Chuyên đề vecto trong không gian quan hệ vuông góc

Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABCD ).. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.[r]

HÌNH HỌC 11

VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN

QUAN HỆ

VNG GĨC

Quý đọc giả, quý thầy cô em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn giải toán trọng tâm lớp 11

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao mơn Tốn Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định

NỘI DUNG

1 Tóm tắt lý thuyết cần nắm học 2 Bài tập có hướng dẫn giải tập tự luyện 3 Phần tập trắc nghiệm đủ dạng có đáp án 4 Một số đề ôn kiểm tra

Cuốn tài liệu xây dựng có khiếm

khuyết Rất mong nhận góp ý, đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh để lần sau tập hoàn chỉnh

Chân thành cảm ơn

LỜI NÓI ĐẦU

MỤC LỤC

§1 VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN 01 – 11 §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC 12 – 19

§3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 20 – 36

CHƯƠNG III

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN -o0o -

§1 VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN VÀ SỰĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I CÁC ĐỊNH NGHĨA

1 Vectơ, giá độ dài vectơ

Vectơ khơng gian đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB, vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ cịn kí hiệu a b x y, , , ,

Giá vectơ đường thẳng đí qua điểm đầu điểm cuối vectơđó Hai vectơđược gọi phương giá chúng song song trùng Ngược lại hai vectơ có giá cắt gọi hai vectơ khơng phương Hai vectơ phương hướng hay ngược hướng

Độ dài vectơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối vectơđó Vectơ có độ dài gọi vectơđơn vị Kí hiệu AB Như AB = AB

2 Hai vectơ nhau, vectơ_không

Hai vectơ avà bđược gọi chúng có độ dài hướng Kí hiệu a=b

Vectơ_khơng vectơđặc biệt có điểm đầu điểm cuối trùng nhau; phương hướng với vectơ Kí hiệu 0= AA=BB=

II PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ VECTƠ

1 Định nghĩa

Cho hai vectơ avà b Trong không gian lấy điểm A tùy ý, vẽ AB=a BC, =b Vectơ AC gọi tổng hai vectơ avà b, kí hiệu AC= AB+BC= +a b

Vectơ blà vectơđối anếu a = b a, bngược hướng với nhau, kí hiệu b= −a

( )

a b− = + −a b 2 Tính chất

+ = +

a b b a( tính chất giao hoán) ( )a b+ + = + +c a ( )b c (tính chất kết hợp) + = + =0

a a a(tính chất vectơ khơng) a+ − = − + =( )a a a 3 Các quy tắc cần nhớ tính tốn

a Quy tắc ba điểm

Với ba điểm , ,A B C bất kì, ta có: AC=BC BC+ BC= AC AB−

C B

A

+ b a

b a

b Quy tắc hình bình hành Với ABCD hình bình hành Ta có: AC=AB AD+

D

C B

A

+ b a

b a

c Tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác Với I trung điểm AB Ta có: IA IB+ =0

MA MB+ =2MI với điểm M G trọng tâm tam giác ABC Ta có: GA GB GC+ + =0 với

MA MB MC+ + =3MG với điểm M d Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp ABCD A B C D / / / / Ta có:

= + +

/ /

AC AB AD AA

A'

D'

B'

C'

D C

B A

III PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1 Định nghĩa: Cho số k≠0 vectơ a≠0 Tích số k với vectơ a vectơ, kí hiệu k a, hướng với a k>0, ngược hướng với a k <0 có độ dài k a

2 Tính chất: Với vectơ a, bvà số m, n ta có: ( )

m a+ =b ma+mb (m+n a) =ma+na m na( )=(mn a) 1.a=a ( 1).a− = −a 0.a=0; 0k =0 IV ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1 Khái niệm sựđồng phẳng ba vectơ không gian

Trong không gian cho ba vectơ a b c, , khác vectơ-khơng Nếu từ điểm O ta vẽ

, ,

OA=a OB=b OC=c xảy hai trường hợp: TH1 Các đường thẳng OA OB OC, , không nằm mặt phẳng

Ba vec tơ a, b, c không đồng phẳng C

B A

O c

b a

α

TH2 Các đường thẳng OA OB OC, , nằm mặt phẳng

Ba vec tơ a, b, c đồng phẳng c

b a

C B A O

α

Định nghĩa

Trong không gian, ba vectơđược gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

O a

c b

c

b a

α

3 Điều kiện để ba vectơđồng phẳng

Định lí 1. Cho ba vectơ a b c, , , a b khơng phương Điều kiện cần đủđể ba vectơ , ,

a b c đồng phẳng có số m, n cho c=ma nb+ Hơn nữa, số m, n 4 Phân tích(biểu thị) vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

B BÀI TẬP DẠNG Xác định yếu tố vectơ

Phương pháp: Dựa vào định nghĩa yếu tố vectơ

Dựa vào tính chất hình học hình cho

Bài 1.1 Cho hình hộp ABCD A B C D / / / / Hãy kể tên vectơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh hình hộp vectơ AB AA AC, /,

HD Giải Theo tính chất hình hộp, ta có:

/ / / /

AB=DC= A B =D C ;

/ / / /

AB= −CD= −B A = −C D

/ / / /

AA =BB =CC =DD ;

/ / / /

AA = −B B= −C C= −D D / /

AC=A C ; / /

AC= −C A ,

A

B C

D

C' B'

D' A'

DẠNG Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, tính chất trung điểm, trọng tâm để biến đổi vế thành vế ngược lại

Sử dụng tính chất phép tốn vectơ tính chất hình học hình cho

Bài 1.2 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng:

a) AC BD+ =AD BC+ b) 1( )

MN = AB DC+ c) AB AC+ +AD=3AG HD Giải

a) Theo qui tắc ba điểm, ta có AC=AD DC+

Do

( )

AC BD AD DC BD

AD BD DC AD BC

+ = + +

= + + = +

b) Ta có

MN =MA AB BN+ + MN=MD DC CN+ + Do

2MN MA AB BN MD DC CN

= + +

+ + +

Vì M trung điểm đoạn AD nên MA MD+ =0 N trung điểm đoạn BC nên BN CN+ =0

Do vậy: 1( )

2

MN= AB DC+

G H N

M

D

C B

A

c) Ta có

AB AG GB AC AG GC AD AG GD

 = +



= +

 

= +



Suy AB AC+ +AD=3AG ( Vì

GB GC GD+ + = )

Vì G trọng tâm tam giác BCD, nên

GB GC GD+ + =

Vậy AB AC+ +AD=3AG Bài 1.3 Cho hình hộp ABCD.EFGH Chứng minh AB AD AE+ + =AG

HD Giải Theo tính chất hình hộp, ta có

AB AD AE+ + =AB BC CG+ + =AG Vậy AB AD+ +AE=AG

Hoặc ta dựa vào qui tắc hình hộp ta có đpcm

AB AD AE+ + = AG (Gọi qui tắc hình hộp)

H

G F

E

D

C B

A

Bài 1.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: SA SC+ =SB SD+ HD Giải

Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có: SA SC+ =2SO (1) SB SD+ =2SO (2)

Từ (1) (2) suy ra: SA SC+ =SB SD+

O

D

C B

A

S

Bài 1.5 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh

DA DB DC+ + = DG

HD Giải

Ta có

DA DG GA DB DG GB DC DG GC

 = +



= +

 

= +



Suy DA DB DC+ + =3DG ( Vì GA GB GC+ + =0)

Bài 1.6 Gọi M, N trung điểm cạnh AC BD tứ giác ABCD Gọi I trung điểm đoạn thẳng MN P điểm khơng gian Chứng minh rằng:

a) IA IB IC ID+ + + =0 b) 1( )

PI= PA PB PC PD+ + + HD Giải

a) IA IB IC ID+ + + =0 Ta có IA IC+ =2IM IB ID+ =2IN Cộng vế theo vế, ta có

( )

2

IA IB IC ID+ + + = IM IN+ = đpcm

M

I C

D

N

B A

b) 1( )

4

PI= PA PB PC PD+ + +

Với P điểm khơng gian, ta có ;

;

IA PA PI IB PB PI IC PC PI ID PD PI

= − = −

= − = −

Do đó:

4 IA IB IC ID

PA PB PC PD PI

+ + +

= + + + −

Mà IA IB IC ID+ + + =0

Vậy 1( )

4

PI= PA PB PC PD+ + + (I gọi trọng tâm tứ diện ABCD) DẠNG Chứng minh ba vectơ a b c, , đồng phẳng

Phương pháp:

Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ vectơ , ,a b c có giá song song với mặt phẳng

Bài 1.7 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Chứng minh ba vectơ , ,

BC AD MN đồng phẳng

HD Giải

Gọi P, Q trung điểm AC BD Ta có PN song song với MQ

1

PN=MQ= AD Vậy Tứ giác MPNQ hình bình hành Mặt phẳng (MNPQ) chứa đường thẳng MN song song với đường thẳng AD BC

Từđó suy ba đường thẳng MN, AD, BC song song với mặt phẳng Do ba vectơ

, ,

BC AD MN đồng phẳng

M

Q P

N D

C B

A

Bài 1.8 Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABFE K giao điểm hai đường chéo hình bình hành BCGF

Chứng minh ba vectơ BD IK GF, , đồng phẳng HD Giải

Vectơ BD có giá thuộc mp(ABCD) Vectơ IK có giá song song với đướng thẳng AC thuộc mp(ABCD) Vectơ GFcó giá song song với đường thẳng BC thuộc mp(ABCD) Vậy ba vectơ

, ,

BD IK GF đồng phẳng Cách khác:

Ta có

( )

( )

BD BC CD GF AD AC GF GF IK AC IK

= + = − + −

= − − − = −

Vậy BD= −2GF−2IK Điều chứng tỏ ba vectơ BD IK GF, , đồng phẳng

K I

E

F G

H D

C B

A

Bài 1.9 Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi K giao điểm AH DE, I giao điểm BH DF Chứng minh ba vectơ AC KI FG, , đồng phẳng

HD Giải

Ta có KI // EF // AB nên KI // (ABC), FG // BC AC⊂(ABC)

Do ba vectơ AC KI FG, , có giá song song với mp(α) mặt phẳng song song với mp(ABC)

Vậy ba vectơ AC KI FG, , đồng phẳng

I K F

E H

G D

C B

A

Bài 1.10 Cho tứ diên ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Trên cạnh AD BC lấy điểm P Q cho

3

AP= AD

BQ= BC Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc mặt phẳng

HD Giải

Q M

P

N

D

C B

A

Ta có MN=MA AD DN+ + MN=MB BC CN+ +

Do 2MN= AD BC+ hay

( )

1

MN = AD BC+ (1)

Mặt khác: Vì

AP= AD nên

2 AD= AP,

3

BQ= BC nên

2 BC= BQ Do từ (1) ta suy

( )

1 3. 2

MN = AP BQ+

( )

3

4 AM MP BM MQ

= + + +

( )

3

4 MP MQ

= +

Vì AM+BM =0 Hệ thức 3( )

MN= MP MQ+ chứng tỏ ba vectơđồng phẳng, nên bốn điểm M, N, P, Q thuộc mặt phẳng

Bài 1.11 Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mp(ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M cho

MS= − MA đoạn BC lấy điểm N cho

NB= − NC Chứng minh ba vectơ AB MN SC, , đồng phẳng

HD Giải

Ta có MN=MS SC CN+ + 2MN=2MA+2AB+2BN Do

3MN=MS+2MA SC+ +2AB CN+ +2BNVì

2

MS+ MA= CN+2BN=0

Vậy

3

MN= SC+ AB

Do ba vectơ AB MN SC, , đồng phẳng

M

A

B N

C S

Bài 1.12 Trong khơng gian cho hai hình bình hành ABCD AB’C’D’ chung điểm A Chứng minh ba vectơ BB CC DD', ', ' đồng phẳng

HD Giải Ta có BB'=BA AB+ ' DD'=DA AD+ '

Do BB'+DD'=(BA DA+ ) (+ AB'+AD') Vì BA CD= AB'+AD'=AC'

Vậy BB'+DD'=CA AC+ '=CC' Hệ thức

' ' '

BB +DD =CC chứng tỏ ba vectơ ', ', '

BB CC DD đồng phẳng

C'

D' B'

D

C B A

Bài 1.13 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, K trung điểm BB’ A’C’ Gọi M điểm chia đoạn B’C’ theo tỉ số

3

− Chứng minh A, K, I, M nằm mặt phẳng HD Giải

Đặt AA'=a AB, =b AC, =c Ta có

1 ,

1 ' '

2 AI AB BI b a AK AA A K a c

= + = +

' ' ' ' ' ' AM=AA +A M= AA +A B +B M

1 ' '

3

a b B C a b BC

= + + = + +

( )

1

a b AC AB

= + + −

1

3 3

a b c b a b c

= + + − = + +

2 2 1

3 3 2

2

3

a b c a c b a

AK AI

   

=  + + =  + + + 

   

= +

Vậy AM AK AI, , đồng phẳng Do A, M, K, I thuộc mặt phẳng

K M

I

A'

C'

B' C

B A

c a

b

Bài 1.14 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi G trọng tâm tam giác A’BD Chứng minh A, G, C’ thẳng hàng

HD Giải Đặt AA'=a AB, =b AD, =c

Ta có AC'=AA'+AB AD+ = + +a b c ( qui tắc hình hộp)

( )

( )

= + = + = + +

= + − + −

2

' ' ' ' ' ' '

3

1 ' '

3

AG AA A G AA A O AA A D A B a AD AA AB AA

1( ) '

3 3 3

a c a b a b c AC

= + − + = + + = Suy

ra ba điểm A, G, C’ thẳng hàng

O G

A' B'

C' D'

D

C

B A

Bài 1.15 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi G, G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ Gọi I giao điểm AB’ A’B Chứng minh GI // CG’

HD Giải

I

N' M'

A'

C'

B' G'

G

N M

C

B A

c b

a

Đặt AA'=a AB, =b AC, =c Ta có

( ) ( )

1 '

2

1 '

2

1 1

2

GI AI AG AB AM AA AB AB AC a b c

= − = −

= + − +

= + −

Ta lại có

' ' ' ' '

1 1

2

2

CG AG AC AA A G AC a b c GI

= − = + −

 

=  + − =

 

Vậy GI // CG

Bài 1.16 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi M N trung điểm CD DD’; G G’ trọng tâm tứ diện A’D’MN BCC’D’ Chứng minh đường thẳng GG’ mặt phẳng (ABB’A’) song song với

HD Giải

Đặt AB=a AD, =b AA, '=c

Vì G’ trọng tâm tứ diện BCC’D’ nên

( )

1

' ' '

4

AG = AB AC+ +AC +AD

Và G trọng tâm tứ diện A’D’MN nên

( )

1 ' '

4

AG= AA +AD +AM+AN Từđó

' ' GG =AG −AG

( )

1 ' ' ' '

4 A B D C MC ND

= + + +

1 1

4 a c a c 2a c 2c

 

=  − + − + + + 

 

( ) ( )

1 5 5 '

8 a c AB AA

= − = −

Điều chứng tỏ AB AA GG, ', ' đồng phẳng Mặt khác G không thuộc mặt phẳng (ABB’A’)

nên đường thẳng GG’ mặt phẳng (ABB’A’) song song với

M

N

G'

G

A'

B' C'

D' D

C B

A

a

b

c

Bài 1.17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi M N trung điểm AA’ B’C’ Chứng minh đường thẳng MN mặt phẳng (DA’C’) song song với

HD Giải

Chứng minh tương tự Ta có

' '

2 MN=DC − DA

Vậy MN DC DA, ', ' đồng phẳng hay MN // (DA’C’)

M

N C'

B' A'

D'

D C

B A

a b

c

Bài 1.18 Trong khong gian cho tam giác ABC

a) Chứng minh điểm M thuộc mp(ABC) có ba số x, y, z mà x + y + z = cho OM =xOA yOB zOC+ + với điểm O

b) Ngược lại, có điểm O khơng gian cho OM =xOA yOB zOC+ + , x + y + z = điểm M thuộc mp(ABC)

HD Giải

a) Vì hai vectơ AB AC, không phương nên điểm M thuộc mp(ABC) chì có AM=l AB m AC+ hay OM OA− =l OB OA( − ) (+m OC OA− ) với điểm O

Tức OM= − −(1 l m OA lOB mOC) + +

C

M B

A

O

b) Từ OM =xOA yOB zOC+ + với x + y + z = 1, ta có OM = − −(1 y z OA yOB zOC) + +

Hay OM OA− =y AB zAC+ ⇔AM =y AB zAC+ Mà AB AC, không phương nên M thuộc mp(ABC) Lưu ý: Kết chứng tỏ x, y, z khơng phụ thuộc vào vị trí điểm

Bài 1.19 Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm A’, B’, C’ thuộc tia SA, SB, SC cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’, đó a, b, c số thay đổi Chứng minh mặt phẳng (A’B’C’) qua trọng tâm tam giác ABC a + b + c =

HD Giải

Vì điểm A’, B’, C’ thuộc tia SA, SB, SC cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’ Nên SA=aSA SB', =bSB SC', =cSC'

Gọi G trọng tâm tam giác ABC 1( )

SG= SA SB SC+ +

Vậy ' ' '

3 3

a b c

SG= SA + SB + SC

Mặt phẳng (A’B’C’) qua G bốn điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng; nên theo 1.18 nêu trên, điều xảy chì

3 3 a b c

+ + = , tức a b c+ + =1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA=a SB, =b, ,

= =

SC c SD d Khẳng định ?

A a+ = +b c d B a+ + + =b c d C a+ = +d b c D a+ = +c b d

Câu Cho tứ diện ABCD Đặt AB=a AC, =b AD, =c Gọi M trung điểm đoạn thẳng

BC Đẳng thức ?

A 1( )

2

= + −

DM a b c B 1( )

2

= + −

DM a b c

C 1( )

2

= − + +

DM a b c D 1( )

2

= − +

DM a b c

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ tâm O Gọi I tâm hình hình hành ABCD Đặt

, , ,

′= ′= ′= ′=

AC u CA v BD x DB y Khi

A 2 1( )

4

= + + +

OI u v x y B 2 1( )

4

= − + + +

OI u v x y

C 2 1( )

2

= − + + +

OI u v x y D 2 1( )

2

= + + +

OI u v x y

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 Gọi M trung điểm AD Khẳng định ?

A 1 1 1 1 1 1

2

= + +

C M C C C D C B B BB1+B A1 1+B C1 1=2B D1

C 1 1 1 1 1 1

2

= + +

C M C C C D C B D B M1 =B B1 +B A1 1+B C1 1

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi G điểm thỏa mãn

0

+ + + + =

GS GA GB GC GD Khẳng định ?

A GS=4OG B G S O, , không thẳng hàng

C GS=5OG D GS=3OG

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 Khẳng định sai ?

A BC+BA=B C1 1+B A1 1 B AD+D C1 1+D A1 1=DC

C BC+BA BB+ 1=BD1 D BA+DD1+BD1=BC

Câu Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ Gọi M trung điểm BB′ Đặt CA=a CB, =b AA, ′=c

Khẳng định ?

A

2 = − +

AM b a c B

2 = + −

AM b c a C

2 = + −

AM a c b D

2 = − +

AM a c b

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có AB=a AC, =b AA, ′=c Gọi I trung điểm B C′ ′, K giao điểm A I′ B D′ ′ Mệnh sau ?

A 1(4 )

3

= − +

DK a b c B 1(4 )

3

= − +

DK a b c

C DK=4a−2b+c D DK=4a−2b+3 c

Câu Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ Đặt a= AA b′, = AB c, = AC Hãy biểu diễn vectơ B C′

theo vectơ a b c, ,

A B C′ = + −a b c B B C′ = − − +a b c C B C′ = − + −a b c D B C′ = + +a b c

Câu 10 Cho hình hộp ABCD EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình

bình hành BCGF Khẳng định ?

A BD IK GC, , đồng phẳng B BD IK GF, , đồng phẳng

C BD AK GF, , đồng phẳng D BD EK GF, , đồng phẳng

Câu 11 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác

′

AB C Khẳng định ?

A BD′ =4BG B AC′ =3AG C BD′ =3BG D AC′ =4AG

Câu 12 Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ Đặt a= AA b′, = AB c, =AC Gọi G′ trọng tâm tam

giác A B C′ ′ ′ Vectơ AG′ bằng:

A 1( )

3 a+ +b c B ( )

1

3

3 a+ b+c C ( )

1

3

3 a+ +b c D ( )

1

3

3 a+ +b c Câu 13 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ Đặt AA′ =a AB, =b AC, =c, BC=d Khẳng định ?

A a+ + =b c d B a+ + + =b c d C a= +b c D b− + =c d

Câu 14 Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm AB CD, G trung điểm

của MN Khẳng định sai ?

A GA GB GC+ + =GD B MA MB+ +MC+MD=4MG

C GA GB GC+ + +GD=0 D GM+GN =0

Câu 15 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau sai ?

A 1( )

4

= + + +

OG OA OB OC OD B GA GB GC+ + +GD=0

C 2( )

3

= + +

AG AB AC AD D 1( )

4

= + +

Câu 16 Cho tứ diện ABCD điểm G thỏa mãn GA GB GC+ + +GD=0 (G trọng tâm tứ diện) Gọi G0 giao điểm GA mặt phẳng (BCD) Khẳng định ?

A GA=3G G0 B GA=4G G0 C GA= −2G G0 D GA=2G G0

Câu 17 Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ tâm O Khẳng định sai ? A AB+BC+CC′= AD′+D O OC′ + ′ B AB+BC′+CD+D A′ =0

C AC′= AB+AD+AA′ D AB+AA′=AD+DD′

Câu 18 Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Tìm giá trị thực k thỏa mãn đẳng thức vectơ

( )

' '

AC+BA +k DB+C D =

A k=2 B k=1 C k=0 D k=4

Câu 19 Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt

, ,

= = =

AB b AC c AD d Khẳng định sau ?

A 1( )

2

= + +

MP c d b B 1( )

2

= + −

MP d b c

C 1( )

2

= + −

MP c b d D 1( )

2

= + −

MP c d b

Câu 20 Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 Khẳng định ?

A CD1,AD A C, đồng phẳng B CD1,AD A B, 1 đồng phẳng

C BD BD, 1,BC1 đồng phẳng D AB AD C A, , đồng phẳng

Câu 21 Cho tứ diện ABCD Điểm N xác định AN=AB+AC−AD Mệnh đề sau đúng?

A N trung điểm BD B N trùng với A

C N đỉnh thứ tư hình bình hành CDBN D N đỉnh thứ tư hình bình hành BCDN

Câu 22 Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 Tìm giá trị thực k thỏa mãn đẳng thức vectơ

1 1

AB+B C +DD =k AC

A k=2 B k=1 C k=4 D k=0

Câu 23 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Gọi O tâm hình lập phương Khẳng định ?

A 1( )

4 ′

= + +

AO AB AD AA B 2( )

3 ′

= + +

AO AB AD AA

C 1( )

2 ′

= + +

AO AB AD AA D 1( )

3 ′

= + +

AO AB AD AA

Câu 24 Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có tâm O Đặt AB=a, BC=b Điểm M xác định đẳng

thức vectơ 1( )

2

= −

OM a b Khẳng định sau đúng?

A Mlà trung điểm CC′ B M tâm hình bình hành ABB A′ ′

C Mlà trung điểm BB′ D M tâm hình bình hành BCC B′ ′

Câu 25 Cho tứ diện ABCD Đặt AB=a AC, =b AD, =c Gọi G trọng tâm tam giác BCD

Trong đẳng thức sau, đẳng thức sau ?

A 1( )

3

= + +

AG a b c B AG= + +a b c C 1( )

2

= + +

AG a b c D 1( )

4

= + +

AG a b c

ĐÁP ÁN

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

D B B C A D A A B B C D D A C A D B D A C B C C A

§2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM I Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian

1 Góc hai vectơ khơng gian

Định nghĩa : Trong không gian, cho u v hai vectơ khác vectơ_không Lấy điểm A bất kì, gọi B C hai điểm cho AB=u

AC=v Khi ta gọi góc (00 900)

BAC ≤BAC≤ góc hai vectơ u v khơng gian, kí hiệu ( )u v,

α

v u

C B A

2 Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian

Định nghĩa: Trong không gian cho hai vectơ u v khác vectơ_khơng Tích vơ hướng hai vectơ u v số, kí hiệu u.v xác định u v = u v .cos ,( )u v

Trường hợp u=0 v=0 ta qui ước u v =0

II Vectơ phương đường thẳng 1 Định nghĩa

Vectơ a khác vectơ_không gọi vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d.

d a

2 Nhận xét

- Nếu a vectơ phương đường thẳng d vectơka với k≠0 vcetơ phương

đường thẳng d

- Một đường thẳng d khơng gian hồn tồn xác định biết điểm A thuộc d vectơ phương a

III Góc hai đường thẳng 1 Định nghĩa

Góc hai đường thẳng a b góc hai

đường thẳng a’ b’ qua điểm song song trùng với a b

Kí hiệu: α=( ) a;b , ý 00≤ ≤α 900

O a'

b' b a

2 Nhận xét

- Để xác định góc hai đường thẳng a b, ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng cịn lại

- Góc hai đường thẳng không vượt 900

- Nếu u v hai vectơ phương đường thẳng a b α= , u v 

  góc hai đường thẳng α α≤900 1800−α α >900

Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 Kí hiệu: a⊥b

2 Nhận xét

- Nếu u v hai vectơ phương đường thẳng a b a⊥ ⇔b u v =0

- Cho hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng

- Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo

Các dạng tốn

Dạng 1: Tính góc hai đường thẳng

PP: Để xác định góc hai đường thẳng a, b kí hiệu ( )a b; , ta thực hiện: - Lấy điểm A bất kì, xác định a’ qua A a’ // a, b’ qua A b’ // b - Khi ( ) ( )a b; = a b'; '

- Lưu ý: Điểm A lấy hai đường thẳng

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vng góc

PP: Để chứng minh hai đường thẳng a b vng góc với nhau, ta thực hiện:

- Cách 1: Nếu hai đường thẳng a, b cắt áp dụng phương pháp chứng minh vng góc hình học phẳng

- Cách 2: Chứng minh u v =0, u v, hai vectơ phương a, b - Cách 3: Chứng minh b/ /c a b

a c



⇒ ⊥



⊥ 

B BÀI TẬP

Bài 2.1 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = Gọi M trung điểm cạnh AB Tính góc hai vectơ OM BC

HD Giải

Ta có cos( , )

2

2 OM BC OM BC OM BC

OM BC

= =

Mặt khác

( ) ( )

2

1

2

OM BC AO OB OC OB

AO OC AO OB OB OC OB

= + −

 

=  − + − 

 

Vì OA, OB,

OC đơi vng góc OB = nên

AO OC−AO OB OB OC+ =

2

1

OB = Do cos( , )

OM BC = − Vậy (OM BC, )=1200

A

M

B C

O

Bài 2.2 Cho tứ diên ABCD có cạnh a Tính góc hai đường thẳng AB CD

HD Giải

Đặt AB=a AC, =b AD, =c Ta có CD= AD−AC= −c b

( ) ( )

cos ,

AB CD a c b AB CD

AB CD a c b −

= =

− D

C B

A

2

1

2 2 0

a a a a a c a b

a a a

− −

= = = Vì a = = =b c a Vậy (AB CD, )=900 hay AB vng góc với CD

Bài 2.3 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc hai đường thẳng AB SC

HD Giải

Ta có ( ) ( )

cos ,

SA AC AB SC AB

SC AB

a a SC AB

+

= =

( )

cos ,

SA AB AC AB SC AB

a a + =

Vì CB2=a2+a2= AC2+AB2 nên AB AC =0 Tam giác SAB

đều nên (SA AB, )=1200

2

.cos120 a SA AB=a a = − Vậy cos( , ) ( , ) 1200

2

SC AB = − ⇒ SC AB = Từđo suy góc hai đường thẳng SC AB 1800 – 1200 = 600

C

B A

S

Bài 2.4 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, AD AC BiếtAB=2 ,a CD=2 2,a MN=a Tính góc hai đường thẳng AB CD

HD Giải

Ta có PM đường trung bình tam giác ABC PN

đường trung bình tam giác ACD

Nên PN=a 2,PM =a (AB CD, ) (= PM PN, )=α Ta lại có

2 2 2

cos

2

PM PN MN

MP NP

α= + − = −

Suy α =1350 Vậy (AB CD, )=450 M P

N

D

C B

A

a

2a 2a

Bài 2.5 Cho tứ diên ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Biết AB=CD=2 ;a MN =a Tính (AB CD, )

HD Giải

Gọi O trung điểm AC Kẻ OM // AB, ON // CD Khi (AB CD, ) (= OM ON, )

Ta có OM =ON =a Gọi I trung điểm MN a MI =

Suy 2

2 a

IO= OM −MI = Do OMI =300 Vậy MOI =600

Vì tam giác OMN cân nên ta có MON =2MOI =1200 Do (AB CD, )=180 1200− =600

I

M O

N

D

C B

A

a 2a

Bài 2.6 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD hai tam giác a) Chứng minh AB CD vng góc với

b) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AC, BC, BD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ hình chữ nhật

HD Giải

a) Ta có CD AB =(AD−AC AB) =AD AB AC AB − Đặt AB = a ta có AD = AB = AC = a

Do

= 0− 0= 1− 1=

.cos60 cos60

2

CD AB AD AB AC AB a a a a

Vậy AB vng góc với CD b) Ta có MN // PQ // AB

2 AB MN =PQ= Nên tứ giác MNPQ hình bình hành Vì MN // AB NP // CD mà AB⊥CD Nên tứ giác MNPQ hình chữ nhật

N C

M

A

P

D Q

B

Bài 2.7 Cho tứ diên ABCD có AB = AC = AD BAC=BAD=600 Chứng minh rằng: a) AB vng góc với CD

b) Nếu M, N trung điểm AB CD AB⊥MN MN ⊥CD

HD Giải

a) Ta có

( )

CD AB= AD−AC AB=AD AB AC AB−

Đặt AB = a ta có AD = AB = AC = a Do

0 1

.cos60 cos60

2

CD AB= AD AB − AC AB =a a −a a = Vậy AB vng góc với CD

b) Ta có =  + − 

 

2

1

2

AB MN AB AD AB AC AB

( )

=1 2cos600+ 2cos600− =0

2 AB AB AB

Do AB⊥MN Chứng minh tương tự,

( )( )

1

2

MN CD= AD+AC−AB AD−AC = Vậy MN⊥CD

N D

C B

M

A

Bài 2.8 Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: ( )

2

2

1 . .

2

S= AB AC − AB AC

HD Giải

Ta có sin cos2

2

ABC

S∆ = AB AC A= AB AC − A Vì cos AB AC A

AB AC

= nên

( )2

2

2

2

1 cos

AB AC AB AC A

AB AC −

− = Do ( )

2

2

1 . .

2

S= AB AC − AB AC

Bài 2.9 Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a ABC=B BA' =B BC' =600 a) Chứng minh AC vng góc với B’D’

b) Tính diện tích tứ giác A’B’CD

HD Giải

a) Ta có AC // A’C’, A C' '⊥B D' '(do A’B’C’D’ la hình thoi) nên AC ⊥B D' '

b) Ta dễ thấy A’B’CD hình bình hành, ngồi B’C = CD = a nên A’B’CD hình bình thoi Mặt khác, ta có

( )

2

' '

'

2 CB CD CB BB BA

a a CB BA BB BA

= +

= + = − + =

Do đó, ta có CB'⊥CD Suy A’B’CD hình vng

Vậy diện tích hình vng A’B’CD a2 (đvdt)

A'

B' C'

D' D

C B

A

Bài 2.10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, mặt bên tam giác SAB tam giác vuông A Với điểm M thuộc cạnh AD( M khác A D), xét mặt phẳng α qua M song song với SA, CD

a) Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng α hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theo a b, biết AB=a SA, =b, M trung điểm AD

HD Giải

a) Dễ thấy thiết diện tứ giác MNPQ MN // QP // CD, MQ // SA Hơn

/ / / / MN AB

MQ SA MN MQ

AB SA

 

⇒ ⊥



 ⊥



Nên thiết diện MNPQ hình thang vng M b) Ta có 1( )

2

MNPQ

S = MN+PQ MQ

Do M trung điểm AD nên 1

2

MQ= SA= b,

1

2

PQ= CD= a, MN=a Vậy

2 2

MNPQ

a b ab S = a+  =

  (đvdt)

P M

Q

D

C N

B A S

Bài 2.11 Cho tứ diện ABCD có ABC DAB hai tam giác cạnh a, DC=a Gọi M N trung điểm AB CD

a) Chứng minh MN đường vng góc chung AB CD b) Chứng minh AN vng góc với BN

c) Tính góc DA BC

HD Giải

a) Ta có

2 a DM=CM=

Suy ra△CMD tam giác cân Do MN⊥CD Xét tam giác vng CMN, ta có

2

2 2

4 a MN =CM −CN =

2

2 a BN = Suy

2

2 2

2 a

BM +MN = =BN Vậy MN⊥BM hay MN⊥AB Do MN đường vng góc chung AB CD

P

D N

C B

b) Ta có 2 a

BN=AN = Suy raBN2+AN2 =a2 =AB2 Vậy AN ⊥BN

c) Gọi P trung điểm AC Suy MP // BC, PN // AD Vậy (AD BC, ) (= MP PN, ) Ta có

2 a

MP=PN=MN= Suy tam giác MNP tam giác Do (AD BC, ) (= MP PN, )=600

Bài 2.12 Cho tứ diện ABCD cạnh a a) Tính AB CD

b) Gọi I, J trung điểm AD BC Tính độ dài vectơ IJ

HD Giải

a) AB CD = AB AD( −AC)= AB AD −AB AC Vì ABCD tứ diện nên AB =AC = AD = a

0

, , 60

AB AD AB AC

   

= =

   

   

Nên AB CD =

J

I

D

C B

A

b) Ta có 1( )

IJ = AB DC+ Vậy

( )

( )

2

2

2

2

1

1 2 .

4

4

IJ AB DC

AB DC AB DC

a a a

= +

 

=  + + 

 

= + =

Do 2 a IJ =

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD, AB=CD=6 M điểm thuộc cạnh BC cho MC =x BC 0( < <x 1) Mặt phẳng( )P song song với AB CD cắt BC DB AD AC, , ,

, , ,

M N P Q Diện tích lớn tứ giác bao nhiêu?

A 9 B 11 C 10 D 8

Câu Cho tứ diện ABCD có =

AC AD, CAB=DAB= °60 , CD= AD Gọi ϕ góc AB

CD Chọn khẳng định đúng?

A c s o

ϕ= B ϕ= °60 C ϕ= °30 D c s o

4 ϕ=

Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO CD bao nhiêu?

A 60 0 B 0 0 C 30 0 D 90 0

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Sốđo góc (MN SC, )

A 90 ° B 60 ° C 45 ° D 30 °

Câu Trong không gian cho tam giác ABC Tìm M cho giá trị biểu thức = 2+ 2+

P MA MB MC đạt giá trị nhỏ

A M trọng tâm tam giác ABC

B M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

C M trực tâm tam giác ABC

D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD BAC=BAD= °60 Hãy xác định góc cặp vectơ

AB CD?

A 45 ° B 120 ° C 90 ° D 60 °

Câu Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Chọn khẳng định sai?

A Góc AC B D' ' 90 0 B Góc giữa ' '

B D AA' 60 0

C Góc AD B C'

45 D Góc BD A C' ' 90

Câu Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cos(AB DM, ) :

A

2 B

2

2 C

3

6 D

1

Câu Cho hai đường thẳng phân biệt , a b mặt phẳng ( )P , đóa⊥( )P Mệnh đề sau sai?

A Nếu b⊥a b//( )P B Nếu b//( )P thìb⊥a

C Nếu b a// thìb⊥( )P D Nếu b⊥( )P b a//

Câu 10 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD, AB=4, CD=6 M điểm thuộc cạnh BC

sao cho MC=2BM Mặt phẳng ( )P qua M song song với AB CD Diện tích thiết diện ( )P

với tứ diện là:

A 17

3 B

16

3 C 5 D 6

Câu 11 Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB vàEG?

A 90 0 B 60 0 C 45 0 D 120 0

Câu 12 Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB DH ?

A 120 0 B 60 0 C 45 0 D 90 0

Câu 13 Cho hình chóp S ABC có SA=SB CA=CB Tính sốđo góc hai đường thẳng chéo SC AB

A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0

Câu 14 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD Mặt phẳng ( )P song song với AB CD cắt BC DB AD AC, , , M N P Q, , , Tứ giác MNPQ hình gì?

A Hình thang B Hình bình hành

C Hình chữ nhật D Tứ giác khơng phải hình thang

Câu 15 Cho hình chóp S ABC có SA=SB=SC ASB=BSC=CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SC AB?

A 60 ° B 90 ° C 120 ° D 45 °

Câu 16 Cho tứ diện ABCD có AB=CD Gọi , , ,I J E F trung điểm AC BC BD AD, , , Góc (IE JF, )

A 45 ° B 60 ° C 90 ° D 30 °

Câu 17 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD BAC=BAD= °60 , CAD= °90 Gọi I J trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ AB IJ?

A 45 ° B 120 ° C 90 ° D 60 °

Câu 18 Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC′ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M N P Q, , , trung điểm cạnh AC CB BC, , ′ C A′ Tứ giác MNPQ hình gì?

A Hình chữ nhật B Hình vng C Hình thang D Hình bình hành

Câu 19 Cho hình lập phương ABCD EFGH có cạnh a Tính AB EG A

3

a B a2. C

2

a D

2

a

A Góc hai đường thẳng góc nhọn

B Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng

C Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c

(hoặc b trùng vớic)

D.Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c

Câu 21 Cho tứ diện ABCD có AC =a BD, =3a Gọi M, N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN

A

3 = a

MN B

2 = a

MN C

3 = a

MN D 10

2 =a

MN

Câu 22 Cho hình hộp ABCD A B C ' ' 'D' Giả sử tam giác AB C' A DC' ' có ba góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A D' góc sau đây?

A BB D' B BDB' C AB C' D DA C' '

Câu 23 Cho tứ diện ABCD AB=6, CD=3, góc AB CD 60° điểm M

BC cho BM =2MC Mặt phẳng ( )P qua M song song với AB CD cắt BD, AD AC, M, N Q, Diện tích MNPQ bằng:

A 2 B 3

2 C 2 D

Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm

SC BC Sốđo góc (IJ CD, ) bằng:

A 30 ° B 60 ° C 90 ° D 45 °

Câu 25 Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 có cạnh a Gọi M trung điểm AD Giá trị B M BD1 1

là:

A 1 2.

2a B

2.

a C 3 2.

4a D

2

a

Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có cạnh SA=x, tất cạnh lại a Tính sốđo góc hai đường thẳng SA SC

A 90 0 B 45 0 C 60 0 D 30 0

Câu 27 Cho tứ diện ABCD Sốđo góc hai đường thẳng AB CD bằng:

A

30 B 90 C 45 D 60

Câu 28 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Góc AC DA' là:

A

120 B 45 C 90 D 60

Câu 29 Cho hình chóp S ABC có AB=AC SAC=SAB Tính sốđo góc hai đường thẳng chéo SA BC

A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0

Câu 30 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với

B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng

C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với

D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với

đường thẳng lại

ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A D D A A C B C A B C D B C B

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

C C A B C D D A B A A B D D B

§3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I Định nghĩa

Đường thẳng dđược gọi vng góc với mặt

phẳng ( )α d vng góc với đường thẳng

nằm mặt phẳng ( )α

Khi ta nói ( )α vng góc với d kí hiệu

( )α ⊥d d⊥( )α Mỗi vectơ phương đường thẳng d gọi vectơ

pháp tuyến mặt phẳng ( )α

a

d

α

II Điều kiện đểđường thẳng vnmg góc với mặt phẳng Định lí

Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

Nghĩa là:

,

( ) ( ), ( )

d a d b

a b M d

a b

α

α α



⊥ ⊥



∩ = ⇒ ⊥



⊂ ⊂ 

b a

d

α

Hệ quả:

Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh thứ

ba tam giác

d

C

B A

III Tính chất

Tính chất Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

Mặt phẳng trung trực:

Mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng AB gọi mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB

Tính chất Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

IV Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng

Tính chất

a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng

Nghĩa là: / / ( )

( )

a b

b

a α α



⇒ ⊥



⊥ 

b) Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với Nghĩa là:

( )

( ) / /

a

b a b

a b

α α

 ⊥



⊥ ⇒



≡ 

Tính chất

Nghĩa là: ( ) / /( ) ( )

( ) a

a

α β β

α 

⇒ ⊥



⊥ 

b) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Nghĩa là:

( )

( ) ( ) / /( )

( ) ( ) a a

α

β α β

α β

 ⊥



⊥ ⇒



≡ 

Tính chất

a) Cho đường thẳng a mặt phẳng ( )α song song với Đường thẳng vng góc với ( )α vng góc với a

Nghĩa là: ( ) / /

( ) a

b a

b

α α



⇒ ⊥



⊥ 

b) Nếu đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với

Nghĩa là: ( ) ( ) / / ( )

a d

d a

a

α α

α  ⊥

 ⊥ ⇒



⊄ 

V Phép chiếu vng góc định lí ba đường vng góc 1 Phép chiếu vng góc

- Cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng

( )α Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng ( )α gọi phép chiếu vng góc lên mặt phẳng ( )α

- Phép chiếu vng góc có đầy đủ tính chất phép chiếu song song

B' B

A' A

α

2 Định lí ba đường vng góc

Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng ( )α b đường thẳng không thuộc mặt phẳng ( )α đồng thời không vuông góc với ( )α Gọi b’ hình chiếu vng góc b ( )α Khi a vng góc với b a vng góc với b’

Nghĩa là: Với b’ hình chiếu vng góc b lên ( )α thì:b⊥ ⊂a ( )α ⇔ ⊥b' a

3 Góc đường thẳng mặt phẳng

Cho đường thẳng d mặt phẳng ( )α

- Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( )α ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng ( )α 900

- Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng ( )α góc đường thẳng d hình chiếu d’ lên ( )α gọi góc đường thẳng d mặt phẳng ( )α

Lưu ý: Nếu ϕ góc đường thẳng d mặt phẳng ( )α ta ln có: 00≤ ≤ϕ 900 Các dạng tốn

Dạng 1 Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng PP: Để chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( )α

- Chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm ( )α - Chứng minh đường thẳng d song song với đường thẳng a mà a vng góc với ( )α - Chứng minh đường thẳng d vng góc với mp( )β mà mp( )β song song với mp( )α

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vng góc

PP: Để chứng minh hai đường thẳng a, b vng góc với nhau:

- Áp dụng phương pháp nêu §2

- Chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng ( )α chứa đường thẳng b - Sử dụng định lí ba đường vng góc

Dạng 3 Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước PP: Cho khối đa diện (S), tìm thiết diện (S) tạo mặt phẳng (α) qua điểm M cho trước vng góc với đường thẳng ∆ cho trước

Cách 1.Tìm hai đường thẳng cắt hay chéo a, b vng góc với ∆ Khi mp(α) qua M (α) song song chứa a hay b.(Áp dụng TC3b)

Từđó ta quy dạng tìm thiết diện theo quan hệ song song

Cách Xác định mp(α) cách dựng hai đường thẳng cắt vng góc với đường thẳng ∆ , có đường thẳng qua M Mặt phẳng xác định hai đường thẳng mp(α) quy dạng tìm thiết diện theo quan hệ song song

Dạng 4 Xác định góc đường thẳng d mặt phẳng α - Nếu d ⊥( )α ⇔(d;( )α )=900

- Nếu d⊥( )α ⇒( ) (d d; ' = d;( )α ) với d’ hình chiếu vng góc d lên ( )α

B BÀI TẬP

Bài 3.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC)

a) Chứng minh: BC⊥(SAB)

b) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh AH ⊥SC

HD Giải

a) Vì SA⊥(ABC) nên SA⊥BC BC⊥AB (∆ABC vng B) Từđó suy BC⊥(SAB)

b) Vì BC⊥(SAB) AH ⊂(SAB)nên BC⊥AH AH⊥SB

Nên AH ⊥(SBC) Từđó suy ra: AH ⊥SC

H

C

B A

S

Bài 3.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, I K hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB, SC SD a) Chứng minh BC⊥(SAB), CD⊥(SAD) BD⊥(SAC)

c) Chứng minh SC⊥(AHK)và điểm I thuộc (AHK) c) Chứng minh HK ⊥(SAC), từđó suy HK⊥AI

HD Giải

a) Chứng minh: BC⊥(SAB)

Ta có BC⊥AB (vì ABCD hình vng)

BC⊥SA (Vì SA⊥(ABCD) BC thuộc (ABCD))

Từđó suy ra: BC⊥(SAB)

Chứng minh: CD⊥(SAD) Làm tương tự nhu trên:

( )

CD AD

CD SAD

CD SA



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

Chứng minh: BD⊥(SAC) Làm tương tự nhu trên:

( )

BD AC

BD SAC

BD SA



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

b) Chứng minh SC⊥(AHK)

Ta có

( )

( )

BC SAB

BC AH

AH SAB



⊥ ⇒ ⊥



⊂  theo giả thiết

SB⊥AH Từđó suy AH⊥(SBC)

Vì SC⊂(SBC) nên AH ⊥SC(1) Lập luận tương tự ta chứng minh AK ⊥SC (2) Từ (1) (2) ta suy SC⊥(AHK)( Vì hai

Ta có AH ⊂(AHK)vì qua điểm A vng góc với SC.Vậy điểm I thuộc (AHK)

c) Chứng minh HK ⊥(SAC), từđó suy

HK⊥AI

Ta có SA (ABCD) SA AB

SA AD

 ⊥

⊥ ⇒ 

⊥ 

Hai tam giác vuông SAB SAD chúng có chung cạnh SA AB = AD (c.g.c) Do SB = SD, SH = SK nên HK // BD Vì BD⊥(SAC) nên HK ⊥(SAC) Do

( )

AI⊂ SAC nên HK⊥AI

O H

I K

D

C B

A S

Bài 3.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O có SA = SC, SB = SD a) Chứng minh SO⊥(ABCD)

b) Gọi I, K trung điểm cạnh BA, BC CMR: IK⊥(SBD IK); ⊥SD

HD Giải

a) Ta có O tâm hình thoi nên O trung

điểm AC Tam giác SAC có SA = SC nên

SO⊥AC Chứng minh tương tự, ta có

SO⊥BD Từđó suy ra: SO⊥(ABCD)

b) Ta có AC BD AC (SBD)

AC SO



⊥ ⇒ ⊥



⊥  (1)

Ta lại có : IK đường trung bình tam giác BAC nên IK // AC (2)

Từ (1) (2) suy IK ⊥(SBD)

Hơn SD⊂(SBD)nên IK⊥SD

K I

O

D

C B

A S

Bài 3.4 Cho từ diên ABCD có hai mặt bên ABC BCD hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I trung điểm cạnh BC

a) Chứng minh rằng: BC⊥(ADI)

b) Gọi AH đường cao tam giác ADI Chứng minh rằng: AH ⊥(BCD)

HD Giải

a) Ta có BC AI BC (ADI)

BC DI



⊥ ⇒

⊥ 

⊥ 

b) Ta có ( )

( )

BC ADI

AH BC

AH ADI



⊥ ⇒ ⊥



⊂ 

Mà DI⊥AH nên AH⊥(BCD) I H B

D

C A

Bài 3.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD có SA = SB = SC = SD Gọi O giao

điểm AC BD

a) Chứng minh rằng: SO⊥(ABCD)

b) Chứng minh rằng: AC⊥(ABD) BD⊥(SAC)

HD Giải

a) Ta có SO AC SO (ABCD)

SO BD



⊥ ⇒

⊥ 

⊥ 

b) AC BD AC (SBD)

AC SO



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

( )

BD AC

BD SAC

BD SO



⊥ ⇒ ⊥



⊥  O

D

C B

A S

Bài 3.6 Cho tứ diên ABCD Chứng minh cặp cạnh đối diện tứ diện vng góc với đơi

HD Giải

Giả sử ta cần chứng minh AB⊥CD Gọi I trung điểm cạnh AB Ta có

( )

CI AB

AB CID

DI AB



⊥ ⇒

⊥ 

⊥ 

Mà CD⊂(CID) nên AB⊥CD

Chứng minh tương tự ta có BC⊥ AD

AC⊥BD

I

C

D A

B

Bài 3.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Chứng minh mặt bên hình chóp cho tam giác vng

HD Giải

Ta có SA⊥(ABCD)⇒SA⊥AB SA⊥AD Nên tam giác SAB SAD tam giác vng A Ta có BC AB BC (SAB) BC SB

BC SA



⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

Vậy tam giác SBC vuông B

( )

CD AD

CD SAD CD SD

CD SA



⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥



⊥  Vậy tam giác SCD vuông D

Một cách khác để chứng minh SCD vuông D

Đường thẳng SD có hình chiếu lên mp(ABCD) AD Theo định lí ba đường vng góc CD⊥ AD nên CD⊥SD

Khi ta có tam giác SCD vuông D

Bài 3.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, có cạnh SA=a SA vng góc với mp(ABCD)

a) Gọi M N hình chiếu điểm A lên đường thẳng SB SD Chứng minh MN // BD tính góc đường thẳng SC mp(AMN)

b) Gọi K giao điểm SC với mặt phẳng (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc

c) Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD)

HD Giải

a) i) Hai tam giác vng SAB SAD nhau, có đường cao tương ứng AM AN

nên BM = DN

Mặt khác, tam giác SBD cân S nên MN // BD

ii) Ta có BC AB BC (SAB)

BC SA



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

Từđó suy BC⊥ AM, mà SB⊥AM

Nên AM ⊥(SBC) Do AM⊥SC

Tương tự ta có : AN ⊥SC

Vậy SC⊥(AMN) Do góc đường thẳng SC mp(AMN) 900

b) Ta có / / ( )

( )

MN BD

MN SAC

BD SAC



⇒ ⊥



⊥ 

mp(ABCD) nên SCA góc đường thẳng SC với mp(ABCD) Tam giác SAC vng cân A có SA=a

Do SCA=450 K N

M

O

D

C B

A S

Bài 3.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi có SA vng góc với mp(ABCD) Gọi I, K hai

điểm lấy cạnh SB SD cho SI SK

SB= SD Chứng minh rằng:

a) BD vng góc với SC

b) IK vng góc với mặt phẳng (SAC)

HD Giải

a) Ta có ( )

( )

SA ABCD

SA BD

BD ABCD



⊥ ⇒

⊥ 

⊂ 

Mà BD⊥AC( ABCD hình thoi) Suy BD⊥(SAC)⇒BD⊥SC

b) Ta có BD⊥(SAC) SI SK IK/ /BD SB=SD⇒

Suy IK ⊥(SAC)

K

I D

C B

A S

Bài 3.10 Cho tứ diện SABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng(ABC) tam giác ABC vuông B Trong mp(SAB) ta kẻ AM vng góc với SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho SM SN

SB = SC Chứng

minh rằng:

a) BC⊥(SAB) AM⊥(SBC) b) SB⊥AN

HD Giải

a) BC AB BC (SAB)

BC SA



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

( )

BC AM

AM SBC

SB AM



⊥ ⇒

⊥ 

⊥ 

b) Ta có BC⊥SB mà MN // BC

Suy MN SB SB (AMN) SB AN

SB AM



⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

Bài 3.11 Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn

b) Chứng minh hình chiếu H điểm O mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC c) Chứng minh 12 12 12 12

OH =OA +OB +OC

HD Giải

a) Đặt OA=a OB; =b OC; =c

Khi ta có:

2 2; 2 2; 2

AB =a +b AC =a +c BC =b +c

Ta có

2 2 2

cos

2

AB AC BC a

A

AB AC AB AC

+ −

= = >

Vậy A góc nhọn

Tương tự, B C góc nhọn Vậy góc tam giác ABC nhọn

b) Ta có OA⊥(OBC)⇒OA⊥BC

Vì H hình chiếu điểm O mp(ABC) nên OH ⊥(ABC)

Theo định lí ba đường vng góc, ta có

AH ⊥BC

Tương tự, ta chứng minh BH⊥AC

Vậy H trực tâm tam giác ABC c) Gọi M giao điểm AMvà BC Ta có BC⊥(OAH)⇒BC⊥OM

Mặt khác, OA⊥(OBC)⇒OA⊥OM

( )

OH ⊥ ABC ⇒OH ⊥AM

Vậy, xét tam giác vuông OAM, ta có

2 2

1 1

OH =OA +OM tam giác

vng OBC, ta có 12 12 12

OM =OB +OC

Từđó, ta suy 12 12 12 12

OH =OA +OB +OC

C

H M B

A

O

Bài 3.12 Cho hình chóp S.ABC có SA⊥mp ABC( ) tam giác ABC khơng vuông Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng:

a) AH, SK, BC đồng quy b) SC⊥mp BHK( ) c) HK ⊥mp SBC( )

HD Giải

a) Gọi AA’ đường cao tam giác ABC Do

( )

SA⊥ ABC nên SA'⊥BC (Định lí ba đường vng góc) Vì H trực tâm tam giác ABC, K trực tâm tam giác SBC nên H thuộc AA’, K thuộc SA’ Vậy AH, SK BC

đồng quy A’

b) Do H trực tâm tam giác ABC, ta có BH AC BH (SAC)

BH SA

 ⊥

⇒ ⊥

 ⊥ 

Suy BH⊥SC (1)

Mặt khác, K trực tâm tam giác SBC, nên

BK⊥SC(2)

Vậy, từ (1) (2), suy SC⊥(BHK)

c) Từ câu b) suy HK ⊥SC(1)

Mặt khác, ta có ' ( ')

'

SA BC

BC SAA

AA BC

 ⊥

⇒ ⊥

 ⊥ 

Suy HK ⊥BC(2)

Từ (1) (2) suy HK⊥mp SBC( )

H

K

C

A' B

A S

Bài 3.13 Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vuông B, AB = a, SA⊥mp ABC( ) SA=a M điểm tuỳ ý cạnh AB cho AM = x (0 < x < a) Gọi α mặt phẳng qua M vng góc với

AB

a) Tìm thiết diện tứ diện tạo (α)

b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm xđể diện tích thiết diện có gía trị lớn

HD Giải

a) Ta có / / , / /

SA AB

BC AB SA BC

AB

α α

α

 ⊥



⊥ ⇒



⊥ 

( ) / / ,( )

( ) / / ,( )

( ) / / ,( )

( ) / /

SAB MQ SA Q SB

ABC MN BC N AC

SAC NP SA P SC

SBC QP BC

α α α α ∩ = ∈ ∩ = ∈ ∩ = ∈ ∩ =

Do đó, thiết diện cần tìm tứ giác MNPQ b) Ta có MQ // NP // SA, MN // QP // BC, suy MNPQ hình bình hành

Mặt khác,

/ / / /

,( ( ))

MQ SA

MN BC

SA BC SA ABC

MQ MN     ⊥ ⊥  ⇒ ⊥

Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Khi SMNPQ =MQ MN

Ta có

MQ BM SA BM

MQ

SA = BA ⇒ = BA

3( ) 3( )

a a x

a x a − = = − Q P M N C B A S a x a

MN AM BC AM a x

MN x

BC = AB ⇒ = AB = a =

Vậy SMNPQ = (x a x− )(đvdt) Mặt khác, ta có

2 2

3

3 ( )

2

x a x a

x a x− ≤  + −  =

  Hay MNPQ a S ≤

Vậy SMNPQđạt giá trị lớn

2 a a x= − ⇔ =a x x

Bài 3.14 Cho tứ diện ABCD góc hai đường thẳng AB CD α Gọi M điểm thuộc cạnh AC, đặt AM= x(0< <x AC) Xét mặt phẳng (P) qua điểm M song song với AB CD

a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện hình tứ diện ABCD cắt mp(P) đạt giá trị lớn

b) Chứng minh chu vi thiết diện nêu không phụ thuộc vào x AB = CD

HD Giải

a) Mặt phẳng (P) cắt tứ diên ABCD theo thiết diện hình bình hành MNPQ

Ta có SMNPQ=NM NP sin( )MNP

Do MN // AB, NP // CD nên góc MN NP góc AB CD,

( )

sin MNP =sinα

Ta lại có:

( )

MN CM AC x AB

MN AC x

AB CA AC AC

−

= = ⇒ = −

MQ AM x CD

MQ x

CD = AC = AC⇒ = AC

NP = MQ

Vậy SMNPQ AB CD 2 (AC x x) sin

AC α

= −

Từđó diện tích thiết diện MNPQ đạt giá trị lớn

2 AC x=

Vậy, M trung điểm AC diện tích thiết diện tứ diện ABCD cắt (P) đạt giá trị lớn

b) Gọi p nửa chu vi thiết diện,

( )

AB CD

p MN MQ AC x x

AC AC CD AB x AB AC = + = − + − = +

Từđó, chu vi thiết diên khơng phụ thuộc vào x CD – AB = hay AB = CD

M

P

Q

D

C N B

A

Bài 3.15 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành với AB=2 ;a AD=a SAB tam giác vuông cân A Gọi M điểm cạnh AD với AM=x(0< <x a), ( )α mặt phẳng qua M song song với (SAB)

a) Chứng minh ( )α cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình thang vng b) Tính diên tích thiết diên theo a x

HD Giải

a) Vì M điểm chung α mặt phẳng (ABCD); α//(SAB)

(ABCD) (∩ SAB)= AB

Do α∩(ABCD)=MN/ /AB N,( ∈BC)

Tương tự: α∩(SAD)=MQ/ / ,(SA Q SD∈ ) (SBC) NP/ / ,(SB P SC)

α∩ = ∈

(SDC) PQ/ /DC

α∩ =

Vậy thiết diện cần tìm tứ giác MNPQ Hơn nữa:

/ /

/ / / / (/ / )

MN AB

MN PQ

PQ CD AB



⇒ 



/ / / /

MN AB

MQ SA MN MQ

AB SA

 

⇒ ⊥



 ⊥



Từđó suy MNPQ hình thang vng b) Ta có 1( )

2

MNPQ

S = MN+PQ MQ

Mà MQ DM MQ SA DM 2(a x)

SA = DA ⇒ = DA = −

2

PQ SQ AM DC AM

PQ x

DC = SD= AD ⇒ = AD =

2

MN = a

Vậy 1(2 )2( )

2

MNPQ

S = a+ x a x− =2(a2−x2)

(đvdt)

N P

Q

M

B

C D

A S

Bài 3.16. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a DA⊥(ABC) DA = 2a Gọi ( )α mặt phẳng qua B vng góc với DC Tìm thiết diện tứ diện với ( )α tìm diện tích thiết diện

HD Giải

Gọi M trung điểm AC, đó:

( )

( ( ))

BM AC

BM ADC

BM DA DA ABC

 ⊥

⇒ ⊥



⊥ ⊥



Vậy BM⊥DC

Dựng MN⊥DC N (N∈CD)

Suy DC⊥(BMN hay) α≡(BMN)

Như vậy, thiết diện cần tìm tam giác BMN Vì BM ⊥(ADC) nên BM⊥MN⊂(DAC)

Do

BMN

S△ = BM MN

3 a BM =

Mặt khác, xét hai tam giác vuông CMN CAD có chung góc C, nên △CMN ∼△CAD

Suy

MN CM DA CM

MN

2

2 5

2

5

a

a a

a a

= =

+

Vậy

2

1 3. 15

2 20

BMN

a a a

S△ = = (đvdt)

N M

B

C A

D

a

a a

2a

Bài 3.17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, với AB = BC = a, AD =

2a; SA⊥(ABCD) SA= 2a Gọi M điểm cạnh AB cho AM=x(0≤ ≤x a) Gọi α mặt phẳng qua M, vng góc với AB

a) Tìm thiết diện α với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x

HD Giải

a) Ta có / / , / /

BC AB

SA AB BC SA

AB

α α

α

 ⊥



⊥ ⇒



⊥ 

Vậy

( ) / / ,( )

( ) / / ,( )

( ) / / ,( )

( ) / /

SAB MN SA N SB

ABCD MQ BC Q CD

SBC NP BC P SC

SBC NP BC

α α α α

∩ = ∈

∩ = ∈

∩ = ∈

∩ =

Vậy thiết diện cần tìm tứ giác MNPQ Hơn nữa, MQ // NP (// BC) Suy ta MNPQ hình thang

Mặt khác:

/ / / /

,( ( ))

MN SA

MQ BC

SA BC SA ABCD

MQ MN

  

 ⊥ ⊥



⇒ ⊥

Vậy: Tứ giác MNPQ hình thang vng

b) Tính ( )

2

MNPQ

S = MN MQ NP+

Ta có MN BM MN SA BM 2(a x)

SA = BA ⇒ = BA = −

NP SN AM

NP x

BC = SB = AB ⇒ =

Gọi I trung điểm AD E=MQ∩CI

Ta có:

( )

EQ CE ID CE a a x

EQ a x

ID CI CI a

−

= ⇒ = = = − Do

đó MQ = ME + EQ = 2a – x

Vậy SMNPQ = −(a x)(2a x x− + =) (a a x− )

(đvdt)

M

B C

E Q

I

D A

P N

S

2a

2a

a a

x

Bài 3.18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = 2a AD = DC = a;

cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, SA = 2a Gọi E trung điểm SA Xét mặt phẳng (P) qua

điểm E song song với AB cắt cạnh SB, BC, AD M, N, F a) Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt (P) hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện nói theo a x, với x = AF

HD Giải

a) Mặt phẳng (P) qua điểm E song song với AB nên ta có,

( ) ( ) ,( / / )

( ) ( ) ,( / / )

P SAB EM EM AB

P ABCD FN FN AB

∩ =

∩ =

Vậy thiết diện cần tìm hình thang EFNM Hơn nữa, AB⊥(SAD) nên AB⊥EF

Như thiết diện MNFE hình thang vng E F Khi F trùng với D thiết diện hình chữ nhật

b) Tính ( )

2

MNFE

S = EF EM FN+

Ta có EM =a EF, = a2+x2 Gọi I trung

điểm AB IA=IB=a

Gọi J giao điểm FN CI

,

FJ=AI =a IJ=AF=x

Ta có

JN CJ CJ a x

JN IB a a x

IB CI CI a

−

= ⇒ = = = −

Vậy 1( 2 ) 2

2

MNFE

S = a+ a x− a +x

2

(3 )

2 a x− a +x

= (đvdt)

D A F

C J

I N

B M

E S

2a x

2a

a

Bài 3.19 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA = SB = SC = b Gọi G trọng tâm

của tam giác ABC

a) Chứng minh SG⊥(ABC) Tính SG

b) Xét mặt (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng SC Tìm hệ thức liên hệ a bđể (P)

cắt SC C1 nằm S C Khi đó, tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABC cắt (P)

HD Giải

a) Kẻ SH⊥(ABC), SA = SB = SC nên ta có HA = HB = HC

Mặt khác, ABC tam giác nên H trùng với trọng tâm G tam giác ABC

Vậy SG⊥(ABC)

Xét tam giác vng SAG, ta có

2

2 2

3 a SG =SA −AG =b − 

 

 

Suy

2

3 a

SG= b − với 3b2 >a2

H≡G C1

C

B C'

A

S

b) Vì (P) qua điểm A vng góc với SC nên AB nằm (P) Do AB⊥SC

Kẻđường cao AC1 tam giác SAC (P) mp(ABC1)

Do tam giác SAC cân S nên điểm C1 nằm đoạn SC ASC<900

Điều tương đương với AC2 < SA2 + SC2 hay a2 <2b2

Trong trường hợp này, thiết diện hình chóp bị cắt (P) tam giác cân ABC1

1

1 '

ABC

S△ = AB C C AB=a, C’ trung điểm AB Mặt khác, Xét tam giác SC’C1, ta có C’C1.SC = SG CC’

Suy

2

2

1

3

' 3 2

'

2 a a

b

SG CC a b a

C C

SC b b

− −

= = = Vậy

1

2 3 2

4

ABC

a b a

S

b

− =

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Cạnh bên SA vng góc với đáy

Khẳng định sau sai ?

A SC⊥BD B SO⊥BD C AD⊥SC D SA⊥BD

Câu Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng?

A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với

B Với điểm A∈( )α điểm B∈( )β ta có đường thẳng AB vng góc với giao tuyến

d ( )α ( )β

C Nếu hai mặt phẳng ( )α ( )β vng góc với mặt phẳng ( )γ giao tuyến d ( )α

( )β có vng góc với ( )γ

D Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

Câu Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình thang vng A D , có AD=CD=a,

=

AB a Cạnh bên SA vng góc với đáy (ABCD), E trung điểm AB Chỉ mệnh đề sai

các mệnh đề sau:

A CB⊥(SAC) B Tam giác SDC vuông D

C CE⊥(SDC) D CE⊥(SAB)

Câu Khẳng định sau sai ?

A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm ( )α d vng góc với

bất kì đường thẳng nằm ( )α

B Nếu đường thẳng d⊥( )α d vng góc với hai đường thẳng ( )α

C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm ( )α d⊥( )α

D Nếu d⊥( )α đường thẳng a ( )α d⊥a

Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng ,B cạnh bên SA vng góc với đáy

Gọi H chân đường cao kẻ từ A tam giác SAB Khẳng định sai ?

A AH ⊥SC B SA⊥BC C AH ⊥BC D AH ⊥AC

Câu Cho hai đường thẳng phân biệt , a b mặt phẳng ( )P , a⊥( )P Chọn mệnh đề sai

trong mệnh đề sau?

A Nếu b⊂( )P b⊥a B Nếu a⊥b b ( )P

C Nếu b⊥( )P a b D Nếu b a b⊥( )P

Câu Cho hình chóp ( )α có đáy M hình vng Mặt bên BC tam giác có đường cao SH

vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi ABC A B C ' ' ' góc N mặt phẳng (SAD) Chọn khẳng địnhđúng khẳng định sau?

A sin 2

α = B α =30 0 C cos .

2

α= D α =60 0

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi , ,I J K trung điểm AB BC SB, , Khẳng định ?

A (IJK)//(SAC) B Góc SC BD 60

C BD⊥( )IJK D BD⊥(SAC)

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

B Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

D Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB cạnh a

nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Gọi ϕ góc SD mặt phẳng (ABCD) Mệnh đề sau đúng?

A cot 15

ϕ = B cot 15

5

ϕ= C ϕ=30 0 D cot 3.

2

ϕ=

Câu 11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Cạnh bên SA=2a

vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi ϕ góc SO mặt phẳng (ABCD) Mệnh đề sau đúng?

A ϕ =45 0 B tanϕ=2 2. C ϕ=60 0 D tanϕ=2..

Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB=BC=a,

=

AD a Cạnh bên SA=a vng góc với đáy Tính góc đường thẳng SC với mặt phẳng

(SAD)

A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0

Câu 13 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Đường thẳng AC′ vng góc với mặt phẳng sau đây?

A (A CD′ ′) B (A B CD′ ′ ) C (A BD′ ) D (A DC′ ′)

Câu 14 Cho hình chóp S ABC có BSC=120 ,0 CSA=60 ,0 ASB=900và SA=SB=SC Gọi I hình

chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC),

A I trung điểm AB B I trọng tâm tam giác ABC

C I trung điểm AC D I trung điểm BC

Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh 4a Cạnh bên SA=2a

Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H đoạn thẳng AO Gọi

α góc SD mặt phẳng (ABCD) Mệnh đề sau đúng?

A tanα= B tanα= C tanα=1 D tan 5

α=

Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm SA BC Tính góc đường thẳng MN với mặt phẳng

(ABCD), biết 10

=a

MN

A 60 0 B 90 0 C 30 0 D 45 0

Câu 17 Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với Gọi H hình chiếu O

trên mặt phẳng (ABC) Mệnh đề sau sai?

A 3 = 2+ 2+ 2.

OH AB AC BC B 2 = 12 + 12 + 12 OH OA OB OC

C H trực tâm ∆ABC D OA⊥BC

Câu 18 Cho hai đường thẳng , a b mặt phẳng ( )P Chỉ mệnh đềđúng mệnh đề sau:

A Nếu a ( )P b⊥( )P a⊥b B Nếu a ( )P b⊥a b ( )P

C Nếu a ( )P b⊥a b⊥( )P D Nếu a⊥( )P b⊥a b ( )P

Câu 19 Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng cho

B Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng đường thẳng b với b vng

góc với ( )P

C Góc đường thẳng a mặt phẳng ( )P góc đường thẳng a mặt phẳng ( )Q

D Góc đường thẳng a mặt phẳng ( )P góc đường thẳng b mặt phẳng ( )P a

song song với b

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=a Hình chiếu

vng góc H S mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC

2

=a

SH Gọi M N,

trung điểm cạnh BC SC Gọi α góc đường thẳng MN với mặt đáy (ABCD) Mệnh đề

nào sau đúng?

A tan

α= B tan

3

α = C tanα=1 D tan

3

α=

Câu 21 Cho , , a b c đường thẳng khơng gian Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A Nếu a⊥b b⊥c a c

B Nếu a vng góc với mặt phẳng ( )α b ( )α a⊥b

C Nếu a b b⊥c c⊥a

D Nếu a⊥b, b⊥c a cắt c b vng góc với mặt phẳng ( )a c,

Câu 22 Trong không gian cho đường thẳng ∆ không nằm mặt phẳng ( )P , đường thẳng ∆ gọi

là vuông góc với mp ( )P nếu:

A ∆vng góc với hai đường thẳng phân biệt nằm mp ( )P

B ∆vng góc với đường thẳng a mà a song song với mp ( )P

C ∆vng góc với đường thẳng a nằm mp ( )P

D ∆vng góc với đường thẳng nằm mp ( )P

Câu 23 Cho hình lập phương MNQR Gọi MN góc AC' mặt phẳng (A BCD' ' ) Chọn khẳng địnhđúng khẳng định sau?

A α = 300. B tan .

3

α= C α = 450. D tanα= 2.

Câu 24 Cho tứ diện ABCD có AB BC CD, , đơi vng góc với AB=a, BC =b CD, =c

Độ dài đoạn thẳng AD

A − + +2 2.

a b c B a2+ −b2 c2 C a2− +b2 c2 D a2+ +b2 c2

Câu 25 Cho hình chóp SABC có SA⊥(ABC) Gọi H K, trực tâm tam giác SBC

vàABC Mệnh đề sau sai?

A BC⊥(SAH) B SB⊥(CHK) C HK ⊥(SBC) D BC⊥(SAB)

Câu 26 Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau:

A Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho

trước

B Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với mặt phẳng cho

trước

C Hai đường thẳng chéo vng góc với Khi có mặt phẳng chứa

đường thẳng vng góc với đường thẳng

D Qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho

trước

Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC)

cùng vng góc với đáy (ABCD) SA=2a Gọi ϕ góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAD)

Mệnh đề sau đúng?

A cos 5

ϕ= B ϕ=60 0 C ϕ=30 0 D cos 5.

5

ϕ=

Câu 28 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng ,B cạnh bên SA vng góc với đáy

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC H hình chiếu O (ABC) Khẳng định

dưới ?

A H trung điểm cạnh BC

B H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

C H trọng tâm tam giác ABC

D H trung điểm cạnh AB

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O Đường thẳng SA cng góc với

mặt đáy (ABCD) Gọi I trung điểm SC Khẳng định sai ?

A BC⊥SB B Tam giác SCD vuông D

C (SAC) mặt phẳng trung trực BD D IO⊥(ABCD)

Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC=2a Hai mặt bên

(SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh SA=a 15 Tính góc tạo đường

thẳng SC mặt phẳng (ABD)

A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0

Câu 31 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân C Cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi

,

H K trung điểm AB SB Khẳng định sai ?

A CH ⊥AK B CH ⊥SB C CH ⊥SA D AK ⊥SB

Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB nằm

mặt phẳng vng góc với đáy Gọi , H K trung điểm cạnh AB AD Gọi ϕ góc

giữa đường thẳng SA mặt phẳng (SHK) Mệnh đề sau đúng?

A tan

ϕ= B tan

7

ϕ= C tan 14

4

ϕ= D tanϕ=

Câu 33 Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình thoi tâm O, BAD=600

′ = ′ = ′

A A A B A D Hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng (ABCD)

A trung điểm AO B trọng tâm tam giác ABD

C tâm O hình thoi ABCD D trọng tâm tam giác BCD

Câu 34 Mệnh đề sau sai ?

A Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với

đường thẳng song song

B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song

C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song

D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song

Câu 35 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy hình thoi cạnh a, BAD=600 Hình chiếu vng góc

của 'B xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo đáy cạnh bên BB'=a Tính góc

cạnh bên mặt đáy

A 45 0 B 60 0 C 90 0 D 30 0

Câu 36 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, ABC=60 , tam giác SBC tam

giác có cạnh 2a nằm mặt phẳng vuông với đáy Tính góc đường thẳng SA mặt

phẳng đáy (ABC)

A 60 0 B 90 0 C 30 0 D 45 0

Câu 37 Cho hình vng ABCD tâm ,O cạnh a Trên đường thẳng qua O vng góc với mặt

phẳng (ABCD) lấy điểm S Biết góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABCD) 45 Độ dài

cạnh SO

A 2

=a

SO B SO=a C SO=a D

2

=a

Câu 38 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác nhọn, cạnh bên SA=SB=SC Gọi H hình

chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC),

A H trọng tâm tam giác ABC

B H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

C H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

D H trực tâm tam giác ABC

Câu 39 Cho tứ diện ABCD Gọi H trực tâm tam giác BCD AH vng góc với mặt phẳng đáy

Khẳng định ?

A CD⊥BD B AC=BD C AB=CD D AB⊥CD

Câu 40 Cho tứ diện ABCD có AB BC CD, , đơi vng góc với Điểm

bốn đỉnh , , ,A B C D tứ diện ABCD ?

A Trung điểm cạnh AD B Trọng tâm tam giác ACD

C Trung điểm cạnh BD D Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 41 Cho hình chóp S ABC có mặt bên tạo với đáy góc Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC)

A giao điểm hai đường thẳng AC BD B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

C trọng tâm tam giác ABC D tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu 42 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD hình vng cạnh 2,

' 4=

AA Tính góc đường thẳng A C' với mặt phẳng (AA B B' ' )

A 90 0 B 30 0 C 45 0 D 60 0

Câu 43 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA=a vng góc

với đáy Gọi α góc SC mặt phẳng (SAB) Chọn khẳng địnhđúng khẳng định sau?

A tan

α = B tan

8

α = C tan

7

α = D α =30 0

Câu 44 Cho tứ diện ABCD có AB BC BD, , đơi vng góc với Khẳng định

?

A Góc CD mặt phẳng (ABD) góc CBD B Góc AC mặt phẳng (BCD)

góc ACB

C Góc AD mặt phẳng (ABC) góc ADB. D Góc AC mặt phẳng (ABD)

góc CBA

Câu 45 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a độ dài cạnh bên

= = =

SA SB SC b Gọi G trọng tâm tam giác ABC Độ dài đoạn thẳng SG

A

+

b a B

−

b a C

−

b a D

+

b a

Câu 46 Cho chóp S ABCD có cạnh đáy , cạnh bên Gọi ϕ góc giữa cạnh bên

và mặt đáy Mệnh đề sau đúng?

A ϕ =45 0 B tan 14.

2

ϕ= C tanϕ= D ϕ =60 0

Câu 47 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA=SC, SB=SD Khẳng định sau ?

A AB⊥(SAC) B CD⊥AC C SO⊥(ABCD) D CD⊥(SBD)

Câu 48 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy, góc gữa SC mặt đáy (ABCD) 45 G0 ọi ϕ góc đường thẳng SD mặt phẳng

(SAC) Mệnh đề sau đúng?

A ϕ =45 0 B tan 5.

5

ϕ= C tanϕ= D ϕ =60 0

Câu 49 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi AE AF, đường cao tam giác SAB tam giác SAD Khẳng định ?

A SC⊥(AEC) B SC⊥(AED) C SC⊥(AEF) D SC⊥(AFB)

Câu 50 Cho tứ diện ABCD Gọi α góc AB mặt phẳng (BCD) Chọn khẳng địnhđúng

trong khẳng định sau?

A cos

α= B cos 3

α = C cos

α = D cosα=0 ĐÁP ÁN

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

C C C C D B A B A A B A C D D A A A A A D D D D D

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

§4 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

A KIẾN THỨC CẤN NẮM

I Góc hai mặt phẳng Định nghĩa:

Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng ( ) (( );( )) ( ; )

( )

a

a b b

α α β

β 

⊥ ⇒

= 

⊥ 

Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng 00

2 Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt

Khi hai mặt phẳng (α) (β) cắt theo giao tuyến c, để tính góc chúng, ta việc xét mặt phẳng (γ ) vng góc với c, cắt (α) (β) theo giao tuyến a, b lúc góc ((α);(β)) = (a; b)

Nghĩa là:

I c

b a

β

α

Nói một cách khác: Cho hai mặt phẳng ( )α ( )β cắt theo giao tuyến c Từ một điểm I bất kì

trên c, ta dựng đường thẳng a ( )α vng góc với c dựng đường thẳng b ( )β vng góc với c Khi góc ( )α ( )β góc hai đường thẳng avà b

3 Diện tích hình chiếu đa giác Diện tích hình chiếu đa giác: S'=Scosϕ

Với S diện tích đa giác nằm ( )P , S’ diện tích hình chiếu vng góc đa giác

( ')P , ϕ góc ( )P ( ')P

II Hai mặt phẳng vng góc Định nghĩa

Hai mặt phẳng ( )α ( )β gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc vng Kí hiệu ( ) ( )α ⊥ β ( ) ( )α ⊥ β

2 Các định lí

Định lí 1:

Điều kiện cần đủđể hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Nghĩa là: ( ) ( )α ⊥ β ⇔ ∃ ⊂d ( ) :α d ⊥( )β

Hệ

Nếu hai mặt phẳng vng góc với bất cứđường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng

Nghĩa là: ( ) ( );( ) ( ) ( )

( );

d a a a d

α β α β β

α



⊥ ∩ = ⇒ ⊥



⊂ ⊥  (PP: Chứng minh đường thẳng vng góc mp)

Hệ

Cho hai mặt phẳng ( )α ( )β vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng ( )α ta dựng

được đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( )β đường thẳng nằm ( )α

Nghĩa là: ( ) ( ); ( ) ( )

( )

A

a A a

α β α α

β



⊥ ∈ ⇒

⊂ 

∈ ⊥ 

Định lí

Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng

Nghĩa là:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

α β

α γ γ

β γ



∩ = ∆



⊥ ⇒∆ ⊥



⊥ 

III Hình lăng trụđứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương Định nghĩa

- Hình lăng trụđứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụđứng

- Hình hộp chữ nhật hình lăng trụđứng có đáy hình chữ nhật

- Hình lập phương hình lăng trụđứng có đáy là hình vng mặt bên hình vng - Hình lăng trụđứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng

2 Nhận xét

- Các mặt bên hình lăng trụđứng ln ln vng góc với mặt phẳng đáy hình chữ nhật

IV Hình chóp hình chóp cụt Hình chóp

- Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy

- Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với mặt đáy góc

- Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc Hình chóp cụt

Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt

Các dạng tốn

Dạng 1 Xác định góc hai mặt phẳng

Phương pháp: Dùng định nghĩa Cách xác định góc hai mặt phẳng

Dạng 2 Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Phương pháp

Cách Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cách Chứng minh góc hai mặt phẳng 900

Dạng 3 Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Phương pháp: Ngoài cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 3, ta vận dụng:

Cách 1: Chứng minh

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( );

d a a a d

α β

α β β

α

 ⊥



∩ = ⇒ ⊥



⊂ ⊥ 

Cách 2: Chứng minh

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

α β

α γ γ

β γ



∩ = ∆



⊥ ⇒∆ ⊥



⊥ 

Dạng 4 Thiết diện tạo mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

Phương pháp: Để xác định thiết diện hình khối tạo mp( )α qua a ( )α vng góc với mp( )β cho trước, ta thực hiện:

- Xác định mp( )α cách từ điểm a dựng đường thẳng b vng góc với ( )β Khi mp( )α xác định đường thẳng cắt a b

B BÀI TẬP

Bài 4.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, SA⊥(ABC)

2

a SA=

a) Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) b) Tính diên tích tam giác SBC

HD Giải

a) Gọi H trung điểm BC Ta có

BC⊥AH (1)

Vì SA⊥(ABC) nên SA⊥BC (2)

Từ (1) (2) suy BC⊥(SAH)⇒BC⊥SH

Vậy góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) SHA=ϕ

0 tan 30 3 a SA AH a ϕ= = = ⇒ϕ=

b) Vì SA⊥(ABC)nên tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác SBC Gọi S1, S2

lần lượt diện tích tam giác SBC ABC Ta có

2

2

2 1

2

cos

cos 3

S a a S S ϕ S

ϕ

= ⇒ = = = (đv

dt) C H B A S

Bài 4.2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân BA = BC = a, SA⊥(ABC) SA = a Gọi M, N trung điểm AB AC

a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) mp(SBC) b) Tính góc hai mp(SMN) mp(SBC)

HD Giải

a) Ta có (SAC) (∩ SBC)=SC

( ) BN AC BN SAC BN SA  ⊥ ⇒ ⊥ 

⊥  Suy BN ⊥SC

Trong mp(SBC) dựng BK⊥SC K Khi

( )

SC⊥ BKN

Ta lại có:

(BKN) (∩ SAC)=NK BKN;( ) (∩ SBC)=BKDo

đó: ((SAC);(SBC)) (= NK BK; ) góc BKN

hay 1800−BKN

Mặt khác, BN⊥(SAC)⇒BN⊥NK hay

BNK

∆ vng N Khi đó: tanBKN BN

NK

= ,

2

a BN= ; Xét hai tam giác vuông đồng dạng

SAC NKC

∆ ∼∆ (Vì có góc C chung) Suy

2

2

6

a a

NK NC SA NC a NK

SA = SC ⇒ = SC = a =

Do

0

tanBKN BN BKN 60

NK

= = ⇒ =

Hay ((SAC);(SBC))=600

b) Ta có

/ /

( ) ( )

( ) ( ) / / / /

MN BC

S SMN SBC

SMN SBC Sx MN BC

 

∈ ∩ 

⇒ ∩ =

Hơn nữa, BC⊥SB BC⊥SM Suy

Sx⊥SB Sx⊥SM

Hay ((SMN);(SBC)) (= MS BS; ) góc BSM

hay 1800−BSM

Trong tam giác SBM ta có

2 2

cos

2

SM SB BM BSM

SM SB

+ −

=

Trong

2 5; 2;

2

a

SM SA AM SB a a

BM

= + = =

=

Do

0 10

cos 18 26'

10

BSM= ⇒BSM≈ Hay

(( );( )) 18 26'0

SMN SBC ≈

M N

K

C

B A

S

a

a a

Bài 4.3 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Chứng minh rằng: (OAB) (⊥ OBC);(OBC) (⊥ OCA);(OCA) (⊥ OAB)

HD Giải

Ta có OA OB OA (OBC) OA OC



⊥ ⇒

⊥ 

⊥ 

Mà OA⊂(OAB) nên suy ra: (OAB) (⊥ OBC)

Chứng minh tương tự, ta có

(OBC) (⊥ OCA);(OCA) (⊥ OAB) C

B A

O

Bài 4.4 Cho tứ diện ABCD, có SA⊥(ABC)và tam giác ABC vng B Chứng minh rằng:

(SAB) (⊥ ABC);(SAC) (⊥ ABC);(SBC) (⊥ SAB)

HD Giải

Chứng minh (SAB) (⊥ ABC)

Ta có : ( ) ( ) ( )

( )

SA SAB

SAB ABC SA ABC



⊂ ⇒

⊥ 

⊥ 

Chứng minh (SAC) (⊥ ABC)

Ta có: ( ) ( ) ( )

( )

SA SAC

SAC ABC SA ABC



⊂ ⇒

⊥ 

⊥ 

Chứng minh (SBC) (⊥ SAB)

Ta có : BC AB BC (SAB) BC SA



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

Và BC⊂(SBC)nên (SBC) (⊥ SAB)

C

B A

S

Bài 4.5 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a a) Tính độ dài đường cao hình chóp

b) Gọi M trung điểm SC, chứng minh: (MBD) (⊥ SAC)

c) Tính độ dài đoạn OM góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD)

HD Giải

a) Gọi O tâm hình vng ABCD Do S.ABCD hình chóp , nên ta có: SO⊥(ABCD)

Do độ dài đường cao hình chóp SO

2

2 2 2

2

a a SO= SC −OC = a −  =

M

C

O

B A

D S

b) Chứng minh: (MBD) (⊥ SAC)

Ta có BS = BC = a MS = MC Suy ta

BM ⊥SC (1)

Tương tự: DM⊥SC (2)

Từ (1) (2) ta suy SC⊥(DBM)

Mà SC⊂(SAC)nên (MBD) (⊥ SAC)

c) Ta có tam giác OMC vng M nên

2

2

2

a a a OM = OC −MC = − =

Ta có:

( )

( ) ( )

( )

( )

( ),( )

ABCD MBD BD BD MO MBD BD CO ABCD

ABCD MBD MOC



∩ =



⊥ ⊂ 



⊥ ⊂ 

⇒ =

Mặt khác, ta có

2

a

OM=MC= OMC=900, nên suy MOC=450

Vậy góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD) 450

Bài 4.6 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a có SA = SB = SC = a a) Chứng minh rằng: (ABCD) (⊥ SBD)

b) Chứng minh rằng: Tam giác SBD tam giác vuông

HD Giải

a) Chứng minh rằng: (ABCD) (⊥ SBD)

Gọi O tâm hình thoi ABCD Ta có : AC BD AC (SBD)

AC SO



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

Mà AC⊂(ABCD)nên suy

(ABCD) (⊥ SBD)

b) Vì SA = SB = SC = a nên ba tam giác SAC, BAC, DAC cân

Do SO = OD = OB Từđó suy tam giác SBD tam giác vuông S

O

B

C D

A S

Bài 4.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600,

6; ( )

2

a

SC= SC⊥ ABCD

a) Chứng minh rằng: (SBD) (⊥ SAC)

b) Trong tam giác SCA kẻ IK vng góc với SA K Tính độ dài IK

c) Chứng minh BKD=900và từđó suy mặt phẳng (SAB) vng góc với mp (SAD)

HD Giải

a) Chứng minh rằng: (SBD) (⊥ SAC)

Vì BD⊥ACvà BD⊥SC nên BD⊥(SAC) Ta suy (SBD) (⊥ SAC)

b) Ta có hai tam giác SCA IKA có chung góc A nên đồng dạng Do đó:

IK AI SC AI

IK

SC = AS⇒ = SA

Mặt khác, tam giác vng SCA có

2

2 3

4

a

SA= SC +CA = + a = aVà

3

a

AI= Vậy

6.

2 2

2

2

a a

SC AI a IK

SA a

= = =

c) Vì

2

a

IK=IB=ID= nên tam giác BKD tam giác vuông K hay BKD=900

Ta có SA DB SA (BDK) SA BK SA IK



⊥ ⇒

⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

và SA⊥DK

Vậy BKD góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) BKD=900

Nên ta suy ra: (SAB) (⊥ SAD)

I K A B C D S

Bài 4.8 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a, SA⊥mp ABCD( )và SA=a Gọi (α) mặt phẳng chưa AB vng góc với mặt phẳng (SCD) Xác định mp(α), mp(α) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện

HD Giải

Dựng AH ⊥SD

Ta có ( )

CD SA CD SAD CD AD CD AH  ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  ⇒ ⊥

Vậy AH ⊥(SCD)⇒AH⊂α Do α=(AHB)

Vì α // CD nên

(SCD) HK/ /CD K( SC)

α∩ = ∈

Từđó suy ra, thiết diện hình thang ABKH Hơn AB⊥(SAD) nên AB⊥ AH

Vậy thiết diện hình thang vng A H Khi 1( )

2

S= AB HK AH+

2 2

SD= SA +AD = a

SAD

S∆ =AH SD=SA AD

2

SA AD a AH

SD

⇒ = =

2

2 .

2

SA a SA SH SB SH

SB

= ⇒ = =

4

HK SH CD SH a HK

CD = SD⇒ = SD =

Vậy

2

1 .

2 16

a a a S= a+  =

  (đvdt)

K H D C B A S a a

Bài 4.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh SA⊥(ABCD) Giả sử

( )α mặt phẳng qua A vng góc với cạnh SC, ( )α cắt SC I a) Xác định giao điểm K SO với mặt phẳng ( )α

b) Chứng minh rằng: (SBD) (⊥ SAC) BD/ /( )α

c) Xác định giao tuyến d mặt phẳng (SBD) mặt phẳng ( )α Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD mặt phẳng ( )α

HD Giải

a) Gọi I giao điềm ( )α với SC Ta có ( )

( ) SC AI SC AI α α  ⊥ ⇒ ⊥  ⊂ 

Vậy AI đường cao tam giác SAC Trong mặt phẳng (SAC), ta có AI∩SO=K

( )

AI⊂ α

Vậy : K=SO∩( )α

b) Ta có BD AC DB (SAC) BD SA



⊥ ⇒

⊥ 

⊥ 

( )

BD⊂ SBD

Vậy: (SBD) (⊥ SAC)

Mặt khác, ta có

( )

/ /( ) ( )

SC

BD SC BD BD α α α  ⊥  ⊥ ⇒  ⊂ 

c) Ta có K=SO∩( )α SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K∈( ) (α ∩ SBD)

Mặt phẳng (SBD) chứa BD // ( )α Nên

( ) (α ∩ SBD)=d/ /BD hay

( ) (α ∩ SBD)=Kx/ /BD

được thiết diện tứ giác AMIN có đường chéo AI⊥SC MN // BD

K N

I

M

D

O

C

B A

S

Bài 4.10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SA vng góc với mp(ABCD) SA = a

a) Chứng minh rằng: (SAD) (⊥ SDC);(SAC) (⊥ SCB)

b) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD), tính tanϕ

c) Gọi ( )α mặt phẳng chứa SD vng góc với mp(SAC) Hãy xác định ( )α xác định thiết diên diện hình chóp S.ABCD với ( )α Tính diện tích thiết diện

HD Giải

a) Ta có: CD AD CD (SAD) CD SA



⊥ ⇒

⊥ 

⊥ 

Mà CD⊂(SCD)nên (SAD) (⊥ SDC)

Gọi I trung điểm AB Ta có AICD hình vng IBCD hình bình hành

Ta có: DI/ /BC BC AC DI AC



⇒ ⊥



⊥ 

Như vậy: BC AC BC (SAC) CB SA



⊥ ⇒

⊥ 

⊥ 

Mà BC⊂(SBC)nên (SAC) (⊥ SCB)

b) Ta có

( ) ( )

( )

SBC ABCD BC

AC BC SCA SC BC cmt

ϕ 

∩ =



⊥ ⇒ =



⊥ 

Khi

đó: tan

2

SA a AC a

ϕ= = =

c) Ta có: DI AC DI (SAC) DI SA



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

Vậy ( )α mặt phẳng chứa SD vng góc với mp(SAC) mp(SDI)

Do thiết diên ( )α với hình chóp S.ABCD tam giác SDI có cạnh a Gọi H tâm hình vng AICD, ta có SH ⊥DI

và

2

DI a SH= =

2

1 . 1. 6 2

2 2

SDI

a a

S∆ = SH DI= a = (đvdt)

H

I B

C D

A S

Bài 4.11 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a

a) Chứng minh AC’ vng góc với hai mặt phẳng (A’BD) (B’CD’)

b) Cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành lục giác Tính diện tích thiết diện

HD Giải

a) Ta có AC'=AB AD+ +AA'

BD=AD AB−

Vậy

( )( )

' '

AC BD= AB AD AA+ + AD AB− =

Tương tự, ta có AC BA' ' 0= Vậy

' ( ' )

AC ⊥ A BD

Do (A’BD) // (B’CD’) nên AC' ( '⊥ B CD')

b) Gọi M trung điểm BC

5 '

2

a

MA=MC = nên M thuôc mặt phẳng trung trực ( )α AC’

Tương tự, ta chứng minh N, Q, R, S có tính chất (N, P, Q, R, S trung điểm cạnh CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B)

Vậy thiết diện hình lập phương bị cắt mp( )α MNPQRS

Hơn nữa,

2

a MN=NP=PQ=QR=RS=SM = Do thiết diện lục giác

Diện tích thiết diện:

2

2 3

6

2 4

a a S=   =

 

 

(đvdt)

S A' D' C' B' R Q P N M D C B A

Bài 4.12 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I điểm thuộc cạnh AB; đặt AI=x,

(0< <x a)

a) Khi góc hai đường thẳng AC’ DI 600, xác định điểm I

b) Tính theo a x diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng(B’DI) Tìm xđể diện tích nhỏ

HD Giải

a) Đặt α góc DI AC’

' cos ' DI AC DI AC α= ( )( ') '

DA AI AD AB AA DI AC

+ + +

=

2

2 2 3 2 3

a xa a x a x a a x

− + − +

= =

+ +

Khi α =600

2 2 a x a x − + = +

2 8 0

x ax a

⇔ − + = ⇔ =x a(4− 15) (vì < x < a)

Vậy hệ thức xác định vị trí điểm I b) GọiE=DI∩CD;

' '; ' '

F=B E∩CC K=DF∩D C

Thiết diên hình lập phương cắt mp(B’DI) tứ giác DIB’K dễ thấy tứ giác

đó hình bình hành

K E I C D A' D' F C' B' B A

Diện tích thiết diện:

( )2

2

' '

1

2 ' '

2 DIB K B ID

S = S = IB ID − IB ID Tron g IB ID' 2 =(a2+x2)a2+ −(a x)2

 

( ) (2 )( )

'

IB ID = IA AB IB BB+ + 

( )2 2 ( )2

2

( )

IA IA  x a x  x a x

= = − −  = −

Từđó:

4 2 2

' ( )

DIB K

S = a +a x +a a x−

2 ( )2

a a x a x

= + + −

Khi đó, dễ thấy SDIB K' đạt giá trị nhỏ

2

Bài 4.13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA⊥(ABCD SA), =x Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) SDC) tạo với góc 600

HD Giải

Gọi O=AC∩BD Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO1 vng góc với SC Khi đó, ta có (BO1D)

vng góc với SC Vậy góc hai mặt phẳng (SBC) (SDC) góc hai đường thẳng BO1 DO1 Mặt khác OO1⊥BD, OO1 < OC

mà OC = OB nên BO O1 >450

Tương tự, DO O1 >450 tức BO D1 >900

Như vậy, hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 600 chỉ

0

1 120 60

BO D= ⇔BO O= (Vì ∆BO D1 cân O1)

0

1tan 60

BO OO BO OO

⇔ = ⇔ =

Ta lại có

1 sin sin

SA

OO OC OCO OC ACS OC

SC

= = = Nh

ư BO OO= 1

3 SA

BO OC SC

⇔ = ⇔SC⇔ 3.SA

2 2 3.

x a x x a

⇔ + = ⇔ =

Vậy x=a hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 600

O

D

C B

A S

O1

Bài 4.14 Cho hai mặt phẳng vng góc (P) (Q) có giao tuyến ∆ Lấy A, B thuộc ∆ lấy C thuộc (P), D thuộc (Q) cho AC⊥AB BD, ⊥AB AB = AC = BD Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng ( )α qua điểm A vng góc với CD Tính diện tích thiết diện AC = AB = BD = a.

HD Giải

Gọi E trung điểm BC AE⊥BC(

∆ABC cân A)

Do BD⊥(ABC)⇒BD⊥AEnên AE⊥CD

(Theo định lí ba đường vng góc) Trong mặt phẳng (CDB) kẻ

,( )

EF⊥CD F CD∈ mp (AEF) mp

( )α thiết diện cần tìm tam giác AEF Hơn nữa, tam giác AEF vuông E

Diện tích tam giác AEF:

2 AEF

S = AE EF Trong đó, ta có

2

BC a

AE= =

Xét hai tam giác vuông đồng dạng CEF CBD ( có chung góc C)

Suy

2

2

6

a a EF CE CE DB a

EF

DB =CD⇒ = CD = a =

Vậy

2

1. 2.

2 12

AEF

a a a

S = = (đvdt)

Q

P F

E D

C

B A

Bài 4.15 Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x gọi I, J trung điểm AB CD

a) Tính AB, IJ theo a x

b) Với giá trị x hai mặt phẳng (ABC) (ABD) vng góc ?

HD Giải

a) Vì J trung điểm CD AC = AD nên

AJ⊥CD

Do mp ACD( )⊥mp BCD( ) nên AJ⊥(BCD) Mặt khác AC = AD = BC = BD nên tam giác

AJB vuông cân, suy AB= AJ

Mà AJ= a2−x2 Vậy AB= 2(a2−x2) với

a>x

b) Do IA = IB, tam giác AJB vuông J nên

2

1 2( )

2

IJ = AB= a −x

Ta có CI DI vng góc với AB Vậy

0

( ) ( ) 90

2

ABC ⊥ ABD ⇔CID= ⇔IJ = CD

2

1 2( ) 1.2

2

a a x x x

⇔ − = ⇔ =

J

I D

C

B A

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với đáy Gọi H K, hình chiếu A SB, SC I giao điểm HK với mặt phẳng (ABC) Khẳng định sau sai?

A SC⊥ AI B Tam giác IAC

C BC⊥AH D (AHK) (⊥ SBC)

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)

2

=a

SO Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD)

A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0

Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, SA vng góc với đáy Gọi M

là trung điểm AC Khẳng định sau sai?

A BM ⊥ AC B (SBM) (⊥ SAC) C (SAB) (⊥ SBC) D (SAB) (⊥ SAC)

Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA=a vng góc với mặt đáy (ABC) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Mệnh đề sau đúng?

A sin 5

ϕ = B

60

ϕ= C sin

5

ϕ = D

30

ϕ =

Câu Trong không gian cho tam giác SAB hình vng ABCD cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc Gọi H, K trung điểm AB, CD Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SAB)

(SCD) Mệnh đề sau đúng?

A tan

ϕ = B tan

3

ϕ= C tan

3

ϕ= D tan

3

ϕ =

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, cạnh a, góc =600

BAD ,

2

= = = a

SA SB SD Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Mệnh đề sau đúng?

A tanϕ = B tan

5

ϕ= C tan

2

ϕ= D

45

ϕ =

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b mặt phẳng ( )P chứa a, mặt phẳng ( )Q chứa

b ( )P vng góc với ( )Q

B Cho đường thẳng a vng góc với mặt phẳng ( )P ,mọi mặt phẳng ( )Q chứa a ( )P vng góc với ( )Q

C Qua điểm có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước

D Cho đường thẳng a vng góc với đường thẳng b b nằm mặt phẳng ( )P Mọi mặt phẳng

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sau đúng?

A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với

B Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

C Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng vng góc với

Câu Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy cạnh ,a góc hai mặt phẳng

(ABCD) (ABC′) có sốđo 60 0 Độ dài cạnh bên của hình lăng trụ bằng

A a B 2 a C 3 a D a

Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng ,B cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi ,E F trung điểm cạnh AB AC Góc hai mặt phẳng (SEF) (SBC)

A CSE B CSF C BSF D BSE

Câu 11 Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vuông góc với ,

= = = = =

AC AD BC BD a CD x Với giá trị x hai mặt phẳng (ABC) (ABD) vng góc

A

a B

a C

a D

a

Câu 12 Trong khẳng định sau lăng trụđều, khẳng định sai?

A Các mặt bên hình vng

B Các mặt bên hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với đáy

C Các cạnh bên đường cao

D Đáy đa giác

Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, ABC=60 , tam giác SBC tam giác có cạnh 2a nằm mặt phẳng vng với đáy Gọi ϕ góc hai mặt phẳng

(SAC) (ABC) Mệnh đề sau đúng?

A ϕ =60 0 B tanϕ=2 3. C tan 3.

6

ϕ= D tan

2

ϕ=

Câu 14 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Cho hai đường thẳng song song a b đường thẳng c cho c⊥a c, ⊥b Mọi mặt phẳng

( )α chứa c vng góc với mặt phẳng ( )a b,

B Cho a⊥( )α , mặt phẳng ( )β chứa a ( ) ( )β ⊥ α

C Cho a⊥b, mặt phẳng chứa b vng góc với a

D Cho a⊥b, a⊂( )α b⊂( )β ( ) ( )α ⊥ β

Câu 15 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

B Hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc với cắt theo giao tuyến d Với điểm A

thuộc ( )P điểm B thuộc ( )Q ta có AB vng góc với d

C Nếu hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc với mặt phẳng ( )R giao tuyến ( )P ( )Q

nếu có vng góc với ( )R

D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với

Câu 16 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với

B Qua đường thẳng có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước

C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với

D Qua điểm có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

Câu 17 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông C, mặt bên SAC tam giác mằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi I trung điểm SC Mệnh đề sau sai?

A (SBC) (⊥ SAC) B AI⊥BC C (ABI) (⊥ SBC) D AI⊥SC

Câu 18 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho

2

=a

SD Gọi I trung điểm BC; kẻ IH

vng góc SA (H∈SA) Khẳng định sau sai?

A BH ⊥HC B SA⊥BH C (SDB) (⊥ SDC) D (SAB) (⊥ SAC)

Câu 19 Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy ,a góc mặt bên mặt đáy 60 Tính độ dài đường cao SH khối chóp

A

2

=a

SH B

2

=a

SH C

2

= a

SH D

3

=a

SH

Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB= AC=a Hình chiếu vng góc

H S mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

= a

SH Gọi ϕ góc hai đường thẳng SB AC Mệnh đề sau đúng?

A cotϕ= B cot

7

ϕ= C cot 14

4

ϕ= D cot

4

ϕ =

Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi ϕ góc hai mặt phẳng

(SBD) (SCD) Mệnh đề sau đúng?

A tan

ϕ = B tanϕ= C tanϕ= D tan

2

ϕ=

Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C Gọi H trung điểm AB Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABC) AB=SH =a Tính cosin góc α tọa hai mặt phẳng

(SAB) (SAC)

A cos

α= B cos

3

α = C cos

3

α = D cos

3

α=

Câu 23 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Nếu hình hộp có hai mặt hình vng hình lập phương

B Nếu hình hộp có ba mặt chung đỉnh hình vng hình lập phương

C Nếu hình hộp có bốn đường chéo hình lập phương

D Nếu hình hộp có sau mặt hình lập phương

Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA=x vng góc với mặt phẳng (ABCD) Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với góc 60 0

A

2

= a

x B x=a C x=2 a D

= a

x

Câu 25 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với hai mặt phẳng cắt cho trước

B Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với

C Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với

D Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước

Câu 26 Cho hai mặt phẳng ( )P ( )Q song song với điểm M không thuộc ( )P ( )Q Qua M có mặt phẳng vng góc với ( )P ( )Q ?

A Vô số B C D 2

= =

AD CD a Cạnh bên SA=a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng

(SBC) (ABCD) Mệnh đề sau đúng?

A ϕ =30 0 B ϕ=45 0 C ϕ=60 0 D tan 2.

2

ϕ=

Câu 28 Cho tứ diện SABC có SBC ABC nằm hai mặt phẳng vng góc với Tam giác

SBC đều, tam giác ABC vuông A Gọi H, I trung điểm BC AB Khẳng định sau sai?

A SH ⊥AB B HI⊥ AB C (SAB) (⊥ SAC) D (SHI) (⊥ SAB)

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SC Tính góc ϕ hai mặt phẳng (MBD) (ABCD)

A ϕ = °45 B ϕ= °30 C ϕ= °90 D ϕ= °60

Câu 30 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng

B Góc mặt phẳng ( )P mặt phẳng ( )Q góc nhọn mặt phẳng ( )P mặt phẳng ( )R mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng ( )R ( ) ( )Q ≡ R

C Góc hai mặt phẳng ln góc tù

D Góc mặt phẳng ( )P mặt phẳng ( )Q góc mặt phẳng ( )P mặt phẳng ( )R mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng ( )R

ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B C D C C A A B D D D A B B C

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

C A C A B B D B B A A D C A D

§5 KHOẢNG CÁCH

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

I Khoảng cách từ điểm đền đường thẳng, đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M đến mặt

phẳng ∆

Cho điểm M đường thẳng ∆ Khoảng cách hai điểm M H gọi khoảng cách từđiểm M đến đường thẳng ∆, với H hình chiếu M lên ∆ Kí hiệu d(M; ∆) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) khoảng cách hai điểm M H, với H hình chiếu vng góc M lên (P) Kí hiệu d(M,(P))

M

H

H M

P

II Khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song

1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng

(P) song song với a khoảng cách từ điểm thuộc a tới mặt phẳng(P) Kí hiệu d(a,(P))

P H K

B A a

2 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiêu d((P);(Q)) Nghĩa :

(( );( )) ( ,( ) ,) ( )

d P Q =d M Q ∀ ∈M P hay

(( ),( )) ( ,( ) ,) ( )

d P Q =d N P ∀ ∈N Q

K H

B A

Q P

III Đường vng góc chung khoảng cách hai đường thẳng chéo

1 Định nghĩa

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng chéo

nhau a, b vng góc với

đường thẳng gọi đường vng

góc chung a b

- Nếu đường vng góc chung c cắt hai

đường thẳng chéo a, b I, J độ dài đoạn thẳng IJ gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b

2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo

- Khoảng cách hai đường thẳng chéo

nhau độ dài đường vng góc chung

của hai đường thẳng

- Khoảng cách hai đường thẳng chéo

nhau khoảng cách

hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại

- Khoảng cách hai đường thẳng chéo

nhau khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng

J I

b a c

Các dạng toán

Tính khoảng cách từđiểm Eđến mặt phẳng (P), kí hiệu d E P( ,( )) E

P

1 Mặt phẳng (P) không chứa đường cao SH

Bước Dựng d H P( ,( ))

Xác định giáo tuyến ∆ =( ) (Đáy)P ∩ Từđiểm H kẻHM ⊥ ∆ nối SM

Kẻ HK⊥SM

Suy ra: d H P( ,( ))=HK

E

K M H

S

Đáy

P Bước Tính d E P( ,( )) thông qua HK kĩ thuật đổi điểm

Trường hợp EH|| ( )P

K H E

P

Ta có: d E P( ,( ))=HK

Trường hợp EH∩( )P =I

I K

H E

P ( ,( ))

( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))

d E P IE IE

d E P d H P d H P = IH IH

⇒ =

2 Mặt phẳng (P) chứa đường cao SH

K E

H S P

Đáy

Xác định giao tuyến ∆ =( ) (Đáy)P ∩ Kẻ EK ⊥ ∆ Suy d E P( ,( ))=EK

Dạng 2: Xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo

PP: Để xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo a b, ta thực hiện: Cách 1: Áp dụng cho trường hợp a⊥b

- Dựng mặt phẳng (P) chứa b ( )P ⊥a A

- Dựng AB⊥b B Khi d a b( ; )=AB

a

b A

B

P

Cách 2:

- Dựng mặt phẳng (P) chứa b ( ) / /P a

- Chọn điểm M a, dựng MH ⊥( )P H - Từ H, dựng a'/ /a, cắt b B

- Từ B, dựng đường thẳng song song với MH

cắt a A Khi d a b( ; )=AB a'

a

b

H B

M A

P Cách

- Dựng mặt phẳng (P) vng góc với a O - Dựng hình chiếu b' b (P)

- Dựng hình chiếu vng góc H O b'

- Từ H dựng đường thẳng song song với acắt

b B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH

cắt atại A Khi d a b( ; )=AB

a

b

b' B

P

B BÀI TẬP

Bài 5.1 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)

HD Giải Khoảng cách từđiểm S tới mặt đáy (ABC)

độ dài đường cao SH hình chóp tam giác

đều

2 2

SH =SA −AH

Gọi I=AH∩BC, ta có

2 3. 3

3

a

AH = AI = =a

Do đó: SH2 =SA2−AH2 =4a2−3a2 =a2

Vậy: d S ABC( ,( ))=SH=a

H

C

I B

K A

S

Bài 5.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = 2a, BC = a Các cạnh bên

hình chóp a Tính khoảng cách từđiểm S đến mặt phẳng (ABCD) HD Giải

Vì SA=SB=SC=SD=a Nên hình chiếu S lên mặt

phẳng (ABCD) điểm H

Mà HA = HB = HC = HD Do ABCD hình chữ nhật nên

H =AC∩BD

Do vậy: d(S,(ABCD)) = SH

Ta có:

2

2 2

4 AC

SH =SA −AH =SA −

2

2

4

AB BC

SA +

= −

2 2

2

2

4

a a a

a +

= − = Vậy:

2 a SH=

H

C

B A

D S

Bài 5.3. Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác cạnh a, SA⊥(ABC) SA=a Gọi E trung điểm AB F điểm AB cho FA=2FB.Tính d B SAC( ,( )); ( ,(d E SBC)); ( ,(d F SBC))

HD Giải a) d B SAC( ,( )) ?=

Ta có:  ∈ 

∩ = ⇒ = =



 ⊥



( )

3

( ) ( ) ( ,( ))

2

B ABC

a

ABC SAC AC d B SAC BN

Keû BN AC

b) d E SBC( ,( )) ?=

Trước tiên, dựng d A SBC( ,( )):

Ta có:  ∈ 

∩ =



⇒ =



⊥ 

 ⊥ ⊥



( )

( ) ( ) ( ,( ))

,

A ABC

ABC SBC BC

d A SBC AK

Keû AM BC

SM BC AK SM

K

N

F

E M

C

B A

Ta có: =

2 a

AM , SA=a 2, = =

+

2

66

11

SA AM a

AK

SA AM

Sau đó, đổi điểm E cho A Ta có: ∩( )= , =

2

BE

AE SBC B

BA

Do đó: ( ,( ))=1 ( ,( ))= 66

2 22

a

d E SBC d A SBC

c) d F SBC( ,( )) ?= Ta có: d F SBC( ,(( ,( ))))=BF =13

d A SBC BA Suy ra: =

1

( ,( )) ( ,( ))

3

d F SBC d A SBC = 66

33 a

Bài 5.4. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Cạnh SA⊥(ABCD)

=

SA a Tính

a) d O SAD( ,( )) b) d A SCD( ,( )) c) d O SCD( ,( ))

d) d A SBC( ,( )) e) d O SBC( ,( )) f) d C SAB( ,( ))

HD Giải

a) ( ,( ))= =

2

a

d O SAD OF b) ( ,( ))= =

3 a

d A SCD AK

c) ( ,( ))=1 ( ,( ))=

2

a

d O SCD d A SCD

d) ( ,( ))= =

3 a

d A SBC AH

e) ( ,( ))=

6 a d O SBC

f) d C SAB( ,( ))=CB=a

H

K

F

O

D

C B

A S

Bài 5.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD) SA = a Tính

khoảng cách hai đường thẳng chéo SC BD

HD Giải

Gọi O tâm hình vng ABCD Trong mặt phẳng (SAC) vẽ

OH ⊥SC

Ta có: BD AC BD (SAC)

BD SA



⊥ ⇒

⊥ 

⊥  mà OH⊂(SAC) BD OH

⇒ ⊥

Vậy OH đoạn vng góc chung SC BD

Độ dài đoạn OH khoảng cách hai đường thẳng chéo SC BD

Mặt khác, ta có hai tam giác vng SAC OHC đồng dạng có

chung góc nhọn C

H

C

B O

D

A S

Do SA OH( sin )C OH SA OC

SC = OC = ⇒ = SC

Ta có , 2, 2 3

2 a

SA=a OC= SC= SA +AC =a Vậy:

2

6

2

6 a

a a

OH a

= =

Bài 5.6 Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính khoảng cách hai cạnh đối diện tứ diện HD Giải

Gọi I, K trung điểm cạnh AB CD Ta có IC = ID IC, ID hai trung tuyến hai tam giác

Do IK ⊥CD

Tương tự, ta có IK⊥AB

Vậy IK đường vng góc chung hai cạnh đối diện tứ

diện AB CD

Như vậy: d(AB, CD) = IK

Xét tam giác vuông IKC, ta có

2 2

2 2

4 4

a a a

IK =IC −KC = − = Vậy : ( , )

2

a

d AB CD =IK =

K

B

C I

A

D

Bài 5.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, cạnh SA⊥(ABCD) SA = a Gọi I trung điểm cạnh SC M trung điểm AB

a) Chứng minh rằng: IO⊥(ABCD)

b) Tính khoảng cách từđiểm I đền đường thẳng CM HD Giải

a) Ta có: ( ) ( )

/ /

SA ABCD

OI ABCD

OI SA



⊥ ⇒ ⊥

 

b) Trong mặt phẳng (ICM) ta dựng

( )

IH⊥CM H∈CM Trong mp (ABCD)

dựng OH ⊥CM

Từđó suy CM ⊥(OHI)⇒CM ⊥HI

Do d(I, SC) = IH

Xét tam giác vng HOI, ta có

2 2

IH =IO +OH

Mặt khác, ta có

2

SA a

OI= =

Gọi N giao điểm MO với cạnh CD Hai tam giác vuông

MHO MNC đồng dạng nên

2 2

5

a a

OH OM CN OM a

OH

CN = MC⇒ = MC = a = Vậ

y d(I, SC) = IH = 30

10 a

I

D

N C O

H B

M A

S

Bài 5.8 Cho tam giác ABC với AB = 7cm, CA = 8cm, BC = 5cm Trên đường thẳng vng góc với mặt

phẳng (ABC) A lấy điểm O cho AO = 4cm Tính d(O, BC) = ?

HD Giải Ta dựng AH ⊥BC H

Ta có OA⊥ AH⊂(ABC) nên AH hình chiếu

vng góc OA lên mp(ABC)

Suy ra: OH ⊥BC theo định lí ba đường vng

góc

Do d(O, BC) = OH = OA2+AH2

Với OA = 4cm, theo cơng thức Hê-rơng, ta có

( )( )( )

ABC

S∆ = p p a p b p c− − −

10(10 5)(10 7)(10 8) 10

= − − − =

(đvdt)

Và

2

ABC

S∆ = AH BC

2 20 4 3

5

S AH

BC

⇒ = = = (cm)

Vậy d(O, BC) = OH = OA2+AH2 =

(cm)

C H B A

O

Bài 5.9. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD) SA = a Xác định

đoạn vng góc chung tính khoảng cách cặp đường thẳng sau:

HD Giải

a) Ta có BC AB BC (SAB)

BC SA



⊥ ⇒

⊥ 

⊥  Suy

BC⊥SB

Mặt khác BC⊥DC Do BC đoạn vng góc

chung SB CD

Vậy d SB CD( ; )=BC=a

b) Ta có AO⊥SA SA⊥(ABCD)

AO⊥BD

Vậy AO đoạn vng góc chung SA BD

và ( ; )

2 a

d SA BD =AO=

c) Ta có AD SA AD (SAB)

AD AB



⊥ ⇒ ⊥



⊥  Suy

AD⊥SB

Trong mặt phẳng (SAB), từ A dựng AH⊥SB,

đó AH đoạn vng góc chung SB AD

Vậy ( ; )

2 a

d SB AD = AH=

d) Ta có BD SA BD (SAC)

BD AC



⊥ ⇒

⊥ 

⊥  (*)

Trong mặt phẳng (SAC), từ O dựng OM⊥SC

từ (*) suy OM ⊥BD Khi OM đoạn

vng góc chung SC BD Vậy

( ; )

d SC BD =OM

Ta có

6

OM OC SA OC a

OM

SA = SC ⇒ = SC =

M O

H

D C

B A

S

Bài 5.10 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a gọi G trọng

tâm tam giác đáy ABC

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABC)

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SG

HD Giải a) SG trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên

( )

SG⊥ ABC

Do d S ABC( ,( ))=SG

Ta có ( )

2

2 2 2 3

3

a

SG SA AG a a

  

= − = −   =

  

 

Vậy

( ,( ))

d S ABC =SG=a

b) Ta có CG⊥AB H SG⊥GH nên GH đoạn vng

góc chung AB SG

Vậy d AB SG( ; )=GH

Ta có

3

GH= HC mà 3

2 a

HC= nên

2 a

HG=

G I

C

B H A

S

Bài 5.11. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt bên hình vng cạnh a Tính khoảng cách

giữa A’B B’C’

HD Giải Ta có B’C’ // BC Suy B’C’ // (A’BC)

Do d(AB’; B’C’) = d(B’C’;(A’BC))

Gọi D, F trung điểm BC B’C’ Khi d(B’C’;(A’BC)) = d(F; (A’BC))

Ta lại có ' ' ' ' ( ' )

' ' '

B C FD

B C A DF

B C A F



⊥ ⇒

⊥ 

⊥  Suy BC⊥( 'A DF)

vì BC // B’C’

Trong mặt phẳng (A’DF), dụng đường cao FH ⊥A D'

Khi FH ⊥BC BC ( ⊥( 'A DF)) Vậy FH ⊥( 'A BC) Do

( ;( ' ))

d F A BC =FH

Trong tam giác vng A’FD, ta có

2 2

1 1

'

FH = A F +FD 2

1

3

2

a a

a

= + =

 

 

 

 

Suy 21

7 a

FH = Vậy khảng cách hai đường thẳng A’B

B’C’ 21

7

a

A'

H

B' F

C'

C D B A

Bài 5.12. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, góc BB’ BB’ = a với mặt phẳng (ABC) 600

0

60

BAC= Hình chiếu điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính

khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ

HD Giải

Gọi D trung điểm AC G trọng tâm tam giác ABC

Ta có B G' ⊥(ABC)⇒B BG' =600

Vì (ABC) // (A’B’C’) nên d((ABC);(A’B’C’)) = B’G

Do ' '.sin600

2

a

B G=BB = Vậy khoảng cách hai mặt đáy

lăng trụ

2 a

G

A' B'

C'

C A D 600

a

B

Bài 5.13. Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a BAD=BAA'=DAA' 60=

Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy (ABCD) (A’B’C’D’)

HD Giải

Từ giả thuyết suy tam giác A’AD, BAD, A’AB tam

giác cân có góc ởđỉnh 600 nên chúng tam

giác

Như tứ diện A’ABD tứ diện

Khi hình chiếu điểm A’ mặt phẳng (ABCD)

trọng tâm tam giác ABD

Vì (ABCD) // (A’B’C’D’)

(( );( ' ' ' '))

d ABCD A B C D

⇒ =d A( ';(ABCD))=A H'

Trong tam giác vng AHA’, có

2 2

' '

A H =AA −AH

2

2

3

a a

a  

= −  =

 

6 '

3

a A H

⇒ =

H B

A D

C D'

C' B'

A'

Bài 5.14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác ABCD nội tiếp đường trịn đường

kính AD=2a có SA⊥(ABCD) SA=a

b) Tính khoảng cách từđường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) HD Giải a) Vì ABCD nửa lục giác nội tiếp

đường trịn đường kính AD=2a nên ta có:

/ /

AD BC AB=BC=CD=a, đồng thời

, ,

AC⊥CD AB⊥BD AC=BD=a

Như CD AC CD (SAC)

CD SA  ⊥ ⇒ ⊥  ⊥ 

Trong mặt phẳng (SAC) dựng AH ⊥SC H Ta

có AH ⊥CD AH⊥SC nên AH ⊥(SCD)

Vậy d A SCD( ,( ))=AH

Xét tam giác SAC vng A có AH đường

cao, ta có:

( ) ( )

2 2 2

1 1 1

2

6

AH = SA + AC = a + a = a

Vậy AH2=2a2⇒AH =a

b) Gọi I trung điểm AD ta có BI // CD nên BI song song với mặt phẳng (SCD) Từđó suy

( ;( )) ( ;( ))

d B SCD =d I SCD

Mặt khác, ta có AI cắt (SCD) D nên

1

( ;( )) ( ;( ))

2 2

a

d I SCD = d A SCD = a =

Vì AD // BC nên AD // (SBC) Do

( ;( )) ( ;( ))

d AD SBC =d A SBC

Dựng đường thẳng Ad⊥BC E

( )

BC SAE

⇒ ⊥

Trong mặt phẳng (SAE) dựng AF⊥AE F

Ta có AF AE AF (SBC)

AF BC  ⊥ ⇒ ⊥  ⊥ 

Vậy AF =d A SBC( ;( ))

Xét tam giác vuông AEB, ta có

0

.sin sin 60 a

AE=AB ABE=a =

Xét tam giác SAE vng A, ta có

( )

2 2 2

1 1 1

6

6

2

AF =SA +AE = a +a  = a

      Do

2 6

9

a a

AF = ⇒AF= Vậy

6 ( ;( ))

3 a

d AD SBC =

F d H I D C B E A S

Bài 5.15 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh 7a, có cạnh SC = 7avà

( )

SC⊥ ABC

a) Tính góc hai đường thẳng SA BC

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA BC

HD Giải

a) Gọi H trung điểm BC Qua A vẽ AD song song với BC

HC

Khi đó: BC // DA nên ( ,SA BC) ( ,= SA DA)=SAD

Ta có: AHCD hình chữ nhật nên ta có CD⊥DA

Theo định lí ba đường vng góc, ta có SD⊥DA

Do đó:

7 2 cos a AD HC SAD

SA SA a

= = = = Vậy : SAD≈69 17'0

B H A D K C S

b) Vì BC // AD nên BC // (SAD) Do d(SA, BC) = (BC, (SAD)),(SA⊂(SAC))

Trong tam giác SCD, ta dựng CK⊥SD⇒CK⊥(SAD) Như CK = d(BC,(SAD))

Xét tam giác vuông SCD, ta có

( )

2 2 2

1 1 1

21

7 7 3

2

CK =SC +CD = a + a  = a

 

 

 

(vì

2

BC a

CD=AH = = ) Vậy: CK=a 21

Bài 5.16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O, có cạnh AB = a Đường cao SO

của hình chóp vng góc với mặt đáy (ABCD) có SA = a

Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB chéo

HD Giải

Vì AB // CD nên AB // (SCD) Do khoảng cách hai đường

thẳng SC AB chéo khoảng cách AB

mp(SCD) chứa SC song song với AB

Gọi I, K trung điểm AB CD ta có O trung

điểm IK IK ⊥CD

Do đó: d(AB,(SCD)) = d(I, (SCD)) = 2d(O,(SCD))

Ta có: CD SO CD (SOK)

CD OK



⊥ ⇒

⊥ 

⊥ 

(SCD) (SOK),(OK (SOK))

⇒ ⊥ ⊂

Trong tam giác vuông SOK, dựng OH⊥SK nên OH ⊥(SCD)

Do đó: OH = d(O,(SCD))

Khi đó: 12 12 12 12 2 52

2

OH =OS +OK = a + a =a

   

5 a OH

⇒ =

Vậy: d(SC, AB) = d(AB, (SCD)) = 2d(O,(SCD)) = 2

5 a

OH =

O

H

D

K C B

I A

S

Bài 5.17 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên a

a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD)

b) Tính khoảng cách đường thẳng AB mp(SCD)

c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC

HD Giải

a) Gọi H giao điềm AC BD Do S.ABCD hình chóp nên SH⊥(ABCD)

d(S,(ABCD)) = SH

Ta có: Tam giác SAC tam giác đều, nên

3

2

2

a

SH=a =

b) Gọi E, F trung điểm AB CD

Ta có d(AB,(SCD)) = d(E,(SCD)) = EK (EK

đường cao tam giác SEF)

Hai tam giác vuông SHF EKF có chung góc F nên chúng đồng dạng

Do đó: EK EF EK SH EF

SH = SF ⇒ = SF

2

6

42

2

7

4

a

a a

EK

a a

= =

+

c) Vì AB SC chéo nhau, AB // mp(SCD)

nên

d(AB,SC) = d(AB, (SCD)) = EK = 42

7 a

K

C

F H

D A

E B

S

Bài 5.16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a BC, =a Cạnh

( )

SA⊥ ABCD SA=a

a) Chứng minh mặt bên hình chóp cho tam giác vng

b) Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD)

c) Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD)

d) Gọi M, N lầ lượt hình chiếu A lên cạnh SB SD CMR: SC⊥(AMN)

e) Tính khoảng cách từđường thẳng AD đến mặt phẳng (SAB)

HD Giải

a) Tự chứng minh

b) Ta có:

(SCD) (ABCD) CD

AD DC SDA

SD DC



∩ =



⊥ ⇒



⊥ 

góc

hai mặt phẳng (SCD) (ABCD)

Tam giác SAD vuông A, nên

0

3

tan 30

3

SA a

SDA SDA

AD a

= = = ⇒ = c) Ta

có AC hình chiếu SC lên mp(ABCD) nên

SCA góc đường thẳng

SC với mp(ABCD) Tam giác SAC vuông

A

Do tan 26 33'0

2 SA

SCA SCA

AC

= = ⇒ ≈

d) Ta có BC AB BC (SAB)

BC SA



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

Từđó suy BC⊥ AM, mà SB⊥AM

Nên AM ⊥(SBC) Do AM⊥SC

Tương tự ta có : AN ⊥SC

Vậy SC⊥(AMN) e) d(AD,(SAB)) = AM

Ta có: Tam giác SAB tam giác vng cân

tại A vầ SB=a nên

2

SB a

AM = =

O

B C

D A

N M

S

BÀI TẬP TRĂC NGHIỆM

Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA=a vng góc với mặt đáy (ABC) Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

A =a

d B d=a C

5 = a

d D 15

5 = a

d

Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB=3a, BC=4a Cạnh bên SA

vuông góc với đáy Góc tạo SC đáy 600 Gọi

M trung điểm AC, tính khoảng cách d hai đường thẳng AB SM

A 10 79

= a

d B d =5a C

2 = a

d D d =a

Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD hình vng cạnh a 2, AA' 2= a Tính khoảng cách d hai đường thẳng BD CD'

A 5 = a

d B

5 =a

d C d=a D d=2 a

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 10 Cạnh bện SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SC=10 Gọi M N, trung điểm SA CD Tính khoảng cách d BD MN

A d = B d=5 C d=10 D d =3

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng với

2 =a

AC Cạnh bên SA vng

góc với đáy, SB hợp với đáy góc 600 Tính khoảng cách d hai đường thẳng AD SC

A =a

d B

4 =a

d C

2 = a

d D

2 = a

d

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy, góc =600

SBD Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB SO

A 3 =a

d B

4 =a

d C 2 = a

d D

5 = a

d

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Tính khoảng cách d từ A đến (SCD)

A d=1 B d= C 3 =

d D 21

7 =

d

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BD

A 21 =a

d B d=a C 21

14 = a

d D

2 =a

d

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AC =2 , a BC=a Đỉnh S cách điểm A B C, , Tính khoảng cách d từ trung điểm M SC đến mặt phẳng (SBD)

A d=a B =a

d C d =a D

4 = a

d

Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với

,

= = =

AB BC a AD a Cạnh bên SA=a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách d

từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

A d=a B =a

d C d=2 a D

5 = a

d

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên hình chóp 2a Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)

A 2 =a

d B

30 = a

d C 30 = a

d D = a

d

Câu 12 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 1, cạnh bên hợp với mặt đáy góc

0

60 Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)

A =

d B 42

14 =

d C

2 =

d D

2 =

d

Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB=a AC, =a Tam giác

SBC nằm mặt phẳng vng với đáy Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC)

A 39 13 =a

d B d=a C 39

13 = a

d D

2 = a

d

Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh có độ dài 2a Hình chiếu

vng góc A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H BC Tính khoảng cách d hai đường thẳng BB' A H'

A d=2 a B d=a C

2 = a

d D

3 = a

d

Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB=a Cạnh bên SA=2a vng góc với mặt đáy (ABCD) Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)

A 3 = a

d B

3 =a

d C 10

2 = a

d D d=a

góc với đáy, SA= AB=BC=1, AD=2 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)

A =

d B

5 =

d C

3 = a

d D d=1

Câu 17 Cho hình chóp S ABC có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Cạnh bên SA=2a vng góc với mặt đáy (ABCD) Gọi H K trung điểm cạnh BC CD Tính khoảng cách hai đường thẳng HK SD

A

a B

a C 2

a D

2 a

Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD=2AB=2a Cạnh bên

2 =

SA a vng góc với đáy Gọi M N, trung điểm SB SD Tính khoảng cách

d từ S đến mặt phẳng (AMN)

A d =a B = a

d C d=2 a D

2 = a

d

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy, SB hợp với mặt đáy góc 60° Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

A d=a B d =a C

2 = a

d D

2 =

d

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D với AB=2a,

= =

AD DC a Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với đáy Góc SC mặt đáy

0

60 Tính khoảng cách d hai đường thẳng AC SB

A 15 = a

d B d=2 a C d=a D

2 =a

d

Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a AD, =2a Cạnh bên SA

vuông góc với đáy, góc SD với đáy 60 0 Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng

(SBD) theo a

A =

d B

5 = a

d C

2 = a

d D

2 = a

d

Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh Đường thẳng

SO vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SO= Tính khoảng cách d hai đường thẳng

SA BD

A d= B d=2 C 30

5 =

d D d=2

Câu 23 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC); góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 600 Gọi

M trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC)

A =a

d B d =a C 39

13 = a

d D d=a

Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Tam giác ABC đều, hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 300 Tính khoảng cách d từ

B đến mặt phẳng (SCD)

theo a

A d =a B 21 21 = a

d C 21

7 = a

d D d=a

Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh 4a Cạnh bên

2 =

SA a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H đoạn

thẳng AO Tính khoảng cách d đường thẳng SD AB

A d=4 a B 22

11 = a

d C

11 = a

d D d=2 a

Câu 26 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 21

6

a

Tính khoảng cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)

A = a

d B

4 =

d C

6 = a

d D

4 = a

d

Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AD=2BC,

3

= =

AB BC a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi E trung điểm cạnh

SC Tính khoảng cách d từ điểm E đến mặt phẳng (SAD)

A d = B d =a C

2 =

d D

2 = a

d

Câu 28 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh Tính khoảng cách d từ điểm A đến

mặt phẳng (BDA')

A 2 =

d B

3 =

d C

4 =

d D d =

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Cạnh bên SA=a vng góc với đáy (ABCD) Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)

A =a

d B d =a C

2 = a

d D d =a

Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Cạnh bên 15

2 =a

SA

và vng góc với mặt đáy (ABCD) Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC) A 285

19 =a

d B 285

38 =

d C 285

38 = a

d D

2 = a

d

ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

D A A A B D D A D B C B C B A

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

ÔN TẬP CHƯƠNG III QUAN HỆ VNG GĨC

BỔ SUNG KHOẢNG CÁCH

I Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Tính khoảng cách từđiểm Eđến mặt phẳng (P), kí hiệu d E P( ,( ))

E

P

1 Mặt phẳng (P) không chứa đường cao SH Bước Dựng d H P( ,( ))

Xác định giáo tuyến ∆ =( ) (Đáy)P ∩ Từđiểm H kẻHM ⊥ ∆ nối SM Kẻ HK ⊥SM

Suy ra: ( ,( ))d H P =HK

E

K

M H

S

Đáy

P

Bước Tính d E P( ,( )) thông qua HK kĩ thuật đổi điểm Trường hợp EH|| ( )P

K H E

P

Ta có: d E P( ,( ))=HK

Trường hợp EH∩( )P =I

I K

H E

P

( ,( )) ( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))

d E P IE IE

d E P d H P d H P = IH ⇒ = IH Mặt phẳng (P) chứa đường cao SH

K E

H S P

Đáy

Xác định giao tuyến ∆ =( ) (Đáy)P ∩

Kẻ EK ⊥ ∆ Suy d E P( ,( ))=EK

Các ví dụ

Bài Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác cạnh a, SA⊥(ABC) SA=a Gọi E trung

điểm AB F điểm AB cho FA=2FB Tính d B SAC( ,( )); ( ,(d E SBC)); ( ,(d F SBC))

HD Giải

a) d B SAC( ,( )) ?=

Ta có:  ∈  ∩ = ⇒ = =   ⊥  ( ) ( ) ( ) ( ,( )) B ABC a

ABC SAC AC d B SAC BN

Keû BN AC

b) d E SBC( ,( )) ?=

Trước tiên, dựng d A SBC( ,( )):

Ta có:  ∈  ∩ =  ⇒ =  ⊥   ⊥ ⊥  ( ) ( ) ( ) ( ,( )) , A ABC

ABC SBC BC

d A SBC AK Keû AM BC

SM BC AK SM

Sau đó, đổi điểm E cho A Ta có:

∩( )= , =1

2

BE

AE SBC B

BA

Do đó: ( ,( ))=1 ( ,( ))= 66

2 22

a d E SBC d A SBC

K N F E M C B A S

Ta có: AM= a23, SA=a

= =

+

2

66

11

SA AM a

AK

SA AM

c) d F SBC( ,( )) ?= Ta có:

= =

( ,( )) ( ,( ))

d F SBC BF

d A SBC BA Suy ra:

=1

( ,( )) ( ,( ))

d F SBC d A SBC = 66

33

a

Bài 2. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Cạnh SA⊥(ABCD)

=

SA a Tính

a) d O SAD( ,( )) b) d A SCD( ,( )) c) d O SCD( ,( )) d) d A SBC( ,( )) e) d O SBC( ,( )) f) d C SAB( ,( ))

HD Giải

a) ( ,( ))= =

2

a

d O SAD OF b) ( ,( ))= =

3

a d A SCD AK

c) ( ,( ))=1 ( ,( ))=

2

a

d O SCD d A SCD

d) ( ,( ))= =

3

a

d A SBC AH e) ( ,( ))=

6

a d O SBC

f) d C SAB( ,( ))=CB=a

H K F O D C B A S

Bài 3. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính d A SCD( ,( ))

HD Giải

Trước tiên: d H SCD( ,( ))

Ta có:  ∈ ∩ =

⊥ ⊥



( ),( ) ( ) ,

H ABCD ABCD SCD CD

Keû HM CD HK SM

Suy ra: ( ,( ))= = 21

7

a d H SCD HK

Sau đó: Đổi A vềđiểm H, Ta có AH/ /(SCD)

Nên ( ,( ))= ( ,( ))= 21

7

a d A SCD d H SCD

Bài Cho hình chóp S ABCD , đáy hình vng cạnh a =3

2

a

SD Hình chiếu vng góc S

trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm AB Tính d A SBD( ,( )) HD Giải

Tính HD= a25 ,SH =a

= =

( ,( ))

3

a

d H SBD HK suy

= =2

( ,( )) ( ,( ))

a d A SBD d H SBD

K

M H

D

C B

A S

Bài Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′, có đáy tam giác cạnh AB=2a, hình chiếu vng góc

′

A mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm AB góc cạnh bên với mặt đáy 60 0

Tính d B ACC A( ,( ′ ′))

HD Giải

Ta có: ( ′,( )) 60=

AA ABC , A H′ =a 3, BI =a 3,

=12 = a23

HM BI

′ ′ = ′ = = 15

( ,( )) ( ,( ))

5

a

d H ACC A d H ACA HK

Suy ra: ( ,( ′ ′))= ( ,( ′ )) 2= =2 15

5

a d B ACC A d B AA C HK

K

I M A'

B'

C'

C

B H A

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SABlà tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính a) d A SBD( ,( )) b) d C SBD( ,( ))

HD Giải

a) Ta có: ( ,( )) 21

14

a d H SBD =AK = Do 2,

4

a a

HM= SH= ; ( ,( ))

( ,( ))

d H SBD BH d A SBD = BA =

21 ( ,( )) ( ,( ))

7

a d A SBD d H SBD

⇒ = =

b) d C SBD( ,( ))=d A SBD( ,( ))

O K

M H

D

C B

A S

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SABlà tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính a) d D SAC( ,( )) b) d B SAC( ,( ))

HD Giải

Gọi G trọng tâm tam giác ABD

Ta có: ( ,( )) ( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))

d D SAC DG

d D SAC d H SAC

d H SAC = IG = ⇒ =

Ta lại có: 3, 21

2 14

a BO a a

SH= HM = = ⇒HK =

Vậy ( ,( )) ( ,( )) 21

a d D SAC = d H SAC =

M G

O K

H

D

C B

A S

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a. Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính theo a khoảng cách từđiểm G đến mặt phẳng (SCD)

HD Giải

Gọi I trung điểm CD H tâm hình vng ABCD Ta có

2

2 2 2

;

2 2

a a a

HI = SH = SB −BH = a −  =

 

Xét tam giác vng SHI ta có:

2 2

1 1 6

6 a HK HK = SH +HI = a ⇒ = Gọi d1=d G SCD( ,( )), ta

có: 1

1

3

4

HK DH a

d HK

d = DG =

⇒ = =

S

D

C B

A

I K

H G

Bài 9. Cho hình chóp S ABCDcó đáy hình thoi tâm O, cạnh đáy a Biết SO⊥(ABCD), góc

0 60

ABC= khoảng cách từđiểm O đến mặt phẳng (SBC)

2

a

Tính SO SABCD

HD Giải

Gọi Hlà hình chiếu vng góc Otrên BC K hình chiếu vng góc Otrên SH Ta có:

( ,( )) ;

a

d O SBC =OK= sin300

2

a

OH =BO = Ta lại có: 12 12 12

4

a SO OK =OH +SO ⇒ =

2

2

ABCD ABC

S = S∆ = a

II Khoảng cách hai đường thẳng chéo

Cho hai đường thẳng chéo ∆ ∆1, Phương pháp tính d( , )∆ ∆1

Gọi ( )P chứa ∆2

Trường hợp 1. ∆ ⊥1 ( )P M Từ M, dựng MN ⊥ ∆2

N Suy ra: d( , )∆ ∆ =1 MN

Lưu ý: ( )P : có sẵn hình

MN : Đoạn vng góc chung ∆ ∆1,

∆2 ∆1

N M P

Trường hợp 2. ∆1|| ( )P

∆ ∆ = ∆1 =

( , ) ( ,( )) ( ,( ))

d d P d E P

Lưu ý: ( )P : có sẵn hình khơng có sẵn, phải dựng mặt

phẳng (P) ∆2

∆1

P

E

Các ví dụ

Bài 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Cạnh SA⊥(ABCD)

=

SA a Tính

a) d SC BD( , ) b) d SB AD( , ) c) d SB CD( , ) d) d SC AD( , ) e) d SB AC( , ) f) d SA BD( , )

HD Giải

a) d SC BD( , ) Ta có: BD⊥(SAC) O (DB⊥SC )

Từ O, kẻ OH ⊥SC⇒d BD SC( , )=OH Ta có: HCO ACS HO OC SA SC

∆ ∼∆ ⇒ =

2

2 30.

10

a a

SA OC a

OH

SC a

b) (d SB AD, ) Ta có: SB⊥ AD AD( ⊥(SBC)) Từ A kẻ AK ⊥SB Suy ra: (d SB AD, )= AK

2 2

3.

= = =

+ +

SA AB a a a

SA AB a a

c) (d SB CD, ) Ta có: CD|| (SAB)⇒d SB CD( , ) ( ,( ))

=d CD SAB =d D SAB( ,( ))=DA=a

d) (d SC AD, ) Ta có: AD|| (SBC)⇒d AD SC( , )

( ,( ))

d AD SBC

= (A,( ))

2

a

d SBC AK

= = = d I K J H O D C B A S

e) d SB AC( , ) Dựng ( )P chứa SB song song với AC Qua B, kẻ d AC|| ⇒( )P mp SB d( , )

Khi đó: d SB AC( , )=d AC P( ,( ))=d A P( ,( ))

Từ A, kẻ AI⊥d AJ⊥SI Suy d A P( ,( ))= AJ

Ta có: AIBO hình chữ nhật, nên

2

a AI=BO= ;

2

42

7

AI SA a AJ AI SA = = + 42 ( ,( )) a

d A P =

f) d SA BD( , )=AO(do SA⊥BD) ; g) d AB( ,SC)=AM, AM⊥SD

Bài 2. Cho hình chóp S ACBD có đáy hình chữ nhật, SA⊥(ABCD SA), =2 ,a AB a BC= , =2 a

Tính d SC BD( , )

HD Giải

( , )

d SC BD Dựng ( )P chứa SC song song với BD Qua C, kẻ d BD|| ⇒( )P mp SC d( , )

Khi đó: d SC BD( , )=d BD P( ,( ))=d B P( ,( ))

1

( ,( )) ( ,( ))

2

a

d O P d A P AK

= = = =

(Từ A, kẻ AM ⊥d AK ⊥SM)

I d K M O D C B A S

Bài Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD hình vuông tâm O SO⊥(ABCD) Biết ,

= =

AB a SO a Tính:

a) (d SC AB, ) b) ( ,d SA BD) c) (d SC BD, ) d) (d SB AC, )

HD Giải

a) (d SC AB, )=d Ab SCD( ,( ))=d A SCD( ,( )) Ta có: 2 ( ,( )) = = = +

OM SO a

d O SCD OK

OM SO

(hiểu: (SCD) (∩ ABCD)=CD, từ ,O OM ⊥CD kẻ ⊥

OK SM)

Ta lại có: ( ,( )) ( ,( ))= = d A SCD CA d O SCD CO

2 ( ,( )) ( ,( ))

5

⇒d A SCD = d O SCD = OK = a

b) ( ,d SA BD) Qua A, kẻ ||d BD Gọi ( ) ( , )P ≡ SA d Ta có: (d BD P,( ))=d B P( ,( ))=d O P( ,( ))

2

3.

= =

+

OA SO a OA SO I H d K M D C B A O S

c) (d SC BD, ) ( ,( )),= d O P với ( ) (P ≡ SC a a BD, ), ||

d) (d SB AC, ) Ta có: ( )

⊥

AC SOB , kẻ OI ⊥SB Suy ra: (d SB AC, )=OI

Bài 4. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA⊥(ABC), góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 60 ° Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB

HD Giải

Gọi I trung điểm AC Do ∆ABC đều nên ⊥

BI AC

Trong mặt phẳng (ABC), dựng hình bình hành AIBE

Ta có AIB=90° nên

AIBE hình chữ nhật

Do (SBE) chứa SB song song với AC nên ( ; )

d AC SB =d AC SBE( ;( ))=d A SBE( ;( ))

Ta có ⊥ 

⊥ 

BE AE

BE SA ⇒BE⊥(SAE)⇒BE⊥AH mà

⊥ AH SE

Suy AH ⊥(SAE) hay d(AC SB; )= AH

Theo đề bài, ( ,( ))= =60o

SB ABC SBA Suy tan 60

= o=

SA a a Mặt khác

2

= =a

AE BI

Trong tam giác SAE vng tại A ta có

2 2

1 1

= +

AH AS AE 2

1 3

= + =

a a a

Do đó 15

5

= a

AH Vậy ( ; ) 15

= a AC SB

d .

Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, cạnh bên SA vuông góc với

đáy Gọi M trung điểm SA (hình vẽ ) Biết hai đường thẳng CM SB hợp với góc 45 , khoảng cách hai đường thẳng CM SB bao nhiêu?

HD Giải

Gọi N trung điểm AB ⇒MN SB// MN = SB

Do ∆ABC tam giác có cạnh ; CN AB CN

⇒ ⊥ =

Khi CN SA CN (SAB) CN MN CN AB

⊥



⇒ ⊥ ⇒ ⊥



⊥

 hay ∆CNM tam giác

vuông

Do MN SB// ⇒CMN góc tạo hai đường thẳng CM

45

SB⇒CMN =

CNM

∆ tam giác vuông cân

2

N⇒MN =CN= ⇒ SB=2MN =

Xét ∆SAB vuông A⇒SA= SB2−AB2 = ( )3 2− =1

Gọi

3

SA AB AH SB AH SB SA AB AH

SB

⊥ ⇒ = ⇒ = =

Do SB MN//( )

MN CMN

 

⊂

 SB//(CMN)

⇒ suy khoảng cách giữa hai đường

thẳng SB CM khoảng cách từ SB đến (CMN) ( ;( ))

2

d SB CMN AH

⇒ = = =

SC tạo với đáy góc 60 G0 ọi M trung điểm BC, N điểm AD cho DN=a Tính khoảng cách hai đường thẳng MN SB

HD Giải

Lấy K∈AD AK: =a⇒AK/ /MN ⇒MN/ /(SBK) ( , ) ( ,( )) ( ,( ))

d MN SB =d MN SBK =d N SBK 285

2 ( ( )) 19 a d A SBK AH

= = =

( 12 = 12 + 12 = 12 + 12 + 12

AH SA AE SA AB AK )

Bài 7. Chho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy avà góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 60 Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC,khoảng cách hai đường thẳng GC SA bao nhiêu?

HD Giải

Vẽ hình chữ nhật AEGF Ta có: CG/ /(SAF)

Do đó: d GC SA( , )=d GC SAF( ,( ))=GH(Hlà hình chiều vng góc Glên SF) Ta có: tan 600 ;

2

a SG=AG =a GF= ;

2

5

GF SG a

GH

GF SG

= =

+

Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h hai đường thẳng SB AC

HD Giải

Gọi H trung điểm cạnh AB ⇒SH ⊥ AB Kết hợp giả thiết (SAB) (⊥ ABC) suy SH⊥(ABC)

Dựng hình bình hành ACBD, kẻ HK⊥BD (K∈BD), kẻ HI ⊥SK (I∈SK)

Ta có

( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

// , , ,

AC SBD ⇒d SB AC =d AC SBD =d A SBD Ta

có AH∩(SBD)=Bvà AB=2.HBsuy ( )

( , ) ( ,( ))

d A SBD = d H SBD ( )1 Ta có BD HK

BD SH ⊥

 

⊥



( ) BD SHK

⇒ ⊥

BD HI

⇒ ⊥ mà HI ⊥SK

( ) HI SBD

⇒ ⊥ ⇒d H( ,(SBD))=HI ( )2

Tính HI dựa vào tam giác vng SHK có đường cao HI, với

2

a

SH = ; a HK =

Theo công thức

2 2 2

1 1 16 28

3

HI = HK +HS = a +a = a 21

14

HI a

⇒ =

( )3 Từ ( ) ( ) ( )1 , , suy

( , ) 21 d SB AC = a

BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG III

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O

2

SA=SB=SC=SD=a Gọi I, J trung điểm AD BC a) Chứng minh rẳng SO⊥(ABCD)

b) Chứng minh (SIJ) (⊥ SBC)

c) Tính khoảng cách từđiểm O đến mặt phẳng (SBC)

d) Tính góc cạnh bên mặt đáy, mặt bên mặt đáy e) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB

f) Mặt phẳng α chứa SI α⊥BCcắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện

đó

HD Giải

a) Ta có SA=SB=SC=SD=a ABCD hình vng nên AC=BD=a

Do hai tam giác SAC SBD hai tam giác đều, từđó ta có:

( )

SO AC

SO ABCD

SO BD



⊥ ⇒

⊥



⊥ 

b) Ta có BC IJ BC (SIJ)

BC SO



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

Mà BC⊂(SBC) Suy (SIJ) (⊥ SBC)

O

K H

B J C D

I A

S

c) Trong mặt phẳng (SIJ) dựng OH ⊥SJ Khi OH ⊥BC(vì BC⊥(SIJ)) Suy OH ⊥(SBC) hay d O SBC( ;( ))=OH

Xét tam giác vuông SOJ, ta có 12 12 12 2 2 142

3

2

OH = SO +OJ =a  + a = a

   

   

 

42 14

a OH

⇒ = Vậy ( ;( )) 42

14

a d O SBC =

d) Tính góc cạnh bên mặt đáy

Ta có SO⊥(ABCD) nên OA hình hiếu SA mặt phẳng (ABCD) Vậy

0

( ,(SA ABCD))=SAO=60 ( tam giác SAC cạnh a 2) Tính tương tự với cạnh SB, SC, SD với mặt đáy(ABCD) Tính góc mặt bên với mặt đáy

Ta có (SAD) (∩ ABCD)= ADvà IJ ⊥AD, SI ⊥AD(Vì tam giác SAD cân S) Do ((SAD);(ABCD))=( , )SI IJ =SIO

Xét tam giác SIO, ta có

6

tan

2

a SO SIO

a OI

= = = ⇒SIO=acttan

Vậy ((SAD);(ABCD))=acttan

Tính tương tựđối với mặt cịn lại e) Ta có AD // BC nên AD // (SBC)

Suy d AD SB( ; )=d AD SBC( ;( ))=d I SBC( ;( ))

Xét hai tam giác đồng dạng JOH JIK, ta có 42

a

IK = OH = Vậy ( ; ) 42

a d AD SB =

f) Ta có BC⊥(SIJ) SI⊂α α, ⊥BC Suy α ≡(SIJ)hay thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng

α tam giác SIJ Vậy

2

1 . 1. 6.

2 2

SIJ

a a

S△ = SO IJ= a= (đvdt)

Bài 2, Cho hinh chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc BAD=600 Gọi O giao

điểm AC BD Đường thẳng SO vng góc với mp(ABCD)

4

a

SO= Gọi E trung điểm

đoạn BC, F trung điểm đoạn BE a) Chứng minh rằng: (SOF) (⊥ SBC)

b) Tính khoảng cách từ O A đến mp(SBC)

c) Gọi ( )α mặt phẳng qua AD vng góc với mp(SBC) Xác định thiết diện hình chóp với ( )α Tính diện tích thiết diện

d) Tính góc ( )α mp(ABCD)

HD Giải

a) Ta có A C= =600 nên tam giác BCD tam giác Như vậy:

/ /

DE BC

OF BC

OF DE



⊥ ⇒ ⊥

 

Mặt khác, ta có SO⊥(ABCD)⇒SO⊥BC

Ta suy ra: BC⊥(SOF), (SOF) (⊥ SBC)

b) Tính d(O,(SBC)) = ?

Trong mp (SOF) dựng OH ⊥SF OH ⊥(SBC)

Do d(O, (SBC)) = OH

Ta có: SO⊥OFnên tam giác SOF vuông O

2 2 2

2 2

1 1 1

2 16 16 64

8 9

OH OF OS DE OS

a OH

a a a

= + = +

 

 

 

= + = ⇒ =

Vậy d(O,(SBC)) =

8

a OH =

K H

O

C

I D

A

B F E

N M

S

Tính d(A,(SBC)) = ?

Gọi I=FO∩AD I,( ∈AD) Trong mp(SIF) dựng IK ⊥SF

Vì AD//(SBC) nên d(A,(SBC)) = d(I,(SBC)) = IK Ta có:

4

a IK = OH =

c) Ta có AD⊂( )α IK ⊥(SBC) nên ( )α mp(SDK)

Giao tuyến ( )α với mp (SBC) đường thẳng MN // BC ( MN qua K, với M SB N∈ , ∈SC) Ta xác định thiết diện hình thang ADNM 1( )

2

ADNM

S = MN+AD IK Ta có SK MN MN BC SK

SF = BC ⇒ = SF

Mặt khác, xét tam giác vng SOF ta tính

2

a

SF= xét tam giác vng SKI ta tính

3

a

SK= Do

2

a

MN= Vậy :

2

1( ). .3

2 2 16

ADNM

a a a

S = MN+AD IK=  +a =

  (đvdt)

d) Ta có:

( ) (ABCD) AD

IF AD KIF

IK AD

α ∩ = 



⊥ ⇒



⊥ 

là góc hai mặt phẳng ( )α mp(ABCD)

xét tam giác vuông IKF K, có

3

3

cos 30

2

a IK

KIF KIF

IF a

= = = ⇒ =

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, cạnh a có góc BAD=600,

3

a SA=SB=SD=

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) độ dài cạnh SC b) Chứng minh SB vng góc với BC

c) Chứng minh rằng: (SAC) (⊥ ABCD)

d) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD), tính tanϕ

HD Giải

a) Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) Khi d(S, (ABCD)) = SH

Ta có

2

a

SA=SB=SD= nên HA = HB = HD Vậy H trọng tâm tam giác ADB Xét tam giác vng SAH, ta có

2 2

2 2

4 12

a a a

SH =SA −AH = − =

Vậy 15

6

a SH =

b) Ta có:

3 3

2

a a a

CH=CO OH+ = + =

Xét tam giác vng SHC, ta có:

2 2

2 2

12

a a a

SC =SH +HC = + =

Vậy

2

a

SC= Nên tam giác SBC vuông B Vậy SB⊥BC

c) Ta có H∈AC đo SH⊂(SAC)

Vì SH ⊥(ABCD) nên (SAC) (⊥ ABCD)

d) Ta có:

(SBD) (ABCD) BD

OH BD SOA

OS BD

ϕ



∩ =



⊥ ⇒ =



⊥ 

Là góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD)

15

tan

6 3

SH a

HO a

ϕ= = =

O H

C

B A

D S

Bài Cho hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a có

3

a

OB= Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) O lấy điểm S cho SB = a

a) Chứng minh tam giác SAC tam giác vng SC vng góc với BD b) Chứng minh: (SAD) (⊥ SAB);(SCB) (⊥ SCD)

c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD

HD Giải

Do SO = AO = CO, suy tam giác SAC vuông S

Mặt khác: BD AC BD (SAC) BD SO



⊥ ⇒

⊥



⊥ 

Như vậy: ( )

( )

BD SAC

DB SC SC SAC



⊥ ⇒ ⊥



⊂ 

b) Gọi I trung điểm SA Vì BS = BA = a nên BI ⊥SA

Và DS = DA = a nên DI⊥SA Ta suy

BID góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD)

Trong tam giác vng AOB, ta có:

2

2 2

3

a a

OA= AB −OB = a − =

Trong tam giác vng cân BID, ta có

2

2

OA a

OI = =

Như vậy:

3

a

OB OI= =OD= tam giác BID vng I

Hay (SAD) (⊥ SAB)

Chứng minh tương tự, ta có:

(SCB) (⊥ SCD)

c) Ta có: OI SA

OI DB



⊥ ⇒



⊥  OI đường vuông góc

chung SA BD

Như vậy: ( , ) 3

a d SA BD =OI =

I

O

B A

C D

S

Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a

a) Hãy xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo BD’ B’C b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD’ B’C

HD Giải

a) Ta có ' ' ' ( ' ' )

' ' '

B C BC

B C D C B B C D C



⊥ ⇒

⊥



⊥ 

Gọi I tâm hình vng BCC’B’ Trong mặt phẳng (BC’D’) vẽ IK⊥BD' K

Ta có IK đường vng góc chung BD’ B’C

b) Gọi O trung điểm BD’ Vì tam giác IOB vng I nên :

2 2 2

1 1 1

2

2 2

KI =IO +IB = a +a 

   

   

2 2

4 6

6

a KI

a a a

= + = ⇒ =

K

O I

C'

B' D'

A'

D

C

B A

Bài Cho hình thang ABCD vng A B, có AD=2 ,a AB=BC=a Trên tia Ax vơng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S Gọi C’, D’ hình chiếu vng góc A Sc SD Chứng minh rằng:

a) SBC=SCD=900

b) AD’, AC’ AB nằm mặt phẳng

c) Đường thẳng C’D’ luôn qua điểm cốđịnh S di động tia Ax

HD Giải

a) Áp dụng định lí ba đường vng góc, ta chứng minh

SB⊥BC nên SBC=900

Vì tam giác ABC vng cân nên ACB=450, từđó suy

90

ACD= Áp dụng định lí ba đường vng góc, ta chứng minh

được SC⊥CD hay SCD=900

b) Trong mặt phẳng (SAC) vẽ AC'⊥SC mặt phẳng (SAD) vẽ AD'⊥SD

Ta có

' ( ( ))

'

' ( ) '

AC CD doCD SAC

AC SC

AC SCD AC SD



⊥ ⊥



⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Ta lại có AB AD AB (SAD) AB SD AB SA



⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

Ba đường thẳng AD’, AC’ AB qua điểm A vng góc với SD nên nằm mặt phẳng ( )α qua A vng góc với SD

D'

C'

D

C

I B A

S

c) Ta có C’D’ giao tuyến

( )α với mặt phẳng (SCD) Do S di động tia Ax C’D’ ln qua điểm I cốđịnh giao

điểm AB CD

(AB⊂( ),α CD⊂(SCD))

Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh bên cạnh đáy a Các cạnh bên lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 600 hình chiếu vng góc của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng

với trung điểm I cạnh B’C’

a) Tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ hình vng

HD Giải

B a

600

I

A C

C'

B' A'

a) Gọi I trung điểm B’C’ Theo giả thiết ta có AI⊥( ' ' ')A B C AA I' =600

Ta có (ABC) // (A’B’C’) nên d((ABC);(A’B’C’)) = AI

Do '.sin 600

2

a

AI= AA = Vậy khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ

2

a

b) Ta có ' ' ' ' ' ( ')

' '

B C A I

B C AIA B C AI



⊥ ⇒ ⊥



⊥ 

' ' '

B C AA

⇒ ⊥ Mà AA’ // BB’ // CC’ nên

' ' '

B C ⊥BB

Vậy mặt bên BCC’B’ hình vng ví hình thoi có góc vng

Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, góc BB’ với mặt phẳng (ABC) 600 và BB’ = a ,

0

60

BAC= Hình chiếu điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ

HD Giải

Gọi D trung điểm AC G trọng tâm tam giác ABC

Ta có B G' ⊥(ABC)⇒B BG' =600

Vì (ABC) // (A’B’C’) nên d((ABC);(A’B’C’)) = B’G

Do ' '.sin600

2

a

B G=BB = Vậy khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ

2

G

A' B'

C'

C

A D 600

a

B

Bài 9. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên

'

AA =a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C

HD Giải

Gọi E trung điểm BB’ Khi mặt phẳng (AME) song song với B’C nên khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C khoảng cách B’C đến mặt phẳng (AME)

Hơn

( ' ;( )) ( ;( ))

d B C AME =d C AME =d B AME( ;( ))

Gọi h khoảng cách tử B đến mp(AME) Do tứ

diện BAME có BA, BM, BE đơi vng góc nên

2 2

1 1

h = BA +BM +BE 2 2

1

a a a a

= + + =

7

a h

⇒ =

Vậy khoảng cách hai đường thẳng AM B’C

7

a

A B

E

C C'

M

B' A'

Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC

a) Tính AA’

b) Tính khoảng cách từđiểm G đến mặt phẳng (ABC)

HD Giải

a) Gọi D trung điểm BC, ta có

'

BC⊥ AD⇒BC⊥A D, suy ADA' 60=

Vậy ' tan600

2

a

AA =AD =

b) Gọi H trọng tâm tam giác ABC Ta có / / ' ( )

' ( )

GH AA

GH ABC

AA ABC



⇒ ⊥



⊥ 

Suy ( ;( )) '

3

AA a d G ABC =GH= =

H G

D A'

B'

C'

C

B A

Bài 11. Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, Gọi I giao điểm AM A’C Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)

HD Giải

Trong tam giác A’AB hạđường cao AK ⊥A B K' ( ∈A B' )Vì

( ' ')

BC⊥ ABB A nên AK ⊥BC⇒AK⊥(IBC)

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) AK Trong tam giác A’AB vng A, có

2 2

1 1 '

AK = A A +AB 2

1 4a a 4a

= + =

5

a AK

⇒ = Vậy

khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)

5

a

K I

M

A

B

C C'

B' A'

Bài 12. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC=a hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC a) Tính khoảng cách hai mặt đáy

b) Tính góc hai đường thẳng AA’ B’C’

HD Giải

a) Gọi H trung điểm BC Suy A H' ⊥(ABC) Vì (ABC) // (A’B’C’) nên d((ABC);(A’B’C’)) = A’H

Do tam giác ABC vuông cân A nên

2

1 3 2

AH = BC= a + a =a

Do A H' =A A' 2−AH2 =3a2 ⇒A H' =a

Vậy khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ a B H

A C

C'

B' A'

b) Ta có '/ / '

' '/ /

AA BB B C BC

 

 (AA B C'; ' ') (BB BC'; ) B BH'

⇒ = =

Trong tam giác vng A’B’H có: H B' = A B' '2+A H' =2a nên tam giác B’BH cân B’ Áp dụng

định lí Cơsin có:

2 2

' ' cos '

2 '

BB BH B H

B BH

BB BH

+ −

= 2

2.2

a a a

a a

+ −

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O SA=a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm SA SD

a) Chứng minh BD⊥(SAC)

b) Chứng minh MN⊥SB

c) Tính góc SO mặt phẳng (SAB) d) Tính góc hai đường thẳng MN SO

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh bên cạnh đáy a Hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm M cạnh B’C’.Chứng minh B’B vng góc với B’C’

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O SA vng góc với mp(ABCD) SA=a

a) Chứng minh BD⊥(SAC)

b) Trong tam giác SAC, kẻ OK vng góc với SC K Chứng minh SC⊥BK

c) Gọi I trung điểm AB Tính góc đường thẳng SB CD d) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ASD)

Bài Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh A’C’ vng góc với BD

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O SB vng góc với mp(ABCD) SB=a Gọi N trung điểm SD, M hình chiếu B SC

a) Chứng minh AO⊥(SBD)

b) Tính góc đường thẳng NO BM c) Chứng minh BD vng góc với NC

d) Tính góc đường thẳng SD mặt phẳng (SAB)

Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF, có tam giác ABC vng A, AD⊥(DEF)và AB = AD Chứng minh CE vuông góc với BD

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O SA vng góc với mp(ABCD) SA=2a

a) Chứng minh CD⊥(SAD)

b) Tính góc đường thẳng AB SC c) Chứng minh BD vng góc với SC

d) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAB)

Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a ABC=B BA' =B BC' =600 Chứng minh A’C vng góc với B’D

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O SA vng góc với mp(ABCD)

SA= AB=a SD=2a Gọi M trung điểm SB a) Chứng minh AD⊥(SAB)

b) Tính góc đường thẳng OM BC c) Chứng minh AM vng góc với SC

d)Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAD)

Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh bên vng góc đáy mặt bên ABED hình vuông tâm O Chứng minh tam giác ODF tam giác vng

Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O SA vng góc với mp(ABCD)

3

SA= AD=a SB=2a Gọi I trung điểm SD a) Chứng minh AB⊥(SAD)

b) Tính góc đường thẳng OI CD c) Chứng minh AI vng góc với SC

d) Tính góc đường thẳng SD mặt phẳng (SAB)

Bài 12. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có đáy DEF tam giác vng E, cạnh bên vng góc đáy mặt bên BCEF hình vng tâm O Chứng minh tam giác ODF tam giác vuông

Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O SO vng góc với

mp(ABCD) SA=SB=SC=SD=2a Gọi M, N trung điểm BC SO, kẻ OP vng góc với SA

a) Chứng minh SA⊥(PBD)

b) Tính góc đường thẳng AD SB c) Chứng minh MN vng góc với AD

d) Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABCD)

Bài 14 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi H trực tâm tam giác ABC biết A’H vng góc với mp(ABC) Chứng minh AA’ vng góc với BC

Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O SA vng góc với

mp(ABCD);AB=a AD, =a 2và SA=a Gọi M, N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC

a) Chứng minh (SAC) (⊥ SBM)

b) Chứng minh CD vng góc với SM c) Tính khoảng cách từđiểm N đến mp(ABI)

d) Tính góc đường thẳng NO đường thẳng SD

Bài 16 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có mặt bên hình vng cạnh a.Tính khoảng cách A’B B’C’

Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a SA vng góc mp(ABCD),

3

SC=a Gọi M trung điểm SD

a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SBD); b) Chứng minh SC vng góc với AM;

c) Tính góc SD mp(SAB)

Bài 18.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A,

AB = a, AC=a hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai mặt đáy

Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a SA vng

góc mp(ABCD), SC=a Gọi M trung điểm SB

a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SBD); b) Chứng minh SC vng góc với AM;

c) Tính góc SB mp(SAD)

Bài 20. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, góc BB’ với mặt phẳng (ABC) 600 BB’ = a Hình chiếu điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ

Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với mp(ABCD),

3

SA=a SD=2a

a) Chứng minh mp(SAC) vng góc với mp(SBD) b) Tính góc mp(SCD) mp(ABCD)

c) Tính khoảng cách từđiểm O đến mp(SAB)

Bài 22. Cho hình chóp tam giác S.ABC, gọi I trung điểm AB H hình chiếu I lên SC Chứng minh tam giác HIC tam giác vuông

Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SA vng góc với mp(ABCD),

,

SA=a SB=a SD=2a

a) Chứng minh mp(SAB) vng góc với mp(SAD) b) Tính góc mp(SBC) mp(ABCD)

c) Tính khoảng cách từđiểm O đến mp(SAB)

Bài 24. Cho hình lăng trụđứng tam giác ABC.DEF, có đáy ABC tam giác vng B mặt bên ABED hình vng tâm O Chứng minh tam giác ODF tam giác vng

Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a SA vng góc mp(ABCD),

2

SB=a Gọi M trung điểm SD

a) Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (SAC); b) Chứng minh SC vng góc với AM;

c) Tính góc SO mp(ABCD)

giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) 600 Tính khoảng cách từđiểm A’ đến mp(ABC)

Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a SA vng

góc mp(ABCD), SB=a Gọi M trung điểm SB a) Chứng minh CD vng góc với mặt phẳng (SAD); b) Chứng minh SC vng góc với AM;

c) Tính góc SC mp(ABCD)

Bài 28. Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B BA = BC = a Góc

giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) 600 Tính khoảng cách hai mặt đáy hình lăng trụđứng

Bài 29. Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác vng A SB vng góc với mp(ABC),

5 ,

BC= a AC= a SB=5 3a

a) Chứng minh mp(SAB) vng góc với mp(SAC) b) Tính góc tạo đường thẳng SC mp(ABC) c) Tính khoảng cách từđiểm B đến mp(SAC)

Bài 30. Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AC=2a

3

BC=a Tính khoảng cách hai đường thẳng BB’ A’C

Bài 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a, SD vng góc với mp(ABCD)

5

SB= a

a) Chứng minh mp(SBC) vng góc với mp(SCD) b) Tính góc mp(SCD) mp(SAB)

c) Tính khoảng cách từđiểm D đến mp(SAB)

Bài 32. Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông C Biết cạnh bên hình lăng trụ ,a AB=5a AC=3a Tính khoảng cách từđiểm C đến mp(C’AB)

Bài 33. Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vng B Biết góc tạo cạnh A’B mặt phẳng đáy 300 AC=5a AB=3a Tính khoảng cách từđiểm B đến mp(B’AC)

Bài 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a, SB vng góc với mp(ABCD)

5

SD= a

a) Chứng minh mp(SAB) vng góc với mp(SAD) b) Tính góc mp(SAB) mp(SCD)

c) Tính khoảng cách từđiểm B đến mp(SAD)

Bài 35. Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vng B Biết cạnh bên hình lăng trụ ,a AB=3a AC=5a Tính khoảng cách từđiểm B đến mp(B’AC)

Bài 36. Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vng B Biết góc tạo cạnh AC’ mặt phẳng đáy 300 AC=5a AB=3a Tính khoảng cách từđiểm B đến mp(B’AC)

Bài 37. Cho tứ diện SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B; SA⊥(ABC) Cho

,

SA=a BC=BA=a

a) Chứng minh mp(SAB) vng góc với mp(SBC)

b) Trong mặt phẳng (SAB), vẽ AH vng góc với SB H Chứng minh AH ⊥mp SBC( )

c) Gọi O trung điểm AC, K hình chiếu vng góc O mp(SBC) Tính độ dài đoạn thẳng OK

Bài 38 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a Góc hợp mặt bên mặt đáy 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB mp(SCD)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có cạnh a Tìm khoảng cách d hai đường thẳng BD A C′ '

A d=a B d=a

C

2

=a

d D d =a

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy nửa lục giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD=2a có cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)với SA=a 6.Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

A d A SCD( ,( )) 2.= a B d A SCD( ,( ))=a

C d A SCD( ,( ))=a D d A SCD( ,( ))=a a

a a

2a D

C B

A S

Câu Cho hai đường thẳng phân biệt a b mặt phẳng (P), a⊥( )P Mệnh đề sai ?

A Nếu b/ /( )P b⊥a B Nếu b⊥a b/ /( ).P

C Nếu b⊥( )P / / b a D Nếu / /b a b⊥( ).P

Câu Cho hinh chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc BAD=600 Gọi O giao

điểm AC BD Đường thẳng SO vng góc với mp(ABCD)

4

a

SO= Gọi E trung điểm đoạn BC, F trung điểm đoạn BE Tính khoảng cách h từOđến mặt phẳng (SBC)

A

8

a

h= B

4

a

h= C

2

a

h= D h=3 a

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD

A ( , )=

2

a

d SB CD B d SB CD( , )=a C d SB CD( , )=a D d SB CD( , ) = a Câu Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với nhau, OA=OB=a OC =2 a Gọi

M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng OM ACbằng

A 2

a B

a C 2

a

D

a

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=a BC, =2 ,a SA vng góc với mặt phẳng

đáy SA=a Khoảng cách hai đường thẳng AC SBbằng

A

a

B 2

a

C

a D

a

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a= Gọi M trung điểm CD Tìm khoảng cách từđiểm Mđến mặt phẳng

(SAB)

A d M SAB( ,( ))=a B d M SAB( ,( ))=a

C ( ,( ))=

2

a

d M SAB D ( ,( ))=

2

a d M SAB

a a

M O

C

B

A

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi,

=120 ,0 = ,

BAD BD a cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, góc mặt phẳng (SBC) mặt đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm A đến mp SBC( )

A ( , ))=3

a

d A SBC B ( , ))=

4

a d A SBC

C ( , ))=

3

a

d A SBC D ( , ))=

4

a d A SBC

C H

1200

a O I

B A

D

S

Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân C BC, =a SA, vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

A a B

2

a C

a

D

a

Câu 11 Cho tứ diện ABCD có AB AC AD, , đơi vng góc AB=AC=AD=3 Tìm diện tích S tam giác BCD

A =9

S B =9

2

S C =9

2

S D =27

2

S

Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a BC, =a Cạnh SA vng góc với đáy SA a= Tìm góc ϕ mặt phẳng (SCD) (ABCD)

A ϕ =30 0 B ϕ =60 0 C ϕ =45 0 D ϕ=120 0

Câu 13 Hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác ABC cạnh

7a, cạnh SCvng góc với mặt phẳng đáy (ABC) SC=7 a Gọi ϕ góc hai đường thẳng SA BC Tìm cos ϕ

A cosϕ =

4 B ϕ = cos

7

C cosϕ =1

4 D ϕ = cos

7 //

//

// 7a

7a

H B

A D

C S

Câu 14 Tìm khoảng cách d giữa hai cạnh đối tứ diện cạnh a

A

a

d= B d=2 a C 2 a

d = D

3 a d =

Câu 15 Mệnh đề sai ?

A Vì NM+NP=0 nên N trung điểm đoạn MP

B Vì I trung điểm đoạn AB nên từ điểm O bất kì, ta có 1( )

OI = OA OB+

C Từ hệ thức AB=2AC−8AD ta suy ba vectơ AB AC AD, , đồng phẳng

D Vì AB+BC+CD+DA=0 nên bốn điểm A B C D, , , thuộc mặt phẳng

Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SAvng góc với mặt phẳng đáy Gọi O giao điểm AC BD Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAD)

A

a B 5

a

C

a

D a

Câu 17 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC cạnh a SA, vuông góc với mặt phẳng

(ABC) =

a

SA Tìm diệm tích S tam giác SBC

A = 2

2

a

S B S=a2. C =

2

S a D =

2

a S

Câu 18 Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có AB=AA′=AD=a A AB′ =A AD′ =BAD=60 Tính khoảng cách h đường thẳng chứa cạnh đối diện tứ diện A ABD′

A d=a B =3

2

a

d C =

2

a

d D =

2

a d Câu 19 Cho hình hộp . / / / /

ABCD A B C D Mệnh đề ?

A AC′ =AB AD+ +AC B AC′=AD AB+ ′+AA′

C AC/ =AB+AD+AA/. D AC′= AD AD+ ′+AA′.

Câu 20 Cho tứ diện OABC có AO OB OC, , đơi vng góc với AO=OB= =O Gọi M trung điểm cạnh AB Tính góc ϕ hai vectơOM BC

A ϕ =135 0 B ϕ=30 0

C ϕ =120 0 D ϕ=60 0

//

// M

C

B

A O

Câu 21 Cho tứ diện OABC có AO OB OC, , đơi vng góc với AO OB O a= = = Gọi I trung điểm

BC Tìm khoảng cách d đường thẳng OA BC

A d=2 a B =

2

a d

C d=a D =

2

a

d a

a a

//

// I

C

B A

O

Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng

ABCD vng A D.Biết AB=2 ,a AD=DC=a, cạnh

SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA a= Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD).Tình tan ϕ

A tanϕ =1

5 B ϕ= tan

2

C tanϕ =1

2 D ϕ= tan

5

H

I

a a

2a

C D

A B

S

Câu 23 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a cạnh bên bằn a Tính khoảng cách đường thẳng AB mặt phẳng (SCD)

A ( ,( ))= 42

7

a

d AB SCD B ( ,( ))=

7

a d AB SCD

C ( ,( ))=

6

a

d AB SCD D ( ,( ))= 42

6

a d AB SCD

K

F E

a a 2

D

C B

A

O S

d từđiểm S tới mặt phẳng đáy

A d=a B =

2

d a C d =a D d=a

Câu 25 Cho tứ diện OABC có AO OB OC, , đơi vng góc với

AO OB OC= = Gọi M trung điểm BC Tìm góc ϕ hai đường thẳng OM AB

A ϕ=90 0 B ϕ=60 0

C ϕ=30 D ϕ=45

Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy

SA=a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy

A 30 0 B 60 0 C 45 0 D 90 0

Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy

SB= a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy

A 45 0 B 60 0 C 90 0 D 30 0

Câu 28 Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với nhau, OA=a OB=OC=2 a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng OM ABbằng

A

a B

a C 2

a D

a

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a 3,SAvng góc với mặt phẳng đáy

SA=a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

A

a

B

a

C

a

D

a

Câu 30 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy AB=a SB=2 a Góc

đường thẳng SB mặt phẳng đáy

A

30 B

60 C

90 D

45

Câu 31 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a cạnh bên bằn a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC

A d AB SC( , )=a 35 B d AB SC( , )=a 42

C ( , )= 42

7

a

d AB SC D d AB SC( , )=a

Câu 32 Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có độ dài cạnh bên

2a , có đáy ABC tam giác vuông A,AB a AC= , =a

và hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC

Góc hai đường thẳng AA′ B C′ ′ ϕ Tìm cos ϕ

A cosϕ = −1

3 B ϕ= − cos

4

C cosϕ =1

3 D ϕ=

1 cos

4

H B

A C

C'

B' A'

Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a= Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD

A d SC CD( , ) = a B d SC CD( , )=a

C d SC CD( , )=a D d SC CD( , )=a

Câu 34 Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có độ dài cạnh bên 2a , có đáy ABC tam giác vuông

A,AB=a AC, =a hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC

Tìm khoảng cách h hai mặt đáy

A h=a B h=a

C h=a D h=a

H B

A C

C'

B' A'

Câu 35 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′có ba kích thước AB=a AD, =b AA, ′=c Khẳng định sai?

A ( ,( ′ ))=1 2+ +2 2.

3

d A A BD a b c B BD′ = a2+ +b2 c2.

C d AB CC( , ′ =) b D d BB DD( ′, ′ =) a2+b2.

Câu 36 Mệnh đề ?

A Từ AB=3AC ta suy BA= −3CA

B Nếu

2 = −

AB BC B trung điểm đoạn AC

C Vì AB= −2AC+5AD nên bốn điểm A B C D, , , thuộc mặt phẳng

D Từ AB= −3AC ta suy CB=2AC

Câu 37 Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′có tâm O Khẳng định sai ?

A AB BC CC+ + ′=AD′+D O OC′ + ′ B AC′=AB AD AA+ + ′

C AB BC+ ′+CD D A+ ′ =0 D AB AA+ ′= AD DD+ ′

Câu 38 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=a BC, =2 ,a SA vng góc với mặt phẳng

đáy SA=a Khoảng cách hai đường thẳng BD SC

A 30

a B 2 21

21

a C 4 21

21

a D 30

12

a

Câu 39 Cho đường thẳng d có vectơ phương a Vcetơ sau vectơ phương d ?

A k a k;( ≠0) B

2a

− C a D 0

Câu 40 Mệnh đề ?

A Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

B Có mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với mặt phẳng cho trước

C Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước

D Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước

Câu 41 Cho tứ diện ABCD cạnh a.Mệnh đề sai ?

A AB CD =0 B AB CD BC DA+ + + =0

C AC AD = AC CD D =

2

a AB AB Câu 42 Mệnh đề ?

A Hai mặt phẳnng phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với

mặt phẳng kia;

C Hai mặt phẳng ( ) ( )α ⊥ β ( ) ( )α ∩ β =d Với điểm A thuộc ( )α điểm B thuộc ( )β ta có đường thẳng AB vng góc với d

D Nếu hai mặt phẳng ( )α ( )β vng góc với mặt phẳng ( )γ giao tuyến d ( )α ( )β

nếu có vng góc với ( )γ

Câu 43 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy

SA=a Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy

A 60 0 B 90 0 C 30 0 D 45 0

Câu 44 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD=600

2 a

SA=SB=SD= Tính khoảng cách h từđiểm Sđến mặt phẳng (ABCD)

A 3 a

h= B

6 a h=

C 15

6 a

h= D

2 a h=

a =

= =

O

C

B A

D S

Câu 45 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có

′

= , = , =

AB a BC b CC c Tính độ dài đường chéo AC′ theo

, ,

a b c

A h= + +a b c B h= a2+b2+c2

C h= a b c+ + D h a= + +2 b2 c2.

h

B'

A' D'

C' D

C B

A

Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD ϕ góc đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD) Tìm tan ϕ

A tan

ϕ= B tan 2

ϕ=

C tan

ϕ = D tan

3

ϕ=

Câu 47 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh a Mệnh đề ?

A ( ,( ′ ′ =))

d A BCC B a B ( ,( ′ ))=

3

a d A A BD

C d A CDD C( ,( ′ ′ =)) a D AC′ =a

Câu 48 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng ,C AC=a BC, = ,a SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy

A

30 B

90 C

45 D

60

Câu 49 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi,

=120 ,0 = ,

BAD BD a cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc mặt phẳng (SBC) mặt đáy 60 Tìm chiều cao h của hình chóp

A =

2

a

h B h=a C =

2

a

h D =

2

a h

C 1200

a O I

B A

D

S

Câu 50 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a, góc 600

BAD=

2 a

SA=SB=SD= Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD).Tính tan ϕ

A tanϕ= B tanϕ=

C tan 3

ϕ= D tan

5

ϕ=

a =

= =

O

C

B A

D S

Câu 51 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng đỉnh B AB, =a SA, vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

A

a B

a C

a D 2

a

Câu 52 Hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác ABC cạnh 7a, cạnh SCvng góc với mặt phẳng đáy (ABC) SC=7 a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC

A d SA BC( , )=a 21 B ( , )=

3

a d SA BC

C ( , )= 21

21

a

d SA BC D ( , )= 21

7

a d SA BC

//

// // 7a 7a

H B

A D

C S

Câu 53 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a= Góc SC mặt phẳng (SAB) α Tìm tan α

A tanα =

2 B tanα = C tanα = D tanα =1

Câu 54 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng đỉnh B AB, =a SA, vng góc với mặt phẳng đáy SA=2 a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

A 2

a B

a C

a

D a

Câu 55 Gọi h độ dài đường chéo hình lập phương cạnh a Tìm h

A h=3 a B h=2 a C h a= D h=a

Câu 56 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có AB=2

′ =

AA Gọi M N P, , trung điểm cạnh A B A C′ ′ ′ ′, BC Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (AB C′ ′) (MNP) Tìm cos ϕ

A cos 18 13 65

ϕ = B cos 17 13 65

ϕ=

C cos 13

65

ϕ= D cos 13

65

Câu 57 Cho hinh chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc BAD=600 Gọi O giao

điểm AC BD Đường thẳng SO vuông góc với mp(ABCD)

4

a

SO= Gọi E trung điểm đoạn BC, F trung điểm đoạn BE Tính khoảng cách h từ Ađến mặt phẳng (SBC)

A

2

a

h= B

8

a

h= C

4

a

h= D

4

a h=

Câu 58 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Biết SA vng góc với mặt phẳng

đáy thể tích khối chóp S ABC

3 3

24 a

V = Góc hợp hai mặt phẳng (ABC) (SBC)

A 45 0 B 90 0 C 30 0 D 60 0

Câu 59 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC cạnh a SA, vng góc với mặt phẳng

(ABC) =

a

SA Tìm góc ϕ hai mặt phẳng (ABC) (SBC)

A ϕ =150 0 B ϕ=60 0 C ϕ=90 0 D ϕ=30 0

Câu 60 Hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD

tâm O có cạnh AB a= Đường thẳng SO hình chóp vng góc với mặt đáy (ABCD) SO a= Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB

A ( , )=3 5

a

d SC AB B ( , )=2

5

a d SC AB

C ( , )=

5

a

d SC AB D d SC AB( , )=a

a

a

D

C B

A

O S

Câu 61 Cho hình chóp S ABCD có đáy nửa lục giác

ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD=2a có

cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD).Gọi I trung điểm AD với SA=a 6.Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)

A ( ,( ))=

a

d B SCD B ( ,( ))=3

a d B SCD

C ( ,( ))=

2

a

d B SCD D d B SCD( ,( ))=a

I

a a a

2a D

C B

A S

Câu 62 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên a Gọi G trọng tâm tam giác

ABC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SG

A ( , )=

3

a

d AB SG B ( , )=3

2

a d AB SG

C ( , )=

3

a

d AB SG D ( , )=

2

a

d AB SG /

/ / /

2a

3a

G

H I

C

B A

S

Câu 63 Cho hình lập phương ABCD EFGH có cạnh a Tính AB EG

A

AB EG=a B AB EG =a2 C AB EG =a2 D

2 2

2 a AB EG=

Câu 64 Mệnh đề ?

A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song

B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song

C Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song

D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song

Câu 65 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy AB=3 ,a AC=a SC=2 a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy

A 60 0 B 90 0 C 45 0 D 30 0

Câu 66 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ,SA⊥(ABCD)và SA=a Tìm góc ϕ SC mặt phẳng (ABCD)

A ϕ=90 0 B ϕ=30 0 C ϕ=45 0 D ϕ=60 0

Câu 67 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a= Góc mp SCD( ) mp ABCD( ) α Tìm tan α

A tanα= B tanα=

2 C tanα =1 D tanα =

Câu 68 Cho tam giác ABC với AB=7 ,cm BC=5 ,cm CA=8 cm Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) A lấy điểm O sao cho AO=4 cm Tính khoảng cách từđiểm Ođến đường thẳng BC A d O BC( , ) = cm B d O BC( , ) = cm C d O BC( , ) = cm D d O BC( , ) = cm Câu 69 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a cạnh bên bằn a Tính khoảng cách từđiểm Sđến mặt phẳng (ABCD)

A ( ,( ))=

2

a

d S ABCD B ( ,( ))=

2

a d S ABCD

C ( ,( ))=

3

a

d S ABCD D ( ,( ))=

2

a d S ABCD

Câu 70 Cho hình hộp thoi ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có cạnh a BAD=BAA'=DAA' 60= Tìm khoảng cách h giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) (A B C D′ ′ ′ ′)

A =

2

a

h B =

3

a

h C =

3

a

h D h=2 a

ĐÁP ÁN

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

D B B A B C B A B D B A A C D A D C C C D B A A B

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

C B A D B C D B B A C D B D A C D D C B C D A C A

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA MỘT TIẾT

Đề I Phần trắc nghiệm

Câu 1: Qua điểmOcho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆cho trước?

A 1 B 2. C 3 D Vô số

Câu 2: Hình chóp tứ giác có đáy hình gì?

A. Hình thoi B. Hình vng C. Hình chữ nhật D Hình bình hành

Câu 3: Cho hình chóp S MNP có đáyMNP tam giác vuông

tại N, cạnh bên SM vuông góc với đáy, MKlà đường cao

∆SMN Khẳng định sau đâyđúng?

A MK ⊥SM B MK⊥MN

C MK ⊥NP D MK ⊥MP

S

N

P M

K

Câu 4: Lấy lại kiện câu Xác định góc đường thẳngSP (MNP)

A. MNP B. PSM C. SMP D SPM

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S HIJK có cạnh bên cạnh đáy ,a Olà giao điểm hai đường chéo

,

M N trung điểm IJ SI, Khẳng định

sai ?

A (SHJ) (⊥ SKI). B KI ⊥SH

C KI ⊥SJ D (SHJ) (⊥ SKH)

a

a

M N

S

O

K

J H

I

Câu 6: Lấy lại kiện câu Khẳng định sau đây sai ?

A. d I( ,(SHJ))=IO B. d I( ,(SHJ))=KO

C. d I( ,(SHJ))=2d K SHJ( ,( )) D d I( ,(SHJ))=d K( ,(SHJ)) Câu 7: Lấy lại kiện câu Tính góc hai đường thẳng MNvà SH

A. 45 ° B. 90 ° C. 30 ° D 60 °

Câu 8: Cho hình chóp S HIJK có đáy hình vng tâm

,

O SH ⊥(HIJK),SH =HI=a Khẳng định đây sai ?

A ( ) (SIJ ⊥ SKJ). B (SHK) (⊥ SKJ)

C (SHK) (⊥ HIJK) D (SHI) (⊥ SHK)

a

a

O S

K

J H

I

Câu 9: Lấy lại kiện câu Góc hai mặt phẳng (HIJK) ( )SIJ

A. SIH B. SIK C. SJI D KIJ

Câu 10: Lấy lại kiện câu Khẳng định sau đâyđúng ?

A. ( ,( ))

3

=a

d H SIJ B. ( ,( ))

2

=a d H SIJ

C. d H( ,( )SIJ )=a D d H( ,( )SIJ )=a

II Phần tự luận

Bài 1: Cho hình chóp S MNPQcó đáy MNPQ hình vng tâm O, cạnh đáy 3a Biết SM ⊥(MNPQ),

3

= SM a

a Chứng minh rằng: (SMP) (⊥ SNQ)

b Tính góc đường thẳngMQ (SPQ) c Tính d P SNQ( ,( ))

Bài 2: Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a .Gọi M trung điểmAD O, giao điểm giữaAC vàBD O, ' giao điểm giữaA C' ' vàB D' ' Tính khoảng cách B O' O M'

Đề I Phần trắc nghiệm

Câu 1: Qua điểmOcho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng ∆cho trước?

A 1 B 2. C 3 D Vô số

Câu 2: Hình chóp đều có mặt bên hình gì?

A Tam giác B. Tam giác vng. C. Tam giác cân D Hình bình hành

Câu 3: Cho hình chóp S HIJK có đáy hình vng tâm

,

O SH ⊥(HIJK),SH =HI=a Khẳng định đây sai ?

A (SHI) (⊥ SHK). B ( ) (SIJ ⊥ SHJ)

C (SHK) (⊥ SKJ) D (SHK) (⊥ HIJK)

a

a

O S

K

J H

I

Câu 4: Lấy lại kiện câu Xác định góc hai mặt phẳng (HIJK) (SKJ)

A. SKH B. SJK C. SKI D. KSH

Câu 5: Lấy lại kiện câu Khẳng định sau đâyđúng ?

A. ( ,( ))

2

=a

d H SKJ B. ( ,( ))

3

= a d H SKJ

C. d H( ,(SKJ))=a D. d H( ,(SKJ))=a

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác S HIJK có cạnh bên a 2, cạnh đáy ,a Olà giao điểm hai đường chéo

,

M N trung điểm IJ SI, Khẳng định

sai ?

A (SHJ) (⊥ SKI). B (SHJ) ( )⊥ SIJ

C KI ⊥SJ D KI ⊥SH

a

M N

S

O

K

J H

I Câu 7: Lấy lại kiện câu Khẳng định sau đây sai ?

A. d I( ,(SHJ))=IO B. d I( ,(SHJ))=KO

C. d I( ,(SHJ))=2HO D d I( ,(SHJ))=d K( ,(SHJ))

Câu 8: Lấy lại kiện câu Tính góc hai đường thẳng MNvà SH

A. 90 ° B. 45 ° C. 60 ° D. 30 °

Câu 9: Cho hình chóp S MNP có đáyMNP tam giác vng

tại N, cạnh bên SM vng góc với đáy, MKlà đường cao

∆SMN Khẳng định sau đâyđúng?

A MK ⊥SM B MK ⊥MP

C MK ⊥MN D MK ⊥SP

S

N

P M

K

A. SMN B. NSM C. MNP D. SNM

II Phần tự luận

Bài 1: Cho hình chóp S BDEFcó đáy BDEF hình vng tâm O, cạnh đáy 3a Biết SB⊥(BDEF),

= SB a

a Chứng minh rằng: (SBE) (⊥ SDF)

b Tính góc đường thẳngBD (SDE) c Tính d E SDF( ,( ))

Bài 2: Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a .Gọi M trung điểmBC O, giao điểm giữaAC vàBD O, ' giao điểm giữaA C' ' vàB D' ' Tính khoảng cách D O' O M'

Đề I Phần trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABClà tam giác vng B BC=BA=a AA, ′=a Tính góc đường thẳng A B′ mặt phẳng (ABC)

A ( )

, ( ) 120

′ =

A B ABC B ( )

, ( ) 30

′ =

A B ABC

C ( )

, ( ) 45

′ =

A B ABC D (A B ABC′ , ( ))=60

Câu 2: Cho tứ diên S.ABC có tam giác ABC vng B SA⊥(ABC) Hỏi tứ diện có mặt tam giác vuông ?

A 2 B 3 C 4 D 1

Câu 3: Cho tứ diện ABCD Khẳng định ?

A BA+BD=AD+AC B AC+BD= AD+BC

C MA+MB=MD+MC, với điểm M D AC= AB+AD

Câu 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a đường cao

3

= a

SO Khoảng cách từO đến mặt phẳng (SAB)

A 15

15

a B

a C

2

a D a 15

Câu 5: Cho hình chóp có đáy ABCD hình bình hành tâm O Khẳng định sai?

A SA+SC=SB+SD B OA OB+ +OC+OD=0

C AC= AB+AD D SO=SA+SB

Câu 6: Cho đường thẳng d có vectơ phương a Vcetơ sau không vectơ phương d ?

A

2a

− B 2 a C 0 D k a k; ( ≠0)

Câu 7: Hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Khỏang cách từ đỉnh S tới mặt phẳng đáy

A a B a C a D 3

2

a Câu 8: Cho a, b, c đường thẳng, mệnh đề ?

A Cho a⊥b b nằm mặt phẳng ( )α Mọi mặt phẳng ( )β chứa a vng góc với b ( )α ⊥( ).β

B Nếu a⊥b mặt phẳng ( )α chứa a; ( )β chứa b ( )α ⊥( ).β

C Cho a⊥b Mọi mặt phẳng chứa bđều vng góc với a

D Cho a // b Mọi mặt phẳng ( )α chứa c c⊥a c⊥b vng góc với mặt phẳng ( , ).a b

Câu 9: Cho hình chóp có đáy ABCD hình vng tâm O Biết SA⊥(ABCD SA), =a SD=2a Khẳng

định sai ?

A SO⊥AC B (SAC)⊥(SBD)

C BC⊥AB D ( , ( ))=60 0

SD ABCD

Câu 10: Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vuông B, AB=a BC, =a SA⊥(ABC) Biết

góc SC mặt đáy 60 Kh0 ẳng định dưới đây sai?

A

∆ABC =

S a B (SC, (ABC))=SCA=60

C AC=2 a D SA=2a

II Phần tự luận

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a, SD vng góc với mp(ABCD) SB=5a

a) Chứng minh mp(SBC) vuông góc với mp(SCD) b) Tính góc mp(SCD) mp(SAB)

c) Tính khoảng cách từđiểm Dđến mp(SAB)

Bài 2 Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B BA = BC = a Góc

đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) 600 Tính khoảng cách hai mặt đáy hình lăng trụđứng

Đề I Phần trắc nghiệm

Câu 1: Cho tứ diện ABCD Khẳng định ?

A AC= AB+AD B MA+MB=MD+MC, với điểm M

C AC+BD=AD+BC D BA+BD=AD+AC

Câu 2: Cho hình chóp có đáy ABCD hình vng tâm O Biết SA⊥(ABCD SA), =a SD=2a Khẳng

định sai ?

A BC⊥AB B SO⊥AC

C (SAC)⊥(SBD) D (SD ABCD, ( ))=60

Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABClà tam giác vng B BC=BA=a AA, ′=a Tính góc đường thẳng A B′ mặt phẳng (ABC)

A ( )

, ( ) 30

′ =

A B ABC B ( )

, ( ) 120

′ =

A B ABC

C ( )

, ( ) 60

′ =

A B ABC D (A B ABC′ , ( ))=45

Câu 4: Cho hình chóp có đáy ABCD hình bình hành tâm O Khẳng định sai?

A AC= AB+AD B SO=SA+SB

C OA OB+ +OC+OD=0 D SA+SC=SB+SD

Câu 5: Cho tứ diên S.ABC có tam giác ABC vuông B SA⊥(ABC) Hỏi tứ diện có mặt tam giác vng ?

A 4 B 3 C 1 D 2

Câu 6: Hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Khỏang cách từ đỉnh S tới mặt phẳng đáy

A a B a C a D 3

2

a Câu 7: Cho a, b, c đường thẳng, mệnh đề ?

A Cho a⊥b b nằm mặt phẳng ( )α Mọi mặt phẳng ( )β chứa a vuông góc với b ( )α ⊥( ).β

B Nếu a⊥b mặt phẳng ( )α chứa a; ( )β chứa b ( )α ⊥( ).β

C Cho a⊥b Mọi mặt phẳng chứa bđều vng góc với a

Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a đường cao 3

= a

SO Khoảng cách từO đến mặt phẳng (SAB)

A

3

a

B 15

15

a

C a D a 15

Câu 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vuông B, AB=a BC, =a SA⊥(ABC) Biết

góc SC mặt đáy

60 Khẳng định sai?

A ( )

, ( ) = =60

SC ABC SCA B AC=2 a

C SA=2a D

2

∆ABC =

S a

Câu 10: Cho đường thẳng d có vectơ phương a Vcetơ sau không vectơ phương d ?

A k a k; ( ≠0) B 2 a C 2a

− D 0

II Phần tự luận

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a SA vng góc mp(ABCD), SB=a 2 Gọi M trung điểm SB

a) Chứng minh CD vng góc với mặt phẳng (SAD); b) Chứng minh SC vng góc với AM;

c) Tính góc SC mp(ABCD)

Bài 2 Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AC=2a BC=a 3 Tính

khoảng cách hai đường thẳng BB’ A’C

Đề 5 I Phần trắc nghiệm

Câu 1: Chọn mệnh đềđúng mệnh đề sau?

A Nếu a/ /( )P a/ /b b/ /( )P B Nếu a⊥( )P b⊥athì b/ /( )P

C Nếu a/ /( )P b⊥( )P b⊥a D Nếu a/ /( )P b⊥athì b⊥( )P

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác cân chung đáy BC Tìm mệnh đềđúng:

A AB⊥AD B AD⊥BC C AB⊥CD D AC⊥BD

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy có tâm O cạnh bằng a , cạnh bên a Khoảng cách từ

S đến(ABCD) bằng bao nhiêu?

A A B

2

a

C

6

a

D

2

a

Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Mệnh đề mệnh đề sau?

A 1( )

2

MN = AB+CD B MN=(AB+CD) C MN =(AB+DC) D 1( )

2

MN = AB+DC

Câu 5: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình bình hành tâm O Trong mệnh đề sau, mệnh đề SAI?

A SA SB+ =SC+SD B SA SC+ =SB+SD

C SA+SC=2SO D OA OB+ +OC+OD=0

Câu 6: Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba thì:

A Song song với

B Trùng

C Hoặc song song với cắt theo giao tuyến vng góc với mặt phẳng thứ ba

D Không song song với

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A SB⊥(ABC ,AB AC a,SB a 2,) = = =

Góc SC mp (ABC) là:

A 45 0 B 90 0 C 60 0 D 30 0

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, cạnh bên SA vng góc với đáy Góc

mặt phẳng (SBD) (ABCD) là:

A góc SBA B gócSIC C gócSDA D góc SIA

Câu 9: Cho tứ diện SABC có ABClà tam giác vng tại B SA⊥(ABC) Gọi AH đường cao của tam giác SAB, khẳng định sau đây đúng nhất

A AH⊥AC B AH⊥SA C AH⊥(SAC) D AH⊥SC

Câu 10: cho hình chóp S ABCD có tất cả cạnh đều bằng a gọi M N, lần lượt trung điểm AB SB.Tính sốđo của góc giữa hai đường thẳng MN và AD

A 900 B 600 C 450 D 300

II Phần tự luận

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,SA⊥(ABCD SA), =a 3

a) Chứng minh CD⊥(SAD) b) Tính góc SD ( )SAB

c) Gọi M trung điểmAD Tính khoảng cách từ M đến ( )SBC

Bài 2: Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác vuông AB=BC=BB'=a Gọi M trung

điểm BC Tính khoảng cách AM B C'

Đề I Phần trắc nghiệm

Câu 1: Cho tứ diện ABCD Khẳng định ?

A AC= AB+AD B MA+MB=MD+MC, với điểm M

C AC+BD= AD+BC D BA+BD=AD+AC

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) ∆ABC vng B AH đường cao ∆SAB Khẳng định

nào sau sai?

A AH ⊥ AC B AH ⊥BC C SA⊥BC D AH ⊥SC

Câu 3: Cho đường thẳng phân biệt , ,a b c mặt phẳng ( )α Tìm khẳng định đúng:

A

/ /

⊥ 

⇒ ⊥

 

a b

a c

b c B //

⊥ 

⇒ 

⊥ 

a b

a c b c

C  ⊥ ⇒ ⊥

⊥ 

a b

a c

b c D

,

( ) ( ),α ( )α α

⊥ ⊥



⇒ ⊥



⊂ ⊂



a b a c

a

b c

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABCD Các cạnh bên hình chóp

nhau ABCD GA GB+ +GC+GD=0 là:

A

2

a B

a C

a D

a

Câu 5: Cho hình chóp ACcó đáy BD hình thoi vàSA=SC Các khẳng định sau, khẳng định đúng?

A.BD⊥(SAC) B BA⊥(SAD) C SO⊥(ABCD) D AC⊥(SBD)

Câu 6: Cho hình chóp MA+MB=MD+MCcó đáyABClà tam giác vng cân B, cạnh bên SA vng góc

với đáy Biết SA=a , AC =a Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) ?

A

45 B 30 C. 60 D 120

Câu 7: Cho tứ diện ABCD Người ta định nghĩa “G trọng tâm tứ diện 30okhi GA GB+ +GC+GD=0” Khẳng định sau sai?

A G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm , ,a b c ( ).α

C G trung điểm đoạn / /

⊥ 

⇒ ⊥

 

a b

a c

b c ( ,I J trung điểm AB // ⊥



⇒ 

⊥ 

a b

a c

b c )

D G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD

Câu 8: Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm SA⊥BC G trung điểm MN Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A GM +GN =0 B MA+MB+MC+MD=4MG

C GA GB+ +GC+GD=0 D GA GB+ +GC=GD

Câu 9: Cho hình chóp S ABCDcó đáy hình vng cạnh a, 30 , SA=a.Góc SB 60 b0 ằng:

A 60 0 B 90 0 C 45 0 D 30 0

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi O hình chiếu S lên (ABCD) Khi đó:

A d A SBD( , ( ))= AS B d A SBD( , ( ))= AD C d A SBD( , ( ))= AC D d A SBD( , ( ))=AO

II Phần tự luận

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Biết SA⊥(ABCD), SA=a

a) Chứng minh rằng: BC⊥(SAB)

b) Tính góc đường thẳng SBvà mặt phẳng (SAD )

c) Gọi M trung điểmSB Tính khoảng cách từđiểm M đến (SAC)

Bài 2: Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác vuông AB= AC=AA'=a Gọi M N, trung điểm AB A C, ' ' Tính khoảng cách B M' AN