H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm B’ lªn mp(ABC) trïng víi träng.. t©m cña tam gi¸c ABC.[r]
(1)upload.123doc.net
QUAN H VNG GĨC TRONG KHÔNG GIANỆ A- KI N TH C C B NẾ Ứ Ơ Ả
STT Đ nh nghĩa, đ nh lí, tính ch t ị ị ấ Áp d ng ụ 1 - Quy t c ba m: ắ ể
AB BC AC; MB MA AB
- Quy t c hình bình hành: ắ AB AD AC - Quy t c hình h p: ắ ộ AB AD AA 'AC'
- Ba vect ược g i đ ng ph ng n uọ ẳ ế giá c a chúng song song v i m t m tủ ộ ặ ph ng ẳ
Ch ng minh đ ngứ ẳ th c vect , tính tốn,ứ thu g n bi u th c, ọ ể ứ Ch ng minh ba vectứ đ ng ph ng.ồ ẳ
2 - Hai vect ơ a b , không phương thì v i m i vect ọ c: !( ; ) :x y c xa yb
- Ba vect a b c, ,
khơng đ ng ph ng thìồ ẳ v i m i vect ọ u: !( ; ; ) : x y z u xa yb zc
Phân tích m t vectộ theo vect khác.ơ
3 Góc gi a hai vect ữ ơ u v , : (u v , ) = BAC, ,
u AB v AC . Tích vơ hướng u v,
: u v u v c os( , )u v
Tính góc gi a haiữ vect , hai ường th ng.ẳ Ch ng minh vngứ góc u v u v 0
4 Vect ơ a0 ch phỉ ương c a đủ ường th ng d n u giá c a song song ho cẳ ế ủ ặ trùng v i d.ớ
Góc gi a hai đữ ường th ng a b trongẳ không gian góc gi a hai đữ ường th ng a’ẳ b’ qua m t m b t kì l n lộ ể ấ ầ ượt song song v i a b
Hai đường th ng vng góc n u góc gi aẳ ế ữ chúng b ng 90ằ o
Tính góc gi a haiữ vect , hai ường th ngẳ Ch ng minh vngứ góc: N u ế u v,
l n lầ ượt hai vect ch phơ ỉ ương c a hai đủ ường th ng aẳ b a b u v 0 a // c, a ┴ b → c ┴ b 5 Đường th ng d vng góc v i m tẳ ặ
ph ng (ẳ ∝) n u d vng góc v i m i đế ọ ường th ng n m (ẳ ằ ∝) d (∝);a (∝) d
a.
d a; d b d (a, b).
S liên quan gi a quan h vng góc vàự ữ ệ quan h song song: ệ
Ch ng minh hai đứ ường th ng vng gócẳ
Ch ng minh đứ ường th ng vng góc v iẳ m t ph ngặ ẳ
Ch ng minh song song.ứ 6 Đ nh lí ba đị ường vng góc: a(α), b
(α), b khơng vng góc v i (ớ α), b’ hình chi u c a b (ế ủ ∝): a b a b '
(2)7 Góc gi a hai m t ph ng góc gi a haiữ ặ ẳ ữ đường th ng l n lẳ ầ ượt vng góc v i haiớ mp Hai mp g i vng góc n u gócọ ế gi a chúng b ng 90ữ ằ o
Đi u ki n đ đ hai m t ph ng vngề ệ ủ ể ặ ẳ góc m t ph ng ch a m t đặ ẳ ứ ộ ường th ng vng góc v i m t ph ng kia.ẳ ặ ẳ
Xác đ nh góc gi a haiị ữ m t ph ng ặ ẳ
Ch ng minh hai m tứ ặ ph ng vng góc.ẳ
8 Hình lăng tr đ ng, hình h p ch nh t,ụ ứ ộ ữ ậ hình l p phậ ương, hình chóp đ u, chóp c tề ụ đ u ề
B – BÀI T P V CH NG MINH VNG GĨCẬ Ề Ứ
Bài 1: Cho t di n ABCD có c nh AD ứ ệ (BCD) G i AE, BF hai đọ ường cao c aủ tam giác ABC; H, K l n lầ ượt tr c tâm c a tam giác ABC BDC Ch ng minhự ủ ứ r ng: ằ a) (ADE) (ABC); (BFK) (ABC); b) HK (ABC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có c nh SAạ vng góc v i m t ph ng (ABCD) G i H, I K l n lớ ặ ẳ ọ ầ ượt hình chi u vngế góc c a m A c nh SB, SC SD.ủ ể
a) Ch ng minh BCứ (SAB), CD(SAD) BD(SAC). b) A, H, I, K đ ng ph ng.ồ ẳ
c) Ch ng minh HKứ AI.
Bài 4: Cho hình lăng tr t giácụ ứ đ uề
ABCD.A’B’C’D ', c nh đáy b ng a, c nh bên b ng aạ ằ ằ d đường th ng qua A songẳ song v i BD (P) qua d C’ Tính di n tích thi t di n c a lăng tr c t b iớ ệ ế ệ ủ ụ ắ (P)
Bài 5: Cho hình vuông ABCD, Gọi S điểm không gian cho SAB tam
giác mp (SAB) vng góc với mp( ABCD)
a) Chøng minh r»ng mp(SAB) mp(SAD) vµ mp(SAB) mp(SBC).
b) Gọi H I lần lợt trung điểm AB BC CM: (SHC)(SDI)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, gãc ASB = 900, gãc BSC = 600,
gãc ASC = 1200 Gäi H trung điểm cạnh AC Chứng minh SI (ABC).
Bài 7: Cho lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ G i H tr c tâm c a tam giác ABC bi tụ ọ ự ủ ế A’H vng góc v i (ABC) Ch ng minh t giác BCC’B’ hình ch nh t ứ ứ ữ ậ
Bài 3: Cho hình l p phậ ương ABCD.A’B’C’D’ Ch ng minh r ng:ứ ằ a) M t ph ng (AB’C’D) vng góc v i m t ph ng (BCD’A’)ặ ẳ ặ ẳ b) A’B vng góc v i mp(AB’C’D)ớ
(3)Bài 8: Cho t di n OABC có OA, OB, OC đơi m t vng góc G i H chân đứ ệ ộ ọ ường vng góc h t O t i (ABC) Ch ng minh H tr c tâm c a tam giác ABC ứ ự ủ Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, SA(ABCD) G i I, K làọ hai m l n lể ầ ượ ất l y hai c nh SB SD cho
SI SK
SB SD Ch ng minh:ứ BDSC IK(SAC).
(4)C BÀI T P V TÍNH GĨC, KHO NG CÁCHẬ Ề Ả
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a, cạnh bên a
1) Tính góc mặt bên đáy, góc cạnh bên mặt đáy 2) Tính khoảng cách từ O A đến mặt phẳng (SBC) O tâm ABCD 3) Tớnh kho ng cỏch xả ác định đoạn vng góc chung SA BC
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang vng A, B Biết AD = 2BC = 2a, AB = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a
1) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng 2) Tính góc SC đáy (ABCD)
3) Trên AB lấy điểm M cho AM = x, (0 < x< a) Xác định tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mp(P) qua M (P) vng góc với AB
Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có góc cạnh bên BB’ mặt đáy
(ABC) b»ng 600 H×nh chiÕu vuông góc điểm B lên mp(ABC) trùng với trọng
tâm tam giác ABC Tính BG diện tÝch tam gi¸c ABC, biÕt BB’ = a, tam gi¸c ABC vuông C v gúc BAC b ng 60 o ĐS:
2
3 27
' ;
2 ABC 312
a a
B G S
Bài 4: (ĐH-KB-2002) Cho hình l p phậ ương ABCD.A’B’C’D’ c nh a G i M, N, Pạ ọ l n lầ ượt trung m c a BB’, CD, A’D’ Tính kho ng cách gi a hai để ủ ả ữ ường th ng A’B, B’D tính góc gi a hai đẳ ữ ường th ng MP C’N ĐS: d = a/ẳ
α=90o
Bài 5: (ĐH-KB-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nhạ b ng 2a, SA = a, SB = aằ (SAB) vng góc v i đáy G i M, N l n lớ ọ ầ ượt trung m c a AB, BC Tìm cosin c a góc gi a hai để ủ ủ ữ ường th ng SM DN.ẳ ĐS: /
Bài 6: (ĐH-KA-2003) Cho hình l p phậ ương ABCD.A’B’C’D’ Tìm s đo góc t oố b i hai m t ph ng (BA’C) (D’AC) ĐS: 60ở ặ ẳ 0
Bài 7: (ĐH-KA-2008) Cho lăng tr ABC.A’B’C’ có đ dài c nh bên b ng 2a, đáyụ ộ ằ tam giác vuông t i A có AB = a, AC = aạ Hình chi u vng góc c a đ nh A’ế ủ ỉ m t ph ng (ABC) trung m c a c nh BC Tính cosin c a góc gi a haiặ ẳ ể ủ ủ ữ đường th ng AA’ B’C’ ĐS: ¼ ẳ
Bài 8: Cho t di n OABC có OA, OB, OC đơi m t vng góc G i ứ ệ ộ ọ α, β, γ l n lầ ượt góc gi a OA, OB, OC mp (ABC) Ch ng minh sinữ ứ 2 α + sin2 β + sin2 γ = 1.
Bài 9: (ĐH-KD-2002) Cho t di n ABCD có ADứ ệ (ABC) AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính kho ng cánh t A đ n mp (BCD) ĐS: ả ế
6 34
(5)Bài 10: Trong m t ph ng (P) cho tam giác ABC vuông t i C Bi t AB = 2a,ặ ẳ ế góc CAB = 600, đo n SA = h SA vng góc v i (P) Tìm h cho góc gi a haiạ ớ ữ m t ph ng (SAB) (SBC) b ng 60ặ ẳ ằ o ĐS: h = a 2/2. D BÀI T P V TH TÍCH C A KH I ĐA DI NẬ Ề Ể Ủ Ố Ệ
Bài 1: Tính th tích kh i t di n đ u c nh a, kh i chóp t giác đ u có t t cể ố ứ ệ ề ố ứ ề ấ ả c nh đ u b ng a ề ằ
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a SA vng gócạ v i đáy SA = aớ G i B’, D’ l n lọ ầ ượt hình chi u c a A SB, SD M tế ủ ặ ph ng (AB’D’) c t SC t i C’ Tính th tích kh i chóp S.AB’C’D’ theo a.ẳ ắ ể ố
Bài 3: Cho lăng tr đ u tam giác ABC.A’B’C’ c nh đáy b ng a, góc gi a BC’ vàụ ề ằ ữ (ABC) b ng 60ằ o Tính th tích lăng tr th tích kh i t di n A’BB’C.ể ụ ể ố ứ ệ
Bài 4: Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ G i E, F theo th t trung m c a cácộ ọ ứ ự ể ủ c nh BB’ DD’ Tính th tích kh i chóp AA’ECF bi t th tích hình h p b ng 1.ạ ể ố ế ể ộ ằ Bài 5: Cho hình l p phậ ương ABCD.A’B’C’D’ c nh a Tính th tích kh i t di nạ ể ố ứ ệ AB’CD’
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, m t ph ngạ ặ ẳ (SAB) vng góc v i đáy, SA = SB, góc gi a SC đáy b ng 45ớ ữ ằ o Tính th tíchể kh i chóp S.ABCD theo a.ố
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình ch nh t AB = a, AD = aữ ậ 2, SA = a SA đường cao c a chóp G i M, N l n lủ ọ ầ ượt trung m c a AD vàể ủ SC, I giao m c a BM AC Tính th tích kh i t di n ANIB.ể ủ ể ố ứ ệ
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B AB =ở BC = a, AD = 2a, c nh bên SA vng góc v i đáy, SA = aạ 2 G i H hình chi uọ ế c a A SB Tính th tích kh i chóp SHCD kho ng cách t H đ nủ ể ố ả ế mp(SCD)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình ch nh t, (SAB) vng gócữ ậ v i đáy tam giác SCD đ u c nh a, góc gi a hai m t ph ng (SCD) (ABCD)ớ ề ữ ặ ẳ b ng ằ α Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a ể ố α
(6)Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình tho c nh a, góc ABC b ngạ ằ 120o C nh SA vng góc v i mp(ABCD) SA = a G i C’ trung m c aạ ớ ọ ể ủ c nh SC M t ph ng (P) qua AC’ song song v i BD c t c nh SB,SD l nạ ặ ẳ ắ ầ lượ ạt t i B’, D’ Tính th tích kh i chóp S.AB’C’D’.ể ố
Bài 12: Tính th tích kh iể ố chãp tam giác S.ABC, bi tế SA = a; SB = 2a, SC = 3a, gãc ASB = 900, gãc BSC = 600, gãc ASC = 1200.
BÀI T P ÔN HÌNH H C KHƠNG GIAN (Ti p)Ậ Ọ ế
Bài 13 Cho hình lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân t i A v iụ ứ AB = AC góc A b ng 120ằ o, c nh bên BB’ = a G i I trung m c a CC’.ạ ọ ể ủ Ch ng minh tam giác AB’I vuông t i A Tính cos c a góc gi a hai m t ph ngứ ủ ữ ặ ẳ (ABC) (AB’I) ĐS: 30 10
Bài 14 Cho hình chóp đ u S.ABC, có đ dài c nh đáy b ng a G i M, N l n lề ộ ằ ọ ầ ượt trung m c a c nh SB, SC Tính di n tích tam giác AMN bi t (AMN)ể ủ ệ ế
vng góc v i (SBC).ớ ĐS:
2 10 16 a
Bài 15 Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a, AA’ = b G i M làộ ữ ậ ọ trung m c a CC’ Xác đ nh t s a/b đ hai m t ph ng (A’BD) (MBD)ể ủ ị ỉ ố ể ặ ẳ vng góc v i nhau.ớ ĐS:
Bài 16 Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a.ứ ề G i E m đ i x ng c a D qua trung m c a SA, M trung m c a AE,ọ ể ố ứ ủ ể ủ ể ủ N trung m c a BC Ch ng minh MN vng góc v i BD tính kho ng cáchể ủ ứ ả
gi a hai đữ ường th ng MN AC.ẳ ĐS:
a
Bài 17 Cho lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2ª, AA’ = 2aụ ứ góc BAC b ng 120ằ 0 G i M trung m c a c nh CC’ Ch ng minh MB vng góc v iọ ể ủ ạ ứ ớ
MA’ tinh kho ng cánh t A đ n (A’BM) ả ế ĐS:
a
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc v i (ABCD), AB = a, SA = aớ G i H, K l n lọ ầ ượt hình chi u c a A SB, SD.ế ủ Ch ng minh SC vng góc v i (AHK) tính th tích c a kh i chóp OHAK theoứ ể ủ ố
a ĐS:
3 2
(7)Bài 19 Cho hình h p ABCD.A’B”C’D’ có t t c c nh b ng a, góc BAA’,ộ ấ ả ằ BAD, DAA’ b ng 60ằ 0 Tính th tích kh i h p ABCD.A’B’C’D’ theo a ĐS: ể ố ộ
3 2
a
Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh a, O tâm c aạ ủ đáy SO (ABCD) M, N l n lầ ượt trung m c a SA, CD Góc gi a MN vàể ủ ữ
(ABCD) b ng 60ằ 0 Tình th tích kh i chóp S.ABCD cos góc gi a MN (SBD).ể ố ữ
ĐS: V =
3 15 a
; cosφ =
Bài 21 Cho t di n ABCD có AB = a, AC = b, AD = c góc BAC, CAD, DABứ ệ b ng 60ằ 0 Tính th tích kh i t di n ABCD ể ố ứ ệ ĐS:
2 12 abc
Bài 22 Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a G i SH đề ằ ọ ường cao c a hình chóp Kho ng cách t trung m I c a SH đ n (SBC) b ng b Tínhủ ả ể ủ ế ằ
th tích kh i chóp S.ABCD theo a, b.ể ố ĐS:
3
2
2
3 16
a b a b
Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh a G i M, N l nạ ọ ầ lượt trung m c a c nh AB AD G i H giao m c a AN DM.ể ủ ọ ể ủ Bi t SH vng góc v i (ABCD) SH = aế Tính th tích kh i chóp S.CDNM vàể ố
kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng DM SC theo a ĐS: V = ẳ
5
24 a
; d =
2 57 19 a
Bài 24 Cho lăng tr ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình ch nh t AB = a, AD =ụ ữ ậ a Hình chi u vng góc c a m A’ (ABCD) trùng v i O = AC ế ủ ể ∩ BD Góc gi a hai m t ph ng (ADD’A’) (ABCD) b ng 60ữ ặ ẳ ằ 0 Tính th tích kh i lăng trể ố ụ
và kho ng cách t B’ đ n m t ph ng (A’BD) ả ế ặ ẳ ĐS: 3
2 a