Tài liệu gồm 681 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Bảo Vương, hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian (Hình học 12 chương 3), có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh học tốt chương trình Toán 12 và ôn thi THPT môn Toán năm học 2020 – 2021.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Chuyên đề 28 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 Lý thuyết chung Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đơi vng góc Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i (1;0;0) Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1; 0) Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0; 0;1) Điểm O (0; 0; 0) gốc tọa độ Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u ( x; y; z ) Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ) Ta có: a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) a phương b a kb (k R) ka (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 kb1 a1 b1 a a a a2 kb2 , (b1 , b2 , b3 0) a b a2 b2 b1 b2 b3 a kb a b 3 3 2 a a a12 a22 a32 a.b a1.b1 a2 b2 a3.b3 a a12 a22 a22 a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a , b ) a b a.b a1b1 a2b2 a3b3 a b a1 a22 a32 b12 b22 b32 Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) OM ( x; y; z ) Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có: AB ( xB xA ; yB yA ; zB z A ) AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( zB z A ) Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x x x y yB yC z A z B zC x x y yB z A z B M A B; A ; G A B C ; A ; 2 3 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trục tọa độ Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ Chiế u o Ox Chiếu o Oxy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ;0;0) M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyê n x ) ( Giữ nguyên x , y ) Chiếu o Oy Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M (0; yM ;0) ( Giữ nguyê n y ) Chiếu o Oyz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n y, z ) Chiế u vào Oz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M (0;0; zM ) ( Giữ nguyê n z ) Chiếu o Oxz Điểm M ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ;0; zM ) ( Giữ nguyê n x , z ) Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ Đối xứng qua Oxy M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n x , y; đổi dấu z ) Đố i xứng qua Ox M ( xM ; yM ; zM ) M1 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên x ; đổi dấ u y, z ) Đối xứng qua Oxz M ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n x , z; đổi dấ u y ) Đối xứng qua Oyz M ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n y, z ; đổi dấ u x ) Đối xứng qua Oy M ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n y; đổ i daá u x , z ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đố i xứng qua Oz M ( xM ; yM ; zM ) M ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyê n z; đổi dấ u x , y ) Tích có hướng hai vectơ: Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là: a a3 a3 a1 a1 a2 a, b ; ; a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 b2 b3 b3 b1 b1 b2 [a, b] a b sin a , b Tính chất: [ a, b] a [ a, b] b Điều kiện phương hai vectơ a & b c a , b Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b với (0;0;0) [a, b].c Diện tích tam giác ABC: Diện tích hình bình hành S ABC AB, AC ABCD: S ABCD AB, AD Thể tích khối hộp: VABCD A ' B 'C ' D ' [ AB, AD] AA ' Thể tích tứ diện: VABCD AB, AC AD Dạng Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ Dạng 1.1 Tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng, đường thẳng Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M 2; 2;1 mặt phẳng Oxy có tọa độ A 2;0;1 Câu B 2; 2;0 C 0; 2;1 D 0;0;1 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M 2;1; 1 mặt phẳng Ozx có tọa độ A 0;1;0 Câu B 0;0;5 C 1;0;0 D 0; 2;5 B 3;0;0 C 0; 0;1 D 0; 2;0 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm A 3;5; trục Ox có tọa độ A 0;5; Câu D 2;0; 1 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm A 3; 2;1 trục Ox có tọa độ là: A 0; 2;1 Câu C 0;1; 1 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm A 1; 2;5 trục Ox có tọa độ A 0; 2;0 Câu B 2;1;0 B 0;5; C 3;0;0 D 0; 0; (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm A(8;1; 2) trục Ox có tọa độ A (0;1; 0) B (8;0;0) C (0;1;2) D (0;0; 2) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz Điểm sau hình chiếu vng góc điểm A(1; 4; 2) mặt phẳng Oxy ? A (0;4; 2) Câu B (1; 4;0) C (1;0; 2) D (0;0;2) (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm hình chiếu vng góc điểm A 3;5; mặt phẳng Oxy ? A M 3; 0; Câu B 0;0; C Q 0;5; D N 3;5;0 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm hình chiếu vng góc điểm A1;2;3 mặt phẳng Oxy A Q 1;0;3 Câu 10 B P 1;2;0 C M 0;0;3 D N 0;2;3 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , điểm hình chiếu vng góc điểm A 3; 4;1 mặt phẳng Oxy ? A Q 0;4;1 Câu 11 B P 3;0;1 C M 0;0;1 D N 3; 4;0 (Mã 104 - 2019) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M 3;1; 1 trục Oy có tọa độ A 3;0; 1 Câu 12 B 0;1; C 3; 0;0 D 0;0; 1 (Mã 103 - 2019) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M 2;1; 1 trục Oy có tọa độ A 0;0; 1 Câu 13 D 2;0;0 B 0;0;1 C 0; 1;0 D 3;0;0 (Mã 101 - 2019) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M 2;1; 1 trục Oz có tọa độ A 2; 0;0 Câu 15 C 0;1;0 (Mã 102 - 2019) Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M 3; 1;1 trục Oz có tọa độ A 3; 1;0 Câu 14 B 2;0; 1 B 0;1; C 2;1; D 0;0; 1 (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oyz điểm A M 3;0;0 Câu 16 B N 0; 1;1 C P 0; 1;0 D Q 0;0;1 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm sau nằm mặt phẳng tọa độ Oyz ? A M 3;4;0 Câu 17 B P 2;0;3 C Q 2;0;0 D N 0;4; 1 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M 4;5;6 Hình chiếu M xuống mặt phẳng Oyz M Xác định tọa độ M A M 4;5;0 B M 4;0;6 C M 4;0;0 D M 0;5;6 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 18 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M x; y; z Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxz M x; y; z B Nếu M đối xứng với M qua Oy M x; y; z C Nếu M đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy M x; y ; z D Nếu M đối xứng với M qua gốc tọa độ O M x;2 y;0 Câu 19 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ điểm đối xứng M 1; 2; 3 qua mặt phẳng Oyz A 0; 2; 3 Câu 20 B 1; 2; 3 C 1; 2; 3 D 1; 2;3 (Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 Tìm tọa độ A điểm đối xứng với A qua trục Oy A A 2;3;5 B A 2; 3; 5 C A 2; 3;5 D A 2; 3; 5 Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ Câu 21 (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; B 2; 2;1 Vectơ AB có tọa độ A 1; 1; 3 B 3;1;1 C 1;1;3 D 3;3; 1 Câu 22 (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1; 1 B 2;3; Vectơ AB có tọa độ A 1; 2; 3 B 1; 2; 3 C 3;5;1 D 3; 4;1 Câu 23 (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 2;2;1 Tính độ dài đoạn thẳng OA A OA Câu 24 Câu 25 B OA C OA D OA (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto a 1; 2;3 ; b 2; 2; 1 ; c 4; 0; 4 Tọa độ vecto d a b 2c A d 7;0; 4 B d 7;0; C d 7; 0; 4 D d 7;0; (THPT Ba Đình 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A 0;1; , B 2;3; Vectơ AB có tọa độ A 2; 2;3 Câu 26 C 3;5;1 D 3;4;1 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho a 2;3;2 b 1;1; 1 Vectơ a b có tọa độ A 3;4;1 Câu 27 B 1; 2;3 B 1; 2;3 C 3;5;1 D 1;2;3 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a 2; 3;3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1;5 Tìm tọa độ vectơ u 2a 3b 2c A 10; 2;13 B 2; 2; 7 C 2; 2;7 D 2; 2;7 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 28 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a i j 3k Tọa độ vectơ a A 1; 2; B 2; 3; 1 C 2; 1; D 3; 2; 1 Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 2; 3; 3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1; Tìm tọa độ vectơ u 2a 3b 2c A 10; 2;13 B 2; 2; C 2; 2; D 2; 2; Câu 30 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ x 2;1; 3 y 1;0; 1 Tìm tọa độ vectơ a x y A a 4;1; 1 B a 3;1; 4 C a 0;1; 1 D a 4;1; 5 Câu 31 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian O xyz , cho A 2; 1;0 B 1;1; 3 Vectơ AB có tọa độ A 3;0; 3 Câu 32 B 1;2; 3 C 1; 2;3 D 1; 2;3 (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho A 2; 2;1 , B 1; 1;3 Tọa độ vecto AB là: A ( 1;1; 2) B ( 3;3; 4) C (3; 3; 4) D (1; 1; 2) Câu 33 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian Oxyz với i, j , k vecto đơn vị trục Ox , Oy , Oz Tính tọa độ vecto i j k A i j k (1; 1;1) B i j k ( 1;1;1) C i j k (1;1; 1) D i j k (1; 1;1) Câu 34 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử u 2i j k , tọa độ véc tơ u A 2;3;1 Câu 35 B 2;3; 1 C 2; 3; 1 D 2;3;1 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 1; 2;1 b 1;3;0 Vectơ c 2a b có tọa độ A 1; 7;2 B 1;5;2 C 3; 7;2 D 1; 7;3 Câu 36 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho a i j 3k Tọa độ vectơ a là: A a 1; 2; 3 B a 2; 3; 1 C a 3; 2; 1 D a 2; 1; 3 Câu 37 (Sở Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;1 , B 3;0; 2 Tính độ dài AB A 26 Câu 38 B 22 C 26 D 22 (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 , B 1; 4;3 Độ dài đoạn thẳng AB A 13 B C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 39 (Hội trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz, cho a 2; 2;0 , b 2; 2;0 , c 2; 2; Giá trị a b c A Câu 40 B 11 C 11 D (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;3;5 , B 2; 2;3 Độ dài đoạn AB A B C D Dạng 1.3 Xác định tọa độ điểm Câu 41 (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 B 2; 2;7 Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ A 4; 2;10 Câu 42 B 1;3;2 C 2;6; D 2; 1;5 (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3; 4;0 , B 1;1;3 , C 3,1, Tìm tọa độ điểm D trục hoành cho AD BC A D 6;0;0 , D 12;0;0 B D 0;0;0 , D 6;0;0 C D 2;1;0 , D 4;0;0 D D 0;0;0 , D 6;0;0 Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;3 B 1; 2;5 Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A I 1;0; B I 2;0;8 Câu 44 C I 2; 2; 1 D I 2;2;1 (THPT Cẩm Giàng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 3; 2;3 B 1; 2;5 Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB : A I 2; 2;1 Câu 45 B I 1;0;4 C I 2;0;8 D I 2; 2; 1 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1;3; , B 3; 1; Tìm tọa độ trung điểm I AB A I 2; 4; B I 4; 2;6 C I 2; 1; 3 D I 2;1;3 Câu 46 Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 1; 2;5 , C 0; 0;1 Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC A G 0;0;3 B G 0;0;9 C G 1;0;3 D G 0;0;1 Câu 47 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A 1;3; , B 3; 1; Tìm tọa độ trung điểm I AB A I 2; 4; B I 4;2;6 C I 2; 1;3 D I 2;1;3 Câu 48 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 B 2; 2;7 Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ A 1;3;2 Câu 49 B 2; 1;5 C 2; 1; 5 D 2;6; (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;3; , B 2; 1; , C 3;1; Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A G 2;1; Câu 50 B G 6;3; C G 3; ;3 D G 2; 1; (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A 5; 2;0 , B 2;3;0 , C 0;2;3 Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ: A 1; 2;1 Câu 51 B 2;0; 1 C 1;1;1 D 1;1; 2 (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;2 N 1;0; Toạ độ trung điểm đoạn thẳng MN là: A 1; 1;3 Câu 52 B 0; 2; C 2; 2;6 D 1;0;3 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A 3; B 5;6 Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ A 1;5 Câu 53 B 4;1 C 5;1 D 8; (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3 B 2;2;9 Trung điểm đoạn AB có tọa độ A 0;3;3 Câu 54 B 4; 2;12 C 2; 1;6 3 D 0; ; 2 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;5;2 B 3; 3; Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB A M 1;1; Câu 55 B M 2; 2; C M 2; 4;0 D M 4; 8;0 (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 1;5;3 M 2;1; Tọa độ điểm B biết M trung điểm AB 1 1 A B ;3; 2 2 B B 4;9;8 C B 5;3; 7 D B 5; 3; 7 Dạng Tích vơ hướng ứng dụng Câu 56 (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1; b 1; 0; 2 Tính cos a , b 2 2 A cos a, b B cos a, b C cos a , b D cos a , b 25 25 không Câu 57 (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong a 2; 2; 4 , b 1; 1;1 Mệnh đề sai? A a b 3; 3; 3 B a b phương C b D a b gian Câu 58 (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết Oxyz , cho vectơ A 1; , B 2; 2 , C 3;1 Tính cosin góc A tam giác Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A cos A Câu 59 17 B cos A 17 C cos A 17 D cos A 17 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , góc hai vectơ i u 3; 0;1 A 120 D 30 Câu 60 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 , b 5;0;12 Cơsin góc a b 5 A B C D 13 6 13 Câu 61 (Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz góc hai vectơ i u 3;0;1 B 60 C 150 B 30 C 60 A 120 D 150 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u 3;0;1 v 2;1;0 Tính tích vơ hướng u.v A u.v B u.v C u.v D u.v 6 Câu 63 (Chuyên Hưng n 2019) Trong khơng gian tọa độ Oxyz , góc hai vectơ i u 3;0;1 Câu 62 A 30 Câu 64 C 60 D 150 (Chuyên Trần Phú Hải Phịng 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3) B(0;3;1) , C (4; 2; 2) Cosin góc BAC A Câu 65 B 120 35 B 35 C 35 D 35 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 Diện tích tam giác ABC bằng: A 11 B C D (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho a 3; 4;0 b 5;0;12 Cơsin góc a b 5 A B C D 13 6 13 Câu 67 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong hệ tọa độ Oxy , cho u i j v 2; 1 Tính u.v A u.v 1 B u.v C u.v 2; 3 D u.v Câu 66 Câu 68 (THPT Ngơ Quyền - Ba Vì - Hải Phịng 2019) Cho hai véc tơ a 1; 2;3 , b 2;1; Khi đó, tích vơ hướng a b b Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 12 B C 11 D 10 Câu 69 (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1 ; 3 , b 4; ;6 Phát biểu sau sai? A b 2a B a b C a ngược hướng với b D b a Câu 70 (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho u 1;1;0 , v 0;1;0 , góc hai véctơ u v A 120 B 45 C 135 D 60 Câu 71 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A 0; 0; , B 0; 0; 1 , C 1; 0; 1 , D 0; 1; 1 Mệnh đề sai? D AB CD Câu 72 (THPT Thanh Miện I - Hải Dương - 2018) Trong không gian Oxyz cho véc tơ a (2;1; 1) ; b (1; 3; m) Tìm m để a; b 90 A AB BD B AB BC C AB AC Câu 73 Câu 74 A m B m C m D m A m B m C m D m 2 (SGD Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u 2; 1;1 v 0; 3; m Tìm số thực m cho tích vơ hướng u.v (CỤM Chun Mơn - Hải Phịng - 2018) Trong A 1;2;3 ; B 1;2;1 ; C 3; 1; 2 Tính tích vơ hướng AB AC A 6 Câu 75 B 14 C 14 không gian Oxyz cho D (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3 , B 0;3;1 , C 4; 2; Cơsin góc BAC A 35 B 35 C 35 D 35 Dạng Tích có hướng ứng dụng Câu 76 Câu 77 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 2;1; 2 vectơ b 1;0;2 Tìm tọa độ vectơ c tích có hướng a b A c 2;6; 1 B c 4;6; 1 C c 4; 6; 1 D c 2; 6; 1 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ vectơ n vng góc với hai vectơ a 1;1; 2 , b 1;0;3 A 2;3; 1 Câu 78 B 3;5; 2 C 2; 3; 1 D 3; 5; 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba véctơ a 1; 2; 1 , b 3; 1;0 , c 1; 5; Câu sau đúng? A a phương với b B a , b , c không đồng phẳng C a , b , c đồng phẳng D a vng góc với b Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 79 (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1; 2;0) , B (2;0;3) , C (2;1;3) D(0;1;1) Thể tích khối tứ diện ABCD bằng: A B C 12 D Câu 80 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho a 1; 2;3 b 1;1; 1 Khẳng định sau sai? A a b Câu 81 B a.b 4 C a b (Chuyên Trần Phú Hải Phịng 2019) Trong khơng gian D a, b 1; 4;3 cho hai điểm Oxyz , A 1;0; 1 , B 1; 1; Diện tích tam giác OAB A 11 Câu 82 B C 11 D (Yên Phong - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;0; , B 1; 1; 2 , C 1;1;0 , D 2;1; Thể tích khối tứ diện ABCD A Câu 83 42 B 14 C 21 D (SGD ĐT Đà Nẵng 2019) Trong khơng gian Oxyz , tính diện tích S tam giác ABC , biết A 2;0;0 , B 0;3;0 C 0;0;4 A S Câu 84 61 B S 61 C S 61 D S 61 Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho O 0;0;0 , A 0;1; 2 , B 1; 2;1 , C 4;3; m Tất giá trị m để điểm O, A, B, C đồng phẳng? A m 14 Câu 85 B m 14 C m D m 7 Trong khơng gian Oxyz , cho hình chóp A.BCD có A 0;1; 1 , B 1;1; , C 1; 1;0 D 0;0;1 Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD A 2 Câu 86 C D (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho hình bình hành ABCD Biết A 2;1; 3 , B 0; 2;5 C 1;1;3 Diện tích hình bình hành ABCD A 87 Câu 87 B B 349 C 349 87 D (SGD - Bình Dương - 2018) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 0;1;1 , B 1;0; , C 1;1;0 điểm D 2;1; 2 Khi thể tích tứ diện ABCD A V Câu 88 B V C V D V (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho A 1; 2; 1 , B 0; 2;3 Tính diện tích tam giác OAB A 29 B 29 C 78 D Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có O 0;0;0 , A Oz, B Ox, C Oy cho AO 5, OB 2, OC A 0;0;5 , B 2;0;0 , C 0; 4;0 5 Khi đó: G trọng tâm tam giác ABC nên G ; ; 3 3 M trung điểm OB nên M 1;0;0 N trung điểm OC nên N 0; 2;0 x y z hay 10 x y z 10 Vậy khoảng cách từ G đến mặt phẳng AMN là: Phương trình mặt phẳng AMN là: 20 20 10 10 20 3 d G , AMN 100 25 129 Câu 29 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , gọi M trung điểm AB , A ' CM cân A ' nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích khối lăng trụ Khoảng cách hai đường thẳng AB CC ' A a 57 19 B 2a 57 19 C 2a 39 13 D 2a 39 Lời giải Chọn B Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H trung điểm MC A ' H MC A ' H ABC SABC a V Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: Ta có V S ABC A ' H A ' H a a a O M 0; 0;0 , A ;0;0 Ox, B ; 0;0 Ox, C 0; ;0 Oy Mz / / A ' H 2 a A ' 0; ; a a 3a ; a Ta có CC ' AA ' C ' ; 2 a a a a AB a;0;0 , CC ' ; ; a , AC ; ;0 2 2 AB, CC ' AC 2a 57 Vậy d AB, CC ' 19 AB, CC ' Câu 30 (Sở Nam Định 2019) Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang vng A D , SA ABCD Góc SB mặt phẳng đáy 45o , E trung điểm SD , AB 2a , AD DC a Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACE A 2a B 4a C a D 3a Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình chiếu SB mặt phẳng ABCD AB Góc SB mặt đáy góc SB 45o AB góc SBA Tam giác SAB vuông cân A SA 2a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có: A 0;0;0 , B 0; 2a;0 , C a; a;0 , D a;0;0 , S 0;0;2a , a E ;0; a 2 a a2 AC a; a;0 , AE ;0; a AC AE a ; a ; 2 mặt phẳng ACE có véctơ pháp tuyến n 2; 2; 1 ACE : x y z Vậy d B, ACE 2.2a 1 4a Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH Câu 31 (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;1 qua điểm A 1;0; 1 Xét điểm B , C , D thuộc S cho AB , AC , AD đôi vuông góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A 64 B 32 64 Lời giải C D 32 Chọn B Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 D N I C A M B Mặt cầu S có bán kính r IA Đặt AB a; AC b; AD c Ta có IA2 Do a b2 c a2 b2 c 12 a b c 3 a 2b c 4 1 32 Do V abc 163 6 Dấu xảy a b c Theo BĐT Cơ-si ta có: Câu 32 (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;0;2 qua điểm A 0;1;1 Xét điểm B , C , D thuộc S cho AB , AC , AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A B C D Lời giải Chọn C D a R c I C A b M B Đặt: AD a , AB b , AC c Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: R IA AM b2 c2 a b2 a c2 ; IM R IA2 2 2 2 2 2 AD BĐT Cosi: b a c b a c b a c V Câu 33 b a2 c2 27 abc 1 abc 6 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b a b Gọi M trung điểm cạnh CC Thể tích khối tứ diện BDAM có giá trị lớn 64 32 A B C D 27 27 27 27 Lời giải z A' D' B' C ' M y A D x B C b Tọa độ điểm C ( a; a; 0), C '( a; a; b), M (a; a; ) b BA ' (-a; 0; b), BD (-a; a;0), BM (0; a; ) 2 BA ', BD (ab; ab; b ) nên VBDA ' M BA ', BD BM a b 6 64 32 a a 2b Ta có: a.a.(2b) a 2b VBDA ' M 27 27 27 Câu 34 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi M , N trung điểm BC AB Mặt phẳng MND ' chia khối lập phương thành hai khối đa diện, khối chứa điểm C gọi H Tính thể tích khối H A 55a 72 B 55a 144 181a 486 Lời giải C D 55a 48 Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Thể tích khối lập phương a3 Mặt phẳng MND cắt cạnh DC E thỏa EC 1 DC ; cắt BB P cho BP BB Khi V H VC .DNPME VC .CEM VC .BPN a 2a a Có VB.C NP a 18 a a a3 a 48 Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ; lấy đơn vị trục đơn vị a 1 1 Ta có C 0;0;0 , C 0;0;1 , E ; 0;0 , M 0; ;0 , R 0;0; , Q ;1;0 , D 1;0;1 4 VC C ME Mặt phẳng MND : 29 x y z x y z d C , MND 1 29 29 29 11 29 12 48 11 d C , MND S DNPME a 36 55 a 144 S MPNDE S EQND S PMQ VC DNPME Vậy V H Câu 35 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O đỉnh B m;0;0 , D 0; m;0 , A 0;0; n với m, n m n Gọi M trung điểm cạnh CC Khi thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn A B 64 27 C 75 32 D 245 108 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải z n a A' D' C' B' M D y m A m x B C n M m; m; 2 BA m;0; n Ta có BD m; m;0 n BM 0; m; 2 BA; BD mn; mn; m n BA; BD BM m2 n m2 m2 n 2 VBADM Câu 36 2 1 64 BA; BD BM m n m m m.m 2m 4 8 27 (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho hình lập phương ABCD ABC D có độ dài cạnh Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC, CD, DD Gọi thể tích khối tứ diện MNPQ phân số a tối giản , với a, b * Tính a b b A B 25 C 13 D 11 Lời giải Chọn C Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Thiết lập hệ tọa độ Oxyz hình vẽ, gốc O B Khi đó: 1 1 M 0; ;1 , N ;0;1 , P 1; ; , Q 1;1; 2 2 1 1 MN ; ; , MP 1; 0; 1 , MQ 1; ; 2 2 Suy VMNPQ Câu 37 MN , MP MQ a 1; b 12 a b 13 12 Trong không gian Oxyz ,tập hợp tất điểm thỏa mãn x y z x y z khối đa diện tích A B Lời giải C D Chọn D Tập điểm M x; y; z có tọa độ thỏa x y z bát diện tâm O , đỉnh có tọa độ 2;0;0 , 2;0;0, 0;2;0 , 0; 2;0 , 0;0; 2 , 0;0; 2 Tập điểm M x; y; z có tọa độ thỏa x y z bát diện tâm A 2;0;0 , đỉnh có tọa độ 0;0;0, 4;0;0 , 2; 2;0 , 2; 2;0 , 2;0; 2 , 2;0; 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Giao hai bát diện bát diện có tâm H 1;0;0 , đỉnh là: O 0;0;0 , A2;0;0 , B 1;0;1 , C 1; 1;0 , D 1;1;0 , E 1;0; 1 Ta có AD 2, BH Thể tích khối đa diện: V .BH AD 3 Câu 38 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D ' có AB 1; AD 2; AA Mặt phẳng ( P) qua C cắt tia AB; AD; AA E; F ; G (khác A ) cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ Tổng AE AF AG A 18 B 17 C 15 Lời giải D 16 Chọn A Trong không gian xây dựng hệ toạ độ Oxyz cho A O; B(1;0;0); D(0;2;0);A(0;0;3) Khi ta có C (1;2;3) Giả sử mặt phẳng ( P) cắt trục Ox; Oy; Oz lần lươt E(a;0;0); F (0; b;0); G(0;0; c) , với a 0; b 0; c Khi phương trình mặt phẳng ( P) x y z 1, a b c Do mặt phẳng ( P) qua C(1;2;3) Nên ta có abc 162 hay 3 a b c abc a b c 1 a b c Mặt khác thể tích khối tứ diện AEFG V abc 27 , dấu " " xảy 1 1 a b c Tức a 3; b 6; c Vậy tổng AE AF AG 18 Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 39 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi K trung điểm AB , gọi M , N hình chiếu vng góc K lên AD , AC Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN A a B a 3a Lời giải C D 3a Chọn D Coi a , ta có: KC , DH ; AN AC ; HK 6 Chọn hệ trục Oxyz cho K O 0;0;0 , A 0; ; , C ;0; , D ;0; 3 Ta có: AN AC N ; ; 8 Ta có: Tứ giác CDMN hình thang cân Do mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN mặt cầu ngoại tiếp tứ diện KCDN Giả sử mặt cầu S ngoại tiếp tứ diện KCDN có phương trình: x y z 2ax 2by 2cz d a b c d (1) d a 3a b Vì K , C , D , N S 3 a c 4 c 3 d a b 16 Vậy R Câu 40 R a2 b2 c2 d 3a (Chuyên Thái Bình -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN A a 93 12 B a 29 C 5a 12 D a 37 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ 3 1 M 1;0;0 , N ; ;0 , C 1; ;0 , S 0;0; 2 Gọi I x ; y ; z tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN MI NI CI SI 1 3 Ta có: MI x 1; y ; z , NI x ; y ; z , CI x 1; y ; z , SI x ; y ; z 2 Từ MI NI CI SI ta có hệ: 2 1 x 1 y z x y z 2 2 x 2 1 1 1 2 x y z x 1 y z y 2 2 2 z 2 x 1 y z x y z 12 2 1 I ; ; IM ; ; 4 12 12 4 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN là: R IM Câu 41 93 12 (Chuyên KHTN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 5; 0;0 B 3; 4;0 Với C điểm nằm trục Oz , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động trục Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn A B Lời giải C D Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z C H y O K B E Ax Ta có C 0;0; c Dễ thấy tam giác ABC cân C Gọi E 4; 2;0 trung điểm AB Ta AB OC có mặt phẳng OCE vng góc với AB (do ) mặt phẳng cố định AB CE Gọi K trực tâm tam giác OAB , A , B K nằm mặt phẳng Oxy nên x OK AB x 2 y.4 Tìm K 3; ;0 x BK OA y AB OEC HK AB Ta chứng minh KH CAB CA BHK HK CA Suy 90 Suy KHE d B, SCD thuộc mặt cầu đường kính KE d H , SCD thuộc mặt phẳng OCE cố định Vậy H thuộc đường trịn cố định có bán kính R Câu 42 H (Chuyên Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A , B , C (không trùng O ) thay đổi trục Ox , Oy , Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC Biết mặt phẳng ABC tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt cầu A B C Lời giải D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 S ABC S ABC VOABC S d O, ABC d O, ABC ABC S Mà ABC nên d O, ABC VOABC Ta có Vậy mặt phẳng ABC ln tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R Câu 43 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 y 1 z 1 x y 1 z x y z 1 , d2 : , d3 : Mặt cầu bán kính 2 2 2 nhỏ tâm I a; b; c , tiếp xúc với đường thẳng d1 , d , d3 Tính S a 2b 3c d1 : A S 10 B S 11 C S 12 Lời giải d1 qua điểm A 1;1;1 có VTCP u1 2;1; d qua điểm B 3; 1; có VTCP u2 1; 2; d3 qua điểm C 4; 4;1 có VTCP u3 2; 2;1 D S 13 B d2 I Ta có u1.u2 , u2 u3 , u3 u1 d1 , d , d đơi vng góc với u1 , u2 AB , u2 , u3 BC , u3 , u1 CA A C d3 d1 d1 , d , d đôi chéo Lại có: AB 2; 2;1 ; AB u1 AB u2 nên d1 , d , d3 chứa cạnh hình hộp chữ nhật hình vẽ Vì mặt cầu tâm I a; b; c tiếp xúc với đường thẳng d1 , d , d3 nên bán kính R d I , d1 d I , d d I , d R d I , d1 d I , d d I , d AI , u BI , u CI , u 3 , với u u u , R2 u1 u2 u3 AI a 1; b 1; c 1 , AI , u1 2b c 1; 2a 2c 4; a 2b 1 BI a 3; b 1; c , BI , u2 2b 2c 6; 2a c 4; 2a b Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ CI a 4; b 4; c 1 , TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CI , u3 b 2c 6; a 2c 2; 2 a 2b 16 9 R AI , u 1 2 9 R BI , u2 27 R AI , u1 9 R CI , u 3 BI , u2 CI , u3 27 R 18 a b c 126a 54b 54c 423 2 7 3 243 243 27 R 18 a 18 b 18 c 2 2 2 2 3 7 3 Rmin a , b c I ; ; 2 2 2 Khi S a 2b 3c 11 Câu 44 Cho hình chóp S ABCD cs đáy hình thang vuông A B , AD AB BC 2a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA 2a Gọi E trung điểm cạnh AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE A a B a 11 a Lời giải C D a Chọn B S E A B D C Dễ tính AB BC AE a Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz với O A , AB i , AE j , AS 2k Khi ta có E 0;1;0 , C 1;1;0 , D 0; 2;0 , S 0;0; Gọi I a; b; c tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta có: IE IC a b 1 c a 1 b 1 c2 2a 1 a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 IE ID a2 b 1 c2 a b 2 c2 2b b 2 IE IS a2 b 1 c a b2 c 2 4c 2b c 1 3 2 2 Vậy I ; ; suy bán kính mặt cầu cần tìm R IE 2b 3 11 Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a 2;3;1... 11 D (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;3;5 , B 2; 2;3 Độ dài đoạn AB A B C D Dạng 1.3 Xác định tọa độ điểm Câu 41 (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz... https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 12 B C 11 D 10 Câu 69 (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai vectơ a