Mệnh đề sai là mệnh đề “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng α chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b”.. Th.s Ng[r]
(1)MỤC LỤC CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC VEC - TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Các định nghĩa Các quy tắc tính toán với véc-tơ Một số hệ thức véc-tơ trọng tâm, cần nhớ Điều kiện đồng phẳng ba véc-tơ Phân tích véc-tơ theo ba véc-tơ không đồng phẳng Tích vô hướng hai véc-tơ B Các dạng toán Dạng Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan Dạng Chứng minh đẳng thức véc-tơ Dạng Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ Dạng Tích vô hướng hai véc-tơ Dạng Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng Dạng Phân tích véc-tơ theo véc-tơ không đồng phẳng cho trước Dạng Ứng dụng véc-tơ chứng minh bài toán hình học C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÁP ÁN HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 17 19 A TÓM TẮT LÝ LÝ THUYẾT 19 Tích vô hướng hai véc-tơ không gian 19 Góc hai đường thẳng 19 B CÁC DẠNG TOÁN 20 (2) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dạng Xác định góc hai véc-tơ 20 Dạng Xác định góc hai đường thẳng không gian 21 Dạng Sử dụng tính chất vuông góc mặt phẳng 22 Dạng Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba 23 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 24 ĐÁP ÁN 42 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 43 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 43 Định nghĩa 43 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 43 Tính chất 43 Liên hệ quan hệ song song và quan hệ vuông góc đường thẳng và mặt phẳng 44 Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc 45 B CÁC DẠNG TOÁN 45 Dạng Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 45 Dạng Góc đường thẳng và mặt phẳng 47 Dạng Xác định thiết diện khối đa diện cắt mặt phẳng qua điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước 49 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 50 ĐÁP ÁN 83 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 85 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 85 Định nghĩa góc hai mặt phẳng 85 Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt 85 Diện tích hình chiếu đa giác 85 Hai mặt phẳng vuông góc 85 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 86 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra (3) Hình chóp và hình chóp cụt 86 B CÁC DẠNG TOÁN 86 Dạng Tìm góc hai mặt phẳng 86 Dạng Tính diện tích hình chiếu đa giác 88 Dạng Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 88 Dạng Thiết diện chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng 90 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 91 C KHOẢNG CÁCH 125 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 125 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 125 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng 125 Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song 125 Khoảng cách hai mặt phẳng song song 125 Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách hai đường thẳng chéo 126 B CÁC DẠNG TOÁN 126 Dạng Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng 126 Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 127 Dạng Khoảng cách đường và mặt song song - Khoảng cách hai mặt song song 128 Dạng Đoạn vuông góc chung - Khoảng cách hai đường thẳng chéo 130 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 132 ĐÁP ÁN 186 D ÔN TẬP CHƯƠNG III 187 ĐÁP ÁN 191 (4) CHƯƠNG BÀI QUAN HỆ VUÔNG GÓC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CÁC ĐỊNH NGHĨA VEC - TƠ TRONG KHÔNG GIAN Véc-tơ là đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối) #» Véc-tơ - không là véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng Ký hiệu #» # » Ký hiệu véc-tơ: AB (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay #» a , b , #» x , #» y, Độ dài véc-tơ là khoảng cách điểm đầu và điểm cuối véc-tơ đó # » # » Độ dài AB ký hiệu là |AB|, độ dài #» a ký hiệu là | #» a | Giá véc-tơ là đường thẳng qua điểm đầu và điểm cuối véc-tơ đó Hai véc-tơ gọi là cùng phương giá chúng song song trùng Hai véc-tơ cùng phương thì cùng hướng ngược hướng Hai véc-tơ ( là#» hai véc-tơ cùng hướng và có cùng độ dài #» Tức là #» a = b ⇔ #» a , b cùng hướng #» | #» a | = | b | Hai véc-tơ đối là hai véc-tơ ngược hướng có cùng độ dài 10 Các phép toán cộng, trừ, nhân véc-tơ với số định nghĩa tương tự mặt phẳng CÁC QUY TẮC TÍNH TOÁN VỚI VÉC-TƠ # » # » # » Quy tắc ba điểm (với phép cộng): AB + BC = AC # » # » # » Quy tắc ba điểm (với phép trừ): OB − OA = AB # » # » # » # » # » # » Quy tắc ba điểm (mở rộng): AX1 + X1 X2 + X2 X3 + · · · + Xn−1 Xn + Xn B = AB Quy tắc hình bình hành: # » # » # » (a) AB + AD = AC # » # » # » (b) AB + AD = 2AE đó ABCD là hình bình hành và E là trung điểm BD C B Quy tắc hình hộp: # » # » # » # » AB + AD + AA0 = AC D A đó ABCD.A0 B C D0 là hình hộp B0 C0 A D0 (5) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 MỘT SỐ HỆ THỨC VÉC-TƠ TRỌNG TÂM, CẦN NHỚ #» #» # » #» # » #» I là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ IA + IB = ⇔ OA + OB = 2OI (với O là điểm bất kỳ) # » # » # » #» # » # » # » # » G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔ OA + OB + OC = 3OG # » 2# » ⇔ AG = AM (với O là điểm bất kỳ, M là trung điểm cạnh BC) # » # » # » # » #» G là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = # » # » # » # » # » # » 3# » ⇔ OA + OB + OC + OD = 4OG ⇔ AG = AA0 (với điểm O bất kỳ, A0 là trọng tâm 4BCD) # » # » #» ⇔ GM + GN = (với M, N là trung điểm cặp cạnh đối diện) #» #» #» #» a và b 6= cùng phương ⇔ ∃k ∈ R : #» a = k· b #» #» #» #» a và b 6= cùng hướng ⇔ ∃k ∈ R+ : #» a = k· b #» #» #» #» a và b 6= ngược hướng ⇔ ∃k ∈ R− : #» a = k· b # » # » Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ∈ R : AB = k · AC ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC-TƠ Định nghĩa Trong không gian, ba véc-tơ gọi là đồng phẳng giá chúng cùng song song với mặt phẳng nào đó Hệ Nếu có mặt phẳng chứa véc-tơ này đồng thời song song với giá hai véc-tơ thì ba véc-tơ đó đồng phẳng #» Định lí (Điều kiện để ba véc-tơ đồng phẳng) Trong không gian cho hai véc-tơ #» a và b không #» cùng phương và véc-tơ #» c Khi đó #» a , b và #» c đồng phẳng và tồn cặp số (m; n) cho #» #» #» c = m a + n b (cặp số (m; n) nêu trên là nhất) ! # » # » # » # » # » # » Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng ⇔ AB, AC, AD đồng phẳng ⇔ AB = mAC + nAD PHÂN TÍCH MỘT VÉC-TƠ THEO BA VÉC-TƠ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG Định lí #» Cho ba véc-tơ #» a , b và #» c không đồng phẳng Với véc-tơ #» x , ta tìm #» số (m; n; p) cho #» x = m #» a + n b + p #» c #» c #» a #» x #» b TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ Định nghĩa #» #» #» #» #» #» Nếu #» a = và b = thì #» a · b = | #» a | · b · cos( #» a, b ) #» #» #» #» a = b = thì #» a · b = Nếu #» Bình phương vô hướng véc-tơ: #» a = | #» a |2 ! Một số ứng dụng tích vô hướng #» #» #» #» #» Nếu #» a 6= và b 6= ta có #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra (6) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 #» #» Công thức tính cô-sin góc hợp hai véc-tơ khác : cos( #» a, b ) = # » Công thức tính độ dài đoạn thẳng: AB = AB = B #» a· #» |a| · #» b #» b p# » AB CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa các khái niệm liên quan đến véc-tơ (xem mục 1) Dựa vào tính chất hình học các hình hình học cụ thể #» Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 Hãy xác định các véc-tơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh hình hộp ABCD.A0 B C D0 và # » b) cùng phương AA0 # » a) cùng phương với AB; -Lời giải # » a) Các véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh hình hộp cùng phương với AB là # » # » # » # » # » # » # » BA; CD; DC; A0 B ; B A0 ; C D0 ; D0 C # » b) Các véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh hình hộp cùng phương với AA0 là # » # » # » # » # » # » # » # » AA0 ; A0 A; BB ; B B; CC ; C C; DD0 ; D0 D Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi O, O0 là các giao điểm hai đường #» chéo hai đáy Hãy xác định các véc-tơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cho # » a) OO0 # » b) AO -Lời giải # » # » # » # » # » a) Ta có OO0 = AA0 = BB = CC = DD0 # » # » # » # » b) Ta có Các véc-tơ thỏa mãn là: AO = A0 O0 = OC = O0 C Dạng Chứng minh đẳng thức véc-tơ Phương pháp giải: Để chứng minh đẳng thức véc-tơ ta thường sử dụng: Qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp Tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích số với véc-tơ Để biến đổi vế này thành vế Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra (7) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì không gian Chứng minh rằng: # » # » # » # » AB + CD = AD + CB -Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » T ac : AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + DB + BD # » # » #» # » # » = AD + CB + = AD + CB Ví dụ Cho tứ diện A, B, C, D Gọi I, J là trung điểm AB, CD # » Ä # » # »ä AD + BC a) Chứng minh rằng: IJ = # » # » # » # » # » b) Cho G là trung điểm I, J Chứng minh rằng: 4M G = M A + M B + M C + M D, với điểm M không gian -Lời giải # » Ä # » # »ä AD + BC a) Chứng minh rằng: IJ = # » # » # » #2 » #» # » # » # » Ta có IJ = IA + AD + DJ và IJ = IB + BC + CJ # » # » # » # » # » # » # » Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä Suy 2IJ = IA + AD + DJ + IB + BC + CJ = IA + IB + AD + BC + DJ + CJ #» Ä # » # »ä #» # » # » = + AD + BC + = AD + BC # » # » # » # » # » b) Cho G là trung điểm I, J Chứng minh rằng: 4M G = M A + M B + M C + M D, với điểm M không gian # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» # » # » # » #» Tacó M A+ M B + M C + M D = 4M G+ GA+ GB + GC + GD = 4M G+2GI +2GJ = 4M G+2 = 4M G (Vì I là trung điểm AB, J là trung điểm CD, G là trung điểm IJ) Dạng Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ Phương pháp giải: Dựa vào các yếu tố cố định điểm và véc-tơ Các bước thực hành giải toán: # » Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho trước dạng: OM = #» v Trong đó: Điểm O và véc-tơ #» v đã biết Nếu muốn dựng điểm M , ta lấy O làm gốc dựng véc-tơ véc-tơ #» v , đó điểm véc-tơ này chính là M Ứng dụng tính chất tâm tỉ cự hệ điểm Với các điểm A1 , A2 , · · · , An và các số α1 , α2 , · · · , αn thỏa mãn điều kiện Tồn điểm M cho: n X n X 6= i=1 # » #» αi M A i = i=1 Điểm M gọi là tâm tỉ cự hệ điểm {A1 , A2 , · · · , An } với các hệ số tương ứng là {α1 , α2 , · · · , αn } Trong trường hợp αi = αj ∀i, j điểm M gọi là trọng tâm hệ điểm {A1 , A2 , · · · , An } Một số kết thường sử dụng Với A, B, C là các điểm cố định, #» v là véc-tơ đã biết Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra (8) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ # » # » Chương - Hình học 11 #» M A + M B = ⇒ M là trung điểm AB # » # » # » #» Nếu A, B, C không thẳng hàng thì M A + M B + M C = ⇒ M là trọng tâm tam giác ABC # » # » Tập hợp điểm M thỏa mãn M A = M B là mặt phẳng trung trực AB # » # » Tập hợp điểm M thỏa mãn M C = k AB là mặt cầu tâm C bán kính k.AB Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Xác định vị trí điểm O cho: # » # » # » # » # » # » # » # » #» OA + OB + OC + OD + OA1 + OB1 + OC1 + OD1 = -Lời giải Gọi G, G0 là giao điểm các đường chéo ABCD và A1 B1 C1 D1 Khi đó ta # »có: # » # » # » # » # » # » # » OA + OB + OC + OD + OA1 + OB1 + OC1 + OD1 # » # » # » # » # » = GA + GB + GC + GD + G0 A1 + # » # » # » # » # » G0 B1 + G0 C1 + G0 D1 + 4(GO + G0 O) # » # » #» = 4(GO + G0 O) = Suy O là trung điểm GG0 D1 C1 G0 B1 A1 O C D G A B Ví dụ Cho tứ diện ABCD Xác định các điểm I, H, G thỏa mãn #» # » # » # » AI = AB + AC + AD # » # » # » # » AH = AB + AC − AD # » # » # » # » #» GA + GB + GC + GD = -Lời giải #» # » # » # » # » # » # » # » # » Mà (AB + AC) + AD = AG + AD với G là đỉnh còn lại hình bình # » # » # » hành ABGC vì AG = AB + AC #» # » # » Vậy AI = AG + AD với I là đỉnh còn lại hình bình hành AGID Do đó AI là đường chéo hình hộp có ba cạnh là AB, AC, AD # » # » # » # » Ta có: AH = AB + AC − AD # » # » # » # » # » # » Mà (AB + AC) − AD = AG − AD = DG # » # » Vậy AH = DG nên F là đỉnh còn lại hình bình hành ADGH # » # » # » # » # » # » #» # » # » Ta có: GA + GB + GC + GD = 4GP + P D = ⇒ P D = 4P G với P là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G là điểm nằm trên đoạn thẳng DP cho P D = 4P G Điểm G thỏa mãn đẳng thức trên gọi là trọng tâm tứ diện H Ta có: AI = AB + AC + AD B G P A C I D Ví dụ Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng, tìm tập hợp các điểm # » # » # » # » # » # » M cho: M A + M B + M C = 2M A − M B − M C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra (9) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi G là trọng tâm 4ABC, ta biến đổi đẳng thức dạng: # » # » # » # » # » 3M G = 3M A − 3M G ⇔ M G = GA ⇒ M thuộc mặt cầu tâm G, bán kính GA cố định Dạng Tích vô hướng hai véc-tơ Phương pháp giải: dựa vào định nghĩa và tính chất tích vô hướng (xem mục 6), các quy tắc tính toán véc-tơ (xem mục 2) và các hệ thức véc-tơ trọng tâm (xem mục 3) để giải toán #» #» #» #» Ví dụ Cho hai véc-tơ #» a và b Chứng minh rằng: #» a b = ( #» a + b − #» a− b ) -Lời giải 1 #»2 #» #» #»2 #»2 #» #» #» #» #» #» Ta có: V P = ( #» a + b − #» a − b ) = (( #» a + b ) −( #» a − b ) ) = ( #» a + b +2 a b −( a + b −2 a b )) = 4 #» #» a b = V T Ä # » # »ä # » Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Tính AB + AD B D0 -Lời giải Ä # » # »ä # » # » # » # »# » Ta có: AB + AD B D0 = AC.B D0 = (vì AC⊥B D0 ⇒ AC.B D0 = 0) #» #» #» #» a , b ) = 120◦ Tính #» a + b và #» a− b Ví dụ Cho | #» a | = 2, b = 3, ( #» -Lời giải #» Ta có: #» a+ b Ä #» #» #»ä2 a b = | #» a |2 + = #» a + b = | #» a |2 + b + #» √ #» 22 + 32 + 2.2.3 cos 120◦ = ⇒ #» a + b = #» #» #»ä2 #» Ä a b = | #» a |2 + a − b = | #» a |2 + b − #» Ta có: #» a − b = #» √ #» 22 + 32 − 2.2.3 cos 120◦ = 19 ⇒ #» a + b = 19 Ä #»ä #» #» #» a , b ⇒ #» a+ b a | b cos #» b + | #» Ä #»ä #» #» #» a , b ⇒ #» a+ b a | b cos #» b − | #» = = #» #» #» a b = −6 Tính góc hợp hai véc-tơ #» a và b Ví dụ Cho | #» a | = 3, b = 4, #» -Lời giải Ä #»ä Ä #»ä #» #» Ta có #» a b = | #» a | b cos #» a , b ⇔ cos #» a, b = #» Vậy góc hợp hai véc-tơ #» a và b là 120◦ #» #» a b −6 #» = 3.4 = − #» |a| b Dạng Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng Phương pháp giải: Để chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh hai cách: Chứng minh các giá ba véc-tơ cùng song song với mặt phẳng #» #» Dựa vào điều kiện để ba véc-tơ đồng phẳng : Nếu có m, n ∈ R : #» c = m #» a + n b thì #» a , b , #» c đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm AB và CD Chứng minh rẳng # » # » # » véc-tơ BC, AD, M N đồng phẳng -Lời giải % Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra (10) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi P, Q là trung điểm AC, BD P N k M Q Ta có ⇒ M N P Q là hình bình hành P N = M Q = AD Mặt khác (M N P Q) chứa đường thẳng M N và song song với các đường thẳng AD và BC ⇒ ba đường thẳng M N, AD, BC cùng song song với mặt phẳng # » # » # » Do đó véc-tơ BC, AD, M N đồng phẳng A M P B D Q N C Ví dụ Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm 1# » # » # » # » M cho M S = −2M A và trên đoạn BC lấy điểm N cho N B = − N C Chứng minh ba # » # » # » véc-tơ AB, M N , SC đồng phẳng -Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có : M N = M A + AB + BN ⇒ 2M N = 2M A + 2AB + 2BN (1) # » # » # » # » # » # » # » Mặt khác : M N = M S + SC + CN = −2M A + SC + 2N B (2) # » # » # » # » 1# » 2# » Cộng vế theo vế, ta : 3M N = SC + 2AB hay M N = SC + AB 3 # » # » # » Vậy :AB, M N , SC đồng phẳng Dạng Phân tích véc-tơ theo véc-tơ không đồng phẳng cho trước Phương pháp giải: #» Để phân tích véc-tơ #» x theo ba véc-tơ #» a , b , #» c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p cho #» #» x = m #» a + n b + p #» c # » Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm CD, I là trung điểm BM Đặt AB = #» # » #» #» # » #» b , AC = b và AD = #» c hãy phân tích véc-tơ AI theo véc-tơ #» a , b , #» c -Lời giải #» #» # » # » b + c # » # » # » # » AC + AD Ta có 2AI = AB + AM = AB + = #» a+ 2 #» #» Vậy AI = #» a + + b + #» c 4 Dạng Ứng dụng véc-tơ chứng minh bài toán hình học Phương pháp giải: Chọn véc-tơ không đồng phẳng làm sở Biểu diễn các véc-tơ cần tính toán hệ véc-tơ sở Dựa vào hệ thức biểu diễn trên ta tìm mối quan hệ các véc-tơ cần xét Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 Gọi G là trọng tâm tam giác A0 BD Chứng minh A, G, C thẳng hàng -Lời giải # » # » #» # » #» # » Đặt AA0 = #» a , AB = b , AD = #» c Khi đó AC = #» a + b + #» c #» # » # » # » # » # » # » AG = AA0 + A0 G = AA0 + (A0 D + A0 B) = ( #» a + b + #» c) 3 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra (11) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » 1# » Suy AG = AC hay A, G, C thẳng hàng Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C Gọi G, G0 là trọng tâm tam giác ABC và A0 B C , I là giao điểm hai đường thẳng AB và A0 B Chứng minh các đường thẳng GI và CG0 song song với -Lời giải Phương pháp véc-tơ Lấy trung điểm E, F (như hình vẽ) A0 # » # » # » # » 2# » Ta có CG0 = CC + C G0 = CC + C F # »0 Ä # » # »0 ä # » # »0 # »0 = CC + A F − A C = −A A + A B − A C , (1) 3 # » # » # » # » # » Ä # » # »ä # » AE − AC − A A Và GI = GE + EI = CE − A0 A = 2 ã Å ã3 Å # » # »0 # »0 1 # »0 # »0 1# 0» = AB −AC − AA= −A A + A B − A C 2 3 # »0 = CG , (2) # » #» Suy GI và CG0 cùng phương ⇒ GI k CG0 Phương pháp cổ điển F C0 G0 B0 I A E G B K C Lấy các trung điểm E, F, K Chứng minh EG0 CK là hình bình hành ⇒ CG0 k F K, (1) Chứng minh GI là đường trung bình 4EF K: suy GI k F K, (2) Kết hợp (1) và (2) suy GI k CG0 Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 ; các điểm M, N thuộc các đường thẳng CA và # » # » # » # » DC cho M C = m.M A, N D = m.N C Xác định m để các đường thẳng M N và BD0 song song ÷0 = CBB ÷0 = 60◦ và BA = a, BB = b, BC = c ’ = ABB với Khi ấy, tính M N biết ABC -Lời giải D0 A0 B0 C0 N A D M B C # » #» # » # » Đặt #» a = BA, b = BB , #» c= BC Ä # » # »ä (# » # » # » # » BC − BM = m BA − BM M C = mM A Ta có # » Ä # » # »ä # » ⇔ # » # » N D = mN C BD − BN = m BC − BN # » m # » # » BA + BC BM = − 1−m 1−m ⇒ # » Ä # » # »ä m Ä # » # »0 ä m # »0 # » BN = BC = BD − BA + BC − BC + BB 1−m 1−m 1−m 1−m Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra (12) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » m #» #» a+ c BM = − m #» m #» # » # » # » + m #» 1−m 1−m ⇒ a− b − c ⇒ M N = BN − BM = m #» # » 1−m 1−m 1−m #» AN = a− b + #» c 1−m 1−m # »0 #» #» #» # » 1+m m # » Ngoài BD = a + b + c nên để M N k BD0 thì cần có M N = k.BD0 ⇔ =− 1−m 1−m Giải hệ phương trình trên ta tìm m = −0, ä #» #» # » Ä #» #» #»ä # »2 Ä #»2 #»2 #»2 a + b + c ⇒ MN = a + b + c + #» a b + b #» c + #» c #» a Với m = − ta có M N = #» #» ÷0 = CBB ÷0 = 60◦ nên #» ’ = ABB Do ABC a b + b #» c + #» c #» a = ab + bc + ca √ a + b2 + c2 + ab + bc + ca Vậy M N = C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM # » #» # » # » Câu Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C Đặt #» a = AA0 , b = AB, #» c = AC Gọi G0 là trọng tâm tam # » giác A0 B C Véc-tơ AG0 Ä ä ä #» Ä #» #» Ä #» #» #»ä Ä #» #» #»ä #» A 3a + b + c C a + b + #» c B a + b + #» c D a+ b + c 3 3 -Lời giải Gọi I là trung điểm B C A0 B0 G0 # »0 # 0» 0 0 Vì G là trọng tâm tam giác A B C ⇒ A G = A I I # »0 # »0 # »0 # »0 # 0» Ta có AG = AA + A G = AA + A I C0 # »0 Ä # »0 # »0 ä AB +AC = AA + A B # »0 Ä # » # »ä AB + AC = AA + C Ä # »0 # » # »ä Ä #» #» #»ä = 3AA + AB + AC = 3a + b + c 3 Chọn đáp án B # » # » #» # » # » Câu Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C Đặt #» a = AA0 , b = AB, #» c = AC Hãy biểu diễn véc-tơ B C theo #» #» #» các véc-tơ a , b , c # » # » #» #» A B C = #» a + b − #» c B B C = − #» a + b − #» c # » #» #» #» # 0» #» C B C = a + b + c D B C = − #» a − b + #» c -Lời giải Vì BB C C là hình bình hành nên A0 B0 # »0 # » # 0» B C =B C +B B # » # » = BC − AA0 C0 # »0 # » # » = −AA + BA + AC # » # » # » A = −AA0 − AB + AC B #» #» #» = −a − b + c C Chọn đáp án D #» # » # » Câu Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C Gọi M là trung điểm cạnh BB Đặt CA = #» a , CB = b , # » AA0 = #» c Khẳng định nào đây là đúng? #» 1 #» # » #» # » #» # » # » A AM = #» a + #» c − b B AM = b + #» c − #» a C AM = b − #» a + #» c D AM = #» a − #» c + b 2 2 -Lời giải # » 1# » Vì M là trung điểm BB ⇒ BM = BB #» # » # » # » # » # »0 # » # » 1# » Ta có AM = AB + BM = −BA + BB = −CA + CB + BB = − #» a + b + #» c 2 Chọn đáp án C # » Câu Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 tâm O Gọi I là tâm hình hình hành ABCD Đặt AC = #» u, # »0 #» # »0 #» # »0 #» CA = v , BD = x , DB = y Khi đó Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra (13) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 1 #» #» A 2OI = − ( #» u + #» v + #» x + #» y ) B 2OI = − ( #» u + #» v + #» x + #» y ) #» #» u + #» v + #» x + #» y ) D 2OI = ( #» u + #» v + #» x + #» y ) C 2OI = ( #» -Lời giải Gọi M, N là trung điểm AB, CD D # » # » #» Vì I là trung(điểm M N nên OM + ON = 2OI N # » # » # » OA + OB = 2OM I Kết hợp với # » # » # » OC + OD = 2ON A B # » Ä # » # » # » # »ä M ta suy 2OI = OA + OB + OC + OD 2Å ã O # »0 # »0 # »0 # »0 − AC − CA − BD − DB = 2 2 D0 = − ( #» u + #» v + #» x + #» y) A0 C C0 B0 Chọn đáp án A # » # » #» # » Câu Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có AB = #» a , AC = b , AA0 = #» c Gọi I là trung điểm B C , K 0 là giao điểm A I và B D Mệnh nào sau đây đúng? ä ä #» #» # » Ä #» # » Ä #» A DK = a − b + #» c B DK = a − b + #» c #» #» # » # » C DK = #» a − b + #» c D DK = #» a − b + #» c -Lời giải # » # » # » Vì I là trung điểm B C ⇒ A0 B + A0 C = 2A0 I Và K là giao điểm A0 I, B D0 nên theo định lí Ta-lét ta có D0 # » # 0» A K = A I K I # » # »0 # » # »0 # 0» Ta có AK = AA + A K = AA + A I A0 B0 Ä ä # » # »0 # »0 1 #» = AA0 + A B + A C = #» c a + b + #» # » # » 3# » # » # » D Khi đó DK = DA + AK = CB + AK Ä # » # »ä # » = AB − AC + AK #» #» #» = #» a − b + #» a + b + #» c = #» a − b + #» c 3 3 Chọn đáp án A A C0 C B Câu Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề nào sau đây là sai? # » Ä # » # » # »ä # » Ä # » # » # »ä A AG = AB + AC + AD B AG = AB + AC + AD 3Ä ä # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» C OG = OA + OB + OC + OD D GA + GB + GC + GD = -Lời giải # » # » # » # » #» Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên GA + GB + GC + GD = Do đó Th.s Nguyễn Chín Em 10 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (14) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » Ä # » # » # » # » # » # » # » # »ä OG = · 4OG = OA + AG + OB + BG + OC + CG + OD + DG 4 Ä # » # » # » # »ä OA + OB + OC + OD = # » # » # » Ä # » # » # » # »ä ⇒ AO + OG = AO + OA + OB + OC + OD Ä # » # » # » # » # »ä = AO + 4OA + AB + AC + AD # » # » Ä # » # » # »ä = AO + OA + AB + AC + AD Ä # » # » # »ä = AB + AC + AD Ä # » # » # » # »ä B Vậy AG = AB + AC + AD # » Ä # » # » # »ä Suy mệnh đề AG = AB + AC + AD sai A G D C Chọn đáp án A #» # » # » # » Câu Cho tứ diện ABCD Đặt AB = #» a , AC = b , AD = #» c Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sau đây đúng? #» # » # » A AG = #» a + b + #» c B AG = # » # » Ä #» #» #»ä a+ b + c D AG = C AG = -Lời giải # » 2# » Gọi M là trung điểm CD suy BG = BM # » # » # » # » 2# » Ta có AG = AB + BG = AB + BM # » Ä # » # »ä BC + BD = AB + · # » Ä # » # »ä = AB + BC + BD # » Ä # » # » # » # »ä = AB + AC − AB + AD − AB Ä # » # » # »ä AB + AC + AD = Ä #» #» #»ä = a+ b + c Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Ä #» a+ 3Ä #» a+ #» b + #» b + ä #» c ä #» c A B D G M C Chọn đáp án B # » # » #» Câu Cho tứ diện ABCD Đặt AB = #» a , AC = b , Đẳng thức nào đây là đúng? ä # » Ä #» #» A DM = a + b − #» c ä #» # » Ä #» C DM = a − b + #» c -Lời giải # » 1# » Vì M là trung điểm BC suy BM = BC # » # » # » # » # » # » 1# » Ta có DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC # » # » Ä # » # »ä = AB − AD + BA + AC 1# » 1# » # » = AB + AC − AD 2 ä #» #» #» Ä #» #» = a+ b − c = a + b − #» c 2 # » AD = #» c Gọi M là trung điểm đoạn thẳng BC # » Ä #» #» #»ä B DM = −2 a + b + c 2Ä ä #» # » #» D DM = a + b − #» c A B D M C Th.s Nguyễn Chín Em 11 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (15) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M và P là trung điểm các # » # » #» AC = #» c , AD = d Khẳng định nào sau đây là đúng? # » Ä #» #» #»ä # » Ä #» A M P = c +d+ b B M P = d+ 2Ä 2Ä ä # » #» #» #» # » #» C M P = c + b −d D M P = c + 2 -Lời giải Vì M(, P là trung điểm AB, CD # » # » 2AM = AB nên # » # » # » AC + AD = 2AP # » # » # » # » # » Ta có M P = M A + AP = −AM + AP # » Ä # » # »ä AC + AD = − AB + 2 #» 1 #» c + d = − b + #» 2 #» # » cạnh AB và CD Đặt AB = b , #» b − #» d− ä #» c #»ä b A M B D P C Chọn đáp án D # » Câu 10 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C Đặt AA0 = #» a, định nào đây là đúng? #» #» A #» a = b + #» c B #» a+ b + #» #» #» #» #» C b − c + d = D #» a+ b + -Lời giải #» #» #» #» #» # » # » # » Ta có BC = AC − AB ⇔ d = #» c − b ⇔ b − #» c + d = #» # » #» # » # » AB = b , AC = #» c , BC = d Khẳng #» #» #» c + d = #» #» c = d A0 B0 C0 A B C Chọn đáp án C Câu 11 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi O là tâm hình lập phương Khẳng định nào đây là đúng? # » Ä # » # » # »0 ä # » Ä # » # » # »0 ä A AO = AB + AD + AA B AO = AB + AD + AA 3Ä 2Ä ä # » # » # » # »0 # » # » # » # »0 ä AB + AD + AA D AO = AB + AD + AA C AO = -Lời giải A0 # »0 # » # » # »0 Theo quy tắc hình hộp, ta có AC = AB + AD + AA Mà O là trung điểm AC D0 # » # »0 Ä # » # » # »0 ä nên AO = AC = AB + AD + AA 2 A D B0 C0 O B C Chọn đáp án B Câu 12 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 tâm O Khẳng định nào đây là sai? # » # » # » # » # » # » # » # » #» A AC = AB + AD + AA0 B AB + BC + CD + D0 A = # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » C AB + AA0 = AD + DD0 D AB + BC + CC = AD0 + D0 O + OC -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (16) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dựa vào các phương án, ta thấy rằng: # » # » # » # » AC = AB + AD + AA0 đúng, vì theo quy tắc hình hộp ta có # » # » # » # » AC = AB + AD + AA0 # » # » # » # » #» AB(+ BC + CD + D0 A = đúng # » # » AB = −CD # » # »0 # » # » #» vì # » # » ⇒ AB + BC + CD + D A = BC = −D A ( # » # »0 # »0 AB + AA = AB # » # »0 # » # »0 AB + AA = AD + DD sai, vì # » # » # » AD + DD0 = AD0 # »0 # »0 # » # »0 # » # »0 mà AB 6= AD ⇒ AB + AA 6= AD + DD A0 B0 C0 D0 O A B D C # » # » # » # » # » # » AB(+ BC + CC = AD0 + D0 O + OC đúng # » # » # » # » # » # » AB + BC + CC = AC + CC = AC # » # » # » # » # » # » vì # » # » # » # » # » # » ⇒ AB + BC + CC = AD0 + D0 O + OC 0 0 AD + D O + OC = AO + OC = AC Chọn đáp án C Câu 13 Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Khẳng định nào đây là sai? # » # » # » # » # » # » # » # » A BC + BA = B1 C1 + B1 A1 B AD + D1 C1 + D1 A1 = DC # » # » # » # » # » # » # » # » C BC + BA + BB1 = BD1 D BA + DD1 + BD1 = BC -Lời giải Dựa vào các phương án, ta thấy rằng: A1 # » # » # » # » BC(+ BA = B1 C1 + B1 A1 đúng, # » # » BC = B1 C1 # » # » # » # » D1 vì # » # » suy BC + BA = B1 C1 + B1 A1 BA = B1 A1 # » # » # » # » AD + D1 C1 + D1 A1 = DC đúng, # » # » # » # » # » # » vì AD + D1 C1 + D1 A1 = AD + DC + DA # » # » # » = AC + DA = DC B1 C1 A D B C # » # » # » # » # » # » # » # » BC + BA + BB1 = BD1 đúng, vì BD1 = BC + BA + BB1 (quy tắc hình hộp) # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » BA + DD1 + BD1 = BC sai, vì BA + DD1 + BD1 = BA + BB1 + BD1 = BA1 + BD1 6= BC Chọn đáp án D Câu 14 Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Gọi M là trung điểm AD Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » # » 1# » A B1 M = B1 B + B1 A1 + B1 C1 B C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 # » # » 1# » 1# » # » # » # » # » C C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 D BB1 + B1 A1 + B1 C1 = 2B1 D 2 -Lời giải Dựa vào các phương án, ta thấy rằng: A B # » # » # » # » B1 M = B1 B + B1 A1 + B1 C1 sai M # » # » # » # » Ä # » # »ä vì B1 M = B1 B + BM = BB1 + BA + BD D C Ä ä # » # » # » = BB1 + B1 A1 + B1 D1 A1 B1 # » Ä # » # » # »ä = BB1 + B1 A1 + B1 A1 + B1 C1 # » # » 1# » = BB1 + B1 A1 + B1 C1 D1 C1 Th.s Nguyễn Chín Em 13 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (17) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » 1# » C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 đúng # » # » # » # » Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä vì C1 M = C1 C + CM = C1 C + CA + CD = C1 C + C1 A1 + C1 D1 2 # » Ä # » # » # »ä # » # » # » = C1 C + C1 B1 + C1 D1 + C1 D1 = C1 C + C1 D1 + C1 B1 2 # » # » 1# » 1# » # » # » # » 1# » C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 sai, vì C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 2 # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » BB1 + B1 A1 + B1 C1 = 2B1 D sai, vì BB1 + B1 A1 + B1 C1 = BA1 + BC = BA1 + A1 D1 = BD1 Chọn đáp án B Câu 15 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Gọi G là trọng tâm tam giác AB C Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » A AC = 3AG B AC = 4AG C BD0 = 4BG D BD0 = 3BG -Lời giải B Cách Gọi I là tâm hình vuông ABCD ⇒ I là trung điểm BD Ta có 4BIG v 4D0 B G # » BG BI BG # » ⇒ = 0 = ⇒ = ⇒ BD0 = 3BG DG DB BD # » # » # » # » Cách Theo quy tắc hình hộp, ta có BA + BC + BB = BD0 Do G là trọng tâm tam giác AB C # » # » # » # » # » # » nên BA + BC + BB = 3BG ⇔ BD0 = 3BG C I G A D B0 C0 A0 D0 Chọn đáp án D #» # » # » # » Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Đặt SA = #» a , SB = b , SC = #» c, # » #» SD = d Khẳng định nào đây là đúng? #» #» #» #» #» A #» a + #» c = b + d B #» a + b + #» c + d = #» #» #» #» C #» a + d = b + #» c D #» a + b = #» c + d -Lời giải Gọi O là tâm hình bình hành ABCD S Vì O là trung điểm AC # » # » # » # » nên SA + SC = 2SO ⇔ 2SO = #» a + #» c (1) Và O là trung điểm BD # » # » # » # » #» #» nên SB + SD = 2SO ⇔ 2SO = b + d (2) #» #» Từ (1) và (2), suy #» a + #» c = b + d D A O B Chọn đáp án A C Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi G là điểm thỏa mãn # » # » # » # » # » #» GS + GA + GB + GC + GD = Khẳng định nào đây là đúng? # » # » A G, S, O không thẳng hàng B GS = 4OG # » # » # » # » C GS = 5OG D GS = 3OG -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 14 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (18) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy # » # » # » # » #» OA + OB # » + #OC » + #OD » = # 0» # » Ta có GS + GA + GB + GC + GD # » # » # » # » # » # » #» =GS + 4GO + OA + OB + OC + OD = # » # » #» # » # » ⇔ GS + 4GO = ⇔ GS = 4OG ⇒ ba điểm G, S, O thẳng hàng S A G D O B C Chọn đáp án B # » # » # » # » #» Câu 18 Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = (G là trọng tâm tứ diện) Gọi G0 là giao điểm GA và mặt phẳng (BCD) Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » A GA = −2G0 G B GA = 4G0 G C GA = 3G0 G D GA = 2G0 G -Lời giải Vì G0 là giao điểm đường thẳng AG với mặt phẳng (BCD) suy G0 là trọng tâm tam giác BCD # » # » # » #» ⇒ G0 B + G0 C + G0 D = Theo bài ra, ta có # » # » # » # » GA + GB + GC + GD # » # » # » # » # » #» = GA + 3GG0 + G0 B + G0 C + G0 D = | {z } A #» G # » # » #» # » # » ⇒ GA + 3GG0 = ⇒ GA = 3G0 G D B G0 M C Chọn đáp án C Câu 19 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N là trung Khẳng định nào đây là sai? # » # » # » # » # » A M A + M B + M C + M D = 4M G B # » # » # » # » #» C GA + GB + GC + GD = D -Lời giải Vì M là trung điểm AB, CD ( ,# N » # » # » GA + GB = 2GM nên # » # » # » GC + GD = 2GN Mà G là trung điểm M N # » # » #» # » # » # » # » #» nên GM# +»GN# =»0 ⇔ # GA » +# GB » + GC + GD = Khi đó M A + M B + M C + M D # » Ä # » # » # » # »ä = 4M G + GA + GB + GC + GD # » = 4M G điểm AB, CD và G là trung điểm M N # » # » # » # » GA + GB + GC = GD # » # » #» GM + GN = A M G D B N C Chọn đáp án B # » # » Câu 20 Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Tìm giá trị thực k thỏa mãn đẳng thức véc-tơ AB + B1 C1 + # » # » DD1 = k AC1 A k = B k = C k = D k = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 15 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (19) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » # » # » # » Ta có AB + B1 C1 + DD1 = AB + BC + CC1 # » # » = AC + CC1 # » = AC1 ⇒ k = A1 B1 D1 C1 A B D C Chọn đáp án B # » # » Câu 21 Choähình hộp ABCD.A0 B C D0 Tìm giá trị thực k thỏa mãn đẳng thức véc-tơ AC + BA0 + Ä# » # » #» k DB + C D = A k = B k = C k = D k = -Lời giải # » # » # » # » # » Ta có AC + BA0 = AC + CD0 = AD0 # » # » # » # »0 # » # » và DB + C D = DB −Ä DC = C Bä = D A # » # » #» # » # » # » # » Suy AC + BA0 + k DB + C D = AD0 + k D0 A = # » #» ⇔ (k − 1)D0 A = ⇔ k = A0 B0 D0 C0 A B D C Chọn đáp án B Câu 22 Gọi M , N là trung điểm các cạnh AC và BD tứ diện ABCD Gọi I là trung điểm #» #» # » # » #» đoạn M N Tìm giá trị thực k thỏa mãn đẳng thức véc-tơ IA + (2k − 1)IB + k IC + ID = A k = B k = C k = D k = -Lời giải Vì M(, N là trung điểm AC, BD #» #» # » IA + IC = 2IM nên # » # » # » IB + ID = 2IN # » # » #» Mặt khác IM + IN = (I là trung điểm M N ) # » # » # » # » #» Suy IA + IB + IC + ID = #» #» #» #» Ta có IA + (2k − 1)IB + k IC + ID #» # » #» #» #» #» # » = IA + IC + ID} +(2k − 2)IB + (k − 1)IC = | + IB {z #» Ä # »0 # »ä #» Suy (k − 1) 2IB + IC = # » # » #» Mà 2IB + IC 6= nên k − = ⇔ k = A M I D C N B Chọn đáp án C Câu 23 Gọi M , N là trung điểm các cạnh AC và BD tứ diện ABCD Gọi I là trung điểm đoạnÄM N và P là điểm ä không gian Tìm giá trị thực k thỏa mãn đẳng thức #» # » # » # » # » véc-tơ P I = k P A + P B + P C + P D A k = B k = C k = D k = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 16 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (20) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì M(, N là trung điểm AC, BD #» #» # » IA + IC = 2IM nên # » # » # » IB + ID = 2IN # » # » #» Mặt khác IM + IN = (I là trung điểm M N ) # » # » # » # » #» Suy IA + IB + IC + ID = # » # » # » # » Khi đó P A + P B + P C + P D # » Ä # » # » # » # »ä #» = 4P I + IA + IB + IC + ID = 4P I Ä # » # » # » # »ä #» Mà P I = k P A + P B + P C + P D nên suy 4k = ⇔ k = A M P I D C N B Chọn đáp án C Câu 24 Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm AB và CD Tìm giá trị thực k Ä #, N # » » # »ä thỏa mãn đẳng thức véc-tơ M N = k AC + BD 1 A k = B k = C k = D k = 2 -Lời giải # » # » # » Ta có N là trung điểm CD ⇒ M C + M D = 2M N (1) A # » # » #» Và M là trung điểm AB suy M A + M B = (2) # » Ä # » # »ä MC + MD Từ (1) và (2) suy M N = Ä # » # » # » # »ä M = M A + AC + M B + BD Ä # » # »ä = AC + BD D Ä # » # »ä # » B Kết hợp giả thiết M N = k AC + BD ⇒ k = N C Chọn đáp án A #» #» #» Câu 25 Cho ba véc-tơ #» a , b , #» c không đồng phẳng Xét các véc-tơ #» x = #» a + b , #» y = #» a − b − #» c, #» #» #» z = −3 b − c Khẳng định nào đây là đúng? A Ba véc-tơ #» x , #» y , #» z đồng phẳng B Hai véc-tơ #» x , #» a cùng phương #» #» #» #» C Hai véc-tơ x , b cùng phương D Ba véc-tơ x , y , #» z đôi cùng phương -Lời giải x , #» y , #» z đồng phẳng, đó #» x = m #» y + n #» z Giả sử,(ba véc-tơ #» #» #» #» #» my = ma − m b − m c #» c Ta có ⇒ m #» y + n #» z = m #» a − (m + 3n) b − (m + 2n) #» #» #» #» n z = −3n b − 2n c ® m = m=2 #» #» #» #» #» Khi đó a + b = m a − (m + 3n) b − (m + 2n) c ⇒ m + 3n = −1 ⇔ n = −1 m + 2n = Vậy ba véc-tơ #» x , #» y , #» z đồng phẳng Chọn đáp án A #» Câu 26 Cho ba véc-tơ #» a , b , #» c không đồng phẳng Khẳng định nào đây là đúng? #» #» #» A Ba véc-tơ #» x = #» a + b + #» c , #» y = #» a − b − #» c , #» z = − #» a + b + #» c đồng phẳng #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» B Ba véc-tơ x = a − b + c , y = a − b + c , z = a − b − #» c đồng phẳng #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» C Ba véc-tơ x = a + b + c , y = a − b + c , z = − a + b + c đồng phẳng #» #» #» D Ba véc-tơ #» x = #» a + b − #» c , #» y = #» a − b + #» c , #» z = − #» a − b + #» c đồng phẳng -Lời giải Ba véc-tơ #» x , #» y , #» z đồng phẳng và ∃m, n : #» x = m #» y + n #» z #» #» #» Với #» x = #» a + b + #» c , #» y = #» a − b − #» c , #» z = − #» a + b + #» c , ta có #» x = #» y + #» z 3 Th.s Nguyễn Chín Em 17 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (21) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 #» #» #» #» Nếu #» x = #» a − b + #» cÄ, #» y = #» a − b ä+ #» c Ä, #» z = #» a −3b − ä c đồng phẳng #» #» #» thì #» a − b + #» c = m #» a − b + #» c + n #» a − b − #» c 3m + 2n = #» #» #» = (3m + 2n) a − 3(m + n) b + (2m − 3n) c ⇒ − 3m − 3n = −2 2m − 3n = #» #» #» Hệ phương trình trên vô nghiệm Vậy ba véc-tơ x , y , z không đồng phẳng #» #» #» #» Nếu #» x = #» a + b + #» cÄ, #» y = #» a − bä + #» c Ä, #» z = − #» a +3b + ä c đồng phẳng #» #» #» thì #» a + b + #» c = m #» a − b + #» c + n − #» a + b + #» c 2m − n = #» #» #» = (2m − n) a − 3(m − n) b + (m + 3n) c ⇒ − 3m + 3n = m + 3n = #» #» #» Hệ phương trình trên vô nghiệm Vậy ba véc-tơ x , y , z không đồng phẳng #» #» #» #» Nếu #» x = #» a + b − #» cÄ, #» y = #» a − b ä+ #» c Ä, #» z = − #» a− b + ä c đồng phẳng #» #» #» thì #» a + b − #» c = m #» a − b + #» c + n − #» a − b + #» c 2m − n = #» #» #» = (2m − n) a − (m + n) b + (3m + 2n) c ⇒ − m − n = 3m + 2n = −1 Hệ phương trình trên vô nghiệm Vậy ba véc-tơ #» x , #» y , #» z không đồng phẳng Chọn đáp án A #» #» Câu 27 Cho ba véc-tơ #» a , b , #» c Điều kiện nào đây khẳng định ba véc-tơ #» a , b , #» c đồng phẳng? #» #» #» #» A Tồn ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p = và m a + n b + p c = #» #» B Tồn ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p 6= và m #» a + n b + p #» c = #» #» C Tồn ba số thực m, n, p cho m #» a + n b + p #» c = #» D Giá #» a , b , #» c đồng quy -Lời giải Dựa vào đáp án, ta thấy rằng: #» #» Xét m = n = p = ta luôn có m + n + p = và m #» a + n b + p #» c = không thể suy #» #» a , b , #» c đồng phẳng Nếu m + n + p 6= thì chắn có ít số m, n, p khác p #» n #» #» #» Giả sử m 6= 0, ta có m #» a + n b + p #» c = ⇔ #» a =− · b − · c m m #» #» #» Suy ba véc-tơ a , b , c đồng phẳng Chọn đáp án B Câu 28 Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng # » # » # » # » # » # » C CD1 , AD, A1 C đồng phẳng D AB, AD, C1 A đồng phẳng -Lời giải # » # » # » # » Ta có AD = A1 D1 = A1 C + CD1 A # » # » # » suy CD1 , AD, A1 C đồng phẳng B C D A1 D1 Chọn đáp án C B1 C1 Câu 29 Cho hình hộp ABCD.EF GH Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » A BD, AK, GF đồng phẳng B BD, IK, GF đồng phẳng Th.s Nguyễn Chín Em 18 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (22) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » C BD, EK, GF đồng phẳng -Lời giải Vì I, K là trung điểm AF và CF nên IK là đường trung bình tam giác AF C ⇒ IK k AC ⇒ IK k (ABCD) Mà GF k (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) # » # » # » Suy ba véc-tơ BD, IK, GF đồng phẳng # » # » # » D BD, IK, GC đồng phẳng E H F I G K D A B Chọn đáp án B C Câu 30 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N là trung điểm AD, BC Khẳng định nào đây là khẳng định sai? # » # » # » # » # » # » A Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng B Ba véc-tơ AB, AC, M N không đồng phẳng # » # » # » # » # » # » C Ba véc-tơ AN , CM , M N đồng phẳng D Ba véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng -Lời giải # » Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä Vì M , N là trung điểm AD, BC suy M N = AB + DC và M N = BD + AC 2 Khi đó, dựa vào các phương án, ta thấy rằng: A # » # » # » # » Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng là kết đúng, vì M N = Ä # » # »ä # » # » # » AB + DC ⇒ AB, DC, M N đồng phẳng # » # » # » M Ba véc-tơ AB, AC, M N không đồng phẳng là kết đúng, vì M N không nằm mặt phẳng (ABC) # » # » # » Ba véc-tơ AN , CM , M N đồng phẳng là kết sai, tương tự ta D thấy AN không nằm mặt phẳng (M N C) B # » # » # » # » Ba véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng là kết đúng, vì M N = N ä Ä # » # » # » # » # » C BD + AC ⇒ BD, AC, M N đồng phẳng Chọn đáp án C Câu 31 Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AD và BC lấy các điểm M , N cho AM = 3M D, BN = 3N C Gọi P , Q là trung điểm AD và BC Khẳng định nào đây là sai? # » # » # » # » # » # » A Ba véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng B Ba véc-tơ M N , DC, P Q đồng phẳng # » # » # » # » # » # » C Ba véc-tơ AB, DC, P Q đồng phẳng D Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng -Lời giải Theo giả thiết ta có M , N là trung điểm P D, QC A Khi đó dựa vào các phương án, ta thấy rằng: # » # » # » Ba(véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng là kết sai # » # » # » # » M N = M A + AC + CN vì # » # » # » # » P M N = M D + DB + BN (# » # » # » # » M M N = M A + AC + CN ⇒ # » # » # » # » 3M N = 3M D + 3DB + 3BN D B # » # » # » 1# » Suy 4M N = AC − 3BD + BC Q # » # » # » N ⇒ BD, AC, M N không đồng phẳng C # » # » # » Ba(véc-tơ M N , DC, P Q đồng phẳng là kết đúng # » # » # » # » M N = M P + P Q + QN # » # » # » vì # » # » # » # » ⇒ 2M N = P Q + DC M N = M D + DC + CN # » Ä # » # »ä # » # » # » Suy M N = P Q + DC ⇒ BD, AC, M N đồng phẳng Th.s Nguyễn Chín Em 19 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (23) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » # » Ba véc-tơ AB, DC, P Q đồng phẳng là kết đúng, vì với cách biểu diễn P Q tương tự trên, ta Ä ä # » # » # » AB + DC có P Q = # » # » # » Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng là kết đúng, vì biểu diễn hoàn toàn giống phương án bên # » 1# » 3# » trên, ta M N = AB + DC 4 Chọn đáp án A # » # » # » # » # » # » Câu 32 Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N xác định AM = 2AB−3AC (1); DN = DB+xDC (2) Tìm x để các đường thẳng AD, BC, M N cùng song song với mặt phẳng A x = −1 B x = −2 C x = D x = -Lời giải # » # » # » Yêu cầu bài toán tương đương với x để ba véc-tơ M N , AD, BC đồng phẳng Ä # tìm # » # » » # »ä # » # » # » Hệ thức (1) ⇔ AM = 2AB − AB + BC ⇔ AM = −AB − 3BC Ä # » # » # »ä # » # » # » # » Hệ thức (2) ⇔ AN − AD = AB − AD + x DA + AB + BC # » # » # » # » ⇔ AN = (1 + x)AB − xAD + xBC # » # » # » # » # » # » Từ (1) và (2), suy M N = AN − AM = (2 + x)AB − xAD + (x + 3)BC # » # » # » Vậy ba véc-tơ M N , AD, BC đồng phẳng + x = ⇔ x = −2 Chọn đáp án B Câu 33 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 Gọi M là điểm trên cạnh AC cho AC = 3M C Lấy điểm N trên đoạn C D cho C N = xC D Với giá trị nào x thì M N k BD0 A x = B x = C x = D x = -Lời giải Gọi O là tâm hình hình hành ABCD và I là trung điểm DD0 Nối C D cắt CI N ⇒ N là trọng tâm tam giác CDD0 Ta có OI là đường trung bình tam giác BDD0 Suy OI k BD0 CN CM Mặt khác = nên M N k OI CI CO Suy M N k BD0 Theo bài ta có M N k BD0 2 ⇒ N ≡ N ⇒ C 0N = C 0D ⇒ x = 3 C M B O A D N I D0 C0 B0 A0 Chọn đáp án A Câu 34 Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A0 , B , C thuộc các tia SA, SB, SC cho SA SB SC = a, = b, = c, đó a, b, c là các số thay đổi Để mặt phẳng (A0 B C ) qua trọng tâm 0 SA SB SC tam giác ABC thì A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (24) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC # » # » # » #» Ta có GA + GB + GC = # » # » # » # » #» Khi đó 3GS + SA + SB + SC = # » # » # » # » # » # » Mà SA = aSA0 , SB = bSB , SC = cSC # » # » # » # » Suy 3SG = aSA0 + bSB + cSC # » a# » b# » c# » ⇔ SG = SA0 + SB + SC 3 A Vì (A0 B C ) qua trọng tâm tam giác ABC # » # » # » nên GA0 , GB , GC đồng phẳng Do đó, tồn ba số l, m, n cho (l2 + m2 + n2 6= 0) và # » # » # » #» lGA0 + mGB + nGC = A0 Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä #» ⇔ l GS + SA0 + m GS + SB + n GS + SB = # » # » # » # » ⇔ (l + m + n)SG = lSA0 + mSB + nSC # » # » # » m n l # » ⇒ SG = SA0 + SB + SC l+m+n l+m+n l+m+n a # »0 b # »0 c # »0 = · SA + · SB + · SC 3 a b c l m n Suy + + = + + = ⇒ a + b + c = 3 3 l+m+n l+m+n l+m+n Chọn đáp án A S C0 C G B B0 Câu 35 Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Điểm M xác định đẳng thức véc-tơ # » # » # » # » AM = AB + AC + AD Mệnh đề nào sau đây đúng? A M trùng G B M thuộc tia AG và AM = 3AG C G là trung điểm AM D M là trung điểm AG -Lời giải # » # » # » # » Do G là trọng tâm tam giác BCD nên AB + AC + AD = 3AG # » # » Kết hợp giả thiết, suy AM = 3AG Chọn đáp án B # » # » # » # » Câu 36 Cho tứ diện ABCD Điểm N xác định AN = AB + AC − AD Mệnh đề nào sau đây đúng? A N là trung điểm BD B N là đỉnh hình bình hành BCDN C N là đỉnh hình bình hành CDBN D N trùng với A -Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có AN = AB + AC − AD ⇔ AN − AB = AC − AD ⇔ BN = DC Đẳng thức chứng tỏ N là đỉnh thứ tư hình bình hành CDBN Chọn đáp án C # » # » Câu 37 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 Gọi M là điểm xác định đẳng thức véc-tơ M A + M B + # » # » # » # » # » # » #» M C + M D + M A0 + M B + M C + M D0 = Mệnh đề nào sau đây đúng? A M là tâm mặt đáy ABCD B M là tâm mặt đáy A0 B C D0 C M là trung điểm đoạn thẳng nối hai tâm hai mặt đáy D Tập hợp điểm M là đoạn thẳng nối hai tâm hai mặt đáy -Lời giải Gọi O = AC ∩ BD và O0 = A0 C ∩ B D0 # » # »0 # »0 # »0 #» # » # » # » # » #» Khi đó OA + OB + OC + OD = 0Ä và O0 A0 + ä O BÄ + O C + Oä D Ä= # » # » # » # » # » # » # » # » # » # »ä Ä # » # »ä Ta có M A + M B + M C + M D = M O + OA + M O + OB + M O + OC + M O + OD # » # » # » # » # » #» # » # » = OA + OB + OC + OD + 4M O = + 4M O = 4M O # » # » # » # » # » Tương tự, ta có M A0 + M B + M C + M D0 = 4M O0 # » # » # » # » # » # » # » # » + M B + M C + M D = #» Từ đó suy M A + M B + M CÄ+ M D + M A ä # »0 #» # » # »0 #» # » # » # »0 #» Suy 4M O + 4M O = ⇔ M O + M O = ⇔ M O + M O = Vậy điểm M cần tìm là trung điểm OO0 Chọn đáp án C #» # » # » Câu 38 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có tâm O Đặt AB = #» a , BC = b Điểm M xác định đẳng Th.s Nguyễn Chín Em 21 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (25) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » Ä #» #»ä thức véc-tơ OM = a − b Khẳng định nào sau đây đúng? A M là trung điểm BB B M là tâm hình bình hành BCC B C M là trung điểm CC D M là tâm hình bình hành ABB A0 -Lời giải Gọi I, I là tâm các mặt đáy ABCD, A0 B C D0 Suy O là A0 B0 0 I trung điểm II # » # » Do ABCD.A0 B C D0 là hình hộp nên AB = DC D0 C0 # » Ä #» #»ä Ä # » # »ä AB − BC Theo giả thiết ta có OM = a− b = 2 O Ä # » # »ä # » # » = DC + CB = DB = IB A B 2 # » #» 0 0 Vì ABCD.A B C D là hình hộp nên từ đẳng thức OM = IB suy M I là trung điểm BB D C Chọn đáp án A Câu 39 Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề nào sau đây là sai? # » # » # » # » #» # » Ä # » # » # » # »ä OA + OB + OC + OD A GA + GB + GC + GD = B OG = 4Ä Ä ä # » # » # » # » # » # » # » # »ä C AG = AB + AC + AD D AG = AB + AC + AD -Lời giải # » # » # » # » # » Với vị trí điểm O, ta có OA + OB + OC + OD = 4OG, chọn O ≡ A, ta # » # » # » # » # » # » Ä # » # » # »ä AA + AB + AC + AD = 4AG ⇔ AG = AB + AC + AD # » Ä # » # » # »ä Vậy mệnh đề sai là AG = AB + AC + AD Chọn đáp án D Câu 40 Cho tứ diện ABCD Gọi M vàÄ N lần lượtä là trung điểm AB và CD Tìm giá trị k thích # » # » # » hợp điền vào đẳng thức véc-tơ M N = k AD + BC A k = B k = D k = C k = -Lời giải (# » # » # » # » AD = AM + M N + N D Ta có # » # » # » # » BC = BM + M N + N C # » # » # » # » # » # » # » Suy AD + BC = AM + BM + 2M N + N D + N C Mặt M , N là trung điểm AB và CD nên ( # »khác, # » #» AM + BM = # » # » #» ND + NC = # » # » # » # » Ä # » # »ä AD + BC Vậy AD + BC = 2M N ⇒ M N = Từ đó suy k = A M B D N C Chọn đáp án B # » # » Câu 41 Cho hình lập phương ABCD.EF GH có các cạnh a, đó AB · EG √ √ √ a2 2 2 A a B a C a D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 22 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (26) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 H # » # » # » Ä # » # »ä AB · EG = AB · EF + F G # » Ä # » # »ä = AB · AB + BC # » # » # » = AB + AB · BC G E F = AB D = a2 C A B Chọn đáp án C # » # » # » # » # » # » Câu 42 Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N xác định AM = 2AB − 3AC; DN = DB + xDC Tìm # » # » # » x để các véc-tơ AD, BC, M N đồng phẳng A x = −1 B x = −3 C x = −2 D x = -Lời giải Ta có # » # » # » DN = DB + xDC Ä # » # »ä # » # » # » # » ⇔ AN − AD = AB − AD + x AC − AD # » # » # » # » ⇔ AN = AB + xAC − xAD # » # » # » # » # » # » Suy M N = AN − AM = −AB + (x + 3)AC − xAD # » # » # » Để AD, BC, M N đồng phẳng thì phải tồn các hệ số k, l thỏa # » # » # » M N = k AD + lBC Ä # » # »ä # » # » # » # » ⇔ −AB + (x + 3)AC − xAD = k AD + l AC − AB # » # » # » # » # » # » ⇔ −AB + (x + 3)AC − xAD = −lAB + lAC + k AD − = −l l = x + = l ⇔ x = −2 ⇔ −x=k k = Vậy x = −2 thì ba véc-tơ đồng phẳng Chọn đáp án C # » #» # » # » Câu 43 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C Đặt AB = #» a , AA0 = b , AC = #» c Khẳng định nào sau đây đúng? # » # » #» #» A B C = − #» a − b + #» c B B C = − #» a + b − #» c # 0» # » #» #» C B C = − #» a + b + #» c D B C = #» a + b − #» c -Lời #giải » # » # » Ta có:B C = BC − BB C0 A0 # »0 # » # » = (AC − AB) − AA B0 #» #» #» #» = c − a − b b A #» c C #» a B Chọn đáp án A Câu 44 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N là trung điểm AB và CD Chọn mệnh đề đúng Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä # » A M N = AD + BC B M N = AB + CD Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä # » C M N = AC + CD D M N = AC + BD -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 23 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (27) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có A # » # » # » # » M N = M A + AD + DN (1) # » # » # » # » M N = M B + BC + CN (2) M Cộng tương ứng hai vế (1) và (2) ta # » # » # » # » # » # » # » #» # » # » #» # » # » 2M N = M A+M B+AD+BC+DN +CN = +AD+BC+ = AD+BC B # » Ä # » # »ä Suy M N = AD + BC D N C Chọn đáp án A Câu 45 Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Gọi M là trung điểm AD Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » # » 1# » A B1 M = B1 B + B1 A1 + B1 C1 B C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 # » # » # » # » # » # » 1# » 1# » C BB1 + B1 A1 + B1 C1 = 2B1 D D C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 2 -Lời giải Ta có A B # » # » # » # » C1 A = C1 C + C1 D + C1 B M mà D # » # » # » # » # » C C1 A = C1 M + M A; M A = C1 B1 Suy # » # » # » # » # » C1 M + M A = C1 C + C1 D1 + C1 B1 hay # » # » # » 1# » C1 M = C1 C + C1 D + C1 B A1 B1 D1 C1 Chọn đáp án B # » # » Câu 46 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C với G là trọng tâm tam giác A0 B C Đặt AA0 = #» a , AB = #» # » #» # » b , AC = c Khi đó AG Ä #» #»ä Ä #» #»ä Ä #» #»ä Ä #» #»ä b + c B #» a+ b + c C #» a+ b + c D #» a+ b + c A #» a+ -Lời giải Vì G là trọng tâm tam giác A0 B C nên C A # » Ä # »0 # »0 # »0 ä AG = AA + AC + AB Ä # »0 # »0 # » # »0 # »ä # » Suy AG = AA + AA + AC + AA + AB 3Ä # »0 # » # »ä = 3AA + AC + AB # » Ä # » # »ä = AA0 + AB + AC Ä3#» ä = #» a+ b + #» c B A0 C0 G M0 B0 Chọn đáp án C Câu 47 Trong không gian Oxyz, cho điểm M (2; −1; −3) Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua Oy A M (2; 1; −3) B M (2; −1; 3) C M (−2; −1; 3) D M (−2; −1; −3) -Lời giải Gọi I là giao điểm M M với trục Oy giả thiết suy IM = IM và IM ⊥ Oy Giả sử tọa độ điểm # » #» I (0; m; 0) đó IM = (2; −1 − m; −3) Ta có véc-tơ phương Oy là j (0; 1; 0) Vì IM ⊥ Oy suy Th.s Nguyễn Chín Em 24 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (28) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » #» IM · j = ⇔ −1 − m = ⇔ m = −1 Nên tọa độ điểm I (0; −1; 0) đó = 2xI = x + x + x M M M xM = −2 yM + yM = 2yI ⇔ − + yM = −2 ⇔ yM = −1 zM + zM = 2zI − + zM = zM = Do đó tọa độ điểm M (−2; −1; 3) Chọn đáp án C # » #» # » # » # » Câu 48 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 Đặt AB = #» a , AD = b , AA0 = #» c Phân tích véc-tơ AC theo #» #» a , b , #» c # » # » # » # » #» #» #» #» A AC = − #» a + b + #» c B AC = #» a + b − #» c C AC = #» a + b + #» c D AC = #» a − b + #» c -Lời giải Ta có D0 # » # » # » AC = AA0 + AC # » # » # » = AA0 + AB + AD #» = #» a + b + #» c C0 B0 A0 #» c D #» b A C #» a Chọn đáp án C B #» #» Câu 49 Trong không gian cho các véc-tơ #» a , b , #» c không đồng phẳng thỏa mãn (x − y) #» a + (y − z) b = (x + z − 2) #» c Tính T = x + y + z A B C D -Lời giải #» #» #» Ta có (x − y) #» a + (y − z) b − (x + z − 2) #» c = Do #» a , b , #» c không đồng phẳng nên véc-tơ phân tích duynhất qua ba véc-tơ nói trên x − y = y−z =0 ⇔ x = y = z = x+z−2=0 Vậy T = Suy Chọn đáp án C # » # » #» # » Câu 50 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có M là trung điểm BB Đặt CA = #» a , CB = b , AA0 = #» c Khẳng định nào sau đây đúng? #» 1 #» # » # » #» # » # » #» a − #» c + b B AM = b + #» A AM = #» c − #» a C AM = #» a + #» c − b D AM = b − #» a + #» c 2 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 25 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (29) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » # » # » # » • AM = CM − CA = (CB + CB ) − CA 1 #» #» #» c ) − #» a = b − #» a + #» c = ( b + b + #» 2 C0 B0 A0 M B C A Chọn đáp án D Câu 51 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Gọi O là tâm hình vuông ABCD và điểm # » # » # » # » # » # » # » # » # » S cho OS = OA + OB + OC + OD + OA0 + OB + OC + OD0 Tính độ dài đoạn OS theo a A OS = 6a B OS = 4a C OS = a D OS = 2a -Lời giải Gọi O0 là tâm hình vuông A0 B C D0 C0 B0 # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có OA + OB + OC + OD + OA0 + OB + OC + OD0 = 4OO0 # » # » O0 ⇒ OS = 4OO0 ⇒ OS = 4OO0 = 4a D0 A0 B C O A D Chọn đáp án B # » # » # » # » Câu 52 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 và các số thực k, l cho M A0 = k M C, N C = lN D Khi M N song song với BD0 thì khẳng định nào sau đây đúng? B k + l = −3 C k + l = −4 D k + l = −2 A k − l = − -Lời giải A0 D0 B0 C0 N A D M B C # » #» #» #» #» # » # » # » # » # » # » ( x − y + z )+ x + (− #» x + #» z) = Đặt #» x = BA, #» y = BC, #» z = BB Ta có M N = M C + CD+ DN = k − 1 − l Å ã Å ã # » 1 #» 1 #» #» 1+ + x− y + + z ; BD0 = #» x + #» y + #» z k−1 l−1 k−1 k−1 1−l 1 1 Theo giả thiết M N k BD0 suy + + =− = + ⇔ k = −3, l = −1 k−1 l−1 k−1 k−1 1−l Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 26 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (30) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 53 Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề nào sau đây là sai? # » # » # » # » #» # » Ä # » # » # » # »ä OA + OB + OC + OD A GA + GB + GC + GD = B OG = 4Ä Ä ä # » # » # » # » # » # » # » # »ä C AG = AB + AC + AD D AG = AB + AC + AD -Lời giải # » # » # » # » # » Với vị trí điểm O, ta có OA + OB + OC + OD = 4OG, chọn O ≡ A, ta # » # » # » # » # » # » Ä # » # » # »ä AA + AB + AC + AD = 4AG ⇔ AG = AB + AC + AD # » Ä # » # » # »ä Vậy mệnh đề sai là AG = AB + AC + AD Chọn đáp án D Câu 54 Cho tứ diện ABCD Gọi M vàÄ N lần lượtä là trung điểm AB và CD Tìm giá trị k thích # » # » # » hợp điền vào đẳng thức véc-tơ M N = k AD + BC 1 A k = B k = C k = D k = -Lời ( giải # » # » # » # » AD = AM + M N + N D Ta có # » # » # » # » A BC = BM + M N + N C # » # » # » # » # » # » # » Suy AD + BC = AM + BM + 2M N + N D + N C Mặt M , N là trung điểm AB và CD nên ( # »khác, # » #» AM + BM = M # » # » #» ND + NC = # » # » # » # » Ä # » # »ä AD + BC Vậy AD + BC = 2M N ⇒ M N = B D Từ đó suy k = N C Chọn đáp án B # » # » Câu 55 Cho hình lập phương ABCD.EF GH có các cạnh a, đó AB · EG √ √ √ a2 2 2 B a C a D A a 2 -Lời giải H # » # » # » Ä # » # »ä AB · EG = AB · EF + F G # » Ä # » # »ä = AB · AB + BC # » # » # » = AB + AB · BC E G F = AB D = a2 A C B Chọn đáp án C # » # » # » # » # » # » Câu 56 Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N xác định AM = 2AB − 3AC; DN = DB + xDC Tìm # » # » # » x để các véc-tơ AD, BC, M N đồng phẳng A x = −1 B x = −3 C x = −2 D x = -Lời giải Ta có # » # » # » DN = DB + xDC Ä # » # »ä # » # » # » # » ⇔ AN − AD = AB − AD + x AC − AD # » # » # » # » ⇔ AN = AB + xAC − xAD Th.s Nguyễn Chín Em 27 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (31) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » # » # » # » Suy M N = AN − AM = −AB + (x + 3)AC − xAD # » # » # » Để AD, BC, M N đồng phẳng thì phải tồn các hệ số k, l thỏa # » # » # » M N = k AD + lBC Ä # » # »ä # » # » # » # » ⇔ −AB + (x + 3)AC − xAD = k AD + l AC − AB # » # » # » # » # » # » ⇔ −AB + (x + 3)AC − xAD = −lAB + lAC + k AD − = −l l = x + = l ⇔ x = −2 ⇔ −x=k k = Vậy x = −2 thì ba véc-tơ đồng phẳng Chọn đáp án C # » #» # » # » Câu 57 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C Đặt AB = #» a , AA0 = b , AC = #» c Khẳng định nào sau đây đúng? # » # » #» #» A B C = − #» a − b + #» c B B C = − #» a + b − #» c # » # 0» #» #» C B C = − #» a + b + #» c D B C = #» a + b − #» c -Lời #giải » # » # » Ta có:B C = BC − BB C0 A0 # »0 # » # » = (AC − AB) − AA B0 #» #» #» #» = c − a − b b A C #» c #» a B Chọn đáp án A Câu 58 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N là trung điểm AB và CD Chọn mệnh đề đúng Ä # » # »ä # » # » Ä # » # »ä AD + BC B M N = AB + CD A M N = Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä # » C M N = AC + CD D M N = AC + BD -Lời giải Ta có A # » # » # » # » M N = M A + AD + DN (1) # » # » # » # » M N = M B + BC + CN (2) M Cộng tương ứng hai vế (1) và (2) ta # » # » # » # » # » # » # » #» # » # » #» # » # » 2M N = M A+M B+AD+BC+DN +CN = +AD+BC+ = AD+BC B # » Ä # » # »ä Suy M N = AD + BC Chọn đáp án A D N C # » #» # » # » Câu 59 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C Đặt #» a = AA0 , b = AB, #» c = AC Gọi G0 là trọng tâm tam # » giác A0 B C Véc-tơ AG0 ä ä Ä #» Ä #» #» #»ä Ä #» #» Ä #» #» #»ä #» A a + b + #» c B 3a + b + c C a + b + #» c D a+ b + c 3 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 28 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (32) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Gọi I là trung điểm B C Vì G0 A0 B C Chương - Hình học 11 A0 # » 2# » ⇒ A0 G0 = A0 I là trọng tâm tam giác # » # » # » # » 2# » Ta có AG0 = AA0 + A0 G0 = AA0 + A0 I # »0 Ä # »0 # »0 ä = AA + AB +AC # » Ä # » # »ä AB + AC = AA0 + Ä # »0 # » # »ä Ä #» #» #»ä = 3AA + AB + AC = 3a + b + c 3 B0 G0 I C0 A B C Chọn đáp án B # » #» # » # » # » Câu 60 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C Đặt #» a = AA0 , b = AB, #» c = AC Hãy biểu diễn véc-tơ B C theo #» các véc-tơ #» a , b , #» c # » #» A B C = #» a + b − #» c # » #» #» #» C B C = a + b + c -Lời giải Vì BB C C là hình bình hành nên # » # » # » B0C = B0C + B0B # » # » = BC − AA0 # » # » # » = −AA0 + BA + AC # » # » # » = −AA0 − AB + AC #» = − #» a − b + #» c # » B B C = − #» a+ # 0» D B C = − #» a− #» b − #» b + #» c #» c A0 B0 C0 A B C Chọn đáp án D #» # » # » Câu 61 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C Gọi M là trung điểm cạnh BB Đặt CA = #» a , CB = b , # » AA0 = #» c Khẳng định nào đây là đúng? #» 1 #» # » # » #» # » #» # » A AM = #» a + #» c − b B AM = b + #» c − #» a C AM = b − #» a + #» c D AM = #» a − #» c + b 2 2 -Lời giải # » 1# » Vì M là trung điểm BB ⇒ BM = BB #» # » # » # » # » # »0 # » # » 1# » Ta có AM = AB + BM = −BA + BB = −CA + CB + BB = − #» a + b + #» c 2 Chọn đáp án C Câu 62 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề nào sau đây là sai? # » Ä # » # » # »ä # » Ä # » # » # »ä A AG = AB + AC + AD B AG = AB + AC + AD 3Ä ä # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» C OG = OA + OB + OC + OD D GA + GB + GC + GD = -Lời giải # » # » # » # » #» Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên GA + GB + GC + GD = Do đó Th.s Nguyễn Chín Em 29 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (33) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » Ä # » # » # » # » # » # » # » # »ä OG = · 4OG = OA + AG + OB + BG + OC + CG + OD + DG 4 Ä # » # » # » # »ä OA + OB + OC + OD = # » # » # » Ä # » # » # » # »ä ⇒ AO + OG = AO + OA + OB + OC + OD Ä # » # » # » # » # »ä = AO + 4OA + AB + AC + AD # » # » Ä # » # » # »ä = AO + OA + AB + AC + AD Ä # » # » # »ä = AB + AC + AD Ä # » # » # » # »ä B Vậy AG = AB + AC + AD # » Ä # » # » # »ä Suy mệnh đề AG = AB + AC + AD sai A G D C Chọn đáp án A #» # » # » # » Câu 63 Cho tứ diện ABCD Đặt AB = #» a , AC = b , AD = #» c Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sau đây đúng? #» # » # » Ä #» #» #»ä A AG = #» a + b + #» c B AG = a+ b + c # » Ä #» #» #»ä # » Ä #» #» #»ä a+ b + c D AG = a+ b + c C AG = -Lời giải # » 2# » Gọi M là trung điểm CD suy BG = BM A # » # » # » # » 2# » Ta có AG = AB + BG = AB + BM # » Ä # » # »ä BC + BD = AB + · # » Ä # » # »ä = AB + BC + BD # » Ä # » # » # » # »ä = AB + AC − AB + AD − AB B D Ä # » # » # »ä AB + AC + AD = G M Ä #» #» #»ä = a+ b + c C Chọn đáp án B # » # » #» # » Câu 64 Cho tứ diện ABCD Đặt AB = #» a , AC = b , AD = #» c Gọi M là trung điểm đoạn thẳng BC Đẳng thức nào đây là đúng? ä # » Ä #» #» #»ä # » Ä #» #» A DM = a + b − #» c B DM = −2 a + b + c 2Ä 2Ä ä ä #» #» # » #» # » #» C DM = a − b + #» c D DM = a + b − #» c 2 -Lời giải # » 1# » Vì M là trung điểm BC suy BM = BC A # » # » # » # » # » # » 1# » Ta có DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC # » # » Ä # » # »ä = AB − AD + BA + AC 1# » 1# » # » = AB + AC − AD 2 ä #» #» #» Ä #» #» B D = a+ b − c = a + b − #» c 2 M C Th.s Nguyễn Chín Em 30 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (34) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A # » #» Câu 65 Cho tứ diện ABCD Gọi M và P là trung điểm các cạnh AB và CD Đặt AB = b , # » #» # » #» AC = c , AD = d Khẳng định nào sau đây là đúng? # » Ä #» #» #»ä # » Ä #» #» #»ä A M P = c +d+ b B M P = d+ b − c 2Ä 2Ä ä # » #» #» #» # » #» #» #»ä C M P = c + b −d D M P = c +d− b 2 -Lời giải Vì M(, P là trung điểm AB, CD A # » # » 2AM = AB nên # » # » # » AC + AD = 2AP # » # » # » # » # » M Ta có M P = M A + AP = −AM + AP # » Ä # » # »ä AC + AD = − AB + 2 #» 1 #» c + d = − b + #» B 2 D P C Chọn đáp án D # » Câu 66 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C Đặt AA0 = #» a, định nào đây là đúng? #» #» A #» a = b + #» c B #» a+ b + #» #» #» #» #» C b − c + d = D #» a+ b + -Lời giải #» #» #» #» #» # » # » # » Ta có BC = AC − AB ⇔ d = #» c − b ⇔ b − #» c + d = #» # » #» # » # » AB = b , AC = #» c , BC = d Khẳng #» #» #» c + d = #» #» c = d A0 B0 C0 A B C Chọn đáp án C Câu 67 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi O là tâm hình lập phương Khẳng định nào đây là đúng? # » Ä # » # » # »0 ä # » Ä # » # » # »0 ä A AO = AB + AD + AA B AO = AB + AD + AA 3Ä 2Ä ä # » # » # » # »0 # » # » # » # »0 ä AB + AD + AA D AO = AB + AD + AA C AO = -Lời giải A0 # »0 # » # » # »0 Theo quy tắc hình hộp, ta có AC = AB + AD + AA Mà O là trung điểm AC D0 # » # »0 Ä # » # » # »0 ä nên AO = AC = AB + AD + AA 2 A D B0 C0 O B C Chọn đáp án B Câu 68 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 tâm O Khẳng định nào đây là sai? # » # » # » # » # » # » # » # » #» A AC = AB + AD + AA0 B AB + BC + CD + D0 A = # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » C AB + AA0 = AD + DD0 D AB + BC + CC = AD0 + D0 O + OC -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 31 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (35) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dựa vào các phương án, ta thấy rằng: # » # » # » # » AC = AB + AD + AA0 đúng, vì theo quy tắc hình hộp ta có # » # » # » # » AC = AB + AD + AA0 # » # » # » # » #» AB(+ BC + CD + D0 A = đúng # » # » AB = −CD # » # »0 # » # » #» vì # » # » ⇒ AB + BC + CD + D A = BC = −D A ( # » # »0 # »0 AB + AA = AB # » # »0 # » # »0 AB + AA = AD + DD sai, vì # » # » # » AD + DD0 = AD0 # »0 # »0 # » # »0 # » # »0 mà AB 6= AD ⇒ AB + AA 6= AD + DD A0 B0 C0 D0 O A B D C # » # » # » # » # » # » AB(+ BC + CC = AD0 + D0 O + OC đúng # » # » # » # » # » # » AB + BC + CC = AC + CC = AC # » # » # » # » # » # » vì # » # » # » # » # » # » ⇒ AB + BC + CC = AD0 + D0 O + OC 0 0 AD + D O + OC = AO + OC = AC Chọn đáp án C Câu 69 Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Khẳng định nào đây là sai? # » # » # » # » # » # » # » # » A BC + BA = B1 C1 + B1 A1 B AD + D1 C1 + D1 A1 = DC # » # » # » # » # » # » # » # » C BC + BA + BB1 = BD1 D BA + DD1 + BD1 = BC -Lời giải Dựa vào các phương án, ta thấy rằng: A1 # » # » # » # » BC(+ BA = B1 C1 + B1 A1 đúng, # » # » BC = B1 C1 # » # » # » # » D1 vì # » # » suy BC + BA = B1 C1 + B1 A1 BA = B1 A1 # » # » # » # » AD + D1 C1 + D1 A1 = DC đúng, # » # » # » # » # » # » vì AD + D1 C1 + D1 A1 = AD + DC + DA # » # » # » = AC + DA = DC B1 C1 A D B C # » # » # » # » # » # » # » # » BC + BA + BB1 = BD1 đúng, vì BD1 = BC + BA + BB1 (quy tắc hình hộp) # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » BA + DD1 + BD1 = BC sai, vì BA + DD1 + BD1 = BA + BB1 + BD1 = BA1 + BD1 6= BC Chọn đáp án D Câu 70 Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Gọi M là trung điểm AD Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » # » 1# » A B1 M = B1 B + B1 A1 + B1 C1 B C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 # » # » 1# » 1# » # » # » # » # » C C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 D BB1 + B1 A1 + B1 C1 = 2B1 D 2 -Lời giải Dựa vào các phương án, ta thấy rằng: A B # » # » # » # » B1 M = B1 B + B1 A1 + B1 C1 sai M # » # » # » # » Ä # » # »ä vì B1 M = B1 B + BM = BB1 + BA + BD D C Ä ä # » # » # » = BB1 + B1 A1 + B1 D1 A1 B1 # » Ä # » # » # »ä = BB1 + B1 A1 + B1 A1 + B1 C1 # » # » 1# » = BB1 + B1 A1 + B1 C1 D1 C1 Th.s Nguyễn Chín Em 32 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (36) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » 1# » C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 đúng # » # » # » # » Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä vì C1 M = C1 C + CM = C1 C + CA + CD = C1 C + C1 A1 + C1 D1 2 # » Ä # » # » # »ä # » # » # » = C1 C + C1 B1 + C1 D1 + C1 D1 = C1 C + C1 D1 + C1 B1 2 # » # » 1# » 1# » # » # » # » 1# » C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 sai, vì C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 2 # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » BB1 + B1 A1 + B1 C1 = 2B1 D sai, vì BB1 + B1 A1 + B1 C1 = BA1 + BC = BA1 + A1 D1 = BD1 Chọn đáp án B Câu 71 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Gọi G là trọng tâm tam giác AB C Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » A AC = 3AG B AC = 4AG C BD0 = 4BG D BD0 = 3BG -Lời giải B Cách Gọi I là tâm hình vuông ABCD ⇒ I là trung điểm BD Ta có 4BIG v 4D0 B G # » BG BI BG # » ⇒ = 0 = ⇒ = ⇒ BD0 = 3BG DG DB BD # » # » # » # » Cách Theo quy tắc hình hộp, ta có BA + BC + BB = BD0 Do G là trọng tâm tam giác AB C # » # » # » # » # » # » nên BA + BC + BB = 3BG ⇔ BD0 = 3BG C I G A D B0 C0 A0 D0 Chọn đáp án D #» # » # » # » Câu 72 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Đặt SA = #» a , SB = b , SC = #» c, # » #» SD = d Khẳng định nào đây là đúng? #» #» #» #» #» A #» a + #» c = b + d B #» a + b + #» c + d = #» #» #» #» C #» a + d = b + #» c D #» a + b = #» c + d -Lời giải Gọi O là tâm hình bình hành ABCD S Vì O là trung điểm AC # » # » # » # » nên SA + SC = 2SO ⇔ 2SO = #» a + #» c (1) Và O là trung điểm BD # » # » # » # » #» #» nên SB + SD = 2SO ⇔ 2SO = b + d (2) #» #» Từ (1) và (2), suy #» a + #» c = b + d D A O B Chọn đáp án A C Câu 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi G là điểm thỏa mãn # » # » # » # » # » #» GS + GA + GB + GC + GD = Khẳng định nào đây là đúng? # » # » A G, S, O không thẳng hàng B GS = 4OG # » # » # » # » C GS = 5OG D GS = 3OG -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 33 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (37) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy # » # » # » # » #» OA + OB # » + #OC » + #OD » = # 0» # » Ta có GS + GA + GB + GC + GD # » # » # » # » # » # » #» =GS + 4GO + OA + OB + OC + OD = # » # » #» # » # » ⇔ GS + 4GO = ⇔ GS = 4OG ⇒ ba điểm G, S, O thẳng hàng S A G D O B C Chọn đáp án B # » # » # » # » #» Câu 74 Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = (G là trọng tâm tứ diện) Gọi G0 là giao điểm GA và mặt phẳng (BCD) Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » A GA = −2G0 G B GA = 4G0 G C GA = 3G0 G D GA = 2G0 G -Lời giải Vì G0 là giao điểm đường thẳng AG với mặt phẳng (BCD) suy G0 là trọng tâm tam giác BCD # » # » # » #» ⇒ G0 B + G0 C + G0 D = Theo bài ra, ta có # » # » # » # » GA + GB + GC + GD # » # » # » # » # » #» = GA + 3GG0 + G0 B + G0 C + G0 D = | {z } A #» G # » # » #» # » # » ⇒ GA + 3GG0 = ⇒ GA = 3G0 G D B G0 M C Chọn đáp án C Câu 75 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N là trung Khẳng định nào đây là sai? # » # » # » # » # » A M A + M B + M C + M D = 4M G B # » # » # » # » #» C GA + GB + GC + GD = D -Lời giải Vì M là trung điểm AB, CD ( ,# N » # » # » GA + GB = 2GM nên # » # » # » GC + GD = 2GN Mà G là trung điểm M N # » # » #» # » # » # » # » #» nên GM# +»GN# =»0 ⇔ # GA » +# GB » + GC + GD = Khi đó M A + M B + M C + M D # » Ä # » # » # » # »ä = 4M G + GA + GB + GC + GD # » = 4M G điểm AB, CD và G là trung điểm M N # » # » # » # » GA + GB + GC = GD # » # » #» GM + GN = A M G D B N C Chọn đáp án B # » # » Câu 76 Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Tìm giá trị thực k thỏa mãn đẳng thức véc-tơ AB + B1 C1 + # » # » DD1 = k AC1 A k = B k = C k = D k = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 34 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (38) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » # » # » # » Ta có AB + B1 C1 + DD1 = AB + BC + CC1 # » # » = AC + CC1 # » = AC1 ⇒ k = A1 B1 D1 C1 A D Chọn đáp án B B C Câu 77 Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm AB và CD Tìm giá trị thực k Ä #, N # » » # »ä thỏa mãn đẳng thức véc-tơ M N = k AC + BD 1 A k = B k = C k = D k = 2 -Lời giải # » # » # » Ta có N là trung điểm CD ⇒ M C + M D = 2M N (1) A # » # » #» Và M là trung điểm AB suy M A + M B = (2) # » Ä # » # »ä MC + MD Từ (1) và (2) suy M N = Ä # » # » # » # »ä M M A + AC + M B + BD = Ä # » # »ä AC + BD = D Ä # » # » # »ä B Kết hợp giả thiết M N = k AC + BD ⇒ k = N C Chọn đáp án A #» #» #» Câu 78 Cho ba véc-tơ #» a , b , #» c không đồng phẳng Xét các véc-tơ #» x = #» a + b , #» y = #» a − b − #» c, #» #» #» z = −3 b − c Khẳng định nào đây là đúng? A Ba véc-tơ #» x , #» y , #» z đồng phẳng B Hai véc-tơ #» x , #» a cùng phương #» #» #» C Hai véc-tơ x , b cùng phương D Ba véc-tơ x , #» y , #» z đôi cùng phương -Lời giải Giả sử,(ba véc-tơ #» x , #» y , #» z đồng phẳng, đó #» x = m #» y + n #» z #» #» #» #» my = ma − m b − m c #» Ta có ⇒ m #» y + n #» z = m #» a − (m + 3n) b − (m + 2n) #» c #» #» #» n z = −3n b − 2n c ® m = m=2 #» #» #» #» #» Khi đó a + b = m a − (m + 3n) b − (m + 2n) c ⇒ m + 3n = −1 ⇔ n = −1 m + 2n = Vậy ba véc-tơ #» x , #» y , #» z đồng phẳng Chọn đáp án A #» Câu 79 Cho ba véc-tơ #» a , b , #» c không đồng phẳng Khẳng định nào đây là đúng? #» #» #» #» #» A Ba véc-tơ x = a + b + #» c , #» y = #» a − b − #» c , #» z = − #» a + b + #» c đồng phẳng #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» B Ba véc-tơ x = a − b + c , y = a − b + c , z = a − b − #» c đồng phẳng #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» #» C Ba véc-tơ x = a + b + c , y = a − b + c , z = − a + b + c đồng phẳng #» #» #» D Ba véc-tơ #» x = #» a + b − #» c , #» y = #» a − b + #» c , #» z = − #» a − b + #» c đồng phẳng -Lời giải Ba véc-tơ #» x , #» y , #» z đồng phẳng và ∃m, n : #» x = m #» y + n #» z #» #» #» Với #» x = #» a + b + #» c , #» y = #» a − b − #» c , #» z = − #» a + b + #» c , ta có #» x = #» y + #» z 3 #» #» #» #» Nếu #» x = #» a − b + #» cÄ, #» y = #» a − b ä+ #» c Ä, #» z = #» a −3b − ä c đồng phẳng #» #» #» thì #» a − b + #» c = m #» a − b + #» c + n #» a − b − #» c 3m + 2n = #» #» #» = (3m + 2n) a − 3(m + n) b + (2m − 3n) c ⇒ − 3m − 3n = −2 2m − 3n = Th.s Nguyễn Chín Em 35 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (39) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Hệ phương trình trên vô nghiệm Vậy ba véc-tơ #» x , #» y , #» z không đồng phẳng #» #» #» #» Nếu #» x = #» a + b + #» cÄ, #» y = #» a − bä + #» c Ä, #» z = − #» a +3b + ä c đồng phẳng #» #» #» #» #» #» #» #» #» thì a + b + c = m a − b + c + n − a + b + c 2m − n = #» #» #» = (2m − n) a − 3(m − n) b + (m + 3n) c ⇒ − 3m + 3n = m + 3n = #» #» #» Hệ phương trình trên vô nghiệm Vậy ba véc-tơ x , y , z không đồng phẳng #» #» #» #» Nếu #» x = #» a + b − #» cÄ, #» y = #» a − b ä+ #» c Ä, #» z = − #» a− b + ä c đồng phẳng #» #» #» thì #» a + b − #» c = m #» a − b + #» c + n − #» a − b + #» c 2m − n = #» #» #» = (2m − n) a − (m + n) b + (3m + 2n) c ⇒ − m − n = 3m + 2n = −1 #» #» #» Hệ phương trình trên vô nghiệm Vậy ba véc-tơ x , y , z không đồng phẳng Chọn đáp án A #» #» Câu 80 Cho ba véc-tơ #» a , b , #» c Điều kiện nào đây khẳng định ba véc-tơ #» a , b , #» c đồng phẳng? #» #» #» #» A Tồn ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p = và m a + n b + p c = #» #» B Tồn ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p 6= và m #» a + n b + p #» c = #» #» C Tồn ba số thực m, n, p cho m #» a + n b + p #» c = #» D Giá #» a , b , #» c đồng quy -Lời giải Dựa vào đáp án, ta thấy rằng: #» #» Xét m = n = p = ta luôn có m + n + p = và m #» a + n b + p #» c = không thể suy #» #» a , b , #» c đồng phẳng Nếu m + n + p 6= thì chắn có ít số m, n, p khác n #» p #» #» #» Giả sử m 6= 0, ta có m #» a + n b + p #» c = ⇔ #» a =− · b − · c m m #» #» #» Suy ba véc-tơ a , b , c đồng phẳng Chọn đáp án B Câu 81 Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng # » # » # » # » # » # » C CD1 , AD, A1 C đồng phẳng D AB, AD, C1 A đồng phẳng -Lời giải # » # » # » # » Ta có AD = A1 D1 = A1 C + CD1 A # » # » # » suy CD1 , AD, A1 C đồng phẳng B C D A1 D1 Chọn đáp án C B1 C1 Câu 82 Cho hình hộp ABCD.EF GH Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF Khẳng định nào đây là đúng? # » # » # » # » # » # » A BD, AK, GF đồng phẳng B BD, IK, GF đồng phẳng # » # » # » # » # » # » C BD, EK, GF đồng phẳng D BD, IK, GC đồng phẳng -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 36 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (40) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì I, K là trung điểm AF và CF nên IK là đường trung bình tam giác AF C ⇒ IK k AC ⇒ IK k (ABCD) Mà GF k (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) # » # » # » Suy ba véc-tơ BD, IK, GF đồng phẳng E H F I G K D A B Chọn đáp án B C Câu 83 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N là trung điểm AD, BC Khẳng định nào đây là khẳng định sai? # » # » # » # » # » # » A Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng B Ba véc-tơ AB, AC, M N không đồng phẳng # » # » # » # » # » # » C Ba véc-tơ AN , CM , M N đồng phẳng D Ba véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng -Lời giải # » Ä # » # »ä # » Ä # » # »ä Vì M , N là trung điểm AD, BC suy M N = AB + DC và M N = BD + AC 2 Khi đó, dựa vào các phương án, ta thấy rằng: A # » # » # » # » Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng là kết đúng, vì M N = Ä # » # »ä # » # » # » AB + DC ⇒ AB, DC, M N đồng phẳng # » # » # » M Ba véc-tơ AB, AC, M N không đồng phẳng là kết đúng, vì M N không nằm mặt phẳng (ABC) # » # » # » Ba véc-tơ AN , CM , M N đồng phẳng là kết sai, tương tự ta D thấy AN không nằm mặt phẳng (M N C) B # » # » # » # » Ba véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng là kết đúng, vì M N = N Ä # » # »ä # » # » # » C BD + AC ⇒ BD, AC, M N đồng phẳng Chọn đáp án C Câu 84 Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AD và BC lấy các điểm M , N cho AM = 3M D, BN = 3N C Gọi P , Q là trung điểm AD và BC Khẳng định nào đây là sai? # » # » # » # » # » # » A Ba véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng B Ba véc-tơ M N , DC, P Q đồng phẳng # » # » # » # » # » # » C Ba véc-tơ AB, DC, P Q đồng phẳng D Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng -Lời giải Theo giả thiết ta có M , N là trung điểm P D, QC A Khi đó dựa vào các phương án, ta thấy rằng: # » # » # » Ba(véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng là kết sai # » # » # » # » M N = M A + AC + CN vì # » # » # » # » P M N = M D + DB + BN (# » # » # » # » M M N = M A + AC + CN ⇒ # » # » # » # » 3M N = 3M D + 3DB + 3BN D B # » # » # » 1# » Suy 4M N = AC − 3BD + BC Q # » # » # » N ⇒ BD, AC, M N không đồng phẳng C # » # » # » Ba(véc-tơ M N , DC, P Q đồng phẳng là kết đúng # » # » # » # » M N = M P + P Q + QN # » # » # » vì # » # » # » # » ⇒ 2M N = P Q + DC M N = M D + DC + CN # » Ä # » # »ä # » # » # » P Q + DC ⇒ BD, AC, M N đồng phẳng Suy M N = # » # » # » # » Ba véc-tơ AB, DC, P Q đồng phẳng là kết đúng, vì với cách biểu diễn P Q tương tự trên, ta Th.s Nguyễn Chín Em 37 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (41) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » Ä # » # »ä có P Q = AB + DC # » # » # » Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng là kết đúng, vì biểu diễn hoàn toàn giống phương án bên # » 1# » 3# » trên, ta M N = AB + DC 4 Chọn đáp án A Câu 85 Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Điểm M xác định đẳng thức véc-tơ # » # » # » # » AM = AB + AC + AD Mệnh đề nào sau đây đúng? A M trùng G B M thuộc tia AG và AM = 3AG C G là trung điểm AM D M là trung điểm AG -Lời giải # » # » # » # » Do G là trọng tâm tam giác BCD nên AB + AC + AD = 3AG # » # » Kết hợp giả thiết, suy AM = 3AG Chọn đáp án B # » # » # » # » Câu 86 Cho tứ diện ABCD Điểm N xác định AN = AB + AC − AD Mệnh đề nào sau đây đúng? A N là trung điểm BD B N là đỉnh hình bình hành BCDN C N là đỉnh hình bình hành CDBN D N trùng với A -Lời giải # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có AN = AB + AC − AD ⇔ AN − AB = AC − AD ⇔ BN = DC Đẳng thức chứng tỏ N là đỉnh thứ tư hình bình hành CDBN Chọn đáp án C Câu 87 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 tâm O Gọi I là # » # » # » CA0 = #» v , BD0 = #» x , DB = #» y Khi đó #» u + #» v + #» x + #» y ) B A 2OI = − ( #» #» u + #» v + #» x + #» y ) D C 2OI = ( #» -Lời giải Gọi M, N là trung điểm AB, CD # » # » #» Vì I là trung(điểm M N nên OM + ON = 2OI # » # » # » OA + OB = 2OM Kết hợp với # » # » # » OC + OD = 2ON # » Ä # » # » # » # »ä OA + OB + OC + OD ta suy 2OI = 2Å ã 1 # »0 # »0 # »0 # »0 = − AC − CA − BD − DB 2 2 = − ( #» u + #» v + #» x + #» y) Chọn đáp án A # » tâm hình hình hành ABCD Đặt AC = #» u, #» 2OI = − ( #» u + #» v + #» x + #» y ) #» 2OI = ( #» u + #» v + #» x + #» y ) D N C I A M B O D0 A0 C0 B0 # » # » #» # » Câu 88 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có AB = #» a , AC = b , AA0 = #» c Gọi I là trung điểm B C , 0 K là giao điểm A I và B D Mệnh nào sau đây đúng? ä ä #» #» # » Ä #» # » Ä #» A DK = a − b + #» c B DK = a − b + #» c #» #» # » # » C DK = #» a − b + #» c D DK = #» a − b + #» c -Lời giải # » # » # » Vì I là trung điểm B C ⇒ A0 B + A0 C = 2A0 I Th.s Nguyễn Chín Em 38 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (42) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Và K là giao điểm A0 I, B D0 nên theo định lí Ta-lét ta có # » 2# » A0 K = A0 I # » # »0 # » # »0 # 0» Ta có AK = AA + A K = AA + A I # »0 Ä # »0 # »0 ä #» #» #» = AA + AB +AC = a + b + c # » # » 3# » # » # » Khi đó DK = DA + AK = CB + AK Ä # » # »ä # » = AB − AC + AK D0 C0 K I A0 B0 D #» #» #» = #» a − b + #» a + b + #» c = #» a − b + #» c 3 3 Chọn đáp án A C A B # » # » Câu 89 Choähình hộp ABCD.A0 B C D0 Tìm giá trị thực k thỏa mãn đẳng thức véc-tơ AC + BA0 + Ä# » # » #» k DB + C D = A k = B k = C k = D k = -Lời giải # » # » # » # » # » Ta có AC + BA0 = AC + CD0 = AD0 # » # » # » # » # » # » và DB + C D = DB −Ä DC = C Bä = D0 A # » # » #» # » # » # » # » Suy AC + BA0 + k DB + C D = AD0 + k D0 A = # » #» ⇔ (k − 1)D0 A = ⇔ k = A0 B0 D0 C0 A B D C Chọn đáp án B Câu 90 Gọi M , N là trung điểm các cạnh AC và BD tứ diện ABCD Gọi I là trung điểm #» #» # » # » #» đoạn M N Tìm giá trị thực k thỏa mãn đẳng thức véc-tơ IA + (2k − 1)IB + k IC + ID = A k = B k = C k = D k = -Lời giải Vì M(, N là trung điểm AC, BD #» #» # » IA + IC = 2IM nên # » # » # » IB + ID = 2IN # » # » #» Mặt khác IM + IN = (I là trung điểm M N ) # » # » # » # » #» Suy IA + IB + IC + ID = #» #» #» #» Ta có IA + (2k − 1)IB + k IC + ID #» #» #» # » #» # » #» = IA + IC + ID} +(2k − 2)IB + (k − 1)IC = | + IB {z #» Ä # »0 # »ä #» Suy (k − 1) 2IB + IC = # » # » #» Mà 2IB + IC 6= nên k − = ⇔ k = A M I D C N B Chọn đáp án C Câu 91 Gọi M , N là trung điểm các cạnh AC và BD tứ diện ABCD Gọi I là trung điểm đoạnÄM N và P là điểm ä không gian Tìm giá trị thực k thỏa mãn đẳng thức #» # » # » # » # » véc-tơ P I = k P A + P B + P C + P D A k = B k = C k = D k = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 39 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (43) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì M(, N là trung điểm AC, BD #» #» # » IA + IC = 2IM nên # » # » # » IB + ID = 2IN # » # » #» Mặt khác IM + IN = (I là trung điểm M N ) # » # » # » # » #» Suy IA + IB + IC + ID = # » # » # » # » Khi đó P A + P B + P C + P D # » Ä # » # » # » # »ä #» = 4P I + IA + IB + IC + ID = 4P I Ä # » # » # » # »ä #» Mà P I = k P A + P B + P C + P D nên suy 4k = ⇔ k = A M P I D C N B Chọn đáp án C # » # » # » # » # » # » Câu 92 Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N xác định AM = 2AB−3AC (1); DN = DB+xDC (2) Tìm x để các đường thẳng AD, BC, M N cùng song song với mặt phẳng A x = −1 B x = −2 C x = D x = -Lời giải # » # » # » Yêu cầu bài toán tương đương với tìm x đểä ba véc-tơ M N , AD, BC đồng phẳng Ä # » # » # » # » # » # » # » Hệ thức (1) ⇔ AM = 2AB − AB + BC ⇔ AM = −AB − 3BC Ä ä # » # » # » # » # » # » # » Hệ thức (2) ⇔ AN − AD = AB − AD + x DA + AB + BC # » # » # » # » ⇔ AN = (1 + x)AB − xAD + xBC # » # » # » # » # » # » Từ (1) và (2), suy M N = AN − AM = (2 + x)AB − xAD + (x + 3)BC # » # » # » Vậy ba véc-tơ M N , AD, BC đồng phẳng + x = ⇔ x = −2 Chọn đáp án B Câu 93 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 Gọi M là điểm trên cạnh AC cho AC = 3M C Lấy điểm N trên đoạn C D cho C N = xC D Với giá trị nào x thì M N k BD0 1 A x = B x = C x = D x = 3 -Lời giải Gọi O là tâm hình hình hành ABCD và I là trung điểm C B M DD0 O Nối C D cắt CI N ⇒ N là trọng tâm tam giác CDD0 Ta có OI là đường trung bình tam giác BDD0 D A Suy OI k BD0 N CN CM Mặt khác = nên M N k OI CI CO Suy M N k BD0 I C0 B0 Theo bài ta có M N k BD0 2 ⇒ N ≡ N ⇒ C 0N = C 0D ⇒ x = 3 D0 A0 Chọn đáp án A # » # » Câu 94 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 Gọi M là điểm xác định đẳng thức véc-tơ M A + M B + # » # » # » # » # » # » #» M C + M D + M A0 + M B + M C + M D0 = Mệnh đề nào sau đây đúng? A M là tâm mặt đáy ABCD B M là tâm mặt đáy A0 B C D0 C M là trung điểm đoạn thẳng nối hai tâm hai mặt đáy D Tập hợp điểm M là đoạn thẳng nối hai tâm hai mặt đáy -Lời giải Gọi O = AC ∩ BD và O0 = A0 C ∩ B D0 # » # » # » # » #» # » # » # » # » #» Khi đó OA + OB + OC + OD = và O0 A0 + O0 B + O0 C + O0 D0 = Th.s Nguyễn Chín Em 40 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (44) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » # » Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ta có M A + M B + M C + M D = M O + OA + M O + OB + M O + OC + M O + OD # » # » # » # » # » #» # » # » = OA + OB + OC + OD + 4M O = + 4M O = 4M O # » # » # » # » # » Tương tự, ta có M A0 + M B + M C + M D0 = 4M O0 # » # » # » # » # »0 # »0 # »0 # »0 #» Từ đó suy M A + M B + M CÄ+ M D + M A + MB + MC + MD = # »0 #» # » # » # »0 ä #» # » # » #» Suy 4M O + 4M O = ⇔ M O + M O = ⇔ M O + M O0 = Vậy điểm M cần tìm là trung điểm OO0 Chọn đáp án C #» # » # » Câu 95 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có tâm O Đặt AB = #» a , BC = b Điểm M xác định đẳng # » Ä #» #»ä thức véc-tơ OM = a − b Khẳng định nào sau đây đúng? A M là trung điểm BB B M là tâm hình bình hành BCC B C M là trung điểm CC D M là tâm hình bình hành ABB A0 -Lời giải Gọi I, I là tâm các mặt đáy ABCD, A0 B C D0 Suy O là A0 B0 I0 trung điểm II # » # » Do ABCD.A0 B C D0 là hình hộp nên AB = DC D0 C0 # » Ä #» #»ä Ä # » # »ä Theo giả thiết ta có OM = AB − BC a− b = 2 O Ä ä # » # » 1# » # » = DC + CB = DB = IB A B 2 # » #» 0 0 Vì ABCD.A B C D là hình hộp nên từ đẳng thức OM = IB suy M I là trung điểm BB D C Chọn đáp án A Câu 96 Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A0 , B , C thuộc các tia SA, SB, SC cho SA SB SC = a, = b, = c, đó a, b, c là các số thay đổi Để mặt phẳng (A0 B C ) qua trọng tâm 0 SA SB SC tam giác ABC thì A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = -Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC S # » # » # » #» Ta có GA + GB + GC = # » # » # » # » #» Khi đó 3GS + SA + SB + SC = # » # » # » # » # » # » Mà SA = aSA0 , SB = bSB , SC = cSC C0 # » # » # » # » Suy 3SG = aSA0 + bSB + cSC # » a# » b# » c# » ⇔ SG = SA0 + SB + SC 3 A C Vì (A0 B C ) qua trọng tâm tam giác ABC G # »0 # »0 # »0 nên GA , GB , GC đồng phẳng Do đó, tồn ba số l, m, n cho (l2 + m2 + n2 6= 0) và B # » # » # » #» lGA0 + mGB + nGC = 0 A Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä #» ⇔ l GS + SA0 + m GS + SB + n GS + SB = # » # » # » # » ⇔ (l + m + n)SG = lSA0 + mSB + nSC B0 # » # » # » l m n # » ⇒ SG = SA0 + SB + SC l+m+n l+m+n l+m+n a # » b # » c # » = · SA0 + · SB + · SC 3 a b c l m n Suy + + = + + = ⇒ a + b + c = 3 3 l+m+n l+m+n l+m+n Chọn đáp án A Câu 97 Mệnh đề nào sau đây đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì ba đường thẳng đó cùng nằm mặt phẳng B Một đường cắt hai đường thẳng cắt cho trước thì ba đường thẳng đó cùng nằm mặt phẳng Th.s Nguyễn Chín Em 41 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (45) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 C Ba đường thẳng cắt đôi thì cùng nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đôi và không nằm mặt phẳng thì đồng quy -Lời giải A0 D0 B0 C0 D A B C Mệnh đề “Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì ba đường thẳng đó cùng nằm mặt phẳng” sai Ví dụ Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có AA0 cắt AB và A0 D0 ba đường thẳng AA0 , AB và A0 D0 không đồng phẳng Mệnh đề “Một đường cắt hai đường thẳng cắt cho trước thì ba đường thẳng đó cùng nằm mặt phẳng” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có A0 B cắt hai đường thẳng cắt cho trước là AA0 và A0 D0 ba đường thẳng AA0 , A0 B và A0 D0 không đồng phẳng Mệnh đề “Ba đường thẳng cắt đôi thì cùng nằm mặt phẳng” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có A0 B , AA0 , A0 D0 cắt đôi không cùng nằm mặt phẳng Chọn đáp án D # » # » Câu 98 Cho hình lập phương ABCD.EF GH có cạnh a Tính P = AB · EG A P = a2 B P = a2 √ C P = a2 √ √ a2 D P = -Lời giải # » # » Ta có EG = AC Do đó P E # » # » # » # » = AB · EG = AB · AC √ Ä # » # »ä √ = AB · AC · cos AB, AC = a · a · = a2 F H G D A B Chọn đáp án A C Câu 99 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 với tâm O Hãy đẳng thức sai các đẳng thức sau đây # » # » # » # » # » # » # » # » #» A AC = AB + AD + AA0 B AB + BC + CD + D0 A = # » # »0 # » # »0 # » # » # »0 # »0 # » # »0 C AB + AA = AD + DD D AB + BC + CC = AD + D O + OC -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 42 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (46) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A0 D0 B0 C0 D A B C # » # » # » # » Theo qui tắc hình hộp thì AC = AB + AD + AA0 # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» Ta có CD = C D0 ⇒ AB + BC + CD + D0 A = AB + BC + C D0 + D0 A = AC + C A = # » # » # » # » # »0 # »0 # » # »0 Ta có AB + BC + CC = AD + D O + OC ⇔ AC = AC # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có AB + AA0 = AB + AA0 = AB (quy tắc hình bình hành) và AD + DD0 = AD + DD0 = AD0 nên # » # » # » # » AB + AA0 6= AD + DD0 Chọn đáp án C # » #» # » #» # » # » Câu 100 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C Đặt AA0 = #» a , AB = b , AC = #» c , BC = d Trong các biểu thức vectơ sau đây, biểu thức nào là đúng? #» #» #» #» A #» a = b + #» c B #» a + b + #» c + d = #» #» #» #» #» #» C b + d − c = D #» a + b + #» c = d -Lời giải A0 D0 B0 C0 D A B M C #» # » # » # » Gọi M là trung điểm BC đó AB + AC = 2AM ⇒ b + Dựng hai điểm D, D0 để ABDC.A0 B D0 C là hình hộp #» #» #» #» #» Ta có #» a + b + #» c + d = ⇔ #» a + b + #» c = −d # »0 # » # » # »0 # » #» #» Mà AA + AB + AC = AD ⇒ #» a + b + #» c = AD0 6= − d 6= #» #» #» # » # » # » # » # » #» Ta có b + d − c = AB + BC − AC = AC − AC = Chọn đáp án C # » #» c = 2AM 6= #» a #» d Câu 101 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Mệnh đề nào sau đây sai? # » # » a2 A AB · AC = # » # » 2# » # » #» C AB + CD + BC + DA = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em # » # » B AB ⊥ CD hay AB · CD = # » # » # » # » D AC · AD = AC · CD 43 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (47) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ä # » # »ä a2 # » # » # » # » Ta có AB · AC = AB · AC cos AB, AC = a · a · cos 60◦ = Gọi M®là trung điểm CD và O là trọng tâm tam giác BCD AO ⊥ CD # » # » Ta có ⇒ CD ⊥ AB hay AB · CD = BM ⊥ CD # » # » # » # » # » # » #» Theo quy tắc ba điểm AB + BC + CD + DA = AC + CA = A D C M O B Ä ä a # » # » # » # » # » # » AC · AD = AC · AD · cos AC, AD = a · a · cos 60◦ = Ta có Ä ä Ä ä # » # » # » # » # » # » # » # » AC · CD = − CA · CD = − CA · CD · cos CA, CD = −a · a · cos 60◦ = − a Chọn đáp án D Câu 102 Mệnh đề nào sau đây đúng? # » # » # » # » A Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành # » # » B Tứ giác ABCD là hình bình hành AB = CD # » # » # » # » #» C Tứ giác ABCD là hình bình hành AB + BC + CD + AD = # » # » # » D Tứ giác ABCD là hình bình hành AB + AC = AD -Lời giải Ta có D C # » # » # » # » # » # » # » # » SB + SD = SA + SC ⇔ SB − SA = SC − SD # » # » ⇔ AB = DC Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành # » # » Tứ giác ABCD là hình bình hành AB = DC # » # » # » # » Với bốn điểm A, B, C, D ta luôn có AB + BC + CD + DA = #» # » # » # » Tứ giác ABCD là hình bình hành AB + AD = AC Chọn đáp án A A B Câu 103 Mệnh đề nào sau đây sai? #» #» A Ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng có ba vectơ đó vectơ #» B Ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng có hai ba vectơ đó cùng phương # » # » # » C Trong hình hộp ABCD.A0 B C D0 ba vectơ AB , C A0 , DA0 đồng phẳng #» #» D Vectơ #» x = #» a + b + #» c luôn luôn đồng phẳng với hai vectơ #» a và b -Lời giải Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 và gọi M là trung điểm C D0 A0 # » #» # » # » Giả sử #» a = AB, b = AD, #» c = CM #» # » # » # » Khi đó #» a + b + #» c = AM không đồng phẳng với hai vectơ AB, AD B0 D0 C0 D A B Chọn đáp án D C Câu 104 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Mệnh đề nào sau đây sai? √ # » # » # » A AC = a B AD0 · AB = a2 # » # » # » # » # » # » #» C AB · CD0 = D 2AB + B C + CD + D0 A0 = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 44 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (48) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A0 D0 B0 C0 D A B C √ √ √ # » Ta có AC = AB + AD2 + A0 A2 = a2 + a2 + a2 = a Ä # » # »ä √ √ # » # » # » # » Ta có AD0 · AB = AD0 · AB · cos AD0 , AB = a · a · cos 60◦ = a2 # » # » # » # » Dễ dàng minh AB ⊥ CD0 ⇒ AB · CD0 = ( #chứng » # » B C = BC Ta có # » # » D0 A0 = DA # » # » # » # » # » Ä # » # » # » # »ä # » #» # » #» Khi đó: 2AB + B C + CD + D0 A0 = AB + AB + BC + CD + DA = AB + = AB 6= Chọn đáp án D Câu 105 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai? #» #» A Cho hai vectơ không cùng phương #» a và b Khi đó ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng và có cặp #» #» #» số m, n cho c = m a + n b , ngoài cặp số m, n là #» #» #» B Nếu có m #» a + n b + p #» c = và ba số m, n, p khác thì ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng #» #» #» C Cho ba vectơ a , b , c đồng phẳng và ba vectơ đó cùng có giá thuộc mặt phẳng D Ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi thì ba tia đó không đồng phẳng -Lời giải #» Cho ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng và ba vectơ đó cùng có giá song song với mặt phẳng Chọn đáp án C Câu 106 Cho hai điểm phân biệt A, B và điểm O bất kì Mệnh đề nào sau đây là đúng? # » # » # » A Điểm M thuộc đường thẳng AB và OM = OB = k BA # » # » # » # » B Điểm M thuộc đường thẳng AB và OM = OB = k(OB − OA) # » # » # » C Điểm M thuộc đường thẳng AB và OM = k OA + (1 − k) OB # » # » # » D Điểm M thuộc đường thẳng AB và OM = OA + OB -Lời giải Ä # » # »ä # » # » # » # » # » # » # » Ta có OM = k OA + (1 − k) OB ⇔ OM − OB = k OA − OB ⇔ BM = k BA ⇒ M, A, B thẳng hàng Chọn đáp án C ĐÁP ÁN B 11 B 12 21 B 22 31 A 32 41 C 42 51 B 52 61 C 62 71 D 72 81 C 82 91 C 92 101 D 102 D C C B C C A A B B A 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 Th.s Nguyễn Chín Em C D C A A D B B C A D 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 A B A A A B A C A C D 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 A D A B B C D B B A C 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 45 A A A C C C C B C A C 17 27 37 47 57 67 77 87 97 B B B C C A B A A D 18 28 38 48 58 68 78 88 98 A C C A C A C A A A 19 29 39 49 59 69 79 89 99 D B B D C B D A B C 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 C B C B D D B B C C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (49) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI Chương - Hình học 11 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A TÓM TẮT LÝ LÝ THUYẾT TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa Trong không gian, cho #» u và #» v là hai véc-tơ khác véc-tơ - không Lấy điểm A # » #» # » #» ’ (0◦ ≤ BAC ’ ≤ 180◦ ) là bất kì, gọi B, C là hai điểm cho AB = u , AC = v Khi đó, ta gọi BAC #» #» #» #» góc hai véc-tơ u và v , kí hiệu là ( u , v ) #» u B A C #» v Định nghĩa Trong không gian, cho #» u và #» v là hai véc-tơ khác véc-tơ - không Tích vô hướng #» #» #» hai véc-tơ u và v là số, kí hiệu là u · #» v , và tính công thức #» u · #» v = | #» u | · | #» v | · cos( #» u , #» v ) ! #» #» Trong trường hợp #» u = #» v = , ta quy ước #» u · #» v = GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa Véc-tơ #» a khác véc-tơ - không gọi là véc-tơ phương đường thẳng d giá véc-tơ #» a song song trùng với đường thẳng d #» a d Nếu #» a là véc-tơ phương đường thẳng d thì véc-tơ k #» a với k 6= là véc-tơ phương đường thẳng d Một đường thẳng d không gian hoàn toàn xác định biết điểm A thuộc d và véc-tơ phương #» a nó Hai đường thẳng song song với và chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai véc-tơ phương cùng phương Định nghĩa Góc hai đường thẳng a và b không gian là góc hai đường thẳng a0 và b0 cùng qua điểm và song song với a và b a a0 O b0 b Th.s Nguyễn Chín Em 46 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (50) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Để xác định góc hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc hai đường thẳng đó vẽ đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại Nếu #» u và #» v là véc-tơ phương a và b, đồng thời ( #» u , #» v ) = α thì góc hai đường thẳng a và b α 0◦ ≤ α ≤ 90◦ và 180◦ − α 90◦ < α ≤ 180◦ Nếu a và b là hai đường thẳng song song trùng thì góc chúng 0◦ B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định góc hai véc-tơ Ta xác định điểm cho trước trên hình làm điểm gốc và dời các véc-tơ cần tính góc điểm gốc đó Ví dụ Cho tứ diện ABCD có H là trung điểm cạnh AB Hãy tính góc các cặp véc-tơ sau đây: # » # » # » AB và BD # » DH và AD -Lời giải A E H B D C F # » # » # » # » # » # » ’ = 120◦ Dựng AE = BD Ta có (AB, BD) = (AB, AE) = BAE # » # » # » # » # » # » ’ = 180◦ − 30◦ = 150◦ Dựng DF = AD Ta có (DH, AD) = (DH, DF ) = HDF Ví dụ Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi vuông góc và SA = SB = SC = a Gọi M là # » # » trung điểm BC Tính góc hai véc-tơ SM và AB -Lời giải # » # » SM · AB # » # » Gọi α là góc hai véc-tơ SM và AB, ta có cos α = √SM · AB √ √ BC a Có BC = AB = SA2 + SB = a 2, SM = = 2 # » # » # » # » # » # » Mặt khác ta có SM · AB = (SB + SC) · (SB − SA) # »2 # » # » # » # » # » # » a2 = (SB − SB · SA + SC · SB − SC · SA) = 2 a2 ◦ √ = ⇒ α = 60 Vậy cos α = √ a 2 2·a 2· Cách khác: Gọi N là trung điểm AC, ta dễ dàng chứng minh 4SM N # » # » # » # » # » # » ÷ Có (SM , AB) = (SM , N M ) = (M S, M N ) = N M S = 60◦ A N S B M C Th.s Nguyễn Chín Em 47 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (51) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dạng Xác định góc hai đường thẳng không gian Ta thường có hai phương pháp để giải cho dạng toán này Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc hai đường thẳng, kết hợp sử dụng hệ thức lượng tam giác (định lý cos, công thức trung tuyến) Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hương hai véc-tơ Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh là a Tính góc các cặp đường thẳng sau đây AB và A0 D AD và A0 C BC và B D -Lời giải D0 A0 B0 C0 A D B C ’ = 90◦ Ta có A0 D k AD nên (AB, A0 D ) = (AB, AD) = BAD ’ = 45◦ Ta có A0 C k AC nên (AD, A0 C ) = (AD, AC) = DAC ÷0 Ta có B D k BD nên (BC , B D ) = (BC , BD) = DBC √ ÷0 = 60◦ Ta có BD = BC = C D = AB nên 4BDC đều, suy DBC 0 ◦ Vậy (BC , B D ) = 60 √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = 2a Tính góc hai đường thẳng AC và SB -Lời giải Ta có SAB và SAC là tam giác đều, ABC và SBC là tam giác vuông cân cạnh huyền BC Gọi M , N , P là trung điểm SA, AB, BC, ta có M N k SB, N P k AC nên √ (AC, SB) = (N P, √M N ) SB a AC a MN = = , NP = = 2 2 √ BC AP = SP = = a, SA = a 2 √ SA a Nên 4SAP vuông cân P ⇒ M P = = 2 ÷ Vậy 4M N P ⇒ (AC, SB) = (N P, N M ) = M N P = 60◦ Cách khác: # » # » # » # » # » # » # » # » # » AC · SB = (SC − SA) · SB = SC · SB − SA · SB ’ = −a2 = − SA · SB · cos # »ASB # » AC · SB a2 √ = cos(AC, SB) = = √ AC · SB a 2·a ⇒ (AC, SB) = 60◦ S M A C N P B Th.s Nguyễn Chín Em 48 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (52) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dạng Sử dụng tính chất vuông góc mặt phẳng Để chứng minh hai đường thẳng và 40 vuông góc với ta có thể sử dụng tính chất vuông góc mặt phẳng, cụ thể: ’ = 90◦ ⇔ ABC ’ + ACB ’ = 90◦ Tam giác ABC vuông A và BAC Tam giác ABC vuông A và AB + AC = BC Tam giác ABC vuông A và trung tuyến xuất phát từ A có độ dài nửa cạnh BC Nếu tam giác ABC cân A thì đường trung tuyến xuất phát từ A là đường cao tam giác Ngoài ra, chúng ta sử dụng tính chất: Nếu d ⊥ và 40 k d thì 40 vuông góc với đường thẳng ’ = BAD ’ = 60◦ Gọi M và N là Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD, BAC trung điểm AB và CD, chứng minh M N là đường vuông góc chung các đường thẳng AB và CD -Lời giải Từ giả thiết suy các tam giác ABC, ABD nên DM = CM , đó 4M CD cân M Từ đó suy M N ⊥ CD Mặt khác 4BCD = 4ACD nên BN = AN , đó 4N AB cân N Từ đó suy N M ⊥ AB Vậy M N là đường vuông góc chung AB và CD A M B D N C ’ = 90◦ , CSA ’ = 120◦ ’ = 60◦ , BSC Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB Cho H là trung điểm AC Chứng minh rằng: SH ⊥ AC AB ⊥ BC -Lời giải S Do tam giác SAC cân S và H là trung điểm AC nên SH ⊥ AC ’ = 60◦ nên 4SAB Từ đó suy Do SA = SB = a và ASB AB = a (1) Áp dụng định lý hàm số cos cho các tam giác SAC ta có ’ = 2a2 −2a2 cos 120◦ = AC = SA2 +SC −2SA.SC cos ASC 3a (2) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác SBC, ta có BC = SB + SC = 2a2 (3) Từ (1), (2), (3) suy AC = AB + BC ⇒ AB ⊥ BC A H C B Th.s Nguyễn Chín Em 49 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (53) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất các cạnh còn lại Chứng minh SA ⊥ SC -Lời giải Ta có ABCD là hình thoi, gọi O là giao điểm AC và BD suy O là trung điểm AC, BD Xét các tam giác SBD và CBD, ta có: SB = CB SD = CD ⇒ 4SBD = 4CBD BD chung Từ đó suy SO = CO = AC Vậy tam giác SAC vuông S hay SA ⊥ SC S x D A O C B Dạng Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba Để chứng minh đường thẳng a ⊥ b, ta chứng minh a k a0 , đó a0 ⊥ b Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có AB = AC Lấy M , N và P là trung điểm các cạnh BC, SB và SC Chứng minh AM vuông góc với N P -Lời giải Do N , P là trung điểm các cạnh SB và SC nên N P là đường trung bình tam giác SBC, từ đó suy N P k BC (1) Mặt khác, tam giác ABC cân A, suy trung tuyến AM ⊥ BC (2) Từ (1)(2) suy AM ⊥ N P S P N A C M B Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có đáy là tam giác Lấy M là trung điểm cạnh BC Chứng minh AM vuông góc với B C -Lời giải Do tứ giác BB C C là hình bình hành nên BC k B C Mặt khác, tam giác ABC nên AM ⊥ BC Từ (1)(2) suy AM ⊥ B C (1) (2) A C M B A0 C0 B0 Th.s Nguyễn Chín Em 50 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (54) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Các điểm M , N là trung điểm các cạnh AB, BC Trên cạnh B C lấy điểm P cho C P = x (0 < x < a) Trên cạnh C D0 lấy điểm Q cho C Q = x Chứng minh M N vuông góc với P Q -Lời giải Do tứ giác BB D0 D là hình chữ nhật, suy BD k B D0 (1) Do ABCD là hình vuông, suy BD ⊥ AC (2) Từ (1)(2) suy B D0 ⊥ AC (3) Theo bài ta có M N là đường trung bình tam giác ABC, suy M N k AC (4) C 0P C 0Q x Mặt khác, ta có = 0 = , suy P Q k B D0 (5) CB CD a Từ (3)(4)(5) ta có M N ⊥ P Q C D N M A D0 B Q C0 P A0 B0 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Góc hai đường thẳng a và b góc hai đường thẳng a và c b song song với c (hoặc b trùng với c) B Góc hai đường thẳng a và b góc hai đường thẳng a và c thì b song song với c C Góc hai đường thẳng là góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai véc-tơ phương hai đường thẳng đó -Lời giải Góc hai đường thẳng a và b góc hai đường thẳng a và c thì b song song với c là mệnh đề sai vì có thể b và c chéo Góc hai đường thẳng là góc nhọn là mệnh đề sai vì có thể là góc vuông Góc hai đường thẳng góc hai véc-tơ phương hai đường thẳng đó là mệnh đề sai Nếu góc hai véc-tơ phương là α với 0◦ ≤ α ≤ 90◦ thì góc hai đường thẳng α, góc hai véc-tơ phương là α với 90◦ < α ≤ 180◦ thì góc hai đường thẳng 180◦ − α Chọn đáp án A Câu Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với B Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng vuông góc với thì song song với đường thẳng còn lại C Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với D Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng -Lời giải Mệnh đề đúng là: đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng Chọn đáp án D Câu Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P ), đó a ⊥ (P ) Mệnh đề nào sau đây là sai? A Nếu b ⊥ (P ) thì b k a B Nếu b k (P ) thì b ⊥ a C Nếu b k a thì b ⊥ (P ) D Nếu b ⊥ a thì b k (P ) -Lời giải Nếu b ⊥ a thì b k (P ) là mệnh đề sai vì b có thể nằm mặt phẳng (P ) Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 51 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (55) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » Câu Cho hình lập phương ABCD.EF GH Hãy xác định góc cặp véc-tơ AB và DH? A 45◦ B 90◦ C 120◦ D 60◦ -Lời giải # » # » Vì = AE (ADHE là hình vuông) nên E Ä # DH » # »ä Ä # » # »ä ’ AB, DH = AB, AE = BAE = 90◦ (ABF E là hình vuông) F H G D A B C Chọn đáp án B # » # » Câu Cho hình lập phương ABCD.EF GH Hãy xác định góc cặp véc-tơ AB và EG A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 120◦ -Lời giải # » # » Vì = AC (AEGC là hình chữ nhật) nên E Ä # EG » # »ä Ä # » # »ä ’ AB, EG = AB, AC = BAC = 45◦ (ABCD là hình vuông) F H G D A B C Chọn đáp án C Câu Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc AC và DA0 là A 45◦ B 90◦ C 60◦ -Lời giải Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương √ Khi đó, tam giác AB C (AB = B C = CA = a 2) CA = 60◦ ÷ Suy B Lại có, DA0 song song với CB nên ÷0 = 60◦ (AC, DA0 ) = (AC, CB ) = ACB D 120◦ A0 B0 D0 C0 D A B C Chọn đáp án C Câu Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 Giả sử tam giác AB C và A0 DC có ba góc nhọn Góc hai đường thẳng AC và A0 D là góc nào sau đây? C 0C 0 D ÷ ÷ ÷ ÷0 A AB B DA C BB D BDB -Lời giải Ta có AC k A0 C (A0 B CD là hình bình hành) A0 B0 0 0 0 0 ÷ ÷ Mà DA C nhọn nên (AC, A D) = (A C , A D) = DA C D0 C0 A D Chọn đáp án B B C Câu Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Chọn khẳng định sai? A Góc AC và B D0 90◦ B Góc B D0 và AA0 60◦ C Góc AD và B C 45◦ D Góc BD và A0 C 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 52 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (56) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 C = 90◦ ÷ Ta có (AA0 , B D0 ) = (BB , B D0 ) = BB 0 Khẳng định sai là: góc B D và AA0 60◦ A0 D0 B0 C0 D A B C Chọn đáp án B Câu Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB và CD A 60◦ B 30◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm CD # » # » #» # » # » #» Ta có CD # »· AM # » = #0 »và ÄCD # »· M B # = »ä0 Do đó CD · AB = CD · AM + M B # » # » # » # » #» = CD · AM + CD · M B = # » # » Suy AB ⊥ CD nên số đo góc hai đường thẳng AB và CD 90◦ A C B M D Chọn đáp án C Câu 10 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO và CD bao nhiêu? A 0◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm CD Vì ABCD là tứ diện nên AM ⊥ CD, OM ⊥ CD # » # » # » Ä # » # »ä Ta có CD · AO = CD · AM + M O # » # » # » # » #» = CD · AM + CD · M O = # » # » Suy AO ⊥ CD nên số đo góc hai đường thẳng AO và CD 90◦ A B D O M C Chọn đáp án C Câu 11 Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm cạnh BC Khi đó cos(AB, DM ) √ √ √ 3 A B C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 53 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (57) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Giả sử cạnh tứ diện là a √ a Tam giác BCD ⇒ DM = √2 a Tam giác ABC ⇒ AM = 2» # » # » # » # Ä # » # »ä AB · DM AB · DM √ Ta có cos AB, DM = # » # » = a AB · DM a· B # » # » # » Ä # » # »ä # 2» # » # » # » Mặt khác : AB · DM = AB AM − AD = AB · AM − AB · AD Ä # » # »äM Ä # » # »ä # » # » # » # » = AB · AM · cos AB, AM − AB · AD · cos AB, AD # » # » # » # » = AB · AM · cos 30◦ − AB · AD · cos 60◦ √ √ a 3a2 a2 a2 =a· · −a·a· = − = 2 4 √ √ Ä # » # »ä Ä # » # »ä 3 ⇒ cos AB, DM = > ⇒ AB, DM = (AB, DM ) ⇒ cos (AB, DM ) = 6 Chọn đáp án B A D C ’ = BAD ’ = 60◦ Hãy xác định góc cặp Câu 12 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC # » # » véc-tơ AB và CD A 60◦ B 45◦ C 120◦ D 90◦ -Lời giải # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » Ta có AB · CD = AB · AD − AC = AB · AD − AB · AC # » # » # » # » # » # » # » # » = AB · AD · cos(AB, AD) − AB · AC · cos(AB, AC) # » # » # » # » = AB · AD · cos 60◦ − AB · AC · cos 60◦ Ä # » # »ä # » # » Mà AC = AD ⇒ AB · CD = ⇒ AB, CD = 90◦ A C D B Chọn đáp án D ’ = BSC ’ = CSA ’ Hãy xác định góc cặp Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB # » # » véc-tơ SC và AB? A 120◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » Ta có SC · AB = SC · SB − SA = SC · SB − SC · SA # » # » # » # » # » # » # » # » = SC · SB · cos(SC, SB) − SC · SA · cos(SC, SA) ’ − SC · SA · cos ASC ’ = SC · SB · cos BSC # » # » ’ = ASC ’ ⇒ SC · AB = Mà SAÄ= SB =äSC và BSC # » # » ◦ Do đó SC, AB = 90 S A C B Chọn đáp án D Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB Tính số đo góc hai đường thẳng chéo SC và AB A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 54 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (58) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S A C B # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » Xét SC · AB = −CS · CB − CA = CS · CA − CS · CB ’ − CS · CB · cos SCB ’ = CS · CA · cos SCA SC + CB − SB SC + CA2 − SA2 − CS · CB · 2SC · CA 2SC · CB SC + CA2 − SA2 SC + CB − SB = − = (do SA = SB và CA = CB) 2 Vậy SC ⊥ AB Chọn đáp án D = CS · CA · ’ = SAB ’ Tính số đo góc hai đường thẳng Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và SAC chéo SA và BC A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » S Xét SA · BC = SA · SC − SB = SA · SC − SA · SB # » # » # » # » # » # » ’ = SA · SC · cos(SA, SC) − SA · SB · cos SAB ’ − SA · SB · cos ASB ’ = SA · SC · cos ASC (1) A B C ( SA chung SC = SB Ta có AB = AC ⇒ 4SAB = 4SAC (c-g-c) ⇒ (2) ’ = ASB ’ ASC ’ ’ SAB = SAC # » # » Từ (1) và (2), suy SA · BC = Vậy SA ⊥ BC Chọn đáp án D Câu 16 Cho tứ diện ABCD có AC = ’ = DAB ’ = 60◦ , CD = AD Gọi ϕ là góc AB và AD, CAB CD Chọn khẳng định đúng B ϕ = 60◦ A cos ϕ = -Lời giải C ϕ = 30◦ D cos ϕ = A C D B Th.s Nguyễn Chín Em 55 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (59) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » # » AB · CD AB · CD Ta có cos (AB, CD) = # » # » = AB · CD AB · CD # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » Mặt khác AB · CD = AB AD − AC = AB · AD − AB · AC # » # » # » # » # » # » # » # » = AB · AD · cos(AB, AD) − AB · AC · cos(AB, AC) = AB · AD · cos 60◦ − AB · AC · cos 60◦ 1 1 = AB · AD · − AB · AD · = − AB · AD = − AB · CD 2 4 − AB · CD 1 Do có cos (AB, CD) = = Vậy cos ϕ = AB · CD 4 Chọn đáp án D ’ = BAD ’ = 60◦ , CAD ’ = 90◦ Gọi I và J lần Câu 17 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC # » #» lượt là trung điểm AB và CD Hãy xác định góc cặp véc-tơ AB và IJ? A 120◦ B 90◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD A # » Ä # » # »ä IC + ID ⇒ IJ = ’ = 60◦ Tam giác ABC có AB = AC và BAC I ⇒ 4ABC ⇒ CI ⊥ AB Tương tự, ta có 4ABD nên DI ⊥ AB # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » # » Ta có IJ · AB = IC + ID · AB = IC · AB + ID · AB = 2 Ä #2 » # »ä #» # » B D ⇒ IJ ⊥ AB ⇒ AB, IJ = 90◦ J C Chọn đáp án B Câu 18 Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I, J, E, F là trung điểm AC, BC, BD, AD Góc (IE, JF ) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải IF k CD Ta có IF là đường trung bình 4ACD ⇒ A IF = CD JE k CD Lại có JE là đường trung bình 4BCD ⇒ JE = CD F ® IF = JE I ⇒ ⇒ Tứ giác IJEF là hình bình hành IF k JE IJ = AB B D Mặt khác: Mà AB = CD ⇒ IJ = JE E JE = CD J Do đó IJEF là hình thoi Suy (IE, JF ) = 90◦ C Chọn đáp án D Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên a Gọi M và N là trung điểm AD và SD Số đo góc (M N, SC) A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 56 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (60) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do ABCD√là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a ⇒ AC = 2a2 = SA2 + SC ⇒ 4SAC vuông S Từ giả thiết ta có M N là đường trung bình 4DSA # » 1# » # » # » 1# » # » ⇒ N M = SA Khi đó N M · SC = SA · SC = 2 ⇒ M N ⊥ SC ⇒ (M N, SC) = 90◦ S N M A B D C Chọn đáp án C Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a Gọi I và J là trung điểm SC và BC Số đo góc (IJ, CD) A 90◦ B 45◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải Gọi O là tâm hình thoi ABCD S OJ k CD ⇒ OJ là đường trung bình 4BCD ⇒ OJ = CD Vì CD k OJ ⇒ (IJ, CD) = (IJ, OJ) a IJ = SB = 2 a Xét tam giác IOJ, có OJ = CD = ⇒ 4IOJ 2 IO = SA = a 2 ‘ = 60◦ Vậy (IJ, CD) = (IJ, OJ) = IJO I D A O B J C Chọn đáp án D Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất các cạnh còn lại a Tính số đo góc hai đường thẳng SA và SC A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Theo giả thiết, ta có AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a Gọi O = AC ∩ BD Ta có 4CBD = 4SBD (c-c-c) Suy hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = AC Do đó tam giác SAC vuông S (tam giác có đường trung tuyến nửa cạnh đáy) Vậy SA ⊥ SC S A D O B C Chọn đáp án D # » # » Câu 22 Cho hình lập phương ABCD.EF GH có cạnh a Tính AB · EG √ √ a2 2 A a B a C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 57 √ D a2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (61) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » # » Ta có AB · EG = AB · AC # » # » # » Mặt khác AC = AB + AD # » # » # » # » # » Ä # » # »ä # »2 # » # » Suy AB · EG = AB · AC = AB AB + AD = AB + AB · AD # » # » Vì ABCD là hình vuông ⇒ AB ⊥ AD ⇔ AB · AD = # »2 # » # » ⇒ AB + AB · AD = AB + = a2 E H F G A B Chọn đáp án B D C Câu 23 Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có cạnh a Gọi M là trung điểm cạnh AD # » # » Giá trị B1 M · BD1 là √ A a2 B a2 C a2 D a2 2 -Lời giải B1 A1 C1 D1 A M B D C # » # » Ä # » # » # »ä Ä # » # » # »ä Ta có B1 M · BD1 = B1 B + BA + AM BA + AD + DD1 # » # » # » # » # » # » # » = BB1 · BA + BB1 · AD + B1 B · DD1 + BA2 | {z } | {z } =0 =0 # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » + BA · AD} + BA · DD1 + AM · BA +AM · AD + AM · DD1 | {z | {z } | {z } | {z } =0 =0 =0 a2 a2 # » # » # »2 # » # » = = B1 B · DD1 + BA + AM · AD = −a2 + a2 + 2 Chọn đáp án A =0 Câu 24 Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a Gọi M, N là trung điểm AD và BC Biết AC vuông góc với √ BD Tính M N √ √ √ a a 10 2a 3a A M N = B M N = C M N = D M N = 3 -Lời giải Gọi P là trung điểm AB ⇒ P N, P M là đường trung bình A tam giác 4ABC và 4ABD a P N = AC = 2 Suy P M P M = BD = 3a 2 a Ta có AC ⊥ BD ⇒ P N ⊥ P M hay tam giác 4P M N vuông P … √ √ 3a a2 9a2 a 10 2 Do đó M N = P N + P M = + = B D 4 N C Chọn đáp án B Câu 25 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD Mặt phẳng (P ) song song với AB và CD cắt BC, DB, AD, AC M , N , P , Q Tứ giác M N P Q là hình gì? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Tứ giác không phải hình thang -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 58 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (62) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Chương - Hình học 11 (M N P Q) k AB ⇒ M Q k AB (M N P Q) ∩ (ABC) = M Q Tương tự ta có M N k CD, N P k AB, QP k CD Do đó tứ giác M N P Q là hình bình hành Lại có M N ⊥ M Q (do AB ⊥ CD) Vậy tứ giác M N P Q là hình chữ nhật Ta có A P Q B D N M C Chọn đáp án C Câu 26 Trong không gian cho hai tam giác ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm hai mặt phẳng khác Gọi M , N , P , Q là trung điểm các cạnh AC, CB, BC và C A Tứ giác M N P Q là hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vuông D Hình thang -Lời giải Vì M , N , P , Q là trung điểm các cạnh AC, CB, BC và C0 C A P Q = M N = AB ⇒ ⇒ M N P Q là hình bình hành P Q k AB k M N Q Gọi H là trung điểm AB ® CH ⊥ AB Vì hai tam giác ABC và ABC nên P C H ⊥ AB Suy raAB ⊥ (CHC ) Do đó AB ⊥ CC A C M P Q k AB Ta có P N k CC ⇒ P Q ⊥ P N H N AB ⊥ CC Vậy tứ giác M N P Qlà hình chữ nhật B Chọn đáp án B Câu 27 Cho tứ diện ABCD đó AB = 6, CD = 3, góc AB và CD là 60◦ và điểm M trên BC cho BM = 2M C Mặt phẳng (P ) qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC M , N , Q Diện tích M N P Q √ √ √ A 2 B C D -Lời ® giải (M N P Q) k AB Ta có ⇒ M Q k AB A (M N P Q) ∩ (ABC) = M Q Tương tự ta có M N k CD, N P k AB, QP k CD Do đó tứ giác M N P Q là hình bình hành Ta có (AB, CD) = (QM, M P ) = 60◦ Suy SM N P Q = QM · QN · sin 60◦ MQ CM Ta có 4CM Q v 4CBA ⇒ = = ⇒ M Q = CB AB AQ QN 4AQN v 4ACD ⇒ = = ⇒ QN = AC CD √ √ ◦ Vậy SM N P Q = QM · QN · sin 60 = · · = P Q B N D M C Chọn đáp án C Câu 28 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = 4, CD = M là điểm thuộc cạnh BC cho M C = 2BM Mặt phẳng (P ) qua M song song với AB và CD Diện tích thiết diện P với tứ diện là Th.s Nguyễn Chín Em 59 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (63) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A Chương - Hình học 11 B C 17 D -Lời ® giải (M N P Q) k AB Ta có ⇒ M N k AB (M N P Q) ∩ (ABC) = M N Tương tự ta có M Q k CD, N P k CD, QP k AB Do đó tứ giác M N P Q là hình bình hành ÷ Ta có (AB, CD) = (M N, M Q) = N M Q = 90◦ ⇒ tứ giác M N P Q là hình chữ nhật CM MN Lại có 4CM N v 4CBA ⇒ = = ⇒ MN = ; CB AB 3 AN NP 4AN P v 4ACD ⇒ = = ⇒ M P = AC CD 16 Vậy SM N P Q = M N · N P = 16 A P Q B N D M C Chọn đáp án D Câu 29 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = M là điểm thuộc cạnh BC cho M C = xBC (0 < x < 1) Mặt phẳng (P ) song song với AB và CD cắt BC, DB, AD, AC M , N , P , Q Diện tích lớn tứ giác bao nhiêu? A B 11 C 10 D -Lời giải ® M Q k N P k AB Xét tứ giác M N P Q có A M N k P Q k CD ⇒ M N P Q là hình bình hành Mặt khác, AB ⊥ CD ⇒ M Q ⊥ M N Do đó, M N P Q là hình chữ nhật MQ CM P Vì M Q k AB nên = = x ⇒ M Q = xAB = 6x AB CB Q Theo giả thiết M C = xBC ⇒ BM = (1 − x) BC BM MN Vì M N k CD nên = =1−x B D CD BC N ⇒ M N = (1 − x) · CD = (1 − x) M Diện tích hình chữ nhật M N P Q là: C Å ã x+1−x SM N P Q = M N · M Q = 6(1 − x) · 6x = 36 · x · (1 − x) ≤ 36 = Ta có SM N P Q = x = − x ⇔ x = Vậy diện tích tứ giác M N P Q lớn M là trung điểm BC Chọn đáp án A Câu 30 Trong không gian cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M cho giá trị biểu thức P = M A2 + M B + M C đạt giá trị nhỏ A M là trọng tâm tam giác ABC B M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C M là trực tâm tam giác ABC D M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC -Lời giải # » # » # » #» Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G cố định và GA + GB + GC = Ä # » # »ä2 Ä # » # »ä2 Ä # » # »ä2 Ta có P = M G + GA + M G + GB + M G + GC # » Ä # » # » # »ä = 3M G2 + 2M G · GA + GB + GC + GA2 + GB + GC = 3M G2 + GA2 + GB + GC ≥ GA2 + GB + GC Dấu xảy ⇔ M ≡ G Vậy Pmin = GA2 + GB + GC với M ≡ G là trọng tâm tam giác ABC Th.s Nguyễn Chín Em 60 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (64) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 31 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M là trung điểm BC Tính cô-sin góc hai đường thẳng AB √ và DM √ √ 3 A B C D -Lời giải Gọi N là trung điểm AC Vì M N k AB nên cos(AB, DM ) = cos(M N, DM ) √ A a Tam giác ACD cạnh a nên DN = = DM AB a M N là đường trung bình 4ABC nên M N = = 2 Xét 4M N D, ta có √ + DM − DN N M N ÷ cos DM N= = 2M N · DM B D √ Vậy cos(AB, DM ) = M C Chọn đáp án B Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên a Gọi M và N là trung điểm AD và SD Số đo góc (M N, SC) A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải Theo giả thiết, suy M N là đường trung bình tam giác S DAS nên M N k SA, suy góc N ’ (M N, SC) = ASC √ Do AC = a suy AC = 2a2 = SA2 + SC , từ đó suy tam giác SAC vuông cân S, suy ’ = 90◦ (M N, SC) = ASC D M A O B C Chọn đáp án C Câu 33 Cho tứ diện cạnh a, M là trunng điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AB và DM√ √ √ 3 A B C D -Lời giải Kẻ M N k AB, cắt AC trung điểm N AC A Xét tam giác N M D ta có: ÷ cos N MD = = M N + M D2 − N D2 2M N · M D a2 3a2 3a2 √ + − 4 √ = a a 2· · 2 N D B M C Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 61 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (65) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 34 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai đường thẳng BA0 và CD A 90◦ B 60◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Ta có CD k AB, suy góc A0 B với CD góc A0 B với AB, A góc này 45◦ D B C A0 D0 B0 C0 Chọn đáp án D Câu 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) góc 45◦ Gọi I là trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI và SD (số đo góc làm tròn đến hàng đơn vị ) A 39◦ B 42◦ C 51◦ D 48◦ -Lời giải Gọi a ® là số đo cạnh hình vuông ABCD S DA ⊥ AB Ta có ⇒ DA ⊥ (SAB) DA ⊥ SA ’ = (SD, (SAB)) = 45◦ Suy ra®DSA CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) Ta có CD ⊥ SA A CD a D I là trung điểm CD nên IC = = 2 √ I a 2 4BCI vuông C có BI = BC +CI (định lý Pytago), suy BI = B C #» # » # » #» # » # » # » #» # » # » #» # » BI · SD (BC + CI) · SD AD · SD + CI · SD (AD + CI) · SD #» # » cos(BI, SD) = # » # » = = = BI · SD BI · SD BI · SD |BI| · |SD| √ # » # » # » # » a· √ AD · SD AD · SD · cos(AD, SD) AD · cos 45◦ 10 = = = = √ = BI · SD BI · SD BI a #» # » Suy (BI, SD) ≈ 51◦ Vậy (BI, SD) ≈ 51◦ Chọn đáp án C Câu 36 Cho hình chóp S.ABCD có SA = AB = a Góc SA và CD là A 60◦ B 30◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải Vì AB k CD nên góc SA và CD góc SA và AB S Vì SA = AB nên tam giác SAB đều, góc chúng 60◦ B A D Chọn đáp án A C Câu 37 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c Th.s Nguyễn Chín Em 62 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (66) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c C Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với đôi Nếu có đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b c D Cho hai đường thẳng a, b song song với Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (a, b) -Lời giải Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c Đây mệnh đề đúng Các mệnh đề còn lại sai Chọn đáp án B Câu 38 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với B Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với C Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng vuông góc với thì song song với đường thẳng còn lại D Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng -Lời giải Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng Đây mệnh đề đúng Các mệnh đề còn lại sai Chọn đáp án D Câu 39 Cho lăng trụ tam giác ABC.DEF có cạnh đáy a, chiều cao 2a thẳng AC và √ Tính cô-sin của√góc tạo hai đường √ √ BF 5 A B C D 10 5 10 D F E A C B -Lời giải # » # » # » # » # » # » Ta có AC = AB + BC và BF = BE + EF Khi đó # » # » # » # » # » # » AC · BF = (AB + BC) · (BE + EF ) # » # » # » # » # » # » # » # » = AB · BE + AB · EF + BC · BE + BC · EF # » # » # » # » = AB · EF + BC · EF # » # » # » # » # » = EF (AB + BC) = EF · AC Ta suy # » # » # » # » AC · BF · cos(AC, BF ) = EF · AC · cos(EF , AC) # » # » EF · cos(BC, AC) # » # » ⇔ cos(AC, BF ) = BF √ a· # » # » ⇔ cos(AC, BF ) = √ = 10 a √ Vậy cô-sin góc tạo hai đường thẳng AC và BF 10 Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 63 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (67) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Góc đường thẳng SB và CD là A 90◦ B 60◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải 4SAB vuông A có SA = AB = a nên 4SAB vuông cân A ’ = 45◦ (SB, CD) = (SB, AB) = SBA S A D B C Chọn đáp án D Câu 41 Cho hình chóp S.ABC có SA = 9a, AB = 6a Gọi M là điểm thuộc cạnh SC cho SM = M C Cô-sin góc hai đường thẳng SB và AM bao nhiêu? √ 14 19 A √ B C D √ 48 48 -Lời giải Gọi N là điểm thuộc cạnh BC cho N B = BC Khi đó, M N k ⁄ ¤ SB nên (AM, SB) = (AM, M N ) Ta có S 2 ’ = 81a + 81a − 36a = cos ASM · 9a · 9a » √ ’ = 4a AM = 81a2 + 9a2 − · 9a · 3a cos ASM M N = SB = 6a √ √ AN = 36a2 + 4a2 − · 6a · 2a · cos 60◦ = 2a M B A N I C Do đó √ + M N − AN | |AM ⁄ cos (AM, SB) = = · AM · M N 18 Chọn đáp án D Câu 42 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh Gọi ϕ là góc hợp hai đường thẳng A0 B và AC Tính cos ϕ √ √ √ 2 A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 64 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (68) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 0 0 ÷ Do A0 C k AC nên (AC, A0 B) = (A √ C , 0A 0B) = BA C Đặt AB = a 0 0 Xét 4BA C , có A B = BC = a 2, A C = a Suy √ a2 A0 B + A0 C 02 − BC 02 √ = = cos ϕ = 0 2A B · A C 2·a 2·a A0 C0 B0 C A B Chọn đáp án D Câu 43 Cho khối lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh AC, đường thẳng A0 B tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30◦ Gọi α √ là góc hai đường thẳng AB và CC Tính cos α.√ √ √ A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = -Lời giải BH = (A0 B, (ABC)) = 30◦ Suy ÷ Ta có A0 H ⊥ (ABC) nên A A0 B0 A0 H = BH · tan 30◦ = a , C0 BH = a, cos 30◦ √ p a 2 AA = AH + A H = A0 B = A B H Do đó cos α = cos(AB, AA0 ) = A0 A2 AB A0 B + − 2A0 A · AB C √ = Chọn đáp án A Câu 44 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N là trung điểm AE và BC Tính góc đường thẳng M N và BD A 60◦ B 90◦ C 45◦ D 75◦ -Lời giải Gọi O làm tâm hình vuông ABCD; Tứ giác SDAE là hình bình hành S E # » 1# » nên M A = SD Khi đó # » # » # » M N = M A + AN 1# » 1# » 1# » F M = SD + AC + AB 2 Ta có # » # » M N · BD = = = = = = Th.s Nguyễn Chín Em ã 1# » 1# » 1# » # » SD + AC + AB · BD 2 1# » # » 1# » # » 1# » # » SD · BD + AC · BD + AB · BD 2 1# » # » 1# » # » SD · BD + AB · BD 2 # » Ä # » # »ä BD · SD + AB # » Ä # » # »ä BD · SD + DC 1# » # » BD · SC D Å 65 A O C N B https://emncischool.wixsite.com/geogebra (69) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Mà ® BD ⊥ SO Chương - Hình học 11 # » # » nên BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC hay BD · SC = BD ⊥ AC # » # » Vậy M N · BD = hay (M N, BD) = 90◦ Chọn đáp án B Câu 45 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai đường thẳng BA0 và B D0 A 45◦ B 90◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải Do BD k B D0 nên góc hai đường thẳng BA0 và B D0 góc C B hai đường thẳng BA0 và BD Do ABCD.A0 B C D0 là hình lập phương nên ∆A0 BC là tam giác BD = 60◦ ÷ Khi đó góc A A D Vậy góc hai đường thẳng BA0 và B D0 60◦ C0 B0 A0 D0 Chọn đáp án D Câu 46 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với B Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại C Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại D Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với -Lời giải Đương nhiên “một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại ” Chọn đáp án C Câu 47 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c Khẳng định nào sau đây đúng? A Nếu a k b và c ⊥ a thì c ⊥ b B Nếu góc a và c góc b và c thì a k b C Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a k b D Nếu a và b cùng nằm mặt phẳng (α) k c thì góc a và c góc b và c -Lời giải Xét hình lập phương ABCD.A0 B C D0 A B D C A0 B0 D0 C0 ¤ , AA0 ) = Mệnh đề: “Nếu góc a và c góc b và c thì a k b” là mệnh đề sai Ví dụ (AD ¤ , AA0 ) = 45◦ mà AB không song song với AD (AB Th.s Nguyễn Chín Em 66 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (70) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Mệnh đề: “Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a k b” là mệnh đề sai Ví dụ AB ⊥ AA0 và AB ⊥ A0 D0 mà AB không song song với A0 D0 Mệnh đề: “Nếu a và b cùng nằm mặt phẳng (α) k c thì góc a và c góc b và c” là mệnh đề sai Ví dụ AB và BC cùng nằm mặt phẳng (ABCD) k B C Nhưng góc BC với B C 0◦ , góc AB và B C 90◦ Vậy mệnh đề đúng “Nếu a k b và c ⊥ a thì c ⊥ b” Chọn đáp án A Câu 48 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 (tham khảo hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng AC và BD0 D0 A0 C0 B0 D A 30◦ B 90◦ -Lời ® giải AC ⊥ BD Ta có ⇒ AC ⊥ (BDD0 B ) AC ⊥ DD0 Mà BD0 ⊂ (BDD0 B ) nên AC ⊥ BD0 Vậy (AC, BD0 ) = 90◦ A D 45◦ C 60◦ C B D0 A0 C0 B0 D A Chọn đáp án B C B # » # » Câu 49 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD Góc hai véc tơ AD và BC là A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Vì AB ⊥ CD và AC ⊥ BD nên ta suy Ä # » # »ä Ä # » # »ä # » # » AD · BC = AB + BD · BD + DC # » # » # » # » # » # » # » = AB · BD + AB · DC + BD2 + BD · DC # » # » # » # » # » = AB · BD + + BD2 + BD · DC Ä # » # »ä # » # » # » # » = AC + CB · BD + BD2 + BD · DC # » # » # » # » # » # » # » = AC · BD + CB · BD + BD2 + BD · DC # » # » # » # » # » = + CB · BD + BD2 + BD · DC Ä # » # » # » # »ä # » = CB · BD + BD · DC + BD2 Ä # » # »ä # » # » = CB + DC · BD + BD2 # » # » # » = DB · BD + BD2 # » # » = −BD2 + BD2 = Ä # » # »ä # » # » Suy AD ⊥ BC ⇒ AD, BC = 90◦ Chọn đáp án D Câu 50 Th.s Nguyễn Chín Em 67 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (71) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’ = DAB ’ = 60◦ , CD = AD Cho tứ diện ABCD với AC = AD, CAB Gọi ϕ là góc hai đường thẳng AB và CD Chọn khẳng định đúng góc ϕ A cos ϕ = B ϕ = 30◦ C ϕ = 60◦ D cos ϕ = 4 A B D C -Lời giải Đặt AB = a và AD = 2x với a, x > ⇒ AC = 3x, CD = 2x Ta có # » # » AB · CD # » # » cos(AB, CD) = AB · CD # » # » # » AB · (AD − AC) = a · 2x # » # » # » # » AB · AD − AB · AC = 2ax AB · AD · cos 60◦ − AB · AC cos 60◦ = 2ax 1 a · 2x · − a · 3x · 2 = 2ax = − A a 2x 3x B D C 1 # » # » Vì cos(AB, CD) = cos(AB, CD) = hay cos ϕ = 4 Chọn đáp án D Câu 51 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.M N P có tất các cạnh Gọi I là trung điểm cạnh M P Cô-sin góc hai đường thẳng BP và N I √ √ √ √ 15 6 10 A B C D 4 -Lời giải Giả sử tất các cạnh a Hình lăng trụ tam giác là hình lăng trụ M I P đứng có đáy là tam giác nên BN ⊥ (M N P ) # » # » Å ã BP · N I Ä ä # » # » ÿ ◊ Ta có cos BP, N I = cos BP , N I = N BP · N I √ √ a Mặt khác BP = a 2, N I = , # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » # » A C BP · N I = N P − N B · N I = N P · N I − N B · N I √ a 3a2 ’ = N P · N I · cos P NI − = a · · cos 30◦ = B 3a2 √ Ä ä √ = ◊ Vậy cos BP, NI = √ a a 2· Chọn đáp án B Câu 52 Th.s Nguyễn Chín Em 68 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (72) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 (hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng AC và A0 D A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ A0 B0 D0 C0 A B D C -Lời giải C = 60◦ (vì A0 D = A0 C = C D) ÷ Ta có (AC, A0 D) = (A0 C , A0 D) = DA Chọn đáp án C Câu 53 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh AB, AD, C D0 Tính √ cosin góc hai√đường thẳng M N và CP 10 15 A D √ B C √ 5 10 10 -Lời giải Giả sử độ dài cạnh hình lập phương là a F C B Ta có E M Ä # » # »ä Ä # » # »ä # » # » M N · CP = AN − AM · CC + C P N Ä # » # »ä # » A D = AN − AM · C P 1# » 1# » # » # » = −AM · C P = − AB · CD0 = AB 2 Do đó cos(M N ; CP ) = = = C0 B0 # » # » |M N · CP | M N · CP a √4 √ a ·a 2 √ 10 P A0 D0 Chọn đáp án C Câu 54 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC Gọi M là trung điểm BC Góc hai đường thẳng OM và AB A 90◦ B 30◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải √ Đặt OA = OB = OC = a, suy AB = AC = BC = a √ A a Gọi N là trung điểm AC, ta có M N k AB và M N = Suy (OM, AB) = (OM, M N ) √ a Xét tam giác OM N có ON = OM = M N = nên tam giác OM N N ÷ Vậy (OM, AB) = (OM, M N ) = OM N = 60◦ O B M C Th.s Nguyễn Chín Em 69 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (73) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu 55 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a Gọi M và N là trung điểm AD và BC Xác định độ dài đoạn thẳng M N để góc hai đường thẳng AB và M N 30◦ √ √ a a a a A M N = B M N = C M N = D M N = 2 -Lời giải Gọi P là trung điểm AC 1 Khi đó P M = CD = AB = P N 2 Ta có tam giác P M N cân P Lại có góc AB và M N 30◦ nên góc M N và P N 30◦ Do đó tam giác P M N là tam giác cân có góc đỉnh 120◦ √ √ a Ta có P N = M N ⇒ M N = A M P B D N C Chọn đáp án B Câu 56 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh AB, AD và C D0 Tính cosin góc hai đường √ thẳng M N và CP √ 10 15 A B C √ D √ 5 10 10 A0 D0 C0 P B0 A N D M B C -Lời giải Có # » # » # » Ä # » # »ä # » # » Ä # » # »ä # » M N · CP = M N CC + C P = M N · C P = AN − AM · C P 1# » 1# » 1 # » # » = −AM · C P = − AB · CD = AB = a2 2 4 √ √ √ 02 Có M N = BD = a và CP = CC + C P = a 2 2 # » # » a M N · CP Vậy cos (M N, CP ) = = √4 √ = √ M N · CP 10 a ·a 2 Chọn đáp án C Câu 57 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc hai đường thẳng AB và A0 D A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 70 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (74) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có A0 D k B C nên góc AB và A0 D là góc AB và B C Vì tam giác AB C nên (AB , B C) = 60◦ Vậy (AB , A0 D) = 60◦ B0 C0 D0 A0 B C A D Chọn đáp án C Câu 58 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai đường thẳng AC và A0 D A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 90◦ -Lời giải Gọi a (a > 0) là độ dài cạnh √ hình lập phương 0 Ta có AC = B C = AB = a Nên tam giác AB C là tam giác Do A0 D song song với B C nên góc hai đường thẳng AC và A0 D góc AC và B C và 60◦ D0 A0 B0 C0 D A B C Chọn đáp án B ’ = 40◦ Số đo góc hai Câu 59 Cho hình lăng trụ ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình chữ nhật và CAD 0 đường thẳng AC và B D là A 40◦ B 20◦ C 50◦ D 80◦ -Lời giải Ta có (AC, B D0 ) = (AC, BD) (do BD k B D0 ) Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, ta có tam giác IAD ’ = IDA ’ = 40◦ cân I và IAD Suy ’ = 180◦ − 40◦ − 40◦ = 100◦ AID A B I D C Do đó (AC, BD) = 180◦ − 100◦ = 80◦ A0 D0 Chọn đáp án D B0 C0 Câu 60 Cho tứ diện ABCD có AC = 3a, BD = 4a Gọi M , N là trung điểm AD và BC Biết AC vuông góc với BD Tính độ dài đoạn M N √ √ 5a 7a 7a 5a A M N = B M N = C M N = D M N = 2 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 71 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (75) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi P là trung điểm AB ÿ Ÿ ÷ ⇒ (AC, BD) = (P M, P N ) = N P… M = 90◦ √ AC BD2 5a Suy M N = P N + P M = + = 4 A P M D B N C Chọn đáp án D Câu 61 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2; cạnh SA = và vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm CD Tính cos α với α là góc tạo hai đường thẳng SB và AM 2 A B − C D 5 S D A M B -Lời giải Gọi N , P là trung điểm SA và AB Ta thấy N P k SB, P C k AM Do đó α √ là góc tạo hai đường thẳng N P và P C √ SB Ta có N P = = , P C = AM = 2 … √ √ 33 2 N C = N A + AC = +8= 33 +5− + P C2 − N C2 N P 4 = −2 ’ √ = Suy cos N PC = √ · NP · PC 5 2· · 2 Vậy cos α = Chọn đáp án A C S N D A M P B C Câu 62 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc hai đường thẳng AC và A0 B A 60◦ B 45◦ C 75◦ D 90◦ -Lời giải Do A0 BCD0 là hình bình hành nên A0 B k D0 C D0 ◦ 0 0 ÿ ÿ ÷ ⇒ (AC, A B) = (AC, D C) = ACD = 60 (Do tam giác D AC đều) A0 C0 B0 D A Chọn đáp án A C B Câu 63 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, O là trung điểm AC và SO = b.√Gọi (∆) là a 14 đường thẳng qua C, (∆) chứa mặt phẳng (ABCD) và khoảng cách từ O đến (∆) là Giá trị lượng giác cos ((SA), (∆)) 2a a 2a a A √ B √ C √ D √ 4b2 − 2a2 2a2 + 4b2 2a2 + 4b2 4b2 − 2a2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 72 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (76) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Từ A kẻ (∆0 ) k (∆) Từ O kẻ ® (d) ⊥ (∆) cắt (∆) và (∆ ) H, K AK ⊥ OK Ta có AK ⊥ SO ⇒ AK ⊥ (SOK) ⇒ AK ⊥ SK Ta √ (∆)) = cos ((SA), (∆ )) cos ((SA), 2 SA = 4b + 2a Ta có AK = a AK 2a Vậy cos ((SA), (∆)) = = √ SA 2a2 + 4b2 S (∆0 ) K A D O B (∆) C H Chọn đáp án C Câu 64 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có I, J tương ứng là trung điểm BC, BB Góc hai đường thẳng AC, IJ A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 120◦ -Lời giải Ta có IJ k B C nên suy (AC, IJ) = (AC, B C) A B C D là hình lập phương (đặt AB = a) nên ta có B C = Vì ABCD.A0 B√ I AC = AB = a Suy tam giác AB C nên (AC, B C) = 60◦ ÿ ⁄ C, AC) = 60◦ C Vậy (AC, IJ) = (B D J A0 B0 D0 C0 Chọn đáp án B Câu 65 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt phẳng (SAD) ⊥ (ABCD), tam giác SAD Góc BC và SA là A 90◦ B 45◦ C 60◦ D 30◦ -Lời giải ’ = 60◦ Vì AD k BC nên (BC, SA) = (AD, SA) = SAD S A B Chọn đáp án C D H C Câu 66 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có đáy là tam giác cạnh a, AA0 = 2a Gọi α là góc AB và BC Tính cos α √ √ 51 39 A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = 10 10 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 73 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (77) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ √ √ Ta có AB = AB + BB 02 = a 5, BC = BC + CC 02 = a Xét # » # » # » # » # » # » # » # » # » AB · BC = (AB + BB )(BB + B C ) = AB · B C + BB 02 7a2 # » # » = −BA · BC + BB 02 = A0 B0 C A # » # » 7a2 Suy cos(AB , BC ) = · = 5a 10 # »0 # »0 Vậy cos α = cos(AB , BC ) = 10 B C Chọn đáp án D Câu 67 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc hai đường thẳng AC và A0 B A 60◦ B 75◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải 0C ÷ Ta có AC k A0 C , đó (AC, A0 B) = (A0 C , A0 B) = BA A0 0 0 0 Lại có A B = BC = A C nên 4BA C là tam giác C = 60◦ ÷ Vậy (AC, A0 B) = BA B0 C0 D0 A B D C Chọn đáp án A Câu 68 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M là trung điểm DD0 (tham khảo hình vẽ bên) Tính cô-sin góc hai đường thẳng B C và C M √ 2 1 A B √ C √ D 10 A0 B0 D0 M C0 A B D -Lời giải Gọi N là trung điểm CC , suy C M k DN Khi đó, góc hai đường thẳng B C và C M chính là góc hai đường thẳng A0 D và DN √ 0 0 Giả sử hình √ lập phương ABCD.A B C D có cạnh là a Ta có A D = a 2, a 3a DN = , AN = 2 Khi đó, áp dụng định lí cô-sin tam giác A0 DN , ta có DA02 + DN − A0 N DN = ÷ cos A =√ · A D · DN 10 C A0 B0 D0 M C0 A N D Chọn đáp án B B C Câu 69 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai đường thẳng AC và DA0 A 60◦ B 45◦ C 90◦ D 120◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 74 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (78) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ⁄ ⁄ ÷0 Ta có (AC, DA0 ) = (AC, CB ) = ACB √ Xét 4ACB có AC = CB = AB = AB Do đó 4ACB là tam giác ⁄ ÷0 = 60◦ hay (AC, Vậy ACB DA0 ) = 60◦ B A C D B0 A0 D0 C0 Chọn đáp án A Câu 70 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 , gọi M là trung điểm B C Góc hai đường thẳng AM và BC A 45◦ B 90◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải AM ÷ Ta có BC k AD0 nên (AM, BC ) = (AM, AD0 ) = D A0 B0 B C D0 Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương ABCD.A √ √ C0 M Hình vuông ADD0 A0 có AD0 = AA0 = a D0 M là trung điểm B C nên M C = M B = a √ √ A B a 0 0 02 02 4D C M vuông C có D M = D C + M C = D C √ 3a 4AB M vuông B có AM = AB 02 + M B 02 = √ AD02 + AM − D0 M AM = ÷ = 4AM D0 có cos D · AD · AM AM = 45◦ ÷ Vậy (AM, BC ) = (AM, AD0 ) = D Chọn đáp án A Câu 71 Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh a Các điểm M , N là trung điểm các cạnh AB và CD Tính góc đường thẳng M N với đường thẳng BC A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 35◦ -Lời giải Gọi P là trung điểm AC Ta có P N k AD và P M k BC Vì AD ⊥ BC nên P N ⊥ P M D a Mặt khác P N = P M = Do đó ∆M N P là tam giác vuông cân P Góc M N và BC góc M N và P M và góc ÷ N M P = 45◦ N M A B P C Chọn đáp án A Câu 72 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = a và AA0 = AB và BC A 90◦ B 30◦ C 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 75 √ 2a Góc hai đường thẳng D 45◦ https://emncischool.wixsite.com/geogebra (79) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A0 C0 P B0 N A C M E B Gọi M , N , P , E là trung điểm các đoạn thẳng AB, BB , B C , BC Suy M N k AB và N P k BC Khi đó (AB 0√ , BC ) = (M N, N P ) √ a a Ta có M N = AB = , N P = BC = 2 2 Ä √ ä2 a 2 9a2 = Xét tam giác P M E vuông E có M P = P E + M E = a + Theo định lý côsin tam giác M N P , ta có ÷ cos M NP = MN2 NP2 MP2 + − · MN · NP 3a2 3a2 9a2 + − = √4 √ = − a a 2· · 2 ÷ Suy M N P = 120◦ Vậy góc hai đường thẳng AB và BC 60◦ Chọn đáp án C ’ = BAD ’ = 60◦ Xác định góc hai đường Câu 73 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC thẳng AB và CD A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Ta có: A # » Ä # » # »ä # » # » Ä # » # »ä AB · AD − AC AB · CD cos AB, CD = = AB · CD AB · CD # » # » # » # » AB · AD − AB · AC = AB · CD AB · AD · cos 60◦ − AB · AC · cos 60◦ = =0 B D AB · CD Ä # » # »ä ⇒ AB, CD = 90◦ C Vậy góc hai đường thẳng AB và CD là 90◦ Chọn đáp án D Câu 74 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc hai đường thẳng AC và A0 B A 60◦ B 75◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 76 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (80) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 0C ÷ Ta có AC k A0 C , đó (AC, A0 B) = (A0 C , A0 B) = BA 0 0 0 Lại có A B = BC = A C nên 4BA C là tam giác C = 60◦ ÷ Vậy (AC, A0 B) = BA A0 B0 D0 C0 A B D C Chọn đáp án A Câu 75 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M là trung điểm DD0 (tham khảo hình vẽ bên) Tính cô-sin góc hai đường thẳng B C và C M √ 2 1 A B √ C √ D 10 A0 D0 B0 C0 M A B D -Lời giải Gọi N là trung điểm CC , suy C M k DN Khi đó, góc hai đường thẳng B C và C M chính là góc hai đường thẳng A0 D và DN √ B C D có cạnh là a Ta có A0 D = a 2, Giả sử hình lập phương ABCD.A √ 3a a , AN = DN = 2 Khi đó, áp dụng định lí cô-sin tam giác A0 DN , ta có DA02 + DN − A0 N DN = ÷ cos A =√ · A0 D · DN 10 C A0 B0 D0 C0 M A N B D C Chọn đáp án B Câu 76 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai đường thẳng AC và DA0 A 60◦ B 45◦ C 90◦ D 120◦ -Lời giải ⁄ ⁄ ÷0 Ta có (AC, DA0 ) = (AC, CB ) = ACB A √ 0 Xét 4ACB có AC = CB = AB = AB Do đó 4ACB là tam giác ⁄ ÷0 = 60◦ hay (AC, Vậy ACB DA0 ) = 60◦ C D B0 A0 D0 Chọn đáp án A B C0 Câu 77 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 , gọi M là trung điểm B C Góc hai đường thẳng AM và BC A 45◦ B 90◦ C 30◦ D 60◦ Th.s Nguyễn Chín Em 77 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (81) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải AM ÷ Ta có BC k AD0 nên (AM, BC ) = (AM, AD0 ) = D 0 0 Gọi a là độ dài cạnh hình lập √ phương √ ABCD.A B C D 0 0 Hình vuông ADD A có AD = AA = a M là trung điểm B C nên M C = M B = a √ √ a 0 0 02 02 4D C M vuông C có D M = D C + M C = A0 B0 C0 D0 A M B D C √ 3a 4AB M vuông B có AM = AB 02 + M B 02 = √ AD02 + AM − D0 M 2 AM = ÷ 4AM D0 có cos D = · AD0 · AM AM = 45◦ ÷ Vậy (AM, BC ) = (AM, AD0 ) = D Chọn đáp án A Câu 78 Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh a Các điểm M , N là trung điểm các cạnh AB và CD Tính góc đường thẳng M N với đường thẳng BC A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 35◦ -Lời giải Gọi P là trung điểm AC Ta có P N k AD và P M k BC Vì AD ⊥ BC nên P N ⊥ P M D a Mặt khác P N = P M = Do đó ∆M N P là tam giác vuông cân P Góc M N và BC góc M N và P M và góc ÷ N M P = 45◦ N M A B P C Chọn đáp án A Câu 79 Cho tứ diện gần ABCD, biết AB = CD = 5, AC = BD = góc√tạo hai đường thẳng AB và CD 24 B C A 25 25 -Lời giải Gọi M, N, I là trung điểm BC, AD, AC Ta có ∆ABC = ∆DCB (c.c.c) ⇒ AM = DM ⇒ M N ⊥ AD AB + AC BC 49 Lại có AM = − = 4… √ 49 34 5 Suy M N = AM − AN = − = và N I = , M I = 2 Ta có (AB, CD) = (IM, IB) = α Trong tam giác IM N , ta có √ 34, AD = BC = D ’ cos M IN = IN MN2 + − 2IM · IN =− 25 ’ ’ Suy α = 180◦ − M IN nên cos α = − cos M IN = 25 Å ã 24 Vậy sin α = − − = 25 25 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 41 Tính sin A N I B IM √ D M C 78 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (82) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 80 Cho tứ diện ABCD có BD vuông góc AB và CD Gọi P và Q là trung điểm các cạnh CD và AB thỏa mãn BD : CD : P Q : AB = : : : Gọi ϕ là góc hai đường thẳng AB và CD Giá trị cos ϕ 11 A B C D 16 -Lời giải Do AB vuông góc với BD, nên AB nằm mặt phẳng (α) chứa AB D P C và vuông góc với BD Dựng hình chữ nhật BDP R, thì góc hai đường thẳng AB và CD là góc hai đường thẳng AB và BR Ta có |BQ2 + BR2 − QR2 | |9 + − 16| cos ϕ = = = 2BQ · BR 2·3·2 B R Q A Chọn đáp án D Câu 81 Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân C Các điểm M , N , P , Q là trung điểm AB, AC, BC, CD Góc M N và P Q A 0◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải Ta có M N là đường trung bình tam giác ABC nên M N k BC, đó A (M N, P Q) = (BC, P Q) Mặt khác P Q là đường trung bình tam giác vuông cân BCD suy (BC, P Q) = 45◦ Do đó (M N, P Q) = 45◦ M N B D P Q C Chọn đáp án C Câu 82 Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân C Các điểm M , N , P , Q là trung điểm AB, AC, BC, CD Góc M N và P Q A 0◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải Ta có M N là đường trung bình tam giác ABC nên M N k BC, đó A (M N, P Q) = (BC, P Q) Mặt khác P Q là đường trung bình tam giác vuông cân BCD suy (BC, P Q) = 45◦ Do đó (M N, P Q) = 45◦ M N B D P Q C Chọn đáp án C Câu 83 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A AD ⊥ SC B SA ⊥ BD C SO ⊥ BD D SC ⊥ BD Th.s Nguyễn Chín Em 79 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (83) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Nếu AD ⊥ SC thì AD ⊥ (SAC) Ta dễ dàng phủ nhận điều này lẽ AD không vuông góc với AC S B C O A D Chọn đáp án A Câu 84 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính số đo góc ϕ hai đường thẳng BC và B D0 A ϕ = 60◦ B ϕ = 90◦ C ϕ = 30◦ D ϕ = 45◦ -Lời giải BD ÷ Ta có BD k B D0 ⇒ (BC , B D0 ) = (BC ,√ BD) = C A0 D0 Xét 4BC D có BC = C D = BD = a nên 4BC D BD = 60◦ ÷ Suy C Vậy (BC , B D0 ) = 60◦ B0 C0 A D B C Chọn đáp án A Câu 85 Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I, J, E, F là trung điểm AC, BC, BD, AD Góc IE và JF A 30◦ B 45◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải Ta có IJ k AB và EF k AB nên IJ k EF Tương tự JE k IF nên tứ giác A IJEF là hình bình hành AB CD Vì AB = CD nên IJ = = = JE Do đó IJEF là hình thoi, suy 2 ◦ IE ⊥ JF Hay (IE, JF ) = 90 F I B E D J C Chọn đáp án C ÷ Câu 86 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P là trung điểm AB, BC, CD Biết M N P = 120◦ Góc hai đường thẳng AC và BD A 60◦ B 45◦ C 120◦ D 30◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 80 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (84) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì M, N là trung điểm BA, BC nên M N k AC Vì P, N là trung điểm CD, BC nên N P k CD Do đó (AC, BD) = (M N, N P ) = 180◦ − 120◦ = 60◦ A M C P N D B Chọn đáp án A √ Câu 87 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật Biết AB = a 2, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) √ và SA = a Góc hai đường thẳng SC và AB A 30◦ B 90◦ C 45◦ D 60◦ -Lời giải Góc hai đường thẳng SC và AB góc hai đường thẳng SC và CD Ta có √ √ AC = AB + BC = a √ √ SC = SA2 + AC = 2a √ √ SD = SA2 + AD2 = a S A SC + CD2 − SD2 8a2 + 2a2 − 6a2 √ √ = = · SC · CD 2 · 2a · a Vậy góc SC và AB 60◦ D ’= Khi đó cos SCD C B √ a CD ’ = √ = Cách khác: Có thể chứng minh 4SCD vuông D Khi đó cos SCD = SC 2a Chọn đáp án D Câu 88.√ Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C độ dài cạnh bên là 2a, đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu A0 lên (ABC) trùng với trung điểm I BC Khi đó cos(AA0 , B C ) là √ √ 1 B C D A 2 -Lời giải Ta có cos(AA0 , B C ) = cos(II , B C ) Ta có II = 2a; BI = a √ √ Xét ∆A0 IA vuông I: A0 I = AA02 − AI = a √ Suy B I = A0 I + A0 B 02 = 2a a2 + (2a)2 − (2a)2 Vậy cos(AA0 , B C ) = |cos(B I I)| = = 2a · 2a C0 A0 B0 A I0 C I B Chọn đáp án C Câu 89 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có cạnh đáy 2a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC √ a Cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BGC ) Cosin góc hai đường thẳng B G và BC A √ B √ C √ D √ 39 39 39 39 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 81 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (85) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ⁄ ¤ C , B G) Ta có B C k BC ⇒ (BC, B G) = (B Gọi ® M là trung điểm AC, ta có BM ⊥ AC ⇒ BM ⊥ (ACC A0 ) BM ⊥ AA0 Vẽ ® CE ⊥ CM E, ta có CE ⊥ CM A0 B0 C0 CE ⊥ BM (do BM ⊥ (ACC A0 )) √ a ⇒ CE ⊥ (BGC ) ⇒ CE = 4M CC vuông C có CE ⊥ C M √ 1 + = ⇒ CC = a ⇒ 02 CM CC CE E A B G M C √ √ 2a Lại có BM = a nên BG = √ √ a 39 0 02 4BB G vuông B ⇒ B G = BG + BB = √3 √ a 39 4CC G vuông C ⇒ C G = CG2 + CC 02 = 02 02 02 C B + GB − GC ⁄ 0B0G = ÷ Vậy cos C = √ = cos (BC, B G) 0 2C B · GB 39 Chọn đáp án C Câu 90 Cho tứ diện ABCD có AB vuông √ góc với mặt phẳng (BCD) Biết tam giác √ a BCD vuông C và AB = , AC = a 2, CD = a Gọi E là trung điểm AC (tham khảo hình vẽ bên) Góc đường thẳng AB và DE A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 90◦ A E B D C -Lời giải Gọi H là trung điểm BC Vì AB k HE suy góc AB và DE ÷ góc HE và DE √ DEH √ √ AB 2a a Ta có HE = = , DH = HC + CD2 = 4 √ ÷ = DH = ⇒ DEH ÷ = 60◦ Khi đó tan DEH HE A E B D H C Chọn đáp án B Câu 91 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 , góc hai đường thẳng AB và BC A 60◦ B 45◦ C 90◦ D 30◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 82 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (86) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 AD ÷ Ta có BC k AD0 nên (AB , BC ) = (AB , AD0 ) = B AD = 60◦ ÷ Do tam giác B AD0 nên B D0 A0 B0 C0 D A B C Chọn đáp án A Câu 92 √Cho tứ diện ABCD gọi M , N là trung điểm BC và AD Biết AB = CD = a, a MN = Tính góc hai đường thẳng AB và CD ◦ A 30 B 90◦ C 60◦ D 120◦ -Lời giải Gọi I là trung điểm BD, đó ta có IN k AB và IM k CD nên D ⁄ Ÿ (AB, CD) = (IM, IN ) Xét tam giác M IN theo định lý hàm số côsin ta có ’ M N = IM + IN − · IM · IN · cos M IN (∗) N a Do giả thiết ta có M I = IN = thay vào (∗) đó I 3a2 a2 a2 a a ’ ’ = + − · · · cos M IN ⇔ cos M IN = − 4 2 A C ’ ’ ’ Vì 0◦ < M IN < 180◦ nên cos M IN = − suy M IN = 120◦ Ÿ ⁄ Do đó (IM, IN ) = 60◦ hay (AB, CD) = 60◦ M B Chọn đáp án C Câu 93 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2; cạnh SA = và vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm CD Tính cos α với α là góc tạo hai đường thẳng SB và AM 2 A B − C D 5 S D A M B -Lời giải Gọi N , P là trung điểm SA và AB Ta thấy N P k SB, P C k AM Do đó α √ là góc tạo hai đường thẳng N P và P C √ SB Ta có N P = = , P C = AM = 2 … √ √ 33 2 N C = N A + AC = +8= 33 +5− + P C2 − N C2 N P = −2 ’ Suy cos N PC = = √ · NP · PC 5 √ 2· · 2 Vậy cos α = Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 83 C S N D A M P B C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (87) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 94 Cho hình chóp S.ABC có SA = 9a, AB = 6a Gọi M là điểm thuộc cạnh SC cho SM = M C Cô-sin góc hai đường thẳng SB và AM √ 19 14 A C B √ D √ 48 48 -Lời giải Gọi N là trung điểm M C, I là trung điểm AC và K thuộc cạnh BC cho CK = 2a CN CK 1 Ta có = = ⇒ SB k N K và N K = SB = SA = 3a SC BC 3 ® AM k N I ’ Khi đó ⇒ (SB, AM ) = (N I, N K) = IN K SB k N K 2 ’ = CA + CS − SA = Ta có cos SCA · CA · CS » √ 2 ’ = 2a Suy IN = √ CN + CI − · CN · CI · cos SCA √ Lại có IK = CI + CK − · CI · CK · cos 60◦ = a N I + N K − IK 14 ’ Dẫn tới cos IN K= = √ · NI · NK 48 S M 9a N A I C K 6a B Chọn đáp án D Câu 95 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc hai đường thẳng A0 B và AD0 A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Ta có AD0 k BC BC ÷ ⇒ (A0 B, AD0 ) = (A0 B, BC ) = A 0 BC = 60◦ ÷ Vì tam giác ∆A BC nên suy A ⇒ (A0 B, AD0 ) = 60◦ D A B C D0 A0 B0 C0 Chọn đáp án A Câu 96 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA vuông góc với mặt đáy ABCD Hỏi góc hai đường thẳng SA và BC là bao nhiêu độ? A 135◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải Do AD k BC nên (SA, BC) = (SA, AD) = 90◦ S B A D Chọn đáp án C C Câu 97 Th.s Nguyễn Chín Em 84 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (88) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC Gọi M là trung điểm BC (tham khảo hình vẽ) Góc hai đường thẳng OM và AB A 90◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦ A O B M C -Lời giải Gọi N là trung điểm AC ⇒ M N = AC A ⁄ ¤ và (OM, AB) = (OM, M N ) Do các tam giác OAC, OBC vuông O BC AC nên OM = ; ON = 2 Do OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC nên AB = AC = BC ¤ ⇒ OM = ON = M N ⇒ (OM, M N ) = 60◦ Vậy góc hai đường thẳng OM và AB 60◦ N O B M C Chọn đáp án D √ Câu 98 Cho tứ diện ABCD có SC = CA = AB = a 2, SC ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông A, các điểm M thuộc SA, N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) Tìm t để M N ngắn √ 3a 3a 2a A t = B t = C t = D t = a 3 -Lời giải Theo giả thiết, có SA = 2a, BC = 2a Vì < t < 2a suy S MA t t # » CN t t # » # » # » = ⇒ MA = SA; = ⇒ CN = CB SA 2a 2a CB 2a 2a # » # » # » Đặt #» x = CA; #» y = CB; #» z = CS Ta có #» x · #» z = #» y · #» z = 0, #» x · #» y = 2a2 M t # » # » t # » # » # » # » # » # » Vì M N = M A + AC + CN nên M N = SA − CA + CB 2a 2a Từ đó Å ã t t #» t #» # » − · #» x+ ·y − · z MN = 2a 2a 2a N C B A # » Vậy M N = M N = Å t −1 2a ã2 t2 t2 Å ã t t −1 · · 2a2 = 3t2 − 4at + 2a2 2a 2a 2a Từ đó, suy M N nhỏ và M N nhỏ và t = Chọn đáp án B · 2a2 + 4a2 · 4a2 + 4a2 · 2a2 + Câu 99 Th.s Nguyễn Chín Em 85 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (89) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm CD Cosin góc hai đường thẳng AC và BM√bằng √ √ √ 3 A B C D A D B M C -Lời giải Gọi N là trung điểm AD, ta có M N k AC Do đó ta có A ÿ ÷ (AC, BM ) = BM N N Do M , N là trung điểm CD và AD nên ta có √ a a BM = BN = ; MN = 2 D B M Suy √ + M N − BN BM ÷ = cos BM N= 2BM · M N Chọn đáp án C C Câu 100 Cho tứ diện ABCD gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AD Gọi α là góc tạo BM và CN Giá trị cos α 2 B C D A 7 -Lời giải Gọi cạnh tứ diện√đều ABCD là a D Ta có BM = CN = a # » # » # » # » # » # » CN · BM = (CA + CD) · (CM − CB) N # » # » # » # » # » # » # » # » = (CA · CM + CD · CM − CA · CB − CD · CB) 2Å ã a2 a2 a2 a2 M = + − − A 2 2 C a2 =− # » # » CN · BM # » # » cos α = cos(CN , BM ) = = BM · CN B Chọn đáp án D Câu 101 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 (tham khảo hình vẽ bên) có AD = a, BD = 2a Góc hai đường thẳng A0 C và BD là A 60◦ B 120◦ C 90◦ D 30◦ C0 B0 A0 D0 C B A D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 86 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (90) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có AC k A0 C nên góc hai đường thẳng A0 C và BD chính là góc hai đường thẳng AC và BD Gọi O là giao điểm AC và BD Khi đó tam giác AOB cạnh ’ = 60◦ a nên AOB ’ = 60◦ Vậy (A0 C , BD) = (AC, BD) = AOB B C O A D Chọn đáp án A Câu 102 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), 4ABC vuông A Góc đường thẳng AB và SC 3π π π π B C D A 4 -Lời giải Từ SA ⊥ (ABC) suy SA ⊥ AB S Từ AB ⊥ SA và AB ⊥ AC suy AB ⊥ SC π Như vậy, góc đường thẳng AB và SC A C B Chọn đáp án D Câu 103 Cho tứ diện ABCD có AD = 14, BC = Gọi M , N là trung điểm các cạnh AC, BD Gọi thẳng BC và M N Biết M N = 8, tính sin α √ α là góc hai đường√ √ 2 A B C D 2 -Lời giải ÷ Gọi P là trung điểm CD ta có M P = 7, N P = và α√= M NP A 2 NP + NM − MP Do đó cos α = = nên sin α = 2M N · N P 2 M B C N P D Chọn đáp án B Câu 104 √ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = a và AA0 = 2a Góc hai đường thẳng AB và BC A 30◦ B 90◦ C 45◦ D 60◦ A C B A0 C0 B0 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 87 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (91) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi I, H là trung điểm AB và A0 C Khi đó IH là đường trung bình 4A0 BC nên√IH k BC ⇒ (AB , BC ) = (AB , IH) √ a 3a Ta có AB = a 3, B H = , AH = nên B H + HA2 = AB , hay 2 4HAB vuông √ H AB a IH = = ⇒ ∆B IH đều, suy 2 IH = 60◦ ’ (AB , BC ) = (AB , IH) = B A C B I A0 H C0 B0 Chọn đáp án D Câu 105 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và S, SA vuông góc √ với mặt 3a phẳng đáy Tính cô-sin góc đường thẳng SD và BC biết AD = DC = a,AB = 2a, SA = 3 A √ B √ C √ D √ 42 42 42 42 -Lời giải S M A D B C • Gọi M là trung điểm AB, ta có DM k BC Do đó (BC,√SD) = (DM, SD) 4a2 7a2 a • Ta có SD2 = SA2 + AD2 = + a2 = ⇒ SD = √ 3 √ 2 4a 7a a SM = SA2 + AM = + a2 = ⇒ SM = √ 3 √3 2 2 2 DM = AM + AD = a + a = 2a ⇒ DM = a 2 7a2 − 7a + 2a 2 = √3 = √3 ÷ = DS + DM − SM = √ • Ta có cos SDM · DS · DM 7a √ 14 42 2· ·a Chọn đáp án C Câu 106 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB Góc hai đường thẳng AM và BD A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 88 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (92) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Lấy N là trung điểm SD, suy M N k BD, dẫn tới (AM, BD) = ÷ (AM, M N ) = AM N √ √ SB a a Vì SA ⊥ AB ⇒ AM = = Tương tự AN = 2 Lại có M√N là đường trung bình 4SBD nên ta có M N = BD a ÷ = Suy 4AM N là tam giác đều, nên AM N = 60◦ 2 S N M A D B C Chọn đáp án B Câu 107 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cân AB = √ ’ = 120◦ , cạnh bên AA0 = a Tính góc hai đường thẳng AB AC = a, BAC và BC (tham khảo hình vẽ bên) A 90◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦ A0 C0 B0 A C B -Lời giải Dựng AP cho song song và với CB hình vẽ Suy (BC, AB ) = √ (AP, AB ) Ta có AP = CB √ = a √ = Ta lại có AB B B +√ AB = a 3; √ B P = B B + P B = a Vậy 4AP B nên (BC, AB ) = (AP, AB ) = 60◦ A0 C0 B0 A C P B Chọn đáp án D Câu 108 Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm cạnh CD (tham khảo hình vẽ), ϕ √ là góc hai đường thẳng AM và √ BC Giá trị cos ϕ 3 A B √6 √4 2 C D A D B M C -Lời giải Giả sử cạnh tứ diện a Ta có: # »# » # » # » # » # » # » # » # » CB.AM = CB · (CM − CA) = CB · CM − CB · CA ÷ − CB · CA · cos ACB ’ = −a = CB · CM · cos ACM Th.s Nguyễn Chín Em 89 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (93) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ # » # » Ä # » # »ä BC · AM cos ϕ = cos BC, AM = = BC · AM Chọn đáp án A ’ = 120◦ Tính tích vô hướng Câu 109 Cho tứ diện ABCD biết AB = AD = BD = a, AC = 2a và CAD # » # » BC · AD −1 −3 A a2 B a2 C a D a 2 2 -Lời giải Theo giả thiết tam giác ABD là tam giác A Ta có Ä # » # »ä # » 12 # » # » 0◦ BC · AD = AC − AB · AD # » # » # » # » = AC · AD − AB · AD = AC · AD · cos 120◦ − AB · AD · cos 60◦ −3 = a B C D Chọn đáp án D Câu 110 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Góc hai đường thẳng a và b góc hai đường thẳng a và c thì b song song với c B Góc hai đường thẳng góc hai véc-tơ phương hai đường thẳng đó C Góc hai đường thẳng là góc nhọn D Góc hai đường thẳng a và b góc hai đường thẳng a và c b song song trùng với c -Lời giải Góc hai đường thẳng a và b góc hai đường thẳng a và c thì b k c là phát biểu sai vì b có thể trùng với c Góc hai đường thẳng góc hai véc-tơ phương hai đường thẳng đó là phát biểu sai vì góc hai đường thẳng thuộc [0◦ ; 90◦ ] còn góc hai véc-tơ thuộc [0◦ ; 180◦ ] Góc hai đường thẳng là góc nhọn là phát biểu sai vì góc hai đường thẳng có thể 90◦ Chọn đáp án D √ a Câu 111 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (I, J là trung điểm BC và AD) Số đo góc hai đường thẳng AB và CD là A 90◦ B 30◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải Gọi K là trung điểm cạnh AC, ta suy IK k AB và KJ k CD D Khi đó ta có : ‘ cos (AB, CD) = cos (KI, KJ) = cos IKJ = = KI + KJ − IJ 2KI · KJ a a2 3a2 + − 4 =1 a a 2· · 2 J A C K I Vậy (AB, CD) = 60◦ B Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 90 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (94) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 112 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc √ với mặt phẳng (BCD) Biết tam √ a giác BCD vuông C và AB = , AC = a 2, CD = a Gọi E là trung điểm AD (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng AB và CE A 45◦ B 60◦ ◦ C 30 D 90◦ A E B D C -Lời giải Gọi H là trung điểm BD Khi đó EH k AB và EH ⊥ (BCD) ’ Góc AB và CE √ góc EH và EC và √ HEC √ a a , BC = AC − AB = , Ta có EH = AB = √ 2(CB + CD2 ) − BD2 3a2 a CH = = ⇒ CH = 4 √ √ ’ = CH = a ÷ a = nên HEC ’ = 45◦ Vì tan HEC EH 4 Vậy góc AB và CE 45◦ A E B D H C Chọn đáp án A Câu 113 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc A0 C và D0 C là A 120◦ B 45◦ C 60◦ -Lời giải Ta có A0 C k AC nên D A0 C , D0 C = D0 C, AC D 90◦ C B A CA = 60◦ , đó ÷ Dễ thấy tam giác ACD0 là tam giác nên D A0 C , D0 C = D0 C, AC = 60◦ C0 D0 Chọn đáp án C B0 A0 Câu 114 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA = SB = 3a, AB = 2a Gọi ϕ là # » # » góc hai véc-tơ CD và AS Tính cos ϕ 7 1 A cos ϕ = − B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = − 9 3 -Lời giải Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä # » # » ’ Mà Ta có CD = BA nên cos CD, AS = cos BA, AS = − cos AB, AS = − cos SAB ’= cos SAB Ä # » # »ä SA2 + AB − SB 1 = ⇒ cos CD, AS = − · SA · AB 3 Chọn đáp án D Câu 115 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.M N P có tất các cạnh Gọi I là trung điểm cạnh √ AC Cô-sin góc giữa√hai đường thẳng N C và BI √ √ 10 15 A B C D 4 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 91 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (95) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi E là trung điểm M P ⇒ N E k BI Suy góc đường thẳng N C và BI góc hai đường ’ thẳng N C và N E Do đó góc cần tính là CN E Đặt a là chiều dài cạnh hình lăng trụ Ta có: √ N C = a (đường chéo hình vuông CBN P ) √ a NE = (đường cao 4M N P đều) … √ √ a2 a 2 CE = CP + P E = a + = M N E P A B I C Áp dụng định lý cos tam giác CN E ta có ’ cos CN E= N C2 N E2 + − 2N C · N E CE Chọn đáp án C 3a2 5a2 √ − √ = √ a 2·a 2· 2a2 + = Câu 116 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có cạnh đáy a Biết AB ⊥ BC , tính độ dài cạnh bên lăng trụ theo a √ √ √ B a C a D 2a A 2a 2 -Lời giải Ta có A0 C0 # » # » # » # » # » # » AB · BC = (AB + BB ) · (BB + B C ) B0 # »02 # » # »0 = BB + AB · B C # » # » # » = BB 02 + AB · BC = BB 02 − a2 A C √ # »0 # »0 a Mà AB · BC = nên BB = B Chọn đáp án B Câu 117 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a Gọi M là trung điểm SB Góc AM và BD A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải Cách Ta S # » # »có Ä # » # »ä # » # » # » 2AM · BD = AS + AB BD = AB · BD √ √ a·a 2 ◦ = AB · BD · cos 135 = − = −a2 Từ đó a2 M # » # » − Ä # » # »ä AM · BD cos AM ; BD = = √ AM · BD a √ D ·a A Ä # » # »ä = − ⇒ AM ; BD = 120◦ B C ◦ Vậy góc AM và BD 60 Cách Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O trùng A, các tia Ox, Oy, Oz trùng với các tia AB, AD, AS Không tính tổng quát, giả sử a = Khi đó ta có tọa độ các điểm A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), Th.s Nguyễn Chín Em 92 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (96) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ã Å ã 1 1 # » # » S(0; 0; 1), M Từ đó AM = , BD = (−1; 1; 0) Và ; 0; ; 0; 2 2 1 # » # » (−1) + · + · AM · BD Ä # » # »ä 2 cos (AM ; BD) = cos AM ; BD = # » # » = … = 1 √ AM · BD +0+ · 1+1+0 4 ⇒ (AM ; BD) = 60◦ Å Chọn đáp án D Câu 118 Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a Gọi I và J là trung điểm SC và BC Số đo góc (IJ, CD) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải 4SBC có IJ là đường trung bình ⇒ IJ k SB Ta có AB k CD ’ = 60◦ Suy (IJ; CD) = (SB; AB) = SBA S I A B D J C Chọn đáp án B Câu 119 Cho tứ √ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm các cạnh BC và AD Biết AB = CD = 2a, M N = a Tính góc hai đường thẳng AB và CD A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 30◦ -Lời giải Gọi P là trung điểm AC ⇒ M P k AB, M P = AB = a và N P k CD, N P = CD = a (AB, CD) = (P M, P N ) PM2 + PN2 − MN2 a2 + a2 − 3a2 ÷ Ta có cos M PN = = =− 2P M · P N 2a2 ◦ ◦ ÷ Từ đó suy M P N = 120 ⇒ (AB, CD) = 60 A N P B D M C Chọn đáp án C Câu 120 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy AB = a, AC = 2a, SA = a Tính góc SD và BC A 30◦ B 90◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 93 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (97) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’ Ta có AD k BC ⇒ (SD, BC) = (SD, √ AD) = SDA √ Xét ∆SDA vuông A có AD = AC − AB = a ’ = SA = √1 ⇒ tan SDA AD ◦ ’ = 30 ⇒ SDA S A D B C Chọn đáp án A Câu 121 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có mặt đáy là tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên và mặt đáy 60◦ Gọi ϕ là góc hai đường thẳng AC và BB Tính cos ϕ 1 2 A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = -Lời giải Ta có A0 H ⊥ (ABC) ⇒ AH là hình chiếu AA0 lên mặt phẳng (ABC) AH = 60◦ ÷ ⇒ (AA0 ; (ABC)) = (AA0 ; AH) = A AC = ϕ ’ Ta có: AA0 k BB ⇒ (AC; BB ) = (AC;√AA0 ) = A √ ◦ Có AH √ = a ⇒ A H =√AH tan 60 = a 3; AA = AH + A0 H = 2a; CH = a ⇒ A0 C = a AA0 + AC − A0 C 4a2 + 4a2 − 6a2 AC = ’ Xét ∆A0 AC, ta có: cos A = = 2AA0 · AC · 2a · 2a C0 A0 B0 A C H B Chọn đáp án A Câu 122 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D, cạnh AB = 2a, AD = DC = a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Góc hai đường thẳng SD và BC A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 120◦ -Lời giải Trong hình thang vuông ABCD ta kẻ DE k BC với E là trung điểm AB ÿ SD; ÿ ’ Suy DE = SDE ( SD; BC = √ DE = CD = a ’ = 60◦ √ ⇒ ∆SDEđều ⇒ SDE SE = SD = a Vậy góc hai đường thẳng SD và BC 60◦ S E A D Chọn đáp án C B C Câu 123 Th.s Nguyễn Chín Em 94 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (98) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng AC và A0 D A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ B0 A0 D0 C0 B A D C -Lời giải Ta có: AC k A0 C ⇒ (AC, A0 D) = √ (A0 C , A0 D) Mặt khác: A0 C = A0 D = DC = a nên suy 4A0 DC Do đó (A0 C , A0 D) = 60◦ B0 A0 60◦ D0 C0 B A D C Chọn đáp án C Câu 124 Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC (tham khảo hình vẽ bên) Giá trị cô-sin góc hai đường thẳng AB và DM √ √ √ 3 A B C D 2 A B D M C -Lời giải Gọi N là trung điểm AC Gọi I là ® trung điểm M N M N k AB Ta có ⇒ (AB, DM ) = (M N, DM ) DI ⊥ M N ’ Do vậy, DM ) = cos(M N, DM ) = cos IM D cos(AB,√ √ DM = ’ ⇒ cos IM Ta có D= M I = a A N I B D M C Chọn đáp án A Câu 125 Th.s Nguyễn Chín Em 95 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (99) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M là trung điểm DD0 (tham khảo hình vẽ bên) Tính cô-sin góc hai đường thẳng B C và C M √ 1 2 C √ D A B √ 10 A0 D0 M B0 C0 A B D C -Lời giải Gọi N là trung điểm CC , suy C M k DN Khi đó, góc hai đường thẳng B C và C M chính là góc hai đường thẳng A0 D và DN √ 0 0 Giả sử hình √ lập phương ABCD.A B C D có cạnh là a Ta có A D = a 2, a 3a DN = , AN = 2 Khi đó, áp dụng định lí cô-sin tam giác A0 DN , ta có A0 D0 M DA02 + DN − A0 N DN = ÷ cos A =√ · A D · DN 10 B0 C0 A N B D C Chọn đáp án B Câu 126 Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm cạnh BC Khi đó cos (AB, DM ) √ √ √ 3 B C D A 2 -Lời giải Giả sử AB = a và gọi N là trung √ điểm AC, đó a a M N k AB và DM = DN = ; MN = 2 + M N − DN M D MN2 ÷ Ta có cos DM N = = = √ = · M D · M N · M D · M N √ √ Vậy cos (AB, DM ) = A N C D M B Chọn đáp án B Câu 127 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính số đo góc tạo hai đường thẳng BD và B C ? A 90◦ B 60◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 96 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (100) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A0 D0 B0 C0 A D B C Ta có B C k BC ⇒ (BD, B C ) = (BD, BC) = 45◦ Chọn đáp án D √ Câu 128 Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = AB = AC = a, BC = a Tính số đo góc tạo hai đường thẳng OC và AB? A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 15◦ -Lời giải O A C H B Gọi H là trung điểm BC, dễ thấy các tam giác ABC, A, O và OH ⊥ (ABC) √ OBC vuông cân a a # » # » # » # » # » # » # » Ta có AB · OC = AB · (HC − HO) = AB · HC = a · · cos 135◦ = − 2 # » # » AB · OC cos(AB, OC) = = ⇒ (AB, OC) = 60◦ AB · OC Chọn đáp án A Câu 129 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Gọi M là trung điểm SC Tính cos ϕ với ϕ là góc hai đường thẳng BM và AC √ √ √ √ 6 6 A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = 12 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 97 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (101) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là tâm hình vuông ABCD, đó SH ⊥ (ABCD) # » # » # » 1# » 1# » # » # » # » Ta có BM = HM −HB = HS+ HC−HB, AC = 2HC và HC ⊥ HB, 2 AC a2 # » # » HC ⊥ SH nên AC · BM = HC = = √ a Vì tam giác SBC cạnh a và BM là trung tuyến nên BM = 2 a # » # » Ä # » # »ä AC · BM √ = √1 > Khi đó cos AC; BM = = √ a AC · BM a 2· √ Ä # » # »ä Do vậy, cos ϕ = cos AC; BM = Chọn đáp án A S M A B H D C a Câu 130 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy ABC là tam giác cạnh a và SA = a Gọi M là trung điểm cạnh SB Tính góc hai đường thẳng SA và CM A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 30◦ -Lời giải Gọi N là trung điểm√AB Vì tam giác ABC nên S a CN ⊥ AB, CN = Do M là trung điểm SB nên M N là đường trung bình 4SAB a ÿ ÷ M ⇒ M N k SA và M N = ⇒ (SA, CM ) = CM N √ CN A ÷ ÷ Xét tam giác CM N có tan CM N= = ⇒ CM N = 60◦ C NM N B Chọn đáp án C #» Câu 131 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ #» a và b tạo với góc 120◦ và #» #» a+ b | #» a | = 2, b = Tính #» √ √ √ #» #» #» #» A #» a + b = B #» a + b = C #» a + b = D #» a + b = -Lời giải Ä #»ä #» Ä #»ä2 #» #» #» Ta có #» a + b = #» a + b = #» a + b + #» a b = #» a + b + 2| #» a | · |b| cos #» a , b = 12 √ #» ⇒ #» a + b = Chọn đáp án C Câu 132 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai đường thẳng A0 C và BD A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Ta có: A0 (A0 C , BD) = (A0 C , B D0 ) = 90◦ B0 C0 A B Chọn đáp án D D0 D C ’ = 45◦ Tính góc hai Câu 133 Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC = AC = AB = a, ABC đường thẳng AB và DC A 120◦ B 60◦ C 30◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 98 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (102) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ◦ ’ Do √ ∆ABC cân A mà ABC = 45 nên ∆ABC vuông cân A, BC = a ⇒ ∆BCD vuông cân D # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » # » Ta có: AB· DC = DB − DA · DC = DB· DC − DA· DC = −a·a·cos 600 = − a2 # » # » AB · DC = ⇒ (AB, DC) = 60◦ Do đó: cos (AB, DC) = AB · DC A B D C Chọn đáp án B Câu 134 Cho tứ diện ABCD Tính góc hai đường thẳng AB và CD A 60◦ B 90◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm CD, ta có A ® CD ⊥ AM ⇒ CD ⊥ AB CD ⊥ BM Vậy (AB, CD) = 90◦ B D M C Chọn đáp án B Câu 135 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có cạnh a, chiều cao b Biết góc ◦ , hãy tính b theo a hai đường thẳng AC và A0 B 60√ √ A b = 2a B b = a C b = 2a D b = a 2 -Lời giải Lấy M , N , P , Q là trung điểm các cạnh AB, AA0 , A0 C , C A A0 B , suy M N , N P , P Q và M Q là đường trung bình M các tam giác ABA0 , AA0 C , A0 B C và hình chữ nhật ABB A0 Từ đó suy B M N k= A0 B N N P k= AC (1) 0 a PQ = B C = 2 A0 M Q k= BB P C0 Q B0 ( MN = NP , từ đó suy 4M N P là tam cân N và ÷ (AC , A0 B) = (M N, N P ) ⇒ M N P = 120◦ p √ 0B √ 3(a2 + b2 ) A ◦ ÷ M N P = 120 , suy M P = M N = = Kết hợp với BB ⊥ (A0 B C ), từ (1) suy 2 M Q ⊥ (A0 B C ) ⇒ M Q ⊥ P Q suy tam giác M P Q vuông Q Từ đó ta có Từ (1) suy b2 = M Q2 = M P − P Q2 = √ 3a2 + 3b2 a2 2a2 + 3b2 − = ⇒ b2 = 2a2 ⇒ b = a 4 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 99 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (103) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 136 Tứ diện ABCD cạnh a, M là trung điểm cạnh CD Cô-sin góc AM và BD là √ √ √ √ 3 A B C D 3 -Lời giải Gọi N là trung điểm BC Do M N k BD nên góc AM và BD ÷ góc AM và M N Suy góc cần tìm là góc AM N Ta có M A2 + M N − AN 2M A · M N Ç √ å2 Ç √ å2 a a a + − 2 √ = a a 2· · 2 √ = A ÷ cos AM N= D B M N C Chọn đáp án A Câu 137 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M và C M bao nhiêu? √ C A B là trung điểm CD Côsin góc AC √ D 10 10 -Lời giải 0 0 Giả sử hình lập phương ABCD.A cạnh Ä # » #B»Cä D Äcó # » # »ä # » #0 » AB + AD · C C + CM Ta có AC · C M = Ç # »å Ä # » # »ä # »0 AB AB a2 AB + AD · −AA − =− = − (*) 2 … √ √ a2 0 2 AC = a 2, C M = C C + CM = a2 + √ # » # »4 Ä # » # »ä AC ·C M a Từ (*) suy cos AC, C M = AC · C M a2 √ − √ = 10 √ a 10 a 2· a = A0 D0 C0 B0 = = A D M B Chọn đáp án D C Câu 138 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có cạnh đáy 1, cạnh bên Gọi C1 là trung điểm CC Tính côsin góc hai đường thẳng BC1 và A0 B √ √ √ √ 2 2 A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 100 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (104) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ÷ A0 B k AB ⇒ (BC1 , A0 B ) = (BC1 , AB) = ABC √ ÷ Tam giác ABC1 có AB = 1; AC1 = BC √ = và cos ABC1 = 2 AB + BC1 − AC1 ÷1 = ⇔ cos ABC 2AB · BC1 A0 C0 B0 C1 A C B Chọn đáp án B ’ = 60◦ , BAD ’ = 90◦ , DAC ’ = 120◦ Tính Câu 139 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 1, BAC côsin góc tạo hai đường thẳng AG và CD, đó G là trọng tâm tam giác BCD 1 1 A √ C D √ B 6 -Lời giải *4ABC ⇒ BC = A *4ACD √ cân A có √ 120◦ = CD = AC + AD2 − 2AC.AD cos√ *4ABD vuông cân A có BD = *4BCD có CD2 = BC + BD2 ⇒ 4BCD vuông B Dựng đường thẳng d qua G và song song CD, cắt BC, BD M , N N ⁄ ⁄ B D Ta có M G k CD ⇒ (AG, CD) = (AG, M G) I M G C Gọi I là trung điểm BC, xét 4BDI vuông B có DI = √ BD2 + BI = Å ã2 2+ = 2 IM MG IG 1 BC = = = ⇒ IM = · IC = · = ; IC CD ID 3 √ 1 M G = · CD = ; IG = · ID = 3 sÇ √ å Å ã2 √ 2 Xét 4AIM vuông I có AM = AI + IM = + Ç √ å2 Å ã2 3 √ √ + − 12 2 2 AI + ID − AD ’= √ = · cos AID = = 2AI · ID 3 2· · sÇ √ 2å Å ã √ √ √ » 3 3 2 ’ AG = AI + IG − 2AI · IG · cos AID = + −2· · · = 2 2 Ta có 2 ÷ = AG + GM − AM Xét 4AM G có cos(AG, M G) = cos AGM · AG · GM Ç √ å2 Ç √ å2 Ç √ å2 3 + − 3 √ √ = = 3 2· · 3 Th.s Nguyễn Chín Em 101 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (105) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C # » # » Câu 140 Cho hình lập phương ABCD.EF GH Tính góc hai véc-tơ AF và EG A 0◦ B 60◦ C 90◦ D 30◦ -Lời giải Ä # » # »ä # » # » # » # » ’ Vì EG = AC nên (EG, AF ) = AC, AF = F AC = 60◦ (tam giác E F AC đều) H F G A D B C Chọn đáp án B Câu 141 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, C D0 Xác định góc hai đường thẳng M N và AP A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Do AC song song với M N nên góc hai đường thẳng M N và AP B0 A0 góc hai đường thẳng AC và AP √ √ a 3a Tính P C = ; AP = ; AC = a P 2 D0 C0 Áp dụng định lý cosin cho 4ACP ta có 9a2 √ − 5a + 2a 2 AP + AC − P C 4 ’= cos CAP = = 3a √ 2AP · AC M B 2· ·a A ’ = 45◦ ⇒ CAP N Vậy góc hai đường thẳng M N và AP 45◦ D C Chọn đáp án D Câu 142 Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ∆? A B C Vô số D -Lời giải Qua điểm O có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆ Chọn đáp án C # » # » Câu 143 Cho tứ diện ABCD.√Tích vô hướng AB · CD a3 a2 A a2 B C D − 2 -Lời giải # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » Ta có AB · CD = AB AD − AC = AB · AD − AB · AC D # » # » ◦ ◦ ⇒ AB · CD = a · a · cos 60 − a · a cos 60 = A C B Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 102 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (106) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ Câu 144 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a = cm, cạnh bên SC vuông góc với đáy và SC = cm Gọi M, N là trung điểm AB, BC Góc SN và CM là A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải √ Ta tính CM = Vẽ N K k CM và K ∈ AC S Do N là trung điểm BC nên K là trung điểm BM √ Ta có N K = CM = √ √ Xét 4SCN vuông C, ta có SN = SC + CN = √ 1 C Do K là trung điểm BM nên BK = KM = BM = BA = A √ √ Xét 4CM B vuông M , ta có CK = √ CM + M K = √ 26 N Trong 4SCK vuông C Ta có SK = SC + CK = 30 M Áp dụng định lý hàm cos 4SN K ta có K √ SN + KN − SK 2 ÿ ’ B = cos (SN, CM ) = | cos (SN K)| = · SN · KN ÿ ⇒ SN, CM = 45◦ Chọn đáp án A Câu 145 Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính cô-sin góc hai đường thẳng AB và CI với I là trung điểm √ AD √ √ 3 A B C D -Lời giải Gọi M là trung điểm BD Khi đó M I k AB nên góc AB và CI là A ’ góc M I và CI là√CIM a a , MI = Ta có CI = CM = 2 I a2 √ 2 ’ = IC + IM − CM = √ cos CIM = · IC · IM a a 2· · M 2 B D C Chọn đáp án A Câu 146 √ Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi M, N là trung điểm BC, AD Biết M N = a Tính góc hai đường thẳng AB và CD A 120◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải # » # » # » Ta có AB + DC = 2N M A # » # » ⇒ AB + CD2 + 2AB · DC = 4M N # » # » ⇒ AB · DC = 4a2 N # » # » Ä # » # »ä AB Ä # » # »ä · DC Suy cos AB, DC = = ⇒ AB, DC = 60◦ AB · CD Vậy (AB, CD) = 60◦ B D M C Chọn đáp án D Câu 147 Trong không gian, tìm mệnh đề sai các mệnh đề sau: A Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với B Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thì song song với C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với Th.s Nguyễn Chín Em 103 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (107) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Mệnh đề: "Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với nhau" là sai, vì hai đường thẳng đó chưa đồng phẳng Chọn đáp án D Câu 148 Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm cạnh BC Khi đó cos (AB, DM ) √ √ √ 3 A B C D 2 -Lời giải A # » # » # » DM = (DB + DC) # » # » # » # » = (AB − AD + AC − AD) 1# » # » 1# » = AB − AD + AC 2 # » # » # »2 # » # » # » # » AB · DM = AB − AB · AD + AB · AC 2 1 ◦ = a − a · a · cos 60 + a · a · cos 60◦ = a2 2 √ Ä # » # »ä a cos AB; DM = a2 ⇒a· √ √ Ä # » # »ä 3 ⇔ cos AB; DM = ⇔ cos (AB; DM ) = 6 D B M C Chọn đáp án A Câu 149 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Gọi I là điểm thuộc cạnh AB cho AI = x, < x < a Tìm x theo a để góc hai đường thẳng DI và AC 60◦ √ √ √ A x = 2a B x = (4 − 13)a C x = a D x = (4 − 15)a -Lời giải √ √ √ Ta có DI = AD2 + AI = a2 + x2 , AC = a # » #» # » # » # » #» # » AC · DI = (AA0 + AB + AD)(AI − AD) # » # » # »2 = AB · AI − AD = ax − a2 (vì AA0 ⊥ (ABCD) và AB ⊥ AD) # » #» |AC · DI| ◦ = √ |ax − a | √ cos(AC , DI) = ⇔ cos 60 AC · DI x2 + a2 · a p 2 2 ⇔ 3(a2 + x2 ) = 2|x − a| " ⇔ 3a +√3x = 4(x − 2ax + a ) x = (4 − 15)a ⇔ x2 − 8ax + a2 = ⇔ √ x = (4 + 15)a √ Do < x < a nên x = (4 − 15)a A0 D0 B0 C0 A D I B C Chọn đáp án D √ a Câu 150 Cho tứ diện ABCD, gọi M , N là trung điểm BC và AD Biết AB = CD = a, M N = Tính góc hai đường thẳng AB và CD A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 104 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (108) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A N P B D M C Gọi P là trung điểm AC Ta có M P , N P là đường trung bình các tam giác 4ABC, tam a giác 4ACD nên suy M P = N P = và góc AB, CD là góc M P và N P MP2 + NP2 − MN2 ÷ ÷ = − suy M P N = 120◦ Do đó Trong tam giác 4M N P ta có cos M PN = 2M P · N P góc AB và CD 60◦ Chọn đáp án C Câu 151 Cho √ hình chóp S.ABC có SA = BC = 2a Gọi M , N là trung điểm AB và SC, biết M N = a Tính số đo góc hai đường thẳng SA và BC A 30◦ B 150◦ C 60◦ D 120◦ -Lời giải Gọi ® I là trung điểm cạnh AC Ta có S IN k SA Ÿ Ÿ ⇒ (SA, BC) = (IN, IM ) IM k BC Xét tam giác IM N , có IM + IN − M N ’ 2a N cos M IN = 2IM · IN √ 2a2 − 3a2 a Ÿ ’ = =− ⇒M IN = 120◦ ⇒ (SA, BC) = 60◦ 2a A C I M 2a B Chọn đáp án C Câu 152 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M, N là trung điểm AD, BB Côsin góc hợp√bởi M N và AC là √ √ √ A B C D 3 -Lời giải Ta có M A D # » # » # » M N = M B + BN Ä # » # »ä # »0 B C = DB + AB + BB 2 Ä # » # » # » # »0 ä = DA + DC + AB + BB N A0 D0 Ä # » # » # »0 ä = 2AB − AD + AA B0 C0 # » # » # » # » # » # » AC = AA0 + A0 C = AA0 + AB + AD Th.s Nguyễn Chín Em 105 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (109) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ä # » # » 1Ä Do đó: M N · AC = 2AB − AD2 + AA0 = AB # » # »0 Ä # » # »ä M Ä # » # »ä N · AC # » # »0 0 Mặt khác: M N · AC = M N · AC · cos M N , AC ⇔ cos M N , AC = M N · AC √ … … √ 1 2 02 2 2 Lại có: M N = BN + BM = AA + AB + AM = AA + AB + AD = AB 4 √ √ √ + AD = AB Và AC = AA02 + AC = AA02 + AB√ √ Ä # » # »ä 2 AB √ ⇒ cos M N , AC = = Hay cos (M N, AC ) = √ 3 AB · AB Chọn đáp án B Câu 153 Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm cạnh BC Khi đó cos(AB, DM ) √ √ √ 3 A B C D 2 -Lời giải A N B D M C Gọi N là trung điểm AC Ta có cos(AB, DM ) = cos(M N, DM ) = |M N M D2 + − 2M N.M D N D2 | √ a2 √ = = a a 2· · 2 Chọn đáp án A Câu 154 Tính số đo góc hai đường thẳng AC và BD tứ diện ABCD A 90◦ B 30◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải Gọi I là tâm tam giác ABC ⇒ DI ⊥ (ABC) Gọi M®là trung điểm AC AC ⊥ BM Ta có ⇒ AC ⊥ (M BD) AC ⊥ DI (do DI ⊥ (ABC)) Khi đó AC ⊥ BD Vậy (AC, BD) = 90◦ D C B M I A Chọn đáp án A Câu 155 Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân C Các điểm M, N, P, Q là trung điểm AB, AC, BC, CD Góc M N và P Q bằng: A 0◦ B 60◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 106 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (110) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì M N là đường trung bình tam giác ABC nên M N k BC Vì P Q là đường trung bình tam giác BCD nên P Q k BD Suy ra: (M N, P Q) = (BC, BD) ’ = 45◦ Vì tam giác BCD vuông cân C nên CBD ’ = 45◦ Suy ra: (BC, BD) = CBD ◦ Vậy (M N, P Q) = 45 A M N B D P Q C Chọn đáp án D Câu 156 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M là trung điểm BC Tính cô-sin góc hai đường √ thẳng AB và DM √ √ 3 A B C D -Lời giải Gọi N là trung điểm AC Vì M N k AB nên cos(AB, DM ) = cos(M N, DM ) √ A a = DM Tam giác ACD cạnh a nên DN = a AB = M N là đường trung bình 4ABC nên M N = 2 Xét 4M N D, ta có √ N M N + DM − DN ÷ cos DM N = = 2M N · DM B D √ Vậy cos(AB, DM ) = M C Chọn đáp án B Câu 157 Cho tứ diện cạnh a, M là trunng điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AB và √ DM √ √ 3 B C D A -Lời giải Kẻ M N k AB, cắt AC trung điểm N AC A Xét tam giác N M D ta có: ÷ cos N MD = = M N + M D2 − N D2 2M N · M D a2 3a2 3a2 √ + − 4 √ = a a 2· · 2 N D B M C Chọn đáp án B Câu 158 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai đường thẳng BA0 và CD A 90◦ B 60◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 107 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (111) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có CD k AB, suy góc A0 B với CD góc A0 B với AB, góc này 45◦ A B D C A0 D0 B0 C0 Chọn đáp án D Câu 159 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) góc 45◦ Gọi I là trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI và SD (số đo góc làm tròn đến hàng đơn vị ) A 39◦ B 42◦ C 51◦ D 48◦ -Lời giải Gọi a ® là số đo cạnh hình vuông ABCD S DA ⊥ AB Ta có ⇒ DA ⊥ (SAB) DA ⊥ SA ’ = (SD, (SAB)) = 45◦ Suy ra®DSA CD ⊥ AD Ta có ⇒ CD ⊥ (SAD) CD ⊥ SA A CD a D I là trung điểm CD nên IC = = 2 √ I a 2 4BCI vuông C có BI = BC +CI (định lý Pytago), suy BI = B C #» # » # » # » #» # » # » #» # » # » #» # » BI · SD AD · SD + CI · SD (BC + CI) · SD (AD + CI) · SD #» # » cos(BI, SD) = # » # » = = = BI · SD BI · SD BI · SD |BI| · |SD| √ # » # » # » # » a· √ AD · SD AD · SD · cos(AD, SD) AD · cos 45◦ 10 = = = = √ = BI · SD BI · SD BI a #» # » Suy (BI, SD) ≈ 51◦ Vậy (BI, SD) ≈ 51◦ Chọn đáp án C Câu 160 Cho hình chóp S.ABCD có SA = AB = a Góc SA và CD là A 60◦ B 30◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải Vì AB k CD nên góc SA và CD góc SA và AB S Vì SA = AB nên tam giác SAB đều, góc chúng 60◦ B A D Chọn đáp án A C Câu 161 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c Th.s Nguyễn Chín Em 108 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (112) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 C Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với đôi Nếu có đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b c D Cho hai đường thẳng a, b song song với Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (a, b) -Lời giải Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c Đây mệnh đề đúng Các mệnh đề còn lại sai Chọn đáp án B Câu 162 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với B Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với C Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng vuông góc với thì song song với đường thẳng còn lại D Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng -Lời giải Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng Đây mệnh đề đúng Các mệnh đề còn lại sai Chọn đáp án D Câu 163 Cho lăng trụ tam giác ABC.DEF có cạnh đáy a, chiều cao 2a thẳng AC và √ Tính cô-sin của√góc tạo hai đường √ √ BF 5 A B C D 10 5 10 D F E A C B -Lời giải # » # » # » # » # » # » Ta có AC = AB + BC và BF = BE + EF Khi đó # » # » # » # » # » # » AC · BF = (AB + BC) · (BE + EF ) # » # » # » # » # » # » # » # » = AB · BE + AB · EF + BC · BE + BC · EF # » # » # » # » = AB · EF + BC · EF # » # » # » # » # » = EF (AB + BC) = EF · AC Ta suy # » # » # » # » AC · BF · cos(AC, BF ) = EF · AC · cos(EF , AC) # » # » EF · cos(BC, AC) # » # » ⇔ cos(AC, BF ) = BF √ a· # » # » ⇔ cos(AC, BF ) = √ = 10 a √ Vậy cô-sin góc tạo hai đường thẳng AC và BF 10 Chọn đáp án A Câu 164 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Góc đường thẳng SB và CD là Th.s Nguyễn Chín Em 109 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (113) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A 90◦ Chương - Hình học 11 B 60◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải 4SAB vuông A có SA = AB = a nên 4SAB vuông cân A ’ = 45◦ (SB, CD) = (SB, AB) = SBA S A D B C Chọn đáp án D Câu 165 Cho hình chóp S.ABC có SA = 9a, AB = 6a Gọi M là điểm thuộc cạnh SC cho SM = M C Cô-sin góc hai đường thẳng SB và AM bao nhiêu? √ 14 19 A √ C D √ B 48 48 -Lời giải Gọi N là điểm thuộc cạnh BC cho N B = BC Khi đó, M N k ⁄ ¤ SB nên (AM, SB) = (AM, M N ) Ta có ’ = cos ASM S 81a2 + 81a2 − 36a2 = · 9a · 9a M » √ ’ = 4a AM = 81a2 + 9a2 − · 9a · 3a cos ASM M N = SB = 6a √ √ AN = 36a2 + 4a2 − · 6a · 2a · cos 60◦ = 2a A B N I C Do đó √ |AM + M N − AN | ⁄ cos (AM, SB) = = · AM · M N 18 Chọn đáp án D Câu 166 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh Gọi ϕ là góc hợp hai đường thẳng A0 B và AC Tính cos ϕ √ √ √ 2 A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 110 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (114) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 0 0 ÷ Do A0 C k AC nên (AC, A0 B) = (A √ C , 0A 0B) = BA C Đặt AB = a 0 0 Xét 4BA C , có A B = BC = a 2, A C = a Suy √ a2 A0 B + A0 C 02 − BC 02 √ = = cos ϕ = 0 2A B · A C 2·a 2·a A0 C0 B0 C A B Chọn đáp án D Câu 167 Cho khối lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh AC, đường thẳng A0 B tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30◦ Gọi α là góc hai đường thẳng AB và CC Tính cos α √ √ √ √ A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = -Lời giải BH = (A0 B, (ABC)) = 30◦ Suy ÷ Ta có A0 H ⊥ (ABC) nên A 0 A A0 H = BH · tan 30◦ = B a , C0 BH = a, cos 30◦ √ p a AA = AH + A0 H = A0 B = A B H Do đó cos α = cos(AB, AA0 ) = A0 A2 AB A0 B + − 2A A · AB C √ = Chọn đáp án A Câu 168 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai đường thẳng AC và C D A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Ta có C D k AB suy góc hai đường thẳng AC và C D D0 A0 góc hai đường thẳng AC và AB AC = 60◦ ÷ Mặt khác tam giác AB C là tam giác nên B Vậy góc hai đường thẳng AC và C D 60◦ B0 A D B Chọn đáp án A C0 C Câu 169 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng BD vuông góc với đường thẳng nào sau đây? A SB B SD C SC D CD -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 111 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (115) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 + SA⊥ (ABCD) ⇒ SA⊥BD (1) + ABCD là hình vuông ⇒ AC⊥BD (2) + Từ (1) và (2) suy BD⊥ (SAC) ⇒ BD⊥SC S A D B C Chọn đáp án C Câu 170 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại B Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với C Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng vuông góc với thì song song với đường thẳng còn lại D Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với -Lời giải Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với sai vì chúng có thể chéo cắt Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng vuông góc với thì song song với đường thẳng còn lại sai vì nó và đường thẳng còn lại có thể chéo cắt Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với sai vì chúng có thể song song với Chọn đáp án A ’ = BAD ’ = 60◦ Xác định góc hai đường Câu 171 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC thẳng AB và CD A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Ta có: A # » Ä # » # »ä # » # » Ä # » # »ä AB · AD − AC AB · CD cos AB, CD = = AB · CD AB · CD # » # » # » # » AB · AD − AB · AC = AB · CD AB · AD · cos 60◦ − AB · AC · cos 60◦ = =0 B D AB · CD Ä # » # »ä ⇒ AB, CD = 90◦ C Vậy góc hai đường thẳng AB và CD là 90◦ Chọn đáp án D Câu 172 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC Gọi M là trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM và AB A 90◦ B 30◦ C 60◦ D 45◦ A O B M C Th.s Nguyễn Chín Em 112 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (116) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời Cách giải 1: Dùng phương pháp cổ điển (dựng góc) Gọi N là trung điểm CD, ta có ÿ Ÿ M N k AB ⇒ (OM, AB) = (OM, M N ) Do 4OAB = 4OCB = 4OAC (lại là các tam giác vuông O) AB nên OM = ON = M N = ÿ ÷ ⇒ 4OM N ⇒ (OM, AB) = ON M = 60◦ A N O B M C Cách 2: Phương pháp toạ độ hoá hình không gian Giả sử OA = OB = OC = Gắn hệ toạ độ Oxyz hình vẽ với toạ độ các đỉnh sau: O(0; 0; 0), A(0; 0; 2), B(0; 2; 0), C(2; 0; 0), M (1; 1; 0) (# » # »# » OM AB OM = (1; 1; 0) ÿ Ta có # » ⇒ cos(OM, AB) = # » # » = AB = (0; 2; −2) OM AB z A B O ÿ Vậy (OM, AB) = 60◦ y M C x Chọn đáp án C Câu 173 Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O Qua O có đường thẳng vuông góc với ∆? A B Vô số C D -Lời giải Trong không gian có vô số đường thẳng qua O và vuông góc với ∆ Chọn đáp án B Câu 174 Trong không gian cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P ) và đường thẳng b nằm mặt phẳng (P ) Tính số đo góc tạo hai đường thẳng a và b A 60◦ B 30◦ C 120◦ D 90◦ -Lời giải ´ a ⊥ (P ) Ta có ⇒ a ⊥ b ⇒ (a, b) = 90◦ b ⊂ (P ) Chọn đáp án D Câu 175 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và H là hình chiếu vuông góc S lên BC Hãy chọn khẳng định đúng A BC ⊥ AC B BC ⊥ AH C BC ⊥ SC D BC ⊥ AB -Lời giải Do SH ⊥ BC; SA ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH) Tức là BC ⊥ AH S A C H B Chọn đáp án B ’ = 60◦ , DAB ’ = 120◦ , CD = AD Góc hai đường Câu 176 Cho tứ diện ABCD có AC = AD, CAB thẳng AB và CD Th.s Nguyễn Chín Em 113 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (117) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A arccos -Lời giải Ta có Chương - Hình học 11 B 30◦ D arccos C 60◦ A # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » AB · CD = AB · AD − AC = AB · AD − AB · AC = = AB + AD2 − BD2 AB + AC − BC − 2 AD2 + BC − BD2 − AC B D C ’ = 60◦ và DAB ’ = 120◦ , ta suy Khai thác giả thiết CAB 2 2 2 ’ = − cos DAB ’ = ⇔ AB + AC − BC = − AB + AD − BD = cos CAB 2AB · AC 2AB · AD Suy AD2 + BC − BD2 − AC = −AB · AD − AB · AC Vì nên # » # » |AB · CD| |AD2 + BC − BD2 − AC | cos(AB, CD) = = AB · CD 2AB · CD = −AD − AD | − AD − AC| | − AB · AD − AB · AC| = = = 2AB · CD 2CD 2AD Chọn đáp án A ABC.A0 B C Câu 177 Cho lăng trụ tam giác có tất các cạnh a Cosin góc tạo hai đường thẳng BC và AB là √ 2 A B C D 4 -Lời giải # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » # » Ta có AB · BC = AB + BB · BC = AB · BC + BB · BC C0 A0 # »0 # » 0 Vì BB ⊥ (ABC) ⇒ BB ⊥ BC ⇒ BB · BC = # » # » −a2 # » # » B0 Do đó AB · BC = −BA · BC = −a2 cos 60◦ = a2 # »0 # » √ AB · BC = √2 Vậy cos(AB , BC) = = A C AB · BC a 2·a a B Chọn đáp án D Câu 178 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Góc hai đường thẳng a và b góc hai đường thẳng a và c b song song với c (hoặc b trùng với c) B Góc hai đường thẳng a và b góc hai đường thẳng a và c thì b song song với c C Góc hai đường thẳng là góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai véc-tơ phương hai đường thẳng đó -Lời giải Góc hai đường thẳng a và b góc hai đường thẳng a và c thì b song song với c là mệnh đề sai vì có thể b và c chéo Góc hai đường thẳng là góc nhọn là mệnh đề sai vì có thể là góc vuông Góc hai đường thẳng góc hai véc-tơ phương hai đường thẳng đó là mệnh đề sai Nếu góc hai véc-tơ phương là α với 0◦ ≤ α ≤ 90◦ thì góc hai đường thẳng α, góc hai véc-tơ phương là α với 90◦ < α ≤ 180◦ thì góc hai đường thẳng 180◦ − α Th.s Nguyễn Chín Em 114 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (118) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 179 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với B Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng vuông góc với thì song song với đường thẳng còn lại C Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với D Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng -Lời giải Mệnh đề đúng là: đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng Chọn đáp án D Câu 180 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P ), đó a ⊥ (P ) Mệnh đề nào sau đây là sai? A Nếu b ⊥ (P ) thì b k a B Nếu b k (P ) thì b ⊥ a C Nếu b k a thì b ⊥ (P ) D Nếu b ⊥ a thì b k (P ) -Lời giải Nếu b ⊥ a thì b k (P ) là mệnh đề sai vì b có thể nằm mặt phẳng (P ) Chọn đáp án D # » # » Câu 181 Cho hình lập phương ABCD.EF GH Hãy xác định góc cặp véc-tơ AB và DH? A 45◦ B 90◦ C 120◦ D 60◦ -Lời giải # » # » Vì = AE (ADHE là hình vuông) nên Ä # DH » # »ä Ä # » # »ä ’ AB, DH = AB, AE = BAE = 90◦ (ABF E là hình vuông) E F H G D A B C Chọn đáp án B # » # » Câu 182 Cho hình lập phương ABCD.EF GH Hãy xác định góc cặp véc-tơ AB và EG A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 120◦ -Lời giải # » # » Vì EG = äAC Ä(AEGC là hình chữ nhật) nên Ä # » # » # » # »ä ’ AB, EG = AB, AC = BAC = 45◦ (ABCD là hình vuông) E F H G D A B Chọn đáp án C C Câu 183 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc AC và DA0 là A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 120◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 115 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (119) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương √ Khi đó, tam giác AB C (AB = B C = CA = a 2) CA = 60◦ ÷ Suy B Lại có, DA0 song song với CB nên ÷0 = 60◦ (AC, DA0 ) = (AC, CB ) = ACB A0 D0 B0 C0 D A B C Chọn đáp án C Câu 184 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 Giả sử tam giác AB C và A0 DC có ba góc nhọn Góc hai đường thẳng AC và A0 D là góc nào sau đây? C 0C 0 D ÷ ÷ ÷ ÷0 A AB B DA C BB D BDB -Lời giải Ta có AC k A0 C (A0 B CD là hình bình hành) A0 B0 C nhọn nên (AC, A0 D) = (A0 C , A0 D) = DA 0C ÷ ÷ Mà DA D0 C0 A B D C Chọn đáp án B Câu 185 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Chọn khẳng định sai? A Góc AC và B D0 90◦ B Góc B D0 và AA0 60◦ ◦ C Góc AD và B C 45 D Góc BD và A0 C 90◦ -Lời giải C = 90◦ ÷ Ta có (AA0 , B D0 ) = (BB , B D0 ) = BB A0 0 Khẳng định sai là: góc B D và AA0 60◦ B0 D0 C0 D A B C Chọn đáp án B Câu 186 Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB và CD A 60◦ B 30◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm CD # » # » #» # » # » #» Ta có CD # »· AM # » = #0 »và ÄCD # »· M B # = »ä0 Do đó CD · AB = CD · AM + M B # » # » # » # » #» = CD · AM + CD · M B = # » # » Suy AB ⊥ CD nên số đo góc hai đường thẳng AB và CD 90◦ A C B M D Chọn đáp án C Câu 187 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO và CD bao nhiêu? A 0◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 116 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (120) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm CD Vì ABCD là tứ diện nên AM ⊥ CD, OM ⊥ CD # » # » # » Ä # » # »ä Ta có CD · AO = CD · AM + M O # » # » # » # » #» = CD · AM + CD · M O = # » # » Suy AO ⊥ CD nên số đo góc hai đường thẳng AO và CD 90◦ A B D O M C Chọn đáp án C ’ = BAD ’ = 60◦ Hãy xác định góc cặp Câu 188 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC # » # » véc-tơ AB và CD A 60◦ B 45◦ C 120◦ D 90◦ -Lời giải # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » A Ta có AB · CD = AB · AD − AC = AB · AD − AB · AC # » # » # » # » # » # » # » # » = AB · AD · cos(AB, AD) − AB · AC · cos(AB, AC) # » # » # » # » = AB · AD · cos 60◦ − AB · AC · cos 60◦ Ä # » # »ä # » # » Mà AC = AD ⇒ AB · CD = ⇒ AB, CD = 90◦ C D B Chọn đáp án D ’ = BSC ’ = CSA ’ Hãy xác định góc cặp Câu 189 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB # » # » véc-tơ SC và AB? A 120◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » S Ta có SC · AB = SC · SB − SA = SC · SB − SC · SA # » # » # » # » # » # » # » # » = SC · SB · cos(SC, SB) − SC · SA · cos(SC, SA) ’ − SC · SA · cos ASC ’ = SC · SB · cos BSC # » # » ’ = ASC ’ ⇒ SC · AB = Mà SAÄ= SB =äSC và BSC # » # » ◦ Do đó SC, AB = 90 A C B Chọn đáp án D ’ = SAB ’ Tính số đo góc hai đường thẳng Câu 190 Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và SAC chéo SA và BC A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » S Xét SA · BC = SA · SC − SB = SA · SC − SA · SB # » # » # » # » # » # » ’ = SA · SC · cos(SA, SC) − SA · SB · cos SAB ’ − SA · SB · cos ASB ’ = SA · SC · cos ASC (1) A B C Th.s Nguyễn Chín Em 117 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (121) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ( SA chung SC = SB Ta có AB = AC ⇒ 4SAB = 4SAC (c-g-c) ⇒ (2) ’ = ASB ’ ASC ’ ’ SAB = SAC # » # » Từ (1) và (2), suy SA · BC = Vậy SA ⊥ BC Chọn đáp án D ’ = BAD ’ = 60◦ , CAD ’ = 90◦ Gọi I và J lần Câu 191 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC # » #» lượt là trung điểm AB và CD Hãy xác định góc cặp véc-tơ AB và IJ? A 120◦ B 90◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD # » Ä # » # »ä ⇒ IJ = IC + ID ’ = 60◦ Tam giác ABC có AB = AC và BAC ⇒ 4ABC ⇒ CI ⊥ AB Tương tự, ta có 4ABD nên DI ⊥ AB # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » # » Ta có IJ · AB = IC + ID · AB = IC · AB + ID · AB = 2 Ä #2 » # »ä #» # » ⇒ IJ ⊥ AB ⇒ AB, IJ = 90◦ A I B D J C Chọn đáp án B Câu 192 Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I, J, E, F là trung điểm AC, BC, BD, AD Góc (IE, JF ) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải IF k CD Ta có IF là đường trung bình 4ACD ⇒ IF = CD JE k CD Lại có JE là đường trung bình 4BCD ⇒ JE = CD ® IF = JE ⇒ ⇒ Tứ giác IJEF là hình bình hành IF k JE IJ = AB Mặt khác: Mà AB = CD ⇒ IJ = JE JE = CD Do đó IJEF là hình thoi Suy (IE, JF ) = 90◦ A F I B E D J C Chọn đáp án D Câu 193 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên a Gọi M và N là trung điểm AD và SD Số đo góc (M N, SC) A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 118 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (122) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do ABCD√là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a ⇒ AC = 2a2 = SA2 + SC ⇒ 4SAC vuông S Từ giả thiết ta có M N là đường trung bình 4DSA # » 1# » # » # » 1# » # » ⇒ N M = SA Khi đó N M · SC = SA · SC = 2 ⇒ M N ⊥ SC ⇒ (M N, SC) = 90◦ S N M A B D C Chọn đáp án C Câu 194 Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a Gọi I và J là trung điểm SC và BC Số đo góc (IJ, CD) A 90◦ B 45◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải Gọi O là tâm hình thoi ABCD S OJ k CD ⇒ OJ là đường trung bình 4BCD ⇒ OJ = CD Vì CD k OJ ⇒ (IJ, CD) = (IJ, OJ) a IJ = SB = 2 a Xét tam giác IOJ, có OJ = CD = ⇒ 4IOJ 2 IO = SA = a 2 ‘ = 60◦ Vậy (IJ, CD) = (IJ, OJ) = IJO I D A O B J C Chọn đáp án D Câu 195 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất các cạnh còn lại a Tính số đo góc hai đường thẳng SA và SC A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Theo giả thiết, ta có AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a Gọi O = AC ∩ BD Ta có 4CBD = 4SBD (c-c-c) Suy hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = AC Do đó tam giác SAC vuông S (tam giác có đường trung tuyến nửa cạnh đáy) Vậy SA ⊥ SC S A D O B Chọn đáp án D C # » # » Câu 196 Cho hình lập phương ABCD.EF GH có cạnh a Tính AB · EG √ √ √ a2 2 A a B a C D a2 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 119 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (123) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 # » # » # » # » Ta có AB · EG = AB · AC # » # » # » Mặt khác AC = AB + AD # » # » # » # » # » Ä # » # »ä # »2 # » # » Suy AB · EG = AB · AC = AB AB + AD = AB + AB · AD # » # » Vì ABCD là hình vuông ⇒ AB ⊥ AD ⇔ AB · AD = # »2 # » # » ⇒ AB + AB · AD = AB + = a2 E H F G A D B C Chọn đáp án B Câu 197 Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a Gọi M, N là trung điểm AD và BC Biết AC vuông góc với BD Tính M N √ √ √ √ a a 10 2a 3a A M N = B M N = C M N = D M N = 3 -Lời giải Gọi P là trung điểm AB ⇒ P N, P M là đường trung bình tam giác 4ABC và 4ABD P N = AC = a 2 Suy P M = BD = 3a 2 Ta có AC ⊥ BD ⇒ P N ⊥ P M hay … tam giác 4P√M N vuông P √ a2 9a2 a 10 Do đó M N = P N + P M = + = 4 A P M a 3a B D N C Chọn đáp án B Câu 198 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD Mặt phẳng (P ) song song với AB và CD cắt BC, DB, AD, AC M , N , P , Q Tứ giác M N P Q là hình gì? A C -Lời Hình thang Hình chữ nhật giải ® (M N P Q) k AB B Hình bình hành D Tứ giác không phải hình thang ⇒ M Q k AB (M N P Q) ∩ (ABC) = M Q Tương tự ta có M N k CD, N P k AB, QP k CD Do đó tứ giác M N P Q là hình bình hành Lại có M N ⊥ M Q (do AB ⊥ CD) Vậy tứ giác M N P Q là hình chữ nhật Ta có A P Q B N D M C Chọn đáp án C Câu 199 Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm cạnh BC Khi đó cos(AB, DM ) √ √ √ 3 A B C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 120 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (124) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Giả sử cạnh tứ diện là a √ a Tam giác BCD ⇒ DM = √2 a Tam giác ABC ⇒ AM = 2» # » # » # » # Ä # » # »ä AB · DM AB · DM √ Ta có cos AB, DM = # » # » = a AB · DM a· B # » # » # » Ä # » # »ä # 2» # » # » # » Mặt khác : AB · DM = AB AM − AD = AB · AM − AB · AD Ä # » # »äM Ä # » # »ä # » # » # » # » = AB · AM · cos AB, AM − AB · AD · cos AB, AD # » # » # » # » = AB · AM · cos 30◦ − AB · AD · cos 60◦ √ √ a 3a2 a2 a2 =a· · −a·a· = − = 2 4 √ √ Ä # » # »ä Ä ä 3 # » # » ⇒ cos AB, DM = > ⇒ AB, DM = (AB, DM ) ⇒ cos (AB, DM ) = 6 A D C Chọn đáp án B Câu 200 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB Tính số đo góc hai đường thẳng chéo SC và AB A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải S A C B # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » Xét SC · AB = −CS · CB − CA = CS · CA − CS · CB ’ − CS · CB · cos SCB ’ = CS · CA · cos SCA SC + CA2 − SA2 SC + CB − SB − CS · CB · 2SC · CA 2SC · CB SC + CA2 − SA2 SC + CB − SB = − = (do SA = SB và CA = CB) 2 Vậy SC ⊥ AB = CS · CA · Chọn đáp án D Câu 201 Cho tứ diện ABCD có AC = ’ = DAB ’ = 60◦ , CD = AD Gọi ϕ là góc AB và AD, CAB CD Chọn khẳng định đúng A cos ϕ = B ϕ = 60◦ C ϕ = 30◦ D cos ϕ = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 121 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (125) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A C D B # » # » # » # » AB · CD AB · CD Ta có cos (AB, CD) = # » # » = AB · CD AB · CD # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » # » Mặt khác AB · CD = AB AD − AC = AB · AD − AB · AC # » # » # » # » # » # » # » # » = AB · AD · cos(AB, AD) − AB · AC · cos(AB, AC) = AB · AD · cos 60◦ − AB · AC · cos 60◦ 1 1 = AB · AD · − AB · AD · = − AB · AD = − AB · CD 2 4 − AB · CD 1 = Vậy cos ϕ = Do có cos (AB, CD) = AB · CD 4 Chọn đáp án D Câu 202 Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có cạnh a Gọi M là trung điểm cạnh AD # » # » Giá trị B1 M · BD1 là √ A a2 B a2 C a2 D a2 2 -Lời giải B1 A1 C1 D1 A B M D C # » # » Ä # » # » # »ä Ä # » # » # »ä Ta có B1 M · BD1 = B1 B + BA + AM BA + AD + DD1 # » # » # » # » # » # » # » = BB1 · BA + BB1 · AD + B1 B · DD1 + BA2 | {z } | {z } =0 =0 # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » + BA · AD} + BA · DD1 + AM · BA +AM · AD + AM · DD1 | {z | {z } | {z } | {z } =0 =0 =0 a2 a2 # » # » # »2 # » # » = B1 B · DD1 + BA + AM · AD = −a2 + a2 + = 2 Chọn đáp án A =0 Câu 203 Trong không gian cho hai tam giác ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm hai mặt phẳng khác Gọi M , N , P , Q là trung điểm các cạnh AC, CB, BC và C A Tứ giác M N P Q là hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vuông D Hình thang -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 122 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (126) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì M , N , P , Q là trung điểm các cạnh AC, CB, BC và C A P Q = M N = AB ⇒ ⇒ M N P Q là hình bình hành P Q k AB k M N Gọi H là trung điểm AB ® CH ⊥ AB Vì hai tam giác ABC và ABC nên C H ⊥ AB Suy raAB ⊥ (CHC ) Do đó AB ⊥ CC P Q k AB C0 Q P A C M P N k CC ⇒ P Q ⊥ P N AB ⊥ CC Vậy tứ giác M N P Qlà hình chữ nhật Ta có H N B Chọn đáp án B Câu 204 Cho tứ diện ABCD đó AB = 6, CD = 3, góc AB và CD là 60◦ và điểm M trên BC cho BM = 2M C Mặt phẳng (P ) qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC M , N , Q Diện tích M N P Q √ √ √ A 2 B C D -Lời ® giải (M N P Q) k AB Ta có ⇒ M Q k AB A (M N P Q) ∩ (ABC) = M Q Tương tự ta có M N k CD, N P k AB, QP k CD Do đó tứ giác M N P Q là hình bình hành Ta có (AB, CD) = (QM, M P ) = 60◦ Suy SM N P Q = QM · QN · sin 60◦ MQ CM = = ⇒ M Q = Ta có 4CM Q v 4CBA ⇒ CB AB AQ QN 4AQN v 4ACD ⇒ = = ⇒ QN = AC CD √ √ ◦ Vậy SM N P Q = QM · QN · sin 60 = · · = P Q B N D M C Chọn đáp án C Câu 205 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = 4, CD = M là điểm thuộc cạnh BC cho M C = 2BM Mặt phẳng (P ) qua M song song với AB và CD Diện tích thiết diện P với tứ diện là 17 16 A B C D 3 -Lời ® giải (M N P Q) k AB Ta có ⇒ M N k AB A (M N P Q) ∩ (ABC) = M N Tương tự ta có M Q k CD, N P k CD, QP k AB Do đó tứ giác M N P Q là hình bình hành ÷ Ta có (AB, CD) = (M N, M Q) = N M Q = 90◦ ⇒ tứ giác M N P Q là hình chữ nhật P CM MN Lại có 4CM N v 4CBA ⇒ = = ⇒ MN = ; CB AB 3 Q NP AN = = ⇒ M P = 4AN P v 4ACD ⇒ AC CD B D 16 N Vậy SM N P Q = M N · N P = M C Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 123 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (127) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 206 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = M là điểm thuộc cạnh BC cho M C = xBC (0 < x < 1) Mặt phẳng (P ) song song với AB và CD cắt BC, DB, AD, AC M , N , P , Q Diện tích lớn tứ giác bao nhiêu? A B 11 C 10 D -Lời giải ® Xét tứ giác M N P Q có M Q k N P k AB A M N k P Q k CD ⇒ M N P Q là hình bình hành Mặt khác, AB ⊥ CD ⇒ M Q ⊥ M N Do đó, M N P Q là hình chữ nhật MQ CM Vì M Q k AB nên = = x ⇒ M Q = xAB = 6x AB CB Theo giả thiết M C = xBC ⇒ BM = (1 − x) BC BM MN = =1−x Vì M N k CD nên CD BC ⇒ M N = (1 − x) · CD = (1 − x) Diện tích hình chữ nhật M N P Q là: P Q B N D M C ã Å x+1−x SM N P Q = M N · M Q = 6(1 − x) · 6x = 36 · x · (1 − x) ≤ 36 = Ta có SM N P Q = x = − x ⇔ x = Vậy diện tích tứ giác M N P Q lớn M là trung điểm BC Chọn đáp án A Câu 207 Trong không gian cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M cho giá trị biểu thức P = M A2 + M B + M C đạt giá trị nhỏ A M là trọng tâm tam giác ABC B M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C M là trực tâm tam giác ABC D M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC -Lời giải # » # » # » #» Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G cố định và GA + GB + GC = Ä # » # »ä2 Ä # » # »ä2 Ä # » # »ä2 Ta có P = M G + GA + M G + GB + M G + GC # » Ä # » # » # »ä = 3M G2 + 2M G · GA + GB + GC + GA2 + GB + GC = 3M G2 + GA2 + GB + GC ≥ GA2 + GB + GC Dấu xảy ⇔ M ≡ G Vậy Pmin = GA2 + GB + GC với M ≡ G là trọng tâm tam giác ABC Chọn đáp án A Câu 208 Mệnh đề nào sau đây đúng? A Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c C Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với đôi Nếu có đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b c D Cho hai đường thẳng a và b song song với Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (a, b) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 124 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (128) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A0 D0 D A B0 C0 D A B C B C Hình Hình Mệnh đề “Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c” sai vì a có thể song song với c Ví dụ: Hình vuông ABCD có AB ⊥ BC, BC ⊥ CD và A (Hình 1) Mệnh đề “Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với đôi Nếu có đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b c” sai vì d có thể cắt b và c Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có ABC đôi vuông góc với AC vuông góc với AA0 AC cắt AB và AD (Hình 2) Mệnh đề “Cho hai đường thẳng a và b song song với Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (a, b)” sai vì c có thể song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (a; b) Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có AB k CD Đường thẳng BC vuông góc với AB mà DG (Hình 1) Chọn đáp án B 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201 ĐÁP ÁN A B 12 D 22 B 32 D 42 B 52 A 62 A 72 C 82 A 92 A 102 C 112 A 122 C 132 D 142 C 152 B 162 D 172 B 182 B 192 D 202 D D B C D C A C C C D A C D C B D C C D A 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143 153 163 173 183 193 203 Th.s Nguyễn Chín Em D D A B A C C D A A B C C B C A A B C C B 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 134 144 154 164 174 184 194 204 B D B D B C B A A D D D A B A A D D B D C 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195 205 C D C C D B C B C A C C B C A D D B B D D 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136 146 156 166 176 186 196 206 125 C D B A C C D A A C B B B A D B D A C B A 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147 157 167 177 187 197 207 B B C B A C A A D D D D D D D B A D C B A 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 158 168 178 188 198 208 B D D D B B B A C B A B A B A D A A D C B 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149 159 169 179 189 199 C C A A D D A C C C D C A C D C C D D B 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 C D A D D D A D B D D A C B C A A D D D https://emncischool.wixsite.com/geogebra (129) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI Chương - Hình học 11 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA d Định nghĩa Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) d vuông góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng (α) Khi đó ta còn nói (α) vuông góc d và kí hiệu d ⊥ (α) (α) ⊥ d a α ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định lí Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt cùng thuộc mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng a, b ⊂ (α) a ∩ b = O ! Tóm tắt định lí ⇒ d ⊥ (α) d ⊥ a d⊥b d a b O α Hệ Nếu đường thẳng vuông góc với hai cạnh tam giác thì nó vuông góc với cạnh thứ ba tam giác đó TÍNH CHẤT Tính chất Có mặt phẳng qua điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước d M O A B I α Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB là mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB ! O Tính chất Có đường thẳng qua điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước α Th.s Nguyễn Chín Em 126 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (130) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Tính chất Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng ® akb ! Tóm tắt: ⇒ (α) ⊥ b (α) ⊥ a a b Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì songsong với a ⊥ (α) ! Tóm tắt: b ⊥ (α) ⇒ a k b a 6≡ b α Tính chất Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này®thì vuông góc với mặt phẳng (α) k (β) ! Tóm tắt: ⇒ a ⊥ (β) a ⊥ (α) a α Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với (α) ⊥ a ! Tóm tắt: (β) ⊥ a ⇒ (α) k (β) (α) 6≡ (β) β Tính chất Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (α) thì vuông góc với ® a a k (α) ! Tóm tắt: ⇒ b ⊥ a b ⊥ (α) b a Nếu đường thẳng và mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với đường thẳng khác thì chúngsong song với a 6⊂ (α) ! Tóm tắt: Th.s Nguyễn Chín Em α a ⊥ b ⇒ a k (α) (α) ⊥ b 127 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (131) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC Phép chiếu vuông góc Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) Phép chiếu song song theo phương ∆ lên mặt phẳng (α) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α) A ∆ B A0 B0 α Định lí ba đường vuông góc B b A Định lí Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α) Gọi b0 là hình chiếu vuông góc b trên (α) Khi đó a vuông góc với b và a vuông góc với b0 b0 A0 α ! Tóm tắt: a ⊂ (α) b 6⊂ (α) b 6⊥ (α) b0 là hình chiếu vuông góc b trên (α) B0 a ⇒ a ⊥ b ⇔ a ⊥ b0 Góc Giữa đường thẳng và mặt phẳng d ! B A Định nghĩa Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói góc đường thẳng d và mặt ϕ d0 phẳng (α) 90◦ H Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt α phẳng (α) thì góc đường thẳng d và hình chiếu d nó trên (α) gọi là góc đường thẳng d và mặt phẳng (α) Nếu ϕ là góc đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦ O CÁC DẠNG TOÁN Dạng Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α), ta thực theo hai cách sau: Chứng minh ∆ vuông góc với hai đường thẳng cắt thuộc (α) ∆ a b α Chứng minh ∆ song song với đường thẳng (d), đó (d) vuông góc với (α) Th.s Nguyễn Chín Em 128 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (132) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ∆ d α Để chứng minh đường thẳng (∆) vuông góc với đường thẳng (d), ta thực theo các cách sau: Chứng minh (∆) vuông góc với mặt phẳng (α) chứa (d) ∆ d α Sử dụng định lý ba đường vuông góc ∆ d α Nếu hai đường thẳng cắt thì ta có thể sử dụng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc mặt phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và các cạnh bên Gọi I là giao điểm AC và BD Chứng minh SI ⊥ (ABCD) -Lời giải S A B I D C Để chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ta cần chứng minh SI vuông góc với hai cạnh cắt mặt phẳng đó Theo giả thiết, 4SAC và 4SBD là tam giác cân S Hơn I = AC ∩ BD là trung điểm AC và BD (do ABCD là hình vuông) Từ đó ta có: SI ⊥ AC SI ⊥ BD ⇒ SI ⊥ (ABCD) AC ∩ BD = I Th.s Nguyễn Chín Em 129 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (133) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vậy SI ⊥ (ABCD) Ví dụ Cho lăng trụ ABCD.A0 B C D0 có đáy ABCD là hình bình hành, các cạnh bên vuông góc với mặt đáy 4ACD vuông A, AC = AA0 Chứng minh AC ⊥ (A0 D0 C) -Lời giải B0 A0 D0 C0 A B D ® Theo giả thiết ta có C AA0 C C là hình chữ nhật AA0 = A0 C ⇒ AA0 C C là hình vuông ⇒ AC ⊥ A0 C (1) Lại có AA0 ⊥ (A0 B C D0 ) ⇒ AA0 ⊥ A0 D0 Lại có 4D0 A0 C vuông A0 nên A0 D0 ⊥ A0 C Từ đó ta A0 D0 ⊥ (AA0 C C) ⇒ A0 D0 ⊥ AC (2) Từ (1) và (2) ta có AC ⊥ (A0 D0 C) √ a Ví dụ Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = Gọi I, K là trung điểm BC, SI Chứng minh AK ⊥ (SBC) -Lời giải S K A C I B √ a Theo giả thiết 4ABC là tam giác cạnh a,I là trung điểm BC suy AI ⊥ BC (1) và AI = Lại có SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) ta có BC ⊥ (SAI)√⇒ BC ⊥ AK (3) a Tam giác SAI có SA = AI = nên 4SAI là tam giác cân A, K là trung điểm SI suy AK ⊥ SI (4) Từ (3) và (4) ta có AK ⊥ (SBC) Dạng Góc đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P ) cắt Nếu d ⊥ (P ) thì (d, (P )) = 90◦ Th.s Nguyễn Chín Em 130 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (134) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ d Chương - Hình học 11 A d0 ϕ O H α Nếu d 6⊥ (P ) thì để xác định góc d và (P ), ta thường làm sau Xác định giao điểm O d và (P ) Lấy điểm A trên d (A khác O) Xác định hình chiếu vuông góc (vuông góc) H A lên ’ (P ) Lúc đó (d, (P )) = (d, d0 ) = AOH ! 0◦ ≤ (d, (P )) ≤ 90◦ √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc (ABCD) Hãy xác định các góc SC và (ABCD) SC và (SAB) SB và (SAC) AC và (SBC) -Lời giải S M D A O B C ’ Vì AC là hình chiếu vuông góc SC lên (ABCD) nên góc SC và (ABCD) là SCA ’= Trong tam giác SCA, ta có tan SCA SA √ ’ = 60◦ = nên (SC, (ABCD)) = SCA SC Vì BC ⊥ (SAB) B nên SB là hình chiếu vuông góc SC lên (SAB) ’ Do đó (SC, (SAB)) = (SC, SB) = CSB a ’ = BC = √ Trong tam giác SCB, ta có tan CSB nên (SC, (SAB)) = arctan √ SB a 7 Vì BO ⊥ (SAC) O nên SO là hình chiếu vuông góc SB lên (SAC) ’ Do đó (SB, (SAC)) = (SB, SO) = BSO √ a 2 = √1 nên (SB, (SAC)) = arcsin √1 ’ = BO = √ Trong tam giác SBO, ta có sin BSO SB a 14 14 Th.s Nguyễn Chín Em 131 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (135) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là hình chiếu vuông góc A lên SB Lúc đó AM ⊥ SB và AM ⊥ BC (vì BC ⊥ (SAB) và AM ⊂ (SAB)) nên AM ⊥ (SBC) M Do ÷ Suy (AC, (SBC)) = (AC, M C) = ACM SA.AB Trong tam giác SAB, ta có AM = = √ SB √ 21 21 nên (AC, (SBC)) = arcsin 7 đó M C là hình chiếu vuông góc AC lên (SBC) √ a ÷ = MA = √ và tam giác ACM , ta có sin ACM AC Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SO vuông góc (ABCD) Gọi M, N là trung điểm SA, BC Biết góc M N và (ABCD) 60◦ Tính góc M N và (SBD) -Lời giải S K M D C O N H A B Gọi H là trung điểm AO Ta có M H k SO nên M H ⊥ (ABCD), suy HN là hình chiếu vuông góc ÷ M N lên (ABCD) Do đó (M N, (ABCD)) = (M N, KN ) = M N K = 60◦ √ a 10 2 ÷ Trong tam giác HCN , ta có HN = HC + CN − 2HC.CN cos HCN , suy HN = √ √ √ M H 30 30 a a ÷ Mà tam giác M N H, ta có = tan M NH = nên M H = , suy SO = 2M H = HN Gọi K là trung điểm SD Ta có M KCN là hình bình hành nên M N song song KC Do đó (M N, (SBD)) = (KC, (SBD)) Mà CO ⊥ (SBD) O (do CO ⊥ DO và CO ⊥ SO) nên KO là hình chiếu vuông góc KC lên (SBD) ’ Suy (KC, (SBD)) = (KC, KO) = CKO √ 1√ OD2 + OS = a Ta có OK = SD = 2 ’ = OC = , suy (KC, (SBD)) = arctan CKO ’ = Mặt khác, tam giác COK, ta có tan CKO OK arctan ≈ 26◦ 330 Dạng Xác định thiết diện khối đa diện cắt mặt phẳng qua điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước Để xác định thiết diện khối đa diện cắt mặt phẳng (α) qua điểm M và vuông góc với ∆ cho trước, ta thực sau: Dựng hai đường thẳng cắt cùng vuông góc với ∆ đó có ít đường thẳng qua M Mặt phẳng xác định hai đường thẳng trên chính là (α) Sau đó ta cần tìm giao tuyến (α) với các mặt khối đa diện Nếu có sẵn hai đường thẳng chéo cắt a, b vuông góc với ∆ thì ta dựng (α) qua M và song song với a, b Th.s Nguyễn Chín Em 132 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (136) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA = 2a và mặt bên ABB A0 là hình vuông Gọi (P ) là mặt phẳng qua C và vuông góc với AB Xác định thiết diện hình lăng trụ đã cho cắt mặt phẳng (P ) và tính diện tích thiết diện đó -Lời giải Gọi H là trung điểm AB ⇒ CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ AB Dựng HK ⊥ AB , với K thuộc cạnh AA0 Suy thiết diện là tam giác CHK và tam giác CHK vuông H SCHK = CH · HK √ AB Trong 4ABC, CH = = a 2 √ A0 B · Ta có 4AHK vuông cân A và HK = = 2a √ 1 √ Vậy SCHK = CH · HK = · a · 2a = a2 2 C0 A0 B0 K A C H B Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là điểm thuộc cạnh AC cho AM = 3M C Gọi (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với cạnh AC Xác định thiết diện hình chóp đã cho cắt mặt phẳng (α) và tính diện tích thiết diện đó -Lời giải Gọi E là trung điểm AC ⇒ BE ⊥ AC Trong (ABC), dựng M N ⊥ AC, với N thuộc cạnh BC ⇒ M N k EB Trong (SAC), dựng M P ⊥ AC, với P thuộc cạnh SC ⇒ M P k SA Suy thiết diện là tam giác M P N và tam giác M P N vuông M SM P N = M N · P M PM CM Ta có 4SAC v 4P M C ⇒ = SA CA SA · CM a ⇒ PM = =a· = CA 4 Ta có M N là đường trung bình √ √của tam giác 4BEC a a ⇒ M N = EB = · = 2 √ √ 1 a a a2 Vậy SM P N = M N · P M = · · = 2 4 32 C S A B P E N M C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Khẳng định nào sau đây sai? A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (α) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm (α) B Nếu đường thẳng d ⊥ (α) thì d vuông góc với hai đường thẳng (α) C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm (α) thì d ⊥ (α) D Nếu d ⊥ (α) và đường thẳng a k (α) thì d ⊥ a -Lời giải Mệnh đề sai là “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm (α) thì d ⊥ (α)” Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” hai đường thẳng nằm (α) Ví dụ: đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm (α) b và c song song với thì đó a chưa vuông góc với (α) Th.s Nguyễn Chín Em 133 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (137) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu Trong không gian cho đường thẳng ∆ không nằm mặt phẳng (P ), đường thẳng ∆ gọi là vuông góc với mặt phẳng (P ) A vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng (P ) B vuông góc với đường thẳng a mà a song song với mặt phẳng (P ) C vuông góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng (P ) D vuông góc với đường thẳng nằm mp (P ) -Lời giải Đường thẳng ∆ gọi là vuông góc với mặt phẳng (P ) ∆ vuông góc với đường thẳng mặt phẳng (P ) (Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) Chọn đáp án D Câu Mệnh đề nào sau đây sai? A Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song B Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song C Một đường thẳng và mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với đường thẳng thì song song D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song -Lời giải Mệnh đề sai là “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song” Vì: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì có thể cắt nhau, chéo Chọn đáp án B Câu Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P ), đó a ⊥ (P ) Chọn mệnh đề sai các mệnh đề đây A Nếu b ⊥ (P ) thì a k b B Nếu b k a thì b ⊥ (P ) C Nếu b ⊂ (P ) thì b ⊥ a D Nếu a ⊥ b thì b k (P ) -Lời giải Mệnh đề sai là “Nếu a ⊥ b thì b k (P )”, vì b có thể nằm (P ) Chọn đáp án D Câu Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P ) Mệnh đề nào đây đúng? A Nếu a ⊥ (P ) và b ⊥ a thì b k (P ) B Nếu a k (P ) và b ⊥ (P ) thì a ⊥ b C Nếu a k (P ) và b ⊥ a thì b k (P ) D Nếu a k (P ) và b ⊥ a thì b ⊥ (P ) -Lời giải Mệnh đề “a ⊥ (P ) và b ⊥ a thì b k (P )” sai vì b có thể nằm (P ) Mệnh đề “Nếu a k (P ) và b ⊥ a thì b k (P )” sai vì b có thể cắt P b nằm (P ) Mệnh đề “Nếu a k (P ) và b ⊥ a thì b ⊥ (P )” sai vì b có thể nằm (P ) Chọn đáp án B Câu Cho a, b, c là các đường thẳng không gian Mệnh đề nào đây sai? A Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a k c B Nếu a vuông góc với mặt phẳng (α) và b k (α) thì a ⊥ b C Nếu a k b và b ⊥ c thì c ⊥ a D Nếu a ⊥ b, b ⊥ c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a, c) -Lời giải Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a k c a cắt c a trùng c a chéo c Chọn đáp án D Câu Chỉ mệnh đề sai các mệnh đề đây A Hai đường thẳng chéo và vuông góc với Khi đó có và mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng B Qua điểm O cho trước có mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước C Qua điểm O cho trước có và đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước D Qua điểm O cho trước có và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước -Lời giải Mệnh đề sai là “Qua điểm O cho trước có và đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước” Th.s Nguyễn Chín Em 134 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (138) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì qua điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước Chọn đáp án C Câu Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Có đường thẳng qua điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước B Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước C Có mặt phẳng qua điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước D Có mặt phẳng qua điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước -Lời giải Qua điểm cho trước có thể kẻ vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước Chọn đáp án D Câu Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A Nếu hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với C Với điểm A ∈ (α) và điểm B ∈ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d (α) và (β) D Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với mặt phẳng (γ) thì giao tuyến d (α) và (β) có vuông góc với (γ) -Lời giải Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia” sai vì hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt Mệnh đề “Với điểm A ∈ (α) và điểm B ∈ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d (α) và (β)” sai vì ít A lẫn B thuộc giao tuyến (α) và (β) thì AB trùng với (α) ∩ (β) Chọn đáp án D Câu 10 Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A Góc đường thẳng và mặt phẳng góc đường thẳng đó và hình chiếu nó trên mặt phẳng đã cho B Góc đường thẳng và mặt phẳng góc đường thẳng đó và đường thẳng b với b vuông góc với (P ) C Góc đường thẳng a và mặt phẳng (P ) góc đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P ) song song với mặt phẳng (Q) D Góc đường thẳng a và mặt phẳng (P ) góc đường thẳng b và mặt phẳng (P ) thì a song song với b -Lời giải Mệnh đề “Góc đường thẳng và mặt phẳng góc đường thẳng đó và đường thẳng b với b vuông góc với (P )” sai vì hai góc này phụ Mệnh đề “Góc đường thẳng a và mặt phẳng (P ) góc đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P ) song song với mặt phẳng (Q)” sai vì (P ) có thể trùng (Q) Mệnh đề “Góc đường thẳng a và mặt phẳng (P ) góc đường thẳng b và mặt phẳng (P ) thì a song song với b” sai vì a có thể trùng b Chọn đáp án A Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân C Cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi H, K là trung điểm AB và SB Khẳng định nào đây sai? Th.s Nguyễn Chín Em 135 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (139) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A CH ⊥ AK Chương - Hình học 11 B CH ⊥ SB C CH ⊥ SA D AK ⊥ SB -Lời giải Vì H là trung điểm AB, tam giác ABC cân suy CH ⊥ AB Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ CH Mà CH ⊥ AB suy CH ⊥ (SAB) Mặt khác AK ⊂ (SAB) Nên CH vuông góc với các đường thẳng SA, SB, AK Và AK ⊥ SB xảy và tam giác SAB cân S S K A C H B Chọn đáp án D Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi H là chân đường cao kẻ từ A tam giác SAB Khẳng định nào đây là sai? A SA ⊥ BC B AH ⊥ BC C AH ⊥ AC D AH ⊥ SC -Lời giải Theo bài ra, ta có SA ⊥ (ABC) mà BC ⊂ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC Tam giác ABC vuông B, có AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ® (SAB) ⇒ BC ⊥ AH AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC Khi đó AH ⊥ BC Nếu có AH ⊥ AC, SA ⊥ AC thì AC ⊥ (SAH) ⇒ AC ⊥ AB (vô lý) S H A C B Chọn đáp án C Câu 13 Cho tứ diện ABCD Gọi H là trực tâm tam giác BCD và AH vuông góc với mặt phẳng đáy Khẳng định nào đây là đúng? A CD ⊥ BD B AC = BD D AB ⊥ CD C AB = CD -Lời giải Vì AH vuông góc với (BCD) nên AH ⊥ CD Do H là trực tâm ® tam giác BCD nên BH ⊥ CD CD ⊥ AH Từ (1), (2) suy ⇒ CD ⊥ (ABH) ⇒ CD ⊥ AB CD ⊥ BH (1) (2) A B D H C Chọn đáp án D Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết SA = SC, SB = SD Khẳng định nào sau đây là đúng? A AB ⊥ (SAC) B CD ⊥ AC C SO ⊥ (ABCD) D CD ⊥ (SBD) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 136 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (140) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì SA = SC nên 4SAC cân S Mà O là trung điểm AC nên SO ⊥ AC Tương tự, ta có SO ⊥ BD Mà AC ∩ BD = O ⊂ (ABCD) ⇒ SO ⊥ (ABCD) S A D O B C Chọn đáp án C Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Cạnh bên SA vuông góc với đáy Khẳng định nào sau đây là sai? A SA ⊥ BD B SC ⊥ BD C SO ⊥ BD D AD ⊥ SC -Lời giải Vì SA vuông góc với (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD Mà ABCD là hình thoi tâm O nên AC ⊥ BD Suy BD ⊥ (SAC) ® Mặt khác SO ⊂ (SAC) và SC ⊂ (SAC) suy S BD ⊥ SO BD ⊥ SC Và AD, SC là hai đường thẳng chéo A B D C Chọn đáp án D Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O Đường thẳng SA cuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi I là trung điểm SC Khẳng định nào đây là sai? A IO ⊥ (ABCD) B BC ⊥ SB C Tam giác SCD vuông D D (SAC) là mặt phẳng trung trực BD -Lời giải Vì O, I là trung điểm AC, SC nên OI là đường trung bình S tam giác SAC ⇒ OI k SA Mà SA ⊥ (ABCD) nên OI ⊥ (ABCD) Ta có ABCD là hình chữ nhật ⇒ BC ⊥ AB Mà SA ⊥ BC suy BC I ® ⊥ SB CD ⊥ AD Tương tự, ta có ⇒ CD ⊥ SD A CD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) Nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực BD ⇒ BD ⊥ AC: điều này O không thể xảy vì ABCD là hình chữ nhật D C Chọn đáp án D B Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông A và D, có AD = CD = a, AB = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD), E là trung điểm AB Chỉ mệnh đề sai các mệnh đề đây A CE ⊥ (SAB) C Tam giác SDC vuông D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em B CB ⊥ (SAC) D CE ⊥ (SDC) 137 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (141) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ® CE ⊥ AB Từ giả thết suy ADCE là hình vuông ⇒ S CE = AD = a ® CE ⊥ AB Ta có ⇒ CE ⊥ (SAB) CE ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)) Do đó CE ⊥ (SAB) đúng Vì CE = AD = a nên CE = AB A E D ⇒ 4ABC vuông C ⇒ CB ⊥ AB Kết hợp với CB ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)) suy CB ⊥ (SAC) Do đó CB ⊥ (SAC) đúng B C ® CD ⊥ AD Ta có ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD Do đó Tam giác SDC vuông D CD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)) là đúng Dùng phương pháp loại trừ, suy Tam giác SDC vuông D là phương án sai Chọn đáp án D Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi AE, AF là đường cao tam giác SAB và tam giác SAD Khẳng định nào đây là đúng? A SC ⊥ (AF B) B SC ⊥ (AEC) C SC ⊥ (AED) D SC ⊥ (AEF ) -Lời giải Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA ⊥ BC Mà AB ⊥ BC nên suy BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AE ⊂ (SAB) Tam giác SAB có đường cao AE ⇒ AE ⊥ SB Mà AE ⊥ BC ⇒ AE ⊥ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC Tương tự, ta chứng minh AF ⊥ SC Do đó SC ⊥ (AEF ) S F E D A B C Chọn đáp án D Câu 19 Cho hình chóp SABC có SA ⊥ (ABC) Gọi H, K là trực tâm các tam giác SBC và ABC Mệnh đề nào sau đây sai? A BC ⊥ (SAH) B SB ⊥ (CHK) C HK ⊥ (SBC) D BC ⊥ (SAB) -Lời giải ® BC ⊥ SA Ta có ⇒ BC ⊥ (SAH) BC ⊥ SH ® CK ⊥ AB Ta có ⇒ CK ⊥ (SAB) ⇒ CK ⊥ SB CK ⊥ SA Mặt khác ® ta có CH ⊥ SB Từ đó suy SB ⊥ (CHK) BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ HK Ta có ⇒ HK ⊥ (SBC) SB ⊥ (CHK) ⇒ SB ⊥ HK Dùng phương pháp loại trừ suy BC ⊥ (SAB) là sai Chọn đáp án D Câu 20 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A (A0 BD) B (A0 DC ) C (A0 CD0 ) D (A0 B CD) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 138 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (142) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có AA0 D0 A là hình vuông suy AD0 ⊥ A0 D Và ABCD.A0 B C D0 là hình lập phương suy AB ⊥ A0 D Từ (1), (2) suy A0 D ⊥ (ABC D0 ) ⇒ A0 D ⊥ AC Lại có ABCD là hình vuông ⇒ AC ⊥ BD Mà AA0 ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (AA0 C C) ⇒ BD ⊥ AC Kết hợp với A0 D ⊥ AC suy AC ⊥ (A0 BD) (1) (2) A0 D0 B0 C0 D A B C Chọn đáp án A Câu 21 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H là hình chiếu O trên mặt phẳng (ABC) Mệnh đề nào sau đây là sai? 1 1 A OA ⊥ BC B = + + 2 OH OA OB OC C H là trực tâm 4ABC D 3OH = AB + AC + BC -Lời giải ® OA ⊥ OB ⇒ OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC (1) A OA ⊥ OC Gọi I = AH ∩ BC Theo giả thiết ta có OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ BC Từ (1) và (2), suy BC ⊥ (AOI) ⇒ BC ⊥ OI 1 = + Tam giác vuông BOC, ta có 2 OI OB OC 1 1 1 Tam giác vuông AOI, ta có = + = + + OH OA2 OI OA2 OB OC Từ chứng minh trên BC ⊥ (AOI) ⇒ BC ⊥ AI Gọi J = BH ∩ AC Chứng mình tương tự ta có AC ⊥ BJ Từ (3) và (4), suy H là trực tâm 4ABC Vậy 3OH = AB + AC + BC là kết sai Chọn đáp án D (2) K H O (3) (4) B I C Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi I, J, K là trung điểm AB, BC, SB Khẳng định nào đây là đúng? A (IJK) k (SAC) B Góc SC và BD 60◦ C BD ⊥ (IJK) D BD ⊥ (SAC) -Lời giải BK BJ = = Xét tam giác SBC có S BS BC Suy JK song song với SC (1) BI BK Tam giác SAB có = = BA BS Suy IK song song với SA (2) K A D Từ (1), (2) suy (IJK) k (SAC) (*) Vì ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC Mà SA ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC) I Kết hợp với (∗), ta BD ⊥ (IJK) Vậy góc hai đường thẳng SC, BD 90◦ B J C Chọn đáp án B Câu 23 Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi vuông góc với Khẳng định nào đây đúng? ’ A Góc CD và mặt phẳng (ABD) là góc CBD ’ B Góc AC và mặt phẳng (BCD) là góc ACB ’ C Góc AD và mặt phẳng (ABC) là góc ADB ’ D Góc AC và mặt phẳng (ABD) là góc CBA -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 139 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (143) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dựa vào các phương án, ta thấy rằng: A ’ Góc ® CD và mặt phẳng (ABD) là góc CBD là sai, CB ⊥ BD vì ⇒ CB ⊥ (ABD) CB ⊥ BA ⇒ B là hình chiếu C trên (ABD) ’ Suy góc CD và mặt phẳng (ABD) là góc CDB B D ’ Góc ® AC và mặt phẳng (BCD) là góc ACB là đúng, AB ⊥ BC vì ⇒ AB ⊥ (BCD) AB ⊥ BD ⇒ B là hình chiếu A trên (BCD) C ’ Suy góc đường thẳng AC và mặt phẳng (BCD) là góc ACB ’ Góc ® AD và mặt phẳng (ABC) là góc ADB là sai, BD ⊥ BA vì ⇒ BD ⊥ (ABC) ⇒ B là hình chiếu D trên (ABC) BD ⊥ BC ’ Suy góc AD và mặt phẳng (ABC) là góc DAB ’ là sai, Góc AC và mặt phẳng (ABD) là góc CBA vì B là hình chiếu C trên (ABD) ’ Suy góc AC và mặt phẳng (ABD) là góc CAB Chọn đáp án B Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC H là hình chiếu O trên (ABC) Khẳng định nào đây đúng? A H là trung điểm cạnh AB B H là trung điểm cạnh BC C H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D H là trọng tâm tam giác ABC -Lời giải Ta có SA vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ BC Mà AB ⊥ BC suy BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ tam giác SBC vuông B ⇒ O là trung điểm SC Theo bài ra, ta có OH ⊥ (ABC) ⇒ OH k SA ⇒ H là trung điểm AC Mà tam giác ABC vuông B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S O A H C B Chọn đáp án C Câu 25 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác nhọn, cạnh bên SA = SB = SC Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC), đó A H là trực tâm tam giác ABC B H là trọng tâm tam giác ABC C H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 140 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (144) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì H là hình chiếu vuông góc S trên (ABC) nên ta có Tam giác SAH vuông H, có SA2 = AH + SH Tam giác SBH vuông H, có SB = BH + SH Tam giác SCH vuông H, có SC = CH + SH Kết hợp điều kiện SA = SB = SC ta có HA = HB = HC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S A C H B Chọn đáp án C ’ = 120◦ , CSA ’ = 60◦ , ASB ’ = 90◦ và SA = SB = SC Gọi I là Câu 26 Cho hình chóp S.ABC có BSC hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC), đó A I là trung điểm AB B I là trọng tâm tam giác ABC C I là trung điểm AC D I là trung điểm BC -Lời giải Đặt SA = a S √ √ Tam giác SAB vuông cân S, có AB = SA2 + SB = a ’ = 60◦ suy SA = SC = AC = a Tam giác SAC cân S, có CSA Áp dụng định lí cô-sin cho tam giác SBC, ta có: ’ BC = SB + SC − 2SB · SC · cos BSC √ √ 2 2 ◦ ⇒ BC = a + a − 2a · cos 120 = 3a2 ⇒ BC = a = AB + AC C Như vậy, tam giác ABC vuông A mà I là hình chiếu S trên (ABC) nên B I I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay chính là trung điểm BC A Chọn đáp án D ’ = 60◦ và A0 A = Câu 27 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có mặt đáy ABCD là hình thoi tâm O, BAD 0 A B = A D Hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng (ABCD) là A trung điểm AO B trọng tâm tam giác ABD C tâm O hình thoi ABCD D trọng tâm tam giác BCD -Lời giải ’ = 60◦ suy tam giác ABD Vì ABCD là hình thoi ⇒ AB = AD mà BAD C0 B0 (1) Ta có A0 A = A0 B = A0 D nên hình chiếu vuông góc A0 trên mặt phẳng A0 (ABCD) trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (2) Từ (1), (2) suy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD D0 B C O A Chọn đáp án B H D Câu 28 Cho hình chóp S.ABCcó các mặt bên tạo với đáy góc Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là A tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C trọng tâm tam giác ABC D giao điểm hai đường thẳng AC và BD -Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABCD) Gọi M,®N, P là hình chiếu S trên các cạnh AB, AC, BC SH ⊥ AB Ta có ⇒ AB ⊥ (SHM ) ⇒ AB ⊥ HM SM ⊥ AB Tương tự ta HN ⊥ AC, HP ⊥ BC ÷ ÷ ’ ’ Khi đó ((SAB); (ABC)) = (SM ; HM ) = SM H, tương tự suy SM H = SN H = SP H Th.s Nguyễn Chín Em 141 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (145) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ⇒ 4SM H = 4SN H = 4SP H ⇒ HM = HN = N P ⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chọn đáp án A Câu 29 Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi vuông góc với và AB = a, BC = b, CD = c Độ dài√đoạn thẳng AD √ √ √ A a2 + b2 + c2 B a2 + b2 − c2 C a2 − b2 + c2 D −a2 + b2 + c2 -Lời ® giải AB ⊥ BC Ta có ⇒ AB ⊥ (BCD) ⇒ tam giác ABD vuông B A AB ⊥ CD ® AB ⊥ CD Lại có ⇒ CD ⊥ (ABC) ⇒ tam giác BCD vuông C BC ⊥ CD ® AD2 = AB + BD2 Khi đó B D BD2 = BC + CD2 √ ⇒ AD2 = AB + BC + CD2 ⇒ AD = a2 + b2 + c2 C Chọn đáp án A Câu 30 Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi vuông góc với Điểm nào đây các bốn đỉnh A, B, C, D tứ diện ABCD? A Trung điểm cạnh BD B Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C Trung điểm cạnh AD D Trọng tâm tam giác ACD -Lời ® giải AB ⊥ BC Ta có ⇒ AB ⊥ (BCD) ⇒ tam giác ABD vuông B A AB ⊥ CD AD Suy IA = IB = ID = , với I là trung điểm AD (1) O ® AB ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (ABC) ⇒tam giác ACD vuông C Lại có BC ⊥ CD B D AD Suy EA = EC = ED = , với E là trung điểm AD (2) Từ (1), (2) suy I ≡ E Vậy trung điểm cạnh AD cách A, B, C, D C Chọn đáp án C Câu 31 Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy ABC là tam giác cạnh a và độ dài các cạnh bên SA = SB = SC √ = b Gọi G là trọng tâm √ tam giác ABC Độ dài √ đoạn thẳng SG √ 9b2 + 3a2 b2 − 3a2 9b2 − 3a2 b2 + 3a2 A B C D 3 3 -Lời giải Vì SA = SB = SC và G là trọng tâm tam giác ABC S suy G là chân đường cao kẻ từ đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC) BC a Gọi M là trung điểm BC suy BM = CM = = 2 √ √ AM a a Tam giác ABC cạnh a, có GM = = · = 3 …6 √ a2 A C Tam giác SBM vuông M , có SM = SB − M B = b2 − Tam giác SGM vuông M G … G, có √ 2 − 3a2 √ a a 9b SG = SM − GM = b2 − − = 12 B Chọn đáp án C Câu 32 Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh 2a Trên đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S Biết góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) 45◦ Độ dài cạnh SO Th.s Nguyễn Chín Em 142 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (146) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ A SO = a Chương - Hình học 11 √ a C SO = √ B SO = a -Lời giải Vì O là hình chiếu S trên mặt phẳng (ABCD) Suy OA là hình chiếu SA trên mặt phẳng (ABCD) ’ = 45◦ Khi đó (SA; (ABCD)) = (SA; OA) = SAO ⇒ tam giác SAO vuông cân Tam giác ABC vuông cân B, có √ √ AC AB OA = = = a 2 √ Từ (1), (2) suy SO = OA = a √ a D SO = S (1) A (2) D O B C Chọn đáp án B Câu 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB =√a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh SA = a 15 Tính góc tạo đường thẳng SC và mặt phẳng (ABD) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Do SA ⊥ (ABCD) nên S ’ (SC, (ABD)) = (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = SCA Xét tam giác vuông SAC, ta có √ ’ = SA = √ SA tan SCA = AC AB + BC ◦ ’ Suy SCA = 60 D A B C Chọn đáp án C Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi ϕ là góc SO và mặt phẳng (ABCD) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ A tan ϕ = 2 B ϕ = 60◦ C tan ϕ = D ϕ = 45◦ -Lời giải Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc SO trên mặt đáy S (ABCD) là AO ’ Do đó (SO, (ABCD)) = (SO, OA) = SOA √ ’ = SA = 2 Trong tam giác vuông SAO, ta có tan SOA OA Vậy SO hợp với mặt đáy (ABCD) góc nhọn ϕ thỏa mãn tan ϕ = √ 2 D A O B Chọn đáp án A C ’ = 60◦ , tam giác SBC là tam Câu 35 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, ABC giác có cạnh 2a và nằm mặt phẳng vuông với đáy Góc đường thẳng SA và mặt phẳng đáy (ABC) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ Th.s Nguyễn Chín Em 143 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (147) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi H là trung điểm BC, suy SH ⊥ (ABC) Vì SH ⊥ (ABC) nên HA là hình chiếu SA trên mặt phẳng (ABC) ’ Do đó (SA, (ABC)) = (SA, AH) = SAH √ Tam giác SBC cạnh 2a nên SH = a Tam giác ABC vuông A nên AH = BC = a √ ’ = SH = 3, suy SAH ’ = Tam giác vuông SAH, có tan SAH AH ◦ 60 S B A H C Chọn đáp án C Câu 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Gọi ϕ là góc SD và mặt phẳng (ABCD) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ 15 ◦ A cot ϕ = √ B cot ϕ = C ϕ = 30 D cot ϕ = 15 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB, suy SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) S Vì SH ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc SD trên mặt đáy (ABCD) là HD ’ Do đó ϕ = (SD, (ABCD)) = (SD, HD)√ = SDH a Tam giác SAB cạnh a nên SH = √ √ a A D Lại có HD = AH + AB = ’ = DH = √5 Tam giác vuông SHD, có cot ϕ = cot SDH SH 15 H B C Chọn đáp án A Câu 37 Cho chóp S.ABCD có cạnh đáy 2, cạnh bên Gọi ϕ là góc giữa cạnh bên và mặt đáy Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ 14 ◦ ◦ A tan ϕ = B ϕ = 60 C ϕ = 45 D tan ϕ = -Lời giải Gọi O là tâm mặt đáy (ABCD), suy SO ⊥ (ABCD) S Vì SO ⊥ (ABCD), suy OA là hình chiếu SA trên mặt phẳng (ABCD) ’ Do đó (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO Tam giác vuông SOA, có √ √ SB − BO2 14 SO ’ = = tan SAO = A D AO AO O B Chọn đáp án D C Câu 38 Cho tứ diện ABCD Gọi α là góc AB và mặt phẳng (BCD) Chọn khẳng định đúng các khẳng √ định sau? √ √ 3 A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 144 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (148) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là trọng tâm tam giác BCD ⇒ AH ⊥ (BCD) √ a Gọi a là độ dài cạnh tứ diện ABCD ⇒ BH = √ ’ ⇒ cos α = BH = Khi đó α = ABH AB A D C H B Chọn đáp án A Câu 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 4a Cạnh bên SA = 2a Hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H đoạn thẳng AO Gọi α là góc SD và mặt phẳng (ABCD) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ √ A tan α = B tan α = C tan α = D tan α = -Lời giải Vì SH ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc SD trên mặt phẳng (ABCD) là HD S ’ Do đó (SD, (ABCD)) = SDH √ = (SD, HD) √ Tính SH = SA2 − AH = a Trong tam giác ADH, ta có p √ DH = AH + AD2 − 2AH · AD · cos 45◦ = a 10 √ A D SH ’ = = Tam giác vuông SHD, có tan SDH HD H O B C Chọn đáp án C ’ = 60◦ Hình chiếu vuông góc Câu 40 Cho lăng trụ ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình thoi cạnh a, BAD B xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo đáy và cạnh bên BB = a Tính góc cạnh bên và mặt đáy A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Gọi O = AC ∩ BD Theo giả thiết B O ⊥ (ABCD) D0 C0 0 ÷ Do đó (BB , (ABCD)) = (BB , BO) = B BO a Vì tam giác ABD cạnh a, suy BO = BD = 2 A0 Tam giác vuông B BO, có B0 BO BO = BO = 60◦ ÷ ÷ cos B = ⇒B BB D C O A B Chọn đáp án C √ Câu 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a Hình chiếu Th.s Nguyễn Chín Em 145 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (149) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 a Gọi M, N là trung điểm các cạnh BC và SC Gọi α là góc đường thẳng M N với mặt đáy (ABCD) Mệnh đề nào sau đây đúng? B tan α = C tan α = D tan α = A tan α = -Lời giải Ta có M N k SB S Do đó (M N, (ABCD)) = (SB, (ABCD)) Do SH ⊥ (ABCD) nên vuông góc H S trên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC và SH = ’ (M N, (ABCD)) = (SB, (ABCD)) = (SB, HB) = SBH √ BD 2a AB + AD2 = 2a; BH = = 3 ’ = SH = Tam giác SHB, có tan SBH BH Chọn đáp án B N A Ta có BD = H M B D O C Câu 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với đáy Gọi M , N√lần lượt là trung điểm SA và BC Tính góc đường thẳng M N với mặt phẳng (ABCD), a 10 biết M N = ◦ A 30 B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Kẻ M K k SO, SO ⊥ (ABCD), suy M K ⊥ (ABCD) S ÷ Do đó (M N, (ABCD)) = (M N, N K) = M N K √ 3a Ta có CK = CA = 4 Tam giác CN K, có M √ √ 2 2 CN + CK − KN a 10 = cos 45◦ = ⇒ KN = 2CN · CK A B Tam giác vuông M N K, có K NK O N ÷ ÷ = ⇒M N K = 60◦ cos M NK = MN D C Chọn đáp án C Câu 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABCD) và SA = 2a Gọi ϕ là góc đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) Mệnh đề nào sau √ đây đúng? √ 5 A cos ϕ = B cos ϕ = C ϕ = 60◦ D ϕ = 30◦ 5 -Lời giải ® BA ⊥ AD Ta có ⇒ BA ⊥ (SAD) Suy hình chiếu vuông BA ⊥ SA góc SB trên mặt phẳng (SAD) là SA S ’ Do đó (SB, (SAD)) = (SB, SA) = BSA Tam giác vuông SAB, ta có √ SA SA ’ cos BSA = =√ = SB SA2 + AB A D B Th.s Nguyễn Chín Em 146 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (150) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B √ Câu 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy Gọi α là góc SC và mặt phẳng (SAB) Chọn khẳng định đúng các khẳng định sau? A tan α = √ B tan α = √ D tan α = √ C α = 30◦ -Lời giải ® BC ⊥ BA Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) Suy hình chiếu vuông BC ⊥ SA góc SC trên mặt phẳng (SAB) là SB ’ Do đó (SC, (SAB)) = (SC, SB) √ = CSB √ Tam giác vuông SAB, có SB = SA2 + AB = a ’ = BC = √1 Tam giác vuông SBC, có tan CSB SB S A D B C Chọn đáp án B Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc SC và mặt đáy (ABCD) 45◦ Gọi ϕ là góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ A tan ϕ = B tan ϕ = C ϕ = 60◦ D ϕ = 45◦ -Lời giải ’ suy Xác định 45◦ =√ (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = SCA, SA = AC = 2a ® DO ⊥ AC Gọi O = AC ∩ BD, ta có ⇒ DO ⊥ (SAC) nên DO ⊥ SA hình chiếu vuông góc SD trên mặt phẳng (SAC) là SO ’ Do đó (SD, (SAC)) = (SD, SO) = DSO √ √ BD = a 2; SO = SA2 + AO2 = Ta có DO = √ √ SA2 + DO2 = a 10 √ OD ’= Tam giác vuông SOD, có tan DSO = OS S A D O B C Chọn đáp án A √ Câu 46 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2, AA0 = Tính góc đường thẳng A0 C với mặt phẳng (AA0 B B) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 147 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (151) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Chương - Hình học 11 BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (AA0 B B) BC ⊥ AA0 ⁄ C, A0 B) = CA B ÷ Do đó (A0¤ C, (AA0 B B)) = (A 0 Vì BC ⊥ (AA B B) ⇒ BC ⊥ BA nên tam giác A0 BC vuông B Tam giác vuông A0 BC, có Ta có 0B = ÷ tan CA A0 D0 B0 BC BC =√ =√ 02 A0 B AA + AB C0 D A Vậy A0 C tạo với mặt phẳng (AA0 B B) góc 30◦ B C Chọn đáp án A Câu 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H, K là trung điểm các cạnh AB và AD Gọi ϕ là góc đường thẳng SA và mặt phẳng (SHK) Mệnh đề nào sau đây đúng?√ √ √ √ 14 A tan ϕ = B tan ϕ = C tan ϕ = D tan ϕ = -Lời giải Gọi I = HK ∩ AC Do H, K là trung điểm AB và S AD nên HK k BD Suy HK ⊥ AC Lại có AC ⊥ SH nên suy AC ⊥ (SHK) ‘ Do đó (SA, (SHK)) = (SA, SI) = ASI Tam giác SIA vuông I, có √ AC AI ‘ =√ = tan ASI = 2 SI SA − AI K A D I H B C Chọn đáp án C Câu 48 Cho hình√chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, AB = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy Tính góc đường thẳng SC với mặt phẳng (SAD) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm AD, suy ABCM là hình vuông nên CM ⊥®AD CM ⊥ AD Ta có ⇒ CM ⊥ (SAD) S CM ⊥ SA Suy hình chiếu vuông góc SC trên mặt phẳng (SAD) là SM ’ Do đó (SC, (SAD)) = (SC, SM ) = CSM Tam giác vuông SM C, có ’ = 30◦ ’ = CM = √ AB tan CSM = √ ⇒ CSM SM SA2 + AM B Chọn đáp án A M A D C Câu 49 Cho hình chóp (α) có đáy ABCD là hình vuông Mặt bên SAB là tam giác có đường cao SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi α là góc BD và mặt phẳng (SAD) Chọn khẳng định đúng các khẳng định sau? Th.s Nguyễn Chín Em 148 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (152) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A α = 60◦ B α = Chương - Hình học 11 √ C cos α = √ 2 30◦ -Lời giải Gọi I là trung điểm SA Do tam (1) ® giác SAD nên BI ⊥ SA AD ⊥ AB Ta có ⇒ AD ⊥ (SAD) ⇒ AD ⊥ BI (2) AD ⊥ SH Từ (1) và (2), ta có BI ⊥ (SAD) nên hình chiếu vuông góc BD trên mặt phẳng (SAD) là ID ’ Do đó (BD, (SAD)) = (BD, ID) = BDI Tam giác BDI vuông I nên √ AB √ BI ’ √ = √ sin BDI = = BD AB 2 √ D sin α = √ 2 S I A D H B C Chọn đáp án D Câu 50 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi α là góc AC và mặt phẳng (A0 BCD0 ) Chọn khẳng định đúng các khẳng định sau? √ A α = 30◦ B tan α = √ C α = 45◦ D tan α = -Lời giải 0 Gọi A0 C ® ∩0 AC = I;0 C D ∩ CD = H A0 D0 C D ⊥ CD ⇒ C D ⊥ (A0 BCD0 ) ⇒ IH là hình chiếu Ta có C D ⊥ A0 D vuông góc AC trên mặt phẳng (A0 BCD0 ) B0 C0 Do đó H IH ’ AC , A0 BCD0 = C I, A0 BCD0 = (C I, HI) = C I Trong tam giác vuông C HI, có D A √ AB √ C 0H IH = ’ tan C = = AB IH B C Chọn đáp án D Câu 51 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng (α) qua S vuông góc với AB Tính diện tích S thiết diện √ tạo (α) với hình chóp √ đã cho 2 √ a a a2 B S = C S = a2 D S = A S = 2 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB S Suy SH ⊂ (α) và SH ⊥ (ABCD) (do (SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB) Kẻ HM ⊥ AB (M ∈ CD) ⇒ HM ⊂ (α) Do đó thiết diện √ là tam giác SHM vuông H a , HM = BC = 2a Ta có SH = A D √ √ a a2 Vậy S4SHM = · · 2a = 2 H M B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em C 149 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (153) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 52 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, tâm O; SO = 2a Gọi M là điểm thuộc đoạn AO (M 6= A; M 6= O) Mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với AO Đặt AM = x Tính diện tích S thiết diện tạo (α) với hình chóp S.ABC √ 2 A S = 2a B S = 2x C S = (a − x)2 D S = 2(a − x)2 -Lời giải Vì S.ABC là hình chóp nên SO ⊥ (ABC) (O là tâm tam giác ABC) Do đó SO ⊥ AA0 mà (α) ⊥ AA0 suy SO k (α) Tương tự ta có BC k (α) Qua M kẻ IJ k BC với I ∈ AB, J ∈ AC; kẻ M K k SO với K ∈ SA Khi đó thiết diện là tam giác KIJ Diện tích tam giác IJK là S4IJK = IJ · M K IJ AM Trong tam giác ABC, ta có suy = BC AA0 √ AM · BC 2x IJ = = AA0 S K A C J I MO N B √ MK AM AM · SO Tương tự tam giác SAO, ta có = suy M K = = 2x SO AO AO √ √ 2x Vậy S4IJK = · · 2x = 2x Chọn đáp án B Câu 53 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với trung tuyến SI tam giác SBC Tính diện tích S thiết diện tạo (α) với hình chóp đã cho √ √ √ √ 2a2 21 4a2 21 a2 21 2a2 21 A S = B S = C S = D S = 49 49 7 -Lời giải Gọi I là trung điểm BC ⇒ AI ⊥ BC Kẻ AK ⊥ SI (K ∈ SI) Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC tạị M, N Khi đó thiết diện là tam giác AM N Ta có ® BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AK ⇒ M N ⊥ AK BC ⊥ SA √ a 21 SA · AI = Tam giác vuông SAI, có AK = √ SA2 + AI Trong tam giác SBC, ta có SA2 S N H A B M I SA2 MN SK 4a = = = = ⇒ MN = 2 BC SI SI SA + AI 7 √ 2a2 21 Vậy S4AM N = AK · M N = 49 Chọn đáp án A C Câu 54 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Mặt phẳng (α) qua trung điểm E SC và vuông góc với AB Tính diện tích S thiết diện tạo (α) với hình chóp đã cho √ √ √ √ a2 5a2 5a2 5a2 B S = C S = D S = A S = 16 32 32 16 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 150 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (154) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi F là trung điểm AC, suy EF k SA Do SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB nên EF ⊥ AB (1) Gọi J, G là trung điểm AC, AJ Suy CJ ⊥ AB và F G k CJ nên F G ⊥ AB (2) Trong 4SAB kẻ GH k SA (H ∈ SB), suy GH ⊥ AB (3) Từ (1), (2) và (3), suy thiết diện cần tìm là hình thang vuông EF GH Do đó SEF GH = (EF + GH) · F G Ta có √ a a EF = SA = ; F G = CJ = ; 2 BG 3a GH = ⇒ GH = BG = SA BA √ Å ã 4√ a 3a a 5a2 Vậy SEF GH = · + = 2 4 32 S H E F A B G J C Chọn đáp án C Câu 55 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC Tính diện tích S thiết diện tạo (α) với hình chóp đã cho √ √ √ √ a2 15 a2 a2 a2 15 A S = B S = C S = D S = 10 12 20 -Lời giải Gọi I là ® trung điểm AC, suy BI ⊥ AC S BI ⊥ AC Ta có ⇒ BI ⊥ (SAC) ⇒ BI ⊥ SC (1) BI ⊥ SA Kẻ IH ⊥ SC (H ∈ SC) (2) H Từ (1) và (2), suy SC ⊥ (BIH) Vậy thiết diện cần tìm là tam giác IBH I Do BI ⊥ (SAC) ⇒ BI ⊥ IH nên 4IBH vuông I √ A a C Ta có BI đường cao tam giác cạnh a nên BI = Tam giác CHI đồng dạng tam giác CAS, suy √ IH CI CI · SA CI · SA a = ⇒ IH = =√ = B SA CS CS SA2 + AC √ a2 15 Vậy S4BIH = BI · IH = 20 Chọn đáp án D Câu 56 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên b Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với √ SC Tìm hệ thức a√và b để (α) cắt SC điểm √ C1 nằm S và C √ A a > b B a > b C a < b D a < b -Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Do S.ABC là hình chóp nên S SG ⊥ ® (ABC) Gọi C là trung điểm AB Suy C, C , G thẳng hàng AB ⊥ CC Ta có ⇒ AB ⊥ (SCC ) ⇒ AB ⊥ SC (1) SG ⊥ AB C1 Trong tam giác SAC, kẻ AC1 ⊥ SC (2) Từ (1) và (2), suy SC ⊥ (ABC1 ) Suy thiết diện cần tìm là tam giác ABC1 thỏa mãn qua A và vuông A C góc với SC Tam giác SAC cân S nên để C1 nằm S và C ’ < 900 và ASC G N M √ ’ > ⇔ SA2 + SC − AC > ⇔ 2b2 − a2 > ⇒ a < b Suy cos ASC Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 151 B https://emncischool.wixsite.com/geogebra (155) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 57 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A, đáy lớn AD = 8, BC = 6, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = Gọi M là trung điểm AB Gọi (P ) là mặt phẳng qua M và vuông góc vớiAB Thiết diện (P ) và hình chóp có diện tích bằng: A 10 B 20 C 15 D 16 -Lời giải Do (P ) ⊥ AB ⇒ (P ) k SA S Gọi I là trung điểm SB ⇒ M I k SA ⇒ M I ⊂ (P ) Gọi N là trung điểm CD ⇒ M N ⊥ AB ⇒ M N ⊂ (P ) Gọi K là trung điểm SC ⇒ IK k BC, mà M N k BC ⇒ M N k IK ⇒ IK ⊂ (P ) Vậy thiết diện P và hình chóp là hình thang M N KI vuông I K M Ta có M I là đường trung bình tam giác SAB ⇒ M I = SA = 3; IK là đường trung bình tam giác SBC ⇒ IK = A D BC = 3; M N là đường trung bình hình thang ABCD ⇒ M N = M N (AD + BC) = B C IK + M N Vậy SM N KI = · M I = 15 Chọn đáp án C Câu 58 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, tâm O, đường cao AA0 ; SO = 2a Gọi M là điểm thuộc đoạn OA0 (M 6= A0 ; M 6= O) Mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với AA0 Đặt AM = x Tính diện tích S thiết diện tạo (α) với hình chóp S.ABC Ä ä Ä ä √ √ A S = −2 8x2 − 3ax + 3a2 B S = 8x2 − 3ax + 3a2 √ (a − x)2 D S = 2(a − x)2 C S = -Lời giải Vì S.ABC là hình chóp nên SO ⊥ (ABC) (O là tâm tam S giác ABC) Do đó SO ⊥ AA0 mà (α) ⊥ AA0 suy SO k (α) Tương tự ta có BC k (α) Qua M kẻ IJ k BC với I ∈ AB, J ∈ AC; kẻ M N k SO với F N ∈ SA0 Qua N kẻ EF k BC với E ∈ SB, F ∈ SC N Khi đó thiết diện là hình thang IJF E E J A C Diện tích hình thang SIJEF = (IJ + EF ) M N Trong tam giác ABC, ta có O A0 M √ IJ AM AM · BC 2x = ⇒ IJ = = 0 BC AA AA I B Ä ä √ EF SN OM OM · BC Trong tam giác SBC, ta có = = ⇒ EF = =2 x 3−a 0 BC SA OA OA Ä √ ä MN MA SO · M A0 = Trong tam giác SOA , ta có ⇒ M N = = 3a − 2x SO OA0ä OA0 Ä ä Ä Ä ä √ √ √ Vậy SIJEF = 4x − 3a 3a − 2x = −2 8x2 − 3ax + 3a2 Chọn đáp án A √ Câu 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy Mặt phẳng (α) qua A vuông góc với SC Tính diện tích S thiết diện tạo (α) với hình chóp đã cho √ √ √ √ a2 12a2 6a2 a2 A S = B S = C S = D S = 35 35 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 152 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (156) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Trong tam giác SAC, kẻ AI ⊥ SC (I ∈ SC) Trong mp(SBC), dựng đường thẳng qua I vuông góc với SC cắt SB M Trong mp(SCD), dựng đường thẳng qua I vuông góc với SC cắt SD N Khi đó thiết diện hình chóp cắt mp (α) là tứ giác AM IN Ta có SC (1) ® ⊥ (α) ⇒ SC ⊥ AM BC ⊥ AB Lại có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AM (2) BC ⊥ SA Từ (1) và (2), suy AM ⊥ (SBC) ⇒ AM ⊥ M I Chứng minh tương tự, ta AN ⊥ N I S I N M D A B 1 Do đó SAM IN = S4AM I + S4AN I = AM · M I + AN · N I 2 Vì AM, AI, AN là các đường cao các tam giác vuông SAB, SAC, SAD nên: √ √ SA · AC SA · AB 2a SA · AD 2a 21 AM = √ = √ ; AI = √ = a 2; AN = √ = 2 2 SA2 + AB √ SA + AC √ SA + AD √ √ a 30 a 14 Suy M I = AI − AM = và N I = AI − AN = 5√ Ç √ √ å √ 2a a 30 2a 21 a 14 12a2 √ · Vậy SAM IN = + · = 7 35 Chọn đáp án B C √ Câu 60 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông cân A với BC = a 2; AA0 = a và vuông góc với đáy Mặt phẳng (α) qua M là trung điểm BC và vuông góc với AB Thiết diện tạo (α) với hình lăng trụ ABC.A0 B C là: A Hình thang cân B Hình thang vuông C Tam giác D Hình chữ nhật -Lời giải Gọi N là trung điểm AB ⇒ M N ⊥ AB Ta có B0 C0 ® M N ⊥ AB 0 0 ⇒ M N ⊥ ABB A ⇒ M N ⊥ AB ⇒ M N ⊂ (α) M N ⊥ AA A0 Từ giả thiết suy AB = a = AA0 ⇒ ABB A0 là hình vuông, suy BA0 ⊥ AB Trong mp (ABB A0 ) kẻ N Q k BA0 với Q ∈ AA0 Trong mp (ACC A0 ) kẻ QR k AC với R ∈ CC Vậy thiết diện là hình thang M N QR vuông (do M N và QR cùng song song với AC và M N ⊥ N Q) R Q B M C N A Chọn đáp án B Câu 61 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng BD vuông góc với đường thẳng nào sau đây? A SB B SD C SC D CD -Lời giải SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD (1) S ABCD là hình vuông⇒ AC ⊥ BD (2) Từ (1) và (2) suy BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC D A B Th.s Nguyễn Chín Em 153 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (157) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu 62 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và nằm mặt phẳng BD với (SAD) Tính√sin α √ vuông góc với đáy Gọi α là góc tạo đường thẳng √ 10 A B C D 2 4 -Lời giải S H A D B C Trong (SAB), kẻ BH ⊥ SA (H ∈ SA) (SAB) ⊥ (ABCD) (1) (SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ AD ⊥ (SAB), đó AD ⊥ BH AD ⊥ AB Kết hợp với (1) suy BH ⊥ (SAD).Do đó HD là hình chiếu BD trên (SAD) ÷ Từ đó ta có α = (BD, (SAD)) = (BD, HD) √ = BDH √ a Hình vuông ABCD cạnh a nên BD = a Tam giác SAB cạnh a nên BH = Xét 4BDH vuông H, ta có √ BH ÷ sin BDH = = BD Ta có Chọn đáp án C √ a Câu 63 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD) Biết SA = Tính góc SC và (ABCD) A 30◦ B 60◦ C 75◦ D 45◦ -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABCD) A và SC ∩ (ABCD) = C nên AC S là hình chiếu SC lên ABCD ’ Suy góc SC và (ABCD) là góc SCA Ta có √ a √ SA 3 ’ ’ = 30◦ tan SCA = = √ = ⇒ SCA AC a A D Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em B C 154 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (158) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 64 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Một đường thẳng và mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với -Lời giải Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chưa đồng phẳng nên không phải lúc nào song song Chọn đáp án D Câu 65 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng BD vuông góc với đường thẳng nào sau đây? A SB B SD C SC D CD -Lời giải SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD (1) S ABCD là hình vuông ⇒ AC ⊥ BD (2) Từ (1) và (2) suy BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC A B D C Chọn đáp án C ABCD.A0 B C D0 Câu 66 Cho hình lập phương có độ dài cạnh Gọi (P ) là mặt phẳng chứa 0 CD và tạo với mặt phẳng BDD B góc x nhỏ nhất, cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích S √ Giá trị S √ √ √ 6 6 A B C D 12 -Lời giải N D0 A0 B0 C0 I A M D O B C Góc (P ) qua CD0 hợp với (BB D0 D) góc nhỏ với góc đường thẳng CD0 và (BB D0 D) √ √ √ OD = 3 2 ÷0 = … ⇒ cos DOD Ta có ⇒ OM = ⇒ D là trung điểm BM 3 OD = Kéo dài M D0 cắt BB N Đường thẳng CN cắt B C I, ta I là trung điểm B C Th.s Nguyễn Chín Em 155 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (159) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta thiết diện cần tìm là 4ICD0 √ Tính S = Chọn đáp án B Câu 67 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Gọi M là trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng BM √ và mặt phẳng√(ABCD) 2 A B C D 3 S M A D B C -Lời giải S M A D I O B C Ta chia bài toán thành phần: Phần 1: Xác định góc đường thẳng và mặt phẳng Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, suy SO ⊥ (ABCD) với O là tâm hình vuông ABCD Trong tam giác 4SOD, qua M ta kẻ đường thẳng M I k SO cắt OD I Do đó I là trung điểm OD và M I ⊥ (ABCD) Nên I là hình chiếu M lên mặt phẳng (ABCD), suy BI là hình chiếu BM lên mặt phẳng (ABCD) ’ Vậy (BM, (ABCD)) = (BM, BI) = M BI ’ Phần 2: Tính tan góc M BI √ 3 2a Do I là trung điểm OD nên BI = BD = 4 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác 4M ID vuông I ta có: √ a 2 Ç √2 å2 2a 2 M I = M D − ID = − = ⇔ MI = √ MI 2a ’ Xét tam giác 4M BI vuông I ta có: tan M BI = = · √ = BI 3 2a Chọn đáp án D Câu 68 Cho tứ diện ABCD Tính côsin góc AB và (BCD) √ √ A B C √ 3 √ D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 156 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (160) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Đặt AB = a Gọi G là trọng tâm 4BCD, tứ diện ABCD đều, suy AG ⊥ (BCD) Suy BG là hình chiếu AB lên (BCD) ¤ ⁄ ’ Do đó (AB, (BCD)) √ = (AB, √ BG) = ABG a a Ta có GB = · = 3√ ’ = BG = Suy cos ABG AB A B D G M C Chọn đáp án A Câu 69 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Có bao nhiêu phát biểu đúng các phát biểu sau AC ⊥ B D AC ⊥ B C AC ⊥ DD AC ⊥ BD A B C -Lời giải Ta có AC ⊥ (BDD0 B ) ⇒ AC ⊥ B D0 Do BC k B C và (BC, AC) = 45◦ ⇒ (B C , AC) = 45◦ Mà DD0 ⊥ (ABCD) ⇒ DD0 ⊥ AC BD ⊥ (ACC A0 ) ⇒ BD ⊥ AC D D0 C0 B0 A0 D C A Chọn đáp án B B Câu 70 Cho tứ diện ABCD có điểm M là trung điểm cạnh CD Chọn mệnh đề sai các mệnh đề sau A BM ⊥ AD B BM ⊥ CD C AM ⊥ CD D AB ⊥ CD -Lời giải Ta có A BM ⊥ CD (vì tam giác BCD đều) AM ⊥ CD (vì tam giác ACD đều) DC ⊥ (ABM ) ⇒ DC ⊥ AB Vậy khẳng định “BM ⊥ AD” là mệnh đề sai B C M D Chọn đáp án A Câu 71 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Có mặt phẳng qua điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước B Có mặt phẳng qua điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước C Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước Th.s Nguyễn Chín Em 157 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (161) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 D Có đường thẳng qua điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước -Lời giải Có mặt phẳng qua điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước Đây mệnh đề đúng Các mệnh đề còn lại sai Chọn đáp án B √ Câu 72 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi α là góc SC và mặt phẳng (ABCD) Chọn khẳng định đúng các khẳng định sau? √ A α = 45◦ B α = 60◦ C cos α = D α = 30◦ -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu S lên mặt S phẳng (ABCD) ’ (do Vậy ta có α = (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = SCA 4SAC vuông A) * Tính góc α √ Vì ABCD là hình vuông nên AC = a √ SA Do 4SAC vuông A nên tan α = = a AC Vậy α = 60◦ B A D C Chọn đáp án B Câu 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) Mệnh đề nào đây sai? A SA ⊥ BD B CD ⊥ SD C SD ⊥ AC D BC ⊥ SB -Lời giải S SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD ® CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD CD ⊥ SA ® BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ SA A Mệnh đề SD ⊥ AC là sai B D C Chọn đáp án C Câu 74 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a Điểm M và N tương ứng là trung điểm các đoạn AC, BB Cô-sin góc đường thẳng M N và (BA√0 C ) √ √ √ 21 21 105 B C D A 14 21 21 14 B0 C0 A0 N B C M A Th.s Nguyễn Chín Em 158 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (162) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi I là trung điểm A0 C ⇒ BM IB là hình chữ nhật Gọi K®= M N ∩ BI IM ⊥ A0 C ⇒ A0 C ⊥ (BM I) Ta có BI ⊥ A0 C ® (BM I) ⊥ (A0 C B) Suy (BM I) ∩ (A0 C B) = BI Trong mặt phẳng (BM I), dựng M H ⊥ BI ⇒ M H ⊥ (A0 C B) ÷ ’ ⇒ (M¤ N ; (BA0 C )) = (M¤ K; (BA0 C )) = M KH = M KI B0 C0 I A0 H N K B C M A NK BK NB Ta có 4N KB ∼ 4M KI ⇒ = = = MK IK MI 2 N K = M K M K = M N = a 3√ √ Suy ⇔ a a IK = 2KB IK = IB = · = 3 Áp dụng định lý Cô-sin tam giác 4IKM , ta có: 7a2 4a2 √ + − a2 2 IK + M K − IM 9 ’ √ cos M KI = = = · IK · M K 14 a 2a 2· · 3 Chọn đáp án D Câu 75 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy A 30◦ B 90◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải ’ Góc đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là SBA AB a ’= Tam giác SAB vuông A có cos SBA = = SB 2a ’ = 60◦ Suy SBA S A B D C Chọn đáp án C Câu 76 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết SA = SC và SB = SD Khẳng định nào đây sai? A AC ⊥ BD B BD ⊥ SA C CD ⊥ (SBD) D SO ⊥ (ABCD) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 159 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (163) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S A D O B C Dễ thấy khẳng định CD ⊥ (SBD) là khẳng định sai Chọn đáp án C Câu 77 Cho tứ diện ABCD có AB = AC, DB = DC Khẳng định nào sau đây là đúng? A AB ⊥ BC B CD ⊥ (ABD) C BC ⊥ AD D AB ⊥ (ABC) -Lời giải Gọi K ® là trung điểm BC D AK ⊥ BC Ta có: ⇒ BC ⊥ (ADK) ⇒ BC ⊥ AD DK ⊥ BC A C K B Chọn đáp án C Câu 78 Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Số các mặt hình chóp S.ABC là tam giác vuông là A B C D -Lời giải Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AC S Vậy 4SAB và 4SAC vuông A ® SA ⊥ BC Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB AB ⊥ BC Vậy 4SBC vuông B Suy hình chóp S.ABC có mặt là tam giác vuông A C B Chọn đáp án C a Câu 79 Hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, chiều cao h = √ Góc cạnh bên với mặt đáy là A 60◦ B 15◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 160 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (164) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S.ABCD là hình chóp tứ giác nên ABCD là hình vuông ® và SO ⊥ (ABCD) O là hình chiếu S trên (ABCD) Ta có C là hình chiếu C trên (ABCD) ⇒ OC là hình chiếu SC trên (ABCD) ’ Nên (SC, (ABCD)) = (SC, OC) = SCO Xét tam giác ADC vuông D: √ + DC ⇒ AC = a AC = AD√ a ⇒ OC = Xét tam giác SOC vuông O: ’ = 45◦ ’ = SO = ⇒ SCO tan SCO OC S h B A O a D C Chọn đáp án C √ √ √ a a Câu 80 Cho hình chóp S.ABC có SA = SC = , SB = a 2, AB = BC = , AC = a Tính góc 2 (SB, (ABC)) A 90◦ B 45◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải Gọi H là trung điểm AC S Do tam giác SAC cân S nên SH ⊥ AC, tam giác BAC cân B nên BH ⊥ AC suy AC ⊥ (SHB) Gọi I là hình chiếu S trên HB Suy SI ⊥ (ABC) ‘ = SBH ’ Do đó (SB, (ABC)) = SBI Tam giác SHC vuông H có √ p a 2 SH = SC − HC = ; A Tam giác BHC vuông H có p a HB = BC − HC = ; B I H √ + BH − SH 2 SB ’ = cos SBH = · SB · BH C ’ = 45◦ Vậy góc SBH Chọn đáp án B √ Câu 81 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2, BC = 2, I là trung điểm AB Biết SI vuông góc với (ABCD) và 4SAB Tính góc ϕ đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) A ϕ = 30◦ B ϕ = 45◦ C ϕ = 75◦ D ϕ = 60◦ -Lời giải S D A I B Ta có SI = √ C √ SI ‘ 3, IC = Lại có ϕ = SCI nên tan ϕ = = ⇒ ϕ = 30◦ CI Th.s Nguyễn Chín Em 161 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (165) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 82 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh Gọi E, M là trung điểm BC và SA Gọi α là góc tạo EM và (SBD) Khi √ đó tan α √ A B C D -Lời giải • Gọi O tâm hình vuông ABCD cạnh a, N là điểm S đối xứng với D qua C Khi đó SO ⊥ (ABCD) và có EM làđường trung bình của 4SAN nên EM k SN ¤ ¤ Do đó EM ; (SBD) = SN ; (SBD) (1) M C D N O E A B ® AC ⊥ SO vì SO ⊥ (ABCD) • Ta có ⇒ AC ⊥ (SBD) AC ⊥ BD vì ABCD là hình vuông Kết hợp BN k AC (vì ABN (2) C là hìnhbình hành) ta BN ⊥ (SBD) ¤ ’ = α • Từ (1) và (2) ta EM ; (SBD) = BSN √ AC a √ BN Vậy tan α = = = = SB SB a Chọn đáp án C √ Câu 83 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hinh vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với (ABCD) Góc SC và (ABCD) A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Do giả thiết ta có SA ⊥ (ABCD) suy SA ⊥ AC và AC là hình chiếu S vuông góc SC trên mặt phẳng (ABCD) ’ Khi đó góc (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = SCA SA ’= Xét tam giác SAC ta có tan SCA AC √ ’ = ⇔ SCA ’ = 45◦ Mà AC = 2a nên tan SCA A D C B Chọn đáp án A √ Câu 84 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a, SA = 3a và vuông góc với (ABCD) Tính góc hai đường thẳng SB và CD A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải ’ Ta có AB k CD suy (SB, CD) = (SB, AB) = SBA S Trong tam giác SAB vuông A, ta có √ SA 3a √ ’ ’ = 60◦ tan SBA = = = ⇒ SBA AB a Vậy (SB, CD) = 60◦ D A B Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em C 162 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (166) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’ = 60◦ , cạnh bên SA = Câu 85 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC SA vuông góc với (ABCD) Tính góc SB và (SAC) A 90◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦ -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD S Do ABCD là hình thoi nên BO ⊥ AC (1) Lại có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BO (2) Từ (1) và (2) suy BO ⊥ (SAC) ’ Vậy (SB, (SAC)) = (SB, SO) = BSO ’ = 30◦ nên suy AO = Trong tam giác vuông√BOA, ta có ABO a a AB = và BO = 2 A Trong tam giác vuông SAO, ta có 2a và D O a2 3a + = BO ⊥ (SAC) ⇒ BO ⊥ SO√⇒ ∆SOB√vuông O ’ = BO = a · = Ta có tan BSO SO 3a ’ = 30◦ Vậy (SB, (SAC)) = (SB, SO) = BSO Chọn đáp án B p SO = SA2 + AO2 = √ 2a2 B C Câu 86 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) Khẳng định nào sau đây sai? A CD ⊥ (SBC) B SA ⊥ (ABC) C BC ⊥ (SAB) D BD ⊥ (SAC) -Lời giải Từ giả thiết, ta có : SA ⊥ (ABC) S ® BC ⊥ AB Ta có : ⇒ BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SA ® BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) Ta có: BD ⊥ SA A D Do đó: CD ⊥ (SBC) sai Nhận xét: Ta có có thể giải sau: ® C CD ⊥ AD B ⇒ CD ⊥ (SAD) CD ⊥ SA Mà (SCD) và (SAD) không song song hay trùng nên CD ⊥ (SCD) là sai Chọn đáp án A Câu 87 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, SA = SC, SB = SD Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A SA ⊥ (ABCD) B SO ⊥ (ABCD) C SC ⊥ (ABCD) D SB ⊥ (ABCD) -Lời giải Ta có SA = SC suy SO ⊥ AC S Ta có SB = SD suy SO ⊥ BD Vậy SO ⊥ (ABCD) A D O B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em C 163 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (167) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 88 Chọn mệnh đề đúng các mệnh đề sau A Nếu a k (α) và b ⊥ a thì b k (α) B Nếu a k (α) và b ⊥ a thì b ⊥ (α) C Nếu a k (α) và b ⊥ (α) thì a ⊥ b D Nếu a k (α) và b k a thì b k (α) -Lời giải Nếu a k (α) và b ⊥ (α) thì a ⊥ b Chọn đáp án C Câu 89 Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh 6a Gọi M , N là trung điểm CA, CB, P là điểm trên cạnh BD cho BP = 2P D Diện tích S thiết diện tứ diện ABCD bị cắt mặt phẳng (M N P √) là √ √ √ 147a 147a2 51a2 51a2 A S = B S = C S = D S = 4 -Lời giải Gọi E là trung ® điểm AB D DE ⊥ AB Do giả thiết ⇒ AB ⊥ (CED) CE ⊥ AB Dễ thấy M N là đường trung bình 4ABC Q I P nên M N k AB Gọi Q là giao điểm DA với mặt phẳng (M N P ) suy P Q k AB (Q ∈ AD) Nên M N P Q là hình thang Mà BP = 2P D nên DP = Mặt khác, xét tam giác DAB theo định lý Talét ta có DB DQ DP PQ = = A C DA DB AB M Suy P Q = AB ⇔ P Q = 2a J E N B Gọi {I} = P Q ∩ DE và {J} = M N ∩ CE Do M N k AB theo chứng minh trên M N ⊥ (DEC) (P Q + M N ) · IJ Do đó M N ⊥ IJ nên SM N P Q = √ √ CE 3a Dễ thấy EJ = = và EI = DE = 3a 2 ‘ (1) Xét tam giác IJE ta có IJ = IE + JE − 2IE · JE · cos IEJ Mặt khác tam giác EDC ta có 2 2 36a2 ’ = DE + EC − DC ⇔ cos DEC ’ = 27a +√27a − ’ = (2) √ cos DEC ⇔ cos DEC 2ED · EC √ √ · 3a · 3a 2 √ 27a 3a 51a 51a + 12a2 − · · 3a · ⇔ IJ = ⇔ IJ = Từ (1) và (2) suy IJ = 4 √ 51a √ (2a + 3a) · 51a2 Do đó SM N P Q = = Chọn đáp án D Câu 90 Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ∆? A Vô số B C D -Lời giải Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O Qua O có vô số đường thẳng vuông góc với ∆, nằm trên mặt phẳng qua O và vuông góc với ∆ Chọn đáp án A Câu 91 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) Mệnh đề nào sau đây đúng? A AB ⊥ (SAD) B AB ⊥ (SAC) C AB ⊥ (SBC) D AB ⊥ (SCD) -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, mà AB ⊥ AD nên AB ⊥ (SAD) Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 164 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (168) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 92 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA ⊥ (ABCD), SB = 5a Tính sin góc giữa√SC và (ABCD) √ √ √ 3 17 34 2 B C D A 17 17 -Lời giải ’ Ta có SA ⊥ và (ABCD) là góc SCA S √ (ABCD) nên góc SC √ 2 Mà SA = SB − AB = 4a, AC = 3a 2, √ √ √ SA 34 2 ’= SC = SA + AC = 34a Suy sin SCA = SC 17 B A D C Chọn đáp án D Câu 93 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi M , N là trung điểm AB và SB Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A CM ⊥ AN B AN ⊥ BC C CM ⊥ SB D M N ⊥ M C -Lời giải Ta có CM ⊥ AB, CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAB) Từ đó suy CM ⊥ AN , CM ⊥ SB, S CM ⊥ M N Như vậy, lựa chọn còn lại là mệnh đề sai N C A M B Chọn đáp án B Câu 94 Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M Có bao nhiêu đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng a? A Không có B Có hai C Có vô số D Có và -Lời giải Có vô số đường thẳng qua điểm M và vuông góc với đường thẳng a Các đường thẳng này thuộc mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng a Chọn đáp án C Câu 95 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là ’ ’ ’ ’ A SCD B CAS C SCA D ASC -Lời giải ¤ Ta có AC là hình chiếu SC trên (ABCD) nên (SC, (ABCD)) = S Ÿ ’ (SC, AC) = SCA A B Chọn đáp án C D C Câu 96 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh SA = a vuông góc với đáy Gọi M, N là trung điểm các cạnh BC, SD, α là góc đường thẳng M N và (SAC) Giá trị tan α là Th.s Nguyễn Chín Em 165 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (169) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ √ 6 A B C 2 -Lời giải Gọi H, K là trung điểm AD, SC Khi đó N K k M H Khi đó M N ⊂ (M HN K) và giao tuyến (M HN K) với (SAC) là OK (với O là tâm hình vuông ABCD) Gọi E = M N ∩ OK (trong mặt phẳng (M HN K)), hay giao điểm M N với (SAC) là E Gọi I là trung điểm OC, suy M I ⊥ OC Lại có SA ⊥ M I nên M I ⊥ (SAC) Khi đó EI là hình chiếu M N lên (SAC) Do đó góc M N với (SAC) chính là góc M N với EI chính là ’ góc M EI (vì tam giác M IE vuông I) √ D S N K A B E H M O I D … √ 1 a 1√ a Ta có M E = · M N = M H2 + N H2 = a2 + = , √ 2 4√ √ a a và M I = · OB = , suy EI = M E − M I = 4 √ √ a MI Vậy tan α = = √ = a EI C Chọn đáp án A Câu 97 Cho hình chóp tam giác đều, có tất các cạnh a Tính cotang góc tạo cạnh bên và √ mặt đáy hình chóp √ √ A B C D 2 2 -Lời giải Giả sử hình chóp thoả mãn đề bài là S.ABC S Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm 4ABC, ta có SG ⊥ (ABC) ’ Theo đề bài ta √ cần tính cot(SA, (ABC)) √ = cot SAG a a Ta có AM = , GA = AM = , 3√ … √ A C a2 a SG = SA2 − AG2 = a2 − = √ 3 M G AG ’ Khi đó cot(SA, (ABC)) = cot SAG = =√ SG B Chọn đáp án C √ Câu 98 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a Góc SD và (ABCD) A 37◦ B 45◦ C 60◦ D 30◦ -Lời giải ’ Ta có SA ⊥ (ABCD) nên S √ góc SD và (ABCD) là góc SDA √ SA a ◦ ’= ’ = 60 Mà tan SDA = = ⇒ SDA AB a B A D Th.s Nguyễn Chín Em 166 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (170) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu 99 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) Gọi M là hình chiếu A lên SD Khẳng định nào sau đây đúng? A AM ⊥ SD B AM ⊥ (SCD) C AM ⊥ CD D AM ⊥ (SBC) -Lời ® giải DC ⊥ SA Ta có ⇒ DC ⊥ (SAD) ⇒ AM ⊥ DC S DC ⊥ AD Mà AM ⊥ SD ⇒ AM ⊥ (SCD) M B A D C Chọn đáp án D Câu 100 √ Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD) Biết SA = a Tính góc SC và (ABCD) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 75◦ -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc S ¤ ’ SC lên mặt phẳng (ABCD) Do đó (SC; (ABCD)) = SCA mà √ ¤ ’ = 45◦ SA = AC = a nên (SC; (ABCD)) = SCA B A D C Chọn đáp án C √ a Câu 101 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD) Biết SA = , tính góc SC và (ABCD) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 75◦ -Lời giải ’ Vì SA ⊥ (ABCD) nên góc SC và S √ (ABCD) là góc SCA √ SA ’= ’ = 30◦ Ta có AC = a 2, tan SCA = ⇒ SCA AC Vậy góc SC và (ABCD) là 30◦ D A B Chọn đáp án A C Câu 102 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và đáy ABCD là hình vuông tâm O Gọi I là trung điểm SC Xét các khẳng định sau OI ⊥ (ABCD) BD ⊥ SC (SAC) là mặt phẳng trung trực đoạn BD Th.s Nguyễn Chín Em 167 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (171) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 SB = SC = SD Trong bốn khẳng định trên, số khẳng định sai là? A B -Lời giải C D S Ta có OI k SA ⇒ OI ⊥ (ABCD) ® BD ⊥ AC Ta có ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC BD ⊥ SA I Ta có (SAC) qua trung điểm và vuông góc với đoạn BD nên (SAC) là mặt phẳng trung trực đoạn BD A D O Ta có SB = SD < SC (AB < AC) B C Chọn đáp án A Câu 103 Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 , đường thẳng AC1 vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A (A1 DC1 ) B (A1 BD) C (A1 CD1 ) D (A1 B1 CD) -Lời giải Ta có CC1 ⊥ (ABCD) nên CC1 ⊥ BD B A Lại có AC ⊥ BD (do ABCD là hình vuông), suy BD ⊥ (ACC1 ), suy AC1 ⊥ BD D C Chứng minh tương tự ta có AC1 ⊥ A1 D Từ đây ta AC1 ⊥ (A1 BD) B1 A1 D1 Chọn đáp án B C1 Câu 104 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh 2a Gọi M là trung điểm SD Tính tan √ góc đường thẳng √ BM và mặt phẳng (ABCD) 2 A B C D 3 -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD Kẻ M H ⊥ BD ⇒ SO k M H S Mà M là trung điểm SD nên H là trung điểm OD (tính chất trung bình) 1√ Suy M H = SO = SD2 − OD2 = · 2 M s Ç √ å2 √ √ 2a a (2a)2 − = ·a 2= 2 MH A D ¤ ÷ Do đó tan (BM, (ABCD)) = tan M BH = tan α = = BH √ H a O MH = √ √ = α BO + OH 2a 2a C + B Chọn đáp án D Câu 105 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh 2a Gọi I là điểm thuộc cạnh BC cho CI = 2BI; N là trung điểm SI; hình chiếu đỉnh S trên (ABC) là điểm H thuộc đoạn thẳng # » # » #» AI cho HA√+ 2HI = ; góc (SB, (ABC)) = 60◦ Gọi α là góc hai mặt phẳng (N AB) và (ABC), m n m biết tan α = , với m, n, p ∈ N∗ , là phân số tối giản Tính m + n + p p p A 53 B 46 C 26 D Th.s Nguyễn Chín Em 168 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (172) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải ’ = Ta có SH ⊥ (ABC) ⇒ (SB, (ABC)) = (SB, HB) = SBH ◦ 60 √ ⇒ SH = 3HB Xét 4AIC S AI = AC + IC − 2AC · IC cos 60◦ 16a2 4a = 4a2 + − · 2a · √ 7a ⇒ AI = ⇒ AH = AI = 3 28a2 = √ 7a · N 2 ‘ = AB + AI − BI = √ Xét tam giác ABI : cos BAI 2AB · AI ‘ = Xét tam giác BAH : BH = AB +AH −2AB ·AH ·cos BAI 76 a 81 √ √ √ √ 19a 57a a 19a ⇒ SH = · = ⇒ BH = 9 A C K H M E D I B √ 57a Gọi K là trung điểm HI ⇒ N K k SH ⇒ N K ⊥ (ABCD), N K = SH = 18 Gọi ® M , D, E là hình chiếu vuông góc C, I, K trên AB Có (N AB) ∩ (ABC) = AB và AB ⊥ N K ÷ ⇒ AB ⊥ N E ⇒ ((N AB), (ABC)) = (N E, EK) = KEN AB ⊥ KE ID BI CM Do KE k CM , ID k CM nên = = ⇒ ID = CM BC 3√ KE AK 5 5 3a = = ⇒ KE = ID = CM = ID AI 6 18 18 √ √ 57a 18 19 NK ÷ = · √ = Tam giác N KE vuông K có tan KEN = KE 18 5 3a Do đó m = 2, n = 19, p = và m + n + p = + 19 + = 26 Chọn đáp án C Câu 106 Cosin góc tạo cạnh bên và mặt đáy hình chóp tứ giác có tất các cạnh là √ 1 A B √ C D √ 3 -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD và giả sử tất các S cạnh hình chóp a Hình chóp S.ABCD nên SO ⊥ (ABCD), suy góc cạnh bên và mặt phẳng đáy ’ Ta có góc SAO a √ ’ = AO = = √1 cos SAO SA a A D O B Chọn đáp án D C Câu 107 Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P ), đó a ⊥ (P ) Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng? Th.s Nguyễn Chín Em 169 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (173) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 (I) Nếu b k a thì b ⊥ (P ) (III) Nếu b ⊥ a thì b k (P ) (II) Nếu b ⊥ (P ) thì b k a (IV) Nếu b k (P ) thì b ⊥ a A B C D -Lời giải Mệnh đề (I), (II) và (IV) đúng (do có phần lý thuyết Sách giáo khoa) Mệnh đề (III) sai vì kết luận thiếu trường hợp b có thể nằm (P) Chọn đáp án D Câu 108 Cho√hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a Tìm số đo góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải Ta có CD ⊥ AD và CD ⊥ SA nên CD ⊥ (SAD) Khi đó SD là hình chiếu vuông góc SC lên mặt phẳng (SAD) Do đó góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) chính là góc SC và SD và đó là S ’ CSD √ √ Ta có SD = SA2 + AD2 = √ a CD a ’= ’ = 30◦ tan CSD = √ = hay CSD SD a A D B Vậy số đo góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là Chọn đáp án B C 30◦ Câu 109 Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆? A B Vô số C D -Lời giải Có vô số đường thẳng qua O và vuông góc với đường thẳng ∆ Chọn đáp án B Câu 110 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC là tam giác Tính số đo góc SA và (ABC) A 60◦ B 75◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải √ a Ta có tam giác ABC cạnh a nên AH ⊥ BC, AH = S √ a Mặt khác tam giác SBC cạnh a nên SH = Do SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH ⇒ 4SHA vuông cân H ¤ ’ = 45◦ suy (SA, Khi đó SAH (ABC)) = 45◦ A C H B Chọn đáp án C Câu 111 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh SA vuông góc với đáy Gọi I là hình chiếu vuông góc điểm A trên cạnh SB Mệnh đề nào đây đúng ? Th.s Nguyễn Chín Em 170 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (174) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A AC vuông góc với SB C AI vuông góc với SD -Lời ® giải BD ⊥ AC Vì nên BD ⊥ (SAC) Do đó BD ⊥ SC BD ⊥ SA B BD vuông góc với SC D AI vuông góc với SC S A I D O B C Chọn đáp án B √ Câu 112 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Gọi ϕ là góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) Khẳng định nào√dưới đây đúng? √ √ 7 A tan ϕ = D tan ϕ = − B tan ϕ = C tan ϕ = 7 -Lời giải Gọi K là trung điểm đoạn SB Vì AB =√SA = a nên tam giác SAB S a SB = vuông cân A Suy AK = 2 Mặt khác, lại có AK ⊥ SB, BC ⊥ (SAB) nên AK ⊥ (SBC) Dựng hình bình hành AKHD hình vẽ, suy HD ⊥ (SAC) Do đó, ’ là góc SD và hình chiếu SD trên (SBC) là SH Góc DSH H K mặt phẳng (SBC) √ a Xét tam giác SHD vuông H, có HD = AK = , SD = 2a A D Vậy B C √ √ √ HD a 7 HD ’ tan ϕ = tan DSH = = =√ :√ =√ = SH 2a SD2 − HD2 Chọn đáp án A Câu 113 Trong không gian, số mặt phẳng qua điểm M và vuông góc với đường thẳng a là A B C D vô số -Lời giải Trong không gian, có và mặt phẳng qua điểm M và vuông góc với đường thẳng a Chọn đáp án A Câu 114 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là α Khi đó tan α √ 1 A B √ C D √ -Lời giải Vì SA ⊥ (ABCD) A nên AC là hình chiếu vuông góc SC lên S (ABCD) Do đó Ä ä ¤ ◊ ’ SC, (ABCD) = SC, AC = SCA √ Xét 4SAC vuông A có SA = a và AC = a 2, suy tan α = ’ = SA = √1 tan SCA AC Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em A B D C 171 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (175) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 115 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, biết SA ⊥ (ABC) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A AB ⊥ BC B SA ⊥ BC C SB ⊥ AB D SC ⊥ BC -Lời giải Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ BC và SA ⊥ AC Chọn đáp án B Câu 116 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA = a vuông góc với mặt phẳng đáy Tang góc√giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SAB) √ √ √ A B C D -Lời giải Gọi H là trung điểm AB, ta có OH ⊥ (SAB) S (do OH ⊥ AB và OH ⊥ SA) ’ Suy góc SO và (SAB) là HSO Xét tam giác vuông SHO ta có a √ OH OH ’ =… = tan HSO = =√ 2 SH SA + AH a a + D A H O B C Chọn đáp án B Câu 117 √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải √ ’ = 45◦ Tam giác SAC vuông A có SA = a = AC nên SCA S Vì A là hình chiếu S trên (ABCD) nên AC là hình chiếu SC trên ABCD ’ = 45◦ Do dó (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = ACS D A B C Chọn đáp án D Câu 118 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = 2, DB = DC = Khẳng định nào sau đây đúng? A BC ⊥ AD B AC ⊥ BD C AB ⊥ (BCD) D DC ⊥ (ABC) -Lời giải Gọi M là trung điểm BC A Do ∆ABC cân A (AB = AC) ⇒ AM ⊥ BC (1) Tương tự, ∆BCD cân D (DB = DC) ⇒ DM ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy BC ⊥ (AM D) ⇒ BC ⊥ AD B D M C Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 172 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (176) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 119 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với tất các cạnh a Gọi G là trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc AG và (ABCD) √ √ √ √ 17 5 A B C 17 D S G A D O I Q B C -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là trung điểm CD, Q là trọng tâm tam giác OCD Khi đó SO ⊥ (ABCD), GQ k SO ⇒ GQ ⊥ (ABCD) Do đó góc AG và (ABCD) góc AG và AQ, góc ’ GAQ s Ç √ å2 √ √ a a 2 2 Ta có SO = SA − OA = a − = 2 √ a Nên suy GQ = SO = √ a 2 a ’ = 135◦ nên Tam giác AOQ có OA = , OQ = OI = và AOQ 3 S G A D O B Q I C √ 17a2 a 34 AQ = OA + OQ − 2OA · OQ · cos 135 = ⇒ AQ = 18 2 ◦ √ √ √ 17 GQ a a 34 ’ Do đó tan GAQ = = : = AQ 6 Chọn đáp án A Câu 120 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, hai đường chéo AC, BD cắt O và SA = SB = SC = SD Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai? A AC ⊥ BD B SO ⊥ BD C SO ⊥ AC D SO ⊥ (ABCD) -Lời giải Vì ABCD là hình bình hành nên khẳng định AC ⊥ BD là sai S Ta có 4SAC, 4SBD cân O có SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao ⇒ SO ⊥ AC, SO ⊥ BD Vì SO ⊥ AC, SO ⊥ BD nên SO ⊥ (ABCD) A B O D Chọn đáp án A C Câu 121 Th.s Nguyễn Chín Em 173 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (177) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với tất các cạnh a Gọi G là trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên) Giá trị tan √ góc AG và √ (ABCD) √ √ 17 5 A D B C 17 17 S G A D O B Q I C -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD Khi đó, SO ⊥ (ABCD) √ a Gọi I là trung điểm CD Ta tính SI = , SG = √ a SI = và 3 Ã Ç √ å2 √ p a a a 2 − = SO = SI − OI = 2 S G A D O B Q I C √ a Gọi Q là hình chiếu vuông góc G trên (ABCD) Ta có Q ∈ OI và GQ = SO = Ta có 2 ’ = SA2 + SG2 − · SA · SG · SA + SI − AI AG2 = SA2 + SG2 − · SA · SG · cos ASG · SA · SI + SI − (AD + ID )) 2(SA = SA2 + SG2 − Å ã 3a a2 2 a + −a − a2 4 =a + − = a2 3 √ 2a2 a 34 − = 36 ’ Vì AG ∩ (ABCD) = A và√ GQ ⊥ (ABCD) nên góc AG và (ABCD) là GAQ a √ 17 GQ ’ Vậy tan GAQ = = √ = AQ 17 a 34 … p Khi đó, AQ = AG2 − GQ2 = a2 Chọn đáp án A Câu 122 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tan góc đường thẳng SO và mặt phẳng (SAB) √ √ √ √ C A B D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 174 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (178) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ DA ⊥ AB Chương - Hình học 11 ´ ⇒ DA ⊥ (SAB) DA ⊥ SA Gọi H là trung điểm AB Khi đó: OH k DA ⇒ OH ⊥ (SAB) Hình chiếu SO lên (SAB) là SH nên góc SO và mặt ’ phẳng (SAB) là OSH Ta có AB a OH = = , 2 … a 2 a √ √ = SH = SA2 + AH = a2 + 2 a √ OH ’ tan OSH = = √ = SH a Chọn đáp án D Ta có: S a A H B a O D C Câu 123 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a, gọi α là góc đường thẳng A0 B và 0 mặt phẳng √ (BB D D) Tính sin α.√ √ 3 A B C D 2 -Lời giải Cách 1: Gọi điểm D0 B và A0 C ta có: ® O0 là giao D0 A0 0 AO ⊥BD O ⇒ A0 O0 ⊥ (BB D0 D) A0 O ⊥ B B B0 C0 Nên BO0 là hình chiếu BA0 lên (BB D0 D) ¤ D)) = A BO ÷ ⇒ α = (A0 B, (BB D√ D a A A0 O = ⇒ sin α = = √ AB B C a Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz hình vẽ với a là đơn vị z độ dài, đó tọa độ các điểm là: B(0; 0; 0), A0 (1; 0; 1), D(1; 1; 0) # »0 C0 0 Ta có: BA (1; B0 ó 0; 1), véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (BB D D) î # »= #» n = BD; k = (1; −1; 0) là #» # »0 #» A0 D0 BA · n # » 1 n) = # » ⇒ sin α = cos(BA0 ; #» =√ √ = y #» C 2· |BA | · | n | B x A D Chọn đáp án C Câu 124 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy A 30◦ B 90◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải Ta có AB là hình chiếu SB trên (ABCD) S Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy góc SB và AB là ’ góc ABS ’ = AB = Tam giác SAB vuông A, cos ABS SB ’ = 60◦ ⇒ ABS D A B Th.s Nguyễn Chín Em 175 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (179) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu 125 Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB Mệnh đề nào sau đây sai? A Các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông B 4SBC vuông C AH ⊥ SC ’ D Góc đường thẳng SC với mặt phẳng (ABC) là góc SCB S H A C B -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABC) nên AC hình chiếu vuông góc SC lên (ABC) ’ Suy góc đường thẳng SC với mặt phẳng (ABC) là góc SCA Chọn đáp án D Câu 126 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Gọi điểm M là điểm trên SD cho SM = 2M D tan góc đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là √ √ 1 A B C D 5 -Lời giải Gọi O là hình chiếu vuông góc S lên (ABCD) Do đó O là S tâm hình vuông ABCD ÷ Ta có (BM ; (ABCD)) = M BD Gọi I là hình chiếu vuông góc M lên BD √ √ √ a Ta có BD = AB ⇒ 2OD = a ⇒ OD = Mặt khác, xét tam A … giác SOD √ vuông O, ta có: SO = √ a a SD2 − OD2 = a2 − = O 2 Xét tam giác SDO, ta có: B M I k SO (do cùng vuông góc với BD) √ √ DM a a MI = ⇒ M I = SO · = · = ⇒ SO DS 3 √ 1 5 √ 5a Ta có BI = BD − ID = BD − DO = BD − BD = BD = · a = 6 6 a √ M I √2 ’ Lại có tan M BI = = = BI 5a Vậy tan (BM ; (ABCD)) = M I D C Chọn đáp án B Câu 127 √ Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông B, AC = 2a, BC = a, SB = 2a Tính góc đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 176 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (180) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Trong ® mặt phẳng (SAB) kẻ AH ⊥ SB (1) SA ⊥ BC (do SA ⊥ (ABC)) Ta có nên BC ⊥ (SAB) AB ⊥ BC Do đó BC ⊥ AH (2) Từ (1) và (2) suy AH ⊥ (SBC) Khi đó H là hình chiếu vuông góc A lên (SBC).Vậy ’ (do 4SAH vuông H) (SA, (SBC)) = (SA, SH) = ASH √ √ Xét 4ABC vuông B nên AB = AC − BC = a Xét 4SAB vuông A, √ ’ = AB = a √3 = ⇒ ASB ’ = 30◦ ta có sin ASB SB 2a Vậy (SA, (SBC)) = 30◦ S H A C B Chọn đáp án B Câu 128 Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên Biết ABC là tam giác cân A có ’ = 120◦ Khi đó hình chiếu vuông góc S lên mặt đáy ABC là BAC A Trung điểm cạnh BC B Đỉnh A 4ABC C Đỉnh D hình thoi ABDC D Tâm đường tròn nội tiếp 4ABC -Lời giải Gọi D là hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) S Vì SA = SB = SC ⇒ 4SAD = 4SBD = 4SCD ⇒ DA = DB = DC Từ đó suy D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có DB = DC, AB = AC ⇒ AD là đường trung trực BC ’ = 60◦ ⇒ ⇒ 4ABC cân có AD là trung trực đồng thời là phân giác ⇒ BAD 4ABD D ⇒ BA = BD = DC = AC ⇒ tứ giác ABDC là hình thoi Vậy hình chiếu vuông góc S lên mặt đáy ABC là đỉnh D hình thoi B ABDC O C A Chọn đáp án C Câu 129 Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác nhọn Gọi hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC Khẳng định nào sau đây sai nói tứ diện đã cho? A Các đoạn thẳng nối các trung điểm các cặp cạnh đối diện tứ diện B Tổng các bình phương cặp cạnh đối tứ diện C Tồn đỉnh tứ diện có ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó đôi vuông góc với D Tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc với -Lời giải Giả sử tồn đỉnh mà có ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó đôi vuông góc Do tam giác ABC nhọn nên đỉnh đó có thể là S, đó H vừa là trực tâm vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy tam giác ABC Chọn đáp án C √ Câu 130 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Điểm M thuộc tia DD0 thỏa mãn DM = a Góc đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là A 30◦ B 45◦ C 75◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 177 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (181) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì DD0 ⊥ (ABCD), M ∈ DD0 ⇒ M D ⊥ (ABCD) ⇒ D là hình chiếu vuông góc M lên (ABCD) Do đó: M ÷ (BM, (ABCD)) = (BM, BD) = M BD Xét tam giác M BD vuông D, ta có: √ DM a √ ÷ tan M BD = = √ = BD a A0 D0 B0 C0 ÷ Suy M BD = 60◦ Vậy (BM, (ABCD)) = 60◦ A D B C Chọn đáp án D Câu 131 Cho hình chóp S.ABC với ABC không là tam giác cân Góc các đường thẳng SA, SB, SC và mặt phẳng (ABC) Hình chiếu vuống góc điểm S lên mặt phẳng (ABC) là A Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC B Trực tâm ∆ABC C Trọng tâm ∆ABC D Tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC -Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng lên (ABC) Ta có: S ’ (SA, (ABC)) = SAH ’ (SB, (ABC)) = SBH ’ (SC, (ABC)) = SCH ’ = SBH ’ = SCH ’ (1) Từ giả thiết suy SAH Mà các tam giác SBH, SCH, SAH vuông H và có cạnh SH chung (2) Từ (1) và (2) ta có: A C H B 4SHA = 4SHB = 4SHC ⇒ HA = HB = HC Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chọn đáp án A Câu 132 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H, K là trung điểm các cạnh AB, AD Tính sin góc tạo bởi√đường thẳng SA và (SHK) √ √ √ 14 2 B C D A 4 -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD, I là giao điểm AC và S HK ⇒ I là trung điểm AO và HK ⊥ AC (1) Vì tam giác SAB và (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AC (2) Từ (1) và (2) suy AC ⊥ (SHK), đó hình chiếu vuông góc ‘ E SA lên (SHK) là SI Do góc√giữa SA và (SHK) là ISA K AC a A D √ AI ‘ = I Ta có sin ISA = = = H O SA SA a B Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em C 178 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (182) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 133 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD k BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a với a > Gọi O là giao điểm AC và BD Biết SD vuông góc AC M là điểm thuộc đoạn OD; M D = x với x > M khác O và D Mặt phẳng (α) qua M và song song với hai đường thẳng SD và AC cắt √ khối chóp S.ABCD theo thiết diện Tìm x để diện √ tích thiết diện là lớn nhất? √ 3 A a B a C a D a -Lời giải Trong mp(SBD) kẻ đường thẳng qua M song song với SD, cắt cạnh SB H S Trong mp(ABCD) kẻ đường thẳng qua M song song với AC, cắt các cạnh DA và DC E và F H Trong mp(SDA) kẻ đường thẳng qua E song song với SD, cắt cạnh SA I Trong (SDC) kẻ đường thẳng qua F song song với SD, cắt cạnh SC G G Khi đó thiết diện khối chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (α) là ngũ giác EF GHI N B K I C F O M A E D Ta có ABCD là nửa lục giác có tâm là trung điểm K BC Do đó ADCK và ABN D là hình thoi nên AC ⊥ KD Mặt khác AC ⊥ SD nên AC ⊥ (SKD) ⇒ AC ⊥ SK Lại có SK ⊥ BC (vì4SBC đều), suy SK ⊥ (ABCD) ⇒ SK ⊥ KD Ta có IG là giao tuyến (α) với (SAC), mà AC k (α), suy IG k AC Mặt khác HM k SD và SD ⊥ AC, suy HM ⊥ IG và HM ⊥ EF và IGEF là hình chữ nhật Diện tích thiết diện EF GHI S = SEF GI + SHGI = IG · N M + IG · HN Ta có AK = KD = AD = a nên 4AKD √ √ a a Mà BD ⊥ AK, AC ⊥ KD nên O là trọng tâm tam giác 4ADK Suy OD = · = 3 √ AC = √ BD = a (4BAC vuông A, KA = KB = KC) SD = SK + KD2 = 2a √ DM EF DM x Ta có = ⇒ EF = · AC = √ · a = 3x a DO AC DO 3√ a √ −x GF CF OM OM = = ⇒ GF = · SD = √ · 2a = 2a − 3x a SD CD OD OD √ √ HM BM BM a 3−x 6a − 2x √ = ⇒ HM = · SD = · 2a = SD BD BD a √ √ √ ä 4x 6a − 2x Ä Suy HN = HM − N M = HN − GF = − 2a − 3x = 3√ å Ç √ √ Ä √ ä √ √ 4x a 3a2 Vậy S = · · 3x + 2a − 3x · 3x = −4 3x + 6ax = − 2x − + √ √ √ 3a2 a a Suy S ≤ Dấu “=” xảy và 2x − ⇔x= 4 Chọn đáp án A √ Câu 134 Cho hình chóp S.ABC có BC = a 2, các cạnh còn lại a Góc hai đường thẳng SB và AC A 90◦ B 60◦ C 30◦ D 45◦ Th.s Nguyễn Chín Em 179 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (183) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi H là trung điểm BC, D là điểm√đối xứng A qua H a Theo giả thiết ta có HB = HC = và tam giác ABC vuông A, đó tứ giác ABDC là hình vuông cạnh a Vì SA = SB = SC = a ⇒ SH ⊥ (ABCD) ⇒ SD = SA = a Ta có (SB, AC) = (SB, BD) ’ = 60◦ Tam giác SBD là tam giác cạnh a, suy SBD Vậy góc hai đường thẳng SB và AC 60◦ S D B H A C Chọn đáp án B Câu 135 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB cân S có SA = SB = 2a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Gọi α là góc SD và mặt phẳng (ABCD) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ √ √ 3 A cot α = C tan α = B tan α = D cot α = -Lời giải Gọi H là trung điểm AB Vì 4SAB cân nên SH ⊥ AB (SAB) ⊥ (ABCD) (SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) SH ⊥ AB Suy HD là hình chiếu vuông góc SD lên (ABCD) ’ = α Khi đó (SD, (ABCD)) = SDH … √ √ a2 a 15 2 Ta có SH = SA − AH = 4a − = √ √ a 4AHD vuông A nên HD = AD2 + AH = √ a 15 SH = √3 Khi đó tan α = = √ HD a S Từ A D H C B Chọn đáp án C Câu 136 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a, góc cạnh bên và mặt đáy 60◦ Thể tích khối chóp là √ √ √ √ a3 a3 a3 a3 B C D A 6 -Lời giải S Xét khối chóp tứ giác hình vẽ ’ = 60◦ Khi đó (SA, (ABCD)) = SAO √ √ √ a a ’= ⇒ SO = AO tan SAO · 3= 2 Vậy thể tích khối chóp là: √ √ 1 a a3 V = SABCD · SO = · a · = 3 A 60◦ D O B Chọn đáp án A C Câu 137 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác Tính góc hai đường thẳng AB và CD A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 120◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 180 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (184) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi E là trung điểm AB Do ® hai tam giác ABC và ABD là hai tam giác nên DE ⊥ AB A CE ⊥ AB Suy AB ⊥ (DEC) ⇒ AB ⊥ CD E B C D Chọn đáp án C √ Câu 138 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC √ là tam giác vuông B, BC = a 3, AC = 2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải √ Xét AC − BC = S √ tam giác ABC vuông B, ta có: AB = 4a2 − 3a2 = a Vì AB là hình chiếu SB trên mặt phẳng (ABC) nên: (SB, (ABC)) = ’ (SB, AB) = SBA Xét tam giác SAB vuông A ta có: √ √ SA a ’= tan SBA = = AB a ’ = 60◦ Vậy (SB, (ABC)) = 60◦ Suy SBA A C B Chọn đáp án B Câu 139 Cho tứ diện ABCD có AB = AC, DB = DC Khẳng định nào sau đây đúng? A BC ⊥ AD B CD ⊥ (ABD) C AB ⊥ BC D AB ⊥ (ABC) -Lời giải Gọi M ®là trung điểm BC D AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (AM D) ⇒ BC ⊥ AD suy DM ⊥ BC A C M B Chọn đáp án A Câu 140 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SO ⊥ (ABCD) Góc đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) là ’ ’ ’ ’ A ASO B SAO C SAC D ASB -Lời giải Ta có SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AO (1) S Mặt khác ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AO (2) Từ (1) và (2) suy AO ⊥ (SBD) ⇒ SO là hình chiếu vuông góc SA lên mặt phẳng (SBD) ’ Vậy góc đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) là ASO C B O A Th.s Nguyễn Chín Em 181 D https://emncischool.wixsite.com/geogebra (185) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A √ Câu 141 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên a Độ lớn góc đường thẳng SA và mặt phẳng đáy A 45◦ B 75◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD S Vì hình chóp S.ABCD là hình chóp nên SO ⊥ (ABCD) suy OA là hình chiếu SA trên mặt phẳng (ABCD) ’ ⇒ (SA, (ABCD)) = (SA; AO) = SAO Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a suy OA = √ a AC = 2 Trong tam giác vuông SOA, ta có ’= cos SAO B AO ’ = 60◦ = ⇒ SAO SA C O A D Vậy góc đường thẳng SA và mặt phẳng đáy 60◦ Chọn đáp án D √ Câu 142 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a 3, AC = AA0 = a Gọi α√là góc đường thẳng √ AC và mặt phẳng (BCC B √ ), tính sin α √ 10 6 A sin α = B sin α = C sin α = D sin α = 3 -Lời giải Gọi M là hình chiếu vuông góc A trên BC C0 A0 ⇒ AM ⊥ (BCC B ) ¤ , (BCC B )] = (AC , C M ) = AC ÷ ⇒ [AC¤ √M 1 a B0 Ta có = + ⇒ AM = 2 AM √ AB AC √ Và AC = AC + CC 02√= a √ AM 0M = ÷ ⇒ sin AC = √ = A C AC 2 M B Chọn đáp án D Câu 143 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết SA = SC, SB = SD Khẳng định nào sau đây đúng? A CD ⊥ (SBD) B CD ⊥ AC C AB ⊥ (SAC) D SO ⊥ (ABCD) -Lời giải Do SA = SC nên tam giác SAC cân S và có SO là S trung tuyến là đường cao Suy SO ⊥ AC Chứng minh tương tự ta có SO ⊥ BD Vậy SO ⊥ (ABCD) A D O B Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em C 182 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (186) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 144 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a, góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦ -Lời ® giải DA ⊥ AB Ta có ⇒ DA ⊥ (SAB) Suy hình chiếu SD S DA ⊥ SA lên mặt phẳng (SAB) là SA Do đó (SD, (SAB)) = (SD, SA) = ’ Mà 4SAD là tam giác vuông cân A nên DSA ’ = 45◦ DSA ◦ Vậy góc SD và mặt phẳng (SAB) 45 A D B C Chọn đáp án C Câu 145 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (α) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu a k (α) và b k (α) thì b k a B Nếu a ⊥ (α) và b ⊥ (α) thì b k (α) C Nếu a k (α) và b ⊥ (α) thì a ⊥ b D Nếu a k (α) và b ⊥ a thì b ⊥ (α) -Lời giải Nếu a k (α) và b k (α) thì b k a Sai vì a và b có thể chéo Nếu a ⊥ (α) và b ⊥ (α) thì b k (α) Sai vì a ⊥ (α) và b ⊥ (α) thì b k a Nếu a k (α) và b ⊥ (α) thì a ⊥ b Đúng Nếu a k (α) và b ⊥ a thì b ⊥ (α) Sai, ví dụ b ⊂ (α) và b ⊥ a b 6⊥ (α) Chọn đáp án C Câu 146 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc AC và BD A 90◦ B 45◦ C 60◦ D 120◦ B0 A0 D0 C0 A B D -Lời ® giải BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông) Ta có ⇒ BD ⊥ AC BD ⊥ CC Do đó góc AC và BD 90◦ C B0 A0 D0 C0 A B D Chọn đáp án A C Câu 147 Khẳng định nào sau đây đúng? A Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với B Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với C Hai mặt phẳng song song và góc chúng 0◦ D Hai đường thẳng không gian cắt và góc chúng lớn 0◦ và nhỏ 90◦ Th.s Nguyễn Chín Em 183 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (187) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với nhau” Chọn đáp án B Câu 148 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông B, AC = 2, BC = 1, AA0 = Tính góc AB và (BCC B ) A 45◦ B 90◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải ® AB ⊥ BC ⇔ BA ⊥ (BCC B ) Khi đó BB là hình chiếu vuông góc Ta có AB ⊥ BB 0 B ) Hay góc AB và (BCC B ) là AB B ÷ AB lên (BCC √ √ √ Ta có AB = AC − BC = s2 − 12 = 0B = ÷ tan AB A0 C0 √ AB = BB B0 Vậy góc AB và (BCC B ) là 60◦ A C B Chọn đáp án D Câu 149 Cho√hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A cạnh AB = a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a Gọi M là trung điểm SA, ϕ là góc BM và mặt phẳng (SBC) Tính sin ϕ √ √ 2 A sin ϕ = √ B sin ϕ = √ C sin ϕ = √ D sin ϕ = √ 15 15 15 15 -Lời giải Gọi N là trung điểm BC, ta có AN ⊥ BC, mà SA ⊥ BC nên suy (SAN ) ⊥ BC Vậy (SAN ) vuông góc (SBC) theo giao tuyến SN , kẻ M H ⊥ SN H, đó M H ⊥ (SBC) ÷ Vậy góc BM và (SBC) là góc M BH √ √ √ a a 10 2 Ta có AN = BC = , SN = SA + AN = 2 Mặt khác ta có 4SHM v 4SAN nên √ MH SM AN · SM a 10 = ⇒ MH = = AN SN SN 10 S H M A C N B √ √ a Ta lại có M B = AB + AM = MH ÷ Xét 4M BH, có sin M BH = =√ MB 15 Chọn đáp án B Câu 150 Th.s Nguyễn Chín Em 184 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (188) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có M , N , P là trung điểm các cạnh A0 B , A0 D0 , C D0 Góc đường thẳng CP và mặt phẳng (DM N ) A 60◦ B 30◦ C 0◦ D 45◦ A B C D M A0 B0 N D0 -Lời giải Xét tứ giác BCP M có ® C0 P P M = CB A P M k BC ⇒ BCP M là hình bình hành Suy CP k M B mà M B ⊂ (DBM N ) ⇒ CP k (DBM N ) Suy CP k (DM N ) đó góc CP và (DM N ) 0◦ B C D M A0 B0 N D0 C0 P Chọn đáp án C Câu 151 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB) Chọn mệnh đề đúng A AH ⊥ SC B AH ⊥ (SBD) C AH ⊥ (SCD) D AH ⊥ SD -Lời ® giải SA ⊥ BC Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH S AB ⊥ BC Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC H B A C D Chọn đáp án A √ Câu 152 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc SC với mặt phẳng (ABCD) là A 30◦ B 45◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải ’ Ta có (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = SCA S √ SA a SA ’ √ = √ = Lại có tan SCA = = AC AB a ◦ ’ Suy SCA = 45 D A B Th.s Nguyễn Chín Em 185 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (189) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B √ Câu 153 Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a 3, AC = 0 AA = a Gọi α√là góc đường thẳng √ AC và mặt phẳng (BCC B √ ), tính sin α √ 10 6 A sin α = B sin α = C sin α = D sin α = 3 -Lời giải Gọi M là hình chiếu vuông góc A trên BC C0 A0 ⇒ AM ⊥ (BCC B ) ¤ , (BCC B )] = (AC , C M ) = AC ÷ ⇒ [AC¤ √M 1 a B0 Ta có = + ⇒ AM = 2 AM √ AB AC √ Và AC = AC + CC 02√= a √ AM ÷ ⇒ sin AC M = = √ = A C AC 2 ABC.A0 B C M B Chọn đáp án D Câu 154 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết SA = SC, SB = SD Khẳng định nào sau đây đúng? A CD ⊥ (SBD) B CD ⊥ AC C AB ⊥ (SAC) D SO ⊥ (ABCD) -Lời giải Do SA = SC nên tam giác SAC cân S và có SO là S trung tuyến là đường cao Suy SO ⊥ AC Chứng minh tương tự ta có SO ⊥ BD Vậy SO ⊥ (ABCD) A D O B C Chọn đáp án D Câu 155 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a, góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦ -Lời ® giải DA ⊥ AB Ta có ⇒ DA ⊥ (SAB) Suy hình chiếu SD S DA ⊥ SA lên mặt phẳng (SAB) là SA Do đó (SD, (SAB)) = (SD, SA) = ’ Mà 4SAD là tam giác vuông cân A nên DSA ’ = 45◦ DSA ◦ Vậy góc SD và mặt phẳng (SAB) 45 A B Chọn đáp án C D C Câu 156 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (α) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu a k (α) và b k (α) thì b k a B Nếu a ⊥ (α) và b ⊥ (α) thì b k (α) Th.s Nguyễn Chín Em 186 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (190) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 C Nếu a k (α) và b ⊥ (α) thì a ⊥ b -Lời giải D Nếu a k (α) và b ⊥ a thì b ⊥ (α) Nếu a k (α) và b k (α) thì b k a Sai vì a và b có thể chéo Nếu a ⊥ (α) và b ⊥ (α) thì b k (α) Sai vì a ⊥ (α) và b ⊥ (α) thì b k a Nếu a k (α) và b ⊥ (α) thì a ⊥ b Đúng Nếu a k (α) và b ⊥ a thì b ⊥ (α) Sai, ví dụ b ⊂ (α) và b ⊥ a b 6⊥ (α) Chọn đáp án C Câu 157 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc AC và BD A 90◦ B 45◦ C 60◦ D 120◦ B0 A0 D0 C0 A B D -Lời ® giải BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông) Ta có ⇒ BD ⊥ AC BD ⊥ CC Do đó góc AC và BD 90◦ C B0 A0 D0 C0 A B D C Chọn đáp án A Câu 158 Khẳng định nào sau đây đúng? A Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với B Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với C Hai mặt phẳng song song và góc chúng 0◦ D Hai đường thẳng không gian cắt và góc chúng lớn 0◦ và nhỏ 90◦ -Lời giải “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với nhau” Chọn đáp án B √ Câu 159 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Gọi α là Giá trị tan α √ góc SC và (SAB) √ 1 A B C D 7 -Lời ® giải BC ⊥ SA Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) S BC ⊥ AB ⇒ SB là hình chiếu SC lên mặt phẳng (SAB) ’ ⇒ α = BSC √ √ Mà SB = SA2 + AB √ = a BC Vậy tan α = = SB A B Th.s Nguyễn Chín Em 187 D C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (191) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B Câu 160 Cho lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a Góc đường thẳng A0 B và mặt phẳng (A0 B C ) A 60◦ B 45◦ C 30◦ D 90◦ -Lời giải Vì BB ⊥ (A0 B C ) nên A0 B là hình chiếu vuông góc A0 B lên (A0 B C ) Suy 0B0 ÷ góc đường thẳng A0 B và mặt phẳng (A0 B C ) là BA B = 45◦ ÷ Ta có A0 B = BB = a nên tam giác B A0 B vuông cân B suy BA B0 C0 A0 C B A Chọn đáp án B Câu 161 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P ) Chọn khẳng định đúng A Nếu a k (P ) và b ⊥ a thì b ⊥ (P ) B Nếu a k (P ) và b ⊥ (P ) thì b ⊥ a C Nếu a ⊥ (P ) và b ⊥ a thì b k (P ) D Nếu a k (P ) và b k (P ) thì b k a -Lời giải Định lý liên hệ quan hệ song song và quan hệ vuông góc không gian “Nếu a k (P ) và b ⊥ (P ) thì b ⊥ a.” Chọn đáp án B Câu 162 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, SA ⊥ (ABCD), AD = 2BC = 2AB Trong tất các tam giác mà đỉnh lấy từ điểm S, A, B, C, D có bao nhiêu tam giác vuông? A B C D -Lời giải Vì ABCD là hình thang cân nên AC ⊥ DC và AB ⊥ BD Do DB ⊥ (SAB) và DC ⊥ (SAC), suy 4SCD vuông C và 4SBD vuông B Lại có, SA ⊥ (ABCD) nên các tam giác SAD, SAB và SAC vuông A Mặt khác, tam giác ADC vuông C, tam giác ABD vuông B Vậy có tam giác vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán S A D B Chọn đáp án B C Câu 163 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy Góc SB và mặt phẳng (ABCD) là góc cặp đường thẳng nào sau đây? A (SB, SO) B (SB, BD) C (SB, SA) D (SO, BD) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 188 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (192) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD) Vậy góc SB và mặt phẳng (ABCD) là góc SB và BD S A B O D C Chọn đáp án B √ ’ = 60◦ , SA = a và SA ⊥ (ABCD) Câu 164 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, ABC Tính góc đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Vì tam giác ABC cân và có góc 60◦ nên nó là tam giác Gọi O là trung điểm AC Ta có hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc theo giao tuyến SO, suy hình S chiếu vuông góc SA lên mặt phẳng (SBD) là SO Do đó ’ (SA, (SBD)) = (SA, SO) = ASO Xét tam giác vuông SAO, có OA = √ 2a AC = = a, SA = a 2 D A B O C Suy ’= tan ASO AO ’ = 30◦ = √ ⇒ ASO SA Vậy góc SA và mặt phẳng (SBD) 30◦ Chọn đáp án C Câu 165 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân A, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM Mệnh đề nào sau đây đúng? A BC ⊥ (SAC) B BC ⊥ (SAJ) C BC ⊥ (SAM ) D BC ⊥ (SAB) -Lời giải Ta có BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC)) và BC ⊥ AM (do 4ABC cân A) S Suy BC ⊥ (SAM ) A C M J B Chọn đáp án C Câu 166 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác không vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi H là hình chiếu vuông góc S trên BC Mệnh đề nào sau đây đúng? A BC ⊥ SC B BC ⊥ AH C BC ⊥ AB D BC ⊥ AC -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 189 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (193) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Ta có BC ⊥ SH BC ⊥ SA Chương - Hình học 11 ⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ AH S A C B H Chọn đáp án B Câu 167 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC là tam giác Gọi α là số đo góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) Tính tan α √ A B C D √ S A C H B -Lời giải ’ Hình chiếu SA lên mặt phẳng (ABC) là AH Do đó góc SA và mặt√phẳng (ABC) là SAH a Tam giác ABC và SBC là các tam giác cùng cạnh a nên AH = SH = Vậy tan α = Chọn đáp án A Câu 168 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a Gọi M là trung điểm AB và α là góc tạo đường M C và mặt phẳng (ABC) Khi đó tan α √ √ √ … 3 A B C D 7 -Lời giải Ta có CM là hình chiếu C M lên (ABC) Do đó góc M C và (ABC) là góc M C và M C √ CC a Xét tam giác M CC vuông C, tan α = = √ = MC a C0 A0 B0 A C M B Chọn đáp án D Câu 169 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy Góc SC và mặt đáy là góc ’ A SCA ’ B SAC ’ C SDA ’ D SBA -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 190 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (194) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc SC trên mặt phẳng (ABCD) Bởi vậy, góc SC và mặt đáy (ABCD) là góc SC và AC, ’ góc SCA S A D C B Chọn đáp án A Câu 170 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = a và SB = 2a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 90◦ -Lời giải Hình chiếu vuông góc SB lên (ABCD) là AB ’ Khi đó, (SB, (ABCD)) = (SB, AB) = SBA Xét tam giác vuông SAB, ta có ’= cos SBA S a AB = = SB 2a A B ’ = 60◦ Suy SBA D C Chọn đáp án B Câu 171 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, SA ⊥ (ABCD), AD = 2BC = 2AB Trong tất các tam giác mà đỉnh lấy từ điểm S, A, B, C, D có bao nhiêu tam giác vuông? A B C D -Lời giải Vì ABCD là hình thang cân nên AC ⊥ DC và AB ⊥ BD Do DB ⊥ (SAB) và DC ⊥ (SAC), suy 4SCD vuông C và 4SBD vuông B Lại có, SA ⊥ (ABCD) nên các tam giác SAD, SAB và SAC vuông A Mặt khác, tam giác ADC vuông C, tam giác ABD vuông B Vậy có tam giác vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán S A D B Chọn đáp án B C Câu 172 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy Góc SB và mặt phẳng (ABCD) là góc cặp đường thẳng nào sau đây? A (SB, SO) B (SB, BD) C (SB, SA) D (SO, BD) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 191 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (195) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD) Vậy góc SB và mặt phẳng (ABCD) là góc SB và BD S A B O D C Chọn đáp án B √ ’ = 60◦ , SA = a và SA ⊥ (ABCD) Câu 173 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, ABC Tính góc đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Vì tam giác ABC cân và có góc 60◦ nên nó là tam giác Gọi O là trung điểm AC Ta có hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc theo giao tuyến SO, suy hình S chiếu vuông góc SA lên mặt phẳng (SBD) là SO Do đó ’ (SA, (SBD)) = (SA, SO) = ASO Xét tam giác vuông SAO, có OA = √ 2a AC = = a, SA = a 2 D A B O C Suy ’= tan ASO AO ’ = 30◦ = √ ⇒ ASO SA Vậy góc SA và mặt phẳng (SBD) 30◦ Chọn đáp án C Câu 174 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân A, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM Mệnh đề nào sau đây đúng? A BC ⊥ (SAC) B BC ⊥ (SAJ) C BC ⊥ (SAM ) D BC ⊥ (SAB) -Lời giải Ta có BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC)) và BC ⊥ AM (do 4ABC cân A) S Suy BC ⊥ (SAM ) A C M J B Chọn đáp án C Câu 175 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác không vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi H là hình chiếu vuông góc S trên BC Mệnh đề nào sau đây đúng? A BC ⊥ SC B BC ⊥ AH C BC ⊥ AB D BC ⊥ AC -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 192 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (196) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Ta có BC ⊥ SH BC ⊥ SA Chương - Hình học 11 ⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ AH S A C B H Chọn đáp án B Câu 176 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC là tam giác Gọi α là số đo góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) Tính tan α √ A B C D √ S A C H B -Lời giải ’ Hình chiếu SA lên mặt phẳng (ABC) là AH Do đó góc SA và mặt√phẳng (ABC) là SAH a Tam giác ABC và SBC là các tam giác cùng cạnh a nên AH = SH = Vậy tan α = Chọn đáp án A Câu 177 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a Gọi M là trung điểm AB và α là góc tạo đường M C và mặt phẳng (ABC) Khi đó tan α √ √ √ … 3 A B C D 7 -Lời giải Ta có CM là hình chiếu C M lên (ABC) Do đó góc M C và (ABC) là góc M C và M C √ CC a Xét tam giác M CC vuông C, tan α = = √ = MC a C0 A0 B0 A C M B Chọn đáp án D Câu 178 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy Góc SC và mặt đáy là góc ’ A SCA ’ B SAC ’ C SDA ’ D SBA -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 193 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (197) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc SC trên mặt phẳng (ABCD) Bởi vậy, góc SC và mặt đáy (ABCD) là góc SC và AC, ’ góc SCA S A D C B Chọn đáp án A Câu 179 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = a và SB = 2a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 90◦ -Lời giải Hình chiếu vuông góc SB lên (ABCD) là AB ’ Khi đó, (SB, (ABCD)) = (SB, AB) = SBA Xét tam giác vuông SAB, ta có ’= cos SBA S a AB = = SB 2a A B ’ = 60◦ Suy SBA D C Chọn đáp án B Câu 180 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Ta có AB là hình chiếu SB trên (ABCD) Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy góc SB và AB là ’ góc ABS ’ = AB = Tam giác SAB vuông A, cos ABS SB ◦ ’ ⇒ ABS = 60 S D A B C Chọn đáp án A Câu 181 √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 194 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (198) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Ta có Chương - Hình học 11 SC ∩ (ABCD) = C S SA ⊥ (ABCD) A Ÿ ’ ⇒ (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = SCA Xét tam giác SAC vuông A, ta có √ SA a ’ ’ = 45◦ tan SCA = = √ = ⇒ SCA AC a A B D C Chọn đáp án A Câu 182 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông C, AC = a, BC = mặt phẳng đáy và SA = a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy A 60◦ B 90◦ C 30◦ √ 2a, SA vuông góc với D 45◦ -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu SA trên mặt phẳng (ABC) ’ ⇒ (SB, (ABC)) = (SB, AB) = SBA √ √ Mặt khác có 4ABC vuông C nên AB = AC + BC = a ’ = SA = √1 Khi đó tan SBA AB Vậy (SB, (ABC)) = 30◦ S a a A √ a C √ a B Chọn đáp án C Câu 183 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = a và SB = 2a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy A 60◦ B 45◦ C 30◦ D 90◦ -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABC) A nên AB là hình chiếu SB lên mặt phẳng đáy Suy góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc ’ SBA Tam giác SAB vuông A nên ’= cos SBA AB ’ = 60◦ = ⇒ SBA SB S A B C Chọn đáp án A Câu 184 Th.s Nguyễn Chín Em 195 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (199) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy √ ABCD là hình vuông cạnh a, SC vuông góc với đáy và SC = a Tính tan góc đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) √ 1 A C D √ B 3 S √ a D C a B -Lời giải ™ AB ⊥ SC ⇒ AB ⊥ (SBC) Ta có AB ⊥ BC Suy hình chiếu SA lên (SBC) là SB ’ ⇒ (SA, (SBC)) = (SA, SB) = ASB Trong 4SCB vuông C, ta có p √ SB = SC + CB = 4a2 = 2a S √ a D Trong 4SBA vuông B, ta có ’= tan BSA A C AB a = = SB 2a a B Vậy tan góc đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) là A Chọn đáp án A Câu 185 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tìm khẳng định đúng các khẳng định sau: A AB vuông góc với mặt phẳng (SAC) C AB vuông góc với mặt phẳng (SAD) -Lời giải Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)” Thật vậy, SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, mặt khác AB ⊥ AD Từ đó suy AB ⊥ (SDA) B AB vuông góc với mặt phẳng (SBC) D AB vuông góc với mặt phẳng (SCD) S A B D C Chọn đáp án C √ Câu 186 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Góc đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD) gần bằng? A 71◦ B 84◦ C 75◦ D 73◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 196 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (200) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Theo giả thiết thì AO là hình chiếu SO lên mặt phẳng (ABCD) Do đó góc SO và (ABCD) ’ chính là góc SOA √ √ a Ta có SA = a và OA = Do đó ’= tan SOA S √ SA = OA Vậy góc SO và (ABCD) gần 73◦ A D O B C Chọn đáp án D Câu 187 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Góc hai đường thẳng A0 B và AC A 60◦ B 30◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải Vì ABCD.A0 B C D0 là hình lập phương nên ta có C0 B0 AD ⊥ (ABB A0 ) ⇒ A0 B ⊥ AD (1) ABB A0 là hình vuông nên A0 B ⊥ AB (2) Từ (1), (2) ⇒ A0 B ⊥ (ADC B ) ⇒ A0 B ⊥ AC D0 A0 Vậy góc hai đường thẳng A0 B và AC 90◦ C B D A Chọn đáp án C Câu 188 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ) Khẳng định nào sau đây đúng? A AC ⊥ (SCD) B AC ⊥ (SBD) C AC ⊥ (SBC) D AC ⊥ (SAB) S B A -Lời giải Từ giả®thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy AC ⊥ BD Ta có ⇒ AC ⊥ (SBD) AC ⊥ SB Chọn đáp án B C D Câu 189 Khẳng định nào sau đây là đúng? A Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng a song song với mặt phẳng (P ) thì đường thẳng b song song với mặt phẳng (P ) B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với mặt phẳng (P ) thì đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P ) C Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thằng b vuông góc với đường thẳng c thì đường thẳng a song song với đường thẳng c Th.s Nguyễn Chín Em 197 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (201) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 D Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P ) thì có đường thẳng c thuộc mặt phẳng (P ) thỏa mãn a, b, c đồng phẳng -Lời giải Hai đường thẳng a, b cùng vuông góc với mặt phẳng (P ) thì a, b song song với và đó chúng đồng phẳng Nếu gọi M, N là giao điểm a, b với mặt phẳng (P ) thì đường thẳng qua M N đồng phẳng với a, b Do đó, khẳng định “Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P ) thì có đường thẳng c thuộc mặt phẳng (P ) thỏa mãn a, b, c đồng phẳng ”đúng Chọn đáp án D Câu 190 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tang góc đường thẳng BD0 và mặt phẳng (ADD0 A0 ) √ √ √ √ 2 A B C D 3 -Lời giải Do ABCD.A0 B C D0 là hình lập phương nên BA ⊥ (ADD0 A0 ) A ÷ Do đó góc đường thẳng BD0 và mặt phẳng (ADD0 A0 ) là góc BD Gọi độ dài cạnh hình√lập phương là a Khi đó AB = a, AD0 = a AB a 0A = ÷ Do đó tan BD = √ =√ AD0 a 2 D0 C0 B0 A0 D A C B Chọn đáp án C Câu 191 Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC) Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB (tham khảo hình vẽ bên) Mệnh đề nào sau đây sai? A AH ⊥ SC ’ B Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC C BC ⊥ (SAB) D Các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông S H A C B -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC Mặt khác BC ⊥ AB Suy BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc SC trên (SAB) là SB ’ (vì tam giác SBC vuông B) Vậy (SC, (SAB)) = (SC, SB) = BSC Chọn đáp án B Câu 192 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 135◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 198 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (202) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Theo bài ta có AB là hình chiếu SB trên (ABC) ’ Vậy góc (SB, (ABC)) = (SB, AB) = SBA ’ = 45◦ Mà ∆SBA vuông cân A nên SBA S a A C a ϕ B Chọn đáp án A Câu 193 ’ = BAC ’ = ACS ’ = 90◦ và AB = AC = Cho hình chóp SABC có SBA a, SA = 2a hình vẽ Góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) A 75◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦ S A C B -Lời giải √ √ • Do 4SAB √ vuông B nên SB = SA2 − AB = a Tương tự, ta có SC = a • Gọi M ® là trung điểm BC AM ⊥ BC Suy ⇒ BC ⊥ (SAM ) SM ⊥ BC Gọi H là hình chiếu S trên AM , suy SH ⊥ (ABC) ’ Do đó, (SA, (ABC)) = (SA, AH) = SAM S A C H M B √ √ √ a a 2 • Ta có BC = a 2, AM = BC = √ , SM = SB − M B = √ 2 2 + AM − SM AS ’ = • cos SAM =√ 2AS · AM • Vậy góc SA và (ABC) 45◦ Chọn đáp án C Câu 194 Th.s Nguyễn Chín Em 199 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (203) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên dài gấp đôi cạnh đáy Gọi M là trung điểm SD hình vẽ Tan góc đường √ thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) √ A B C D √ 5 14 S M D A B C -Lời giải S M D A H O B C • Gọi H là hình chiếu M trên mặt phẳng (ABCD) Suy H là trung điểm OD ÷ • Ta có góc BM và mặt phẳng (ABCD) là M BH • Không tính tổng quát, coi cạnh đáy có độ dài a Khi đó, cạnh bên có độ dài 2a √ a Ta có BD = a nên OB = √ Å ã2 … √ a Suy SO = SB − OB = (2a)2 − √ a = 2 √ √ a 2a Suy M H = SO = √ Lại có BH = BD = 4 2 √ MH ÷ = • Ta có tan M BH = BH Chọn đáp án A 3a Gọi điểm M là trung điểm cạnh BC và ϕ là góc đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC) Khi đó sin ϕ √ √ √ 3 B C D A -Lời giải ’ Góc SM và S √ (ABC) là góc SM A = ϕ √ √ a 2 Ta có AM = , SM = SA + AM = a √ SA Vậy sin ϕ = = SM Câu 195 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = A C M B Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 200 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (204) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 196 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB Tính ϕ là góc SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC) A ϕ = 45◦ B ϕ = 60◦ C ϕ = 30◦ D ϕ = 90◦ S A C B -Lời giải Gọi H là trung điểm AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC) ’ Suy SH ⊥ CH và (SC, (ABC)) = SCH Ta có 4SAB = 4CAB (c.c.c) nên SH = CH Do đó 4SCH vuông cân H ’ = 45◦ Vậy (SC, (ABC)) = SCH S A C H B Chọn đáp án A Câu 197 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy Tam giác SAC cân và SC = 2a Gọi φ là góc √ SB và CD Tính cos φ √ A cos φ = B cos φ = √ √ D cos φ = C cos φ = S A B D C -Lời giải ’ Vì AB k CD nên góc SB và CD góc AB và SB Suy φ = SBA √ SC Tam giác SAC là tam giác vuông cân A nên SA = AC = √ = 2a AC ABCD là hình vuông nên AB = √ = a SB = √ AB + SA2 = √ √ AB ’ 3a ⇒ cos φ = cos SBA = = SB Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 201 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (205) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 198 ’ = BAC ’ = ACS ’ = 90◦ và AB = AC = a, SA = 2a Cho hình chóp SABC có SBA (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) S 2a B a C 75◦ 60◦ 30◦ A B C -Lời giải √ √ Do 4SAB√vuông B nên SB = SA2 − AB = a Tương tự, ta có SC = a Gọi M ® là trung điểm BC AM ⊥ BC Suy ⇒ BC ⊥ (SAM ) SM ⊥ BC Gọi H là hình chiếu S trên AM , suy SH ⊥ (ABC) ’ Do đó, (SA, (ABC)) = (SA, AH) = SAM D a A 45◦ S A C M H B √ √ √ a a 2 Ta có BC = a 2, AM = BC = √ , SM = SB − M B = √ 2 2 + AM − SM AS ’ = =√ cos SAM 2AS · AM Vậy góc SA và (ABC) 45◦ Chọn đáp án D Câu 199 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên dài gấp đôi cạnh đáy Gọi M là trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên) Tan góc đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) S M A √ A √ B C 5 14 -Lời giải Gọi H là hình chiếu M trên mặt phẳng (ABCD) Suy H là trung điểm OD ÷ Ta có góc BM và mặt phẳng (ABCD) là M BH Không tính tổng quát, coi cạnh đáy có độ dài a Khi đó, cạnh bên có độ dài 2a √ a Ta có BD = a nên OB = √ … Å ã √ a 2 Suy SO = SB − OB = (2a) − √ = a √ √2 a 3 2a Suy M H = SO = √ Lại có BH = BD = 4 2 B 202 C √ D S M D A H O B Th.s Nguyễn Chín Em D C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (206) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ MH a ÷ Ta có tan M BH = = BH Chọn đáp án D Câu 200 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC (tham khảo hình bên) Tính số đo góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 75◦ S A C H B -Lời giải Ta có SH ⊥ (ABC) ⇒ HA là hình chiếu SA lên mặt phẳng (ABC) ’ = (SA, (ABC)) Suy SAH ’ = 45◦ Hai tam giác ABC và SBC cạnh a nên tam giác SAH vuông cân H Do đó SAH Chọn đáp án A Câu 201 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) Góc SC và mặt phẳng (ABCD) là góc A SC và BC B SC và DC C SC và SA D SC và AC S A D B C -Lời giải Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc SC lên mặt phẳng (ABCD) Do đó góc SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SC và AC Chọn đáp án D Câu 202 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD Khẳng định nào sau đây sai? A SO ⊥ (ABCD) B AC ⊥ (SBD) C BD ⊥ (SAC) D BC ⊥ (SAB) S D C O A B -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 203 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (207) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do ® ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên SO ⊥ AC ⇒ SO ⊥ (ABCD) SO ⊥ BD ® SO ⊥ AC Từ suy AC ⊥ (SBD) AC ⊥ BD ® SO ⊥ BD Từ suy BD ⊥ (SAC) AC ⊥ BD Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng S D C O A B Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai Vì BC ⊥ (SAB) suy BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí) Chọn đáp án D Câu 203 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với đáy Gọi M, N lần√lượt là trung điểm SA, BC Tính góc đường thẳng M N với mặt phẳng (ABCD) a 10 biết M N = A 90◦ B 30◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải Gọi K là trung điểm AO thì M K k SO nên M K ⊥ (ABCD) ⇒ M K ⊥ KN 5a2 Ta có KN = CK + CN − 2CK · CN · cos 45◦ = ⇒ KN = √ a 10 KN ÷ Đặt α = (M N, (ABCD)) = M N K thì cos α = = ⇒α= M N 60◦ S M A D K O B N C Chọn đáp án C √ ’ = 60◦ , SA ⊥ (ABCD), SA = a Câu 204 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC Gọi α là góc SA và mặt phẳng (SCD) Tính tan α A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 204 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (208) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Trong mặt phẳng (ABCD) hạ AH ⊥ CD (1) Do giả thiết SA ⊥ (ABCD) suy SA ⊥ CD (2) Từ (1), (2) suy CD ⊥ (SAH) Tương tự mặt phẳng (SAH) kẻ AI ⊥ SH Theo chứng minh trên suy CD ⊥ AI Do đó ® AI ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) AI ⊥ SH S ‘ = α Vậy góc SA và mặt phẳng (SCD) ASI AH Xét tam giác vuông SAH ta có tan α = SA √ a Do giả thiết suy tam giác ACD cạnh a nên AH = √ a = Khi đó tan α = √ a I A D H C B Chọn đáp án A Câu 205 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABCD) và SA = 2a Tính cosin góc đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) √ √ 5 A B C D 5 -Lời giải Ta có S (SAB) ⊥ (ABCD) (SAC) ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ (ABCD) (SAB) ∩ (SAC) = SA A là hình chiếu vuông góc cũa B trên (SAD) ⇒ SA là hình chiếu vuông góc SB trên (SAD) ’ ⇒ (SB; (SAD)) = (SB; SA) = ASB Xét ∆SAB vuông A√ √ √ SB = AB + SA2 = a2 + 4a2 = a A B D C √ SA 2a ’= ⇒ cos ASB = √ = SB a Chọn đáp án D Câu 206 Cho đường thẳng a và các mặt phẳng phân biệt (P ), (Q), (R) Chọn mệnh đề sai các mệnh đề sau ® (P ) ⊥ (R) a ⊥ (P ) A Nếu thì a ⊥ (Q) B Nếu (Q) ⊥ (R) thì a ⊥ (R) (P ) k (Q) (P ) ∩ (Q) = a ® ® (P ) ⊥ (Q) (P ) k (Q) C Nếu thì (P ) ⊥ a D Nếu thì (P ) ⊥ (R) (Q) k a (Q) ⊥ (R) Th.s Nguyễn Chín Em 205 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (209) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ -Lời®giải (P ) ⊥ (Q) Nếu (Q) k a Chương - Hình học 11 thì chưa khẳng định vị trí tương đối (P ) và a Chọn đáp án C Câu 207 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi α là góc tạo đường thẳng SC và mặt phẳng đáy Mệnh đề nào sau đây đúng? √ A α = 60◦ B α = 75◦ C tan α = D tan α = -Lời giải Ta có AC là hình chiếu vuông góc SC lên mặt phẳng (ABCD) S ’ nên α = (SC, (ABCD)) = SCA √ √ Trong tam giác ABC vuông cân B thì AC = AB = a Tam giác SAC vuông A nên ta có tan α = √ SA 2a = √ = AC a D A α B C Chọn đáp án D Câu 208 Cho hình thoi ABCD có tâm O, BD = 4a, AC = 2a Lấy điểm S không thuộc (ABCD) cho ’ = Tính số đo góc SC và (ABCD) SO ⊥ (ABCD) Biết tan SBO A 60◦ B 75◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Vì SO ⊥ (ABCD) nên tam giác SBO vuông O Khi đó S SO SO ’ tan SBO = = = ⇒ SO = a BO 2a SO ⊥ (ABCD) suy hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABCD) ’ là CO hay góc SC và (ABCD) là góc SCO ’ = SO = a = Ta có tan(SC, (ABCD)) = tan(SC, CO) = tan SCO CO a A B ’ = 45◦ Suy SCO ◦ O Vậy góc SC và (ABCD) là 45 D C Chọn đáp án D Câu 209 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai? A AD⊥SC B SA⊥BD C SO⊥BD D SC⊥BD -Lời giải S Do ABCD là hình thoi nên AC⊥BD ® SA⊥BD (do SA⊥(ABCD)) Có AC⊥BD A Suy BD⊥(SAC), đó SC⊥BD Mà SO ⊂ (SAC) nên suy SO⊥BD Như có khẳng định AD⊥SC là sai D O B Chọn đáp án A C Câu 210 Th.s Nguyễn Chín Em 206 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (210) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Gọi α là góc đường thẳng A0 C và mặt phẳng (A0 B C D0 ) Giá trị tan α là √ A tan α = B tan α = √ C tan α = D tan α = B0 A0 D0 C0 B A D C -Lời giải ) là α = CA 0C ÷ Góc A0 C với (A0 B C D√ a CC Có tan α = 0 = √ = AC a B0 A0 D0 C0 B A D C Chọn đáp án D Câu 211 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Lấy điểm M trên đoạn SD cho M S = 2M D Tang góc √ đường thẳng BM và √ mặt phẳng (ABCD) A B C D 5 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD S Ta có SO ⊥ (ABCD) và Ã Ç √ å2 √ p a a 2 2 SO = SB − OB = a − = 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên (ABCD) Khi đó M H k SO và H ∈ BD √ MH DH DM SO a Hơn = = = ⇒ MH = = SO DO DS 3 √ DH DB 5DB a5 = ⇒ DH = ⇒ BH = = Từ DO 6 M B A O H D C Ta có M H ⊥ (ABCD) và BM ∩ (ABCD) = B nên góc đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là ÷ M BH MH ÷ = Tam giác M HB vuông H nên tan M BH = BH Chọn đáp án D Câu 212 Cho a, b, c là các đường thẳng không gian Xét các mệnh đề sau (I) Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a k c (II) Nếu a ⊥ (α) và b k (α) thì a ⊥ b (III) Nếu b ⊥ c và a k b thì a ⊥ c (IV) Nếu a ⊥ b, b ⊥ c và a cắt c thì b ⊥ (a, c) Có bao nhiêu mệnh đề đúng? A B -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em C 207 D https://emncischool.wixsite.com/geogebra (211) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Mệnh đề (I) sai Chẳng hạn b vuông góc với mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng a và c cắt Các mệnh đề (II), (III), (IV) đúng Chọn đáp án C Câu 213 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông B, SA vuông góc với đáy ABC Khẳng định nào đây là sai? A SB ⊥ BC B SA ⊥ AB C SB ⊥ AC D SA ⊥ BC -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABC) ® nên SA ⊥ AB và SA ⊥ BC SA ⊥ BC Mặt khác ta có nên BC ⊥ (SAB), suy SB ⊥ BC AB ⊥ BC Vậy khẳng định sai là “SB ⊥ AC” Chọn đáp án C Câu 214 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là α Khi đó tan α √ √ A B 2 C D √ -Lời giải √ Ta có AC = a S √ SA 2a Xét tam giác SAC vuông A ⇒ tan α = = √ = AC a 2a a A D α B C Chọn đáp án C Câu 215 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Khi đó góc hai đường thẳng BD và A0 C A 90◦ B 30◦ C 60◦ D 45◦ D A B C D0 A0 B0 -Lời giải ® 0 A C ⊥ B D0 Ta có ⇒ A0 C ⊥ (BDD0 B ) ⇒ A0 C ⊥ BD A0 C ⊥ BB Vậy góc hai đường thẳng BD và A0 C 90◦ Chọn đáp án A C0 Câu 216 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi H là hình chiếu O lên (ABC) Khẳng định nào sau đây sai? A H là trực tâm tam giác ABC B 3OH = AB + AC + BC 1 1 C OA ⊥ BC D = + + 2 OH OA OB OC -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 208 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (212) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A Vì OA, OB, OC đôi vuông góc nên OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC Gọi I là giao điểm AH với BC, K là giao điểm CH và AB ® OA ⊥ BC Ta có OH ⊥ BC (OH ⊥ (ABC)) ⇒ BC ® ⊥ (OAI) ⇒ BC ⊥ AI (1) OC ⊥ AB (OC ⊥ (OAB)) Lại có OH ⊥ AB (OH ⊥ (ABC)) ⇒ AB ⊥ (OCK) ⇒ AB ⊥ CK (2) Từ (1) và (2) ta suy AI và CK là hai đường cao tam giác ABC Chứng tỏ H là trực tâm tam giác ABC K H O C I B Vì BC ⊥ (OAI) nên BC ⊥ OI Xét tam giác OAI vuông O ta có 1 1 1 = + = + + 2 2 OH OA OI OA OB OC Chọn đáp án B Câu 217 Cho hình chóp S.ABCD đó SA, AB, BC đôi vuông góc và SA = AB = BC = Khoảng cách hai điểm S và C nhận giá trị nào các giá trị sau? √ √ √ B C D A 2 -Lời giải Vì SA ⊥ BC, AB ⊥ BC nên BC ⊥ (SAB) S √ ⇒ SB ⊥ BC√ hay tam + AB = giác SBC vuông B Tính SB = SA suy √ √ SC = SB + BC = A D B C Chọn đáp án B Câu 218 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với đáy Gọi M , N lần lượt√là trung điểm SA và BC Tính góc đường thẳng M N với mặt phẳng a 10 (ABCD), biết M N = ◦ A 30 B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Gọi H là trung điểm AO suy M H k SO Mà SO ⊥ (ABCD) S nên M H ⊥ (ABCD), đó góc đường thẳng M N và ÷ (ABCD) M N H Theo định lí cô-sin 4HN C ta có p HN = N C + HC − 2N C · HC · cos 45◦ à √ √ M a 2 Ç 3a√2 å2 a 3a 2 = + −2· · · 4 D √ C a 10 H = O N A B NH ÷ ÷ Xét tam giác M N H có cos M NH = = ⇒M N H = 60◦ Vậy góc đường thẳng M N với mặt NM phẳng (ABCD) 60◦ Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 209 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (213) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 219 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, và SA vuông góc với đáy Tang góc đường thẳng SO và mặt phẳng (SAB) √ √ √ A B C D -Lời giải Gọi I là trung điểm AB Vì OI k AD mà AD ⊥ (SAB) nên OI ⊥ (SAB) ‘ Do đó SI là hình chiếu vuông góc SO trên mặt phẳng (SAB) Nên ISO S là góc đường thẳng SO và mặt phẳng (SAB) … √ √ AD a a a Ta có OI = = , SI = SA2 + AI = a2 + = 2 Xét tam giác SOI vuông I, ta có a √ OI ‘ tan ISO = = √ = SI a D A I O B C Chọn đáp án D Câu 220 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm (P ) thì d ⊥ (P ) B Nếu đường thẳng d nằm (P ) và d ⊥ (Q) thì (P ) ⊥ (Q) C Nếu (P ) ⊥ (Q) và cắt theo giao tuyến a, a ⊂ (P ) và a ⊥ (P ) thì a ⊥ (Q) D Nếu a ⊥ (P ) và b k (P ) thì a ⊥ b -Lời giải Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (P ) thì d ⊥ (P ) Chọn đáp án A Câu 221 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc đường thẳng BD0 và mặt phẳng (ADC ) α Tính tan α A tan α = B tan α không xác định √ √ C tan α = D tan α = 2 B0 C0 D0 A0 C B A -Lời giải Gọi O, M là trung điểm BD0 , CD0 Ta có D0 C ⊥ DC và D0 C ⊥ AD nên D0 C ⊥ (ADC ), suy B0 ÷ α = BD0 , (ADC ) = OD0 , OM = M OD0 Do đó D C0 D0 A0 √ M D0 AD DD0 = : √ = tan α = MO 2 O C B A Chọn đáp án C M D Câu √ 222 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, SA ⊥ (ABC) Cho AB = a, BC = a 3, SA = 2a Mặt phẳng (P ) qua A và vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P ) √ √ √ √ a2 a2 a2 a2 A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 210 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (214) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm SC Do SA = AC = 2a nên S AM ⊥ SC (1) Trong (SBC), gọi điểm N thuộc cạnh SB cho M N ⊥ SC M (2) Từ (1) và (2) suy SC ⊥ (AM N ) Khi đó thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P ) là tam giác AM N √ SC Ta có AM = = a (3) A C N B Vì 4SM N ∼ 4SBC nên √ √ √ SM MN SM · BC a 2·a a 30 √ = ⇔ MN = = = SB BC SB a √ √ a 30 √ 2a · SN 4a MN SC · M N √ = = ⇔ SN = = SC BC BC a (4) Cách √ 2a SA = √ = Xét 4SAB, cos S = SB a Xét 4SAB, √ √ 16a2 4a 5 4a2 AN = SA + SN − 2SA · SN · cos S = 4a + − · 2a · · = 5 5 √ 2a ⇔AN = 2 Từ (3),(4) và (5) đặt p = 2 (5) AM + M N + AN Ta tính √ » a2 SAM N = p(p − AM )(p − M N )(p − AN ) = Cách Ta có ⇔ VS.AM N SM SN = · VS.ACB SC SB SM · SAM N SM SN = · SA · SACB SC SB ⇔ SAM N √ 2√ 4a √ a · 2a · SACB · SA · SN a2 √ √ = = = SC · SB 2a · a Chọn đáp án D Câu 223 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt là sai? A Nếu b k (P ) thì b ⊥ a C Nếu b ⊥ (P ) thì b k a -Lời giải Mệnh đề sai là “Nếu b ⊥ a thì b k (P )” vì b ⊥ a có Chọn đáp án D phẳng (P ), đó a ⊥ (P ) Mệnh đề nào sau đây B Nếu b k a thì b ⊥ (P ) D Nếu b ⊥ a thì b k (P ) thể b ⊂ (P ) √ a Câu 224 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, đường cao SH = Tính góc cạnh bên và mặt đáy hình chóp Th.s Nguyễn Chín Em 211 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (215) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A 75◦ B 30◦ C 45◦ -Lời giải Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều, nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC Suy CH là hình chiếu SC trên (ABC), ’ đó (SC; (ABC)) = (SC; CH) √ = SCH √ SH a a ’ ’ = 45◦ Mặt khác tan SCH = = : = ⇒ SCH CH 3 Vậy góc cần tìm là 45◦ D 60◦ S A C H B Chọn đáp án C Câu 225 √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với đáy và SA = a Tính góc đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD A 60◦ B 45◦ C 30◦ D 90◦ -Lời giải Hình chiếu vuông góc SC lên mặt phẳng ABCD là AC, đó góc S đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là góc SC và AC, hay ’ góc SCA √ Xét tam giác SCA vuông A có SA = AC = a 2, suy tam giác ’ = 45◦ SCA vuông cân A, đó SCA A D B C Chọn đáp án B √ Câu 226 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh 2a, SA ⊥ (ABC) và SA = a Gọi M là trung điểm BC, gọi (P ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SM Tính diện tích thiết diện (P ) và hình chóp S.ABC? √ √ √ a2 a2 a2 a2 A B C D 2 4 -Lời giải Dễ thấy 4SAB = 4SAC ⇒ SB = SC ⇒ 4SBC cân S S Vì M là trung điểm BC nên SM ⊥ BC (P ) ⊥ SM Ta có BC ⊥ SM ⇒ BC k (P ) BC 6⊂ (P ) Kẻ AI ⊥ SM I F BC k (P ) I Từ BC ⊂ (SBC) ⇒ (P ) ∩ (SBC) = Ix k BC E I ∈ (P ) ∩ (SBC) A C Đường thẳng Ix cắt SB, SC lần √ lượt E và F √ “ = 2a · = a Ta có AM = AB sin B M B Từ đó suy 4SAM vuông cân A nên I, E, F là trung điểm SM , SB, SC Trong tam Th.s Nguyễn Chín Em 212 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (216) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 giác SBC có EF = BC = a √ a c Trong tam giác vuông cân SAM có AI = AM sin M = Thiết diện cần tìm tam giác SEF √ √ 1 a a2 Diện tích thiết diện SSEF = · SI · EF = · ·a= 2 Chọn đáp án C Câu 227 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có mặt đáy là tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H AB Biết góc cạnh bên và mặt đáy 60◦ Góc đường thẳng A0 C và (ABC) là π π π A B C arcsin D 4 -Lời giải Ta có 4HAA0 = 4HAC ⇒ HA0 = HC ⇒ 4HA0 C vuông cân H π CH = ÷ Góc A0 C và (ABC) là A A0 C0 B0 A H C B Chọn đáp án A Câu 228 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh AB, AD, C D0 Tính cosin góc hai đường thẳng M N và CP √ √ 10 15 A √ B C √ D 5 10 10 B C M A D N B0 C0 P A0 D0 -Lời giải Ÿ Gọi Q là trung điểm B C Ta có M N k P Q, đó (M N, CP ) = ÿ ’ (P Q, CP ) = CP Q Gọi K là trung điểm P Q, đó CK ⊥ P Q (do ∆CP Q cân C) Gọi a là độ dài cạnh hình √ lập phương √ √ 1a a a = , CP = Khi đó KP = P Q = 2 KP ’ Có cos CP Q= =√ CP 10 Ÿ Vậy cos M N, CP = √ 10 B C M A D N B0 Q C0 K A0 P D0 Chọn đáp án C Câu 229 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D, AB = 2a, AD = DC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính số đo góc đường thẳng BC và mặt phẳng (SAC) A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 213 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (217) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có SA ⊥ (ABCD) nên (SAC) ⊥ (ABCD) Gọi M là trung điểm √ AB ta có AM CD là hình vuông nên tính AC = CB = a Mà AB = 2a nên 4ABC vuông cân đỉnh C, ’ = 90◦ Từ đó suy BC ⊥ (SAC) suy BCA Vậy góc BC và (SAC) 90◦ S M A B D C Chọn đáp án D Câu 230 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh a Gọi M , N là trung điểm các cạnh BC, A0 B Tính tan góc đường thẳng M N và mặt phẳng (ABC) A B C √ D √ 5 -Lời giải Gọi H là trung điểm cạnh AB, suy HM , HN là đường trung bình tam giác ABC và hình chữ nhật ABB A0 a AC = và HN = a, HN k AA0 ⇒ HN ⊥ (ABC) Từ đó suy HM = 2 Từ đó suy góc đường thẳng M N và (ABC) là góc (M N, M H) = ÷ N M H a HN ÷ = a = Xét tam giác vuông M N H, ta có tan N MH = HM A0 C0 N B0 A C H M B Chọn đáp án A Câu 231 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC Biết tam giác SBC đều, góc SA và mặt phẳng (ABC) là A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 30◦ -Lời giải Gọi H là trung điểm BC, đó H là hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) ’ ⇒ góc SA và mặt phẳng (ABC) là góc SAH Hai tam giác ABC và SBC chung cạnh BC có hai trung tuyến ứng với cạnh BC là AH, SH nên SH = AH hay tam giác SAH vuông cân H ’ = 45◦ Vậy SAH S B A H C Chọn đáp án A Câu 232 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và M là trung điểm BC, góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy 60◦ Góc SM và mặt phẳng đáy có giá trị gần với giá trị nào sau đây? A 60◦ B 70◦ C 90◦ D 80◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 214 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (218) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’= Ta có SA ⊥ (ABCD) nên góc SC và (ABCD) là góc SCA ’ 60◦ , góc SM và (ABCD) là góc SM A Tính: √ √ √ AC = AB + BC = 4a2 + a2 = a 5; √ ’ = a 15; SA = AC · tan SCA … √ √ a2 a 17 2 AM = AB + BM = 4a + = ; √ √ SA a 15 15 ’ tan SM A = = √ = √ AM a 17 17 S A B M D C ’ Suy SM A ' 62◦ Chọn đáp án A √ Câu 233 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Góc cạnh bên SC với đáy bao nhiêu? A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải ’ Do SA ⊥ (ABCD) góc SC và đáy là SCA √ nên √ Ta có AC = AB = a √ SA a ’= ’ = 45◦ tan SCA = √ = ⇒ SCA AC a S A D B C Chọn đáp án C Câu 234 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Gọi M , N là trung điểm AC và B C , α là góc đường thẳng M N và mặt phẳng (A0 B C D0 ) Giá trị sin α √ √ √ 5 A B C D 2 -Lời giải Gọi H là tâm hình vuông A0 B C D0 , ta có M H ⊥ (A0 B C D0 ) Do đó ÷ (M N, (A0 B C D0 )) = (M N, N H) = M N H … a 2 a √ √ a 2 Ta có M H = a, N H = nên M N = M H + N H = a + = 2 √ MH a ÷ Do đó sin M NH = = √ = MN a A0 D0 H B0 C0 N A D M B Chọn đáp án B C Câu 235 Th.s Nguyễn Chín Em 215 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (219) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình√chóp S.ABCD có đáy √ ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = a, AD = 3a Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Góc SB và mặt phẳng (SAC) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 75◦ S A D B C -Lời giải Vẽ BH ⊥ AC ⇒ BH ⊥ (SAC) ’ Suy góc SB và√mặt phẳng √ (SAC) là BSH BA.BC a·a a BH = = = AC 2a √ √ SB = SA2 + AB = a ’ = BH = ⇒ BSH ’ = 30◦ sin BSH SB S A D H B C Chọn đáp án A Câu 236 Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD vuông góc với đôi (như hình vẽ bên) Khẳng định nào sau đây sai? ’ A Góc AD và (ABC) là góc ADB ’ B Góc CD và (ABD) là góc CDB ’ C Góc AC và (BCD) là góc ACB ’ D Góc AC và (ABD) là góc CAB A B D C -Lời giải ’ góc AC và (ABD) là góc CAB ’ Ta có CB ⊥ (ABD) nên góc CD và (ABD) là góc CDB, ’ Ta lại có AB ⊥ (BCD) nên góc AC và (BCD) là góc ACB ’ Góc AD và (ABC) chính là góc DAB Chọn đáp án A Câu 237 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi AE, AF là các đường cao tam giác SAB và SAD Mệnh đề nào sau đây đúng? A SC ⊥ (AED) B SC ⊥ (ACE) C SC ⊥ (AF B) D SC ⊥ (AEF ) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 216 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (220) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Chương - Hình học 11 BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AE (1) BC ⊥ SA Mặt khác ta có AE ⊥ SB (2) Từ (1) và (2) ta có AE ⊥ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC (*) Chứng minh tương tự ta có AF ⊥ (SDC) ⇒ AF ⊥ SC (**) Từ (*) và (**) ta có SC ⊥ (AEF ) Ta có S F E D A B C Chọn đáp án D Câu 238 Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai? A Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường phẳng thì song song với B Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đồng quy đôi song song với C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với D Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng -Lời giải Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với chéo Chọn đáp án C Câu 239 √ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông cân B Biết AB = a, BC = a Tính góc hợp đường thẳng BC và mặt phẳng (ACC A0 ) A 90◦ B 45◦ C 60◦ D 30◦ -Lời giải • Gọi H là trung điểm AC Do tam giác ABC vuông cân B nên BH ⊥ AC Mặt khác ABC.A0 B C là lăng trụ đứng nên CC ⊥ BH Do đó BH ⊥ (ACC A0 ) Suy góc BC với mặt phẳng H ÷ (ACC A0 ) là góc BC √ • Ta có BC = AB = a nên √ AC = a a Do đó HB = AC = 2 HB 0H = H = 30◦ ÷ ÷ • sin BC = nên BC BC A H C B A0 C0 B0 Chọn đáp án D Câu 240 Th.s Nguyễn Chín Em 217 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (221) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Gọi H, K là hình chiếu vuông góc A trên SB, SD (hình vẽ bên) Gọi α là góc tạo đường thẳng SD và mặt phẳng (AHK), tính tan α √ √ A tan α = B tan α = √2 C tan α = √ D tan α = S H K A B C D -Lời giải Gọi L là giao điểm SC và (AHK) Ta có AK ⊥ (SCD) và AH ⊥ (SBC) nên SC ⊥ (AKLH) Do đó ’ = α (SD, (AHK)) = (SK, KL) = SKL S L H Xét 4SAC ta có K SA2 = SL · SC ⇔ SL = SA2 SC a2 a = √ =√ a 3 A B O C D Mặt khác 4SLK ∼ 4SDC nên a √ ·a LK SK SK · DC a = ⇔ LK = = √ =√ DC SC SC a Xét 4SLK ta có a √ √ SL = a = tan α = KL √ Vậy tan α = √ Chọn đáp án B √ Câu 241 Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB = AC = AD = BC = BD = a và CD = a Tính góc hai đường thẳng AD và BC A 90◦ B 45◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 218 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (222) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi I, K, H là trung điểm các cạnh DC, DB, AB Suy KH k AD và KI k BC, đó D ’ (AD, BC) = (KH, KI) = IKH … √ a2 a Xét 4BIC, BI = BC − AC = a2 − =√ 2 ® AB ⊥ DH Ta có ⇒ AB ⊥ (DHC) ⇒ AB ⊥ HI AB ⊥ HC … √ a a2 a2 − = (1) Xét 4BIH, HI = IB − HB = Xét 4IHK, ta có BC a IK = = 2 ⇒ IK = HK = a (2) AD a HK = = 2 I K A C H B ’ = 60◦ Từ (1) và (2) suy 4IHK là tam giác Dó đó IKH Chọn đáp án D Câu 242 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a Tính tan góc đường 0 thẳng B √ C và mặt phẳng (ABB A ) √ √ 15 10 A B C D -Lời giải Lấy M là trung điểm AB, đó CM ⊥ AB Mà CM ⊥ AA0 nên A0 0 0 0 ÷ CM ⊥ (ABB A ) ⇒ (B C, (ABB A ))√= CB M √ √ a a Ta có B M = B B + BM = , CM = nên suy 2 √ B0 CM 15 0M = ÷ C tan CB = B0M A M C B Chọn đáp án C Câu 243 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy H, K là hình chiếu vuông góc A lên SD, SC Khẳng định nào sau đây là đúng? A AK vuông góc với (SCD) B BC vuông góc với (SAC) C AH vuông góc với (SCD) D BD vuông góc với (SAC) -Lời giải Ta có CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH và AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (SCD) S H K A B Chọn đáp án C D C Câu 244 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P ) Chọn khẳng định đúng? Th.s Nguyễn Chín Em 219 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (223) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A Nếu a k (P ) và b ⊥ a thì b ⊥ (P ) C Nếu a ⊥ (P ) và b ⊥ a thì b k (P ) -Lời giải B Nếu a k (P ) và b ⊥ (P ) thì b ⊥ a D Nếu a k (P ) và b k (P ) thì b k a Nếu a k (P ) và b ⊥ a thì b ⊥ (P ) sai vì b có thể nằm (P ) Nếu a k (P ) và b ⊥ (P ) thì b ⊥ a đúng Nếu a ⊥ (P ) và b ⊥ a thì b k (P ) sai vì b có thể nằm (P ) Nếu a k (P ) và b k (P ) thì b k a sai vì a, b có thể chéo cắt Chọn đáp án B Câu 245 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA ⊥ √ (ABCD) và SA = a Gọi M là trung điểm SB (tham khảo hình vẽ bên) Tính tan √ góc đường √ thẳng DM và (ABCD) √ 10 A B C D 5 5 S M A D B -Lời giải Gọi H là trung điểm AB Khi đó, M H k SA nên M H⊥(ABCD), góc ÷ DM và (ABCD) là góc √ M DH √ √ SA a a 2 Ta có M H = = ; DH = AH + AD = 2 √ M H 10 ÷ Xét tam giác M DH vuông H có tan M DH = = DH C S M A B D H C Chọn đáp án D √ Câu 246 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a Biết 4SBD là tam giác Tính cạnh hình vuông đáy√theo a √ a A 2a B a C D a 2 -Lời giải √ √ Gọi cạnh đáy hình vuông là x thì BD = x 2, SB = 2a2 + x2 S Mà 4SBD nên p √ √ x = 2a2 + x2 ⇔ x = a A B D C Chọn đáp án D √ Câu 247 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Góc đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC) xấp xỉ A 16◦ B 35◦ C 14◦ D 33◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 220 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (224) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Chương - Hình học 11 BO ⊥ AC ⇒ BO ⊥ (SAC) BO ⊥ SA suy SO là hình chiếu SB trên (SAC) ¤ ’ = ϕ Vậy (SB, (SAC)) = BSO √ a √ BO OB 14 = √ = sin ϕ = =√ 2 SB 14 a AB + AS ⇒ ϕ ≈ 16◦ Ta có S A D O B C Chọn đáp án A Câu 248 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết SA = SC và SB = SD Khẳng định nào sau đây đúng? A SO ⊥ (ABCD) B CD ⊥ (SBD) C AB ⊥ (SAC) D BC ⊥ (SAC) -Lời ® giải SO ⊥ AC Ta có ⇒ SO ⊥ (ABCD) S SO ⊥ BD A D O B C Chọn đáp án A Câu 249 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P ), đó a ⊥ (P ) Mệnh đề nào sau đây là sai? A Nếu b k a thì b ⊥ (P ) B Nếu b ⊥ (P ) thì b k a C Nếu b ⊥ a thì b k (P ) D Nếu b k (P ) thì b ⊥ a -Lời giải Nếu b ⊥ a thì b k (P ) b ⊂ (P ) Chọn đáp án C Câu 250 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, tam giác ABC cạnh a Góc SC và mặt phẳng (ABC) là A arctan B 60◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Ta có AC là hình chiếu vuông góc SC trên mặt phẳng (ABC) nên góc S ’ SC và (ABC) là góc SCA ’ = 45◦ Tam giác SAC vuông cân A nên SCA a A C B Chọn đáp án D Câu 251 Cho hình chóp S.ABCD có góc cạnh bên và đáy 60◦ Tìm sin góc mặt bên và √ mặt đáy √ √ 30 42 A B C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 221 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (225) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi I là trung điểm AB Gọi O ( là tâm hình vuông ABCD ’ (SB, (ABCD)) = SBO Ta có ‘ = α ((SAB), (ABCD) = SIO √ BD = 2x √ Đặt AB = 2x, (x > 0), ta SO = 6x OI = x S B C I O 1 Ta cot α = √ ⇒ = + Vậy sin α = sin α Chọn đáp án D A D √ 42 Câu 252 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Cô-sin góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) √ √ A B C D -Lời giải Ta có OD ⊥ (SAC) ⇒ (SD, (SAC)) = (SD, SO) S Trong tam giác SOD vuông O, ta có : s ’ = SO = cos DSO SD √ SA2 − AO2 = SD a2 Ç √ å2 a − a √ = A D O B C Chọn đáp án A Câu 253 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 4, cạnh bên Gọi ϕ là góc cạnh bên và mặt đáy Khẳng định nào sau đây là đúng? √ 14 ◦ ◦ D tan ϕ = √ A ϕ = 45 B ϕ = 60 C tan ϕ = 2 -Lời giải √ √ AB Ta có OA = √ = 2, SO = SA2 − OA2 = 1, suy S ’ ϕ = (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO SO ⇒ tan ϕ = = √ AO 2 C D O A Chọn đáp án D H B √ Câu 254 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có AB = và AA0 = Góc tạo đường thẳng AC và mặt phẳng (ABC) A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 75◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 222 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (226) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ÷0 Lại có Vì CC ⊥ (ABC) nên (AC , (ABC)) = (AC , AC) = CAC 0 ÷0 = CC = AA = √1 , nên CAC ÷0 = 30◦ tan CAC AC AB A0 C0 B0 A C B Chọn đáp án C Câu 255 Cho tứ diện S.ABC có các góc phẳng đỉnh S vuông Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là A trực tâm tam giác ABC B trọng tâm tam giác ABC C tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC -Lời giải A F H O C B E Gọi E, F là giao điểm AH, BC và BH, AC BC ⊥ OA và BC ⊥ OH suy BC ⊥ (AOH) ⇒ AH ⊥ BC Chứng minh tương tự BH ⊥ AC suy H là trực tâm tam giác ABC Chọn đáp án A Câu 256 Cho tứ diện S.ABC có các góc phẳng đỉnh S vuông Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là A trực tâm tam giác ABC B trọng tâm tam giác ABC C tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC -Lời giải A F H O C B E Gọi E, F là giao điểm AH, BC và BH, AC BC ⊥ OA và BC ⊥ OH suy BC ⊥ (AOH) ⇒ AH ⊥ BC Chứng minh tương tự BH ⊥ AC suy H là trực tâm tam giác ABC Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 223 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (227) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 257 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là α Khi đó tan α √ √ A B √ C D 2 -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ AC là hình chiếu vuông góc SC trên S mặt phẳng (ABCD) ⇒ góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) góc ’ SC và AC SCA Tam giác SAC vuông A có ’= tan SCA √ SA 2a = √ = AC a A D α B C Chọn đáp án A Câu 258 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và H là hình chiếu vuông góc S lên BC Hãy chọn khẳng định đúng A BC ⊥ SC B BC ⊥ AH C BC ⊥ AB D BC ⊥ AC -Lời giải Ta có BC ⊥ SH mà SA ⊥ BC suy S BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ AH A C H B Chọn đáp án B Câu 259 Hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Tính góc đường thẳng SA với mp(ABCD) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD suy SO ⊥ (ABCD) (vì S S.ABCD là hình chóp đều) Hình chiếu vuông góc SA trên mp(ABCD) là OA ’ (vì tam giác SAO vuông O) (SA, (ABCD)) = (SA, OA) = SAO ’ = 45◦ 4SAC = 4BAC (c.c.c) ⇒ SAO Vậy (SA, (ABCD)) = 45◦ A B O D Chọn đáp án B C Câu 260 Cho hình √ chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và có độ dài a Góc SC và mặt (ABCD) Th.s Nguyễn Chín Em 224 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (228) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A 45◦ B 60◦ C 75◦ -Lời giải Góc SC và mặt (ABCD) chính là góc ∠SCA √ Ta tính √ SA AC = a 2, nên tan ∠SCA = = Do đó, CA ◦ ∠SCA = 30 D 30◦ S A D B C Chọn đáp án D Câu 261 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết SA = SC, SB = SD Khẳng định nào sau đây sai? A AC ⊥ (SBD) B AC ⊥ SO C AC ⊥ SB D SC ⊥ AD -Lời giải Do SA = SC nên AC ⊥ SO, mặt khác ABCD là hình S thoi nên AC ⊥ BD Từ đó nhận AC ⊥ (SBD) Hiển nhiên AC ⊥ SB Giả sử SC ⊥ AD, AD k BC nên SC ⊥ BC, theo định lí “Ba đường vuông góc” thì OC ⊥ BC, điều này là vô lí Vậy khẳng định sai là “SC ⊥ AD” D C O A B Chọn đáp án D ’ = 60◦ Góc Câu 262 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = SD = a, BAD đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải Vì 4BAD cân và có góc 60◦ nên là tam giác S Gọi H là hình chiếu S lên (ABCD) Do SA = SB = SD nên HA = HB = HD, suy H K là tâm tam giác ABD Gọi M là trung điểm CD Do HD k BM và BM ⊥ CD nên HD ⊥ CD Từ CD ⊥ HD, CD ⊥ SH ⇒ CD ⊥ (SHD) Trong 4SHD kẻ HL ⊥ SD thì HL ⊥ (SCD) L B C M H A D Trong 4SAC, kẻ HK k SA Khi đó, góc SA và (SCD) phụ với góc HK và HL Ta có HK CH 2 2a = = = ⇒ HK = SA = SA CA 3 √ … a a2 √ √ 2− · a 2 HD · HS HD · SD − HD a 3 HL = = = = SD SD a Th.s Nguyễn Chín Em 225 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (229) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ HL a 2a ’ ’ = 45◦ Tam giác HKL vuông L nên cos KHL = = ÷ = ⇒ KHL HK 3 Vậy góc SA và (SCD) 90◦ − 45◦ = 45◦ Chọn đáp án D Câu 263 √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ AC là hình chiếu SC trên (ABCD) ’ Suy (SC, (ABCD)) = SCA √ a √ SA SA = √ = tan SCA = =√ AC a AB + AD2 ◦ ’ ⇒ CSA = 60 S A D B C Chọn đáp án B √ Câu 264 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a √ Hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H BC, A0 H = a Gọi ϕ là góc hai đường thẳng A0 B và B C Tính cos ϕ √ √ √ 6 A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = -Lời giải Gọi D, E là trung điểm BB , A0 B Ta có DH k B C, DE k A0 B ⇒ ϕ = (DH, DE) Xét 4A0 BH vuông H có A0 B = 2a√⇒ DE = a a 13 Xét 4HA0 E vuông A0 có HE = Xét 4A0 AH vuông H có AA0 = 2a = BB BB 02 + B C BC Xét 4B BC có B H = − √ √ a ⇒ B C = a ⇒ DH = Suy √ DE + DH − EH cos ϕ = |cos(HDE)| = = 2DE · DH Chọn đáp án B B0 C0 E A0 D H B C A Câu 265 Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) B ta lấy điểm M cho M B = 2a Gọi I là trung điểm cạnh BC Tính tan góc đường thẳng IM và mặt phẳng (ABC) √ √ A B C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 226 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (230) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có BI là hình chiếu vuông góc IM lên (ABC) ’ Khi đó (IM, (ABC)) = (IM, BM ) = M IB MB ’ Xét ∆IBM vuông B có tan M IB = = BI M B A I C Chọn đáp án A Câu 266 Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Số các mặt hình chóp S.ABC là tam giác vuông là A B C D -Lời giải ® SA ⊥ AC Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ ⇒ 4SAC và 4SAB vuông A S SA ⊥ AB ® BC ⊥ AB Mặt khác ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ 4SBC BC ⊥ SA vuông B Theo giả thiết 4ABC là tam giác vuông B Vậy hình chóp S.ABC có mặt là tam giác vuông A C B Chọn đáp án B Câu 267 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = √ ’ = 120◦ Cạnh bên SD = a và SD vuông góc 2a, BC = a, ABC với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ) Tính sin góc tạo SB và mặt phẳng (SAC) √ √ 3 A B C D 4 S D A -Lời giải √ C B √ + − 2AB · = a2 + 4a2 − · 2a · a · = a Ta có: BD = √ √ SB = SD2 + BD2 = a 1 1 AC 7a2 Ta có: = + = + = + Ç √ å2 = 2 2 2 d (D, (SAC)) SD d (D, AC) 3a 3a 3a 4SDAC 4· · a · 2a · 2 √ a ⇒ d (D, (SAC)) = = d (B, (SAC)) √ a d (B, (SAC)) d (D, (SAC)) = Do đó sin (SB, (SAC)) = = = √ SB SB a Chọn đáp án C … AD2 Th.s Nguyễn Chín Em AB AD cos 60◦ 227 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (231) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 268 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC cạnh a và SA = a (tham khảo hình vẽ bên) Giá trị tang góc đường thẳng SC và √ mặt phẳng (SAB)√bằng 3 A √ B √ C D √ 2 S A C B -Lời giải Gọi I là ® trung điểm cạnh AB CI ⊥ AB Ta có ⇒ CI ⊥ (SAB) CI ⊥ SA S ‘ ⇒ tan CSI ‘ = CI Ta (SC, (SAB)) = CSI SI √ a CI = Ta có √ p SI = SA2 + AI = a √ Vậy tan(SC, (SAB)) = √ A C I B Chọn đáp án A Câu 269 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là √ hình vuông cạnh a biết SA ⊥ (ABCD) và SA = a Tính góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 30◦ S A B -Lời giải Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc SC trên mặt phẳng (ABCD) Suy góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) góc SC và AC √ ’ Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a Góc SC và AC SCA √ ’ = 45◦ Xét tam giác SAC vuông A có SA = AC = a ⇒ SCA Chọn đáp án A D C √ a Câu 270 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, SA = SB = SC = , BC = a Tính cô-sin góc SA và (ABC) √ √ √ √ 6 62 A B C D 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 228 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (232) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do tam giác ABC vuông A nên trung điểm M BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lại có SA = SB = SC nên chóp S.ABC có ’ SM ⊥ (ABC) Góc SA và (ABC) là góc SAM √ √ a 2 Tam giác SM C vuông M nên SM = SC − M C = √ a Tam giác SM A vuông M nên AM = SA2 − SM = √ AM ’ = Khi đó cos SAM = SA S M B C A Chọn đáp án D Câu 271 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với (ABCD), AB = 3, BC = 4, SA = (tham khảo hình vẽ bên) Giá trị sin góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD) √ √ √ 11 26 12 26 13 26 12 A B C D 328 338 338 65 S B D A C -Lời giải ◦ Cách 1: S H E A D I O B J C Trên mặt phẳng (ABCD), dựng CI vuông góc với DB, cắt AD E Qua E, dựng đường thẳng EH song song với SA Suy EH ⊥ (ABCD) Vì BD ⊥ (CEH) nên (CEH) ⊥ (SBD) Gọi J là hình chiếu vuông góc C trên HI Khi đó, ta có CJ ⊥ (SBD) Suy hình chiếu vuông góc SC trên mặt phẳng (SBD) là SJ Do đó, (SC, (SBD)) = (SC, SJ) (1) Vì CJ ⊥ (SBD) nên CJ ⊥ SJ Suy tam giác SJC vuông J và CJ SC CJ ‘ =√ = ⇒ sin CSJ ‘ ‘ 26 sin CSJ sin SJC (2) 12 27 117 , IE = , HE = , HI = 20 16 80 Vì tam giác HEI đồng dạng với tam giác CJI nên ta có Xét hình chữ nhật ABCD, ta có CI = HE HI HE · CI 12 = ⇒ CJ = = CJ CI HI 13 Th.s Nguyễn Chín Em 229 (3) https://emncischool.wixsite.com/geogebra (233) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ CJ 26 ‘ Từ (2) và (3), ta có sin CSJ = √ = 169 26 Chương - Hình học 11 (4) √ ‘ = Từ (1) và (4), suy sin (SC, (SBD)) = sin CSJ 26 169 ◦ Cách 2: S Q B D A P C d (C, (SBD)) d (A, (SBD)) Ta có: sin (SC, (SBD)) = = SC SC √ BD = AC = 5, SC = 26 Hạ AP ⊥ BD, AQ ⊥ SP 1 1 169 12 = + + = ⇒ AQ = 2 2 AQ AB AD SA 144√ 13 12 26 √ = ⇒ sin (SC, (SBD)) = 169 13 · 26 Chọn đáp án B √ Câu 272 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt đáy Gọi H và K là hình chiếu vuông góc A lên SC, SD Tính côsin góc cạnh bên SB với mặt phẳng √ (AHK) √ √ 3 A B C D 5 2 -Lời giải √ Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ AC = a S Gọi SO ∩ HK = E và AE ∩ SC = I Ta có AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC và AK ⊥ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC ‘ Suy SC ⊥ (AHIK) ⇒ góc SB và (AHK) SHI Xét tam giác vuông SAB có AH là đường cao √ 2a2 2a K I ⇒ SH.SB = SA ⇔ SH = √ = 2a2 + a2 Xét tam giác vuông SAC có AI là đường cao E H 2a2 = a ⇒ SI.SC = SA ⇔ SI = √ 2a2 + 2a2 D A O B Xét tam giác SHI vuông I ⇒ IH = √ a ‘ = IH = 3√ = ⇒ cos SHI SH 2a 3 Chọn đáp án C √ … SH − SI = √ a −a = 3 C 4a2 Câu 273 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và 4ABC vuông B Gọi AH là đường cao 4SAB Khẳng định nào sau đây là sai? Th.s Nguyễn Chín Em 230 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (234) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A SA ⊥ BC B AH ⊥ AC -Lời giải Ta có AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ BC và AH ⊥ SC Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC Vậy khẳng định sai là AH ⊥ AC C AH ⊥ BC D AH ⊥ SC S H C A B Chọn đáp án B Câu 274 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, SA = SB = SC = b Xét mặt phẳng (P ) qua A và vuông góc với SC Tìm hệ thức liên hệ a và b để (P ) cắt SC điểm C nằm S và C? A b2 > 2a2 B a2 ≤ 2b2 C a2 < 2b2 D b2 < 2a2 -Lời giải Gọi C là hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng SC và H là S trọng tâm 4ABC, ta có SH ⊥ AB và CH ⊥ AB nên AB ⊥ SC Suy SC ⊥ (ABC ) nên BC ⊥ SC Vậy (P ) chính là mặt phẳng (ABC ) C0 Ta có C là chân đường cao hạ từ điểm B Để C nằm S và C thì tam giác SBC nhọn Suy cos S > ⇔ b2 + b2 − a2 > ⇔ 2b2 > a2 A C M H B Chọn đáp án C √ Câu 275 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AC = a Gọi M là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC, biết SG = 2a và SG vuông góc với mặt phẳng (ABC) Sin góc phẳng (SBC) √ đường thẳng BM va mặt√ √ √ 74 74 74 A B C D 74 74 37 -Lời giải Kẻ GN ⊥ BC với N ∈ BC Kẻ GK ⊥ SN với K ∈ SN S Khi đó, GK ⊥ (SBC), suy hình chiếu BG trên (SBC) là BK Vậy góc BM và mặt phẳng (SBC) là ’ góc GBK K SG = 2a Xét tam giác SGN vuông G có Do GN = AB = a 3 2a M C đó, GK = √ A 37 G N B √ 2 AC a Xét tam giác GKB vuông K có GB = BM = = 3 Th.s Nguyễn Chín Em 231 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (235) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ GK 2a a 74 Ta có cos B = =√ : = GB 37 37 Chọn đáp án D Câu 276 Chọn câu đúng các câu sau A Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo a và b là đường vuông góc chung hai đường thẳng a và b B Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng là mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng C Mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng D Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng chéo a và b là đường vuông góc chung hai đường thẳng a và b -Lời giải Câu đúng là “Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng là mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng ấy” Chọn đáp án B Câu 277 Khẳng định nào sau đây đúng? A Nếu d k a và a ⊂ (P ) thì đường thẳng d k (P ) B Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (P ) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm (P ) C Nếu đường thẳng d ⊥ a, a ⊂ (P ) thì d ⊥ (P ) D Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm (α) thì d ⊥ (α) -Lời giải Khẳng định đúng là “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (P ) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm (P )” Chọn đáp án B Câu 278 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và 4ABC vuông C, AH là đường cao 4SAC Khẳng định nào sau đây đúng? A SA ⊥ SC B AH ⊥ BC C SA ⊥ AH D AH ⊥ AC -Lời giải Vì SA ⊥ (ABC) nên BC ⊥ SA, kết hợp với BC ⊥ AC suy BC ⊥ (SAC), đó BC ⊥ AH S H A B C Chọn đáp án B Câu 279 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông A Vẽ SH ⊥ (ABC), H ∈ (ABC) Khẳng định nào sau đây đúng? A H trùng với trung điểm BC C H trùng với trọng tâm tam giác ABC -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em B H trùng với trực tâm tam giác ABC D H trùng với trung điểm AC 232 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (236) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy H là trung điểm BC S B C H A Chọn đáp án A Câu 280 Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD Khẳng định nào sau đây đúng? A AB ⊥ (ABC) B BC ⊥ CD C AB ⊥ CD D CD ⊥ (ABC) -Lời giải Theo giả thiết thì A và B cách C, D nên A, B nằm trên mặt phẳng trung trực CD Vậy AB ⊥ CD D B C A Chọn đáp án C Câu 281 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình thoi tâm O Biết SA = SC và SB = SD Khẳng định nào sau đây sai? A BD ⊥ (SAC) B AB ⊥ (SBC) C SO ⊥ (ABCD) D AC ⊥ (SBD) -Lời giải Theo giả thiết AC, BD, SO đôi vuông góc, đó SO ⊥ (ABCD), BD ⊥ (SAC), AC ⊥ (SBD), AB có thể không vuông góc với BC nên “AB ⊥ (SBC)” là sai S D C O A B Chọn đáp án B Câu 282 Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông B và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M , N là hình chiếu vuông góc A trên cạnh SB và SC Khẳng định nào sau đây là sai? A AM ⊥ SC B AM ⊥ M N C AN ⊥ SB D SA ⊥ BC -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 233 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (237) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do S ® BC ⊥ AB BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AM ⇒ AM ⊥ (SBC) ⇒ N ® AM ⊥ SC AM ⊥ M N A M C Do đó AN ⊥ SB là sai B Chọn đáp án C Câu 283 Trong không gian cho các đường thẳng a, b, c và mặt phẳng (P ) Mệnh đề nào sau đây là sai? A Nếu a ⊥ (P ) và b k (P ) thì a ⊥ b B Nếu a ⊥ b, c ⊥ b và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng chứa a và c C Nếu a k b và b ⊥ c thì c ⊥ a D Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a k c -Lời giải Xét hình tứ diện OABC vuông đỉnh O Khi đó OB vuông góc với OA và OC OA và OC không song song Mệnh đề “Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a k c” sai Chọn đáp án D Câu 284 Cho hình chóp √ S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Tìm số đo góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) A 30◦ B 90◦ C 45◦ D 60◦ -Lời giải ® BC ⊥ AB Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ SB là hình chiếu SC BC ⊥ SA trên (SAB) ’ Suy (SC, (SAB)) = CSB BC BC tan CSB = =√ =√ SB SA2 + AB ◦ ’ ⇒ CSB = 30 S A B Chọn đáp án A D C Câu 285 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân B có AB = BC = a, SA ⊥ (ABC) Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60◦ Cô-sin góc tạo đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) √ √ √ √ 10 10 10 10 A B C D 20 10 15 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 234 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (238) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có (SBC) ∩ (ABC) = BC Xét đường thẳng BC và mặt phẳng (SAB) có ® BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ SA S Lại có BC ⊥ AB Vậy góc (SBC) và (ABC) góc SB và AB chính là góc ’ Khi đó SBA ’ = 60◦ SBA Trong tam giác SAB vuông A ta có ’= tan SBA A √ SA ’ = a ⇒ SA = AB tan SBA AB C a 60◦ B √ √ √ Ta có AC = AB + BC = a nên SC = SA2 + AC = a Vì SA ⊥ (ABC) nên A là hình chiếu vuông góc S lên (ABC) Suy AC là hình chiếu vuông góc SC lên (ABC) ’ Vậy góc SC và (ABC) là góc SC và AC góc√SCA √ AC a 10 ’= Trong tam giác SAC vuông A ta có cos SCA = √ = SC a √ Chọn đáp án B Câu 286 Cho khối lập phương (H) kích thước × × tạo thành từ 27 khối lập phương đơn vị (xem hình vẽ) Mặt phẳng (P ) vuông góc với đường chéo (H) trung điểm nó Hỏi (P ) cắt qua bao nhiêu khối lập phương đơn vị? A 19 B C 20 D 10 -Lời giải Đặt tên các đỉnh khối lập phương (H) hình vẽ bên Gọi M, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnh BC, CD, DD0 , D0 A0 , A0 B , B B Khi đó mặt phẳng (P ) vuông góc với AC trung điểm AC qua M, N, P, Q, R, S Xét mặt (H) gồm khối lập phương đơn vị Khi đó (P ) cắt qua khối lập phương mặt Ngoài ra, (P ) cắt khối lập phương đơn vị trung tâm (chứa trung điểm AC ) D N C M A P B D0 S C0 Q A0 R B0 Khi đếm vậy, các khối lập phương đơn vị chứa các điểm M, N, P, Q, R, S tính lần bị cắt qua Vậy (P ) cắt qua số khối lập phương đơn vị là · + − = 19 Chọn đáp án A Câu 287 Th.s Nguyễn Chín Em 235 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (239) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC); tam giác ABC cạnh a và SA = a (tham khảo hình vẽ bên) Tìm góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) A 60◦ B 45◦ C 135◦ D 90◦ S A C B -Lời giải ’ Do SA ⊥ (ABC) ⇒ (SC; (ABC)) = SCA ’ = SA = ⇒ SCA ’ = 45◦ Xét tam giác vuông SAC : tan SCA AC Chọn đáp án B Câu 288 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = a, SA ⊥ AB, SC ⊥ BC, SB = 2a Gọi M, N là trung điểm SA, BC và α là góc M N với (ABC) Tính cos α √ 11 A cos α = 11 √ √ C cos α = B cos α = √ D cos α = 10 -Lời giải Dựng hình bình hành ABCD mà ABC vuông cân B nên ABCD là hình vuông Ta có ® ® AB ⊥ AD BC ⊥ CD ⇒ AB ⊥ (SAD) ⇒ AB ⊥ SD và ⇒ AB ⊥ SA BC ⊥ SC BC ⊥ (SDC) ⇒ BC ⊥ SD Vậy SD ⊥ (ABCD) Gọi H là trung điểm AD ⇒ M H ⊥ (ABCD) Do đó HN là hình chiếu của M N lên mặt phẳng (ABCD) ÷ Vậy góc đường thẳng M N với (ABC) là góc M N H = α Xét tam giác vuông M N H có √ HN HN cos α = =√ = M N √ HN + M H Vậy α = arccos S M D C H A N B Chọn đáp án B Câu 289 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 45◦ Một mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AB C D0 có diện tích √ a2 A √ a2 B √ a2 C √ a2 D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 236 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (240) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do giả thiết SC ⊥ (AB C D0 ) suy SC ⊥ AC và SC ⊥ AB (1) Mặt khác SA ⊥ (ABCD) suy SA ⊥ BC và góc ’ = 45◦ SB và mặt phẳng (ABCD) SBA Mà BC ⊥ AB đó BC ⊥ (SAB) hay BC ⊥ B A (2) Từ (1) và (2) suy AB ⊥ (SBC) nên AB ⊥ SB và AB ⊥ B C Chứng minh tương tự ta có AD0 ⊥ SD và AD0 ⊥ D0 C Do giả thiết suy tam √ giác SAB vuông cân A và SA = a, √ a SB = a và AB = S C0 I D0 B0 A D O Tương tự ta có AD0 √ a = Xét tam giác vuông SAC ta có C B 1 = + ⇒ AC = 02 AC SA AC √ 6a Xét tam giác vuông AB C ta có √ a2 a 6a2 a2 0 − = ⇔BC = AC − AB = B C ⇔ B C = 6 02 Tương tự ta có D0 C 02 02 02 √ a Khi đó = SAB C D0 = S∆AB C + S∆AD0 C √ √ √ 1 a a a2 0 0 0 = AB · B C + AD · D C = · · · = 2 6 Chọn đáp án C Câu 290 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông C Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A H là trung điểm cạnh AB B H là trọng tâm tam giác ABC C H là trực tâm tam giác ABC D H là trung điểm cạnh AC -Lời giải Vì SA = SB = SC nên hình chiếu H trùng với tâm đường tròn S ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác 4ABC vuông C nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh AB Do đó H là trung điểm AB A H B C Chọn đáp án A Câu 291 Th.s Nguyễn Chín Em 237 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (241) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông cân A, AB = AA0 = a (tham khảo hình vẽ bên) Tính tang góc đường thẳng BC và√mặt phẳng (ABB A √ √ ) √ A D B C 3 A C B A0 C0 B0 -Lời giải ∆ABC vuông cân A nên ⇒ AB = √AC = a 0 ∆ABA® vuông A nên ⇒ A B = a C A0 ⊥ A0 B ⇒ C A0 ⊥ (ABB A0 ) Ta có C A0 ⊥ AA0 ⇒ BA0 là hình chiếu BC lên mặt phẳng (ABB A0 ) ⇒ (BC , (ABB A0 )) = (BC , BA0 ) √ 0C A a 0 0 BC = ÷ ∆A BC vuông A ⇒ tan A = √ = A0 B a Chọn đáp án A Câu 292 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, tâm đáy là O Gọi M và N là trung điểm SA và BC Biết góc M N và (ABCD) 60◦ , tính cosin góc M N và√mặt phẳng (SBD) √ √ 10 5 A B C D 5 5 -Lời giải Gọi G là hình chiếu M lên (ABCD) Ta thấy G ∈ S ÷ AC Góc M N và (ABCD) là GN M = 60◦ Áp dụng định lý cos cho tam giác CN G, ta có ’ N G2 = CN + CG2 − 2N C · CG · cos N CG = 5a2 M A G … Suy N G = a Vậy H K √ NG 10 MN = =a ◦ cos 60 B D O I N C Gọi I là giao điểm GN và BO Từ I kẻ đường thẳng song song với M G, cắt M N ® H Khi đó H N K ⊥ BD là giao điểm M N và mặt phẳng (SBD) Gọi K là hình chiếu N lên BD Khi đó ⇒ N K ⊥ SO ÷ N K ⊥ (SBD) suy góc tạo M N và mặt phẳng (SBD) là góc N HK Ta có tứ giác GON K là hình bình hành nên I là trung điểm GN √ … , N K = CO = a Xét tam giác vuông N KH, ta có N H = M N = a √ NK ÷ Do đó sin N HK = =√ = HN 5 Chọn đáp án C Câu 293 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ◦ đáy Gọi M là trung điểm CD, góc SM và mặt phẳng √ đáy 60 Độ dài cạnh √ SA là √ √ a a 15 A a B a 15 C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 238 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (242) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S A B 60 ◦ M C D ’ Ta có góc SM và mặt phẳng đáy là SM A = 60◦ √ a2 5a2 a 2 Xét tam giác ABM vuông B, ta có AM = a + = ⇒ AM = 4 √ a 15 SA ◦ ◦ ⇒ SA = AM tan 60 = Xét tam giác SAM vuông A, ta có tan 60 = AM Chọn đáp án D ’ = 60◦ Gọi O là giao điểm Câu 294 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, ADC AC và BD, SO vuông góc với (ABCD) và SO = a Góc đường thẳng SD và (ABCD) A 60◦ B 75◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải ® O là hình chiếu S lên (ABCD) ( SO ⊥ (ABCD)) ⇒ Ta có D là hình chiếu D lên (ABCD) OD là hình chiếu SD lên (ABCD) ¤ Ÿ ’ Vậy [SD, (ABCD)] = [SD, OD] = SDO ’ = 60◦ nên 4ADC là tam giác cạnh 4ADC cân tại√D có ADC √ 2a 2a ⇒ DO = = a Xét 4SOD vuông O (do SO ⊥ (ABCD) và OD ⊂ (ABCD)) a ’ = SO = √ =√ ⇒ tan SDO OD a 3 ’ = 30◦ Vậy SDO S A O D Chọn đáp án C B C Câu 295 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Hình chiếu vuông góc H đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm AB, góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy 60◦ Tính cosin góc hai đường thẳng SB và AC √ 2 2 A √ B √ C √ D √ 35 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 239 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (243) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ◦ ’ Ta có góc √ SC và đáy√là SCH = 60 Nên 2 HC = HB + BC = a 2, √ ’ = a SH = √ HC · tan SCH √ AC = √ AB + BC = a √5, SB = SH + HB = a Ta có # » # » Ä # » # »ä # » # » # » SB · AC = SH + HB · AC = HB · AC S AB # » # » ⇔ SB · AC = HB · AC · = 2a2 AC √ √ √ Mà SB · AC = a · a = a2 35 Do đó cos(SB, AC) = A # » # » SB · AC =√ SB · AC 35 D H B C Chọn đáp án B √ Câu 296 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a 2, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính tang góc đường thẳng SC và đáy √ 1 A D B C -Lời giải AC là hình chiếu SC lên mặt đáy nên góc SC là đáy chính là S ’ góc SCA √ SA a ’ Ta có tan SCA = = √ = AC 2a A B D C Chọn đáp án B Câu 297 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) Hình chóp đã cho có mặt phẳng đối xứng nào? A (SAC) B (SAB) C Không có D (SAD) -Lời giải Theo giả thiết ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD (1) S Mặt khác, ABCD là hình vuông nên suy BD ⊥ AC (2) Từ (1), (2) suy BD ⊥ (SAC), kết hợp tính chất hai đường chéo cắt trung điểm đường hình vuông, ta suy B và D đối xứng qua mặt phẳng (SAC) Từ đó suy (SAC) là mặt phẳng đối xứng A B Chọn đáp án A D C Câu 298 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABCD) và SA = 2a Tính cosin góc đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD).√ √ 5 A B C D 5 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 240 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (244) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Ta có Chương - Hình học 11 (SAB) ⊥ (ABCD) S (SAC) ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ ® (ABCD) AB ⊥ AD Lại có ⇒ AB ⊥ (SAD) AB ⊥ SA ’ Suy góc SB và (SAD) là BSA √ SA SA ’= cos BSA = =√ 2 SB SA + AB A D B C Chọn đáp án B Câu 299 Chọn khẳng định đúng các khẳng định sau đây: A Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với B Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với có thể cắt chéo C Trong không gian, hai mặt phẳng cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với D Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với -Lời giải Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với thì không trùng và không thể song song với nhau, đó chúng cắt chéo Chọn đáp án B 45 ◦ Câu 300 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 45◦ Một mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AB C D0 có diện tích √ √ √ √ a2 a2 a2 a2 B C D A -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD và kẻ AC ⊥ SC với S C ∈ SC Gọi AC ∩ SO = I và qua I vẽ đường thẳng B D0 k BD (với B ∈ SB; D0 ∈ SD) Khi đó thiết diện hình chóp cắt (α) là tứ giác C0 D0 AB C D0 Ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ B D0 ⊥ (SAC) I ⇒ B D0 ⊥ AC B0 Diện tích thiết diện là SAB C D0 = AC · B D0 A D ’ = 45◦ ⇒ SA = AB = a Góc SB với đáy là SBA O C B √ 1 a = + = + = ⇒ AC = √ SA2 AC a 2a 2a Trong tam giác vuông SAC có AC ® AB ⊥ BC Mặt khác, ta có ⇒ AB ⊥ SB AB ⊥ SC Do đó B là trung điểm SB (do tam giác SAB vuông cân A) Tương tự D0 là trung điểm √ SD (do tam giác SAD vuông cân A) a Do đó B D0 = BD = 2 Th.s Nguyễn Chín Em 241 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (245) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Vậy SAB C D0 Chương - Hình học 11 √ √ √ a a a2 = · √ · = 2 Chọn đáp án C Câu 301 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc đường thẳng AB và mặt phẳng (BDD0 B ) A 60◦ B 90◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD đó ta có AO⊥BD (1) Mặt khác ta lại có ABCD.A0 B C D0 là hình lập phương nên BB ⊥ (ABCD)⇒ BB ⊥AO (2) 0 ¤ Từ (1) và (2) ta có AO⊥ (BDD B )⇒ (AB , (ABCD)) = B0 C0 A0 ¤ , B O) = AB O Xét tam giác vuông AB O có ÷ (AB AO 0O ÷ sin AB O = = ⇒ AB = 30◦ Vậy AB ¤ , (ABCD)) = 30◦ (AB D0 B A C O D Chọn đáp án D Câu 302 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, góc cạnh SD và đáy 30◦ Độ dài cạnh SD √ √ a 2a C D a A 2a B -Lời giải ’ = 30◦ nên SD = Từ giả thiết ta có SDA AD 2a =√ ◦ cos 30 S A B Chọn đáp án B D C √ Câu 303 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Gọi α là góc tạo đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) Khi đó α thỏa mãn hệ thức nào sau đây? √ √ √ √ 2 2 A cos α = B sin α = C sin α = D cos α = 8 4 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 242 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (246) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O = AC ∩ BD Ta có BO ⊥ AC và BO ⊥ SA Suy BO ⊥ (SAC) Do ’ = α đó, góc SB và (SAC) là BSO √ a Ta có BO = AO = Xét tam√giác SOB vuông O, có a BO = , s Ç √ å2 √ √ a 2 2 SO = SA + AO = (a 3) + √ a 14 = S α A D O B C sÇ √ å Ç √ å2 √ a a 14 SB = BO2 + SO2 = + = 2a 2 √ Suy sin α = Chọn đáp án C Câu 304 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC là tam giác Tính số đo góc SA và (ABC) A 60◦ B 75◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải Ta có SA ∩ (ABC) = A và H là hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) ’ Suy [SA, (ABC)] = SAH Ta có 4ABC, 4SBC suy SH = HA ⇒ 4SHA vuông cân H Suy [SA, (ABC)] = 45◦ S C H B A Chọn đáp án C Câu 305 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Gọi M là điểm trên đoạn SD cho SM = 2M D Tính tan góc đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) √ √ A B C D 5 S M A B D C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 243 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (247) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi {O} = AC ∩ DB và H là hình chiếu vuông góc M trên mặt phẳng (ABCD) ⇒ H ∈ BD √ √ 5a a BH = BD = ; M H k SO ⇒ M H = SO = · 6 MH ÷ ⇒ tan (BM, (ABCD)) = tan M BH = = · BH S M A D H O B C Chọn đáp án D Câu 306 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc A0 B và AC A 90◦ B 45◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải ® A B ⊥ AB Ta có ⇒ A0 B ⊥ (ADC B ) A0 B ⊥ AD ⇒ A0 B ⊥ AC D0 C0 B0 A0 D C A B Chọn đáp án A Câu 307 √ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC) và a SA = Tính góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải ® CI ⊥ AB ⇒ CI ⊥ (SAB) Do đó CI ⊥ SA SI là hình chiếu vuông góc SC lên (SAB) ‘ (do 4SCI vuông I) Vậy (SC, (SAB)) = (SC, SI) CSI s= Ç √ å2 √ √ a a a 2 Ta có SI = SA + AI = + = 2 √ a ‘ = 45◦ Mà CI = nên 4SCI vuông cân I, đó CSI Kết luận (SC, (SAB) = 45◦ Gọi I là trung điểm AB Ta có S A C I B Chọn đáp án D √ Câu 308 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 244 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (248) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S Vì SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu S trên mặt phẳng (ABCD) ’ Suy (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = SCA Xét tam√giác SAC √ vuông A có SA = a 2, AC = a nên ∆SAC vuông cân A A D ’ = 45◦ Vậy (SC, (ABCD)) = SCA C B Chọn đáp án B Câu 309 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A0 trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H cạnh AC, góc đường thẳng A0 B và mặt phẳng (ABC) 30◦ Tính cos α với α là góc hai đường thẳng AB và CC A cos α = √ 2 B cos α = √ C cos α = D cos α = -Lời giải C0 A0 Do CC k AA0 nên góc AB và CC góc AB và AA0 HB là hình chiếu vuông góc A0 B trên mặt phẳng BH ÷ (ABC) nên góc A0 B và (ABC) là góc A ◦ ÷ ⇒A BH = 30 √ √ a a a ÷ BH = , A H = BH · tan A BH = · tan 30◦ = 2 Ta có 4A0 BH và 4A0 AH…vuông H nên √ a2 3a2 A0 B = A0 H + BH = + = a … √ √ a2 a2 a 0 2 A A = A H + AH = + = 4 AB = ÷ Suy cos α = cos A B0 A H C B AB + AA02 − A0 B = √ · AA · AB 2 Chọn đáp án A Câu 310 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với đáy Gọi M , N√lần lượt là trung điểm SA và BC Tính góc đường thẳng M N với mặt phẳng (ABCD), a 10 biết M N = A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 245 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (249) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S M A D H O C N B Lấy H là trung điểm đoạn AO, suy M H là đường trung bình tam giác SAO, suy M H k SO ÷ Mặt khác SO ⊥ (ABCD) nên M H ⊥ (ABCD), từ đó suy góc M N và (ABCD) là M N H Xét tam giác N CH có ÷ N H = CN + CH − 2CN · CH · cos N CH Ç ⇒ NH = √ å2 √ 3a 3a a a −2· · · cos 45◦ + 4 √ 9a2 a2 3a2 5a2 a 10 ⇔ NH = + − = ⇒ NH = 4 ÷ Từ đó suy cos M NH = NH ÷ = ⇒M N H = 60◦ MH Chọn đáp án C Câu 311 Trong hình hộp ABCD.A0 B C D0 có tất các cạnh Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A BB ⊥ BD B A0 C ⊥ BD C A0 B ⊥ DC D BC ⊥ A0 D -Lời giải Do ABCD, A0 B BA, BB C C là các hình thoi nên A0 D0 ® AC ⊥ BD ⇒ A0 C ⊥ BD B D0 k BD B0 C0 ® A B ⊥ AB ⇒ A0 B ⊥ DC A D DC k AB ® BC ⊥ B C B C ⇒ BC ⊥ A0 D A0 D k B C Nếu hình hộp ABCD.A0 B C D0 không phải là hình hộp đứng thì ta không có BB ⊥ BD Chọn đáp án A Câu 312 Cho tứ diện ABCD Tính tan góc AB và (BCD) √ √ A B √ C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 246 D √ https://emncischool.wixsite.com/geogebra (250) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi G là trọng tâm 4BCD ¤ ⁄ ’ và Ta có: AG ⊥ (BCD), (AB, (BCD)) = (AB, BG) = ABG √ … a a √ √ a2 − 2 √ 3 = ’ = AG = AB − BG = tan ABG = a a BG BG √ √ 3 A B D G C Chọn đáp án C Câu 313 Mệnh đề nào đúng các mệnh đề sau? A Góc đường thẳng a và mặt phẳng (P ) góc đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P ) song song với mặt phẳng (Q) B Góc đường thẳng a và mặt phẳng (P ) góc đường thẳng b và mặt phẳng (P ) thì đường thẳng a song song với đường thẳng b C Góc đường thẳng a và mặt phẳng (P ) góc đường thẳng b và mặt phẳng (P ) thì đường thẳng a song song trùng với đường thẳng b D Góc đường thẳng và mặt phẳng góc đường thẳng đó và hình chiếu nó trên mặt phẳng đã cho -Lời giải Góc đường thẳng và mặt phẳng góc đường thẳng đó và hình chiếu nó trên mặt phẳng đã cho Chọn đáp án D √ Câu 314 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy, ABCD là hình vuông cạnh a 2, SA = 2a Gọi M là trung điểm cạnh SC, (α) là mặt phẳng qua A, M và song song với đường thẳng BD Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD bị cắt mặt phẳng √ (α) √ 2 √ 4a 2a2 4a A a C D B 3 -Lời giải Gọi O = AC ∩ BD, G = AM ∩ SO S ⇒ G là trọng tâm 4SAC Qua G kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD P, Q Khi đó AP M Q là thiết diện hình chóp S.ABCD bị cắt mặt phẳng (α) PQ SG 2 4a M Ta có = = ⇒ P Q = · BD = Q BD SO 3 √ Lại có AM = · SC = a G P D Mà BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ AM ⇒ P√Q ⊥ AM A 2a Do đó SAP M Q = · AM · P Q = O B C Chọn đáp án D Câu 315 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với C Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với D Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thì song song với -Lời giải Theo tính chất hai mặt phẳng vuông góc, suy khẳng định đúng là hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với Th.s Nguyễn Chín Em 247 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (251) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B Câu 316 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân A, cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM Khẳng định nào sau đây đúng? A BC ⊥ (SAB) B BC ⊥ (SAM ) C BC ⊥ (SAC) D BC ⊥ (SAJ) -Lời giải Tam giác ABC cân A và M là trung điểm BC nên BC ⊥ AM Mặt khác S BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC)) Suy BC ⊥ (SAM ) A C M J B Chọn đáp án B Câu 317 √ Cho tứ diện ABCD √ Côsin góc AB và mặt phẳng (BCD) √ 3 A B C D 3 -Lời giải Gọi cạnh tứ diện a, H là trọng tâm tam giác BCD A ’ Ta có AH ⊥ (BCD) nên góc AB √ và mặt phẳng (BCD) là góc ABH 2 a √ · BM · BH 3 ’ = cos ABH = = = AB AB a B D H M C Chọn đáp án B Câu 318 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với mặt đáy Gọi AH, AK là đường cao tam giác SAB, tam giác SAD Mệnh đề nào sau đây là sai? A HK ⊥ SC B SA ⊥ AC C BC ⊥ AH D AK ⊥ BD -Lời giải Ta có: AH ⊥ SC và AK ⊥ SC nên SC ⊥ (AHK) S ⇒ SC ⊥ HK SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC Lại có AH ⊥ (SBC) nên BC ⊥ AH K Vậy khẳng định AK ⊥ BD sai H D A B Chọn đáp án D C Câu 319 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông B Gọi H là hình chiếu A trên SB Trong các khẳng định sau (1): AH ⊥ SC Th.s Nguyễn Chín Em 248 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (252) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 (2): BC ⊥ (SAB) (3): SC ⊥ AB có khẳng định đúng? A B C -Lời giải Ta có: ® BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) (∗) BC ⊥ SA ® AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC AH ⊥ BC (do (∗)) D S H A C B Chọn đáp án B Câu 320 Mệnh đề nào đây đúng? A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song B Hai đường thẳng không cắt và không song song thì chéo C Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song -Lời giải Hai đường thẳng không gian không cắt và không song song thì chéo trùng Hai mặt phẳng phân biệt (P ), (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì song song với cắt theo giao tuyến là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (R) Hai đường thẳng phân biệt a, b cùng vuông góc với đường thẳng d thì có thể cắt nhau, chéo song song với Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với Chọn đáp án A Câu 321 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng √ ’ = 60◦ và SA = a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) đáy, AB = 2a, BAC A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên AC ⇒ BH⊥(SAC) S Xét tam giác ABH vuông H, ta có √ ’ = BH ⇒ BH = AB · sin 60◦ = a sin BAH AB √ √ SB = SA2 + AB = a Xét tam giác SBH vuông H, ta có ’ = BH = √1 ⇒ BSH ’ = 45◦ sin BSH H SB ¤ ’ = 45◦ A C Vậy [SB, (SAC)] = BSH B Chọn đáp án A Câu 322 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B với AB = BC = a, AD = 2a Cạnh SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là trung điểm cạnh AB và (α) là mặt phẳng qua M vuông góc với AB Diện tích thiết diện mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là 3a2 a2 A S = a2 B S = C S = D S = 2a2 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 249 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (253) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Mặt phẳng (α) qua trung điểm M và vuông góc AB nên qua trung điểm P SB, trung điểm N CD Gọi I là giao điểm AC và M N ⇒ I ∈ (α) Từ I dựng IQ ⊥ (ABCD) cắt SC Q Suy Q là trung điểm SC (vì IQ k SA) BC + AD 3a Thiết diện là hình thang M P QN có M N = = 2 a P Q = M I = BC = 2 Đường cao hình thang là M P = SA = a (P Q + M N ) · M P = a2 Suy SM P QN = S P Q A D M N I B C Chọn đáp án A ’ = 120◦ , ASB ’ = 90◦ , CSA ’ = 60◦ , SA = SB = SC Gọi I là Câu 323 Cho hình chóp S.ABC có BSC hình chiếu vuông góc S lên (ABC) Chọn khẳng định đúng các khẳng định sau A I là trung điểm AC B I là trung điểm AB C I là trọng tâm tam giác ABC D I là trung điểm BC -Lời giải Đặt SA = SB = SC = a Ta có các tam giác vuông ∆SAI = ∆SBI = ∆SCI nên IA = IB = IC hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S √ √ Áp dụng định lý Cô-sin tam giác thì AB = a 2, BC = a 3, AC = a, đó tam giác ABC vuông A, ◦ 60 suy I là trung điểm cạnh BC B I C A Chọn đáp án D Câu 324 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông B Biết SA = AB = BC Tính góc đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D arccos -Lời giải Gọi I là trung điểm AC, đó BI ⊥ AC hay BI ⊥ (SAC) Do đó SI là S hình chiếu vuông góc SB lên mặt phẳng (SAC) suy góc đường ‘ thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là góc BSI √ √ a và SB = a Khi đó Đặt SA = AB = BC = a, suy BI = BI ‘ sin BSI = = SB I Vậy góc cần tìm là 30◦ A C B Chọn đáp án A Câu 325 Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a, điểm M thuộc cạnh SC cho SM = 2M C Mặt phẳng (P ) chứa AM và song song với BD Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt (P ) Th.s Nguyễn Chín Em 250 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (254) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ Chương - Hình học 11 √ 26a2 B 15 3a2 A -Lời giải √ 26a2 C 15 √ 3a2 D Gọi AM cắt SO I Khi đó (P ) ∩ (SBD) = EF k BD với E, F trên các cạnh SB, SD hay thiết diện (P ) với hình chóp là tứ giác AEM F Ta có BD ⊥ (SAC) nên EF ⊥ (SAC) hay EF ⊥ AM Áp dụng định lý Menelaus tam giác SOC với A, I, M thẳng hàng: IS AO M C IS 1 IS · · = hay · · =1⇔ = IO AC M S IO 2 √ IO EF IS 4 2a Khi đó = = hay EF = BD SO 5 √ 2 ’ = AC + SC − SA = Ta có cos SCA · AC · SC S F A E I D M O C B √ √ a a 13a2 ’= Trong 4ACM có = + − · AC · M C cos SCA + −2·a 2· · = √ √9 13a EF · AM 26a Suy AM = ; và đó, diện tích tứ giác AEM F là = 15 M A2 AC M C2 2a2 Chọn đáp án C Câu 326 Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) Góc đường SC và mặt phẳng (SAD) là góc nào các góc sau? ’ A CSA ’ B CSD ’ C CDS ’ D SCD -Lời giải S A D B ® C CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) CD ⊥ SA Do đó góc SC và (SAD) góc SC và SD ’ < 90◦ nên chọn CSD ’ Do góc CSD Ta có Chọn đáp án B Câu 327 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α Khi đó tan α nhận giá trị nào các giá trị sau? √ √ A tan α = B tan α = C tan α = D tan α = √ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 251 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (255) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có BC ⊥ (SAB) a ’ ⇒ tan α = BC = √ Suy α = CSB =√ SB a 2 S A D B C Chọn đáp án D Câu 328 Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC Tứ diện S.ABC có bao nhiêu mặt là tam giác vuông? A B C D -Lời giải Ta có SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AC hay tam giác SAB và SAC vuông S A Mặt khác AB ⊥ BC suy 4ABC vuông B Cuối cùng SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC, kết hợp BC ⊥ AB ta có SB ⊥ BC hay tam giác SBC vuông B A C B Chọn đáp án A Câu 329 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a Gọi M là trung điểm AB và α là góc tạo đường thẳng M C và mặt phẳng (ABC) Khi đó tan α √ √ √ √ 21 A B C D 7 -Lời giải Ta có M C là hình chiếu M C trên mặt phẳng (ABC) A0 C0 0 ÷ ⇒ C M C là góc đường thẳng M C và mặt phẳng (ABC) Do đó M C ÷ α=C √ a Tam giác ABC cạnh a có CM là đường cao nên CM = B0 M C nên ÷ Tam giác C M C vuông góc C có α = C √ a C 0C = √ = tan α = CM a A C α M B Chọn đáp án D Câu 330 Cho hình chóp S.ABCD có SD = x, tất các cạnh còn lại hình chóp a Biết góc SD và mặt phẳng (ABCD) 30◦ Tìm x √ √ √ √ a A x = a B x = C x = a D x = a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 252 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (256) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là hình chiếu S lên (ABCD) Vì SA = SB = SC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ’ O ∈ BD và góc SD và mặt phẳng (ABCD) là SDO, ’ = 30◦ đó SDO Gọi M , I là trung điểm SD và AC Các tam giác SAD, SCD cân nên CM ⊥SD, AM ⊥SD, suy IM ⊥SD a ’ Xét tam giác M ID vuông M , có IM = SB = , M DI = 2 √ MI a 30◦ suy M D = = ’ tan M DI √ Vậy SD = a S M A D O B I C Chọn đáp án D Câu 331 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông C Gọi H hình chiếu A lên (ABC) Xác định vị trí H A H là trung điểm AB B H là trọng tâm tam giác ABC C H là trực tâm tam giác ABC D H là trung điểm cạnh AC -Lời giải Vì SA = SB = SC nên hình chiếu S lên (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hơn nữa, tam giác ABC là tam giác vuông C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là trung điểm cạnh AB Hay H là trung điểm AB Chọn đáp án A Câu 332 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; AD = 2a, cạnh bên SA 2a3 vuông góc với đáy và thể tích khối chóp S.ABCD Tính số đo góc đường thẳng SB với mặt phẳng (ABCD) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 75◦ -Lời giải 3VS.ABCD Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA = =a SABCD S ’ và (SB, (ABCD)) = (SA, AB) = SBA ’ = SA = Ta có tan SBA AB ’ = 45◦ Do đó, (SB, (ABCD)) = SBA A D B C Chọn đáp án C Câu 333 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với O là tâm đa giác đáy ABCD Khẳng định nào sau đây sai? A BD ⊥ (SAC) B BC ⊥ (SAB) C AC ⊥ (SBD) D OS ⊥ (ABCD) -Lời giải Vì S.ABCD là hình chóp nên OS ⊥ (ABCD) nên phương án D S đúng Mặt khác AC ⊥ BD suy BD ⊥ (SAC) và AC ⊥ (SBD) nên phương án A và C đúng Từ đó suy không thể có BC ⊥ (SAB) A D Th.s Nguyễn Chín Em 253 B O C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (257) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B √ √ Câu 334 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh AB = a 6, cạnh bên SC = 3a Hai mặt phẳng (SAD) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và M là trung điểm SC Tính góc đường thẳng BM và mặt phẳng (ACD) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải (SAD)⊥(ABCD) (SAC)⊥(ABCD) ⇒ SA⊥(ABCD) (SAB) ∩ (SAC) = SA Xét 4SAC có OM là đường trung bình ⇒ OM ⊥(ABCD) ¤ ⁄ ÷ Suy (BM, (ACD)) = (BM, BO) = OBM √ SA Ta có SA = SC − AC = 6a ⇒ OM = = 3a √ ÷ = 60◦ ÷ = OM = 3a √ = ⇒ OBM Do đó tan OBM OB a Vì S M A B O D C Chọn đáp án B Câu 335 Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC) Gọi H, K là trực tâm 4SBC, 4ABC Mệnh đề nào sau đây sai? A HK ⊥ (SBC) B BC ⊥ (SAB) C BC ⊥ (SAH) D SH, AK, BC đồng quy -Lời giải Gọi AM, CN là các đường cao 4ABC và CP là đường cao tam giác ® SBC BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM ) ⇒ BC ⊥ SM Suy S BC ⊥ SA Khi đó SM là đường cao 4SBC và H = CP ∩ SM Suy SH, AK, BC đồng quy M Ta có: BC ® ⊥ (SAM ) ⇒ BC ⊥ (SAH) CN ⊥ AB Ta có: ⇒ CN ⊥ (SAB) ⇒ CN ⊥ SB CN ⊥ SA H ® P SB ⊥ CN A C Mặt khác: ⇒ SB ⊥ (CN P ) ⇒ SB ⊥ HK (1) SB ⊥ CP K N Vì BC ⊥ (SAM ) ⇒ BC ⊥ HK (2) M Từ (1) và (2) suy HK ⊥ (SBC) B Chọn đáp án B Câu 336 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = BC = a, √ BB = a Tính góc đường thẳng A0 B và mặt phẳng (BCC B ) A 45◦ B 60◦ C 90◦ D 30◦ -Lời giải Ta có A0 B ⊥ B C , A0 B ⊥ BB ⇒ A0 B ⊥ (BCC B ) A0 C0 ¤ 0 0 ÷ ⇒ (A B, (BCC B )) = A BB Xét tam giác A0 BB có A0 B BB = 30◦ BB = ÷ ÷ tan A = √ ⇒A BB B0 A C B Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 254 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (258) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 337 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông A, đáy lớn AD = 8, đáy nhỏ BC = 6, SA vuông góc với đáy, SA = Gọi M là trung điểm AB, (P ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (P ) có diện tích A 20 B 15 C 30 D 16 -Lời giải ´ SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB Ta có ⇒ (P ) k SA S (P ) ⊥ AB Tương tự, (P ) k BC Trong (SAB), kẻ đường thẳng qua M song song với SA cắt SB F Khi đó M F là đường trung bình 4SAB ⇒ M F = và F E M F ⊥ AB Trong (ABCD), kẻ đường thẳng qua M song song với BC cắt CD N Khi đó M N là đường trung bình hình thang A D AD + BC M N ABCD ⇒ M N = = và M N ⊥ M F B C Trong (SBC), kẻ đường thẳng qua F song song với BC cắt SC E Khi đó F E là đường trung bình 4SBC ⇒ M F = và M F ⊥ AB ⇒ Thiết diện là hình thang vuông M N EF (do M N k BC k EF ) ⇒ SM N EF = · M F · (M N + EF ) = 15 Chọn đáp án B Câu 338 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Độ dài cạnh bên hình chóp bao nhiêu để góc cạnh bên và mặt đáy 60◦ ? √ 2a a 2a a A √ C D B 6 3 -Lời giải Gọi H là tâm ABC, M là trung √ điểm BC S a Tam giác ABC nên CH = Theo giả thiết góc cạnh √ 2a ◦ ◦ ’ = 60 nên SC = · CH = bên và mặt đáy là 60 nên SCH C A M H B Chọn đáp án A Câu 339 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông B, AH là đường cao tam giác SAB Khẳng định nào sau đây sai? A AH ⊥ BC B AH ⊥ AC C AH ⊥ SC D SA ⊥ BC -Lời giải Ta có AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ BC và AH ⊥ SC S Mặt khác SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC Vậy khẳng định sai là AH ⊥ AC H C A B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 255 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (259) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 340 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Hai mặt phẳng (SAC); (SBD) cùng vuông góc với đáy Góc đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là góc cặp đường thẳng nào sau đây? A (SB; SO) B (SB; BD) C (SB; SA) D (SO; BD) -Lời giải (SAC); (SBD) cùng vuông góc với đáy mà (SAC) ∩ (SBD) = SO S Suy SO ⊥ (ABCD) O Lại có SB ∩ (ABCD) = B Suy OB là hình chiếu SB lên mặt phẳng (ABCD) Vậy Góc đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là góc cặp đường thẳng (SB; OB) hay (SB; BD) A D O B C Chọn đáp án B √ Câu 341 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 3a, AD = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 3a Góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) là A 60◦ B 30◦ C 90◦ D 45◦ -Lời ® giải DA ⊥ AB Do ⇒ DA ⊥ (SAB) S DA ⊥ SA ’ ⇒ (SD, (SAB)) = (SD, SA) = ASD Trong tam giác vuông SAD, √ √ AD a 3 ’ ’ = 30◦ ta có tan ASD = = = ⇒ ASD SA 3a D A B C Chọn đáp án B Câu 342 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM Khẳng định nào sau đây đúng ? A BC ⊥ (SAM ) B BC ⊥ (SAC) C BC ⊥ (SAJ) D BC ⊥ (SAB) -Lời giải Vì tam ® giác ABC và M là trung điểm BC nên BC ⊥ AM S BC ⊥ AM Khi đó ⇒ BC ⊥ (SAM ) BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABC)) A C M B Chọn đáp án A Câu 343 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, SA ⊥ (ABCD), AD = 2BC = 2AB Trong tất các tam giác mà đỉnh lấy từ điểm S, A, B, C, D có bao nhiêu tam giác vuông? A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 256 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (260) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S M A D B C Gọi M là trung điểm AD AD Ta có BM = CM = các tam giác BAD, CAD là các tam giác vuông B và C Vậy ta có các tam giác vuông là SAB, SAC, SAD, BAD, CAD, SBD, SCD Vậy có tam giác vuông Chọn đáp án B ABC.A0 B C Câu 344 Cho hình lăng trụ có tất các cạnh a Gọi M là trung diểm AB và α là góc√tạo đường thẳng M C√ và mặt phẳng (ABC) Khi √ … đó tan α 3 B C D A 7 -Lời giải M C ÷ Ta thấy α = C √ A0 C0 a Do ABC là tam giác nên M C = √ CC a B0 Do đó tan α = = √ = MC 3 a A C α M B Chọn đáp án D 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 ĐÁP ÁN C D 12 D 22 C 32 B 42 B 52 C 62 B 72 A 82 A 92 A 102 B 112 A 122 A 132 D 142 A 152 B 162 D C B B C B C B C D A A D C D B B 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143 153 163 Th.s Nguyễn Chín Em B D B C B A A C A B B A C A D D B 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 134 144 154 164 D C C A B C D D A C D D C B C D C 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 155 165 B D C C A D C C B C C B D C C C C 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136 146 156 166 257 D D D A A C B C A A D B B A A C B 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147 157 167 C D B D C C D C B C D D B C B A A 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 158 168 D D A A A A A C C C B A C B D B D 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149 159 169 D D A C D B B C D D B A C A B B A 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 A A C C D B A B A C C A D A C B B https://emncischool.wixsite.com/geogebra (261) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 171 181 191 201 211 221 231 241 251 261 271 281 291 301 311 321 331 341 B A B D D C A D D D B B A D A A A B 172 182 192 202 212 222 232 242 252 262 272 282 292 302 312 322 332 342 B C A D C D A C A D C C C B C A C A 173 183 193 203 213 223 233 243 253 263 273 283 293 303 313 323 333 343 Th.s Nguyễn Chín Em C A C C C D C C D B B D D C D D B B 174 184 194 204 214 224 234 244 254 264 274 284 294 304 314 324 334 344 C A A A C C B B C B C A C C D A B D 175 185 195 205 215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 315 325 335 B C A D A B A D A A D B B D B C B Chương - Hình học 11 176 186 196 206 216 226 236 246 256 266 276 286 296 306 316 326 336 258 A D A C B C A D A B B A B A B B D 177 187 197 207 217 227 237 247 257 267 277 287 297 307 317 327 337 D C C D B A D A A C B B A D B D B 178 188 198 208 218 228 238 248 258 268 278 288 298 308 318 328 338 A B D D C C C A B A B B B B D A A 179 189 199 209 219 229 239 249 259 269 279 289 299 309 319 329 339 B D D A D D D C B A A C B A B D B 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 A C A D A A B D D D C A C C A D B https://emncischool.wixsite.com/geogebra (262) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI Chương - Hình học 11 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Định nghĩa Góc hai mặt phẳng là góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó Hai mặt phẳng song song trùng thì góc chúng 0◦ m n α β CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI MẶT PHẲNG CẮT NHAU Tìm giao tuyến c (α) và (β) β Tìm hai đường thẳng a, b thuộc hai mặt phẳng và c cùng vuông góc với c điểm a Góc (α) và (β) là góc a và b I α b DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐA GIÁC Định nghĩa Cho đa giác H nằm mặt phẳng (α) có diện tích là S và H là hình chiếu vuông góc H trên mặt phẳng (β) Khi đó diện tích S hình H tính theo công thức sau: S = S · cos ϕ với ϕ là góc (α) và (β) HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với góc hai mặt phẳng đó là góc vuông Định lí Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với là mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng α a b c O β Hệ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng nào nằm mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng Hệ Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β) thì đường thẳng này nằm mặt phẳng (α) Th.s Nguyễn Chín Em 259 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (263) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Định lí Nếu hai mặt phẳng cắt và cùng vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng đó HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG Định nghĩa Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy Độ dài cạnh bên gọi là chiều cao hình lăng trụ đứng Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy Định nghĩa Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy Định nghĩa Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành Nhận xét: Trong hình hộp đứng mặt bên là hình chữ nhật Định nghĩa Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật Nhận xét: Tất mặt hình hộp chữ nhật là hình chữ nhật Định nghĩa Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất các cạnh Nhận xét: Tất mặt hình lập phương là hình vuông HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU Định nghĩa Một hình chóp gọi là hình chóp nó có đáy là đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Nhận xét: Hình chóp có: Các mặt bên là tam giác cân Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc Định nghĩa 10 Phần hình chóp nằm đáy và thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên hình chóp gọi là hình chóp cụt Nhận xét: Hình chóp cụt có: Hai đáy là hai đa giác và đồng dạng với Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng qui điểm Các mặt bên là các hình thang cân B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Tìm góc hai mặt phẳng Muốn tìm góc hai mặt phẳng ta có thể tìm góc hai nửa đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến chúng Một số trường hợp thường gặp: Th.s Nguyễn Chín Em 260 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (264) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 TH1: 4ABC = 4DBC Gọi I là chân đường cao 4ABC Nối DI Vì 4ABC = 4DBC nên DI ⊥ BC ’ ⇒ ((ABC), (DBC)) = AID A C D I B TH2: Xét góc hai mặt phẳng (M AB) và (N AB) với 4M AB và 4N AB cân có cạnh đáy AB Gọi I là trung điểm AB Khi đó N I ⊥ AB và M I ⊥ AB ’ ⇒ ((M AB), (N AB)) = M IN N B M I A TH3: Hai mặt phẳng cắt (α) ∩ (β) = ∆ Tìm giao tuyến ∆ hai mặt phẳng Dựng AB có hai đầu mút nằm trên hai mặt phẳng và vuông góc với mặt (giả sử là (β)) Chiếu vuông góc A B lên ∆ là điểm I ‘ là góc hai mặt phẳng ⇒ AIB B I A Ÿ ’ TH4: Nếu a ⊥ (α); b ⊥ (β) thì ((α), (β)) = (a, b) TH5: Trường hợp khó vẽ góc hai mặt phẳng thì có thể dùng công thức phép chiếu diện tích đa giác Ví dụ Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = 3a Tính góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) -Lời giải Gọi góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là α Gọi M là trung điểm BC Do 4ABC nên AM ⊥ BC Theo giả thiết SA ⊥ (ABC), suy theo (1) ta có SM ⊥ BC Lại có (SBC) ∩ (ABC) = BC ’ Từ (1), (2) và (3) ta có α = SM A.√ √ a Ta có AM = AC − CM = Xét tam giác SAM vuông A, ta √ SA tan α = = √ = 3, suy α = 60◦ AM (1) (2) (3) có: S A B α M C √ Ví dụ Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Tính số đo góc các mặt phẳng sau: Tính ((SBC), (ABC)) Tính ((SBD), (ABD)) Tính ((SAB), (SCD)) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 261 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (265) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ a Gọi α = (S, BC, A) Khi đó ta có ® BC ⊥ AB BC ⊥ SA Chương - Hình học 11 S ⇒ BC ⊥ SB γ ’ Suy α = SBA √ SA a √ Trong 4SAB có tan α = = = ⇒ α = 60◦ AB a b Gọi β = ® AO ⊥ BD (S, BD, A) và AC ∩ BD = O, ta có α A ’ ⇒ β = SOA SO ⊥ BD( Do BD ⊥ (SAC)) √ √ a SA 2a √ Mà AO = , suy tan β = = √ = √ AO a ⇒ β = arctan( 6) B β O D C c Gọi γ = ((SAB), (SCD)) a ’ và tan γ = AD = √ Khi đó ta có γ = ASD =√ SA a 3 ⇒ γ = 30◦ Dạng Tính diện tích hình chiếu đa giác Gọi S là diện tích đa giác H (P ), S là diện tích hình chiếu H H trên (Q), và ϕ = ((P ), (Q)) Khi đó: S = S · cos ϕ √ Ví dụ Cho 4ABC cân A, đường cao AH = a 3, BC = 3a có BC nằm (P ) Gọi A0 là hình chiếu A lên (P ) Khi 4A0 BC vuông A0 , tính ((P ), (ABC)) -Lời giải Gọi M là trung điểm cạnh BC Do 4ABC cân A nên AM ⊥ BC Mặt khác AA0 ⊥ (P ) ⇒ A0 H ⊥ BC ÷0 Do đó α = ((P ); (ABC)) = ((ABC), (A0 BC)) √ = AHA 3a Theo đề ta có: SABC = · AH · BC = 2 3a 3a 9a2 Lại có A0 H = · BC = Suy SA0 BC = · · 3a = 2 2 Khi đó ta có: √ √ 9a2 a2 3 SA0 BC = SABC · cos α ⇔ = · cos α ⇔ cos α = 2 ◦ Suy α = 30 A A0 B H C Dạng Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Cách 2: Chứng minh góc hai mặt phẳng 90◦ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) (SAB) ⊥ (SBC) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 262 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (266) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S Ta có AC ⊥ BD, AC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) Do đó AC ⊥ (SBD) Vì (SAC) ⊥ (SBD) Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) Do đó BC ⊥ (SBD) Vì (SBC) ⊥ (SAB) A D O B C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) Gọi M và N là hình chiếu A lên SB và SD Chứng minh (SAC) ⊥ (AM N ) -Lời giải Ta có BD ⊥ AC, BD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) Do đó BD ⊥ (SAC) SM SN Mà M N k BD (do = ) nên M N ⊥ (SAC) SB SD Vì (SAC) ⊥ (AM N ) S N M D A O B C Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, SA ⊥ (ABC) Gọi H và K là hình chiếu B trên các đường thẳng SA và SC Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SAB) (SAC) ⊥ (BHK) -Lời giải S Ta có AC ⊥ AB, AC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC)) Do đó AC ⊥ (SAB) Vì (SAC) ⊥ (SAB) K Ta có SC ⊥ BK Mặt khác BH ⊥ SA và BH ⊥ AC (vì AC ⊥ (SAB)) Do đó BH ⊥ (SAC), suy SC ⊥ BH Từ đó SC ⊥ (BHK) Vì (SAC) ⊥ (BHK) H B C A √ 2a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với AB = a, AC = , SO ⊥ (ABCD), SB = a Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 263 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (267) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là hình chiếu O lên SA Khi đó SA ⊥ (M BD) Do đó góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) chính là góc hai √ đường thẳng M B và M D 2a a a Ta có BD = √ , SO = Suy OM = √ = BD 3 ÷ Vì tam giác M BD vuông cân M , từ đó BM D = 90◦ hay (SAB) ⊥ (SAD) S M D A O C B Dạng Thiết diện chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng Xác định mặt phẳng (β) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (α) cho trước cách: Từ điểm A bất kì thuộc đường thẳng d dựng AH ⊥ (α) Mặt phẳng (AH, d) là mặt phẳng (β) Tìm giao điểm mặt phẳng (β) và các cạnh hình chóp, hình lăng trụ, Từ đó suy thiết diện Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt đáy Gọi (P ) là mặt phẳng chứa AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Xác định thiết diện mặt phẳng (P ) cắt hình chóp -Lời giải Kẻ AH ⊥ SB (H ∈ SB) Ta có ® AD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SB AD ⊥ AB Ta có AD ⊥ SB và AH ⊥ SB nên SB ⊥ (ADH), suy (SBC) ⊥ (ADH) Do đó, mặt phẳng (P ) chứa AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC) là (ADH) Trong mặt phẳng (SBC) dựng HK k BC(K ∈ BC), suy HK k AD (do cùng song song với AD) S H A B K D C Vậy thiết diện là hình thang ADKH có hai đáy là AD và HK Ví dụ Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc và OA = OB = OC = a Gọi M là điểm trên cạnh AC cho AC = 3M C Gọi H là hình chiếu O lên mặt phẳng (ABC) Gọi (α) là mặt phẳng chứa OM và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Xác định và tính diện tích thiết diện mặt phẳng (α) cắt tứ diện -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 264 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (268) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có OA ⊥ OB và OA ⊥ OC nên OA ⊥ (OBC) Vì OH ⊥ BC (do OH ⊥ (ABC)) và OA ⊥ BC (do OH ⊥ (ABC)) nên BC ⊥ (OAH), suy BC ⊥ AH (1) Tương tự ta có AC ⊥ BH (2) Từ (1) và (2) suy H là trực tâm 4ABC Ta có OH ⊥ (ABC) nên mặt phẳng (α) chứa OM và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là (OHM ) Trong mặt phẳng (ABC) gọi N là giao điểm HM và AB, suy thiết diện mặt phẳng (OHM ) và tứ diện là 4OM N Do OA = OB = OC = a √ và OA, OB, OC đôi vuông góc nên AB = AC = BC = a 2, suy 4ABC Mà H là trực tâm 4ABC nên AH cắt BC trung điểm đoạn BC A N H M O B E C Gọi E là trung điểm BC √ 2a Ta có H là trọng tâm 4ABC nên 3HE = AE Do đó, M N k BC, suy M N = BC = 3 √ 1 a = + = , suy AH = Vì 4AOE vuông A nên 2 OH √OA OE 4a 2a2 Vậy S4OM N = · M N · OH = C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Cho hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với và điểm M không thuộc (P ) và (Q) Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P ) và (Q)? A B C D Vô số -Lời giải Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P®), (P ) k d d ⊥ (P ) ⇒ (Q) ⇒ d ⊥ (Q) Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d Mà d ⊥ (Q) ® (R) ⊥ (P ) M P (R) ⊥ (P ) Có vô số mặt phẳng (R) chứa d Do đó có vô số mặt phẳng qua M , vuông góc với (P ) và (Q) Q Chọn đáp án D Câu Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c cho c ⊥ a, c ⊥ b Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì vuông góc với mặt phẳng (a, b) B Cho a ⊥ (α), mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α) C Cho a ⊥ b, mặt phẳng chứa b vuông góc với a D Cho a ⊥ b, a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β) -Lời giải Mệnh đề “Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c cho c ⊥ a, c ⊥ b Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì vuông góc với mặt phẳng (a, b)” là sai Trong trường hợp a và b trùng nhau, tồn mặt phẳng chứa a và b không vuông góc với mặt phẳng (α) chứa c Mệnh đề “Cho a ⊥ b, mặt phẳng chứa b vuông góc với a” là sai Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng (a, b) chứa b không vuông góc với a Mệnh đề “Cho a ⊥ b, a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β)” là sai Trong trường hợp a và b vuông góc và chéo nhau, (α) ⊃ a, (α) k b và (β) ⊃ b, (β) k a thì (α) k (β) Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 265 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (269) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với B Qua đường thẳng có mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước C Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với D Qua điểm có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước -Lời giải Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với nhau” là sai Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với cắt (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3) Mệnh đề “Qua đường thẳng có mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước” là sai Qua đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước Mệnh đề “Qua điểm có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước” là sai Qua điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước Chọn đáp án C Câu Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Hai mặt phẳng (P ) và (Q) vuông góc với và cắt theo giao tuyến d Với điểm A thuộc (P ) và điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d B Nếu hai mặt phẳng (P ) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến (P ) và (Q) có vuông góc với (R) C Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với D Nếu hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng -Lời giải Mệnh đề “Hai mặt phẳng (P ) và (Q) vuông góc với và cắt theo giao tuyến d Với điểm A thuộc (P ) và điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d” là sai Trong trường hợp a ∈ d, b ∈ d, đó AB trùng với d Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với cắt (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3) Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia” là sai Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng Chọn đáp án B Câu Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là đúng? A Hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng nằm mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với C Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với D Hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng nằm mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng -Lời giải Mệnh đề “Hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng nằm mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia” là sai Hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng nằm mặt phẳng này, vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với nhau” và “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với nhau” là sai Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với cắt (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia) Chọn đáp án D Câu Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với B Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước C Có mặt phẳng qua điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt cho trước Th.s Nguyễn Chín Em 266 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (270) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 D Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với -Lời giải Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song trùng Mệnh đề “Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước” là sai Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau” là sai Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với cắt (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia) Chọn đáp án C Câu Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và b nằm mặt phẳng (P ) Mọi mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với b thì (P ) vuông góc với (Q) B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và mặt phẳng (P ) chứa a, mặt phẳng (Q) chứa b thì (P ) vuông góc với (Q) C Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P ), mặt phẳng (Q) chứa a thì (P ) vuông góc với (Q) D Qua điểm có mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước -Lời giải Trong trường hợp a và b vuông góc và chéo nhau, (P ) ⊃ a, (P ) k b và (Q) ⊃ b, (Q) k a thì (P ) k (Q) Chọn đáp án B Câu Trong khẳng định sau lăng trụ đều, khẳng định nào sai? A Đáy là đa giác B Các mặt bên là hình chữ nhật nằm mặt phẳng vuông góc với đáy C Các cạnh bên là đường cao D Các mặt bên là hình vuông -Lời giải Vì lăng trụ là lăng trụ đứng nên các cạnh bên và cùng vuông góc với đáy Do đó các mặt bên là hình chữ nhật Chọn đáp án D Câu Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương B Nếu hình hộp có ba mặt chung đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương C Nếu hình hộp có bốn đường chéo thì nó là hình lập phương D Nếu hình hộp có sau mặt thì nó là hình lập phương -Lời giải Nếu hình hộp có ba mặt chung đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương Chọn đáp án B Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm AC Khẳng định nào sau đây sai? A BM ⊥ AC B (SBM ) ⊥ (SAC) C (SAB) ⊥ (SBC) D (SAB) ⊥ (SAC) -Lời giải Tam giác ® ABC cân B có M là trung điểm AC ⇒ BM ⊥ AC BM ⊥ AC Ta có (do SA ⊥ (ABC)) ⇒ BM ⊥ (SAC) ⇒ (SBM ) ⊥ (SAC) BM ⊥ SA ® BC ⊥ BA Ta có (do SA ⊥ (ABC)) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB) BC ⊥ SA Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 267 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (271) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 11 Cho tứ diện SABC có SBC và ABC nằm hai mặt phẳng vuông góc với Tam giác SBC đều, tam giác ABC vuông A Gọi H, I là trung điểm BC và AB Khẳng định nào sau đây sai? A SH ⊥ AB B HI ⊥ AB C (SAB) ⊥ (SAC) D (SHI) ⊥ (SAB) -Lời giải Do SBC là tam giác có H là trung điểm BC nên SH ⊥ BC S Mà ta có (SBC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến BC ⇒ SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AB Vì HI ®là đường trung bình 4ABC nên HI k AC ⇒ HI ⊥ AB SH ⊥ AB Ta có ⇒ AB ⊥ (SHI) ⇒ (SAB) ⊥ (SHI) HI ⊥ AB Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai H B C I A Chọn đáp án C Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông C, mặt bên SAC là tam giác và mằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm SC Mệnh đề nào sau đây sai? A AI ⊥ SC B (SBC) ⊥ (SAC) C AI ⊥ BC D (ABI) ⊥ (SBC) -Lời giải Tam giác SAC có I là trung điểm SC nên AI ⊥ SC S Gọi H là trung điểm AC suy SH ⊥ AC Mà (SAC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AC nên SH ⊥ (ABC) đó SH ⊥ BC I Hơn theo giả thiết tam giác ABC vuông C nên BC ⊥ AC Từ đó suy BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AI Từ đó suy (ABI) ⊥ (SBC) Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SBC) ⊥ (SAC)” là sai H A C B Chọn đáp án B Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, SA vuông góc với đáy Gọi H, K là hình chiếu A trên SB, SC và I là giao điểm HK với mặt phẳng (ABC) Khẳng định nào sau đây sai? A BC ⊥ AH B (AHK) ⊥ (SBC) C SC ⊥ AI D Tam giác IAC -Lời ® giải BC ⊥ AB Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH S SA ⊥ BC Lại có AH ⊥ SB Từ đó suy AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC (1) K Lại có theo giả thiết SC ⊥ AK (2) Từ (1)®và (2), suy SC ⊥ (AHK) ⇒ (SBC) ⊥ (AHK) SC ⊥ (AHK) Ta có ⇒ SC ⊥ AI AI ⊂ (AHK) Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “Tam giác IAC đều” là sai C A H I Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em B 268 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (272) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 14 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D là điểm đối√xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông a góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho SD = Gọi I là trung điểm BC, kẻ IH vuông góc SA (H ∈ SA) Khẳng định nào sau đây sai? A SA ⊥ BH B (SDB) ⊥ (SDC) C (SAB) ⊥ (SAC) D BH ⊥ HC -Lời giải Từ giả®thiết suy ABDC là hình thoi nên BC ⊥ AD BC ⊥ AD Ta có ⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SA BC ⊥ SD Lại có theo giả thiết IH ⊥ SA Từ đó suy SA ⊥ (HCB) ⇒ SA ⊥ BH √ √ √ a Tính được: AI = , AD = 2AI = a và SA = AD2 + SD2 = √ 3a IH AI AI · SD a Ta có 4AHI v 4ADS ⇒ = ⇒ IH = = = SD AS AS BC ⇒ tam giác HBC có trung tuyến IH nửa cạnh đáy BC ’ = 900 hay BH ⊥ HC nên BHC S H A B I D C Từ đó suy (SAB) ⊥ (SAC) Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SDB) ⊥ (SDC)” là sai Chọn đáp án B ’ = 60◦ , tam giác SBC là tam Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, ABC giác có cạnh 2a và nằm mặt phẳng vuông với đáy Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ ◦ A ϕ = 60 B tan ϕ = C tan ϕ = D tan ϕ = -Lời giải Gọi H là trung điểm BC, suy SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) Gọi K®là trung điểm AC, suy HK k AB nên HK ⊥ AC AC ⊥ HK ⇒ AC ⊥ (SHK) ⇒ AC ⊥ SK Ta có AC ⊥ SH ’ Do đó ((SAC) , (ABC)) = (SK, HK) = SKH Tam giác vuông ABC, có ’ = a ⇒ HK = AB = a AB = BC · cos ABC 2 √ ’ = SH = Tam giác vuông SHK, có tan SKH HK Chọn đáp án B S A B K H C √ Câu 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt đáy (ABC) Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ 5 ◦ ◦ A ϕ = 30 B sin ϕ = C ϕ = 60 D sin ϕ = 5 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 269 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (273) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M®là trung điểm BC, suy AM ⊥ BC AM ⊥ BC Ta có ⇒ BC ⊥ (SAM ) ⇒ BC ⊥ SM BC ⊥ SA ’ Do đó ((SBC) , (ABC)) = (SM, AM ) = SM A S √ a Tam giác ABC cạnh a, suy trung tuyến AM = Tam giác vuông SAM , có √ SA SA ’ sin SM A = =√ = SM SA2 + AM A C M B Chọn đáp án D Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Đường thẳng SO vuông √ a góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = Tính góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) ◦ ◦ A 30 B 45 C 60◦ D 90◦ -Lời giải Gọi Q ®là trung điểm BC, suy OQ ⊥ BC S BC ⊥ OQ Ta có ⇒ BC ⊥ (SOQ) ⇒ BC ⊥ SQ BC ⊥ SO ’ Do đó ((SBC) , (ABCD)) = (SQ, OQ) = SQO √ SO ’= = Tam giác vuông SOQ, có tan SQO OQ Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) góc 60◦ B A Q O D Chọn đáp án C C ◦ ’ Câu 18 Cho hình chóp √ S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD = 60 , a SA = SB = SD = Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ √ C tan ϕ = D ϕ = 45◦ A tan ϕ = B tan ϕ = -Lời giải Từ giả thiết suy tam giác ABD cạnh a S Gọi H là hình chiếu S trên mặt phẳng (ABCD) Do SA = SB = SD nên suy H cách các đỉnh tam giác ABD hay H là tâm tam √ giác ABD √ √ a a 15 Suy HI = AI = ; SH = SA2 − AH = 6 Vì ABCD là hình thoi nên HI ⊥ BD Tam giác SBD cân S nên SI ⊥ BD C B ‘ Do đó ((SBD) , (ABCD)) = (SI, AI) = SIH √ ‘ = SH = Trong tam vuông SHI, có tan SIH I HI H A D Chọn đáp án A Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông A và D, AB = 2a, AD = CD = a Cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng Th.s Nguyễn Chín Em 270 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (274) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 (SBC) và (ABCD) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ A tan ϕ = B ϕ = 45◦ C ϕ = 60◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm AB ⇒ ADCM là hình vuông nên CM = AB AD = a = Suy tam giác ACB có trung tuyến nửa cạnh đáy nên vuông ® C BC ⊥ SA Ta có ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC BC ⊥ AC ’ Do đó ((SBC) , (ABCD)) = (SC, AC) = SCA √ SA Tam giác SAC vuông A ⇒ tan ϕ = = AC D ϕ = 30◦ S M A D B C Chọn đáp án A Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a Gọi M là trung điểm SC Tính góc ϕ hai mặt phẳng (M BD) và (ABCD) A ϕ = 90◦ B ϕ = 60◦ C ϕ = 45◦ D ϕ = 30◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm OC S Khi đó M M k SO ⇒ M M ⊥ (ABCD) Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có: SM BD = cos ϕ · SM BD √ M SM BD BD · M O MO ◦ ⇒ cos ϕ = = = = ⇒ ϕ = 45 SM BD BD · M O M 0O C B A Chọn đáp án C O M0 D Câu 21 Trong không gian cho tam giác SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc Gọi H, K là trung điểm AB, CD Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Mệnh đề √ nào sau đây đúng? √ √ √ 2 3 A tan ϕ = B tan ϕ = C tan ϕ = D tan ϕ = 3 -Lời giải Dễ dàng xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là S đường thẳng d qua S và song song với AB d Trong mặt phẳng (SAB) có SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ d Ta có ® CD ⊥ HK ⇒ CD ⊥ (SHK) ⇒ CD ⊥ SK ⇒ d ⊥ SK CD ⊥ SH A D H ’ Từ đó suy ((SAB) , (SCD)) = (SH, SK) = HSK K √ HK ’ B C Trong tam giác vuông SHK, có tan HSK = = SH Chọn đáp án B Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (SBD) và (SCD) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ √ √ A tan ϕ = B tan ϕ = C tan ϕ = D tan ϕ = 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 271 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (275) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O = AC ∩ BD Do hình chóp S.ABCD nên SO ⊥ (ABCD) Gọi M là trung điểm SD Tam giác SCD nên CM ⊥ SD √ Tam giác SBD có SB = SD = a, BD = a nên vuông S ⇒ SB ⊥ SD ⇒ OM ⊥ SD ÷ Do đó ® ((SBD) , (SCD)) = (OM, CM ) = OM C OC ⊥ BD Ta có ⇒ OC ⊥ (SBD) ⇒ OC ⊥ OM OC ⊥ SO √ OC ÷ Tam giác vuông M OC, có tan CM O= = OM S M D A O B C Chọn đáp án D Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = AC = a Hình chiếu √ vuông a góc H S trên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SH = Gọi ϕ là góc hai đường thẳng SB và AC Mệnh đề nào sau đây đúng? √ A cot ϕ = B cot ϕ = √ √ √ C cot ϕ = 7 D cot ϕ = 14 -Lời giải Gọi H là trung điểm BC Tam giác ABC vuông A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo giả thiết, ta có SH ⊥ (ABC) Qua B kẻ Bx k AC Khi đó (SB, AC) = (SB, Bx) Kẻ HE ⊥ Bx E, cắt AC M Suy AM EB là hình chữ a BE = AM = AC = 2 nhật nên HE = HM = AB = a 2 ® Bx ⊥ HE Ta có ⇒ Bx ⊥ (SHE) ⇒ Bx ⊥ SE Bx ⊥ SH Tam giác vuông SEB, có √ AM BE ’ =√ = cot SBE = 2 SE SH + HE S E B C H M A Chọn đáp án C Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C Gọi H là trung điểm AB Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB = SH = a Tính cosin góc α tọa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) A cos α = √ √ B cos α = C cos α = D cos α = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 272 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (276) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ CH (1) Tam giác ABC cân C nên CH ⊥ AB (2) Từ (1) và (2), suy CH ⊥ (SAB) Gọi I là trung điểm AC ⇒ HI k BC ⇒ HI ⊥ AC (3) Mặt khác AC ⊥ SH (do SH ⊥ (ABC)) (4) Từ (3) và (4), suy AC ⊥ (SHI) Kẻ HK ⊥ SI (K ∈ SI) (5) Từ AC ⊥ (SHI) ⇒ AC ⊥ HK (6) Từ®(5) và (6), suy HK ⊥ (SAC) HK ⊥ (SAC) Vì nên góc hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) HC ⊥ (SAB) góc hai đường thẳng HK và HC S H B K A I C Xét tam giác CHK vuông ÷ = HK = Do đó cos CHK CH a 1 a K, có CH = AB = ; = + ⇒ HK = 2 2 HK SH HI ® d1 ⊥ (α) ⇒ ((α) , (β)) = (d1 , d2 )” d2 ⊥ (β) Nếu ta sử dụng lý thuyết quen thuộc “góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến” thì khó Nhận xét Bài làm sử dụng lý thuyết “ Chọn đáp án D Câu 25 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi E, F là trung điểm các cạnh AB và AC Góc hai mặt phẳng (SEF ) và (SBC) là ’ A CSF ’ B BSF ’ C BSE ’ D CSE -Lời giải Gọi d là đường thẳng qua S và song song với EF Vì EF là đường trung bình tam giác ABC suy EF k BC Khi đó®d k EF k BC⇒(SEF ) ∩ (SBC) = d.® SA ⊥ BC BC ⊥ SE suy BC ⊥ (SAB) ⇒ Ta có AB ⊥ BC BC ⊥ SB ® d ⊥ SE Từ (1), (2) suy d ⊥ SB ’ Dẫn tới ((SEF ) ; (SBC)) = (SE; SB) = BSE S (1) (2) F A C E B Chọn đáp án C Câu 26 Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Với giá trị nào x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc √ √ a a a a A B C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 273 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (277) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M, N là trung điểm AB, CD Ta có AN ⊥ CD mà (ACD) ⊥ (BCD) suy AN ⊥ (BCD) ⇒ AN ⊥ BN Tam giác ABC cân C, có M là trung điểm AB suy CM ⊥ AB Giả sử (ABC) ⊥ (BCD) mà CM ⊥ AB suy CM ⊥ (ABD) ⇒ CM ⊥ DM AB CD Khi đó, tam giác M CD vuông cân M ⇒ M N = = ⇒ 2 AB = CD = 2x √ √ Lại có AN = BN = AC − AN = a2 − x2 , mà AB = AN + BN √ a 2 2 Suy a − x = 4x ⇔ a = 3x ⇔ x = Chọn đáp án A A M C N D B Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA = x và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với góc 60◦ 3a a A x = B x = C x = a D x = 2a 2 -Lời giải Từ A kẻ S ® AH vuông góc với SB (H ∈ SB) SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH mà AH ⊥ SB Ta có AB ⊥ BC K suy AH ⊥ (SBC) H Từ A kẻ AK vuông góc với SD (K ∈ SD) , tương tự, chứng minh AK ⊥ (SCD) Khi đó SC ⊥ (AHK) suy ((SBC) ; (SCD)) = (AH; AK) = D ÷ = 60◦ HAK A ÷ = 600 suy tam Lại có 4SAB = 4SAD ⇒ AH = AK mà HAK giác AHK B C 1 xa Tam giác SAB vuông S, có = + ⇒ AH = √ AH SA2 AB x2 + a2 √ x2 SH x2 Suy SH = SA2 − AH = √ ⇒ = SB x + a2 x2 + a2 HK x2 xa SH x √ ⇔√ Vì HK k BD suy = ⇔ =√ = √ ⇒ x = a SB BD x +a x2 + a2 · a x2 + a2 Chọn đáp án C Câu 28 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A0 B C D0 có đáy cạnh a, góc hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC ) có số đo 60◦ Độ dài cạnh bên của√hình lăng trụ √ D a A 2a B 3a C a -Lời giải ® AB ⊥ BB Vì ABCD.A0 B C D0 là lăng trụ tứ giác ⇒ ⇒ AB ⊥ A0 B0 AB ⊥ BC (BB C B) ABC ∩ BB C B = BC C0 0 D Khi đó (ABCD) ∩ BB C B = BC suy ABC ∩ (ABCD) = AB BC = 60◦ ÷ ((ABC ) ; (ABCD)) = (BC ; BC) = C A 0 Đặt AA = x, tam giác BCC vuông C, có B BC = ÷ tan C √ CC ⇒ x = tan 600 · a = a BC Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em D C 274 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (278) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên và mặt đáy 60◦ Tính độ dài đường cao SH khối chóp √ √ √ a a a a A SH = B SH = C SH = D SH = 2 -Lời giải Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD) Vì S.ABC là hình chóp có SA = SB = SC nên suy H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M là trung điểm BC, ta có ® BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM ) BC ⊥ SH S A ’ Khi đó ((SBC) ; (ABC)) = (SM ; AM ) = SM A = 60◦ Tam giác ABC có √ √ p a AM a AM = AB − M B = ⇒ HM = = C M H B √ SH a a ◦ ’ Tam giác AHM vuông H, có tan SM A = ⇒ SH = tan 60 · = HM a Vậy độ dài đường cao SH = Chọn đáp án C Câu 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D, đáy lớn AB; cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi Q là điểm trên cạnh SA và Q 6= A, Q 6= S; M là điểm trên đoạn AD và M 6= A Mặt phẳng (α) qua QM và vuông góc với mặt phẳng (SAD) Thiết diện tạo (α) với hình chóp đã cho là A tam giác B hình thang cân C hình thang vuông -Lời giải ® AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ (SAD) Mà (α) ⊥ (SAD) suy AB k Ta có AB ⊥ SA (α) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC N Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB P Khi đó thiết diện là hình thang M N P Q (do M N k P Q) Vì AB ⊥ (SAD) suy M N ⊥ (SAD) nên M N ⊥ QM Do đó thiết diện M N P Q là hình thang vuông Q và M D hình bình hành S Q P B A M D N C Chọn đáp án C Câu 31 Cho hình chóp SABC Mặt phẳng (α) qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Thiết diện tạo (α) với hình chóp đã cho là A tam giác B tam giác cân C tam giác vuông D tứ giác -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 275 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (279) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi I là trung điểm BC Trong tam giác SAI kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI) Trong tam giác SBC, qua H kẻ đường song song với BC, cắt SC M , cắt SB N Qua cách (1) ® dựng ta có BC k (AM N ) SI ⊥ AH Ta có ⇒ SI ⊥ (AM N ) SI ⊥ M N (do SI ⊥ BC) ⇒ (SBC) ⊥ (AM N ) (2) Từ (1) và (2), suy thiết diện cần tìm là tam giác AM N Dễ thấy H là trung điểm M N mà AH ⊥ (SBC) suy AH ⊥ M N Tam giác AM N có đường cao AH vừa là trung tuyến nên nó là tam giác cân đỉnh A S M H A B N I C Chọn đáp án B Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD Mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) Thiết diện tạo (α) với hình chóp đã cho là A tam giác cân B hình hình hành C hình thang vuông D hình thang cân -Lời giải S N K M A D I J O C B Gọi I, J là trung điểm CD và AB Trong tam giác SIJ kẻ JK ⊥ SI Trong tam giác SIJ, qua K kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC M , cắt SD N Ta dễ dàng chứng minh (ABM N ) ⊥ (SCD) Khi đó thiết diện cần tìm là hình thang ABM N Vì hình chóp đã cho là hình chóp nên suy AN = BM Vậy thiết diện là hình thang cân Chọn đáp án D Câu 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D, AB = 2a, AD = DC = a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy Mặt phẳng (α) qua SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tính diện tích (α) thiết diện tạo (α) với hình chóp đã cho √ √ a2 a2 a2 a2 A S = B S = C S = D S = 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 276 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (280) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi E là trung điểm AB, suy AECD là hình vuông nên DE ⊥ AC (1) Mặt khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ DE (2) Từ (1)®và (2) suy DE ⊥ (SAC) ⇒ (SAD) ⊥ (SAC) (SDE) ⊃ SD Ta có ⇒ (α) ≡ (SDE) (SDE) ⊥ (SAC) Vậy thiết diện√là tam giác SDE.√ √ √ 2 2 Ta có SD = SA √ + DA √ = a 2; SE = SA + AE = a 2; DE = AC = DC = a √ Do đó tam giác SDE có cạnh a nên S4SDE S E A D √ √ SD2 a2 = = B C Chọn đáp án C Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O với AB = a, AD = 2a Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy Gọi (α) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với (SAD) Tính diện tích S thiết diện√tạo (α) và hình chóp đã √ cho a2 a2 a2 A S = B S = C S = D S = a2 2 -Lời giải Gọi M, N lần lượt®là trung điểm AD, BC Khi đó: S M N ⊥ AD M N qua O và ⇒ M N ⊥ (SAD) M N ⊥ SA Từ đó suy (α) ≡ (SM N ) và thiết diện cần tìm là tam giác SM N Tam giác SM N vuông M nên S4SM N 1 = SM · M N = AB 2 Å AD SA2 + ã2 √ a2 = M A D O B N C Chọn đáp án B Câu 35 Khẳng định nào sau đây đúng? A Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác là hình lăng trụ B Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ C Hình lăng trụ có đáy là đa giác là hình lăng trụ D Hình lăng trụ tứ giác là hình lập phương -Lời giải Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác là hình lăng trụ Chọn đáp án A Câu 36 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, cạnh bên SA vuông góc với (ABC) Gọi I là trung điểm cạnh AC, H là hình chiếu I trên SC Khẳng định nào sau đây đúng? A (SBC) ⊥ (IHB) B (SAC) ⊥ (SAB) C (SAC) ⊥ (SBC) D (SBC) ⊥ (SAB) -Lời giải ® SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB (1) S AB ⊂ (ABC) AB ⊥ AC Từ (1) và (2) suy AB ⊥ (SAC) Mà AB ⊂ (SAB) nên (SAC) ⊥ (SAB) (2) H A I C B Th.s Nguyễn Chín Em 277 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (281) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B √ Câu 37 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a Gọi α là góc tạo hai mặt phẳng √ (SAC) và (SCD) Tính √ cos α √ √ 21 21 21 21 A B C D 14 -Lời giải S 2a I A D O B √ a C Kẻ OI®⊥ SC (I ∈ SC) OD ⊥ OC ⇒ OD ⊥ (SOC) ⇒ OD ⊥ SC Ta có OD ⊥ SO Kết hợp (1) ta SC ⊥ (IOD) ⇒ SC ⊥ ID ’ Do đó ta có ((SAC), (SCD)) = (OI, DI) = OID √ √ ABCD là hình vuông cạnh a nên OC = OD = BC · = a Xét 4SOC vuông O, ta có p p √ SO = SC − OC = 4a2 − a2 = a Ta có √ 1 1 a = + = + = ⇒ OI = OI OC SO2 a 3a 3a Xét 4OID vuông O, ta có OI Suy cos α = = OD Chọn đáp án D (1) √ √ p a 2 ID = OD + OI = 21 Câu 38 Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với B Hai đường thẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với C Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với D Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với -Lời giải Khẳng định đúng là “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” Chọn đáp án D Câu 39 Hình lăng trụ tam giác không có tính chất nào sau đây? A Các cạnh bên và hai đáy là tam giác B Cạnh bên vuông góc với hai đáy và hai đáy là tam giác C Tất các cạnh D Các mặt bên là các hình chữ nhật -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 278 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (282) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Trong hình lăng trụ tam giác đều, các cạnh bên và cạnh đáy có thể khác Chọn đáp án C Câu 40 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân C, mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABC), SA = SB, I là trung điểm AB Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là ’ ‘ ‘ ’ A Góc SCA B Góc SCI C Góc ISC D Góc SCB -Lời giải Do SA= SB và I là trung điểm AB nên SI ⊥ AB S (SAB) ⊥ (ABC) (SAB) ∩ (ABC) = AB ⇒ SI ⊥ (ABC) SI ⊥ AB (SAB) Vậy CI là hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABC) ‘ Nên [SC, (ABC)] = (SC, CI) = SCI Ta có A C I B Chọn đáp án B Câu 41 √ Cho hình√hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = a, BC = a 2, AA0 = a Gọi α là góc hai mặt phẳng (ACD0 ) và (ABCD) (tham khảo hình√vẽ) Tính giá trị tan α √ 2 A tan α = B tan α = 3√ C tan α = D tan α = D0 A0 B0 C0 A D B -Lời giải Ta có (ACD0 ) ∩ (ABCD) = AC Trong (ABCD), kẻ DM ⊥ AC thì AC ⊥ D0 M ◊ ⇒ ((ACD0 ), (ABCD)) = DM D0 Tam giác ACD vuông D có C D0 A0 C0 B0 √ 1 a = + ⇒ DM = √ DM AD2 DC Tam giác M DD0 A √ DD0 vuông D có tan α = = MD D M B C Chọn đáp án A Câu 42 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc đường thẳng CA0 và mặt phẳng (A0 B C D0 ) góc nào sau đây? 0C 0B0 C C AC ÷ ÷ ÷ ’ A CA B CA C A D A A D B C B0 A0 D0 C0 -Lời ® giải CC ⊥ (A0 B C D0 ) Ta có ⇒ C A0 là hình chiếu CA0 lên (A0 B C D0 ) Khi đó CA0 ∩ (A0 B C D0 ) = A0 ¤ ¤ , A0 B C D ) = (CA , C A0 ) = CA 0C ÷ (CA Th.s Nguyễn Chín Em 279 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (283) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 43 0 Cho hình lăng a, cạnh √ trụ tam giác ABC.A B C có cạnh đáy bên a Giá trị côsin góc đường thẳng B C và mặt phẳng (ACC √ A0 ) √ √ √ 13 11 39 A B C D 4 13 C0 A0 B0 A C B -Lời giải Gọi M là trung điểm AB, ta có ® CM ⊥ AB CM ⊥ AA0 C0 A0 ⇒ CM ⊥ (ABB A0 ) Khi đó hình chiếu CB lên (ABB A0 ) là M B ¤ ¤ , (ABB A0 )) = (CB , M B ) = CB M Ta có ÷ Ta có (CB … a 2 a√13 p √ 02 2 = M B = BB + M B = (a 3) + 2 » √ p B C = BB 02 + BC = (a 3)2 + a2 = 2a √ a 13 √ M B0 13 ÷ Ta có cos CB M = = = BC 2a B0 A C M B Chọn đáp án A Câu 44 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, cạnh bên SA vuông góc với (ABC) Gọi I là trung điểm cạnh AC, H là hình chiếu I trên SC Khẳng định nào sau đây đúng? A (SBC) ⊥ (IHB) B (SAC) ⊥ (SAB) C (SAC) ⊥ (SBC) D (SBC) ⊥ (SAB) -Lời giải ® ® SA ⊥ (ABC) AB ⊥ SA nên ta có Do S AB ⊂ (ABC) AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ (SAC) nên (SAC) ⊥ (SAB) H A I C B Chọn đáp án B Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi α là góc tạo đường thẳng BD với (SAD) Tính sin α √ √ √ 10 A B C D 2 4 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 280 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (284) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì (SAB) ⊥ (ABCD), AD ⊥ AB nên AD ⊥ (SAB) Trong (SAB), kẻ BH ⊥ SA = H, ta có BH ⊥ (SAD) BH Khi đó sin(BD, (SAD)) = sin α = BD √ a Tam giác SAB cạnh a có đường cao BH = √ Suy sin α = S H A B Chọn đáp án C D C √ Câu 46 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a và cạnh bên 2a Gọi α là góc tạo hai mặt√phẳng (SAC) và (SCD).√Tính cos α √ √ 21 21 21 21 A B C D 14 -Lời giải Gọi tâm đáy là O, M là trung điểm CD S Trong (SOM ), kẻ OH vuông góc với SM H Khi đó ta có OH ⊥ (SCD) Mà OD ⊥ (SAC) ÷ = α Do đó ((SCD), (SAC)) = (OH, OD)√= HOD √ a Ta có OD = a, SO = a 3, OM = Xét 4OSM vuông O, có √ H 1 a 21 = + ⇒ OH = A D OH OS OM Xét 4OHD vuông H, có√ M O ÷ = cos α = OH = 21 cos HOD B C OD Chọn đáp án D Câu 47 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có các cạnh AB = 2, AD = 3, AA0 = Góc hai mặt phẳng (AB D0 ) và (A0 C D) là α Tính giá trị gần đúng α A 61,6◦ B 38,1◦ C 45,2◦ D 53,4◦ -Lời giải D C A B K E D0 H C0 F A0 B0 Ta chia bài toán thành phần: Phần 1: Xác định góc hai mặt phẳng: Bước 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: Trong mặt phẳng (ADD0 A0 ) gọi E là giao điểm AD0 và A0 D Trong mặt phẳng (A0 B C D0 ) gọi F là giao điểm B D0 và A0 C Khi đó EF là giao tuyến hai mặt phẳng (AB D0 ) và (A0 C D) Th.s Nguyễn Chín Em 281 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (285) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Bước 2: Trong mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến: Trong mặt phẳng (DA0 C ) kẻ A0 H ⊥ EF H, A0 H cắt DC K Ta chứng D0 H ⊥ EF ® minh DC ⊥ A0 K ⇒ DC ⊥ (A0 D0 K) ⇒ DC ⊥ D0 H Ta có DC ⊥ A0 D0 ® DC ⊥ D0 H Mặt khác ⇒ DH ⊥ EF D0 C k EF Bước 3: Xác định góc hai mặt phẳng: 0 D H ⊂ AB D D H ⊥ EF Ta có A0 H ⊂ DA0 C ⇒ α = ((AB D0 ) , (DA0 C )) = (D0 H, A0 H) A0 H ⊥ EF AB D0 ∩ DA0 C = EF Phần 2: Tính góc α: Ta sử dụng định lý cosin tam giác A0 HD0 : Bước 1: Chứng minh tam giác A0 HD0 cân: Trong tam giác 4A0 DC ta có EF là đường trung bình, nên suy H là trung điểm A0 K Vì A0 D0 ⊥ (DD0 C C) nên A0 D0 ⊥ D0 K Do đó tam giác 4A0 D0 K vuông D0 Xét tam giác 4A0 D0 K vuông D0 có D0 K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D0 H = A0 K A0 H = Bước 2: Tính độ dài cạnh A0 K: Ta tính đường cao A0 K tam giác 4A0 DC thông qua diện tích √ Áp dụng√định lý Pytago ta tính độ dài các cạnh tam giác 4A0 DC là: A0 D = 5, A0 C = 13, DC = √ Sử dụng công thức Hê-rông ta tính SA0 DC = 61 √ √ √ 305 1 0 Mặt khác SA0 DC = A K × DC ⇒ 61 = A K × ⇒ A K = 2 √ A0 K 305 Từ đó suy D0 H = A0 H = = 10 Bước 3: Tính góc α định lý cosin: Trong tam giác 4A0 HD0 ta có: Ç√ HD = ◊ cos A HA0 + HD0 − A0 D0 2HA0 × HD0 å2 305 − 32 10 −29 = = Ç√ å2 61 305 10 HD = 118,4◦ Do đó góc hai đường thẳng A0 H và D H 61,6◦ ◊ Suy A Vậy α = 61,6◦ Chọn đáp án A Câu 48 Cho hình vuông ABCD cạnh a và SA ⊥ (ABCD) Để góc (SCB) và (SCD) 60◦ thì độ dài cạnh SA là √ √ A a B a C a D 2a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 282 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (286) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Đặt®SA = a ® AM ⊥ SD, m ∈ SD AM ⊥ (SCD) Kẻ , ta có AN ⊥ SB, N ∈ SB AN ⊥ (SBC) ¤ ⁄ Suy ((SCD); (SBC)) = (AM ; AN ) S M Do 4SAD = 4SAB (c.g.c) ⇒ AM = AN ¤ ⁄ Do đó ((SCD); (SBC)) = 60◦ ⇔ (AM ; AN ) = 60◦ N Xét tam giác SAD, ta có 1 ax = + ⇒ AM = √ AM x a a + x2 Mà SA2 x2 D A ax2 B √ C MN SM SM · SD = = ⇒ MN = = = 2 BD SD SD SD a +x a + x2 ÷ Nếu M AN = 600 thì 4AM N ⇔ AM = M N ⇔ x = a ÷ Nếu M AN = 120◦ thì M N = √ 3AM ⇔ 2x2 = 3(a2 + x2 ) (vô lý) Vậy SA = a Chọn đáp án C Câu 49 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a Góc hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Vẽ DE ⊥ SC E Vì các tam giác SBC và SDC là các tam giác vuông có các cạnh tương ứng nên BE ⊥ SC và BE = DE 1 4SBC vuông B và BE là đường cao nên = + BE SB 1 = + = 2 BC 2a a 2a 2a2 ⇒ BE = SC = (SCD) ∩ (SBC) Khi đó DE ⊥ SC, DE ⊂ (SCD) BE ⊥ SC, BE ⊂ (SBC) Vậy ((SCD), (SBC)) = (DE, BE) S E B A D C ’ * Tính DEB 2 ’ = BE + DE − BD = − ⇒ DEB ’ = 120◦ Ta có cos DEB · BE · DE Khi đó (DE, BE) = 60◦ Vậy ((SCD), (SBC)) = 60◦ Chọn đáp án A Câu 50 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông A, AB = 6, AC = Tam giác BCD có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh C Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Cô-sin góc mặt phẳng (ABD) và (BCD) 3 A √ B √ C √ D √ 17 17 34 34 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 283 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (287) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ AH ⊥ BC H, CK ⊥ BD K, HI ⊥ BD I Theo ® giả thiết suy CK = (ABC) ⊥ (BCD) Vì nên AH ⊥ (BCD) AH ⊥ BC ® BD ⊥ HI Ta có ⇒ BD ⊥ (AHI) BD ⊥ AH ’ là góc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) ⇒ AIH Xét 4ABC vuông A 1 1 25 24 ⇒ = + = 2+ = ⇒ AH = 2 AH AB AC 576 BH AB 62 Ta có BH · BC = AB ⇒ = = = 2 BC BC +8 25 A I B K D H C HI BH 9 72 Vì HI k CK ⇒ = = ⇒ HI = CK = ·8= CK BC 25 25 25 25 24 AH ’= = 72 = Xét 4AHI vuông H ⇒ tan AIH HI 25 ’= ’ √3 Ta có cos2 AIH = 25 = 34 ⇒ cos AIH = ’ + 34 + tan AIH Chọn đáp án C Câu 51 Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là hai tam giác Gọi M là trung điểm AB Khẳng định nào sau đây đúng? A CM ⊥ (ABD) B AB ⊥ (M CD) C AB ⊥ (BCD) D DM ⊥ (ABC) -Lời giải Do 4ABC và 4ABD nên DM ⊥ AB và CM ⊥ AB Suy AB ⊥ (DM C) D C B M A Chọn đáp án B Câu 52 Cho hình √ chóp S.ABC √ có đáy ABC là tam giác vuông cân B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = a 3, AC = a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bao nhiêu? A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Ta có AB là hình chiếu SB lên mặt phẳng (ABC) nên góc tạo S ’ SB và mặt phẳng (ABC) là SBA √ AC ’ = SA = Ta có AB = √ = a và tan SBA AB ◦ ’ ⇒ SBA = 60 C A B Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 284 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (288) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 53 Cho tứ diện S.ABC có các tam giác SAB, SAC và ABC vuông cân A, SA = a Gọi α là góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC), đó tan α √ √ 1 A √ B √ C D -Lời ® giải SA ⊥ AB Ta có ⇒ SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC S SA ⊥ AC Gọi I là trung điểm BC Ta có ® BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ (SAI) BC ⊥ SA Suy góc mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SI và AI hay ‘ = α là góc SIA Xét tam giác SAI √ vuông A Ta có a AI = BC = A 2 C SA √ tan α = = α AI I B Chọn đáp án D Câu 54 Xét các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với B Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với D Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với -Lời giải Chỉ có mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với nhau” là đúng Các mệnh đề còn lại là sai Chọn đáp án C √ Câu 55 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, SA ⊥ (ABC), SA = cm, AB = cm Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy góc A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦ -Lời ® giải BC ⊥ SA Vì nên BC ⊥ (SAB) S BC ⊥ AB ’ Khi đó góc (SBC) hợp với mặt đáy SBA √ ’ = SA = Xét tam giác SAB vuông A ⇒ tan SBA AB √ ’ = 60◦ ⇒ SBA A C B Chọn đáp án B Câu 56 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD√là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với a mặt phẳng (ABCD) Biết AB = SB = a, SO = Tìm số đo góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) Th.s Nguyễn Chín Em 285 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (289) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A 30◦ B 45◦ C 60◦ -Lời giải Do AB = SB nên tam giác SAB cân B, từ giả thiết dễ thấy SD = SB, AD = AB nên tam giác SAD cân D Gọi M là trung điểm SA, đó BM ⊥ SA, DM ⊥ SA, suy ÷ BM D là góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) Từ SB = √ AB = SD = AD = a ta có ∆SBD = ∆ABD ⇒ OA = a SO = √ √ a 12 a ⇒ MO = · SO = ; OD = OB = √ ◦ ÷ ÷ ÷ ⇒ tan M DO = ⇒ M DO = 45 ⇒ BM D = 90◦ D 90◦ S M A D O C B Chọn đáp án D Câu 57 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC Gọi I là trung điểm BC Góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây? ’ ‘ ’ ’ A SCA B SIA C SCB D SBA -Lời ® giải BC ⊥ AB Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB S BC ⊥ SA Hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) có giao tuyến BC, có BC ⊥ SB và ’ BC ⊥ AB nên góc hai mặt phẳng đó là SBA A C I B Chọn đáp án D Câu 58 Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy góc và hình chiếu S lên đáy nằm bên tam giác ABC Khẳng định nào sau đây luôn đúng? A H là trọng tâm tam giác ABC B H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC C H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D H là trực tâm tam giác ABC -Lời giải Gọi H là hình chiếu S trên (ABC) S Gọi ϕ là góc tạo các mặt bên với đáy ÷ Kẻ HM ⊥ BC = M ta có ((SBC), (ABC)) = SM H SH và d(H, BC) = M H = tan ϕ SH Tương tự, ta có d(H, AB) = d(H, AC) = tan ϕ Suy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC A C ϕ H M B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 286 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (290) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 59 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh Gọi M là trung điểm BB Tính góc ϕ hai mặt phẳng (AM C ) và (ABC) A ϕ = 60◦ B ϕ = 45◦ C ϕ = 30◦ D ϕ = 90◦ -Lời giải Gọi P là giao điểm BC và C M Khi đó AP là giao tuyến A0 C0 0 (AM C ) và (ABC) Vì M B = CC và M B k CC nên M B là B0 đường trung bình 4CC P , suy B là trung điểm CP Ta có AB = BP = BC suy tam giác ACP vuông A Mặt khác, AP ⊥ AC và AP ⊥ AA0 nên AP ⊥ (AA0 C C) ⇒ AP ⊥ AC Vậy góc hai mặt phẳng (AM C ) và (ABC) là góc CAC ÷0 = 45◦ Vậy ϕ = 45◦ Tam giác CAC vuông cân C nên CAC M C A B P Chọn đáp án B Câu 60 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (A0 B CD) và (ABC D0 ) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Ta có CD ⊥ (BCC B ) ⇒ CD ⊥ BC ® D0 A0 BC ⊥ CD ⇒ BC ⊥ (A0 B CD) ⇒ (ABC D0 ) ⊥ (A0 B CD) BC ⊥ B C B0 C0 Vậy góc (A0 B CD) và (ABC D0 ) là 90◦ A D B C Chọn đáp án D Câu 61 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D Góc hai đường thẳng AC và A0 D A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Gọi độ dài các cạnh hình√lập phương là a > B0 0 0 0 Ta có A C = C D = A D = 2a Suy 4A C D A0 D0 A0 D = 60◦ ÷ Suy C Do AC song song với A0 C nên C0 ⁄ ¤ C , A0 D) = C A0 D = 60◦ ÷ (AC, A0 D) = (A B A Chọn đáp án A C D Câu 62 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy là tam giác cạnh 2a Hình chiếu đỉnh A0 lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 60◦ Gọi 0 ϕ là góc hai √ mặt phẳng (BCC B ) và √(ABC) Tính cos ϕ √ … 17 16 A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = 17 17 Th.s Nguyễn Chín Em 287 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (291) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ -Lời giải Chương - Hình học 11 √ √ = a Gọi K là điểm đối xứng H qua B, suy B K k A0 H, suy B K ⊥ (ABC) Trong mp(ABC), dựng BI ⊥ BC (với I ∈ BC) Khi đó, góc ’0 hai mặt phẳng (BCC B ) và (ABC) là góc KIB 0 Do tứ giác AHKB là hình bình hành nên B K = A0 H = √ AH · tan 60◦ = a √ 1 a Ta có KI = d(H,BC) = d(A,BC) = AM = 2 Xét ∆B IK vuông K, …ta có √ √ 3a 15 a B I = B K + KI = 3a2 + = , 2√ √ 4√ ’0 = IK = a : a 15 = cos ϕ = cos KIB B0I 2 Gọi M là trung điểm BC, suy AM = 2a · C0 A0 B0 ◦ A 60 C I H B K Chọn đáp án C Câu 63 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, BC = 2a, SA = a và SA vuông góc với (ABC) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải (SBC) ∩ (ABC) = BC Gọi M là trung điểm BC, ta có AM ⊥ BC SM ⊥ BC nên S ’ ((SBC), (ABCD)) = (SM, AM ) = SM A Trong tam giác SAM vuông A, ta có a SA ’ ’ = = ⇒ SM A = 45◦ tan SM A= AM a A Vậy ((SBC), (ABCD)) = 45◦ C M B Chọn đáp án A Câu 64 √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D, AB = 2a, AD = CD = a, SA = a√ và vuông góc với (ABCD) Tính côsin góc √ √ (SBC) và (SCD) √ 6 A B C D 3 -Lời giải Gọi H, N là trung điểm SC, AB S Ta có CN = AB suy tam giác ABC vuông cân C ® SA ⊥ BC Suy ⇒ BC ⊥ (SAC) AC ⊥ BC Do 4SAC vuông cân K ® A nên AH = a H AH ⊥ (SBC) Kẻ AK ⊥ SD Khi đó N AK ⊥ (SCD) A B ÷ ⇒ ((SBC), (SCD)) = (AH, AK) = KAH = ϕ D Th.s Nguyễn Chín Em 288 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (292) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ 1 a Xét tam giác vuông SAD có = + ⇒ AK = · AK SA2 AD √ AK Xét tam giác vuông AKH có cos ϕ = = · AH Cách khác Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ TaÄ có A (0; 0; 0), B (2; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0), √ ä S 0; 0; î # » # »ó Ta có véc-tơ pháp tuyến (SCD) là n# »1 = SC, SD = Ä √ ä và véc-tơ pháp tuyến (SBC) là 0; 2; î # » # »ó Ä√ √ ä #n» = SB, SC = 2; 2; √ |n# »1 · n# »2 | Vậy cos ((SBC) , (SCD)) = # » # » = |n | · | n | z S x A B D y C Chọn đáp án B Câu 65 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có diện tích đáy A0 BC 2a2 (đvdt) Tính góc hai mặt phẳng (A0 BC) và (ABC)? A 120◦ B 60◦ √ 3a2 (đvdt), diện tích tam giác C 30◦ D 45◦ -Lời giải • Ta có 4ABC là hình chiếu vuông góc ∆A0 BC trên mặt phẳng (ABC) • Gọi ϕ là góc (A0 BC) √ và (ABC) √ S4ABC a Ta có: cos ϕ = = ⇒ ϕ = 30◦ = S∆A0 BC 2a2 C0 A0 B0 A C B Chọn đáp án C Câu 66 Chọn mệnh đề đúng các mệnh đề sau? A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với C Hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng nào nằm mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng D Một đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng -Lời giải Đáp án đúng là Một đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng Chọn đáp án D √ Câu 67 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc và OB = OC = a 6, OA = a Khi đó góc hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) A 30◦ B 90◦ C 45◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 289 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (293) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Chương - Hình học 11 OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ (OBC) OA ⊥ OB Trong mặt phẳng (OBC) kẻ OE ⊥ BC (1) (E ∈ BC) Từ chứng minh trên suy OA ⊥ OE và OA ⊥ BC (2) Từ (1), (2) suy BC ⊥ (OEA) ’ Khi đó góc hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) là góc OEA ◦ ’ = 90 ) (vìEOA √ √ BC Do OB = OC ta có OE = , mà BC = 3a nên OE = 3a Trong tam giác OAE ta có ’ = 30◦ ’ = OA ⇔ tan OEA ’ = √1 ⇔ OEA tan OEA OE Do giả thiết C E O B A Chọn đáp án A Câu 68 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC cạnh 2a, SB tạo với mặt phẳng đáy góc 30◦ Khi đó (SBC) tạo với đáy góc x Tính giá trị tan x A tan x = B tan x = √ C tan x = D tan x = 3 -Lời giải ® AM ⊥ BC Gọi M là trung điểm BC, ta có ⇒ BC ⊥ (SAM ) S SA ⊥ BC ’ Vậy góc (SBC) với (ABC) là SM A = x ◦ ◦ ’ Do SB tạo với (ABC) góc √ 30 nên SBA√= 30 √ 2a AB Ta có SA = AB tan 30◦ = , AM = = a 3 2 SA = Xét tam giác SAM có tan x = AM A C M B Chọn đáp án D Câu 69 Cho tứ diện ABCD cóÅ độ dài các cạnh AB = a,ãAD = BC = b, AB là đoạn vuông góc chung 2b BC và AD và (AB, CD) = α, < α < 90◦ , tan α < Gọi I là trung điểm AB, điểm M thuộc đoạn a AB cho IM = x và (P ) là mặt phẳng qua M vuông góc với AB đồng thời cắt CD N Diện tích hình tròn tâm M bán kính M N π 4b + 4x2 − a2 tan2 α B π 4b2 + 4x2 − a2 tan2 α A π π C 2b + 4x2 + a2 tan2 α D 4b + 4x2 − a2 sin2 α 4 -Lời giải Dựng hình lăng trụ đứng tam giác ADE.BF C hình vẽ, đó AB là A D cạnh bên Khi đó mặt phẳng (P ) song song với hai mặt phẳng đáy hình lăng trụ nói trên Gọi P , Q là giao điểm (P ) với CE và DF Q M Không tính tổng quát, giả sử M thuộc đoạn AI I E ’ = (CD, DF ) = (CD, AB) = α, suy P Q = CF = a tan α Do N Ta có CDF đó NQ DQ AM a − 2x (a − 2x) tan α P = = = ⇒ NQ = B F CF DF AB 2a C Th.s Nguyễn Chín Em 290 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (294) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Áp dụng định lí cô-sin ta có ÷ cos M QP = M Q2 + P Q2 − M P PQ a tan α = = 2M Q · P Q 2M Q 2b Cũng theo định lí cô-sin ta có + tan2 α 4x2 − a2 4b ÷ M N = M Q + N Q − 2M Q · N Q cos M QN = 2 Vậy diện tích hình tròn cần tìm là πM N = π 4b + 4x2 − a2 tan2 α Chọn đáp án A Câu 70.√Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = BC = a, BB = a Tính góc đường thẳng A0 B và mặt phẳng (BCC B ) A 60◦ B 90◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải Do ABC.A0 B C là hình lăng trụ đứng, 4ABC vuông B nên A0 B ⊥ B C ⇒ A0 B ⊥ (BB C C) BB ÷ Do đó góc A0 B và mặt phẳng (BCCC B ) là A 0 Xét tam giác A BB , ta có A0 C0 B0 √ BB 0 BB = BB = 30◦ ÷ ÷ cot A = 3⇒A 0 AB A C Vậy góc đường thẳng A0 B mặt phẳng (BCC B ) B Chọn đáp án D Câu 71 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có diện tích tam giác ABC Gọi M , N , P thuộc các cạnh AA0 , BB , CC và diện tích tam giác M N P 10 Tính góc hai mặt phẳng (ABC) và (M N P ) A 60◦ B 30◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (ABC) và (M N P ) Ta có SABC = SM N P cos ϕ ⇔ cos ϕ = ⇒ ϕ = 60◦ A0 B0 C0 M P A N C B Chọn đáp án A Câu 72 Cho hình chóp tứ giác có tất các cạnh a Cô-sin góc mặt bên và mặt đáy 1 1 A √ B C D √ 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 291 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (295) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi S.ABCD là hình chóp đều, M là trung điểm BC Khi đó BC ⊥ ’ (SOM ) nên góc (SBC) và đáy √ là góc SM O a a Lại có OM = AB = , SM = 2 OM ’ Suy cos SM O= =√ SM S A B M O D C Chọn đáp án A Câu 73 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng? A Hình chóp là tứ diện B Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác là hình lăng trụ C Hình chóp có đáy là đa giác là hình chóp D Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ -Lời giải Mệnh đề đúng là “Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác là hình lăng trụ đều” Chọn đáp án B √ Câu 74 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A và AB = a Biết SA vuông góc với đáy và SA = a Góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm BC S √ 1 Khi đó, AM ⊥ BC, AM = BC = AB = a 2 SA ¤ ’ = 45◦ Ta có (SBC); (ABC) = SM A = arctan AM A C M B Chọn đáp án B Câu 75 Cho hình √ chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a Biết AB = 2AD = 2DC = 2a Góc hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là π π π π A B C D 12 -Lời giải S H A D M B C Gọi M là trung điểm AB Kẻ M H ⊥ SB H Th.s Nguyễn Chín Em 292 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (296) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 CM ⊥ AB Ta có CM ⊥ SA ⇒ CM ⊥ (SAB) ⇒ CM ⊥ SB AB, SA ⊃ (SAB) ® SB ⊥ M H Từ ⇒ SB ⊥ HC SB ⊥ CM ÷ Do đó, góc hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là M HC Ta có 4BHM ∼ 4BAS nên √ √ MH BM a 2·a a √ = ⇒ MH = = SA BS a ÷ Bởi tan M HC = √ CM a π ÷ = a = Suy M HC = MH √ Chọn đáp án A Câu 76 Trong không gian cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P ), xét các phát biểu sau: (I) Nếu a k b mà a ⊥ (P ) thì luôn có b ⊥ (P ) (II) Nếu a ⊥ (P ) và a ⊥ b thì luôn có b k (P ) (III) Qua đường thẳng a có mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P ) (IV) Qua đường thẳng a luôn có vô số mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P ) Số khẳng định đúng các phát biểu trên là A B C D -Lời giải Chỉ có khẳng định (I) đúng Ý (II) sai vì b có thể trùng (P ) Ý (III) sai vì a ⊥ (P ) thì có vô số mặt phẳng (Q) vuông góc với (P ) Ý (IV ) sai vì a cắt (P ) ( không vuông góc) thì có mặt phẳng (Q) thỏa yêu cầu Chọn đáp án A √ 3a Câu 77 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a 3, đường cao Góc mặt bên và mặt đáy A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 75◦ -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD √ S a Gọi M là trung điểm AD suy OM = Ta có SM và OM cùng vuông góc AD suy ’ ((SAD); (ABCD)) = SM O Ta có √ SO 3a ’ tan SM O= = · √ = OM a ◦ ’ Suy SM O = 60 D C M A Chọn đáp án C O B Câu 78 Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai các mệnh đề sau A Chân đường cao hạ từ đỉnh hình chóp trùng với tâm đa giác đáy B Đáy hình chóp là đa giác C Các mặt bên hình chóp là tam giác cân Th.s Nguyễn Chín Em 293 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (297) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 D Tất các cạnh hình chóp -Lời giải Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác cạnh a, các cạnh bên và b, đó a và b có thể khác Chọn đáp án D Câu 79 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc hai mặt phẳng (A0 B C) và (C D0 A) A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Gọi I = B C ∩ BC , J = A0 D ∩ AD0 , ta có B0 A0 0 0 (A B C) ∩ (C D A) = IJ D0 C0 IJ ⊥ B C ⊂ (A0 B C) IJ ⊥ BC ⊂ (C D0 A) J (A0 B C) Từ đó, suy góc mặt phẳng và mặt phẳng đường thẳng B C và BC hay là 90◦ (C D0 A) I là góc B A D C Chọn đáp án D ◦ ’ Câu 80 √ Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 3, AD = 4, BAD = 120 Cạnh bên SA = vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh SA, AD và BC và α là góc hai mặt phẳng (SAC) và (M N P ) Chọn khẳng định đúng các khẳng định sau đây A α ∈ (60◦ ; 90◦ ) B α ∈ (0◦ ; 30◦ ) C α ∈ (30◦ ; 45◦ ) D α ∈ (45◦ ; 60◦ ) -Lời ® giải M N k SD ⇒ (M N P ) k (SCD) Ta có S N P k CD ⇒ ((SAC), (M N P )) = ((SAC), (SCD)) = α Gọi H là hình chiếu vuông góc A xuống (SCD), K là hình ÷ chiếu vuông góc H xuống SC, suy α = AKH K 1 M Ta có VS.ACD = VS.ABCD = · · SA · SABCD hay H 2 √ N A D √ 1 · = VS.ACD = · · · · B C P Trong tam giác ABC có ’ = 42 + 32 − · · · AC = AB + BC − 2AB · BC · cos ABC = 13, 2 = AC + SA2 = 13 + 12 = 25 suy SC√ √ √ Và SD = SA2 + AD2 = 12 + 16 = 28 Khi đó √ SC + SD2 − CD2 11 ’ cos CSD = = · SC · SD 35 √ » 42 ’ ’ Hay sin CSD = − cos CSD = 35 Do đó diện tích tam giác SCD là √ √ √ 1 42 ’ SSCD = · SC · SD · sin CSD = · · 28 · = 2 35 Ta có SSAC = 1 · AC · SA = · AK · SC nên 2 √ √ √ SA · AC · 13 39 AK = = = SC 5 Th.s Nguyễn Chín Em 294 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (298) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Theo công thức tính thể tích khối chóp A.SCD thì AH = √ √ AH 26 Do đó sin α = = √ = ⇒ α ∈ (60◦ ; 90◦ ) AK 26 39 Chọn đáp án A 3·6 √ 3VA.SCD = √ = SSCD √ a Câu 81 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao hình chóp Góc mặt bên và mặt đáy A 60◦ B 75◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Do S.ABCD là chóp nên đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân Gọi M®là trung điểm BC, O là tâm hình vuông ABCD S SM ⊥ BC Ta có OM ⊥ BC ’ Suy góc mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) là SM O Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ 4OM S vuông O B A O M D Từ đó suy C √ a √ ’S = SO = = ⇒ OM ’S = 60◦ tan OM a OM Vậy góc mặt bên và mặt đáy hình chóp 60◦ Chọn đáp án A Câu 82 Mệnh đề nào đây đúng? A Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác và các cạnh bên B Hình chóp có đáy là tam giác là hình chóp C Hình lăng trụ có đáy là đa giác là hình lăng trụ D Hình lăng trụ tứ giác là hình lập phương -Lời giải Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác và các cạnh bên Chọn đáp án A Câu 83 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD √là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với a Tìm số đo góc hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) Biết BC = SB = a, SO = (SCD) A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm SC, tam giác SBC cân B nên ta có S SC ⊥ BM (1) Theo giả thiết ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ SC ⊥ BD Do đó SC ⊥ (BCM ) suy SC ⊥ DM (2) Từ (1) và (2) suy góc hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc hai đường thẳng BM và DM √ M a Ta có 4SBO = 4CBO suy SO = CO = √ a Do đó OM = SC = A D O B Th.s Nguyễn Chín Em 295 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (299) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Mặt khác OB = √ SB − SO2 Chương - Hình học 11 √ a ÷ = Do đó tam giác BM O vuông cân M hay góc BM O = 45◦ , ÷ suy BM D = 90◦ Vậy góc hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) 90◦ Chọn đáp án A Câu 84 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và ’ = 120◦ , cạnh bên BB = a, gọi I là trung điểm CC Côsin góc tạo mặt phẳng (ABC) và BAC (AB I)√bằng √ √ √ 20 30 30 A D B C 30 10 10 -Lời giải √ √ √ √ a a 13 Ta có BC = a 3; AB = a 2; AI = ;B I = A0 C0 2 02 2 Do AB + AI = B I nên tam giác AB I vuông A Dùng công thức S = S cos ϕ suy kết B0 Vì ∆ABC là hình chiếu ∆ABC lên mặt phẳng (ABC) nên gọi ϕ là góc I hai mặt phẳng (ABC) và (AB I) thì ta có √ a · a · sin 120◦ SABC 30 √ = = SABC = SAB I cos ϕ ⇒ cos ϕ = A C √ SAB I 10 a ·a 2· 2 B Chọn đáp án D Câu 85 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên a Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) √ √ 1 2 2 A − B C D − 3 3 -Lời giải Gọi H là trung điểm SA, α là góc hai mặt phẳng (SAB) S và (SAD) Theo bài ® các tam giác SAD và SAB là các DH ⊥ SA tam giác nên BH ⊥ SA H ÷ suy cos α = | cos BHD| √ √ a Ta có BH = DH = , BD = a 2 B A Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác BDH ta có O 2 ÷ = BH + DH − BD cos BHD 2BH · DH Ç √ å2 √ a 2· − (a 2)2 = Ç √ å2 a 2· = − D C Do α không là góc tù nên cos α = Chọn đáp án B √ Câu 86 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = và AA0 = Gọi M , N , P là 0 0 0 trung điểm √ các cạnh A B , A C và√BC Cô-sin góc tạo hai √ mặt phẳng (AB C ) và (M √ N P ) 13 13 17 13 18 13 A B C D 65 65 65 65 Th.s Nguyễn Chín Em 296 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (300) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải N A0 C0 E Q M B0 J K I A C P B Gọi P , Q là trung điểm BC và B C ; I = BM ∩ AB , J = CN ∩ AC , E = M N ∩ A0 Q Suy (M N P ) ∩ (AB C ) = (M N CB) ∩ (AB C ) = IJ và gọi K = IJ ∩ P E ⇒ K ∈ AQ, với E là trung điểm M N (AA0 QP ) ⊥ IJ ⇒ AQ ⊥ IJ, P E ⊥ IJ ⇒ ((M N √ P ), (AB C )) = (AQ, P E) = α √ 13 5 Ta có AP = 3, P Q = ⇒ AQ = 13 ⇒ QK = ;PE = ⇒ PK = 3 √ + KP − P Q2 KQ 13 ’| = cos α = | cos QKP = 2KQ · KP 65 Chọn đáp án B Câu 87 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên a Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) √ √ 1 2 2 A − B C D − 3 3 -Lời giải Gọi H là®trung điểm SA Theo bài ∆SAD, ∆SAB S DH ⊥ SA nên BH ⊥ SA √ √ a Ta có BH = DH = , BD = a Áp dụng định lý hàm H số cosin ∆BDH ta có ÷= cos BHD BH + DH − BD2 =− 2BH · DH D Khi đó ϕ = ((SAB), (SAD)) = (BH, DH) ⇒ cos ϕ = Chọn đáp án B A B O C Câu 88 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng (BA0 C) và (DA0 C) A 120◦ B 60◦ C 90◦ D 30◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 297 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (301) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ ® DE ⊥ A0 C E BD ⊥ AC Vì ⇒ BD ⊥ (AA0 C) ⇒ BD ⊥ A0 C BD ⊥ AA0 Từ (1) và (2) ⇒ A0 C ⊥ (BDE) ⇒ A0 C ⊥ BE 0 (BA C) ∩ (DA C) = A C (1) A0 D0 (2) B0 C0 DE ⊥ A0 C BE ⊥ A0 C ⇒ ((BA0 C), (DA0 C)) = (DE, BE) E D A B C ’ Tính BED √ √ DC · A0 D Ta có BD = a 2; BE = DE = = a A0 C 2 ’ = BE + DE − BD = −1 ⇒ BED ’ = 120◦ Suy cos BED h i 2BE · DE ¤ C) , (DA0 C) = 60◦ Vậy (BA Chọn đáp án B √ Câu 89 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có diện tích tam giác ABC Gọi M , N , P thuộc các cạnh AA0 , BB , CC , diện tích tam giác M N P Tính góc hai mặt phẳng (ABC) và (M N P ) A 120◦ B 45◦ C 30◦ D 90◦ -Lời giải Gọi α là góc hai mặt phẳng (ABC) và (M N P ), đó ta có C0 A0 √ √ SABC 3 cos α = = = ⇒ α = 30◦ B0 M SM N P P A N C B Chọn đáp án C Câu 90 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên 2a, cạnh đáy a Gọi α là góc hai mặt bên hình chóp đó Hãy tính cos √ α A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = 15 15 -Lời giải Gọi M , N là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, S tam giác SBC Tam giác SBC cân S nên N là trung điểm BC Ta có √ p a2 a 15 2 SN = SC − N C = 4a − = √ SN · BC a 15 S4SBC = · BC · SN = SC · BM ⇒ BM = = 2 SC 4SAC = 4SBC ⇒ BM = AM Vậy cos α = AM BM + − 2AM · BM AB 15a2 15a2 + − a2 16 16 = = 15 15a 2· 16 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 298 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (302) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ Câu 91 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo a √ và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi α là góc mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Nếu tan α = thì góc hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) A 30◦ B 90◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H, K là hình chiếu S A lên SB, SC Ta dễ dàng chứng minh AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC Mà AK ⊥ SC nên SC ⊥ (AHK) ⇒ SC ⊥ HK (SAC) ∩ (SBC) = SC Ta có AK ⊥ SC K HK ⊥ SC H D ÷ ⇒ ((SAC), (SBC)) = (AK; HK) = AKH A ’ = α ⇒ Ta có ((SBD); (ABCD)) = (SO; AO) = SOA O SA tan α = ⇒ SA = a AO √ B C SB a Do đó 4SAB vuông cân A ⇒ AH = = √2 1 a Xét 4SAC có = + ⇒ AK = AK AS AC √ ÷ = AH = ⇒ AKH ÷= Xét 4AHK vuông H, ta có sin AKH AK 30◦ Vậy ((SAC); (SBC)) = 30◦ Chọn đáp án A Câu 92 Cho khối lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M là trung điểm AD, φ là góc hai mặt phẳng (BM C ) và (ABB A0 ) Khẳng định nào đây đúng? A cos φ = A B 4 B cos φ = M C cos φ = D C D cos φ = A0 B0 D0 -Lời giải • Cách 1: Tính góc theo công thức diện tích hình chiếu Do ABCD.A0 B C D0 là hình lập phương ⇒ M A, CB, C B cùng vuông góc với (ABB A0 ) ⇒ 4M BC có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABB A0 ) là 4ABB S4ABB Ta có S4ABB = S4M BC · cos φ ⇒ cos φ = S4M BC Xét tam giác M BC , ta có B A M D C A0 √ p a2 5a M A2 + AB = + a2 = √ C 0B = 2a p a2 M C0 = DM + DC 02 = + 2a2 = a M B + M C + BC Đặt p = C0 B0 MB = Th.s Nguyễn Chín Em 299 D0 C0 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (303) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Áp dụng công thức Hê-rông ta có S4M BC = » p(p − M C )(p − M B)(p − BC ) = 3a2 S4ABB a2 3a2 = a2 : ⇒ cos φ = = S4M BC • Cách 2:Phương pháp tọa độ hóa Không tính tổng quát, ta giả sử AB = Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với các tọa độ các điểm sau: Mặt khác S4ABB = A0 (0, 0; 0), B (0; 1; 0), D0 (1; 0; 0), A(0; 0; 1) Å ã Khi đó ta có B(0; 1; 1), M ; 0; , C (1; 1; 0) Å ã î Å ã # »0 # »ó # »0 1 # » ; −1; , BC ; BM = −1; − ; −1 Ta có BC = (1; 0; −1), BM = 2 Từ đây suy véc-tơ pháp tuyến các mặt phẳng (ABB A0 ) và (BC M ) là Å ã #» #» n = (1; 0; 0), n = 1; ; | #» n · #» n 2| = Ta có cos φ = #» | n | · | #» n | +0·1 2 = Å ã2 √ 12 + + · 12 + +1 1·1+0· Vậy cos φ = • Lưu ý: Ưu điểm hai cách tính này là không phải dựng góc Cách 1, mở tư vì thường ta chú ý việc chuyển bài toán tính diện tích thiết diện thành bài toán tính góc mà ít nghĩ đến hướng ngược lại Đặc biệt đây ta cần “một phần thiết diện ” chính là 4BC M Việc tính diện tích tam giác này là khá đơn giản Cách 2, nhấn mạnh việc tọa độ hóa bài toán liên quan đến hình lập phương là hướng tốt Không cần nhiều tư hình Chọn đáp án D √ Câu 93 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có BC = a, BB = a Góc hai mặt phẳng (A0 B C) và (ABC D0 ) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Gọi I = A0 D ∩ AD0 , J = BC ∩ B C D0 A0 Vì (A0 B CD) ∩ (ABC D0 ) = IJ và IJ ⊥ ((ADD0 A0 )) nên C0 0 0 0 0 B (A B C), (ABC D ) = (A B CD), (ABC D ) = (AD0 , A0 D) 0A = ÷ Xét 4ADA0 ⇒ tan DA J AD a = √ =√ AA0 a 3 I D A 0A = A AI = 30◦ ’ ’ ⇒ IA ’0 = 120◦ ⇒ (AD0 , A0 D) = 60◦ ⇒ AIA B C Chọn đáp án B √ Câu 94 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = 2a 2, AB = 2a, tam giác ABC vuông cân B Gọi M là trung điểm SC Góc đường thẳng BM và mặt phẳng (SAB) A 30◦ B 90◦ C 45◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 300 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (304) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có SA ⊥ BC và AB ⊥ BC nên BC ⊥ (SAB) Gọi N là trung điểm SB thì M N k BC nên M N ⊥ (SAB), suy ÷ (BM, (SAB)) = M BN BC 2a Ta có M N = = = a 2√ √ √ Lại có AC = AB = 2a ⇒ SC = SA2 + AC = 4a nên BM = SC = 2a MN ÷ ÷ Suy sin M BN = = ⇒M BN = 30◦ MB S M N C A B Chọn đáp án A Câu 95 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy và SA = a Gọi ϕ là góc tạo SB và mặt phẳng (ABCD) Xác định cot ϕ? √ √ A cot ϕ = B cot ϕ = C cot ϕ = 2 D cot ϕ = -Lời giải Ta có: SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu S lên (ABCD) Do đó, AB là hình chiếu SB lên mặt phẳng (ABCD) ¤ Ÿ ’ = ϕ Suy (SB, (ABCD)) = (SB, AB) = SBA 2a AB ⇒ cot ϕ = ⇔ cot ϕ = Ta có cot ϕ = SA a S D A B C Chọn đáp án A Câu 96 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Các điểm M, N, P thuộc các đường thẳng AA0 , BB , CC thỏa mãn diện tích tam giác M N P a2 Góc hai mặt phẳng (M N P ) và (ABCD) là A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 120◦ -Lời giải Ta có hình chiếu vuông góc tam giác M N P lên mặt phẳng (ABCD) là tam giác ABC Theo công thức diện tích hình chiếu ta có: SM N P · cos ((M N P ), (ABCD)) = SABC Suy D0 a2 cos ((M N P ), (ABCD)) = B0 A0 SABC = 22 = SM N P a C0 M N A Vậy góc hai mặt phẳng (M N P ) và (ABCD) là 60◦ B P D C Chọn đáp án A √ Câu 97 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với O là tâm đáy và chiều cao SO = AB Tính góc mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 30◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 301 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (305) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Gọi M là trung điểm AB Khi đó OM ⊥ AB SM ⊥ AB Chương - Hình học 11 ⇒ S ’ góc (SAB) và đáy góc SM O √ AB SO ’ Ta có OM = ⇒ tan SM O = = OM ’ ⇒ SM O = 60◦ M A B O D C Chọn đáp án C Câu 98 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC A0 ) A 60◦ B 45◦ C 90◦ D 30◦ -Lời giải Vì AA0 ⊥ (ABCD) nên (ACC A0 ) ⊥ (ABCD) D0 C0 Vậy góc hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC A0 ) 90◦ B0 A0 D C A B Chọn đáp án C Câu 99 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a (tham khảo hình vẽ) Giá trị sin góc hai mặt phẳng (BDA0 ) và (ABCD) √ √ √ √ 6 B C D A 4 3 A0 D0 B0 C0 A D B -Lời giải Gọi O = AC ∩ BD Khi đó AO ⊥ BD Lại có, A0 O có hình chiếu là AO trên (ABCD) nên A0 O ⊥ BD Từ OA ’ đó suy góc (BDA0 ) và (ABCD) A Xét tam giác A AO vuông A có √ A0 A A0 A a ’ sin A OA = = √ =s = Ç å √ 2 AO A A + AO a a2 + A0 D0 B0 C0 A D O B Chọn đáp án C C C ’ = 60◦ SA = Câu 100 Cho√hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD a SB = SD = Gọi α là góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) Giá trị sin α √ √ 2 A B C D 3 3 Th.s Nguyễn Chín Em 302 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (306) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Theo giả thiết, ABD là tam giác Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Do SA = SB = SD nên S nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy SH ⊥ (ABD) hay SH ⊥ (ABCD) Do (SBC) ⊥ (SBH) nên từ H kẻ HK ⊥ SB K thì HK = 1 d(H, (SBC)) và = + 2 HK HB HS √ a 15 ⇒ HK = S K O B C H I A D √ 2 a 15 Mặt khác, d(H, (SBC)) = d(A, (SBC)) = d(D, (SBC)) ⇒ d(D, (SBC)) = 3 Gọi O là hình chiếu vuông góc điểm D trên (SBC) √ ’ và DO = d(D, (SBC)) = a 15 Khi đó: α = (SD, SO) = DSO √ a 15 √ DO Xét tam giác SDO vuông O có sin α = = √ = SD a Chọn đáp án C Câu 101 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc ϕ hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC D0 ) A ϕ = 60◦ B ϕ = 30◦ C ϕ = 45◦ D ϕ = 90◦ -Lời giải 0 0 (ABCD) ∩ (ABC D ) = C D Ta có B C ⊥ C D0 BC ⊥ C D0 D A B = 45◦ ÷ Nên góc (ABCD) và (ABC D0 ) là góc ϕ = BC B C A0 B0 D0 C0 Chọn đáp án C √ Câu 102 Cho lăng trụ đứng ABCD.A0 B C D0 có đáy ABCD là hình thoi, AC = 2AA0 = 2a Góc hai mặt phẳng (A0 BD) và (C BD) A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải Gọi I là tâm hình thoi ABCD Th.s Nguyễn Chín Em 303 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (307) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC Và ABCD.A0 B C D0 là lăng®trụ đứng nên AA0 ⊥ BD A0 I ⊥ BD Suy BD ⊥ (ACC A0 ) ⇒ , góc hai mặt phẳng C I ⊥ BD (A0 BD) và (C BD) là góc A0 I và C I Cách 1: Theo giả thiết, các √ tam giác AIA0 và CIC vuông cân A, C 0 nên IA = IC = a Suy IA02 + IC 02 = 6a2 + 6a2 = 12a2 = A0 C 02 ⇒ IA0 ⊥ IB Cách 2: Gọi H là tâm mặt đáy A0 B C D0 thì IH = AA0 = A0 C ⇒ 4IA0 C vuông I, tức là IA0 ⊥ IC Vậy góc hai mặt phẳng (A0 BD) và (C BD) 90◦ B C I A D B0 C0 A0 D0 Chọn đáp án A Câu 103 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình√ thang vuông A và B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), có AB = BC = a, AD = 2a và SA = a Góc hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) A 75◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦ -Lời giải Gọi điểm AD Do đó AE = ED = a, SD = S √ E là trung √ SA2 + AD2 = a Trong mặt phẳng (SAD), gọi F là hình chiếu vuông góc E F lên SD ⇒ EF ⊥ SD Ta có AB ⊥ SA và AB ⊥ AD nên AB ⊥ (SAD) A Mà ABCE là hình vuông nên CE k AB ⇒ CE ⊥ (SAD) E D ⇒ CE ⊥ SD C B Ta có CE ⊥ SD và EF ⊥ SD nên SD ⊥ CF ’ Vậy góc hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) EF C √ √ EF ED ED a a Do 4SAD v 4EF D ⇒ = ⇒ EF = · SA = √ · a = SA SD SD a √ a EC ’ ’ Xét tam giác EF C vuông E ta có tan EF C= = √ = ⇒ EF C = 60◦ EF a 3 Vậy góc hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) 60◦ Chọn đáp án D Câu 104 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Gọi O0 là tâm hình vuông A0 B C D0 và α là góc hai mặt phẳng (O0 AB) và (ABCD) Góc α thỏa mãn 1 A sin α = B tan α = C tan α = D cos α = 2 -Lời giải Gọi O, M là trung điểm AC, AB A0 D0 Ta có AB ⊥ (OM O0 ) ÷ O0 ⇒ góc (O0 AB) và (ABCD) là α = OM O0 a Xét tam giác OM = , OO0 = a B0 C0 OO0 a ⇒ tan α = = a = OM D A M B Th.s Nguyễn Chín Em 304 O C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (308) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C √ Câu 105 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = AD 2, SA⊥ (ABC) Gọi M là trung điểm AB Góc hai mặt phẳng (SAC) và (SDM ) A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 30◦ -Lời giải S A A D M M B B C D C √ √ √ √ a a Đặt AD = a Ta tính AB = a 2, AM = , AC = a 3, DM = √ 2 Ta có: ’= sin BAC BC =√ AC và ÷ cos AM D= AM =√ DM ’ + AM ÷ Suy BAC D = 90◦ , hay DM ⊥ AC Do đó DM ⊥ (SAC), kéo theo (SDM ) ⊥ (SAC) Vậy ((SDM ), (SAC)) = 90◦ Chọn đáp án B Câu 106 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), SA = AB = a, AD = 3a Gọi M là trung điểm BC Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (ABCD) và (SDM ) B C D A 7 7 -Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên DM , ta có DM ⊥ (SAH) ’ Gọi α là góc (SDM ) và (ABCD) ta có α = SHA Å ã √ 3 2 2 Ta có S4ADM = SABCD = a , DM = CD + CM = a + a = 2 √ 13 a √ 2S4ADM 2 13 Ta có AH = = a ·√ a= DM 13 √13 1 SA 13 Ta có tan α = = √ = ⇒ cos α = √ = AH 13 + tan α 13 Vậy cos α = Chọn đáp án B S A B M H D C Câu 107 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, đường cao SA = x Góc (SBC) và mặt đáy 60◦ Tính x √ √ √ a a a A B a C D √ 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 305 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (309) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do SA ⊥ (ABCD) nên SB ⊥ BC Suy góc (SBC) và ’ = 60◦ mặt đáy là SBA Trong tam giác vuông √ SAB ta có x = a · tan 60◦ = a S x D A a O B C Chọn đáp án B Câu 108 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy là tam giác cạnh a Mặt phẳng (P ) cắt các a2 cạnh AA0 , BB và CC A1 , B1 , C1 Biết diện tích tam giác A1 B1 C1 Góc hai mặt phẳng (P ) và (ABC) A 15◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦ -Lời giải Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc tam giác A1 B1 C1 lên mặt phẳng (ABC) B0 C0 Suy SABC = SA1 B1 C1 · cos((ABC), (A B C )) 1 √ A0 a2 ◦ C1 Ta có SABC = a sin 60 = B1 4√ suy cos((ABC), (A1 B1 C1 )) = Vậy góc hai mặt phẳng (P ) và (ABC) 30◦ A1 B C A Chọn đáp án D √ Câu 109 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên 2 Gọi α là góc mặt phẳng √ (SAC) và mặt phẳng (SAB) √ Khi đó cos α √ √ 5 21 A B C D 7 -Lời giải Gọi O = AC ∩ BD Ta có SO ⊥ (ABCD) S Gọi I là® trung điểm AB, kẻ OH ⊥ SI (H ∈ SI) AB ⊥ OI Ta có: ⇒ AB ⊥ (SOI) ⇒ AB ⊥ OH AB ⊥ SO Suy ra: ® OH ⊥ (SAB) BO⊥AC Lại có: ⇒ BO ⊥ (SAC) BO ⊥ SO H ’ Từ đó: α = (OH, BO) = BOH qÄ √ ä √ √ √ B C 2 Ta có: SO = SB − OB = 2 − = I O A √ √ SO · OI 6·1 =√ =√ Xét 4SOI vuông O, đường cao OH ta có: OH = √ 2 6+1 √ SO + OI √ OH 21 ’ = Xét 4BOH vuông H, ta có: cos BOH =√ ·√ = BO 7 √ 21 Vậy cos α = Th.s Nguyễn Chín Em 306 D https://emncischool.wixsite.com/geogebra (310) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu 110 Khẳng định nào sau đây đúng? A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với B Hai mặt phẳng song song và góc chúng 0◦ C Hai đường thẳng không gian cắt và góc chúng lớn 0◦ và nhỏ 90◦ D Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với -Lời giải Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với Chọn đáp án A Câu 111 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với trọng tâm G Cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) góc 30◦ Biết hai mặt phẳng (SBG) và (SCG) cùng vuông góc với mặt phẳng √ (ABC) Tính cosin của√góc hai đường thẳng √ SA và BC √ 15 15 30 15 A B C D 10 20 20 -Lời giải (SBG) ∩ (SCG) = SG Ta có: (SBG) ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ (ABC) S (SCG) ⊥ (ABC) Gọi O, N là trung điểm AC và BC Gọi D là điểm đối xứng B qua O Khi đó ABCD là hình vuông Vì BC k AD nên (SA, BC) = (SA, AD) Gọi ϕ là góc hai đường thẳng SA và AD Đặt AB = BC = x ⇒ AD = x A D G B N O C Ta có √ x2 5x2 x = + = + = ⇒ AN = 4 √ √ 2 x x AG = AN = · = 3 AN AB BN x2 ’ = 30◦ Góc SA và mặt đáy (ABC) là SAG √ AG AG 2x 15 ◦ Ta có cos 30 = ⇒ SA = = SA cos 30◦ Ta có √ √ √ SG x x 15 ◦ ◦ tan 30 = ⇒ SG = AG · tan 30 = · = AG 3 2 √ GD = BD = x 3 SD2 = SG2 + GD2 = 15x2 8x2 87x2 + = 81 81 Áp dụng hệ định lí cosin tam giác SAD ta có: √ SA2 + AD2 − SD2 15 cos SAD = = · SA · AD 10 Chọn đáp án A √ Câu 112 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = a cosin góc hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là −2 1 A √ B √ C − √ D √ 5 5 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 307 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (311) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm BC Kẻ AK®⊥ SM K BC ⊥ AM Ta có ⇒ BC ⊥ (SAM ) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM ) BC ⊥ SA Lại có AK ⊥ SM = (SBC) ∩ (SAM ) Do đó AK ⊥ (SBC) ⇒ AK ⊥ SB Kẻ AH ⊥ SB H Suy SB ⊥ (AHK) ⇒ SB ⊥ HK S K A C M H B (SAB) ∩ (SBC) = SB ÷ Ta có AH ⊥ SB ⇒ ((SAB), (SBC)) = (AH, HK) = AHK HK ⊥ SB √ SA · AB a SA · AB =√ = Xét 4SAB có AH = SB SA2 + AB √ √ AB a AM = = 2 √ 1 a 15 Xét 4SAM có = + ⇒ AK = AK AS AM √ √ » AK ÷ = − sin2 AHK ÷= ÷ = = ⇒ cos AHK Xét 4AHK vuông K có sin AHK AH 5 √ Vậy cos((SAB), (SBC)) = Chọn đáp án D Câu 113 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Tam giác SAB cân S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ , gọi M là trung điểm BC Gọi α là góc đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC) Tính cos α √ √ 3 A cos α = B cos α = C cos α = √ D cos α = √ 3 10 10 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB suy SH ⊥ AB, vì (SAB) ⊥ (ABC), suy SH ⊥ (ABC) (1) Từ (1) suy HM là hình chiếu vuông góc SM lên mặt phẳng (ABC), suy ÷ (SM, (ABC)) = (SM, HM ) = SM H = α (2) √ a 3a Ta có CH = ⇒ SH = CH · tan 60◦ = 2 √ a a 10 HM = AC = ⇒ SM = 2 HM Vậy cos α = =√ SM 10 S H A B M C Chọn đáp án D Câu 114 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD), SA = 2a Tính tan góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) √ √ A B C √ D √ 5 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 308 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (312) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Trong tam giác ABD, kẻ đường cao AH, với H ∈ BD Khi đó ta có ® AH ⊥ BD ⇒ SH ⊥ BD SA ⊥ BD S Suy ’ ((SBD), (ABCD)) = SHA (1) A 1 2a = + = ⇒ AH = √ 2 AH AB AD 4a √ SA ’= Vậy tan SHA = AH Mà B H D C Chọn đáp án B Câu 115 Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông B, BC = a Hai ’ = 45◦ Tính cos ASB ’ mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với góc 60◦ và góc BSC √ √ … ’ = ’ = ’ = √1 ’ = B cos ASB C cos ASB D cos ASB A cos ASB -Lời giải Kẻ BH ® ⊥ AC Kẻ HO ⊥ SC BH ⊥ AC Do ⇒ BH ⊥ SC S BH ⊥ SA (SA ⊥ (ABC)) ® OH ⊥ SC Vì ⇒ BO ⊥ SC BH ⊥ SC SC = (SAC) ∩ (SBC) Vậy OH ⊥ SC, OH ⊂ (SAC) O BO ⊥ SC, BO ⊂ (SBC) H ’ = 60◦ ⇒ ((SAC), (SBC)) = (BO, OH) = BOH A C B ® Ta có CB ⊥ AB CB ⊥ SA ⇒ CB ⊥ SB nên 4SBC vuông B, đó SB = BC · tan 45◦ = a √ 1 a Xét 4SBC vuông B, có BO là đường cao nên = + = ⇒ OB = BO2√ SB a √2 BC √2 a a · = Xét 4BHO vuông H, ta có BH = BO · sin 60◦ = 2 Xét 4ABC vuông B, có BH là đường cao, ta có 1 1 1 3a2 = + ⇒ = − = − = ⇒ AB = BH AB BC AB BH BC 3a2 a2 3a2 √ … SB Xét 4SAB vuông A, ta có SA = √ 10 … a SA ’ Khi đó cos ASB = = = SB a Chọn đáp án B − AB = a2 √ 3a2 a 10 − = 5 Câu 116 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (ADC D0 ) và (BCD0 A0 ) là A 30◦ B 45◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 309 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (313) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Ta có: Chương - Hình học 11 AB ⊥ A0 B AB ⊥ A0 D0 ⇒ AB ⊥ (CBA0 D0 ) ⇒ (ADC B ) ⊥ (CBA0 D0 ) Vậy góc hai mặt phẳng (ADB C ) và (BCA0 D0 ) là 90◦ D0 A0 B0 C0 D A B C Chọn đáp án C ’ = 60◦ Biết các cạnh SA, Câu 117 Cho hình√chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD a SB, SD Gọi góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là ϕ Tính sin ϕ? √ √ √ 30 A √ B C D 6 -Lời giải Gọi O là trung điểm AC và BD S ⇒ SO ⊥ BD và AO ⊥ BD (do 4SBD cân S và 4ABD cân √ A) ⇒ ϕ = ((SBD), (ABCD)) = (SO, AO) a ’ = 60◦ nên 4ABD Mặt khác 4ABD cân và có BAD √ √ BD a a Suy OB = OD = = và AO = AB = 2 2 Mà 4SOB vuông O, suy C D Ã Ç √ å2 √ p a a a O SO = SB − OB = − = 2 B A a ’= ⇒ cos AOS OA2 OS SA2 … √ + − · OA · OS ’= ⇒ sin ϕ = sin AOS = 3a2 a2 3a2 + − = √ √4 = √ a a 2· · 2 30 (do ϕ = (OA, OS)) Chọn đáp án B Câu 118 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh a Tính cô-sin góc tạo hai đường thẳng BC và AB √ 2 A B C D 4 -Lời giải Ta thấy (AB , BC) = (AB , B C ) A0 Ta có C0 B 0C ÷ cos(AB , BC) = cos AB = = AB 02 + B C 02 − AC 02 2AB · B C √ Chọn đáp án D A C B Câu 119 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Gọi ϕ là góc tạo mặt bên và √ mặt đáy hình chóp Giá trị cos ϕ là 1 A B √ C √ D 3 Th.s Nguyễn Chín Em 310 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (314) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD Gọi I là trung điểm CD ‘ Khi đó, mặt bên (SCD) và (ABCD) là SIO góc a OI = ‘ = OI = √1 √ ⇒ cos ϕ = cos SIO Ta có a SI SI = S A D O B I C Chọn đáp án C Câu 120 Cho hình chóp tứ giác đều, biết hai mặt bên đối diện tạo với góc 60◦ , tính góc mặt bên và mặt đáy hình chóp A 45◦ B 60◦ C 60◦ 30◦ D 30◦ -Lời giải Ta có hai cặp mặt phẳng đối diện là (SAB), (SCD) và (SAD), S (SBC) Vì S.ABCD là hình chóp nên góc cặp mặt phẳng (SCD) và (SAD) góc cặp mặt phẳng (SAD), (SBC) Gọi α là góc cặp mặt phẳng đối diện (SAB), (SCD) Gọi O = AC ∩ BD, M , N là trung điểm các cạnh AB ÷ ÷ và CD Vậy α = M SN α = 180◦ − M SN A M D O B N C ’ Góc mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) là góc SN O ÷ ’ = 30◦ ⇒ SN ’ M SN = α = 60◦ Tam giác SM N cân S, suy OSN O = 60◦ ÷ ’ = 60◦ ⇒ SN ’ 180◦ − M SN = α = 60◦ Tam giác SM N cân S, suy OSN O = 30◦ Chọn đáp án C √ Câu 121 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a và cạnh bên a Gọi (P ) là mặt phẳng qua A và vuông √ góc với SC Gọi β là góc √ tạo (P ) và (ABCD) √ Tính tan β √ 6 A tan β = B tan β = C tan β = D tan β = 3 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD S Vì S.ABCD là hình chóp nên SO ⊥ (ABCD) √ Do √ ABCD là hình vuông cạnh 2a ⇒ AC = 2a và OC = a √ Tam giác √ SOC vuông √ O a √ ⇒ SO ®= SC − OC = 5a2 − 2a2 = a D A SC ⊥ (P ) Ta có SO ⊥ (ABCD) O 2a ⇒ góc (P ) và (ABCD) góc SC và SO ’ B C hay β = (SC; SO) = CSO √ √ ’ = OC = a√3 = Tam giác SOC vuông O ⇒ tan β = tan CSO SO a Chọn đáp án B Câu 122 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a Góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) A 30◦ B 90◦ C 60◦ D 45◦ Th.s Nguyễn Chín Em 311 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (315) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) Do SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mà tam giác ABC có BD là đường trung trực AC nên H ∈ BD Do SH ⊂ (SBD) và SH ⊥ (ABCD) nên (SBD) ⊥ (ABCD) Suy góc (SBD) và (ABCD) 90◦ S A B H D C Chọn đáp án B Câu 123 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) 60◦ Đô dài cạnh SA √ 3a a a A B C a D √ 2 -Lời giải Gọi H là trung điểm BC Khi đó, ta có AH ⊥ BC và SH ⊥ BC ’ = 60◦ Suy ((SBC), (ABC)) = SHA √ a Do tam giác ABC cạnh a nên AH = √ a √ 3a Vậy SA = AH · tan 60◦ = · 3= 2 S A C 60◦ H B Chọn đáp án A Câu 124 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có thể tích 27 Một mặt phẳng (α) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60◦ và cắt các cạnh AA0 , BB , CC , DD0 M, N, P, Q Tính diện tích tứ giác M N P Q √ √ 9 A B C 18 D 2 -Lời giải Đặt AB = a ⇒ VABCD.A0 B C D0 = a3 = 27 ⇔ a = a2 SABCD = 2a2 = 18 Ta có SABCD = SM N P Q · cos 60◦ ⇒ SM N P Q = = cos 60◦ D0 A0 C0 Q B0 D M P C N A Chọn đáp án C B Câu 125 Cho tứ diện ABCD có cạnh a, gọi G là trọng tâm tam giác ABC Cắt tứ diện mặt phẳng (GCD) thiết diện có diện tích là √ √ √ √ a2 a2 a2 a2 A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 312 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (316) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 CG cắt AB I là trung điểm AB Thiết diện là tam giác cân ICD √ a Ta có IC = ID = Gọi E là trung điểm CD … suy √ 2 √ 3a a a IE = IC − EC = − = 4√ 2√ a a2 ·a= SICD = M H · CD = · 2 A I G B C E D Chọn đáp án D Câu 126 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a (tham khảo hình bên) Góc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ S A B D C -Lời giải Vì (SAB) và (SCD) có S chung, AB và CD song song nên giao tuyến (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx qua S và song song với AB (song song với CD) Ta lại có SA ⊥ AB nên SA ⊥ Sx; SD ⊥ DC (do CD ⊥ SA và CD ⊥ AD) nên SD ⊥ Sx ’ = 45◦ Vậy ((SAB), (SCD)) = (SA, SD) = ASD S x A B D C Chọn đáp án D √ Câu 127 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc và OB = OC = a 6, OA = a Tính góc hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải √ Gọi M là trung điểm BC, từ OB = OC = a 6, ta có OM ⊥ BC A Từ OA ⊥ OB và OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC ® OA ⊥ BC Từ ⇒ BC ⊥ (OAM ) Từ đây suy góc hai mặt OM ⊥ BC phẳng (ABC) và (OBC) góc hai đường thẳng AM , OM và ÷ góc OM A √ 1 √ √ Ta có OM = BC = · a · = a O C 2 M √ B OA a ÷ = √ = ⇒ OM A = 30◦ OM a Vậy, góc hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) 30◦ ÷ Xét tam giác OAM vuông O, ta có tan OM A= Th.s Nguyễn Chín Em 313 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (317) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 128 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với trọng tâm G Cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) góc 30◦ Biết hai mặt phẳng (SBG) và (SCG) cùng vuông góc với mặt phẳng √ (ABC) Tính cosin của√góc hai đường thẳng √ SA và BC √ 15 30 15 15 A B C D 10 20 20 -Lời giải (SBG) ∩ (SCG) = SG Ta có: (SBG) ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ (ABC) S (SCG) ⊥ (ABC) Gọi O, N là trung điểm AC và BC Gọi D là điểm đối xứng B qua O Khi đó ABCD là hình vuông Vì BC k AD nên (SA, BC) = (SA, AD) Gọi ϕ là góc hai đường thẳng SA và AD Đặt AB = BC = x ⇒ AD = x A D G B Ta có O C N √ x2 5x2 x = + = + = ⇒ AN = 4 √ √ 2 x x AG = AN = · = 3 AN AB BN x2 ’ = 30◦ Góc SA và mặt đáy (ABC) là SAG √ AG AG 2x 15 ◦ Ta có cos 30 = ⇒ SA = = SA cos 30◦ Ta có √ √ √ SG x x 15 tan 30◦ = ⇒ SG = AG · tan 30◦ = · = AG 3 √ GD = BD = x 3 SD2 = SG2 + GD2 = 15x2 8x2 87x2 + = 81 81 Áp dụng hệ định lí cosin tam giác SAD ta có: √ 2 SA + AD − SD 15 cos SAD = = · SA · AD 10 Chọn đáp án A √ Câu 129 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = a cosin góc hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là −2 1 A √ B √ C − √ D √ 5 5 -Lời giải Gọi M là trung điểm BC S Kẻ AK®⊥ SM K BC ⊥ AM Ta có ⇒ BC ⊥ (SAM ) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM ) BC ⊥ SA Lại có AK ⊥ SM = (SBC) ∩ (SAM ) K Do đó AK ⊥ (SBC) ⇒ AK ⊥ SB Kẻ AH ⊥ SB H A C Suy SB ⊥ (AHK) ⇒ SB ⊥ HK M H B Th.s Nguyễn Chín Em 314 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (318) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 (SAB) ∩ (SBC) = SB ÷ Ta có AH ⊥ SB ⇒ ((SAB), (SBC)) = (AH, HK) = AHK HK ⊥ SB √ a SA · AB SA · AB = Xét 4SAB có AH = =√ SB SA2 + AB √ √ a AB = AM = 2 √ 1 a 15 Xét 4SAM có = + ⇒ AK = AK AS AM √ √ » AK 5 2÷ ÷ ÷ Xét 4AHK vuông K có sin AHK = = ⇒ cos AHK = − sin AHK = AH 5 √ Vậy cos((SAB), (SBC)) = Chọn đáp án D Câu 130 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Tam giác SAB cân S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ , gọi M là trung điểm BC Gọi α là góc đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC) Tính cos α √ √ 3 A cos α = D cos α = √ B cos α = C cos α = √ 3 10 10 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB suy SH ⊥ AB, vì (SAB) ⊥ (ABC), suy S SH ⊥ (ABC) (1) Từ (1) suy HM là hình chiếu vuông góc SM lên mặt phẳng (ABC), suy ÷ (SM, (ABC)) = (SM, HM ) = SM H = α (2) √ a 3a Ta có CH = ⇒ SH = CH · tan 60◦ = 2 √ a a 10 HM = AC = ⇒ SM = 2 HM =√ Vậy cos α = SM 10 H A B M C Chọn đáp án D Câu 131 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD), SA = 2a Tính tan góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) √ √ B C √ D √ A 5 -Lời giải Trong tam giác ABD, kẻ đường cao AH, với H ∈ BD Khi đó ta có S ® AH ⊥ BD ⇒ SH ⊥ BD SA ⊥ BD Suy ’ ((SBD), (ABCD)) = SHA (1) A 1 2a = + = ⇒ AH = √ AH AB AD2 4a √ SA ’ Vậy tan SHA = = AH Mà H D Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em B C 315 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (319) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 132 Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông B, BC = a Hai ◦ ’ 45◦ Tính cos ASB ’ mặt phẳng (SCA)√và (SCB) hợp với … góc 60 và góc BSC = √ ’ = ’ = ’ = ’ = √1 A cos ASB B cos ASB C cos ASB D cos ASB -Lời giải Kẻ BH ® ⊥ AC Kẻ HO ⊥ SC BH ⊥ AC Do ⇒ BH ⊥ SC S BH ⊥ SA (SA ⊥ (ABC)) ® OH ⊥ SC Vì ⇒ BO ⊥ SC BH ⊥ SC SC = (SAC) ∩ (SBC) Vậy OH ⊥ SC, OH ⊂ (SAC) O BO ⊥ SC, BO ⊂ (SBC) H ’ = 60◦ ⇒ ((SAC), (SBC)) = (BO, OH) = BOH A C B ® Ta có CB ⊥ AB CB ⊥ SA ⇒ CB ⊥ SB nên 4SBC vuông B, đó SB = BC · tan 45◦ = a √ 1 a = + = ⇒ OB = Xét 4SBC vuông B, có BO là đường cao nên BO2√ SB a √2 BC √2 a a Xét 4BHO vuông H, ta có BH = BO · sin 60◦ = · = 2 Xét 4ABC vuông B, có BH là đường cao, ta có 1 1 1 3a2 = + ⇒ = − = − = ⇒ AB = BH AB BC AB BH BC 3a2 a2 3a2 … √ √ 3a a 10 Xét 4SAB vuông A, ta có SA = SB − AB = a2 − = 5 √ 10 … a SA ’ Khi đó cos ASB = = = SB a Chọn đáp án B Câu 133 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (ADC D0 ) và (BCD0 A0 ) là A 30◦ B 45◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải ® AB ⊥ A0 B Ta có: D0 A0 AB ⊥ A0 D0 ⇒ AB ⊥ (CBA0 D0 ) ⇒ (ADC B ) ⊥ (CBA0 D0 ) B0 Vậy góc hai mặt phẳng (ADB C ) và (BCA0 D0 ) là 90◦ C0 D A B Chọn đáp án C C ’ = 60◦ Biết các cạnh SA, Câu 134 Cho hình√chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD a SB, SD Gọi góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là ϕ Tính sin ϕ? √ √ √ 30 A √ B C D 6 Th.s Nguyễn Chín Em 316 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (320) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi O là trung điểm AC và BD ⇒ SO ⊥ BD và AO ⊥ BD (do 4SBD cân S và 4ABD cân A) ⇒ ϕ = ((SBD), (ABCD)) = (SO, AO) ’ = 60◦ nên 4ABD Mặt khác 4ABD cân và có BAD √ √ BD a a Suy OB = OD = = và AO = AB = 2 2 Mà 4SOB vuông O, suy Ã Ç √ å2 √ p a a a 2 SO = SB − OB = − = 2 ’= ⇒ cos AOS OA2 OS SA2 … √ + − · OA · OS ’= ⇒ sin ϕ = sin AOS = S √ a C D O B A a 3a2 a2 3a2 + − = √ √4 = √ a a 2· · 2 30 (do ϕ = (OA, OS)) Chọn đáp án B Câu 135 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (DA0 B ) và (DC B ) A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Không tính tổng quát, giả sử cạnh hình √ lập phương √ a Dễ thấy A0 B = B C = a, A0 D = C D = a 2, B D = a Ta có A0 C ⊥ (BDD0 B ) nên A0 C ⊥ B D Kẻ A0 H ⊥ B D thì B D ⊥ (A0 HC ), B D ⊥ C H Khi đó góc hai mặt phẳng (DA0 B ) và (DC B ) góc hai đường thẳng A0 H và C H Xét tam giác A0 HC ta có √ √ A0 D · A0 B a 0 0 A C = a 2, A H = C H = = B0D A0 H + C H − A0 C 02 HC = HC = 120◦ ÷ ÷ Vậy cos A =− ⇒A 2A0 H · C H Vậy góc hai mặt phẳng (DA0 B ) và (DC B ) 60◦ B A D C H B0 A0 D0 C0 Chọn đáp án C Câu 136 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm nằm trên đoạn thẳng BC Mặt phẳng √ (SAB) tạo với (SBC) góc 60◦ và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) góc ϕ thỏa mãn cos ϕ = Gọi α là góc tạo SA và mặt phẳng (ABC), tính tan α √ A √ B C D √ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 317 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (321) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dựng hình chữ nhật HN AM , suy 4HN C vuông cân N và 4HM B vuông cân M , suy AC ⊥ (SHN ) và AB ⊥ (SHM ) Kẻ HE ⊥ SB và HF ⊥ SC, HP ⊥ SN và HK ⊥ SM , suy HP ⊥ (SAC), HK ⊥ (SAB) √ … ’ Ta có HF P = α, cos α = , suy sin α = ÷ là góc (SAB) và (SBC) 60◦ Suy HEK … SH · HN SC SC HP √ = = · = sin α = HF SN SH · HC √ SN SB SB ÷ = HK = SH · M H · √ = sin HEK = HE SM SH · BH SM S P K F N A C E M H B SH + 2N H SH + HC SC ® = = = 3SH = N H 2 2 SH + HN SH + N H SN Suy ⇔ ⇔ 2 2 SH = M H SB = SH + BH = SH + 2M H = SM 2 SH + M H SH + M H 2 ⇒ M H + N H = 4SH AH Suy AH = 4SH ⇒ tan(SA, (ABC)) = = SH Chọn đáp án C √ Câu 137 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = 3a, AD = a 3, AA0 = 2a Góc đường thẳng AC với mặt phẳng (A0 B C ) A 60◦ B 45◦ C 120◦ D 30◦ -Lời giải Vì AA0 ⊥ (A0 B C ) A0 ÷ ⇒ (AC , (A0 B C )) = (AC , A0 C ) = AC Xét 4A0 B C vuông B , ta có p p √ A0 C = A0 B 02 + B C 02 = 9a2 + 3a2 = 2a A B C D Xét 4AA0 C vuông A0 , ta có √ AA0 2a 0 A0 = 30◦ ÷ ÷ tan AC A = 0 = √ = ⇒ AC AC 2a A0 B0 A0 = 30◦ ÷ Vậy (AC , (A0 B C )) = AC D0 Chọn đáp án D C0 Câu 138 Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Biết AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Tìm giá trị x theo a để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với √ √ a a a a A B C D 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 318 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (322) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có AC = AD = BC = BD = a, suy 4ACD, 4BCD, 4CAB, 4DAB cân Gọi M là trung điểm CD, suy AM ⊥ CD và BM ⊥ CD Suy AM ⊥ M B và 4ABM vuông cân M √ Ta có M D = M C = x, suy AM = AB = a2 − √ x2 AM a2 − x2 √ Gọi I là trung điểm AB, suy IM = √ = 2 Mặt khác, (ABC) ⊥ (ABD) nên 4ICD vuông I a2 + x2 Suy ID2 = IC = √ a Ta có IC + ID2 = CD2 ⇔ a2 + x2 = 4x2 ⇔ x = Chọn đáp án C A I C M D B Câu 139 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M , N là trung điểm cạnh AC và B C 0 0 Tính giá trị sin α Gọi α là góc hợp √ đường thẳng M N và mặt phẳng (A B C D ) √ 2 A sin α = C sin α = B sin α = √ D sin α = 2 -Lời giải Giả sử hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh là a Gọi H là trung A0 D0 điểm BC, ta có N H k BB ⇒ N H ⊥ (ABCD) Lại có (A0 B C D0 ) k (ABCD), tam giác HM N vuông H nên N ÷ B0 C0 (M N, (A0 B C D0 )) = (M N, (ABCD)) = (M N, M H) = N M H = α sin α = a NH NH √ =… = =√ MN N H2 + M H2 a2 a2 + D A M B Chọn đáp án B H C ’ = BCD ’ = ADC ’ = 90◦ , góc hai đường Câu 140 Cho khối tứ diện ABCD có BC = 3, CD = 4, ABC ◦ thẳng AD góc hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) √ √ và BC 60 Côsin √ √ 43 43 43 43 A B C D 86 43 43 43 -Lời giải Dựng điểm E mặt phẳng (BCD) cho BCDE là hình bình hành A ’ = 90◦ suy BCDE là hình chữ nhật Từ giả thiết BCD Ta có AB ⊥ BC ⇒ ED ⊥ AB, mà ED ⊥ EB suy DE ⊥ AE Tương tự ta có BE ⊥ AE nên AE ⊥ (BCDE) ’ = 60◦ , tam giác AED vuông E Lại có (AD, BC) = (AD, ED) = ADE H nên √ ’ = BC tan 60◦ = 3 AE = DE tan ADE B K E Gọi H, K là hình chiếu vuông góc E trên AB, AD Khi đó ® BC ⊥ BE D C ⇒ BC ⊥ (AEB) ⇒ EH ⊥ BC BC ⊥ AE Mà EH ⊥ AB ⇒ EH ⊥ (ABC) Tương tự EK ⊥ (ACD) √ Do đó ((ABC), (ACD)) = (EH, EK) Tam giác√AEB vuông E, đường cao EH có AE = 3, EB = √ AE 27 12 nên AB = 43, AH = = √ , EH = √ AB 43 43 √ 3 Tương tự với tam giác vuông AED, ta có AD = 6, AK = , EK = 2 √ 2 ’ = AB + AD − BD = 43 Tam giác ABD có cos BAD 2AB · AD 86 2025 2 ÷ Mặt khác HK = AH + AK − 2AH · AK · cos HAK = 172 Th.s Nguyễn Chín Em 319 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (323) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ EH + EK − HK 2 43 ÷ Tam giác EHK có cos HEK = = 2EH · EK 43 √ 43 Vậy cos((ABC), (ACD)) = cos(EH, EK) = 43 Chọn đáp án C Câu 141 Cho hình lập phương ABCDA0 B C D0 Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (A0 BD) và (ABC) Tính tan ϕ … … √ A tan ϕ = √ B tan ϕ = C tan ϕ = D tan ϕ = 2 -Lời giải A0 Gọi cạnh hình lập phương là a, tâm đáy là O (A DB) ∩ (ABC) = DB Ta có OA0 ⊥ DB OA ⊥ DB 0 OA ’ ⇒ ((A BD), (ABC)) = (OA0 , OA) = A OA = ’ tan ϕ = tan A B0 D0 √ AA0 a = √ = OA a 2 C0 A B O D C Chọn đáp án B Câu 142 Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a Gọi M là trung điểm SC Tính góc ϕ hai mặt phẳng (M BD) và (ABCD) A ϕ = 60◦ B ϕ = 30◦ C ϕ = 45◦ D ϕ = 90◦ -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD Khi đó SO ⊥ (ABCD) S Vì BD ⊥ SO và BD ⊥ AC nên BD ⊥ (SAC) Suy BD ⊥ OM Lại có OC ⊥ BD và (M BD) ∩ (ABCD) = BD Vậy góc (M BD) và (ABCD)√bằng góc OM và OC a a M Ta có OM = CM = và OC = 2 a2 Trong tam giác OM C có OM + CM = = OC A D Vậy tam giác OM C vuông cân M O B ÷ = 45◦ hay ϕ = 45◦ Do đó góc tạo OM và OC COM Chọn đáp án C C ’ = 30◦ Tam giác SAC là tam giác Câu 143 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B và ACB và thuộc mặt phẳng vuông góc với (ABC) Xét điểm M thuộc cạnh SC cho mặt phẳng (M AB) MS tạo với hai mặt phẳng (SAB); (ABC) góc Tỉ số có giá trị M C √ √ √ A B C D 2 -Lời giải Gọi H là trung điểm AC, suy SH ⊥ (ABC) Gọi N là trung điểm AB, suy AB ⊥ (SHN ) ( ÷ ((ABM ), (ABC)) = HN K Lấy K là giao điểm AM , SH Do đó ’S ((ABM ), (SAB)) = KN ’ Theo giả thiết, N K là phân giác SN H Th.s Nguyễn Chín Em 320 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (324) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ Giả sử AB = ⇒ BC = √3 ⇒ AC = ⇒ SH = 3 Mặt khác HN = BC = 2 √ √ √ 15 KH HN 2 Ta có SN = HN + SH = ⇒ = = (tính chất KS SN phân giác) Gọi E là trung điểm CM , theo định lí Ta-lét thì √ ME KH MC 2M E MS = =√ ⇒ = =√ ⇒ = MS KS MS MS MC 5 S M K E H A C N B Chọn đáp án A Câu 144 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, BC = Tam giác SAC nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA Côsin góc giữa√hai mặt phẳng (SAB) và √ (SAC) √ √ 17 34 34 34 A B C D 17 34 17 17 -Lời giải Xét 4ABC vuông B√ta có √ S AC = AB + BC = 32 + 42 = Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA Xét 4CAK vuông √ K ta có √ AK = CA2 − CK = 52 − 42 = K Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC Vì (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ∩ (ABCD) = AC nên SA ⊥ (ABCD) M Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC và KP//SH, P ∈ AC thì KP ⊥ (ABCD) D A P H C B Xét 4BAC vuông B và 4KAC vuông K ta thấy các cạnh tương ứng và KP là đường cao 4KAC nên BP là đường cao 4BAC Kẻ P M ⊥ KA, M ∈ KA Vì KA ⊥ P B và KA ⊥ P M nên KA ⊥ (P M B) Suy KA ⊥ M B ÷ Như vậy, góc mặt phẳng (SAC) và (SAB)bằng góc P M B KA · KC 3·4 12 = = Xét 4KAC vuông K ta có KP · AC = KA · KC ⇒ KP = AC 5 12 Suy BP = KP = Å ã2 √ 12 2 Xét 4KP A vuông P ta có P A = KA − KP = − = 5 PA · PK 36 Lại có P M · AK = P A · P K ⇒ P M = = AK 25 √ Å ã2 Å ã2 √ 12 36 12 34 2 Xét 4P M B vuông P ta có M B = P B + P M = + = 25 25 √ MP 36 25 34 ÷ Ta có cos P MB = = · √ = MB 25 12 34 34 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 321 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (325) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 145 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD), SA = hai mặt phẳng (SBC) và (SCD), giá trị cos α A B C √ 3AB Gọi α là góc D -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD Kẻ OM ⊥ SC, suy DB ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BDM ) ÷ Góc α bù với DM B với BM = S SB · BC = 2 SB + BC Xét tam giác BM D, có M 1 ÷ ÷ B = cos DM B = − < ⇒ cos α = cos DM 4 A D O B C Chọn đáp án A Câu 146 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (ABCD) và (A0 B C D0 ) bao nhiêu? A 45◦ B 90◦ C 0◦ D 60◦ -Lời giải Hai mặt phẳng (ABCD) và (A0 B C D0 ) song song nên góc chúng 0◦ Chọn đáp án C Câu 147 Cho tứ diện ABCD có (ACD) ⊥ (BCD), AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Với giá trị nào x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau? √ √ √ √ a a a a A B C D 3 -Lời giải Gọi H là trung điểm CD và E là trung điểm AB Do AC = AD = BC = BD = a nên CE ⊥ AB và DE ⊥ AB ’ Suy ((ABC), (ABD)) = CED ’ = 90◦ ⇔ EH = CD = x (1) CED Ta có BH ⊥ CD (do BC = BD = a), suy BH ⊥ (ACD) (do (ACD) ⊥ (BCD)) Suy BH ⊥ AH√⇒ 4ABH vuông cân H √ BH a2 − x2 √ Do đó EH = = (2) 2 Từ √ (1) và (2), ta có phương trình √ a2 − x2 a 2 √ = x ⇔ a − x = 2x ⇔ x = A E C B H a x D Chọn đáp án B Câu 148 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (BCD0 A0 ) và (ABCD) A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 322 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (326) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 (BCD0 A0 ) ∩ (ABCD) = BC BC ⊥ (ABB A0 ) Ta có (BCD0 A0 ) ∩ (ABB A0 ) = A0 B (ABCD) ∩ (ABB A0 ) = AB Nên suy D0 A0 B0 C0 ((BCD0 A0 ), (ABCD)) = (AB; A0 B) = 45◦ A D B C Chọn đáp án A Câu 149 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Góc hai mặt phẳng (A0 B CD) và (ACC A0 ) A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 75◦ -Lời giải Gọi α là hai mặt phẳng (A0 B CD) và ® (ACC A0 ) ® góc 0 0 AD0 ⊥ A0 D BD ⊥AC D ⊥ (ACC A0 ); ⇒ B ⇒ AD0 ⊥ Ta có AD0 ⊥ CD B D0 ⊥ AA0 (A0 B CD) Suy góc hai mặt phẳng (A0 B CD) và (ACC A0 ) chính là góc AD0 và B D0 √ Xét tam giác AD0 B có AD0 = B D0 = B A = a Suy tam giác AD0 B là tam giác Vậy α = 60◦ A0 D0 B0 C0 A D B C Chọn đáp án A Câu 150 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy 2a, cạnh bên 3a Gọi α là góc mặt bên và mặt đáy Tính cos α √ √ √ √ 10 14 A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = 10 -Lời giải Xét hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh bên 3a, cạnh đáy 2a Gọi O ® là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm BC OM ⊥ BC Ta có ⇒ góc mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là α = SM ⊥ BC ’ SM O p √ √ Ta có SM = SC − M C = (3a)2 √ − a2 = 2a, OM = a OM a Do ta có cos α = = √ = SM 2a S D A Chọn đáp án A C M O B Câu 151 Cho hình chóp tứ giác có tất các cạnh a Tính cô-sin góc hai mặt bên không liền kề 1 A B √ C D 3 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 323 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (327) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có giao tuyến (SAB) và (SCD) là đường thẳng d qua điểm S và song song với AB Gọi M , N là trung điểm AB và CD Tam giác SAB cân S nên SM ⊥ CD ⇒ SM ⊥ d Tương tự, SN ⊥ d Do đó, góc tạo hai mặt bên (SAB) và (SCD) là góc tạo hai đường thẳng √ SM và SN a Ta tính SM = SN = , M N = a và S d A D M N B ÷ cos M SN = SM SN MN2 + − 2SM · SN C 3a2 3a2 + − a2 4 √ √ = > = a a 2· · 2 ÷ Vậy cos ((SAB), (SCD)) = cos(SM, SN ) = cos M SN = Chọn đáp án A √ a Câu 152 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = Tính góc SC và (ABCD) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 30◦ -Lời giải Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc ’ SC lên (ABCD), suy góc √ SC và (ABCD) là SCA ’ = SA = ⇒ SCA ’ = 30◦ Do đó tan SCA AC S B A D C Chọn đáp án A Câu 153 Có khối đá trắng hình lập phương sơn đen toàn mặt ngoài Người ta xẻ khối đá đó thành 125 khối đá nhỏ và là hình lập phương Hỏi có bao nhiêu khối đá nhỏ mà không có mặt nào bị sơn đen? A 45 B 48 C 36 D 27 -Lời giải Ta có 125 − (2 · 25 + · 16) = 27 Chọn đáp án D ’ = 120◦ Câu 154 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC 0 và cạnh bên BB = a Tính cô-sin góc hai mặt phẳng (ABC) và (AB I), với I là trung điểm CC √ √ √ √ 30 10 30 A B C D 10 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 324 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (328) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi α là góc hai mặt phẳng (ABC) và (AB I) √ 1 a2 ◦ ’ Ta có SABC = AB · AC · sin BAC = a · a · sin 120 = 2 Xét tam giác ABC, » ’ BC = AB + AC − 2AB · AC · cos BAC p √ = a2 + a2 − 2a · a cos 120◦ = a C0 A0 B0 I Mặt khác, √ √ AA02 + A0 B 02 = a2 + a2 = a … a 2 a √ √ 2 AI = AC + CI = a + = 2 … a 2 a√13 √ 0 02 2 B I = B C + C I = 3a + = 2 AB = √ A C B 5a2 13a2 = = B I nên 4AB I vuông A 4 √ √ 1 √ a a2 10 Ta có SAB I = AB · AI = a · = 2 Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc tam giác AB I trên (ABC), suy Mà AB 02 + AI = 2a2 + SABC = SAB I · cos α ⇔ cos α = SABC SAB I √ a2 √ 30 = 2√ = 10 a 10 Chọn đáp án D Câu 155 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (A0 B CD) và (CDD0 C ) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Ta thấy (A0 B CD) ∩ (CDD0 C ) = CD, B C ⊥ CD, CC ⊥ CD nên góc hai mặt phẳng (A0 B CD) và (C CDD0 ) là góc B C và CC là CC = 45◦ ÷ B D0 A0 B0 C0 D A B C Chọn đáp án C Câu 156 Cho lăng trụ ABC.A0 B C Góc hai mặt phẳng (ABB A0 ) A 30◦ có đáy ABC là tam giác cạnh a và A0 A = A0 B = A0 C √ a 15 = và (ABC) B 45◦ C 60◦ D 75◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 325 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (329) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm AB, H là trọng tâm tam giác ABC Khi đó A0 H ⊥ (ABC) và (A0 HM ) ⊥ AB ÷ Suy ((ABB A0 ); (ABC)) √ = A M H √ CM a a Ta có M H = = và CH = 2M H = , √ √ a suy A0 H = A0 C − CH = AH 0M H = ÷ Xét 4A0 M H, ta có tan A = MH 0 ◦ Vậy ((ABB A ); (ABC)) = 45 A0 C0 B0 A C M H B Chọn đáp án B Câu 157 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (ABB A0 ) và (ACC A0 ) là A 45◦ B 90◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải 0 0 (ABB A ) ∩ (ACC A ) = AA Ta có A0 C ⊥ AA0 0 A B ⊥ AA0 A0 B0 D0 A0 C = 45◦ ◊ ⇒ [(ABB A0 ), (ACC A0 )] = B C0 A B D C Chọn đáp án A Câu 158 Cho hình lập phương ABCDA0 B C D0 Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (A0 BD) và (ABC) Tính tan ϕ … … √ A tan ϕ = √ D tan ϕ = B tan ϕ = C tan ϕ = 2 -Lời giải A0 Gọi cạnh hình lập phương là a, tâm đáy là O (A DB) ∩ (ABC) = DB Ta có OA0 ⊥ DB OA ⊥ DB 0 OA ’ ⇒ ((A BD), (ABC)) = (OA0 , OA) = A OA = ’ tan ϕ = tan A B0 D0 √ AA0 a = √ = OA a 2 C0 A B O D C Chọn đáp án B Câu 159 Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a Gọi M là trung điểm SC Tính góc ϕ hai mặt phẳng (M BD) và (ABCD) A ϕ = 60◦ B ϕ = 30◦ C ϕ = 45◦ D ϕ = 90◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 326 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (330) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là tâm hình vuông ABCD Khi đó SO ⊥ (ABCD) Vì BD ⊥ SO và BD ⊥ AC nên BD ⊥ (SAC) Suy BD ⊥ OM Lại có OC ⊥ BD và (M BD) ∩ (ABCD) = BD Vậy góc (M BD) và (ABCD)√bằng góc OM và OC a a Ta có OM = CM = và OC = 2 a2 Trong tam giác OM C có OM + CM = = OC Vậy tam giác OM C vuông cân M S M A D O B C ÷ = 45◦ hay ϕ = 45◦ Do đó góc tạo OM và OC COM Chọn đáp án C ’ = 30◦ Tam giác SAC là tam giác Câu 160 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B và ACB và thuộc mặt phẳng vuông góc với (ABC) Xét điểm M thuộc cạnh SC cho mặt phẳng (M AB) MS tạo với hai mặt phẳng (SAB); (ABC) góc Tỉ số có giá trị MC √ √ √ A B C D 2 -Lời giải Gọi H là trung điểm AC, suy SH ⊥ (ABC) Gọi N là trung điểm AB, suy AB ⊥ (SHN ) ( ÷ ((ABM ), (ABC)) = HN K Lấy K là giao điểm AM , SH Do đó ’S ((ABM ), (SAB)) = KN ’ Theo giả thiết, N K là phân giác SN H √ √ Giả sử AB = ⇒ BC = √3 ⇒ AC = ⇒ SH = 3 Mặt khác HN = BC = 2 √ √ √ 15 KH HN 2 Ta có SN = HN + SH = ⇒ = = (tính chất KS SN phân giác) Gọi E là trung điểm CM , theo định lí Ta-lét thì √ ME KH MC 2M E MS = =√ ⇒ = =√ ⇒ = MS KS M S M S M C 5 S M K E H A C N B Chọn đáp án A Câu 161 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, BC = Tam giác SAC nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA Côsin góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) √ √ √ √ 17 34 34 34 A B C D 17 34 17 17 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 327 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (331) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Xét 4ABC vuông B√ta có √ AC = AB + BC = 32 + 42 = Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA Xét 4CAK vuông √ K ta có √ AK = CA2 − CK = 52 − 42 = Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC Vì (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ∩ (ABCD) = AC nên SA ⊥ (ABCD) Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC và KP//SH, P ∈ AC thì KP ⊥ (ABCD) S K M D A P H B C Xét 4BAC vuông B và 4KAC vuông K ta thấy các cạnh tương ứng và KP là đường cao 4KAC nên BP là đường cao 4BAC Kẻ P M ⊥ KA, M ∈ KA Vì KA ⊥ P B và KA ⊥ P M nên KA ⊥ (P M B) Suy KA ⊥ M B ÷ Như vậy, góc mặt phẳng (SAC) và (SAB)bằng góc P M B KA · KC 3·4 12 Xét 4KAC vuông K ta có KP · AC = KA · KC ⇒ KP = = = AC 5 12 Suy BP = KP = Å ã2 √ 12 2 = Xét 4KP A vuông P ta có P A = KA − KP = − 5 PA · PK 36 Lại có P M · AK = P A · P K ⇒ P M = = AK 25 √ Å ã2 Å ã2 √ 36 12 12 34 Xét 4P M B vuông P ta có M B = P B + P M = + = 25 25 √ MP 36 25 34 ÷ Ta có cos P MB = = · √ = MB 25 12 34 34 Chọn đáp án B √ Câu 162 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD), SA = 3AB Gọi α là góc hai mặt phẳng (SBC) và (SCD), giá trị cos α 1 A B C D -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD Kẻ OM ⊥ SC, suy DB ⊥ S (SAC) ⇒ BD ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BDM ) ÷ Góc α bù với DM B với BM = SB · BC = 2 SB + BC Xét tam giác BM D, có M 1 ÷ ÷ cos DM B = − < ⇒ cos α = cos DM B = 4 A D O B Chọn đáp án A C Câu 163 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (ABCD) và (A0 B C D0 ) bao nhiêu? A 45◦ B 90◦ C 0◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 328 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (332) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Hai mặt phẳng (ABCD) và (A0 B C D0 ) song song nên góc chúng 0◦ Chọn đáp án C Câu 164 Cho tứ diện ABCD có (ACD) ⊥ (BCD), AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Với giá trị nào √ x thì hai mặt phẳng (ABC) √ và (ABD) vuông góc với √ nhau? √ a a a a A B C D 3 -Lời giải Gọi H là trung điểm CD và E là trung điểm AB A Do AC = AD = BC = BD = a nên CE ⊥ AB và DE ⊥ AB ’ Suy ((ABC), (ABD)) = CED ’ = 90◦ ⇔ EH = CD = x (1) CED E Ta có BH ⊥ CD (do BC = BD = a), suy BH ⊥ (ACD) (do (ACD) ⊥ (BCD)) Suy BH ⊥ AH√⇒ 4ABH vuông cân H √ C B BH a2 − x2 √ Do đó EH = = (2) 2 a H Từ x √ (1) và (2), ta có phương trình √ a2 − x2 a √ = x ⇔ a2 − x2 = 2x2 ⇔ x = D Chọn đáp án B Câu 165 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (BCD0 A0 ) và (ABCD) A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ -Lời giải 0 (BCD A ) ∩ (ABCD) = BC BC ⊥ (ABB A0 ) Ta có D0 A0 (BCD0 A0 ) ∩ (ABB A0 ) = A0 B (ABCD) ∩ (ABB A0 ) = AB B0 C0 Nên suy ((BCD0 A0 ), (ABCD)) = (AB; A0 B) = 45◦ A B D C Chọn đáp án A Câu 166 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Góc hai mặt phẳng (A0 B CD) và (ACC A0 ) A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 75◦ -Lời giải Gọi α là hai mặt phẳng (A0 B CD) và ® (ACC A0 ) A0 D0 ® góc 0 0 0 BD ⊥AC AD ⊥ A D 0 0 Ta có ⇒ AD0 ⊥ 0 ⇒ B D ⊥ (ACC A ); B D ⊥ AA AD0 ⊥ CD B0 (A0 B CD) C0 0 0 Suy góc hai mặt phẳng (A B CD) và (ACC A ) chính là góc AD0 và B D0 √ Xét tam giác AD0 B có AD0 = B D0 = B A = a A D Suy tam giác AD0 B là tam giác Vậy α = 60◦ B Chọn đáp án A C Câu 167 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy 2a, cạnh bên 3a Gọi α là góc mặt bên và mặt đáy Tính cos α Th.s Nguyễn Chín Em 329 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (333) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ √ 10 A cos α = B cos α = C cos α = 10 -Lời giải Xét hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh bên 3a, cạnh đáy 2a Gọi O ® là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm BC OM ⊥ BC Ta có ⇒ góc mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là α = SM ⊥ BC ’ SM O p √ √ Ta có SM = SC − M C = (3a)2 √ − a2 = 2a, OM = a OM a Do ta có cos α = = √ = SM 2a √ D cos α = 14 S D C M O A B Chọn đáp án A Câu 168 Cho hình chóp tứ giác có tất các cạnh a Tính cô-sin góc hai mặt bên không liền kề 1 A B √ C D 3 2 -Lời giải Ta có giao tuyến (SAB) và (SCD) là đường thẳng d qua điểm S S và song song với AB Gọi M , N là trung điểm AB và CD d Tam giác SAB cân S nên SM ⊥ CD ⇒ SM ⊥ d Tương tự, SN ⊥ d Do đó, góc tạo hai mặt bên (SAB) và (SCD) là góc tạo hai đường thẳng √ SM và SN A a D Ta tính SM = SN = , M N = a và M N B 3a2 C 3a2 + − a2 + SN − M N SM 4 ÷ √ √ = > cos M SN = = 2SM · SN a a 2· · 2 ÷ Vậy cos ((SAB), (SCD)) = cos(SM, SN ) = cos M SN = Chọn đáp án A √ a Câu 169 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = Tính góc SC và (ABCD) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 30◦ -Lời giải Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc S ’ SC lên (ABCD), suy góc SC và (ABCD) là SCA √ SA ’ ’ = 30◦ Do đó tan SCA = = ⇒ SCA AC A D Chọn đáp án A B C Câu 170 Có khối đá trắng hình lập phương sơn đen toàn mặt ngoài Người ta xẻ khối đá đó thành 125 khối đá nhỏ và là hình lập phương Hỏi có bao nhiêu khối đá nhỏ mà không có mặt nào bị sơn đen? A 45 B 48 C 36 D 27 Th.s Nguyễn Chín Em 330 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (334) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Ta có 125 − (2 · 25 + · 16) = 27 Chọn đáp án D ’ = 120◦ Câu 171 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC 0 và cạnh bên BB = a Tính cô-sin góc hai mặt phẳng (ABC) và (AB I), với I là trung điểm CC √ √ √ √ 30 10 30 B C D A 10 -Lời giải Gọi α là góc hai mặt phẳng (ABC) và (AB I) C0 √ A ’ = a · a · sin 120◦ = a Ta có SABC = AB · AC · sin BAC 2 B0 Xét tam giác ABC, » ’ I AB + AC − 2AB · AC · cos BAC BC = p √ = a2 + a2 − 2a · a cos 120◦ = a Mặt khác, √ √ AA02 + A0 B 02 = a2 + a2 = a … a 2 a √ √ = AI = AC + CI = a2 + 2 … a 2 a√13 √ = B I = B C 02 + C I = 3a2 + 2 13a2 5a2 = = B I nên 4AB I vuông A Mà AB 02 + AI = 2a2 + 4 √ √ 1 √ a a2 10 Ta có SAB I = AB · AI = a · = 2 Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc tam giác AB I trên (ABC), suy AB = √ SABC = SAB I · cos α ⇔ cos α = SABC SAB I A C B √ a2 √ 30 = 2√ = 10 a 10 Chọn đáp án D Câu 172 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 A 30◦ B 60◦ -Lời giải Ta thấy (A0 B CD) ∩ (CDD0 C ) = CD, B C ⊥ CD, hai mặt phẳng (A0 B CD) và (C CDD0 ) là góc CC = 45◦ ÷ B Góc hai mặt phẳng (A0 B CD) và (CDD0 C ) C 45◦ D 90◦ CC ⊥ CD nên góc B C và CC là D0 A0 B0 C0 D A B C Chọn đáp án C √ Câu 173 Cho lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cạnh a và A0 A = A0 B = A0 C = Góc hai mặt phẳng (ABB A0 ) và (ABC) A 30◦ B 45◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em C 60◦ 331 a 15 D 75◦ https://emncischool.wixsite.com/geogebra (335) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm AB, H là trọng tâm tam giác ABC Khi đó A0 H ⊥ (ABC) và (A0 HM ) ⊥ AB ÷ Suy ((ABB A0 ); (ABC)) √ = A M H √ CM a a Ta có M H = = và CH = 2M H = , √ √ a suy A0 H = A0 C − CH = AH 0M H = ÷ Xét 4A0 M H, ta có tan A = MH 0 ◦ Vậy ((ABB A ); (ABC)) = 45 A0 C0 B0 A C M H B Chọn đáp án B Câu 174 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai mặt phẳng (ABB A0 ) và (ACC A0 ) là A 45◦ B 90◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải 0 0 (ABB A ) ∩ (ACC A ) = AA Ta có A0 C ⊥ AA0 0 A B ⊥ AA0 A0 D0 A0 C = 45◦ ◊ ⇒ [(ABB A0 ), (ACC A0 )] = B B0 C0 A D B C Chọn đáp án A Câu 175 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có tâm O Gọi I là tâm hình vuông A0 B C D0 và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI cho M O = 2M I (tham khảo hình vẽ) Khi đó cô-sin góc tạo hai mặt phẳng (M C D0√ ) và (M AB) √ √ √ 85 85 17 13 13 A B C D 85 85 65 65 A D B C O D0 A0 M I B0 C0 -Lời giải Không tính tổng quát, ta giả sử các cạnh hình lập phương 0 Gọi P, Q Khi đó ta có √ là trung √ điểm D √ C và AB √ 2 M P = IM + IP = 10, M Q = 34, P Q = Áp dụng định lí cô-sin ta M P + M Q2 − P Q2 −14 ÷ cos P MQ = =√ 2M P · M Q 340 Góc α là góc √ hai mặt phẳng (M C D0 ) và (M AB) ta có 14 85 cos α = √ = 85 340 Chọn đáp án B A D Q B C O D0 A0 M P I B0 C0 Câu 176 Th.s Nguyễn Chín Em 332 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (336) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có tâm O Gọi I là tâm hình vuông ABCD và M là điểm thuộc OI cho M O = M I (tham khảo hình vẽ) Khi đó, cô-sin góc tạo hai mặt phẳng (M C D0√ ) và (M AB) √ √ √ 13 85 85 17 13 A B C D 65 85 85 65 B C A D O M B0 C0 I A0 D0 -Lời giải Giả sử hình lập phương có độ dài cạnh a Hai mặt phẳng (M C D0 ), (M AB) chứa hai đường thẳng C D0 , AB và AB k C D0 nên giao tuyến hai mặt phẳng này là đường thẳng qua M và song song với AB Gọi P , Q là trung điểm AB, C D0 Các tam giác M C D0 , M AB cân M nên M P ⊥ C D0 , M Q ⊥ AB Do đó, α là góc hai mặt phẳng (M C D0 ) và (M AB) thì ÷ cos α = | cos P M Q| (1) Ta có p M Q = M I + IQ2 = Å OI ã2 + IQ2 = Å a · ã2 + a 2 B C P A D O M B0 √ C0 I a 13 =A0 ; Q D0 √ 5a ; P Q = AD0 = a 2; 25a2 13a2 √ + − 2a2 2 MP + MQ − PQ 17 13 36 36 ÷ √ cos α = | cos P M Q| = = = · MP · MQ 65 5a a 13 2· · 6 Å MP = OI ã2 + IQ2 = Chọn đáp án D Câu 177 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có tâm O Gọi I là tâm hình vuông A0 B C D0 và điểm M thuộc đoạn OI cho M O = 2M I (tham khảo hình vẽ) Khi đó sin góc tạo hai mặt phẳng (M C D0√ ) và (M AB) √ √ √ 85 17 13 85 13 A B C D 65 85 65 85 B D A C O B0 D0 M I A0 C0 -Lời giải Do AB k C D0 nên giao tuyến (M AB) và (M C D0 )®là đường thẳng ∆ k AB k C D0 ® M P ⊥ C D0 MP ⊥ ∆ Gọi P, Q là trung điểm D0 C và AB ta có ⇒ M Q ⊥ AB M Q ⊥ ∆ 0 Như góc (M AB) và (M C D ) là góc M P và M Q Th.s Nguyễn Chín Em 333 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (337) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Không tổng quát, ta cho√cạnh hình lập phương là ( tính p M P = IM + IP = 10 Khi đó √ √ M Q = 34, P Q = B D Q A Áp dụng định lí cô-sin cho 4M P Q ta M P + M Q2 − P Q2 −14 ÷ cos P MQ = =√ 2M P · M Q 340 Góc α là góc hai mặt phẳng (M C D0 ) và √ √ (M AB) ta có 14 85 85 cos α = √ = ⇒ sin α = 85 85 340 C O B0 D0 M I A0 P C0 Chọn đáp án D Câu 178 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có tâm O Gọi I là tâm hình vuông A0 B C D0 và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI cho OM = M I (tham khảo hình vẽ) Khi đó sin góc tạo hai mặt phẳng (M C D0 ) và (M AB) √ √ 85 17 13 B A 85 √65 √ 85 13 C D 85 65 C B A D O M B0 C0 I A0 D0 -Lời giải Không tính tổng quát ta chọn cạnh hình lập phương Gọi P , ® Q là trung điểm C D0 và AB M P ⊥ C D0 Suy M Q ⊥ AB 0 ⇒ ((M C AB)) = (M H; M K) = α ( D ); (Mp √ M P = M I + IP = 13 Khi đó √ M Q = 5; P Q = √ + M Q2 − P Q2 13 M P 17 ÷ =− Suy cos P MQ = 2M P · M Q 65 √ 13 Khi đó α là góc (M C D0 ) và (M AB): sin α = 65 C B Q A D O B0 M C0 I A0 P D0 Chọn đáp án D Câu 179 Cho hình chóp √ S.ABCD đáy là hình thoi ABCD tâm O, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), a SA = AB = a, SO = Tính số đo góc ϕ hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) A ϕ = 30◦ B ϕ = 45◦ C ϕ = 90◦ D ϕ = 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 334 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (338) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S I A D O B C Dựng BI ⊥ SA, suy DI ⊥ SA Do đó ((SAB), (SAD)) = (BI, DI) Ta có √ p a 2 BO = AB − AO = , p a AO = SA2 − SO2 = √ , √ p 2a 2 SB = SO + BO = √ (3 + 3)a SA + AB + SB = , ta có Xét 4SAB, với p = √ BI · SA » 2a = p(p − SA)(p − SB)(p − AB) ⇒ BI = ’ ’ Xét 4BID cân I nên √ BID = 2BIO ’ = BO = ⇒ BIO ’ = 60◦ ⇒ BID ’ = 120◦ Với sin BIO BI Vậy ((SAB), (SAD)) = (BI, DI) = 180◦ − 120◦ = 60◦ Chọn đáp án D Câu 180 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh AB, AD, C D0 Tính cosin góc hai đường thẳng M N và CP M A B N D C B0 A0 P D A √ 10 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em C0 √ B 10 C √ 10 335 √ D 15 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (339) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 M A B N I D C B0 A0 P D C0 Gọi I là trung điểm CD, dễ thấy D0 ICP là hình bình hành có CI = D0 P và CI k D0 P , từ đó B = α ÷ CP k D0 I, mặt khác ta có M N k D0 B nên (M N, CP ) = (D0 B , D0 I) = ID Không tính tổng quát gọi a (a > 0) là độ dài cạnh hình lập phương Khi đó tính IB = √ … IC + CB 02 = √ √ a2 3a + 2a2 = … a2 B D0 = 2a ; ID0 = DD02 + ID2 = a2 + = 02 02 D I + D B − IB =√ Do đó cos α = 0 · ID · D B 10 √ 5a Chọn đáp án A Câu 181 √ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = và AA” = Gọi M và N là trung điểm A0 C và A0 B Tính cosin góc tạo bởi√hai mặt phẳng (AB C ) và (BCM√ N ) 13 13 B A 65 130 √ √ 13 13 C − D − 130 65 B A C Q B0 A0 N M C0 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 336 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (340) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi P , Q là giao điểm AC với M C và giao điểm BN với B A Ta có P Q là giao tuyến (AB C ) với (BCM N ) Dễ dàng thấy P Q k B C Vì 4AB C cân A nên gọi I là trung điểm B C thì AI vuông góc với B C và đo đó AI ⊥ P Q Gọi E là giao điểm AI với P Q, ta E là trung điểm P Q Ta có tứ giác BCM N là hình thang cân nên lấy F , K là trung điểm BC và M N Ta có F K ⊥ P Q và qua trung điểm E P Q B A F C Q E P B0 A0 N M I C0 Vậy góc tạo mặt phẳng (AB C ) và (BCM N ) là góc tạo hai đường thẳng F K và AI √ Ta có AC = CC 02√+ AC = 4a, AF√= 3a √ Ta tính AI = AC 02 − IC 02√= 16a2 − 3a2 = a 13 AP AE 2 13 Do = = nên AE = AC AI 3 5a Ta có độ dài F K độ dài đường cao kẻ từ C hình thang BCM N Do đó F K = 2 5a 5a Vậy EF = · = 3 √ AE + EF − AF 13 ’ Xét 4EF A, ta có cos EF A = =− 2AE · AF 65 Chọn đáp án D Câu 182 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a (tham khảo hình vẽ) Tính √ giá trị sin góc √ hai mặt phẳng √ (BDA ) và (ABCD) √ 6 A B C D 3 4 A0 D0 B0 C0 A D O B C -Lời giải Ta có AA0 ⊥ (ABCD) Kẻ AO ⊥ BD thì suy A0 O ⊥ BD Suy góc (BDA0 ) và (ABCD) là góc AO và A0 O √ AA0 a ’ sin AOA = = √ = AO a Chọn đáp án A Câu 183 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân A, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, (SM C) ⊥ (ABC), (SBN ) ⊥ (ABC), G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC Khẳng định nào sau đây đúng? A SI ⊥ (ABC) B SA ⊥ (ABC) C IA ⊥ (SBC) D SG ⊥ (ABC) -Lời giải Do (SM C) và (SBN ) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên giao tuyến SG hai mặt này vuông góc với (ABC) Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 337 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (341) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 184 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình √ thang vuông A và B, biết AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Xác định số đo góc ϕ là góc hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) A ϕ = 60◦ B ϕ = 45◦ C ϕ = 30◦ D ϕ = 90◦ -Lời giải S K H A B D C Gọi H là trung điểm AD, K là hình chiếu vuông góc H trên cạnh SD Ta có CH ⊥ (SAD) ⇒ CH ⊥ SD mà SD ⊥ HK nên SD ⊥ (CHK), suy ÷ ϕ = ((SAD), (SCD)) = HKC √ a 2·a a SA · HD √ = = √ , HC = AB = a, suy Dễ thấy HK = SD a tan ϕ = HC = √ ⇒ ϕ = 60◦ HK Chọn đáp án A Câu 185 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước B Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với C Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với D Các mặt phẳng cùng qua điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước thì luôn chứa đường thẳng cố định -Lời giải Mệnh đề “Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước” sai vì đường thẳng cho trước vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau” sai vì hai mặt phẳng đó có thể song song trùng Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” sai vì hai mặt phẳng đó có thể trùng Chọn đáp án D ’ = 45◦ , Câu 186 Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông B Cho BSC ◦ ’ = α Tìm sin α để góc hai mặt phẳng (ASC) và (BSC) 60 gọi ASB √ √ √ 15 2 A sin α = B sin α = C sin α = D sin α = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 338 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (342) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ BE ⊥ AC E, kẻ EF ⊥ SC F Ta có ® BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ SA ® BE ⊥ AC ⇒ BE ⊥ (SAC) ⇒ BE ⊥ SC BE ⊥ SA ® SC ⊥ EF ⇒ SC ⊥ (BEF ) ⇒ SC ⊥ BF SC ⊥ BE S ◦ α 45 F A ◦ E 60 C B ’ Khi đó góc (ASC) và (BSC) là BF E = 60◦ Gọi BC = x, (x > 0) √ x Tam giác SBC vuông cân B nên SB = BC = x, SC = x 2, BF = √ √ √ x x · = BE = BF sin 60◦ = 2 … 1 = − = − = ⇒ AB = x 2 AB BE BC 3x x 3x √ … ’ = AB = = 15 Vậy sin α = sin ASB SB 5 √ Chọn đáp án A Câu 187 Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy góc và hình chiếu S lên đáy nằm bên tam giác ABC Khẳng định nào sau đây luôn đúng? A H là trọng tâm tam giác ABC B H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC C H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D H là trực tâm tam giác ABC -Lời giải Gọi H là hình chiếu S trên (ABC) Gọi ϕ là góc tạo các mặt bên với đáy ÷ Kẻ HM ⊥ BC = M ta có ((SBC), (ABC)) = SM H SH và d(H, BC) = M H = tan ϕ SH Tương tự, ta có d(H, AB) = d(H, AC) = tan ϕ Suy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC S A C ϕ H M B Chọn đáp án B Câu 188 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D SA ⊥ (ABCD), SA = a, AB = 2a, AD = DC = a Gọi (P ) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD với (P ) √ √ √ √ a2 a2 a2 a2 A B C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 339 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (343) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi I là trung điểm AB ⇒ AICD là hình vuông ⇒ DI ® ⊥ AC DI ⊥ AC Ta có DI ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)) ⇒ DI ⊥ (SAC) ⇒ (SDI) ⊥ (SAC) ⇒ (P ) ≡ (SDI) và 4SDI√là thiết diện cần tìm Ta có SI = SD = DI = a ⇒ 4SDI là tam √ giác a2 ⇒ S4SDI = S A I B O D C Chọn đáp án D Câu 189 Cho hình √ chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt đáy ABC Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) (tham khảo hình bên) Mệnh đề nào sau đây đúng? √ √ 5 A sin ϕ = B sin ϕ = 5 ◦ ◦ C ϕ = 30 D ϕ = 60 S A C M B -Lời giải (SBC) ∩ (ABC) = BC Gọi M là trung điểm BC, ta có SA ⊥ (ABC) AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ SM (Định lí ba đường vuông góc) ’ ⇒ ((SBC), (ABC)) = SM A = ϕ … √ √ 3a2 a 15 2 Tam giác SAM vuông A ⇒ SM = SA + AM = 3a + = √ √ SA a Do đó, ta có sin ϕ = = √ = SM a 15 Chọn đáp án B Câu 190 Th.s Nguyễn Chín Em 340 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (344) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có cạnh bên AA0 = 2a, AB = AC = a, ’ = 120◦ Gọi M là trung điểm BB thì cosin góc tạo góc BAC hai√mặt phẳng (ABC) √ và (AC M ) là √ √ 93 A B C D 31 15 31 √ a C0 B0 A0 2a M a C B a a A -Lời giải Áp √ dụng định lí côsin tam √ giác ABC, ta có BC = AB + AC − 2AB · AC · sin A = a Gọi O là trung điểm BC, ta có OA ⊥ BC, ta có OA = √ a AB − OB = Dựng hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ã Å ; 0; , Không tính tổng quát, giả sử a = Khi đó, ta có A Ç å Ç √ å √ 3 C 0; − ; , M 0; ;1 2 #» Mặt phẳng Ç (ABC) å là k = (0; 0; 1) Ta có √ cóåmột véc-tơÇ pháp√tuyến î # » # »ó # » 3 # » AC = − ; − ; , AM = − ; ; Suy AC , AM = 2 2 Ç √ √ å Ä ä Ä √ √ √ √ ä 3 1 − ;− ;− = − 3; 1; hay #» n = 3; 1; là 2 2 véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (AC M ) Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (ABC) và (AC M ), ta có √ √ #» | k · #» n| 93 cos ϕ = #» #» = √ = 31 31 |k | · |n| z C0 B0 A0 M y O C B A x Chọn đáp án D Câu 191 √ Cho hình√hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = a, BC = a 2, AA0 = a Gọi α là góc hai mặt phẳng (ACD0 ) và (ABCD) (tham khảo hình vẽ) Giá√trị tan α √ √ 2 A B C D 3 A0 D0 C0 B0 A B D C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 341 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (345) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ DH ⊥ AC, H ∈ AC Khi đó D0 H ⊥ AC HD ÷ Suy góc hai mặt phẳng (ACD0 ) và (ABCD) là D Trong tam giác ADC vuông D ta có 1 1 = + = 2+ = 2 2 DH DA DC 2a√ a 2a 2a a ⇒ DH = ⇒ DH = 3 Trong tam giác D HD vuông D ta √ có 0D √ D HD = ÷ tan D =a 3· √ = DH a Chọn đáp án C A0 D0 C0 B0 A D H B C Câu 192 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có đáy là tam giác cạnh a Gọi M là trung điểm B C , biết AB ⊥ A0 M và AB = AM Cạnh bên AA0 tạo với đáy góc 60◦ Tính tan góc hai mặt phẳng (BCC B ) và (A0 B C ) √ 13 13 A D B C 2 -Lời giải Vì tam giác A0 B C nên A0 M ⊥ B C Suy C0 A0 A0 M ⊥ (AB C ) ⇒ (AB C ) ⊥ (A0 B C ) Gọi H là trung điểm B M , vì tam giác AB M cân A M nên AH ⊥ B C ⇒ AH ⊥ (A0 B C ) 0 0 ◦ ÷ H Suy góc √ AA và√(A B C ) AA H = 60 ⇒ 39 a a B0 A0 H = ⇒ AH = 4 Do (ABC) k (A0 B C ) nên góc hai mặt phẳng (BCC B ) và (A0 B C ) góc hai mặt phẳng (BCC B ) và (ABC) A C I B Gọi N là trung điểm BC suy BC ⊥ (AHN ) Vậy góc hai mặt phẳng (BCC B ) và (A0 B C ) AH ÷ AN H = α ⇒ tan α = = AN √ 13 Chọn đáp án D ABCD.A0 B C D0 AA0 Câu 193 Cho hình hộp chữ nhật có các cạnh AB = 2, AD = và = Góc 0 0 hai mặt phẳng (AB D ) và (A C D) là α Tính giá trị gần đúng góc α? A 45,2◦ B 38,1◦ C 54,4◦ D 61,6◦ -Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (0; 0; 0), B (2; 0; 0), A0 D0 D (0; 3; 0) và A0 (0; 0; 4) Do giả thiết ta suy B (2; 0; 4), D0 (0; 3; 4) và điểm C (2; 3; 4) # » # » # » Ta có AB = (2; 0; 4); AD0 = (0; 3; 4); A0 C = (2; 3; 0) và B0 C0 #0» A D = (0; î # 3;»−4) # »ó Khi đó AB , AD0 = (−12; −8; 6) î # » # »ó và A0 C , A0 D = (−12; 8; 6) Gọi #» n và #» n là véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng 0 (AB D ) và mặt phẳng (A0 C D) A D B Ta chọn #» n (−6; −4; 3) và #» n (−6; 4; 3) đó C |(−6) · (−6) + (−4) · + · 3| 29 p cos α = |cos ( #» n , #» n )| ⇔ cos α = p = 2 2 2 61 (−6) + (−4) + (3) · (−6) + (4) + (3) Th.s Nguyễn Chín Em 342 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (346) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Vì 0◦ < α < 90◦ nên cos α = Chương - Hình học 11 29 suy α ' 61,6◦ 61 Chọn đáp án D Câu 194 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh Gọi M, N là các điểm trên các cạnh AB, AC cho M B = 2M A; N C = 2N A Gọi E, F là trung điểm các cạnh B C , BC; P là trung điểm EF Tính góc tạo hai mặt phẳng (P M N ) và (A0 BC) A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦ A0 C0 F B0 P A M C N E B -Lời giải Gọi Q là giao điểm AE và M N Kẻ AH ⊥ A0 E Vì BC ⊥ (A0 AE) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (A0 BC) Kẻ AK ⊥ P Q Vì M N ⊥ (AEP ) ⇒ M N ⊥ AK ⇒ AK ⊥ (M N P ) √ PE ’ √ = Ta có tan P QE = = QE 2 4· · AA ’ √ =√ tan AEA = = AE 4· 3 ’0 = 90◦ ⇒ P Q ⊥ A0 E ⇒ AH ⊥ AK ’ Suy P QE + AEA Vậy góc tạo hai mặt phẳng (P M N ) và (A0 BC) 90◦ C0 A0 F B0 H P A M Q C N K E B Cách 2: Dựng hệ trục tọa √ độ Exyz hình bên, đó ta có tọa 0độ√các điểm E(0; 0; 0), 3; 0; Ç A(2 å0), B(0; Ç √2; 0), F (0; å0; 4), C(0; −2; 0), A (2 3; 0; 4) √ 4 Vậy M ; ;0 , N ; − ; , P (0; 0; 2) 3 3 Véc-tơ phápî tuyến mặt phẳng (A0 BC) là √ √ # »0 #»ó #» n (A0 BC) = EA , j = (4; 0; −2 3) k (2; 0; − 3) Véc-tơ pháp tuyến mặt (Må N P ) là Ç phẳng √ î #» # »ó #» n (M N P ) = j , M P = −2; 0; − ⇒ #» n (A0 BC) · #» n (M N P ) = ⇒ (M N P ) ⊥ (A0 BC) A0 z C0 F B0 P x M A C N E yB Chọn đáp án A √ ’ = 45◦ , BSA ’ = α Tính giá Câu 195 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC), SB = BC = 2a 2, BSC ◦ trị α để góc hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) 45 √ √ √ 14 14 A arcsin √ B arcsin C arcsin D arccos 14 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 343 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (347) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ BE ⊥ AC ⇒ BE ⊥ (SAC) ⇒ BE ⊥ SC Kẻ EF ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BEF ) ⇒ BF ⊥ SC √ ’ = 45◦ nên Mà 4SBC cân B (do SB = SC = 2a 2) có BSC 4SBC vuông cân B Suy®ra F là trung điểm SC ⇒ BF = SF = F C = 2a (SAC) ∩ (SBC) = SC ’ Vì ⇒ ((SAC), (SBC)) = BF E = 45◦ EF ⊥ SC, BF ⊥ SC √ ⇒ 4BEF vuông cân E ⇒ BE = EF = a S 45◦ F E A C B ® BC ⊥ SB 1 + = 2 AB BC BE BS ⊥ SA √ 2a ’ = AB = √1 ⇒ α = arcsin √1 ⇒ AB = Suy sin α = sin ASB SB 3 Lại có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ 4ABC vuông B ⇒ Chọn đáp án A Câu 196 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh Gọi ϕ là góc hai đường thẳng A0 B và BC Tính cos ϕ √ √ B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = A cos ϕ = √ 2 -Lời giải Ta có AB k A0 B nên góc √ hai đường thẳng A0 B và BC là góc AB 0 và BC , lại có AC = BC = a nên |AB + C B − C A2 | |a2 + 2a2 − 2a2 | √ cos ϕ = = = √ AB.C B 2a · a 2 B C A B0 A0 C0 Chọn đáp án A Câu 197 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh 2a Biết SA ⊥ (ABC), SA = a Gọi M, N là trung điểm BC, AC Tính cô-sin góc hai mặt phẳng (SBC) và (SM N ) 2 A √ B √ C √ D √ 7 S A B N M C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 344 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (348) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là trung điểm AM Ta có N H ⊥ AM ⇒ N H ⊥ (SAM ) Suy ra, tam giác SHM là hình chiếu vuông góc tam giác SN M lên mặt phẳng (SAM ) Gọi α là góc hai mặt phẳng (SM N ) và (SAM ), ta có √ a2 … SSHM cos α = = 2√ = SSN M a S A B H N M C Gọi β là góc hai mặt phẳng (SBC) và (SM N ) Vì (SAM ) ⊥ (SBC) nên α + β = 90◦ Do đó, cos β = sin α = p − cos2 α = √ Chọn đáp án C Câu 198 Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC) và AB⊥BC Góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào? ’ ’ A SCB B SBA ’ ‘ với I là trung điểm BC C SCA D SIA -Lời ® giải BC⊥AB (giả thiết) Ta có ⇒ BC⊥(SAB) ⇒ BA⊥SB S BC⊥SA (SA⊥(ABC)) Xét hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ta có (SBC) ∩ (ABC) = BC Trong mặt phẳng (SBC) có SB⊥BC A Trong (ABC) có AB⊥BC ’ Suy góc (SBC) và (ABC) là góc SB và AB tức là SBA B Chọn đáp án B C Câu 199 Trong không gian cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P ) Xét các phát biểu sau (I) Nếu a k b mà a ⊥ (P ) thì luôn có b ⊥ (P ) (II) Nếu a ⊥ (P ) và a ⊥ b thì luôn có b k (P ) (III) Qua đường thẳng a có mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P ) (IV) Qua đường thẳng a luôn có vô số mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P ) Số khẳng định sai các phát biểu trên là A B C -Lời giải ® ñ a ⊥ (P ) b k (P ) Phát biểu (II) sai vì thì a⊥b b ⊂ (P ) D Phát biểu (III) sai vì a ⊥ (P ) thì mặt phẳng (Q) chứa a vuông góc với mặt phẳng (P ) Phát biểu (IV) sai vì a ⊂ (P ) thì có mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với mặt phẳng (P ) Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 345 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (349) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 200 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai điểm M và N thay đổi trên các cạnh BC, C D0 Đặt CM = x, C N = y Để góc hai mặt phẳng (AM A0 ) và (AN A0 ) 45◦ thì biểu thức liên hệ x và y là A a2 − xy = a(x + y) B a2 + xy = a(x + y) C 2a2 − xy = 2a(x + y) D 2a2 + xy = 2a(x + y) -Lời giải Dựng N N k AA0 , (N ∈ CD) A Khi đó ®(AN A0 ) ≡ (AA0 N N ).® AM ⊥ AA0 AN ⊥ AA0 Ta có và nên góc hai mặt AM ⊂ (AM A0 ) AN ⊂ (AN A0 ) B 0 ◦ 0 ÷ ÷ phẳng (AM A ) và (AN A ) là M AN Suy M AN = 45 Tam giác ABM vuông B nên » p AM = AB + BM = a2 + (a − x)2 D N0 M C D0 A0 N B0 p √ Tam giác ADN vuông D nên AN = √ AD2 + DN 02 = p a2 + (a − y)2 0 Tam giác M CN vuông C nên M N = CM + CN 02 = x2 + y Xét tam giác AM N ta có C0 ÷ M N 02 = AM + AN 02 − · AM · AN · cos M AN ⇔ x2 + y = a2 + (a − x)2 + a2 + (a − y)2 − · AM · AN · √ √ ⇔ · AM · AN = 4a − 2a(x + y) (3.1) SABCD = SABM + SADN + SCM N + SAM N 1 1 ÷ AN ⇔ a2 = a(a − x) + a(a − y) + xy + · AM · AN · sin M 2 2 √ ⇔ 4a2 = 2a(a − x) + 2a(a − y) + 2xy + · AM · AN √ ⇔ · AM · AN = 2a(x + y) − 2xy (3.2) Lại có Từ (1) và (2) suy 4a2 − 2a(x + y) = 2a(x + y) − 2xy ⇔ 2a2 + xy = 2a(x + y) Chọn đáp án D Câu 201 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy là tam cạnh a M, N là hai điểm √ giác 3a trên BB và CC cho diện tích tam giác AM N Khi đó, côsin góc mặt phẳng (AM N ) và mặt đáy hình lăng trụ √ √ 2 A B C D 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 346 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (350) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi α là góc mặt phẳng (AM N ) và mặt đáy (ABC) hình lăng trụ Theo định lý hình chiếu ta có √ a2 SABC cos α = = √4 = SAM N 3 3a C0 A0 B0 N A C M B Chọn đáp án C Câu 202 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); M là điểm nằm trên cạnh BC cho BM = a Gọi N là điểm nằm trên cạnh CD cho hai BM mặt phẳng (SAM ) và (SM N ) vuông góc với Khi đó tỷ số DN B C D A 3 -Lời giải Giả sử M N ⊥ AM , mà ta có M N ⊥ SA, đó M N ⊥ S (SAM ) hay (SM N ) ⊥ (SAM ) ÷ ÷ (cùng phụ với góc AM ÷ Khi đó N M C = BAM B) Từ đó suy 4ABM ∼ 4M CN (g − g), suy NC CM a 3a = = ⇒ N C = ⇒ DN = BM AB 2 Vậy BM a = = 3a DN A B M D N Chọn đáp án A C Câu 203 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và B, BA = a, BC = a, AD = 2a Cho biết SA vuông góc với (ABCD) và SA = 2a Cô-sin góc tạo hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) √ √ √ √ 3 A B C D 2 -Lời giải Gọi I là trung điểm AD, đó tứ giác ABCI có AB = S ‘ = 90◦ nên ABCI là hình vuông, BC = CI = IA = a và BAI √ suy AC = a √ Tam giác CID vuông cân I nên CD = a ‘ = 45◦ Lại có CAI Do đó tam giác CAD vuông cân C hay CD ⊥ AC Mặt khác CD ⊥ SA Vậy CD ⊥ (SAC) , nên CD ⊥ SD I A D B C Ta thấy (SCD) ∩ (ABCD) = CD ’ Vậy góc (SCD) và (ABCD) góc SC và AC SCA Th.s Nguyễn Chín Em 347 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (351) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ SA2 + AC = a Khi đó √ √ AC a ’= cos SCA = √ =√ = SC a √ Tam giác SAC vuông A nên SC = Vậy cô-sin góc tạo hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) (3.3) Chọn đáp án D Câu 204 Mỗi đỉnh hình lập phương là đỉnh chung đúng mặt? A B C -Lời giải Mỗi đỉnh hình lập phương là đỉnh chung đúng mặt Chọn đáp án A D Câu 205 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông cân A, cạnh AB = a, chiều cao của√lăng trụ là 4a Gọi M là trung điểm BB , tính sin √ √ góc hai đường thẳng AB và CM 30 2 A B C D 6 -Lời giải Theo giả thiết, suy B0 A0 p p √ # » # » |AB| = AB = a; |CM | = CM = BC + BM = 2a2 + 4a2 = a # » # » # » # » # » 1# » Lại có CM = CB + BM = AB − AC + AA0 Ä # » # »ä # » # » # » Từ đó, suy AB · CM = AB = AB = a2 Khi đó, cos AB; CM = √ > Vậy góc hai đường thẳng AB và CM chính là góc hai véc-tơ √ 30 # » # » AB và CM Do đó, sin góc hai đường thẳng AB và CM C0 M A B C Chọn đáp án A Câu 206 2a Cho hình chóp S.ABC có đường cao SB = √ Đáy ABC là tam giác vuông A, AC = 4a Gọi M , N là trung điểm √ AC, BC Biết khoảng cách từ C đến đường thẳng SM a Gọi α là góc hai mặt phẳng (SM N ) và (SAC) Khi đó √ √ 1 A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = 2 S C N B M A -Lời giải Gọi P là điểm đối xứng với M qua N Khi đó ABP M là hình chữ nhật Gọi H, I, K là hình chiếu A trên SM , B trên SA và SP Khi đó BI ⊥ (SAM ) và BK ⊥ (SM P ) Do M là trung điểm AC nên ta có √ d(A, SM ) = d(C, SM ) = a S K I H mà AM = 2a nên tam giác AHM vuông cân H Lại có AM ⊥ (SAB) nên tam giác SAM vuông cân A, suy SA = 2a Ta có B P N A Th.s Nguyễn Chín Em 348 M https://emncischool.wixsite.com/geogebra (352) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ p 2a 2 AB = SA − SB = √ , √ BS · BA 2a BI = = , SA IS IS · SA BS = = = IA IA · SA BA √ # » # » # » # » 6BS + BA 7BS + BP 2a # » # » #» # » #» Suy 6BS + BA = hay BI = Tương tự ta tính BK = và BK = Suy #» # » √ BI · BK 42BS cos α = = · √ ·√ = BI · BK 56 2a Chọn đáp án D Câu 207 Cho hình chóp S.ABCD có M , N , P , Q là trung điểm SA, SB, SC, SD Tìm SA tỉ số độ dài để hai mặt phẳng (ABP Q), (CDM N ) vuông góc AB √ √ √ √ SA SA SA SA 11 15 23 29 = B = C = D = A AB AB AB AB -Lời giải Gọi O là tâm đáy hình chóp S.ABCD S Gọi H là giao điểm SO với giao tuyến hai mặt phẳng (ABP Q), (CDM N ) Gọi E, F là trung điểm M N và AB Do ABP Q và CDM N là các hình thang cân nên EH và F H Q vuông góc với giao tuyến hai mặt phẳng (ABP Q), M (CDM N ) N P E Hai mặt phẳng (ABP Q), (CDM N ) vuông góc tam giác EHF vuông H H Giả sử cho AB = Đặt SO = x D A F O B C Ta dễ dàng tìm được: S … p x FH = OH + OF = +1 p 1p EF = SF = SO2 + OF = + x2 2 Å ã2 Å ã2 p 1 2 EH = EX + XH = + x E F 2 1 x x Tam giác EHF vuông H nên EF = EH + F H ⇔ + x2 = + + + ⇒ x = 4 36 √ q Ä√ ä2 √ √ SA 11 Khi đó, SA = AO2 + SO2 = + 32 = 11 Vậy = AB Chọn đáp án A X H O Câu 208 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng nào đây? A (A0 B CD) B (A0 CD0 ) C (A0 DC ) D (A0 BD) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 349 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (353) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Chương - Hình học 11 A0 D ⊥ AD0 ⇒ A0 D ⊥ (ABC D0 ) ⇒ A0 D ⊥ AC A0 D ⊥ C D Và BD ⊥ (ACC A0 ) ⇒ BD ⊥ AC Do đó AC ⊥ (A0 BD) Ta có B C A D B0 C0 A0 D0 Chọn đáp án D Câu 209 Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đều, tam giác SBC vuông cân S, mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy Côsin góc tạo hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là A √ √ C 15 B √ √ D -Lời giải Theo giả thiết ta có SA = SB = SC, giả sử SA = SB = SC = Trong mặt phẳng (SAC) kẻ SH vuông góc với AC suy H là trung điểm AC, đó √ HA = HC √ Có HB = SB − SH = SC − SH = HC Suy HA = √ HB = HC, √ tam giác ABC vuông B, từ đó AC = AB + BC = S P A C H Q B Lấy P là trung điểm SB, suy AP ⊥ SB (1) Lấy Q là trung điểm CB, suy P Q k SC, suy P Q ⊥ SB (2) Từ (1) và (2) ta có SB ⊥ (AP Q), mà (SAB) ∩ (SBC) = SB nên góc tạo hai mặt phẳng (SAB) và ’ (SBC) bù với góc √ √ √ AP Q − ’ Tam giác AP Q có AP = , P Q = , AQ = , theo định lý Cô-sin ta có cos AP Q = 2 √ Vậy côsin góc tạo hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là Chọn đáp án D Câu 210 Cho hình chóp tam giác có góc cạnh bên và mặt đáy 45◦ Tính sin góc mặt bên và mặt đáy √ A √ B C √ D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 350 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (354) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Xét hình chóp tam giác S.ABC có SH ⊥ (ABC), M là trung điểm AB ’ = 45◦ Khi đó SCH ÷ Góc mặt bên và mặt đáy SM H √ a Đặt SH = a Suy CH = a; M H = ; SC = a 2 ’ = 5a Ta có SM = SC + CM − · SC · CM · cos SCM √ a ⇒ SM = √ MH ÷ = Vậy sin SM H = SM S A C H M B Chọn đáp án B Câu 211 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc (ABCD) Gọi M là trung điểm BC (tham khảo hình vẽ) Tính côsin góc hai mặt phẳng (SM D) và (ABCD) B C √ D √ A √ 5 10 S A B M D -Lời giải Kéo dài DM cắt AB E Kẻ AH ⊥ DM (H ∈ DM ) ’ là góc (SM D) và Khi đó góc SHA (ABCD) AD · AE 2a Ta có AH = √ =√ AD2√+ AE ’ = SH = ⇒ cos SHA ’ = tan SHA AH C S B A H D E M C Chọn đáp án B Câu 212 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bẳng a Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) √ √ 1 2 2 A B − C − D 3 3 S D C A B -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 351 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (355) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm SA Ta có BM ⊥ SA, DM ⊥ SA ¤ ¤ đó ((SAB), (SAD)) = (BM, DM ) S S.ABCD√là hình chóp nên ABCD là hình vuông, đó BD = a ∆SAB √và ∆SAD là các tam giác cạnh a a nên BM = DM = M D A C B Áp dụng định lý cô-sin tam giác M BD, ta có 3a2 3a2 + − 2a2 + − 4 ÷ cos BM D = = =− 2 · BM · DM 3a 2· Do đó cô-sin góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) Chọn đáp án A BM DM BD2 Câu 213 √ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = và AA0 = Gọi M và N là trung điển A0 C và A0 B Tính cô-sin √ góc tạo hai √ mặt phẳng (ABC √ ) và (BCM N√) 13 13 13 13 A B C − D − 65 130 130 65 B A C B0 A0 N M C0 -Lời giải Ta có ABC.A0 B C √ là lăng trụ tam giác nên A0 B C là tam giác cạnh Do đó C N = Chọn hệ tọa độ N xyz hình vẽ Khi đóÇ N √ (0; 0; 0), å √ √ 3 0 A(0; 3; 2), B (0; − 3; 0), C (3; 0; 0), M ; ;0 , 2 √ B(0; − 3; 2) # » # » Mặt phẳng (AB C ) có véc-tơ pháp tuyến n# »1 = [AB , AC ] √ √ # »0 # » Có AB√ = (0;√ −2 3; −2), AC = (3; − 3;√ −2) Suy #n» = (2 3; −6; 3) cùng phương với #» a = (1; − 3; 3) z B A C B0 A0 N y M C0 Çx √ å √ 3 # » # » # » # » # » Mặt phẳng (BCM N ) có véc-tơ pháp tuyến n2 = [N M , N B] Có N M = ; ; , N B = (0; − 3; 2) 2 Ç √ å √ √ 3 #» Suy n# »2 = 3; −3; cùng phương với b = (2; −2 3; −3) √ √ √ |1 · + (− 3) · (−2 3) + · (−3)| 13 #» #» ¤ √ √ Có cos((ABC ), (BCM N )) = | cos( a , b )| = = 65 + + · + 12 + Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 352 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (356) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 214 Cho hình chóp S.ABCD √có đáy ABCD là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a SA ⊥ (ABCD) và SA = a Côsin góc tạo hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) √ √ √ √ 10 10 10 10 A B C D 15 25 10 -Lời giải S K H B A E C D Vì ABCD là nửa lục giác nên ta có AC ⊥ BC Lại có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC Suy BC ⊥ (SAC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC) Trong (SAC), dựng AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ (SBC) Gọi E là hình chiếu A xuống CD, ta có CE ⊥ AE Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CE Do đó CE ⊥ (SAE) ⇒ (SCE) ⊥ (SAE) Trong (SAE), dựng AH ⊥ SE ⇒ AH ⊥ (SCE) Từ suy ÷ cos((SCD), (SBC) = cos HAK Ta có, AK là đường cao tam giác vuông SAC nên √ SA2 · AC 3a2 · 3a2 3a2 a AK = = = ⇒ AK = SA2 + AC 6a2 2 √ a ◦ ’ Lại có AE = a cos DEA = a cos 30 = , suy 3a2 √ 3a2 a 15 · AH = = = ⇒ AH = SA2 + AE 5 3a2 3a2 + SA2 AE 3a2 · Mặt khác, AH ⊥ (SCD) ⇒ AH ⊥ HK, đó tam giác AHK vuông H Suy √ a 15 √ AH 10 ÷= cos HAK = √ = AK a Chọn đáp án D Câu 215 Th.s Nguyễn Chín Em 353 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (357) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Gọi M , N là trung điểm cạnh AA0 và A0 B Tính số đo góc hai đường thẳng M N và BD A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦ A D B C M A0 D0 N B0 -Lời giải Từ giả thiết suy M N k AB nên M N k DC Suy góc M N và BD chính góc hai đường√thẳng BD và DC Ta xét tam giác BDC có các cạnh a nên là tam giác ÷0 = 60◦ Từ đó suy BDC Vậy góc hai đường thẳng M N và BD 60◦ C0 A D B C M D0 A0 N B0 C0 Chọn đáp án C ’ = 120◦ , AB = Câu 216 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cân A, BAC 0 BB = √ a Gọi I là trung điểm của√CC Tính côsin góc √ hai mặt phẳng (ABC)√và (AB I) 70 30 15 A B C D 10 10 -Lời giải Ta có diện tích tam giác ABC là B C √ a2 S4ABC = AB · AC sin 120◦ = √ √ A √ 13 a 0 Xét tam giác AB I có AB = a 2, AI = ,BI= I 2 2 AI + B I − B A ’0 = Suy cos AIB =√ 2B I · AI 65 √ √ 26 a2 10 ’0 = Từ đó suy S4AB I = ⇒ sin AIB 13 Gọi α là góc hai mặt phẳng (ABC) và (AB I) thì theo công B0 C0 I · cos α Từ đó ta suy thức hình chiếu ta có S = S 4ABC 4AB √ 30 cos α = 10 A0 Chọn đáp án C Câu 217 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh a, tính tan góc tạo hai mặt√phẳng (ABC) và (A0 BC) √ √ 3 A B C D 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 354 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (358) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm BC Ta có ® A M ⊥ BC M A ÷ ⇒ Góc (A0 BC) và (ABC) là góc A AM ⊥ BC √ √ AB a AM = = 2 √ AA a 0M A = ÷ tan A = √ = AM a C0 A0 B0 A C M B Chọn đáp án C Câu 218 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a (tham khảo hình vẽ) Giá √ trị sin góc √ hai mặt phẳng√(BDA ) và (ABCD) √ là 6 A B C D 3 A0 B0 D0 C0 A B D -Lời giải OA là góc hai mặt phẳng (BDA0 ) và mặt ’ Gọi O = AC ∩ BD ⇒ A phẳng (ABCD) √ AC a Ta có AO = = 2 √ √ a 0 02 Xét 4AA O vuông A có A O = AA + AO = √ AA0 OA = ’ = Khi đó sin A A0 O C B0 A0 D0 C0 A B O D C Chọn đáp án C Câu 219 Cho hình chóp √ S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BD = a a với mặt đáy và SA = Tính góc hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) ◦ A 60 B 120◦ C 45◦ -Lời giải Trong mặt phẳng (SBC) dựng BM ⊥ SC (M ∈ SC) BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BDM ) ⇒ SC ⊥ DM ¤ ÷ Vậy (SBC), (SCD) = BM D √ a 10 2 Trong tam giác SAB : SB = SA + AB ⇒ SB = 3a Trong tam giác SAC : SC = SA2 + AC ⇒ SC = √ Áp dụng định lý cosin tam giác √ SBC, ta có: + BC − SB SC ’ = ’ = 45◦ hay 4BM C cos BCS = ⇒ BCS 2SC · BC B a vuông cân M Suy DM = BM = √ Trong tam giác BM D, ta có : BM + DM = BD2 ⇒ 4BM D vuông cân M ¤ ÷ Vậy (SBC), (SCD) = BM D = 90◦ Th.s Nguyễn Chín Em 355 Cạnh bên SA vuông góc D 90◦ S M A D O C ÷ hay BM D = 90◦ https://emncischool.wixsite.com/geogebra (359) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án D Câu 220 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên và mặt đáy 60◦ Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC Tính côsin góc tạo mặt phẳng (SM N ) và mặt phẳng (ABC) √ 12 A D B C √ 12 147 -Lời giải ¤ ‘ Ta có (SM S √ N ), (ABC) = SIO √ a a ⇒ AO = AN = AN = 3 √ a √ ◦ Xét tam giác SOA: SO = AO · tan 60 = · = a √ 1 a IO = · BJ = · 6 √ √ 7a SI = SO2 + IO2 = 12 A J ‘ = IO = Suy SIO IS C O M N I B Chọn đáp án D Câu 221 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm cạnh SD Tang mặt phẳng (AM C)√ và (SBC) √ √ góc tạo hai √ 5 A B C D 5 S M A D B -Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS Khiđó ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; 2a), a M 0; ; a # » a # » Ta có: AM = 0; ; a , AC = (a; a; 0), 2# » # » SB = (a; 0; −2a), SC = (a; a; −2a) C z S M A D y B x C Suy ra: î # » # »ó Mặt phẳng (AM C) có vectơ pháp tuyến #» n = · AM , AC = (−2; 2; −1) a î # » # »ó Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến #» n = · SB, SC = (2; 0; 1) a Gọi α là góc tạo hai mặt phẳng (AM C) và (SBC), ta có: √ | #» n · #» n 2| 5 cos α = #» = √ = | n | · | #» n 2| 3 Th.s Nguyễn Chín Em 356 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (360) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ … Do đó tan α = Chương - Hình học 11 √ −1= cos2 α Chọn đáp án D Câu 222 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = 2a, AD = 3a, AA0 = 4a Gọi α là góc hai mặt phẳng (AB D0 ) và (A0 C D) Giá trị cos α √ 29 27 137 A B C D 61 34 169 -Lời giải Gọi E, E là tâm hình chữ nhật ADD0 A0 , A0 B C D0 B0 C0 Khi đó: EE = (DA0 C ) ∩ (AB D0 ) Dựng A0 H, D0 F là đường cao hai tam giác DA0 C , E0 AB D0 ® A K ⊥ EE Dễ thấy: A0 H, D0 F , EE đồng qui K và D0 K ⊥ EE A0 D0 0 0 Khi đó ta có góc (AB D ) và (A C D) chính là góc hai K đường thẳng A0 H và D0 F p √ 2 0 0 0 Hình chữ nhật DD C C có: DC = p DD + D C = 5a Hình chữ nhật ADD0 A0 có: A0 D = AD2 + AA0 = 5a F H E B C A p √ 2 Hình chữ nhật có: = A0 B +√B C = 13a √ √ 2S 305 305 ∆DA0 C Suy ra: S∆DA0 C = 61a2 ⇒ A0 H = = a ⇒ A0 K = a 10 √ DC 305 a Hoàn toàn tương tự ta có: D0 K = 10 29 A0 K + D K − A0 D KD = ◊ =− Trong tam giác A0 D0 K có: cos A 0 2.A K.D K 61 29 0 ◊ ⇒ cos α = cos A KD = 61 Chọn đáp án A A0 B C D D A0 C √ a Câu 223 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB = AB = a, SC = , G là trọng tâm tam giác ABC, (α) là mặt phẳng qua G, song song với các đường thẳng AB và SB Gọi M , N , P là giao điểm (α) và các đường thẳng BC, AC, SC Góc hai mặt phẳng (M N P ) và (ABC) A 90◦ B 45◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải Gọi I là trung điểm AB, H là hình chiếu S lên IC, ta có S AB ⊥ (SIC) và SH ⊥ (ABC) √ a P Theo giả thiết, SI = SC = CI = nên 4SIC ® và H là trung điểm IC SA k (α) Do nên (SAB) k (α) hay (SAB) k (M N P ) AB k (α) N ‘ = 60◦ Suy ((M N P ); (ABCD)) = ((SAB); (ABCD)) = SIC A C G H I M B Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 357 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (361) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 224 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên cạnh đáy và a Gọi M là trung điểm SC Góc hai mặt phẳng (M BD) và (ABCD) A 90◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦ -Lời giải S M D C O A B Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có: ® BD ⊥ SO BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SOC) ⇒ BD ⊥ OM (M BD) ∩ (ABCD) = BD ¤ ÿ ÷ BD ⊥ OM ⇒ (M BD) , (ABCD) = OM, OC = M OC BD ⊥ OC √ SC a a OM = M C = = ⇒ 4M OC cân M ; OC = 2 √ a √ OC 2 ÷ ÷ ÷ cos M OC = cos M CO = = = ⇒M OC = 45◦ SC a ¤ Vậy (M BD) , (ABCD) = 45◦ Chọn đáp án C Câu 225 Cho hình √ chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật thỏa AD = AB Mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính góc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) A 60◦ B 30◦ C 90◦ D 45◦ S D A B C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 358 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (362) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 (SAB) ∩ (SCD) = Sx k AB k CD Gọi H, I là trung điểm AB, CD ⇒ SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CD Đồng thời, HI ⊥ CD suy CD ⊥ (SHI) ⇒ CD ⊥ SI Do Sx k CD ⇒ SH ⊥ Sx, SH ⊥ SI nên góc √ hai mặt phẳng AB ‘ Có SH = (SAB) và (SCD) là góc HSI , HI = AD = √ AB ‘ = HI = ⇒ HSI ‘ = 45◦ Vậy góc hai ⇒ tan HSI SH mặt phẳng (SAB) và (SCD) 45◦ S x A D H I B C Chọn đáp án D Câu 226 Cho hai mặt phẳng phân biệt α và β và đường thẳng a Xét các mệnh đề sau đây ® ® α⊥a a⊥β I) ⇒ α k β; III) ⇒ a k α; β⊥a α⊥β ® ® αka αkβ II) ⇒ α k β; IV) ⇒ a ⊥ β βka α⊥a Hỏi bốn mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A B C -Lời giải Mệnh đề I đúng Mệnh đề II sai vì α và β có thể cắt Mệnh đề III sai a có thể thuộc α Mệnh đề IV đúng Chọn đáp án B D Câu 227 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang √ vuông A và B với AB = BC = a, AD = 2a Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Côsin góc tạo hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) √ √ √ √ 21 21 21 21 A B C D 21 12 21 -Lời giải Xét hình chóp S.ABCD hệ tọa độ Oxyz hình z vẽ Khi đó ta có S A(0; 0; 0), ä B(a; 0; 0), D(0; 2a; 0), Ä √ S 0; 0; a , M (0; a; 0), C(a; a; 0) √ ä # » # » Ä Ta có BC = (0; a; 0), SB = a; 0; −a î # » # »ó Ä ä √ ⇒ #» n (SBC) = BC, SB = −a2 5; 0; −a2 √ ä # » # » Ä Ta có CD = (−a; a; 0), SC = a; a; −a ä î # » # »ó Ä √ √ ⇒ #» n (SCD) = CD, SC = −a2 5; −a2 5; −2a2 A x #» n (SBC) · Ta có cos [(SBC), (SCD)] = #» n · (SBC) #» n (SCD) #» n = (SCD) Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 5a4 a2 √ D y B + 6· M 2a4 a2 √ 14 √ = C 21 359 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (363) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 228 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N là trung điểm cách cạnh SB và SC Biết mặt phẳng (AM N ) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính diện tích tam √ giác AM N theo a √ √ √ a 10 a2 10 a2 a2 A B C D 24 16 -Lời giải Gọi K là trung điểm BC và H là giao điểm SK và M N Giả sử O là trọng tâm tam giác ABC giả S thiết suy SO ⊥ (ABC) SM SH SN Ta có M N k BC và = = = SB SK SC Vì KB = KC nên ta chứng minh HM = HN Mặt khác ta dễ chứng minh AM = AN nên tam giác AM N cân đỉnh A Vì (M AN ) ∩ (SBC) = M N , N H (M AN ) ⊥ (SBC), AH ⊥ M N nên AH ⊥ (SBC) suy AH ⊥ SK M Theo chứng minh trên ta có SH = HK nên tam giác √ a SAK cân đỉnh A suy SA = AK = A C O K B SK SB BK Trong tam giác vuông SBK ta có = − Mà SA = SB và BK = Ç √ å2 √ √ a a 2a2 a a − = ⇔ SK = Suy SH = HK = 2 4 sÇ √ å Ç √ å2 √ √ a a a 10 2 Tương tự AH = SA − SH = − = 4 √ √ 1 a 10 a a2 10 Mà S∆M AN = AH · M N = · · = 2 16 Chọn đáp án B BC Nên SK = Câu 229 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = AB = a, AD = 3a Gọi M là trung điểm BC Tính cô-sin góc tạo mặt phẳng (ABCD) và (SDM ) A B C D 7 7 -Lời giải S A B D M C H K Th.s Nguyễn Chín Em 360 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (364) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 • Gọi H là hình chiếu A trên DM , ta có DM ⊥ (SAH) nên DM ⊥ SH ’ Suy ((SDM ), (ABCD) = (SH, AH) = SHA • Gọi K là giao điểm DM và AB, ta có B là trung điểm AK nên AK = 2AB = 2a 4ABK vuông A và có AH là đường cao Ta có 1 1 13 = + = 2+ = 2 AH AK AD 4a 9a 36a2 6a nên AH = √ 13 Lại có SH = SA2 + AH = a2 + 36a2 49a2 7a = nên SH = √ 13 13 13 AH = SH Chọn đáp án A ’= • cos SHA Câu 230 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với C Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thì song song với D Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với -Lời giải Mệnh đề đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song với nhau” Chọn đáp án D Câu 231 Cho tứ diện ABCD Cô-sin góc hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) 1 A B C D -Lời giải Gọi I là trung điểm AB Khi đó CI ⊥ AB và DI ⊥ AB, nên A ’ ((ABC), (ABD)) = (CI, DI) = CID Giả sử√độ dài cạnh tứ diện ABCD 1, đó ta có CI = 2 ’ = CI + DI − CD = DI = , nên cos CID I 2 · CI · DI B C D Chọn đáp án D Câu 232 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 , gọi O0 là trung điểm A0 C Tính tan α với α là góc tạo đường thẳng BO0 và mặt phẳng (ABCD) √ √ √ B C D A D0 A0 C0 O0 B0 D A C B -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 361 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (365) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 BO là ÷ Gọi O là trung điểm AC ⇒ OO0 ⊥ (ABCD) Suy ra, O góc đường thẳng O B và mặt phẳng (ABCD) Gọi a là cạnh √ hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Khi đó, OO0 = OB a a, OB = = 2 Tam giác O BO vuông O, suy √ a OO0 BO = ÷ = √ = tan O OB a 2 √ Vậy tan α = D0 C0 O0 A0 B0 D A C O B Chọn đáp án B ’ = 120◦ , SA ⊥ (ABCD) Biết góc Câu 233 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) 60◦ Tính SA √ √ √ √ a a a A D B C a 2 -Lời giải Ta có BD ⊥ SC, kẻ OM ⊥ SC ⇒ (BDM ) ⊥ SC đó góc hai S ÷ ÷ mặt phẳng (SBC) và (SCD) là BM D = 120◦ BM D = 60◦ ÷ Trường hợp 1: BM D = 120◦ mà tam giác BM D cân M nên √ a ◦ ◦ ÷ BM O = 60 Khi đó M O = BO · cot 60 = √ M SA · CD a Do ∆OCM v ∆SCA nên OM = ⇒ SA = SC D ÷ A Trường hợp 2: BM D = 60◦ tính thì vô lý O B Chọn đáp án D C Câu 234 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh là Gọi M, N là trung điểm BC và CD Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (A0 M N ) √ √ √ √ 17 17 35 35 A B C D 6 7 -Lời giải Thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng M B C (A0 M N ) là ngũ giác A0 P M N Q I 0 0 Hình chiếu ngũ giác A P M N Q lên mặt phẳng A B C D P N là ngũ giác A0 B M N D0 0 Áp dụng công thức S = S · cos ϕ ⇒ SA0 B M N D0 = D A SA0 P M N Q · cos ϕ Ta có SA M0 B M N D = SA0 B C D −SM C N = 2·2− ·1·1 = 2 B C0 0 K Q Gọi I, K là trung điểm M N và M N ⇒ A I ⊥ K ’ M N và A0 K ⊥ M N ⇒ ϕ = IA N0 A0 D0 √ … √ √ √ 17 Ta có A0 M = A0 B + BM = + = ⇒ A0 I = A0 M − M I = − = √ 2 √ 02 02 02 0 02 AM =AB +B M =5⇒AK = AM −M K = √ 0K A Xét tam giác A0 IK vuông K, ta có cos ϕ = = √ AI 17 √ √ 17 17 Suy SA0 P M N Q = · = Th.s Nguyễn Chín Em 362 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (366) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A ’ = 120◦ Hình chiếu A Câu 235 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 2BC và BAC trên các đoạn SB, SC là M , N Tính góc hai mặt phẳng (ABC)và (AM N ) A 45◦ B 15◦ C 30◦ D 60◦ -Lời giải Đặt BC = a Dựng đường kính AD đường tròn ngoại tiếp đáy ® CD ⊥ AC S Ta có ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AN CD ⊥ SA Mà AN ⊥ SC ⇒ AN ⊥ (SCD) ⇒ AN ⊥ SD M Tương tự ta chứng minh SD ⊥ AM Suy SD ⊥ (AM N ) lại ’ có SA ⊥ (ABC) nên ((AHK), (ABC)) = (SD, SA) = ASD √ BC 2a Ta có AD = = sin A √3 N 2a √ A B ’ = AD = = ⇒ ASD ’ = 30◦ tan ASD SA 2a D C Chọn đáp án C Câu 236 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C 0 0 có G, G là trọng tâm hai đáy ABC và A B C (tham khảo hình vẽ) Thiết diện tạo mặt phẳng (AGG0 ) với hình lăng trụ đã cho là A tam giác vuông B tam giác cân C hình vuông D hình chữ nhật -Lời giải Ta có (A0 B C ) k (ABC) nên (AGG0 ) ∩ (A0 B C ) = A0 M (M là trung điểm B C ) Gọi M là trung điểm BC Thiết diện là hình chữ nhật AA0 M M B0 A0 G0 C0 A0 A B0 B G G0 M0 C C A B G M C Chọn đáp án D Câu 237 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N là trung điểm SB và SD (tham khảo hình vẽ), α là góc hai mặt phẳng √ sin α √ (AM N ) và (SBD) Giá trị 2 A B √3 C D 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 363 S M N A B D https://emncischool.wixsite.com/geogebra C (367) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là trung điểm BD Gọi I = ® M N ∩ SO, P = AI ∩ SC SB ⊥ AM Ta có ⇒ AM ⊥ (SBC) ⇒ AM ⊥ SC BC ⊥ AM Tương tự ta có AN ⊥ SC Suy SC®⊥ (AM N ) M N k BD Mặt khác ⇔ M N ⊥ (SAO) BD ⊥ (SAO) Suy góc hai mặt phẳng (AM N ) và (SBD) là góc ‘ = α AI và SO hay là SIP Xét tam giác vuông SIP vuông P Ta có √ SI = SO = a √ SA SP = = a (áp dụng hệ thức lượng cho tam giác SC vuông SAC) √ SP 2 sin α = = SI S P M I N A B O D C Chọn đáp án B ’ = Câu 238 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC), đáy ABC là tam giác vuông C Cho ASC ’ = 45◦ , sin góc hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) 60◦ , BSC √ √ √ √ 42 A B C D 7 -Lời giải Dựng AE ⊥ SB, AF ⊥ SC Dễ dàng chứng minh SB ⊥ (AEF ) ’ Góc hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)√là góc AEF √ √ Giả sử SA = ⇒√SC = 2, BC = 2, AC = và AB = 7, SB = 2 √ 14 Từ đó có AF = , AE = √ 42 ’ Tam giác AF E vuông F nên sin F EA = S E F A B C Chọn đáp án C Câu 239 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc (ABCD) Gọi M là trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Tính côsin góc hai mặt phẳng (SM D) và (ABCD) 2 A √ B √ C D √ 10 5 S A B M D C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 364 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (368) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kéo dài DM cắt AB E Kẻ AH ⊥ DM (H ∈ DM ) Khi đó B là trung điểm AE ’ là góc (SM D) và đáy ,góc SHA 2a AD · AE =√ Ta có AH = √ 2 AD + AE√ SA ’ = ’ = tan SHA = ⇒ cos SHA AH 2 = ’ + tan2 SHA S A B H D E M C Chọn đáp án C Câu 240 Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau, gọi d = (α) ∩ (β) Xét các mệnh đề sau: (I) Nếu a ⊂ (α) và a ⊥ d thì a ⊥ (β) (II) Nếu d0 ⊥ (α) thì d0 ⊥ d (III) Nếu b ⊥ d thì b ⊂ (α) b ⊂ (β) (IV) Nếu d ⊥ (γ) thì (γ) ⊥ (α) và (γ) ⊥ (β) Số mệnh đề sai là A B C D -Lời giải Chỉ có mệnh đề (III) sai Chọn đáp án B Câu 241 √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, SC = SD = a Gọi I là trung điểm AB, J là trung điểm CD Gọi H là hình chiếu S trên (ABCD) Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt AD và BC kéo dài M , N Xét các mệnh đề sau (I) Tam giác SIJ √ là tam giác nhọn ‘ = (II) sin SIH ÷ (III) M SN là góc hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) ÷ (IV) cos M SN = Các mệnh đề đúng là A (I) và (II) B (II) và (III) C (III) D (III) và (IV) -Lời giải Vì tam giác SAB và tam giác SCD cân S và S x I, J là trung điểm AB và CD nên SI ⊥ ® AB và SJ ⊥ CD ⇒ AB ⊥ SJ AB ⊥ SI √ Từ ⇒ AB ⊥ (SIJ) a AB ⊥ SJ ® AB ∈ (ABCD) Vì ⇒ (SIJ) ⊥ (ABCD) a AB ⊥ (SIJ) Kẻ SH ⊥ IJ = (SIJ) ∩ (ABCD) Suy SH ⊥ N D A (ABCD) a H I J M B C √ √ √ a a 11 Trong 4SAB có SI = SA sin 60◦ = Trong 4(SCD) có SJ = SD2 − JD2 = 2 a Đặt HI = x ⇒ SH = SI − x2 = SJ − (a + x)2 ⇒ x = Vì đường thẳng qua H song song với AB cắt các cạnh AD, BC kéo dài nên H nằm ngoài đoạn IJ nên 4SIJ tù Mệnh đề (I) sai Th.s Nguyễn Chín Em 365 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (369) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ SI + SJ − IJ 33 ‘ cos SIJ = = Mệnh đề (II) sai 2SI · SJ 33 Vì AD k BC nên giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx qua S và song song với BC và AD ÷ Ta có BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ M N mà SH ⊥ BC suy BC ⊥ (SM N ) ⇒ Sx ⊥ (SM N ) nên M SN là góc giũa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) Mệnh đề (III) đúng √ √ 2 √ 3a a a a Ta có SH = SI − HI = − = ⇒ SM = SH + HM = 4 2 2 3a 3a + − a2 + SN − AB SM 4 ÷ = = Trong tam giác M SN có cos M SN = 2 · SM · SN 3a Mệnh đề (IV) đúng √ … Vậy các mệnh đề đúng là (III) và (IV) Chọn đáp án D Câu 242 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−2; 0; 0), B(0; 4; 2), C(2; 2; −2) Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), S là điểm di động trên đường thẳng d, G và H là trọng tâm tam giác ABC và trực tâm tam giác SBC Đường thẳng GH cắt đường thẳng d S Tính tích SA.S A A SA.S A = B SA.S A = C SA.S A = 12 D SA · S A = 2 -Lời giải # » # » # » Ta có AB = (2; 4; 2), S √ AC = (4; 2; −2), BC = (2; −2; 4) nên AB = BC = CA = Gọi ®M , N là trung điểm BC và AC BN ⊥ AC Từ ⇒ BN ⊥ (SAC) ⇒ BN ⊥ SC SA ⊥ BN ® BN ⊥ SC Từ ⇒ SC ⊥ (BN E) ⇒ SC ⊥ GH BE ⊥ SC E ® AM ⊥ BC Mặt khác ⇒ BC ⊥ (SAM ) ⇒ BC ⊥ GH N SA ⊥ BC ® A C GH ⊥ SC H G Vì ⇒ GH ⊥ (SBC) ⇒ GH ⊥ SM GH ⊥ BC M S0 B MA AS Dễ thấy 4M AS v 4S AG ⇒ = ⇒ AS · AS = M A · AG = AM SA AGÄ √ √ ä2 ◦ Mà AM = AB · sin 60 = ⇒ AS · AS = = 12 Chọn đáp án D 0 Câu 243 Cho lăng 2a, đáy ABC là tam giác vuông A, √ trụ ABC.A B C có độ dài cạnh bên AB = a, AC = a và hình chiếu vuông góc đỉnh A0 lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC Gọi α là số đo góc hai đường thẳng AA0 , B C , khẳng định nào sau đây đúng? √ 3 A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = 10 5 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 366 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (370) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là√trung điểm cạnh BC Ta có BC = √ AB + AC = 2a √ ⇒ AH = a ⇒ A0 H = A0 A2 − AH = a cos (AA0 , B C ) = cos (BB , BC) = cos α Ta có A0 H ⊥ (ABC) ⇒ A0 H ⊥ (A0 B C ) ⇒ ∆A0 HB vuông A0 p Ta suy B H = A0 H + A0 B = 2a Trong tam giác B BH có BH = ÷ cos B C0 A0 2a B0 √ a A B B + BH − B H = 2B B · BH C a Vậy cos α = α H B Chọn đáp án A ’ = 60◦ Gọi Câu 244 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = BC = a và BAC H và K là hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Tính côsin góc hai mặt phẳng (AHK) và (ABC) √ √ √ 21 3 A B C D 7 -Lời giải Kẻ AD ® là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC DB ⊥ AB Ta có ⇒ DB ⊥ (SAB) ⇒ DB ⊥ AH, mà DB ⊥ SA AH ⊥ SB ® ⇒ AH ⊥ (SBD) ⇒ AH ⊥ SD DC ⊥ AC Ta có ⇒ DC ⊥ (SAC) ⇒ DC ⊥ AK, mà DC ⊥ SA AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ (SDC) ⇒ AK ⊥ SD Do đó SD ⊥ (AHK) (1) Mà SA ⊥ (ABC) (2) S K H A C D B Ÿ ’ = α Từ (1) và (2), suy góc hai mặt phẳng (AHK) và (ABC) (SD; SA) = ASD BC 2a Áp dụng định lý sin tam giác ABC, ta có = AD ⇒ AD = √ sin A √ AD 21 Xét 4SAD, ta có tan α = = √ ⇒ cos α = AS Chọn đáp án A Câu 245 Th.s Nguyễn Chín Em 367 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (371) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = a, BC = 2a, AA0 = 3a Gọi α là góc hai mặt phẳng (ACD0 ) và (ABCD) (tham khảo hình vẽ bên) Giá trị √ tan α √ √ 5 A B C D 2 A0 D0 B0 C0 A D B -Lời giải Gọi K là hình chiếu D trên AC Vì AC ⊥ DK và AC ⊥ DD0 nên AC ⊥ KD0 KD ÷ Vậy góc (ACD0 ) và (ABCD) góc D AD · CD 2a · a 2a Ta có KD = √ =p =√ 2 2 AD + CD √ (2a) + a DD 2a tan α = = 3a ÷ √ = KD C A0 D0 B0 C0 A D K B C Chọn đáp án B Câu 246 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a (tham khảo hình vẽ) Giá trị sin góc hai mặt phẳng (BDA0 ) và (ABCD) √ √ √ √ 6 B C D A 3 D0 A0 C0 B0 A D B -Lời giải Gọi O là tâm đáy ABCD, suy AO ⊥ BD Mặt khác tam giác A0 BD OA ’ nên A0 O ⊥ BD, từ đó suy ((A0 BD), (ABCD)) = A √ 0 2, từ đó Tam giác ABD√vuông A, suy A B = BD = A D = a √ a a suy AO = và A0 O = 2 √ AA 0 ’ Tam giác A AO vuông A, suy sin A OA = = AO C D0 A0 C0 B0 A D O B Chọn đáp án C C Câu 247 Trong mặt phẳng (P ) cho tam giác ABC cạnh a Trên các đường thẳng √ vuông góc (P ) √ a B và C lấy các điểm D, E nằm cùng bên (P ) cho BD = , CE = a Tính góc mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (ADE) A 30◦ B 90◦ C 45◦ D 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 368 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (372) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M , N , P là trung điểm EC, EA, AC Dễ thấy mặt phẳng (DM N ) song song với mặt phẳng ABC nên góc mặt phẳng (ADE) và mặt phẳng (P ) là góc (ADE) và mặt phẳng (DM N ) ® BP ⊥AC Ta có ⇒ BP ⊥(ACE) BP ⊥CE Mặt khác N P k BD và N P = EC = BD nên BP N M là hình bình hành Do đó BP k DN ⇒ DN ⊥(EAC) Suy DN ⊥EN và DN ⊥M N Vậy góc (P ) và mặt phẳng (DM N ) là góc ÷ ’ = 60◦ EN và M N Dễ thấy EN M = EAC E D N M B A P C Chọn đáp án D Câu 248 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm AC Khẳng định nào sau đây sai? A (SAB) ⊥ (SBC) B (SBC) ⊥ (SAC) C BM ⊥ AC D (SBM ) ⊥ (SAC) -Lời giải S Ta có BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB), suy (SAB) ⊥ (SBC) Do ABC là tam giác cân B nên BM ⊥ AC Ta có BM ⊥ SA, BM ⊥ AC nên BM ⊥ (SAC), suy (SBM ) ⊥ (SAC) M A C B Chọn đáp án B Câu 249 Cho hình chóp tứ giác có độ dài cạnh đáy a Tính cosin góc mặt phẳng liền kề √ 1 A √ B C D − 3 -Lời giải • Gọi H là trung điểm SC Do 4SBC và 4SCD là S các tam giác nên BH ⊥ SC, DH ⊥ SC Do đó ÷ cos((SBC), (SCD)) = | cos √ BHD| √ a • Ta có HB = HD = và BD = a nên theo định lý ÷ cosin tam giác cos BHD = H A B D Chọn đáp án B O C Câu 250 Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh là a Gọi φ là góc đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) Tính cos φ Th.s Nguyễn Chín Em 369 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (373) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ A cos φ = B cos φ = C cos φ = 2 -Lời giải Gọi H là hình chiếu A lên mặt phẳng BCD Do ABCD là tứ diện nên H là trọng tâm √ tam √ giác BCD a a Ta có BH = · = 3 √ √ a 3 BH ’ = = Khi đó cos φ = cos ABH = AB 3a √ D cos φ = A B D H C Chọn đáp án D Câu 251 Cho hình thập nhị diện (tham khảo hình vẽ bên) Cô-sin góc tạo hai mặt phẳng có chung cạnh thập √ nhị diện √ 5−1 5−1 1 A B C √ D -Lời giải Giả sử cạnh đa diện có độ dài và ký hiệu các đỉnh hình vẽ Mỗi mặt khối đa diện là ngũ giác nên dễ thấy AB k M N ⇒ AB k (M N P QR) Tương tự ta có BC, CD, DE, EA song song với mặt phẳng (M N P QR), dẫn tới A, B, C, D, E đồng phẳng và ngũ giác ABCDE AB AK AB AK Ta có = hay = ◦ sin 108 sin 36◦ ’ ’ sin AKB sin ABK ⇒ AB = K A H B M N R sin 108◦ sin 72◦ = = cos 36◦ 36◦ sin 36◦ E P C Q D ◦ ◦ ’ Lại có BE = 2AB cos ABE = 2AB cos 36 ⇒ BE = cos 36 Lấy H là trung điểm AM , đó ta có BH ⊥ AM và EH ⊥ AM Góc hai mặt chung cạnh AM là α = (BH, HE) ◦ BH ’ = tan 72◦ ⇒ BH = tan 72 Ta có = tan BAH AH ’ BE cos2 36◦ BHE cos2 36◦ cos 72◦ cos 36◦ = = Trong tam giác BHE cân H, cos = = 2BH tan 72◦ sin 72◦ cos 18◦ ◦ ◦ ’ = cos 36 − = cos 36 − Từ đó dẫn tới cos BHE cos2 18◦ + cos 36◦ Ta có √ 1+ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ cos 108 + cos 72 = ⇔ cos 36 + cos 36 − cos 36 − = ⇔ cos 36 = (vì cos 36◦ > 0) ’ = − √1 , dẫn đến cos(BH, HE) = √1 Suy cos BHE 5 Th.s Nguyễn Chín Em 370 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (374) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu 252 Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và SA = √ a , tam giác ABC vuông A, AC = a 3, AB = a Tính góc mp(SBC) với mp(ABC) A 26◦ 330 5400 B 30◦ C 60◦ D 63◦ 580 500 -Lời giải Gọi ® M là hình chiếu vuông góc A trên BC BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM ) BC ⊥ SA ⇒ BM ⊥ SM (vì SM ⊂ (SAM )) (SBC) ∩ (ABC) = BC Vì S SM ⊥ BC, SM ⊂ (SBC) AM ⊥ BC, AM ⊂ (ABC) A C M B ’ ⇒ ((SBC), (ABC)) = (SM, AM ) = SM A (vì tam giác SAM vuông A) √ a 1 1 Tam giác ABC vuông A suy ⇒ AM = = + = 2+ √ AM AB AC a (a 3)2 a SA = √1 ⇒ SM ’ ’ = √ A = 30◦ tan SM A= AM a 3 Vậy ((SBC), (ABC)) = 30◦ Chọn đáp án B Câu 253 Chiều cao khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A0 B C là A A0 H với H là trực tâm tam giác ABC B A0 H với H là trọng tâm tam giác ABC C Độ dài cạnh bên D A0 H với H là trung điểm BC -Lời giải Lăng trụ đứng nên cạnh bên là đường cao Do đó, chiều cao khối lăng trụ độ dài cạnh bên Chọn đáp án C ’ = SAC ’ = 60◦ và đáy ABC là tam giác Câu 254 Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = SA = a, SAB vuông A Khi đó số đo góc hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) A 45◦ B 60◦ C 90◦ D 30◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm BC Vì tam giác ABC vuông cân A nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ’ = SAC ’ = 60◦ nên các tam giác SAB, SAC là Vì AB = AC = SA = a, SAB tam giác Do SA = SB = SC = a ⇒ SM ⊥ (ABC) ⇒ góc hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) 90◦ S M B C A Chọn đáp án C ’ = CAD ’ = DAB ’ = 90◦ , AB = 1, AC = 2, AD = Côsin góc Câu 255 Cho tứ diện ABCD có BAC hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) √ √ 13 A B C D 13 7 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 371 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (375) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Từ giả thiết suy AD ⊥ (ABC) Trong 4ABC, kẻ AH ⊥ AC Khi đó BC ⊥ (DAH) Suy góc hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) góc ’ hai đường thẳng AH và DH và góc DHA Tam giác DAH vuông A AB · AC 1·2 AH = √ =√ =√ 2 2 AB + AC +2 … p DH = AD2 + AH = 32 + = √ 5 AH ’ = ⇒ cos DHA =√ ÷√ = DH 5 D A C H B Chọn đáp án D √ √ a Câu 256 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a và chiều cao Giá trị tang góc mặt bên và mặt đáy √ C A B √ D -Lời giải Vì S.ABCD là hình chóp nên SO ⊥ (ABCD), với O là tâm hình S vuông ABCD Gọi H là trung điểm CD Tam giác SCD cân S nên SH ⊥ CD Tam giác OCD cân O nên OH ⊥ CD ’ Vậy góc (SCD) và√(ABCD) là√SHO a a ’ = SO = A D Ta có OH = BC = ; SO = nên tan SHO 2 OH H O B C Chọn đáp án A Câu 257 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) ’ ’ ’ ’ A SDA B SCA C SCB D ASD S A D B C -Lời giải ® CD ⊥ AD ’ Ta có: nên CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD nên góc (SCD) và (ABCD) SDA CD ⊥ SA Chọn đáp án A Câu 258 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA = SC Khẳng định nào sau đây đúng? A Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Th.s Nguyễn Chín Em 372 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (376) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 B Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) C Mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) D Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) -Lời giải Gọi O = AC ∩ BD Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD (1) Mặt khác tam giác SAC cân S nên SO ⊥ AC (2) Từ (1) và (2) suy AC ⊥ (SBD) nên (SBD) ⊥ (ABCD) S D C O A B Chọn đáp án A √ Câu 259 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, OB = √ a (ABCD) và SO = Góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABDC) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Kẻ OH ⊥ BC với H ∈ BC ® S OH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOH) SO ⊥ BC ’ Góc hai mặt phẳng (SBC) √ và (ABDC) SHO 2 √ S · SBCD = a OBC = 2 ⇒ OH = a Ta có SOBC = · OH · BC A −1 ’ = tan SO = 30◦ Vậy SHO O OH D a , SO ⊥ B H C Chọn đáp án A Câu 260 Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a Góc cạnh bên và mặt đáy 60◦ (tham khảo hình vẽ bên) Côsin góc mặt bên và mặt đáy hình chóp là √ A √113 B √13 C 2√133 D 2√ -Lời giải ’ = 60◦ là góc cạnh bên và Gọi I là trung điểm AB Góc DCH ’ là góc mặt bên và mặt đáy đáy, góc DIH √ √ a 39 ◦ 2 Ta có DH = CH · tan 60 = a Vậy DI = IH + DH = √ √ ’ = IH = a : a 39 = √1 Vậy cos DIH DH 6 13 D A C H I B Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 373 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (377) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 261 Đáy lăng trụ tam giác là tam giác ABC có cạnh a Trên các cạnh bên lấy các điểm A1 , B1 , C1 cách đáy khoảng a 3a , a, (tham khảo hình vẽ bên) Côsin góc (A1 B1 C1 ) và (ABC) 2 √ √ √ √ 15 13 B C D A B1 A1 C1 A B C -Lời giải Gọi α là góc hai mặt phẳng (A1 B1 C1 ) và (ABC) SABC Theo công thức hình chiếu ta có cos α = SA1 B1 C1 √ a2 Ta có SABC = Gọi H, I, K là hình chiếu A1 , B1 lên các cạnh bên (xem hình vẽ). » √ A1 H + HC12 = a A C = 1 √ Khi đó, ta có A1 B1 = B1 C1 = a √ a2 Ta tam giác A1 B1 C1 cân B1 ⇒ SA1 B1 C1 = √ Vậy cos α = B1 C1 A1 I K A B H C Chọn đáp án A Câu 262 Cho hình chóp S.ABC có cạnh √ SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), biết AB = AC = a, BC = a Tính góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)? A 120◦ B 150◦ ◦ C 60 D 30◦ S A B -Lời giải (SAB) ∩ (SAC) = SA (ABC) ⊥ SA Ta có (ABC) ∩ (SAB) = AB (ABC) ∩ (SAC) = AC Suy góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) góc hai đường thẳng AB và AC AB + AC − BC a2 + a2 − 3a2 ’ = 120◦ Xét tam giác ABC ⇒ cos BAC = = = − ⇒ BAC · AB · AC 2·a·a Khi đó, góc gữa hai đường thẳng AB và AC 60◦ Vậy góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) 60◦ Chọn đáp án C C Câu 263 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Cosin góc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Th.s Nguyễn Chín Em 374 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (378) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A Chương - Hình học 11 B √ C D -Lời giải S A E D F O B C Gọi E, F là trung điểm AB, CD, d là giao tuyến hai d k AB k CD và (SEF ) ⊥ d 2 ’ | = SE + SF − EF = Ta có cos((SAB), (SCD)) = | cos ESF 2SE · SF Chọn đáp án C mặt phẳng (SAB) và (SCD), dễ thấy Câu 264 Trong không gian Mệnh đề nào sau đây đúng? A Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song D Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song -Lời giải Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song” là mệnh đề đúng Chọn đáp án B Câu 265 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy là tam giác cạnh a, cạnh bên AA0 = 2a Hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm đoạn BG (với G là trọng tâm tam giác ABC) Tính cosin góc ϕ hai mặt phẳng (ABC) và (ABB A0 ) 1 1 A cos ϕ = √ B cos ϕ = √ C cos ϕ = √ D cos ϕ = √ 95 165 134 126 -Lời giải Ta có (ABC) ∩ (A0 B BA) = AB A0 Gọi H, N là trung điểm BG và AB Vì 4ABC nên CN ⊥ AB Từ H hạ HP ⊥ BN suy P là trung điểm BN và AB ⊥ P H (1) Mặt khác, vì A0 H ⊥ (ABC) ⇒ A0 H ⊥ AB (2) B0 C0 Từ (1) và (2), suy AB ⊥ (A0 P H) ⇒ A0 P ⊥ AB Vậy góc mặt phẳng (ABC) và (ABA0 B ) là A P H ÷ ϕ=A N P G H B C a a 3a Tam giác A0 P A vuông P (vì A0 P ⊥ AB) có A0 A = 2a, AP = AN + N P = + = 4 √ √ √ a 55 CN a ⇒ A0 P = A0 A2 − AP = , GN = = √ GN a Lại có HP = = 12 Tam giác A0 P H vuông H, ta có: Th.s Nguyễn Chín Em 375 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (379) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a PH 12 = √ cos ϕ = = √ AP a 55 165 Chọn đáp án B Câu 266 Cho hình chóp tứ giác có tất các cạnh a Tính côsin góc hợp mặt bên và mặt đáy hình chóp 1 1 A √ C D √ B 3 -Lời giải Gọi S.ABCD là hình chóp tứ giác và O là tâm đáy Giả sử H là trung điểm CD Ta có SH ⊥ CD, OH ⊥ CD ⇒ góc (SCD) và (ABCD) là ’ SHO √ a a Xét tam giác SOH có OH = , SH = 2 ’ =√ ⇒ cos SHO S D A H O B C Chọn đáp án A Câu 267 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh SA vuông góc với mặt √ phẳng đáy (ABCD) và SA = a Tính góc tạo mặt phẳng (SAB) và (SCD) A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦ -Lời giải AB ⊂ (SAB) CD ⊂ (SCD) ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = d k AB k DC AB k DC ® d ⊥ SA Vì d k AB ⇒ d ⊥ (SAD) ⇒ d ⊥ SD ’ Do đó ((SAB), (SCD)) = ASD Xét tam giác ASD, Ta có ’= tan ASD d S AD ’ = 30◦ = √ ⇒ ASD AS A D Chọn đáp án A B C ’ = 120◦ Gọi I là trung điểm Câu 268 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có AB = AC = BB = a, BAC 0 CC Tính cos góc tạo hai mặt phẳng (ABC) và (AB I) √ √ √ √ 3 30 A B C D 2 12 10 -Lời giải Ta có AA0 B B là hình vuông cạnh a nên B A2 = 2a2 a2 5a2 AI = AC + CI = a2 + = 4 √ BC = AB + AC − · AB · AC cos 120◦ = 3a2 ⇒ BC = a a2 13a2 B I = B C 02 + C I = BC + = 4 02 2 Từ đó: AB + AI = B I suy 4AB I vuông A Gọi D là giao điểm BC và B I, suy AD là giao tuyến (ABC) và (AB I) Th.s Nguyễn Chín Em 376 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (380) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ CH ⊥ AD (H thuộc AD) ’ Vì C là hình chiếu I trên (ABC) nên IH ⊥ AD, suy IHC chính là góc (ABC) và (AB I) √ Vì CI là đường trung bình 4BB D nên CD = BC = a Khi đó: √ AD2 = AC + CD2 − · AC · CD cos 150◦ = 7a2 ⇒ AD = a Mà ◦ AD AC ’ = AC sin 150 = √ = ⇒ sin ADC ◦ sin 150 AD ’ sin ADC √ ’ = a√3 , Suy ra: CH = CD sin ADC √ 2 a 3a 10a a 10 IH = CI + CH = + = ⇒ IH = √ 28 28 √ √ CH 30 ’= Suy ra: cos IHC =√ = IH 10 10 B0 A0 C0 I B A C H D Chọn đáp án D √ Câu 269 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo a và SA √ vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi α là góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Nếu tan α = thì góc hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD, hạ OI ⊥ SC Ta có BD ⊥ AC, BD ⊥ S SA ⇒ BD ⊥ (SAC) suy BD ⊥ SO và BD ⊥ SC từ đó suy ’ Mặt khác ((SBD), (ABCD)) = SOA ’= tan SOA √ √ SA AC √ = ⇒ SA = AO = = a AO A D I Ta có O ’ SC ⊥ OI, SC ⊥ BO ⇒ SC ⊥ BI ⇒ ((SAC), (SBC)) = OIB 4ICO v 4ACS (g.g) B C √ OI OC OC · SA OC · SA a ⇒ = ⇒ OI = =√ = SA SC SC AC + SA2 ’= Tam giác BOI vuông O nên tan BIO và (SBC) 60◦ Chọn đáp án B BO √ ’ = 60◦ Vậy góc hai mặt phẳng (SAC) = ⇒ BIO OI Câu 270 Cho tứ diện ABCD có (ACD) ⊥ (BCD), AC = AD = BC = BD = a và CD = 2x Gọi I, J là trung √ điểm AB và CD Với giá trị nào x thì (ABC) ⊥ (ABD)? √ a a A x = B x = a C x = a D x = 3 -Lời giải Tam giác ACD cân A nên AJ ⊥ CD, mà CD là giao tuyến hai mặt A phẳng vuông góc (ACD), (BCD) nên AJ ⊥ (BCD), suy AJ ⊥ BJ Lại √ √ có 4ACD = 4BCD nên AJ = BJ = a2 − x2 Suy AB = 2a2 − 2x2 I Tam giác CAB và tam giác DAB cân C, D nên IC, ID cùng vuông góc AB hay (IC, ID) = ((ABC), (ABD)) Do 4CAB = 4DAB nên B D IC = ID = BC − AB = a2 + x2 J C Suy √ (ABC) ⊥ (ABD) ⇔ IC ⊥ ID ⇔ CD = IC Th.s Nguyễn Chín Em 377 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (381) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Suy 2x = √ a2 + x2 Chương - Hình học 11 √ a hay x = Chọn đáp án A Câu 271 Cho hình chóp √ S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BD = a Cạnh bên SA vuông góc a với mặt đáy và SA = Tính góc hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) ◦ A 60 B 120◦ C 45◦ D 90◦ -Lời giải Trong mặt phẳng (SBC) dựng BM ⊥ SC (M ∈ SC) S BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BDM ) ⇒ SC ⊥ DM ¤ ÷ Vậy (SBC), (SCD) = BM D √ a 10 Trong tam giác SAB : SB = SA2 + AB ⇒ SB = 3a Trong tam giác SAC : SC = SA2 + AC ⇒ SC = √ M Áp dụng định lý cosin tam giác √ SBC, ta có: 2 A D ’ = SC + BC − SB = ⇒ BCS ’ = 45◦ hay 4BM C cos BCS O 2SC · BC vuông cân M a B C Vậy DM = BM = √ Trong tam giác BM D, ta có : BM + DM = BD2 ÷ ⇒ 4BM D vuông cân M hay BM D = 90◦ ¤ ÷ Vậy (SBC), (SCD) = BM D = 90◦ Chọn đáp án D Câu 272 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có cạnh bên 2a, góc tạo A0 B và mặt đáy 60◦ Gọi M là trung điểm √ BC Tính cô-sin góc tạo hai đường thẳng A C√và AM 3 A cos(A0 C, AM ) = B cos(A0 C, AM ) = √2 √6 D cos(A0 C, AM ) = C cos(A0 C, AM ) = 4 -Lời giải Trong tam giác AA0 B vuông A ta có B0 A0 √ AA0 2a ÷0 = AA ⇒ AB = tan ABA = AB ÷0 tan ABA C0 N Gọi N là trung điểm A0 B Khi đó M N k A0 C Như góc A0 C và AM … góc M N và √ AM √ 4a 4a 2a Ta có A C = 4a + = ; MN = = AN và AM = 3 √ √ 2a 3 · = a A B M C Trong tam giác AM N ta có 4a2 √ − 4a + a + − 3 ÷ √ cos AM N = = = 2M N · AM 2a 2· ·a √ Vậy cô-sin góc tạo hai đường thẳng A C và AM Chọn đáp án D MN2 Th.s Nguyễn Chín Em AM AN 378 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (382) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu √ 273 (1H3K4-3) Cho hai mặt phẳng (α), (β) Trên mặt phẳng (α) lấy tam giác ABC có AB = AC = a 2, BC = 2a Qua A, B, C kẻ các đường thẳng vuông góc với (β) và cắt (β) A0 , B , C tương √ √ 3− 0 0 0 0 ứng Biết A B = A C = a 3, hai đường thẳng A B và B C tạo với góc arccos Tính góc (α) và (β) π π π π A B C D -Lời giải Tam giác ABC có AB + AC = 2a2 + 2a2 = 4a2 = BC nên C ABC là tam giác vuông cân A Suy S4ABC = · AB · AC = a2 A 0 0 0 Gọi H là trung điểm B C Do 4A B C cân A nên A H ⊥ √ √ 3− 0 0 0 0 ◊ B C và B H = A B · cos A B C = a · ; √ 3− =a ; √ B 3− 0 B C = 2B H = 2a s A0 C0 √ √ 3− Suy A0 H = A0 B 02 − B H = 3a2 − a2 H √ 3+ =a B0 √ √ √ 1 a2 3− 3+ 0 Suy S4A0 B C = · B C · A H = · 2a ·a = 2 2 Gọi ϕ là góc hai mặt √ phẳng (α) và (β) Khi đó ta có S4A0 B C = S4ABC · cos ϕ a2 √ S4A0 B C π = = ⇒ϕ= ⇒ cos ϕ = S4ABC a Chọn đáp án D Câu = AC = √ 274 (1H3K4-3) Cho hai mặt phẳng (α), (β) Trên mặt phẳng (α) lấy tam giác ABC có0 AB a 2, BC = 2a Qua A, B, C kẻ các đường thẳng vuông góc với (β) và cắt (β) A , B , C tương √ √ 3− 0 0 0 0 ứng Biết A B = A C = a 3, hai đường thẳng A B và B C tạo với góc arccos Tính góc (α) và (β) π π π π A B C D -Lời giải Tam giác ABC có AB + AC = 2a2 + 2a2 = 4a2 = BC nên C ABC là tam giác vuông cân A Suy S4ABC = · AB · AC = a2 A Gọi H là trung điểm B C Do 4A0 B C cân A0 nên A0 H ⊥ √ √ − 0 0 0B0C = a · ◊ B C và B H = A B · cos A ; √ 3− =a ; √ B 3− 0 B C = 2B H = 2a s A0 C0 √ √ 3− Suy A0 H = A0 B 02 − B H = 3a2 − a2 H √ 3+ =a B0 Th.s Nguyễn Chín Em 379 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (383) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ √ 1 3− 3+ a2 0 Suy S4A0 B C = · B C · A H = · 2a ·a = 2 2 Gọi ϕ là góc hai mặt √ phẳng (α) và (β) Khi đó ta có S4A0 B C = S4ABC · cos ϕ a √ S4A0 B C π = ⇒ϕ= ⇒ cos ϕ = = S4ABC a Chọn đáp án D Câu 275 Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a và hai mặt phẳng (ACD), (BCD) vuông góc với Tính độ dài cạnh CD cho hai mặt phẳng (ABC), (ABD) vuông góc √ 2a a a A √ B √ C D a 3 -Lời giải Gọi M, N là trung điểm CD và AB Ta có AM ⊥ (BCD) Để hai mặt phẳng (ABC), (ABD) vuông góc √ thì CN ⊥ (ABD) suy 4AM B = 4CN D ⇒ CD = AB = AM Xét 4ACD : AC + AD2 CD2 AM × 2 AM = − = a2 − ⇔ AM = a2 2√ 4 2a Suy AM = a ⇒ CD = √ 3 A N B D M C Chọn đáp án A √ 3a Câu 276 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a 3, đường cao Góc mặt bên và mặt đáy A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 75◦ -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD Do giả thiết ta có SO ⊥ (ABCD) suy SO ⊥ CD (1) Trong mặt phẳng (ABCD) hạ OI ⊥ CD (2) Từ (1) và (2) ta suy CD ⊥ (SIO) đó góc mặt bên ‘ Xét tam giác vuông SIO ta (SCD) và (ABCD) là góc SIO SO ‘ = có tan SIO OI √ a √ √ 3a a ‘ = = 3, vì Từ OI = và SO = nên tan SIO 3a 2 √ ‘ < 90◦ nên tan SIO ‘ = ⇔ SIO ‘ = 60◦ 0◦ < SIO S A I O B Chọn đáp án C D C Câu 277 Th.s Nguyễn Chín Em 380 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (384) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và M, N là trung điểm SC, SD (tham khảo hình vẽ bên) Tính côsin góc √ hai mặt phẳng √ (GM N ) và (ABCD) √ √ 39 13 39 A B C D 39 13 13 S N M G A D H B -Lời giải Chọn Khi đó Ç hệ√trục å tọađộ Oxyznhưhình vẽ a −a −a a S 0; 0; ,A ; 0; , B ; 0; , C ; a; , D ; a; 2 2 Ç Ç Ç √ å √ å √ å a a a a a a a Suy G 0; 0; ;M ; ; ,N − ; ; 4 4 Ta có mặt phẳng (ABCD) có véc-tơ pháp tuyến là #» k = (0; 0; 1), mặt å N ) có véc-tơ pháp tuyến là Ç phẳng √ (GM î # » # »ó a a #» ; n = GM , GN = 0; − 24 Gọi α là góc hai mặt phẳng (GM N ) và (ABCD), ta có #» √ #» n·k 39 cos α = #» = √39 = 13 | #» n| · k 24 C z S N M G A D H y B C x Chọn đáp án C Câu 278 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = x Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) hợp với góc 60◦ 3a a A x = B x = C x = a D x = 2a 2 -Lời giải S I J A B C D Trong mặt phẳng (SAB) dựng AI ⊥ SB, ta AI ⊥ (SBC) (1) Trong mặt phẳng (SAD) dựng AJ ⊥ SD, ta AJ ⊥ (SCD) (2) ‘ Từ (1) và (2) suy góc (SBC), (SCD) = (AI, AJ) = IAJ 1 1 1 Mặt khác, ta có = + , = + AI AS AB AJ AS AD2 ‘ = 60◦ thì 4AIJ ⇒ AI = AJ = IJ Suy AI = AJ Do đó góc IAJ SA · AB Xét 4SAB vuông A có AI là đường cao ⇒ AI · SB = SA · AB ⇒ AI = SB Th.s Nguyễn Chín Em 381 (3) https://emncischool.wixsite.com/geogebra (385) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ SA2 (40 ) SD IJ SI SI · BD SA2 · BD Suy IJ k BD (vì SB = SD) ⇒ = ⇒ IJ = = (5) BD SB SB SB Thế (3) và (5) vào AI = IJ suy Và có SA2 = SI · SB ⇒ SI = AB = SA2 SB Chương - Hình học 11 (4); SA2 = SJ · SD ⇒ SJ = p √ SA · BD ⇔ AB · SB = SA · BD ⇔ a · x2 + a2 = x · a · ⇔ x2 + a2 = 2x2 ⇔ x = a SB Chọn đáp án C Câu 279 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có A0 ABC là tứ diện cạnh a Gọi M, N là trung 0 điểm (ABC) và (CM N ) √ AA và BB Tính tan √ góc hai mặt phẳng √ √ 2 A B C D 5 15 -Lời giải C0 A0 B0 M H N C A I G B Gọi I là trung điểm AB, H là giao điểm M N và AI ⇒ H là trung điểm AI Kẻ Cx k AB k M N thì Cx là giao tuyến (ABC) và (CM N ) (1) Gọi G ®là trọng tâm tam giác ABC AB ⊥ CI Ta có ⇒ AB ⊥ (A0 IC) AB ⊥ A0 G Mà AB k M N nên M N ⊥ (A0 IC) ⇒ M N ⊥ CH ⇒ CH ⊥ Cx (2) Mặt khác CI ⊥ AB ⇒ CI ⊥ Cx (3) ’ = α Từ (1), (2) và (3) suy [(ABC), (CM N )] = (CI, CH) = HCI Xét 4A IC có CH là đường trung tuyến 3a2 3a2 √ a2 + 0I 02 + CI A 11a2 a 11 CA 4 − = − = ⇒ CH = CH = 4 16 Áp dụng định lý cosin cho 4HIC, ta có: 11a2 3a2 3a2 √ + − + − 33 16 16 √ √ cos α = = = 2CH · CI 33 a 11 2· ·a √ … 1 2 Từ = + tan2 α suy tan α = −1= cos2 α cos2 α Chọn đáp án C CH Th.s Nguyễn Chín Em CI HI 382 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (386) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 280 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Tính góc mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (ACC A0 ) A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦ -Lời ® giải AA0 ⊥ (ABCD) nên (ACC A0 ) ⊥ (ABCD) Vì A0 D0 AA0 ⊂ ACC A0 Vậy góc mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (ACC A0 ) 90◦ B0 C0 A D B C Chọn đáp án C Câu 281 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình vuông cạnh a Mặt phẳng (α) cắt các cạnh bên AA0 , BB , CC , DD0 M , N , P , Q Góc (α) và đáy là 60◦ Tính diện tích tứ giác M N P Q √ 2 2 A √ B a C 2a D a 2 3a -Lời giải Ta có ABCD là hình chiếu vuông góc M N P Q lên mặt đáy A0 D0 a2 SABCD ◦ M = = 2a SABCD = SM N P Q cos 60 ⇒ SM N P Q = cos 60◦ B0 C0 Q N P A B D C Chọn đáp án C Câu 282 Cho hình hộp đứng ABCD.A0 B C D0 Xét tất các hình bình hành có đỉnh là đỉnh hình hộp đó Hỏi có bao nhiêu hình bình hành mà mặt phẳng chứa nó vuông góc với đáy (ABCD)? A B C D 10 -Lời giải Các mặt phẳng vuông góc với đáy gồm: mặt bên và mặt chéo vuông A D góc với đáy B A0 D0 B0 Chọn đáp án B C C0 Câu 283 Cho hình √ chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Cosin góc hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)√bằng √ √ √ 2 2 A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 383 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (387) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi I là ® giao điểm AD và BC BD ⊥ AD Ta có ⇒ BD ⊥ (SAD) BD ⊥ SA Mà SI ⊂ (SAD) nên BD ⊥ SI Kẻ DE®⊥ SI E SI ⊥ DE Ta có ⇒ SI ⊥ (BDE) ⇒ SI ⊥ BE SI ⊥ BD Suy góc (SAD) và (SBC) là√góc DE và BE √ ‘ = SA = √3 , Tính: BD = a 3, sin AIS SI √ a ‘ = √ , DE = DI · sin AIS 7√ √ BE = BD2 + DE = √ 7√ √ √ DE a ’ = Khi đó cos BED = · √ = BE 2a S A B E C D I Chọn đáp án C Câu 284 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh a 1# » # » CM = − AA0 Cô sin góc hai mặt phẳng (A0 M B) và (ABC) √ √ 30 30 A B C D 10 4 -Lời giải Đặt ϕ là góc hai mặt phẳng (A0 M B) và √ (ABC) B0 √ √ a Ta có A0 B = a 2, BM = BC + CM = , √ √ a 13 A0 M = A0 C 02 + C M = Suy A0 M = BM + A0 B , nên √ tam giác A M2B √ vuông B a a 10 Do đó SA0 M B = BA0 · BM = , SABC = 4 B Vì ∆ABC là hình chiếu ∆A BM lên mặt phẳng (ABC) nên cô sin góc hai mặt phẳng là √ SABC 30 cos ϕ = = SA0 BM 10 M là điểm thỏa mãn √ 30 C0 A0 C A M Chọn đáp án A √ 3a Góc mặt Câu 285 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a 3, đường cao bên và mặt đáy A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 75◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm cạnh CD S ’ Khi đó góc mặt bên và mặt đáy là góc SM O 3a SO = √3 nên góc SM ’ ’ Ta có tan SM O= = √ O = 60◦ OM a A D Vậy góc mặt bên và mặt đáy hình chóp S.ABCD 60◦ M O B Th.s Nguyễn Chín Em 384 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (388) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu 286 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh Gọi α 0 là góc hai mặt phẳng tính cos α √ (AB C ) và (A BC), √ 21 B C D A 7 7 A0 C0 B0 A C B -Lời giải Giả sử cạnh hình lăng trụ ABC.A0 B C có độ dài a Gọi M = A0 B ∩ AB và N = A0 C ∩ AC Khi đó (AB C ) ∩ (A0 BC) = M N Kẻ A0 I ⊥ M N (I ∈ M N ) mà AA0 ⊥ BC, BC k M N ⇒ AA0 ⊥ M N Vậy AI ⊥ M N Khi đó ((AB C ), (A0 BC)) = (AI, A0 I) = α Do ∆A0 BC là tam giác cân A0 , nên tam giác A0 M N là tam giác cân A0 Do đó I là trung điểm M N A0 C0 B0 N I M A C J √ √ √ a a Gọi J là trung điểm BC Ta có AJ = ,A J = ⇒ A0 I = A0 J = 2 Xét tam giác A IA, ta có AI + A0 I − AA02 1 IA = IA) = ’ ’ cos A = − ⇒ cos(AI, A0 I) = cos(180◦ − A · AI · A I 7 Chọn đáp án A B Câu 287 Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA; SB; SC đôi vuông góc và SA = SB = SC = Tính cos α, đó α là góc mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC)? 1 1 B cos α = √ C cos α = √ D cos α = √ A cos α = √ 2 3 -Lời giải Gọi D®là trung điểm cạnh BC A SA ⊥ SB ⇒ SA ⊥ (SBC) ⇒ SA ⊥ BC Ta có SA ⊥ SC Mà SD ⊥ BC nên BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ AD ’ = α ⇒ ((SBC), (ABC)) = SDA √ 1 Ta có SD = BC = √ ⇒ AD = √ 2 SD ⇒ cos α = =√ S AD B α D C Chọn đáp án D Câu 288 √Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, BC = a, SA vuông góc (ABC) và SA √ = a Gọi M là trung điểm AC Tính cô-tang góc √ hai mặt phẳng (SBM )√và (SAB) 21 A B C D 7 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 385 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (389) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S A M C E K H B Gọi E là hình chiếu A lên SB và H là hình chiếu M lên SB SE SA2 SE · SB Ta có = = = 2 SB SB SA + AB Ta có BM ⊥ AC và BM ⊥ SA nên BM ⊥ (SBC), suy BM ⊥ SM BH BH · BS BM Trong tam giác vuông SM B, ta có = = = Do đó H là trung điểm EB 2 BS BS SB Gọi K là trung điểm AB Lúc đó KH ⊥ SB Như ((SBM ), (SAB)) = (M H, KH) 2 a2 AE SA2 · AB 3a2 BC 2 = SM · BM = 7a , cos KHM ÷ = = , KH = = = , M H Ta có M K = 4√ 4SB 16 SB 16 KH + HM − KM 21 = · KH · KM √ ÷ = ÷ = Do đó tan KHM − = , suy cot KHM ÷ cos2 KHM Chọn đáp án A Câu 289 Mệnh đề nào sau đây là sai? A Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song B Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song C Một đường thẳng và mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với đường thẳng thì song song D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song -Lời giải Xét mô hình ta thấy đường thẳng a, b cùng vuông góc với đường thẳng c c a ⊥ b a b Chọn đáp án B Câu 290 Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi vuông góc Hãy mệnh đề sai các mệnh đề sau: A Ba mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD) đôi vuông góc với B Tam giác BCD là tam giác vuông C Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng (BCD) là trực tâm tam giác BCD D Các cặp cạnh đối diện tứ diện vuông góc với -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 386 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (390) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® (1) Ta có AD ⊥ AB AD ⊥ AC Chương - Hình học 11 ⇒ AD ⊥ (ABC) ⇒ (ABD) ⊥ (ABC) (do DA ⊂ (ABD)) Tương tự (ACD) ⊥ (ABC), (ACD) ⊥ (ABD) D (2) Nếu 4BCD vuông, chẳng hạn BC ⊥ BD Mà BC ⊥ DA thì BC ⊥ (ABD) ⇒ BC ⊥ AB b = 90◦ và B “ = 90◦ (vô lý) ⇒ 4ABC có góc vuông là góc A Vậy 4BCD vuông là sai (3) Kẻ AH®⊥ (ABC) H ⇒ AH ⊥ BC BC ⊥ AH Ta có ⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH(1) BC ⊥ AD H A C K B ® BA ⊥ AC ⇒ BA ⊥ (ACD) ⇒ BA ⊥ CD ⇒ CD ⊥ AB ® CD ⊥ AB Từ AH ⊥ (ABC) ⇒ AH ⊥ CD, từ ⇒ CD ⊥ (ABH) ⇒ CD ⊥ BH(2) CD ⊥ AH Từ (1) và (2) ta H là trực tâm 4ABC ® BA ⊥ AC (4) Từ ⇒ BA ⊥ (ACD) ⇒ BA ⊥ CD BA ⊥ AD Từ DA ⊥ (ABC) ⇒ DA ⊥ BC Vậy các cặp cạnh đối diện tứ diện vuông góc Từ BA ⊥ AD Chọn đáp án B Câu 291 Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy (ABC) Biết SB = ’ = BSC ’ = CSA ’ = 60◦ Gọi α là góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAC), β là góc SC = a và ASB đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) Tính√đại lượng S = tan α √+ sin β √ √ √ √ 3 1 A S = 2 + √ B S = 2 + C S = +√ D S = + 3 -Lời giải Gọi H là trung điểm BC Do 4SBC nên SH ⊥ BC H S Mà (SBC) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC) ¤ Ÿ ’ = β Suy [SA, (ABC)] = (SA, AH) = SAH Kẻ BI ⊥ SA, 4SAB = 4SAC (g − c − g) nên CI ⊥ SA Vậy ¤ ÿ ’ = α [(SAB), (SAC)] = (IB, IC) = BIC Đặt SA = x I a2 3a2 2 2 2 Ta có x = AH + SH = (AB − BH ) + SH = AB − + 4 B C H A a2 Suy AB = x2 − Mà AB = x2 + a2 − ax (định lý cosin 4SAB) 2 a 3a SH Do đó x2 − = x2 + a2 − ax ⇔ x = ⇒ sin β = =√ 2 SA √ + IC − BC a IB ’= Ta có: IB = IC = a sin 60◦ = ⇒ cos BIC = 2 · IB · IC √ 1 Khi đó cos α = ⇒ cos2 α = ⇒ tan2 α = ⇒ tan α = 2 ( vì cos α > 0) √ Theo đó S = tan α + sin β = 2 + √ Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 387 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (391) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 292 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Tam giác ABC √ vuông A có AB = a, BC = 2a a 21 Tính góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC), biết SC = ◦ ◦ ◦ A 60 B 30 C 45 D 75◦ -Lời giải Dựng AH ⊥ BC Khi đó: BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH S Ta có (ABC) ∩ (SBC) = BC ’ BC ⊥ AH, BC ⊥ SH ⇒ [(ABC), (SBC)] = SHA AH ⊂ (ABC), SH ⊂ (SBC) √ √ a 21 √ a 3a Ta có AC = a 3; AH = ; SA = 2 √ SA ’ ’ Suy tan SHA = = ⇒ SHA = 60◦ AH Vậy [(ABC), (SBC)] = 60◦ C A a 2a H B Chọn đáp án A Câu 293 Cho hình chóp tứ giác có tất các cạnh a Tính côsin góc mặt bên và mặt đáy 1 1 C √ A √ B D 3 -Lời giải Gọi S.ABCD là hình chóp tứ giác có tất các cạnh S a, gọi H là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm CD, đó CD ⊥ (SHM ) nên góc mặt bên (SCD) và mặt đáy ÷ (ABCD) góc SM H.√ a a Ta có HM = , SM = nên 2 a HM = √1 ÷ = √ cos SM H= SM a 3 A D M H B Chọn đáp án A C Câu 294 Biết góc hai mặt phẳng (P ) và (Q) là α (α 6= 90◦ ), tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (P ) có diện tích là S và hình chiếu vuông góc nó lên mặt phẳng (Q) có diện tích là S thì A S = S · cos α B S = S · cos α C S = S · sin α D S = S · sin α -Lời giải Theo công thức diện tích hình chiếu Chọn đáp án B Câu 295 Cho các phát biểu sau góc hai mặt phẳng cắt nhau: (I): Góc hai mặt phẳng cắt góc hai đường thẳng tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó (II): Góc hai mặt phẳng cắt góc hai đường thẳng tương ứng song song với hai mặt phẳng đó (III): Góc hai mặt phẳng cắt góc hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến hai mặt phẳng đó Trong các phát biểu trên có bao nhiêu phát biểu là đúng? A B C D -Lời giải Câu (I) đúng Câu (II) sai vì hình vẽ có c k (M N P Q) ; d k (ABCD), (ABCD) k (M N P Q) góc c, d Th.s Nguyễn Chín Em 388 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (392) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 khác 0◦ S d P c Q N M D A B C Câu (III) sai vì hai đường thẳng đó phải thuộc hai mặt phẳng có kết luận đúng Chọn đáp án B Câu 296 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 Khẳng định nào sau đây đúng nói hai mặt phẳng (A0 BD) và (CB D0 )? A Vuông góc với B Song song với C Trùng D Cắt theo giao tuyến là đường thẳng BD0 -Lời giải Quan sát hình vẽ B C A D B0 C0 A0 D0 Chọn đáp án B Câu 297 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Góc hai đường thẳng A0 B và B C A 90◦ B 60◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải ¤ ¤ B, B C) = (A B, A0 D) = BA D ÷ Vì A0 D k B C nên (A B 0 Mặt khác, tam giác A BD là tam giác A B = BD = A0 D vì là đường chéo các mặt hình lập phương A D Vậy góc cần tìm 60◦ B0 A0 Chọn đáp án B C C0 D0 Câu 298 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = BC = a và SA = a Góc hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 389 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (393) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là trung điểm cạnh AC Ta có (SAC) ⊥ (ABC) (vì SA ⊥ (ABC) ) và BH ⊥ AC ⇒ BH ⊥ (SAC) Trong mặt phẳng (SAC), kẻ HK ⊥ SC thì SC ⊥ (BHK) ⇒ SC ⊥ BK ¤ ÷ = ϕ ⇒ (SAC), (SBC) = BKH Mặt khác √ Tam giác√ABC vuông cân B có AB = BC = a nên AC = a và a BH = HC.SA ⇔ HK = Hai tam giác CKH và CAS đồng dạng nên HK = SC √ HC.SA a √ = 2 SA + AC BH Tam giác BHK vuông H có tan ϕ = = √ ⇒ ϕ = 30◦ HK ◦ ¤ Vậy (SAC), (SBC) = 30 S K H A C B Chọn đáp án C √ a Câu 299 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh A, cạnh BC = a, AC = , √ a Tính góc tạo mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC) các cạnh bên SA = SB = SC = π π π A B C D arctan -Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên (ABC) S Vì SA = SB = SC nên SH là trục đường tròn ngoại tiếp 4ABC ⇒ H là trung điểm BC Gọi M là trung điểm AB ⇒ HM k AC ⇒ HM ⊥ AB √ ÷ Góc (SAB) và (ABC) là √ góc SM H a √ √ a AC a Tính SH = SB − BH = , MH = = , 2 √ SH π ÷ ÷ tan SM H = = ⇒ SM H = H a MH B C M √ a A Chọn đáp án B √ Câu 300 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2, SA ⊥ (ABCD) Gọi M là trung điểm AD, I là giao điểm AC và BM Khẳng định nào say đây là đúng? A (SAC) ⊥ (SM B) B (SAC) ⊥ (SBD) C (SBC) ⊥ (SM B) D (SAB) ⊥ (SBD) -Lời giải √ √ √ a a BM = AB + AM = ; AI = AC = S 3 Dễ thấy AB · AM = AI · BM suy AI là đường cao tam giác ABM Ta có BM ⊥ AI và BM ⊥ SA ⇒ BM ⊥ (SAC) Vậy, (SAC) ⊥ (SM B) M A D I B Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em C 390 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (394) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 301 Cho hình chóp tứ giác có tất các cạnh a Tính cosin góc mặt bên và mặt đáy A B √ C D √ -Lời giải Gọi O là trung điểm AC Vì S.ABCD là hình chóp nên SO ⊥ (ABCD) Gọi H là trung điểm BC và góc mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD) là α Ta có (SBC) ∩ (ABCD) = BC mà BC ⊥ SH và BC ⊥ OH ’ = α nên SHO √ a SH là đường cao tam giác SBC cạnh a nên SH = OH Xét tam giác SOH vuông O có cos α = =√ SH S A B α◦ H O C D Chọn đáp án B Câu 302 Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC) Gọi BE và DF là hai đường cao tam giác BCD, DK là đường cao tam giác ACD Chọn khẳng định sai các khẳng định sau? A (ABE) ⊥ (ADC) B (ABD) ⊥ (ADC) C (ABC) ⊥ (DF K) D (DF K) ⊥ (ADC) -Lời giải Vì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC) nên AB ⊥ (DBC) Ta®có: CD ⊥ BE + ⇒ CD ⊥ (ABE) ⇒ (ABE) ⊥ (ADC) CD ⊥ AB ® DF ⊥ BC + ⇒ DF ⊥ (ABC) ⇒ (ABC) ⊥ (DF K) DF ⊥ AB ® AC ⊥ DK + ⇒ AC ⊥ (DF K) ⇒ (DF K) ⊥ (ADC) AC ⊥ DF A K B F C E D Chọn đáp án B √ Câu 303 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a Tính tang góc tạo hai mặt phẳng (SAC) và (SCD), biết góc tạo các cạnh bên và mặt đáy hình chóp 60◦ √ √ √ √ 21 21 A B C D 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 391 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (395) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S I H M K D C O A B ’ = 60◦ Góc cạnh bên và mặt đáy là SCA Nhận thấy tam giác SAC là tam giác cạnh 2a Gọi I, K là trung điểm SC, DC và M là trung điểm IC Ta có OM ⊥ SC Gọi H là hình chiếu O lên SK, lúc đó OH ⊥ (SCD) nên OH ⊥ SC Từ đó suy SC ⊥ (OM H) nên ÷ SC ⊥ HM Do đó ((SAC), (SCD)) = (OM, HM √ ) = HM O 1 a 21 Ta có = + = ⇒ OH = 2 OH SO OK 3a √ √ √ 3a a Ta có OM = và HM = OM − OH = 14 √ OH ÷ Lúc đó tan HM O= = OM Chọn đáp án A ◦ Câu 304 Cho hình chóp √ S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a và góc A 60 , cạnh SC vuông a góc với đáy và SC = Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SBD) và (SCD) √ √ √ √ 5 30 B C D A 5 -Lời giải S H I C D B A √ Vì ABCD là hình thoi cạnh a và góc √ A 60◦ nên AC = a 3, BD = a √ a 10 Ta có SB = SD = SC + CD2 = Gọi I là trung điểm CD và H là hình chiếu I lên SD Th.s Nguyễn Chín Em 392 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (396) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì BI ⊥ CD và BI ⊥ SC nên BI ⊥ SD Mà HI ⊥ SD nên SD ⊥ BH ’ Do đó ((SBD); √ (SCD)) = (BH, IH) =√BHI √ a SC · DC a 15 3a 10 Ta có BI = , IH = = , BH = 10 10 √2SD ’ = HI = Ta có cos BHI BH Chọn đáp án A Câu 305 Cho hình lăng trụ ABCD.A0 B C D0 Hình chiếu vuông góc A0 lên (ABC) trùng với trực tâm H tam giác ABC Khẳng định nào sau đây không đúng? A BB C C là hình chữ nhật B (AA0 H) ⊥ (A0 B C ) 0 C (BB C C) ⊥ (AA H) D (AA0 B B) ⊥ (BB C C) -Lời giải Hình chiếu vuông góc A0 lên (ABC) trùng với trực tâm H tam giác ABC Suy A0 H ⊥ (ABCD), A0 H ⊥ (A0 B C D0 ) A0 ⇒ (AA0 H) ⊥ (A0 B C ) đúng Vì ® H là trực tâm tam giác ABC và A H ⊥ (ABCD) nên BC ⊥ AH ⇒ BC ⊥ (AA0 H) ⇒ (BB C C) ⊥ (AA0 H) đúng B0 BC ⊥ A0 H 0 ⇒ BC ⊥ (AA H) ⇒ BC ⊥ AA Mà AA0 k BB nên BC ⊥ BB ⇒ BB C C là hình chữ nhật A Vậy (AA0 B B) ⊥ (BB C C) không đúng D0 C0 D H B C Chọn đáp án D Câu 306 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có A0 ABC là tứ diện Tính cosin góc ϕ AA0 và mặt phẳng (ABC) √ √ √ √ 3 B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = A cos ϕ = -Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Do A0 ABC là tứ diện nên A0 G ⊥ (ABC), suy AG là hình chiếu AA0 lên mặt phẳng (ABC) AG ’ Vậy ϕ = (AA0 , AG) = A √ √ √ AB a a Đặt AB = a, ta có AM = = , AG = AM = 2√ 3 AG AG = ’ 4A0 AG có cos ϕ = cos A = AA0 B0 C0 A0 M G B C A Chọn đáp án A Câu 307 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 , tính góc ϕ hai mặt phẳng (BA0 C) và (DA0 C) A ϕ = 45◦ B ϕ = 90◦ C ϕ = 30◦ D ϕ = 60◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 393 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (397) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi I và là tâm ABB A0 và ADD0 A0 ® J AI ⊥ A B Ta có ⇒ AI ⊥ (A0 BC) AI ⊥ BC Tương tự ta có AJ ⊥ (A0 CD) Vậy góc (A0 BC) và (A0 CD) là ϕ = (AI, AJ) Do ABCD.A0 B C D0 là hình lập phương nên dễ thấy 4AIJ ‘ = 60◦ Vậy ϕ = IAJ A0 D0 B0 C0 J I D A B C Chọn đáp án D Câu 308 Lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt? A B -Lời giải Lăng trụ tam giác có mặt bên và đáy Chọn đáp án D C D Câu 309 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông B Kết luận nào sau đây sai? A (SAC) ⊥ (SBC) B (SAB) ⊥ (SBC) C (SAB) ⊥ (ABC) D (SAC) ⊥ (ABC) -Lời giải ® (SAB) ⊥ (ABC) Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ S (SAC) ⊥ (ABC) Và BC ⊥ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (SBC) A C B Chọn đáp án A Câu √ 310 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a, SA ⊥ (ABC) Tam giác ABC vuông B, AB = a, BC = a Tính côsin … góc ϕ tạo hai mặt … phẳng (SAC) và (SBC) … … 1 A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = 5 -Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Bxyz với BA trùng với Bx, BC trùng với By, Bz k S z SA Không tính tổng √ quát giả sử a = 1, đó tọa độ các điểm B(0; 0; 0), A(1; 0; 0), C(0; 3; 0), S(1; 0; 2) √ Khi đó phương trình mặt phẳng (SAC) là: x + y − = Vậy véc-tơ Ç √ å pháp tuyến (SAC) là n# »1 = 1; ;0 phương trình mặt phẳng (SBC) là: 2x − z = Vậy véc-tơ pháp tuyến A C (SBC) là n# »2 = (2; 0; −1) … |n# »1 · n# »2 | Vậy cos ϕ = # » # » = |n1 | · |n2 | B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 394 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (398) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a Câu 311 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = Mặt bên SAB ’ = 120◦ là tam giác cân đỉnh S và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết ASB Tính góc α hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) A α = 60◦ B α = 30◦ C α = 45◦ D α = 90◦ -Lời giải Do AD k BC nên giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) S và (SBC) là đường thẳng d qua S, song song với AD Đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến AB hai d mặt phẳng vuông góc (SAB) và (ABCD) nên AD ⊥ (SAB), suy AB ⊥ SA hay d ⊥ SA Chứng minh B tương tự ta có d ⊥ SB ’ = 90◦ Vậy ((SAD), (SBC)) = 180◦ − ASB C A D Chọn đáp án A Câu 312 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; các mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a; góc đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α Khi đó tan α nhận giá trị là bao nhiêu? √ A tan α = √ B tan α = C tan α = D tan α = 2 -Lời giải Do (SAB)⊥(SAD) ⇒ SA⊥(ABCD) S Mặt khác BC⊥AB ⇒ BC⊥(SAB) ’ = α ⇒ (SC, (SAB)) = (SC, SB) = BSC Tam giác SBC vuông B nên ’= tan BSC BC =√ SB A D B C Chọn đáp án A ’ = 120◦ , biết SA Câu 313 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 3a, AD = 4a, BAD √ vuông góc với đáy và SA = 2a Tính góc √ mặt phẳng (SBC) và (SCD) 17 A 45◦ B arccos C 60◦ D 30◦ 26 -Lời giải Kẻ AE ⊥ BC E, AF ⊥ CD F, AI ⊥ SE I và AK ⊥ SF K S Khi đó AI ⊥ (SBC), AK ⊥ (SCD) Suy góc (SBC) và (SCD) góc √ AI và AK 3a Ta có: AE = 3a sin 60◦ = , √ 3a 5a 2a BE = 3a cos 60◦ = ⇒ CE = K √ A 4a ◦ ◦ AF = 4a sin 60 = 2a 3, DF = 4a cos 60 = 2a ⇒ I D CF = a F 3a B Ta có: 60◦ E C 1 1 25 = + = + = 2 2 AI AS AE 12a 27a 108a2 Th.s Nguyễn Chín Em 395 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (399) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ 6a ⇒ AI = ⇒ … √ √ 8a 108a2 2 SI = SA − AI = 12a − = 25 1 1 1 = + = + = AK AS√2 AF 12a2 12a2 6a ⇒ AK = √ a √ √ 2 ⇒ SK = SA2 − AK = 12a … − 6a = a √ √ 5a 27a2 Ta có: SE = SA2 + AE = 12a2 + = √ √ √ SF = SA2 + AF = 12a2 + 12a2 = 2a Å ã 39a2 25a2 5a 2 ◦ = Mặt khác EF = CE + CF − 2CE.CF cos 120 = + a − .a − 2 75a2 − 39a + 24a 2 = 11 ’ = SE + SF − EF = √ √ ⇒ cos ESF √ 2SE.SF 5a 10 2 .2a Xét tam giác SIK √ 192a 8a √ 11 78a2 2 2 ‘ = ⇒ IK = SI + SK − 2SI.SK cos ISK + 6a − .a √ = 25 25 10 Xét tam giác AIK 108a2 78a2 + 6a2 − + AK − IK AI 25 = √1 ⇒ AIK ’= ’ = 45◦ √ ⇒ cos AIK = 25 √ 2AI.AK 6a 2 .a ⇒ góc (SBC) và (SCD) 45◦ Chọn đáp án A √ Câu 314 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC), AB = AC = a, BC = a Tính góc hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) A 30◦ B 60◦ C 120◦ D 150◦ -Lời giải Có SA ⊥ AC, SA ⊥ AB (do SA ⊥ (ABC)) nên ¤ ÿ ’ ((SAB); (SAC)) = (AB, AC) Mà BC = AB + AC − 2AB.AC cos BAC ¤ ’ = − ⇒ ((SAB); ⇒ cos BAC (SAC)) = 60◦ S B A C Chọn đáp án B ’ = 120◦ Hình chiếu vuông Câu 315 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 2BC và BAC góc A lên các đoạn SB và SC là M và N Góc hai mặt phẳng (ABC) và (AM N ) A 45◦ B 60◦ C 15◦ D 30◦ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 396 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (400) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 K Q P B0 C0 A0 M N B C A Đặt BC = a, AB = x, AC = y Dựng hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C , gọi P, Q là giao điểm AM, A0 B và AN, A0 C , A0 K là đường cao tam giác A0 P Q Dễ thấy góc hai mặt phẳng (AM N ) và (ABC) là A0 K KA, cot A KA = ÷ ÷ góc A AA0 A0 Q A0 A 4a2 4a2 Hai tam giác vuông A0 AC và QA0 A đồng dạng suy = ⇒ A0 P = ; tương tự A0 Q = AA AC x y 0P y A 4a A0 P = ⇒ PQ = Ta có = suy hai tam giác A0 P Q và ACB đồng dạng với tỉ số đồng dạng là AQ x AC xy 4a 4a = BC · xy xy √ 4a2 4a2 · · 0 ◦ √ 1 A P · A Q · sin 120 x y = 2a SA0 P Q = A0 P · A0 Q · sin 120◦ = A0 K · P Q ⇒ A0 K = = suy 2 PQ 4a3 xy √ √ AK 2a KA = ÷ cot A = = AA0 2a Chọn đáp án D Câu 316 Cho ba đường thẳng a, b, c Mệnh đề nào đây đúng? A Nếu a ⊥ b và mặt phẳng (α) chứa a, mặt phẳng β chứa b thì (α) ⊥ (β) B Cho a ⊥ b, a ⊂ (α) Mọi mặt phẳng (β) chứa b và vuông góc a thì (β) ⊥ (α) C Cho a ⊥ b Mọi mặt phẳng chứa b vuông góc với a D Cho a k b Mọi mặt phẳng (α) chứa c, đó c ⊥ a, c ⊥ b thì vuông góc với mặt phẳng (a, b) -Lời giải Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chọn đáp án B √ Câu 317 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A và AB = a Biết SA ⊥ (ABC) và AS = a Tính góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ -Lời giải Gọi M là trung điểm BC thì AM = a và SM ⊥ BC S ’ Khi đó, góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) chính là góc SM A ’ Ta thấy tam giác SAM vuông cân A nên SM A = 45◦ C A M B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 397 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (401) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 318 Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Tính giá trị x cho hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với √ √ a a a a A B C D 3 -Lời giải Gọi H,I là trung điểm CD, AB (ACD) ⊥ (BCD) (ACD) ∩ (BCD) = CD ⇒ BH ⊥ (ACD) BH ⊥ CD ® DI ⊥ AB ¤ ’ Vì các tam giác DAB và CAB cân nên ⇒ ((ABD); (CBD)) = CID CI ⊥ AB √ √ 2a2 − 2x2 Ta có BH = AH = a2 − x2 ⇒ AB = √ AB 2a2 − 2x2 Vì I là trung điểm AB nên AI = = 2 Xét tam giác DIA vuông I ta có: Ta có DI = p AD2 − AI = a2 − 2a2 − 2x2 = 2a2 + 2x2 ’ = 90◦ , đó ta có Để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với thì CID √ 2a2 + 2x2 a CD = DI + CI = 2DI ⇔ 4x = ⇒x= 2 2 Chọn đáp án C √ Câu 319 √ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, SA ⊥ (ABC), SA = a cm, AB = cm, BC = cm Mặt bên (SBC) hợp với đáy góc A 30◦ B 90◦ C 60◦ D 45◦ -Lời giải ® Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB SA ⊥ BC Mặt khác BC ⊥ AB nên BC ⊥ SB ’ = α Vậy góc (SBC) và đáy là góc SBA √ SA Tam giác SAB vuông A nên tan α = = ⇒ α = 60◦ AB S A C B Chọn đáp án C Câu 320 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi ϕ là góc hai mặt phẳng (A0 BD) và (ABC), tính tan ϕ … … √ A tan ϕ = √ B tan ϕ = C tan ϕ = D tan ϕ = 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 398 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (402) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có góc hai mặt phẳng (A0 BD) và (ABC) là góc (A0 BD) và (ABCD) ® BD ⊥ AO Ta có ⇒ BD ⊥ A0 O BD ⊥ AA0 (A BD) ∩ (ABCD) = BD OA ’ Khi đó A0 O ⊂ (A0 BD), A0 O ⊥ BD ⇒ ((A0 BD), (ABCD)) = A AO ⊂ (ABCD), AO ⊥ BD √ AA0 Xét tam giác A AO vuông A có AO = AC = 2 √ AA0 √ OA = tan ϕ = ’ Suy tan A = Vậy tan ϕ = AO Chọn đáp án B A0 B0 D0 C0 A B O D C √ ’ = 60◦ , SA = a và SA ⊥ (ABCD) Câu 321 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, ABC Tính góc SA và (SBD) A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ -Lời giải Gọi O = AC ∩ BD Do ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC Mặt S khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ BD ⊥ SA, BD ⊥ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (SBD) Hình chiếu vuông góc SA lên mặt (SBD) là SO Vậy ’ (SA, (SBD)) = (SA, SO) = ASO ’ = 60◦ nên tam giác ABC Tam giác ABC cân B và có ABC cạnh 2a Tam giác SAO vuông O, nên ta có √ A D AO a ’ ’ = 30◦ tan ASO = = √ = ⇒ ASO SA a O Vậy góc SA và (SBD) 30◦ B C Chọn đáp án C √ Câu 322 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm cạnh SD Tính tan α, với α là góc tạo hai mặt phẳng (AM C) và (SBC) √ √ √ √ 3 A B C D 5 -Lời giải Dựng hình chữ nhật SADI hình vẽ, ta S I có IC = (AM C) ∩ (SBC) Trong tam giác AIC, dựng đường cao AK Qua K kẻ KH k BC H ÷ Khi đó α = ((AM C); (SBC)) = AKH M Xét tam giác AIC cân I có IA = IC = 2a √ √ a2 và AC = a nên S4IAC = √ 2S4IAC a Từ đó suy AK = = IC D A Tam giác AHK vuông H nên AH = √ H K √ a 2 AK − HK = 2√ AH B C Vậy tan α = = HK Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 399 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (403) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’ = 30◦ Tam giác SAC và Câu 323 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B và ACB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Xét điểm M thuộc cạnh SC cho mặt phẳng (M AB) tạo với MS hai mặt phẳng (SAB), (ABC) các góc Tính tỉ số MC √ √ √ A B C D 2 -Lời giải S M S D M D A C H E K A B C H Gọi H ® là trung điểm AC, ® K là trung điểm AB, D = SH ∩ AM SH ⊥ (ABC) SH ⊥ AB Ta có: ⇒ ⇒ (SHK) ⊥ AB HK ⊥ AB HK ⊥ AB ’ = DKH ÷ (M AB) hợp với (SAB) và (CAB) góc √ ⇒ SKD √ √ √ 15 DH HK ⇒ SK = ; = =√ Cho AC = ⇒ AB = 1, BC = 3, SH = ⇒ HK = 2 DS SK 5√ √ HE DH SM Kẻ HE k SC (E ∈ AM ) ⇒ · HE = CM và = = √ ⇒ SM = · HE ⇒ = SM DS CM Chọn đáp án A ’ = 30◦ Tam giác SAC và Câu 324 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B và ACB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Xét điểm M thuộc cạnh SC cho mặt phẳng (M AB) tạo với MS hai mặt phẳng (SAB), (ABC) các góc Tính tỉ số M C √ √ √ A B C D 2 -Lời giải S M S D D A H C M E K A B H C Gọi H ® là trung điểm AC, ® K là trung điểm AB, D = SH ∩ AM SH ⊥ (ABC) SH ⊥ AB Ta có: ⇒ ⇒ (SHK) ⊥ AB HK ⊥ AB HK ⊥ AB ’ = DKH ÷ (M AB) hợp với (SAB) và (CAB) góc √ ⇒ SKD √ √ √ 15 DH HK Cho AC = ⇒ AB = 1, BC = 3, SH = ⇒ HK = ⇒ SK = ; = =√ 2 DS SK 5√ √ HE DH SM Kẻ HE k SC (E ∈ AM ) ⇒ · HE = CM và = = √ ⇒ SM = · HE ⇒ = SM DS CM Th.s Nguyễn Chín Em 400 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (404) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 325 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA = là góc hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) Giá trị cos α 1 A B C -Lời giải √ 3AB và SA ⊥ (ABCD) Gọi α D S N M A D B C Ta có (SCD) ⊥ (SAD), vẽ AN ⊥ SD N ⇒ AN ⊥ (SCD) Tương tự (SAB) ⊥ (SBC), vẽ AM ⊥ SB M ⇒ AM ⊥ (SBC) ⁄ ⇒ α = (AM, AN ) √ Giả sử AB = a ⇒ SA = 3a √ √ 3a 2 Ta có SB = SD = 3a + a = 2a, AM = AN = √ MN SM SM · SB SA2 3 2a Lại có = = = = ⇒ MN = BD SB SB SB 4 |AM + AN − M N | Ta có cos α = cos(AM, AN ) = |cos(M AN )| = = 2AM · AN Ä √ ä Chú ý: Có thể chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ cho A(0; 0; 0), B(0; 1; 0), D(1; 0; 0), C(1; 1; 0)S 0; 0; , Chọn đáp án B Câu 326 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, AB = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi√hai mặt phẳng (ABC) và √ (SBC) 60◦ và chỉ√khi SA √ a a a A a B C D -Lời giải S A C M B Gọi M là trung điểm BC Ta có BC ⊥ AM , BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAM ) ’ Suy ra, góc tạo√bởi hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là SM A = 60◦ √ a a ◦ Ta có AM = Xét tam giác vuông SAM ta có SA = AM · tan 60 = 2 Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 401 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (405) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 327 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Gọi E, F là trung điểm các cạnh B C , C D0 Côsin √ góc hai mặt phẳng √ (AEF ) và (ABCD) √ √ 17 34 17 17 A B C D 17 17 17 17 -Lời giải Không tổng quát coi hình lập phương có độ dài các cạnh là A D Do (ABCD) k (A0 B C D0 ) nên góc hai mặt phẳng (AEF ) và (ABCD) góc mặt phẳng (AEF ) và (A0 B C D0 ) AI = α là góc cần tính ’ Gọi I là giao điểm A0 C và EF , ta có A B C √ 3 0 0 Ta có A I = A C = 2, AA = 4 Trong tam giác ∆A0 AI vuông A0 có D0 A0 √ √ F I 3 17 A0 A tan α = = ⇒ cos α = IA 17 E B0 C0 Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 402 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (406) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ĐÁP ÁN 35.36.37.38 71.72.73.74 107 108 109 110.143 144 145 146.179 180 181 182.215 216 217 218.251 252 253 254.287 288 289 290.323 324 325 326 D B ABDD AABB BDCA ABAC DADA CCCC CBCC DABB AABD 39.40.41.42 75.76.77.78 111 112 113 114.147 148 149 150.183 184 185 186.219 220 221 222.255 256 257 258.291 292 293 294.327 CBDC CBAA AACD ADDB BAAA DADA DDDA DAAA AAAB A 10 43.44.45.46 79.80.81.82 115 116 117 118.151 152 153 154.187 188 189 190.223 224 225 226.259 260 261 262.295 296 297 298 BDBD ABCD DAAA BCBD AADD BDBD DCDB AAAC BBBC 11.12.13.14 47.48.49.50 83.84.85.86 119 120 121 122.155 156 157 158.191 192 193 194.227 228 229 230.263 264 265 266.299 300 301 302 CBDB ACAC ADBB CCBB CBAB CDDA CBAD CBBA BABB 15.16.17.18 51.52.53.54 87.88.89.90 123 124 125 126.159 160 161 162.195 196 197 198.231 232 233 234.267 268 269 270.303 304 305 306 BDCA BCDC BBCC ACDD CABA AACB DBDA ADBA AADA 19.20.21.22 55.56.57.58 91.92.93.94 127 128 129 130.163 164 165 166.199 200 201 202.235 236 237 238.271 272 273 274.307 308 309 310 ACBD BDDB ADBA AADD CBAA BDCA CDBC DDDD DDAB 23.24.25.26 59.60.61.62 95.96.97.98 131 132 133 134.167 168 169 170.203 204 205 206.239 240 241 242.275 276 277 278.311 312 313 314 CDCA BDAC AACC BBCB AAAD DAAD CBDD ACCC AAAB 27.28.29.30 63.64.65.66 99.100 101 102.135 136 137 138.171 172 173 174.207 208 209 210.243 244 245 246.279 280 281 282.315 316 317 318 CCCC ABCD CCCA CCDC DCBA ADDB AABC CCCB DBBC 31.32.33.34 67.68.69.70 103 104 105 106.139 140 141 142.175 176 177 178.211 212 213 214.247 248 249 250.283 284 285 286.319 320 321 322 BDCB ADAD DCBB BCBC BDDD BAAD DBBD CACA CBCB Th.s Nguyễn Chín Em 403 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (407) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI Chương - Hình học 11 KHOẢNG CÁCH A TÓM TẮT LÝ THUYẾT KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Cho điểm O và đường thẳng a Trong (O, a) gọi H là hình chiếu vuông góc O trên a Khi đó khoảng cách OH gọi là khoảng cách từ điểm O đến a, kí hiệu d (O, a) = OH O H α a KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG Cho mặt phẳng (α) và điểm O, gọi H là hình chiếu vuông góc điểm O trên mặt phẳng (α) Khi đó khoảng cách OH gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α), kí hiệu d (O, (α)) = OH O M H α ! OH ≤ M O, ∀M ∈ (α) KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐƯỜNG THẲNG TỚI MỘT MẶT PHẲNG SONG SONG Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ điểm bất kì a đến mặt phẳng (α), kí hiệu d(a, (α)) A a B α ! M H d (a, (α)) = d (A, (α)) , ∀A ∈ a KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau, khoảng cách từ điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng gọi là khoảng cách hai mặt phẳng (α) và (β) α M β H d ((α) , (β)) = d (M, (β)) = d (N, (α)) , M ∈ (α) , N ∈ (β) Th.s Nguyễn Chín Em 404 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (408) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Định nghĩa a Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b và cùng vuông góc với đường thẳng gọi là đường vuông góc chung a và b a M b Nếu đường thẳng vuông góc chung ∆ cắt hai đường chéo a, b M, N thì độ dài đoạn M N gọi là khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b b N B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng (d), ta thực các bước sau: O Trong mặt phẳng (O; d), hạ OH ⊥ (d) H Tính độ dài OH dựa trên các công thức hệ thức lượng tam giác, tứ giác và đường tròn d H Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Chứng minh khoảng cách từ điểm B, C, D, A0 , B , D0 đến đường chéo AC Tính khoảng cách đó -Lời giải Ta có 4BAC = 4CA0 A = 4DAC = 4A0 AC = 4B C A = 4D0 C A chung đáy AC nên khoảng cách từ B, C, D, A0 , B , D0 đến đường chéo AC Hạ CH ⊥ AC , ta √ 1 a = + ⇒ CH = CH AC C C A0 D0 B0 C0 H D A B C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm SC, AB Chứng minh OI ⊥ (ABCD) Tính khoảng cách từ I đến CM , từ đó suy khoảng cách từ S tới CM -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 405 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (409) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S Trong 4SAC, OI là đường trung bình nên OI k SA ⇒ OI ⊥ (ABCD) Hạ IH ⊥ CM H Vì CM ⊥ (IOH) nên CM ⊥ OH Gọi K là trọng tâm tam giác ABC, ta có OB = √ √ OB a a ; OK = = 1 a = + ⇒ OH = √ Trong 4OCK có 2 OH OK OC √ 20 30 a Trong 4OIH có IH = OI + OH ⇒ IH = 10 AC = I A M D O K B C √ d(S, CM ) SC a 30 Ta có SI ∩ CM = C suy = = ⇒ d(S, CM ) = d(I, CM ) IC Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp: Cho mặt phẳng (α) và điểm O, gọi H là hình chiếu vuông góc điểm O trên mặt phẳng (α) Khi đó khoảng cách OH gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α), kí hiệu d (O, (α)) = OH O M H α Tính chất Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) thì khoảng cách từ điểm trên đường thẳng d đến mặt phẳng (P ) là # » # » Tính chất Nếu AM = k BM thì d(A, (P )) = |k|d(B, (P )), đó (P ) là mặt phẳng qua M √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA = a 3, SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông B và AB = a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) -Lời giải Do SA ⊥ (ABC) và SA ⊂ (SAB) nên (SAB) ⊥ (ABC) Mà (SAB) ∩ (ABC) = AB và AB ⊥ BC nên BC ⊥ (SAB) Do BC ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SAB) Kẻ AH ⊥ SB với H ∈ SB Do (SAB) ∩ (SBC) = SB nên AH ⊥ (SBC) ⇒ d (A, (SBC)) = AH Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB nên 1 1 = + = + = 2 2 AH SA AB 3a a 3a √ 3a Vậy d (A, (SBC)) = S H A C B √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 406 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (410) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do AD k BC nên d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)) Gọi K là hình chiếu A trên SB, suy AK√⊥ SB SA · AB 2a Khi d (A, (SBC)) = AK = √ = 2 SA + AB S K A D B C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD), tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a Gọi H là trung điểm AB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) -Lời giải Do tam giác SAB và H là trung điểm AB nên SH ⊥ AB S Mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CD Do ABCD là hình vuông nên gọi E là trung điểm CD nên HE ⊥ CD Vậy CD ⊥ (SHE) Mà CD ⊂ (SCD) nên (SCD) ⊥ (SHE) Ta có (SCD) ∩ (SHE) = SE A Kẻ HK ⊥ SE với K ∈ SE nên HK ⊥ (SCD) √ 3a H Khi đó d (H, (SCD)) = HK Vì AB = a nên SH = B Do ABCD là hình vuông nên HE = a Vì SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ HE √ √ 21a 21a 1 Khi đó = + = Nên HK = Vậy d (H, (SCD)) = 2 HK SH HE 3a 7 K D C E Dạng Khoảng cách đường và mặt song song - Khoảng cách hai mặt song song Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α), để tính khoảng cách d và (α) ta thực Chọn điểm A trên d cho khoảng cách từ A tới (α) xác định dễ Kết luận d(d; (α)) = d(A, (α)) Cho hai mặt phẳng song song (α), (β) Để tính khoảng cách hai mặt phẳng ta thực các bước Chọn điểm A trên (α) cho khoảng cách từ A tới (β) xác định dễ Kết luận d((β); (α)) = d(A, (β)) ÷0 = DAA ÷0 = 60◦ ’ = BAA Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có các cạnh a và BAD 0 0 Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy (ABCD) và A B C D -Lời giải Hạ A0 H ⊥ AC Ta có BD ⊥ (OAA0 ) suy BD ⊥ A0 H ⇒ A0 H ⊥ (ABCD) Do (ABCD) k (A0 B C D) nên A0 H là khoảng cách hai mặt đáy √ a Vì A ABD là hình chóp nên AH = AO = Khi đó 3 √ 2a2 a 2 ⇒AH = A H = A A − AH = 3 A0 B0 C0 A 407 D O B Th.s Nguyễn Chín Em D0 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (411) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, mặt bên (SBC) vuông góc với đáy Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm AB, SA, AC Tính khoảng cách hai mặt phẳng (M N P ) và (SBC) -Lời giải Ta chứng minh (M N P ) k (SBC) Suy d((M N P ), (SBC)) = d(P, (SBC)) Giả sử AP ∩ (SBC) = C suy d(P ; (SBC)) = S AP d(A, (SBC)) = d(A, (SBC)) AC N Gọi K là trung điểm BC Tam giác ABC suy AK ⊥ BC Do (ABC) ⊥ (SBC) theo giao tuyến BC nên AK ⊥ (SBC) √ a Do đó, d(A, (SBC)) = AK = √ a Vậy d((M N P ), (SBC)) = P A C K M B √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy (ABCD) là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (SCD) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng √ (SAD) và cách (SAD) khoảng a -Lời giải Ta có (SCD) ⊥ (SAC) Hạ AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ (SCD) Suy S AH là khoảng cách từ A tới (SCD) √ 1 Xét 4SAB : = + ⇒ AH = a AH AC SA2 Gọi I là trung điểm AD, suy H BI k CD ⇒ BI k (SCD) ⇒ d(B, (SCD)) = d(I, (SCD)) I A D Mặt khác, AI ∩ (SCD) = D, nên B C ID d(I, (SCD)) = = d(A, (SCD)) AD √ a Suy d(I, (SCD)) = 2 Ta có AD k CD ⇒ AD k (SBC) ⇒ d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)) Hạ AK ⊥ BC, ta có BC ⊥ (SAK) ⇒ (SBC) ⊥ (SAK) và (SBC) ⊥ (SAK) = AK Hạ AG ⊥ SK, suy AG ⊥ (SBC) Xét 4SAK, ta có √ 1 a = + ⇒ AG = AG2 SA2 AK 3 Ta có AK ⊥ (SAD) Giả sử (α) k (SAD) cắt AK E, đó √ a d((α), (SAD)) = AE = = AK Th.s Nguyễn Chín Em 408 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (412) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Suy E là trung điểm AK Ta xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (α) qua E và song song với (SAD) Thiết diện là hình √ thang vuông M N P Q với M, N, Q, P là trung điểm AB, CD, SB, SC Ta tính a SM N P Q = Dạng Đoạn vuông góc chung - Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Ta có các trường hợp sau: 1) Trường hợp Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo và a ⊥ b b Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b B a B Trong (α) dựng BA ⊥ a A, ta độ dài đoạn AB là khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b A α 2) Trường hợp Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo không vuông góc với b B M A M0 Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b Lấy điểm M tùy ý trên b và dựng M M vuông góc với (α) M Từ M dựng b0 song song với b cắt a A α a Từ A dựng AB song song với M M cắt b B, độ dài đoạn AB là khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b Nhận xét a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với đôi và OA = OB = OC = a Gọi I là trung điểm BC Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung các cặp đường thẳng chéo nhau: OA và BC AI và OC -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 409 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (413) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Chương - Hình học 11 A OA ⊥ OI ⇒ OI là đoạn vuông góc chung OA và BC √ BC a Tam giác OBC vuông cân O nên OI = = 2 √ a Vậy d(OA, BC) = Ta có BC ⊥ OI H O Gọi K®là trung điểm OB, ta có IK k OC ⇒ OC k (AIK) Ta có IK ⊥ OB IK ⊥ OA tuyến AK E C F ⇒ IK ⊥ (OAB) ⇒ (AIK) ⊥ (OAB) theo giao I K B Trong mặt phẳng (OAB), kẻ OH ⊥ AK H, ta có: OH ⊥ (AIK) ⇒ OH ⊥ AI Trong mặt phẳng (AIK), kẻ HE k IK (E ∈ SI) Trong mặt phẳng (HE, OC), kẻ EF k OH (F ∈ OC) ⇒ EF ⊥ AI Lại có OC ⊥ (OAB) ⇒ OC ⊥ AH ⇒ OC ⊥ EF Do đó EF là đoạn vuông góc chung OC và AI 1 1 Trong tam giác vuông OAK ta có: = + = + = 2 2 OH OA OK a a a √ a Suy EF = OH = √ a Vậy d(AI, OC) = Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông A với AB = a, AC = 2a; cạnh bên AA0 = 2a Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng BC và AA0 -Lời giải Ta có AA0 k BB ⇒ AA0 k (BB C C) Vì (A0 B C ) ⊥ (BB C C) theo giao tuyến B C nên mặt phẳng (A0 B C ), kẻ A0 H ⊥ B C H, ta có: A0 H ⊥ (BB C C) ⇒ A0 H ⊥ BC Trong mặt phẳng (BB C C), kẻ HF k AA0 (F ∈ BC ) Trong mặt phẳng (HF, AA0 ), kẻ F E k A0 H (E ∈ AA0 ) ⇒ F E ⊥ BC Ta có AA0 ⊥ (A0 B C ) ⇒ AA0 ⊥ A0 H ⇒ AA0 ⊥ F E Do đó EF là đoạn vuông góc chung AA0 và BC Trong tam giác vuông A0 B C ta có: A0 H = A0 B 02 + A0 C 02 = 1 + = 2 a 4a 4a C0 A0 H B0 E F A C √ 2a √5 2a Vậy d(AA0 , BC ) = Suy EF = A0 H = B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a M là trung điểm SB Tính khoảng cách các đường thẳng: SC và BD AC và SD SD và AM -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 410 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (414) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S M K A E B H I O D C ® BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) O BD ⊥ AC Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OH ⊥ SC H, ta có OH ⊥ SC và OH ⊥ BD (vì BD ⊥ (SAC)) Vậy OH là đoạn vuông góc chung BD và SC √ a √ ·a OH SA OC.SA a ’ ⇒ OH = Ta có = = sin ACS = 2√ = OC SC SC a √ a Vậy d(SC, BD) = OH = Gọi O là giao điểm AC và BD Ta có: Dựng hình bình hành ACDE, ta có: AC k DE ⇒ AC k (SDE) ⇒ d(AC, SD) = d(AC, (SDE)) = d(A, (SDE)) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ AI ⊥ DE I, ta có ® DE ⊥ AI DE ⊥ SA ⇒ DE ⊥ (SAI) ⇒ (SDE) ⊥ (SAI) theo giao tuyến SI Trong mặt phẳng (SAI), kẻ AK ⊥ SI K, ta có:√AK ⊥ (SDE) ⇒ AK = d(A, (SDE)) a Ta có AIDO là hình bình hành nên AI = OD = 1 Trong tam giác vuông SAI ta có: = + = + = 2 2 AK AI SA a a a √ a Suy AK = √ a Vậy d(AC, SD) = d(A, (SDE)) = AK = 3 Ta có OM k SD và AC k DE nên (AM C) k (SDE) √ a Suy d(SD, AM ) = d((AM C), (SDE)) = d(A, (SDE)) = AK = C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM √ Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt đáy (ABC) Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ a 15 a a A d = B d = a C d = D d = 5 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 411 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (415) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a Gọi M là trung điểm BC, suy AM ⊥ BC và AM = Gọi K®là hình chiếu A trên SM , suy AK ⊥ SM AM ⊥ BC Ta có ⇒ BC ⊥ (SAM ) ⇒ BC ⊥ AK BC ⊥ SA Từ (1) và (2), suy AK ⊥ (SBC) nên d (A, (SBC)) √= AK SA · AM 3a a 15 Trong 4SAM , có AK = √ =√ = 2 15 SA √ + AM a 15 Vậy d (A, (SBC)) = AK = S (1) (2) K A C M B Chọn đáp án A √ Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a Tam giác SBC và nằm mặt phẳng vuông với đáy Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC) √ √ √ a 39 2a 39 a A d = B d = a C d = D d = 13 13 -Lời giải Gọi H là trung điểm BC, suy SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) S Gọi K là trung điểm AC, suy HK ⊥ AC Kẻ HE ⊥ SK (E ∈ SK) Khi đó: d (B, (SAC)) = 2d (H, (SAC)) = 2HE √ SH · HK 2a 39 = 2· √ = 13 SH + HK E B A H K C Chọn đáp án C Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên hình chóp và 2a Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ a 2a a a A d = √ B d = √ C d = D d = 2 30 30 -Lời giải Gọi O là tâm đáy, suy SO ⊥ (ABCD) S Ta có d (A, (SCD)) = 2d (O, (SCD)) Gọi J là trung điểm CD, suy OJ ⊥ CD Gọi K là hình chiếu O trên SJ, suy OK ⊥ SJ √ SO · OJ a Khi đó d (O, (SCD)) = OK = √ = √ 2 30 √SO + OJ 2a K Vậy d (A, (SCD)) = 2OK = √ 30 A D O B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em J C 412 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (416) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với √ mặt đáy (ABCD) Tính khoảng cách d từ D đến mặt √ phẳng (SBC) √ √ a 10 2a a A d = C d = B d = a D d = 3 -Lời giải Do AD k BC nên d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)) S Gọi K là hình chiếu A trên SB, suy AK√⊥ SB SA · AB 2a Khi d (A, (SBC)) = AK = √ = SA2 + AB K D A B C Chọn đáp án C Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Tính khoảng cách √ d từ A đến (SCD) √ √ 21 A d = B d = C d = D d = -Lời giải Gọi H là trung điểm AB, suy SH ⊥ AB Do đó SH ⊥ (ABCD) S Do AH k CD nên d (A, (SCD)) = d (H, (SCD)) Gọi E là trung điểm CD; K là hình chiếu vuông góc H trên SE √ SH · HE Khi đó d (H, (SCD)) = HK = √ =√ K 2 √ SH + HE 21 Vậy d (A, (SCD)) = HK = A D H E B C Chọn đáp án D √ Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy (ABCD) Tính khoảng √ cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) √ √ a a A d = a B d = C d = a D d = -Lời giải Do AB k CD nên d (B, (SCD)) = d (A, (SCD)) S Kẻ AE ⊥ SD E Khi đó d (A, (SCD)) = AE √ SA · AD a Tam giác vuông SAD, có AE = √ = 2 SA + AD E √ a Vậy d (B, (SCD)) = AE = A D O B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em C 413 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (417) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a 15 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Cạnh bên SA = và vuông góc với √ mặt đáy (ABCD) Tính √ khoảng cách d từ O đến mặt √ phẳng (SBC) √ a 285 285 a 285 a A d = B d = C d = D d = 19 38 38 -Lời giải Ta có d (O, (SBC)) = d (A, (SBC)) S Gọi K là hình chiếu A trên SB, suy AK ⊥ SB Khi đó d (A, (SBC)) = AK √ a 285 SA · AB = Tam giác vuông SAB, có AK = √ 2 19 K √ SA + AB a 285 Vậy d (O, (SBC)) = AK = D 38 A O B C Chọn đáp án C √ a 21 Tính khoảng √ a D d = Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) a 3a A d = B d = C d = 4 -Lời giải Gọi O là tâm tam giác ABC Do hình chóp S.ABC nên suy SO ⊥ (ABC) Ta có d (A, (SBC)) = 3d (O, (SBC)) Gọi E là trung điểm BC; kẻ OK ⊥ SE Khi đó d (O, (SBC)) = OK √ a a Tính SO = và OE = AE = a SO · OE = Tam giác vuông SOE, có OK = √ 2 SO + OE 3a Vậy d (A, (SBC)) = 3OK = S K A O C E B Chọn đáp án B Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp√với mặt đáy góc 60◦√ Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) √ a 3 A d = B d = C d = a D d = a 2 -Lời giải ’ Xác định 60◦ = (SB, (ABCD)) = (SB, AB) = SBA S √ ’ = a Suy SA = AB · tan SBA Ta có AD k BC ⇒ AD k (SBC) nên d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)) K Kẻ AK ⊥ SB √ SA · AB a Khi đó d (A, (SBC)) = AK = √ = 2 √ SA + AB a Vậy d (D, (SBC)) = AK = O B Th.s Nguyễn Chín Em 414 D A C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (418) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 1, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60◦ Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ 42 A d = B d = C d = D d = 2 14 -Lời giải ’ Xác định 60◦ = (SB, (ABCD)) √ = (SB, OB) = SBO ’ = và SO = OB · tan SBO Gọi M là trung điểm BC, kẻ OK ⊥ SM Khi đó d (O, (SBC)) = OK √ SO · OM 42 = Tam giác vuông SOM , có OK = √ 14 SO2 + OM √ 42 Vậy d (O, (SBC)) = OK = 14 S K A O D B M C Chọn đáp án D Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) 60◦ Gọi M là trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SM C) √ √ a a 39 C d = a D d = A d = a B d = 13 -Lời giải ’ Xác định 60◦ = (SB, (ABC)) = (SB, AB) = SBA √ ’ và SA = AB · tan SBA = a Do M là trung điểm cạnh AB nên S d (B, (SM C)) = d (A, (SM C)) K Kẻ AK ⊥ SM Khi đó d (A, (SM C)) = AK √ SA · AM a 39 Tam giác vuông SAM , có AK = √ = 13 SA2 + AM √ a 39 Vậy d (B, (SM C)) = AK = 13 M A B C Chọn đáp án B Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = 2a, BC = a Đỉnh S cách các điểm A, B, C Tính khoảng cách d từ trung điểm M SC đến mặt phẳng (SBD) √ √ √ a a A d = B d = C d = a D d = a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 415 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (419) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là trung điểm AC, suy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do đỉnh S cách các điểm A, B, C nên SO ⊥ (ABCD) Ta có d (M, (SBD)) = d (C, (SBD)) Kẻ CE ⊥ BD Khi đó √ a CB · CD = d (C, (SBD)) = CE = √ CB + CD2 √ a Vậy d (M, (SBD)) = CE = S M B A E O D C Chọn đáp án A Câu 13 Cho √hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, AD = 2BC, AB = BC = a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi E là trung điểm cạnh SC Tính khoảng cách d từ điểm E đến mặt √ phẳng (SAD) √ √ √ a B d = A d = a C d = D d = 2 -Lời giải Ta có d (E, (SAD)) = d (C, (SAD)) S Gọi M là trung điểm AD, suy ABCM là hình vuông ⇒ CM ⊥ AD.® CM ⊥ AD Do ⇒ CM ⊥ (SAD) E CM ⊥ SA √ A M nên d (C, (SAD)) = CM = AB√ = a D a Vậy d (E, (SAD)) = CM = 2 B C Chọn đáp án C Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc SD với đáy 60◦ Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) theo a √ √ √ √ a 2a a A d = B d = C d = D d = 2 -Lời giải ’ và SA = Xác định 60◦ = (SD, (ABCD)) = (SD, AD) = SDA √ S ’ = 2a AD · tan SDA Ta có d (C, (SBD)) = d (A, (SBD)) Kẻ AE ⊥ BD và kẻ AK ⊥ SE Khi đó d (A, (SBD)) = AK AB · AD 2a Tam giác vuông BAD, có AE = √ =√ 2 AB + AD √5 a SA · AE K = Tam giác vuông SAE, có AK = √ A D 60◦ + AE 2 SA √ a Vậy d (C, (SBD)) = AK = E B Chọn đáp án A C Câu 15 Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = AB = BC = 1, AD √ = Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) 2a B d = C d = D d = A d = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 416 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (420) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ AE ⊥ BD, kẻ AK ⊥ SE Khi đó d (A, (SBD)) = √AK AB · AD = Tam giác vuông ABD, có AE = √ AB + AD2 SA · AE Tam giác vuông SAE, có AK = √ = SA2 + AE 2 Vậy d (A, (SBD)) = AK = S A K D E B C Chọn đáp án A Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 30◦ Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a √ √ √ 2a 21 a 21 A d = B d = C d = a D d = a 21 -Lời giải ’ Xác định 30◦ = (SD, (ABCD)) = (SD, HD) = SDH S 2a ’ và SH = HD tan SDH = BD Ta có d (B, (SCD)) = d (H, (SCD)) = d (H, (SCD)) HD Ta có HC ⊥ AB ⇒ HC ⊥ CD Kẻ HK ⊥ SC Khi đó d (H, (SCD)) = HK K A D √ 2a 21 SH · HC = Tam giác vuông SHC, có HK = √ O 2 21 √ SH + HC a 21 H Vậy d (B, (SCD)) = HK = B C Chọn đáp án B Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B với AB = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) √ √ 2a a A d = √ B d = a C d = D d = 2a -Lời giải Gọi M là trung điểm AD, suy ABCM là hình vuông S AD Do đó CM = M A = nên tam gác ACD vuông C Kẻ AK ⊥ SC Khi đó √ K SA · AC a d (A, (SCD)) = AK = √ = SA2 + AC A M D B Chọn đáp án C C Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2AB = 2a Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy Gọi M, N là trung điểm SB và SD Tính khoảng cách d từ S đến mặt phẳng (AM N ) √ √ a 3a A d = B d = 2a C d = D d = a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 417 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (421) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 2a3 Thể tích khối chóp VS.ABD = S∆ABD · SA = 3 1 a3 Vì S∆SM N = S∆SBD nên VA.SM N = VA.SBD = 4 Ta có AM, AN là các đường trung tuyến tam giác vuông, M N là đường trung bình nên tính √ được: √ √ a a AM = , AN = a 2, M N = 2 √ a2 Từ đó tính S∆AM N = √ 3VS.AM N a Vậy d (S, (AM N )) = = S∆AM N S N M D A B C Chọn đáp án A Câu 19 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BDA0 ) √ √ √ √ A d = B d = C d = D d = 3 -Lời giải Gọi I là tâm hình vuông ABCD, suy AI ⊥ BD A0 D0 Kẻ AK ⊥ A0 I Khi đó √ AA0 · AI d A, BDA = AK = √ = B0 C0 02 AA + AI K D A I B C Chọn đáp án B √ a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB √ hợp với đáy góc 60◦ Tính √ khoảng cách d hai đường thẳng AD và SC √ a a a a B d = C d = D d = A d = 2 -Lời giải Ta có d (AD, SC) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC)) S Kẻ AK ⊥ SB Khi đó √ SA · AB a d (A, (SBC)) = AK = √ = SA2 + AB Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AC = K D A B Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em C 418 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (422) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vuông góc ’ = 60◦ Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB và SO với đáy, góc SBD √ √ √ √ a a a a A d = B d = C d = D d = -Lời giải Ta có 4SAB = 4SAD (c.g.c), suy SB = SD ’ Lại có SBD = √ 60◦ , suy ∆SBD cạnh SB = SD = BD = a √ Tam giác vuông SAB, có SA = SB − AB = a Gọi E là trung điểm AD, suy OE k AB và AE ⊥ OE Do đó d (AB, SO) = d (AB, (SOE)) = d (A, (SOE)) Kẻ AK ⊥ SE Khi đó √ SA · AE a d (A, (SOE)) = AK = √ = SA2 + AE S K E A D O B C Chọn đáp án D Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD √ là hình vuông tâm O, cạnh Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA và BD √ √ √ 30 C d = 2 D d = A d = B d = -Lời giải Ta có BD ⊥ (SAC) Kẻ OK ⊥ SA Khi đó S SO · OA d (SA, BD) = √ = SO2 + OA2 √ 30 K B A O D C Chọn đáp án B Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi H và K là trung điểm cạnh BC và CD Tính khoảng cách d hai đường thẳng HK và SD A d = a B d = 2a C d = 2a D d = a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 419 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (423) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi E = HK ∩ AC Do HK k BD nên d (HK, SD) = d (HK, (SBD)) = d (E, (SBD)) = d (A, (SBD)) Kẻ AF ⊥ SO Khi đó d (A, (SBD)) = AF = √ S 2a SA · AO = SA2 + AO2 F a Vậy d (HK, SD) = AF = A D O B H E K C Chọn đáp án A Câu 24 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy là tam giác cạnh có độ dài 2a Hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H BC Tính khoảng cách d hai đường thẳng BB và A0 H √ √ a a A d = 2a B d = a C d = D d = -Lời giải Do BB k AA0 nên C0 A0 d BB , A0 H = d BB , AA0 H = d B, AA0 H B0 ® BH ⊥ AH Ta có ⇒ BH ⊥ (AA0 H) nên BH ⊥ A0 H d B, AA0 H Vậy d (BB , A0 H) = BH = BC = a A C = a H B Chọn đáp án B √ Câu 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, AA0 = 2a Tính khoảng cách d hai đường thẳng BD và CD0 √ √ √ 2a a A d = a B d = 2a C d = D d = 5 -Lời giải A0 B0 D0 C0 K D A I E B C Gọi I là điểm đối xứng A qua D, suy BCID là hình bình hành nên BD k CI Do đó d (BD, CD0 ) = d (BD, (CD0 I)) = d (D, (CD0 I)) Kẻ DE ⊥ CI E, kẻ DK ⊥ D0 E Khi đó d (D, (CD0 I)) = DK Xét tam giác IAC, ta có DE k AC (do cùng vuông góc với CI) và có D là trung điểm AI nên suy Th.s Nguyễn Chín Em 420 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (424) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 DE là đường trung bình tam giác Suy DE = AC = a 2√ D · DE 2a D = Tam giác vuông D0 DE, có DK = √ 2 D D + DE Chọn đáp án C Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 4a Cạnh bên SA = 2a Hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H đoạn thẳng AO Tính khoảng cách d các đường thẳng SD và AB √ √ 4a 22 3a A d = B d = √ C d = 2a D d = 4a 11 11 -Lời giải Do AB k CD nên d (SD, AB) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) = d (H, (SCD)) Kẻ HE ⊥ CD, kẻ HL ⊥ SE, ta tính được: S p √ SA2 − AH = a 2, HE = AD = 3a √ SH · HE 3a Khi đó d (H, (SCD)) = HL = √ = √ 2 11 √ SH + HE 4a 22 Vậy d (SD, AB) = HL = 11 SH = A B L H O D E C Chọn đáp án A Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD √ có đáy ABCD là hình vuông cạnh 10 Cạnh bện SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = 10 Gọi M, N là trung điểm SA và CD Tính khoảng cách d BD và M N √ √ A d = B d = C d = D d = 10 -Lời giải Gọi P là trung điểm BC và E = N P ∩ AC, suy P N k BD nên BD k (M N P ) Do đó d (BD, M N ) = d (BD, (M N P )) = d (O, (M N P )) = d (A, (M N P )) Kẻ AK ⊥ M E Khi √ đó d (A, (M N P )) √ = AK Tính SA = SC − AC =√10 √ 15 ⇒ M A = 3; AE = AC = √ M A · AE Tam giác vuông M AE, có AK = √ = 2 M A + AE √ Vậy d (BD, M N ) = AK = Chọn đáp án B S M K A D N O E B P C Câu 28 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = 3a, BC = 4a Cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc tạo SC và đáy 60◦ Gọi M là trung điểm AC, tính khoảng cách d hai đường thẳng AB và SM √ √ √ 5a 10a A d = a B d = 5a C d = D d = √ 79 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 421 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (425) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’ Xác định 60◦ = (SC, (ABC)) = (SC, AC) = SCA √ ’ = 5a và SA = AC tan SCA Gọi N là trung điểm BC, suy M N k AB Lấy điểm E đối xứng với N qua M , suy ABN E là hình chữ nhật Do đó d (AB, SM ) = d (AB, (SM E)) = d (A, (SM E)) Kẻ AK ⊥ SE Khi đó √ SA.AE 10a d (A, (SM E)) = AK = √ = √ 79 SA2 + AE S K E 60◦ M A C N B Chọn đáp án D Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách d hai đường√thẳng SA và BD √ √ a 21 a a 21 A d = B d = C d = D d = a 14 -Lời giải Gọi I là trung điểm AD ⇒ SI ⊥ AD ⇒ SI ⊥ (ABCD) S Kẻ Ax k BD Ta có d (BD, SA) = d (BD, (SAx)) = d (D, (SAx)) = 2d (I, (SAx)) Kẻ IE ⊥ Ax, kẻ IK ⊥ SE Khi đó d (I, (SAx)) √ = IK Gọi F là hình AO a chiếu I trên BD, ta có IE = IF = = 4√ SI · IE a 21 Tam giác vuông SIE, có IK = √ = 2 14 SI + IE D C √ K a 21 Vậy d (BD, SA) = 2IK = F x I O E A B Chọn đáp án C Câu 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D với AB = 2a, AD = DC = a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Góc SC và ◦ mặt đáy √ 60 Tính khoảng cách d hai đường thẳng AC và SB √ √ a 2a 15 A d = B d = 2a C d = a D d = -Lời giải ’ và SA = Xác định 60◦ = (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = SCA S √ ’ AC tan SCA = a Gọi M là trung điểm AB, suy ADCM là hình vuông nên CM = AD = a Xét tam giác ACB, ta có trung tuyến CM = a = AB nên tam giác ACB vuông C K Lấy điểm E cho ACBE là hình chữ nhật, suy AC k BE E Do đó d (AC, SB) = d (AC, (SBE)) = d (A, (SBE)) A M Kẻ AK ⊥ SE Khi đó B √ 60◦ SA · AE a d (A, (SBE)) = AK = √ = SA2 + AE D C Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 422 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (426) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ Câu 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a 3, BC = a Cạnh bên SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách SB và DC √ √ √ 2a a C a A a B D -Lời giải Vì DC k AB nên ta có S √ d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD = a D A B C Chọn đáp án A Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên 3a Khoảng cách từ A đến (SCD) √ √ √ √ a 14 a 14 a 14 A B C a 14 D -Lời giải Gọi I = AC ∩ BD Áp dụng công thức tỉ số khoảng cách, ta có S d(A, (SCD)) AC = = d(I, (SCD)) IC 3a Kẻ IH®⊥ CD, (H ∈ CD) và IK ⊥ SH, (K ∈ SH) CD ⊥ IH ⇒ CD ⊥ IK Ta có CD ⊥ SI, (SI ⊥ (ABCD)) Do đó IK ⊥ (SCD) hay d(I, (SCD)) = IK K A D I B √ Vì ABCD là hình vuông cạnh 2a nên BI = BC × 2a H C √ = a 2 Xét 4SIB vuông I, ta có SI = SB − BI = 9a2 − 2a2 = 7a2 Tam giác SIH vuông I, IK là đường cao nên 1 1 = + = + = 2, 2 IK IH SI a 7a 7a √ √ a 14 a 14 suy IK = Do đó, d(A, (SCD)) = 2IK = Chọn đáp án D Câu 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Cạnh bên SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách SC và BD √ 2a a 4a 3a B C D A 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 423 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (427) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O = AC ∩ BD I là trung điểm SA OI là đường trung bình 4SAC nên OI k SC, suy SC k (IBD) Do đó S I d(SC, BD) = d(SC, (IBD)) = d(C, (IBD)) Kết hợp với OA = OC, ta suy K d(C, (IBD)) = d(A, (IBD)) A D H O B Trong (ABCD), kẻ AH ⊥ BD (H ∈ BD) Mà BD ⊥ AI nên BD ⊥ (AHI) Trong (AHI) kẻ AK ⊥ HI (K ∈ HI) thì d(A, (IBD)) = AK Xét 4ABD vuông A, AH là đường cao, ta có C 1 1 = + = + = 2 2 AH AB AD a 4a 4a Xét 4AHI vuông A, AK là đường cao, ta có 1 2a = + = + = ⇒ AK = AK AH AI 4a a 4a Chọn đáp án A √ Câu 34 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, cạnh bên a Gọi O là tâm đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) Tính d = d1 + d2 √ √ √ √ 2a 22 2a 22 8a 22 8a 22 A d = B d = C d = D d = 11 33 33 11 -Lời giải Gọi M®là trung điểm BC S BC ⊥ SO Ta có ⇒ BC ⊥ (SAM ) ⇒ (SAM ) ⊥ (SBC) BC ⊥ AM Gọi H, K là hình chiếu O và A lên SM , suy d1 = AK và d2 = OH K AK AM d1 = = = ⇒ d1 = 3d2 ⇒ d = 4d2 = 4OH Có d2 OH OM a2 8a2 2 Ta có SO = SA − AO2 = 3a2 − = 3 H 1 12 99 A C Xét tam giác SOM , có = + = + = 2 2 2 OH SO OM 8a a 8a √ √ 2a 22 8a 22 O , suy d = 4OH = Vậy OH = N M 33 33 B Chọn đáp án C Câu 35 Cho tứ diện ABCD cạnh a, tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD √ √ √ a a a A B C D a 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 424 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (428) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có N D, N C là đường √ cao các tam giác ABD và a ABC cạnh a nên N D = N C = Tam giác N CD cân N và M là trung điểm CD nên M N ⊥ CD Chứng minh tương tự ta có M N ⊥ AB Suy M N là đoạn vuông góc chung AB và CD nên d(AB, CD) = √ MN 2a2 Dùng công thức Hê-rông, ta có SN CD = √ 2SN CD a Suy M N = = CD A N B C M D Chọn đáp án A Câu 36 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 60◦ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khoảng cách hai đường thẳng GC và SA bằng√ √ √ a a a a A B C D 10 5 -Lời giải Gọi M là trung điểm AB và vẽ hình bình hành AM GD S Ta có GC k SA nên suy GC k (SAD) Từ đó ta có d(GC, SA) = d(GC, (SAD)) = d(G, (SAD)) Ta có ABC là tam giác nên CM ⊥ AB, suy AM GD là hình chữ nhật Mặt khác ta có S.ABC là hình chóp và G là tâm ABC nên SG ⊥ (ABC) G 60 M B ◦ H A D C ® AD ⊥ GD AD ⊥ SG ⇒ AD ⊥ (SGD) Kẻ GH®⊥ SD H GH ⊥ SD Ta có ⇒ GH ⊥ (SAD) ⇔ d(G, (SAD)) = GH GH ⊥ AD AD ⊥ (SGD) SG · GD SG2 + GD2 √ √ 2 a a AG = CG = CM = · = 3 √ a ’ SG = AG · tan SAG = · tan 60◦ = a a GD = AM = Xét tam giác SGD ta có GH = √ (1) √ a Thay SG, GD tìm trên vào (1) ta có GH = Chọn đáp án B Câu 37 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = AA0 = a, AC = 2a Khoảng cách từ điểm D đến mặt√phẳng (ACD0 ) là √ √ √ a a a 10 a 21 A B C D 5 Th.s Nguyễn Chín Em 425 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (429) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải √ √ √ Ta có BC = √ AC − AB = 4a2 − a2 = a Do đó DA = a 3; DC = DD0 = a Gọi h = d(D, (ACD0 )), tứ diện DACD0 vuông D nên ta có 1 1 1 = + + = 2+ 2+ = 2 02 02 h DA DC DD 3a a a 3a √ a 21 suy h = A0 D0 B0 C0 D A B C Chọn đáp án D Câu 38 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, góc cạnh bên SC và mặt đáy 45◦ Hình chiếu vuông góc điểm S lên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn AB cho HA = 2HB Khoảng cách hai đường thẳng SA và BC √ √ √ √ a 210 a 210 a 210 a 210 A B C D 45 20 15 30 -Lời giải ’ là góc SC và mặt phẳng (ABC) ⇒ Ta có SCH ’ = 45◦ SCH Gọi D là trung điểm cạnh AB Ta có: S √ a a HD = , CD = √ p a 2 HC = HD + CD = A K √ C a SH = HC · tan 45◦ = D N H B Kẻ Ax song song với BC, gọi N , K là hình chiếu vuông góc H lên Ax và SN Ta có BC song song với mặt phẳng (SAN ) và BA = HA Nên 3 d(SA, BC) = d(B, (SAN )) = d(H, (SAN )) = HK 2 √ 2a a ◦ Mà AH = ; HN = AH sin 60 = 3 √ SH · HN a 210 HK = √ = 30 SH + HN √ a 210 Vậy d(SA, BC) = HK = 20 Chọn đáp án B Câu 39 Th.s Nguyễn Chín Em 426 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (430) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ’ = 60◦ Biết tam giác SAB và nằm 2a, góc BAD mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng √ (SBD) √ 2a 15 2a 15 A d = B d = √15 √5 a 15 a 15 C d = D d = 15 S D A C B -Lời giải Gọi H là trung điểm AB Kẻ IH vuông góc BD I Kẻ HK vuông góc SI K Ta có ® IH ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SHI) ⇒ HK ⊥ BD SH ⊥ BD S D A mà HK ⊥ SI suy HK ⊥ (SBD) √ CO a Ta có IH k CO và IH = = Khi đó, 2 H K O I C B d(C, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HK √ 1 1 3a2 a 15 Ta có = + = Ç √ å2 + Ç √ å2 = ⇒ HK = ⇒ KH = HK SH IH 3a 5 2a a 2 √ 2a 15 Vậy d(C, (SBD)) = Chọn đáp án A √ √ Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a 3, BC = a Cạnh bên SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách SB và DC √ √ √ 2a a A a B C a D -Lời giải Vì DC k AB nên khoảng cách SB và DC khoảng cách S mặt phẳng (SAB) và DC Do đó: d(DC, SB) =d(DC, (SAB)) √ =d(D, (SAB)) = AD = a A B Chọn đáp án A D C Câu 41 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh là 2a, cạnh bên 3a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ √ a 14 a 14 a 14 A B C a 14 D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 427 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (431) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi tâm đáy là O, M là trung điểm CD Trong (SOM ), kẻ OK vuông góc với SM K Khi đó√ta có d(A, (SCD)) = 2OK √ √ = 2d(O, (SCD)) √ 2 2 SO = SD − OD = 9a − 2a = 7a = a 1 1 = + = + = 2 2 OK OS OM 7a a√ 7a a 14 Suy d(A, (SCD)) = 2OK = S K A M O B D C Chọn đáp án D Câu 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Cạnh bên SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy √ Khoảng cách SC và BD 2a a 4a 3a A B C D 3 -Lời giải Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm SA Khi S đó SC k (BM D) và d(SC, BD) = d(SC, (BM D)) = d(S, (BM D)) = d(A, (BM D) Trong (ABCD), kẻ AH ⊥ BD = H Trong (M AH), kẻ AK ⊥ M H = K M Khi đó d(A, (BM D)) = AK 1 Ta có = + = 2 2 AH AB AD 4a K 1 2a = + ⇒ AK = A D AK AH AM O H B C Chọn đáp án A Câu 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD) Khẳng định nào sau đây sai? ’ A Góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SBA B (SAB) ⊥ (SAD) C Khoảng cách BC và SA là AB D Góc BD và (SAD) 45◦ -Lời ® giải (SAB) ⊥ (ABCD) Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) S BC ⊥ BA Từ B kẻ BK ⊥ SA ⇒ d(BC, SA) = BK Ta có 4SAB cân S, d(BC, SA) = BK 6= AB A B Chọn đáp án C D C Câu 44 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A0 B C D0 có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC ) có số đo 60◦ Khoảng cách d(A0 D0 , CD) √ √ a A √ B 2a C 3a D a 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 428 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (432) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ◦ ÷ Ta có góc mặt √ phẳng (ABCD) và (ABC ) là C BC = 60 Ta CC = a √ Ta có d(A0 D0 , DC) = DD0 = CC = a A0 D0 B0 A C0 D B C Chọn đáp án D Câu 45 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? a A Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0 BD) B Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CDD0 C ) a √ C Độ dài AC a a3 a D Khoảng cách BD và CD0 √ -Lời giải Ta có A.A0 BD là tam diện vuông đỉnh A A0 D0 1 1 Ta có = + + AA02 AB AD2 [d(A, (A0 BD))]2 B0 C0 a √ ⇒ d(A, (A BD)) = A D B C Chọn đáp án A Câu 46 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Gọi K là trung điểm DD0 Tính khoảng cách CK và A0 D √ √ a a a C a a3 D B √ A 3 -Lời giải B0 A0 C0 C D0 H K B C D K A A0 I (∆) D Từ K kẻ (∆) k DA0 Từ D kẻ DI ⊥ (∆) Từ D kẻ DH ⊥ CI 0 Ta có DA ® k (CK, (∆)) ⇒ d(CK, A D) = d(A D, (CK, (∆))) = d(D, (CK, (∆))) (∆) ⊥ CD Ta có ⇒ (∆) ⊥ (CDI) ⇒ (∆) ⊥ DH ⇒ d (D, (CK, (∆))) = DH (∆) ⊥ DI 1 1 a Ta có = + = + Ç √ å2 = ⇒ d(CK, A0 D) = DH CD2 DI a a a Th.s Nguyễn Chín Em 429 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (433) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết 6a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) A 6a B 12a C 3a D 4a -Lời giải Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, ta có AC cắt mặt phẳng (SBD) O và O là trung điểm đoạn thẳng AC nên 6a d[C, (SBD)] = d[A, (SBD)] = S A D O B C Chọn đáp án A Câu 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a Khoảng cách SC và AB √ √ √ √ a 2a a 2a A B C D 5 15 15 -Lời giải Gọi M , N là trung điểm AB và CD Ta có (OSN ) ⊥ (SCD) và hai mặt phẳng này cắt theo giao tuyến SN Từ O kẻ OH ⊥ SN H Suy OH ⊥ (SCD) Từ đó ta có d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) = 2OH √ SO · ON a Xét tam giác SON có OH = = SN S H C B M O N D A Chọn đáp án A Câu 49 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 , AB = cm, BC = BB = cm Điểm E là trung điểm cạnh BC Một tứ diện M N P Q có hai đỉnh M và N nằm trên đường thẳng C E, hai đỉnh P , Q nằm trên đường thẳng qua điểm B và cắt đường thẳng AD F Khoảng cách DF A cm B cm C cm D cm -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 430 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (434) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do tứ diện M N P Q nên ta có M N ⊥ P Q hay EC ⊥ B F # » # » Đặt k cho AF = k AD # » # » # » # »0 # » # » # » # » Ta có B F = B A + AF = B A + B B + k AD = B A0 + B B + # » kB C # » # » # » 1# » # » Ta lại có EC = EC + CC = B C − B B # »0 # » k k Khi đó EC · B F = −B B + B C 02 = −4 + · 2 # » # » Mà EC ⊥ B F ⇒ EC · B F = k # » # » Nên −4 + · = ⇒ k = Vậy AF = 2AD Vậy F là điểm trên AD cho D là trung điểm AF Do đó DF = BC = cm A0 D0 B0 C0 A D B C E Chọn đáp án C Câu 50 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a, SA ⊥ (ABCD) Khoảng cách từ điểm A √ đến mặt phẳng (SBC) là √ a a A B a C a D 2 -Lời giải Kẻ AH®⊥ SB (H ∈ SB) S BC ⊥ AB Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ SA Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) hay AH = d(A; (SBC)) H √ a Vì tam giác SAB vuông cân nên AH = SB = 2 B A D C Chọn đáp án A Câu 51 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a, SA ⊥ (ABCD) Khoảng cách từ C đến mặt √ phẳng (SBD) là √ a a a A B C a D 3 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông, vì AC cắt (SBD) O nên S d(C; (SBD)) = d(A; (SBD)) ® BD ⊥ AO Ta có ⇒ BD ⊥ (SAO) ⇒ (SBD) ⊥ (SAO) BD ⊥ SA Kẻ AH ⊥ SO (H ∈ SO) Khi đó AH ⊥ (SBD) hay AH = d(A; (SBD)) √ SA · AO a H = Ta có AH = √ SA2 + AO2 A B O D Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em C 431 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (435) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 52 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M là trung điểm cạnh AD Tính khoảng cách hai đường thẳng AB √ và CM √ √ a 11 a a a 22 A B C D 2 11 -Lời giải Gọi N là trung điểm BD, C ta có AB k M N ⇒ AB k (CM N ) Mà CM ⊂ (CM N ), suy d (AB, CM ) = d (AB, (CM N )) = d (A, (CM N )) = d (D, (CM N )) √ a a Ta có CM = CN = , MN = 2 Gọi H là trung điểm M√N , ta có CH ⊥ M N , và N √ a 11 D B CH = CM − M H = √ H a2 11 M Suy SCM N = CH · M N = 16 √ √ 1 a3 a3 A Mặt khác VCDM N = VABCD = = 4 12√ 48 3VCDM N a 22 Do đó d (D, (CM N )) = = S4CM N 11 Chọn đáp án D Câu 53 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA điểm A đến mặt phẳng (SBC) √ = 2a Khoảng cách từ √ √ √ 2a 5a 5a 5a A B C D 3 5 -Lời giải Kẻ AH ⊥ SB (H ∈ SB) Ta có S ® BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ SA ® BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d (A, (SBC)) = AH SB ⊥ AH √ 1 1 5a H = + = + ⇒ AH = AH AB SA2 4a a A C B Chọn đáp án D Câu 54 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Khoảng cách √ hai đường thẳng AC và SB 6a a a 2a A B C D 2 -Lời giải Dựng hình bình hành ACBE, AH ⊥ BE, AI ⊥ SH S ⇒ AC k (SBE) ⇒ d [AC, SB] = d [AC, (SBE)] = d [A, (SBE)] = AI 1 1 1 = + = + + = 2 2 2 AI AS AH AS AB AE 4a 2a ⇒ AI = 2a I Vậy khoảng cách AC và SB E D A H B Th.s Nguyễn Chín Em 432 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (436) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án D Câu 55 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy ABC Biết SA = 3a, AB = a, BC = 2a và góc ’ 60◦ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) ABC √ √ √ √ 3a 13 a A 3a B a C D 13 13 -Lời giải sin 60◦ √ a = Kẻ AI ⊥ BC Xét 4ABI vuông I, AI = AB · ® BC ⊥ AI Ta có ⇒ BC ⊥ (SAI) BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABC)) ® AH ⊥ SI Trong (SAI) kẻ AH ⊥ SI, ta có AH ⊥ BC (BC ⊥ (SAI)) Suy AH ⊥ (SBC) Do đó d(A, (SBC)) = AH Xét 4SAI vuông A, ta có √ 1 13 3a 13 = + = + = ⇒ AH = AH AI SA2 3a 9a 9a 13 S H A C I B Chọn đáp án C ’ = 30◦ ; M Câu 56 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, ACB ◦ là trung điểm cạnh AC Góc cạnh bên và mặt đáy lăng trụ 60 Hình chiếu vuông góc đỉnh A0 lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H BM Thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B C là √ √ √ √ 3a3 a3 A B C 3a3 D a3 4 -Lời giải Ta có ÷0 A0 H ⊥ (ABC) ⇒ (AA0 , (ABC)) = HAA √ √ a2 BC = AB cot C = a 3, suy S4ABC = ’ = 30◦ nên 4AM B Vì 4ABC vuông B và ACB √ a Do đó AH = a Suy A0 H = AH tan HAA0 = √ a3 Vậy VABCD.A0 B C D0 = A H · S4ABC = Chọn đáp án B A0 C0 B0 M A 30◦ C H B Câu 57 Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc vói đáy Khoảng cách từ A tới (SBC) là √ √ √ A a B a C a D a 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 433 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (437) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có thể tích khối chóp S.ABCD là S 1 1 · SABC · SA = · BA · BC · SA = · a · a · a = a3 3 6 √ √ Mặt khác AC = a nên SC √ = a √ Tam giác SBC có SC = a 3, SB = a 2, BC = a nên tam giác SBC vuông B √ a2 Do đó SSBC = SB · BC = 2 Vậy √ a3 3VS.ABC a d(A, (SBC)) = = 2√ = SSBC a 2 VS.ABCD = A C B Chọn đáp án D Câu 58 Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân B, AB = a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) √ √ √ a 21 a 21 a A B a C D 14 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB, tam giác SAB nên SH ⊥ AB Mặt khác giả thiết (SAB) ⊥ (ABC) suy SH ⊥ (ABC) nên SH ⊥ AC (1) √ √ a AB = Khi đó SH = 2 Trong mặt phẳng (ABC) hạ HK ⊥ AC(K ∈ AC) (2) Từ (1), (2) suy AC ⊥ (SHK) Tương tự mặt phẳng (SHK) kẻ HI ⊥ SK(I ∈ SK) (3) Theo chứng minh trên suy HI ⊥ AC (4) S J I C A K H B Từ (3), (4) suy HI ⊥ (SAC) Qua B kẻ đường thẳng song song với HI cắt mặt phẳng (SAC) J Do BJ k HI suy BJ ⊥ (SAC) đó d (B, (SAC)) = BJ √ a a Do giả thiết suy 4HKA vuông cân K Mà HA = suy KH = KA = Xét tam giác vuông SHK ta có 1 1 = + ⇔ = 2+ 2 2 HI HK SH √ HI a 3a 3a a 21 ⇔ HI = ⇔ HI = 28 14 √ a 21 Do H là trung điểm AB nên BJ = 2HI suy BJ = Chọn đáp án C Câu 59 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao 10 Trên các cạnh SA, SB, SC SA1 SB1 SC1 lấy các điểm A1 , B1 , C1 cho = ; = ; = Mặt phẳng qua A1 , B1 , C1 cắt SD SA SB SC D1 Tính khoảng cách từ điểm D1 đến mặt phẳng đáy hình chóp S.ABCD 11 A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 434 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (438) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là trọng tâm ABCD, mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm SO và A1 C1 Do giả thiết suy SO ⊥ (ABCD) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ D1 H k SO suy D1 H ⊥ (ABCD) Do đó d (D1 , (ABCD)) = D1 H S4SA1 C1 SA1 SC1 Mặt khác ta có = · (1) S4SAC SA SC S4SA1 I SA1 SI Tương tự = · (2) S4SAO SA SO S4SC1 I SC1 SI và = · (3) S4SCO SC SO S I C1 B1 A S4SA1 C1 = S4SAC Å S4SA1 I S4SC1 I + S4SAO S4SCO D O H C B Mà D1 A1 ã Từ (1), (2) và (3) và giả thiết ta suy ⇔ Å ã SA1 SC1 SA1 SI SC1 SI · = · + · SA SC SA SO SC SO Å ã SI SI SI ⇔ · = · + · = 3 SO SO SO Chứng minh tương tự ta có ⇔ SB1 SD1 · = SB SD Å SD1 1 · = SD 2 Å ã SB1 SI SD1 SI · + · SB SO SD SO ã 4 SD1 SD1 · + · = ⇔ 9 SD SD Xét tam giác SOD vì D1 H k SO nên theo định lý Ta-lét ta có DD1 DH HD1 = = DS DO SO Theo chứng minh trên ta có DD1 HD1 3 = suy = ⇔ HD1 = · 10 = DS SO 5 Chọn đáp án B Câu 60 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, góc SC và đáy 45◦ Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a a a a 30 A h = B h = C h = D h = 6 -Lời giải Ta có AD k BC ⇒ AD k (SBC) S ⇒ d (D, (ABC)) = d (A, (SBC)) (1) Gọi H là trung điểm AB Do 4SAB cân S nên SH ⊥ AB Mặt khác (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) Dựng AK ⊥ SB (K ∈ SB) A D K H B ® C BC ⊥ AB vì ABCD là hình vuông ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AK BC ⊥ SH vì SH ⊥ (ABCD) ® AK ⊥ SB Ta có ⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒ d (A, (ABC)) = AK (2) AK ⊥ BC Từ (1) và (2) ⇒ h = AK Ta có Th.s Nguyễn Chín Em 435 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (439) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a 4BHC vuông B ⇒ HC + = ’ = 45◦ Có SH ⊥ (ABCD) ⇒ Góc√giữa SC và (ABCD) là SCH a ⇒ SH = CH · tan 45◦ = √ √ a 2 4SBH vuông H ⇒ SB = SH + BH = Có SH · AB = AK · SB√(= 2S4SAB ) a 30 SH · AB = ⇒ AK = AK √ BH BC Chọn đáp án D Câu 61 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy M , N , P là trung điểm SB, BC, SD Tính khoảng cách AP và MN √ √ √ a 3a 3a D A √ B C 4a 15 10 15 -Lời giải Gọi Q là trung điểm CD Ta có M N , P Q là đường trung bình tam giác SBC, SCD nên M N k SC k P Q Suy M N k (AP Q) Do đó d(AP, M N ) = d(M N, (AP Q)) = d(N, (AP Q)) S P M A Kẻ đường cao SH tam giác SAB suy H là trung điểm AB và SH ⊥ (ABCD) D T H B N Q C Dễ dàng chứng minh N D ⊥ AQ và N D ⊥ HC Lại có N D ⊥ SH nên N D ⊥ (SHC), suy N D ⊥ SC Do đó N D ⊥ P Q Từ đó suy N D ⊥ (AP Q) Vậy d(AP, M N ) = N T , với T là giao điểm N D với AQ … √ √ a a2 2 Trong tam giác CDN vuông C ta có DN = CD + N C = a + = Œ √ 2· a a 2 AD · DQ a Trong tam giác ADQ vuông D ta có DT = = = AD2 + DQ2 a2 a + √ √ √ a a 3a Vậy d(AP, M N ) = N T = N D − DT = − = 10 Chọn đáp án B √ Câu 62 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông A với AC = a √ Biết BC hợp với mặt phẳng (AA0 C C) góc 30◦ và hợp với mặt phẳng đáy góc α cho sin α = Gọi M , N 0 0 là trung điểm cạnh BB và A C Khoảng cách M N và AC là √ √ √ a a a a A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 436 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (440) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 BC là góc BC và ÷ Do ABC.A0 B C là lăng trụ đứng nên C BC = α; Do BA ⊥ (AA0 C C) nên AC 0B ÷ ÷ mặt phẳng (ABC) ⇒ C B = 30◦ ÷ là góc BC và mặt phẳng (AA0 C C) ⇒ AC 0 Gọi P là trung điểm AA , I = N C ∩ AC Có (M N P ) k (ABC ) ⇒ M N k (ABC ) ⇒ d(M N, AC ) = d(M N, (ABC ) = d(N, (ABC ) d(N, (ABC )) NI N C0 Có N C ∩ (ABC ) = I ⇒ = = = ⇒ d(C, (ABC )) CI AC d(N, (ABC )) = · d(C, (ABC )) Có BA ⊥ (AA0 C C) ⇒ (ABC ) ⊥ (AA0 C C) Kẻ CH ⊥ AC ⇒ CH ⊥ (ABC ) Vậy CH là khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABC ) C0 B0 N 30◦ A0 I M H P α C B A CC 4x Đặt = x (x > 0) Xét có = =√ ; sin α √ √ 02 + x2 Xét 4ACC vuông C có AC = AC + CC √ = √3a √ AC · 3a2 + x2 Xét 4ABC vuông A có cos 30◦ = ⇔ = ⇔ x2 = 3a2 BC 4x √ 1 1 a Xét 4ACC vuông C có CH là đường cao nên = + = + = ⇒ CH = CH CA2 CC 02 3a 3a 3a √ a Vậy d(N, (ABC )) = CH = Chọn đáp án A CC 4BCC BC Câu 63 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) 45◦ Gọi M là điểm M đến mặt phẳng (SAC) √ trung điểm SD Tính√theo a khoảng cách d từ √ √ a 1315 2a 1315 a 1513 2a 1513 A B C D 89 89 89 89 -Lời giải S M F A N E D H B C ’ = 45◦ ; Gọi H, M, N là trung điểm các cạnh AB,√SD, AD Từ giả thiết ta có SH ⊥ (ABCD) và SCH 17a tam giác SHC vuông cân nên SH = HC = M N k SA suy d(M, (SAC)) = d(N, (SAC)) = d(H, (SAC)) (1) Dựng HE ⊥ AC, HF ⊥ SE Dễ thấy HF ⊥ (SAC) (2) Từ (1) và (2) suy √ HE · SH a 1513 d(M, (SAC)) = HF = √ = 89 HE + SH Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 437 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (441) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 64 Cho hình chóp √ S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, CD = 2a 2, AD = 2AB = 2BC Hình chiếu S lên mặt đáy là trung điểm M cạnh CD Khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAD đến √ mặt phẳng (SBM ) √ a 10 3a 10 A B 15 15 √ √ 3a 10 4a 10 C D 15 S G A D F M B C -Lời giải S A F D G A D F H M M B B C C Gọi F là trung điểm AD Vẽ F H ⊥ BM H ∈ BM Do (SBM ) ⊥ (ABCD) nên F H ⊥ (SBM ) ⇒ d (F, (SBM )) = F H F G ∩ (SBM ) = S 2 Do nên d (G, (SBM )) = d (F, (SBM )) = F H GS = F S 3 ® ABCF là hình vuông ’ ÷ Ta có ⇒ BF A=M F D = 45◦ ⇒ tam giác BF M vuông F F M k AC Xét tam giác BF M vuông F Ta có √ √ BF = CD = 2a ⇒ F M = M D = CD = a √2 FB · FM 2a 10 Suy F H = √ = F B2 + F M √5 4a 10 Vậy d (G, (SBM )) = F H = 15 Chọn đáp án D √ Câu 65 Cho hình√chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi vuông góc, AB = a, AC = a và diện tích tam a2 33 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) giác SBC √ √ √ √ a 330 a 330 a 110 2a 330 A B C D 11 33 33 33 -Lời giải Gọi K, H là hình chiếu A lên BC và SK Th.s Nguyễn Chín Em 438 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (442) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Khi đó BC ⊥ (SAK) ⇒ BC ⊥ SK và AH ⊥ (SBC) √ √ √ a 2 Tam giác ABC có BC = AB + AC = a và AK = √ √ a2 33 √ 2· 2S4SBC a 11 √ Tam giác SBC có SK = = = BC a 3√ √ a Tam giác SAK có SA = SK − AK = √3 √ a a √ · √ SA · AK a 330 3 √ Vậy d (A, (SBC)) = AH = = = SK 33 a 11 Chọn đáp án B S H A C K B √ Câu 66 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AC = với đáy, √ SB tạo với mp(ABCD) góc 60◦ Khoảng cách AD √ và SC là a a a B C A 4 -Lời giải SA ⊥ (ABCD) AB là hình chiếu vuông góc SB trên ABCD ’ = 60◦ ⇒ (SB, √ (ABCD)) = (SB, AB) = SBA a a ⇒ AB = AC = 2 Trong tam giác SAB, kẻ AH ⊥ SB (1) BC ⊥ (SAB), (Vì BC ⊥ SA, BC ⊥ AB) ⇒ BC ⊥ AH (2) Từ (1) và (2) suy AH ⊥ (SBC) Vì AD k BC ⇒ AD k (SBC) nên a Cạnh bên SA vuông góc √ a D S H √B a d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)) = AH = AB · sin 60◦ = Chọn đáp án C A D ◦ 60 C ’ = SCB ’ = 90◦ , Câu 67 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam √ giác vuông cân, BA = BC = a, SAB a biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Góc SC và mặt phẳng (ABC) là √ π π π B arccos C D A 4 -Lời giải Gọi D là hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) S ® AB ⊥ SA H ⇒ AB ⊥ (SAD) ⇒ AB ⊥ AD AB ⊥ SD ® BC ⊥ SC ⇒ BC ⊥ (SCD) ⇒ BC ⊥ CD BC ⊥ SD D C A B Suy ABCD là hình vuông cạnh a Kẻ DH ⊥ SC H ⇒ DH ⊥ BC, suy DH ⊥ (SBC) √ a Vì AD k BC ⇒ AD k (SBC) nên d(A, (SBC)) = d(A, (SBC)) = DH = Vì DC là hình chiếu vuông góc SC trên mặt phẳng (ABCD) nên góc SC và (ABC) góc ’ SCD Ta có √ DH ’ ’ = π sin SCD = = ⇒ SCD DC Th.s Nguyễn Chín Em 439 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (443) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu 68 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) √ √ a a 3a A B C D 2a -Lời giải Gọi hình chiếu A xuống mặt phẳng (BCD) là H và M là trung A điểm CD Vì tứ diện ABCD √ nên H √ là trọng tâm tam giác BCD, suy 2 a a BH = BM = · = 3 √ √ a 2 Khi đó d (A, (BCD)) = AH = AB − BH = B D H M C Chọn đáp án B Câu 69.√ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa √lục giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD = a và có cạnh SA ⊥ (ABCD), SA = a Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là √ √ √ √ a a A a B a C D 2 -Lời giải Từ giả thiết ta có AB = BC S √ = CD = a Kẻ AH √ ⊥ SC Ta có AC ⊥ CD ⇒ AC = AD2 − CD2 = a Do SA ⊥ CD, AC ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AH Mà AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SCD) √ √ √ AS · AC a 6·a Suy d (A, (SCD)) = AH = √ = a = 3a SA2 + AC Kéo dài AB cắt CD E, đó B là trung điểm AE √ H a Suy d (B, (SCD)) = d (A, (SCD)) = A D 2 B C E Chọn đáp án C Câu 70 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AC = a Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AD và SC, biết góc đường thẳng SD và mặt đáy 60◦ √ √ √ √ a 609 a 609 a 600 a 906 A B C D 29 29 19 29 -Lời giải Không tính tổng quát, giả sử a = Gọi H là trung điểm AB Kẻ HM ⊥ BC (M ∈ BC); HN ⊥ SM (N ∈ SM ) Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ⊥ (ABCD) ÁP dụng định lí hàm số côsin ta có √ Å ã 1 7 DH = DA + AH − 2DH · AH · cos 120 = + − · · · − = ⇒ DH = 2 2 Th.s Nguyễn Chín Em ◦ 440 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (444) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’ = 60◦ √ Theo bài SDH √ √ 21 ⇒ SH = DH · = · 3= 2 ’ = 60◦ Lại có 4ABC nên ABC √ √ 3 ◦ ⇒ HM = HB · sin 60 = · = 2 Ngoài BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SHM ) ⇒ BC ⊥ HN ⇒ HN ⊥ (SBC); √ 1 116 609 = + = suy ⇒ HN = HN SH HM 21 58 Chú ý AD k (SCB) nên khoảng cách AD và SC là khoảng cách A và mặt phẳng (SBC), lần khoảng cách từ H (theo định lí Ta-lét), suy √ 609 d = 2HN = 29 Chọn đáp án B S tan 60◦ A D N H B M C Câu 71 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, AB √ = BC = a, AD = 2a a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AD và SH = Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ a a 15 a B d = a C d = D d = A d = -Lời giải Kẻ HM ⊥ CD M Kẻ HK ⊥ SM Ta có SH ⊥ CD HM ⊥ CD ⇒ HK ⊥ CD mà HK ⊥ SM nên S d(H, (SCD)) = HK Ta có H là trung điểm AD suy BH k CD Khi đó d(B, (SCD)) = d(H, (SCD)) = HK K A D H M B √ a HM = AC = , 2 C √ a SH = √ 1 a ⇒ = + ⇒ HK = HK HM HK Chọn đáp án C Câu 72 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD cho HD = 3HB Biết góc mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy 45◦ Khoảng cách hai đường thẳng SA và BD là √ √ √ √ 2a 38 2a 13 2a 51 3a 34 A B C D 17 13 17 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 441 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (445) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S K F E A D H B M C 3a Gọi M là điểm thuộc cạnh CD cho DM = 3M C Suy HM = BC = 3a ÷ Góc (SCD) và mặt (ABCD) là góc SM H = 45◦ ⇒ SH = Kẻ hình bình hành ADBE, suy AE k BD Khi đó d(SA, BD) = d(BD, (SAE)) = d(H, (SAE)) Kẻ HF ⊥ AE F ⇒ AE ⊥ (SHF ) ⇒ (SAE) ⊥ (SHF ) Kẻ HK ⊥ SF K ⇒ HK ⊥ (SAE) ⇒ d(H, (SAE)) = HK.√ 1 17 34a Ta có = + = 2+ = ⇒ HK = HK SH HF 9a 2a 18a2 17 Chọn đáp án D Câu 73 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0 BC) √ √ √ √ a a 21 a a A B C D -Lời giải Gọi E là trung điểm BC Do 4ABC nên AE ⊥ BC và AA0 ⊥ BC nên BC ⊥ (A0 AE) Trong tam giác A0 AE, dựng AH ⊥ A0 E H ⇒ AH ⊥ (A0 BC) Do đó d(A, (A0 BC)) = AH √ a Tam giác ABC cạnh a nên AE = Xét tam giác A AE vuông A, đường cao AH: 1 1 = + = 2+ = 2 02 AH AA AE a 3a Ç √ å2 a √ a 21 ⇒ d(A, (A0 BC)) = AH = A0 B0 C0 H A B E C Chọn đáp án B Câu 74 Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC = Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là 1 A √ B C D 3 √ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 442 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (446) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ® OA ⊥ OB ⇒ OA ⊥ (OBC) (1) OA ⊥ OC Trong tam giác OBC, dựng OE ⊥ BC mà BC ⊥ OA (do (1)) nên BC ⊥ (OAE) Trong tam giác OAE, dựng OH ⊥ AE H ⇒ OH ⊥ (ABC) Do đó d(O, (ABC)) = OH Xét tam giác OBC vuông O, đường cao OE: 1 = + = 2 OE OC OB Xét tam giác OAE vuông O, dường cao OH: 1 1 = + = + = 2 OH OE OA 3 ⇒ d(O, (ABC)) = OH = Do A H O B E C Chọn đáp án B Câu 75 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách hai đường thẳng BD và A0 C √ √ √ 3a A a B 2a C D 3a D0 A0 C0 B0 D C A B -Lời giải 0 0 0 A C ⊂ A B C D DB ⊂ (ABCD) nên d(A0 C , BD) = d((ABCD) , (A0 B C D0 )) = AA0 = a (ABCD) k A0 B C D0 Chọn đáp án A Do Câu 76.√ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và B, biết AB = BC = a, AD = 2a, SA = a và SA ⊥ (ABCD) Gọi M và N là trung điểm SB, SA Tính khoảng cách từ M đến (N CD) √ theo a √ √ √ a 66 a 66 a 66 A B C 2a 66 D 11 22 44 -Lời giải Ta có hai tam giác OBC và OAD đồng dạng và S CO DB BC = AD nên = và = CA DO Áp dụng định lý Mê-nê-la-uýt cho tam giác SAO, ta có N S CA IO IO · · =1⇒ = N A CO IS IS N M Áp dụng định lý Mê-nê-la-uýt cho tam giác SBO, ta có IO JS DB JS · · =1⇒ = IS JB DO JB E J A I H D O B Th.s Nguyễn Chín Em 443 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (447) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi E là điểm thuộc đoạn SA cho BE k JN suy AN = 2EN 1 1 Suy d(M, (N CD)) = d(B, (N CD)) = d(E, (N CD)) = · d(A, (N CD)) 2 2 Gọi H là hình chiếu A lên N C, ta có AH ⊥ (CN D) (do AH ⊥ N C, AH ⊥ CD) √ √ √ a · a a 66 AN · AC =» = Suy d(A, (N CD)) = AH = √ 3a 11 AN + AC + 2a √ a 66 Do đó, d(M, (N CD)) = 44 Chọn đáp án D Câu 77 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy là tam giác vuông A, AB = AC = b và có các cạnh bên b Khoảng cách hai đường thẳng AB và BC √ √ √ b b C A b B b D C0 B0 A0 C B A -Lời giải Cách 1: Gọi I, K là trung điểm BC, B C Trong tam giác IAK kẻ đường cao IH Ta có BC k B C ⇒ BC k (AB C ) Khoảng cách AB và BC khoảng cách BC và mặt phẳng (AB C ) Ta có BC ⊥ AI (vì ∆ABC vuông cân), BC ⊥ IK nên BC ⊥ (AIK) ⇒ BC ⊥ IH Do đó IH ⊥ (AB C ) (vì IH ⊥ AK, IH ⊥ B C ) Nên khoảng cách AB và √ BC IH √ 2b 1 b Ta có AI = nên + = ⇒ IH = AI IK IH K C0 B0 A0 H C I B K B0 A Cách 2: Gọi I, K là trung điểm BC, B C Trong tam giác IAK kẻ đường cao IH Ta có BC k B C ⇒ BC k (AB C ) Khoảng cách AB và BC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AB C ) Ta có C0 A0 BC 2b2 b2 b = b2 − = ⇒ AI = √ 4 2 C I … … √ b Và AK = AC 02 − C K = 2b2 − = b 2 A √ Ta có VC.AB C = h · SAB C = h · b2 1 VA.BCC = AM · SCC B = b3 Trong đó h là khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AB C ) √ √ b h · b2 = b3 ⇒ h = Do đó 6 Chọn đáp án D AI = AC − CI = AC − B Câu 78 Cho lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cạnh 1, I là trung điểm AB Tam giác A0 AB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC) Tính khoảng cách d hai đường thẳng A0 I và AC Th.s Nguyễn Chín Em 444 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (448) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ A d = Chương - Hình học 11 √ B d = C d = D d = -Lời giải Vì A0 AB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC) nên A0 I ⊥ (ABC) Gọi M là trung điểm AC, H là trung điểm AM Ta có IH k BM , BM ⊥ AC ⇒ IH ⊥ AC Mặt khác√IH ⊥ A0 I nên √ d = d(A I, AC) = IH 3 Ta có IH = · BM = Vậy d = 4 A0 C0 B0 H M A C I B Chọn đáp án B Câu 79 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông √ cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a (tham khảo hình bên) Tính khoảng cách d hai đường thẳng BD và SC √ √ a a A d = a B d = C d = D d = a 2 S A D B C -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông và M là trung điểm SA Khi đó SC k (M BD) nên d = d(SB, BD) = d (SC, (M BD)) = d (C, (M BD)) √ = d (A, (M BD)) Vì SA = a = AC nên 4SAC và 4M AO là các tam giác vuông cân Gọi H là trung điểm M O thì AH ⊥ (M BD) Suy √ MO AM a = = d = AH = 2 S M H A D O B Chọn đáp án C C Câu 80 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng BD và A0 C √ √ √ a A a B C a D a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 445 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (449) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có d(BD, A0 C ) = d((ABCD), (A0 B C D0 )) = AA0 = a A D B C A0 D0 B0 C0 Chọn đáp án D √ Câu 81 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = 2a, BC = SA = a và SA vuông góc √ với đáy Gọi M là trung điểm AB Khoảng cách CM và SB √ √ √ a 15 a A C 2a D B 2a -Lời giải Gọi N là trung điểm SA, ta có SB k (M N C) S Do đó d(SB; M C) = d(SB; (M N C)) = d(S; (M N C)) = d(A; (M N C)) N Kẻ AH vuông góc với M C H, kẻ AK vuông góc với N H K, ta có d(A; (M N C)) = AK Ta có 4AM H đồng dạng √ với 4CM B, suy AM · CB a AH = = CM 1 1 Ta có = + = + = 2 AK AH AN 3a 3a 3a 4 √ a Suy AK = Chọn đáp án D K A C H M B ’ = 60◦ , SA = a và SA vuông góc với Câu 82 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD mặt đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ √ 21a 15a 21a 15a A B C D 7 3 -Lời giải Ta có AB k (SCD) ⇒ d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) S Trong (ABCD), kẻ AE ⊥ CD E Trong ® (SAE), kẻ AH ⊥ SE H (1) CD ⊥ AE H Ta có ⇒ CD ⊥ (SAE) ⇒ CD ⊥ AH (2) a CD ⊥ SA Từ (1) và (2) suy AH ⊥ (SCD) E ⇒ d(A, (SCD)) = AH A D Xét tam giác AED vuông√tại E a ◦ 60 a ⇒ AE = AD · sin 60◦ = 1 Xét 4SAE vuông A ⇒ = + AH 2√ AS AE B C 1 a 21 ⇒ = + ⇒ AH = AH a 3a √ a 21 Vậy d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AH = Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 446 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (450) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 83 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2AD = 2a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) √ √ a a a A B C D a 2 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB Tam giác SAB nên suy SH ⊥ AB S Theo giả thiết (SAB) vuông góc với (ABCD) và có giao tuyến AB nên suy SH ⊥ (ABCD) H AB d(A, (SBD)) = = ⇒ d(A, (SBD)) = Có AH ∩ (SBD) = B nên d(H, (SBD)) HB 2d(H, (SBD)) A D K H I B C Trong (ABCD) kẻ HI ⊥ BD I, kết hợp SH ⊥ (ABCD) ta suy BD ⊥ (SHI) ⇒ (SHI) ⊥ (SBD), mà (SHI) ∩ (SBD) = SI nên (SHI) ta kẻ HK ⊥ SI K thì HK ⊥ (SBD) K, đó HK = d (H, (SBD)) √ 2S4HBD a2 a Ta tính BD = a 5, S4HBD = S4ABD = ⇒ HI = =√ √ BD Tam giác SAB cạnh 2a nên SH = a Trong 4SHI vuông H đường cao HK nên √ 1 1 16 a = + = + = ⇒ HI = HK SH HI 3a a 3a √ √ a a = Vậy khoảng cách từ A đến (SBD) là · Chọn đáp án B Câu 84 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ a a a A B C a D 2 -Lời giải Gọi H®là hình chiếu vuông góc A lên SD S CD ⊥ SA vì SA ⊥ (ABCD) Ta có CD ⊥ AD vì ABCD là hình vuông H ⇒ CD ® ⊥ (SAD) AH ⊥ CD vì CD ⊥ (SAD) Do đó ⇒ AH ⊥ (SCD) A D AH ⊥ SD √ Vậy d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) = AH = √ B C SA · AD a = 2 SA + AD Chọn đáp án D √ √ Câu 85 Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông O, OA = a 3, OB = a và OC = a Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) Gọi M là trung điểm BC Tính khoảng cách h hai đường thẳng AB và OM √ √ √ √ a a a 15 a A h = B h = C h = D h = 5 15 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 447 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (451) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi D là điểm đối xứng C qua O Khi đó OM song song với mp(ABD) Trong mp(BCD), dựng OK ⊥ BD, với K ∈ BD Suy BD ⊥ (AOK) ⇒ (AOK) ⊥ (ABD) Trong mp(AOK), dựng OH ⊥, với H ∈ AK Suy OH ⊥ (ABD) Hơn H là hình chiếu vuông góc O xuống mp(ABD) Từ đó A H d(OM,AB) = d(0M,(ABD)) = d(O,(ABD)) = OH O D C M K B √ 1 1 1 1 a 15 = + = + + = + + ⇒ OH = Ta có OH OA2 OK OA2 OB OD2 3a a 3a Chọn đáp án C Câu 86 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD0 √ √ 2a A B a C 2a D 2a -Lời giải Do giả thiết ta có (AA0 B B) k (CC D0 D) A0 D0 Nên d AB , CD0 = d AB , CC D0 D B0 C0 = d A, CC D0 D = AD Vậy khoảng cách AB và CD0 a A D C B Chọn đáp án B Câu 87 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Gọi M , N là trung điểm BC và DD0 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng M N và BD √ √ √ √ 3a 3a 3a A 3a B C D -Lời giải Gọi O, P , K là trung điểm AC, CD, OC Kẻ A0 D0 DI ⊥ M P , DH ⊥ N I a Ta có N D = , BD k M P , tứ giác DIKO là hình chữ nhật √ OC a N ⇒ DI = OK = = · 0 B C H Khi đó: A d(M N, BD) = d(BD, (M N P )) = d(D, (M N P )) = DH I K Xét tam giác vuông N DI có √ 1 3a = + ⇒ DH = DH DN DI√ 3a Vậy d(M N, BD) = Th.s Nguyễn Chín Em D O B 448 M P C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (452) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cách khác Xét hệ trục tọa độ hình vẽ a Khi đó C(0; 0; 0), D(a; 0; 0), B(0; a; 0), D0 (a; 0; a), M 0; ; , a N a; 0; a a # » # » Suy M N = a; − ; , BD = (a; −a; 0) 2 ã Å î # » # »ó a a2 a2 a2 # » , BM = 0; − ; ⇒ M N , BD = ; ;− 2 2 √ î # » # »ó # » î ó a a2 # » # » ⇒ M N , BD · BM = − và M N , BD = A0 D0 z B0 C0 N x D A y B M C î # » # »ó # » a3 √ M N , BD · BM a Ta có d(M N, BD) = = 2√ = î # » # »ó a M N , BD Chọn đáp án D ’ = 30◦ , Câu 88 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SB = SC = 11, SAB ’ = 60◦ và SCA ’ = 45◦ Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB và SD SBC √ √ √ √ 22 A d = 11 B d = 22 C d = D d = 22 S A D H √ 11 I A D H B B K P 11 K C C -Lời giải √ √ Dựa vào định lý cô-sin ta dễ dàng tính AB = 11 3, BC = 11 và AC = 11 Từ đó suy 4ABC vuông C Do SA = SB = SC nên hình chiếu S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H AB tức là SH ⊥ (ABCD) 11 Ta có SH = SA · sin SAB = Kẻ HK ⊥ CD K ∈ CD, AP ⊥ CD√tại P ∈ √ CD thì tứ giác AP KH là hình chữ nhật 11 · 11 11 AC · AD √ Ta có HK = AP = = = CD 11 Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK I ∈ SK √ SH · HK Do AB k CD nên d(AB, SD) = d (AB, (SCD)) = d (H, (SCD)) = HI = √ = 22 2 SH + HK √ Vậy d(AB, SD) = 22 Chọn đáp án D Câu 89 Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = 2a, đáy ABCD là hình thang vuông A và D, AB = 2a, AD = CD = a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) 2a A √ 2a B √ C 2a √ D a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 449 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (453) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi E là trung điểm AB Do giả thiết suy AE = EB = a Dễ thấy AECD là hình vuông nên EC = AD = a Suy tam giác ACB là vuông C hay AC ⊥ BC (1) Theo giả thiết SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy BC ⊥ (SAC) Trong mặt phẳng (SAC) kẻ AH ⊥ SC (3) Theo chứng minh trên suy CB ⊥ AH (4) Từ (3) và (4) suy AH ⊥ (SBC) nên d (A, (SBC)) = AH Trong tam giác vuông SAC ta có S 1 1 1 4a2 2a = + ⇔ = + ⇔ AH = ⇔ AH = √ H AH SA2 AC AH 4a2 2a2 3 A D E B C Chọn đáp án A Câu 90 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung điểm SA Tìm mệnh đề sai các mệnh đề sau A Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD) B OM k (SCD) C OM k (SAC) D Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) -Lời giải S Do OM ⊂ (SAC) nên OM k (SAC) là mệnh đề sai Có OM k SC nên OM k (SCD), suy d(O, (SCD)) = d(M, (SCD)) M Có AB k CD nên AB k (SCD), suy A d(A, (SCD)) = d(B, (SCD)) D O B Chọn đáp án C C Câu 91 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh 2a, khoảng cách từ C √ 2a đến mặt phẳng (SBD) là Tính khoảng cách x từ A đến mặt phẳng(SCD) √ √ A x = a B x = 2a C x = a D x = 3a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 450 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (454) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ Ta có AC = 2a nên AO = a Gọi O = AC ∩ BD, H, K là hình chiếu vuông góc A lên SO, SD Mà O là trung điểm AC nên S d(C; (SBD)) = d(A; (SBD)) K Ta có BD ⊥ (SAO) nên (SBD) ⊥ (SAO) √ 2a đó AH = d(A; (SBD)) suy AH = Lại có DC ⊥ (SAD) nên (SDC) ⊥ (SAD) suy H A D O AK = d(A; (SDC)) B C Xét tam giác vuông SAO có 1 = + 2 AH SA AO2 1 = − 2 SA AH AO2 ⇔ = − 2 SA 12a 2a 1 = ⇔ SA2 4a ⇔ SA = 2a ⇔ Khi đó xét tam giác vuông SAD có AK = = = 1 + SA2 AD2 1 + 2 4a 4a 4a2 √ nên AK = 2a2 ⇔ AK = a Chọn đáp án C Câu 92 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, I là trung điểm AB, hình chiếu S lên ◦ Khoảng cách SA và CI mặt đáy là trung điểm I CI, góc √ SA và đáy là 45 √ √ a a a 77 a A B C D 2 22 -Lời giải Kẻ đường thẳng Ax song song với IC S Kẻ HE vuông góc với Ax E Vì IC k (SAE) nên d(IC; SA) = d(IC; (SAE)) = d(H; (SAE)) Kẻ HK ⊥ SE K, K ∈ SE (1) Ax ⊥ HE, Ax ⊥ SH ⇒ Ax ⊥ (SHE) ⇒ Ax ⊥ HK (2) Từ (1), (2) suy HK ⊥ (SAE) Vậy K B C ◦ d(H; (SAE)) = HK √ √ 1a a = ; CH = IH = IC = 2 s2Ç √ å2 √ √ a a a AH = IH + IA2 = + = 4 45 I A H x E √ a ◦ ¤ ’ (SA; (ABC)) = SAH = 45 ⇒ 4SAH vuông cân H nên SH = AH = Th.s Nguyễn Chín Em 451 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (455) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 a (vì tứ giác AIHE là hình chữ nhật) √ a a √ · a 77 SH · HE = sÇ √ å = Nên HK = √ 22 a 2 SH + HE a + Ta có HE = IA = Chọn đáp án C Câu 93.√ Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB √ và CD √ √ a a A B a C a D 2 -Lời giải Gọi I, J là trung điểm AB và CD A Khi đó, d(AB, CD) = IJ sÇ √ å √ Å ã2 √ a 2 Ta có IJ = BJ − BI = a · = − I 2 B D J C Chọn đáp án D √ Câu 94 √ Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với đôi và SA = a, SB = a 2, SC = a √3 Khoảng cách từ S đến√ mặt phẳng (ABC) √ √ a 66 a 33 a 13 a 19 A B C D 11 9 11 -Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) A 1 1 Ta có = + + SH SA√2 SB SC a 66 Ta SH = 11 H C S B Chọn đáp án A Câu 95 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy (ABC) góc 45◦ và I là trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SA và CI √ √ √ √ a a a a B C D A -Lời giải Gọi H là hình chiếu I trên SA Theo giả thiết SI ⊥ AB mà (SAB) ⊥ S ‘ = (SC, (ABC)) = 45◦ , (CAB) nên SI ⊥ (ABC), suy SI ⊥ SI Do đó SIC √ a suy SI = CI = Lại có CI ⊥ AB nên CI ⊥ (SAB), suy CI ⊥ IH, từ đó IH là đoạn vuông H góc chung SA và CI Vậy A C √ SI · IA a d(SA, CI) = IH = √ = I SI + IA2 B Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 452 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (456) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’ = 30◦ , Câu 96 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SB = SC = 11, SAB ◦ ◦ ’ = 60 và SCA ’ = 45 Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB và SD SBC √ √ √ √ 22 B d = 22 C d = D d = 22 A d = 11 -Lời giải S A D H A I D M I M J J B C C B ’ = 60◦ nên SBC là tam giác đều, suy BC = 11 Tam giác SBC có SB = SC = 11 và SBC ’ = 30◦ , suy ASB ’ = 120◦ Khi đó Tam giác SAB cân S có SAB » √ ’ = 11 AB = SA2 + SB − 2SA · SB · cos ASB ’ = 45◦ nên SAC là tam giác vuông S Khi đó Tam giác SAC cân S có SCA p √ AC = SA2 + SC = 11 Ä √ ä2 Ä √ ä2 Lại có BC + AC = 112 + 11 = 11 = AB nên tam giác ABC vuông C Gọi M là trung điểm AB, đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy SM ⊥ (ABCD) Ta có AB k CD nên AB k (SCD) Do đó d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) Từ M kẻ M J ⊥ CD J, kẻ M H ⊥ SJ H Ta có CD ⊥ M J và CD ⊥ SM nên CD ⊥ (SM J), suy CD ⊥ M H Lại có M H ⊥ SJ và M H ⊥ CD nên M H ⊥ (SJD) hay M H ⊥ (SCD) Vì d(M, (SCD)) = M H Tam giác SAM vuông M nên √ SM 11 11 ’ ’ tan SAM = ⇔ SM = AM tan SAM = ·√ = AM 2 √ √ AD · AC 11 · 11 11 =» Kẻ AI ⊥ CD I, đó M J = AI = √ = √ AD2 + AC 112 + (11 2)2 Trong tam giác SM J vuông M ta có √ 11 11 · √ SM · M J MH = √ = sÅ ã = 22 Ç å √ SM + M J 11 11 + Vậy d(AB, SD) = Chọn đáp án D √ 22 Th.s Nguyễn Chín Em 453 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (457) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 97 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách d hai đường√thẳng SA và BD √ √ a 21 a a 21 A d = B d = C d = D d = a 14 -Lời giải Gọi H là trung điểm cạnh AD, đó SH ⊥ (ABCD) S Kẻ đường thẳng d qua A và song song với BD và gọi (α) là d mặt phẳng qua đường thẳng cắt d và SA d(SA; BD) = d(D; (α)) = 2d(H; (α)) Gọi K là hình chiếu H trên d, đó d ⊥ HK, d ⊥ SH I nên d ⊥ (SHK) A B Gọi I là hình chiếu H trên SK, đó ta có d ⊥ HI, K đó HI ⊥ (α) ⇒ HI = d(H; (α)) H O L C √ D a Do tam giác SAD và ABCD là hình vuông cạnh a nên SH = Gọi L là giao điểm KH và√BD, đó L là trung điểm DO với O là tâm hình vuông ABCD a Ta có HK = HL = AO = … 1 16 28 Vì = + = + = ⇒ HI = a HI HS HK 3a 2a 3a 28 √ a 21 Vậy d(SA; BD) = Chọn đáp án C Câu 98 Cho hình chóp có đáy S.ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM ) 3a 2a a A d = B d = a C d = D d = 3 -Lời giải Gọi O là giao điểm AC, BD S Khi đó M O k SB ⇒ SB k (ACM ) nên d (SB, (ACM )) = d (B, (ACM )) = d (D, (ACM )) Gọi I là trung điểm AD Suy M I k SA ⇒ M I ⊥ (ABCD) M và d (D, (ACM )) = 2d (I, (ACM )) Lấy K là trung điểm AO thì IK k OB nên IK ⊥ AC Trong tam giác M IK, kẻ IH ⊥ M K với H ∈ M K Ta có AC ⊥ M I, AC ⊥ IK ⇒ AC ⊥ (M IK) ⇒ AC ⊥ IH H Từ đó suy IH ⊥ (ACM ) ⇒ d (I, (ACM )) = IH A D I K O B √ SA OD BD a Ta có M I = = a, IK = = = 2 4 C √ a a· 1 IM · IK a √ … = = Trong tam giác vuông M IK ta có = + ⇒ IH = 2 IH IM IK IM + IK a a2 + 2a Vậy d (SB, (ACM )) = 2IH = Chọn đáp án C ’ = 60◦ , BSC ’ = 90◦ và CSA ’ = 120◦ Tính Câu 99 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB khoảng cách d hai đường thẳng AC và SB Th.s Nguyễn Chín Em 454 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (458) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ a A d = Chương - Hình học 11 √ a B d = √ a 22 C d = 11 √ a 22 D d = 22 -Lời giải Ta có 4ASB nên AB = a √ √ Tam giác BSC vuông S nên BC = SB + SC = a Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác CSA ta có √ AC = AS + SC + AS · SC = 3a2 ⇒ AC = a S K Ta có AC = AB + BC ⇒ 4ABC vuông B Gọi H là trung điểm AC, ta có HA = HB = HC và SA = SB = SC nên SH ⊥ (ABC) d B F C E H A Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC, (α) là mặt phẳng chứa SB và d Khi đó AC k (α) ⇒ d(AC, SB) = d (AC, (α)) = d (H, (α)) Kẻ HF ⊥ d với F ∈ d và kẻ HK ⊥ SF với K ∈ SF Ta có SH ⊥ d, HF ⊥ d ⇒ d ⊥ (SHF ) ⇒ d ⊥ HK ⇒ HK ⊥ (α) ⇒ d (H, (α)) = HK 1 1 3 Kẻ BE ⊥ AC với E ∈ AC, đó = + = 2+ = ⇒ = BE BA2 BC a 2a 2a HF √ 2a2 ’ = 30◦ nên SH = SA = a , suy = + = 11 ⇒ HK = a 22 Vì SAC 2√ HK SH HF 2a2 11 a 22 Vậy d(AC, BD) = HK = 11 Chọn đáp án C Câu 100 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật: AB = 2a, AD = a Hình chiếu S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 45◦ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là √ √ √ √ a a a a A B C D -Lời giải Xét hình chữ nhật ABCD có H là trung điểm AB ⇒ AH = HB = a √ √ Suy HC = AH · = a √ Lại có SC tạo với đáy góc 45◦ , suy SH = HC = a Vẽ HI ⊥ CD Vì ABCD là hình chữ nhật nên HI = AD = a Vẽ HK ⊥ SI Khi đó d(H, (SCD)) = HK Lại có AB k CD nên d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) = HK √ 1 1 a Ta có = + = + = ⇒ HK = HK SH √HI 2a a 2a a Vậy d(A, (SCD)) = S K A H B Chọn đáp án D D I ◦ 45 C Câu 101 Cho tứ diện ABCD cạnh AB = Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, AD Tính khoảng cách hai đường thẳng CM và N P √ √ √ √ 10 10 10 10 A B C D 10 20 10 20 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 455 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (459) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 D P Q A A C H O M M N I O K K I B B N C Gọi O là tâm tam giác ABC, K là trung điểm BM và có M K k (CM P ) nên d(CM, N P ) = d (CM, (P N K)) = d (O, (P N K)) Từ O dựng OI ⊥ N K Vì ABCD là tứ diện nên DO ⊥ N K ⇒ N K ⊥ (DOI) ⇒ (P N K) ⊥ (DOI) mà (P N K) ∩ (DOI) = IQ với Q là giao điểm DO và P N nên từ O, dựng OH vuông góc IQ H thì OH ⊥ (P N K) ⇒ OH = d (O, (P N K)) AB Ta có OI = M K = = (vì M KIO là hình chữ nhật) 4 … √ OD Theo cách dựng thì Q là trọng tâm tứ diện nên OQ = và OD = DA2 − AO2 = hay … OD = √ 10 1 1 Xét tam giác vuông OIQ ta có = + = 2 + » 2 = 40 ⇒ OH = 2 OH OI OQ 20 4 √ 10 Vậy d(CM, N P ) = 20 Chọn đáp án B Câu 102 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Khoảng √ cách hai đường thẳng√SA và BC √ a a A a B C D a 2 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB Do 4SAB nên SH ⊥ AB S Vì 4SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ⊥ (ABCD) Suy SH ⊥ BC Trong mặt phẳng (SAB), ta kẻ BK ⊥ SA Lại có BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ BK Vậy BK là đường vuông góc chung SA và BC √ K a Khoảng cách hai đường thẳng SA và BC BK và B C H A Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em D 456 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (460) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 103 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có tất các cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD và SB √ √ √ √ a a a a A B C D 3 -Lời giải Ta có AD k BC ⇒ AD k (SBC) Do đó S d (AD, SB) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC)) = 2d(O; (SBC)) Gọi M là trung điểm BC Kẻ OH ⊥ SM , suy OH√ ⊥ (SBC) √ a = Do đó OH = d(O, (SBC)) và SO = SC − OC = OH 1 1 + ⇔ = 2 + Ç √ å2 = 2 a OM SO OH a a 2 √ a Vậy d (AD; SB) = 2OH = Chọn đáp án B H A B O M D C Câu 104 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B và SB ⊥ (ABC) Biết SB = 3a, AB = 4a,√BC = 2a Tính khoảng cách √ từ B đến (SAC) √ 12 61a 14a 4a 12 29a B C D A 61 14 29 -Lời giải Kẻ BI ⊥ AC, BH ⊥ SI, suy BH ⊥ SI Suy S √ 1 61 12 61a = + + = ⇒ BH = H BH BS BC BA2 144a2 61 √ 12 61a B C Mà BH ⊥ (SAC) nên khoảng cách từ B đến (SAC) 61 I A Chọn đáp án A Câu 105 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc SC và mặt đáy là 45◦ Gọi E là trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng DE và SC √ √ √ √ a a 38 a a 38 A B C D 19 19 5 -Lời giải Gọi E là trung điểm BC; M là giao điểm AC và DE;N là S điểm thuộc SA cho M N k SC; H, K là hình chiếu A lên DE và N H; Q là hình chiếu C lên DE CE CM = = Ta có N AM AD √ AN AM 2 2 Suy = = Do đó, AN = AS = a AS AC 3 AH AM K Ta có = = 2, CQ CM √ B A CE · CD suy AH = 2CQ = · √ = a Q CE + CD2 D H E M C √ CN 1 AH · AN 38 Do đó, d(SC, DE) = d(C, (N ED)) = d(A, (N ED)) = AK = √ = a 2 AM 2 AH + AN 19 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 457 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (461) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’ = 60◦ , tam giác SAB cân S và Câu 106 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh a, góc BAC nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 30◦ Tính khoảng cách d hai đường thẳng SB và AD √ √ √ √ 21 21 A d = a B d = a C d = a D d = a 14 5 -Lời giải Gọi I là trung điểm AB vì (SAB) vuông góc với (ABCD) S ’ = 60◦ nên tam giác ABC nên SI ⊥ (ABCD) Vì góc BAC và IC ⊥ AB, suy IC ⊥ CD Mặt khác CD ⊥ SI ⇒ CD ⊥ (SIC) ⇒ CD ⊥ SC ‘ = 30◦ Suy góc (SCD) và (ABCD) là góc SCI A D Trong 4BIC kẻ IM ⊥ BC M Trong 4SIM kẻ IH ⊥ SM H H I B M C Ta có ® AD k (SBC) ⇒ d (SB, AD) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC)) = · d (I, (SBC)) BC ⊥ IM Có ⇒ BC ⊥ (SIM ) ⇒ BC ⊥ IH mà IH ⊥ SM BC ⊥ SI Suy IH ⊥ (SBC) ⇒ d (I, (SBC)) = IH √ a Tam giác ABC cạnh a nên đường cao có độ dài là h = IC = √ a Vì I là trung điểm AB nên IM = h = a ‘ = Xét 4SIC có SI = IC · tan SCI √ SI · IM a 21 Xét 4SIM có IH = √ = 2 14 SI √ √ + IM a 21 a 21 Suy d = · = 14 Chọn đáp án D Câu 107 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = a, AA0 = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và A0 C √ √ √ √ a 17 A B a C a D a 17 -Lời giải Gọi M là trung điểm BC và N = A0 B ∩ AB Từ đó suy N là trung A0 C0 điểm A0 B Xét tam giác A0 BC có M, N là trung điểm BC, A0 B nên M N B0 là đường trung bình tam giác A0 BC Do đó A0 C k M N Từ đó suy A0 C k (AB M ) Ta có: N d(AB , A0 C) = d(A0 C, (AB M )) = d(C, (AB M )) = d(B, (AB M )) H A C M Từ B kẻ BH ⊥ B M Ta có ® AM ⊥ BC AM ⊥ BB ⇒ AM ⊥ (B BM ) Ngoài ® B BH ⊥ B M (AB M ) ⇒ d(AB , A0 C) = BH √ a 1 17 Ta có BB = 2a và BM = BC = nên = 2+ ⇒ BH = a 2 BH BB BM 17 Chọn đáp án D BH ⊥ AM ⇒ BH ⊥ Câu 108 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có A.A0 B D0 là hình chóp đều, A0 B = AA0 = a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB và A0 C Th.s Nguyễn Chín Em 458 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (462) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ a 22 a 11 A B 22 -Lời giải Ta có AB k (DA0 C ) nên d[AB , A0 C ] = d[B , (DA0 C )] mà trung điểm O0 B D0 nằm trên (DA0 C ) suy d[B , (DA0 C )] = d[D0 , (DA0 C )] Hơn nữa, VD0 DA0 C = · SDA0 C d[D0 , (DA0 C )] suy 3VD.D0 A0 C 0 0 d[D , (DA C )] = SDA0 C Mà VD0 DA0 C = VD.D0 A0 C = VA.A0 B D0 nên 3VA.A0 B D0 d[D0 , (DA0 C )] = SDA0 C √ a 22 C 11 √ 3a 22 D 11 A B C D A0 B0 H O0 D0 C0 Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên (A0 C D0 ), ta có H là trọng tâm tam giác A0 C D0 (vì A.A0 B D0 là hình chóp đều) √ a3 Khi đó VA.A0 B D0 = SA0 B D0 AH = 12 √ √ √ a2 11 a 22 0 0 0 Hơn nữa, ta có A D = A C = a 3, DC = a nên SA0 C D = ⇔ d[AB , A C ] = 11 Chọn đáp án C √ Câu 109 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có cạnh bên AA0 = a Biết đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, gọi M√ là trung điểm BC Tính thẳng AM và B C √ √ khoảng cách hai đường √ a a a a A d(AM, B C) = B d(AM, B C) = C d(AM, B C) = D d(AM, B C) = -Lời giải Gọi N là trung điểm BB Suy M N k B C ⇒ B C k (AM N ) A0 C0 Do đó d(AM, B C) = d(B C, (AM N )) = d(C, (AM N )) = d(B, (AM N )) (vì M là trung điểm BC) Kẻ BK ⊥ AM (K ∈ AM ), BH ⊥ KN (H ∈ KN ) B0 Vì AM ⊥ BN nên AM ⊥ (BKN ) ⇒ AM ⊥ BH Suy BH ⊥ (AM N ) ⇒ d(B, (AM N )) = BH BB a Xét tam giác BKN vuông B, có BN = = √ , BK = 2 N a a · AB · BM a H = √2 = √ Ta AM a 5 A C K M √ 1 a = + = + = ⇒ BH = BH BK BN a a a √ a Vậy d(AM, B C) = BH = Lưu ý Vì BAN M là tam diện vuông B nên B 1 1 = + + BH BA2 BN BM Chọn đáp án D Câu 110 Cho tứ diện ABCD có cạnh 3cm Gọi BM là √ √ 11 22 A cm B cm C 11 11 Th.s Nguyễn Chín Em 459 M là trung điểm CD Khoảng cách AC và √ √ 2 cm D cm 11 11 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (463) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Trong mặt phẳng (ABC), dựng hình bình hành CABG Gọi (∆) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt BM , BG Gọi N là trung điểm AC, gọi P là trung điểm N C Khi đó d(AC, BM ) = d(AC, (∆)) = d(P, (∆)) Gọi H là trọng tâm tam giác BCA, K là trung điểm CH, kẻ KE ⊥®BG, kẻ KL ⊥ M E BG ⊥ KE Ta có ⇒ BG ⊥ (M KE) ⇒ BG ⊥ KL BG ⊥ KM ® KL ⊥ BG ⇒ KL ⊥ (∆) Vậy KL = d(K, (∆)) KL ⊥ M E Có P E ⊥ BG ⇒ P E ⊥ AC ⇒ P E k BN và N P k BE nên BN P E là hình bình hành Mà BN P E có góc vuông nên là hình chữ nhật √ 3 Vậy P E = N B = (cm) D M G L E B C K H P N A √ 1 3 Có P K là đường trung bình tam giác CHN nên P K = HN = BN = (cm) 12 √ Vậy KE = P E − P K = (cm) Có KM là đường trung bình tam giác DCH nên KM = DH √ q Ä√ ä2 √ √ 2 = (cm) Vây KM = Mà DH = BD − BH = − 2√ √ 1 22 22 22 Có = + = ⇒ KL = (cm) ⇒ d(K, ∆) = (cm) KL2 KE KM 25 22 22 √ √ PE 22 22 Có d(P, ∆) = · d(K, ∆) = · = (cm) KE √ 22 11 22 (cm) Vậy d(BM, AC) = 11 Chọn đáp án B Câu 111 Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh 2a, gọi M là điểm thuộc cạnh AD cho DM = 2M √A Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (BCD).√ √ √ 2a 4a 2a C A B a D 9 -Lời giải Gọi I là A ® trung điểm BD Gọi G là trọng tâm 4BCD AB = AC = AD Ta có ⇒ AG ⊥ (BCD) GB = GC = GD Do đó d(A, (BCD)) = AG Mặt khác, M 2 M D = AD ⇒ d(M, (BCD)) = d(A, (BCD)) 3 B Tam giác BCD cạnh 2a nên √ 2a CI = a ⇒ GC = CI = 3 √ Th.s Nguyễn Chín Em √ p G I Tam giác AGC vuông G nên AG = C AC − GC = 460 4a2 − D 4a2 6a = 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (464) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ 6a Do đó, d(M, (BCD)) = · AG = Chọn đáp án C Câu 112 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy cạnh bên a Khoảng cách từ AD đến mặt phẳng (SBC) bao nhiêu? √ 2a 3a a 2a B √ C D √ A √ 3 -Lời giải S H A B N M O D C Gọi M là trung điểm BC Ta suy OM ⊥ BC Trong ® mặt phẳng (SOM ), từ O kẻ OH vuông góc với SM BC ⊥ OM Ta có ⇔ BC ⊥ (SOM ) BC ⊥ SO ® OH ⊥ BC Suy ⇔ OH ⊥ (SBC) OH ⊥ SM Do đó d(O, (SBC)) = OH Ç √ å2 a a2 Áp dụng định lý Pytago tam giác 4SOC vuông O ta có SO2 = SC −OC = a2 − = 2 1 Xét tam giác 4SOM vuông O có OH là đường cao ta có = + = + = ⇔ OH SO2 OM a a a a OH = √ Gọi N là trung điểm AD, vì AD k (SBC) nên d(AD, (SBC)) = d(N, (SBC)) d(N, (SBC)) MN Ta có ON ∩ (SBC) = M ⇒ = = d(O, (SBC)) M√O 2a 2a Suy d(N, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) = √ = √ Chọn đáp án B √ Câu 113 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, AB = a, AC = a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ 2a 2a 57 2a 38 a 57 A B C D 19 19 19 19 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 461 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (465) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi AD là đường cao tam giác ABC Ta có BC ⊥ AD và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAD) Trong (SAD) kẻ AH ⊥ SD H Lại có BC ⊥ AH, đó AH ⊥ (SBC) Vậy d(A, (SBC)) = AH Trong tam giác vuông ABC ta có S H 1 1 = + = + = 2 2 AD AB AC a 3a 3a A B D C Trong tam giác vuông SAD ta có 1 1 19 = + = 2+ = 2 AH SA AD 4a 3a 12a2 √ 2a 57 ⇒ AH = 19 √ 2a 57 Vậy d(A, (SBC)) = 19 Cách khác Hình chóp S.ABC có AS, AB, AC đôi vuông góc với A nên 1 1 1 19 = + + = 2+ 2+ = d2 (A, (SBC)) SA2 AB AC 4a a 3a 12a2 √ 2a 57 ⇒ d(A, (SBC)) = 19 Chọn đáp án B Câu 114 Hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông A, AB = 2a, AC = a, tam giác SBC cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) Biết góc hợp (SAC) và (ABC) là 60◦ Khoảng cách từ C đến (SAB) √ là √ √ √ a 2a 2a a A √ B √ C D 3 13 13 -Lời giải Gọi H, M là trung điểm BC, AC S Khi đó HM k AB ⇒ HM ⊥ AC (1) Ta có 4SBC cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) Suy SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AC (2) Từ (1) và (2) ⇒ AC ⊥ SM (SAC) ∩ (ABC) = AC K Có AC ⊥ SM ⊂ (SAC) AC ⊥ HM ⊂ (ABC) N B A ÷ ⇒ Góc hợp (SAC) và (ABC) là SM H = 60◦ H M C √ ÷ Có HM = AB = a ⇒ SH = HM · tan SM H = a · tan 60◦ = a a Kẻ HN ⊥ AB, HK ⊥ SN (N ∈ AB, K ∈ SN ) Khi đó HK ⊥ (SAB) và HN = = 2 Có d (C, (SAB)) = · d (H, (SAB)) = · HK √ 1 1 13 a Lại có = + = + = ⇒ HK = √ HK SH √ HN 3a a 3a 13 2a Vậy d (C, (SAB)) = √ 13 Th.s Nguyễn Chín Em 462 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (466) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B Câu 115 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OC = 2a, OA = OB = a Gọi M là trung điểm AB Tính thẳng OM và AC √ √ khoảng cách hai đường √ 2a 5a 2a 2a A B C D -Lời giải Dựng hình bình hành AM OD, OM ⊥ AM nên hình bình hành C AM OD là hình chữ nhật Gọi H là hình chiếu vuông góc O trên đường thẳng CD Ta có ® AD ⊥ DO ⇒ AD ⊥ OH ⇒ OH ⊥ (ACD) (1) AD ⊥ CO OM k (ACD) ⇒ d(OM, AC) = d(O, (ACD)) (2) Từ (1) và (2) suy √ OC · OD 5a d(OM, AC) = OH = √ = OC + OD2 H O B D M A Chọn đáp án B Câu 116 √Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = √ a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ a 2a a C A B a D 2 -Lời giải Ta có BC ⊥ AB và BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)), suy S BC ⊥ (SAB) Kẻ AH ⊥ SB mặt phẳng (SAB) Khi đó AH ⊥ (SBC), hay AH = d(A, (SBC)) Ta có tam giác SAB vuông A và đường cao AH nên √ H 1 1 1 a = + ⇔ = + ⇔ AH = AH AB SA2 AH a2 3a2 √ D a A Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) B C Chọn đáp án D √ Câu 117 Cho hình trụ đứng ABC.A0 B C có đáy là tam giác ABC vuông A có BC = 2a, AB = a Khoảng √ cách hai đường thẳng√AA0 và BC là √ √ a 21 a a a A B C D 2 -Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên BC Khi đó AH ⊥ BC A0 Mặt khác từ giả thiết thì AA0 ⊥ AH Do đó AH chính là khoảng cách C0 hai đường thẳng √ AA và BC 2 Ta có AC B0 √ = BC − AB = a Ta có tam giác ABC vuông A có BC = 2a, AB = a và đường cao AH nên 1 1 = + = + = 2 2 AH AB AC a 3a 3a √ a Vậy khoảng cách hai đường thẳng AA và BC là AH = Th.s Nguyễn Chín Em 463 A C B H https://emncischool.wixsite.com/geogebra (467) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B Câu 118 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Khoảng cách từ A đến mặt√phẳng (SCD) √ √ √ 2a 3a 2a 3a A B C D -Lời ® giải CD ⊥ AD Ta có ⇒ CD ⊥ (SAD) S CD ⊥ SA Kẻ AH ⊥ SD, H ∈ SD, mà CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH Suy AH ⊥ (SCD) ⇒ d (A, (SCD)) = AH a Xét tam giác vuông SAD, ta có √ 1 2a H = + = ⇒ AH = AH SA2 AD2 4a B A 2a D C Chọn đáp án C √ ’ = 120◦ Câu 119 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có AB = a, AC = 2a, AA0 = 2a và BAC Gọi K, I là trung điểm các cạnh CC , BB Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A0 BK) √ √ √ √ a a 15 a B C D A a 15 3 -Lời giải Kéo dài A0 K và AC cắt E, AI cắt A0 B F A0 C0 Gọi M là hình chiếu vuông góc A lên BE, D là hình chiếu vuông ® góc A lên A0 M D B0 BE ⊥ A0 A Ta có ⇒ BE ⊥ AD Cùng với đó, ta có AD ⊥ K BE ⊥ AM 0 A M ⇒ AD ⊥ (A BE) ⇒ d (A, (A BK)) = AD F I A C M B Ta có IF IB = = ⇒ d I, (A0 BK) = d A, (A0 BK) FA AA 2 Do CK là đường trung bình 4EAA nên ta có √ AE = 2AC ⇒ S4BAE = 2S4BAC = AB · AC · sin A = a · 2a · sin 120◦ = a2 Xét tam giác 4ABE, ta có √ p √ 2S 4ABE BE = AB + AE − 2AB · AE · cos A = a 21 ⇒ AM = = a BE Xét tam giác AA0 M vuông A ta có √ 1 1 a = + = + ⇒ AD = AD2 AA02 AM 20a2 4a2 Từ đây suy khoảng cách từ I đến mặt phẳng (A0 BK) là √ 1 a d I, (A BK) = d A, (A BK) = AD = 2 Th.s Nguyễn Chín Em 464 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (468) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B Câu 120 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh 4, góc SC và mặt phẳng (ABC) là 45◦ Hình chiếu S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA và BC √ √ 210 210 A d = B d = √45 √5 210 210 C d = D d = 15 15 S A B H C -Lời giải Dựng hình bình hành ABCD Ta có BC k AD ⇒ BC k (SAD) Khi đó d(SA, BC) = d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)) d(B, (SAD)) AB Vì BH ∩ (SAD) = A nên = = d(H, (SAD)) AH hay d(B, (SAD)) = d(H, (SAD)) Kẻ HK ® ⊥ AD K và HI ⊥ SK I DK ⊥ HK Ta có ⇒ DK ⊥ (SHK) ⇒ DK ⊥ HI (1) DK ⊥ SH Mặt khác HI ⊥ SK (2) Từ (1) và (2) suy HI ⊥ (SAD) ⇒ d(H, (SAD)) = HI S I K A H D B ◦ 45 C ’ ⇒ SCH ’ = 45◦ Vì SH ⊥ (ABC) nên góc SC và (ABC) góc SDH ’ Tam giác ABH có BC = 4, HB = AB = , CBH = 60◦ 3 √ 16 112 2 ◦ ⇒ CH = BC + BH − · BC · CH · cos 60 = 16 + −2·4· · = ⇒ CH = √ Tam giác SHC vuông cân H ⇒ SH = CH = ÷ Tam giác AHK vuông K có AH = AB = , HAK = 60◦ √ √ ⇒ HK = AH · sin 60◦ = · = 3 1 15 = + = + = Tam giác SHK vuông H có HI là đường cao ⇒ 2 HI HS HK 112 16 56 √ √ √ 210 210 210 ⇒ HI = ⇒ d(B, (SAD)) = HI = ⇒ d(SA, BC) = 15 5 Chọn đáp án B Câu 121 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = 2a Mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABCD) Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SD Tính khoảng cách AH và SC biết AH = a √ √ √ √ 19 19 73 73 A a B a C a D a 19 19 73 73 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 465 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (469) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Từ H kẻ HK vuông góc với SC K (SAB) ⊥ (ABCD) Ta có (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ (ABCD) (SAB) ∩ (SAD) = SA ® SA ⊥ CD (vì CD ⊂ (ABCD)) ⇒ CD ⊥ AH AD ⊥ CD (vì ABCD là hình chữ nhật) ® CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ AH ⊥ HK SD ⊥ AH Do đó HK = d(AH, SC) S H K D A B C √ 1 1 3a Trong 4SAD vuông A, ta có = − = 2− = ⇒ SA = SA2 AH AD2 s a (2a)2 4a Ç √ å2 √ √ 3a a − a2 = Trong 4SAH vuông H, ta có SH = SA2 − AH = 3 √ a √ ·a SH SH · CD 19 HK = ⇒ HK = = sÇ √ å a 4SHK v 4SCD ⇒ = CD SC SC 19 Ä √ ä2 3a + a Chọn đáp án A Câu 122 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a Gọi H là điểm thuộc đường # » # » #» thẳng AB cho 3HA + HB = Hai mặt phẳng (SAB) và (SHC) vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SHC) A 5a B 12a C 6a D -Lời giải (SAB) ⊥ (ABCD) Ta có (SHC) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) (SAB) ∩ (SHC) = SH Kẻ BK ⊥ HC K Mặt khác BK ⊥ SH (do SH ⊥ (ABCD)) Suy BK ⊥ (SHC) ⇒ d(B, (SHC)) = BK # » # » #» Do 3HA + HB = nên HB = 3HA ⇒ HB = 3a Ta có 5a 12 S BH · BC 3a · 4a 12a BK = √ =√ = 2 2 BH + BC 9a + 16a H B Chọn đáp án B A K D C Câu 123 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tâm O, cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD) √ √ a a B d(M, (SBD)) = A d(M, (SBD)) = 3 √ a a C d(M, (SBD)) = D d(M, (SBD)) = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 466 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (470) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S SM d(M, (SBD)) = = d(C, (SBD)) SC d(C, (SBD)) OC = = d(A, (SBD)) OA M D A Do đó d(M, (SBD)) = d(A, (SBD)) O B C Gọi h = d(A, (SBD)), ta có 1 1 1 = + + = 2+ 2+ = h2 SA2 AB AD2 4a a a 4a Suy h = 2a a Vậy d(M, (SBD)) = 3 Chọn đáp án D Câu 124 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A0 B C D0 có đáy ABCD là hình ’ = 120◦ Khoảng cách từ C đến mặt phẳng thoi tâm O, cạnh√a, BAD a (A0 BD) Gọi H là trung điểm cạnh BB Giá trị cô-sin góc HD và OC √ 14 0 B cos(HD, OC ) = A cos(HD, OC ) = 3√ 21 √ 14 14 C cos(HD, OC ) = D cos(HD, OC ) = 21 21 A0 D0 B0 C0 H D A O B -Lời giải Dựng AK ⊥ A0 O, dễ dàng chứng minh AK√⊥ (A0 BD) a Ta có AK = d(A, (A0 BD)) = d(C, (A0 BD)) = ’ = 120◦ ⇒ AO = a Tam giác ABD có AB = AD = a, BAD √ 1 = a Xét ∆A0 AO ta có = + ⇒ AA AK AO2 AA02 √ a Gọi I là trung điểm HB ⇒ OI k HD và BI = AA = 4 7a Xét ∆OBI ta có OI = OB + BI = , 9a2 Xét ∆C CO ta có OC 02 = OC + CC 02 = 17a2 Xét ∆C B I ta có C I = C B 02 + B I 02 = Áp dụng định lý hàm số cô-sin ∆C OI suy C A0 D0 B0 C0 K H D A I O B C √ OI + OC 02 − C I 2 14 cos(HD, OC ) = cos(OI, OC ) = = 2OI · OC 21 0 Chọn đáp án C Câu 125 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, mặt bên SBC là tam giác cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA, BC kết √ √ √ √ a a a a A B C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 467 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (471) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi Hlà trung điểm BC (SBC) ⊥ (ABC) S (SBC) ∩ (ABC) = BC ⇒ SH ⊥ (ABC) SH ⊥ BC Vì 4ABC vuông cân®tại A nên AH ⊥ BC BC ⊥ AH Mặt khác ta có ⇒ BC ⊥ SA BC ⊥ SH Trong tam giác vuông SHA, từ H kẻ HK ⊥ SA K, suy HK ⊥ BC Ta có K C A H B Vậy HK là √ đoạn vuông góc chung SA và BC √ 1 a a a = + ⇒ HK = Có SH = , AH = nên 2 HK SH HA2 √ a Suy d(SA, BC) = HK = Chọn đáp án A Câu 126 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA và BC √ √ √ a a a A B C a D -Lời giải • Gọi E là trung điểm BC, ta có tam giác ABC nên BC ⊥ AE S • SA ⊥ (ABC) ⇒ AE ⊥ SA • Suy AE là đường vuông√góc chung SA và BC a • Vậy d(SA, BC) = AE = A C E B Chọn đáp án D Câu 127 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 60◦ Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) √ √ √ a a A a C D a B 2 -Lời giải • Gọi O là giao điểm AC và BD Hình chóp S.ABCD nên S SO ⊥ (ABCD) nên d(S, (ABCD)) = SO • OB là hình chiếu SB trên (ABCD) nên (SB, (ABCD)) = ’ nên SBO ’ = 60◦ (SB, OB) = SBO √ √ a a ◦ ’ • SO = OB tan SBO = · tan 60 = 2 D A O B C Chọn đáp án B Câu 128 Cho tứ diện ABCD cạnh Khoảng cách hai đường thẳng AB và CD √ √ A 2 B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 468 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (472) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M , N là trung điểm CD và AB Khi đó®4ABM cân M , 4CDN cân N M N ⊥ AB Do đó , suy M N là đoạn vuông góc chung đường thẳng M N ⊥ CD AB và CD √ √ AB Xét 4AM N vuông N có AN = = 2, AM = = nên M N = 2 √ √ AM − AN = 2 A a N B D M C Chọn đáp án A Câu 129 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ a 21 a a A h = B h = a C h = D h = 7 -Lời giải Gọi M , N là trung điểm AB, CD; H là hình chiếu S vuông góc M trên SN Ta có M N là đường trung bình hình vuông ABCD nên M N k AD k BC và M N = a Tam giác SAB √ và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) H a nên SM = , SM ⊥ AB ⇒ SM ⊥ (ABC) ´2 CD ⊥ M N D A ⇒ CD ⊥ (SM N ) ⇒ CD ⊥ M H CD ⊥ SM ´ N M M H ⊥ CD ⇒ M H ⊥ (SCD) M H ⊥ SN B C Do AB k CD ⇒ AB k (SCD) nên d(A, (SCD)) = d(M, (SCD)) = M H 1 1 Tam giác SM N vuông M nên = + = + = 2 2 MH MN SM a 3a 3a √ a 21 Vậy d(A, (SCD)) = Chọn đáp án A Câu 130 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a Khoảng √ √ cách SC và AB √ √ a a 2a 2a A B C D 15 15 -Lời giải Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB, CD; H là hình S chiếu vuông góc O lên SN Vì AB k CD nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) = · d(O, (SCD)) (vì O là ® trung điểm M N ) CD ⊥ SO Ta có ⇒ CD ⊥ (SON ) ⇒ CD ⊥ OH CD ⊥ ON ® CD ⊥ OH Khi đó ⇒ OH ⊥ (SCD) OH ⊥ SN H A M B D N O C Suy d(O, (SCD)) = OH Tam giác SON vuông O nên 1 a = + = + = ⇒ OH = √ 2 OH ON OS a a a √ 2a Vậy d(AB, SC) = 2OH = Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 469 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (473) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 131 √ Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông A và B, biết AB = BC = a, AD = 2a, SA = a và SA ⊥ (ABCD) Gọi M , N là trung điểm SB và SA Tính khoảng cách từ M đến (N CD) theo a √ √ √ √ a 66 a 66 a 66 A C B 2a 66 D 22 11 44 -Lời giải Gọi I là giao điểm AB và CD Vì AD = 2BC nên B là trung điểm AI Gọi G là giao điểm SB và IN , dễ thấy G là trọng tâm tam giác SAI Do đó SG = SB = SM ⇒ M G = SG, mà G ∈ (N CD) nên 1 d(M, (N CD)) = d(S, (N CD)) = d(A, (N CD)) 4 Lại có CD ⊥ AC, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) Gọi K là hình chiếu A lên SC √ thì d(A, (N CD)) = AK = √ AN · AC a √ , với AN = , AC = a ta AK = AN + AC √ a 66 11 √ a 66 Vậy d(M, (N CD)) = AK = 44 S N M K G A D C B I Chọn đáp án D Câu 132 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB và A0 C √ √ A a B a C 2a D a -Lời giải Ta thấy AB ⊂ (ABC); A0 C ⊂ (A0 B C ) Mà (ABC) k (A0 B C ) Nên d (AB; A0 C ) = d ((ABC); (A0 B C ))=AA0 =a A0 C0 B0 A C B Chọn đáp án A Câu 133 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi môt vuông góc với và OA = OB = OC = a Khoảng cách hai đường thẳng OA và BC √ √ √ 2a 3a C a D A 2a B 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 470 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (474) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là trung điểm BC, OBC là tam giác vuông cân nên OH là đường cao tam giác OBC Suy OH là đường vuông góc chung hai đường thẳng OA và BC √ 2a Khi đó d(OA, BC) = OH = BC = 2 A O C H B Câu 134 √ Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, a SA = Khoảng cách từ A đến (SBC) là √ √ √ √ a a a a B C D A -Lời giải √ S a Gọi M là trung điểm BC thì AM ⊥ BC, AM = Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SM , ta có AH ⊥ (SBC) Trong tam giác vuông SAM , ta có: √ 1 a = + ⇒ AH = H AH AS AM √ a Vậy d(A, (SBC)) = AH = A C M B Chọn đáp án A Câu 135 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Gọi M, N là trung điểm AC và B C Khoảng cách hai đường√thẳng M N và B D0 √ a a A a C 3a D B -Lời giải Gọi O, N, P là trung điểm các cạnh B D0 , BC , C D0 Vì D C B D0 k N P nên M d(B D0 , M N ) = d(B D0 , (M N P )) = d(O, (M N P )) A B Tứ diện O.M N P có OM, ON, OP đôi vuông góc, đó 1 1 = + + d(O, (M N P ))2 OM ON OP P a a ⇒ d(O, (M N P )) = Vậy d(B D0 , M N ) = 3 C0 D0 O A0 Chọn đáp án D N B0 Câu 136 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = 6, BC = 8, AC = 10 Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA và BC A d = B d = C d = 10 D d = -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 471 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (475) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có AB =®6, BC = 8, AC = 10 nên tam giác ABC vuông SA ⊥ AB B Khi đó nên AB là đoạn vuông góc chung BC ⊥ AB hai đường thẳng SA và BC Vậy d = AB = S A C B Chọn đáp án D Câu 137 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = 6, BC = 8, AC = 10 Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA và BC A d = B d = C d = 10 D d = -Lời giải Ta có AB = 6, BC = 8, AC = 10 nên ∆ABC vuông B Khi đó SA ⊥ AB và BC ⊥ AB nên AB là đoạn vuông góc chung SA và BC Do hai đường này chéo nên d(SA, BC) = AB = S A C B Chọn đáp án D √ Câu 138 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a 6, khoảng cách hai đường thẳng SA và 3a BC Tính thể tích khối chóp S.ABC √2 √ √ √ a a3 a3 a3 A B C D 12 -Lời giải Gọi F là trung điểm BC, G là hình chiếu vuông góc F trên S SA Khi đó BC ⊥ (SAF ) ⇒ BC ⊥ F G hay F G là đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo SA và BC Vì S.ABC là hình chóp nên khoảng cách hai đường thẳng G 3a SA và BC là độ dài đoạn F G = √ Mà F A là đường cao tam giác cạnh a nên F A = √ √ √ a 6· 3a B A = 2 H F Từ đó suy AG = √ sÇ F A2 − F G2 = Th.s Nguyễn Chín Em √ å2 Å ã2 3a 3a 3a − = 2 472 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (476) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Như tam giác AGF vuông cân G Suy tam giác SHA vuông cân √ H √ 2 3a Do đó SH = AH = AF = · = a 3 √ √ √ 1 √ (a 6)2 a3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V = SH · S∆ABC = · a · = 3 Chọn đáp án A ’ = 120◦ Gọi M , N Câu 139 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có AB = 1, AC = 2, AA0 = và BAC 0 0 là các điểm trên cạnh BB , CC cho BM = 3B M , CN = 2C N Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt√phẳng (A0 BN ) √ √ √ 138 138 9 138 √ A B C D 184 46 46 16 46 -Lời giải E A0 C0 H D B0 N M A C B √ ’ = 12 + 22 − · · cos 120◦ = Suy BC = Ta có BC = AB + AC − · AB · AC cos BAC √ + BC − AC 2 + 72 − 22 AB 2 0B0C = √ ◊ ’= √ = √ , suy cos A Ta có cos ABC = · AB · BC 2·1· 7 √ 0N DC C 3 Gọi D = BN ∩ B C , suy = = , nên DB = B C = DB BB Ç 2√ å2 √ 43 7 2 02 0 0 ÷ Từ đó ta có A D = A B + B D − · A B · B D cos A BD=1 + −2·1· · √ = Suy 2 √ 43 A0 D = 0 Kẻ B E ⊥ A D và B H ⊥ BE, suy √ B H ⊥ (A0 BN ) Do đó d (B , (A0 BN )) = B H B C = √ ⇒ sin A 0B0C = √ ◊ ◊ Từ cos A 7 √ √ √ 1 3 0 0 ÷ Do đó SA0 B D = · A B · B D · sin A B D = · · ·√ = 2 √ 3 √ 2· 0B0D 2S 3 A BE= = √ =√ A0 D 43 43 … 1 1 46 27 = + = Ç √ å2 + = ⇒BH= BH BE BB 27 46 3 √ 43 √ … 3 27 138 0 0 Từ BM = 3B M suy d (M, (A BN )) = d (B , (A BN )) = · B H = · = 4 46 184 Chọn đáp án A Câu 140 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Gọi M , N là trung điểm BC và DD0 Tính theo a khoảng cách √ hai đường thẳng M N và √ BD √ √ 3a 3a 3a A 3a B C D Th.s Nguyễn Chín Em 473 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (477) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi O, O0 là tâm hình vuông ABCD và A0 B C D0 Gọi P , Q là trung điểm CD, BB , ta có M P k N Q k BD Mặt khác BD ⊥ (AA0 C C) nên M P ⊥ (AA0 C C) Gọi I, J là giao điểm M P và AC, OO0 và N Q Ta C C) cắt (M P N Q) theo giao tuyến IJ Ta tính có (AA√ a a OI = , OJ = Kẻ OH ⊥ IJ H suy OH ⊥ (M P N Q) 1 12 = + = 4OIJ vuông O nên 2 OH OI OJ a √ a ⇒ OH = B M A I C O P D H Q J N B0 A0 O0 C D0 Vì BD k M P nên BD k (M N P ) √ a Vậy d (BD, M N ) = d (BD, (M N P )) = d (O, (M N P )) = OH = Chọn đáp án D Câu 141 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB và A0 C √ √ A a B a C 2a D a -Lời giải Vì AA0 ⊥ AB và AA0 ⊥ A0 C nên AA0 là đoạn vuông góc chung AB và A0 C0 A0 C Do đó d (AB, A0 C ) = AA0 = a B0 A C B Chọn đáp án B Câu 142 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc và a Khoảng cách hai đường thẳng OA và BC √ √ √ a a A a B a C D 2 -Lời giải Dễ thấy OA ⊥ (OBC) và 4OBC vuông cân O Gọi H là trung điểm A cạnh BC thì OH là đoạn vuông góc √ chung OA và BC BC a = Vậy: d(OA, BC) = OH = 2 a O C H B Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 474 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (478) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a Câu 143 Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, độ dài cạnh bên Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SC √ √ √ a a a A a B C D 2 -Lời giải Gọi O là tâm ABCD S Vì AB k CD nên AB k (SCD) Ta có d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) CA Vì AO cắt (SCD) C nên d(A, (SCD)) = · CO d(O, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) H Gọi I là trung điểm CD, H là hình chiếu vuông góc O A D lên SI.® OH ⊥ SI Ta có ⇒ OH ⊥ (SCD) O I OH ⊥ CD B nên d(O, (SCD)) = OH C Xét tam giác SOD vuông O, ta có Ã Ç √ å2 Ç √ å2 √ a a a SO = − = 2 a OI = BC = 2 Xét tam giác SOI vuông O, ta có √ 1 4 16 a = + = + = ⇒ OH = OH OI OS a 3a 3a √ √ a a = Vậy d(AB, SC) = · Chọn đáp án C Câu 144 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA và BC √ √ √ a a a A B C a D -Lời giải Gọi E là trung điểm BC, ta có 4ABC ⇒ BC ⊥ AE (1) S Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ AE ⊥ SA (2) Từ (1) và (2) suy AE là đường vuông góc chung hai đường thẳng SA và BC √ a ⇒ d(SA, BC) = AE = A B E C Chọn đáp án D Câu 145 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a Góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 60o Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) √ √ √ a a A a B C D a 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 475 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (479) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Trong (ABCD) gọi O là giao điểm AC và BD Ta có SO ⊥ (ABCD) ⇒ d (S, (ABCD)) = SO Ta lại có: OB là hình chiếu SB lên mặt phẳng (ABCD) ’ = 60o ⇒ (SB, (ABCD)) = (SB, OB) = SBO Xét tam giác SOB vuông √ O, ta có √ a a SO = OB tan SBO = tan 60o = √2 a Vậy d (S, (ABCD)) = S A B O D C Chọn đáp án B √ Câu 146 √ Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a và BC = a Tính khoảng cách SD và BC √ √ 3a a 2a A a B C D -Lời giải Ta có BC k AD ⇒ BC k (SAD) S Suy d(SD, = d(B, (SAD)) = AB √ BC) = d(BC, (SAD)) √ Mà AB = AC − BC √ = a Vậy d(SD, BC) = a D A B Chọn đáp án A C 0 Câu 147 BC = a, cạnh bên √ Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông, BA = 0 C AA = a√ 2, M là trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AM và B √ √ √ a a a a A B C D -Lời giải Cách 1: C0 A0 Gọi N là trung điểm BB Ta có: M N là đường trung bình ∆B BC ⇒ M N k B C B0 Ta có: M N k B C( cmt ) N M N ⊂ (AM N ) ⇒ B C k (AM N ) A C B C ⊂ (AM N ) M 3VN.AM C 0 ⇒ d(AM ; B C) = d(B C; (AM N )) = d(C; (AM N )) = S∆AM N B Ta có: ∆ABC vuông, BA = BC = a ⇒ ∆ABC vuông B 1 1 ⇒ S∆AM C = S∆ABC = · · BA · BC = a2 2 √ √ 1 1 1 a3 2 VN.AM C = · VN.ABC = · · N B · S∆ABC = · · BB · · BA · BC = ·a 2·a = 2 s 24 24 Ç 2√ å2 √ √ a a Xét ∆AN B vuông B: AN = AB + N B = a2 + = 2 Xét ∆BB C vuông B: √ q Ä √ ä2 √ √ a 0 2 B C = B B + BC = a + a = a ⇒ N M = B C = 2 √ … a 2 a √ Xét ∆AM B vuông B: AM = AB + M B = a2 + = 2 AN + M N + AM Theo công thức Herong với p = √ p a2 14 Ta có: S∆AM N = p(p − AN )(p − AM )(p − N M ) = Th.s Nguyễn Chín Em 476 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (480) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ⇒ d(AM ; B C) Chương - Hình học 11 √ √ √ 3.a3 a2 14 3VN.AM C a = = d(C; (AM N )) = : = S∆AM N 24 Cách 2: Tương tự cách ta có d(AM ; B C) = d(B C; (AM N )) = d(C; (AM N )) = d(B; (AM N )) Kẻ BI ⊥ AM M Kẻ BH ⊥ IN H Ta có: BH ⊥ IN H và BH ⊥ AM Suy AH ⊥ (AN M ) H ⇒ d(B; (AN M )) = BH Xét ∆AM B vuông B, đường cao BI 1 ta có: = + = 2 2 BI AB BM a Xét ∆IBN vuông B, đường cao BH 1 = + = Ta có: 2 BH IB BN a √ 1 a2 a = + = ⇒ BH = ⇒ BH = BH IB BN a √ 7 a Vậy d(AM ; B C) = HB = Cách 3: Gắn ABC.A0 B C lên hệ trục tọa độ Oxyz, cho O ≡ B; C ∈ Ox; A ∈ Oy; B ∈ Oz a √ Khi đó B(0; 0; 0), C(a; 0; 0), A(0; a; 0), B (0; 0; a 2), M ; 0; î # » # »ó # » √ AM , B C AC a = Ta có d(AM ; B C) = î # » # »ó AM , B C C0 A0 B0 N H A C I M B z B0 A0 C0 B A M y C x Chọn đáp án C Câu 148 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Khoảng √ cách hai đường AC và SB a 6a a 2a A B C D 2 3 -Lời giải S E D A B C Dựng hình bình hành ACBE ta có AC k (SBE) nên d(AC, SB) = d(A, (SBE)) = h 1 1 Do AS, AB, AE đôi vuông góc nên = + + = 2 2 h SA AB AE 4a 2a Như d(A, (SBE)) = h = Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 477 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (481) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ Câu 149 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên SA = a Khoảng √ cách BD và SC là √ √ √ a 15 a 30 a 15 a 30 A B C D 5 6 -Lời giải Tam giác ABC vuông B, suy S p p √ √ AC = AB + BC = 4a2 + 4a2 = 2a ⇒ AO = OC = a Tam giác SOC vuông O, suy p √ SO = 5a2 − 2a2 = a Trong ® mặt phẳng (SAC), kẻ OH ⊥ SC H BD ⊥ AC Do ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OH BD ⊥ SO Từ (1) và (2) suy d (BD; SC) = OH Trong tam giác vuông SOC có H (1) A (2) B O D C √ SO · OC a 30 OH · SC = SO · OC ⇒ OH = = SC Chọn đáp án B Câu 150 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng SA và BC √ cách hai đường thẳng √ √ a a a A B C a D -Lời giải Gọi E là trung điểm BC, ta có 4ABC ⇒ BC ⊥ AE (1) S Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ AE ⊥ SA (2) Từ (1) và (2) suy AE là đường vuông góc chung hai đường thẳng SA và BC √ a ⇒ d(SA, BC) = AE = A B E C Chọn đáp án D Câu 151 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a Góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 60o Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) √ √ √ a a C D a A a B 2 -Lời giải Trong (ABCD) gọi O là giao điểm AC và BD Ta có SO ⊥ S (ABCD) ⇒ d (S, (ABCD)) = SO Ta lại có: OB là hình chiếu SB lên mặt phẳng (ABCD) ’ = 60o ⇒ (SB, (ABCD)) = (SB, OB) = SBO Xét tam giác SOB vuông √ O, ta có √ a a A B SO = OB tan SBO = tan 60o = √2 O a Vậy d (S, (ABCD)) = D C Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 478 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (482) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 152 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a (tham khảo hình vẽ 0 bên) Khoảng cách hai √ √ đường thẳng AB và BC √ √ a a A B C a D a B A C D B0 A0 -Lời giải Tứ giác ABC D0 là hình bình hành nên BC k AD0 và AD0 ⊂ (AB D0 ) đó BC k (AB D0 ) Suy d (BC , AB ) = d (B, (AB D0 )) = d (A0 , (AB D0 )) Gọi d = d (A0 , (AB D0 )) Ta có D0 B A 1 1 = + 02 + 02 = d2 AA AB AD a √ a 0 Vậy d (BC , AB ) = C D B0 A0 Chọn đáp án A C0 C0 D0 Câu 153 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, SA tạo với đáy góc 30◦ Tính theo a khoảng cách d hai đường thẳng SA và CD √ √ √ √ 10a 14a 5a 15a A d = B d = C d = D d = 5 5 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD Suy SO ⊥ S (SABD) ’ = 30◦ Ta có(SA; (ABCD)) = (SA; √ AO) √ = SAO √ a a ’ ⇒ SO = AO · tan SAO = = Kẻ OK ⊥ AB K, OH ⊥ SK H Suy OH ⊥ (SAB) ⇒ d (O; (SAB)) √ = OH Ta 1 a 10 H có: = + ⇒ OH = 2 OH ® OK OS 10 30◦ CO ∩ (SAB) = A d (C; (SAB)) A = Lại có nên D d (O; (SAB)) CA = 2OA CA K =2 O OA Ta có CD k AB nên CD k (SAB) Suy d = d(SA; CD) = d (CD; C B √ (SAB)) = a 10 d (C; (SAB)) = 2d (O; (SAB)) = Chọn đáp án A ’ = 30◦ , SA = a và Câu 154 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC BA = BC = a Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC Khoảng cách từ B đến mặt (SCD) √ √ √ √ 21 21 21 A a B a C a D a 7 14 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 479 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (483) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ AK ⊥ CD K và AH ⊥ SK H Suy AH ⊥ (SCD) Vì AB = BC và D đối xứng với B qua AC nên ABCD là hình thoi Mặt ’ = 30◦ ⇒ ABC ’ = ADC ’ = 120◦ khác BAC Ta có AB k CD ⇒ AB k (SCD) ⇒ d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AH ◦ ’ Xét 4AKD vuông K có √ AD = BC = a, ADK = 60 a ⇒ AK = AD · sin 60◦ = Xét 4SAK vuông A có AH là đường cao √ 1 a 21 = + = + = ⇒ AH = ⇒ AH SA2 AK a 3a 3a S H K a A D C 30◦ a B Chọn đáp án B √ Câu 155 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = AB = a 2, tam giác ABC vuông B Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ 2a a 42 B a C A a D -Lời giải Lấy M là trung điểm SB Vì 4SAB vuông cân A nên AM ⊥ S SB Lại có SA ⊥ BC, AB ⊥ BC nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AM Từ đó dẫn tới AM ⊥ (SBC), suy d (A, (SBC)) = AM = SB SA = √ = a 2 M C A B Chọn đáp án B Câu 156 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a √ Biết các mặt bên hình chóp cùng 3a3 tạo với đáy các góc và thể tích khối chóp Tính khoảng cách hai đường thẳng SA √ và CD √ √ √ A 5a B 2a C 2a D 3a -Lời giải Do các mặt bên hình chóp cùng tạo với đáy các góc S nên hình chóp S.ABCD là hình chóp Gọi O là giao điểm AC và BD, suy SO ⊥ (ABCD) Khi đó VS.ABCD = SO · SABCD , suy √ √ 3VS.ABCD 3a3 SO = = = a SABCD (2a) H D A Do CD k (SAB) nên K O B C d(SA, CD) = d[CD, (SAB)] = d[C, (SAB)] = 2d[O, (SAB)] Gọi K là trung điểm AB Trong tam giác SOK, kẻ OH ⊥ SK Khi đó d[O, (SAB)] = OH 1 1 Tam giác SOK có OH là đường cao nên = + = + = 2 2 OH SO OK 3a a 3a √ √ a Suy OH = Vậy d(SA, CD) = 2OH = a Th.s Nguyễn Chín Em 480 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (484) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án D √ Câu 157 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a và chiều cao a Tính khoảng cách d từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên theo a √ √ √ √ a 2a a a A d = B d = C d = D d = 2 3 -Lời giải Gọi M là trung điểm CD Vì S.ABCD là chóp tứ giác nên SC = SD Do đó 4SCD cân S ⇒ SM ⊥ CD Lại có ABCD là hình vuông nên ta có AD a OM ⊥ CD; OM = = 2 Suy CD ⊥ (SOM ) ⇒ CD ⊥ OH (1) Trong mặt phẳng (SOM ) kẻ OH ⊥ SM (2) Từ (1) và (2) ta suy OH ⊥ (SCD) nên d (O; (SCD)) = OH S H A D M O B C 1 1 = + = + = Suy Xét 4SOM vuông O (do SO ⊥ (ABCD)) có 2 2 OH SO OM 2a a 2a2 √ a OH = Chọn đáp án D √ Câu 158 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a và chiều cao a Tính khoảng cách d từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên theo a √ √ √ √ a a 2a a A d = B d = C d = D d = 2 3 -Lời giải Gọi M là trung điểm CD Vì S.ABCD là chóp tứ giác nên SC = SD Do đó 4SCD cân S ⇒ SM ⊥ CD Lại có ABCD là hình vuông nên ta có AD a OM ⊥ CD; OM = = 2 Suy CD ⊥ (SOM ) ⇒ CD ⊥ OH (1) Trong mặt phẳng (SOM ) kẻ OH ⊥ SM (2) Từ (1) và (2) ta suy OH ⊥ (SCD) nên d (O; (SCD)) = OH S H A D O M B C 1 1 Xét 4SOM vuông O (do SO ⊥ (ABCD)) có = + = + = Suy 2 2 OH SO OM 2a a 2a2 √ a OH = Chọn đáp án D Câu 159 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mặt đáy Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai? A d(B, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) C d(C, (SAB)) = d(C, (SAD)) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em B d(A, (SBD)) = d(B, (SAC)) D d(S, (ABCD)) = SA 481 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (485) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì BC = 2OC nên d (B, (SCD)) = 2d (O, (SCD)) Ta có d (C, (SAB)) = CB; d (C, (SAD)) = CD mà CB = CD nên d (C, (SAB)) = d (C, (SAD)) Vì SA vuông góc với mặt đáy nên d (S, (ABCD)) = SA Do đó đáp án sai là d(A, (SBD)) = d(B, (SAC)) S D A O B C Chọn đáp án B Câu 160 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là chữ nhật, cạnh AB = 2AD = 2a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBD) √ √ a a a A B C D a 2 -Lời giải Gọi®H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) HI ⊥ BD, (I ∈ BD) Kẻ ⇒ BD ⊥ (SHI) suy HK ⊥ BD HK ⊥ SI, (K ∈ SI) ® HK ⊥ SI ⇒ HK ⊥ (SBD) ⇒ d(H, SBD) = HK Do HK ⊥ BD Gọi J là hình chiếu A trên BD S K D A 1 2a a = + = ⇒ AJ = √ ⇒ HI = √ ⇒ 2 AJ AB AD 4a 5 H J I B √ C 1 1 16 a = + = + = 2+ = ⇒ HK = 2 2 2 HK HI SH HI SB − BH a 4a − a 3a 4√ d(A, (SBD)) AB AB a Do AH ∩ (SBD) = B ⇒ = ⇒ d(A, (SBD)) = · d(H, (SBD)) = d(H, (SBD)) AH AH Lại có: Chọn đáp án B Câu 161 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông với đường chéo AC = 2a, SA ⊥ (ABCD) Khoảng cách hai đường thẳng SB và CD là √ √ a a A √ B √ C a D a 3 -Lời giải Ta √ có CD k AB ⇒ d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB)) = DA = a S D A B C Chọn đáp án C Câu 162 Tính độ dài đường cao tứ diện cạnh a √ √ √ a a a A B C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 482 √ a D https://emncischool.wixsite.com/geogebra (486) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là trọng tâm tam giác ABC, khối chóp S.ABC nên √ − AO = SO ⊥ (ABC) Tam giác SAO vuông suy SO = SA √ a S A C O K B Chọn đáp án C Câu 163 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Khoảng cách giữa√hai đường thẳng BC và SD √ √ là a a a A a B C D -Lời giải Gọi BH là đường cao hạ từ B tam giác SAB, suy BH ⊥ S (SAD) Vì BC k AD ⇒ BC k (SAD) Do đó √ H a d(BC, SD) = d (BC, (SAD)) = d (B, (SAD)) = BH = √ D a A Vậy d(BC, SD) = I B C Chọn đáp án B √ a √ Câu 164 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) , SA = a Gọi M là √ trung điểm SD Tính khoảng √ cách hai đường thẳng AB và CM √ a 2a 3a a A B C D 4 -Lời ® giải AB k CD Ta có ⇒ AB k (SCD) S AB 6⊂ (SCD) Suy d (AB, CM ) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) Gọi H®là hình chiếu A lên đường thẳng SD ⇒ AH ⊥ SD (1) H CD ⊥ AD M Ta có ⇒ CD ⊥ AH (2) CD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) Từ (1) và (2) suy AH ⊥ (SCD) ⇒ d (A, (SCD)) = AH √ √ A D SA · AD a 3·a a AH = √ =» √ = SA2 + AD2 (a 3)2 + a2 √ a B C Vậy d (AB, CM ) = Chọn đáp án D Câu 165 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với nhau, OA = a, OB = OC = 2a Gọi M là √ trung điểm BC Khoảng √ cách hai đường thẳng OM và AB √ a 2a a A B C a D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 483 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (487) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Qua B kẻ đường thẳng song song OM cắt OC D, từ đó suy OM k (ABD) Khi đó A d(OM, AB) = d(OM, (ABD)) = d(O, (ABD)) K Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên BD và K là hình chiếu vuông góc O lên AH O D C M H B Ta có BD ⊥ OH ⇒ BD ⊥ (AOH) ⇒ BD ⊥ OK Mà ® OK ⊥ BD OK ⊥ AH ⇒ OK ⊥ (ABD) ⇒ d(O, (ABD)) = OK Ta có √ OB · OC 2a · 2a OH = BD = OM = = √ = a 2 BC 2a Xét tam giác vuông AOH ta có 1 1 = + = + = OK OH OA2 2a a 2a √ a Suy OK = Chọn đáp án D √ Câu 166 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD cạnh 2, tam √ giác ABC vuông B và BC = 11 Biết khoảng cách hai đường thẳng chéo AB và CD Tính độ dài cạnh CD √ √ A B C D -Lời giải Gọi A0 , M , N√ là trung điểm AB, A0 B, CD Khi đó ta có A A0 D = BC = 3, A0 C = BD = Suy 4BCD = 4A0 BD ⇒ BN = A0 N (1) Tương tự 4CBA0 = 4A0 BD ⇒ CM = DM (2) A0 Từ (1) và (2) suy các tam giác M CD, N BA0 cân M , N Do đó M N là √ đường vuông góc chung AB và CD M 11 ⇒ MN = B D 2 2 BC + BD CD CD Xét tam giác BCD có BN = − = − N 4 √ CD 11 C Mà BN = BM + M N ⇒ − = + ⇒ CD = 2 4 Chọn đáp án B Câu 167 Cho hình√chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Khoảng cách hai đường thẳng SD và AB √ √ 12a 7a a 30 a 84 A B C D 12 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 484 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (488) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ® CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD) theo CD ⊥ SA giao tuyến SD Trong mặt phẳng (SAD), kẻ AH ⊥ SD H, ta có AH ⊥ (SCD) ⇒ AH = d (A, (SCD)) Tam giác SAD vuông A có đường cao AH nên Ta có S H 1 1 = + = 2+ = 2 AH SA AD 3a 4a 12a2 √ a 84 Suy AH = B A D C Ta có AB k CD ⇒ AB k (SCD) nên √ a 84 d(SD, AB) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) = AH = Chọn đáp án D Câu 168 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng BB và A0 C √ √ √ a A a B a C a D A D B C A0 D0 B0 C0 -Lời giải Ta có B O ⊥ A0 C và BB ⊥ B O nên OB chính là khoảng cách BB và A0 C √ a 0 Vậy khoảng cách BB và A C A D B C A0 D0 O B0 Chọn đáp án D C0 ’ = 120◦ Gọi M là trung điểm Câu 169 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có AC = a, BC = 2a, ACB 0 BB Tính khoảng cách hai đường thẳng AM và CC theo a √ √ … √ A a B a C a D a 7 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 485 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (489) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là hình chiếu vuông góc C trên AB Có ABC.A0 B C là hình lăng trụ đứng nên CH ⊥ (ABB A0 ) ⇒ d(C, (ABB A0 ) = CH CC k BB ⇒ CC k (ABB A0 ) nên d(CC , AM ) = d(CC , (ABB A0 )) = d(C, (ABB A0 )) = CH Xét 4ABC có √ AB = CA2 + CB − · CA · CB · cos 120◦ = 7a2 ⇒ AB = a 1 S4ABC = CA · CB · sin C = AB · CH 2 √ … √ 3 ⇒ a · 2a · = a · CH ⇒ CH = a … Vậy d(AM, CC ) = a A C H B A0 M C0 B0 Chọn đáp án D Câu 170 Cho hình chóp tứ √ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với 3, AD = 2a điểm A đến mặt phẳng (SCD) mặt đáy (ABCD), SA = a √ √Tính khoảng cách h từ √ √ a 21 2a 21 a 21 2a 21 A h = B h = C h = D h = 3 -Lời giải Gọi H®là hình chiếu A lên cạnh SD S SA ⊥ CD Ta có ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH AD ⊥ CD ® AH ⊥ SD H ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ h = AH Vậy ta có AH ⊥ CD √ 1 2a 21 Ta có = + = ⇒ h = AH = AH AD2 SA2 12a2 A D B Chọn đáp án D C Câu 171 Cho tam giác ABC có cạnh 3a Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a Dựng đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) √ √ 3a a 21 3a 21 B C D 3a A 7 -Lời giải Kẻ HK ⊥ AB K, lại có SH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SHK) S Trong mặt phẳng (SHK) kẻ HI ⊥ SK I Do AB ® ⊥ (SHK) ⇒ AB ⊥ HI HI ⊥ SK Từ ⇒ HI ⊥ (SAB) ⇒ HI = d(H, AB) AB ⊥ HI √ √ ÷ Ta có HK = HA · sin HAK = 2a · = a C H I Tam giác SHK vuông H có đường cao HI nên √ 1 HS · HK 2a 21 = + ⇒ HI = √ = 2 HI HK HS SH + HK K B √ √ A d(C, (SAB)) CA 3 2a 21 3a 21 Mà = = ⇒ d(C, (SAB)) = · = d(H, (SAB)) HA 2 7 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 486 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (490) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 172 Cho hình chóp S.ABCD có đáy√ ABCD là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a Gọi H là hình chiếu A trên SB Khoảng cách từ H đến mặt phẳng √ (SCD) √ √ √ a 3a a 3a A B C D 16 -Lời giải ABCD ® là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a S AB = BC = CD = a nên CD ⊥ AC 4SAB vuông A ⇒ SB = SA2 + AB 3a SA2 H = ⇒ SB = 2a và SH = SB √ Có AC = AD2 − CD2 ⇒ AC√= a √ A D ⇒ SC = AC + SA2 = a 3VH.SCD Ta có d(H, (SCD)) = SSCD B SH Mà VH.SCD = VS.HCD = VS.BCD = VS.BCD SB Å ã 1 √ 3a3 ◦ = · · SA · SBCD = · a · a · a · sin 120 = 4 16 √ √ a2 Lại có CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ SC ⇒ SSCD = SC · CD = · a · a = 2 3a √ 3· 3a 3VH.SCD 16 = 2√ = Vậy d(H, (SCD)) = SSCD 16 a Chọn đáp án D C Câu 173 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), góc đường thẳng ◦ SB và mặt √ phẳng (ABC) 60√ Tính khoảng cách hai √ đường thẳng AC và SB a 15 a a A B C D 2a -Lời giải ’ = 60◦ Do SA ⊥ (ABC) ⇒ góc SB và đáy là SBA S Gọi D là đỉnh hình bình hành ABDC ⇒ AC k BD ⇒ AC k (SBD) Suy d(AC, SB) = d(AC, (SBD)) = d(A, (SBD)) a Kẻ AH ⊥ BD H (BH = BD = ) K 2 Kẻ AK ⊥ SH K Ta chứng minh AK ⊥ (SHD) Suy d(A, (SBD)) = AK √ Xét 4SAB vuông A có SA = AB · tan 60◦ = a A Xét 4AHB√vuông H và là nửa tam giác C a 60◦ ⇒ AH = H B √ 1 a 15 Xét 4SAH vuông A có = + = ⇒ AK = AK AS AH 3a√ a 15 Vậy khoảng cách đường thẳng AC và SB Chọn đáp án A D Câu 174 √ Cho tứ diện ABCD√cạnh a, tính khoảng cách hai đường thẳng AB√và CD a a a A B C a D 2 Th.s Nguyễn Chín Em 487 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (491) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi M , N là trung điểm AB, CD Ta có: 4ABC = 4ABD ⇒ M C = M D ⇒ 4M CD cân ⇒ M N ⊥ CD ∆ACD = ∆BCD ⇒ N A = N B ⇒ 4N AB cân ⇒ M N ⊥ AB Suy M N là đoạn vuông góc chung AB, CD ⇒ d(AB, CD) = M N √ √ a 2 Trong 4BM N ta có:M N = BN − BM = A M B C N D Chọn đáp án B Câu 175 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D, AD = DC = a, AB = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy; mặt bên (SBC) tạo với đáy góc 60◦ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách từ G đến mặt √ phẳng (SBC) √ √ √ a a a a A B C D -Lời giải S Gọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ AI = 3GI ⇒ d(A, (SBC)) = 3d(G, (SBC)) H Gọi E là trung điểm AB A ⇒ AE = AB = a ⇒ Tứ giác ADCE là hình vuông D ⇒ CE = a = AB ⇒ tam giác ABC vuông C ⇒®BC ⊥ AC BC ⊥ AC Ta có: ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) AC ⊥ BC Do SC ⊥ BC (SBC) ∩ (ABCD) = BC ’ = 60◦ Nên góc (SBC) và mặt đáy (ABCD) góc SCA √ √ SA Tam giác vuông SCA có tan 60◦ = ⇒ SA = AC = a AC Kẻ AH ⊥ SC tam giác vuông SCA Ta có: AH ⊥ BC vì BC ⊥ (SAC) ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH √ a Mà AH = AC · sin 60◦ = √ √ 1 a a = ⇒ d(G, (SBC)) = d(A, (SBC)) = · 3 Chọn đáp án C E G B I C Câu 176 Cho hình chóp √ S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt a phẳng đáy và SA = Khi đó khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ a a a A d = B d = C d = D d = a 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 488 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (492) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm BC Khi đó BC ⊥ AM và BC ⊥ SA suy BC ⊥ (SAM ) Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SM Khi đó AH ⊥ SM và AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAM ) mà AH ⊂ (SAM )) Suy AH ⊥ (SBC) và d = d(A, (SBC)) = AH Xét tam giác SAM vuông A, ta có S H 1 1 = + = Ç √ å2 + Ç √ å2 = 2 AH AM AS a a a 2 A C M B √ a Vậy d = AH = Chọn đáp án B Câu 177 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Gọi E là trung điểm BC Gọi d là khoảng từ tâm hình lập phương đến mặt phẳng (A0 C E) Tính d? a a 2a a A d = B d = C d = D d = -Lời giải Gọi O là tâm hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Hai điểm I, I D0 C0 là tâm hình vuông ABCD, A0 B C D0 I0 Kẻ EN song song AC, gọi K là hình chiếu vuông góc I lên N I B0 Ta có IK ⊥ I N và EF ⊥ (BDD0 B ) mà IK ⊂ (BDD0 B ) nên IK ⊥ A0 EF Do đó IK ⊥ (A0 C E) Khi đó O K 1 0 0 0 d = d(O, (A C E)) = d(C, (A C E)) = d(I, (A C E)) = IK D 2 C N E I A F B √ 1 Trong tam giác IN I vuông góc I, có N I = BD = a và 4 1 1 a = + = Ç √ å2 + = ⇒ IK = IK IN II 02 a a a a a · = Chọn đáp án B Vậy d = “ = 60◦ , AC = 2, SA ⊥ (ABC), SA = Câu 178 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, C Gọi M là trung √ điểm AB Khoảng√cách d SM và BC là √ √ 21 21 21 21 A d = B d = C d = D d = 7 3 -Lời giải Gọi N là trung điểm AC, H là hình chiếu A trên SM Khi đó AH ⊥ S (SM N ) Lại có BC k (SM N ) nên d(SM, BC) = d(B, (SM N )) = d(A, (SM N )) = AH √ AB = , suy 2 √ SA · AM 21 AH = √ = 2 SA + AM Ta có AB = AC sin C = 3, AM = 21 Th.s Nguyễn Chín Em N C A M √ Vậy d(SM, BC) = H B 489 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (493) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 179 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, BC = 2a, SA vuông góc với mặt √ phẳng đáy ABC và SA = 3a Gọi M là trung điểm AC Khoảng cách hai đường thẳng AB và SM √ √ √ √ 13a 39a 3a 39a A B C D 13 13 13 13 -Lời giải Gọi N là trung điểm BC, ta có AB k M N ⇒ AB k (SM N ) Do đó d (SM, AB) = d (AB, (SM N )) = d (A, (SM N )) Giả sử H là hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng qua M N , I là hình chiếu vuông góc A lên SH BC Do M N k AB ta có AH = N B = = a ® M N ⊥ AH Ta có ⇒ M N ⊥ (SHA) ⇒ M N ⊥ AI (1) M N ⊥ SA Theo cách dựng AI ⊥ SH, kết hợp với (1) ta có AI ⊥ (SM N ) ⇒ d (A, (SM N )) = AI √ 1 1 13 39 Ta có = + ⇔ = ⇒ AI = a AI AH AS AI 12a2√ 13 39 Vậy khoảng cách AB và SM a 13 S I A B N M H C Chọn đáp án D Câu 180 Cho tứ diện ABCD có cạnh 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD √ √ √ √ a a D a B C a A 2 -Lời giải Gọi M, N là trung điểm AB và CD thì M N là đoạn vuông góc chung AB và CD (tính chất tứ diện đều) Do đó, d(AB, CD) = M N Tam giác √ ABD cạnh 2a nên √ DM = 2a = 3a Vậy p p √ M N = DM − DN = 3a2 − a2 = a D 2a A N C M B Chọn đáp án C Câu 181 Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) √ √ √ √ 3 A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 490 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (494) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là hình chiếu B lên mặt phẳng (ABC), BA = BC = BD nên HA = HC = HD, suy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AD 2 ACD Ta có = 2HA ⇒ HA = √ = ◦ sin 60 ’ √ sin DCA Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) BH = BA2 − AH = √ … 4− = 3 B D C H A Chọn đáp án A Câu 182 Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD, AC, AB vuông góc với đôi và AD = 2AC = 3AB = a Gọi (∆) là đường thẳng chứa mặt phẳng (BCD) cho khoảng cách từ điểm A đến (∆) là nhỏ và khoảng cách lớn hai đường thẳng (∆) với (AD) là d Khẳng định đúng là √ a 14 3a 2a A d = B 3a < d < 4a C <d< D d > 4a 14 14 -Lời giải Gọi H là trực tâm 4BCD A Ta có AH ⊥ (BCD) Vì (∆) thuộc (BCD) và khoảng cách từ A đến (∆) nhỏ K nên (∆) qua H Từ D kẻ (∆0 ) k (∆) Gọi K, M là hình chiếu H lên AD và (∆0 ) Ta có (∆) k (AD, (∆0 )) nên (∆0 ) B H d((∆), (AD)) = d((∆), (AD, (∆0 ))) = d(H, (ADM )) D M C (∆) Ta thấy d2 (H, (ADM )) = ≥ = 1 + AH HM 1 + AH DH (1) HK a2 1 1 AH = = + + 14 = 13a AB AC AD2 ⇒ Mặt khác, ta thấy AH ⇒ HK 142 DH = AD2 − AH DH = 13a 14 √ 13a Từ (1) và (2) ta d = 14 Chọn đáp án C (2) a2 b với AB = a Gọi G là trọng tâm tam giác SCD, trên các cạnh AB, SD lấy các điểm E, F cho EF song song BG Khoảng cách hai đường thẳng DG và EF 2ab ab a2 b ab A √ B √ C √ D √ 2 2 2 2b + a 2b + a 2b + a 2b2 + a2 -Lời giải Câu 183 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có thể tích Th.s Nguyễn Chín Em 491 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (495) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là tâm hình vuông ABCD Gọi I, J là trung điểm CD và SC a2 b V S.ABCD = Ta có ⇒ SO = b AB = a √ 1√ 2b2 + a2 √ SO + OC = Ta OJ = √ 2 OJ · BD a 2b2 + a2 Ta thấy S4BJD = = Ta có VB.SJD = VS.BJD = VS.ABCD 3VS.BJD ab Ta d(S, (BJD)) = =√ S4BJD 2b2 + a2 S J F A G D E O I B C Mặt khác, EF k BG ⇒ EF k (BJD) nên d(EF, DG) = d(EF, (BJD)) = d(F, (BJD)) DF d(F, (BJD)) Hơn nữa, AB k CD ⊂ (SDC) ⇒ GF k CD ⇒ = = DS d(S, (BJD)) ab Vậy d(EF, DG) = √ 2b2 + a2 Chọn đáp án D B C có đáy ABC là tam giác vuông A Gọi E là trung điểm Câu 184 Cho lăng trụ đứng ABC.A √ AB Cho biết AB = 2a, BC = 13a, CC = 4a Tính khoảng cách hai đường thẳng A0 B và CE A 4a B 12a C 3a D 6a -Lời giải Gọi F là trung điểm A0 A, suy mặt phẳng (CEF ) k A0 B Do đó khoảng cách hai đường thẳng A0 B và CE khoảng cách A0 B với (CEF ) Suy d A0 B, (CEF ) = d (B, (CEF )) = d (A, (CEF )) B0 F Kẻ AK ⊥ CE; AH ⊥ F K thì AH ⊥ (CEF ) hay d (A, (CEF )) = AH 1 1 1 1 49 = + = + + = 2+ 2+ = AH AF AK AF AE AC a 9a 4a 36a2 6a Suy d (CE, A0 B) = d (A, (CEF )) = AH = 6a Vậy khoảng cách A0 B và CE là d (CE, A0 B) = Chọn đáp án D C0 A0 H A C E K B Câu 185 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC và CD0 √ √ √ a a A a B 2a C D 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 492 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (496) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có CD0 k BA0 suy CD0 k (BA0 C ) ⇒ d(BC , CD0 ) = d(D0 , (BA0 C )) = d(B , (BA0 C )) Xét tứ diện B.A0 B C có BB , B C , B A0 đôi vuông góc với 1 1 nên = + 02 + 02 = 0 d (B , (BA C )) √B B BA BC a a ⇒ d(B , (BA0 C )) = √ a 0 Vậy khoảng cách đường thẳng BC và CD là A B D C A0 B0 D0 C0 Chọn đáp án C ’ = 90◦ , AB = a Dựng AA0 và CC cùng Câu 186 Trong không gian cho tam giác ABC có ABC phía và vuông góc với mp (ABC) Tính khoảng cách từ trung điểm A0 C đến mp (BCC ) a a A a B C D 2a -Lời giải Gọi I là trung điểm A0 C và J là trung điểm AC suy IJ là đường A0 I trung bình hình thang ACC A0 ⇒ IJ k AA0 k CC ⇒ IJ k (BCC ) C0 ⇒ d(I, (BCC )) = d(J, (BCC )) Gọi M là trung điểm BC thì JM là đường trung bình ∆ABC nên JM k AB suy JM ⊥ BC Mà JM ⊥ CC (do CC ⊥ (ABC)) nên JM ⊥ (BCC ) a Suy d(J, (BCC )) = JM = A C J a 0 M Vậy khoảng cách từ trung điểm A C đến mp (BCC ) B Chọn đáp án B Câu 187 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = a, AD = AA0 = 2a Khoảng cách hai đường thẳng AC và DC √ √ √ a a 3a a B C D A 3 -Lời giải Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD A0 D0 Ta có C D k AB ⇒ C D k (ACB ) ⇒ d (C D, AC) = d (C D, (ACB )) = d (D, (ACB )) = d (B, (ACB )) (do O là trung điểm BD) B0 C0 Tứ diện BACB có BA, BC, BB đôi vuông góc nên ta có 1 1 + + 2 BA BC BB 02 1 = + + = a 4a 4a 4a √ √ a a ⇒ d (B, (ACB )) = ⇒ d(C D, AC) = 3 d2 (B; (ACB )) = A D O B C Chọn đáp án A Câu 188 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Tính khoảng cách AC và DC √ √ a a a A B C D a 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 493 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (497) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O, O0 là tâm các hình vuông ABCD, A0 B C D0 Ta có • AC k A0 C ⇒ AC k (A0 C D) nên A0 O0 d(AC, DC ) = d(AC, (A0 C D)) = d(O, (A0 C D)) B0 Gọi H là hình chiếu vuông góc O trên DO0 , đó ® AC ⊥ OD ⇒ AC ⊥ (OO0 D) ⇒ AC ⊥ OH O AC ⊥ OO0 Vì OH = d(O, (A0 C D)) d(AC, DC ) Mặt khác √ = a BD = , OO0 = AA0 = a O, có OD = 2 4OO0 D D0 C0 H A vuông D O B C √ 1 a = + = + = ⇒ d(AC, DC ) = OH = OH OD2 O0 O2 a a a Chọn đáp án C √ Câu 189 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C, AB = 2, SC = 4, hai mặt phẳng (SAC), (SBC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M , N là trung điểm AB, AC Tính khoảng cách CM và SN √ A B C D -Lời giải Qua N kẻ đường thẳng song song với CM và cắt AB, BC S I, K Ta có CM k (SKN ), suy d (CM ; SN√ ) = d (C; (SKN )) = h Vì ABC là tam giác vuông cân C, AB = nên CA = CB = MI Do đó CN = và CK = CB · = · = MB K C Gọi E là hình chiếu C lên N K, kết hợp SC, CK, CN đôi B vuông góc ta E N M I 1 A = + h2 SC CE 1 + + = = 2 SC CK CN 16 4 Suy h = Vậy d (CM ; SN ) = 3 Chọn đáp án D Câu 190 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cân C, AB = 2a, AA0 = a, góc BC và (ABB A0 ) là 60◦ Gọi N là trung điểm AA0 và M là trung điểm BB Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (BC N ) √ √ √ √ 2a 74 a 74 2a 37 a 37 A B C D 37 37 37 37 -Lời giải B0 I A0 C0 M N B A Th.s Nguyễn Chín Em C 494 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (498) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ¤ , (ABB A0 ) = IBC ’0 = 60◦ Gọi I là trung điểm A0 B Khi đó IC ⊥ (ABB A0 ), suy BC √ √ √ √ IB Ta có IB = B”B + B I = a 2, BC = = 2a 2, IC = BC · sin 60◦ = a 6, ◦ cos 60 √ √ √ √ √ 17 29 a a N B = AB + AN = , N C = A0 N 02 + A0 C 02 = A0 N 02 + A0 I + IC 02 = 2 √ p 111 Kí hiệu p = (N B + BC + N C ) thì S4BC N = p(p − N B)(p − BC )(p − N C ) = a2 a Diện tích tam giác ABN là S4ABN = √ 0N S · IC 2a 74 · V 4ABN ABC = Vậy d (M, (BC N )) = d (A0 , (BC N )) = d (A, (BC N )) = S4BC N S4BC N 37 Chọn đáp án A Câu 191 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD) √ √ √ √ a a a a A B C D -Lời giải Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ta có S BC k (SAD) nên d(C; (SAD)) = d(B; (SAD)) = 2d(H; (SAD)) Gọi K là hình chiếu vuông góc H lên SA Ta có SH ⊥ AD, AB ⊥ AD nên AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ HK Mà K HK ⊥ SA nên HK ⊥ (SAD) ⇒ d(H; √ (SAD)) = HK A a a D nên Xét 4SHA có AH = , SH = 2 H √ 1 4 16 a B C = + = + = ⇒ HK = 2 HK SH AH 3a a 3a √ a Vậy d(C; (SAD)) = Chọn đáp án A Câu 192 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB và BC √ √ √ √ a a A a B a C D -Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z Ta có A(0; 0; 0), B (a; 0; a), B(a; 0; 0), C (a; a; a) # »0 # »0 Suy AB D0 î # »= #(a;»0; ó a), BC = (0; a;a).# » A Khi đó AB , BC = −a2 ; −a2 ; a2 , AB = (a; 0; 0) î # » # »ó # » B0 C0 AB , BC · AB a Vậy d(AB , BC ) = =√ î # » # »ó AB , BC A x Chọn đáp án C B D y C Câu 193 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), góc đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và SB √ √ √ a a 15 a A B C D 2a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 495 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (499) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’ = 60◦ Ta có (SB, (ABC)) = (SB, AB) = SBA √ ’ = a Trong 4SAB vuông A có SA = AB · tan SBA √ a Gọi O là trung điểm AC, ta có BO ⊥ AC và BO = Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, đó Oz k SA Ta có Ç √ å a a a √ a A 0; − ; , C 0; ; , S 0; − ; a , B ; 0; 2 2 S z A O 60◦ C y B x Ç √ å Ç √ å √ a a a a # » ; ; −a , AB = ; ;0 2 2 î # » # »ó # » Ç √ å √ AC, SB · AB î # » # »ó √ a a 15 Do đó AC, SB = −a 3; 0; − Vậy d(AC, SB) = = î # » # »ó AC, SB # » # » Suy AC = (0; a; 0), SB = Chọn đáp án B Câu 194 Cho tam giác ABC có cạnh 3a Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a Dựng đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là √ √ 21 21 A 3a B a C a D a 7 -Lời giải Ta có S d (C, (SAB)) CA 3 = = ⇒ d (C, (SAB)) = d (H, (SAB)) d (H, (SAB)) HC 2 Gọi K và M là hình chiếu vuông góc H trên AB và SK Khi đó ® HM ⊥ SK ⇒ HM ⊥ (SAB) ⇒ HM = d (H, (SAB)) HM ⊥ AB Tam giác AKH vuông K nên √ HK = AH · sin 60◦ = 2a · sin 60◦ = a M C B H K A Tam giác SHK vuông H, ta có √ 1 SH · HK 2a 21 = + ⇔ HM = √ = HM SH HK SH + HK √ 3a 21 Vậy d (C, (SAB)) = d (H, (SAB)) = Chọn đáp án D ’ = SCA ’ = 90◦ Biết góc Câu 195 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và SBA ◦ đường thẳng SA và mặt phẳng ABC 45 Khoảng cách hai đường thẳng SB và AC là √ √ √ √ 13 51 39 A a B a C a D a 13 17 13 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 496 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (500) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc S lên AM Dựng hình thoi ABDC ’ = SCA ’ ⇒ 4SBA = 4SCA ⇒ Vì AB = AC, SBA SB = SC ⇒ ∆SBC cân S ⇒ SM ⊥BC Vì 4ABC nên AM ⊥BC nên BC⊥(SAM ) ⇒ BC⊥SH Mà SH⊥AM ⇒ SH⊥(ABC) Khi đó góc đường thẳng SA và mặt phẳng ABC ’ = 45◦ SAM S K C A O H B I √ Gọi SH = x Vì 4SAH vuông cân H nên AH = x ⇒ SA = x Ç √ å2 √ a a 3 ⇒ SM = SH + HM = x2 + x − Ta lại có HM = x − 2 Ç √ å2 a2 a 2 2 + ⇒ SB = SM + BM = x + x − Ç Ç √ å2 √ å2 a2 a 5a2 a 2 2 2 +a =x + x− Ta có: SA = SB + BA = x + x − + + 4 Từ (1) và (2) suy D (1) (2) √ å2 a 5a2 x + x− = 2x2 + √ ⇔ −2xa + 2a2 = √ ⇔ x= a √ √ √ 3 Từ đó suy AH = a > AM = a ⇒ HM = AH − AM = a = AM Do đó chứng tỏ H là trọng tâm 4BCD Kẻ HI ⊥ BD ⇒ I là trung điểm canh√BD, kẻ HK ⊥ SI ⇒ HK = d(H, (SBD)) a a Ta có HI = ID tan 45◦ = · √ = √ 1 36 51 51 Suy = + = 2+ = ⇒ HK = a HK HI HS 3a 12a2 4a 51 Vì AC k BD suy Ç d(SB, AC) = d(AC, (SBD)) = d(A, (SBD)) = 3d(H, (SBD)) √ 51 a = 3· √ 51 51 = a 17 √ 51 Vậy d(SB, AC) = a 17 Chọn đáp án B Câu 196 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ABCD Góc SC và mặt phẳng đáy 45◦ Gọi E hai đường √ thẳng DE và SC √ a a 38 A B C 19 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 497 vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy là trung điểm BC Tính khoảng cách √ a √ a 38 D 19 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (501) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dựng hình bình hành CEDF , ta có: DE k CF ⇒ DE k (SCF ) Do đó d(DE, SC) = d(D, (SCF )) d(D, (SCF )) FD Lại có AD ∩ (SCF ) = F nên = = d(A, (SCF )) FA Suy d(DE, SC) = d(, (SCF )) S H A D K B E F C ’ = 45◦ Ta có SA ⊥ (ABCD) nên (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = SCA √ ’ = a ⇒ SA = AC tan SCA Kẻ AK ⊥ CF K, AH ⊥ SK H Ta chứng minh AH ⊥ (SCF ) hay √d(A, (SCF )) = AH √ a Ta có CF = DE = DC + CE = √ 1 AF · CD 3a S4ACF = CD · AF = AK · CF Suy AK = = 2 √ CF 1 3a 38 Xét 4SAK có = + ⇒ AH = AH AS AK √ 19 1 a 38 Vậy d(DE, SC) = d(A, (SCF )) = AH = 3 19 Chọn đáp án D √ Câu 197 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi M là điểm trên đoạn SD cho M D = 2M S Khoảng cách hai đường thẳng AB và CM √ √ √ a a 3a 2a A B C D 4 -Lời giải Do AB k CD ⇒ AB k (SCD) ⇒ d(AB, CM ) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) Gọi H®là hình chiếu vuông góc A trên SD CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH Ta có CD ⊥ SA ® AH ⊥ SD Vì ⇒ AH ⊥ (SCD) AH ⊥ CD ⇒ d(A, (SCD)) = AH √ 1 a = + ⇒ AH = AH AS AD2 S M H B A D Chọn đáp án A C Câu 198 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên a Tính khoảng cách từ A đến (SCD) √ √ √ √ a a a a A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 498 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (502) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S H A D M O B C Gọi O là tâm mặt đáy Vẽ OM ⊥ CD M và kẻ OH ⊥ SM H Khi đó ® CD ⊥ OM ⇒ CD ⊥ (SOM ) ⇒ CD ⊥ OH CD ⊥ SO mà OH ⊥ SM (theo cách vẽ) nên OH ⊥ (SCD) ⇒ d(O, (SCD)) = OH CA Ta lại có = nên CO d(A, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) = 2OH Do tam giác SOM vuông O có đường cao OH nên 1 1 = + = + = OH OS OM SA2 − AO2 a2 √ a + = ⇒ OH = a a a2 a2 − √ a Vậy d(A, (SCD)) = Chọn đáp án A Câu 199 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, AB = AC = a, I là trung điểm SC; hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H BC; mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc bằng√60◦ Tính khoảng cách từ√I đến mặt phẳng (SAB) √ theo a √ a a a a A B C D -Lời giải Từ H vẽ HN ⊥ AB và HK ⊥ SN S Ta có AB ⊥ N H và AB ⊥ SH nên AB ⊥ (SN H) Suy HK ⊥ AB Ta lại có HK ⊥ SN nên HK ⊥ (SAB) Vậy d(H, (SAB)) = HK I Mặt khác (SAB) ∩ (ABC) = AB và SN ⊥ AB, N H ⊥ AB ’ K nên ((SAB); (ABC)) = SN H = 60◦ SC 1 A C Ta có = ⇒ d(I, (SAB)) = · d(C, (SAB)) SI 2 CB và = ⇒ d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)) HB N H B 1 ÷ Ta có d(I, (SAB)) = · d(C, (SAB)) = · 2d(H, (SAB)) = HK = HN · sin HN K = AC sin 60◦ √ 2 a Suy d(I, (SAB)) = Chọn đáp án A Câu 200 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, 4SAB vuông cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H, M là trung điểm AB và CD Biết khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SHM ) a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Th.s Nguyễn Chín Em 499 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (503) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ 2a a a A B C 5 -Lời giải Do (SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB và SH ⊥ AB nên SH ⊥ (ABCD) Ta có ® BH ⊥ SH ⇒ BH ⊥ (SHM ) BH ⊥ HM √ 2a D S K Từ giả thiết suy d(B, (SHM )) = BH = a Mặt khác, AH k (SCD) ⇒ d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) D A M H C B Kẻ HK ⊥ SM K Ta có CD k BH và BH ⊥ (SHM ) nên CD ⊥ (SHM ), suy CD ⊥ HK Từ đó suy HK ⊥ (SCD) Xét tam giác vuông SHM , có SH = BH = a, HM = 2HB = 2a Suy √ SH · HM 2a a · 2a d(H, (SCD)) = HK = √ = =p SH + HM a2 + (2a)2 √ 2a Vậy d(A, (SCD)) = Chọn đáp án D ’ = 60◦ Hình chiếu đỉnh S Câu 201 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm 4ABC Góc tạo hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) là 60◦ Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) 3a 3a 9a a A √ B √ C √ D √ 7 7 -Lời giải Gọi ® O là tâm ABCD, H là trọng tâm 4ABC Ta có S SH ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AC (định lý đường vuông góc) E HO ⊥ AC ¤ ’ = 60◦ Khi đó ((SAC), (ABCD)) = SOH ’ = 60◦ ⇒ 4ABC là tam giác 4ABC cân B có BAC √ √ a a a Do đó OC = ; OH = và OD = a 4SOH vuông H ⇒ SH = OH · tan 60◦ = 3a Trong (SBD), kẻ OE k SH ⇒ OE = A D H O B C Ta có OE, OC, OD đôi vuông góc Do đó √ 1 1 3a = + + ⇒ d(O, (SCD)) = d2 (O, (SCD)) OC OD2 OE 28 3a Mà d(B, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) nên d(B, (SCD)) = √ Chọn đáp án A ABCD.A0 B C D0 Câu 202 Cho hình lập phương (A0 BD) √ theo a √ a A B a 3 Th.s Nguyễn Chín Em cạnh a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng √ C 2a 500 √ a D https://emncischool.wixsite.com/geogebra (504) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD Kẻ ® AH ⊥ A0 O (1) AO ⊥ BD (ABCD là hình vuông tâm O) Vì AA0 ⊥ BD (AA0 ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (A0 AO) ⇒ AH ⊥ BD (2) Từ (1) và (2), suy AH ⊥ (A0 BD) √ a Khi đó d(A, (A BD)) = AH Ta có AO = Xét 4A AO vuông A, AH là đường cao A B O D C H √ 1 1 a = 2+ = + = ⇒ AH = AH AA AO2 a a a √ a Vậy d(A, (A BD)) = AH = B0 A0 D0 C0 Chọn đáp án A √ Câu 203 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a 3; SA vuông góc với đáy, SA = 2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ 2a a a 2a A √ B √ C √ D √ 7 19 19 -Lời giải Kẻ AE®⊥ BC E ; AH ⊥ SE H AE ⊥ BC Ta có: ⇒ BC ⊥ (SAE) ⇒ BC ⊥ AH SA ⊥ BC Suy ra: AH ⊥ (SBC) hay AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 1 Tam giác ABC vuông A nên ta có: = + AE AB AC Tam giác SAE vuông A nên ta có: AH = = = = 1 + AE AS 1 + + 2 AB AC AS 1 + + a2 3a2 4a2 19 12a2 S H A C E B √ 2a Suy AH = √ 19 Chọn đáp án D Câu 204 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) 45◦ Gọi M là trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) √ √ √ √ a 1513 2a 1315 a 1315 2a 1513 A d = B d = C d = D d = 89 89 89 89 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 501 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (505) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S M B H A N K C L J D Gọi N là trung điểm AB Vì tam giác SAB cân S nên SN ⊥ AB Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với theo giao tuyến AB nên suy SN ⊥ (ABCD) CN là hình chiếu vuông góc SC lên (ABCD) ’ = 45◦ ⇒ Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là SCN … √ √ 17 a a 4SN C vuông cân N nên SN = N C = BC + BN = 4a2 + = SM d(M, (SAC)) = = (1) M là trung điểm SD ⇒ d(D, (SAC)) SD Gọi K là tâm ABCD; J = N D ∩ AK Khi đó J là trọng tâm 4ABD d(N, (SAC)) JN Suy = = (2) d(D, (SAC)) JD Từ (1) và (2) ta có d(M, (SAC)) = d(N, (SAC)) Gọi L là hình chiếu vuông góc N lên AK; H là hình chiếu vuông góc N lên SL Mà AK ⊥ (SN L), (SN L) ⊃ N H ( Vì AK ⊥ SN , AK ⊥ N L) và N H ⊥ SL Từ đó ta có N H ⊥ (SAC) ⇒ d(N, (SAC)) = N H 4ALN và 4ABC là hai tam giác đồng dạng nên a · 2a NL a AN AN · BC =√ = ⇔ NL = = √2 BC AC AC a2 + 4a2 √ 1 89 1513 4SN L vuông N ⇒ = + = + = ⇒ NH = a 2 2 SN NL 17a a 17a 89 √N H a 1513 Vậy d(M, (SAC)) = 89 Chọn đáp án A ’= Câu 205 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cân, với AB = AC = 1, BAC ◦ 0 120 , cạnh bên AA = Tính khoảng cách d hai đường thẳng BC và AB A d = √ B d = √ C d = √ D d = √ 17 17 17 17 -Lời giải ’ = AT ’ Trong mặt phẳng (ABC), vẽ hình thang vuông ACBT (CBT B = 90◦ ) Suy C0 B0 ’ = 30◦ BAT Trong mặt phẳng (B BT ), vẽ BH ⊥ B T H A0 Ta có AT ⊥ BT và AT ⊥ BB nên AT ⊥ (B BT ) Ta có BH ⊥ B T và BH ⊥ AT nên BH ⊥ (B AT ) H Ta có BC k AT , suy BC k (B AT ) C B A Suy d = d(BC, AB ) = d[BC, (B AT )] = d[B, (B AT )] T = BH 4ABT vuông T có BT = AB · sin 30◦ = 1 4B BT vuông B và đường cao BH có = + ⇒ d = BH = √ BH BB 02 BT 17 Th.s Nguyễn Chín Em 502 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (506) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án D ’ = 60◦ , Câu 206 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, đáy ABC là tam giác vuông B có BAC AC = a.√Tính khoảng cách từ điểm√B đến (SAC) √ √ a a a a B C D A 3 -Lời giải ’=a AB = AC cos BAC 2√ Do 4ABC vuông B nên S BC = AC sin BAC ’=a Gọi H là hình chiếu B xuống AC, ta có ® BH ⊥ AC ⇒ BH ⊥ (SAC) SA ⊥ BH (do SA ⊥ (ABC)) √ a a √ · AB · BC a 2 Vậy d[B, (SAC)] = BH = = = AC a H A C ◦ 60 B Chọn đáp án C Câu 207 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a Tính khoảng cách hai đường chéo SC và BD √ √ a a a A B a C √ D -Lời giải Do BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC) Suy BD ⊥ SC S Trong mặt phẳng (SAC) gọi K là hình chiếu O lên SC Khi đó d(BD, SC) = OH Gọi H là trung điểm SC Xét tam giác HOC ta có: 1 a = + = + = ⇒ OK = √ 2 OK OH OC a a a H D K A O B C Chọn đáp án C Câu 208 Cho hình chóp S.ABCD √ có đáy là hình thoi ABCD có SO vuông góc với đáy và O là giao điểm AC và BD Giả sử SO = 2, AC = Gọi M là trung điểm SC Khoảng cách từ S đến mặt √ a a phẳng (M OB) là vơi là phân số tối giản Tính a + b b b A B C D -Lời giải Gọi K là trung điểm OC Suy M K ⊥ (ABCD) S Kẻ KH ⊥ OM với H ∈ OM , suy HK ⊥ (M OB) Ta có d (S, (M OB)) = d (C, (M OB)) = 2d (K, (M OB)) M √ = 2KH √ H Mặt khác OK = 1, M H = Do đó HK = D √ C Vậy d (S, (M OB)) = Do đó a + b = K O A Th.s Nguyễn Chín Em 503 B https://emncischool.wixsite.com/geogebra (507) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 209 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC = 2a, BD = 4a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AD và SC √ √ √ √ 2a3 15 2a 4a 1365 a 15 A B C D 91 -Lời giải Gọi O = AC ∩ BD, H là trung điểm AB, S suy SH ⊥ AB Do AB = (SAB) ∩ (ABCD) và (SAB) ⊥ (ABCD), nên SH ⊥ (ABCD) AC 2a BD 4a +) Ta có OA = = = a, OB = = = 2a 2 √ √ √ 2 2 AB = OA + OB = a + 4a = a √ AB +) SH = 1 SABCD = AC · BD = 2a · 4a = 4a2 2 D A K H B O E C Vì BC k AD nên AD k (SBC) ⇒ d (AD, SC) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC)) Do H là trung điểm AB và B = AH ∩ (SBC), nên d (A, (SBC)) = 2d (H, (SBC)) Kẻ HE ⊥ BC, H ∈ BC, SH ⊥ BC, nên BC ⊥ (SHE) Kẻ HK ⊥ SE, K ∈ SE, ta có BC ⊥ HK ⇒ HK ⊥ (SBC) √⇒ HK = √ d (H, (SBC)) 1 91 2a 15 2a 1365 = + = 2+ = ⇒ HK = √ = HK HE SH 4a √15a2 60a2 91 91 4a 1365 Vậy d (AD, SC) = 2HK = 91 Chọn đáp án C Câu 210 Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB và tam giác ABC là các tam giác cạnh a Mặt phẳng SAB vuông góc với đáy Khoảng cách từ B đến (SAC) là √ √ √ a 15 a a 10 A B C D a -Lời giải Gọi I, E, H là trung điểm AC, AI, AB ® S SH ⊥ AC Ta có SH ⊥ (ABC) ⇒ ⇒ AC ⊥ (SHE) HE ⊥ AC Trong (SHE) kẻ HK ⊥ SE K Ta √ HK ⊥ (SAC) 1 a 15 Ta có = + ⇒ HK = K HK HE HS 10 √ a 15 Ta có d(B; (SAC)) = 2d(H; (SAC)) = A H B E I C Chọn đáp án A Câu 211 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a a a 21 a 15 A B C D 7 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 504 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (508) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a Gọi M là trung điểm BC Suy AM = Kẻ AH ⊥ SM Ta lại có BC ⊥ AM và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAM ), suy S (1) BC ⊥ AH (2) H A Từ (1), (2) suy AH ⊥ (SBC) Do đó khoảng cách từ A đến (SBC) là AH C M B 1 1 Tam giác SAM vuông A có = + = + = 2 2 SA AM a 3a 3a √ AH a 21 Vậy d(A, (SBC)) = AH = Chọn đáp án C Câu 212 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật Biết AB = 4a, AD = 3a,√SB = 5a Tính khoảng√cách từ điểm C đến mặt phẳng √ (SBD) √ 12 41a 41a 12 61a 61a A B C D 41 12 61 12 -Lời giải Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD S Vì O là trung điểm AC nên d(C; (SBD)) = d(A; (SBD)) Kẻ AK®⊥ OD K và AH ⊥ SK H BD ⊥ AK ⇒ BD ⊥ (SAK) ⇒ BD ⊥ AH Ta có BD ⊥ SA Khi đó AH ⊥ (SBD) ⇒ d(A; (SBD)) = AH Tam giác SAB vuông A ⇒ SA2 = SB − AB = 25a2 − 16a2 = 9a2 H 5a 3a D A 4a K O B C 1 1 25 Tam giác ABD vuông A có AK là đường cao ⇒ = + = + = 2 2 AK AB AD 16a 9a 144a2 1 1 25 41 Tam giác SAK vuông A ⇒ = + = 2+ = 2 2 AH SA AK 9a 144a 144a2 √ 12a 41 ⇒ AH = 41 Chọn đáp án A Câu 213 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A0 BD)√bằng √ √ A B C D 3 -Lời giải Đặt h = d(A, (A0 BD)) A0 B0 Tứ diện A.A0 BD có AA0 , AB, AD vuông góc với đôi nên ta có √ D0 C0 1 1 = + + =3⇒h= h2 AA02 AB AD2 A D Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em B C 505 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (509) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 214 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = a, AA0 = 2a Khoảng cách AB và CC √ √ √ a 2a D A B a C a -Lời giải Do CC k (AA0 B B) nên C0 A0 d(AB , CC ) = d(CC , (AA0 B B)) = d(C, (AA0 B B)) Gọi H là trung điểm AB Do 4ABC nên CH ⊥ AB (1) B0 Mặt khác, AA0 ⊥ (ABC) nên CH ⊥ AA0 (2) B B) Từ (1) và (2) suy CH ⊥ (AA√ a Vậy d(C, (AA0 B B)) = CH = A C H B Chọn đáp án D Câu 215 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B với AB = BC = a, AD = 2a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AC và SD.√ √ √ √ 6a 6a 6a 3a A B C D 3 -Lời giải Gọi I là trung điểm cạnh AD S ∆ABC vuông cân B, ∆ICD vuông cân I và có AC = √ IC = a nên AC = CD = a Khi đó AC + CD2 = AD2 nên ∆ACD vuông cân C Trong (ABCD), dựng hình vuông ACDE Trong ∆SAE kẻ AH ⊥ ® SE (1) H AD ⊥ SA Ta có ⇒ ED ⊥ (SAE) ⇒ ED ⊥ AH (2) ED ⊥ AE Từ (1) và (2) suy AH ⊥ (SDE) E Vì AC k ED nên d[AC, SD] = d[AC, (SDE)] = d[A, (SDE)] = D AH A I B C Trong ∆SAE, √ √ 1 SA · AE a·a 6a = + ⇔ AH = √ =q = Ä ä 2 √ 2 AH SA AE SA + AE a2 + a √ Vậy d[AC, SD] = 6a Chọn đáp án C Câu 216 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh AB = Khoảng cách hai mặt phẳng (B CD0 ) và (A0 BD) √ √ √ √ A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 506 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (510) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có (B CD0 ) k (A0 BD) Do đó d (B CD0 ), (A0 BD) = d(C, (A0 BD)) = d(A, (A0 BD)) A0 B0 C0 D0 = AH H A B I D C Xét tứ diện ABDA0 ta có 1 1 = + + = = AH AB AD2 AA02 3 √ √ Suy AH = Vậy d ((B CD0 ), (A0 BD)) = Chọn đáp án C Câu 217 Cho tứ diện ABCD có AB = 5, các cạnh còn lại Khoảng cách hai đường thẳng AB và CD √ √ √ √ 3 A B C D 3 2 -Lời giải Gọi I, J là trung®điểm AB, CD Ta có 4ABC và 4ABD lần A CI ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (ICD) lượt cân C, D Do đó DI ⊥ AB Ta có 4ICD cân I nên IJ ⊥ CD I Vậy IJ là đoạn vuông góc chung AB, CD nên √ d(AB, CD) = IJ 3 Do tam giác BCD cạnh nên BJ = B D 2√ √ √ 2 IJ = BJ − BI = ⇒ d(AB, CD) = IJ = J 2 C Chọn đáp án D Câu 218 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh a Khoảng cách d từ A đến mặt phẳng √ √ √ √ (A BC) a a 21 a a B d = C d = D d = A d = -Lời giải Gọi M là trung điểm BC, ta có C0 A0 ® AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (AA0 M ) AA0 ⊥ BC B0 Vậy (AA0 M ) ⊥ (A0 BC) theo giao tuyến A0 M Kẻ AH ⊥ A0 M√trong (AA0 M ), ta suy AH ⊥ (A0 BC) a Ta có AM = , xét tam giác AA0 M có √ 1 a 21 = + ⇒ AH = AH AA02 AM √ a 21 Vậy khoảng cách từ A đến (A BC) là d = H A C M B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 507 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (511) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 219 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AC và BB √ √ 2a a a a A D √ B C √ 5 -Lời giải Gọi M là trung điểm AC A0 C0 Vì 4ABC nên BM ⊥ AC B0 Vì ABC.A0 B C là lăng trụ đứng nên BM ⊥ BB Vậy BM là đoạn vuông góc chung √ BB và AC a Suy d(BB , AC) = BM = M A C B Chọn đáp án B ’ = 120◦ Câu 220 Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA ⊥ (ABC) Biết AB = BC = 2a, ABC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a 3a A 2a B C a D 2 -Lời giải Qua A kẻ AD ⊥ BC D và kẻ AH ⊥ SD H S Suy AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH √ ’ = 2a · sin 60◦ = a Ta có AD = AB · sin ABD Tam giác SAD vuông A, đường cao AH nên √ AD · AS 3a2 3a AH = √ =√ = AD2 + AS 9a2 + 3a2 H A C B D Chọn đáp án D Câu 221 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a Khoảng cách SC và AB √ √ √ √ 2a a a 2a A B C D 15 15 -Lời giải Ta có AB k CD ⇒ AB k (SCD) Do đó khoảng cách SC S và AB khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Vì O là trung điểm AC nên d [A; (SCD)] = 2d [A; (SCD)] Gọi M là trung điểm®CD, H là hình chiếu O trên đường CD ⊥ OM thẳng SM Khi đó từ ⇒ CD ⊥ (SOM ) ⇒ OH ⊥ CD ⊥ SO CD H A D M O B ® Từ OH ⊥ CD OH ⊥ SM C ⇒ OH ⊥ (SCD) Do đó d [O; (SCD)] = OH Th.s Nguyễn Chín Em 508 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (512) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Xét 4SOM vuông O, có SO = a, OM = Chương - Hình học 11 a Do đó √ 1 1 a = + = + 2 = ⇒ OH = a OH SO2 OM a a √ 2a Vậy d [SC; AB] = 2OH = Chọn đáp án D Câu 222 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vuông góc ’ = 60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SO với đáy √ và SBD √ √ √ a a a a A B C D 5 -Lời giải √ Đáy là hình vuông cạnh a nên ta có AC = BD = a S ◦ ’ Tam giác SBD cân S và có √ góc SBD = 60 đó tam giác SBD ⇒ SB = SD = BD = a 2.√ Xét 4SAB vuông A: SA = SB − AB = a Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC H E và F (E, F là trung điểm AD và BC) E D A O B ® F C AB k EF ⇒ AB k (SEF ) ⇒ d(AB; SO) = d(AB; (SEF )) = d(A; (SEF )) EF ⊂ (SEF ) Kẻ AH ⊥ SE (1) Ta có EF ⊥ (SAD) ⇒ EF ⊥ AH (2) Từ (1) và (2), suy AH ⊥ (SEF ) ⇒ d(A; (SEF )) = AH √ 1 1 a 5 = + = + 2 = ⇒ AH = Xét 4SAE vuông A: a AH SA2 AE a a Ta có Chọn đáp án B Câu 223 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB và BC √ √ √ √ a a A a B a C D -Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z Ta có A(0; 0; 0), B (a; 0; a), B(a; 0; 0), C (a; a; a) # »0 # »0 Suy AB D0 î # »= #(a;»0; ó a), BC = (0; a;a).# » A Khi đó AB , BC = −a2 ; −a2 ; a2 , AB = (a; 0; 0) î # » # »ó # » B0 C0 AB , BC · AB a Vậy d(AB , BC ) = =√ î # » # »ó AB , BC A x Chọn đáp án C B D y C Câu 224 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), góc đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và SB Th.s Nguyễn Chín Em 509 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (513) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ √ a a 15 a A B C -Lời giải ’ = 60◦ Ta có (SB, (ABC)) = (SB, AB) = SBA √ ’ = a Trong 4SAB vuông A có SA = AB · tan SBA √ a Gọi O là trung điểm AC, ta có BO ⊥ AC và BO = Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, đó Oz k SA Ta có Ç √ å a a a √ a A 0; − ; , C 0; ; , S 0; − ; a , B ; 0; 2 2 D 2a S z A O 60◦ C y B x Ç √ å Ç √ å √ a a a a # » ; ; −a , AB = ; ;0 2 2 î # » # »ó # » Ç √ √ å AC, SB · AB î # » # »ó √ a 15 a = Do đó AC, SB = −a 3; 0; − Vậy d(AC, SB) = î # » # »ó AC, SB # » # » Suy AC = (0; a; 0), SB = Chọn đáp án B Câu 225 Cho tam giác ABC có cạnh 3a Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a Dựng đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là √ √ 21 21 A 3a B a C a D a 7 -Lời giải Ta có S CA 3 d (C, (SAB)) = = ⇒ d (C, (SAB)) = d (H, (SAB)) d (H, (SAB)) HC 2 Gọi K và M là hình chiếu vuông góc H trên AB và SK Khi ® đó HM ⊥ SK ⇒ HM ⊥ (SAB) ⇒ HM = d (H, (SAB)) HM ⊥ AB Tam giác AKH vuông K nên √ HK = AH · sin 60◦ = 2a · sin 60◦ = a M C B H K A Tam giác SHK vuông H, ta có √ 1 SH · HK 2a 21 = + ⇔ HM = √ = HM SH HK SH + HK √ 3a 21 Vậy d (C, (SAB)) = d (H, (SAB)) = Chọn đáp án D ’ = SCA ’ = 90◦ Biết góc Câu 226 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và SBA ◦ đường thẳng SA và mặt phẳng ABC 45 Khoảng cách hai đường thẳng SB và AC là √ √ √ √ 13 51 39 A a B a C a D a 13 17 13 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 510 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (514) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc S lên AM Dựng hình thoi ABDC ’ = SCA ’ ⇒ 4SBA = 4SCA ⇒ Vì AB = AC, SBA SB = SC ⇒ ∆SBC cân S ⇒ SM ⊥BC Vì 4ABC nên AM ⊥BC nên BC⊥(SAM ) ⇒ BC⊥SH Mà SH⊥AM ⇒ SH⊥(ABC) Khi đó góc đường thẳng SA và mặt phẳng ABC ’ = 45◦ SAM S K C A O H B I √ Gọi SH = x Vì 4SAH vuông cân H nên AH = x ⇒ SA = x Ç √ å2 √ a a 3 ⇒ SM = SH + HM = x2 + x − Ta lại có HM = x − 2 Ç √ å2 a2 a 2 2 + ⇒ SB = SM + BM = x + x − Ç Ç √ å2 √ å2 a2 a 5a2 a 2 2 2 +a =x + x− Ta có: SA = SB + BA = x + x − + + 4 Từ (1) và (2) suy D (1) (2) √ å2 a 5a2 x + x− = 2x2 + √ ⇔ −2xa + 2a2 = √ ⇔ x= a √ √ √ 3 Từ đó suy AH = a > AM = a ⇒ HM = AH − AM = a = AM Do đó chứng tỏ H là trọng tâm 4BCD Kẻ HI ⊥ BD ⇒ I là trung điểm canh√BD, kẻ HK ⊥ SI ⇒ HK = d(H, (SBD)) a a Ta có HI = ID tan 45◦ = · √ = √ 1 36 51 51 Suy = + = 2+ = ⇒ HK = a HK HI HS 3a 12a2 4a 51 Vì AC k BD suy Ç d(SB, AC) = d(AC, (SBD)) = d(A, (SBD)) = 3d(H, (SBD)) √ 51 a = 3· √ 51 51 = a 17 √ 51 Vậy d(SB, AC) = a 17 Chọn đáp án B Câu 227 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ABCD Góc SC và mặt phẳng đáy 45◦ Gọi E hai đường √ thẳng DE và SC √ a a 38 A B C 19 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 511 vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy là trung điểm BC Tính khoảng cách √ a √ a 38 D 19 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (515) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dựng hình bình hành CEDF , ta có: DE k CF ⇒ DE k (SCF ) Do đó d(DE, SC) = d(D, (SCF )) d(D, (SCF )) FD Lại có AD ∩ (SCF ) = F nên = = d(A, (SCF )) FA Suy d(DE, SC) = d(, (SCF )) S H A D K B E F C ’ = 45◦ Ta có SA ⊥ (ABCD) nên (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = SCA √ ’ = a ⇒ SA = AC tan SCA Kẻ AK ⊥ CF K, AH ⊥ SK H Ta chứng minh AH ⊥ (SCF ) hay √d(A, (SCF )) = AH √ a Ta có CF = DE = DC + CE = √ 1 AF · CD 3a S4ACF = CD · AF = AK · CF Suy AK = = 2 √ CF 1 3a 38 Xét 4SAK có = + ⇒ AH = AH AS AK √ 19 1 a 38 Vậy d(DE, SC) = d(A, (SCF )) = AH = 3 19 Chọn đáp án D √ Câu 228 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi M là điểm trên đoạn SD cho M D = 2M S Khoảng cách hai đường thẳng AB và CM √ √ √ a a 3a 2a A B C D 4 -Lời giải Do AB k CD ⇒ AB k (SCD) ⇒ d(AB, CM ) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) Gọi H®là hình chiếu vuông góc A trên SD CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH Ta có CD ⊥ SA ® AH ⊥ SD Vì ⇒ AH ⊥ (SCD) AH ⊥ CD ⇒ d(A, (SCD)) = AH √ 1 a = + ⇒ AH = AH AS AD2 S M H B A D Chọn đáp án A C Câu 229 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên a Tính khoảng cách từ A đến (SCD) √ √ √ √ a a a a A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 512 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (516) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S H A D M O B C Gọi O là tâm mặt đáy Vẽ OM ⊥ CD M và kẻ OH ⊥ SM H Khi đó ® CD ⊥ OM ⇒ CD ⊥ (SOM ) ⇒ CD ⊥ OH CD ⊥ SO mà OH ⊥ SM (theo cách vẽ) nên OH ⊥ (SCD) ⇒ d(O, (SCD)) = OH CA Ta lại có = nên CO d(A, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) = 2OH Do tam giác SOM vuông O có đường cao OH nên 1 1 = + = + = OH OS OM SA2 − AO2 a2 √ a + = ⇒ OH = a a a2 a2 − √ a Vậy d(A, (SCD)) = Chọn đáp án A Câu 230 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, AB = AC = a, I là trung điểm SC; hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H BC; mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc bằng√60◦ Tính khoảng cách từ√I đến mặt phẳng (SAB) √ theo a √ a a a a A B C D -Lời giải Từ H vẽ HN ⊥ AB và HK ⊥ SN S Ta có AB ⊥ N H và AB ⊥ SH nên AB ⊥ (SN H) Suy HK ⊥ AB Ta lại có HK ⊥ SN nên HK ⊥ (SAB) Vậy d(H, (SAB)) = HK I Mặt khác (SAB) ∩ (ABC) = AB và SN ⊥ AB, N H ⊥ AB ’ K nên ((SAB); (ABC)) = SN H = 60◦ SC 1 A C Ta có = ⇒ d(I, (SAB)) = · d(C, (SAB)) SI 2 CB và = ⇒ d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)) HB N H B 1 ÷ Ta có d(I, (SAB)) = · d(C, (SAB)) = · 2d(H, (SAB)) = HK = HN · sin HN K = AC sin 60◦ √ 2 a Suy d(I, (SAB)) = Chọn đáp án A Câu 231 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, 4SAB vuông cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H, M là trung điểm AB và CD Biết khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SHM ) a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Th.s Nguyễn Chín Em 513 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (517) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ 2a a a A B C 5 -Lời giải Do (SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB và SH ⊥ AB nên SH ⊥ (ABCD) Ta có ® BH ⊥ SH ⇒ BH ⊥ (SHM ) BH ⊥ HM √ 2a D S K Từ giả thiết suy d(B, (SHM )) = BH = a Mặt khác, AH k (SCD) ⇒ d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) D A M H C B Kẻ HK ⊥ SM K Ta có CD k BH và BH ⊥ (SHM ) nên CD ⊥ (SHM ), suy CD ⊥ HK Từ đó suy HK ⊥ (SCD) Xét tam giác vuông SHM , có SH = BH = a, HM = 2HB = 2a Suy √ SH · HM 2a a · 2a d(H, (SCD)) = HK = √ = =p SH + HM a2 + (2a)2 √ 2a Vậy d(A, (SCD)) = Chọn đáp án D ’ = 60◦ Hình chiếu đỉnh S Câu 232 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm 4ABC Góc tạo hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) là 60◦ Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) 3a 3a 9a a A √ B √ C √ D √ 7 7 -Lời giải Gọi ® O là tâm ABCD, H là trọng tâm 4ABC Ta có S SH ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AC (định lý đường vuông góc) E HO ⊥ AC ¤ ’ = 60◦ Khi đó ((SAC), (ABCD)) = SOH ’ = 60◦ ⇒ 4ABC là tam giác 4ABC cân B có BAC √ √ a a a Do đó OC = ; OH = và OD = a 4SOH vuông H ⇒ SH = OH · tan 60◦ = 3a Trong (SBD), kẻ OE k SH ⇒ OE = A D H O B C Ta có OE, OC, OD đôi vuông góc Do đó √ 1 1 3a = + + ⇒ d(O, (SCD)) = d2 (O, (SCD)) OC OD2 OE 28 3a Mà d(B, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) nên d(B, (SCD)) = √ Chọn đáp án A ABCD.A0 B C D0 Câu 233 Cho hình lập phương (A0 BD) √ theo a √ a A B a 3 Th.s Nguyễn Chín Em cạnh a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng √ C 2a 514 √ a D https://emncischool.wixsite.com/geogebra (518) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD Kẻ ® AH ⊥ A0 O (1) AO ⊥ BD (ABCD là hình vuông tâm O) Vì AA0 ⊥ BD (AA0 ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (A0 AO) ⇒ AH ⊥ BD (2) Từ (1) và (2), suy AH ⊥ (A0 BD) √ a Khi đó d(A, (A BD)) = AH Ta có AO = Xét 4A AO vuông A, AH là đường cao A B O D C H √ 1 1 a = 2+ = + = ⇒ AH = AH AA AO2 a a a √ a Vậy d(A, (A BD)) = AH = B0 A0 D0 C0 Chọn đáp án A √ Câu 234 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a 3; SA vuông góc với đáy, SA = 2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ 2a a a 2a A √ B √ C √ D √ 7 19 19 -Lời giải Kẻ AE®⊥ BC E ; AH ⊥ SE H AE ⊥ BC Ta có: ⇒ BC ⊥ (SAE) ⇒ BC ⊥ AH SA ⊥ BC Suy ra: AH ⊥ (SBC) hay AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 1 Tam giác ABC vuông A nên ta có: = + AE AB AC Tam giác SAE vuông A nên ta có: AH = = = = 1 + AE AS 1 + + 2 AB AC AS 1 + + a2 3a2 4a2 19 12a2 S H A C E B √ 2a Suy AH = √ 19 Chọn đáp án D Câu 235 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) 45◦ Gọi M là trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) √ √ √ √ a 1513 2a 1315 a 1315 2a 1513 A d = B d = C d = D d = 89 89 89 89 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 515 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (519) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S M B H A N K C L J D Gọi N là trung điểm AB Vì tam giác SAB cân S nên SN ⊥ AB Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với theo giao tuyến AB nên suy SN ⊥ (ABCD) CN là hình chiếu vuông góc SC lên (ABCD) ’ = 45◦ ⇒ Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là SCN … √ √ 17 a a 4SN C vuông cân N nên SN = N C = BC + BN = 4a2 + = SM d(M, (SAC)) = = (1) M là trung điểm SD ⇒ d(D, (SAC)) SD Gọi K là tâm ABCD; J = N D ∩ AK Khi đó J là trọng tâm 4ABD d(N, (SAC)) JN Suy = = (2) d(D, (SAC)) JD Từ (1) và (2) ta có d(M, (SAC)) = d(N, (SAC)) Gọi L là hình chiếu vuông góc N lên AK; H là hình chiếu vuông góc N lên SL Mà AK ⊥ (SN L), (SN L) ⊃ N H ( Vì AK ⊥ SN , AK ⊥ N L) và N H ⊥ SL Từ đó ta có N H ⊥ (SAC) ⇒ d(N, (SAC)) = N H 4ALN và 4ABC là hai tam giác đồng dạng nên a · 2a NL a AN AN · BC =√ = ⇔ NL = = √2 BC AC AC a2 + 4a2 √ 1 89 1513 4SN L vuông N ⇒ = + = + = ⇒ NH = a 2 2 SN NL 17a a 17a 89 √N H a 1513 Vậy d(M, (SAC)) = 89 Chọn đáp án A ’= Câu 236 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cân, với AB = AC = 1, BAC ◦ 0 120 , cạnh bên AA = Tính khoảng cách d hai đường thẳng BC và AB A d = √ B d = √ C d = √ D d = √ 17 17 17 17 -Lời giải ’ = AT ’ Trong mặt phẳng (ABC), vẽ hình thang vuông ACBT (CBT B = 90◦ ) Suy C0 B0 ’ = 30◦ BAT Trong mặt phẳng (B BT ), vẽ BH ⊥ B T H A0 Ta có AT ⊥ BT và AT ⊥ BB nên AT ⊥ (B BT ) Ta có BH ⊥ B T và BH ⊥ AT nên BH ⊥ (B AT ) H Ta có BC k AT , suy BC k (B AT ) C B A Suy d = d(BC, AB ) = d[BC, (B AT )] = d[B, (B AT )] T = BH 4ABT vuông T có BT = AB · sin 30◦ = 1 4B BT vuông B và đường cao BH có = + ⇒ d = BH = √ BH BB 02 BT 17 Th.s Nguyễn Chín Em 516 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (520) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án D ’ = 60◦ , Câu 237 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, đáy ABC là tam giác vuông B có BAC AC = a.√Tính khoảng cách từ điểm√B đến (SAC) √ √ a a a a B C D A 3 -Lời giải ’=a AB = AC cos BAC 2√ Do 4ABC vuông B nên S BC = AC sin BAC ’=a Gọi H là hình chiếu B xuống AC, ta có ® BH ⊥ AC ⇒ BH ⊥ (SAC) SA ⊥ BH (do SA ⊥ (ABC)) √ a a √ · AB · BC a 2 Vậy d[B, (SAC)] = BH = = = AC a H A C ◦ 60 B Chọn đáp án C Câu 238 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a Tính khoảng cách hai đường chéo SC và BD √ √ a a a A B a C √ D -Lời giải Do BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC) Suy BD ⊥ SC S Trong mặt phẳng (SAC) gọi K là hình chiếu O lên SC Khi đó d(BD, SC) = OH Gọi H là trung điểm SC Xét tam giác HOC ta có: 1 a = + = + = ⇒ OK = √ 2 OK OH OC a a a H D K A O B C Chọn đáp án C Câu 239 Cho hình chóp S.ABCD √ có đáy là hình thoi ABCD có SO vuông góc với đáy và O là giao điểm AC và BD Giả sử SO = 2, AC = Gọi M là trung điểm SC Khoảng cách từ S đến mặt √ a a phẳng (M OB) là vơi là phân số tối giản Tính a + b b b A B C D -Lời giải Gọi K là trung điểm OC Suy M K ⊥ (ABCD) S Kẻ KH ⊥ OM với H ∈ OM , suy HK ⊥ (M OB) Ta có d (S, (M OB)) = d (C, (M OB)) = 2d (K, (M OB)) M √ = 2KH √ H Mặt khác OK = 1, M H = Do đó HK = D √ C Vậy d (S, (M OB)) = Do đó a + b = K O A Th.s Nguyễn Chín Em 517 B https://emncischool.wixsite.com/geogebra (521) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 240 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, biết SA ⊥ (ABC) và AB = 2a, AC = 3a, SA = 4a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ 2a 6a 29 12a 61 a 43 A √ B C D 29 61 12 11 -Lời giải S Gọi K, H là hình chiếu vuông góc A lên BC, SK (1) ® SA ⊥ BC Vì ⇒ BC ⊥ (SAK) ⇒ BC ⊥ AH (2) AK ⊥ BC H Từ (1), (2) ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d [A, (SBC)] = AH Xét 4SAH vuông A có √ 1 1 12a 61 = + + ⇒ AH = AH SA2 AB AC 61 A C K B Chọn đáp án C Câu 241 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ √ a a 2a a A B C D 9 -Lời giải Vì OG ∩ (SCD) = D nên d(G, (SCD)) DG = = ⇒ d(O, (SCD)) DO S d(G, (SCD)) = d(O, (SCD)) Gọi M là trung điểm CD, từ O kẻ ON ⊥ SM Khi đó SO · OM d(O, (SCD)) = ON = √ SO2 + M √ √ a a Ta có SO = SA2 − OA2 = , OM = , dó 2 √ a d(O, (SCD)) = √ √ a 2a Vậy d(G, (SCD)) = · = N B C G O A Chọn đáp án C M D Câu 242 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) 45◦ Tính khoảng cách hai đường SB và AC theo a √ √ √ a a 10 a 21 A a B C D 5 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 518 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (522) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ◦ ’ Ta có (SC; (ABCD)) √ = (SC, AC) = SCA = 45 Vậy SA = AC = a Từ B kẻ đường thẳng song song với AC, từ A kẻ đường thẳng song song với OB cắt đường thẳng trên H Khi đó d(SB, AC) = d(AC, (SHB)) = d(A; (SHB)) Vì AH k OB, HB k OA nên AH ⊥ HB Mà HB ⊥ SA nên HB ⊥ (SAH) Kẻ AK ⊥ SH, (K ∈ SH) Khi đó AK ⊥ (SHB) hay AK = d(A; (SHB)) √ √ a Ta có AH = OB = , SA = a 2 √ SA · AH a 10 Vậy AK = √ = SA2 + AH Chọn đáp án C S K H B A O D C Câu 243 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên và mặt đáy 60◦ Gọi√O là giao điểm AC và BD Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) √ a a a a A B C D 4 -Lời giải Gọi E ®là trung điểm AB S AB ⊥ OE ◦ ’ Ta có ⇒ AB ⊥ (SOE) ⇒ SEO = 60 AB ⊥ SO Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên SE H Ta có d(O, (SAB)) = OH √ a A D Ta có OH = OE sin 60◦ = E O B C Chọn đáp án A √ a 17 Hình chiếu vuông Câu 244 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SD = góc S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H đoạn thẳng AB Gọi E là trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường thẳng HE và SB √ √ √ a a a 21 a A B C D 3 -Lời giải Ta có HE k BD ⇒ HE k (SBD) S Do đó d (HE, SB) = d (HE, (SBD)) = d (H, (SBD)) Gọi O = AC ∩ BD và K là trung điểm BO, ta có ® HK ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SHK) SH ⊥ BD E I A D Gọi I là hình chiếu H trên SK, ta có H K O ® HI ⊥ SK ⇒ HI ⊥ (SBD) ⇒ d (H, (SBD)) = HI B C HI ⊥ BD √ √ √ √ √ a a 2 Ta có HK = AC = , HD = AH + AD = , SH = SD2 − HD2 = a 4 √ HS · HK a Vậy d (HE, SB) = d (H, (SBD)) = HI = √ = HS + HK Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 519 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (523) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 245 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh Khoảng cách hai đường thẳng CD0 và AB là √ √ √ C D A B -Lời giải Ta có AB k (CDD0 C ) ⇒ d(AB, CD0 ) = d(A, (CDD0 CC )) = A0 D0 B0 C0 A B D C Chọn đáp án A Câu 246 Cho hình cầu (S) có tâm I, bán kính 13 cm Tam giác (T ) với độ dài ba cạnh là 27 cm, 29 cm, 52 cm đặt không gian cho các cạnh tam giác tiếp xúc với mặt cầu (S) Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng chứa√tam giác (T ) là √ A 12 cm B cm C cm D cm -Lời giải Nửa chu vi tam giác là 27 + 29 + 52 p= = 54 Diệnp tích tam giác là S = 54 · (54 − 27) · (54 − 29) · (54 − 52) = 270 I Suy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là C 270 S = (cm) r= = M p 54 √ K Suy khoảng cách cần tìm là d = 132 − 52 = 12 (cm) T A Chọn đáp án A H B Câu lăng trụ ABC.A0 B C có đáy là tam giác ABC cân A có AB = AC = 2a; BC = √ 247 Cho khối 2a Tam giác A BC vuông cân A0 và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC) Khoảng cách hai AA0 và BC √ √ √ √ a a a A a B C D 2 -Lời giải Gọi H là trung điểm cạnh BC B0 C0 ⇒ A0 H ⊥ (ABC) ⇒ A0 H ⊥ HC ® HC ⊥ HA 4ABC cân A ⇒ AH ⊥ HC ⇒ HC ⊥ HA0 0 ⇒ HC ⊥ (A AH) ⇒ BC ⊥ (A AH) A0 Kẻ HK ⊥ A0 A (K ∈ A0 A) ⇒ BC ⊥ HK ⇒ HK là đường vuông góc chung A0 A và BC ⇒ d(A0 A, BC) = HK √ BC 4A0 BC vuông cân A0 ⇒ A0 H = = a √ √ Ta có HA = AB − BH =√ 4a2 − 3a2√= a K A0 H · HA a 3·a a HK = √ =√ = B C 2 2 A H + HA 3a + a H A Th.s Nguyễn Chín Em 520 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (524) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án D Câu 248 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với nhau, OA = a, OB = OC = 2a Gọi M là trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng OM và AB √ √ √ a 2a a A B C a D -Lời giải 4OBC vuông cân (OB = OC) có M là trung điểm BC √ OB Suy OM ⊥ BC và M B = √ = a 2 Trong mặt phẳng (OBC), vẽ hình chữ nhật OM BI Trong mặt phẳng (AOI), vẽ OH ⊥ AI H √ AO · OI a 4AOI vuông O có OH = √ = 2 AO + OI A H I O B M C Chọn đáp án D √ Câu 249 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = 3a, BC = a, 3a AA0 = Khoảng cách hai đường thẳng AC và B C 2√ √ √ 10 3 13 A a B a C a D a 20 13 -Lời giải A0 Kẻ C D k B C (D ∈ CB), từ đó thì CB k (AC D) Suy 0 0 C0 B0 d(B C, AC ) = d(CB , (AC D)) = d(C, (AC D)) Kẻ CI ⊥ AD (I ∈ AD); CK ⊥ C I (K ∈ C I) Ta có CB C D là hình bình hành ⇒ CD = C B = CB = a 4ABD vuông B, có AD = √ BA2 + BD2 = A D C B √ 12a2 + 4a2 = 4a CI CD 1 4DIC v 4DBA ⇒ = = ⇒ CI = AB = AB AD 4 Ta có K I √ 3a 1 4 16 3a = + = + = ⇒ CK = 2 02 CK CI CC 3a 9a 9a Vậy d(B C, AC ) = CK = 3a Chọn đáp án C Câu 250 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 30◦ Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a √ √ √ √ 2a 21 a 21 2a A d = a B d = C d = D d = 21 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 521 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (525) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì H là hình chiếu vuông góc S lên (ABCD) nên HD là hình chiếu vuông góc SD lên (ABCD) Vậy góc tạo SD và (ABCD) góc SD và HD chính ’ Khi đó SDH ’ = 30◦ là SDH Gọi O là giao điểm AC và BD Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên √ √ 2 a a BH = BO = · = 3 S K A H D O B C 2 1 Mặt khác BH = BO = · BD = BD 3 √3 √ 4 a 2a Suy DH = BD = BO = · = 3 3 √ √ 2a 3 2a ’ = Trong tam giác vuông SHD ta có SH = DH tan SDH · = 3 Ta có HC ⊥ AB, AB k CD nên HC ⊥ CD Lại có CD ⊥ SH Do đó CD ⊥ (SHC), suy (SHC) ⊥ (SCD) Kẻ HK ⊥ SC K Suy HK ⊥ (SCD) √ HC · SH 2a 21 Vậy d(H, (SCD)) = HK = √ = 21 HC + SH Ta lại có √ √ d(B, (SCD)) BD 3 2a 21 a 21 = = ⇒ d(B, (SCD)) = d(H, (SCD)) = · = d(H, (SCD)) DH 2 21 Chọn đáp án C ’ = 120◦ Gọi O là giao điểm AC, Câu 251 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; DAB √ a DB Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a a a a A B C D 4 -Lời giải Do DO cắt (SBC) B, suy S d(D, (SBC)) BD = = ⇒ d(D, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) d(O, (SBC)) BO Kẻ OH ⊥ BC H và OK ⊥ SH K nên OK ⊥ √ (SBC) a Do 4ABC cạnh a nên OH = OC · sin 60◦ = Do 4SOH vuông O, có OK là đường cao, ta có √ 1 16 8 a = + = + = ⇒ OK = OK OH SO2 3a 3a a √ a Vậy d(D, (SBC)) = 2OK = Chọn đáp án A K A B H O D C Câu 252 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O Biết SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a 2a 4a 3a A B C D 5 5 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 522 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (526) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có O là trung điểm AC nên d(O, (SBC)) = d(A, (SBC)) Kẻ AH ⊥ SB Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC và ABCD là hình vuông ⇒ AB ⊥ BC Từ đó suy BC ⊥ (SAB)⇒ BC ⊥ AH Từ đây ta suy AH ⊥ (SBC) ⇒ AH = d(A, (SBC)) Xét 4SAB vuông A đường cao AH có 1 1 = + = + = AH AB 2√ SA2 a 4a 4a √ 2a a ⇒ AH = Vậy d(O, (SBC)) = AH = 5 S H A B O D C Chọn đáp án A Câu 253 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) Tứ giác ABCD là Gọi H là √ hình chiếu vuông góc √ A trên SB Tính khoảng cách √ từ H đến 4a 2a 4a A B C 25 5 -Lời giải √ SA2 4a2 4a Ta có SH = = √ = SB a Kẻ HK k AB ta có d(H, (SCD)) = d(K, √ (SCD)) d(K, (SCD)) SK SH 4a √ ⇒ = = = :a 5= d(A, (SCD)) SA SB 5 Kẻ AE ⊥ SD ⇒ AE ⊥ (SCD) 2a SA2 · AD2 4a2 · a2 ⇒ d(A, (SCD)) = AE = = =√ 2 2 SA √+ AD 4a + a √5 2a 8a 8a ⇒ d(K, (SCD)) = · √ = ⇒ d(H, (SCD)) = 25 25 hình vuông cạnh a, SA = 2a (SCD) √ 8a D 25 S K E H D A B C Chọn đáp án D Câu 254 Cho tứ diện ABCD có cạnh M , N là các điểm di động trên các cạnh AB, AC cho hai mặt phẳng (DM N ), (ABC) vuông góc với Đặt AM = x, AN = y Đẳng thức nào sau đây là đúng? A xy(x + y) = B x + y = 3xy C x + y = + xy D xy = 3(x + y) -Lời giải A D I N A M C H M B N H C E B F Gọi H là trọng tâm tam giác ABC thì DH ⊥ (ABC) Mặt khác (DM N ) ⊥ (ABC) nên DH ⊂ (DM N ) và DH ⊥ M N Từ đó suy H ∈ M N Kẻ đường thẳng qua C song song với M N và cắt AB F AM AF x Ta có = ⇒ = AF ⇒ x = y · AF AN AC y IM IH Gọi I là trung điểm AB, ta có = = ⇒ M F = 2IM MF HC Th.s Nguyễn Chín Em 523 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (527) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do đó AF = AM + M F = AM + 2IM = AM + 2(AM − IA) = 3x − Suy x = y(3x − 1) ⇔ x + y = 3xy Chọn đáp án B Câu 255 Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Tính khoảng cách√d từ điểm A đến (SBC) √ a a a A d = B d = a C d = D d = 2 -Lời giải Gọi M là trung điểm SB, suy AM ⊥ SB S Mặt khác AM ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) Do đó AM ⊥ (SBC) √ a a Suy d = d(A, (SBC)) = AM = M D A a B a C Chọn đáp án D Câu 256 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình thoi cạnh a Góc đường thẳng A0 B và mặt√phẳng (ABCD) 60◦ Tính khoảng cách d giữa√đường thẳng BD và A0 C √ 3 a B d = a C d = a D d = 3a A d = 2 -Lời giải Do (ABCD) và (A0 B C D0 ) là cặp mặt phẳng song song chứa C D hai đường thẳng chéo BD và A0 C nên d = d(BD, A0 C ) = d((ABCD), (A0 B C D0 )) = AA0 √ BA = 60◦ nên AA0 = AB · tan 60◦ = a ÷ Do (A0 B, (ABCD)) = A A B C0 D0 A0 B0 Chọn đáp án D √ √ Câu 257 Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = a 2, AD = a 3, các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông là √ đỉnh A Khoảng cách √ d từ A đến mặt phẳng (BCD) √ √ a 66 a a 30 a A d = B d = C d = D d = 11 -Lời giải Kẻ AH®⊥ BC H, kẻ AK ⊥ DH K D BC ⊥ AH Ta có ⇒ BC ⊥ (AHD) ⇒ BC ⊥ AK BC ⊥ AD ® AK ⊥ BC Có ⇒ AK ⊥ (BCD) AK ⊥ HD K ⇒ AK là khoảng cách từ A đến (BCD) Xét 4ABC có 1 = + 2 AH AB AC C A H B Th.s Nguyễn Chín Em 524 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (528) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Xét 4AHD có 1 1 1 1 11 = + = + + = + + = 2 2 2 AK AD AH√ AD AB AC a 2a 3a 6a a 66 Suy d = AK = 11 Chọn đáp án A ’ = 60◦ , SA = a và SA vuông góc với Câu 258 Cho hình chóp ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD mặt phẳng đáy Gọi I là điểm thuộc cạnh BD cho ID = 3IB Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ √ 4a 21 3a 21 3a 21 2a 21 A B C D 21 28 14 21 -Lời giải Gọi N là trung điểm CD, M là hình chiếu A lên CD và H là S hình chiếu vuông góc A lên SM ◦ ’ Do ABCD √ là hình thoi và BAD = 60 nên tam giác BCD đều, a H BN = và BN ⊥ CD √ a Ta có tứ giác ABN M là hình bình hành nên AM = BN = M và AM ⊥ CD A D Mà CD®⊥ SA suy CD ⊥ (SAM ) I AH ⊥ CD N ⇒ AH ⊥ (SCD) Do đó AH ⊥ SM B C √ AS · AM a 21 Vậy d (A, (SCD)) = AH = √ = 2 AS + AM Ta có AB k (SCD) và IB ∩ (SCD) = D suy √ DI 3 3a 21 · d (B, (SCD)) = d (B, (SCD)) = d (A, (SCD)) = d (I, (SCD)) = DB 4 28 Chọn đáp án B Câu 259 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy √ và SA = a Gọi M , N lần √ lượt là trung điểm SD và√BC Khoảng cách SC√và M N a 21 a 21 a 21 a 21 A B C D 12 24 21 -Lời giải Goi H,P √ là trung điểm AD, CD S 6a MP = √ √2 21a2 5a M Ta có N P = ⇒ S4M N P = √ M N = 5a a a2 a3 Mặt khác, ta có VM.N CP = · · = A H D 24 P B N C √ 3VC.M N P a 21 Ta có M P k SC nên d(SC, M N ) = d(SC, (M N P )) = d(C, (M N P )) = = S4M N P 21 Chọn đáp án D Câu 260 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB Biết AD = CD = BC = a, AB = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBD) tạo với đáy góc 45◦ Gọi I là trung điểm AB Tính khoảng cách từ I đến (SBD) √ √ a a a a A B C D 4 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 525 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (529) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do IA = ID = IC = IB ⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD ⇒ 4ABD vuông D Mặt khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ góc (SBD) và (ABCD) là góc S ’ ⇒ SDA ’ = 45◦ SDA Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD, ta có DB ⊥ (SAD) ⇒ AH ⊥ BD Suy H chính là hình chiếu vuông góc√của A lên (SBD) 2a Ta có d (A, (SBD)) = AH = AD · sin 45◦ = Suy khoảng cách từ I đến (SBD) là d (I, (SBD)) = d (A, (SBD)) = √ 2a Chọn đáp án C I A B O D C √ Câu 261 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 10, SA vuông góc với đáy và SC = 10 Gọi M, N lần SA và CD Tính khoảng cách d BD và M N √ lượt là trung điểm √ A d = B d = C d = D d = 10 -Lời giải Gọi P là trung điểm BC và E = N P ∩ AC, suy P N k S BD, nên BD k (M N P ) Do đó M d[BD, M N ] = d[BD, (M N P )] = d[O, (M N P )] = d[A, (M N P )] √ √ Ta tính SA = SC − SA2√= 10 √ 15 ⇒ M A = 3; AE = AC = Trong tam giác vuông M AE, ta có √ M A · AE AK = √ = 2 M A + AE √ Vậy d[BD, M N ] = AK = Chọn đáp án B K A D N O E B P C Câu 262 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA = a, hai √ mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng a vuông góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Tính thể tích V hình chóp S.ABC √ √ √ √ a3 a3 a3 3 A V = B V = a C V = D V = 12 -Lời giải Ta có (SAB) ⊥ (ABC) và (SAC) S ® ⊥ (ABC), suy SA ⊥ (ABC) BC ⊥ SA Gọi M trung điểm BC, ta có ⇒ BC ⊥ (SAM ) BC ⊥ AM ® AH ⊥ SM H Gọi H là hình chiếu A trên SM , ta có ⇒ AH ⊥ (SBC) AH ⊥ BC √ a A C Theo giả thiết ta có AH = M B √ 1 1 Khi đó = − = − = ⇒ AM = a AM AH AS 3a a 3a √ 2AM Vì 4ABC nên AB = √ = 2a, suy S4ABC = a2 3 Th.s Nguyễn Chín Em 526 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (530) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a3 Vậy thể tích khối chóp là V = S4ABC · SA = 3 Chọn đáp án A √ Câu 263 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = a Góc cạnh A0 B và mặt đáy là 60◦ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0 BC) √ √ √ √ a 15 a 15 a 15 a 15 B C D A -Lời giải Ta có AB là hình chiếu vuông góc A0 B trên mặt phẳng (ABC) nên A0 C0 ⁄ B; (ABC)) = (A B; AB) = ABA ÷0 ⇒ ABA ÷0 = 60◦ (A¤ B0 √ √ ÷0 = a tan 60◦ = a 15 Do đó AA0 = AB tan ABA Kẻ AH ® ⊥ A B H BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (ABB A0 ) ⇒ BC ⊥ AH Từ BC ⊥ BB H A C B A0 H Từ AH ⊥ và AH ⊥ BC suy AH ⊥ Trong tam giác A0 AB vuông A, ta có (A0 BC) Do đó d [A; (A0 BC)] = AH 1 1 = + = √ + √ = 02 AH AA AB 15a2 (a 15)2 (a 5)2 √ a 15 ⇒ AH = Vậy d [A; (A0 BC)] √ a 15 = Chọn đáp án A Câu 264 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, góc SC và mp(ABC) là 45◦ Hình chiếu S lên mp(ABC) là điểm H thuộc AB cho HA = 2HB Tính khoảng cách hai đường thẳng SA √ và BC √ √ √ a 210 a 210 a 210 a 210 A B C D 45 20 15 30 -Lời giải Dựng hình bình hành ABCD, đó ABCD là hình thoi cạnh S a và BC k AD ⇒ BC k (SAD) Do đó d (SA; BC) = d [BC; (SAD)] = d [B; (SAD)] I 3 BA = ⇒ d [B; (SAD)] = d [H; (SAD)] Từ HA 2 Ta có SH ⊥ (ABC) nên suy K A H ¤ ⁄ ’ (SC; (ABC)) = (SC; HC) = SCH D B ’ = 45◦ Suy SCH C √ a a ◦ = + + − · · a cos 60 = ⇒ HC = 3 ◦ ’ Tam √ giác SHC vuông H và SCH = 45 nên tam giác SHC vuông cân H Từ đó ta có SH = HC = a HC HB BC ’ = − 2HB · BC · cos HBC Th.s Nguyễn Chín Em a 2 527 a2 7a2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (531) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ÷ = 60◦ Do đó Kẻ HK ⊥ AD K ⇒ HAK √ 2a a ◦ ÷= HK = HA · sin HAK · sin 60 = 3 Kẻ HI ⊥ SK K, suy HI ⊥ (SAD) ⇒ d [H; (SAD)] = HI Xét tam giác SHA vuông H, ta có 1 1 30 = + = Ç √ å2 + Ç √ å2 = 2 2 HI HK SH 7a a a 3 √ a 210 ⇒ HI = 30 √ √ 210 3 a 210 Vậy d (SA; BC) = d [H; (SAD)] = HI = · = 2 30 20 Chọn đáp án B ABCD.A0 B C D0 √ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, AA = 2a Câu 265 Cho hình hộp chữ nhật Tính khoảng cách hai đường thẳng √ √ BD và CD a 2a A B C 2a 5 -Lời giải Vì CD0 k A0 B ⇒ CD0 k (A0 BD) ⇒ d [BD, CD0 ] = d [C, (A0 BD)] = d [A, (A0 BD)] = AH Xét 4A0 AI vuông A có √ 1 2a = + = ⇒ AH = AH AA02 AI 4a √ D a A B I C D H B0 A0 D0 C0 Chọn đáp án B Câu 266 Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H AD, góc SB và mặt phẳng đáy (ABCD) ◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng SD và BH theo a 45… … 2a a A a B √ C a D √ 3 -Lời giải Gọi E là trung điểm BC ⇒ ED k BH ⇒ BH k (SDE) S Ta có d(SD, BH) = d(BH, (SDE)) = d(H, (SDE)) Gọi M là tâm hình vuông HDCE, ta có DE ⊥ HM và DE ⊥ SH nên DE ⊥ (SHM ) Hai mặt phẳng (SHM ) và (SDE) vuông góc theo giao tuyến SM Gọi K là hình chiếu vuông góc H lên SM ⇒ HK ⊥ (SDE) Suy d(H, (SDE)) = HK K H D A M B √ E √ ’ = 45◦ ⇒ SH = SB = a Ta có BH = ED = a và (SB, (ABCD)) = (SB, BH) = SBH Xét 4SHM vuông H ta có … 1 1 = + = + ⇔ HK = a 2 HK HM SH 2a a Th.s Nguyễn Chín Em 528 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (532) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 267 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = Gọi M là trung điểm SD Khoảng cách từ M đến mặt phẳng √ (SBC) √ 2 A B C D 4 -Lời giải (SAB) ⊥ (ABCD) Ta có (SAC) ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ (ABCD) S (SAB) ∩ (SAC) = SA d(M, (SBC)) Vì DM ∩ (SBC) = {S} ⇒ = M d(D, (SBC)) 1 ⇔ d(M, (SBC)) = d(D, (SBC)) H Tính d(D, (SBC)) A D Vì AD k BC ⇒ AD k (SBC) ⇒ d(D, (SBC)) = d(A, (SBC)) C B Ta kẻ AH ⊥ SB (1) và chứng minh AH ⊥ (SBC) Thật ta có BC ⊥ AB BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH (2) SA ∩ AB = A √ SA · AB = Từ (1) và (2) ta có AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH = √ SA2 + AB √ Vậy d(M, (SBC)) = Chọn đáp án A √ Câu 268 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy và SB = 5a Gọi G là√trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách từ√G đến mặt phẳng (SBC)√theo a √ 57 57 57 57 A a B a C a D a 57 57 57 19 -Lời giải Ta có d(G, (SBC)) = d(A, (SBC)) S Gọi I là trung điểm BC ® BC ⊥ AI Ta có ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ (SBC) ⊥ (SAI) BC ⊥ SA Gọi H là hình chiếu A lên SI Ta có AH ⊥ (SBC) Suy d(A, (SBC)) = AH √ √ H 2 Ta có SA = SB − AB = 2a, AI = a √ A 1 1 19 57 C = + = 2+ = ⇒ AH = 2 2 AH SA AI √4a 3a 12a 19 G 57 Vậy d(G, (SBC)) = I 57 B Chọn đáp án B √ Câu 269 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = a Cạnh bên SA √ vuông góc với đáy và SA = a Tính C đến mặt phẳng (SBD) √ √ √ khoảng cách từ điểm √ a a 66 a a 33 A B C D 11 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 529 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (533) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là giao điểm AC và BD d(C, (SBD)) CO Ta có AC cắt (SBD) O nên = = d(A, (SBD)) AO Kẻ AK ⊥ BD K và AH ⊥ SK H Khi đó BD ⊥ (SAK) ⇒ AH ⊥ BD ⇒ AH ⊥ (SBD) nên ta có d(C, (SBD)) = d(A, (SBD)) = AH 1 1 1 Ta có = + và = + nên suy 2 2 AK AB AD AH SA √AK 2 1 11a a 66 = + + = ⇒ AH = 2 2 AH SA AB AD 11 S H A B K O D C Chọn đáp án B √ Câu 270 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A và BC = a Cạnh bên SC tạo với mặt đáy√ góc 60◦ và SA vuông góc với √ mặt đáy Tính khoảng cách √ từ trọng tâm 4ABC đến mặt (SBC) √ a 21 a 21 a 21 A B C D a 21 21 -Lời giải Gọi I là trung điểm 4ABC ⇒ AI ⊥ BC Vẽ AH ⊥ SI H Ta có BC ⊥ AI và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH S Mà AH ⊥ SI nên AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH IG 1 AH Ta lại có = nên d(G, (SBC)) = d(A, (SBC)) = IA 3 Mặt khác, tam giác SAI ta có √ H 1 a 21 = + ⇒ AH = AH SA2 AI √ A C a 21 Do đó d(G, (SBC)) = 21 G I B Chọn đáp án C ’ = 60◦ , SA = a và SA vuông góc với Câu 271 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD mặt phẳng O đến mặt phẳng (SBC) √ √ đáy O là tâm hình thoi√ABCD Khoảng cách từ √ a 21 a a a 21 B C D A 14 7 14 -Lời giải OC Ta có AC ∩(SBC) = C nên d[O, (SBC)] = d[A, (SBC)] = d[A, (SBC)] S AC Trong mặt phẳng (ABCD), vẽ AH ⊥ BC H Trong ® mặt phẳng (SAH) vẽ AK ⊥ SH K BC ⊥ AH K Ta có ⇒ BC ⊥ (SAH) BC ⊥ SA ® AK ⊥ SH H A Ta có ⇒ AK ⊥ (SBC) B AK ⊥ BC Suy d[A, (SBC)] = AK √ O D C a ◦ 4ABH vuông H có AH = AB sin 60 = √ 1 a 21 4SAH vuông A có = + ⇒ AK = AK √ SA2 AH a 21 Vậy d[O, (SBC)] = AK = 14 Th.s Nguyễn Chín Em 530 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (534) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A ’ = 30◦ , SA vuông góc với Câu 272 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, AB = 7, ACB mặt phẳng đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ 13 21 13 14 13 13 A B C D 13 13 13 26 -Lời giải Ta có AC là hình chiếu vuông góc SC lên (ABC) ¤ ’ = 60◦ Do đó (SC, (ABC)) = SCA S Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm 4SAB Ta có GM d(G, (SBC)) 1 = ⇒ = ⇒ d(G, (SBC)) = d(A, (SBC)) AM d(A, (SBC)) 3 Kẻ AH ⊥ BC H, ta có ® BC ⊥ AH ⇒ BC ⊥ (SAH) BC ⊥ SA Kẻ AK ⊥ SH K, ta có M G K A C H B ® AK ⊥ SH AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AK √ √ AB · AC 4ABC vuông A ⇒ AC = AB · = và AH = √ = AB + AC 4SAC vuông A ⇒ SA = AC · tan 60◦ = · =√21 SA · AH 21 13 4SAH vuông A ⇒ AK = √ = 2 13 SA + AH √ 13 Vậy d(G, (SBC)) = 13 Chọn đáp án A cot 30◦ Câu 273 Cho hình hộp đứng ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình vuông, tam giác A0 AC vuông cân, A0 C = Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD0 ) √ √ √ 6 B C D A 3 -Lời giải √ A0 C Ta có AC = AA0 = √ = 2, suy AB = B0 A0 BCD ) D0 C0 Kẻ AH ⊥ A0 B, ta chứng minh AH ⊥ (A √ AB · AA0 H Suy d(A, (BCD0 )) = AH = =√ AB A D Chọn đáp án C B C Câu 274 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC = 2a, BD = 4a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AD và SC √ √ √ √ 2a3 15 2a 4a 1365 a 15 A B C D 91 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 531 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (535) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O = AC ∩ BD, H là trung điểm AB, suy SH ⊥ AB Do AB = (SAB) ∩ (ABCD) và (SAB) ⊥ (ABCD), nên SH ⊥ (ABCD) AC 2a BD 4a +) Ta có OA = = = a, OB = = = 2a 2 √ √ √ 2 2 AB = OA + OB = a + 4a = a √ √ a 15 AB = +) SH = 2 1 SABCD = AC · BD = 2a · 4a = 4a2 2 S D A K H B O C E Vì BC k AD nên AD k (SBC) ⇒ d (AD, SC) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC)) Do H là trung điểm AB và B = AH ∩ (SBC), nên d (A, (SBC)) = 2d (H, (SBC)) Kẻ HE ⊥ BC, H ∈ BC, SH ⊥ BC, nên BC ⊥ (SHE) Kẻ HK ⊥ SE, K ∈ SE, ta có BC ⊥ HK ⇒ HK ⊥ (SBC) ⇒ HK = d (H, (SBC)) Ta có H là trung điểm AB nên 2S4ABC d(H; BC) 2a HB d(A; BC) 2a2 = = ⇒ HE = = = √ =√ d(A, BC) HA 2 2BC a 5 Xét tam giác SHE vuông H có HK là đường cao, ta có: √ √ 1 91 2a 15 2a 1365 = + = 2+ = ⇒ HK = √ = HK HE SH 4a √15a2 60a2 91 91 4a 1365 Vậy d (AD, SC) = 2HK = 91 Chọn đáp án C ’ = 30◦ , SA vuông góc với Câu 275 Cho hình chóp S.ABC có dáy là tam giác vuông A, AB = a, ACB ◦ đáy và góc mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Khoảng cách từ trọng tâm tam giác (SAB) đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a a a a A B C D 12 -Lời giải Kẻ AH ⊥ BC (trong mặt phẳng (ABC)) Khi đó vì AH ⊥ (ABC) nên SH ⊥ BC Suy góc mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy ’ = 60◦ là AHS Trong (SAH), kẻ AK ⊥ SH thì AH ⊥ (SBC) (vì BC ⊥ (SAH)) Khi đó d[A, (SBC)] = AH √ a ◦ ’ (vì tam giác Xét tam giác vuông AHK có AHS = 60 và AH = √ a AHB là nửa tam giác với cạnh huyền AB = a) Khi đó AH = d[G, (SBC)] Vì trọng tâm G tam giác SAB nên ta có = d[A, (SBC)] Vậy khoảng cách từ trọng tâm tam giác (SAB) đến mặt phẳng √ a (SBC) 12 Chọn đáp án A S G K A B H C √ Câu 276 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = 3a, BC = a, 3a AA0 = Khoảng cách hai đường thẳng AC và B C √ √ √ 10 3 13 A a B a C a D a 20 13 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 532 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (536) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A0 Kẻ C D k B C (D ∈ CB), từ đó thì CB k (AC D) Suy C0 B0 K I d(B C, AC ) = d(CB , (AC D)) = d(C, (AC D)) Kẻ CI ⊥ AD (I ∈ AD); CK ⊥ C I (K ∈ C I) Ta có CB C D là hình bình hành ⇒ CD = C B = CB = a √ C B √ 12a2 + 4a2 = 4a √ CI 3a CD 1 4DIC v 4DBA ⇒ = = ⇒ CI = AB = AB AD 4 4ABD vuông B, có AD = Ta có BA2 + BD2 = A D 1 4 16 3a = + = + = ⇒ CK = CK CI CC 02 3a 9a 9a Vậy d(B C, AC ) = CK = 3a Chọn đáp án C Câu 277 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng ◦ Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 30√ √ √ √ 2a 21 a 21 2a A d = a B d = C d = D d = 21 -Lời giải Vì H là hình chiếu vuông góc S lên (ABCD) nên HD là hình S chiếu vuông góc SD lên (ABCD) Vậy góc tạo SD và (ABCD) góc SD và HD chính ’ Khi đó SDH ’ = 30◦ là SDH Gọi O là giao điểm AC và BD Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên √ √ K A D 2 a a BH = BO = · = 3 H O B C 2 1 Mặt khác BH = BO = · BD = BD 3 √3 √ 4 a 2a Suy DH = BD = BO = · = 3 3 √ √ 2a 2a ’ Trong tam giác vuông SHD ta có SH = DH tan SDH = · = 3 Ta có HC ⊥ AB, AB k CD nên HC ⊥ CD Lại có CD ⊥ SH Do đó CD ⊥ (SHC), suy (SHC) ⊥ (SCD) Kẻ HK ⊥ SC K Suy HK ⊥ (SCD) √ HC · SH 2a 21 Vậy d(H, (SCD)) = HK = √ = 21 HC + SH Ta lại có √ √ d(B, (SCD)) BD 3 2a 21 a 21 = = ⇒ d(B, (SCD)) = d(H, (SCD)) = · = d(H, (SCD)) DH 2 21 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 533 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (537) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ’ = 120◦ Gọi O là giao điểm AC, Câu 278 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; DAB √ a DB Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a a a a A B C D 4 -Lời giải Do DO cắt (SBC) B, suy S BD d(D, (SBC)) = = ⇒ d(D, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) d(O, (SBC)) BO Kẻ OH ⊥ BC H và OK ⊥ SH K nên OK ⊥ √ (SBC) a Do 4ABC cạnh a nên OH = OC · sin 60◦ = Do 4SOH vuông O, có OK là đường cao, ta có √ 1 16 8 a = + = + = ⇒ OK = OK OH SO2 3a 3a a √ a Vậy d(D, (SBC)) = 2OK = K A B H O D C Chọn đáp án A Câu 279 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O Biết SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a 2a 4a 3a A B C D 5 5 -Lời giải Ta có O là trung điểm AC nên d(O, (SBC)) = d(A, (SBC)) Kẻ AH ⊥ SB Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC và ABCD là hình vuông ⇒ AB ⊥ BC Từ đó suy BC ⊥ (SAB)⇒ BC ⊥ AH Từ đây ta suy AH ⊥ (SBC) ⇒ AH = d(A, (SBC)) Xét 4SAB vuông A đường cao AH có 1 1 = + = + = 2 2 AH AB √ SA a 4a 4a √ 2a a Vậy d(O, (SBC)) = AH = ⇒ AH = 5 Chọn đáp án A S H A D B O C Câu 280 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SB Tính khoảng cách từ H đến (SCD) √ √ √ √ 4a 2a 4a 8a A B C D 25 5 25 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 534 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (538) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ SA2 4a2 4a Ta có SH = = √ = SB a Kẻ HK k AB ta có d(H, (SCD)) = d(K, √ (SCD)) d(K, (SCD)) SK SH 4a √ ⇒ = = = :a 5= d(A, (SCD)) SA SB 5 Kẻ AE ⊥ SD ⇒ AE ⊥ (SCD) 2a SA2 · AD2 4a2 · a2 = =√ ⇒ d(A, (SCD)) = AE = 2 2 SA √+ AD 4a + a √5 2a 8a 8a ⇒ d(K, (SCD)) = · √ = ⇒ d(H, (SCD)) = 25 25 S K E H D A B C Chọn đáp án D Câu 281 Cho tứ diện ABCD có cạnh M , N là các điểm di động trên các cạnh AB, AC cho hai mặt phẳng (DM N ), (ABC) vuông góc với Đặt AM = x, AN = y Đẳng thức nào sau đây là đúng? A xy(x + y) = B x + y = 3xy C x + y = + xy D xy = 3(x + y) -Lời giải A D I N A M C H M N H B C E F B Gọi H là trọng tâm tam giác ABC thì DH ⊥ (ABC) Mặt khác (DM N ) ⊥ (ABC) nên DH ⊂ (DM N ) và DH ⊥ M N Từ đó suy H ∈ M N Kẻ đường thẳng qua C song song với M N và cắt AB F AM AF x Ta có = ⇒ = AF ⇒ x = y · AF AN AC y IM IH Gọi I là trung điểm AB, ta có = = ⇒ M F = 2IM MF HC Do đó AF = AM + M F = AM + 2IM = AM + 2(AM − IA) = 3x − Suy x = y(3x − 1) ⇔ x + y = 3xy Chọn đáp án B Câu 282 Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Tính khoảng cách√d từ điểm A đến (SBC) √ a a a A d = B d = a C d = D d = 2 -Lời giải Gọi M là trung điểm SB, suy AM ⊥ SB S Mặt khác AM ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) Do đó AM ⊥ (SBC) √ a a Suy d = d(A, (SBC)) = AM = M D A a B Chọn đáp án D a C Câu 283 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình thoi cạnh a Góc đường thẳng A0 B và mặt phẳng (ABCD) 60◦ Tính khoảng cách d đường thẳng BD và A0 C Th.s Nguyễn Chín Em 535 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (539) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ A d = a Chương - Hình học 11 √ B d = a C d = a D d = √ 3a -Lời giải Do (ABCD) và (A0 B C D0 ) là cặp mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng chéo BD và A0 C nên d = d(BD, A0 C ) = d((ABCD), (A0 B C D0 )) = AA0 √ BA = 60◦ nên AA0 = AB · tan 60◦ = a ÷ Do (A0 B, (ABCD)) = A C D A B C0 D0 A0 B0 Chọn đáp án D √ √ Câu 284 Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = a 2, AD = a 3, các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông đỉnh A Khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (BCD) là √ √ √ √ a 66 a a 30 a A d = B d = C d = D d = 11 -Lời giải Kẻ AH®⊥ BC H, kẻ AK ⊥ DH K BC ⊥ AH Ta có ⇒ BC ⊥ (AHD) ⇒ BC ⊥ AK BC ⊥ AD ® AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ (BCD) Có AK ⊥ HD ⇒ AK là khoảng cách từ A đến (BCD) Xét 4ABC có 1 = + 2 AH AB AC D K C A H B Xét 4AHD có 1 1 1 1 11 = + = + + = + + = 2 AK AD2 AH√ AD2 AB AC a 2a 3a 6a a 66 Suy d = AK = 11 Chọn đáp án A ’ = 60◦ , SA = a và SA vuông góc với Câu 285 Cho hình chóp ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD mặt phẳng đáy Gọi I là điểm thuộc cạnh BD cho ID = 3IB Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ √ 4a 21 3a 21 3a 21 2a 21 A B C D 21 28 14 21 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 536 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (540) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi N là trung điểm CD, M là hình chiếu A lên CD và H là hình chiếu vuông góc A lên SM ◦ ’ Do ABCD √ là hình thoi và BAD = 60 nên tam giác BCD đều, a BN = và BN ⊥ CD √ a Ta có tứ giác ABN M là hình bình hành nên AM = BN = và AM ⊥ CD Mà CD®⊥ SA suy CD ⊥ (SAM ) AH ⊥ CD Do đó ⇒ AH ⊥ (SCD) AH ⊥ SM √ a 21 AS · AM = Vậy d (A, (SCD)) = AH = √ AS + AM Ta có AB k (SCD) và IB ∩ (SCD) = D suy S H M A D I B N C √ DI 3 3a 21 d (I, (SCD)) = · d (B, (SCD)) = d (B, (SCD)) = d (A, (SCD)) = DB 4 28 Chọn đáp án B Câu 286 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Gọi M , N là trung điểm SD và BC Khoảng cách SC và M N √ √ √ √ a 21 a 21 a 21 a 21 A B C D 12 24 21 -Lời giải Goi H,P √ là trung điểm AD, CD 6a MP = √ √ 21a2 5a ⇒ S4M N P = Ta có N P = √ M N = 5a a3 a a2 Mặt khác, ta có VM.N CP = · · = 24 S M A H D P B N Ta có M P k SC nên d(SC, M N ) = d(SC, (M N P )) = d(C, (M N P )) = Chọn đáp án D 3VC.M N P S4M N P C √ a 21 = 21 Câu 287 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB Biết AD = CD = BC = a, AB = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBD) tạo với đáy góc 45◦ Gọi I là trung điểm AB Tính khoảng cách từ I đến (SBD) √ √ a a a a A B C D 4 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 537 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (541) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do IA = ID = IC = IB ⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD ⇒ 4ABD vuông D Mặt khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ góc (SBD) và (ABCD) là góc S ’ ⇒ SDA ’ = 45◦ SDA Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD, ta có DB ⊥ (SAD) ⇒ AH ⊥ BD Suy H chính là hình chiếu vuông góc√của A lên (SBD) 2a Ta có d (A, (SBD)) = AH = AD · sin 45◦ = Suy khoảng cách từ I đến (SBD) là d (I, (SBD)) = d (A, (SBD)) = √ 2a Chọn đáp án C I A B O D C √ Câu 288 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 10, SA vuông góc với đáy và SC = 10 Gọi M, N lần SA và CD Tính khoảng cách d BD và M N √ lượt là trung điểm √ A d = B d = C d = D d = 10 -Lời giải Gọi P là trung điểm BC và E = N P ∩ AC, suy P N k S BD, nên BD k (M N P ) Do đó M d[BD, M N ] = d[BD, (M N P )] = d[O, (M N P )] = d[A, (M N P )] √ √ Ta tính SA = SC − SA2√= 10 √ 15 ⇒ M A = 3; AE = AC = Trong tam giác vuông M AE, ta có √ M A · AE AK = √ = 2 M A + AE √ Vậy d[BD, M N ] = AK = Chọn đáp án B K A D N O E B P C Câu 289 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA = a, hai √ mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng a vuông góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Tính thể tích V hình chóp S.ABC √ √ √ √ a3 a3 a3 3 A V = B V = a C V = D V = 12 -Lời giải Ta có (SAB) ⊥ (ABC) và (SAC) S ® ⊥ (ABC), suy SA ⊥ (ABC) BC ⊥ SA Gọi M trung điểm BC, ta có ⇒ BC ⊥ (SAM ) BC ⊥ AM ® AH ⊥ SM H Gọi H là hình chiếu A trên SM , ta có ⇒ AH ⊥ (SBC) AH ⊥ BC √ a A C Theo giả thiết ta có AH = M B √ 1 1 Khi đó = − = − = ⇒ AM = a AM AH AS 3a a 3a √ 2AM Vì 4ABC nên AB = √ = 2a, suy S4ABC = a2 3 Th.s Nguyễn Chín Em 538 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (542) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a3 Vậy thể tích khối chóp là V = S4ABC · SA = 3 Chọn đáp án A √ Câu 290 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = a Góc cạnh A0 B và mặt đáy là 60◦ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0 BC) √ √ √ √ a 15 a 15 a 15 a 15 B C D A -Lời giải Ta có AB là hình chiếu vuông góc A0 B trên mặt phẳng (ABC) nên A0 C0 ⁄ B; (ABC)) = (A B; AB) = ABA ÷0 ⇒ ABA ÷0 = 60◦ (A¤ B0 √ √ ÷0 = a tan 60◦ = a 15 Do đó AA0 = AB tan ABA Kẻ AH ® ⊥ A B H BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (ABB A0 ) ⇒ BC ⊥ AH Từ BC ⊥ BB H A C B A0 H Từ AH ⊥ và AH ⊥ BC suy AH ⊥ Trong tam giác A0 AB vuông A, ta có (A0 BC) Do đó d [A; (A0 BC)] = AH 1 1 = + = √ + √ = 02 AH AA AB 15a2 (a 15)2 (a 5)2 √ a 15 ⇒ AH = Vậy d [A; (A0 BC)] √ a 15 = Chọn đáp án A Câu 291 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, góc SC và mp(ABC) là 45◦ Hình chiếu S lên mp(ABC) là điểm H thuộc AB cho HA = 2HB Tính khoảng cách hai đường thẳng SA √ và BC √ √ √ a 210 a 210 a 210 a 210 A B C D 45 20 15 30 -Lời giải Dựng hình bình hành ABCD, đó ABCD là hình thoi cạnh S a và BC k AD ⇒ BC k (SAD) Do đó d (SA; BC) = d [BC; (SAD)] = d [B; (SAD)] I 3 BA = ⇒ d [B; (SAD)] = d [H; (SAD)] Từ HA 2 Ta có SH ⊥ (ABC) nên suy K A H ¤ ⁄ ’ (SC; (ABC)) = (SC; HC) = SCH D B ’ = 45◦ Suy SCH C √ a a ◦ = + + − · · a cos 60 = ⇒ HC = 3 ◦ ’ Tam √ giác SHC vuông H và SCH = 45 nên tam giác SHC vuông cân H Từ đó ta có SH = HC = a HC HB BC ’ = − 2HB · BC · cos HBC Th.s Nguyễn Chín Em a 2 539 a2 7a2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (543) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 ÷ = 60◦ Do đó Kẻ HK ⊥ AD K ⇒ HAK √ 2a a ◦ ÷= HK = HA · sin HAK · sin 60 = 3 Kẻ HI ⊥ SK K, suy HI ⊥ (SAD) ⇒ d [H; (SAD)] = HI Xét tam giác SHA vuông H, ta có 1 1 30 = + = Ç √ å2 + Ç √ å2 = 2 2 HI HK SH 7a a a 3 √ a 210 ⇒ HI = 30 √ √ 210 3 a 210 Vậy d (SA; BC) = d [H; (SAD)] = HI = · = 2 30 20 Chọn đáp án B ABCD.A0 B C D0 √ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, AA = 2a Câu 292 Cho hình hộp chữ nhật Tính khoảng cách hai đường thẳng √ √ BD và CD a 2a A B C 2a 5 -Lời giải Vì CD0 k A0 B ⇒ CD0 k (A0 BD) ⇒ d [BD, CD0 ] = d [C, (A0 BD)] = d [A, (A0 BD)] = AH Xét 4A0 AI vuông A có √ 1 2a = + = ⇒ AH = AH AA02 AI 4a √ D a A B I C D H B0 A0 D0 C0 Chọn đáp án B Câu 293 Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H AD, góc SB và mặt phẳng đáy (ABCD) ◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng SD và BH theo a 45… … 2a a A a B √ C a D √ 3 -Lời giải Gọi E là trung điểm BC ⇒ ED k BH ⇒ BH k (SDE) S Ta có d(SD, BH) = d(BH, (SDE)) = d(H, (SDE)) Gọi M là tâm hình vuông HDCE, ta có DE ⊥ HM và DE ⊥ SH nên DE ⊥ (SHM ) Hai mặt phẳng (SHM ) và (SDE) vuông góc theo giao tuyến SM Gọi K là hình chiếu vuông góc H lên SM ⇒ HK ⊥ (SDE) Suy d(H, (SDE)) = HK K H D A M B √ E √ ’ = 45◦ ⇒ SH = SB = a Ta có BH = ED = a và (SB, (ABCD)) = (SB, BH) = SBH Xét 4SHM vuông H ta có … 1 1 = + = + ⇔ HK = a 2 HK HM SH 2a a Th.s Nguyễn Chín Em 540 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (544) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 294 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = Gọi M là trung điểm SD Khoảng cách từ M đến mặt phẳng √ (SBC) √ 2 A B C D 4 -Lời giải (SAB) ⊥ (ABCD) Ta có (SAC) ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ (ABCD) S (SAB) ∩ (SAC) = SA d(M, (SBC)) Vì DM ∩ (SBC) = {S} ⇒ = M d(D, (SBC)) 1 ⇔ d(M, (SBC)) = d(D, (SBC)) H Tính d(D, (SBC)) A D Vì AD k BC ⇒ AD k (SBC) ⇒ d(D, (SBC)) = d(A, (SBC)) C B Ta kẻ AH ⊥ SB (1) và chứng minh AH ⊥ (SBC) Thật ta có BC ⊥ AB BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH (2) SA ∩ AB = A √ SA · AB = Từ (1) và (2) ta có AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH = √ SA2 + AB √ Vậy d(M, (SBC)) = Chọn đáp án A √ Câu 295 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy và SB = 5a Gọi G là√trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách từ√G đến mặt phẳng (SBC)√theo a √ 57 57 57 57 A a B a C a D a 57 57 57 19 -Lời giải Ta có d(G, (SBC)) = d(A, (SBC)) S Gọi I là trung điểm BC ® BC ⊥ AI Ta có ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ (SBC) ⊥ (SAI) BC ⊥ SA Gọi H là hình chiếu A lên SI Ta có AH ⊥ (SBC) Suy d(A, (SBC)) = AH √ √ H 2 Ta có SA = SB − AB = 2a, AI = a √ A 1 1 19 57 C = + = 2+ = ⇒ AH = 2 2 AH SA AI √4a 3a 12a 19 G 57 Vậy d(G, (SBC)) = I 57 B Chọn đáp án B √ Câu 296 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = a Cạnh bên SA √ vuông góc với đáy và SA = a Tính C đến mặt phẳng (SBD) √ √ √ khoảng cách từ điểm √ a a 66 a a 33 A B C D 11 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 541 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (545) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là giao điểm AC và BD d(C, (SBD)) CO Ta có AC cắt (SBD) O nên = = d(A, (SBD)) AO Kẻ AK ⊥ BD K và AH ⊥ SK H Khi đó BD ⊥ (SAK) ⇒ AH ⊥ BD ⇒ AH ⊥ (SBD) nên ta có d(C, (SBD)) = d(A, (SBD)) = AH 1 1 1 Ta có = + và = + nên suy 2 2 AK AB AD AH SA √AK 2 1 11a a 66 = + + = ⇒ AH = 2 2 AH SA AB AD 11 S H A B K O D C Chọn đáp án B √ Câu 297 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A và BC = a Cạnh bên SC tạo với mặt đáy√ góc 60◦ và SA vuông góc với √ mặt đáy Tính khoảng cách √ từ trọng tâm 4ABC đến mặt (SBC) √ a 21 a 21 a 21 A B C D a 21 21 -Lời giải Gọi I là trung điểm 4ABC ⇒ AI ⊥ BC Vẽ AH ⊥ SI H Ta có BC ⊥ AI và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH S Mà AH ⊥ SI nên AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH IG 1 AH Ta lại có = nên d(G, (SBC)) = d(A, (SBC)) = IA 3 Mặt khác, tam giác SAI ta có √ H 1 a 21 = + ⇒ AH = AH SA2 AI √ A C a 21 Do đó d(G, (SBC)) = 21 G I B Chọn đáp án C ’ = 60◦ , SA = a và SA vuông góc với Câu 298 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD mặt phẳng O đến mặt phẳng (SBC) √ √ đáy O là tâm hình thoi√ABCD Khoảng cách từ √ a 21 a a a 21 B C D A 14 7 14 -Lời giải OC Ta có AC ∩(SBC) = C nên d[O, (SBC)] = d[A, (SBC)] = d[A, (SBC)] S AC Trong mặt phẳng (ABCD), vẽ AH ⊥ BC H Trong ® mặt phẳng (SAH) vẽ AK ⊥ SH K BC ⊥ AH K Ta có ⇒ BC ⊥ (SAH) BC ⊥ SA ® AK ⊥ SH H A Ta có ⇒ AK ⊥ (SBC) B AK ⊥ BC Suy d[A, (SBC)] = AK √ O D C a ◦ 4ABH vuông H có AH = AB sin 60 = √ 1 a 21 4SAH vuông A có = + ⇒ AK = AK √ SA2 AH a 21 Vậy d[O, (SBC)] = AK = 14 Th.s Nguyễn Chín Em 542 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (546) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A ’ = 30◦ , SA vuông góc với Câu 299 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, AB = 7, ACB mặt phẳng đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ 13 21 13 14 13 13 A B C D 13 13 13 26 -Lời giải Ta có AC là hình chiếu vuông góc SC lên (ABC) ¤ ’ = 60◦ Do đó (SC, (ABC)) = SCA S Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm 4SAB Ta có GM d(G, (SBC)) 1 = ⇒ = ⇒ d(G, (SBC)) = d(A, (SBC)) AM d(A, (SBC)) 3 Kẻ AH ⊥ BC H, ta có ® BC ⊥ AH ⇒ BC ⊥ (SAH) BC ⊥ SA Kẻ AK ⊥ SH K, ta có M G K A C H B ® AK ⊥ SH AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AK √ √ AB · AC 4ABC vuông A ⇒ AC = AB · = và AH = √ = AB + AC 4SAC vuông A ⇒ SA = AC · tan 60◦ = · =√21 SA · AH 21 13 4SAH vuông A ⇒ AK = √ = 2 13 SA + AH √ 13 Vậy d(G, (SBC)) = 13 Chọn đáp án A cot 30◦ Câu 300 Cho hình hộp đứng ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình vuông, tam giác A0 AC vuông cân, A0 C = Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD0 ) √ √ √ 6 B C D A 3 -Lời giải √ A0 C Ta có AC = AA0 = √ = 2, suy AB = B0 A0 BCD ) D0 C0 Kẻ AH ⊥ A0 B, ta chứng minh AH ⊥ (A √ AB · AA0 H Suy d(A, (BCD0 )) = AH = =√ AB A D Chọn đáp án C B C Câu 301 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC = 2a, BD = 4a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AD và SC √ √ √ √ 2a3 15 2a 4a 1365 a 15 A B C D 91 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 543 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (547) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O = AC ∩ BD, H là trung điểm AB, suy SH ⊥ AB Do AB = (SAB) ∩ (ABCD) và (SAB) ⊥ (ABCD), nên SH ⊥ (ABCD) AC 2a BD 4a +) Ta có OA = = = a, OB = = = 2a 2 √ √ √ 2 2 AB = OA + OB = a + 4a = a √ √ a 15 AB = +) SH = 2 1 SABCD = AC · BD = 2a · 4a = 4a2 2 S D A K H B O C E Vì BC k AD nên AD k (SBC) ⇒ d (AD, SC) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC)) Do H là trung điểm AB và B = AH ∩ (SBC), nên d (A, (SBC)) = 2d (H, (SBC)) Kẻ HE ⊥ BC, H ∈ BC, SH ⊥ BC, nên BC ⊥ (SHE) Kẻ HK ⊥ SE, K ∈ SE, ta có BC ⊥ HK ⇒ HK ⊥ (SBC) ⇒ HK = d (H, (SBC)) Ta có H là trung điểm AB nên 2S4ABC d(H; BC) 2a HB d(A; BC) 2a2 = = ⇒ HE = = = √ =√ d(A, BC) HA 2 2BC a 5 Xét tam giác SHE vuông H có HK là đường cao, ta có: √ √ 1 91 2a 15 2a 1365 = + = 2+ = ⇒ HK = √ = HK HE SH 4a √15a2 60a2 91 91 4a 1365 Vậy d (AD, SC) = 2HK = 91 Chọn đáp án C ’ = 30◦ , SA vuông góc với Câu 302 Cho hình chóp S.ABC có dáy là tam giác vuông A, AB = a, ACB đáy và góc mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Khoảng cách từ trọng tâm tam giác (SAB) đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a a a a A B C D 12 -Lời giải Kẻ AH ⊥ BC (trong mặt phẳng (ABC)) Khi đó vì AH ⊥ (ABC) nên SH ⊥ BC Suy góc mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy ’ = 60◦ là AHS Trong (SAH), kẻ AK ⊥ SH thì AH ⊥ (SBC) (vì BC ⊥ (SAH)) Khi đó d[A, (SBC)] = AH √ a ◦ ’ Xét tam giác vuông AHK có AHS = 60 và AH = (vì tam giác √ a AHB là nửa tam giác với cạnh huyền AB = a) Khi đó AH = d[G, (SBC)] Vì trọng tâm G tam giác SAB nên ta có = d[A, (SBC)] Vậy khoảng cách √ từ trọng tâm tam giác (SAB) đến mặt phẳng a (SBC) 12 Chọn đáp án A S G K A B H C Câu 303 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ 5a 5a 2a 5a A B C D 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 544 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (548) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Trong tam giác SAB dựng AH vuông góc SB thì AH ⊥ (SBC) Do đó khoảng cách cần tìm là AH √ 1 2a Ta có = + = suy AH = AH SA2 AB 4a S A H C B Chọn đáp án A Câu 304 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng √ đáy và SA = a Khoảng cách hai đường thẳng AC và SB 6a 2a a a A B C D 3 -Lời giải S E D A B C Dựng hình bình hành ACBE ta có AC k (SBE) nên d(AC, SB) = d(A, (SBE)) = h 1 1 Do AS, AB, AE đôi vuông góc nên = + + = 2 2 h SA AB AE 4a 2a Như d(A, (SBE)) = h = Chọn đáp án B Câu 305 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ a 6a 2a A B a C D -Lời giải Gọi H là hình chiếu A lên SB S Ta có ® BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SA ® AH ⊥ SB H AH ⊥ BC (vì BC ⊥ (SAB), AH ⊂ (SAB)) ⇒ AH ⊥ (SBC) H ⇒ d(A, (SBC)) = AH Tam giác SAB vuông A có AH là đường cao nên √ SA · AB a2 a AH = √ = √ = a SA2 + AB A C B Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 545 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (549) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ Câu 306 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a √ Khoảng cách từ A đến mặt √ phẳng (SBC) √ √ 5a 3a 6a 3a A B C D -Lời ® giải BC ⊥ AB Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (SBC) S BC ⊥ SA Trong mặt phẳng (SAB), kẻ AH ⊥ SB B ∈ SB thì AH ⊥ (SBC) Suy AH = d(A; (SBC)) 1 1 4SAB có = + = + = 2 2 AH SA AB a 3a 3a √ H D 3a A Vậy d(A, (SBC)) = AH = B C Chọn đáp án B Câu 307 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với nhau, và OA = OB = a, OC = 2a Gọi M √là trung điểm AB Khoảng thẳng OM và AC √ cách hai đường √ 2a 2a 5a 2a A B C D -Lời giải Lấy điểm B đối xứng với B qua O ta có OM k AB Suy OM k (AB C) C ⇒ d(OM, AC) = d(OM, (AB C)) = d(O, (AB C)) = h Dễ thấy OA, OB , OC đôi vuông góc với đó 1 1 1 = + + = + + = 2 02 h OA OB OC a a 4a 4a 4a2 ⇒h = O 2a B B0 Vậy d(OM, AC) = h = Lưu ý: M A Với tứ diện O.ABC ban đầu có OA, OB, OC đôi vuông góc với nhau, việc giải bài toán này phương pháp toạ độ hoá là lựa chọn dễ dàng thực vớihọc sinh a a Tóm tắt: gắn hệ toạ độ để O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; 2a) ⇒ M ; ;0 2 î # » # »ó # » OM , AC · OA 2a đáp số Dùng công thức d(OM, AC) = î # » # »ó OM , AC Chọn đáp án D Câu 308 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân C, BC = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Khoảng cách √ từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ 2a a 3a A 2a B C D 2 -Lời ® giải BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) Vì S BC ⊥ SA Khi đó (SBC) ⊥ (SAC) theo giao tuyến là SC Trong (SAC), kẻ AH ⊥ SC H suy AB ⊥ (SBC) H Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) AH Ta có AC = BC = a, SA = a nên tam giác SAC vuông cân A H √ A B Suy AH = SC = a 2 C Th.s Nguyễn Chín Em 546 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (550) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B Câu 309 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với nhau, OA = a và OB = OC = 2a Gọi M √là trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng OM và AB √ √ 5a 2a 6a B a C D A -Lời giải Ta có 4OBC vuông cân O, M là trung điểm BC ⇒ A OM ⊥ BC ® OM k BN Dựng hình chữ nhật OM BN , ta có ⇒ BC ⊂ (ABN ) OM k (ABN ) C Suy d(AB, OM ) = d(OM, (ABN )) = d(O, (ABN )) Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên AN ta có ® BN ⊥ ON ⇒ BN ⊥ (OAN ) ⇒ OH ⊥ BN BN ⊥ OA Mà OH ⊥ AN ⇒ OH ⊥ (ABN ) ⇒ d(O, (ABN )) = OH Tam giác OAN vuông O, đường cao OH ⇒ OH = = ⇒ OH = H O N M B 1 1 4 + = + = + = + 2 2 2 2 OA ON OA BM OA BC OA OB + OC + = a2 4a2 + 4a2 2a √ √ a a ⇒ d(AB, OM ) = OH = 3 Chọn đáp án D Câu 310 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC = Khoảng √ cách hai đường thẳng √ OA và BC là 1 A D B C √ 2 -Lời giải Trong mặt phẳng (OBC), gọi H là hình chiếu O trên®BC O OH ⊥ OA Do nên d(OA, BC) = OH OH ⊥ BC √ Dễ có OH = BC = 2 A C H B Chọn đáp án B Câu 311 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA0 = a Gọi M, N là trung điểm AD và DC Biết hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm H AN và BM Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (A0 BN ) √ √ √ √ 3a 170 3a 175 3a 172 3a 173 A B C D 68 68 68 68 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 547 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (551) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A0 B0 D0 C0 Q A B M H D P N C Trong mặt phẳng (ABCD), gọi P là hình chiếu H trên BN Trong mặt phẳng (A0 HP ), gọi Q là hình chiếu H trên A0 P Tứ giác ABCD là hình vuông nên dễ có √ AN ⊥ BM AB · AM a Xét tam giác ABM vuông A có AH = √ = AB + AM Ta suy ra, độ dài các cạnh BH = √ … AB − AH = a2 √ a2 2a − = 5 √ 3a N H = AN − AH = 10 A0 H = √ … AA02 − AH = a2 √ a2 2a = − 5 √ √ 3a 2a 3a2 √ · HN · HB 6a 10 5 HP = √ = … = √ = 25 5a HN + HB 9a 4a2 + 20 √ √ 6a 2a √ · HP · A0 H 3a 170 25 HQ = √ =… = 85 HP + A0 H 36a2 4a2 + 125 √ a √ √ √ BM 3a 170 3a 170 3a 170 Ta có d(M, (A BN )) = HQ · = · √ = · = BH 85 85 68 2a 5 Chọn đáp án A √ Câu 312 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, AC = 2a, SA = a, SB = a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là trung điểm các cạnh CD Khoảng cách hai đường thẳng SC và BM √ √ √ √ 5a a 5a a B C D A 24 32 16 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 548 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (552) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S A I D H M O B C K N Kẻ đường cao SI 4SAB Vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SI ⊥ (ABCD) Trên tia đối tia BA lấy điểm N cho BN = a Ta có BN k CM và BN = CM = a nên BN CM là hình bình hành ⇒ BM k CN ⇒ BM k (SCN ) Do đó d(SC, BM ) = d(BM, (SCN )) = d(B, (SCN )) Kẻ IK®⊥ N C (K ∈ N C), IH ⊥ SK (H ∈ SK) N C ⊥ IK ⇒ N C ⊥ (SIK) ⇒ N C ⊥ IH Ta có N C ⊥ SI ® IH ⊥ SK Suy ⇒ IH ⊥ (SN C) ⇒ d(I, (SN C)) = IH IH ⊥ N C Xét 4SAB có SA2 + √ SB = AB nên 4SAB vuông S SA · SB a SB 3a ⇒ SI = = , BI = = AB AB ◦ ’ Xét 4ABC √ có AB = BC = CA = 2a ⇒ 4ABC √ ⇒ BAC = 60 2 ◦ ⇒ N C = AN + AC − · AN · AC · cos√ 60 = a √ + N A2 − AC N C 21 ’ ’ Ta có cos AN C = = ⇒ sin AN C = · N A · N√ C 7 21 5a ’ Do đó IK = N I · sin AN C= 14 √ √ 2a 42 SK = SI + IK = √ √ SI · IK 5a 5a IH = = ⇒ d(I, (SN C)) = SK 16 16 Ta có d(B, (SN C)) BN = = d(I, (SN C)) IN √ 2 a = ⇒ d(B, (SN C)) = d(I, (SN C)) = 3a 5 a+ a √ a Vậy d(SC, BM ) = Chọn đáp án B Câu 313 Cho lăng trụ ABCD.A1 B1 C1 D1 có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Hình chiếu vuông góc A1 lên (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A1 BD) Th.s Nguyễn Chín Em 549 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (553) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 B1 A1 D1 C1 A B I D √ a A -Lời giải C √ B 2a √ C a D 2a Có AI ⊥ BD và AI ⊥ A1 I nên AI ⊥ (A1 BD), đó d(A, (A1 BD)) = AI = √ » · (2a)2 + (2a)2 = a 2 Chọn đáp án C Câu 314 Cho hình chóp tứ √ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a , AD = a 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc SC và mặt phẳng (ABCD) 60◦ Gọi M là trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (ABCD) √ √ a 3a A 2a B C D a 2 S M A B D C -Lời giải ’ Góc SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA √ ◦ 2 ’ SA = AC · tan SCA = AB + AD · tan 60 = 3a 3a Vì M là trung điểm SB nên d[M, (ABCD)] = d[A, (ABCD)] = 2 Chọn đáp án C Câu 315 Cho hình chóp S.ABCD √ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = 2AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SD = a Tính khoảng cách h từ điểm B đến (SCD) √ √ √ √ a 30 a a a 30 A h = B h = C h = D h = 6 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 550 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (554) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì AB k CD nên d[B; (SCD)] = d[A; (SCD)] CD ⊥ AD và CD ⊥ SA nên CD ⊥ (SAD) ⇒ (ABCD) ⊥ (SAD) Từ A kẻ AH vuông góc với giao tuyến SD hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) H √ √ √ 2 2 Ta có AD √ = BC = AC √ − AB = 4a √ − a = a SA = SD2 − AD2 = 5a2 − 3a2 = a √ 1 a 30 Vì 4SAD vuông A nên = + ⇒ AH = AH SA2 AD2 S H B A D C Chọn đáp án D √ Câu 316 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tính khoảng cách hai đường √ thẳng chéo SB và CD √ √ a C D a A 3a B a 2 -Lời giải Ta có BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Do đó BC là S đoạn vuông góc chung √ SB và CD Hay d(SB, CD) = BC = a D A B C Chọn đáp án D Câu 317 Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a, (SBC) ⊥ (ABC) ◦ ’ Biết SB = √ 6a, SBC = 60 Tính khoảng √ cách từ điểm B đến (SAC) √ √ 6a 57 19a 57 17a 57 16a 57 A B C D 19 57 57 57 -Lời giải Gọi H là hình chiếu S lên BC Gọi K, G là hình chiếu S B, H lên AC và L là hình chiếu H lên SG Khi đó HL ⊥ (SAC) nên d(H, (SAC)) = HL Trong tam giác vuông BCA, ta có BK = √ BC · BA 3a · 4a 12a =√ = 2 2 BC + BA 9a + 16a L cos 60◦ Ta lại có BH = SB · √ = 6a · SH = SB · sin 60◦ = 3a và cos 60◦ = 3a ⇒ CH = a C HG CH 12a a 3a = ⇒ HG = · = BK CB 4a G K A H B √ 3a 3a · SH · HG SH · HG Ta có HL = =√ =… = SG SH + HG2 9a2 27a + 25 d (B, (SAC)) BC BC Mặt khác = ⇒ d (B, (SAC)) = · HL = d (H, (SAC)) HC HC Chọn đáp án A √ 57 38 √ √ 4a 57 57a · = a 38 19 √ Câu 318 √ Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a 5, và BC = a Tính khoảng cách giữa√SD và BC √ 3a a 2a A B C a D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 551 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (555) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có BC k AD nên BC k (SDA) Do đó khoảng cách SD và BC chính là khoảng cách BC và (SDA) Ta chứng minh BA ⊥ (SAD) Thật vậy, SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, mặt khác AB ⊥ AD Từ đó suy BA ⊥ (SDA), hay d(BC,(SDA)) = BA Ta có S √ BA2 = AC − BC = 5a2 − 2a2 = 3a2 ⇒ BA = a A B D C √ Vậy khoảng cách SD và BC là a Chọn đáp án C Câu 319 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm AB và M là trung điểm AD Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SM C) √ √ √ √ 2a 7a 30a 30a A B C D 10 14 -Lời giải Gọi K là giao điểm ID với M C, và H là hình chiếu I lên SK Ta chứng minh IK ⊥ M C Thật vậy, hai tam giác ADI ’ = DCM ÷ Do đó KM ÷ và DCM nên ADI D+ ◦ ◦ ÷ ÷ ÷ ÷ M DK = CM D + DCM = 90 , suy M KD = 90 hay IK ⊥ M C Ta chứng minh IH ⊥ (SM C) S B H I A C K M D Thật vậy, tam giác SAB nên SI ⊥ AB, vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SI ⊥ (ABCD), nên SI ⊥ M C, kết hợp với M C ⊥ IK suy M C ⊥ IH Theo cách dựng ta có IH ⊥ SK, đó IH ⊥ (SM C) Lúc này khoảng cách từ I đến (SM C) chính là độ dài đoạn IH √ 1 1 a Ta có = + = + = , suy DK = DK DC DM a a a√ 2 a 5a a Lại có ID2 = a2 + = , suy DI = 4 √ √ a a 3a ◦ Từ đó suy IK = DI − DK = Ta có SI = · tan 60 = Do đó 10 2 √ 1 20 32 3a = + = + = ⇒ IH = IH IK SI 9a 3a 9a √ 3a Vậy khoảng cách từ I đến (SM C) là Chọn đáp án A Câu 320 Cho√hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ 2a a a A B a C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 552 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (556) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do AD k (SBC) nên d(D, (SBC)) = d(A, (SBC)) Kẻ AH ⊥ SB H, suy AH là khoảng cách từ A đến (SBC) √ 1 1 a Ta có = + = + = ⇒ AH = AH SA2 √ AB 3a a 3a a Vậy d(D, (SBC)) = S A H B D C Chọn đáp án D Câu 321 Cho hình chóp S.ABC có SA = cm và cạnh đáy cm Gọi M là điểm thuộc 2# » # » miền hình chóp này cho SM = SG, với G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi a, b, c là khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng (SAB), (SAC), SBC) Tính giá trị biểu thức P = a + b +√c √ √ √ 165 165 165 165 A P = B P = C P = D P = 45 45 135 45 -Lời giải Do S.ABC là chóp đều, = Gọi I là trung điểm BC √ có AB = 1, SA √ S 3 suy AG = AI = ; GI = AI = 3 … … √ 11 2 Xét tam giác SAG có SG = SA − AG = − = 3 # » 2# » Do SM = SG ⇒ S, M, G thẳng hàng và SM = SG K 3 M ⇒ d(M, (SBC)) = d(G, (SBC)) H A C Kẻ GH ⊥ SI H, suy GH ⊥ (SBC) Vậy d(G, (SBC)) = GH G I B √ 1 36 135 11 = + = + = ⇒ GH = √ Xét tam giác SGI có GH GS GI √11 11 15 √ √ 11 11 11 Vậy d(M, (SBC)) = · √ = √ ⇒ c = √ 3 15 15 15 Do S.ABC là chóp√ nên khoảng cách từ điểm M đến các mặt bên ⇒ a = b = c ⇒ P = √ 165 11 a + b + c = 3c = √ = 45 15 Chọn đáp án D Câu 322 Cho hình thang vuông ABCD vuông A và D, AD = 2a Trên đường thẳng vuông góc A √ với (ABCD) lấy điểm S với SA = a Tính khoảng cách √ √ √ đường thẳng AB và (SCD) √ 21a 21a 14 3a 21a A B C D 7 -Lời giải Từ giả thiết suy AB k (SCD) S Gọi H là hình chiếu A lên SD H SA · AD Ta có d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) = AH = √ SA2 + AD2 √ √ 2a 21a A D √ = = 7 C B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 553 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (557) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 323 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc SC ◦ và mặt đáy √ 60 Tính khoảng√cách AC và SB √ √ a a 15 a 15 a A B C D 15 -Lời giải Dựng hình bình hành ACBD, đó d(AC, SB) = d(S, (SBD)) Trong (ACBD) hạ AK ⊥ BD, (SAK), hạ AH ⊥ SK Ta có d(A, (SBD)) √ = AH √ a AK = , SA = AC tan 60◦ = a √ 1 a 15 = + ⇒ AH = AH SA2 AK S H D K A C B Chọn đáp án B Câu 324 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng BB √ và AC √ a a a a A B C D 2 -Lời giải D0 A0 B0 C0 A D O B C Dễ thấy BO là đường vuông góc chung hai đường thẳng AC, BB , suy √ a d(AC, BB ) = BO = Chọn đáp án C Câu 325 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Khoảng √ cách hai đường thẳng√SA và BC √ a a A a B C D a 2 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB Do 4SAB nên SH ⊥ AB S Vì 4SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ⊥ (ABCD) Suy SH ⊥ BC Trong mặt phẳng (SAB), ta kẻ BK ⊥ SA Lại có BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ BK Vậy BK là đường vuông góc chung SA và BC K B C H A Th.s Nguyễn Chín Em 554 D https://emncischool.wixsite.com/geogebra (558) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a Khoảng cách hai đường thẳng SA và BC BK và là Chọn đáp án C Câu 326 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên 2a, góc cạnh bên và mặt đáy 30◦ Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) √ √ a a B a C D A a 2 -Lời giải Vì S.ABC là hình chóp tam giác nên gọi H là tâm tam giác ABC S thì SH ⊥ (ABC) Do đó khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là SH ’ = 30◦ Ta có góc cạnh bên và mặt đáy là SAH 2a ⇒ SH = SA · sin 30◦ = 2a · = a A 30◦ C H M B Chọn đáp án B Câu 327 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H trên cạnh AB cho HA = 2HB Góc SC và mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và BC theo a √ √ √ √ a 42 a 42 a a A B C D 8 -Lời giải ’ ⇒ Do SH ⊥ (ABC) ⇒ (SC, (ABC)) = (SC, HC) = SCH S ◦ ’ = 60 Ta có SCH √ p HC = HB + BC − 2HB · BC · cos 60◦ = và K √ ◦ SH = HC · tan 60 = 21 a Dựng qua A đường thẳng d song song với BC; HE ⊥ d, E ∈ d, HK ⊥ SE, K ∈ SE ⇒ d (H, (SAE)) = HK A C E H B ’ Do tam giác cạnh a nên AH = a, HAE = 60◦ Khi đó: √ ◦ HE = AH · sin 60 = và HK = a √ HE · HS = √ a 2 HE + HS Do đó √ √ d (B, (SAE)) BA 3 42 = = ⇒ d (B, (SAE)) = d (H, (SAE)) = · √ a = a d (H, (SAE)) HA 2 2 √ 42 Mà d(BC, SA) = d (B, (SAE)) Vậy d(BC, SA) = a Chọn đáp án B Câu 328 Th.s Nguyễn Chín Em 555 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (559) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình hộp đứng ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình vuông, tam giác A0 AC vuông cân, A0 C = a Gọi M , N là trung điểm BD, BA0 Tính khoảng cách hai đường thẳng M N và B D0 (tham khảo hình vẽ bên) √ √ √ a a 10 a a A B C D 10 A0 D0 B0 C0 N D A M B C -Lời giải √ a Tam giác vuông cân A suy = AC = Gọi H®là hình chiếu vuông góc A trên AM BD ⊥ AC Ta có ⇒ BD ⊥ AH BD ⊥ AA0 Ta lại có AH ⊥ A0 M nên AH ⊥ (A0 BD) Vì B D0 k BD nên B D0 k (A0 BD) AA0 C AA0 A0 D0 B0 C0 N H D A M B Mặt khác M N ⊂ (A0 BD) C suy d(B D0 , M N ) = d(B D0 , (A0 BD)) = d(B , (A0 BD)) = d(A, (A0 BD)) = AH Tam giác AA0 M vuông A nên √ 1 1 10 a 10 = + = Ç √ å2 + Ç √ å2 = ⇒ AH = AH AA02 AM a 10 a a 2 √ a 10 Vậy d(B D0 , M N ) = 10 Chọn đáp án B Câu 329 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có cạnh bên AA0 = a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng BD và A0 C A0 D0 C0 B0 A B √ √ A a B a C a D 2a -Lời giải Do BD ⊂ (ABCD) và A0 C ⊂ (A0 B C D0 ) Mà (ABCD) k (A0 B C D0 ) ⇒ d(BD, A0 C ) = d((ABCD), (A0 B C D0 )) = AA0 = a Chọn đáp án C D C Câu 330 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = a, AD = 2a, AA0 = a Lấy điểm M trên cạnh AD cho AM = 3M D Đặt x = d (AD0 , B C) và y = d (M ; (AB C)) Tính x · y a2 5a5 3a5 3a2 A B √ C √ D 6 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 556 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (560) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có: x = dd (AD0 ; B C) = d((ADD0 A0 ); (BCC B )) = AB = a √ 3a Theo định lý Pitago ta có AC = B C = a 5, AM = , MC = √ √ a , AB = a 2 3a2 Theo công thức Hê-rông ta có S∆AM C = (đvdt), S∆AB C = 3a2 (đvdt) a3 Ta có VM.AB C = VB AM C = · B A · S∆AM C = (đvtt) · VM.AB C a Vậy y = d [M ; (AB C)] = = S∆AB C a2 Từ đó x · y = A0 D0 B0 C0 M A B D C Chọn đáp án A Câu 331 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có cạnh AB = 2a, AD = AA0 = a hình vẽ Khoảng cách hai đường thẳng BD và AD0 √ a 2a A a B C a D D0 A0 C0 B0 C D A B -Lời giải Xét hệ trục tọa độ Oxyz cho A(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), D(0; a; 0), A0 (0; 0; a) Ta có D0 (0; a; a) # » # » # » Khi đó BD = (−2a; a; 0), AD0 = (0; a; a), AB = (2a; 0; 0) # » # » # » # » # » Ta có AD0 ∧ BD = (−a2 ; −2a2 ; 2a2 ), (AD0 ∧ BD)AB = −2a3 # » # » # » (AD0 ∧ BD)AB 2a3 2a d (AD0 , BD) = = = # »0 # » 3a AD ∧ BD Chọn đáp án D Câu 332 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, O là giao điểm AC và BD, AB = SA = a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAD) √ a a a a A √ B C D √ 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 557 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (561) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm AD, kẻ OH ⊥ SM H ® AD ⊥ OM Ta có ⇒ AD ⊥ (SOM ) ⇒ AD ⊥ OH AD ⊥ SM ® OH ⊥ SM Ta có ⇒ OH ⊥ (SAD) OH ⊥ AD ⇒ d(O, (SAD)) = OH √ √ √ a a 2 Tính: OA = , SO = SA − OA = 2 1 a = + = ⇒ OH = √ 2 OH SO OM a Chọn đáp án D S H C D M O B A ABCD.A0 B C D0 BD0 Câu 333 Cho hình lập phương có cạnh a Tính khoảng cách đường thẳng B C √ √ √ a a a a B C D A -Lời giải 1 Ta có d(BD0 , B C) = d(O, BD0 ) = d(C , B D) = C H 2 D0 Xét ∆BC D0 vuông C √ 1 1 a = + = √ + = ⇒CH= A0 B0 H (C H)2 (BC )2 (CD0 )2 a 2a (a 2) √ a 0 O Vậy d(BD , B C) = và C0 D C A B Chọn đáp án B Câu 334 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có cạnh AB = 2a, AD = AA0 = a Tham khảo hình bên Khoảng cách hai đường thẳng BD và AD0 D C A B D0 C0 A0 A a √ C a 2a B B0 a D -Lời giải Xét hệ trục tọa độ Oxyz cho A(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), D(0; a; 0), A0 (0; 0; a) Ta có D0 (0; a; a) # » # » # » Khi đó BD = (−2a; a; 0), AD0 = (0; a; a), AB = (2a; 0; 0) # » # » # » # » # » Ta có AD0 ∧ BD = (−a2 ; −2a2 ; 2a2 ), (AD0 ∧ BD)AB = −2a3 # » # » # » (AD0 ∧ BD)AB 2a 2a3 d (AD0 , BD) = = = # »0 # » 3a AD ∧ BD Chọn đáp án B Câu 335 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có cạnh đáy √ 2a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC a Cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BGC ) Cosin góc hai đường thẳng B G và BC Th.s Nguyễn Chín Em 558 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (562) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A √ 39 Chương - Hình học 11 B √ 39 C √ 39 D √ 39 -Lời giải ⁄ ¤ C , B G) Ta có B C k BC ⇒ (BC, B G) = (B Gọi ® M là trung điểm AC, ta có BM ⊥ AC ⇒ BM ⊥ (ACC A0 ) BM ⊥ AA0 Vẽ ® CE ⊥ CM E, ta có CE ⊥ CM A0 B0 C0 CE ⊥ BM (do BM ⊥ (ACC A0 )) √ a ⇒ CE ⊥ (BGC ) ⇒ CE = 4M CC vuông C có CE ⊥ C M √ 1 + = ⇒ CC = a ⇒ 02 CM CC CE E A B M G C √ √ 2a Lại có BM = a nên BG = √ √ a 39 0 02 4BB G vuông B ⇒ B G = BG + BB = √3 √ a 39 4CC G vuông C ⇒ C G = CG2 + CC 02 = C B 02 + GB 02 − GC 02 ⁄ 0B0G = ÷ Vậy cos C = √ = cos (BC, B G) 2C B · GB 39 Chọn đáp án C Câu 336 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AC, DC theo a √ √ a a a A B C D a 3 -Lời giải Vì AC k A0 C nên AC k (DA0 C ) ⇒ d(AC, DC ) = d(A, (DA0 C )) = d(D0 , (DA0 C )) Tứ diện D0 A0 DC là tứ diện vuông D0 nên 1 1 = D A02 + D D + D C 02 0 (d(D , (DA C ))) ⇒ = 2 (d(D0 , (DA0 C ))) √ a a ⇒ d(D0 , (DA0 C )) = = d(AC, DC ) A0 B0 D0 C0 A B Chọn đáp án A D C Câu 337 Th.s Nguyễn Chín Em 559 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (563) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) (tham khảo hình bên) Khi đó khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) √ a A a B a C √ D 2a S A D B C -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có ® BO ⊥ AC BO ⊥ SA ⇒ BO ⊥ S (SAC) √ AC a a Suy d (B, (SAC)) = BO = = =√ 2 A D O B C Chọn đáp án C Câu 338 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông A góc ’ = 30◦ ; tam giác SBC là tam giác cạnh a và măt phẳng ABC (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC) (tham khảo hình bên) Khoảng √ cách từ A đến mặt √ phẳng (SBC)√là √ a a a a B C D A S B C A -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 560 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (564) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có (SAB) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AB Trong mặt phẳng (SAB), kẻ SH ⊥®AB H, ta có SH ⊥ (ABC) BC ⊥ SI Gọi I là trung điểm BC, ta có ⇒ BC ⊥ (SHI) ⇒ BC ⊥ SH (SBC) ⊥ (SHI) theo giao tuyến SI Trong mặt phẳng (SHI), kẻ HK ⊥ SI K, ta có HK ⊥ (SBC) ⇒ HK = d (H, (SBC)) ◦ ◦ ’ Tam √ giác BHI vuông tại√I có IBH = 30 nên IH = BI · tan 30 = a IB a ; BH = = ◦ cos 30 S K B C I H A √ a Tam giác SHI vuông H nên SH = SI − HI = − = ⇒ SH = 36 √ √3 a a √ · a SH · HI √ = Tam giác SHI vuông H có HK là đường cao nên HK = = SI a √ a ’ = 30◦ nên AB = BC · cos 30◦ = Tam giác ABC vuông A có ABC √ a d (A, (SBC)) AB = Ta có AH ∩ (SBC) = B nên = = √ d (H, (SBC)) HB a √ √ 3 a a ⇒ d (A, (SBC)) = d (H, (SBC)) = HK = · = 2 Chọn đáp án B 3a2 3a2 6a2 Câu 339 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Khoảng cách BB và √ AC √ √ a a a a A B C D 2 B0 C0 A0 D0 B C A -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD, đó BO ⊥ AC và BO ⊥ BB nên BO 0 là khoảng √ cách hai đường thẳng BB và AC Như d(BB , AC) = a BO = D B0 C0 A0 D0 B C O A Chọn đáp án B D Câu 340 Th.s Nguyễn Chín Em 561 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (565) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a; gọi I là trung điểm AB, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H CI, góc SA và mặt đáy 45◦ (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai √ √ đường thẳng SA √ và CI √ a 21 a 77 a 14 a 21 A B C D 14 22 S A C H I B -Lời giải Vì AH là hình chiếu SA lên mặt đáy nên góc SA ’ suy SAH ’ = 60◦ và mặt đáy góc SAH, Gọi M là trung điểm SB, K là đỉnh thứ tư hình chữ nhật HIAK Khi đó (SAK) k (M IC) Suy khoảng cách SA và CI khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAK) Ta có AK ⊥ (SKH), đó 4SHK ta kẻ HT ⊥ SK thì HT ⊥ (SAK) Từ đó, khoảng cách từ H đến (SAK) HT S T M K A C H I B √ √ AB a 1 a a Ta có HK = = , AK = HI = CI = · = 2 2 … √ √ a2 3a2 a ◦ 2 Suy HS = AH · tan 45 = AH = AK + HK = + = , 16 √ a a √ √ · a 77 a HK · HS = =… Vậy khoảng cách SA và CI HT = √ 22 HK + HS 7a2 a + 16 Chọn đáp án B Câu 341 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = a, AA0 = 3a Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ABC) và (A0 B C ) √ a A 2a B C 3a D a -Lời giải Ta có (ABC) k (A0 B C ) và ABC.A0 B C là lăng trụ tam giác nên C0 A0 d ((ABC) , (A0 B C )) = AA0 = 3a B0 A C B Chọn đáp án C Câu 342 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD = 2a Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SD √ 2a A 2a B a C a D √ -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 562 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (566) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Trong mặt phẳng (SAD) hạ AH ⊥ SD Do SA ⊥ (ABCD) suy SA ⊥ AB (1) Theo giả thiết AB ⊥ AD (2) Từ (1) và (2) suy AB ⊥ (SAD) nên AB ⊥ AH Vậy d (AB, SD) = AH SD Xét tam giác vuông SAC, SA = AD = 2a nên AH = √ √ √ Mà SD = SA ⇔ SD = 2a suy SD = a S H D A C B Chọn đáp án B Câu 343 Nếu z = i là nghiệm phức phương trình z + az + b = (a, b ∈ R) thì a + b A −1 B −2 C D -Lời giải ® ® b−1=0 a=0 Do giả thiết ta có i + + b = ⇔ b − + = suy ⇔ a=0 b=1 Do đó a + b = Chọn đáp án C Câu 344 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x + 1)2 + (y − 3)2 + z = 16 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R mặt cầu đó A I (−1; 3; 0); R = 16 B I (−1; 3; 0); R = C I (1; −3; 0); R = 16 D I (1; −3; 0); R = -Lời giải Từ phương trình mặt cầu ta suy I (−1; 3; 0) và R = Chọn đáp án B Câu 345 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O và SO = a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ √ 2a 6a 5a A B C 3a D -Lời giải Gọi I là trung điểm CD Trong mặt phẳng (SOI), dựng OH ⊥ SI H S Ta có ß CD ⊥ OI (∆OCD cân O) ⇒ CD ⊥ (SOI) CD ⊥ SO (SO ⊥ (ABCD)) Vì OH ⊂ (SOI) nên suy OH ⊥ CD ß OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SCD) H OH ⊥ CD H A ⇒ d(O, (SCD)) = OH D I O B Vì OI là đường trung bình tam giác BCD nên OI = C BC = a Xét tam giác SOI vuông O 1 = + 2 OH OI OS 1 = 2+ = a a a √ 2a ⇒ OH = Th.s Nguyễn Chín Em 563 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (567) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án A Câu 346 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có tất các cạnh 2a Gọi M là trung điểm A0 C Tính khoảng cách hai đường√thẳng AC và B M theo √ a A 2a B a C a D 2a C0 A0 B0 A C B -Lời giải Ta có d(AC, B M ) = d(AC, (A0 B C )) = d(A, (A0 B C )) = 2a M A0 C0 B0 A C B Chọn đáp án A Câu 347 cạnh a √ Khoảng cách hai cạnh đối tứ diện √ 2a a a B C A 3 -Lời giải Xét tứ diện ABCD Gọi I, K là trung điểm các cạnh AB và CD Do tứ diện ABCD nên tam giác ABK cân K và tam giác CDI cân I, dẫn tới IK ⊥ AB và IK ⊥ CD nên IK là đoạn vuông góc chung AB và CD Suy Ã Ç √ å2 √ p a a a 2 d(AB, CD) = IK = AK − AI = = − 2 B D 2a A I D K C Chọn đáp án A Câu 348 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi vuông OA = OB √ = OC = Khoảng cách √ hai đường thẳng OA và BC 1 A B C √ D 2 -Lời giải Trong (OBC), vẽ OH ⊥ BC A Dễ thấy OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ OH Vậy d(OA; BC) = OH (1) √ Vì 4OBC là tam giác vuông cân O nên OH = (2) √ Từ (1) và (2) ta có d(OA; BC) = O góc và C H B Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 564 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (568) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 349 Cho hình chóp tứ giác S.ACBD có tất các cạnh Gọi O là hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABCD) √ Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) 1 A √ B C D √ -Lời giải Gọi M là trung điểm BC, hạ OH ⊥ SM S Dễ chứng √ minh d(O, (SBC)) = OH OB = ; SO2 = SB − OB = 2 Trong tam giác SOM vuông O ta có 1 1 H = + = ⇒ OH = √ 2 OH SO OM A B M O D C Chọn đáp án D Câu 350 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên A0 A = a Gọi M, N là trung điểm AD, DC Biết hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm H √ AN và BM Khoảng cách √ từ điểm M đến mặt phẳng √ (A BN ) √ 3a 170 3a 175 3q 172 3a 173 A B C D 68 68 68 68 -Lời giải C0 D0 D N C B0 A0 M K N H M A C D I H B A B ÷ ’ Xét hình vuông ABCD có 4ABM = 4DAN suy AM B = DN A ◦ ÷ ÷ ÷ ’ Do đó: M AH + AM B = M AH + DN A = 90 suy AN ⊥ BM a2 AB 2a Do 4ABH v 4M BA nên: BH = =… =√ BM a a2 + AM · AB a2 a Xét tam giác vuông M AB có: AH = √ = … =√ AM + AB a + a2 … √ a2 2a Xét tam giác vuông A0 HA có: A0 H = A0 A2 − AH = a2 − =√ 5 … 2 √ a 4a 3a Xét tam giác vuông BN H có: HN = BN − BH = a2 + − = √ 5 Kẻ HI ⊥ BN, HK ⊥ A0 I Khi đó: d(H, (A0 BN )) = HK 1 1 1 5 20 85 = + = + + = 2+ 2+ = 02 02 2 HK HA HI√ HA HB HN 4a 4a 9a 18a2 3a d(H, (A0 BN )) = √ 85 Th.s Nguyễn Chín Em 565 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (569) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ √ √ MB a · 3a 3a 170 = · d(H, (A BN )) = · √ = HB 4a 68 85 Chọn đáp án A d(M, (A0 BN )) Câu 351 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính √ khoảng cách hai đường √ thẳng SA và BC √ a a a A B C a D -Lời giải √ a Gọi M là trung điểm BC ⇒ AM = S Có SA ⊥ (ABC) và AM ⊂ (ABC) nên suy SA ⊥ AM (1) Mà BC ⊥ AM (2) √ a Từ (1) và (2) suy d (SA, BC) = AM = A C M B Chọn đáp án D 0 0 Câu 352 √ Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C, AB = AA = a và a AC = Gọi M là trung điểm BB Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (M AC) √ √ √ √ a 35 a 35 a 37 a 37 A B C D 14 14 -Lời giải Gọi Q = M C ∩ BC B0 A0 Gọi P và N là hình chiếu B và C lên mặt phẳng (M AC) Ta có BP BQ BM = = = ⇒ d (C , (M AC)) = 2d (B, (M AC)) 0 C0 CN QC CC M Kẻ BH ⊥ AC Có (M AC) ⊥ (BHM ) = HM √ P a 35 Q Từ B, kẻ BK ⊥ HM ⇒ d (B, (M AC)) = BK = 14 √ a 35 A B ⇒ d (C , (M AC)) = N H C Chọn đáp án A Câu 353 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), đường thẳng SC tạo với mặt đáy ABCD góc 45◦ Khoảng cách hai√đường thẳng SB√và AC là √ √ a 10 a 10 a 10 a 10 A B C D 10 15 S A B D C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 566 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (570) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Góc đường thẳng SC và (ABCD) góc SC và ’ = 45◦ AC, suy SCA √ Ta có SA = AC · tan 45◦ = a Kẻ tia Bx k AC, kẻ AH ⊥ Bx H Khi đó, AC k (SBH) ⇒ d(AC, SB) = d(AC, (SBH)) = d(A, (SBH)) Kẻ AK ⊥ SH K, suy AK ⊥ (SBH) Do đó, d(A, (SBH)) = AK S K D A x H C B √ √ AH · AS a 10 a 10 Ta có AK = √ = Vậy d(AC, SB) = 5 AH + AS Chọn đáp án B Câu 354 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh AB = a, đường cao SO vuông góc với đáy và SO = a Khoảng cách giữa√SC và AB là √ √ √ 2a a a 2a A B C D 7 5 S A B O D -Lời giải Do AB k CD nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) Gọi M là trung điểm DC và H là hình chiếu vuông góc S O lên SM Khi đó ® DC ⊥ SO ⇒ DC ⊥ SM ⇒ DC ⊥ OH DC ⊥ OM mà OH ⊥ SM nên OH ⊥ (SDC) ⇒ d(O, (SCD)) = OH a OM = … √ A √ a a 2 SM = SO + OM = a + = √ SO.OM a O OH = = SM √ B 2a ⇒ d(A, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) = 2OH = Chọn đáp án D C H D M C Câu 355 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi M là trung điểm SD Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC) √ √ a a a a A B C D 4 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm SO S Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác nên DO ⊥ (SAC) hay √ a d (A, (SAC)) = DO = Từ giả thiết ta suy M H là đường trung bình tam giác SDO H DO M nên M H ⊥ (SAC) và M H = √ A B a Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC) là M H = O D Th.s Nguyễn Chín Em 567 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (571) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B Câu 356 √ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = 3, AA0 = Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh A0 B , A0 C , BC (tham khảo hình vẽ bên) Tính khoảng cách từ √ A đến mặt phẳng (M √ N P ) 17 13 13 12 A B C D 65 65 65 N A0 C0 M B0 A C P B -Lời giải Vì M N k BC nên (M N P ) ≡ (M N CB) Gọi S là giao điểm M B với AA0 Khi đó (M N P ) ≡ (M N CB) ≡ (SBC) Ta có BC ⊥ AP và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAP ) Trong (SAP ), kẻ AE ⊥ SP thì AE ⊥ BC Khi đó AE ⊥√ (SBC), hay AE = d[A, (SBC)] Theo giả thuyết AP = AB · = 3, SA = 2AA0 = Trong tam giác SAP vuông A có đường cao AE nên S N A0 C0 M B0 1 1 25 = + = + = 2 AE AP SA 16 · 16 E Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (M N P ) là AE = 12 A C P B Chọn đáp án D Câu 357 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình thang vuông A và B, SA⊥(ABCD), SA = AB = BC = a, AD = 2a Khoảng cách từ điểm B đến (SCD) √ √ √ √ a a a a A B C D -Lời giải S Tính thể tích khối chóp S.BCD Ta có thể tích hình chóp S.ABCD là 1 (a + 2a) · a a3 V1 = SA · SABCD = · a · = 3 2 V2 = E A Thể tích hình chóp S.ABD là 1 a3 · SA · S4ABD = · a · · a · 2a = 3 Khi đó thể tích khối chóp S.BCD là V3 = V1 − V2 = (1) B a3 D C Tính diện tích 4SCD √ √ √ +) 4SAD vuông A suy SD = √AD2 + SA2 = √ a2 + 4a2 = a +) 4BAC vuông B suy AC = √ AB + BC = a √2 +) 4SAC vuông A suy racó SC =√ SA2 + AC = a√ +) 4CED vuông E suy CD = EC + ED2 = a Th.s Nguyễn Chín Em 568 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (572) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Khi đó diện tích 4SCD là √ » a2 S = p(p − SC)(p − SD)(p − CD) = (2) với p là nửa chu vi 4SCD Từ (1) và (2) suy √ 3V3 a d(B, (SCD)) = = S Chọn đáp án B Câu 358 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 60◦ (tham khảo hình bên) Khoảng cách √ hai đường thẳng √ SC và BD √ a a 33 a A a B C D 6 S A D B -Lời giải Dễ thấy BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC Gọi O là tâm hình vuông, ∆SAC kẻ OH ⊥ SC với H ∈ SC Khi đó ta có BD ⊥ OH BD ⊥ (SAC) Khi đó d (BD, SC) = OH ’ là góc SC và mặt phẳng đáy ⇒ SCA ’ = 60◦ Ta có SCA √ a ’= Xét tam giác OHC vuông H có OH = OC · sin SCA C S H A D O B C Chọn đáp án D Câu 359 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a (tham khảo hình bên) Gọi M là trung điểm cạnh BC Khoảng cách hai đường thẳng AM và B C.√ √ √ a a A a B C D a C0 A0 B0 A C M B -Lời giải Gọi N là trung điểm CC và I = M N ∩ B C Ta có M N k BC nên M N ⊥ B C I AM ⊥ BC nên AM ⊥ (BB C C) ⇒ AM ⊥ M √ I 1 a Vậy d (AM, B C) = M I = M N = BC = 4 C0 A0 B0 N I A C M B Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 569 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (573) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 360 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt √ phẳng (ABCD) và SA = a Khi đó khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là √ B d (B, (SAC)) = a A d (B, (SAC)) = a a C d (B, (SAC)) = 2a D d (B, (SAC)) = √ -Lời giải Gọi I là trung điểm AC S Vì ABCD là hình vuông nên BI ⊥ AC Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BI Suy BI ⊥ (SAC) 1 √ a Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên BI = BD = · a = √ 2 a Vậy d (B, (SAC)) = BI = √ A B I D C Chọn đáp án D Câu 361 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và góc đường thẳng SB với mặt phẳng đáy 60◦ Khoảng cách hai đường thẳng AC và SB √ √ √ a a 15 a A B C 2a D -Lời giải Dựng điểm D cho ACBD là hình bình hành Khi đó, AC k BD ⇒ AC k (SBD) Suy d (AC, SB) = d (AC, (SBD)) = d (A, (SBD)) Ta có SA ⊥ (ABC) và SA ∩ (ABC) = A nên góc đường thẳng ’ = 60◦ SB với mặt phẳng (ABC) là SBA √ ’ = a Tam giác SAB vuông A nên SA = AB tan SBA Vì tam giác ABC nên ABD là tam giác S H A C 60◦ D B E √ Gọi E là trung điểm BD thì AE ⊥ BD và AE = a C A Ta có SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BD Suy BD ⊥ (SAE) Dựng AH ⊥ SE, H ∈ SE Khi đó, BD ⊥ AH Như AH ⊥ (SBD) D Tam giác SAE vuông A có AH là đường cao nên AH = √ a 15 Vậy d (AC, SB) = AH = Chọn đáp án B E B √ AE · SA2 a 15 = AE + SA2 Câu 362 Cho √ hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết SA = 2a, AB = a, BC = 2a Khoảng cách hai đường thẳng BD và SC √ √ √ √ 6a 7a 7a A B 7a C D 7 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 570 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (574) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD Dựng Cx k BD ⇒ d(BD; SC) = d(BD; (SCx)) = d(O; (SCx)) = d(A; (SCx)) Dựng AE ⊥ Cx, AF ⊥ SE ⇒ d(A; (SCx)) = AF 4a AB · AD =√ Do BD k Cx ⇒ AE = 2d(A; BD) = √ 2 AB + √ AD √ AE · SA 4a 2a Suy AF = √ = ⇒d= 7 AE + SA2 S F A D O B C x E Chọn đáp án D √ Câu 363 Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a 2, AB = CD = AC = BD = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD và BC √ √ a A a B C a D 2a -Lời giải Gọi M, N là trung điểm AD và BC D Các tam giác ABC và DBC cân A và D nên AN ⊥ BC, DN ⊥ BC Suy BC ⊥ M N Chứng minh tương tự ta AD ⊥ M N M Vậy khoảng cách AD và BC đoạn M N Ç √ å2 a 7a2 Ta có AN = AB − BN = (2a)2 − = 2 … √ √ 7a2 2a2 A C d(AD, BC) = M N = AN − AM = − = a N B Chọn đáp án A Câu 364 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Gọi M, N là các điểm di động trên hai √ cạnh AB và DD0 Tìm giá√trị nhỏ khoảng cách hai đường thẳng M N và B C √ a a A B C a D a -Lời giải Kẻ N K k A0 D0 k B C , K ∈ AA0 Ta có A0 D0 B C k (M N K) ⇒ d(B C , M N ) = d(B0 , (MNK)) Kẻ B H ⊥ M K H Do B H ⊥ M K và B H ⊥ N K K nên B H ⊥ (M N K) Suy d(B0 , (MNK)) = B H N B0 C0 0 Trong mặt phẳng (ABB A ), xét đường tròn tâm B bán kính √ a tiếp xúc với đường chéo BA0 hình vuông ABB A0 Rõ H 0H ≥ R = ràng M K không cắt đường tròn nói trên Do đó B A √ D a M B Dấu “=” xảy và M trùng B còn N trùng D0 Vậy khoảng cách nhỏ hai đường thẳng M N và Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em B0C C √ a 571 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (575) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 365 Cho tứ diện ABCD có AC = BC = AD = BD = a, CD = b, AB = c Khoảng cách hai đường √ thẳng AB và CD √ √ √ 3a2 − b2 − c2 4a2 − b2 − c2 a2 − b2 − c2 2a2 − b2 − c2 A B C D 2 2 -Lời giải Gọi M, N là trung điểm AB và CD A Tam giác ACD cân A nên AN ⊥ CD Tam giác BCD cân B nên BN ⊥ CD Suy CD ⊥ (ABN ) ⇒ CD ⊥ M N (1) M Tam giác ABC cân C nên CM ⊥ AB Tam giác ABD cân D nên DM ⊥ AB B D Suy AB ⊥ (CDM ) ⇒ AB ⊥ M N (2) Từ (1) và (2) suy d(AB, CD) = M N N C c Xét tam giác ACM vuông M nên CM = AC − AM = a2 − … √ 2 √ 4a2 − b2 − c2 c b Xét tam giác CM N vuông N nên M N = CM − CN = a2 − − = 4 Chọn đáp án B ’ = 60◦ Câu 366 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC Biết SA = √ √ √ 2a Tính khoảng cách từ√A đến SC 5a 3a 4a 2a B C D A 2 -Lời giải Kẻ AH ⊥ SC (H ∈ SC) S ◦ ’ Do ABCD là hình thoi có ABC = 60 nên ABC là tam giác Từ đó có AC = AB = a Trong tam giác SAC vuông A ta có H √ SA · AC 2a B A AH = √ = 60◦ SA2 + AC D C Chọn đáp án A Câu 367 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD √là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và √ a2 , tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng SA = a Biết diện tích tam giác SAB (SAC) √ √ √ √ a a a 10 a 10 A d = B d = C d = D d = -Lời giải Diện tích tam giác SAB là S 2SSAB SSAB = SA · AB ⇔ AB = = a SA Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có BO ⊥ AC và BO ⊥ SA nên BO ⊥ (SAC), suy √ BD a d = d(B, (SAC)) = BO = = 2 A D O B Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em C 572 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (576) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 368 Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và 2a, đáy là hình chữ nhật ABCD # » # » #» có AB = 2a, AD = a Gọi K là điểm thuộc BC cho · BK + · CK = Tính khoảng cách hai đường thẳng AD và SK √ √ √ √ a 165 2a 135 2a 165 a 125 A B C D 15 15 15 15 -Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD S Khi đó SO ⊥ (ABCD) Vì AD k (SBC) nên d(AD, SK) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC)) = d (O, (SBC)) Gọi H là trung điểm BC Khi đó OH ⊥ BC Gọi I là hình chiếu vuông góc O lên SH Suy OI ⊥ SH Vì BC ⊥ (SOH) nên BC ⊥ OI Suy OI ⊥ (SBC) hay d (O, (SBC)) = OI A D O I B √ … H K √ C AC a 11 AB SA2 − = và OH = = a 2 √ √ a 165 SO · OH 2a 165 = Do đó OI = √ Vậy d(AD, SK) = 2OI = 2 15 15 SO + OH Chọn đáp án C Ta có SO = SA2 − OA2 = Câu 369 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh 2a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) √ √ √ C a D 2a A a B a -Lời giải Gọi O là hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng đáy S (ABCD) Khi đó … p Ä √ ä2 √ d[S; (ABCD)] = SO = SC − OC = (2a)2 − a = a B A O D C Chọn đáp án B Câu 370 Tứ diện ABCD có AB = 5, các cạnh còn lại Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và √ CD √ √ √ 2 A B C D -Lời giải Gọi M và N là trung điểm AB và CD Khi đó √ A 3 ∆ACD và BCD là tam giác cạnh nên AN = BN = Đồng thời ∆ABC = ∆ABD nên CM = DM M Do đó, M AB và N CD là hai tam giác cân M và N Vậy M N ⊥ BA và M N ⊥ CD … √ √ 27 25 Ta có: M N = N B − M B = − = B D 4 N C Th.s Nguyễn Chín Em 573 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (577) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B √ Câu 371 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = AA0 = a, AD = a Tính khoảng cách AC và CD √ √ √ a a 30 a a A B C D 10 2 -Lời giải Ta có AD ⊥ CD0 , DC ⊥ CD0 suy (ADC ) ⊥ CD0 Gọi I là giao A D điểm CD0 và DC , mặt phẳng (ADC ) kẻ IH vuông góc vứi AC đó IH ⊥ CD0 , IH ⊥ AC hay IH là khoảng cách B C AC và CD0 √ √ √ 0 Tam giác ADC có AD = a 3, DC = a 2, AC = a đó tam giác ADC vuông D I A0 √ Tam giác HIC vuông H có IC = DC a = , 2 0H ’ IH = IC · sin IC H B0 √ √ AD a ’ sin IC H = = √ = √ , từ đó AC a 5 √ √ √ a 30 a = ·√ = 10 D0 C0 Chọn đáp án B Câu 372 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh 2a Gọi K là trung điểm DD0 Tính 0 khoảng cách hai đường thẳng CK √ và A D √ √ √ 2a 2a 4a B C D A a 3 -Lời giải Kẻ KM k A0 D0 (M ∈ AA0 ), DH ⊥ CK(H ∈ CK) B C Khi đó DH ⊥ (CKM ) d(CK, A0 D0 ) = d(A0 D0 , (CKM )) = d(D0 , (CKM )) = d(D, (CKM )) = DH √ A 1 1 2a D Mà = + = + = ⇒ DH = 2 DH DK CD a 4a 4a √ 2a H Vậy d(CK, A0 D0 ) = M K C0 B0 A0 D0 Chọn đáp án B Câu 373 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB = 6, BC = 8, AC = 10 Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA và BC A Không tính d B d = C d = D d = 10 S A B C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 574 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (578) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Có SA ⊥ (ABC) ⇒ AB ⊥ SA (1) Ta có AB = 6, BC = 8, AC = 10 suy ∆ABC vuông B hay AB ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy AB là đoạn vuông góc chung SA và BC Vậy d = AB = 10 S A B C Chọn đáp án C Câu 374 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = a, AD = 2a 0 Khoảng cách √ hai đường thẳng BB và AC √ 2a B a A C 2a D a D0 A0 B0 C0 A D B -Lời giải Trong (ABCD) dựng BH ⊥ AC Mà BH ⊥ AA0 , suy C D0 A0 BH ⊥ (AA0 C C) ⇒ BH ⊥ AC B0 Lại có BB ⊥ (ABCD) ⇒ BB ⊥ BH Do đó C0 d(BB ,AC ) = BH A Xét tam giác vuông ABC vuông B, có đường cao BH √ AB · BC a2 · 4a2 4a2 2a BH = = = ⇒ BH = AB + BC a + 4a2 5 Chọn đáp án A D H B C Câu 375 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy.√ Tính khoảng cách hai√đường thẳng SA và CD A a B a C a D 2a -Lời giải Ta có AD ⊥ SA, AD ⊥ CD nên AD là đoạn vuông góc chung S hai đường thẳng SA và CD Mà AD = BC = 2a nên khoảng cách hai đường thẳng SA và CD 2a D A B Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em C 575 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (579) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 376 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a Các tam giác SAB, SAC vuông A và SA = 4a Tính khoảng cách BD và SC theo a √ √ √ √ 6 A 6a B a C a D a 3 -Lời giải ® SA ⊥ AB Ta có ⇒ SA ⊥ (ABCD) SA ⊥ AC Từ C kẻ đường thẳng Cx song song vói BD Khi đó d(BD, SC) = d(BD, (SC, Cx) Gọi O = AC ∩ BD Ta có d(BD, SC) = d(O, (SC, Cx)) = d(A, (SC, Cx)) Gọi M là hình chiếu A lên Cx ® CM ⊥ SA Khi đó ta có CM ⊥ AM ⇒ CM ⊥ (SAM ) ⇒ (SCM ) ⊥ (SAM ) S H A B I M O D x C Gọi H là hình chiếu A lên SM Ta có AH ⊥ (SCM ) hay d (A, (SCM )) = AH 1 1 Gọi I = AM ∩ BD Ta có = + = + = 2 2 AI AB AD a 4a 4a 1 = = AM 4AI 16a2 √ 1 1 = + = + = ⇒ AH = a AH SA2 AM√2 16a2 16a2 8a a Vậy d(BD, SC) = Chọn đáp án C Câu 377 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy và SB = Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) theo a √ √ √ √ 57 57 57 57 A a B a C a D a 57 57 57 19 √ 5a -Lời giải Ta có d(G, (SBC)) = d(A, (SBC)) Gọi I là trung điểm BC ® BC ⊥ AI Ta có ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ (SBC) ⊥ (SAI) BC ⊥ SA Gọi H là hình chiếu A lên SI Ta có AH ⊥ (SBC) Suy d(A, (SBC)) = AH √ √ 2 a Ta có SA = SB − AB = 2a, AI = √ 1 1 19 57 = + = + = ⇒ AH = AH SA2 AI √4a2 3a2 12a2 19 57 Vậy d(G, (SBC)) = 57 S H A C G I B Chọn đáp án B Câu 378 Th.s Nguyễn Chín Em 576 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (580) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và √ BC √ a a A a B a C D 2 S A D C B -Lời giải Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy nên SA ⊥ (ABCD) Vậy AB là đoạn vuông góc chung SA và BC hay khoảng cách hai đường thẳng SA và BC AB = a Chọn đáp án B Câu 379 Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a (tham khảo hình vẽ bên) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và DC √ √ 2a a a a A √ B √ C D S D A B C -Lời giải Nhận thấy các tam giác ABC, BAD và ASC √ theo a trường hợp (c-c-c), từ đó suy OS = OA = OB = Gọi h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB), đó ta có S 1 1 = + + = = 2 2 2 h OS OA OB OA a a Từ đó suy h = √ Mặt khác, CD k AB, suy D A O B C d (CD, SA) = d (CD, (SAB)) = d (D, (SAB)) = 2d (O, (SAB)) (do O là trung điểm BD) 2a Vậy d (CD, SA) = 2d (O, (SAB)) = 2h = √ Chọn đáp án A Câu 380 Cho lăng trụ ABC.A0 B C có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A0 lên mặt phẳng (ABC) √ trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA a và BC Độ dài đoạn A0 G là √ √ 2a a a a A B C D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 577 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (581) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do tam giác ABC nên G là tâm tam giác ABC Gọi M là trung điểm BC Khi đó: p AM = AB − BM = a2 B0 √ a2 a − = √ a ⇒ AG = AM = 3 Do BC ⊥ AM và BC ⊥ A0 M nên BC ⊥ (A0 AM ) Kẻ M N ⊥ A0 C, đó M N là đường vuông góc chung A0 A và BC √ √ a 3a ⇒ AN = AM − M N = ⇒ MN = 4 Trong tam giác AA0 M có hai đường cao A0 G và M N nên AN · AA0 = AG · AM 2a AG · AM hay AA0 = = AN √ a ⇒ A0 G = A0 A2 − AG2 = A0 C0 B N M G A C Chọn đáp án C Câu 381 Cho hình chóp S.ABCD có √ đáy ABCD là hình vuông cạnh 10 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = 10 Gọi M , N là trung điểm SA và CD Tính khoảng cách d BD và M N √ √ A d = B d = C d = D d = 10 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD S Gọi E là trung điểm BC, suy N E k BD N E cắt AC F Kẻ AH ⊥ M F H Ta có ® N E ⊥ AC M ⇒ N E ⊥ (SAC) ⇒ N E ⊥ AH N E ⊥ SA H ® AH ⊥ M F A ⇒ AH ⊥ (M N E) D AH ⊥ N E N F O B E 1 Khi đó d(BD, M N ) = d(BD, (M N E)) = d(O, (M N E)) = d(A, (M N E)) = AH 3 Tính: C √ 15 AC = AB = 10 2, AF = AC = √ SA = √ √ √ √ SC − AC = 10 ⇒ AM = SA = √ 1 1 = + = + = ⇒ AH = AH AM AF 75 225 45 √ Vậy d(BD, M N ) = AH = Chọn đáp án B Câu 382 Th.s Nguyễn Chín Em 578 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (582) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp tứ√giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = a 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc SC và mặt phẳng (ABCD) 60◦ Gọi M là trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (ABCD) √ √ a 3a A B C 2a D a 2 S M A D B C -Lời giải ’ là góc đường thẳng SC và mặt phẳng Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SCA (ABCD) √ Ta có AC = a ’ = 3a Xét tam 4SAC có d(S, (ABCD)) = SA = AC · tan SCA Vì M là trung điểm SB nên S M 3a d(M, (ABCD)) = d(S, (ABCD)) = 2 A D B C Chọn đáp án B Câu 383 Cho tứ diện ABCD cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB và CD √ √ a a 3a A B a C D 2 -Lời giải Gọi M , P là trung điểm AB và CD Vì 4ADC = 4DBC ⇒ AP = BP ⇒ 4AP B cân P ⇒ P M ⊥ AB Chứng minh tương tự ta có M P ⊥ DC Do đó đoạn vuông góc √ chung AB và CD là M P a Ta có AP = BP = √ √ a 2 Xét 4ABP có P M = AP − AM = √ a Vậy d(AB, CD) = M P = Chọn đáp án D D P C A M B Câu 384 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là √ hình vuông Đường thẳng SD tạo với đáy ABCD 3a góc 60◦ Gọi M là trung điểm AB Biết M D = , mặt phẳng (SDM ) và mặt phẳng (SAC) cùng vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng CD và SM theo a √ √ √ √ a 3a a 15 3a 15 A B C D 4 4 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 579 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (583) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Giả sử AD = x, đó ta có √ x2 5x2 x = + = + = ⇒ DM = ⇒ x = 3a 4 Gọi H = DM ∩AC, đó SH ⊥ (ABCD) và ∆HAM v ∆HDC Từ đó ta có HD = 2HM hay M D = 3M H Ta có SM ⊂ (SAB) và AB k CD nên CD k (SAB) ⇒ d (CD, SM ) = d (CD, (SAB)) = d (D, (SAB)) = 3d (H, (SAB)) DM AD2 AM S x2 I K M A D H C B Kẻ HK ⊥ AB, K ∈ AB và HI ⊥ SK, I ∈ SK ta có HI ⊥ (SAB) ⇒ d (H, (SAB)) = HI = HI 1 + HS HK √ √ √ 2 3a DH = DM = · = a ⇒ HS = HD · tan 60◦ = a 15 3 √ √ 1 16 a 15 1 3a 15 = + = ⇒ HI = HK = AD = a ⇒ ⇒ d (CD, SM ) = HI 15a2 a2 15a2 4 Chọn đáp án D Câu 385 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy là tam giác vuông cân, AB = AC = a, AA0 = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và BC 2a a a 2a A √ B √ C √ D √ 21 21 17 -Lời giải Gọi I, K là trung điểm BC và AC A0 C0 ⇒ AB k IK ⇒ AB k (BKC ) ⇒ d(AB ; BC ) = d (AB ; (BKC )) = d(C; (BKC )) B0 a3 Mặt khác VC BKC = VABC.A0 B C = 6 √ a BK = √ 2√ I a2 21 17 a ⇒ S = ∆BKC KC = √ A BC = a C K 3VC BKC 2a 0 Suy d(AB ; BC ) = d(C; (BKC )) = =√ S∆BKC 21 B Chọn đáp án A Câu 386 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 1, biết SO = vuông √ góc với mặt đáy Tính khoảng √ cách hai đường thẳng SC và AB √ √ 2 A B C D 3 -Lời giải Vì AB k (SCD) nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)), S đó M là trung điểm AB Gọi N là trung điểm CD và H là hình chiếu … vuông góc M BC trên (SCD) thì H ∈ SN Tính SN = SO2 + = và √ H S4SM N = SO · M N = 2 √ 2S4SM N 2 Do đó d(AB, SC) = d(M, (SCD)) = M H = = A SN M B Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em O √ và D N C 580 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (584) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 387 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 60◦ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách hai đường thẳng GC và SA √ √ √ a a a a A B C D 10 5 -Lời giải Do S.ABC là chóp tam giác đều, G là trọng tâm 4ABC nên SG là đường cao chóp S.ABC Dựng hình chữ nhật AEGF , H là hình chiếu vuông góc G lên SF ⇒ GH ⊥ (SAF ) Ta có GE k AF nên GE k (SAF ) suy d(CG, SA) = d(CG, (SAF )) = d(G, (SAF )) = GH ’ = 60◦ Góc SA và (ABC) là SAG √ √ a a = 4ABC cạnh a nên AG = · 3 a Trong 4SGA có SG = tan 60◦ · AG = a; GF = AE = S H C B G E F A Do GH là đường cao 4SGF vuông G nên √ 1 SG2 · GF a = + ⇒ GH = = GH GF SG2 SG2 + GF Chọn đáp án B Câu 388 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên với mặt đáy 60◦ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) A a B a C 3a D 3a -Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc G lên SM ’ Theo đề góc (SBC) và (ABC) là góc SM A = 60◦ Do G là trọng tâm tam giác ABC ta có AM = 3GM , suy d (A, (SBC)) = 3d (G, (SBC)) = 3GH Trong 4GHM vuông H√có √ a 3 a GH = GM · sin 60◦ = · · = 2 3a Suy d (A, (SBC)) = 3GH = S H A C G M B Chọn đáp án D √ Câu 389 √ Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 2, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Gọi M là trung điểm SD và (P ) là mặt phẳng qua B, M cho (P ) cắt mặt phẳng (SAC) theo đường thẳng vuông góc với BM Khoảng cách từ điểm S đến (P ) √ √ √ √ 2a a a 4a A B C D 9 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 581 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (585) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD G là giao điểm SO và BM Suy G là trọng tâm tam giác SAC và SBD Gọi N là giao điểm (P ) và SA H là hình chiếu vuông góc B lên AC K là hình chiếu vuông góc của√H lên BG 1√ a Ta có OA = AC = AB + BC = 2 √ a Gọi I là trung điểm AB ⇒ OI = · BC = 2 S M N K G A I D H O B C √ 1 OI · AB a SABO = · OI · AB = · BH · OA ⇒ BH = = 2 AO √ √ a 4ABH vuông H có AH = AB − BH = √ a OH OG ⇒ AH = = AC ⇒ = = ⇒ GH k SA 3 AH OS Ta có BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ N G ® N G ⊥ BM Khi đó ⇒ N G ⊥ GH ⇒ N G k AC ⇒ (P ) k AC và SN = 2AN BH ⊥ N G d (S, (P )) = 2d (A, (P )) = 2d … √ (H, (P )) = 2HK √ √ a a2 a 2 ; 4AHB vuông H có BH = AB − AH = a − = 4OSA có GH = SA = 3 3 √ 1 HG2 · HB a 4GHB vuông H có = + ⇒ HK = = 2 2 HK HG HB HG + HB Chọn đáp án C Câu 390 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a Khoảng cách hai đường thẳng AC và BB là √ √ √ a B a C 2a D a A 2 -Lời giải Từ giả thiết ABC.A0 B C là hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông A ta có AB cắt và vuông góc với hai đường thẳng AC và BB nên AB là đường vuông góc chung hai đường thẳng AC và BB Bởi vậy, khoảng cách hai đường thẳng AC và BB là AB = a A0 C0 B0 A C B Chọn đáp án B Câu 391 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và A0 B √ √ √ a a A B 2a C a D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 582 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (586) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Vì A0 B k AB nên A0 B k ((ABCD)) Vì B A d(A0 B , AC) = d(A0 B , (ABCD)) = d(A0 , (ABCD)) = AA0 = 2a D C 2a B0 A0 C0 D0 Chọn đáp án B Câu 392 Cho lăng trụ ABC.A0 B C có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A0 lên mặt phẳng (ABC) √ trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA a và BC Tính A0 G √ √ a 2a a a 0 0 A A G = B A G = C A G = D A G = 3 -Lời giải ® Gọi H là trung điểm BC, ta có BC ⊥ AH BC ⊥ A0 G ⇒ BC ⊥ (A0 AH) Trong mặt phẳng (A0 AH), kẻ HK ⊥ A0 A K, ta có HK là đoạn vuông góc chung √ hai đường thẳng a AA0 và BC Do đó HK = Tam giác AHK vuông K nên AK = AH − 3a2 3a2 9a2 3a HK = − = ⇒ AK = 16 16 Hai tam giác AKH vuông K và AGA0 vuông G AH chung nên 4AKH v 4AGA0 ÷ có A C0 A0 K B0 A C G H B √ √ a a · A0 G AG HK · AG = a ⇒ = ⇒ A0 G = = 3a HK AK AK Chọn đáp án A Câu 393 Cho hình √ chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng AD và SC √ √ √ √ 5a 5a 15a 15a A B C D 5 5 S A B D C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 583 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (587) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) Hạ HK ⊥ SB d (AD, SC) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC)) = 2d (H, (SBC)) = 2HK √ SH = SA2 − AH = 2a √ 1 2a = + = ⇒ HK = HK BH SH 4a √ 5a Vậy khoảng cách hai đường thẳng AD và SC S K A D H B Chọn đáp án A C Câu 394 Cho √ hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = Gọi G là trọng tâm tam giác SAB Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ 6 A B C D -Lời giải S G M C A B Gọi M®là trung điểm SB ⇒ AM ⊥ SB (vì tam giác SAB cân) BC ⊥ AB Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AM BC ⊥ SA ® AM ⊥ SB Và ⇒ AM ⊥ (SBC) ⇒ GM ⊥ (SBC) M AM ⊥ BC Do đó d (G, (SBC)) = GM √ SB = AB = √ √ √ SB AM 6, AM = = ⇒ GM = = 2 Chọn đáp án B Câu 395 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CB D0 ) √ √ √ √ a a a 2a A B C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 584 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (588) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi I = AC ∩ CO0 ta có I = AC ∩ (CB D0 ) Gọi H là hình chiếu C lên CO0 √ a CC · C O0 0 0 = Khi đó d(C ; (CB D )) = C H = √ CC 02 + C O02 Mặt khác, ta có AI = 2C I nên √ 2a 0 0 d(A; (CB D )) = 2d(C ; (CB D )) = Lưu ý: Nếu sử dụng công thức tính độ dài đường cao tứ diện thì bài toán giải nhanh gọn Cụ thể sau: C B A D I C0 H O0 D0 √ D (cạnh a 2) d(A, (CB D0 )) chính là độ dài đường cao tứ diện ACB √ √ √ 2a Khoảng cách đó a · = 3 Chọn đáp án D B0 A0 Câu 396 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc (SCD) và (ABCD) 60◦ Gọi M là trung điểm cạnh AB Biết hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) nằm hình vuông ABCD Khoảng cách hai đường thẳng SM và AC là √ √ √ √ a a 3a 5a A B C D 10 10 -Lời giải ® AB ⊥ SM Gọi I là trung điểm cạnh CD, đó ⇒ AB ⊥ (SM I) S AB ⊥ M I ’ Do CD k AB nên CD ⊥ (SM I) ⇒ ((SCD), (ABCD)) = SIM Vẽ SH ⊥ M I H ∈ M I thì SH ⊥ (ABCD) ’ 4SM I có SM = M I + SI − 2M I · SI cos SIM ⇔ 3a2 = 4a2 + SI − 2aSI A ⇔ SI − 2aSI + a2 = ⇔ SI = a D H M B N I C Cách 1: √ SM · SI a Theo định lý Pythagore đảo thì 4SM I vuông S ⇒ SH = = MI Gọi N là trung điểm cạnh BC ta có AC k M N 3VSM N C ⇒ d(AC, SM ) = d(AC, (SM N )) = d(C, (SM N )) = S√∆SM N √ 1 a a3 Ta có VSM N C = VS.M N B = SH · BM · BN = · ·a·a= √2 12 √ √ 2 2 Tam giác SIC có SC = SI + IC = a + a = a √ SB + SC BC Tam giác SBC có SN = − = 2a2 ⇒ SN = a 2 √ √ √ a 3+a 2+a SM + SN + M N Tam giác SM N có nửa chu vi p = = 2 √ p a2 15 Và diện tích 4SM N là S4SM N = p(p − SM )(p − SN )(p − BC) = √ a3 √ 3· 3VSM N C a 12 Vậy d(AC, SM ) = = 2√ = S∆SM N a 15 Cách 2: √ SM · SI a 3a 2 Ta thấy SM + SI = M I nên 4SM I vuông S Suy SH = = ; HM = MI 2 Gọi O = AC ∩ BD; N là trung điểm cạnh BC ta có AC k (SM N ) Do đó, d(AC, SM ) = d(AC, (SM N )) = d(O, (SM N )) = d (H, (SM N )) Th.s Nguyễn Chín Em 585 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (589) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ HM 3a Gọi K là hình chiếu H lên M N , ta có 4HKM vuông cân K nên HK = √ = √ SH · HK a Vậy d(AC, SM ) = √ = SH + HK Chọn đáp án A Câu 397 ’ = Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 có tất các cạnh a, BCD ◦ 0 0 ÷ ÷ A D D = BB A = 60 Khoảng cách hai đường thẳng A0 D và CD0 √ √ a a A B 3 √ √ a a C D A0 D0 B0 C0 A D B C -Lời giải AA0 = 120◦ , ÷ Từ kiện đề bài, ta suy CD0 = a; A0 D = a, B A0 D0 ◦ 0 ÷ AA D = 120 Ta có B0 C0 # » A0 C = A0 C Ä # » # » # »ä2 = A0 B + A0 D0 + A0 A A D # » # » # » # » # » # » = A0 B 02 + A0 D02 + A0 A2 + 2A0 B · A0 D0 + 2A0 B · A0 A + 2A0 D0 · A0 A B C A0 D + 2A0 B · A0 A cos B A0 A + 2A0 D · A0 A cos D A0 A ◊ ÷ ÷ = a2 + a2 + a2 + 2A0 B · A0 D0 cos B = 3a2 + · a · a cos 60◦ + · a · a cos 120◦ + · a · a cos 120◦ = 2a2√ ⇒ = a Suy ∆A0 DC, ∆D0 AC vuông cân D và D0 Gọi H là trung điểm A0 C ⇒ DH ⊥ (A0 D0 C) Đặt d(A0 D, CD0 ) = h Dựng hình chữ nhật A0 D0 CE cho A0 C h = d(A0 D, (D0 CE)) = d(A0 , (D0 CE)) = · d(H, (D0 CF )) = 2HJ a Gọi K là trung điểm CE: HK = DC = 2 √ a D H = A0 C = (Do ∆D0 A0 C vuông cân D0 ) 2 √ 1 a Suy = + = + ⇒ HJ = HJ HK D0 H 2√ a2 a2 a Vậy d(A0 D, CD0 ) = 2HJ = D0 J D C K H A0 Chọn đáp án B E Câu 398 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, AB = BC = cm và SB vuông góc với mặt phẳng (ABC) Khoảng cách √ hai đường thẳng SB và √ AC là A cm B cm C cm D cm -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 586 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (590) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm AC Tam giác ABC vuông cân B nên BM ⊥ AC Mặt khác BM ⊥ SB nên BM là√đoạn vuông góc chung SB và AC √ AB Suy d(AC, SB) = BM = = cm S B C M A Chọn đáp án B ’ = 60◦ , mặt bên SAB là tam giác Câu 399 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H, M , N là trung điểm các cạnh AB, SA, SD và P là giao điểm (HM N ) với CD Khoảng cách từ trung điểm K đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HM N ) √ √ √ √ a 15 a 15 a 15 a 15 A B C D 30 20 15 10 -Lời giải Xét hình chóp S.ABCD hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó ta có a a B ; 0; , H(0; 0; 0), A − ; 0; , Ç Ç √ å Ç2 å √ å √ Có a a a S 0; 0; , C 0; ; , D −a; ;0 2 M N k AD nên suy P là trung điểm CD TheoÇcông thức Ç ta suy å điểm, √ trung √ √ å a a a a a M − ; 0; , N − ; ; , 4 å Ç √ å Ç √ √ a a a a a P − ; ;0 , K − ; ; 2 4 Ç å Ç √ √ å a a a a # » # » ; , HM = − ; 0; Ta có M N = − ; 4 4 S M N K A D H P B î # » # »ó Véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (HM N ) là #» n = M N , HM = Ç √ √ å 3a2 a2 a2 ; ; 16 16 16 C Phương trình mặt phẳng (HM N ) là √ √ √ 3a2 a2 a2 (x − 0) + (y − 0) + (z − 0) = ⇔ 3x + y + z = 16 16 16 √ √ √ a a a − + + √ 4 a 15 √ Vậy khoảng cách cần tìm là d [K, (HM N )] = = 20 3+1+1 Chọn đáp án B Câu 400 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Cho SA hợp với đáy góc 30◦ Khoảng cách hai đường thẳng SA và BC √ √ √ √ a 2a a a B C D A 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 587 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (591) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung ® điểm BC Do tam giác ABC nên AM ⊥ SM ⊥ BC BC Khi đó ⇒ BC ⊥ (AM S) AM ⊥ BC Trong mặt phẳng (SAM ) kẻ M H ⊥ SA Theo chứng minh trên ta có BC ⊥ M H Do đó d (SA, BC) = HM ¤ ⁄ ’ Do giả Vì SM ⊥ (ABC) nên (SA, (ABC)) = (SA, AM ) = SAM ◦ ’ thiết suy SAM = 30 Xét tam giác vuông AM H ta có √ √ 3 a a ÷ = AM · sin 30◦ = M H = AM · sin HAM · = 2 S H A 30◦ C M B Chọn đáp án D ’ = 120◦ Câu 401 Cho hình hộp đứng ABCD.A0 B C D0 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC Tính khoảng cách hai đường thẳng A0 C và BB √ √ a a a B a D √ A C 2 -Lời giải Do giả thiết suy BB k (AA0 C C) Do đó d BB , A0 C = d BB , AA0 C C = d B, AA0 C C A0 D0 B0 Vì AA0 ⊥ (ABCD) nên AA0 ⊥ BD Do ABCD là hình thoi, ta suy BD ⊥ AC Khi đó BD ⊥ (AA0 C C) Giả sử {O} = AC ∩ BD suy d (B, (AA0 C C)) = OB ’ = 120◦ suy BAD ’ = 60◦ đó tam giác ABD Vì ABC a là tam giác Ta có BD = a nên OB = C0 A D O B Chọn đáp án C C Câu 402 Trong không gian cho hai đường thẳng chéo d và ∆, vuông góc với và nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung A ∈ d, B ∈ ∆ Trên d lấy điểm M , trên ∆ lấy điểm N cho AM = 2a, BN = 4a Gọi I là tâm mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABM N Khoảng cách hai đường thẳng AM và BI là √ 4a 4a 2a A √ B a C D 17 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 588 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (592) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do ® giả thiết ta có BN ⊥ AB ⇒ BN ⊥ (M AB) BN ⊥ AM Suy BN ⊥ BM Chứng minh tương tự ta có M A ⊥ (M AB) suy AN ⊥ AM Do đó hai điểm A, B nhìn M N góc 90◦ nên A, B, M , N cùng thuộc mặt cầu đường kính M N Trong mặt phẳng (M AB) ta kẻ IK k M A Trong mặt phẳng (N AB) ta kẻ AH ⊥ BK Theo chứng minh trên suy IK ⊥ (ABN ) nên IK ⊥ AH M I K A N H ® Khi đó B AH ⊥ BK AH ⊥ IK ⇒ AH ⊥ (IKB) Do đó d (AM, IB) = d (AM, (IKB)) = d (A, (IKB)) = AH » √ √ Xét tam giác vuông ABN ta có AN = AB + BN = a2 + (4a)2 = 17a √ 17a AN = Do cách dựng ta có KA = KN nên BK = 2 ’ = BN = √4 Ta có sin BAN AN 17 √ 1 17a ’ Mà S∆ABK = · AB · AK · sin BAK = · a · ·√ 2 17 √ 17a 4a Suy AH = √ Mặt khác S∆ABK = · AH · BK = · AH · 2 17 4a Vậy khoảng cách AM và BI √ 17 Chọn đáp án A Câu√403 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) là a √ Tính khoảng cách từ C đến √ mặt phẳng (SBD) √ √ a a A B C 6a D a -Lời giải • Gọi O là giao điểm đường chéo AC, BD Khi đó, O là giao S điểm AC và mặt phẳng (SBD) d(C, (SBD)) OC = =1 • Ta có d(A, (SBD)) OA √ nên d(C, (SBD)) = d(A, (SBD)) = a A D O B C Chọn đáp án D a Câu 404 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OB = , OA = 2OB, OC = 2OA Khoảng cách hai đường thẳng OB và AC bao nhiêu? Th.s Nguyễn Chín Em 589 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (593) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 a 3a 2a A √ B √ C √ 5 -Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên cạnh AC (1) Ta có OB ⊥ (OAC) nên OB ⊥ OH (2) Từ (1) và (2) suy OH là đoạn vuông góc chung OB và AC Do đó 2a D √ d(OB, AC) = OH = C H OA · OC 2a a · 2a =√ =√ 2 AC a + 4a O B A Chọn đáp án C Câu 405 Cho tứ diện ABCD có ∆BCD vuông cân C và ABD là tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với mp(BCD) Tính khoảng cách AC với BD √ √ √ a a a a A B C D 2 -Lời giải Gọi H là trung điểm BD nên từ giả thiết suy AH ⊥ A BD và CH ⊥ BD Khi đó BD ⊥ (AHC) Trong mặt phẳng (AHC), kẻ HI ⊥ AC Hơn nữa, từ BD ⊥ (AHC) ta suy HI ⊥ BD Vậy HI là đoạn vuông góc chung AC với BD I Tam giác AHC vuông tai H có đường cao HI nên D 1 1 16 C = + = + = H HI AH HC 3a2 3a2 a2 4 √ B a Vậy khoảng cách AC và BD là Chọn đáp án B Câu 406 Cho ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD); góc SC với (ABCD) 45◦ Khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SBC đến mặt phẳng (SAC) √ √ √ √ a 55 a 55 2a 55 a 21 A B C D 33 22 33 21 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB S Vì tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) ’ = 45◦ Suy tam Khi đó góc SC với (ABCD) là SCH giác SCH vuông cân H nên √ F p a 2 SH = CH = BC + BH = M a A D d(G, (SAC)) GM G Ta có = = (với M là trung điểm SC) E d(B, (SAC)) BM d(B, (SAC)) BA a H Hơn = = d(H, (SAC)) HA Khi đó d(G, (SAC)) = d(H, (SAC)) B C Th.s Nguyễn Chín Em 590 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (594) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ HE ⊥ AC (trong mặt phẳng (ABCD)) Khi đó AC ⊥ (SHE) Kẻ HF ⊥ SE (trong mặt phẳng (SHE)) Khi đó HF ⊥ (SAC) hay HF = d(H, (SAC)) a a Ta có tam giác AHE vuông cân E và AH = nên HE = √ 2 Hơn nữa, vì tam giác SHE vuông H và có đường cao HF nên 1 = + = + ⇔ HF = HF HE SH 5a a 2 Vậy khoảng cách cần tìm là d(G, (SAC)) = d(H, (SAC)) = · 3 √ 55a 22 √ √ 55a 55a = 22 33 Chọn đáp án A Câu 407 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có cạnh đáy a Biết góc hai mặt phẳng (A0 BC) và (A0 B C ) 60◦ , M là trung điểm B C Tính khoảng cách từ điểm M đến√mặt phẳng (A0 BC) √ 3 A a B a C a D a A0 C0 B0 M A C B -Lời giải d(M, (A0 BC)) MC = = ; d(B , (A0 BC)) = d(A, (A0 BC)) d(B, (A BC)) BC Vì (A0 B C ) k (ABC) nên góc (A0 BC) và (A0 B C ) góc (A0 BC) và (ABC) HA là góc hai mặt ÷ Kẻ AH ⊥ BC H ⇒ A0 H ⊥ BC Suy ra, A HA = 60◦ ÷ phẳng (A0 BC) và (ABC) Do đó, A 0 Kẻ AK ⊥ A H K ⇒ AK ⊥ (A BC) BC)) = AK Do đó, d(A, (A√ a 3a HA = ÷ Ta có AH = ; A A = AH · tan A 2 Ta có A0 C0 B0 M K A C H B Tam giác A0 AH vuông A có AK là đường cao, suy AK = √ 3a Vậy d(M, (A0 BC) = AK = Chọn đáp án A AA0 · AH 3a = 02 AA + AH Câu 408 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính 3a AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) , SA = Tính khoảng cách BD và SC √ √ √ √ 3a a 5a 5a A B C D 4 12 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 591 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (595) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Kẻ đường thẳng CE song song với BD (E ∈ AD); CE ∩ AB = F Khi đó d(BD, SC) = d(BD, (SCE)) = d(D, (SCE)) = d(A; (SCE)) Ta có tam giác AF E vuông F và AF = 3a Hạ AH ⊥ SF H ⇒ AH √ ⊥ (SCE) 3a ⇒ d(A; (SCE)) = AH = √4 a Từ đó có d(BD, SC) = Chương - Hình học 11 S A O B D E C F Chọn đáp án B Câu 409 Cho tứ diện ABCD có tất các cạnh a > Khi đó khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD) √ √ √ √ a a a a A B C D 3 3 -Lời giải Gọi H là hình chiếu A trên mặt phẳng (DBC) Khi đó d (A, (DBC)) = A AH Vì AD = AB = AC nên HD = HB = HC √ a hay H là trọng tâm tam giác ABC Ta có DH = DM = 3 √ √ a AH = AD2 − DH = D C H M B Chọn đáp án B Câu 410 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), ABCD√là hình thang vuông có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC, đồng thời đường cao AB = BC = a Biết SA = a 3, đó khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng SC là √ √ √ a 10 2a A B C a 10 D 2a 5 -Lời giải Kẻ BH®⊥ SC (H ∈ SC) thì d(B, SC) = BH S BC ⊥ AB Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Suy 4SBC BC ⊥ SA vuông B Xét tam giác SBC, ta có 1 1 = + = + = 2 2 2 BH SB √ BC SA + AB BC 4a 2a ⇒ BH = H A M D B Chọn đáp án B C Câu 411 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy 4ABC cạnh a tâm O Hình chiếu C lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm 4ABC Cạnh bên CC tạo với mặt phẳng đáy (ABC) góc 60◦ Th.s Nguyễn Chín Em 592 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (596) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng A0 B √ 7a a a A B C 2 -Lời giải Gọi N là trung điểm A0 B , ta có A0 B ⊥ (OC N ) nên khoảng cách từ O đến A0 B √ chính là đoạn√ON a a Ta có C N = , OC = , OC = OC · tan 60◦ = a Mà A0 B ⊥ (OC N ) nên 4OC N vuông C , suy √ p a ON = OC 02 + C N = D A0 7a B0 N C0 A B O C Chọn đáp án C ABCD.A0 B C D0 Câu 412 Cho hình hộp chữ nhật hai mặt phẳng (AD0 B ) và (C BD) abc A √ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 abc C √ 2 a b + b2 c2 + c2 a2 -Lời giải có AB = a, BC = b, CC = c Tính khoảng cách abc a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 abc D √ 2 a b + b2 c2 + c2 a2 B √ A0 D0 O0 B0 A0 C0 O0 C0 M I A N D O B C A O C Gọi thêm các điểm hình vẽ đó M , N là giao điểm A0 C với mặt phẳng (AD0 B ) và mặt phẳng (C BD) Do I là trung điểm A0 C và M, N là trọng tâm 4AA0 O0 và 4CC O nên suy A0 M = M N = N C Lại có (AB D0 ) k (C BD) Từ đó ta có d(A0 , (AB D0 )) = d((AB D0 ), (C BD)) 1 1 abc Mà = + 02 + 02 ⇒ d(A0 , (AB D0 )) = √ 0 02 2 d (A , (AB D )) AA AB AD a b + b2 c2 + c2 a2 Chọn đáp án B Câu 413 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách hai đường thẳng AA0 và BD A B √ √ C D B0 A0 593 D0 B A Th.s Nguyễn Chín Em C0 C D https://emncischool.wixsite.com/geogebra (597) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi O ®là trung điểm BD AO ⊥ AA0 Ta có AO ⊥ BD √ AC Suy d(AA , BD) = AO = = 2 B0 C0 A0 D0 B C O A D Chọn đáp án D Câu 414 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a > 0, AC = BD = b > 0, AD = BC = c > Các biểu thức a2 + b2 − c2 , a2 + c2 − b2 , c2 + b2 − a2 có giá trị dương Khoảng cách d hai đường thẳng AB và CD … … … … b2 + c2 + a2 a2 + c2 − b2 b2 + c2 − a2 b2 + a2 − c2 A d = B d = C d = D d = 2 2 -Lời giải Gọi E, F là trung điểm cảu AB và CD A Dễ chứng minh các tam giác CED cân E và tam giác AF B cân F Suy EF là đoạn vuông góc chung AB và CD Vậy d = EF E b2 + c2 a2 − Trong tam giác ABC trung tuyến CE = Trong tam giác CF E vuông F có: Å ã B D √ b + c2 a2 a2 2 F E = CE − CF = − − 4 … F 2 b +c −a C Suy d = EF = Chọn đáp án C Câu 415 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Tính khoảng √ cách hai đường thẳng √ SB và CD A 2a B a C a D a -Lời giải Vì CD k AB nên CD k (SAB) S Mà SB ⊂ (SAB) nên d(CD, SB) = d [CD, (SAB)] = d [D, (SAB)] ® Ta có DA ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) DA ⊥ AB ⇒ DA ⊥ (SAB), đó A d [D, (SAB)] = DA = a D Vậy khoảng cách hai đường thẳng SB và CD là a B Chọn đáp án D C ’ = 60◦ , SO ⊥ (ABCD) Câu 416 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ABC 3a và SO = Đặt x = d (O, (SAB)), y = d (D, (SAB)), z = d (CD, SA) Tổng x + y + z √ 15a 15a 9a 15a 13 A B C D 8 26 -Lời giải √ a Tam giác ABC cạnh a nên đường cao CM = √ a Gọi N là trung điểm AM ⇒ ON ⊥ AB và ON = Th.s Nguyễn Chín Em 594 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (598) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ OH ⊥ SN ⇒ d (O, (SAB)) = OH √ 1 1 a 3a = + ; ON = CM = ; SO = ⇒ 2 OH SO ON 4 3a OH = 3a x = d (O, (SAB)) = y = d (D, (SAB)) = 2d (O, (SAB)) = 2x z = d (CD, SA) = d (D, (SAB)) = 2x 15a Vậy x + y + z = 5x = S H C 60◦ B M O N D A Chọn đáp án A ABC.A0 B C Câu 417 Cho hình lăng trụ có tất các cạnh a M là trung điểm AA0 Tìm khoảng cách hai đường thẳng M B và BC √ √ a a a A a B C D -Lời giải Gọi E, F là trung điểm BB và CC A0 C0 0 Gọi H, I là trung điểm EF và B C Gọi K là hình chiếu vuông góc H lên M I Ta có EF k B C ⇒ EF k (M B C ) K I Ta M F 0 0 d(M B , BC) = 2d(M B , EF ) = 2d(EF, (M B C )) = 2HK B0 √ H a Ta có 4M EF cạnh a nên M H = 4√ A C 1 a Ta có = + ⇒ HK = E HK M H √ HI 2 a Vậy d(M B , BC) = B Chọn đáp án D Câu 418 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, biết SA ⊥ (ABC) và AB = 2a, AC = 3a, SA = 4a Tính√khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ 12a 61 2a a 43 6a 29 A d = B d = √ C d = D d = 61 12 29 11 -Lời giải Kẻ ® AM ⊥ BC M Kẻ AH ⊥ SM H S SA ⊥ BC Vì nên BC ⊥ (SAM ) ⇒ BC ⊥ AH AM ⊥ ® AH ⊥ BC Từ ⇒ AH ⊥ (SBC) AH ⊥ SM Nên AH là khoảng cách từ A đến (SBC) 1 1 1 H Ta có = + = + + AH √AS AM AS AB AC 12a 61 A C ⇒ AH = 61 M B Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 595 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (599) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 419 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a (tham khảo hình vẽ 0 bên) Khoảng cách hai đường thẳng BB √ và A C √ √ 2a D 2a A 3a B a C A D B C A0 D0 B0 C0 -Lời giải Ta có A ® 0 BO ⊥AC B B O0 ⊥ BB C √ B D0 a ⇒ d(BB , A C ) = B O = = 2 0 D 0 A0 O0 B0 D0 C0 Chọn đáp án C Câu 420 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a Biết tam giác SAB có ’ = 60◦ và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng ABS (SBC) theo a √ √ √ √ a 21 a A d = B d = 3 C d = 2a D d = -Lời giải CA ⊥ AB (ABC) ⊥ (SAB) ⇒ CA ⊥ (SAB) (ABC) ∩ (SAB) = AB Kẻ AK®⊥ SB K và AH ⊥ CK H SB ⊥ AK ⇒ SB ⊥ (ACK) ⇒ SB ⊥ AH Ta có SB ⊥ CA ® AH ⊥ CK Do ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A; (SBC)) = AH AH ⊥ SB √ a ’ = a sin 60◦ = Xét 4ABK, ta có AK = AB · sin ABK Ta có C H A S K √ 1 a 21 Xét 4ACK, ta có = + = ⇒ AH = AH AK AC 3a Chọn đáp án A B √ √ √ Câu 421 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có cạnh AB = a 2, AD = a 6, AA0 = 2a Tính côsin góc đường thẳng BD0 và mặt phẳng (B D0 C) … … … 35 1 A B C √ D 38 11 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 596 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (600) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là hình chiếu vuông góc B trên mặt phẳng (B D0 C), suy D0 H là hình chiếu D0 B trên mặt phẳng H = ϕ là góc đường thẳng ÷ (B D0 C) Do đó góc BD 0 BD và mặt phẳng (B D C) Gọi I là giao điểm B C và CB , ta có I là trung điểm BC ⇒ d(B, (B D0 C)) = d(C , (B D0 C)) Xét 4BD0 H, ta có BH d(B, (B D0 C)) d(C , (B D0 C)) sin ϕ = = = DB D0 B D0 B A0 B0 D0 C0 H I (∗) B A D Xét tứ diện C D0 B C có C D0 ; C B ; C C đôi vuông góc với C , ta có C 1 19 + + 02 = ⇒ d(C , (B D0 C)) = a = 0 02 d (B, (B D C)) CC CB CD 24a2 √ Mà độ dài đường chéo hộp…DB = 2a2 + … 6a2 + 8a2 = 4a 35 Từ (∗), suy sin ϕ = · ⇒ cos ϕ = 19 38 … 24 19 Chọn đáp án A Câu 422 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh 2a Gọi I là trung điểm AB Biết hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm CI, góc SA và mặt đáy 60◦ (tham khảo hình vẽ bên).√Khoảng cách giữa√hai đường thẳng√SA và CI √ a 57 a a 21 a 42 A B C D 19 S A C H I B -Lời giải Vì AH là hình chiếu SA lên mặt đáy nên góc SA ’ suy SAH ’ = 60◦ và mặt đáy góc SAH, Gọi L là trung điểm SB, K là đỉnh thứ tư hình chữ nhật HIAK Khi đó (SAK) k (LIC) Suy khoảng cách SA và CI khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAK) Ta có AK ⊥ (SKH), đó 4SHK ta kẻ HT ⊥ SK thì HT ⊥ (SAK) Từ đó, khoảng cách từ H đến (SAK) HT S T L K A C H I B √ Å ã2 √ √ AB a 21 ◦ Ta có HK = = a, SH = AH · tan 60 = a2 + ·a · 3= , 2 √ a 21 √ a· HK · HS a 21 HT = √ =… = HK + HS 21a a2 + √ a 21 Vậy khoảng cách SA và CI Th.s Nguyễn Chín Em 597 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (601) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu 423 Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD √ √ a a 3a B d(AB, CD) = a C d(AB, CD) = D d(AB, CD) = A d(AB, CD) = 2 -Lời giải Lấy N , H là trung điểm CD, AB ® Theo bài ra, hai tam giác ACD và BCD đều, suy AN ⊥ CD BN ⊥ CD A ⇒ CD ⊥ (ABN ) ⇒ CD ⊥ N (1) √H a Hơn nữa, AN = BN = suy tam giác ABN cân N , suy N H ⊥ AB (2) Từ (1) và (2) suy d(AB, CD) = N H Xét tam giác vuông AHN , có … √ 2 √ 3a a a N H = AN − AH = − = 4 √ a Vậy d(AB, CD) = N H = H B C O M N D Chọn đáp án D Câu 424 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD √ có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = a 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc SC và mặt phẳng (ABCD) 60◦ Gọi M là trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (ABCD) a 3a A d (M, (ABCD)) = B d (M, (ABCD)) = √ 2√ C d (M, (ABCD)) = 2a D d (M, (ABCD)) = a S M A B D C -Lời giải ’ = 60◦ Do SA ⊥ (ABCD) suy góc SC và√đáy là SCA Do ABCD là hình chữ nhật nên AC = a Trong tam giác vuông SAC có SA = AC · tan 60◦ = 3a 3a Do M là trung điểm cạnh SB nên d(M, (ABCD)) = d(S, (ABCD)) = 2 Chọn đáp án B (1) (2) ’ = 60◦ Đường Câu 425 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, có cạnh a và có góc BAD 3a thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là √ √ √ 2a a 3a 3a A B C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 598 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (602) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 • Gọi O là giao điểm AC và BD, H là hình chiếu O trên mặt phẳng (SBC) Ta có d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) = 2OH ’ = 60◦ nên OCB ’ =√ • BAD 30◦ a a Do đó OB = và OC = 2 • ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD Do đó OSBC là tam diện vuông S H A B O D M C Ta có 1 1 4 16 64 = + + = + + = OH OS OB OC 3a a 9a 9a 3 Suy OH = a ⇒ d(A, (SBC)) = a Chọn đáp án C ’ = 30◦ , tam giác SBC là tam Câu 426 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, ABC giác cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) √ √ √ √ 2a 39 a 39 a 39 a 39 A h = B h = C h = D h = 13 13 26 52 -Lời giải • Gọi H là hình chiếu S lên (ABC) ⇒ H là trung điểm BC Gọi K là S trung điểm AB, 4ABC vuông A nên AB ⊥ HK Lại có AB ⊥ SH nên AB ⊥ (SHK) Gọi I là hình chiếu H trên SK, ta có HI ⊥ (SAB) d(C, (SAB)) • Ta có = ⇒ d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)) = 2HI d(H, (SAB)) I A C H K B √ a AC a • Ta có SH = và HK = = Tam giác SHK vuông H, có HI là đường cao nên 2 √ 1 16 52 a 39 = + = + = ⇒ HI = HI SH HK 3a a 3a 26 √ a 39 Vậy d(C, (SAB)) = 13 Chọn đáp án B Câu 427 D có đáy ABCD là hình Cho lăng trụ ABCD.A0 B C√ chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A0 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng √ (A BD) √ √ √ a a a a A B C D A0 D0 B0 C0 A D O B C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 599 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (603) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 • Ta có B C song song với (A0 BD) nên d(B , (A0 BD)) = d(C, (A0 BD)) • Gọi H là hình chiếu C lên BD Khi đó CH ⊥ (A0 BD) nên d(C, (A0 BD)) = CH • Ta có √ √ BC a a ’ CH = CD · sin ODC = a · =a· = BD 2a A0 D0 B0 C0 A D H O B C Chọn đáp án C Câu 428 Cho hình chóp S.ABCD có AB = 2a, SO = a với O là giao điểm AC và BD Khoảng cách từ √ điểm O đến mặt phẳng (SCD) √ √ a a a A C B a D 2 -Lời giải Gọi I là trung điểm CD và H là trung điểm SI S Vì SC = SD nên SI ⊥ CD mà SO ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SOI) Suy CD ⊥ OH (1) BC = a nên 4SOI cân O ⇒ OH ⊥ SI (2) Lại có OI = H Từ (1) và (2) suy OH ⊥ (SCD) B C √ √ SI SO a Dẫn tới d [O, (SCD)] = OH = = = 2 I O A D Chọn đáp án D Câu 429 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC = a Gọi M là trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AB và OM a 2a a a A B C √ D √ 3 -Lời giải Chọn tọa độ Oxyz cho OA, OB, OC là Ox, Oy, Oz và A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a), hệ a a # » # » # » a a M 0; ; , AB = (−a; a; 0), OA = (a; 0; 0), OM = 0; ; 2 2 Ä # » # »ä # » AB ∧ OM OA a Ta có d(AB, OM ) = =√ # » # » AB ∧ OM Chọn đáp án C Câu 430 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC = a Gọi M là trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AB và OM a 2a a a A B C √ D √ 3 -Lời giải Chọn tọa độ Oxyz cho OA, OB, OC là Ox, Oy, Oz và A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a), hệ a a # » # » # » a a M 0; ; , AB = (−a; a; 0), OA = (a; 0; 0), OM = 0; ; 2 2 Ä # » # »ä # » AB ∧ OM OA a Ta có d(AB, OM ) = =√ # » # » AB ∧ OM Chọn đáp án C Câu 431 √ Cho tứ diện ABCD√có cạnh Khoảng cách hai đường thẳng AB và CD A 3 B C D Th.s Nguyễn Chín Em 600 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (604) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Gọi H, K là √ trung điểm AB, CD √ Ta có AK = BK = = 3 (đường cao hai tam giác ACD và BCD) ⇒ tam giác ABK cân K ⇒ HK ⊥ AB (1) Mặt khác CD ⊥ (ABK) (do AK ⊥ CD, BK ⊥ CD) ⇒ HK ⊥ CD (2) Từ (1), (2) ⇒ HK là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AB và CD √ √ ⇒ d(AB, CD) = HK = AK − AH = A H B D K C Chọn đáp án B Câu 432 Hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Tính khoảng cách từ A đến mặt bên (SBC) √ √ √ √ a a a B C D A a 6 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm BC, H S là hình chiếu O trên SM d(A, ® (SBC)) = 2d(O, (SBC)) BC ⊥ OM ⇒ BC ⊥ (SOM ) ⇒ (SOM ) ⊥ (SBC) BC ⊥ SO ⇒ OH ⊥ (SBC) nên√ d(O, SBC) = OH H AC a AB a A B Ta có SO = = , OM = = 2 2 1 M Xét 4SOM vuông O ta có = + = O 2 OH OM SO a D C √ a ⇒ OH = √ a Vậy d(A, (SBC)) = · OH = Chọn đáp án D Câu 433 Cho hình chóp S.ABCD √ có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a (Tham khảo hình vẽ bên) Khi đó khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) √ a B a C 2a D a A √ S A B D C -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 601 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (605) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là trung điểm AC Do ABCD là hình vuông nên OB ⊥ AC Do SA ⊥ (ABCD) và OB nằm trên mặt phẳng (ABCD) nên SA ⊥ OB Do OB ⊥ AC và OB ⊥ SA nên OB ⊥ (SAC), hay BO = d(B, (SAC)) Do BO có độ dài nửa đường chéo hình vuông cạnh a a nên BO = √ S A D O B C a Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) √ Chọn đáp án A Câu 434 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA = a, SA ⊥ (ABC), I là trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng SI và AB là? √ √ √ √ a 17 a 57 a 23 a 17 A B C D 19 7 -Lời giải Gọi J là trung điểm AC, K là hình chiếu A lên IJ, H là hình chiếu A lên SK Do AB song song với IJ nên AB k (SIJ), đó d(AB, SI) = d(AB, (SIJ)) = d(A, (SIJ)) Theo cách dựng có IJ ⊥ AK, lại có IJ k AB ⊥ SA nên IJ ⊥ (SAK) Do (SAK) ⊥ IJ nên AH ⊥ IJ, và AH ⊥ SK theo cách dựng nên AH ⊥ (SIJ) Từ đó suy d(AB, SI) = AH S H K A C J I B √ 1 π a Ta có AK = d(A, IJ) = d(AB, IJ) = d(I, AB) = d(C, AB) = AC sin = 2 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SAK ta 1 16 19 = + = + = 2 2 AH AK AS 3a a 3a √ a 57 Vậy d(AB, SI) = AH = 19 Chọn đáp án B Câu 435 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA và BC √ √ A 2a B a C a D a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 602 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (606) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dễ thấy AB là đường vuông góc chung SA và BC, từ đó suy d(SA, BC) = AB = a S A C B Chọn đáp án C Câu 436 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ√A đến (SCD) √ √ 21 A B C D -Lời giải Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) S Gọi K là trung điểm CD ⇒ HK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SHK) Trong mặt phẳng (SHK) dựng HI ⊥ SK ⇒ HI ⊥ (SCD) Ta có AH k (SCD) ⇒ d (A, (SCD)) = d (H, SCD) = HI I √ Tam giác SAB ⇒ SH = và HK = √ A 1 21 D = + ⇒ HI = Xét ∆SHK có HI SH HK H K B C Chọn đáp án B Câu 437 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, G là trọng tâm tam giác ABC Góc mặt bên với đáy 60◦ Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) a a 3a 3a A B C D 4 -Lời giải Gọi I là trung điểm BC S Trong mặt phẳng (SAI), kẻ GH ⊥ SI (1) ® BC ⊥ AI Ta có: ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ GH (2) BC ⊥ SI Từ (1), (2) ⇒ GH ⊥ (SBC) ⇒ d (G; (SBC)) = GH (SBC) ∩ (ABC) = BC SI ⊥ BC ⇒ ((SBC); (ABC)) = (SI; AI) = AI ⊥ BC ‘ = SIG ‘ = 60◦ √ SIA √ √ a a a ◦ ⇒ GH = GI sin 60 = · = Ta có GI = AI = 6 Có: Chọn đáp án B H A C I G B √ ’ 120◦ Hai Câu 438 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh AB = 2a 3, góc BAD mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 45◦ Tính khoảng cách√ h từ O đến mặt phẳng (SBC) √ √ a 3a a A h = B h = C h = D h = 3a Th.s Nguyễn Chín Em 603 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (607) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời ® giải (SAB) ⊥ (ABCD) Vì ⇒ SA ⊥ (ABCD) Từ giả thiết (SAD) ⊥ (ABCD) ta suy ∆ABC và ∆SBC cân S Gọi M là trung điểm BC Ta có AM ⊥ BC và SM ⊥ BC đó ’ ((SBC), (ABCD)) = SM A = 45◦ Gọi I là trung điểm AM suy OI k BC ⇒ OI k (SBC) Do đó d (O, (SBC)) = d (I, (SBC)) Gọi H là hình chiếu vuông góc I lên SM, ta có d (I, (SBC)) = IH Vì ∆ABC và vuông cân nên √ ∆SAM √ √ 2a · AM = SA = = 3a ⇒ SM = 3a 2 3a · 3a IM · SA = Vì ∆HIM ∼ ∆SAM nên IH = = √ SM 3a √ 3a Chọn đáp án B S H A ◦ 120 B I ◦ 45 O D M C Câu 439 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc (SCD) và (ABCD) 60◦ Gọi M là trung điểm cạnh AB Biết hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) nằm hình vuông ABCD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SM và AC √ √ √ √ a 5a 2a 2a 15 A B C D 5 -Lời giải S I A ◦ O M B D 60 H N K P C Gọi H là hình chiếu S lên (ABCD), vì SA = SB nên HA = HB Do đó H nằm trên đường trung trực AB, mà M là trung điểm AB suy M H là trung trực AB Gọi N = M H ∩ CD suy N là trung điểm CD √ ÷ Xét ∆SM N ta có SM = a 3, M N = 2a, SN M = 60◦ Áp dụng định lí sin ta MN SM ÷ ÷ = ⇒ sin(M SN ) = ⇒ M SN = 90◦ ÷ ÷ sin(M SN ) sin(SN M ) Vậy ∆SM H vuông S và SH là đường cao Suy Ç √ å2 2a 2 MS 3 M H · M N = M S2 ⇒ M H = = = · 2a ⇒ M H = · M N MN 2a 4 Gọi P là trung điểm BC, suy M P ⊥ BD Gọi K là điểm thuộc M P cho M K = · M P Th.s Nguyễn Chín Em (1) (2) (3) 604 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (608) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Từ (1) và (3), áp dụng định lí Talet cho tam giác M N P, suy HK k P N k BD Từ (2) và (4), suy HK ⊥ M P Gọi I là hình chiếu H lên SK, suy IH ⊥ (SM P ) Ta lại có √ a 3 3a ◦ ◦ SH = HN tan 60 = M N · tan 60 = và HK = · BD = √ 4 2 (4) Vì AC k M P ⇒ AC k (SM P ) nên √ 2 a d(AC, SM ) = d(AC, (SM P )) = d(O, (SM P )) = d(H, (SM P )) = IH = 3 Chọn đáp án A √ Câu 440 Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AD và BC √ a a A a B C D 2a 2 -Lời giải Gọi M®là trung điểm BC A DM ⊥ BC Ta có ⇒ BC ⊥ (ADM ) AM ⊥ BC K Từ M kẻ M K ⊥ AD với K là trung điểm AD Suy d(AD; BC) = M K √ p D 2 a S∆ADM = P (P − AD)(P − AM ) = C Mặt khác SADM = · AD · M K ⇒ M K = a H M B Chọn đáp án A Câu 441 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy là tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Gọi M , N , P lầ lượt là trung điểm AC, CC , A0 B và H là hình chiếu A lên BC Tính khoảng cách M P và N H √ √ √ a a A C B a D a -Lời giải Gọi E, I, K là trung điểm AB, A0 B , A0 C , ta có (BCC B ) k B H C (EM KI) E Mà N H ⊂ (BCC B ); M P ⊂ (EM KI) M ⇒ d (M P, N H) = d ((BCC B ) , (EM KI)) = AH A √ AB.AC a Do AH = √ = N AB + √ AC P a ⇒ d (M P, N H) = B0 C0 I K A0 Chọn đáp án A Câu 442 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Gọi I, J là trung điểm BC và AD Tính khoảng … cách d hai mặt phẳng (AIA0 ) và (CJC ) √ √ √ a 3a A d = 2a B d = 2a C d = D d = 5 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 605 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (609) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ® Chương - Hình học 11 AI k CJ ⇒ (AIA0 ) k (CJC ) AA0 k CC Kẻ IH ⊥ CJ ⇒ IH ⊥ (CJC ) Do đó d ((AIA0 ), (CJC )) = d (I, (CJC )) = IH a √ a· IJ · IC a Ta có IH = √ =… a 2 = IJ + IC 2 a + √ a Vậy d ((AIA0 ), (CJC )) = Từ A0 D0 B0 C0 A J D H B I C Chọn đáp án C Câu 443 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông B, SA vuông góc với đáy và 2AB = BC = 2a Gọi d1 là khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) và d2 là khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Tính d = d1 + d2 Ä Ä √ ä √ ä Ä Ä√ ä 5+ a 5+ a √ ä A d = + a B d = + a C d = D d = 5 -Lời giải Từ ® giả thiết SA vuông góc với đáy và ABC vuông B suy CB ⊥ SA ⇒ CB ⊥ (SAB) CB ⊥ AB Do đó d1 = d (C, (SAB)) = BC = 2a Kẻ BH ⊥ AC với H ∈ AC, suy BH ⊥ (SAC) Vì tam giác ABC vuông B nên: √ a · 2a AB · BC 2a =p BH = √ = AB + BC a2 + (2a)2 Do đó d2 = d (B, (SAC)) = BH Ä √ ä √ 5+ a 2a = Vậy d = d1 + d2 = 2a + 5 S A H C B Chọn đáp án C Câu 444 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = a, AB = 3a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) √ √ a a a A B a C D 2 -Lời giải Gọi O là tâm tam giác ABC ⇒ SO ⊥ (ABC) √ ⇒ d (S, (ABC)) = SO √ √ AB Ta có AO = = a ⇒ SO = SA2 − AO2 = a Vậy d (S, (ABC)) = SO = a S 2a A C 3a M O B Chọn đáp án B Câu 445 Th.s Nguyễn Chín Em 606 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (610) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) 60◦ (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng AB và SC √ √ √ a a a A a B C D 2 S A C B -Lời giải √ ’ = 60◦ ⇒ SA = a Góc (SBC) và đáy là góc SBA Dựng hình vuông ABCD, ta có d(AB, SC) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) = AH, với H là hình chiếu A lên SD Xét tam giác SAD vuông A, ta có √ 1 1 a = + = + = ⇒ AH = AH SA2 AD2 3a a 3a S H D A C 60◦ B Chọn đáp án D Câu 446 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O có cạnh AB = a, đường cao SO vuông góc với mặt đáy và SO = a (tham khảo √ hình vẽ bên) √ Khoảng cách √ SC và AB là√ 2a a a 2a A B C D 7 5 S A B O D C -Lời giải Gọi I, J là trung điểm AB, CD Gọi H là hình chiếu O lên SJ Ta có AB k DC ⇒ AB k (SCD) Ta d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) Do vậy, ® d(AB, SC) = d(I, (SCD)) = · d(O, (SCD)) CD ⊥ IJ Ta có ⇒ CD ⊥ (SIJ) ⇒ CD ⊥ OH CD ⊥ SO Ta d(O, (SCD)) = OH √ 1 a Ta có = + ⇒ OH = OH OJ √SO2 2a Vậy d(AB, SC) = S H A I O D Chọn đáp án D B J C Câu 447 Th.s Nguyễn Chín Em 607 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (611) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = a, AA0 = b Gọi M, N là trung điểm AA0 , BB (tham khảo hình vẽ bên) Tính khoảng cách hai đường thẳng B M và CN √ 3ab A d(B M, CN ) = √ 2 12a √ + 4b 3ab B d(B M, CN ) = √ 4a + 12b2 a C d(B M, CN ) = 2√ a D d(B M, CN ) = A C B M N A0 C0 B0 -Lời giải Gọi P, I là trung điểm CC , M P Gọi H®là hình chiếu N lên B I MP ⊥ NI Ta có ⇒ M P ⊥ (B N I) M P ⊥ B0N ® N H ⊥ B0I ⇒ N H ⊥ (M P B ) Ta có NH ⊥ MP Vì CN k B P nên A C B I M P N d(B M, CN ) = d(CN, (M P B )) 0 ⇒ d(B M, CN ) = d(N, (M P B )) H ⇒ d(B M, CN ) = N H A0 C0 B0 √ 1 4 3ab Ta có = 2+ = + ⇒ NH = √ 2 NH BN NI b 3a 12a + 4b2 Chọn đáp án A Câu 448 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B có AB = BC = a, tam giác SAC và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến√(SBC) √ √ a 21 a 42 a 42 A B 2a C D 14 14 S A C B -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 608 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (612) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là trung điểm AC thì SH ⊥ (ABC) Ta có S d(A; (SBC)) AC = =2 d(H; (SBC)) HC Từ H kẻ HM vuông góc với BC (M là trung điểm BC và HK ⊥ SM (K thuộc SM ) Khi đó HK khoảng √ cách từ H đến (SBC) √ là √ √ a 2· a AB a = , HM = = Ta có AC = a 2, SH = 2 2 √ √ SH · HM a 42 a 42 Vậy HK = √ = Từ đó suy d(A; (SBC)) = 14 SH + HM Chọn đáp án C A K H M C B Câu 449 Cho tứ diện ABCD√cạnh 3a Khoảng cách hai cạnh AB, CD là √ 3a 3a 3a A B C a D 2 -Lời giải Gọi I, J là trung điểm AB và CD D Ta có tam giác AJB cân J nên IJ ⊥ AB Tương tự có √ IJ ⊥ DC √ nên d(AB, CD) = IJ 3a Ta có AJ = AD = 2 √ √ 3a Vậy IJ = AJ − AI = A J C I B Chọn đáp án D Câu 450 √ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = a, AD = a Tính khoảng √ cách hai đường thẳng BB và AC √ a A B a √ √ a a C D B0 A0 D0 C0 A B D -Lời giải Vì BB k AA0 nên BB k (ACC A0 ) Suy d(BB , CC ) = d(BB , (ACC A0 )) = d(B, (ACC A0 )) Kẻ BH ⊥ AC H, mặt khác BH ⊥ AA0 nên BH ⊥ (ACC A0 ) ⇒ d(B, (ACC A0 )) = BH Xét 4ABC có BH là đường cao, √ 1 1 a suy = + = + = ⇒ BH = BH AB BC a 3a 3a C B0 A0 D0 C0 A B H D Chọn đáp án D C Câu 451 Th.s Nguyễn Chín Em 609 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (613) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên a Gọi M , N là trung điểm các cạnh SB, SD (tham khảo hình vẽ bên).√Tính khoảng cách hai đường thẳng M N và AB.√ √ a a a a A B C D 32 S N M C D A B -Lời giải Vì AB nằm trên mặt phẳng (ABCD) nên d(M N, AB) = d (M N, (ABCD)) Mặt khác, vì M, N là trung điểm các đường thẳng SB, SD nên M N là đường trung bình tam giác SBD Khi đó, d (M N, (ABCD)) MN = = d (S, (ABCD)) BD √ √ a 2 Gọi O là tâm hình vuông ABCD Tam giác SOC vuông O có SO = SC − OC = √ a Suy ra, d(M N, AB) = d (M N, (ABCD)) = d(S, (ABCD)) = Chọn đáp án C Câu 452 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là √ hình vuông Đường thẳng SD tạo với đáy ABCD 3a , mặt phẳng (SDM ) và mặt phẳng (SAC) cùng góc 60◦ Gọi M là trung điểm AB Biết M D = vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng CD và SM theo a √ √ √ √ a 3a a 15 3a 15 A B C D 4 4 -Lời giải Giả sử AD = x, đó ta có S x2 5x2 DM = AD2 + AM = x2 + = 4 √ x ⇒DM = ⇒ x = 3a Gọi H = DM ∩ AC, đó SH ⊥ (ABCD) và ∆HAM v ∆HDC Từ đó ta có HD = 2HM hay M D = 3M H Ta có SM ⊂ (SAB) và AB k CD nên CD k (SAB) I K M A D H C B ⇒ d (CD, SM ) = d (CD, (SAB)) = d (D, (SAB)) = 3d (H, (SAB)) Kẻ HK ⊥ AB, K ∈ AB và HI ⊥ SK, I ∈ SK ta có HI ⊥ (SAB) ⇒ d (H, (SAB)) = HI = HI 1 + HS HK √ √ √ 2 3a DH = DM = · = a ⇒ HS = HD · tan 60◦ = a 15 3 √ √ 1 3a 15 1 16 a 15 HK = AD = a ⇒ = + = ⇒ HI = ⇒ d (CD, SM ) = HI 15a2 a2 15a2 4 Chọn đáp án D Câu 453 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và thể tích hai đường thẳng SA và BC √ √ a a A B -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em √ a C 610 a3 Tính khoảng cách 12 √ a 10 D 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (614) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là tâm tam giác ABC Thể tích khối chóp S.ABC là √ √ a3 a3 a2 a V = ⇔ S4ABC · SH ⇔ = · · SH ⇔ SH = 12 12 Gọi M là trung điểm BC, kẻ M K ⊥ SA K Ta có BC ⊥ (SAM ) ⇒ BC ⊥ HK Suy M K là đoạn vuông góc chung SA và BC S K A C H M B √ √ a a Vì tam giác ABC cạnh a nên AM = và AH = AM = √ …3 2 √ a a a Tam giác SAH vuông H ⇒ SA = AH + SH = + = 3 1 Xét tam giác SAM, ta có S4SAM = AM.SH = SA.M K 2 √ √ a a √ · AM.SH a √ = ⇔ AM.SH = SA.HM ⇔ M K = = SA a Chọn đáp án B √ Câu 454 Cho hình lăng trụ ABCD.A1 B1 C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1 BD) theo a √ a A √ a B √ a C √ a D -Lời giải Kẻ AH ⊥ BD H ⇒ AH ⊥ (A1 BD) Gọi I là trung điểm AB1 ⇒ d(B, (A1 BD)) = d(A, (A1 BD)) = AH Xét tam giác ABD vuông A có AH là đường cao ⇒ 1 1 = + = 2+ AH AB√2 AD2 a 3a a ⇒ AH = A1 D1 B1 C1 I A D H O B Chọn đáp án D C √ Câu 455 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = a, AD = a Tính khoảng cách hai đường thẳng BB và AC √ √ √ √ a a a A B a C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 611 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (615) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Kẻ B H vuông góc với A0 C (H ∈ A0 C ) thì BH ⊥ (ACC A0 ) Vì BB k (ACC A0 ) nên d(BB ; AC ) = d(BB ; (ACC A0 )) = B H Xét tam giác A0 B C vuông B có √ 1 1 a = 02 + 02 = + = ⇒ B H = B0H BA BC a 3a 3a √ a 0 Vậy d(BB ; AC ) = C0 D0 H A0 B0 C D A a B Chọn đáp án C Câu 456 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên và mặt đáy 60◦ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) 3a a a 3a A B C D 4 2 -Lời giải Gọi H là tâm tam giác ABC Gọi M = AH ∩ BC S ÷ suy M là trung điểm cạnh BC Do đó, góc SM H = 60◦ Kẻ HK ⊥ SM với K ∈ SM Khi đó HK ⊥ (SBC) AM Ta có d(A; (SBC)) = · d(H; (SBC)) = 3HK HM Lại có 1 12 16 a = + = + = ⇒ HK = Do đó 2 HK HM SH a a a 3a d(A; (SBC)) = A C K M H B Chọn đáp án A Câu 457 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy là tam giác vuông B với AB = a, AA0 = 2a, A0 C = 3a Gọi M là trung điểm cạnh C A0 , I là giao điểm các đường thẳng AM và A0 C Tính khoảng cách d từ A tới (IBC) a a 5a 2a A d = √ B d = √ C d = √ D d = √ 5 -Lời giải √ √ Tam giác A0 AB vuông A nên A0 B = A0 A2 + AB = a M C0 Mặt khác ta dễ dàng chứng minh BC ⊥ (AA0 B) nên tam giác A0 √ 4A BC vuông B ⇒ BC = A0 C − A0√ B = 2a ⇒ diện tích tam giác A BC là SA0 BC = a B0 I Mặt khác, vì I ∈ A0 C ⇒ (IBC) ≡ (A0 BC) nên 2a d (A, (IBC)) = d (A, (A0 BC)) 3a Hình chóp A.A0 BC có AA0 ⊥ (ABC) 2a3 ⇒ VA.A0 BC = AA0 · SABC = 3 A C 3VA.A0 BC 2a =√ Vậy d = d (A, (IBC)) = SA0 BC a B Chọn đáp án D Câu 458 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SD Th.s Nguyễn Chín Em 612 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (616) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ B a A 2a 2a C √ D a -Lời giải Vì AB k CD nên AB k (SCD) ⇒ d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) Kẻ AH ⊥ SD (H ∈ SD) Ta có CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A, (SCD)) = AH 1 1 Xét tam giác SAD có = + = 2 2 AH SA AD 2a √ ⇒ AH = a S H A D B C Chọn đáp án B Câu 459 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có tất các cạnh a Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (A0 BC) √ a A d = √ a B d = √ a 21 C d = √ a D d = -Lời giải Gọi E là trung điểm BC và H là hình chiếu vuông góc A lên cạnh ® A E BC ⊥ AE ⇒ BC ⊥ AH (1) Ta có BC ⊥ AA0 Mặt khác, AH ⊥ A0 E (2) Từ (1) và (2) suy AH ⊥ (A0 BC), đó d(A, (A0 BC)) = AH Xét 4AA0 E, ta có AH = = A0 B0 C0 H 1 + 02 AA AE + = a2 3a2 3a A B √ a 21 Vậy d = AH = E C Chọn đáp án C ’ = 60◦ và Câu 460 Cho hình√chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD a SA = SB = SD = Gọi α là góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) Tính giá trị sin α √ √ 2 A sin α = B sin α = C sin α = D sin α = 3 3 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 613 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (617) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là giao điểm AD và BC, G là trọng tâm tam giác ABC Vì SA = SB = SD nên SG ⊥ (ABCD) Gọi H là hình chiếu D xuống mặt phẳng (SBC), đó ’ ⇒ sin α = sin DSH ’ = DH α = DSH SD S H Gọi I là hình chiếu G lên BC Xét 4GIC, √ a ’ GI = GC · sin GCB = GC = GA = AO = 3 D C K Xét 4SAG, G O B A √ SG = p SA2 − AG2 = I 3a2 a2 a 15 − = Gọi K là hình chiếu G lên SI Xét 4SGI, √ √ 5a 15a 1 12 27 = + = + = ⇒ GK = √ = 2 GK SG GI 5a a 5a 3 √ √ 3 15a 15a Ta có DH = d(A, (SBC)) = d(G, (SBC)) = GK = · = 2 √ 15a √ DH = √ = Do đó sin α = SD a Chọn đáp án C √ Câu 461 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích V = Gọi M là trung điểm cạnh SD Nếu SB ⊥ SD thì khoảng cách d từ B √ đến mặt phẳng (M AC) √ bao nhiêu? 2 3 A d = B d = C d = D d = 2 -Lời giải Gọi O là tâm đáy ABCD Giả sử SO = x, vì SB ⊥ SD nên BO = DO = SO = x √ S 1 2x 2 = ⇔ Khi đó: VS.ABCD = SO · SABCD = · x · 2x , suy ra: 3 x= √ M 1 Vì tam giác SOD vuông cân O nên OM = √ SO = x 2 Lại có: SO ⊥ AC, OD ⊥ AC ⇒ OM ⊥ √ AC A D 1 √ x ⇒ SM AC = OM · AC = · · = 2 SABC · d [M, (ABC)] x Ta có: VM ABC = O 1 √ SABCD · d [S, (ABC)] B C 2 = = VS.ABCD = 24 3VM ABC Suy ra: d [B, (M AC)] = = SM AC Chọn đáp án A Câu 462 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Biết góc SC và mặt phẳng (ABCD) 60◦ Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) Th.s Nguyễn Chín Em 614 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (618) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ a 10 A h = B h = a -Lời giải √ Ta có: AC = a (đường chéo hình vuông cạnh a) √ a 42 D h = C h = a √ SA = AC · tan 60◦ = a S H Kẻ AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AH √ √ a 6·a a 42 SA · AD =» √ = ⇒ AH = √ SA2 + AD2 (a 6)2 + a2 A D B C Chọn đáp án D Câu 463 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác cạnh 2a, tam giác SAB và nằm mặt phẳng √ vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) √ √ √ a B a C 2a D a A -Lời giải Gọi H là trung điểm AB, S SH ⊥ AB (SAB) ∩ (ABC) = AB nên SH ⊥ (SAB) ⊥ (ABC) √ (ABC) Vậy d(S, (ABC)) = SH = a đó B C H A Chọn đáp án B Câu 464 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh Cắt hình lập phương mặt phẳng chứa √ đường chéo AC Tìm√giá trị nhỏ diện tích thiết diện thu √ A B C D -Lời giải Giả sử (P ) là mặt phẳng chứa AC Không tính tổng quát, giả sử (P ) A B cắt BB M , gọi O là tâm hình lập phương, N là giao điểm M O và DD0 Khi đó hình bình hành AM C N là thiết diện hình lập phương cắt M (P ) I H Gọi H là hình chiếu M trên AC , I, J là trung điểm BB , O DD0 Dễ thấy tam giác AIC là cân I nên OI ⊥ AC , mà OI ⊥ BB nên J OI là đoạn vuông góc chung AC và BB , đó OI ≤ M H Ta có B0 N A √ SAM C N = AC · M H ≥ AC · OI = C0 D0 √ 0 Dấu xảy M ≡ I, hay tứ giác AM C N trở thành tứ giác AIC J Vậy SAM C N = Chọn đáp án A Câu 465 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng đáy cách SC và AB√ √ (ABCD) và SO = a Khoảng √ √ 2a 2a a a B C D A 15 5 15 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 615 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (619) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M là trung điểm CD, H là hình chiếu O trên SM ® Ta có CD ⊥ OM • ⇒ CD ⊥ (SOM ) ⇒ CD ⊥ OM SO ⊥ CD ® OH ⊥ CD • ⇒ OH ⊥ (SCD) OH ⊥ SM Ta có AB k CD ⇒ AB k (SCD) S H ⇒ d(AB, SC) = d(AB, (SCD) = d(A, (SCD)) A = 2d(O, (SCD)) = 2OH D O B M C √ √ 1 a 2a = + = ⇒ OH = Ta có Suy d(AB, SC) = OH SO2 OM a 5 Chọn đáp án B Câu 466 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên b (a 6= b) Phát biểu nào đây sai? A Đoạn thẳng M N là đường vuông góc chung AB và SC (M và N là trung điểm AB và SC) B Góc các cạnh bên và mặt đáy C Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC D SA vuông góc với BC -Lời giải √ a Do a 6= b nên SM 6= CM = , suy tam giác SM C S không phải là tam giác cân M , đó M N không vuông góc với SC N C A M H B Chọn đáp án A Câu 467 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SC √ a A √ a B √ 2a C √ 2a D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 616 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (620) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ta có AB k CD ⊂ (SCD) ⇒ AB k (SCD) ⇒ d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(H, (SCD)) Gọi M là trung điểm CD ⇒ HM ⊥ CD SH ⊥ (ABCD) ⊃ CD ⇒ SH ⊥ CD Suy CD ⊥ (SHM ) Mà CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥ (SHM ) Trong mặt phẳng (SHM ), dựng HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ (SCD) hay d(H, (SCD)) = HK 1 Trong tam giác SHK , ta có: = + = ⇒ 2 HK SH HM 4a2 √ 2a HK = Chọn đáp án D S K D A M H C B Câu 468 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có cạnh bên AA0 = a Khoảng cách hai√đường thẳng BD và A0 C √ A a B a C a D 2a A B C D A0 B0 D0 C0 -Lời giải Ta có BD k B D0 nên BD k (A0 B C D0 ) Vậy d(BD, A0 C ) = d(BD, (A0 B C D0 )) = d(B, (A0 B C D0 )) = BB = AA0 = a Chọn đáp án B ’ = ADB ’ = 90◦ Đáy BCD là tam giác cân Câu 469 Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, CD = a, ACB ’ = 2α Tính khoảng cách từ A đến (BCD) theo a và α B và CBD a p a p A sin2 2α − B sin2 2α − sin 2α p sin 2α p a 2a C sin2 2α − D sin2 2α − sin 2α sin 2α -Lời giải ’ = ADB ’ = 90◦ nên ABCD nội tiếp mặt cầu đường kính Vì ACB A AB Gọi I là trung điểm AB, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Suy ra, OI ⊥ (BCD) Gọi H là điểm thuộc đường thẳng BO cho O là trung điểm I BH Khi đó AH k IO nên AH ⊥ (BCD) và AH = 2OI Vậy d(A, (BCD)) = AH Trong tam giác BCD ta có B CD a = 2OD ⇔ OD = sin 2α ’ sin CBD D O H C AB Ta có ID = = a √ Do đó d(A, (BCD)) = AH = 2OI = ID2 − OD2 = a2 − Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em a2 a p = sin2 2α − sin 2α sin 2α 617 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (621) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ Câu 470 Cho lăng trụ ABC.A0 B C có mặt đáy ABC là tam giác vuông cân A, AC = a Hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết góc cạnh bên và mặt đáy 30◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AA0 và BC √ √ √ √ a a 5a 29 2a A B C D 7 -Lời giải Vì H là hình chiếu vuông góc A0 lên mặt phẳng (ABC) nên A0 H ⊥ (ABC), suy BC ⊥ A0 H Lại có H là trung điểm BC và tam giác ABC cân nên BC ⊥ AH Vậy BC ⊥ (A0 AH) Trong tam giác A0 AH kẻ đường cao HM , với M ∈ AA0 Suy ra, HM là đoạn vuông góc hai đường thẳng chéo AA0 và BC Vậy d(AA0 , BC) = M H √ 2 Ta có BC = 2AC √ = 6a ⇒ BC = a 6; BC a AH = = 2 Lại có AH là hình chiếu vuông góc A0 H lên (ABC) Suy ra, góc AA0 và (ABC) góc AA0 và AH chính AH = 30◦ ÷ là góc A B0 A0 C0 M A B H C Khi đó, √ √ MH a a 0 ÷ ÷ sin A AH = ⇒ M H = AH sin A AH = · = AH 2 Vậy d(AA0 , BC) √ a = Chọn đáp án B Câu 471 Khẳng định nào sau đây sai? A Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm bất kì trên mặt phẳng thứ đến mặt phẳng thứ hai B Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm bất kì trên đường thẳng thứ đến đường thẳng thứ hai C Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách a và (α) là khoảng cách từ điểm bất kì (α) đến a D Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách cặp mặt phẳng song song mà mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho -Lời giải Khẳng định “Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách a và (α) là khoảng cách từ điểm bất kì (α) đến a” là sai Khẳng định đúng “Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách a và (α) là khoảng cách từ điểm bất kì a đến (α).” Chọn đáp án C Câu 472 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, SA tạo với mặt phẳng đáy góc 30◦ Tính theo a khoảng cách d hai đường thẳng SA và CD √ √ √ √ 14a 10a 15a 15a A d = B d = C d = D d = 5 5 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 618 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (622) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O = AC ∩ BD ⇒SO ⊥ (ABCD) ¤ ’ = 30◦ Do đó SA, (ABCD) = SAO S Ta có CD k (SAB) ⇒ d = d(CD, SA) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = 2d(O, (SAB)) Gọi M là trung điểm AB ⇒ AB ⊥ OM , gọi H là hình chiếu O lên ® SM, H ∈ SM OM ⊥ AB Có ⇒ AB ⊥ OH mà OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ (SAB) SO ⊥ AB Vậy d = 2OH √ a ’= ⇒ Tam giác SOM vuông O có OM = a, SO = AO tan SAO √ 10 OH = a 5√ 10 Vậy d = 2a H A B M O 2a C D Chọn đáp án B Câu 473 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD √ là hình chữ nhật Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc mặt phẳng đáy Biết SD = 2a và góc tạo đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) 30◦ Tính khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) √ √ √ √ 2a 66 2a 13 4a 66 a 13 B h = C h = D h = A h = 11 11 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB và đặt SH = x với x > Vì SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ⊥ (ABCD) ¤ ’ = 30◦ Khi đó (SC, (ABCD)) = SCH S Trong (ABCD) kẻ HE ⊥ AC E Khi đó AC ⊥ (SHE) Trong (SHE) kẻ HK ⊥ SE K ⇒ HK ⊥ (SAC) Xét 4SHC vuông H có HC = √ SH = x ’ tan SCH Dễ thấy tam giác HDC cân H √ ⇒ HD = HC = x B 30◦ C H K E A √ = 4x2 ⇔ x = SH = a Xét 4SHD vuông H có SD2 = SH + HD2 ⇔ 12a√ √ 2 ⇒ HD = HC √ = 3a Do 4SAB √ ⇒ AB = 2a ⇒ BC = HC − HB = 2a Khi đó AC = AB + BC = 2a √ 1 1 Diện tích tam giác HBC là SHBC = HB · BC = · AB · BC = SABC = a2 2 2√ 2 √ a ⇒ SHAC = SHBC = a = HE · AC ⇒ HE = · √ SH · HE a 66 Xét 4SHE ⇒ HK = √ = · 2 11 SH + HE √ 2a 66 Vì H là trung điểm AB nên h = d(B; (SAC)) = 2d(H; (SAC)) = · 11 Chọn đáp án B D Câu 474 Th.s Nguyễn Chín Em 619 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (623) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O, SO = a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng √ (SCD) √ √ √ 5a 2a 6a A B C D 3a S A D O B -Lời giải Gọi I là trung® điểm CD Trong mặt phẳng (SOI) , kẻ OH ⊥ SI CD ⊥ OI H Ta có: CD ⊥ SO Mà OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SCD) Suy d (O, (SCD)) = OH Ta có OI = BC = a, SO = a ⇒ ∆SOI vuông cân O nên √ 2a ⇒ OH = SI = 2 √ 2a Vậy d (O, (SCD)) = C S H A D I O B C Chọn đáp án B Câu 475 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Gọi M ,N là trung điểm AC và B C (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng M√ N và B D0 √ 5a a A 5a B C 3a D D A M C B A0 B0 -Lời giải Ta có B D0 k BD ⇒ B D0 k (N BD) ⇒ d (M N, B D0 ) = d (B D0 , (N DB)) = d (B , (N DB)) d (C, (N BD)) Gọi h là khoảng cách từ C đến (N BD) , I = CC ∩ BN Ta có 1 1 1 2a = + + = + + = ⇒h= 2 2 h CB CD CI a a 4a 4a a Vậy d (M N, B D0 ) = D0 C0 N D A = M C B A0 B0 D0 C0 N I Chọn đáp án D Câu 476 Khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân B và AB = a, SA ⊥ (ABC) Góc cạnh bên SB và mặt phẳng (ABC) 60◦ Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là Th.s Nguyễn Chín Em 620 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (624) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ A a Chương - Hình học 11 √ a B √ a C √ a D -Lời giải Kẻ đường ® cao AH tam giác SAB BC ⊥ AB Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) mà AH ⊂ (SAB) ⇒ BC ⊥ SA BC ⊥ AH Do AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC) Khi đó ta d(A, (SBC)) = AH SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu SB lên mặt phẳng ’ = 60◦ (ABC) Nên góc SB và (ABC) là góc SBA √ Xét tam giác SAB vuông A có SA = AB tan 60◦ = a 1 = + 2 AH SA AB √ SA · AB (a 3)2 · a2 3a2 √ ⇒ AH = = = SA2 + AB (a 3)2 + a2 √ a Suy AH = S H A C B Chọn đáp án D Câu 477 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B D √ √ √ √ a a a a A B C D 3 -Lời giải ® AD ⊥ AB (ABCD là h.vuông) Vì AD ⊥ AA0 (ADD0 A0 là h.vuông) ⇒ AD ⊥ (ABB A0 ) ⇒ AD ⊥ AB Trong 4ADB vuông A ta vẽ đường cao AH Vậy AH = d (A, B D) Theo hệ thức lượng 4ADB D0 C0 A0 1 1 = + = 2+ 2 02 AH AD AB a 2a √ a Suy AH = B0 H D A Chọn đáp án B C B Câu 478 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a 165 a 165 a 165 2a 165 A B C D 30 45 15 15 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 621 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (625) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là tâm tam giác trung điểm BC s ABC vàÇH là √ å2 √ √ a 33 a 2 = Ta có SO = SA − AO = (2a) − · 3 sÇ √ å Ç √ å2 √ √ a 33 a a 15 2 Ta có SH = SO + OH = + · = 3 2 S Cách √ √ √ 1 a 33 a2 a3 11 Tính VS.ABC = · SO · S4ABC = · · = 3 √3 12 a3 11 √ · a 165 3VS.ABC 12 √ = Vậy d[A, (SBC)] = = S4SBC 15 a 15 · ·a 2 K A C O H B Cách d[A, (SBC)] AH Ta có = = Trong (SAH) vẽ OK ⊥ SH d[O, (SBC)] OH ® BC ⊥ AH Ta có ⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ OK BC ⊥ SO Mà OK ⊥ SH ⇒ OK ⊥ (SBC) Khi đó OK = d[O, (SBC)] Vì 4SOH vuông O có OK là đường cao √ 1 1 a 165 = + = + ⇒ OK = 11 OK SO2 OH 45 a a 12 √ √ a 165 a 165 Do đó d[A, (SBC)] = · = 45 15 Chọn đáp án C Câu 479 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Dựng mặt phẳng (P ) cách năm điểm A, B, C, D và S Hỏi có tất bao nhiêu mặt phẳng (P ) vậy? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng -Lời giải S S S B B B C A D C A D C A S S B B D C A D A Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em C D 622 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (626) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 480 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 60◦ Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) √ √ √ a a A B a C D a 2 -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông (ABCD) Ta có S.ABCD là hình chóp ’ = 60◦ ⇒ SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SA, (ABCD)) = SAO Lại có tam giác SAC cân S √ Suy tam giác SAC và a √ cạnh AC = √ √ a ⇒ d (S, (ABCD)) = SO = ·a 2= 2 S A B O D C Chọn đáp án C Câu 481 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = a M là điểm di động trên AB Gọi H là hình chiếu A0 trên đường thẳng CM Tính độ dài đoạn thẳng BH tam giác AHC có diện tích lớn Ä√ ä Ç√ å √ a 3−1 a a A B C a −1 D 2 -Lời giải ® AA0 ⊥ M C ⇒ M C ⊥ AH ⇒ ∆AHC vuông H Ta có: A0 H ⊥ M C Trong (ABC): ∆AHC nội tiếp đường tròn đường kính AC ⇒ ∆AHC có diện tích lớn nó là tam giác vuông cân a ⇒ AH = HC ⇒ B, H, I thẳng hàng và HI = Ä√ ä √ a − a a ⇒ BH = − = 2 A0 C0 B0 I A C M H B Chọn đáp án B Câu 482 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a Gọi M là trung điểm của√BC Tính khoảng√cách hai đường thẳng AM và B C √ a a A B C a D a 2 A0 C0 B0 A C M B -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 623 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (627) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có AM ⊥ BC và AM ⊥ BB nên AM ⊥ (BB C C) Trong (BB C C), kẻ M H ⊥ B C (H ∈ B C) thì AM ⊥ M H, suy M H là đoạn vuông góc chung AM và B C Gọi O là trung điểm B C thì BO ⊥ B C và BO MH = √ √ √ a a Ta có BC = a nên BO = , đó M H = A0 C0 B0 O H A C M B Chọn đáp án B Câu 483 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a hình bên Tính 0 khoảng cách hai đường √ thẳng AA và B D √ a a C D a A a B 2 A D B C A0 D0 O B0 C0 -Lời giải Giả sử A0 C ∩ B D0 O suy A0 O ⊥ B D0 (1)(do A0 B C D0 là hình vuông) Mặt khác ta có AA0 ⊥ (A0 B C D0 ) nên AA0 ⊥ A0 O (2) Từ (1) và (2) suy A0 O là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AA0 và B D0 Từ đó suy √ a A0 C = d(AA0 , B D0 ) = A0 O = 2 Chọn đáp án B Câu 484 Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh 4, biết SA = Khoảng cách đường thẳng SB và AD là 12 B C D A 5 -Lời giải Kẻ AH ⊥ SB H (1) S Ta có: ® AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB) AD ⊥ SA ® AD ⊥ (SAB) H ⇒ AD ⊥ AH (2) AH ⊂ (SAB) Từ (1) và (2), suy d(AD, SB) = AH SA · AB SA · AB 12 Tính AH = =√ = 2 SB SA + AB A B Chọn đáp án B D C √ Câu 485 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) √ √ √ 2a 2a 57 a 57 a A d = √ B d = C d = D d = 19 19 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 624 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (628) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi I là giao điểm AC và BD d(C, (SBD)) CI AC cắt (SBD) I nên = = d(A, (SBD)) AI Kẻ AK ⊥ BD, AH ⊥ SK, ta có d = d(C, (SBD)) = d(A,√ (SBD)) = AH AB · AD a AK = √ = ; 2√ AB + AD2 2a 57 AK · SA = AH = √ 19 AK + SA2 S H A B K I D C Chọn đáp án B √ Câu 486 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = 2a, AD = a, AA0 = a Gọi M là trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng (B M C) √ √ √ a a 21 3a 21 2a 21 A h = √ B h = C h = D h = 14 7 21 -Lời giải Gọi I là giao điểm BD với CM , ta có d(D, (B M C)) DI = d(B, (B M C)) BI DC DI = =2 Ta có 4DIC v 4BIM ⇒ BI BM ⇒ h = d(B, (B M C)) Đặt d(B, (B M C)) = d Do tứ diện BB M C là tứ diện vuông B nên A0 B0 C0 D0 √ 1 1 a 21 = + + = ⇒d= d2 BB 02 BM BC 3a √ 2a 21 Do đó h = 2d = A M B I D C Chọn đáp án D Câu 487 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AA0 và BC √ √ √ a a a A B C a D -Lời giải Gọi M là trung điểm BC √ a Do ABC là tam giác cạnh a nên ta có AM = và AM ⊥BC (1) Mặt khác ta lại có ABC.A0 B C là lăng trụ nên AA0 ⊥ (ABC)⇒ AA0 ⊥AM (2) Từ (1) và (2) ta có AM là đoạn √ vuông góc chung AA và BC a Vậy d (AA0 , BC) = AM = A0 C0 B0 A C M B Chọn đáp án D Câu 488 Th.s Nguyễn Chín Em 625 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (629) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh 1, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SA (hình vẽ bên cạnh) Biết hai đường thẳng CM và SB hợp góc 45◦ , khoảng cách hai đường thẳng CM và SB bao nhiêu? 1 1 A √ B √ C √ D S M A C B -Lời giải ⁄ Gọi N là trung điểm cạnh AB nên M N k AB, suy (CM, SB) = ¤ ÷ ÷ (CM, M N ) = CM N Suy CM N = 45◦ Ta có CN ⊥ AB, CN M √ ⊥ SA suy CN ⊥ (SAB) hay CN ⊥ N√ CN ÷ Ta có CN = , tan CM N = ⇔ MN = , AM = M N √ √ M N − AN = và d(CM, SB) = d(SB, (CM N )) = d(B, (CM N )) = d(A, (CM N )) Kẻ AH ⊥ M N suy d(A, (CM N )) = √ AH 1 Ta có = + ⇔ AH = 2 AH AN AM S M ◦ 45 H A C N B Chọn đáp án B Câu 489 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) Biết AB = a, AD = 2a, góc SC và (SAB) là 30◦ Tính khoảng cách từ điểm B đến (SCD) √ 2a 2a 2a 11 22a A √ B √ C √ D √ 15 15 15 -Lời giải Ta có BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) hay hình chiếu C lên (SAB) là điểm B nên ¤ Ÿ ’ = 30◦ Suy (SC, (SAB)) = (SC, SB) = BSC √ √ BC SB = = 2a và SA = SB − AB = tan 30◦ √ a 11 Ta có AB k CD hay AB k (SCD) nên d (B, (SCD)) = d (A, (SCD)) Tương tự trên ta chứng minh CD ⊥ (SAD) Trong mặt phẳng (SAD), kẻ AH ⊥ SD Khi đó AH ⊥ (SCD) hay d (A, (SCD)) = AH = d (B, (SCD)) Ta có AH là đường cao tam giác vuông SAD 1 1 = + = + suy nên 2 2 AH √ AD AS 11a 4a 2a 11 AH = √ 15 √ 2a 11 Vậy khoảng cách từ điểm B đến (SCD) là √ 15 S 30◦ 2a D A a O B Chọn đáp án C C Câu 490 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD) Gọi I là trung điểm SC Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) độ dài đoạn nào? A IO B IA C IC D IB -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 626 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (630) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có IO k SA và SA ⊥ (ABCD), suy IO ⊥ (ABCD), đó khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (ABCD) độ dài đoạn thẳng IO S I A D O B C Chọn đáp án A Câu 491 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với (ABCD) và SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB và CD √ √ A a B 2a C a D a -Lời giải Vì (SAB) k CD nên d(SB, CD) = d(D, (SAB)) = AD = 2a S A D B C Chọn đáp án B Câu 492 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a Tính khoảng cách SC √ và AB √ √ a a 21 a 21 a A B C D -Lời giải Dựng hình bình hành ABCD, đó AB k CD S ⇒ AB k (SCD) Suy d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) Gọi M là trung điểm CD ⇒ AM ⊥ CD, nối S với M , kẻ AH ⊥ SM Suy CD ⊥ (SAM ) a ⇒ CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SCD) H Xét tam √ giác SAM vuông A có SA = a, √ a 1 a 21 AM = , = + = ⇒ AH = 2 2 AH √ SA AM 3a A D a 21 Vậy d(SC, AB) = a aM B Chọn đáp án C C ’ = 120◦ Gọi M, N Câu 493 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có AB = 1, AC = 2, AA0 = và BAC 0 0 là các điểm trên cạnh BB , CC cho BM = 3B M , CN = 2C N Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt√phẳng (A0 BN ) √ √ √ 138 138 9 138 √ A B C D 184 46 46 16 46 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 627 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (631) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có VB A0 BN = VN.A0 B B (1) Diện tích tam giác A0 B B là SA0 B B = · BB · A0 B = 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc C trên AB Ta có CH ⊥ (A0 B B) √ ’ = · sin 60◦ = và CH = AC sin CAH Do CC k (A0 B B) nên khoảng cách từ N đến (A0 B B) khoảng cách √ từ C đến (A0 B B), 0 0 d(N, (A B B)) = d(C, (A B B)) = B0 C0 M N A0 B C 120◦ A H √ 1 √ · SA0 B B · d(N, (A0 B B)) = · · = (2) 3 2 Ta có: √ √ A0 B = √BB 02 + A0 B 02 = √10; A0 N = A0 C 02 + N C 02 = 5; ’ = 7; BC =√ AB + AC − ·√AB · AC · cos BAC 2 BN = BC + CN = 11 Suy diện tích tam giác A0 BN là √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 10 + + 11 + 11 − 10 + 10 − 11 10 + 11 − 184 SA0 BN = · · · = 2 2 VB A0 BN = · SA0 BN · d(B , (A0 BN )) (3) √ √ √ 3 0 0 Từ (1), (2) và (3), ta có · SA0 BN · d(B , (A BN )) = ⇒ d(B , (A BN )) = =√ 2SA0 BN 184 √ √ 3 138 Do BM = 3B M nên d(M, (A0 BN )) = d(B , (A0 BN )) = · √ = 4 184 184 Suy VN.A0 B B = Chọn đáp án A Câu 494 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a √ Gọi M, N là trung điểm AB, AD; H là giao điểm CN và DM ; SH ⊥ (ABCD), SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM và SC √ √ √ √ a 13 a 12 a 21 a A C B √ D √ 19 -Lời giải Gọi K là hình chiếu vuông góc H trên AC Do ABCD là hình vuông nên CN ⊥ DM , suy DM ⊥ (SHC) ⇒ DM ⊥ HK Vậy HK là đoạn vuông góc chung M D và SC 1 = a Có = + = ⇒ DH DH DN DC a2 4a 2 HC = DC − DH = 1 19 = + = 2+ = 2 KH CH SH 4a 3a 12a2 … 12 ⇒ HK = a 19 Chọn đáp án B S K A M B N D H C Câu 495 Th.s Nguyễn Chín Em 628 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (632) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ √ (ABCD) và SA = a Khi đó khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) √ A d (B, (SAC)) = a B d (B, (SAC)) = a a C d (B, (SAC)) = 2a D d (B, (SAC)) = √ S A D B C -Lời giải √ BD a Ta có d (B, (SAC)) = BO = = · 2 S A D O B C Chọn đáp án D Câu 496 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), góc đường thẳng ◦ SB và mặt √ phẳng (ABC) 60√ Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và SB √ a a 15 a A B C 2a D -Lời giải Vì SA ⊥ (ABC) nên A là hình chiếu S xuống mặt phẳng (ABC) S ’ = 60◦ Khi đó góc SB và (ABC) là góc SB và AB ABS √ ’ = a Ta có SA = AB tan ABS Gọi D là đỉnh thứ tư hình bình hành ACBD Ta có AC k BD nên AC k (SBD) Do đó d(AC, SB) = d(AC, (SBD)) = d(A, (SBD)) Gọi M là trung điểm BD và H là hình chiếu A lên SM H A C 60◦ D Vì ABC là tam giác nên ABD là tam giác Ta có ® BD ⊥ AM ⇒ BD ⊥ (SAM ) ⇒ BD ⊥ AH BD ⊥ SA Lại có AH ⊥ SM Cho nên AH ⊥ (SBD) Vậy d(AC, SB) = d(A, (SBD)) = AH √ SA2 · AM a 15 Ta có AH = = SA2√ + AM a 15 Vậy d(AC, SB) = Chọn đáp án B M B Câu 497 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, ’ = SCA ’ = 90◦ , góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính theo a khoảng SBA cách hai đường thẳng SB và AC Th.s Nguyễn Chín Em 629 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (633) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 6a -Lời giải A B Chương - Hình học 11 2a 6a D √ 57 2a C √ 57 S I A C K G H B D M Gọi I là trung điểm SA, 4SBA và 4SCA vuông B, C nên IS = IA = IB = IC Suy hình chiếu vuông góc I trên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC 4ABC nên hình chiếu vuông góc I trên (ABC) là trọng tâm G 4ABC √ a ◦ ‘ ‘ Góc SA và (ABC) là góc IAG = 60 , IG = AG · tan IAG = · tan 60◦ = a Vẽ hình bình hành ABDC, ta có hình chiếu vuông góc S trên (ABC) là trọng tâm H tam giác BCD và SH = 2IG = 2a d(AC, SB) = d (AC, (SBD)) = d (C, (SBD)) = 3d (H, (SBD)) Gọi M là trung điểm BD ta có HM ⊥ BD, kẻ HK ⊥ SM Suy HK ⊥ (SBD) và d (H, (SBD)) = HK Ta có 1 1 49 2a = + = + Ç √ å2 = ⇒ HK = 2 2 HK HS HM (2a) 4a a Vậy d(AC, SB) = 3HK = 6a Chọn đáp án A Câu 498 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 4a Cạnh bên SA = 2a Hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H đoạn thẳng AO Tính khoảng cách d các đường thẳng SD và AB √ √ 4a 22 3a A d = B d = √ C d = 2a D d = 4a 11 11 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 630 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (634) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S 2a M A D H K O B C Do AB k CD suy AB k (SCD) suy d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) 3 CK = , suy HK k AD suy CD ⊥ HK (1) CD Mặt khác SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CD (2) Trong mặt phẳng (SHK) kẻ HM ⊥ SK M (3) Từ (1), (2) suy CD ⊥ (SHK) suy CD ⊥ HM (4) Từ (3), (4) suy HM ⊥ (SCD) suy d(H, (SCD)) = HM √ √ Theo bài ta có AC = 4a ⇒ AH =√a √ Xét tam giác vuông SHA ta có SH = SA2 − AH = a √ SH · HK 3a 22 Ta lại có HK = AD = 3a Xét tam giác vuông SHK ta có HM = ⇒ HM = ⇒ 4√ SH + HK 11 4a 22 d(A, (SCD)) = 11 Chọn đáp án A Trên cạnh CD lấy điểm K cho Câu 499 √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi Biết SB = SD = AB = 2a, SA = a và SC = a √2 Hãy tính theo a khoảng phẳng (ABCD) √ cách từ điểm S đến mặt √ √ a a a a A B C D -Lời giải Gọi O là giao điểm BD và AC S Ta có ∆SBD cân S nên SO ⊥ BD, mà AC ⊥ BD, suy BD ⊥ (SAC) BA = BS = BC nên hình chiếu B lên (SAC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC Mà BO vuông góc với (SAC) nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC Mặt khác O là trung điểm AC nên tam giác SAC là tam giác vuông S A Kẻ SH vuông AC H, suy SH ⊥ (ABCD) D … 2 SA · SC H ⇒ SH = =a 2 SA + SC O … ⇒ d(S, (ABCD)) = SH = a B C Chọn đáp án A Câu 500 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D; SD vuông góc với mặt đáy √ (ABCD); AD = 2a; SD = a Tính khoảng cách đường thẳng CD và mặt phẳng√(SAB) √ 2a a a A √ B √ C a D √ 3 Th.s Nguyễn Chín Em 631 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (635) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải Do CD k AB nên suy CD k (SAB), vậy: d(CD; (SAB)) = d(D; (SAB)) Kẻ DH ⊥ SA, với H ∈ SA,khi đó DH ⊥ (SAB), nên d(D; (SAB)) = DH Trong 4SAD vuông D và có đường cao DH, ta có 1 1 = + = + √ = 2 2 2 DH AD SD (2a) 4a (a 2) 2a ⇒ DH = √ 2a Như d(CD; (SAB)) = d(D; (SAB)) = DH = √ S H D A C B Chọn đáp án A Câu 501 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Hỏi có tất bao nhiêu mặt phẳng cách điểm S, A, B, C, D? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng -Lời giải Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA và H, I, J, K là trung điểm SA, SB, SC, SD Ta có các mặt phẳng cách điểm S, A, B, C, D là (M P JI), (M P KH), (HIN Q), (JKQN ), (HIJK) Chọn đáp án A Câu 502 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Gọi O là tâm đáy Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (SCD) a a a a B D √ A √ C √ -Lời giải Gọi M là trung điểm CD Khi đó (SOM ) ⊥ (SCD) theo giao S tuyến SM Trong mặt phẳng (SOM ) hạ OH ⊥ SM , ta có: OH ⊥ (SCD) ⇒ OH = d (O, (SCD)) 1 a Do đó: OH = + =√ SO2 OM H A D M O B C Chọn đáp án A √ Câu 503 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), SA = a 3, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Khoảng AD và SB √ √ √ cách hai đường thẳng √ 3a 3a 3a 3a A B C √ D √ 7 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 632 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (636) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dựng AK là đường cao tam giác SAB √ SA · AB SA · AB 2a · a Ta có: AK = = √ = √ = SB SA2 + AB 4a2 + 3a2 √ 3a √ AD ⊥ AB AD ⊥ SA ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ AK AB ∩ SA = A ® √ AK ⊥ AD 3a ⇒ d(AD, SB) = AK = √ AK ⊥ SB S K A D B C Chọn đáp án C Câu 504 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song với nó đồng thời chứa đường thẳng B Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó C Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng D Khoảng cách hai đường thẳng chéo là độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó -Lời giải Mệnh đề “Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia” là sai Thật vậy, xét hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh Theo định √ 0 0 0 nghĩa d(AB, A D ) = AA = 1, nhiên d(B, A D ) = BA = Chọn đáp án C Câu 505 Đường thẳng AM tạo với mặt phẳng chứa tam giác ABC góc 60◦ Biết cạnh ÷ ÷ tam giác ABC a và M AB = M AC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM và BC √ √ a a 3a B C a D A 2 -Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên mặt phẳng (ABC) Ta có 4M AB = 4M AC (c.g.c) nên M B = M C, suy HB = HC, kéo theo AH ⊥ BC Do đó không tính tổng quát, ta coi H là trung điểm BC Khi đó BC ⊥ (AM H) Gọi K là hình chiếu H trên AM , ta có HK ⊥ AM Theo chứng minh trên BC ⊥ (AHM ) nên BC ⊥ HK Vậy d(AM, BC) = HK ÷ Dễ thấy M AH = (AM, (ABC)) = 60◦ , suy √ √ a 3 3a ◦ HK = AH sin 60 = · = 2 M K A 60◦ C H B Chọn đáp án A Câu 506 Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4, AB = 3, BC = Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) √ √ 769 34 12 60 D d = A d = √ B d = √ C d = 60 12 34 769 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 633 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (637) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ta có AB + AC = BC ⇒ ∆ABC vuông A Kẻ AM ⊥ BC, M ∈ BC và AH ⊥ DM, H ∈ DM đó ta có AH ⊥ (BCD) nên d = AH Ta có 1 1 1 1 17 = + = + + = + + = 2 2 2 AH AD AM AB AC AD 16 16 72 12 Từ đó suy d = √ 34 D H A C M B Chọn đáp án A ÷0 = DAA ÷0 = ’ = BAA Câu 507 Cho hình hộp xiên ABCD.A0 B C D0 có các cạnh và a, BAD ◦ 60 Khoảng cách hai đường thẳng AC và BD √ a a a C √ D A a B √ 2 3 -Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác A0 BD, I là trung điểm A0 D0 BD Ta có tứ diện ABDA0 là tứ diện cạnh a nên AG ⊥ B0 C0 (A0 BD) Suy AC ⊥ (A0 BD) ⇒ AC ⊥ GI AC ⊥ BD ´ (do ABCD là hình thoi) BD ⊥ AG ⇒ BD ⊥ (ACA0 ) ⇒ BD ⊥ GI BD ⊥ AC √ G a 0 Vậy d (AC , BD) = GI = A I = A D I B C Chọn đáp án B Câu 508 √Cho tứ diện ABCD có cạnh DA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB = cm, AC = cm,AD = cm, BC = cm Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) √ 12 12 A cm B cm C cm D √ cm 10 -Lời giải Do BC = AB + AC Nên 4ABC vuông A Vẽ AH vuông góc với BC D (H ∈ BC) Mà AD ⊥ BC nên (AHD) ⊥ BC AB · AC 12 Ta có AH = = BC K Vẽ AK ⊥ DH (K ∈ DH), mà AK ⊥ BC nên AK ⊥ (BCD) A C AD2 · AH 12 Ta có AK = = H AD2 + AH B Chọn đáp án B √ Câu 509 Cho hình tứ diện OABC có đáy√ OBC là tam giác vuông O, OB = a, OC = a Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA = a 3, gọi M là trung điểm BC Tính theo a khoảng cách h hai đường √ thẳng AB và OM √ √ √ a a 15 a a A h = B h = C h = D h = 5 15 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 634 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (638) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Dựng hình bình hành OM BD Ta có OM k BD, BD ⊂ (ABD) nên OM k (ABD) Suy d(OM, AB) = d(OM, (ABD)) Kẻ ON ⊥ BD N , OH ⊥ AN H ⇒ OH ⊥ (ABD) H Suy d(OM, AB) = d(OM, (ABD)) = d(O, (ABD)) = OH √ BC BC = OB + OC = 2a ⇒ OM = BM = = a Suy 4ABC cạnh a √ hay 4OBD a ⇒ ON = √ 1 a 15 Ta có = + = ⇒ OH = OH OA2 ON 3a √ a 15 Vậy h = d(OM, AB) = OH = Chọn đáp án B A √ a H √ a O C a D M N B Câu 510 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ a 21 a a A h = B h = a C h = D h = 7 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB Ta có SH ⊥ AB nên SH ⊥ (ABCD) S Vì AH k CD, CD ⊂ (SCD) nên d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) Kẻ HK®⊥ SM K CD ⊥ HM K ⇒ CD ⊥ (SHM ) Ta có: CD ⊥ SH A ® D HK ⊥ SM Lại có ⇒ HK ⊥ (SCD) K H M HK ⊥ CD a B C Khi đó d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) = HK √ √ √ a a 2 Ta có SH = , HM = a, SM = SH + HM = 2 √ a √ √ ·a SH · HM a 21 a 21 √ Suy HK = = = Vậy h = SM 7 a Chọn đáp án A Câu 511 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0 BC).√ √ √ √ a a a a A B C D 3 -Lời giải Gọi O = AB ∩ A0 B A0 D0 Vì ABCD.A0 B C D0 là hình lập phương nên các mặt bên là các hình vuông Đồng thời, BC ⊥ (ABB A0 ) ⇒ BC ⊥ AB (1) B0 C0 Mặt khác, AB ⊥ A0 B (2) (Tính chất hai đường chéo hình vuông) Từ (1) và (2) suy AB ⊥√ (A0 BC) O a A ⇒ d(A, (A0 BC)) = AO = D B Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em C 635 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (639) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 512 Cho lăng trụ ABC.A0 B C có tất các cạnh a Gọi M, N là trung điểm AA0√ , BB Tính khoảng cách và CN √ hai đường thẳng B M √ √ a a a A B C D a -Lời giải Gọi P là trung điểm CC Khi đó A0 C0 VACN.M P B 0 d(B M, CN ) = d((B M P ), (AN C)) = S∆AN C B0 VABC.A0 B C − VB A0 M P C − VN.ABC … = AC M P AC · AN − √ √ √ a3 a3 a3 √ − − a N 12 24 … = = 2 a a A C a · a2 + − 4 B Chọn đáp án A Câu 513 Cho lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA0 = 2a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A0 BC) √ √ √ √ 5a 5a 5a A 5a B C D 5 -Lời giải ® AH ⊥ A0 B Kẻ AH ⊥ A B Ta có: ⇒ AH ⊥ (A0 BC) A0 AH ⊥ BC C0 Suy d(A, (A0 BC)) = AH √ 1 5a Ta có: = + = ⇒ AH = AH AB A0 A2 4a B0 A H C B Chọn đáp án B √ Câu 514 Cho lăng trụ ABCD.A1 B1 C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc A1 lên (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1 BD) √ √ √ a a a A a B C D 2 -Lời giải Ta có B1 A qua trung điểm A1 B nên D1 A1 d (B1 , (A1 BD)) = d (A, (A1 BD)) Kẻ AH ⊥ BD H Ta có AH ⊥ BD và AH ⊥ A1 O nên B1 C1 AH = d (A, (A1 BD)) √ 1 a Ta có = + ⇒ AH = 2 AH AB AD A B Th.s Nguyễn Chín Em 636 D H O C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (640) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án C Câu 515 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = 3a, BC = 4a, mặt phẳng √ ’ = 30◦ Tính khoảng cách từ B đến mặt (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 3a, SBC phẳng (SAC) √ √ √ √ 7a 7a A 7a B C D a 7 14 -Lời giải Ta có (SBC) ⊥ (ABC) và (SBC) ∩ (ABC) = BC S Trong mặt phẳng (SBC), kẻ SH ⊥ BC thì SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ BC √ Tam giác SBH vuông H có SH = SB · sin 30◦ = a 3; BH = SB · cos 30◦ = 3a ⇒ HC = a BC Vì = nên d (B, (SAC)) = 4d (H, (SAC)) I HC Trong mặt phẳng (ABC), kẻ HK ⊥ AC; SH ⊥ AC √ 2a K ⇒ AC ⊥ (SHK); AC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (SHK) và (SAC) ∩ (SHK) = SK A C H 3a 30◦ 4a B Trong mặt phẳng (SHK), kẻ HI ⊥ SK thì HI ⊥ (SAC) ⇒ HI = d (H, (SAC)) HK CH CH · AB 3a Tam giác CKH và tam giác CBA đồng dạng nên = ⇒ HK = √ = AB CA √ AB + BC 1 7a Tam giác SHK vuông H có = + ⇒ HI = 2 HI SH HK 14 √ 7a Vậy d (B, (SAC)) = Chọn đáp án B Câu 516 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Gọi K là trung điểm DD0 Tính khoảng cách hai đường thẳng CK và A0 D 4a a 2a 3a A B C D 3 -Lời giải Gọi M là trung điểm BB Ta có: CK k A0 M ⇒ CK k (A0 M D) z Khi đó: A0 d (CK, A0 D) = d (CK, (A0 M D)) = d (C, (A0 M D)) D0 Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ: 0 B0 Ta có: A (0; 0; 0), aB(a; 0; 0), D (0; a; 0), A (0; 0; a), B (a; 0; a), C0 K C (a; a; 0), M a; 0; # » a A0 M = a; 0; − , M Å ã A î ó # » # » # » a D y A0 D = (0; a; −a) , A0 M , A0 D = ; a2 ; a2 B C Vậy mặt phẳng (A0 M D) nhận #» n = (1; 2; 2) làm vectơ pháp tuyến Phương trình mp(A M D) : x + 2y + 2z − 2a = Do đó: |a + 2a − 2a| a d (C, (A0 DM )) = = 3 Chọn đáp án B x Câu 517 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = a, AD = 2a, AA0 = a Gọi M là điểm trên AM = Gọi x là độ dài khoảng cách hai đường thẳng AD0 , B C và y là độ dài khoảng đoạn AD với MD cách từ M đến mặt phẳng (AB C) Tính giá trị xy Th.s Nguyễn Chín Em 637 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (641) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 5a5 a2 3a2 B C -Lời giải Ta có B C k A0 D ⇒ B C k (ADD0 A0 ) ⇒ d (B C, AD0 ) = d (C, (ADD0 A0 )) = CD = a Suy x = a MA 3 Lại có: = ⇒ d (M, (AB C)) = d (D, (AB C)) = DA 4 B0 d (B; (AB C)) Gọi I là hình chiếu vuông góc B lên AC ta có: ® AC ⊥ BI ⇒ AC ⊥ (BB I) AC ⊥ BB A D 3a2 D0 A0 C0 H A M D I B I ta có: Gọi H là hình chiếu B lên B ® BH ⊥ B I ⇒ BH ⊥ (B AC) ⇒ d (B, (AB C)) = BH BH ⊥ AC Trong tam giác ABC, ta có: √ AB · BC 2a a · 2a AB · BC = AC · BI ⇒ BI = = √ = AC a Trong tam giác BB I, ta có: 1 2a 2a a = + ⇒ BH = ⇒ d (B, (AB C)) = · = 2 02 BH BI BB a Suy y = a2 Vậy xy = Chọn đáp án B C Câu 518 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và √ SBC là tam giác đều, hai mặt còn lại là tam giác vuông Tính khoảng cách từ A đến (SBC) biết BC = a a A d (A; (SBC)) = √ B d (A; (SBC)) = √ 2√ √ 2a C d (A; (SBC)) = D d (A; (SBC)) = a -Lời giải Vì CS = CA nên 4SCA là tam giác vuông C; tương tự 4SBA là tam S giác vuông B Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu A lên SM Khi đó H là hình chiếu A lên (SBC) Thật vậy: Vì BC ⊥ SM , BC ⊥ AM nên BC ⊥ (SAM ) Do đó, BC ⊥ AH Suy ⊥ (SBC) √ AH √ √ Ta có SM = AM = BC = a; SA = SC + AC = 2a 2 √ H 2 Áp dụng công thức Hê-rông ta tính S4SM A = a √ 2a B M C Hơn nữa, S4SM A = · AH · SM Từ đó ta tính SM = A Chọn đáp án A √ Câu 519 Cho tứ diện ABCD có AB = 2, AC = 3, AD = BC = 4, BD = 5, CD = Khoảng cách hai đường thẳng AC và BD gần với giá trị nào sau đây? Th.s Nguyễn Chín Em 638 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (642) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A B C -Lời giải Ta có AD2 +AC = DC nên tam giác ADC vuông A hay AD ⊥ AC Tương tự AD2 + AB = DB nên tam giác ADB vuông A Khi đó AD ⊥ (ABC) Dựng hình bình hành ACBE Khi đó AC k (BDE) Suy d(AC, BD) = d(AC, (BDE)) = d(A, (BDE)) Kẻ AF ⊥ BE suy BE ⊥ (DAF ) Kẻ AG ⊥ DF ⇒ AG ⊥ (DBE) D D G A E √ C B F 15 = AF · BE Ta có nửa chu vi tam giác ABE nên diện tích SABE = √ 1 240 15 = + ⇒ AG = ⇒ AF = AG2 AF DA2 79 Chọn đáp án C Câu 520 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B Biết AD = 2a, AB = BC = SA = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm AD Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ a a a a A h = B h = C h = D h = 6 -Lời giải d (A, (SCD)) =2 Vì M là trung điểm AD nên S d (M, (SCD)) ⇒ d (M, (SCD)) = d (A, (SCD)) Dựng AH ® ⊥ SC (1) AC ⊥ CD H Ta có ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AH (2) SA ⊥ CD M A D Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d (A, (SCD)) = AH Xét tam giác vuông SAC vuông A √ B 1 a a C Ta có = + ⇒ AH = AH AC AS √ a Vậy d (M, (SCD)) = Chọn đáp án B Câu 521 Cho hình chóp √ S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp và a Gọi E và F là trung điểm các cạnh AB và CD, K là điểm bất kì thuộc√đường thẳng AD Hãy tính √ khoảng cách hai đường √ thẳng EF và SK theo√a a 15 a a a 21 A B C D 3 -Lời giải Ta có d (EF, SK) = d (EF, (SAD)) S = d (O, (SAD)) EF k AD √ Hạ OH ⊥ AD ⇒ (SOH) ⊥ (SAD), BD = a Hạ OI ⊥ SH ⇒ OI là khoảng cách √ cần tìm OH a và √SO = SD2 − OD2 … = BD a I = SD2 − = K A D Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông H √ 1 a 21 SOH ta có: = + ⇒ OI = 2 OI OH SO F O E B Th.s Nguyễn Chín Em 639 C https://emncischool.wixsite.com/geogebra (643) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án D Câu 522 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ 2a 3a a 21 a A B C D 7 7 -Lời giải Gọi H là trung điểm AB Vì 4SAB và vuông góc với đáy nên S SH là đường cao hình chóp Ta có AH k (SCD) ⇒ d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) Gọi M là trung điểm CD, ta có CD ⊥ (SHM ) ® HK ⊥ SM Trong (SHM ), gọi K là hình chiếu H trên SM , ta có ⇒ HK ⊥ CD HK ⊥ (SCD) √ A K D a Xét tam giác vuông SHM có HM = a, SH = và 1 M = + = 2+ = H HK HM a 3a 3a √2 SH a 21 ⇒ HK = = d(A, (SCD)) B C Chọn đáp án C Câu 523 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và B với AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc √ đáy, SA = a Tính khoảng √ cách hai đường thẳng √ AC và SD √ a a a a A B C D 3 -Lời giải S N A D B C Gọi N là điểm thuộc (ABCD) cho ACDN là hình bình hành Lúc đó AC song song (SN D) nên d = d(AC, SD) = d(A, (SN D)) √ 1 1 1 a Ta có = + = + = + = ⇒d= d SA2 AN SA2 CD2 a 2a 2a Chọn đáp án C √ Câu 524 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a 3; H là trung điểm AI Biết SH vuông góc với đáy và tam giác SAC vuông S Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) √ √ √ √ a 15 a 15 3a 15 A d = B d = C d = a 15 D d = 15 5 -Lời giải Dựng HE ⊥ BD E ∈ BD; HK ⊥ SE K ∈ SE Th.s Nguyễn Chín Em 640 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (644) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 suy HK ⊥ (SBD) đó d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HK Do AC = BD = 2a nên IA = IB √ = AB√= a ⇒ 4IAB a a Suy HE = HI sin 60◦ = · = 2 a Lại có SA2 = AH · AC = · 2a = a2 ⇒ SA = a; …2 √ √ a2 a 2 SH = SA − AH = a − = 4√ a 15 SH · HE = Do đó HK = √ 2 10 SH + √HE a 15 Vậy d(A, (SBD)) = S A B K H I D E C Chọn đáp án B Câu 525 Cho hình chóp tứ √ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với 3, AB = a Tính khoảng cách h hai đường thẳng AD và SB mặt đáy (ABCD), SA = a √ √ a a A h = C h = a D h = B h = a 2 -Lời ® giải AD ⊥ AB Ta có ⇒ AD ⊥ (SAB) S AD ⊥ SA Kẻ AH ⊥ SB H, ta có AD ⊥ AH A nên AH là đoạn vuông góc chung SB và AD Vậy d(SB, AD) = AH √ 1 a H = + = ⇒ AH = 4SAB có AH AB SA2 3a A D B C Chọn đáp án A Câu 526 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, √ SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi M là trung điểm SD Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CM √ √ √ 3a a a 2a A B C D 4 -Lời giải Kẻ AH ⊥ SD H ⇒ AH ⊥ (SCD) S Vì AB k CD ⇒ AB k (SCD) nên d(AB; CM ) = d(AB; (SCD)) = d(A; (SCD)) √ = AH Xét tam giác SAD vuông A có SA = a 3, AD √ =a 1 1 a ⇒ = + = + ⇒ AH = AH AS AD2 3a a M H A B D C Chọn đáp án B Câu 527 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách giứa hai đường thẳng AB và CD Th.s Nguyễn Chín Em 641 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (645) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ √ A a Chương - Hình học 11 √ a B √ a C -Lời giải Gọi M , N là trung điểm CD và AB Các tam giác ACD, BCD nên AM ⊥CD, BM ⊥CD suy CD⊥(ABM ) ⇒ CD⊥M N (1) Mặt khác AM = BM nên tam giác ABM cân M, suy M N ⊥AB (2) Từ (1) và (2) ta có M N là đường vuông góc chung AB và CD a3 Ta có AM = , tam giác vuông AM N có M N = …2 √ 2 √ 3a a a AM − AN = − = 4 D a A N D B M C Chọn đáp án C √ √ Câu 528 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc và SA = a, SB = a 2, SC = a Tính khoảng cách từ S đến (ABC) √ √ 11a a 66 6a a 66 A B C D 6 11 11 -Lời giải Gọi H là hình chiếu S lên (ABC) A 1 1 = + + Vì SA, SB, SC đôi vuông góc nên SH 2√ SA2 SB SC a 66 Từ đây ta giải d(S, (ABC)) = SH = H 11 S C Q B Chọn đáp án D Câu 529 Cho √ hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, AB = BC = a, AD = 2a Biết SA = a 3, SA ⊥ (ABCD) Gọi H là hình chiếu A trên (SBC) Tính khoảng cách d từ H đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ √ 3a 50 3a 30 3a 10 3a 15 A d = B d = C d = D d = 80 40 20 60 -Lời giải Dựng hệ trục tọa độ Axyz với AD trùng với Ox, S AB trùng với Oy, AS trùng với Oz Không tính tổng quát ta có thể cho a√ = 1, đó ta có A(0; 0; 0), B(0; 1; 0), D(2; 0; 0), S(0; 0; 3), C(1; 1; 0) Vì (SBC) ⊥ (SAB) nên H ∈ SB Phương trình đường x = √ SB : y = + t , t ∈ R ⇒ H(0; + t; − 3t) √ z = − 3t H Ç √ å A D 3 # » # » ⇒ AH · SB = ⇔ t = − ⇒ H 0; ; 4 B î# » # C √ √ »ó #» Phương trình mặt phẳng (SCD) qua D và có véc-tơ pháp tuyến n = CD, CS = ( 3; 3; 2): √ √ √ 3x + 3y + 2z − √ = √ √ 3 0+ + −2 √ √ 4 3 30 √ Vậy d(H,(SCD)) = = √ = 40 3+3+4 10 Th.s Nguyễn Chín Em 642 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (646) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B Câu 530 Cho lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu A0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách d hai đường thẳng B C và AA0 biết góc 0 0 ◦ hai mặt phẳng √ (ABB A ) và (A B C ) là√60 √ a 21 3a a 3a A d = B d = C d = D d = 14 14 4 -Lời giải Gọi H, J là trung điểm BC, BA K, I là hình C0 A0 chiếu vuông góc H trên AA0 , AB Ta có d(B C , AA0 ) = d(AA0 , (BCC B )) = d(K, (BCC B )) B0 Do HK ⊥ BC (vì BC ⊥ (AA0 H)) và HK ⊥ BB 0 0 (vì BB k AA ) nên HK ⊥ (BCC B ), 0 suy d(B C , AA ) = HK K Góc hai mặt phẳng (ABB A0 ) và (A0 B C ) góc hai 0 mặt phẳng (ABB A ) và (ABC) A C J H I B Ta có HI ⊥ ⊥ AB nên góc hai mặt phẳng (ABB A0 ) và (ABC) CJ 3a IH = 60◦ , suy A0 H = HI · tan A IH = ’ ’ là góc A · tan 60◦ = √ 1 16 28 3a = + = + = , suy HK = Từ đó ta có HK HA2 HA02 3a 9a 9a 14 Chọn đáp án B AB, A0 I Câu 531 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Các điểm M, N, P theo thứ tự đó thuộc các cạnh a BB , C D0 , DA cho BM = C N = DP = Mặt phẳng (M N P ) cắt đường thẳng A0 B E Tính độ dài đoạn thẳng A0 E 5a 3a 4a 5a B A0 E = C A0 E = D A0 E = A A0 E = 4 -Lời giải J A0 F D0 N B0 C0 E A D P M B I Gọi F ∈ D0 A0 cho D0 F = C a ; I = F B ∩ P M , E = A0 B ∩ IN , J = F B ∩ C D0 Ta có JF JD0 F D0 = = = ⇒ B F = 2F J JB JC B0C IB B0M = = ⇒ IB = 2B F = 4F J IF PF Th.s Nguyễn Chín Em 643 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (647) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 B0E IB = = JN IJ a 2a 7a Mặt khác JN = JD + D0 N = + = 7a 5a Vậy A0 E = A0 B + B E = a + · = Chọn đáp án B Suy Câu 532 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy ABC là tam giác vuông B, AB = SA = a Gọi H là hình chiếu A trên SB Tính khoảng cách d AH và BC √ √ a a a A d = B d = a C d = D d = 2 -Lời giải Do SA ⊥ (ABC) nên BC ⊥ SA, mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB), suy S BC ⊥ HB Mặt khác AH ⊥ HB nên d = HB Dễ thấy tam giác SAB √ a vuông cân A nên d = HB = H A C B Chọn đáp án A Câu 533 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD 60◦ Hình chiếu S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm tam giác ABC Góc hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) 60◦ Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ √ 3a 17 3a 3a 17 3a A B C D 14 14 4 -Lời giải Gọi H là trọng tâm tam giác ABC S Gọi K, E là hình chiếu H trên AB, CD Dựng HF ® ⊥SE F HF ⊥SE Khi đó ⇒ HF ⊥(SCD) HF ⊥CD Do HF = d(H, (SCD)) ’ = 60◦ Ta có AB⊥(SHK) ⇒ SKH a và SH = HK · tan 60◦ = F √ å Ç B C a K với HK = HB · sin 60◦ = H √ O E a A D ⇒ HE = 2HK = √ a SH · HE ⇒ d (H, (SCD)) = HF = √ = SH + HE √ √ 3 a 3a và d (B, (SCD)) = d (H, (SCD)) = · = 2 14 Chọn đáp án B Câu 534 Cho lăng trụ ABC.A0 B C có các mặt bên là hình vuông cạnh a; gọi D, E, F là trung điểm các cạnh BC, A0 C , C B Tính khoảng cách d hai đường thẳng DE và AB √ √ √ √ a a a a A d = B d = C d = D d = 4 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 644 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (648) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Theo giả thiết suy hai mặt phẳng (ABB A0 ) và (DEF ) song song Khi đó: d DE, AB = d E, (ABB A0 ) = d C, (ABB A0 ) √ √ a a · = = 2 √ a Vậy khoảng cách DE và AB là d = E A0 C0 F B0 A C D B Chọn đáp án B Câu 535 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung√điểm SD Tính khoảng √ cách AM và SC √ a a a 21 a A B C D 21 -Lời giải Gọi E, N là trung điểm AB, SC ⇒ AM N E là hình S bình hành ⇒ AM k EN ⇒ AM k (SCE) ⇒ d(AM ; SC) = d(AM ; (SCE)) = d(A; (SCE)) Kẻ AK ⊥ CE K và AH ⊥ SK H H Suy d(A; (SCE)) = AH √ 1 a K M N Ta có: S4ACE = CE.AK = · · AK A B 2 E 1 a Mặt khác: S4ACE = SABCD = a ⇒ AK = √ 4 √ O 1 1 a Suy = + = + = ⇒ AH = 2 AH AS AK a a a D C Chọn đáp án B Câu 536 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy và tam giác SAB Gọi M là trung điểm SA Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ √ a 21 a 21 a a A B C D 14 14 -Lời giải S N I M K A D H E B C Gọi H, E, N , I là trung điểm AB, CD, SB, SH Vì (SAB) ⊥ (ABCD) và tam giác SAB nên SH ⊥ (ABCD) Do M N là đường trung bình tam giác SAB và I là trung điểm SH nên M , I, N thẳng hàng và M N k (SCD) ⇒ d(M, (SCD)) = d(I, (SCD)) = d(H, (SCD)) Th.s Nguyễn Chín Em 645 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (649) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi K là đường cao kẻ từ H xuống √ SE ⇒ HK = d(H, (SCD)) a Xét tam giác SHE có SH = , HE = a √ √ a 21 a ⇒ = + = ⇒ HK = √ ⇒ d(M, (SCD)) = HK 3a a 3a 14 Chọn đáp án A √ Câu 537 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy là tam giác vuông và AB = BC = a; AA0 = a 2, M là trung điểm BC Tính khoảng cách d hai đường thẳng AM và B C √ √ √ √ a a a a A d = B d = C d = D d = -Lời giải Gọi N là trung điểm BB ⇒ B C k (AM N ) A0 C0 ⇒ d(B C, AM ) = d(B C, (AM N )) = d(C, (AM N )) = d(B, (AM N )) Gọi d là khoảng cách từ B đến (AM N ), ta có √ B0 1 1 a = + + = + + = ⇒d= d2 BA2 BC BN a a a a N A C M B Chọn đáp án C Câu 538 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 45◦ Khoảng cách h từ điểm A đến (SCD) là √ √ √ √ 3 A h = a B h = a C h = a D h = a 3 -Lời giải Vì SH ⊥ (ABCD) ⇒ HC là hình chiếu vuông góc SC lên (ABCD) S ¤ ’ = 45◦ Suy (SC, (ABCD)) = SCA √ √ = a Tam giác HBC vuông B có: HC = HB + BC√ Tam giác SHC vuông cân H nên SH = HC = a Vì AB k CD ⇒ AB k (SCD) ⇒ d (A, (SCD)) = d (H, (SCD)) I Gọi K là trung điểm CD; I là hình chiếu vuông góc H lên SK A D ® H K C CD ⊥ HK ⇒ CD ⊥ HI, mà HI ⊥ SK ⇒ HI ⊥ (SCD) ⇒ HI = d (H, (SCD)) √ 1 1 6a Xét tam giác SHK vuông H có: = + = + = ⇒ HI = 2 HI SH HK 2a a 2a √ Vậy, d (A, (SCD)) = a Chọn đáp án A Ta có: B CD ⊥ SH Câu 539 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi Biết tứ diện SABD là tứ diện cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BD và SC √ √ √ 3a a a a A B C D 4 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 646 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (650) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O là giao điểm AC và BD SABD là tứ diện nên tam giác SBD là tam giác ⇒ BD ⊥ SO (1) Mặt khác, ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC (2) Từ (1) và (2) ta có: BD ⊥ (SAC) O ⇒ BD ⊥ SC Trong (SAC), kẻ OH ⊥ SC (H ∈ SC) (3) S H A B O D C Ta có OH ⊂ (SAC), mà BD ⊥ (SAC), suy BD ⊥ OH (4) Từ (3) và (4) ta có OH là đoạn vuông góc chung BD và √ SC ⇒ d (BD, SC) √ = OH a a Tam giác SBD và ABD là tam giác cạnh a nên SO = và AO = 2 Xét tam giác SAC có: SO = AO = OC nên tam giác SAC vuông S Suy tam giác SAC có SA ⊥ SC và OH ⊥ SC nên OH k SA Mặt khác O là trung điểm AC nên OH là đường trung bình SA a a tam giác SAC Suy OH = = Vậy d(BD, SC) = OH = 2 Chọn đáp án B Câu 540 √ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với nhau, biết OA = a , OB = 2a, OC = a √3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) √ √ a a 2a a 17 A √ B √ C √ D √ 19 19 19 -Lời giải Gọi K, H là hình chiếu cuông góc O lên BC, AK A Khi đó từ BC ⊥ OA và BC ⊥ OK nên BC ⊥ (OAK) hay BC ⊥ OH Do đó OH ⊥ (ABC) Ta có H 1 = + OH OK OA2 1 + + = OA2 OB OC O C 1 = + 2+ 2 a 4a 3a K 19 = B 12a √ 2a hay khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) là OH = √ 19 Chọn đáp án C Câu 541 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có độ dài cạnh 10 Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ADD0 A0 ) và (BCC B ) √ C 100 D A 10 B 10 -Lời giải Theo tính chất hình lập phương thì AB ⊥ (ADD0 A0 ) và AB ⊥ A0 D0 (BCC B ) Hay khoảng cách hai mặt phẳng (ADD0 A0 ) và (BCC B ) AB = 10 B0 C0 A B Chọn đáp án A D C Câu 542 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường chéo SA và BC Th.s Nguyễn Chín Em 647 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (651) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ √ a a A B a C -Lời giải Gọi H, K là trung điểm AB và SA Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ⊥ (ABCD) suy SH ⊥ BC Hơn AB ⊥ BC Do đó BC ⊥ (SAB) hay BC ⊥ BK (vì BK ⊂ (SAB)) Mặt khác, theo cách gọi điểm K thì BK ⊥ SA Khi đó BK là đoạn vuông √ góc chung SA và BC Hay khoảng a cách chúng D a S K A D H B C Chọn đáp án A Câu 543 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy √ Cho biết SB = 3a, AB = 4a, BC = 2a Tính khoảng √ cách từ B đến mặt phẳng √ (SAC) 12 61a 4a 12 29a 14a A B C D 61 29 14 -Lời giải Trong ® tam giác ABC kẻ BI ⊥ AC và tam giác SBI kẻ BH ⊥ SI S AC ⊥ BI Ta có AC ⊥ SB ⇒ AC ⊥ (SBI) ⇒ (SAC) ⊥ (SBI) (SAC) ⊥ (SBI) H Ta có (SAC) ∩ (SBI) = SI BH ⊥ SI B ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ d (B, (SAC)) = BH C 1 1 61 I = + = + + = Ta có BH BI BS BA2√ BC BS 144a2 12a 61 A Suy d (B, (SAC)) = BH = 61 Chọn đáp án A 0 Câu 544 giác ABC vuông A có BC = 2a, √ Cho hình lăng trụ đứng 0ABC.A B C có đáy là0 tam ) AB = a √3 Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCC B √ √ √ a 21 a a a A B C D 2 -Lời giải Trong mặt phẳng (ABC) kẻ AH vuông góc BC H, đó B0 C0 d (AA0 , (BB C C)) = d (A, (BB C C)) = AH √ nên AC = a Tam giác ABC vuông A có BC = 2a, AB = a √ 1 a = + = ⇒ AH = A0 AH AB AC 3a H B C A Chọn đáp án B Câu 545 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi M , N là trung điểm SA và BC Biết góc M N và mặt phẳng (ABCD) 60◦ Khoảng cách hai đường thẳng BC và DM là Th.s Nguyễn Chín Em 648 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (652) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ … … 15 A a 62 -Lời giải B a Chương - Hình học 11 … 15 C a 68 30 31 … 15 D a 17 S M K A A I D H D H O O B P N C B P N C Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm AO Khi đó M H k SO nên góc M N và mặt phẳng ÷ (ABCD) là M N H = 60◦ √ √ √ 3a a 10 a 30 a 30 a ◦ nên HN = Suy raM H = HN · tan 60 = ⇒ SO = Ta có N P = , P H = 4 4 Gọi I là trung điểm AD và kẻ OK ⊥ SI, suy d(O, (SAD)) = OK √ 1 62 a 930 = + = ⇒ OK = OK OI SO2 15 62 √ a 930 Ta có BC k (SAD) nên d(BC, DM ) = d(C, (SAD)) = 2d(O, (SAD)) = 31 Chọn đáp án B Câu 546 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có tất các cạnh Tính khoảng cách hai 0 mặt phẳng √ (AB D ) và (BC D) √ √ 3 A B √ C D 3 -Lời giải √ AB √ Ta có CO = = Dựng CH ⊥ C O (hình vẽ) A0 D0 0 0 0 Do AB k C D; AD k BC ⇒ (AB D ) k (BC D) Khi đó d ((AB D0 ) , (BC D)) = d (A, (BC D)) B0 C0 CO.CC = d (C, (BC D)) = CH = p =√ CO2 + CC H A D O B C Chọn đáp án B √ Câu 547 Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) ; SA = a Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bao nhiêu? √ √ √ √ a a A a B C 2a D -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 649 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (653) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Do AB k CD ⇒ d (B; ® (SCD)) = d (A; (SCD)) CD ⊥ SA Dựng AH ⊥ SD, ⇒ CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SCD) CD ⊥ AD √ SA.AD a Lại có AH = √ = 2 SA + AD √2 a Do đó d (B; (SCD)) = AH = S H A D B C Chọn đáp án B Câu 548 Cho hình chóp √ S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm AC Khoảng cách hai đường thẳng AB và SM bao√nhiêu? √ √ 2a 39 a 39 2a 2a A B C D √ 13 13 13 13 -Lời giải Qua M kẻ đường thẳng d k AB và cắt BC I ⇒ AB k (SM I) ⇒ S d (AB; SM ) = d (AB; (SM I)) Kẻ AH ⊥ d, (H ∈ d) , kẻ AK ⊥ SH (K ∈ SH) SA.AH Suy d (AB; SM ) = d (A; (SM H)) = AK = √ 2 √ SA + AH √ K BC 2a 39 Mà SA = 2a 3, AH = = a ⇒ AK = H 13 M A C I B Chọn đáp án A Câu 549 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Biết SA vuông góc với đáy và SA = a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD) √ 2a a a a A √ B √ C √ D 3 -Lời giải S A D O B Ta có d(A, (SBD)) = C 3VASBD SA · AB · AD a3 a = = √ =√ SSBD SO · BD a2 3 Chọn đáp án B Th.s Nguyễn Chín Em 650 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (654) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 550 Cho tứ diện ABCD√có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD √ a a B A a C D a 2 -Lời giải Gọi M, N là trung điểm AB và CD A Do ABCD là tứ diện nên M N ⊥ AB và M N √ ⊥ CD √ a Suy d(AB, CD) = M N = BN − BM = M B D N C Chọn đáp án B Câu 551 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a Gọi I và J là trung điểm AB, CD Tính khoảng cách đường thẳng IJ và mặt phẳng (SAD) √ √ a a a a A B C D 3 -Lời giải Ta có IJ k AD ⇒ IJ k (SAD) S Khi đó d(IJ; (SAD)) = d(I; (SAD)) Mà AB ⊥ (SAD) ⇒ d(B; (SAD)) = AB = a Do I là trung điểm AB nên a d(I; (SAD)) = d(B; (SAD)) = 2 A D J I B Chọn đáp án D C Câu 552 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt đáy√ABCD Tính khoảng cách√giữa hai đường thẳng SC và BD √ a a a a A B C D -Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD và H là chân đường cao kẻ từ O S đến SC ® BD ⊥ AC Ta có ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OH BD ⊥ SA Suy OH là đoạn vuông góc chung SC và BD OH OC Xét hai tam giác đồng dạng OHC và SAC, ta có = H SA SC √ a √ D A ·a OC · SA a Suy OH = =√ = SC a2 + 2a2 B C Chọn đáp án D Câu 553 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có cạnh đáy a và chiều cao 2a Gọi 0 M, N là trung điểm BC AM và B N √ và A C Tính khoảng cách hai đường thẳng √ A 2a B a C a D a Th.s Nguyễn Chín Em 651 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (655) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 -Lời giải AM ⊂ (ABC) Ta có B N ⊂ (A0 B C ) (ABC) k (A0 B C ) nên d(AM, B N ) = d((ABC), (A0 B C )) = 2a A B M C A0 B0 N C0 Chọn đáp án A ’ = 60◦ Hình chiếu vuông góc Câu 554 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và BAD S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác (ABC) Góc mặt phẳng (SAB) và (ABCD) 60◦ Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) √ √ √ √ a 21 a 21 3a 3a A B C D 14 14 -Lời giải BD Từ giả thiết ta có tam giác ABD và BG = S Qua G, kẻ HK vuông góc với AB và CD (H ∈ AB, K ∈ CD) √ a (đường cao từ D tam giác ABC) thì HK = hD = ® GH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SHG) ⇒ SH ⊥ AB Hơn nữa, SG ⊥ AB Suy góc hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) chính là ’ góc SHG I √ HK a Ta có HG = = suy B C SG = HG · tan 60◦ = a H A G K O D Trong mặt phẳng (SGK), kẻ GI ⊥ SK Lại có GI ⊥ CD (do CD√ ⊥ (SGK)) suy GI ⊥ (SCD) √ a 1 a và = + suy GI = Ta có GK = · HK = 3 GI SG2 GK √ 3 3a Do đó, d(B, (SCD)) = · d(G, (SCD)) = · GI = 2 14 Chọn đáp án C √ Câu 555 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = a Tam giác SAO cân S, mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc SD và (ABCD) 60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng SB và AC √ a 3a a 3a A B C D 2 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 652 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (656) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ Ta có AB = a, BC = a suy AC = 2a, đó AO = a Vậy tam giác OAB Gọi I là trung điểm AO ta có SI ⊥ AO (tam giác SAO cân) và BI ⊥ AO (tam giác OAB đều) Suy AO ⊥ (SIB), đó (SIB) ⊥ (ABCD) Mà (SAD) ⊥ (ABCD) nên giao tuyến (SIB) và (SAD) vuông góc với (ABCD) Kéo dài BI cắt AD H thì SH chính là giao tuyến cần tìm, suy SH ⊥ (ABCD) ’ = 60◦ Từ đó, góc SDH √ ◦ ’ Ta có AB = a, ABH = 30 suy AH = S J D C H O I A √ B √ 3− , suy SH = HD · tan 60◦ = 2a √ √ Lại có HB = AH + AB = √ ’ = SH = suy SBH ’ = 60◦ Suy tan SBH HB Trong mặt phẳng (SHB),√kẻ IJ √ ⊥ SB thì IJ là đoạn vuông góc chung AC và SB 3a 3a Ta có IJ = IB sin 60◦ = · = 2 Do đó HD = AD − AH = Chọn đáp án D Câu 556 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD = 2a Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SD √ 2a D a A a B 2a C S = √ -Lời giải Ta có d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AH √ 1 1 Với = + = ⇒ AH = a AH SA2 AD2 2a2 S H D A B Chọn đáp án D C ◦ ’ Câu 557 Cho hình chóp SABCD có đáy √ là hình thoi cạnh a và DAB = 120 Gọi O là giao điểm a AC, BD Biết SO ⊥ (ABCD) và SO = Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a a a a A B C D 4 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 653 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (657) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 S H A B K O D C Kẻ OK ⊥ BC mà SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC nên BC ⊥ (SOK) ⇒ (SBC) ⊥ (SOK) Mặt khác: (SBC) ∩ (SOK) = SK Trong mp(ABCD), kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ (SBC) nên d(O; (SBC)) = OH ’ = 120◦ nên CAB ’ = ACB ’ = CBA ’ = 60◦ ⇒ 4ABC Ta có: DAB √ a a ; OC = AC = 4ABC đều⇒ OB = 2 1 4 16 Trong 4OBC vuông O ⇒ = + = + = OK OC OB a 3a 3a √ 1 16 16 a = + = + = ⇒ OH = Mà 4OSK ta có: OH SO2 OK 6a 3a a √ a Ta thấy O là trung điểm DB nên d(D; (SBC)) = 2d(O; (SBC)) = 2OH = Chọn đáp án B ◦ ’ Câu 558 Cho hình chóp SABCD có đáy √ là hình thoi cạnh a và DAB = 120 Gọi O là giao điểm a AC, BD Biết SO ⊥ (ABCD) và SO = Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ a a a a A B C D 4 -Lời giải S H A B K O D C Kẻ OK ⊥ BC mà SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC nên BC ⊥ (SOK) ⇒ (SBC) ⊥ (SOK) Mặt khác: (SBC) ∩ (SOK) = SK Trong mp(ABCD), kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ (SBC) nên d(O; (SBC)) = OH ’ = 120◦ nên CAB ’ = ACB ’ = CBA ’ = 60◦ ⇒ 4ABC Ta có: DAB √ a a 4ABC đều⇒ OB = ; OC = AC = 2 1 4 16 Trong 4OBC vuông O ⇒ = + = + = 2 2 OK OC OB a 3a 3a √ 1 16 16 a Mà 4OSK ta có: = + = + = ⇒ OH = OH SO2 OK 6a 3a a √ a Ta thấy O là trung điểm DB nên d(D; (SBC)) = 2d(O; (SBC)) = 2OH = Th.s Nguyễn Chín Em 654 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (658) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Chọn đáp án B Câu 559 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D, AB = 2a, AD = DC = a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Góc SC và mặt đáy 60◦ Khoảng cách hai đường thẳng AC và SB √ √ √ a 2a 15 A 2a B C D a 2 -Lời giải Cách Do (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên suy SA ⊥ (ABCD) ’ = 60◦ Khi đó (SC, (ABCD)) = SCA Gọi E là trung điểm AB Khi đó, tứ giác ADCE là hình vuông Suy AE = EB và CE = AB Vậy tam giác ACB vuông C Suy BC ⊥ AC S G F E B A D C Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ Bx song song với AC Từ A kẻ AF ⊥ Bx Do ® AC k BF nên AC k (SBF ) ⇒ d(AC, SB) = d(AC, (SBF )) = d(A, (SBF )) BF ⊥ AF ⇒ BF ⊥ (SAF ) ⇒ (SAF ) ⊥ (SBF ) Do BF ⊥ SA Từ A kẻ AG ⊥ SF ⇒ AG ⊥ (SBF ) ⇒ d(A, (SBF )) = AG √ √ √ √ √ ’ = a · = a Ta có AC = a 2, BC = AF = a và SA = AC · tan SCA √ 1 a Trong tam giác vuông SAF , ta có = + = ⇒ AG = 2 AG SA AF 6a cách 2: Dùng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta cóÄA(0; 0; 0),ä B(0; 2a; 0), C(a; a; 0), D(a; 0; 0), √ S 0; 0; a Ä √ ä # » # » # » AC = (a; a; 0), SB = 0; 2a; −a , AB = (0; 0) ä î # » # »ó î # 2a; » # »ó Ä √ √ AC, SB = −a 6; a 6; 2a2 , AC, SB · √ # » AB = 2a3 z S B y A D C x î # » # »ó # » √ √ AC, SB · AB 2a3 a Khi đó d(AC, SB) = = qÄ = î # » # »ó √ ä2 Ä √ ä2 AC, SB −a2 + a2 + (2a2 )2 Chọn đáp án B √ Câu 560 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a Gọi M là trung điểm cạnh SC Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD) √ √ √ √ a a 10 a a 10 A B C D 10 -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 655 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (659) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi O = AC ∩ BD, G = AM ∩ SO, suy G là trọng tâm tam giác SAC ⇒ d(M, (SBD)) = d(A, (SBD)) Do ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD) nên BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) Kẻ AH ⊥ SO, H ∈ SO Do BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBD) ⇒ d(A, (SBD)) = AH √ Tam giác SAO vuông A, có SA = a 2, AO = AC = √ √ 1 a 10 a ⇒ = + = ⇒ AH = AH 2a 2a a √ 1 a 10 Vậy d(M, (SBD)) = d(A, (SBD)) = AH = 2 10 Chọn đáp án B S M G H A B O D C ABC.A0 B C Câu 561 Cho lăng trụ có khoảng cách từ A đến mặt phẳng 0 từ trung điểm M cạnh B C đến mặt phẳng (A0 BC) A 2a B 4a C 6a -Lời giải Ta có d (M, (A0 BC)) = d (B , (A0 BC)) = d (A, (A0 BC)) = 6a (A0 BC) 6a Khoảng cách D 3a A0 C0 M B0 I A C B Chọn đáp án C 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 142 152 162 172 182 192 ĐÁP ÁN A B 12 D 22 A 32 D 42 A 52 B 62 C 72 D 82 C 92 B 102 C 112 A 122 D 132 C 143 A 153 C 163 D 173 C 183 C 193 C A B D A D A D A C C B B A C A B A D B 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 134 144 154 164 174 184 194 Th.s Nguyễn Chín Em B C A A C D C B B D B B D A D B D B D D 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 135 145 155 165 175 185 195 C A B C D D D B D A A B C D B B D C C B 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 136 146 156 166 176 186 196 D A C A A C B A C D B B A D A D B B B D 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 137 147 157 167 177 187 197 656 B B A B A B C D B D D D D D C D D B A A 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 138 148 158 168 178 188 198 C C B D A D C D D C D B B A D D D A C A 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 139 149 159 169 179 189 199 B A D B A C B B D C C C A A B B D D D A 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 140 150 160 170 180 190 200 A B C A C B C C A C D B A D D B D C A D 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 141 151 161 171 181 191 201 D A A A A D B D C D B B D B B C C A A A https://emncischool.wixsite.com/geogebra (660) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 202 212 222 232 242 252 262 272 282 292 302 312 322 332 342 352 362 372 382 392 402 412 422 432 442 452 462 472 482 492 502 512 522 532 542 552 A A B A C A A A D B A B B D B A D B B A A B C D C D D B B C A A C A A D 203 213 223 233 243 253 263 273 283 293 303 313 323 333 343 353 363 373 383 393 403 413 423 433 443 453 463 473 483 493 503 513 523 533 543 553 D C C A A D A C D A A C B B C B A C D A D D D A C B B B B A C B C B A A 204 214 224 234 244 254 264 274 284 294 304 314 324 334 344 354 364 374 384 394 404 414 424 434 444 454 464 474 484 494 504 514 524 534 544 554 A D B D D B B C A A B C C B B D B A D B C C B B B D A B B B C C B B B C D ÔN TẬP CHƯƠNG III 205 215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 315 325 335 345 355 365 375 385 395 405 415 425 435 445 455 465 475 485 495 505 515 525 535 545 555 D C D A A D B A B B D D C C A B B D A D B D C C D C B D B D A B A B B D 206 216 226 236 246 256 266 276 286 296 306 316 326 336 346 356 366 376 386 396 406 416 426 436 446 456 466 476 486 496 506 516 526 536 546 556 C C B D A D A C D B B D B A A D A C D A A A B B D A A D D B A B B A B D Chương - Hình học 11 207 217 227 237 247 257 267 277 287 297 307 317 327 337 347 357 367 377 387 397 407 417 427 437 447 457 467 477 487 497 507 517 527 537 547 557 C D D C D A A C C C D A B C A B A B B B A D C B A D D B D A B B C C B B 208 218 228 238 248 258 268 278 288 298 308 318 328 338 348 358 368 378 388 398 408 418 428 438 448 458 468 478 488 498 508 518 528 538 548 558 A B A C D B B A B A B C B B B D C B D B B A D B C B B C B A B A D A A B 209 219 229 239 249 259 269 279 289 299 309 319 329 339 349 359 369 379 389 399 409 419 429 439 449 459 469 479 489 499 509 519 529 539 549 559 C B A A C D B A A A D A C B D C B A C B B C C A D C B D C A B C B B B B 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 A D A C C C C D A C B D A B A D B C B D B A C A D C B C A A A B B C B B 211 221 231 241 251 261 271 281 291 301 311 321 331 341 351 361 371 381 391 401 411 421 431 441 451 461 471 481 491 501 511 521 531 541 551 561 C D D C A B A B B C A D D C D B B B B C C A B A C A C B B A A D B A D C Câu Mệnh đề nào sau đây đúng? A Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c C Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với đôi Nếu có đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b c D Cho hai đường thẳng a và b song song với Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (a, b) -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 657 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (661) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A0 D0 D A B0 C0 D A B C B C Hình Hình Mệnh đề “Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c” sai vì a có thể song song với c Ví dụ: Hình vuông ABCD có AB ⊥ BC, BC ⊥ CD và A (Hình 1) Mệnh đề “Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với đôi Nếu có đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b c” sai vì d có thể cắt b và c Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có ABC đôi vuông góc với AC vuông góc với AA0 AC cắt AB và AD (Hình 2) Mệnh đề “Cho hai đường thẳng a và b song song với Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (a, b)” sai vì c có thể song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (a; b) Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có AB k CD Đường thẳng BC vuông góc với AB mà DG (Hình 1) Chọn đáp án B Câu Mệnh đề nào sau đây đúng? A Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với B Nếu hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng C Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với và cắt theo giao tuyến d Với điểm A thuộc (α) và điểm B thuộc (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với d D Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với mặt phẳng (γ) thì giao tuyến d (α) và (β) có vuông góc với (γ) -Lời giải A0 D0 B0 C0 D A B C Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” sai vì hai mặt phẳng có thể cắt Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có (AA0 D0 D) và (AA0 B B) cùng vuông góc với (ABCD) và (AA0 D0 D) ∩ (AA0 B B) = AA0 Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia” sai vì thiếu điều kiện đường thẳng phải vuông góc với giao tuyến Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có (AA0 D0 D) vuông góc với (ABCD) A0 D0 k (ABCD) Mệnh đề “Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với và cắt theo giao tuyến d Với điểm A thuộc (α) và điểm B thuộc (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với d” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có (AA0 D0 D) vuông góc với (ABCD) và (AA0 D0 D) ∩ (ABCD) = AD mà BD0 không vuông góc với AD Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 658 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (662) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu Mệnh đề nào sau đây sai? A Hai đường thẳng a và b không gian có các vectơ phương là #» u và #» v Điều kiện cần #» #» và đủ để a và b chéo là a và b không có điểm chung và hai vectơ u , v không cùng phương B Cho a, b là hai đường thẳng chéo và vuông góc với Đường vuông góc chung a và b nằm mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường C Không thể có hình chóp tứ giác S.ABCD nào có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy D Cho #» u , #» v là hai vectơ phương hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (α) và #» n là #» #» #» #» vectơ phương đường thẳng ∆ Điều kiện cần và đủ để ∆ ⊥ (α) là n · u = và n · v = -Lời giải “Không thể có hình chóp tứ giác S.ABCD nào có hai mặt bên S (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy” là mệnh đề sai Ví dụ: Cho hình chóp S.M BD đó SM ⊥ (M BD) ⇒ (SM B) và (SM D) là hai mặt phẳng vuông góc với đáy Trên cạnh M B, M D lấy A và C Khi đó, (SAB) ≡ (SM B) , (SCD) ≡ (SM D) ⇒ (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với đáy C D M A B Chọn đáp án C Câu Mệnh đề nào sau đây đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì ba đường thẳng đó cùng nằm mặt phẳng B Một đường cắt hai đường thẳng cắt cho trước thì ba đường thẳng đó cùng nằm mặt phẳng C Ba đường thẳng cắt đôi thì cùng nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đôi và không nằm mặt phẳng thì đồng quy -Lời giải A0 D0 B0 C0 D A B C Mệnh đề “Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì ba đường thẳng đó cùng nằm mặt phẳng” sai Ví dụ Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có AA0 cắt AB và A0 D0 ba đường thẳng AA0 , AB và A0 D0 không đồng phẳng Mệnh đề “Một đường cắt hai đường thẳng cắt cho trước thì ba đường thẳng đó cùng nằm mặt phẳng” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có A0 B cắt hai đường thẳng cắt cho trước là AA0 và A0 D0 ba đường thẳng AA0 , A0 B và A0 D0 không đồng phẳng Mệnh đề “Ba đường thẳng cắt đôi thì cùng nằm mặt phẳng” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có A0 B , AA0 , A0 D0 cắt đôi không cùng nằm mặt phẳng Chọn đáp án D Câu Mệnh đề nào sau đây đúng? A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song Th.s Nguyễn Chín Em 659 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (663) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song D Hai đường thẳng không cắt và không song song thì chéo -Lời giải A0 D0 B0 C0 D A B C Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song” sai vì chúng có thể cắt Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có (AA0 D0 D) và (AA0 B B) cùng vuông góc với (ABCD) và (AA0 D0 D) ∩ (AA0 B B) = AA0 Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song” sai vì chúng có thể cắt Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có AB, AD cùng vuông góc với AA0 , AB ∩ AD = A Mệnh đề “Hai đường thẳng không cắt và không song song thì chéo nhau” sai vì chúng có thể trùng Chọn đáp án A Câu Mệnh đề nào sau đây đúng? A Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thì song song với B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì cắt C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với D Một mặt phẳng (α) và đường thẳng a không thuộc (α) cùng vuông góc với đường thẳng b thì (α) song song với a -Lời giải A0 D0 B0 C0 D A B C Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thì song song với nhau” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có AD và AC cùng song song với (A0 B C D0 ) mà AD ∩ AC = A Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì cắt nhau” sai vì hai mặt phẳng có thể song song với Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có (AA0 D0 D) và (BB C C) cùng vuông góc với (ABCD) và (AA0 D0 D) k (BB C C) Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với nhau” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có AD và AC cùng vuông góc với AA0 AD và AC không vuông góc với Chọn đáp án D Câu Mệnh đề nào sau đây đúng? A Đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo là đoạn ngắn các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng và ngược lại B Qua điểm cho trước có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước Th.s Nguyễn Chín Em 660 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (664) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 C Qua điểm cho trước có đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước D Cho ba đường thẳng a, b, c chéo đôi Khi đó ba đường thẳng này nằm ba mặt phẳng song song với đôi -Lời giải A0 D0 B0 C0 D A B C Mệnh đề “Qua điểm cho trước có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 qua điểm A0 có hai mặt phẳng (A0 ABB ) và (A0 ADD0 ) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Mệnh đề “Qua điểm cho trước có đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 qua điểm A0 có A0 B và A0 D0 cùng vuông góc với AA0 Mệnh đề “Cho ba đường thẳng a, b, c chéo đôi Khi đó ba đường thẳng này nằm ba mặt phẳng song song với đôi một” sai Ví dụ: Hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có ba đường thẳng AB, CC , A0 D là ba đường thẳng chéo đôi các mặt phẳng chứa các đường này không song song với đôi Chọn đáp án A # » # » Câu Cho hình lập phương ABCD.EF GH có cạnh a Tính P = AB · EG A P = a2 B P = a2 √ C P = a2 √ √ a2 D P = -Lời giải # » # » Ta có EG = AC Do đó P E # » # » # » # » = AB · EG = AB · AC √ Ä # » # »ä √ = AB · AC · cos AB, AC = a · a · = a2 H F G D A B C Chọn đáp án A Câu Tính khoảng cách d hai cạnh đối tứ diện cạnh a √ √ 3a a a A d = B d = C d = 2 √ D d = a -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 661 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (665) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Gọi M,® N là trung điểm AB, CD CD ⊥ BN Suy ⇒ CD ⊥ (ABN ) ⇒ CD ⊥ M N CD ⊥ AN √ a Ta có AN = BN = ⇒ ∆ABN cân N ⇒ M N ⊥ AB Từ (1) và (2), suy p d [AB, CD] = M N = BN − BM = D (1) N (2) √ 3a2 a2 a − = 4 A C M B Chọn đáp án B ABCD.A0 B C D0 Câu 10 Cho hình hộp đây # » # » # » # » A AC = AB + AD + AA0 # » # » # » # » C AB + AA0 = AD + DD0 -Lời giải với tâm O Hãy đẳng thức sai các đẳng thức sau # » # » # » # » #» B AB + BC + CD + D0 A = # » # » # » # » # » # » D AB + BC + CC = AD0 + D0 O + OC A0 D0 B0 C0 D A B C # »0 # » # » # »0 Theo qui tắc hình hộp thì AC = AB + AD + AA # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » #» Ta có CD = C D0 ⇒ AB + BC + CD + D0 A = AB + BC + C D0 + D0 A = AC + C A = # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có AB + BC + CC = AD0 + D0 O + OC ⇔ AC = AC # »0 # » # » # » # » # » # » # »0 # » # »0 Ta có AB + AA = AB + AA = AB (quy tắc hình bình hành) và AD + DD0 = AD + DD0 = AD0 nên # » # » # » # » AB + AA0 6= AD + DD0 Chọn đáp án C # » # » #» # » # » #» Câu 11 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C Đặt AA0 = #» a , AB = b , AC = #» c , BC = d Trong các biểu thức vectơ sau đây, biểu thức nào là đúng? #» #» #» #» A #» a = b + #» c B #» a + b + #» c + d = #» #» #» #» #» C b + d − #» c = D #» a + b + #» c = d -Lời giải A0 D0 B0 C0 D A B M C #» #» # » # » # » # » Gọi M là trung điểm BC đó AB + AC = 2AM ⇒ b + c = 2AM 6= #» a 0 0 Dựng hai điểm D, D để ABDC.A B D C là hình hộp Th.s Nguyễn Chín Em 662 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (666) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 #» #» #» #» #» Ta có #» a + b + #» c + d = ⇔ #» a + b + #» c = −d # » # »0 # » # » # »0 #» #» #» Mà AA + AB + AC = AD ⇒ #» a + b + #» c = AD0 6= − d 6= d #» #» # » # » # » # » # » #» Ta có b + d − #» c = AB + BC − AC = AC − AC = Chọn đáp án C Câu 12 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Mệnh đề nào sau đây sai? # » # » a2 # » # » A AB · AC = B AB ⊥ CD hay AB · CD = # » # » 2# » # » #» # » # » # » # » C AB + CD + BC + DA = D AC · AD = AC · CD -Lời giải Ä # » # »ä a2 # » # » # » # » Ta có AB · AC = AB · AC cos AB, AC = a · a · cos 60◦ = Gọi M®là trung điểm CD và O là trọng tâm tam giác BCD AO ⊥ CD # » # » Ta có ⇒ CD ⊥ AB hay AB · CD = BM ⊥ CD # » # » # » # » # » # » #» Theo quy tắc ba điểm AB + BC + CD + DA = AC + CA = A D C M O B Ä # » # »ä a # » # » # » # » AC · AD = AC · AD · cos AC, AD = a · a · cos 60◦ = Ta có Ä ä Ä ä # » # » # » # » # » # » # » # » AC · CD = − CA · CD = − CA · CD · cos CA, CD = −a · a · cos 60◦ = − a Chọn đáp án D Câu 13 Mệnh đề nào sau đây đúng? # » # » # » # » A Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành # » # » B Tứ giác ABCD là hình bình hành AB = CD # » # » # » # » #» C Tứ giác ABCD là hình bình hành AB + BC + CD + AD = # » # » # » D Tứ giác ABCD là hình bình hành AB + AC = AD -Lời giải Ta có D C # » # » # » # » # » # » # » # » SB + SD = SA + SC ⇔ SB − SA = SC − SD # » # » ⇔ AB = DC Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành # » # » Tứ giác ABCD là hình bình hành AB = DC # » # » # » # » Với bốn điểm A, B, C, D ta luôn có AB + BC + CD + DA = #» # » # » # » Tứ giác ABCD là hình bình hành AB + AD = AC Chọn đáp án A A B Câu 14 Mệnh đề nào sau đây sai? #» #» A Ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng có ba vectơ đó vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng có hai ba vectơ đó cùng phương B Ba vectơ #» # » # » # » C Trong hình hộp ABCD.A0 B C D0 ba vectơ AB , C A0 , DA0 đồng phẳng #» #» D Vectơ #» x = #» a + b + #» c luôn luôn đồng phẳng với hai vectơ #» a và b -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 663 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (667) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Cho hình hộp ABCD.A0 B C D0 và gọi M là trung điểm C D0 # » #» # » # » Giả sử #» a = AB, b = AD, #» c = CM #» # » # » # » Khi đó #» a + b + #» c = AM không đồng phẳng với hai vectơ AB, AD A0 D0 B0 C0 D A B C Chọn đáp án D Câu 15 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Mệnh đề nào sau đây sai? √ # » # » # » A AC = a B AD0 · AB = a2 # » # » # » # » # » # » #» C AB · CD0 = D 2AB + B C + CD + D0 A0 = -Lời giải A0 D0 B0 C0 D A B C √ √ √ # » Ta có AC = AB + AD2 + A0 A2 = a2 + a2 + a2 = a Ä # » # »ä √ √ # » # » # » # » Ta có AD0 · AB = AD0 · AB · cos AD0 , AB = a · a · cos 60◦ = a2 # » # » # » # » Dễ dàng minh AB ⊥ CD0 ⇒ AB · CD0 = ( #chứng » # » B C = BC Ta có # » # » D0 A0 = DA # » # » # » # » # » Ä # » # » # » # »ä # » #» # » #» Khi đó: 2AB + B C + CD + D0 A0 = AB + AB + BC + CD + DA = AB + = AB 6= Chọn đáp án D Câu 16 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai? #» #» A Cho hai vectơ không cùng phương #» a và b Khi đó ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng và có cặp #» số m, n cho #» c = m #» a + n b , ngoài cặp số m, n là #» #» #» B Nếu có m #» a + n b + p #» c = và ba số m, n, p khác thì ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng #» #» #» C Cho ba vectơ a , b , c đồng phẳng và ba vectơ đó cùng có giá thuộc mặt phẳng D Ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi thì ba tia đó không đồng phẳng -Lời giải #» Cho ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng và ba vectơ đó cùng có giá song song với mặt phẳng Chọn đáp án C Câu 17 Cho hai điểm phân biệt A, B và điểm O bất kì Mệnh đề nào sau đây là đúng? # » # » # » A Điểm M thuộc đường thẳng AB và OM = OB = k BA # » # » # » # » B Điểm M thuộc đường thẳng AB và OM = OB = k(OB − OA) # » # » # » C Điểm M thuộc đường thẳng AB và OM = k OA + (1 − k) OB # » # » # » D Điểm M thuộc đường thẳng AB và OM = OA + OB -Lời giải Ä # » # »ä # » # » # » # » # » # » # » Ta có OM = k OA + (1 − k) OB ⇔ OM − OB = k OA − OB ⇔ BM = k BA ⇒ M, A, B thẳng hàng Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 664 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (668) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Câu 18 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với B Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với C Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với D Mặt phẳng (α) và đường thẳng a cùng vuông góc với đường thẳng b thì song song với -Lời giải Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với Chọn đáp án A Câu 19 Cho a, b, c là các đường thẳng Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a k c B Nếu a k b và b ⊥ c thì a ⊥ c C Nếu a ⊥ (α) và b k (α) thì a ⊥ b D Nếu a ⊥ b, c ⊥ b và a cắt c thì b ⊥ (a, c) -Lời giải Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a k c a, c chéo a, c cắt Chọn đáp án A Câu 20 Cho các mệnh đề sau với (α) và (β) là hai mặt phẳng vuông góc với với giao tuyến m = (α) ∩ (β) và a, b, c, d là các đường thẳng Mệnh đề nào sau đây đúng? A Nếu a ⊂ (α) và a ⊥ m thì a ⊥ (β) B Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (α) b ⊂ (β) C Nếu c k m thì c k (α) c k (β) D Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (α) -Lời giải Nếu a ⊂ (α) và a ⊥ m thì a ⊥ (β) Chọn đáp án A Câu 21 Cho a, b, c là các đường thẳng Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Nếu a ⊥ b, (α) ⊃ a và (β) ⊃ b thì (α) ⊥ (β) B Cho a ⊥ b và b ⊂ (α) Mọi mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với b thì thì vuông góc (α) C Cho a ⊥ b Mọi mặt phẳng chứa b vuông góc với a D Cho a k b Mọi mặt phẳng (α) chứa c đó c ⊥ a và c ⊥ b thì vuông góc với mặt phẳng (a, b) -Lời giải Cho a ⊥ b và b ⊂ (α) Mọi mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với b thì thì vuông góc (α) Chọn đáp án B Câu 22 Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Qua đường thẳng, có mặt phẳng vuông góc với đường thẳng khác B Qua điểm có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước C Cho hai đường thẳng a và b vuông góc Nếu mặt phẳng (α) chứa a và mặt phẳng (β) chứa b thì (α) ⊥ (β) D Cho hai đường thẳng chéo a và b đồng thời a ⊥ b Luôn có mặt phẳng (α) chứa a để (α) ⊥ b -Lời giải Cho hai đường thẳng chéo a và b đồng thời a ⊥ b Luôn có mặt phẳng (α) chứa a để (α) ⊥ b Chọn đáp án D Câu 23 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A Cho hai đường thẳng a và b vuông góc nhau, mặt phẳng (α) chứa a và mặt phẳng (β) chứa b thì (α) ⊥ (β) B Cho đường thẳng a vuông góc mặt phẳng (α), mặt phẳng (β) chứa a thì (α) ⊥ (β) C Cho hai đường thẳng a và b vuông góc nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường này thì song song với đường D Cho hai đường thẳng chéo nhau, luôn luôn có mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường -Lời giải Cho đường thẳng a vuông góc mặt phẳng (α), mặt phẳng (β) chứa a thì (α) ⊥ (β) Chọn đáp án B Câu 24 Cho tứ diện ABCD Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào là sai? Khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC) là: A Độ dài đoạn DG đó G là trọng tâm tam giác ABC B Độ dài đoạn DH đó H là hình chiếu vuông góc điểm D trên mặt phẳng (ABC) Th.s Nguyễn Chín Em 665 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (669) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 C Độ dài đoạn DK đó K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Độ dài đoạn DI đó I là trung điểm đoạn AM với M là trung điểm đoạn BC -Lời giải Gọi M là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác ABC D Do ABCD là tứ diện ⇒ DG ⊥ (ABC) Do đó, d (D, (ABC)) = DG và G là hình chiếu D trên mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC ⇒ G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A C M G B Chọn đáp án D Câu 25 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? a A Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A0 BD) √ B Độ dài đoạn AC a √ C Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (CDD0 C ) a 3a D Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC B ) -Lời giải Gọi I = BD ∩ AC và H là hình chiếu điểm A trên đường thẳng A0 D0 A0 I Dễ dàng chứng minh d (A, (A0 BD)) = AH B0 C0 Ta có √ 1 1 a 3 = 2+ = + Ç √ å2 = ⇒ AH = AH AA AI a a a H D A √ Đường chéo hình lập phương AC = a I 0 0 Ta có AD ⊥ (CDD C ) ⇒ d (A, (CDD C )) = AD = a B C Ta có AB ⊥ (BCC B ) ⇒ d (A, (BCC B )) = AB = a Chọn đáp án B Câu 26.√ Khoảng cách hai cạnh √ đối tứ diện cạnh a bằng: a 2a a A B C 3 -Lời giải Gọi M,® N là trung điểm AB, CD CD ⊥ BN Suy ⇒ CD ⊥ (ABN ) ⇒ CD ⊥ M N (1) CD ⊥ AN √ a Ta có AN = BN = ⇒ ∆ABN cân N ⇒ M N ⊥ AB (2) Từ (1) và (2), suy p d [AB, CD] = M N = BN − BM = √ 3a2 a2 a − = 4 D 2a D N A C M B Chọn đáp án A Câu 27 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy là Th.s Nguyễn Chín Em 666 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (670) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 √ a B a C a 2 -Lời giải Gọi M là trung điểm BC và H là trọng tâm tam giác ABC Ta dễ dàng chứng minh SH ⊥ (ABC) ⇒ d (S, (ABC)) √ = SH √ 3a Ta có AM = , AH = AM = a 3 √ ⇒ SH = SA2 − HA2 = a √ D a A S A C M H B Chọn đáp án B Câu 28 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Đường vuông góc chung hai đường thẳng a và b chéo là đường thẳng d vừa vuông góc với a và vừa vuông góc với b B Đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo là đoạn ngắn các đoạn nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng và ngược lại C Cho hai đường thẳng chéo a và b Đường vuông góc chung luôn luôn nằm mặt phẳng vuông góc với a và chứa đường thẳng b D Hai đường thẳng chéo là hai đường thẳng không song song với -Lời giải Đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo là đoạn ngắn các đoạn nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng và ngược lại Chọn đáp án B Câu 29 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có ba kích thước AB = a, AD = b, AA0 = c Trong các kết sau đây, √ kết nào là sai? A BD0 = a2 + b2 + c2 B d (AB, CC ) = b √ 1√ C d (BB , DD0 ) = a2 + b2 D d (A, (A0 BD)) = a + b2 + c2 -Lời giải √ √ = AC = + AD + A0 A2 = Ta có BD AB a2 + b2 + c2 ® A0 D0 BC ⊥ AB Ta có ⇒ d (AB, CC ) = BC = b BC ⊥ CC √ B0 C0 Ta có BB k DD0 ⇒ d (BB , DD0 ) = BD = a2 + b2 Gọi M là hình chiếu A trên AB, H là hình chiếu A trên AM Dễ dàng chứng minh AH ⊥ (A0 BD) ⇒ d (A, (A0 BD)) = AH 1 1 H Lại có = + = + D 2 02 AH AM AA a + b c A c2 a2 + b2 ⇒ AH = a2 + b2 + c2 M B C Chọn đáp án D Câu 30 Mệnh đề nào sau đây sai? A Khoảng cách đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng (α) B Khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b là khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng (α) chứa a và song song với b đến điểm N bất kì trên b C Khoảng cách hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ điểm M bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng D Nếu hai đường thẳng a và b chéo và vuông góc với thì đường vuông góc chung chúng nằm mặt phẳng (α) chứa đường này và (α) vuông góc với đường -Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 667 https://emncischool.wixsite.com/geogebra (671) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Mệnh đề sai là mệnh đề “Khoảng cách hai đường thẳng chéo a và b là khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng (α) chứa a và song song với b đến điểm N bất kì trên b” Chọn đáp án B 1 11 21 ĐÁP ÁN D B C 12 D B 22 D 13 23 Th.s Nguyễn Chín Em C A B 14 24 D D D 15 25 A D B 16 26 668 D C A 17 27 A C B 18 28 A A B 19 29 B A D 10 20 30 C A B https://emncischool.wixsite.com/geogebra (672)