AH = AH 2a 2a a √ 1 a 10 Vậy d(M, (SBD)) = d(A, (SBD)) = AH = 2 10 Chọn đáp án B S M G H A B O D C Câu 561 Cho lăng trụ ABC.A B C có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A BC) 6a Khoảng cách từ trung điểm M cạnh B C đến mặt phẳng (A BC) A 2a B 4a C 6a D 3a ✍Lời giải Ta có d (M, (A BC)) = d (B , (A BC)) = d (A, (A BC)) = 6a A C M B I A C B Chọn đáp án C 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 142 152 162 172 182 192 ĐÁP ÁN A B 12 D 22 A 32 D 42 A 52 B 62 C 72 D 82 C 92 B 102 C 112 A 122 D 132 C 143 A 153 C 163 D 173 C 183 C 193 C A B D A D A D A C C B B A C A B A D B 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 134 144 154 164 174 184 194 Th.s Nguyễn Chín Em B C A A C D C B B D B B D A D B D B D D 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 135 145 155 165 175 185 195 C A B C D D D B D A A B C D B B D C C B 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 136 146 156 166 176 186 196 D A C A A C B A C D B B A D A D B B B D 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 137 147 157 167 177 187 197 656 B B A B A B C D B D D D D D C D D B A A 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 138 148 158 168 178 188 198 C C B D A D C D D C D B B A D D D A C A 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 139 149 159 169 179 189 199 B A D B A C B B D C C C A A B B D D D A 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 140 150 160 170 180 190 200 A B C A C B C C A C D B A D D B D C A D 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 141 151 161 171 181 191 201 D A A A A D B D C D B B D B B C C A A A https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 202 212 222 232 242 252 262 272 282 292 302 312 322 332 342 352 362 372 382 392 402 412 422 432 442 452 462 472 482 492 502 512 522 532 542 552 A A B A C A A A D B A B B D B A D B B A A B C D C D D B B C A A C A A D 203 213 223 233 243 253 263 273 283 293 303 313 323 333 343 353 363 373 383 393 403 413 423 433 443 453 463 473 483 493 503 513 523 533 543 553 D C C A A D A C D A A C B B C B A C D A D D D A C B B B B A C B C B A A 204 214 224 234 244 254 264 274 284 294 304 314 324 334 344 354 364 374 384 394 404 414 424 434 444 454 464 474 484 494 504 514 524 534 544 554 A D B D D B B C A A B C C B B D B A D B C C B B B D A B B B C C B B B C D ÔN TẬP CHƯƠNG III 205 215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 315 325 335 345 355 365 375 385 395 405 415 425 435 445 455 465 475 485 495 505 515 525 535 545 555 D C D A A D B A B B D D C C A B B D A D B D C C D C B D B D A B A B B D 206 216 226 236 246 256 266 276 286 296 306 316 326 336 346 356 366 376 386 396 406 416 426 436 446 456 466 476 486 496 506 516 526 536 546 556 C C B D A D A C D B B D B A A D A C D A A A B B D A A D D B A B B A B D Chương - Hình học 11 207 217 227 237 247 257 267 277 287 297 307 317 327 337 347 357 367 377 387 397 407 417 427 437 447 457 467 477 487 497 507 517 527 537 547 557 C D D C D A A C C C D A B C A B A B B B A D C B A D D B D A B B C C B B 208 218 228 238 248 258 268 278 288 298 308 318 328 338 348 358 368 378 388 398 408 418 428 438 448 458 468 478 488 498 508 518 528 538 548 558 A B A C D B B A B A B C B B B D C B D B B A D B C B B C B A B A D A A B 209 219 229 239 249 259 269 279 289 299 309 319 329 339 349 359 369 379 389 399 409 419 429 439 449 459 469 479 489 499 509 519 529 539 549 559 C B A A C D B A A A D A C B D C B A C B B C C A D C B D C A B C B B B B 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 A D A C C C C D A C B D A B A D B C B D B A C A D C B C A A A B B C B B 211 221 231 241 251 261 271 281 291 301 311 321 331 341 351 361 371 381 391 401 411 421 431 441 451 461 471 481 491 501 511 521 531 541 551 561 C D D C A B A B B C A D D C D B B B B C C A B A C A C B B A A D B A D C Câu Mệnh đề sau đúng? A Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c B Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c a vng góc với c C Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c D Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (a, b) ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 657 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A D D A B C D A B C B C Hình Hình Mệnh đề “Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c” sai a song song với c Ví dụ: Hình vng ABCD có AB ⊥ BC, BC ⊥ CD A (Hình 1) Mệnh đề “Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c” sai d cắt b c Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có ABC đơi vng góc với AC vng góc với AA AC cắt AB AD (Hình 2) Mệnh đề “Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (a, b)” sai c song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (a; b) Ví dụ: Cho hình vng ABCD có AB CD Đường thẳng BC vng góc với AB mà DG (Hình 1) Chọn đáp án B Câu Mệnh đề sau đúng? A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với B Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng C Hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với cắt theo giao tuyến d Với điểm A thuộc (α) điểm B thuộc (β) ta có đường thẳng AB vng góc với d D Nếu hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với mặt phẳng (γ) giao tuyến d (α) (β) có vng góc với (γ) ✍Lời giải A D B C D A B C Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với nhau” sai hai mặt phẳng cắt Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có (AA D D) (AA B B) vng góc với (ABCD) (AA D D) ∩ (AA B B) = AA Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng kia” sai thiếu điều kiện đường thẳng phải vng góc với giao tuyến Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có (AA D D) vng góc với (ABCD) A D (ABCD) Mệnh đề “Hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với cắt theo giao tuyến d Với điểm A thuộc (α) điểm B thuộc (β) ta có đường thẳng AB vng góc với d” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có (AA D D) vng góc với (ABCD) (AA D D) ∩ (ABCD) = AD mà BD không vuông góc với AD Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 658 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu Mệnh đề sau sai? A Hai đường thẳng a b khơng gian có vectơ phương #» u #» v Điều kiện cần #» #» đủ để a b chéo a b điểm chung hai vectơ u , v khơng phương B Cho a, b hai đường thẳng chéo vng góc với Đường vng góc chung a b nằm mặt phẳng chứa đường vng góc với đường C Khơng thể có hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên (SAB) (SCD) vng góc với mặt phẳng đáy D Cho #» u , #» v hai vectơ phương hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (α) #» n #» #» #» #» vectơ phương đường thẳng ∆ Điều kiện cần đủ để ∆ ⊥ (α) n · u = n · v = ✍Lời giải “Khơng thể có hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên S (SAB) (SCD) vng góc với mặt phẳng đáy” mệnh đề sai Ví dụ: Cho hình chóp S.M BD SM ⊥ (M BD) ⇒ (SM B) (SM D) hai mặt phẳng vng góc với đáy Trên cạnh M B, M D lấy A C Khi đó, (SAB) ≡ (SM B) , (SCD) ≡ (SM D) ⇒ (SAB) (SCD) vuông góc với đáy C D M A B Chọn đáp án C Câu Mệnh đề sau đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng B Một đường cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng C Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đôi khơng nằm mặt phẳng đồng quy ✍Lời giải A D B C D A B C Mệnh đề “Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng” sai Ví dụ Hình lập phương ABCD.A B C D có AA cắt AB A D ba đường thẳng AA , AB A D không đồng phẳng Mệnh đề “Một đường cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có A B cắt hai đường thẳng cắt cho trước AA A D ba đường thẳng AA , A B A D không đồng phẳng Mệnh đề “Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có A B , AA , A D cắt đôi không nằm mặt phẳng Chọn đáp án D Câu Mệnh đề sau đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song Th.s Nguyễn Chín Em 659 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 C Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song D Hai đường thẳng khơng cắt khơng song song chéo ✍Lời giải A D B C D A B C Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song” sai chúng cắt Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có (AA D D) (AA B B) vng góc với (ABCD) (AA D D) ∩ (AA B B) = AA Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song” sai chúng cắt Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có AB, AD vng góc với AA , AB ∩ AD = A Mệnh đề “Hai đường thẳng khơng cắt khơng song song chéo nhau” sai chúng trùng Chọn đáp án A Câu Mệnh đề sau đúng? A Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng cắt C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với D Một mặt phẳng (α) đường thẳng a khơng thuộc (α) vng góc với đường thẳng b (α) song song với a ✍Lời giải A D B C D A B C Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với nhau” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có AD AC song song với (A B C D ) mà AD ∩ AC = A Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng cắt nhau” sai hai mặt phẳng song song với Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có (AA D D) (BB C C) vng góc với (ABCD) (AA D D) (BB C C) Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với nhau” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có AD AC vng góc với AA AD AC khơng vng góc với Chọn đáp án D Câu Mệnh đề sau đúng? A Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo đoạn ngắn đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai đường thẳng ngược lại B Qua điểm cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Th.s Nguyễn Chín Em 660 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 C Qua điểm cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước D Cho ba đường thẳng a, b, c chéo đơi Khi ba đường thẳng nằm ba mặt phẳng song song với đôi ✍Lời giải A D B C D A B C Mệnh đề “Qua điểm cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D qua điểm A có hai mặt phẳng (A ABB ) (A ADD ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Mệnh đề “Qua điểm cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D qua điểm A có A B A D vng góc với AA Mệnh đề “Cho ba đường thẳng a, b, c chéo đơi Khi ba đường thẳng nằm ba mặt phẳng song song với đơi một” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A B C D có ba đường thẳng AB, CC , A D ba đường thẳng chéo đôi mặt phẳng chứa đường không song song với đôi Chọn đáp án A # » # » Câu Cho hình lập phương ABCD.EF GH có cạnh a Tính P = AB · EG A P = a2 B P = a2 √ C P = a2 √ √ a2 D P = ✍Lời giải # » # » Ta có EG = AC Do P E # » # » # » # » = AB · EG = AB · AC √ Ä # » # »ä √ = AB · AC · cos AB, AC = a · a · = a2 H F G D A B C Chọn đáp án A Câu Tính khoảng cách d hai cạnh đối tứ diện cạnh a √ √ 3a a a A d = B d = C d = 2 √ D d = a ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 661 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M,® N trung điểm AB, CD CD ⊥ BN Suy ⇒ CD ⊥ (ABN ) ⇒ CD ⊥ M N CD ⊥ AN √ a Ta có AN = BN = ⇒ ∆ABN cân N ⇒ M N ⊥ AB Từ (1) (2), suy √ 3a2 a2 a 2 d [AB, CD] = M N = BN − BM = − = 4 D (1) N (2) A C M B Chọn đáp án B Câu 10 Cho hình hộp ABCD.A B C D với tâm O Hãy đẳng thức sai đẳng thức sau # » # » # » # » # » # » # » # » #» A AC = AB + AD + AA B AB + BC + CD + D A = # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » C AB + AA = AD + DD D AB + BC + CC = AD + D O + OC ✍Lời giải A D B C D A B C # » # » # » # » Theo qui tắc hình hộp AC = AB + AD + AA # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» Ta có CD = C D ⇒ AB + BC + CD + D A = AB + BC + C D + D A = AC + C A = # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có AB + BC + CC = AD + D O + OC ⇔ AC = AC # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có AB + AA = AB + AA = AB (quy tắc hình bình hành) AD + DD = AD + DD = AD nên # » # » # » # » AB + AA = AD + DD Chọn đáp án C # » # » #» # » # » #» Câu 11 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C Đặt AA = #» a , AB = b , AC = #» c , BC = d Trong biểu thức vectơ sau đây, biểu thức đúng? #» #» #» #» A #» a = b + #» c B #» a + b + #» c + d = #» #» #» #» #» C b + d − #» c = D #» a + b + #» c = d ✍Lời giải A D B C D A B M C #» #» # » # » # » # » Gọi M trung điểm BC AB + AC = 2AM ⇒ b + c = 2AM = #» a Dựng hai điểm D, D để ABDC.A B D C hình hộp Th.s Nguyễn Chín Em 662 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 #» #» #» #» #» Ta có #» a + b + #» c + d = ⇔ #» a + b + #» c = −d # » # » # » # » # » #» #» #» Mà AA + AB + AC = AD ⇒ #» a + b + #» c = AD = − d = d #» #» # » # » # » # » # » #» Ta có b + d − #» c = AB + BC − AC = AC − AC = Chọn đáp án C Câu 12 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Mệnh đề sau sai? # » # » a2 # » # » A AB · AC = B AB ⊥ CD hay AB · CD = # » # » 2# » # » #» # » # » # » # » C AB + CD + BC + DA = D AC · AD = AC · CD ✍Lời giải Ä # » # »ä a2 # » # » # » # » Ta có AB · AC = AB · AC cos AB, AC = a · a · cos 60◦ = Gọi M®là trung điểm CD O trọng tâm tam giác BCD AO ⊥ CD # » # » Ta có ⇒ CD ⊥ AB hay AB · CD = BM ⊥ CD # » # » # » # » # » # » #» Theo quy tắc ba điểm AB + BC + CD + DA = AC + CA = A D C M O B Ä # » # »ä a # » # » # » # » AC · AD = AC · AD · cos AC, AD = a · a · cos 60◦ = Ta có Ä ä Ä ä # » # » # » # » # » # » # » # » AC · CD = − CA · CD = − CA · CD · cos CA, CD = −a · a · cos 60◦ = − a Chọn đáp án D Câu 13 Mệnh đề sau đúng? # » # » # » # » A Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC tứ giác ABCD hình bình hành # » # » B Tứ giác ABCD hình bình hành AB = CD # » # » # » # » #» C Tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + AD = # » # » # » D Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD ✍Lời giải Ta có D C # » # » # » # » # » # » # » # » SB + SD = SA + SC ⇔ SB − SA = SC − SD # » # » ⇔ AB = DC Vậy tứ giác ABCD hình bình hành # » # » Tứ giác ABCD hình bình hành AB = DC # » # » # » # » Với bốn điểm A, B, C, D ta ln có AB + BC + CD + DA = #» # » # » # » Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AD = AC Chọn đáp án A A B Câu 14 Mệnh đề sau sai? #» #» A Ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng có ba vectơ vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng có hai ba vectơ phương B Ba vectơ #» # » # » # » C Trong hình hộp ABCD.A B C D ba vectơ AB , C A , DA đồng phẳng #» #» D Vectơ #» x = #» a + b + #» c luôn đồng phẳng với hai vectơ #» a b ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 663 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình hộp ABCD.A B C D gọi M trung điểm C D # » #» # » # » Giả sử #» a = AB, b = AD, #» c = CM #» # » # » # » Khi #» a + b + #» c = AM không đồng phẳng với hai vectơ AB, AD A D B C D A B C Chọn đáp án D Câu 15 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Mệnh đề sau sai? √ # » # » # » A AC = a B AD · AB = a2 # » # » # » # » # » # » #» C AB · CD = D 2AB + B C + CD + D A = ✍Lời giải A D B C D A B C √ √ √ # » Ta có AC = AB + AD2 + A A2 = a2 + a2 + a2 = a Ä # » # »ä √ √ # » # » # » # » Ta có AD · AB = AD · AB · cos AD , AB = a · a · cos 60◦ = a2 # » # » # » # » Dễ dàng chứng minh AB ⊥ CD ⇒ AB · CD = # » # » B C = BC Ta có # » # » D A = DA # » # » # » # » # » Ä # » # » # » # »ä # » #» # » #» Khi đó: 2AB + B C + CD + D A = AB + AB + BC + CD + DA = AB + = AB = Chọn đáp án D Câu 16 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai? #» #» A Cho hai vectơ không phương #» a b Khi ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng có cặp #» số m, n cho #» c = m #» a + n b , cặp số m, n #» #» #» B Nếu có m #» a + n b + p #» c = ba số m, n, p khác ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng #» #» #» C Cho ba vectơ a , b , c đồng phẳng ba vectơ có giá thuộc mặt phẳng D Ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với đơi ba tia khơng đồng phẳng ✍Lời giải #» Cho ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng ba vectơ có giá song song với mặt phẳng Chọn đáp án C Câu 17 Cho hai điểm phân biệt A, B điểm O Mệnh đề sau đúng? # » # » # » A Điểm M thuộc đường thẳng AB OM = OB = k BA # » # » # » # » B Điểm M thuộc đường thẳng AB OM = OB = k(OB − OA) # » # » # » C Điểm M thuộc đường thẳng AB OM = k OA + (1 − k) OB # » # » # » D Điểm M thuộc đường thẳng AB OM = OA + OB ✍Lời giải Ä # » # »ä # » # » # » # » # » # » # » Ta có OM = k OA + (1 − k) OB ⇔ OM − OB = k OA − OB ⇔ BM = k BA ⇒ M, A, B thẳng hàng Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 664 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 18 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với D Mặt phẳng (α) đường thẳng a vng góc với đường thẳng b song song với ✍Lời giải Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Chọn đáp án A Câu 19 Cho a, b, c đường thẳng Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu a ⊥ b b ⊥ c a c B Nếu a b b ⊥ c a ⊥ c C Nếu a ⊥ (α) b (α) a ⊥ b D Nếu a ⊥ b, c ⊥ b a cắt c b ⊥ (a, c) ✍Lời giải Nếu a ⊥ b b ⊥ c a c a, c chéo a, c cắt Chọn đáp án A Câu 20 Cho mệnh đề sau với (α) (β) hai mặt phẳng vng góc với với giao tuyến m = (α) ∩ (β) a, b, c, d đường thẳng Mệnh đề sau đúng? A Nếu a ⊂ (α) a ⊥ m a ⊥ (β) B Nếu b ⊥ m b ⊂ (α) b ⊂ (β) C Nếu c m c (α) c (β) D Nếu d ⊥ m d ⊥ (α) ✍Lời giải Nếu a ⊂ (α) a ⊥ m a ⊥ (β) Chọn đáp án A Câu 21 Cho a, b, c đường thẳng Mệnh đề sau đúng? A Nếu a ⊥ b, (α) ⊃ a (β) ⊃ b (α) ⊥ (β) B Cho a ⊥ b b ⊂ (α) Mọi mặt phẳng (β) chứa a vng góc với b thì vng góc (α) C Cho a ⊥ b Mọi mặt phẳng chứa b vng góc với a D Cho a b Mọi mặt phẳng (α) chứa c c ⊥ a c ⊥ b vng góc với mặt phẳng (a, b) ✍Lời giải Cho a ⊥ b b ⊂ (α) Mọi mặt phẳng (β) chứa a vng góc với b thì vng góc (α) Chọn đáp án B Câu 22 Mệnh đề sau đúng? A Qua đường thẳng, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng khác B Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước C Cho hai đường thẳng a b vng góc Nếu mặt phẳng (α) chứa a mặt phẳng (β) chứa b (α) ⊥ (β) D Cho hai đường thẳng chéo a b đồng thời a ⊥ b Ln có mặt phẳng (α) chứa a để (α) ⊥ b ✍Lời giải Cho hai đường thẳng chéo a b đồng thời a ⊥ b Ln có mặt phẳng (α) chứa a để (α) ⊥ b Chọn đáp án D Câu 23 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Cho hai đường thẳng a b vng góc nhau, mặt phẳng (α) chứa a mặt phẳng (β) chứa b (α) ⊥ (β) B Cho đường thẳng a vng góc mặt phẳng (α), mặt phẳng (β) chứa a (α) ⊥ (β) C Cho hai đường thẳng a b vuông góc nhau, mặt phẳng vng góc với đường song song với đường D Cho hai đường thẳng chéo nhau, ln ln có mặt phẳng chứa đường vng góc với đường ✍Lời giải Cho đường thẳng a vng góc mặt phẳng (α), mặt phẳng (β) chứa a (α) ⊥ (β) Chọn đáp án B Câu 24 Cho tứ diện ABCD Trong mệnh đề mệnh đề sai? Khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC) là: A Độ dài đoạn DG G trọng tâm tam giác ABC B Độ dài đoạn DH H hình chiếu vng góc điểm D mặt phẳng (ABC) Th.s Nguyễn Chín Em 665 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 C Độ dài đoạn DK K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Độ dài đoạn DI I trung điểm đoạn AM với M trung điểm đoạn BC ✍Lời giải Gọi M trung điểm AB G trọng tâm tam giác ABC D Do ABCD tứ diện ⇒ DG ⊥ (ABC) Do đó, d (D, (ABC)) = DG G hình chiếu D mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC ⇒ G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A C M G B Chọn đáp án D Câu 25 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? a A Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A BD) √ B Độ dài đoạn AC a √ C Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (CDD C ) a 3a D Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC B ) ✍Lời giải Gọi I = BD ∩ AC H hình chiếu điểm A đường thẳng A D A I Dễ dàng chứng minh d (A, (A BD)) = AH B C Ta có √ 1 1 a 3 = + = + Ç √ å2 = ⇒ AH = 2 AH AA AI a a a H A √ Đường chéo hình lập phương AC = a Ta có AD ⊥ (CDD C ) ⇒ d (A, (CDD C )) = AD = a Ta có AB ⊥ (BCC B ) ⇒ d (A, (BCC B )) = AB = a Chọn đáp án B D I B C Câu 26.√ Khoảng cách hai cạnh √ đối tứ diện cạnh a bằng: a 2a a A B C 3 ✍Lời giải Gọi M,® N trung điểm AB, CD CD ⊥ BN Suy ⇒ CD ⊥ (ABN ) ⇒ CD ⊥ M N (1) CD ⊥ AN √ a Ta có AN = BN = ⇒ ∆ABN cân N ⇒ M N ⊥ AB (2) Từ (1) (2), suy √ 2 A 3a a a d [AB, CD] = M N = BN − BM = − = 4 D 2a D N C M B Chọn đáp án A Câu 27 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy Th.s Nguyễn Chín Em 666 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a B a C a 2 ✍Lời giải Gọi M trung điểm BC H trọng tâm tam giác ABC Ta dễ dàng chứng minh SH ⊥ (ABC) ⇒ d (S, (ABC)) √ = SH √ 3a Ta có AM = , AH = AM = a 3 √ ⇒ SH = SA2 − HA2 = a √ D a A S A C M H B Chọn đáp án B Câu 28 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Đường vng góc chung hai đường thẳng a b chéo đường thẳng d vừa vng góc với a vừa vng góc với b B Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo đoạn ngắn đoạn nối hai điểm nằm hai đường thẳng ngược lại C Cho hai đường thẳng chéo a b Đường vuông góc chung ln ln nằm mặt phẳng vng góc với a chứa đường thẳng b D Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng không song song với ✍Lời giải Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo đoạn ngắn đoạn nối hai điểm nằm hai đường thẳng ngược lại Chọn đáp án B Câu 29 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có ba kích thước AB = a, AD = b, AA = c Trong kết sau đây, √ kết sai? A BD = a2 + b2 + c2 B d (AB, CC ) = b √ 1√ C d (BB , DD ) = a2 + b2 D d (A, (A BD)) = a + b2 + c2 ✍Lời giải √ √ + AD + A A2 = Ta có BD = AC = AB a2 + b2 + c2 ® A D BC ⊥ AB Ta có ⇒ d (AB, CC ) = BC = b BC ⊥ CC √ B C Ta có BB DD ⇒ d (BB , DD ) = BD = a2 + b2 Gọi M hình chiếu A AB, H hình chiếu A AM Dễ dàng chứng minh AH ⊥ (A BD) ⇒ d (A, (A BD)) = AH 1 1 H Lại có = + = + D 2 2 AH AM AA a +b c A c2 a2 + b2 ⇒ AH = a2 + b2 + c2 M B C Chọn đáp án D Câu 30 Mệnh đề sau sai? A Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm A thuộc a tới mặt phẳng (α) B Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng (α) chứa a song song với b đến điểm N b C Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm M mặt phẳng đến mặt phẳng D Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với đường vng góc chung chúng nằm mặt phẳng (α) chứa đường (α) vuông góc với đường ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 667 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Mệnh đề sai mệnh đề “Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng (α) chứa a song song với b đến điểm N b” Chọn đáp án B 1 11 21 ĐÁP ÁN D B C 12 D B 22 D 13 23 Th.s Nguyễn Chín Em C A B 14 24 D D D 15 25 A D B 16 26 668 D C A 17 27 A C B 18 28 A A B 19 29 B A D 10 20 30 C A B https://emncischool.wixsite.com/geogebra ... 132 ĐÁP ÁN 186 D ÔN TẬP CHƯƠNG III 187 ĐÁP ÁN 191 CHƯƠNG BÀI QUAN HỆ VNG GĨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CÁC ĐỊNH NGHĨA VEC - TƠ TRONG KHÔNG GIAN Véc-tơ đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu điểm... 43 Định nghĩa 43 Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng 43 Tính chất 43 Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng 44 Phép chiếu vng góc định lý ba đường vng góc 45... điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ∈ R : AB = k · AC ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC-TƠ Định nghĩa Trong không gian, ba véc-tơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Hệ Nếu có mặt phẳng chứa