Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian oxyz – lê văn đoàn

Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chửụng Chuyên đề: Oxyz PHệễNG PHA P TOẽ A ĐỘ TRONG KHÔ N G GIAN OXYZ § HỆ TỌ A ĐỘ TRONG KHÔ N G GIAN  Định nghĩa hệ trục tọa độ Hệ gồm trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi    chung điểm gốc O Gọi i  (1; 0; 0), j  (0;1; 0) k  (0; 0;1) véctơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vuông góc khơng gian hay gọi hệ trục Oxyz       Lưu ý: i  j  k  i j  i k  k j  Tọa độ véctơ      Định nghĩa: a  (x ; y; z )  a  x i  y.j  z k   Tính chất: Cho a  (a1; a ; a ), b  (b1 ;b2 ;b3 ), k       a  b  (a1  b1; a  b2 ; a  b3 )  k a  (ka1; ka2 ; ka ) a  b  1    a a a      Hai véctơ a  b  a  b2   a  b  a  k b      b1 b2 b3 a  b3  2   Môđun (độ dài) véctơ: a  a12  a22  a 32  a  a12  a22  a 32       Tích vô hướng: a b  a b cos(a , b )  a1b1  a2b2  a3b3   a  b  a b  a b  a b   1 2 3   a1b1  a2b2  a 3b3   a b Suy ra:    cos(a ;b )      a b a12  a22  a 32 b12  b22  b32  Tọa độ điểm     Định nghĩa: M (a;b; c)  OM  a.i  b.j  c.k  (a;b; c) M  (Oxy )  z  0, M  (Oyz )  x  0, M  (Oxz )  y  Cần nhớ:    M  Ox  y  z  0, M  Oy  x  z  0, M  Oz  x  y   Tính chất: cho hai điểm A(x A ; yA ; z A ), B(x B ; yB ; z B )   AB  (x B  x A ; yB  yA ; z B  z A )  AB  (x B  x A )2  (yB  yA )2  (z B  z A )2  x  x y  y z  z  B B B   Gọi M trung điểm AB  M  A ; A ; A   2   x  x  x y  y  y z  z  z  B C B C B C   Gọi G trọng tâm tam giác ABC  G  A ; A ; A    3   Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, tọa độ điểm G  x  x  x  x y  y  y  y z  z  z  z  B C D B C D B C D G  A ; A ; A    4 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 73 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz Tớch cú hướng hai véctơ a  (a ; a ; a )  Định nghĩa: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho véctơ    Tích có hướng hai véctơ b  (b1;b2 ;b3 )        a , b véctơ, ký hiệu [a , b ] (hoặc a  b ) xác định công thức:  a a a a a a     [a , b ]   ; ;   a2b3  a 3b2 ; a 3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1   b2 b3 b3 b1 b1 b2         Lưu ý: Nếu c  [a , b ] ta ln có c  a c  b Tính chất:           [i , j ]  k , [ j , k ]  i , [k , i ]  j            [a , b ]  a , [a , b ]  b       a  b  [a , b ]     [a ,b ]  a b sin(a ;b ) Ứng dụng tích có hướng:              Để a , b , c đồng phẳng  [a , b ].c  Ngược lại, để a , b , c khơng đồng phẳng [a , b ].c  (thường gọi tích hỗn tạp) Do để chứng minh điểm A, B, C , D bốn điểm tứ diện, ta cần chứng minh         AB, AC , AD không đồng phẳng, nghĩa AB, AC  AD       Ngược lại, để chứng minh điểm A, B, C , D đồng phẳng, ta cần chứng minh AB, AC , AD      thuộc mặt phẳng  AB, AC  AD  D C        Diện tích hình bình hành ABCD S ABCD  AB, AD     A B       Diện tích ABC S ABC   AB, AC   A         Thể tích khối hộp ABCD.A B C D  V  AB, AD  AA   C B        Thể tích khối tứ diện ABCD VABCD   AB, AC  AD   Phương trình mặt cầu  Phương trình mặt cầu (S) dạng 1: Để viết phương trình mặt cầu (S ), ta cần tìm tâm I (a;b;c) bán kính R Khi đó:  Tâm: I (a;b; c ) (S ) :   (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c )2  R2  Bán kính: R   Phương trình mặt cầu (S) dạng 2: Khai triển dạng 1, ta x  y  z  2ax  2by  2cx  a  b  c  R  đặt d  a  b  c  R phương trình mặt cầu dạng (S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Với a  b  c  d  phương trình mặt cầu dạng có tâm I (a;b;c), bán kính R  a  b2  c2 d Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 74 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz Daùng toaựn 1: Bài toán liên quan đến véctơ độ dài đoạn thẳng  Cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A(x A ; yA ; z A ), B(x B ; yB ; z B )   AB  (x B  x A ; yB  yA ; z B  z A )       a  (x ; y; z )  a  x i  y.j  z k      M (a;b; c )  OM  a i  b.j  c.k  AB  (x B  x A )2  (yB  yA )2  (z B  z A )2      Ví dụ: a  2i  j  k  a  ( ; .; .)    Ví dụ: OM  2.i  3.k  M ( ; ; )  Điểm thuộc trục mặt phẳng tọa độ (thiếu cài nào, cho 0) : z 0  M  (Oxy )   M (x M ; yM ; 0) x 0  M  (Oyz )    M ( ; ; ) y 0 y z 0  M  (Oxz )    M ( ; ; )  M  Ox    M ( ; ; ) x z 0  M  Oy    M ( ; ; ) x y 0  M  Oz    M ( ; ; )    A(1;2; 3) B(2; 1; 0) Tìm Cho điểm M thỏa OM  2i  j Tìm tọa Cho hai điểm  độ điểm M tọa độ véctơ AB A M (0;2;1) B M (1;2; 0) A (1; 1;1) B (3; 3; 3) C M (2; 0;1) D M (2;1; 0) C (1;1; 3) D (3; 3; 3)   Cho hai điểm A, B thỏa OA  (2; 1; 3) Cho hai điểm M , N thỏa OM  (4; 2;1),     OB  (5;2; 1) Tìm tọa độ véctơ AB ON  (2; 1;1) Tìm tọa độ véctơ MN     A AB  (3; 3; 4) B AB  (2; 1; 3) A MN  (2; 1; 0) B MN  (6; 3;2)     C AB  (7;1;2) D AB  (3; 3; 4) C MN  (2;1; 0) D MN  (6; 3; 2) Cho hai điểm A(2; 3;1), B(3;1;5) Tính độ Cho hai điểm M (3; 0; 0), N (0; 0; 4) Tính độ dài đoạn thẳng AB dài đoạn thẳng MN A AB  21 B AB  13 C AB  D AB  A MN  10 B MN  C MN  D MN  Cho hai điểm A(1;2; 3) M (0; 0; m) Tìm Cho A(1; 3; m), B(1; 4; 2), C (1; m;2) Tìm m để ABC cân B m, biết AM  A m  3 C m  B m  D m  2 A m  7/12 B m  27/12 C m  7/12 D m  27/12 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 75 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz Daùng toaựn 2: Bài toán liên quan đến trung điểm, tọa độ trọng taâm  Cần nhớ:  x  x y  y z  z  AB A B B B   ; A ; A   Nhớ M   2 2   M trung điểm AB  M   x  x  x y  y  y z  z  z  A  B C A B C B C B C   ; A ; A   Nhớ G   3 3   G trọng tâm ABC  G   Gọi G1 trọng tâm tứ diện ABCD, tọa độ điểm G1  x  x  x  x y  y  y  y z  z  z  z  A  B C  D B C D B C D B C D  G1  A ; A ; A   Nhớ: G1   4 4  Cho hai điểm A(3; 2; 3) B(1;2;5) Tìm Cho hai điểm M (1; 2; 3) N (3; 0; 1) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB tọa độ trung điểm I đoạn MN A I (2;2;1) B I (1; 0; 4) A I (4; 2;2) B I (2; 1;2) C I (2; 0; 8) D I (2; 2; 1) C I (4; 2;1) D I (2; 1;1) Cho hai điểm M (3; 2; 3) I (1; 0; 4) Tìm Cho hai điểm A(2;1; 4) I (2;2;1) Tìm điểm điểm N để I trung điểm đoạn MN B để I trung điểm đoạn AB A N (5; 4;2) B N (0;1;2) A B(2; 5;2) B B(2; 3; 2) C N (2; 1;2) D N (1;2;5) C B(2; 1;2) D B(2;5;2) Cho ba điểm A(1; 3;5), B(2; 0;1), C (0;9; 0) Cho điểm A(2;1; 3), B(4;2;1), C (3;0;5) G(a;b; c) trọng tâm ABC Tìm abc Tìm trọng tâm G tam giác ABC A G(3;12;6) B G(1;5;2) A abc  B abc  C G(1; 0;5) D G(1; 4;2) C abc  D abc  Cho tứ diện ABCD có A(1; 0;2), B(2;1; 3), Cho tứ diện ABCD có A(1; 1;1), B(0;1;2), C (3;2; 4), D(6;9; 5) Tìm tọa độ trọng tâm C (1; 0;1), D(a;b;c) G(3/2;0;1) trọng tâm tứ diện Tính S  a  b  c G tứ diện ABCD A G(8;12; 4) B G(9;18; 30) A S  6 B S  C G(3; 3;1) D G(2; 3;1) C S  D S  4 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 76 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz Daùng toán 3: Bài toán liên quan đến hai véctơ    Cần nhớ: Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a  (a1; a ; a ), b  (b1 ;b2 ;b3 ), k      a  b  (a1  b1; a  b2 ; a  b3 )   k a  (ka1; ka2 ; ka )  Hai véctơ hoành  hoành, tung  tung, cao  cao, nghĩa là: a  b  1      a  b  a2  b2  Để ABCD hình bình hành AB  DC  a  b3  Cho A(1;2; 1), B(2; 1; 3), C (3;5;1) Tìm Cho A(1;1;3), B(2;6;5), C (6; 1;7) Tìm điểm D cho ABCD hình bình hành điểm D để ABCD hình bình hành A D(4; 8; 3) B D(2;2;5) A D(7; 6;5) B D(7; 6; 5) C D(2; 8; 3) D D(4; 8; 5) C D(7;6;5) D D(7; 6; 5) Học sinh nghe giảng bổ sung lời giải Gọi D(x ; y; z ) đỉnh hình bình hành   AB  ( ; ; ) Ta có:   DC  ( ; ; )    Vì ABCD hình bình hành nên AB  DC 1  3  x x     3   y  y   D( ; ; )   4   z z    Cho A(1;1;1), B(2; 3; 4), C (6;5;2) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành Cho A(1;2; 1), B(2; 1; 3), C (2; 3; 3), M (a;b;c) Tìm a  b  c để ABCM hình bình hành A D(7;7;5) B D(5; 3; 1) A 42 B 43 C D(7; 6;5) D D(7;6; 5) C 44 D 45 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 77 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz Cho hai im A(1;2; 3) B(1; 0;2) Tìm Cho hai điểm B(1;2; 3), C (7; 4; 2) Tìm tọa     độ điểm M , biết CM  2MB tọa độ điểm M thỏa mãn AB  2MA  7 A M 2; 3;      7 B M 2;  3;      8 A M 3; ;    3   8 B M 3; ;     3  C M (2; 3;7) D M (4;6;7) C M (3; 3;7) D M (4;6;2) Cho A(2; 0; 0), B(0; 3;1), C (3;6; 4) Gọi M Cho A(0;1;2), B(1;2; 3), C (1; 2; 5) Điểm M điểm nằm đoạn BC cho MC  2MB Tính độ dài đoạn AM nằm đoạn thẳng BC MB  3MC Tính độ dài đoạn AM A AM  B AM  29 A AM  11 B AM  C AM  3 D AM  30 C AM  D AM  30 cho     Cho u  (2; 5; 3), v  (0;2; 1), w  (1; 7;2) 10 Biểu diễn véctơ a  (3; 7; 7) theo véctơ        u  (2;1; 0), v  (1; 1;2), w  (2;2; 1) Tìm véctơ a  u  4v  2w          A a  (7;2; 3) B a  (0;27; 3) A u  3v  2w B a  2u  3v  w          C a  (0; 27; 3) D a  (7; 2; 3) C 2u  3v  w D a  u  2v  3w Ths Lª Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 78 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên ®Ị: Oxyz 11 Cho tam giác ABC có A(1;1;1), B(5;1; 2) 12 Cho ABC có A(1;2; 4), B(3; 0; 2) C (1; 3;7) Gọi D chân đường phân giác C (7;9;1) Tính độ dài đường phân giác góc A Tính độ dài đoạn OD, AD góc A A AD  74  B AD  74  A OD  C AD  74  D AD  74  C OD  Học sinh nghe giảng bổ sung lời giải Ta có: A(1;1;1) AB    AC 10 Theo tính chất phân giác:  205  B OD  D OD  B(5;1;-2) D(x;y;z) C(7;9;1)   DB AB    2BD  DC DC AC   BD  2(x  5; y  1; z  2)  Gọi D(x ; y; z )    DC  (7  x ;  y;1  z )          D       ;  ;   74  Do độ dài đoạn AD   Nhận xét Nếu tỉ số tam giác ABC tam giác cân A Khi chân đường phân giác D góc A trung điểm cạnh BC 13 Cho ABC có A(1;2; 1), B(2; 1; 3) 14 Cho ABC có A(1;2; 1), B(2; 1; 3) C (2; 3; 3) Tìm tọa độ điểm D chân C (4;7;5) Tìm tọa độ điểm D chân đường đường phân giác góc A tam giác phân giác góc B A D(0;3; 1) B D(0; 3;1) A D(2;2; 1) B D(2/3; 11/3; 1) C D(0; 3;1) D D(0;1; 3) C D(2;3; 1) D D(3; 11;1) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 79 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz Dạng toán 4: Hai véctơ phương, ba điểm thẳng hàng    Cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz , cho hai véctơ a  (a1; a ; a ), b  (b1 ;b2 ;b3 ), k    Hai véctơ phương  Tung Cao Hoµnh    Nghĩa là: Tung Cao Hoµnh    a a a    a  b  a  k b     k Khi k  a b phương chiều b1 b2 b3    Ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB  AC    A, B, C ba đỉnh tam giác  A, B, C không thẳng hàng  AB  AC     Cho u  (2; m  1; 4) v  (1; 3; 2n) Biết Cho hai véctơ u  (1; 3; 4), v  (2; y; z )   phương Tổng y  z u phương v , m  n A B C D Học sinh nghe giảng bổ sung lời giải     m 1 Vì u  v        2n  A  B C D m     m  n  Chọn A n      Cho hai vécơ u  (1;a;2), v (3;9;b) Cho véctơ a  (10  m; m  2; m  10)  phương Giá trị tổng a  b b  (7; 1; 3) phương Giá trị m A 15 B C D  A B  C  D Cho A(2;1; 3) B(5; 2;1) Đường thẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;6;6), B(3; 6; 2) Tìm điểm M  (Oxy ) AB cắt mặt phẳng (Oxy ) M (a;b;c) Tính giá trị tổng a  b  c để AM  MB ngắn ? A a  b  c  B a  b  c  11 A M (2; 3; 0) B M (2; 3; 0) C a  b  c  D a  b  c  C M (3;2; 0) D M (3;2; 0) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 80 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz Daùng toaựn 5: Nhóm toán liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ  Hình chiếu: “Thiếu nào, cho 0” Nghĩa hình chiếu M (a;b;c) lên:  Ox M 1( ; ; )  Oy M ( ; ; )  Oz M ( ; ; )  (Oxy ) M ( ; ; )  (Oxz ) M ( ; ; )  (Oyz ) M ( ; ; )  Đối xứng: “Thiếu nào, đổi dấu đó” Nghĩa điểm đối xứng N (a;b;c) qua:  Ox N ( ; ; )  Oy N ( ; ; )  Oz N ( ; ; )  (Oxy ) N ( ; ; )  (Oxz ) N ( ; ; )  (Oyz ) N ( ; ; )  Khoảng cách: Để tìm khoảng cách từ M đến trục (hoặc mp tọa độ), ta tìm hình chiếu H M lên trục (hoặc mp tọa độ), từ suy khoảng cách cần tìm d  MH Cho điểm A(3; 1;1) Hình chiếu vng góc Trong khơng gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H A mặt phẳng (Oyz ) điểm hình chiếu M (1;2; 4) lên (Oxy ) A M (3; 0; 0) B N (0; 1;1) A H (1;2; 4) B H (0;2; 4) C P(0; 1; 0) D Q(0; 0;1) C H (1;0; 4) D H (1;2; 0) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: Hình chiếu vng góc A(3; 1;1) Trong khơng gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H hình chiếu M (4;5;6) lên trục Ox (Oxz ) A(x ; y; z ) Khi x  y  z A  B A H (0;5;6) B H (4;5; 0) C D C H (4; 0; 0) D H (0; 0;6) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H hình chiếu M (1; 1;2) lên trục Oy Trong khơng gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H hình chiếu M (1;2; 4) lên trục Oz A H (0; 1; 0) B H (1; 0; 0) A H (0;2; 0) B H (1; 0; 0) C H (0; 0;2) D H (0;1; 0) C H (0; 0; 4) D H (1;2; 4) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: Tìm tọa độ M  điểm đối xứng điểm Tìm M  điểm đối xứng M (1; 2; 0) qua M (1;2; 3) qua gốc tọa độ O điểm A(2;1; 1) A M (1;2; 3) B M (1; 2; 3) A M (1; 3; 1) B M (3; 3;1) C M (1; 2; 3) D M (1;2; 3) C M (0; 5;1) D M (3; 4; 2) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Ngun Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 81 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz Tỡm ta im M  điểm đối xứng 10 Tìm tọa độ M  điểm đối xứng điểm M (2; 3; 4) qua trục Oz điểm M (3;2;1) qua trục Ox A M (3; 2; 1) B M (3;2;1) A M (2; 3; 4) B M (2; 3; 4) C M (3; 2; 1) D M (3; 2;1) C M (2; 3; 4) D M (2; 3; 4) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: 11 Tìm điểm M  điểm đối xứng điểm 12 Tìm điểm M  điểm đối xứng điểm M (1;2;5) qua mặt phẳng (Oxy ) M (1; 2; 3) qua mặt phẳng (Oyz ) A M (1; 2;5) B M (1;2; 0) A M (1; 2; 3) B M (1;2; 3) C M (1; 2;5) D M (1;2; 5) C M (1;2; 3) D M (0; 2; 3) Ghi lại câu cần nhớ: Ghi lại câu cần nhớ: 13 Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ 14 Trong không gian Oxyz , tính khoảng cách điểm M (a;b;c) đến mặt phẳng (Oxy ) từ điểm M (a;b;c) đến trục hoành Ox A a  b2 C b B a A a  b2 B b2  c2 D c C a  c2 D a 15 Tính khoảng cách d từ điểm M (1; 2; 3) đến mặt phẳng (Oxz ) 16 Trong khơng gian Oxyz , tính khoảng cách d từ điểm M (3;2; 4) đến Oy A d  B d  A d  B d  C d  D d  C d  D d  17 Cho hình hộp ABCD.A B C D  có A(0; 0; 0), 18 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D  có A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 3; 0), D (0; 3; 3) C (3; 4;5) điểm B thuộc trục hồnh Tìm tọa độ tâm I hình chữ nhật CDD C  Tìm tọa độ trọng tâm G A B C  A I (3/2; 2; 5/2) B I (3/2; 4; 5/2) A G(2;1; 1) B G(1;1; 2) C I (3/2; 2; 5) D I (3;2;5) C G(2;1; 3) D G(1;2; 1) Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 82 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) 41 Cho hai điểm A(1; 1; 0), B(1; 0; 1) điểm M d : Chuyên đề: Oxyz x y z 1    Giá trị nhỏ 1 biểu thức T  MA  MB A B 2 C D x   t  42 Cho đường thẳng d :  y   t hai điểm A(1;2; 3), B(1; 0;1) Tìm điểm M  d cho tam  z  2  giác MAB có diện tích nhỏ A M (1;1; 2) B M (1; 1; 2) C M (1; 1;2) D M (1; 0; 2) 43 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(6; 0;6), B(8; 4; 2), C (0; 0;6), D(1;1;5) Gọi M (a;b;c) điểm đường thẳng CD cho chu vi tam giác MAB nhỏ Khi a  b  3c có giá trị A 24 B C 10 D 26 44 Cho ba điểm A(1; 0;  2), B (3;2; 4), C (0;2; 3) Mặt phẳng (P ) thay đổi qua C không cắt đoạn thẳng AB Gọi d1, d2 khoảng cách từ A, B đến (P ) Phương trình mặt cầu (S ) có tâm O, tiếp xúc với (P ), ứng với d1  d2 lớn A x  y  z   C x  y  z  12 B x  y  z  D x  y  z  32  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 236 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz Nhóm MỘT SỐ DẠNG CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP KHÁC  Phương trình đường thẳng d nằm mặt (P ) qua M cho khoảng cách từ điểm A đến d lớn  Ta có: d(A,d )  AB  AM  d(A,d )max  AM  d  AM      ud  AM    Do   nên chọn u  n , AM    d P u  n   d P  Qua M   Tóm lại đường thẳng cần tìm d :     (tương tự d  d1  (P )) VTCP : ud  nP , AM      Phương trình đường thẳng d nằm mặt (P ) qua M cho khoảng cách từ điểm A đến d nhỏ  Ta có: d(A,d )  AB  AH không đổi  d(A,d )min  AH  AH  AB     Giao tuyến MH  (AMH )  (P ) nên ud  [nP , n(AMH ) ]         Mà n(AMH )  [AM , n P ]  ud  nP ,[AM , nP ] (tích có hướng lần)   Qua M   Tóm lại đường cần tìm d :  (tương tự d  d1  (P ))     VTCP : ud  nP ,[AM , nP ]     Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A (P ) cách B cho trước khoảng lớn B  Từ hình vẽ, nhận thấy rằng: d(B;(P ))max  AB  (P ) Qua A    Do (P ) :  VTPT : n  AB  P H A P  Phương trình mặt (P ) chứa đường thẳng d, đồng thời (P ) cách M khoảng lớn M  Gọi hình chiếu vng góc M lên (P ) d H K Khi đó: d(M ,(P ))  MH  MK d Do MH lớn  H  K Suy (P ) chứa d vng góc với (Q ) chứa M d P K H  Qua A  d  (P )   Nên (P ) :      (tương tự: (P )  d hay  (Q))  VTPT : n  [ud ; AM ], ud    M Q H P d A Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 237 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz  Các toán mặt cầu mặt phẳng  Áp dụng r  R  d(2I ,(P )) Chẳng hạn: a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d, cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ (diện tích, chu vi nhỏ nhất,…) Tâm I (S)  Từ công thức r  R  d(2I ,(P ))  rmin  d(I ,(P ))max  Tìm hình chiếu tâm mặt cầu I lên d H Nên d(I ,(P ))  IK  IH  d(I ,(P ))max K  H  (P )  IH Qua M  d    Do (P ) :  VTPT : n  IH  M P K d H b) Cho mặt cầu (S ) mặt phẳng (P ) cắt theo giao tuyến đường tròn (C ) Viết phương trình đường thẳng d nằm (P ), qua E cắt (C ) A, B thỏa mãn: AB ngắn nhất, AB dài nhất, tam giác IAB cho tính chất định tính hay định lượng Phương pháp: Xét vị trí điểm E, vẽ hình lý luận dựa vào tốn phía I I B A P E H E P H A B   AB  d    (H ,AB )max    ud  IE , nP  d(H ,AB )max  IE     ABmax  d(H ,AB )min  d ) góc  Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d  (d   lớn  Lấy K  d, dựng MK  d   Gọi H , I hình chiếu M (P ) d Khi đó:     sin 90  KMH   cos KMH   MH  MI  sin d ;(P )  sin MKH KM KM    Do d ;(P )  H  I nên nP  IM hay (P ) chứa d vng góc với mặt chứa d  d    max Qua N  d Tóm lại, mặt phẳng (P ) cần tìm có tính chất (P ) :       VTPT : nP  [ud , ud  ], ud      (P ) Viết phương trình  Cho mặt phẳng (P ), điểm A  (P ) đường thẳng d d  (P ) d    đường thẳng d  qua A, nằm (P ) tạo với d góc nhỏ  Từ A, dựng AM  d  Gọi H , I hình chiếu M (P ) d   Khi cos(d ; d )  cos MAH MH MI AM AM Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 238 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz  Do (d ; d )min  I  H nên d  qua A song song với hình chiếu vng góc d (P ) Qua A Tóm lại, đường thẳng d  cần tìm có tính chất d  :       VTCP : ud   n P ,[nP , ud ]     Đường thẳng nằm mặt trụ: “Viết phương trình đường thẳng d thay đổi song song với d  cách d  khoảng r , đồng thời khoảng cách từ điểm A đến d nhỏ nhất”  Dựng mặt phẳng (P ) qua A vng góc d   Khoảng cách d(A, d )  AH nên AH  AH  H  H   Tìm hình chiếu A d  I    Tìm H  thỏa mãn IH   r IA Qua H   Khi d đường thẳng qua H   d  Nghĩa d :    VTCP : ud  ud    Một số tốn khác a) Điểm chạy đường trịn, chẳng hạn: “Cho hai điểm A, B mặt phẳng (P ) Tìm M  (P ) cho MAB vng M SMAB nhỏ nhất”  M  (C ) đường trịn giao tuyến mặt cầu đường kính AB (P ) S MAB  d (M , AB )  MH  AH HBmin b) Viết phương trình đường thẳng d  (P ) cắt d1, d2 A, B thỏa ABmin Gọi điểm cắt hai đường thẳng: theo hai tham số Dùng song song: rút ẩn theo ẩn cịn lại Tính AB theo ẩn tìm giá trị nhỏ Suy ẩn thứ  đường thẳng cần tìm     c) Phương trình đường () qua A, vng góc với d, đồng thời d (; d )max  u  ud ; AH    45 Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm A(1;1; 1), nằm mặt phẳng (P ) : 2x  y  z  cách B(0;2;1) khoảng lớn A x 1 y 1 z     B x 1 y 1 z     C x 1 y 1 z     1 D x 1 y 1 z     2 46 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;1;1), A(2; 3; 0) (P ) : x  y  z   Phương trình đường thẳng d qua M, song song với (P ) cho khoảng cách từ A đến d lớn x 1 y 1 z 1 A    1 4 x 1 y 1 z 1 B    2 1 x 1 y 1 z 1 C    5 x 1 y  z  D    1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 239 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz 47 Trong khụng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, vng góc với đường thẳng d1 : x 1 y z cách điểm M (2;1;1) khoảng lớn   1 2 A d : x y z    B d : x y z    3 C d : x y z    D d : x y z    6 48 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 0;2), song song với mặt (P ) : 2x  y  z   cách gốc tọa độ O khoảng lớn x 1 y z 2 A    x 1 y z 2 B    2 3 C x 1 y z 2    1 D x 1 y z 2    3 49 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, nằm mặt phẳng (P ) : 2x  y  z  cách điểm M (1;2;1) khoảng nhỏ A d : x y z    13 B d : x y z    13 5 C d : x y z    12 D d : x y z    12 5 50 Trong không gian Oxyz, cho M (1;1;1), A(2; 3; 0) (P ) : x  y  z   Phương trình đường thẳng d qua M, song song với (P ) cho khoảng cách từ A đến d nhỏ x 1 y 1 z 1 A    1 4 x 1 y 1 z 1 B    2 1 C x 1 y 1 z 1    5 D x 1 y  z     1 51 Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O, song song với mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   cách M (1; 1;2) khoảng nhỏ x y z A d :    13 x y z B d :    5 13 C d : x y z    3 13 D d : x y z    13 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Ngun Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 240 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz 52 Trong khụng gian Oxyz, vit phương trình mặt phẳng qua điểm A(1; 0; 2) cách điểm M (2;1;1) khoảng lớn A x  y  3z   B x  y  3z   C x  y  3z   D x  y  3z   53 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d: x 2 y z 2 (P ) cách điểm M (2;1;1) khoảng lớn   1 1 A x  y  3z   B 2x  5y  7z  10  C 2x  y  5z   D x  y  5z   x 1 y z 2    Gọi (P ) 2 mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ điểm A đến (P ) lớn Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P ) 54 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;5; 3) đường thẳng d : A C 11  B D   x 3 y 1 z 4    Mặt phẳng 2 (P ) chứa d cho khoảng cách từ M đến (P ) lớn (P ) cắt trục tọa độ A, B, C Thể tích khối tứ diện OABC 55 Trong không gian Oxyz , cho M (3; 1;5) đường thẳng d : A 72 B 72  C 84 84 D  56 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ) qua gốc tọa độ O, vng góc với 1  mặt phẳng (Q ) : 2x  y  z   cách M  ; 0;2 khoảng lớn   A 5x  8y  18z  B 5x  3y  8z  C x  3y  z  D x  y  3z  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 241 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz 57 Trong khụng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm A(1; 2;1), song song với đường thẳng d : A B C D x y 1 z   cách gốc tọa độ O khoảng lớn 2 11x  16y  8z   11x  16y  10z  53  11x  16y  10z  53  11x  16y  8z   58 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (0; 1;2) N (1;1; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M , N cho khoảng cách từ K (0; 0;2) đến (P ) lớn A B C D x  y  z   x  2y  z   x  y  z   x  2y  z   59 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d: x 1 y 1 z 2 x 1 y z 1 tạo với đường d  : góc lớn     2 A x  4y  z   B x  4y  z   C x  3y  z   D x  3y  z   60 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P ) qua gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (Q ) : 2x  y  z   0, đồng thời tạo với trục Oy góc lớn A 2x  5y  z  B 2x  2y  z  C 3x  2y  4z  D 3x  2y  z  x y 1 z 2    Phương trình 1 đường thẳng nằm (P ), cắt d tạo với d góc lớn 61 Cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   đường thẳng d : A x 1 y 1 z 1    1 4 x 1 y 1 z 1    2 1 x 1 y 1 z 1 C    5 B x 1 y  z  D    1 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 242 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz x y 1 z 2    Phương trình 1 đường thẳng nằm (P ), cắt d tạo với d góc nhỏ 62 Cho mặt phẳng (P ) : x  y  z   đường thẳng d : x 1 y 1 z 1    1 4 x 1 y 1 z 1 B    2 1 x 1 y 1 z 1 C    5 x 1 y  z  D    1 A x 3 y 1 z 2 hai điểm A(2;1;2),   1 B(1; 0;1) Tìm véctơ phương đường thẳng  qua B vng góc với d cho góc  AB nhỏ 63 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : A (2; 0;1) B (2;5;1) C (1; 0;2) D (1;2; 0) 64 Cho hai điểm A(1; 2;2), B(0; 0;1) Đường thẳng  qua B vng góc với Oy cho khoảng cách A  nhỏ Tính khoảng cách nhỏ A  B C D  65 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 0; 3); B(0;2; 1) Đường thẳng  qua A vng góc với đường thẳng Oz cho khoảng cách B  lớn Tính khoảng cách lớn A 3 B C D 21 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 243 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz 66 Trong khụng gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   điểm A(1; 0;1) Mặt phẳng () qua A vng góc với (P ) cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến () lớn Tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng () A (7; 4;5) B (1;2; 2) C (7; 4;5) D (0; 3;2) 67 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x  y  2z   điểm A(2;1; 1), B(0; 1;1) Mặt phẳng () qua A, vng góc với (P ) hợp với đường thẳng AB góc lớn Tính sin góc lớn A  69  B C 0, 65  D 68 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0; 4; 0) Đường thẳng d thay đổi song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm ? (xem lại toán mặt trụ) A B C D (3; 0; 3) (3; 0; 3) (0; 3; 5) (0; 3; 5) 69 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(5; 0; 0) Đường thẳng d thay đổi song song với trục Oy cách trục Oy khoảng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, khoảng cách từ M (3;1; 0) đến d ? A B C D 70 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;0;6) Đường thẳng d thay đổi song song với trục Ox cách trục Ox khoảng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng d A (x  3)2  y  (z  6)2  B (x  3)2  y  (z  6)2  C (x  3)2  y  (z  6)2  16 D (x  3)2  y  (z  6)2  100 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 244 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz 71 Trong khụng gian Oxyz , cho điểm A(0; 0;10) mặt cầu (S ) : x  y  (z  5)2  25 Đường thẳng d thay đổi song song với trục Oy cách trục Oy khoảng Khi đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S ) B, tính độ dài AB A AB  B AB  C AB  D AB  72 Cho A(0; 4; 3) Đường thẳng d vng góc với (Oxy ) cách gốc tọa độ O khoảng Khoảng cách từ A đến d lớn d qua điểm sau ? A M (4; 0; 0) B M (0; 1;1) C M (0;1; 2) D M (1; 0;4) 73 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  4z  điểm M (1;1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ A 2x  y  z  B 2x  y  z  C 4x  2y  z  D 4x  2y  z  74 Trong không gian Oxyz , cho điểm E (0;1;2), mặt phẳng (P ) : x  y  z   mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  3)2  (z  4)2  25 Viết phương trình đường thẳng d qua E nằm (P ) cắt mặt cầu (S ) hai điểm có khoảng cách nhỏ x   A  y   t  z   t  x  t  C  y   t  z   t    x  1    B y   t   z  t      x  1  t    D y   t   z  t    Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 245 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz 75 Trong không gian Oxyz , cho điểm E (0;1;2) (P ) : x  y  z   mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  3)2  (z  4)2  25 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm E nằm (P ) cắt mặt cầu (S ) hai điểm có khoảng cách lớn   x  1  2t    A y   t B   z  t      x  1    C y   t D   z   2t      x  2t   y   t    z  t      x 0   y   t    z  t       ; 0 mặt cầu (S ) : x  y  z  Đường thẳng  2  76 Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ;  d thay đổi, qua điểm M cắt mặt cầu (S ) hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn tam giác OAB A B C D 2 77 Trong không gian Oxyz , cho điểm E (1;1;1), mặt cầu (S ) : x  y  z  mặt phẳng (P ) : x  3y  5z   Gọi  đường thẳng qua E, nằm (P ) cắt mặt cầu (S ) hai điểm A, B cho tam giác OAB tam giác Phương trình đường thẳng  x 1 y 1 z 1    2 1 x 1 y 1 z 1 B    1 x 1 y 1 z 1 C    1 x 1 y 1 z 1 D    1 1 A 78 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  2z  19  Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa Oz cho (P ) cắt (S ) theo giao tuyến đường tròn có bán kính nhỏ A x  y  B x  2y  C x  y  D x  2y  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 246 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz 79 Trong khụng gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  4z  điểm M (1;1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ A 2x  y  3z  B x  3y  2z  C x  y  D 2x  y  z  80 Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S ) có tâm thuộc mặt (P ) : x  2y  z   qua hai điểm A(1;2;1), B(2;5; 3) Bán kính nhỏ mặt cầu (S ) A 470  546  B C 763  345  D x   : y  t Mặt cầu (S )  z   qua A, có tâm I nằm d1, biết (S ) cắt d2 hai điểm phân biệt B, C cho x 1 y 2 z 81 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;1;1), d1 :   , d2 2   90 Tìm BAC I A I (2; 3;2) B I (3; 4; 4) ` C I (1;2; 0) D I (0; 0;2) 82 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  4x  4y  4z  điểm A(4; 4; 0) Điểm B thuộc mặt cầu (S ) cho tam giác OAB cân B có diện tích Phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B A z  B z  y  z  C x  y  2z  D x  y  z  Ths Lª Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 247 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên ®Ị: Oxyz   5 5 83 Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; , B 4;2;  Tìm hồnh độ điểm M mặt      phẳng (Oxy ) cho ABM  45 tam giác MAB có diện tích nhỏ A  B C  D 84 Trong không gian Oxyz , cho A(1; 2; 3), B(2;1;1) mặt (P ) : x  y  2z   Tìm hồnh độ C thuộc (P ) cho ABC cân C có chu vi nhỏ A  C  B D  85 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng () : 3x  2y  3z  12  Gọi A, B, C giao điểm () với ba trục tọa độ, đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với () có phương trình x 2 y  z 2 x 2 y 3 z 2    B    3 3 A C x 2 y 3 z 2 x 2 y 3 z 2    D    3 3 x   2t  : y   t mặt phẳng  z   t  (P ) : x  y  2z   Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P ) cắt d1, d2 A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ x 1 y 2 z 86 Cho đường thẳng d1 :   , đường thẳng d2 x 1 y  z  A    1 B x 1 y  z     1 2 C x 1 y 2 z    1 3 x  y 1 z 1 D    1 3 Gọi A(1  a ; 2  2a ; a )  d1, B (2  2b;1  b;1  b )  d2   AB  (a  2b  3; 2a  b  3; a  b  1)   Do AB  (P )  AB  nP  (1;1; 2)  b  a   AB  (a  5)2  (a  1)2  (3)2  2a  8a  35  2(a  2)2  27  3 Suy ABmin  3  a  2, b  2  x 1 y 2 z 2    Chọn đáp án A 1 Ths Lª Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 248 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên ®Ò: Oxyz x 1 y 1 z x 1 y  z   ; d2 :   Viết phương trình mặt 1 phẳng (P ) song song với (Q ) : x  y  2z   cắt d1, d2 theo đoạn thẳng có độ dài nhỏ 87 Cho hai đường thẳng d1 : A x  y  2z  10  B x  y  2z  C x  y  2z   D x  y  2z   88 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x  y  z  đường thẳng x 3 y 3 z    Hai mặt phẳng (P ), (P ) chứa d tiếp xúc với (S ) A B Đường 1 thẳng AB qua điểm có tọa độ d: 1 4 A  ;  ;     3   4 B 1;1;       4 C 1; ;     3  1 4 D  ; ;     3  Gọi H hình chiếu I d  H (1;1; 2) (hs tự tìm hình chiếu)  IH  Gọi K trung điểm AB  K  IH   IK IK IH  IA2  R      IK  IH  (1;1; 2) IH 3 IH  AB  d 2 4     K  ; ;    Mà   uAB  ud ; IH   3(1; 1; 0)  3  AB  IH    Suy đường thẳng AB chọn đáp án C 89 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  6z  67  đường thẳng x  13 y  z    Qua d dựng tiếp diện tới (S ), tiếp xúc với (S ) A, B Đường 1 thẳng AB qua điểm sau ? d:  23  A  ; ; 6   2  B (8;1; 4) C (6; 9;6) 17  D  ; ;    2  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 249 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chuyên đề: Oxyz x   3t  2 90 Cho mặt cầu (S ) : x  y  z  đường thẳng d :  y   4t Qua d dựng tiếp diện  z  1  t  tới (S ), tiếp xúc với (S ) A, B Hai mặt phẳng (P ), (P ) chứa d tiếp xúc với (S ) A B Khoảng cách hai đường thẳng AB d  13 B  16 C  14 D  A 91 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x  y  2z   (Q ) : 2x  y  z   điểm A, B Độ dài AB A B C D 92 Trong không gian Oxyz , cho E (2;1; 3), mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z   mặt cầu (S ) : (x  3)2  (y  2)2  (z  5)2  36 Gọi  đường thẳng qua E , nằm (P ) cắt (S ) hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình  A B C D x   9t  y   9t   z   8t  x   5t  y   3t   z   x   t  y   t   z   x   4t  y   3t   z   3t  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh TiÕn Trang - 250 - ... 14   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ u  (1; 0;2) v  (x ; 2;1) Biết   u v  4, v A C Câu Câu B D 21 (Đề thi THPT QG năm học 2017 – Mã đề 104) Trong không gian Oxyz, ... Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm bán kính R mặt cầu qua bốn điểm M (1; 0;1), N (1; 0; 0), P (2;1; 0) Q(1;1;1) A R   B R  C R  D R   Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương. .. A(3;2;5) (Đề thi THPT QG năm học 2017 – Mã đề 110) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;2;1) Tính độ dài đoạn thẳng OA A G(3;12;6) Câu D M (2;1;0) C (3;1;1) D (1;1; 3)  Trong không gian Oxyz ,