Bài toán tương gia trong không gian oxyz

Giáo viên soạn Lê Thảo-THPT Nguyễn Thị Minh Khai- Hà Nội Bùi Sỹ Khanh- THPT Trần Cao Vân- TP HCM Các tốn khơng gian Oxyz khơng cịn xa lạ với học sinh xuất nhiều đề thi gần với nhiều câu hỏi mức độ vận dụng vận dụng cao Để đồng hành em kỳ thi THPT tới hy vọng viết giúp em có hướng tiếp cận giải tốn cách dễ dàng I Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng S  : x  a   y  b   z  c  2  P  : Ax  By  Cz  D  mặt cầu   R có tâm I a; b; c bán kính R : +) Nếu d (I ; P )  R mặt cầu (S ) P  khơng có điểm chung +) Nếu d(I ;(P ))  R mặt cầu (S ) (P ) có điểm chung H (mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu H )và IH  (P ) +) Nếu d(I ; P )  R mặt cầu (S ) cắt mặt phẳng P  theo giao tuyến đường tròn tâm H bán kính r ta có : - Gọi H hình chiếu vng góc I lên P  r  IH  R2 ( d(I ; P )  IH ) - Cho điểm M nằm mặt cầu S  mặt phẳng P  qua M cắt S  theo giao tuyến đường trịn có bán kính r nhỏ  IM  P  - Cho điểm M nằm mặt cầu S  mặt phẳng P  qua M cắt S  theo giao tuyến đường trịn có bán kính r lớn  P  qua điểm I M Trong không gian Oxyz , đường thẳng  mặt cầu S  có tâm I bán kính R : +) Nếu d (I ; )  R mặt cầu (S )  khơng có điểm chung +) Nếu d (I ; )  R mặt cầu (S )  có điểm chung H IH   +) Nếu d (I ; )  R mặt cầu (S ) cắt đường thẳng  hai điểm A, B ta có số kết sau : - Gọi H trung điểm AB  IH   d 2(I ;)  AB  R ( d(I ;)  IH ) - Cho điểm M đường thẳng qua M cắt S  hai điểm A, B cho độ dài AB lớn đường thẳng qua điểm M I - Cho điểm M nằm mặt cầu S  đường thẳng qua M cắt S  hai điểm A, B cho độ dài AB nhỏ đường thẳng qua M vng góc IM Chứng minh Ta có d 2(I ;)  AB  R  AB  R  d 2(I ;) Vì HIM vng H nên ta có  IH  IM +) AB lớn  d(I ;)    qua điểm I M +) AB nhỏ  d(I ;)  IM   vng góc IM II Ví dụ (Đề minh họa lần năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  có tâm I 2;1;1 mặt phẳng P  : 2x  y  2z   Biết mặt phẳng P  cắt mặt cầu S  theo giao tuyến đường trịn có bán kính bằng1 Viết phương trình mặt cầu S  A S  : x  2  y  1  z  1  B S  : x  2  y  1  z  1  10 C S  : x  2  y  1  z  1  D S  : x  2  y  1  z  1  10 2 2 2 2 2 2 Khi viết phương trình mặt cầu hai yếu tố cần thiết tâm I bán kính R, tốn cho tâm I việc tìm bán kính R dựa vào yếu tố cắt hay tiếp xúc để tính R +) Nếu S  tiếp xúc P   R  d I ; P    +) Nếu S  cắt mặt phẳng P  theo giao tuyến đường trịn bán kính r ta có R  r  d 2I ; P    +) Nếu S  tiếp xúc d  R  d I ;d   +) Nếu S  cắt đường thẳng d hai điểm A, B ta có R  AB  d 2I ;d   Gọi R, r bán kính mặt cầu S  đường tròn giao tuyến   Ta có R  r  d I , P   2.2  1.1  2.1      10      2 12   Mặt cầu S  tâm I 2;1;1 bán kính R  10 x  2  y  1  z  1  10 2 Ví dụ (Mã đề 101 thi THPT năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu x 2 y z 1 x y z 1   ; d2 :   1 1 1 Phương trình phương trình mặt phẳng tiếp xúc với S  song song với S  : x  1  y  1  z  2 2  hai đường thẳng d1 : d1;d A y  z   B x  z   C x  y   D x  z   Để viết phương trình mặt phẳng P  hai yếu tố cần thiết ta cần tìm Vectơ pháp tuyến điểm qua Trong số trường hợp việc cho khuyết hai yếu tố ta cần ý điều kiện thay +) Vectơ Pháp tuyến hai véctơ phương mặt phẳng P  xác định dựa vào yếu tố song song, vng góc cho góc làm yếu tố xác định Vectơ pháp tuyến +) Nếu tốn chưa cho điểm qua yếu tố thay thường gặp Khoảng cách, ví dụ tốn khơng cho điểm qua mà thay khoảng cách Mặt cầu S  có tâm I 1;1  2 ; R    Vecto phương d : u d  1;2; 1 Vecto phương  : u   1;1; 1 Gọi P  mặt phẳng cần viết phương trình      Ta có u d , u    1; 0; 1 nên chọn véc tơ pháp tuyến P  n  1; 0;1   Mặt phẳng P  có phương trình tổng quát dạng x  z  D    Do P  tiếp xúc với S  nên d I ; P   R  1   D D    D     D  Vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc với S  song song với d ,  x  z   Ví dụ (THPT 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;6, B 0;1; 0 mặt cầu S  : x  1  y    z  3  25 Mặt phẳng P  : ax  by  cz   qua A, B 2 cắt S  theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T  a  b  c A T  B T  C T  D T  Đây toán viết phương trình mặt phẳng P  chưa cho Vectơ pháp tuyến, nên ta xác định Vectơ pháp tuyến cách chứng minh tính chất hình học để xác định gọi tìm bán kính nhỏ để xác định Mặt cầu S  có tâm I 1;2; 3 bán kính R  Gọi H K hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng P  đường thẳng qua điểm A, B r bán kính đường tròn giao tuyến  r  R2  IH  25  IH  25  IK IH  IK Vậy r nhỏ H  K  P   IK   Và AB 3; 3; 6 đường thẳng qua hai điểm A, B có véctơ phương u 1; 1;2 x  t     AB : y   t  K t ;1  t ;2t  IK t  1; t  1;2t  3  2t z      Và IK  AB  IK AB   t   t   4t    t   IK 0; 2; 1   Vậy P  : 2y  z    a  0;b  2;c   a  b  c  Mặt cầu S  có tâm I 1;2; 3 bán kính R  a   2c A  P  3a  2b  6c     Ta có    B  P  b   b         Bán kính đường trịn giao tuyến r  R2  d I ; P    25  d I ; P         Bán kính đường tròn giao tuyến nhỏ d I ; P  lớn   Ta có d I , P   a  2b  3c  c  4 Xét f c    a  b  c2 5c  8c   f  c   2  2c  2 c y 5c  8c   4   5c  8c    c  4 5c  8c    5 Vậy Max d I ; P    48c  144c  192 c  f  c     c  4 Bảng biến thiên bên x  y' c  4 2  2c   3c  2  c   a  0,b   a  b  c  gặp toán lớn ( nhỏ nhất) hình học khơng gian Oxyz phương pháp tối ưu sử dụng hình học để chứng minh để tìm vị trí đặc biệt thoả mãn tốn Ví dụ (Mã đề 101 năm 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  : x  1  y  1  z  1  2 điểm A 2; 3; 1 Xét điểm M thuộc S  cho đường thẳng AM tiếp xúc với S  , M ln thuộc mặt phẳng có phương trình A 6x  8y  11  B 3x  4y   C 3x  4y   D 6x  8y  11  Khi viết AM tiếp xúc với S  đường thẳng qua điểm A M tiếp S  M  S  ta có cách tiếp cận tốn sau Dễ thấy A nằm ngồi mặt cầu (S ) Tâm mặt cầu I (1; 1; 1)   Và M x ; y ; z  S   x  1  y  1  z  1    Đường thẳng AM tiếp xúc với (S )  AM  IM  AM IM  2  x  2x  1  y  3y  1  z  1z  1   x   3x  1  y   y  1  z  1   x  1  y  1  z  1  3x  4y     3x  4y   2 Mặt cầu S  có tâm I 1; 1; 1 Gọi S  mặt cầu đường kính AI  2 1 25  S  : x    y  1  z  1     Ta có AM tiếp xúc S  M  AM  IM  AMI  90  M thuộc giao hai mặt cầu S  mặt cầu S  Tọa độ M thỏa hệ phương trình:  2   25 x    y  1  z  1  2   2 x  1  y  1  z  1     1   6x  8y  11  7  M  12 2 P  : 3x  4y   S  có tâm I (1; 1; 1) bán kính R   A 2; 3; 1  IA 3; 4; 0 , tính IA  Mặt phẳng cố định qua điểm H hình chiếu M xuống IA  nhận IA  3;4; 0 làm vectơ pháp tuyến Do hai tam giác MHI AMI đồng dạng nên tính IM  IH IA  IH    11    IH  IA  H  ; ; 1   25 25 25 IM  IA   2 11  Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: x    y     3x  4y   25  25    Ví dụ (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm E 2;1; 3 , mặt phẳng P  : 2x  2y  z   mặt cầu S  : x  3  y  2  z  5  36 Gọi  đường thẳng qua E , nằm P  cắt S  hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình  x   9t  A  y   9t  z   8t    x   5t   B  y   3t   z3      x  t   C  y   t   z 3      x   4t   D  y   3t   z   3t    Bài toán cho  qua E chưa cho Véctơ phương nên ta tìm véc tơ phương đường thẳng thơng qua véctơ vng góc với đường thẳng Mặt cầu S  có tâm I 3;2;5 bán kính R  IE  12  12  22   R  điểm E nằm mặt cầu S  Gọi H hình chiếu I mặt phẳng P  , A B hai giao điểm  với S  Khi đó, AB nhỏ  AB  OE , mà AB  IH nên AB  HIE   AB  IE      Suy ra: u  nP ; EI   5; 5; 0  1; 1; 0     x  t    Vậy phương trình  y   t   z 3      Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm E 1;1;1 , mặt phẳng P  : x  3y  5z   mặt cầu S  : x  y  z  Gọi  đường thẳng qua E , nằm mặt phẳng P  cắt S  điểm phân biệt A, B   x   2t    A y   t   z  1t    S  : x cho AB  Phương trình đường thẳng    x   2t    B y   t   z  1t       x   2t    C y  3  t   z  t       x   2t    D y   t   z  1t     y  z   Tâm I 0;0; ; bán kính R   véctơ pháp tuyến P : n P : x  y  z      P  1;  3;   Gọi H hình chiếu I lên   AH  BH  AB   Xét IAH vuông H  IH  IA2  AH     Mặt khác ta có IE  1;1;1  IE   IH  H  E  IE      Đường thẳng  qua E 1;1;1 ; vng góc với IE chứa P  nên:      Véctơ phương  : n   n P ; IE   8; 4;4     véctơ u  2;  1;  véctơ phương       x   2t    Phương trình đường thẳng  là: y   t   z  1t       Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 3; 3;  thuộc mặt phẳng  : 2x  2y  z  15  mặt cầu S  : x  2  y  3  z  5  100 Đường thẳng  qua M , nằm mặt phẳng   cắt S  A, B cho độ dài AB lớn Viết phương 2 trình đường thẳng  A x 3 y 3 z 3   1 B x 3 y 3 z 3   C x 3 y 3 z 3   16 11 10 D x 3 y 3 z 3   Trong đường trịn dây cung lớn đường kính đường trịn, độ dài AB lớn đường kính, nên AB qua tâm đường trịn giao tuyến   Ta có: Mặt cầu S  có tâm I 2; 3;5 , bán kính R  10   d I ,    2.2  2.3   15  2  2     R     S   C H ; r , H hình chiếu I lên    Gọi 1 đường thẳng qua I vng góc với    1 có VTCP u  2; 2;1   x   2t    PTTS 1 :  y   2t Tọa độ H nghiệm hệ:   z  t      x   2t     x  2    y   t     y   H 2;7 ;3    z  t   z 3      x  y  z  15       Ta có AB có độ dài lớn  AB đường kính C     MH  Đường thẳng MH qua M 3; 3;  có VTCP MH  1; 4;6  Suy phương trình  :  x 3 y 3 z 3     Ví dụ (Đề tham khảo lần năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P  : x  2y  2z   mặt cầu S  : x  y  z  2x  4y  2z   Giả sử M  P    N  S  cho MN phương với vectơ u 1;0;1 khoảng cách M N lớn Tính MN B MN   2 A MN  C MN  D MN  14     Cần ý vectơ MN phương với vectơ u MN  ku khoảng cách từ điểm mặt cầu đến mặt phẳng lớn đoạn vng góc qua tâm      Mặt phẳng  P  có vtpt n  1;  2;2 Mặt cầu S  có tâm I 1; 2; bán kính r  Nhận     thấy góc u n 45ο Vì d I ; P     r nên P  không cắt S  NH  Gọi H hình chiếu N lên P  NMH  45ο MN   NH nên MN lớn sin 45ο NH lớn Điều xảy N  N  H  H  với N  giao điểm đường thẳng d qua I , vng góc P  H  hình chiếu I lên P    Lúc NH max  N H   r  d I ; P   MN max  NH max sin 45ο 3 Ví dụ ( VTV7 lần năm học 2020-2021) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  :x  1  y  2  z  2 2  mặt phẳng P  :2x  y  2z   Đường thẳng  qua O tiếp xúc với mặt cầu S  cắt P  A cho OA nhỏ có phương trình A  : C  : x y z   10 B  : x y z   10 7 D  : S  :x  1  y  2  z  2 2 x y z   10 x y z   10 2   I 1;2; 2, R  O  S  Mặt phẳng   qua O tiếp xúc với mặt cầu S  có phương trìn   : x  2y  2z       Gọi d     P   ud  nP ; n   2;2; 3   Để OA nhỏ OA  d      Vậy OA  d ;OA  OI  đường thẳng qua  có vectơ phương u  ud ;OI   10;7;2   Phương trình đường  : x y z   10 Ví dụ 10 Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu S  : x  1  y  2  z  1  , mặt phẳng 2 P  : x  y  z   điểm N 1; 0; 4 thuộc P  Một đường thẳng  qua N nằm  P  cắt S  hai điểm A, B thỏa mãn AB  Gọi u 1;b;c  , c  0 vecto phương  , tổng b  c A B C 1 D 45  Để tìm vectơ phương u đường thẳng  qua điểm N ta tìm thêm điểm thuộc đường thẳng  toán tương giao mặt cầu đường thẳng điểm đặc biệt trung điểm đoạn thẳng AB Vậy ta tìm điều kiện để lập hệ phương trình tìm toạ độ trung điểm K Ta có mặt cầu S  có tâm I 1;2;1 bán kính R  Gọi H K hình chiếu vng góc I lên đường thẳng P  mặt phẳng  Suy K trung điểm đoạn AB nên AK     d I ,   IK  IA2  AK  IH  d I , P   IH  P  Ta có   IH   mà IK      KH   P    12 1 3  hay HK  d H ,  HK  IK  IH    x  1t    Do IH  P  nên phương trình tham số đường thẳng IH : y   t  H 1  t ;2  t ;1  t    z  1t    Mà H  P    t   t   t    t  1  H 0; 3; 0    Gọi K x ; y; z  IK x  1; y  2; z  1; HK x ; y  3; z ; NK x  1; y; z  4   x  y  z     2 Toạ độ K thoả mãn hệ phương trình :  x  y  3  z   x x  1  y y  3  z z  4      x y z       x  3y  4z       x  y  3  z      Vậy u 1;23;22  b  c  45 K 1;2; 0   15 46 8   K  ; ;      13 13 13    NK 2;2; 4  2 1; 1; 2    46 44   NK  ; ;   1;23;22 13 13 13  13      Ví dụ 10 Trong không gian Oxyz , cho P : 2x  y  z   hai điểm A 5;1;2 ; B  3; 3; Mặt nón N  có đỉnh N nằm mặt phẳng P  đường kính đáy AB Một mặt cầu S  tâm I qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường sinh mặt nón N  Khi thể tích khối cầu S  lớn I a;b;c , a  b  2c A  B C 7 D Ta có  ANI vng A AM  NI  AM  IM NM  18  R2  18.h  R2  182 h2  18 h  NM  4  V  R   3 182     18  h   Gọi Q  phẳng trung trực Q  đoạn thẳng AB Và d giao tuyến hai mặt phẳng P  Q   N  d Vậy thể tích V khối cầu lớn h nhỏ  N  H  MN  d  Ta có BA 8; 2;2  BA  M 1;2;1 trung điểm A, B Mặt phẳng trung trực Q  đoạn thẳng AB :4x  y  z   Vì NA  NB  N thuộc giao tuyến hai ặt phẳng P  Q    x  1    Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng P  Q   d : y   t   z  8t      N  d  N  1;1  t;  t  NM 2;1  t; 7  t   t  3  N 1;2;5     Ta có MN   IM   NM  2MI  I 2; 4; 1  a  b  2c  4 III Câu 1:     Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 , B 2;2;1 P  : x  y  2z  Mặt cầu S  thay đổi qua A, B mặt phẳng tiếp xúc với P  H Biết H chạy đường tròn cố định Tìm bán kính đường trịn A Câu 2: B C D  Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  điểm M x ; y ; z    x  1t    d : y   2t Ba   z   3t    điểm A , B , C phân biệt thuộc mặt cầu cho MA , MB , MC tiếp tuyến mặt cầu   Biết mặt phẳng ABC  qua điểm D 1;1;2 Tổng T  x 02  y 02  z 02 A 30 Câu 3: B 26 C 20 D 21 Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0;1; 2 , mặt phẳng P  : x  y  z   mặt cầu S  : x  y  z  2x  4y   Gọi  đường thẳng qua A  nằm mặt phẳng P  cắt mặt cầu S  hai điểm B ,C cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I tâm mặt cầu S  Phương trình đường thẳng  2   x t   A  y    z  2  t    Câu 4:   x t   B  y   t   z  2  t      x t   C  y   t   z  2      x t   D  y   t   z  2    Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  27 Gọi (P ) mặt phẳng qua hai điểm A(0; 0; 4), B (2; 0; 0) cắt (S ) theo giao tuyến đường trịn (C ) cho khối nón đỉnh tâm (S ) đáy là đường tròn (C ) tích lớn Biết (P ) : ax  by  z  c  0, a  b  c A  Câu 5: B C D Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  3)2  48 Gọi (P ) mặt phẳng qua hai điểm A(0; 0; 4), B (2; 0; 0) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến đường trịn (C ) Khối nón (N ) có đỉnh tâm (S ), đường tròn đáy (C ) tích lớn A 128  B 39 C 88  C 215  Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  y  (z  2)2  Xét điểm M di động x 1 y 1 z    , từ M kẻ ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến (S ) với 2 A, B ,C tiếp điểm Khi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính nhỏ đường thẳng d : phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, C (ABC ) : ax  by  z  d  Khi 2a  b  2d A Câu 7: Câu 8: Câu 9: B C D  x 1 y  z    (P ) : 2x  2y  z  16  Mặt cầu (S ) 1 2 cắt d A, B cho AB  cắt (P ) theo giao tuyến đường tròn có bán kính r  Bán kính mặt cầu (S ) nhỏ A B C D    x   3a  at    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  : y  2  t Biết a   z   3a  (1  a )t    thay đổi tồn mặt cầu cố định qua điểm M (1;1;1) tiếp xúc với đường thẳng  Tìm bán kính mặt cầu Trong khơng gian Oxyz Cho d : A B C D Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2; 3), B(2; 3; 4) Một mặt cầu (S ) bán kính R ln tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ đoạn thẳng AB nằm (S ) (mọi điểm thuộc đoạn thẳng AB nằm (S ) ) Giá trị nguyên lớn R đạt A B C D 2 Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4y  4z  M (1;1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M cắt (S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ nhất? A 2x  y  3z  B x  3y  2z  C x  y  D 2x  y  z  Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (3; 3; 3), mặt phẳng (P ) : 2x  2y  z  15  mặt cầu (S ) : (x  2)2  (y  3)2  (z  5)2  100 Đường thẳng  qua M , nằm mặt phẳng (P ) cắt (S ) A, B cho độ dài AB lớn Phương trình đường thẳng  x 3 y 3 z 3    1 x 3 y 3 z 3    C 16 11 10 A x 3 y 3 z 3    x 3 y 3 z 3    D B Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho điểm E (0;1;2), mặt phẳng (P ) : x  y  z   mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  3)2  (z  4)2  25 Phương trình đường thẳng d qua điểm E nằm (P) cắt mặt cầu (S ) hai điểm có khoảng cách lớn   x    2t    A y   t   z  t    x  2t  B y   t  z   t  x  1  C y   t  z   2t  x   D y   t  z   t  Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho phương trình mặt cầu (S ) : x  y  z   đường thẳng x 3 y 3 z    Hai mặt phẳng (P ), (P ) chứa d tiếp xúc với (S ) A B Đường 1 thẳng AB qua điểm có tọa độ 1 4   4 1 4 4 A  ;  ;    B 1;1;    C 1; ;    D  ; ;      3    3   3  d: Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S1 ) : x  y  z  25, (S ) : x  y  (z  1)2  Một  đường thẳng d vng góc với véctơ u  (1; 1; 0), tiếp xúc với mặt cầu (S2 ) cắt mặt cầu (S1 ) theo đoạn thẳng có độ dài Một véctơ phương d     A u1  (1;1; 3) B u2  (1;1; 6) C u3  (1;1;0) D u  (1;1;  3) Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : (x  2)2  (y  1)2  (z  2)2  hai điểm A(2; 0; 2 2), B(4; 4;0) Biết tập hợp tất điểm M thuộc mặt cầu (S ) cho   MA  MO.MB  16 đường trịn Bán kính đường trịn A B C 2 D Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;1;2), B ( 1; 0; 4), C (0; 1; 3) điểm M thuộc mặt cầu (S ) : x  y  (z  1)2  Khi biểu thức MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ độ đài đoạn AM A B C D Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(13; 3; 2), B (1; 0;1) phương trình hai mặt cầu (S1 ) : x  y  z  25, (S ) : (x  5)2  y  z  10 Gọi M nằm đường tròn giao tuyến (S1 ), (S ) thỏa mãn P  MA2  2MB  3MC đạt giá trị nhỏ Giá trị biểu thức A 186  36 B 36 C 18  D 16 Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho điểm E (1;1;1), mặt cầu (S ) : x  y  z  mặt phẳng (P ) : x  3y  5z   Gọi  đường thẳng qua E, nằm (P) cắt mặt cầu (S ) hai điểm A, B cho tam giác OAB tam giác Phương trình  A C x 1 y 1 z 1    2 1 B x 1 y 1 z 1    1 D x 1 y 1 z 1    1 x 1 y 1 z 1    1 1 Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  2)2  mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   Lấy hai điểm A, B  (S ) cho AB  điểm M  (P ) Giá trị nhỏ MA2  3MB A 128  40 B 46 D 122  40 C 48 Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : (x  3)2  (y  2)2  (z  1)2  mặt phẳng (P ) : 4x  3z  10  Xét hai điểm M , N di động (S ) cho MN  Lấy điểm A nằm (P ) Giá trị nhỏ Q  AM  AN A 58  10 B 56  20 C 58  20 D 30  10 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.B 2.B 12.B 3.C 13.C 4.A 14.C 5.B 15.C 16.A 7.A.B 17.A 8.A 18.D 9.B 19.C 10.D 20.C ... định qua điểm M (1;1;1) tiếp xúc với đường thẳng  Tìm bán kính mặt cầu Trong không gian Oxyz Cho d : A B C D Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2; 3), B(2; 3; 4) Một mặt cầu (S ) bán kính... nhỏ nhất) hình học khơng gian Oxyz phương pháp tối ưu sử dụng hình học để chứng minh để tìm vị trí đặc biệt thoả mãn tốn Ví dụ (Mã đề 101 năm 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S  :... minh họa lần năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S  có tâm I 2;1;1 mặt phẳng P  : 2x  y  2z   Biết mặt phẳng P  cắt mặt cầu S  theo giao tuyến đường trịn