Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'
Trang 1OẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có
cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a
Tính thể tích khối lăng trụ này
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện
tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ
Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình
vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp Tính thể tích cái hộp
này
Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo
lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a
Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ ĐS: V a3 3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết
rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết
rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các
mặt của lăng trụ bằng 96 cm2
Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ
bằng trung bình cộng các cạnh đáy Tính thể tích của lăng trụ Đs: V = 2888
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 Tính thể tích khối lập
phương
Đs: V = 8
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường
chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3
C Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp AA’C’C một góc 300
1 Tính độ dài đoạn AC’
2 Tính V khối lăng trụ
Trang 2http://trithuctoan.blogspot.com/ 12 CI
Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm
A’ cách đều các điểm A,B,C.Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600
1/ Tính V khối lăng trụ
2/ CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật
3/T ính Sxq hình lăng trụ
Bài 13: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a,góc giữa đường th ng AB’ và
mp BB’CC’ bằng .Tính Sxq của hình lăng trụ
Bài 14: Cho lăng trụ iên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a ình chiếu của A’
uống ABC tr ng với tâm đường tr n ngoại tiếp tam giác ABC Cho 0
BAA ' 45 1/ C m BCC’B’ là hình chữ nhật
2/ Tính Sxq của hình lăng trụ
Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B và
AB=a ,BC =2a ,AA’=3a Một mp đi ua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt các đoạn
Bài 16: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a ,đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB =a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp ABC là trung điểm của cạnh BC Tính th o a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường th ng AA’,B’C’
Bài 17: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông ,AB=BC=a, cạnh bên
AA ' a 2 ọi M là trung điểm của cạnh BC.Tính th o a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường th ng AM,B’C
Bài 18: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’có cạnh đáy bằng a và 1 điểm D trên cạnh
BB’.Mặt ph ng ua các điểm D,A,C tạo với mặt đáy ABC 1 góc và mp ua các điểm
DA’C’ tạo với mặt đáy A’B’C’ 1 góc .Tính V lăng trụ
Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Đáy ABC là tam giác cân có AB=AC =1200.Đường chéo của mặt BB’C’C bằng d và tạo với mặt đáy góc Tính Sxq và V của hình lăng trụ đó
Bài 20: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
AC =a và C .Đường chéo BC của mặt bên BCC’B’ hợp với mặt bên ACC’A’ một góc .Tính V lăng trụ
Bài 21: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a ,A , và chân đường vuông góc hạ t B’ uống đáy ABCD tr ng với giao điểm các đương chéo của đáy Cho BB’ =a Tính V và Sxq của hình hộp đó
Bài 22: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng h và 2 đường th ng AB’ ,BC’ vuông
góc với nhau Tính V lăng trụ đó
Bài 23: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn
0
BAD 60 Biết AB' BD' Tính V của khối lăng trụ trên th o a
Trang 3Bài 24: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’,trong đó ABC là tam giác đều cạnh c, A’
vuông góc với mp ABC là tr c tâm của tam giác ABC , cạnh bên AA’ tạo với mp ABC 1 góc
1/ Cmr: AA’ BC
2/ Tính V của khối lăng trụ
Bài 25: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ cạnh bên l, mặt chéo đi ua 2
cạnh đáy đối diện nhau hợp với đáy 1 góc 0
60 Tính V lăng trụ
2)Dạng 2: ă t ụ ứ có góc ữ t ẳ và mặt p ẳ
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600
Tính thể tích lăng trụ
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC
= a , ACB= 60 o biết BC' hợp với AA'C'C một góc 300
Tính AC' và thể tích lăng trụ
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường
chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300 Tính thể tích và tổng diên tích của các
mặt bên của lăng trụ
biết AB' hợp với đáy ABCD một góc 30o
Tính thể tích của hình hộp
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp
với mặt bên AA'B'B một góc 30o
Tính thể tích lăng trụ ĐS:
3
a 2V
16
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp
với đáy ABC một góc 30o
Tính thể tích lăng trụ ĐS:
3
a 3V
2
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với
mặt bên BCC'B' một góc 30o Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ ĐS:
AB' a 3 ;
3
a 3V
2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và
oACB 60 biết BC' hợp với mặt bên AA'C'C một góc 30o
Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'
ĐS: 3
6
Va , S = 2
3a 3
2
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách t A đến mặt ph ng A'BC
bằng a và AA' hợp với mặt ph ng A'BC một góc 300
Tính thể tích lăng trụ ĐS: 3
8
Trang 4http://trithuctoan.blogspot.com/ 12 CI
Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông ọi là tâm của
ABCD và OA' = a Tính thể tích của khối hộp khi:
1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương
2) A' hợp với đáy ABCD một góc 60o
3) A'B hợp với AA'CC' một góc 30o Đs:1
32a 6V
9
3
a 3V
4
;3)
34a 3V
9
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a Tính thể
tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1 BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o
2 BD' hợp với mặt bên AA'D'D một góc 30o Đs: 1 V =
Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát uất t một đỉnh
của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ
Đs: V = a3 và S = 6a2
Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' = AC' =
CA' = a2 b2 c2
1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật
2) ọi ,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt c ng đi ua một đỉng thuộc đường
chéo Chứng minh rằng sin x sin y sin z 12 2 2
3) Dạng 3: ă t ụ ứ có góc ữ 2 mặt p ẳ
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a ,biết A'BC hợp với đáy ABC một góc 600
Tính thể tích lăng trụ
Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt A’BC tạo với
đáy một góc 300
và diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt ph ng BDC' hợp
với đáy ABCD một góc 60o
3
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a
biết rằng mặt ABC'D' hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết
rằng A'BC hợp với đáy ABC một góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: Va3 2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và
oBAC 120 biết rằng A'BC hợp với đáy ABC một góc 45o.Tính thể tích lăng trụ
Trang 5Đs:
3
a 3V
8
Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h
biết rằng B'AC hợp với đáy ABC một góc 60o Tính thể tích lăng trụ Đs: V h3 2
4
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích
lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt ph ng A'BC hợp với đáy ABC một góc 60o
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o
3) Chiều cao kẻ t A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ
Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính
thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt ACD' hợp với đáy ABCD một góc 45o
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600
3) Khoảng cách t D đến mặt ACD' bằng a Đs: 1 V = 16a3 2) V = 12a3 3) V =
316a3
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể tích
lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1 Mặt ph ng BDC' hợp với đáy ABCD một góc 60o
2 Tam giác BDC' là tam giác đều
3 AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
Đs: 1
3
a 62
V ; 2) V = a ; V = 3 a3 2
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A =
60o Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1 Mặt ph ng BDC' hợp với đáy ABCD một góc 60o
4
; 2) V =
33a 2
8 ; V =
33a2
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp
trong các trường hợp sau đây:
4) Dạng 4: K ố lă t ụ xiên
Ví dụ 1: Cho lăng trụ iên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh
bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o Tính thể tích lăng trụ
Ví dụ 2: Cho lăng trụ iên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ình
chiếu của A' uống ABC là tâm đường tr n ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy
ABC một góc 60
1 Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật
Trang 6http://trithuctoan.blogspot.com/ 12 CI
2 Tính thể tích lăng trụ
mặt bên ABB’A’ và (ADD’A’ lần lượt tạo với đáy những góc 450
và 600 .Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với
đáy ABCD một góc 45o
Tính thể tích lăng trụ Đs: V = a3 2
Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng
8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336
Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c vàBAD 30 o và biết cạnh bên
AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =abc 3
4
Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách
đều A,B,C biết AA' = 2a 3
3 Tính thể tích lăng trụ Đs: V a3 3
4
Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên
ABC nằm trên đường cao A của tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC một
góc 60o
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs:
33a 3V
8
Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm Cạnh b CC' = a hợp
với đáy ABC 1 góc 60o
và C' có hình chiếu trên ABC tr ng với 1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' Đs: 1
2
a 3S
2
2)
33a 3V
8
Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc
hạ t A' trên ABC tr ng với trung điểm của BC và AA' = a
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ
2) Tính thể tích lăng trụ Đs: 1 30o 2)
3
3
aV
8
Bài 8: Cho lăng trụ iên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm ình chiếu của C'
trên ABC là Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách t đến CC' là a và 2 mặt bên
AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o
Đs:
327aV
4 2
Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của A'
trên mp ABCD nằm trong hình thoi, các cạnh uất phát t A của hộp đôi một tạo với nhau một
góc 60o
1) Chứng minh rằng nằm trên đường chéo AC của ABCD
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'
3) Tính thể tích của hộp Đs: 2 SACC'A' a2 2;SBDD'B'a2 3)
3
a 2V
2
Bài 10: Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60o chân
đường vuông góc hạ t B' uông ABCD tr ng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a
1 Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy Đs: 60o
Trang 72 Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp Đs:
3
23a
V &S a 154
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o
1 Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông
2 Tính thể tích hình chóp
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với
đáy ABC và SBC hợp với đáy ABC một góc 60o
Tính thể tích hình chóp
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc
đáy ABCD và mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60o
1 Tính thể tích hình chóp SABCD
2 Tính khoảng cách t A đến mặt ph ng SCD
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với SAB một góc 30o Tính thể tích hình chóp
Đs: V =
3
a 26
Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC và SA = h ,biết rằng tam giác
ABC đều và mặt SBC hợp với đáy ABC một góc 30o
Tính thể tích khối chóp SABC
Đs:
3
h 3V
3
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB =
a, SC hợp với SAB một góc 30o và SAC hợp với ABC một góc 60o Chứng minh rằng SC2
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc BAC 120 o,
biết SA (ABC) và mặt SBC hợp với đáy một góc 45o
Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V a3
9
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết
SA ABCD ,SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o
Tính thể tích khối chóp
Trang 8và AB = 3a , BC = 4a Tính thể tích khối chóp Đs: V = 20a3
Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và
SA ABCD ,biết rằng khoảng cách t A đến cạnh SC = a Tính thể tích khối chóp SABCD
Đs:
3
a 2
V 4
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB=BC=a,
AD=2a, SA ABCD và SCD hợp với đáy một góc 60o
Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường
tr n đường kính AB = 2R biết mặt SBC hợp với đáy ABCD một góc 45o.Tính thể tích khối chóp
SABCD Đs:
33R
V 4
2) Dạng 2 : K ố chóp có một mặt bên vuông góc v á
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a
Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt ph ng vuông góc với đáyABCD,
1 Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp tr ng với trung điểm cạnh AB
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có
BC = a Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên c n lại đều tạo với mặt đáy một góc 450
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp tr ng với trung điểm cạnh AC
b) Tính thể tích khối chóp SABC
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt
ph ng vuông góc với ABC
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC
2) Tính thể tích khối chóp SABC Đs:
3
a 3
V 24
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB
cân tại S và nằm trong mặt ph ng vuông góc với ABC ,mặt ph ng SAC hợp với ABC một
góc 45o Tính thể tích của SABC Đs: V a3
12
Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC 90 ;ABC 30 o o, SBC là tam giác đều cạnh a và
(SAB) ABC Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V a 22
24
Trang 9Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và
(SBC) ABC Cho biết SB hợp với mặt ABC một góc 30o
Tính thể tích hình chóp SABC Đs:
34h 3
V 9
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt ph ng
vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện Đs: V a 63
36
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Mặt bên SAB là tam giác đều có
đường cao S = h ,nằm trong mặt ph ng vuông góc với ABCD,
1 Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp tr ng với trung điểm cạnh AB
2 Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:
34h
V 9
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong
mặt ph ng vuông góc với ABCD biết SAC hợp với ABCD một góc 30o
Tính thể tích hình chóp SABCD Đs:
3
a 3
V 4
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a,
(SAB) ABCD , hai mặt bên SBC và SAD c ng hợp với đáy ABCD một góc 30o
Tính thể tích hình chóp SABCD Đs:
38a 3
V 9
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD
vuông cân tại S , nằm trong mặt ph ng vuông góc với ABCD Tính thể tích hình chóp SABCD Đs:
3
a 5
V 12
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ;
AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt ph ng vuông góc với ABCD Tính thể tích khối
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Chứng minh rằng
chân đường cao kẻ t S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC Tính thể tích chóp đều
SABC
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a
1 Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều
2 Tính thể tích khối chóp SABCD
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD
b Tính khoảng cách t M đến mp ABC Suy ra thể tích hình chóp MABC
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o Tính thể
tích hình chóp Đs:
33a
V 16
Trang 10http://trithuctoan.blogspot.com/ 12 CI
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o
1 Tính độ dài chiều cao S của chóp SABC Đs: S = a
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ASB 60 o
1 Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều Đs: S a 32
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng
cách t chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a
Tính thể tích hình chóp Đs:
38a 3
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau Chứng minh rằng
SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của
nó bằng
39a 2
V 2 Đs: AB = 3a
Bài 11: Tính V khối tứ diện đều cạnh a
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
1/ Biết AB =a và góc giữa mặt bên và đáy bằng ,tính V khối chóp
2/ Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng Tính V khối chóp
Bài 13: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
1/ Biết AB=a và SA=l ,tính V khối chóp
2/ Biết SA=l và góc giữa mặt bên và đáy bằng ,tính V khối chóp
Bài 14: ình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc giữa đường cao với mặt
bên là 30 0.Tính V khối chóp cụt
Bài 15: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện ua trục là một hình vuông
1/ Tính S xq;S tp của hình trụ
Trang 112/ Tính V khối trụ tương ứng
3/ Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đ cho
Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3.A và B là 2 điểm trên 2 đường tr n đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 0
30 1/ Tính S xq;S tp của hình trụ
Bài 18: Cho một tứ diện đều có cạnh là a
1/ ác đ nh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
2/ Tính S mặt cầu
3/ Tính V khối cầu tương ứng
Bài 19: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a ,cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 0
60 1/ ác đ nh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
2/ Tính S mặt cầu
3/ Tính V khối cầu tương ứng
Bài 20: Cho hình nón có đường cao S =h và bán kính đáy R ọi M là điểm trên đoạn S, đặt
OM = x (0<x<h)
1/ Tính S thiết diện( ) vuông góc với trục tại M
2 Tính V của khối nón đỉnh và đáy ( ) th o R ,h và
ác đ nh sao cho V đạt giá tr lớn nhất
Bài 21: ình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là
1/ Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp
2 Tính giá tr của tan để các mặt cầu này có tâm tr ng nhau
Bài 22: Một hình nón đỉnh S có chiều cao S = h và đường sinh l bằng đường kính đáy Một
hình cầu có tâm là trung điểm của đường cao S và tiếp úc vớ đáy hình nón
1/ ác đ nh giao tuyến của mặt nón và mặt cầu
2/ Tính Sxq của phần mặt nón nằm trong mặt cầu
3 Tính S mặt cầu và so sánh với Stp của mặt nón
Bài 23: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB
Bài 25: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB=AC=5a ,BC =6a, và các mặt bên tạo
với đáy một góc 60 0.Tính V khối chóp đó
Bài 26: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B.Cạnh SA vuông góc với
đáy.T A kẻ các đoạn th ng AD SB, AE SC Biết AB=a, BC=b, SA=c
Trang 12http://trithuctoan.blogspot.com/ 12 CI
1/ Tính V khối chóp S.ADE
2/ Tính khoảng cách t E đến mp(SAB)
Bài 27: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách t 1 điểm trong bất k của 1 tứ diện đều đến các
mặt của nó là 1 số không đổi
Bài 28: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a,BC =2a ,AA’ =a ấy điểm M trên
cạnh AD sao cho AM =3MD
1/ Tính V khối chóp M.AB’C
2/ Tính khoảng cách t Mđến mp AB’C
Bài 29: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a,BC =b ,AA’ =c ọi M, th o thứ t
là trung điểm của A’B’ và B’C’.Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DM và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
Bài 30: Cho 2 đoạn th ng AB và CD chéo nhau ,AC là đường vuông góc chung của chúng Biết
rằng AC=h, AB =a, CD =b và góc giữa 2 đường th ng AB và CD bằng 60 0 Tính V tứ diện
ABCD
Bài 31: Cho tứ diện đều ABCD ọi là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh
của tứ diện đều đó Tính tỉ số
ABCD
V(H)
V
Bài 32: Tính V khối tứ diện đều cạnh a
Bài 33: Tính V khối bát diện đều cạnh a
Bài 34: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tính tỉ số V khói hộp đó và V khối tứ diện ACB’D’ Bài 35: Cho hình chóp S.ABC.Trên các đoạn th ng SA,SB,SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác
Bài 37: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a ,BC=6a ,CA=7a.Các mặt bên SAB,SBC,SCA
tạo với đáy một góc 60 0 Tính V khối chóp đó
Bài 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a,
AD=b, SA =c ấy các điểm B’, D’ th o thứ t thuộc SB, SD sao cho AB' SB,AD' SD Mặt
ph ng AB’D’ cắt SC tại C’.Tính V khối chóp đó
Bài 39: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ,đáy là hình vuông cạnh a ,cạnh bên
tạo với đáy một góc 0
60 ọi M là trung điểm SC.Mặt ph ng đi ua AM và song song với BD ,cắt
SB tại E và cắt SD tại Tính V khối chóp S.AEM
Bài 40: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a
1/ Tính V khối tứ diện A’BB’C
2/ Mặt ph ng đi ua A’B’ và trọng tâm ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và Tính V khối chóp C.A’B’ E
Bài 41: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.cạnh a ọi M là trung điểm của A’B’, là trung
điểm của BC
1/ Tính V khối tứ diện ADM
2/ Mặt ph ng DM chia khối lập phương đ cho thành 2 khối đa diện ọi là khối đa diện chứa đỉnh A, ’ là khối đa diện c n lại Tính tỉ số (H)
(H ')
VV
Bài 42: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA =a ,đáy là tam giác vuông cân có AB =BC =a
ọi B’ là trung điểm của SB ,C’ là chân đường cao hạ t A của ABC
Trang 131 Tính V khối chóp ABC
2/ CMR: AH SB và SB mp(AHK)
3 Tính V khối chóp S.A K
Bài 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ,SA=a , SB a 3 và
mp SAB vuông góc với mặt ph ng đáy ọi M, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC Tính th o a thể tích khối chóp S.BMD và tính cosin của góc giữa 2 đường th ng SM,D
Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt ph ng vuông góc với đáy ọi M, , lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD CMR: AM BP và tính V khối tứ diện CM
Bài 46: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ọi E là điểm đối
ứng của D ua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE , là trung điểm của BC Chứng minh rằng: MN BD và tính khoảng cách giữa 2 đường th ng M và AC
Bài 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,ABC BAD 90 0, BA=BC=a ,AD =2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 ọi là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh rằng: SCDvuông và tính d H;(SCD)
Bài 48: Cho hình trụ có các đáy là 2 hình tr n tâm và ’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
a Trên đường tr n đáy tâm lấy điểm A, trên đường tr n đáy tâm ’ lấy điểm B sao cho AB=2a Tính V khối tứ diện ’AB
Bài 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a , AD a 2, SA= a và
SA mp(ABCD) ọi M, lần lượt là trung điểm của AD và SC, là giao điểm của BM và AC 1/ Cmr: mp(SAC) mp(SMB)
2/ Tính V khối tứ diện A B
Bài 50: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =2a và
SA mp(ABC) ọi M, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường th ng SB và SC Tính V khối chóp A.BCM
Bài 51: Cạnh đáy của 1 hình chóp tam giác đều bằng a; mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy 1
góc .Tính V khối chóp
Bài 52: Cho 1 hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo B’D=a tạo thành với mặt
ph ng đáy ABCD 1 góc bằng và tạo thành với mặt bên AA’D’D 1 góc bằng .Tính V của hình hộp chữ nhật trên
Bài 53: Đường sinh của 1 hình nón có độ dài bằng a và tạo thành với đáy 1 góc Tính diện tích ung uanh và thể tích hình nón
Bài 54: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ,cạnh huyền BC = a Mặt bên SBC
tạo với đáy góc ai mặt bên c n lại vuông góc với đáy
1/ CMR: SA là đường cao của hình chóp
2/ Tính V khối chóp
Bài 55: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là 1 hình vuông và chiều cao bằng h
óc giữa đường chéo và mặt đáy của hình hộp chữ nhật đó bằng Tính Sxqvà V của hình hộp
đó
Trang 14http://trithuctoan.blogspot.com/ 12 CI
Bài 56: Cho hình chóp tam giác S.ABC ai mặt bên SAB và SBC của hình chóp c ng vuông góc
với đáy, mặt bên c n lại tạo với đáy 1 góc Đáy ABC của hình chóp có A 90 0, B 60 0, cạnh
BC =a Tính Sxq và V của hình chóp
Bài 57: Đáy của hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là 1 tam giác cân có AB=AC =a và A 2
óc giữa mặt ph ng đi ua 3 đỉnh A’,B,C và mặt đáy ABC bằng Tính Sxqvà V của hình lăng trụ đó
Bài 58: Cho hình nón tr n oay đỉnh S.Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội tiếp,
cạnh bằng a Biết rằng ASB= 2 00 450 Tính V và Sxq của hình nón
Bài 59: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a; SAC vuông góc với đáy ;
0
ASC 90 và SA tạo với đáy 1 góc bằng Tính V của hình chóp
Bài 60: Cho hình chóp S.ABC có 0
BAC 90 ,ABC ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB)(ABC) Tính V của hình chóp
Bài 61: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng
2.Tính Sxq và V của hình chóp đó
Bài 62:Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên đều là tam giác vuông đỉnh S và SA=SB=SC =a
Tính d S;(ABC)
Bài 63: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a 3, đường cao SA=a.Mặt ph ng
ua A và vuông góc với SB tại cắt SC tại K Tính SK và S AHK
Bài 64: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình bình hành ABCD có diện tích bằng a2 3 và góc giữa 2 đường chéo bằng 600.Biết rằng các cạnh bên của hình chóp nghiêng đếu trên mặt đáy 1 góc 450
1 Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật
2 Tính V của hình chóp đó
Bài 65: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, AB=BC= 2a;
đường cao của hình chóp là SA =2a
1 ác đ nh và tính đoạn vuông góc chung của AD và SC
2 Tính V của hình chóp đó
Bài 66: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = ,c n tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 1
1/ C/m: SA SC
2/ Tính V của hình chóp đó
Bài 67: Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD là nửa lục giác đều với AB=BC=CD=a và AD= 2a
ai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy ,mp SBD tạo với mp chứa đáy 1 góc 45 0
2/ Tính khoảng cách t tâm mặt đáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp
Bài 70: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có đường cao S =1 và đáy ABC có cạnh bằng
2 6 Điểm M, là trung điểm của cạnh AB,AC tương ứng Tính V của hình chóp S.AM và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó
Trang 15Bài 71: Trong mp cho 1 điểm và 1 đường th ng d cách một khoảng =h ấy trên d hai
điểm phân biệt B,C sao cho BOH COH 30 0 Trên đường th ng vuông góc với tại , lấy điểm
A sao cho OA =OB
1/ Tính V của tứ diện ABC
2/ Tính d O;(ABC) theo h
Bài 72: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = và các cạnh c n lại đều bằng 1
1/ C/m :SASC
2/ Tính V của hình chóp ác đ nh để bài toán có ngh a
Bài 73: Tính V của khối tứ diện ABCD , biết AB =a, AC=AD=BC=BD=CD=a 3
Bài 74: Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA=SB =SC =d và ASB 900, BSC 600, ASC 90 0 1/ C/m : ABC là tam giác vuông
2/ Tính V của tứ diện SABC
Bài 75: Trên nửa đường tr n đường kính AB =2R , lấy 1 điểm C tu .D ng CH AB thuộc
AB và gọi là trung điểm của C Trên nửa đường th ng t vuông góc với mp ABC lấy điểm S sao cho ASB 900
1/ C/m : SHC là tam giác đều
2/ Đặt A =h Tính V của tứ diện SABC th o h và R
Bài 76: Cho tứ diện ABCD có 3 cạnh AB,AC,AD,vuông góc với nhau t ng đôi một và AB=a,
AC=2a ,AD =3a y tính diện tích tam giác BCD th o a
Bài 77: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a là trung điểm của AB ua d ng đường vuông
góc với mp ABC và trên đó lấy điểm S sao cho 2.IS a 3
1/ C/m: SAD là tam giác vuông
2/ Tính V của hình chóp S.ACD Suy ra d C;(SAD)
Bài 78: Bên trong hình trụ tr n oay có 1 hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh liên tiếp
A,B nằm trên đường tr n đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh c n lại nằm trên đường tr n đáy thứ 2 của hình trụ.Mặt ph ng hình vuông tạo với đáy hình trụ 1 góc 450.Tính Sxq và V của hình trụ đó
Bài 79: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tr n tâm bán kính R và A 1200 Trên đường th ng vuông góc với mp ABC tại A, lấy điểm S sao cho SA=a 3
1/ Tính V tứ diện SABC th o a và R
2/ Cho R =2a, gọi là trung điểm của BC.Tính số đo giữa S và hình chiếu của nó trên
mp(ABC)
Bài 80: Cho hình chóp S.ABCD ,đáy là hình chữ nhật có AB=2a, BC=a, Các cạnh bên của hình
chóp đều bằng a 2 Tính V của hình chóp S.ABCD th o a
Bài 81: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD lần lượt vuông góc với nhau t ng đôi một, AB=a,
AC=2a ,AD=3a
1/ Tính d A;(BCD)
2/ Tính S BCD
Bài 82: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a ,đường cao S =h
1/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
2/ Tính V của hình chóp S.ABCD
Bài 83: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a óc giữa
mặt bên và đáy là (450 90 )0 Tính STP và V hình chóp
Trang 16http://trithuctoan.blogspot.com/ 12 CI
Bài 84: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a Cạnh bên
SA=a 5 Một mp đi ua AB và vuông góc với mp SCD , lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’ 1/ Tính S tứ giác ABC’D’
2/ Tính V hình đa diện ABCDD’C’
Bài 85: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB =a và góc SAB Tính V của hình chóp S.ABCD th o a và
Bài 86: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA =2a và vuông
góc với mặt ph ng đáy
1/ Tính STP của hình chóp
2/ ạ AE SB, AF SD C/m: SC mp(AEF)
Bài 87: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA=SB =SC= SD =a Tính STP và V hình chóp S.ABCD
Bài 88: Cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B và AC =2a,cạnh SA mp(ABC)
và SA =a
1/ Tính d A;mp(SBC)
2/ ọi là trung điểm của AC Tính d O;mp(SBC)
Bài 89: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D, AB=AD
=a, CD=2a Cạnh bên SD mp(ABCD), SD= a
1/ C/mr: SBC vuông Tính SSBC
2/ Tính d A;(SBC)
Bài 90: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ,biết AB=2a ,BC =a ,các cạnh bên của
hình chóp bằng nhau và bằng a 2.Tính V hình chóp
Bài 91: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D,AB=AD=a,
CD=2a Cạnh bên SD mp(ABCD),SD a 3 T trung điểm E của DC d ng EK SC
(K SC).Tính V hình chóp S.ABCD th o a và SC mp(EBK)
Bài 92: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA (ABCD), SA=a 6 là hình chiếu của A lên SD
1/ C/m : AH (SBC)
2/ ọi là giao điểm của AC và BD Tính d O;(SBC)
Bài 93: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D.Biết rằng
AB=2a ,AD=CD =a a 0 Cạnh bên SA =3a vuông góc với đáy
1/ Tính S SBD
2/ Tính V tứ diện SBCD th o a
Bài 94: Cắt hình nón đỉnh S cho trước bởi mp đi ua trục của nó , ta được 1 tam giác vuông cân
có cạnh huyền bằng a 2 Tính Sxq ,Stp và V của hình nón
Bài 95: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B Cạnh SA vuông góc với
đáy T A kẻ các đoạn th ng AD SB và AESc Biết AB =a ,BC =b, SA =c
1/ Tính V của khối chóp S.ADE
2/ Tính d E;(SAB)