Phương pháp tọa độ trong không gian trong các đề thi thử THPTQG môn toán

Qua điểm M kẻ các tia M a, M b, M c đôi một vuông góc nhau và cắt mặt cầutại điểm thứ hai tương ứng là A, B, C.. Rõ ràng, tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M ABC là trung điểm của đoạ

GIAN QUA CÁC ĐỀ THI THỬ-ĐỀ KIỂM TRA

NỘI DUNG CÂU HỎI

Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M (2; 3; 4) trênmặt phẳng (P ) : 2x − y − z + 6 = 0 là điểm nào dưới đây?

Å1;7

2;

92

ã

Å3;5

2;

72

ã D (1; 3; 5)

x = 1

y = 72

z = 9

2.Vậy M0

Å

1;7

2;

92ã

Do điểm A ∈ Oz nên suy ra A(0; 0; c), mà ta lại có A ∈ (P ) nên suy ra c = 3 Do đó A(0; 0; 3)

Phương trình tham số của đường thẳng d là

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra

Câu 6 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 2)2+ (y − 4)2 + (z − 1)2 = 99

và điểm M (1; 7; −8) Qua điểm M kẻ các tia M a, M b, M c đôi một vuông góc nhau và cắt mặt cầutại điểm thứ hai tương ứng là A, B, C Biết rằng mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố địnhK(xk; yk; zk) Tính giá trị P = xk+ 2yk− zk

Rõ ràng, tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M ABC

là trung điểm của đoạn M P (cũng là tâm của (S))

Mặt khác K là trọng tâm của tam giác M AD hay # »

M K =2

P

B

H

MK

Gọi r là bán kính đường tròn tâm H Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởicông thức Ta có

ã

bằng 60◦ Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

√3

√3

Ta có góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

là góc ‘SCI nên ‘SCI = 60◦

aA

Vì BC k AD ⇒ 4IBC v 4IDA, suy ra IC

3 ⇒ IA = 2IC = 2a

√3

3 .Xét 4SIC vuông tại I, ta có

Xét 4AID cân tại I với trung tuyến IO, ta có IO2 = IA

3 .Dựng IH vuông góc với SO tại H

Suy ra d (I, (SAD)) = IH = a

Suy ra SK là hình chiếu của CK lên mặt phẳng (SAD) và CK = d (C, (SAD)) = 3a

4 .Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là ’CSK và sin ’CSK = CK

SC =

3√3

d có véctơ chỉ phương #»u = (1; 2; −1), (P ) có véctơ pháp tuyến #»n = (1; 1; 1) nên mặt phẳng (Q) qua

d vuông góc (P ) có véctơ pháp tuyến là # »n(Q)= [ #»ud, # »n(P )] = (3; −2; −1)

Hình chiếu vuông góc của d trên (P ) là giao tuyến ∆ của (P ) và (Q), nên ∆ qua A và có véctơ chỉphương là [ # »n(P ), # »n(Q)] = (1; 4; −5)

Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −2; 4), B(−3; 3; −1) và mặt phẳng (P ) : 2x −

y + 2z − 8 = 0 Xét M là điểm thay đổi thuộc (P ), giá trị nhỏ nhất của 2M A2+ 3M B2 bằng

M I + # »IB)2

Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2; 1; 3), mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z − 3 = 0 và mặtcầu (S) : (x − 3)2+ (y − 2)2+ (z − 5)2 = 36 Gọi ∆ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P ) và cắt(S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Phương trình của ∆ là

P

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 5) và bán kính R = 6 IE =√

12+ 12+ 22 =√

6 < R,suy ra điểm E nằm trong mặt cầu (S)

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P ), A và B là hai giao điểm của ∆ với (S)

Khi đó, AB nhỏ nhất ⇔ AB ⊥ OE, mà AB ⊥ IH nên AB ⊥ (HIE) ⇒ AB ⊥ IE

Chọn đáp án C Câu 19 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) : x − y + 2z − 3 = 0 đi qua điểm nào dưới đây?

2

ã C P (1; 6; 1) D Q(0; 3; 0)

Lời giải

Xét điểm M

Å

1; 1;32

ã, ta có 1 − 1 + 2 · 3

√

6 = 2

√14

Mặt khác d(I, (P )) = 1 nên R2 = r2+ [d(I, (P ))]2 = 3.

Vậy phương trình mặt cầu là x2+ (y + 2)2+ (z − 1)2 = 3

Câu 24 Cho các số thực a, b, c, d, e, f thỏa mãn

(

a2+ b2+ c2− 2a + 4b + 2c − 6 = 02d − e + 2f − 14 = 0 Giá trị nhỏnhất của biểu thức (a − d)2+ (b − e)2+ (c − f )2 bằng

⇔ 1 ≥ (1 +√2)(a + b + c) ⇔ a + b + c ≤ 1

1 +√

2.Theo bất đẳng thức Cauchy ta có VO.ABC = abc

6 ≥ 13

Å a + b + c3

ã3

162Ä1 +√

2ä3

Vậy max VO.ABC = 1

162Ä1 +√

2ä3

⇒ m = 162, n = 2 ⇒ P = m + n = 164

Câu 26 Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tìm giá trị của

k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ # »

# »

M N = # »

M A + # »

AD +# »DNSuy ra 2# »

Câu 30 Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (Oxy) ?

−1 Đường thẳng ∆ cắt (P ) và d lần lượt tại hai điểm M,N sao cho

A là trung điểm của đoạn M N Biết #»u = (a; b; 1) là một véctơ chỉ phương của ∆, giá trị của a + bbằng

Câu 37 Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (P ) đi qua điểm A (2; 1; 3) đồng thời cắt các tia

Ox, Oy, Oz lần lượt tại M , N , P sao cho tứ diện OM N P có thể tích nhỏ nhất Giao điểm của đường

3

√abc ⇔ 1 ≥ 3

3

√6

3

√abc ⇔√3

abc ≥ 3√3

6 ⇔ abc ≥ 112

Vì mặt phẳng (P ) chứa d1 và song song với d2, ta có:

(#»n(P )⊥ #»u1

#»

n(P )⊥ #»u2

⇒ #»u(P )= [ #»u1, #»u2] = −(1; 8; 5).Mặt phẳng (P ) đi qua M (2; −2; 6) và vectơ pháp tuyến #»u(P )= (1; 8; 5), nên phương trình mặt phẳng(P ) : (x − 2) + 8(y + 2) + 5(z − 6) = 0 hay (P ) : x + 8y + 5z − 16 = 0

Câu 42 Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 3) và hai mặt phẳng (P ): 2x + y + 2z − 8 = 0, (Q):

x − 4y + z − 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với hai mặt phẳng (P )

Lời giải.

d1 đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vec-tơ chỉ phương #»u1 = (1; −1; 2)

d2 đi qua điểm M2(1; m; −2) và có vec-tơ chỉ phương #»u2 = (2; 1; −1)

là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD), tính cos α

A cos α = 1

√2

√3

√2

3 .

Lời giải

Dựng hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ trên

Không mất tính tổng quát, giả sử ABCD là hình

vuông có cạnh bằng 1, chiều cao của hình chóp

S.ABCD bằng c, (c > 0)

Ta có tọa độ các điểm

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0)

Do hình chiếu vuông góc H của đỉnh S xuống mặt

đáy nằm trong hình vuông ABCD nên gọi H(a, b, 0)

C z

Góc giữa (SAB) và (SAD) là 45◦

⇒ cos 45◦ =

#»n(SAB) #»n(SAD)

#»n(SAB) ...

Câu 81 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 2), B (−2; 1; 3), C (3; 2; 4),

D (6; 9; −5) Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD

Câu 82 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,... vectơ phương [ #»n , #»u ] = (2; −1; 1).

Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) có vectơ phương [ #»n , #»u ] = (2; −1; 1) nên có phươngtrình tắc: x − 2

Câu 54 Trong không gian. .. phẳng (P ) có phương trình 2x − 2y − z − = Thay tọa độ B, C vào (P ) ta thấy

B, C nằm phía (P ) nên loại A

Kiểm tra B: Mặt phẳng (P ) có phương trình x + 2z − = Thay tọa độ B, C vào