Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian oxyz

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ MỤC LỤC BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ ►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT ►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM ►DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 10 ►DẠNG XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU 10 ►DẠNG LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC 12 BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 17 ► DẠNG 1: TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG 17 ►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 19 ► DẠNG 3: ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG 22 BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 25 ►DẠNG 1: TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG 25 ►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG 27 ►DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG VÀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐT VÀ MẶT PHẲNG 32 BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TỔNG HỢP 35 ►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG 35 ►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG 37 ►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG 40 ►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG 42 ► DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG 45 BÀI 6: KHOẢNG CÁCH TỔNG HỢP 49 ►DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM 49 ►DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG 51 ►DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG 54 ►DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 56 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ ►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT PHƯƠNG PHÁP:  Định nghĩa: a = a1.i + a2 j + a3 k  a = ( a ; a2 ; a3 )  Tính chất: Cho a = ( a ; a2 ; a3 ) ; b = ( b ; b2 ; b3 ) a1 = b1  • a = b  a2 = b2 a = b  3 • a  b = ( a b ; a2  b2 ; a3  b3 ) • ka = ( ka ; ka2 ; ka3 ) , k  • = (0;0;0), i = (1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) ( ) • a phương b  k  : a = kb b   a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 ( b1 , b2 , b3  ) A VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho a = (1; 2; −3) ; b = ( −2; 2;0 ) Tọa độ vectơ c = 2a − 3b A c = ( 4; −1; −3) B c = ( 8; −2; −6 ) C c = ( 2;1;3) D c = ( −2; 4;3) Lời giải Chọn B 2a = ( 2; 4; −6 ) Ta có:  3b = ( −6;6;0 ) Suy c = 2a − 3b = ( + 6; − 6; −6 − )  c = ( 8; −2; −6 ) Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2; − 5;3) , b = ( 0; 2; −1) Tọa độ vectơ x thỏa mãn 2a + x = b A ( −4; 2; − ) B ( −4; 2; 3) C ( −4; 12; − ) D ( −4; 12; − 3) Lời giải Chọn C Ta có 2a + x = b  x = b − 2a b = ( 0; 2; −1) Ta có:  2a = ( 4; −10; ) Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Suy x = b − 2a = ( − 4; + 10; −1 − )  x = ( −4;12; −7 ) Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a = ( 3;− 2;1) , b = ( −1;1;− ) , c = ( 2;1;− 3) , u = (11;− 6;5 ) Mệnh đề sau đúng? A u = 3a − 2b + c B u = 2a + 3b + c C u = 2a − 3b + c Lời giải D u = 3a − 2b − 2c Giả sử u = xa + yb + zc Ta có hệ phương trình: 3x − y + z = 11  −2 x + y + z = −6  x − y − 3z =  x =  Giải hệ ta được:  y = −3 z =  Vậy u = 2a − 3b + c B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = −i + j − 3k Tọa độ vectơ a A ( −1; 2; −3) Câu Câu B ( 2; −3; −1) C ( 2; −1; −3) D ( −3; 2; −1) Câu sau sai? 1  A a = −3i + j + k  a =  −3;1;  2  1  B a = i − j  a =  ;0; −5  2  C a = 2i − j  a = ( 2; −3;0 ) D a = 2   j + k − 3i  a =  −3; ;1 5   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai véc tơ u = ( −1;3; −2 ) v = ( 2;5; −1) Tìm tọa độ vectơ a = 2u − 3v A a = ( −8;9; −1) Câu B a = ( −8; −9;1) C a = ( 8; −9; −1) D a = ( −8; −9; −1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ u = −2 j − 3k u = i + 2k , tọa độ u + v hệ tọa độ Oxyz là: A (1; −2; −1) Câu B (1; 0;1) C (1; 2; ) D ( −1;0; ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = (2; − 3;1) b = (−1;0;4) Tìm tọa độ vectơ u = −2a + 3b A u = (−7;6; − 10) Câu B u = (−7; − 6;10) C u = (7;6;10) D u = (−7;6;10) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vecto a = ( 5; 4; −1) ; b = ( 2; −5;3) c thỏa mãn hệ thức c = 2a − 3b Tìm tọa độ c ? A c = ( 4; 23; −11) B c = (16;19; −10 ) Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C c = ( 4;7;7 ) D c = (16; 23;7 ) HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a = (1; 2;3) , b = ( 2; 2; −1) , c = ( 4;0; −4 ) Tọa độ vectơ d = a − b + 2c A d = ( −7;0; −4 ) Câu C d = ( 7;0; −4 ) D d = ( 7;0; ) Trong không gian Oxyz , cho a = (1; 2; −3) , b = ( −2; −4;6 ) Khẳng định sau đúng? A a = 2b Câu B d = ( −7;0; ) B b = −2a C a = −2b D b = 2a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai véctơ a = ( m;2;3) b = (1; n; ) phương m + n bằng: 11 A B 13 C 17 D Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vec tơ a = ( 2;1;1) , b = ( 3; −1; ) Tọa độ vec tơ c thỏa mãn biểu thức 2b − a + 3c = là: 5 5   A  − ;1; −  B  − ; −2; −  2 2   5  C  − ; 2; −  2    D  − ;1; −1   ►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM  Định nghĩa: M ( x; y; z)  OM = x.i + y j + z.k (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ)  Chú ý: • M  ( Oxy )  z = 0; M  ( Oyz )  x = 0; M  ( Oxz )  y = • M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y =  Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) • AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A ) • AB = ( xB − xA )2 + ( yB − y A )2 + ( zB − z A )2  x + x y + yB z A + z B  • Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB : M  A B ; A ;   2  • Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC :  x + x + x y + yB + yC z A + zB + zC  • G A B C ; A ;  3   • Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD :  x + x + x + xD y A + yB + yC + yD z A + zB + zC + zC  • G A B C ; ;   4  A VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; −3; ) , B ( 0;1; − 1) C ( 5; − 1; ) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC A G ( 2; −1;1) B G ( 2;1;1) Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C G ( 2;1; −1) D G ( −2;1; −1) HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Lời giải Chọn A G trọng tâm tam giác ABC nên: xA + xB + xC + +  = =2  xG = 3  y A + yB + yC −3 + −  = = −1  yG = 3  z A + zB + zC − +  = =1  zG = 3  Vậy G ( 2; −1;1) Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;0; −2 ) , B ( 2;1; −1) , C (1; −3;3) điểm M thỏa mãn hệ thức AM = AB + 3BC Tìm tọa độ điểm M A ( 0; −5; −6 ) B ( 0; −5; ) C ( 0; −10;12 ) D ( 0; −5; ) Lời giải Chọn C Ta có: AB = (1;1;1)  AB = ( 2;2;2 ) BC = ( −1; −4; )  3BC = ( −3; −12;12 )  AB + 3BC = ( −1; −10;14 ) Gọi M ( x ; y ; z )  AM = ( x − 1; y ; z + )  x − = −1  x =   AM = AB + 3BC   y = −10   y = −10  z + = 14  z = 12   Vậy M ( 0; −10;12 ) B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 11 Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox A ( 2;0;0 ) B (1; 0; ) C ( 3;0;0 ) D ( 0; 2;3) Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng ( Oxy ) A N ( −1; −2; −3) B N (1; 2;0 ) C N ( −1; −2;3) D N (1; 2; −3) Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;1;0 ) , B ( 0;3;3) Khi A AB = ( −1; 2;3) B AB = (1;2;3) C AB = ( −1; 4;3) D AB = ( 0;3;0 ) Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A (1; 2;0 ) ; B ( 3; −1;1) C (1;1;1) Tính tọa độ trọng tâm G tam giác ABC 5 2  2 A G  ; ;  B G  − ; ;  3 3  3 3 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! 5 2 C G  ; − ;  3 3 5 2 D G  ; − ; −  3 3 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Câu 15 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;0; −2) , B(2;1; −1) Tìm độ dài đoạn thẳng AB ? A B 18 C ( D ) Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ O; i , j , k , cho hai điểm A, B thỏa mãn OA = 2i − j + k OB = i + j − 3k Tìm tọa độ trung điểm M đoạn AB   A M  − ; 1; −    3  B M  ; 0; − 1 2  C M ( 3; 0; − ) 1  D M  ; − 1;  2  Câu 17 Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;3; − 1) , B ( 3; −1;5 ) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức MA = 3MB  13  7  A M  ; ;1 B M  ; ;3  3  3  7  C M  ; ;3  3  D M ( 4; −3;8 ) Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1;0; ) , B ( −2;1;3) , C ( 3; 2; ) , D ( 6;9; − ) Hãy tìm tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD A ( 2;3; − 1) B ( 2; − 3;1) C ( 2;3;1) D ( −2;3;1) Câu 19 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; − 1) , B ( 2; − 1;3) , C ( −3;5;1) Tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D ( −4;8; −5 ) B D ( −2; 2;5 ) C D ( −4;8; −3) D D ( −2;8; − 3) Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = (1;5; ) , ON = ( 3;7; −4 ) Gọi P điểm đối xứng với M qua N Tìm tọa độ điểm P A P ( 5;9; −10 ) B P ( 7;9; −10 ) C P ( 5;9; −3) D P ( 2;6; −1) Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 0;1; ) , N ( 7;3; ) , P ( −5; − 3; ) Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãn MN = QP A Q (12;5; ) B Q ( −12;5; ) C Q ( −12; − 5; ) D Q ( −2; − 1; ) Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A (1; 2; −1) , B ( 3;0;3) Tìm tọa độ điểm C cho G ( 2; 2; ) trọng tâm tam giác ABC A C ( 2; 4; ) B C ( 0; 2; ) C C ( 8;10;10 ) D C ( −2; −4; −4 ) Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD ABCD Biết tọa độ đỉnh A ( −3; 2;1) , C ( 4; 2;0 ) , B ( −2;1;1) , D ( 3;5; ) Tìm tọa độ điểm A hình hộp A A ( −3;3;1) B A ( −3; −3;3) C A ( −3; −3; −3) D A ( −3;3;3) Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 3; 2;1) , B (1; −1; ) , C (1; 2; −1) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn OM = AB − AC A M ( −2; 6; − ) B M ( 2; − 6; ) Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C M ( −2; − 6; ) D M ( 5; 5; ) HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Câu 25 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) , trục Oz lấy điểm M cho AM = Tọa độ điểm M A M ( 0;0;3) B M ( 0;0; ) C M ( 0;0; −3) D M ( 0;3;0 ) ►DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN PHƯƠNG PHÁP:  Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) ( ) • Tích vơ hướng hai véc tơ: a.b = a b cos a, b = a1b1 + a2b2 + a3b3 • Tích có hướng hai vectơ a b, kí hiệu a, b  , xác định a  a, b  =   b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2  ;  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) b1 b1 b2   Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số  Tính chất: • [a, b] ⊥ a; [a, b] ⊥ b • a, b  = − b, a  • i , j  = k ;  j , k  = i ; k , i  = j • [a, b] = a b sin ( a, b ) • a, b phương  [a, b] =  Ứng dụng tích có hướng: • Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng  [a, b].c = • Diện tích hình bình hành ABCD : S • Diện tích tam giác ABC : SABC = ABCD =  AB, AD   AB, AC  • Thể tích khối hộp ABCDABCD : VABCD A' B 'C ' D ' = [ AB, AD] AA • Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = ( ) • Góc hai vectơ: cos a; b = [ AB, AC ] AD a.b a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 A VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho a = (1; 2;0 ) , b = ( 2; −1;1) , c = (1; −1;0 ) Phát biểu sau Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ sai? A a = B a.c = −1 C a ⊥ b D c ⊥ b Lời giải Chọn D Ta có: c.b = 2.1 + ( −1) ( −1) + 1.0 =   c, b không vng góc Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho a = i − j + k , b = i + ( m + 1) j − k Tìm tham số m để a ⊥ b A m = B m = −2 C m = Lời giải D m = −1 Chọn B Ta có: a = (1; −1;2 ) , b = (1; m + 1; −1) ; a ⊥ b  a.b =  − m −1 − =  m = −2 Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2;1;0 ) b = ( −1;0; −2 ) Tính cos ( a, b ) A cos ( a, b ) = − 25 B cos ( a, b ) = − C cos ( a, b ) = 25 D cos ( a, b ) = B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 26 Trong không gian Oxyz cho u = j − 3k ; v = i + k Tìm tích vơ hướng u.v A – B – C → D → → Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho vecto a = ( −1;1;0 ) ; b = (1;1;0 ) ; c = (1;1;1) Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai A a = B c = C a ⊥ b D b ⊥ c Câu 28 Gọi  góc hai vectơ a = (1; 2;0 ) b = ( 2;0; −1) , cos  A B C D − Câu 29 Trong không gian Oxyz , cho u (1; −2;1) , v ( −2;1;1) ; góc hai vectơ là: A 5 B  C  D 2 Câu 30 Trong không gian tọa độ Oxyz , độ dài véc tơ u = (1;2;2) A B C D Câu 31 Tính góc hai vecto a = (–2; –1; 2) b = (0; 1; –1) A 60° B 120° C 45° D 135° ( Câu 32 Trong hệ trục Oxyz, cho ba điểm A ( −2,1, ) , B ( −3, 0, ) , C ( 0, 7,3) Khi đó, cos AB, BC bằng: A 14 118 B − Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! 59 C 14 57 D − 14 57 ) HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a ( 4; −2; −4 ) , b = ( 6; −3; ) ( 2a − 3b)( a + 2b ) có giá trị là: A 200 B D 200 C 2002 200 Câu 34 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ a ( 3;0;1) , b (1; −1; −2 ) , c ( 2;1; −1) Tính ( ) T = a b+c A T = B T = C T = D T = Câu 35 Cho điểm A ( 4; −3; −5 ) , B ( 2;1; −2 ) Gọi a số đo góc AOB với O gốc tọa độ Giá trị a A a = 150 B a = 30 C a = 135 D a = 45 Câu 36 Cho bốn véc tơ a = ( −1;1;0 ) , b = (1;1;0 ) , c = (1;1;1) , d = ( 2;0;1) Chọn mệnh đề A a , b , c đồng phẳng B a , b , c đồng phẳng C a , b , c đồng phẳng D a , b , c đồng phẳng Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2; 2; −4 ) , b = (1;1; −2 ) Mệnh đề sau sai? A a, b = B a, b  D a = 2b C a = b Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1;1;1) , B ( 4;3; ) , C ( 5; 2;1) Diện tích tam giác ABC A 42 Câu 39 Trong không B gian với 42 hệ C 42 trục tọa độ Oxyz , D cho tứ 42 diện ABCD có A (1;0;1) , B ( 2;0; −1) , C ( 0;1;3) , D ( 3;1;1) Thể tích khối tứ diện ABCD A V = B V = Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ C V = Oxyz , cho tam giác D V = ABC có A ( 0;1;1) , B (1; −2;0 ) , C ( −2;1; −1) Diện tích tam giác ABC bao nhiêu? A 22 B 22 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C 22 D 11 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ►DẠNG XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU PHƯƠNG PHÁP:  Dạng tắc: ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 = R , có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R  Dạng khai triển: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = , đk: a + b2 + c − d  , có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R = a + b + c − d A VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu có phương trình ( x + ) + ( y − 3) + z = : 2 A I ( 2;3;0 ) , R = B I ( −2;3;0 ) , R = C I ( 2;3;1) , R = D I ( 2; − 2;0 ) , R = Lời giải Chọn B Mặt cầu có tâm I ( −2;3;0 ) bán kính R = Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − 25 = Tìm tọa độ tâm I bán kính mặt cầu ( S ) A I (1; −2; ) ; R = 34 B I ( −1; 2; −2 ) ; R = C I ( −2;4; −4 ) ; R = 29 D I (1; −2; ) ; R = Lời giải Chọn A Từ phương trình ta có : a = 1, b = −2, c = 2, d = −25 Suy ( S ) tâm I (1; −2;2 ) ; R = 12 + ( −2 ) + 22 + 25 = 34 Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) có phương trình ( S ) : x + y + z − x − y − z + = Tính diện tích mặt cầu ( S ) A 42 B 36 C 9 Lời giải D 12 Chọn B Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3) bán kính R = 12 + 22 + 32 − = Diện tích mặt cầu ( S ) : S = 4 R = 4 32 = 36 B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z + ) = 16 Tính 2 bán kính ( S ) A B 16 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C D 10 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Cho mặt cầu ( S ) : ( x – a) + ( y – b) + ( z – c) 2 = R tâm I ( a; b; c ) bán kính R mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = • Nếu d ( I , ( P ) )  R mp ( P ) mặt cầu ( S ) điểm chung • Nếu d ( I , ( P ) ) = R mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) tiếp xúc Khi ( P ) gọi tiếp diện mặt cầu ( S ) điểm chung gọi tiếp điểm • Nếu d ( I , ( P ) )  R mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) cắt theo giao tuyến đường trịn có 2 2  ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R phương trình:    Ax + By + Cz + D = Trong bán kính đường trịn r = R − d ( I , ( P ) ) tâm H đường tròn hình chiếu tâm I mặt cầu ( S ) lên mặt phẳng ( P ) A VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( S ) :( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) A ( P ) không cắt ( S ) C ( P ) cắt ( S ) 2 ( P ) : x − y + z −1 = mặt cầu = Mệnh đề đúng? B ( P ) tiếp xúc ( S ) D ( P ) qua tâm ( S ) Lời giải Chọn A ( S ) có tâm I (1; 2; −1) bán kính R = Khoảng cách từ tâm I đến ( P ) : d ( I , ( P )) = − 2.2 + ( −1) − 12 + 22 + 12 = R=2 Vậy ( P ) khơng cắt ( S ) Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z + m = mặt cầu ( S ) :( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) A m = 7; m = −45 2 = 26 Xác định m để ( P ) tiếp xúc với ( S ) ? B m = 7, m = 45 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C m = −7, m = 45 D m = −7, m = −45 43 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Lời giải Chọn A ( S ) có tâm I (1; 2;3) bán kính ( P ) tiếp xúc với ( S )  d ( I , ( P )) = + 3.2 + 4.3 + m 12 + 32 + 42 R = 26 = 26  19 + m = 26 12 + 32 + 42 = 26 19 + m = 26 m =   19 + m = −26  m = −45 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I (1;0; −2 ) mặt phẳng ( P ) có phương trình: x + y − z + = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I tiếp xúc với ( P ) A ( x − 1) + y + ( z + ) = B ( x − 1) + y + ( z + ) = C ( x + 1) + y + ( z − ) = D ( x + 1) + y + ( z − ) = 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 1+ + = 3 Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm Ta có R = d ( I , ( ) ) = ( x − 1) I (1;0; −2 ) , bán kính R = có dạng (S ) : + y2 + ( z + 2) = B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − = Hỏi mặt phẳng sau, đâu mặt phẳng điểm chung với mặt cầu ( S ) ? Câu 32 A ( ) : x + y − z + 10 = B (1 ) : x − y + z − = C ( ) : x − y + z + = D ( ) : x − y + z − = Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − ) = mặt phẳng ( ) : x + z + 12 = Khi khẳng định sau đúng? A Mặt phẳng ( ) qua tâm mặt cầu ( S ) B Mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) C Mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn D Mặt phẳng ( ) khơng cắt mặt Cầu ( S ) Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) mặt phẳng ( P ) có phương trình x + y + z − x + y − z − = 0, x + y + z + 2m = Có giá trị nguyên m để ( P ) tiếp xúc với ( S ) ? A B Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C D 44 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = cắt mặt cầu ( S ) : x + y + z = theo giao tuyến đường trịn có diện tích A 11 B 9 C 15 Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu D ( S ) : ( x + 3) 7 + y + ( z − 1) = 10 Mặt phẳng mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính ? A ( P1 ) : x + y − z + = B ( P1 ) : x + y − z − = C ( P1 ) : x + y − z − = D ( P1 ) : x + y − z − = Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( P ) : x + y + z + = Biết ( P ) (S ) có tâm I (1;1;0 ) mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu ( S ) A ( x − 1) + ( y − 1) + z = B ( x − 1) + ( y − 1) + z = C ( x − 1) + ( y − 1) + z = D ( x − 1) + ( y − 1) + z = 2 2 2 2 Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I (1; 0; − ) mặt phẳng ( P ) có phương trình: x + y − z + = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) A ( x − 1) + y + ( z + ) = B ( x − 1) + y + ( z + ) = C ( x + 1) + y + ( z − ) = D ( x + 1) + y + ( z − ) = 2 2 2 2 Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2 mặt phẳng ( P ) : x − y − z + = Biết ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến đường tròn có bán kính r Tính r A r = B r = 2 C r = D r = Câu 39 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − 16 = mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính là: A r = B r = 2 C r = D r = Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − = điểm A (1;1; ) thuộc ( S ) Mặt phẳng tiếp xúc với ( S ) A có phương trình A x + y + = B x + = C x + y − = D x −1 = ► DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP: Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! 45 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ  x = x0 + a1t (1)  Cho đường thẳng d :  y = y0 + b1t ( ) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương ud = ( a1 ; b1 ; c1 )   z = z0 + c1t ( 3) Mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R có tâm I ( a ; b ; c ) , bán kính R 2  IM , ud    Gọi khoảng cách từ tâm I mặt cầu ( S ) đến đường thẳng d h = d ( I , d ) = ud • Nếu d ( I , d )  R d khơng cắt ( S ) • Nếu d ( I , d ) = R d tiếp xúc ( S ) • Nếu d ( I , d )  R d cắt ( S ) hai điểm phân biệt A, B AB vng góc với đường kính  AB  (bán kính) mặt cầu Khi R = d ( I , d ) +     2 A VÍ DỤ MINH HỌA: x y −1 z − mặt cầu = = −1 ( S ) : x + y + z − x + z + = Số điểm chung d ( S ) Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d : A B C Lời giải D Chọn B d qua M ( 0;1; ) , có vectơ phương ud = ( 2;1; −1) (S ) có tâm I (1;0; −2 ) R = 12 + 02 + ( −2 ) − = 2 IM = ( −1;1; )  IM , ud  = ( −5;7; −3)    IM , ud    d (I,d ) =  3, 7193  R = ud Vậy d ( S ) không cắt Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! 46 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : I ( 2;5;3) tiếp xúc với d x −1 y z − , mặt cầu tâm = = 2 A ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − 3) = 18 B ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − 3) = 16 C ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − 3) = 25 D ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A d qua M (1;0; ) , có vectơ phương ud = ( 2;1; ) IM = ( −1; −5; −1)  IM , ud  = ( 9;0; −9 )    IM , ud    = 18 Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên R = d ( I , d ) = ud  R = 18 B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ( S ) : x + y + z + x − y = Đường thẳng A Vô số B A ( 0;1; −1) , B ( −2;3;1) AB mặt cầu ( S ) có điểm chung? C D Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d : ( S ) : ( x − 1) mặt cầu x y +3 z +5 mặt cầu = = + y + ( z − ) = Số điểm chung d ( S ) B A C D Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I ( 2;1; −3) tiếp xúc với trục Oy có phương trình A ( x − ) + ( y − 1) + ( z + 3) = B ( x − ) + ( y − 1) + ( z + 3) = 13 C ( x − ) + ( y − 1) + ( z + 3) = D ( x − ) + ( y − 1) + ( z + 3) = 10 2 2 2 2 2 2 Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , bán kính mặt cầu tâm I (1;3;5 ) tiếp xúc với x = t  đường thẳng d :  y = −1 − t z = − t  A B 14 C 14 D Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , bán kính mặt cầu tâm I ( 3;3; −4 ) tiếp xúc với trục Oy A B Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C D 47 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Câu 46 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I (1; −2;3) tiếp xúc với trục Oy A ( x − 1) + ( y + ) + ( z + 3) = B ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = C ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 10 D ( x − 1) + ( y + ) + ( z + 3) = 10 2 2 2 2 2 2 x + y z −3 và mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − 21 = Số = = −1 −1 giao điểm (  ) ( S ) Câu 47 Cho đường thẳng  : A B C D Câu 48 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + z + = đường x y −1 z − Khẳng định sau nhất? = = −1 A d cắt ( S ) hai điểm B d không cắt ( S ) thẳng d : C d tiếp xúc với ( S ) M ( −2; 2;3) D d cắt ( S ) qua tâm ( S ) Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d : ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − ) 2 A x −1 y − z + mặt cầu = = 2 = 27 Số điểm chung d ( S ) B C D Câu 50 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : I (1; −2;3) Phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc với d x +1 y − z + điểm = = −1 A ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = B ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 50 C ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 50 D ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 50 2 2 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! 2 2 2 2 48 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ BÀI 6: KHOẢNG CÁCH TỔNG HỢP ►DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP: Cho hai điểm A ( x1; y 1; z1 ) , B ( x2 ; y2 ; z2 )  AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) 2 A VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 2; 2;1) Tính độ dài đoạn thẳng OA A OA = B OA = C OA = Lời giải D OA = Chọn A OA = 22 + 22 + 12 = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A ( 4;3; − ) B ( 3; − 5;0 ) Độ dài đoạn thẳng AB A 69 B 38 C 96 Lời giải D Chọn A Với A ( 4;3; − ) B ( 3; − 5;0 ) AB = ( −1; − 8; ) , AB = ( −1) + ( −8) 2 + 22 = 69 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; −4;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 3,1, ) Tìm tọa độ điểm D trục hoành cho AD = BC A D ( −2;1;0 ) , D ( −4;0;0 ) B D ( 0;0;0 ) , D ( −6;0;0 ) C D ( 6;0;0 ) , D (12;0;0 ) D D ( 0;0;0 ) , D ( 6;0;0 ) Lời giải Chọn D Gọi D ( x;0;0 )  Ox AD = BC  ( x − 3) x = + 16 =   x = B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2; −1; ) Tính độ dài đoạn thẳng OM A OM = Câu B OM = C OM = D OM = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; − 1;1) Gọi A hình chiếu A lên trục Oy Tính độ dài đoạn OA A OA = −1 Câu B OA = 10 C OA = 11 D OA = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) B ( 5; 2;0 ) Khẳng định sau đúng? Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! 49 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ A AB = 61 Câu B AB = C AB = D AB = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( 3; −2;1) , N ( 0;1; −1) Tìm độ dài đoạn thẳng MN A MN = 22 Câu B MN = 10 C MN = 22 D MN = 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( 2; −3;5 ) , N ( 6; −4; −1) đặt u = MN Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A u = ( −4;1;6 ) Câu B u = 53 C u = 11 D u = ( 4; −1; −6 ) Trong không gian Oxyz , cho A (1;1; −3) , B ( 3; −1;1) Gọi M trung điểm AB , đoạn OM có độ dài A Câu B C D Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M ( 3;0;0 ) , N ( 0;0; ) Tính độ dài đoạn thẳng MN A MN = Câu B MN = C MN = D MN = 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2; −1) ; B (1;1;3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB , tính độ dài đoạn thẳng OI A OI = Câu 17 B OI = C OI = 11 D OI = 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A (1;1;1) , B ( −1;1; ) , C ( 3;1; ) Chu vi tam giác ABC bằng: A + B C D + Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;1) , C ( −3;6; ) Gọi M điểm nằm đoạn BC cho MC = 2MB Độ dài đoạn AM A AM = 3 B AM = C AM = 29 D AM = 19 Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( −2;3;1) B ( 5; 6; ) Đường thẳng AM BM AM C = BM AB cắt mặt phẳng ( Oxz ) điểm M Tính tỉ số A AM = BM B AM = BM D AM = BM Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; −1;1) ; B ( 3; −2; −1) Tìm điểm N Ox cách A B A ( −4;0;0 ) B ( 4;0;0 ) C (1; 0; ) D ( 2;0;0 ) Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;1) C ( −3;6; ) Gọi M điểm nằm đoạn BC cho MC = 2MB Độ dài đoạn AM A 30 B Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C 29 D 3 50 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Câu 14 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi I tâm mặt cầu qua bốn điểm A ( 2;3; −1) , B ( −1; 2;1) , C ( 2;5;1) , D ( 3; 4;5 ) Tính độ dài đoạn thẳng OI A 123 B 41 C 113 D Câu 15 Trong không gian Oxyz , cho E ( −5; 2;3) , F điểm đối xứng với E qua trục Oy Độ dài EF A 34 C 29 B 13 D 14 ►DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP:  Trong không gian Oxyz, cho điểm M (x ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính: d ( M , ( )) = | Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B + C Đặc biệt: d ( M , ( Oxy ) ) = z0 ; d ( M , ( Oxz ) ) = y0 ; d ( M , ( Oyz ) ) = x0  Khoảng cách hai mp song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng  Khoảng cách đường thẳng song song với mặt phẳng tới mặt phẳng khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng Chú ý: Nếu đường thẳng không song song với mặt phẳng khoảng cách chúng A VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2; −3;5) mặt phẳng ( ) có phương trình: x − y + z − = Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng ( ) A B 11 17 Lời giải C D Chọn B Áp dụng công thức d ( M , ( ) ) = 2.2 − ( −3) + 2.5 − 22 + ( −1) + 22 = 11 Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (  ) : x + y − z + 16 = Khoảng cách hai mặt phẳng ( ) A 14 B C 15 Lời giải ( ) : x + y − z + = 0, (  ) D 23 Chọn A Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! 51 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Lấy điểm M ( 0;0; )  ( ) Áp dụng công thức d ( ( ) , (  ) ) = d ( M , (  ) ) = 2.0 + 3.0 − + 16 22 + 32 + ( −1) = 14 = 14 14 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z + = đường thẳng x −1 y + z −1 Tính khoảng cách d  ( P ) = = 2 A d = B d = C d = 3 Lời giải Chọn D : D d = ( P) có vecto pháp tuyến n(2; −2; −1) đường thẳng  có vecto phương u(2;1;2) thỏa mãn n.u = nên  / /( P)   ( P) Do đó: lấy A(1; −2;1)   ta có: d (( P)) = d ( A;( P)) = 2.1 − 2.(−2) − + + +1 = B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 16 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3; −1;1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( Oyz ) A B D C Câu 17 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình x + y + z − = Khoảng cách từ điểm A (1; −1;1) đến mặt phẳng ( P ) A B − D C Câu 18 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình x − y + z − 21 = Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( P ) A B −3 C 21 21 31 D Câu 19 Trong không gian Oxyz , cho điểm M (2; −3;5) mặt phẳng ( ) có phương trình x − y + z − = Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng ( ) A B 11 C 17 D Câu 20 Tính khoảng cách từ điểm B ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( P ) : z + = Chọn khẳng định khẳng định sau: A z0 B z0 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C z0 + D z0 + 52 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Câu 21 Trong khơng gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : x + y − z + = 0, (  ) : x + y − z + 16 = Khoảng cách hai mặt phẳng ( ) (  ) là: A 14 B C 15 D 23 Câu 22 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : x − y + z + = 0, (  ) : x − y + z + = Khoảng cách hai mặt phẳng ( ) (  ) là: A B C D Câu 23 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = ( Q ) : x + y − z + = Khoảng cách hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) A 15 B C 15 D Câu 24 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A (1;1;3) , B ( −1;3; ) , C ( −1; 2;3 ) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mp ( ABC ) A B 3 C D Câu 25 Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) gọi A, B, C hình chiếu vng góc điểm M lên trục Ox, Oy, Oz Khi khoảng cách từ điểm O ( 0;0;0 ) đến mặt phẳng ( ABC ) có giá trị A B C D 14 Câu 26 Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A (1; 2;3) , B ( −3;0;0 ) , C ( 0; −3;0 ) , D ( 0;0;6 ) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A tứ diện ABCD A B C D Câu 27 Trong không gian Oxyz cho điểm M (1; 2; − 1) Tìm phương trình mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O cách M khoảng lớn x y z A x + y − z = B + + = 1 −1 C x − y − z = D x + y + z − = Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 3x − y + z + 14 = mặt cầu ( S ) : x + y + z − ( x + y + z ) − 22 = Khoảng cách từ tâm ( P ) A B ( S ) có tâm ( ) : x − y − z + = Bán kính ( S ) A B Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! D C Câu 29 Trong không gian Oxyz, mặt cầu C I mặt cầu ( S ) tới mặt phẳng I ( 2;1; −1) tiếp xúc với mặt phẳng D 53 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Câu 30 Trong khơng gian Oxyz, cho A ( 3, −2, −2 ) , B ( 3, 2, ) , C ( 0, 2,1) D ( −1,1, ) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( BCD ) có bán kính A B C 14 D 13 ►DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP: Cách 1: Xác định hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng  Bước 1: Gọi H hình chiếu vng góc A lên  Khi tham số hóa tọa độ điểm H theo t Bước 2: Từ AH u = tìm tham số t suy tọa độ điểm H Bước 3: Tính đoạn AH  AM , u    , M   Cách 2: Sử dụng công thức: d ( A,  ) = u A VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho điểm P ( a; b; c ) Khoảng cách từ P đến trục toạ độ Oy A a + c B a2 + c2 C b D b Lời giải Chọn B Gọi H hình chiếu P lên trục Oy Khi H ( 0; b;0 )  HP = ( a;0; c )  d ( P, Oy ) = PH = a + c Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , tính khoảng cách từ điểm M ( 4; − 3; ) đến đường thẳng : x+2 y+2 z = = −1 A d ( M ;  ) = 3 B d ( M ;  ) = C d ( M ;  ) = D d ( M ;  ) = Lời giải Chọn A Đường thẳng  có VTCP u = ( 3; 2; − 1) qua điểm B ( −2; − 2;0 ) MB = ( −6;1; − ) ,  MB; u  = ( 3; − 12; − 15) 2  MB; u  32 + ( −12 ) + ( −15 )   d ( M ; ) = = =3 2 u + + ( −1) B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 31 Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách h từ điểm A ( −4;3; ) đến trục Ox A h = B h = 13 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C h = D h = 54 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Câu 32 Khoảng cách điểm M (1; −4; 3) đến đường thẳng (  ) : A B C x −1 y + = = −1 D Câu 33 Tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; − ) đến đường thẳng d : A B 30 C z −1 2 x − y −1 z + = = −1 30 Câu 34 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2;1;1) đường thẳng d : D 11 x −1 y − z − Khoảng = = −2 cách từ A đến đường thẳng d A B C Câu 35 Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 4; −1; ) đường thẳng  : D x − y z +1 Tính = = 2 khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  A d ( M ,  ) = 10 C d ( M ,  ) = B d ( M ,  ) = 10 10 D d ( M ,  ) = 10 Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tính khoảng cách từ điểm M (1;3; ) đến đường thẳng x = 1+ t   :  y = 1+ t  z = −t  A B C D 2 Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( −4; 4;0 ) , B ( 2;0; ) , C (1; − 2;1) Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là: A B 13 C D Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A (1; 2; − 1) , B ( 0; 3; ) , C ( 2; 1; − 1) Độ dài đường cao từ A đến BC bằng: A B C 50 33 D 33 50 Câu 39 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2;1; −2 ) , B (1; −3;1) , C ( 3; −5; ) Độ dài đường cao AH tam giác ABC A 17 B 17 C 17 D x = t  Câu 40 Bán kính mặt cầu tâm I (1;3;5 ) tiếp xúc với đường thẳng d :  y = −1 − t z = − t  A 14 B 14 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! C D 55 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ ►DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU PHƯƠNG PHÁP:  Cách 1: Tính đoạn vng góc chung AB 1  • Bước 1: Tham số hóa tọa độ hai điểm A, B theo t1 , t2 Xác định hai vec tơ phương hai đường thẳng u1 , u2  AB u1 = • Bước 2: Sử dụng   t1 , t1 Từ xác định tọa độ hai điểm A, B AB u =  • Bước 3: Tính đoạn AB  Cách 2: Quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa 1 song song với  • Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm A  1 đến mặt phẳng ( P ) Khi d ( 1 ,  ) = d ( A, ( P ) )  Cách 3: Sử dụng công thức: d ( 1 ,  ) = u1 , u2  M 1M   u1 , u2    A VÍ DỤ MINH HỌA: Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : d : x + y + z −1 = = x −1 y + z − Tính khoảng cách h hai đường thẳng d d  = = 1 A h = 21 21 B h = 10 21 21 C h = 21 21 D h = 22 21 21 Lời giải Chọn A d có vectơ phương u = ( 2;3; ) , qua M ( −1; −1;1) d  có vectơ phương u = ( 2;1;1) , qua M  (1; −2;3) Ta có: u, u = (1;2; −4 ) , MM  = ( 2; −1; )  u, u MM  = 1.2 + ( −1) + ( −4 ) = −8   d , d  chéo u, u MM  8 21    h = = = Khi đó: khoảng cách h hai đường thẳng d d là: 21 21 u , u     B BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : d : x + y + z −1 = = x −1 y + z − Tính khoảng cách h hai đường thẳng d d  = = 1 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! 56 HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ A h = 21 21 B h = 10 21 21 Câu 43 Tính khoảng cách hai đường thẳng d1 : A 12 B C h = 21 21 D h = 22 21 21 x y −3 z −2 x − y +1 z − d : = = = = 1 −2 C D  x = − 4t x + y +1 z  Câu 44 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1 :  y = − t 2 : = = Khoảng −1  z = −3 + t  cách hai đường thẳng 1  bao nhiêu? A B C D Câu 45 Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1; − 2;3) , B ( 2; −1;1) , C ( −1;1;0 ) , D (1; 2; −1) Khoảng cách hai đường thẳng AB CD bao nhiêu? A B C 11 11 11 Fb: ThayTrongDgl - biên soạn sưu tầm! D 10 11 57 ... 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;0; −2) , B(2;1; −1) Tìm độ dài đoạn thẳng AB ? A B 18 C ( D ) Câu 16 Trong không gian. .. HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) , trục Oz lấy điểm M cho AM = Tọa độ điểm M A M ( 0;0;3) B... HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Câu 15 Trong không gian tọa độ Oxyz , đường thẳng qua điểm I (1; − 1; − 1) nhận u = ( −2;3; − 5) vectơ phương có phương trình tắc x