Chuyên đề hình học tọa độ trong không gian oxyz

LỜI NĨI ĐẦU Các em học sinh, q thầy bạn đọc thân mến ! Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2020 cận kề Thời gian này, hẳn em học sinh gấp rút ôn tập luyện đề để chuẩn bị kiến thức cho kỳ thi vô quan tới Thấu hiểu điều này, nhóm tác giả sưu tầm biên soạn sách “ Chuyên đề hình tọa độ không gian Oxyz ” nhằm trang bị cho em kiến thức trọng tâm kĩ cần thiết để giải tốn khó chun đề Như em biết, Hình học Oxyz chun đề hay khó nằm chương trình thi THPT Quốc Gia với mức độ câu hỏi đề thi thường VD VDC Cuốn sách đời với sứ mệnh bổ sung bồi dưỡng kiến thức cần thiết, giúp em học sinh dễ dàng giải câu khó thường gặp đề thi Kho tập nhóm tác giả sưu tầm biên soạn phong phú đa dạng, với dạng tốn hay khó, đòi hỏi học sinh phải vận động khả tư thân để xử lý câu 8+ , giúp học sinh đạt điểm cao kì thi tới Những câu hỏi sách nhóm tác giả sưu tầm, tham khảo phát triển từ đề thi thử Sở, trường Chuyên nước Mặc dù phê duyệt phản biện chặt chẽ khơng tránh khỏi sai xót Kính mong quý thầy cô, em học sinh bạn đọc thơng cảm gửi góp ý vào địa sau ➢ Gmail: Blearningtuduytoanhoc4.0@gmail.com ➢ Fanpage: 2002 – ÔN THI THPT QUỐC GIA Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, em học sinh toàn thể bạn đọc Chúc quý vị khai thác hết kiến thức cầm tay sách này! Trân trọng./ NHĨM TÁC GIẢ CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trang Dạng Điểm vecto hệ tọa độ Oxyz Dạng Tích vơ hướng ứng dụng 28 Dạng Phương trình mặt cầu 39 Dạng Cực trị 54 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 79 Dạng Xác định vecto pháp tuyến, tính tích có hướng mặt phẳng 84 Dạng Viết phương trình mặt phẳng 91 Dạng Tìm tọa độ điểm liên quan đến mặt phẳng 114 Dạng Góc khoảng cách liên quan đến mặt phẳng 123 Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng, mặt cầu mặt phẳng 140 Dạng Cực trị liên quan đến mặt phẳng 165 CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 185 Dạng Xác định vecto phương đường thẳng 191 Dạng Viết phương trình đường thẳng 200 Dạng Tìm tọa độ điểm liên quan đến đường thẳng 231 Dạng Góc khoảng cách liên quan đến đường thẳng 247 Dạng Vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng 257 Dạng Bài toán liên quan đường thẳng – mặt phẳng – mặt cầu 271 Dạng Cực trị liên quan đến đường thẳng 314 CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 347 Dạng Tọa độ hóa Hình học khơng gian 353 Dạng Bài toán đại số 367 CHỦ ĐỀ 5: TỔNG HỢP VỀ HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ 372 Đề 372 Đáp án 381 CHUYÊN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ CHỦ ĐỀ : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ LÍ THUYẾT ➢ Trong khơng gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vng góc với trục Oy O , trục Oz vng góc với mặt phẳng Oxy O Các vectơ đơn vị trục Ox , Oy , Oz i = (1;0;0 ) , j = ( 0;1; ) , k = ( 0;0;1) ▪ Nếu a = a1 i + a2 j + a3 k a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ▪ M ( xM ; yM ; zM )  OM = xM i + yM j + zM k ▪ Cho A ( xA ; y A ; z A ) B ( xB ; yB ; zB ) ▪ Ta có: AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A ) AB = ( xB − xA )2 + ( yB − y A ) + ( zB − z A )  x + xB y A + yB z A + zB  M trung điểm AB M  A ; ;  2   ➢ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta có ▪ ▪ a1 = b1  a = b  a2 = b2 a = b  3 ▪ a.b = a b cos(a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ▪ cos = cos(a, b) = ▪ a b vng góc  a.b =  a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = a1 = kb1  a b phương  k  R : a = kb  a2 = kb2 a = kb  ▪ a  b = (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 k a = (ka1; ka2 ; ka3 ) a = a12 + a22 + a32 (với a  , b  ) ➢ Tích có hướng a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) a, b  = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) a , b , c đồng phẳng  a, b c = ▪ a b phương   a, b  = ▪ Diện tích tam giác : S ABC = [ AB, AC ] ▪ Thể tích tứ diện VABCD = [ AB, AC ] AD ▪ Thể tích khối hộp: VABCD A' B'C' D' = [ AB, AD] AA ' ➢ Một số kiến thức khác ▪ Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k ( MA = kMB ) ta có : x − kxB y − kyB z − kz B xM = A ; yM = A ; zM = A Với ( k  1) 1− k 1− k 1− k ▪ G trọng tâm tam giác ABC x + xB + xC y + yB + yC z +z +z xG = A ; yG = A ; zG = A B C 3 ▪ G trọng tâm tứ diện ABCD  GA + GB + GC + GD = Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u = (1;1;− ) , v = (1;0;m ) Tìm m để góc hai vectơ u , v 45 B m = − A m = C m = + D m =  Lời giải Chọn B ( ) Ta có: cos u ,v = − 2m u.v − 2m = = = 2 u v + m 12 + 12 + ( −2 ) 12 + m2  − 2m = − m )  4m − 4m + = + 3m (điều kiện m  m = −  m − 4m − =   Đối chiếu điều kiện ta có m = −  m = + VÍ DỤ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho hai véc tơ a m để hai véc tơ u 26 A 2a 3mb v B 26 ma 2;1; , b b vng góc với C 2; Tất giá trị 0; 11 26 18 26 D Lời giải Chọn D Ta có: u 2a 3mb Khi đó: u.v 9m2 2;2 3m 2; 4m 6m 3m v 3m m 26 m ma b 2m; m 3m 2m 2; 2m 2 VÍ DỤ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 0; −1;2 ) , B ( 2; −3;0 ) , C ( −2;1;1) , D ( 0; −1;3) Gọi ( L) tập hợp tất điểm M không gian thỏa mãn đẳng thức MA.MB = MC.MD = Biết ( L ) đường trịn, đường trịn có bán kính r bao nhiêu? A r = B r = C r = 11 D r = Lời giải Chọn C Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Gọi M ( x; y; z ) tập hợp điểm thỏa mãn u cầu tốn Ta có AM = ( x; y + 1; z − ) , BM = ( x − 2; y + 3; z ) , CM = ( x + 2; y − 1; z − 1) , DM = ( x; y + 1; z − 3)   MA.MB = Từ giả thiết: MA.MB = MC.MD =     MC.MD = 2    x ( x − ) + ( y + 1)( y + 3) + z ( z − ) = x + y + z − 2x + y − 2z + =   2   x ( x + ) + ( y + 1)( y − 1) + ( z − 1)( z − 3) =  x + y + z + x − z + = Suy quỹ tích điểm M đường trịn giao tuyến mặt cầu tâm I1 (1; −2;1) , R1 = mặt cầu tâm I ( −1;0;2 ) , R2 = M I1 I2 11 I I  Ta có: I1I = Dễ thấy: r = R12 −   = − =   VÍ DỤ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( −2;3;1) B ( 5; 6; ) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( Oxz ) điểm M Tính tỉ số A AM = BM B AM BM AM = BM C AM = BM D AM = BM Lời giải Chọn B  AB = ( ; ; 1)  AB = 59 M  ( Oxz )  M ( x ; ; z ) ;  AM = x + ; − ; z − ( )   x + = 7k  x = −9   A, B, M thẳng hàng  AM = k AB ( k  )  −3 = 3k  −1 = k  M ( −9 ; ; )  z −1 = k z =   BM = ( −14 ; − ; − )  BM = 118 = AB VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 2; −3;7 ) , B ( 0; 4;1) , C ( 3;0;5) D ( 3;3;3) Gọi M điểm nằm mặt phẳng ( Oyz ) cho biểu thức MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ Khi tọa độ M là: A M ( 0;1; −2 ) B M ( 0;1; ) C M ( 0;1; −4 ) D M ( 2;1;0 ) Lời giải Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Chọn B Ta có: AB = ( −2;7; −6 ) , AC = (1;3; −2 ) , AD = (1;6; −4 ) nên  AB, AC  AD = −4  Suy ra: AB , AC , AD không đồng phẳng Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Khi G ( 2;1; ) Ta có: MA + MB + MC + MD = 4MG = 4MG Do MA + MB + MC + MD nhỏ MG ngắn Vậy M hình chiếu vng góc G lên mặt phẳng ( Oyz ) nên M ( 0;1; ) VÍ DỤ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 7;2;3) , B (1;4;3) , C (1;2;6 ) , D (1;2;3) điểm M tùy ý Tính độ dài đoạn OM biểu thức P = MA + MB + MC + 3MD đạt giá trị nhỏ A OM = 21 C OM = 14 B OM = 26 D OM = 17 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có DA = ( 6;0;0 ) , DB = ( 0;2;0 ) , DC = ( 0;0;3) nên tứ diện $ABCD$ tứ diện vuông đỉnh D Giả sử M ( x + 1; y + 2; z + 3) Ta có MA = ( x − 6) + y + z  x −  − x , MB = x + ( y − ) + z  y −  − y MC = x + y + ( z − 3)  z −  − z , 3MD = ( x + y + z )  (x + y + z)  x+ y+z Do P  ( − x ) + ( − y ) + ( − z ) + ( x + y + z ) = 11 x = y = z = 6 − x    x = y = z = Vậy P đạt giá trị nhỏ $11$, 2 − y  3 − z    x + y + z  Khi M (1;2;3) suy OM = 12 + 22 + 32 = 14 VÍ DỤ 7: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1;1; ) , B ( 5; −1;3) , C ( 2; 2; m ) , D ( 3;1;5 ) Tìm tất giá trị thực tham số m để A , B , C , D bốn đỉnh hình tứ diện A m  B m  C m  D m = Chọn C Ta có AB = ( 4; −2; −1) , AD = ( 2;0;1) ,  AB, AD  = ( −2; −6;4 ) , AC = (1;1; m − ) Để A , B , C , D bốn đỉnh hình tứ diện  AB, AD  AC  −2 − + 4m −16   m   Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG ĐIỂM VÀ VECTO TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Câu Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A Khi x y A x y y 17 C x y 11 D x y 11 Tìm tọa độ véctơ u biết u + a = a = (1; − 2;1) A u = ( −3; − 8;2 ) Câu B x 1; 2; , B 1;0; , C x; y; thẳng hàng B u = (1; − 2;8 ) C u = ( −1;2; −1) D u = ( 6; − 4; − ) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1;0; ) , B ( 2;1; − 3) C (1; − 1;0 ) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành A D ( 0; 2; − 1) Câu B D ( −2; − 2;5 ) C D ( −2; 2;5 ) D D ( 2; 2; − 5) Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A (1;1;1) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A mặt phẳng ( Oxz ) A (1;1;0 ) Câu C (1;0;1) D ( 0;1;0 ) Trong không gian Oxyz , cho A ( −3;1; ) , tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua trục Oy A ( 3; −1; −2 ) Câu B ( 0;1;1) B ( 3; −1; ) C ( 3;1; −2 ) D ( −3; −1; ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; −1) ; B ( 2; −1;3) ; C ( −3;5;1) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D ( −4; 8; − 5) Câu B D ( −4; 8; − 3) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : C D ( −2;8; −3) D D ( −2; 2;5 ) x − y +1 z −1 = = điểm M (1; 2; − 3) Gọi M 2 hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d Độ dài đoạn thẳng OM1 A 2 Câu B C D Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −2; 4;1) B ( 4;5; ) Điểm C thỏa mãn OC = BA có tọa độ A ( −6; − 1; − 1) Câu B ( −2; − 9; − 3) C ( 6; 1;1) D ( 2; 9;3) Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz , cho A (1;1; ) , B ( 2; − 1;1) , C ( 3; 2; − 3) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành A ( 4; 2; − ) B ( 0; − 2;6 ) C ( 2; 4; − ) D ( 4;0; − ) Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 3;1; −2 ) , B ( 2; −3;5) Điểm M thuộc đoạn AB cho MA = 2MB , tọa độ điểm M Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ  −5  A M  ; ;   3 3 B M ( 4;5; −9 ) 17  3 C M  ; −5;  2 2 D M (1; −7;12 ) Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi a , b , c khoảng cách từ điểm M (1;3; ) đến ba mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) Tính P = a + b + c ? A P = 32 B P = 18 C P = 30 D P = 12 Câu 12 Cắt hình trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng có cạnh 3a Tính diện tích tồn phần hình trụ cho 27 a 9 a 13 a C D 2 Câu 13 Trong không gian (oxyz ) cho OA = i − j + 3k , điểm B (3; −4;1) điểm C (2; 0; −1) Tọa độ trọng A 9a 2 B tâm tam giác ABC A (1; −2;3) B (−2; 2; −1) C (2; −2;1) D (−1; 2; −3) Câu 14 Trong khơng gian vói hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB , CD thỏa mãn CD = AB diện tích 27 , đỉnh A ( −1; −1;0 ) , phương trình đường thẳng chứa cạnh CD x − y +1 z − = = Tìm tọa độ điểm D biết xB  xA 2 A D ( −2; −5;1) B D ( −3; −5;1) C D ( 2; −5;1) D D ( 3; −5;1) Câu 15 Trong không gian Oxyz , cho OA = i − j + 3k , điểm B ( 3; − 4;1) điểm C ( 2;0; − 1) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC A (1; − 2;3) Câu 16 B ( −2; 2; − 1) C ( 2; − 2;1) D ( −1; 2; − 3) Trong không gian Oxyz , cho AO = i − j + 3k , điểm B ( 3; − 4;1) C ( 2;0; − 1) điểm D ( a ; b ; c ) cho B trọng tâm tam giác ACD Khi P = a + b + c A B −3 C −1 D Câu 17 Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.ABCD biết A (1; 0;1) , B ( 2;1; ) , D (1; −1;1) , C  ( 4;5; −5) Tọa độ điểm A là: A A ( 4;6; −5) B A ( −3; 4; −1) C A ( 3;5; −6 ) D A ( 3;5;6 ) Câu 18 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2; − 2;1) , B ( 0;1; ) Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho ba điểm A , B , M thẳng hàng A M ( 4; − 5;0 ) B M ( 2; − 3;0 ) C M ( 0;0;1) D M ( 4;5;0 ) Câu 19 Trong khơng gian Oxyz , véctơ u vng góc với hai véctơ a = (1;1;1) b = (1; −1;3 ) ; đồng thời u tạo với tia Oz góc tù độ dài véctơ u Tìm véctơ u     6 6 6 6 A  ; − ;− ;− ; ;  B  ;  C  − ;  D  − ; −  2 2 2 2         Câu 20 Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; −1;1), N(2;0; −1),P( −1; 2;1) Xét điểm Q cho tứ giác MNPQ hình bình hành Tọa độ Q A ( −2;1;3) B ( −2;1;3) C ( −2;1; −3) D (4;1;3) Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Câu 21 Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A ( 3;5; − 1) , B ( 7; x ;1) C ( 9; 2; y ) Để A , B , C thẳng hàng giá trị x + y A B C D Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −2;3; ) , B (8; −5;6 ) Hình chiếu vng góc trung điểm I đoạn AB mặt phẳng ( Oyz ) điểm đây? A N ( 3; −1;5) B M ( 0; −1;5) C Q ( 0;0;5 ) D P ( 3;0;0 ) Câu 23 Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2; −5; ) Trong phát biểu sau, phát biểu sai? A Khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa độ ( xOz ) B Khoảng cách từ M đến trục Oz 29 C Tọa độ điểm M  đối xứng với M qua mặt phẳng ( yOz ) M  ( 2;5;− ) D.Tọa độ điểm M  đối xứng với M qua trục Oy M  ( −2; −5; −4 ) Câu 24 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( −1;1;2 ) , B ( 0;1; − 1) , C ( x + 2; y; −2 ) thẳng hàng Tổng x + y B − C − D − 3 3 Câu 25 Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm H ( 2;1;1) Gọi điểm A, B, C trục tọa A độ Ox, Oy, Oz cho H trực tâm tam giác ABC Khi hồnh độ điểm A là: A −3 B −5 C D Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết u = ; v = góc hai vectơ u v 2 Tìm k để vectơ p = ku + v vng góc với vectơ q = u − v A k = B k = C k = D k = − Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' với A ( −2;1;3) , C ( 2;3;5 ) , B ' ( 2;4; − 1) , D ' ( 0;2;1) Tìm tọa độ điểm B A B (1; − 3;3) B B ( −1;3;3) C C (1;3; − 3) D B (1;3;3) Câu 28 Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ( −1;2;0 ) , B ( 3;1;0 ) , C ( 0;2;1) D (1;2;2 ) Trong có ba điểm thẳng hàng A A , C , D B A , B , D C B , C , D D A , B , C Câu 29 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;0;0 ) , B ( 5;0;0 ) Gọi ( H ) tập hợp điểm M không gian thỏa mãn MA.MB = Khẳng định sau đúng? A ( H ) đường trịn có bán kính B ( H ) mặt cầu có bán kính C ( H ) đường trịn có bán kính D ( H ) mặt cầu có bán kính Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a = ( 2; m − 1;3) , b = (1;3; −2n ) Tìm m, n để vectơ a, b hướng A m = 7; n = − B m = 4; n = −3 C m = 1; n = D m = 7; n = − Câu 31 Trong không gian Oxyz , cho A (1;1; −3 ) , B ( 3; −1;1) Gọi G trọng tâm tam giác OAB ,véc tơ OG có độ dài bằng: 5 5 B C D Câu 32 Trong khơng gian vói hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB , CD thỏa A mãn CD = AB diện tích 27 , đỉnh A ( −1; −1;0 ) , phương trình đường thẳng chứa cạnh CD x − y +1 z − = = Tìm tọa độ điểm D biết hoành độ điểm B lớn hoành độ điểm 2 A A D ( −2; −5;1) B D ( −3; −5;1) C D ( 2; −5;1) D D ( 3; −5;1) Câu 33 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 2;3; ) , B ( −2; −1; ) Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz cho E cách hai điểm A, B 1 1   A  0;0;  B  0;0;  C ( 0;0; −1) D ( 0;0;1) 2 3   Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1;0; ) , B ( 3;1; ) , C ( 3; −2;1) Tìm tọa độ điểm S , biết SA vng góc với ( ABC ) , mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính 11 S có cao độ âm A S ( 4;6; −4 ) B S ( 4; −6; −4 ) C S ( −4;6; −4 ) D S ( −4; −6; −4 ) Câu 35 Trong không gian Oxyz , cho hình thang cân ABCD có đáy AB, CD Biết A ( 3;1; −2 ) , B ( −1;3; ) , C ( −6;3;6 ) D ( a; b; c ) với a; b; c  A T = −3 B T = C T = Tính T = a + b + c D T = −1 Câu 36 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A (1; 2;5 ) , B ( 3; 4;1) , C ( 2;3; −3) Gọi G trọng tâm tam giác ABC M điểm thay đổi mp ( Oxz ) Độ dài GM ngắn A B C D Câu 37 Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 5;1;5) , B ( 4;3; ) , C ( −3; − 2;1) Điểm I ( a ; b ; c ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a + 2b + c ? A B C D −9 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Dấu xảy Câu 25 n m = =  m = −1; n = Vậy m.n = −4 −1 Chọn A Thay tọa độ điểm M ( ; ; − 1) vào đường thẳng d ta M ( ; ; − 1) thuộc đường thẳng d = = = Vậy điểm Câu 26 Chọn C M    M ( 2t + ; t ; − − t ) , 2 2 2 MA2 + 2MB = ( 2t + 1) + ( t + 1) + ( t + ) + ( 2t ) + ( t + ) + ( t + 3)    = 18t + 36t + 53 = 18 ( t + 1) + 35  35 Dấu xảy t = −1  M ( −1 ; − ; − 1) Câu 27 Chọn A Vì MN hướng với a nên t  : MN = ta Hơn nữa, MN =  t a =  t = Suy MN = ( ; −5 ;0 )  x + =  x =   Gọi A ( x ; y; z ) điểm cho AA = MN   y − = −5   y  =  A (1; ; 3)  z − =  z =   Dễ thấy điểm A , B nằm phía so với mặt phẳng (Oxy ) chúng có cao độ dương Hơn cao độ chúng khác nên đường thẳng A ' B cắt mặt phẳng (Oxy ) điểm cố định Từ AA = MN suy AM = AN nên AM − BN = A ' N − BN  A ' B dấu xảy N giao điểm đường thẳng A ' B với mặt phẳng (Oxy ) Do max AM − BN = A ' B = ( − 1) + ( − ) + ( − 3) = 17 , đạt 2 N = AB  (Oxy ) Câu 28 Chọn C Vì đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P ) nên d nhận véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) làm véc tơ phương Do đường thẳng d qua điểm A có véc tơ phương u = ( 2;0; − 3)  x = + 2t  Vậy phương trình đường thẳng d là:  y = −2  z = − 3t  Câu 29 Chọn A Mặt phẳng ( P ) ( Q ) có véc tơ pháp tuyến n1 = ( 3; −1;1) ; n2 = ( 2; − 5;0 ) Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) , u véc tơ phương d  u ⊥ n1 Khi   u = n1 , n2  = ( 5; 2; −13) u ⊥ n   3x − y + z + =  A ( −3;0;5) Gọi A  d  Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình:  2 x − y + = Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 389 CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ  x = −3 + 5t  Vậy phương trình đường thẳng d là:  y = 2t  z = − 13t  Câu 30 Chọn B Mặt phẳng ( P ) có véc tơ pháp tuyến nP = (1; − 1;1) ; 5 1 OA =  ; ; −  2 2 Mặt cầu ( S ) có tâm O ( 0; 0; ) bán kính R = 3  R  A nằm mặt cầu ( S ) Gọi E hình chiếu O lên BC Vì BC = = R = OB = OC nên tam giác OBC tam giác R 3  OE = = = OA 2 1 Suy E  A  BC ⊥ OA  d có véc tơ phương u = OA, nP  =  − ; − ; −3     2   x = + t   Vậy phương trình đường thẳng d là:  y = + t  −   z = + 6t  5  Ta thấy đường thẳng d qua điểm E  3;1;  2  Câu 31 Chọn A  x = t  d  có VTCP u = (1; 4; − ) , d có phương trình tham số:  y = − 2t   z = + 3t   OA = Giả sử A B giao điểm d với d1 d  A ( t ; − + 2t ; t ) B ( t  ;1 − 2t  ;1 + 3t  ) Ta có: AB = ( t  − t ; − 2t  − 2t ;1 + 3t  − t ) Do d // d  nên vectơ u vectơ AB phương  Do đó, A ( 2;3; ) t = t  − t − 2t  − 2t + 3t  − t = =  −2 t ' = Vậy d đường thẳng qua A ( 2;3; ) nhận u = (1; 4; − ) VTCP nên d có phương trình x = + u   y = + 4u ( u : tham số)  z = − 2u  Câu 32 Chọn C Ta có: d1 có VTCP u = ( 3;1; − ) A ( 2; − 3; )  d1 d có VTCP u = ( 3;1; − ) B ( 4; − 1;0 )  d 390 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Dễ thấy A  d Do đó, d1 // d Do d1 // d d cách d1 d nên d có VTCP VT u = ( 3;1; − ) Gọi I trung điểm AB nên I ( 3; − 2; )  d Vậy d đường thẳng qua I có VTCP vectơ u = ( 3;1; − ) nên d có phương trình là:  x = + 3u   y = −2 + u ( u : tham số)  z = − 2u  Câu 33 Chọn B Vì A  d1 ; B  d  A ( −1 + t ; − + 2t ; t ) B ( + 2t  ;1 + t  ;1 + t  ) Ta có: AB = ( + 2t  − t ;3 + t  − 2t ;1 + t  − t )  AB ⊥ n Mặt phẳng ( P ) có VTPT n = (1;1; − ) ; AB // ( P )    A  ( P ) AB ⊥ n  AB.n =  + 2t  − t + + t  − 2t − (1 + t  − t ) =  t  = t − Suy AB = ( t − 5; − t − 1; − 3) Do đó, AB = ( t − 5) + ( −t − 1) + ( −3) = ( t − ) + 27  3 2  AB = 3 t = Khi đó, A (1; 2; )  ( P ) ; AB = ( −3; − 3; − 3) Vậy d đường thẳng qua A có VTCP vectơ u = (1;1;1) nên d có phương trình là: x = 1+ u   y = + u ( u : tham số) z = + u  Câu 34 Chọn A Đường thẳng d1 có VTCP u1 = ( 2;5;3) Đường thẳng d có VTCP u2 = ( 2;2;4 )   ⊥ d1 Vì   u = u1 , u2  = (14; − 2; − ) VTCP đường thẳng   ⊥ d  x = −1 + 14t x +1 y − z −  = =   :  y = − 2t (Với t tham số) hay  : −1 −3  z = − 6t  Câu 35 Chọn B Ta có: VTCP đường thẳng d1 u1 = ( −3;6; − ) VTCP đường thẳng d u2 = ( 5;3;2 ) Gọi B =   d  B ( + 5t ;1 + 3t ; − + 2t )  AB = ( + 5t ;2 + 3t ; − + 2t )  B Vì  nên AB ⊥ u1  AB.u1 =   ⊥ d1  −3 ( + 5t ) + ( + 3t ) − ( −3 + 2t ) =  t =  AB = ( 6;2; − 3) Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 391 CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Đường thẳng  qua điểm A ( −3; − 1;2 ) nhận AB = ( 6;2; − 3) làm VTCP nên có phương trình  : Câu 36 x + y +1 z − = = −3 Chọn D Ta có: M =   d  M ( −2 + t ;1 + 3t ; − − 2t ) AB = ( −1; − 2;1) ; AM = ( t ;3t ; − − 2t )  AB , AM  = (12 + t ; − − t ; − t )   Ta có: SABM =   AB ; AM  =  t =0 2 + ( −6 − t ) + t =  3t + 36t + 180 = 180  t + 12t =   t = −12  x = −2  + Với t =  M ( −2;1; − 5)  AM = ( 0;0; − )   :  y = −1 (Với t tham số) z = − t  + Với t = −12  M ( −14; − 35;19 )  AM = ( −12; − 36;18 )  VTCP  u = ( 2;6; − 3)  (12 + t )  Phương trình đường thẳng  là: x + y −1 z −1 = = −3 Câu 37 Chọn D Tâm I mặt cầu tâm I hình lập phương Ta có AB = DC  C ( 3;3;0) I trung điểm 2 3 3  +3 = 2 2 2  Mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương có phương trình AC  I  ; ; ;  Bán kính IK = IH + HK = ( S ) :  x − Câu 38 2 3  3  3  +x−  +x−  = 2  2  2  Chọn A Gọi I ( a ; b ; c ) ( a  ) tâm mặt cầu ( S ) ( P) có VTPT n1 = (1; 1; 1) Ta có: HI = ( a − 1; b + 2; c + ) phương n1 d  I , ( P ) = R2 − r = 392 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ  a − = b + a − b = a − b = a = a =       a − = c +  a − c =  a − c =  b = −1 ( n )  b = −3 ( l )  a+b+c+5 a + b + c = −2 a + b + c = −8 c = −3  c = −5      =   I ( 2; − 1; − 3) Vậy: ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z + 3) = 16 Câu 39 2 Chọn D Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2; −3) bán kính R Đặt MA = a , AMB = 60 ; BMC = 90 ; CMA = 120 nên AB = a , BC = a , AC = a  Tam giác ABC vng B  Tâm K đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm AC 3a a a MK = MC − KC = a − =  MK = a2 = 2a Trong tam giác vng MIC ta có MK MI = MC  MI = a M K C A B I MI =  a = MI = MC + R  R = 3a = 27  R = 3 Phương trình mặt cầu ( S ) x + y + z − x − y + z − 13 = Câu 40 Chọn D Gọi I tâm mặt cầu Theo giả thiết, ta có I ( −1; − 1;0 ) ( + 1) + ( + 1) + ( −2 ) Bán kính IA = Câu 41 2 = 65 Chọn D d ( I ;( P)) = Câu 42 + − + 10 + + ( −2 ) 2 = Khi bán kính mặt cầu 32 + 42 = Chọn A Mặt cầu có tâm I (1; − 2; − 3) bán kính R = Ta có: IA =  R nên A nằm mặt cầu Gọi H trung điểm đoạn MN , ta có: MN = 2MH MH = R2 − IH Nên MN IH max Ta ln có IH  IA nên IH max = IA = Ta có: MH = 25 − = 16  MH =  MN = Câu 43 Chọn C Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2;2 ) Câu 44 Theo đề ta có: R = + + + m =  m = 16 Chọn C Ta có u1 ( 3; − 1; − ) ; u2 (1;3;1) véctơ phương đường thẳng d1 d Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d mặt cầu nhận đoạn vng góc chung d1 d đường kính Gọi A ( + 3a ;1 − a ; − − 2a )  d1 B ( + b ; − + 3b ; b )  d  AB = ( b − 3a − 2;3b + a − 4; b + 2a + 5) AB đoạn vng góc chung d1 d Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 393 CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ  AB.u1 =  7a + b + = a = −1    2a + 11b − = b =  AB.u2 = Suy A (1;2; − 3) ; B ( 3;0;1) Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1; − 1) trung điểm AB , có bán kính R = IA = Vậy phương trình ( S ) : x + y + z − x − y + z = Câu 45 Chọn A Gọi I (1;0; ) trung điểm AB suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Gọi d đường thẳng qua I vng góc với ( OAB )  ( Oxz ) , suy d có phương trình x =   y = t Gọi E tâm mặt cầu ( S ) , suy E  d  E (1; t ; ) z =  Ta có: EB = t + d ( E ; ( P ) ) = −t + 11 t = −t + 11  8t + 22t − 76 =   Khi t + = t = − 19  Với t =  E (1; 2; )  R = EB = 19 19  441   E 1; − ;   R = EB =  4   Vậy chọn đáp án A Với t = − Câu 46 Chọn B x = 1+ t  Phương trình tham số đường thẳng d :  y = + t  z = + 2t  (t  ) H  d  H (1 + t; + t;1 + 2t ) Độ dài AH = ( t − 1) + ( t + 1) + ( 2t − 3) Độ dài AH nhỏ 2 = 6t − 12t + 11 = ( t − 1) +  t =  H ( 2;3;3) Vậy a = , b = , c =  a + b3 + c3 = 62 Câu 47 Chọn B x y z Ta có:  : = = qua O (0;0;0) có VTCP u = (1;1; ) 1 x +1 y z −1 = = qua M (−1;0;1) có VTCP u ' = ( −2;1;1) −2 1 Vì M    M ( t ; t ; 2t ) , N   '  N ( −1 − 2u ; u ;1 + u )  : Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến n (1; −1;1) Vì MN song song với ( P ) nên MN n =  t = −u  u=0 MN = 14u + 8u + =  14u + 8u + =   u = −  +) u =  M (0;0;0)  ( P) (loại ) 394 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ 4 8 1 3 +) u = −  M  ; ;  ; N  ; − ;  M  ( P) (tm) 7 7 7 7 Câu 48 Chọn C Mặt phẳng ( P ) qua điểm M vng góc Δ x − y + z + = Mặt phẳng ( Q ) qua N vuông − (−7) góc với  x − y + z − = Do HK = d (( P ), (Q)) = 12 + 22 + 12 Đường thẳng Δ qua điểm A(m; −1; −m2 ) véctơ phương u (1; −2;1) = 15 Đường thẳng MN qua điểm M ( −1; 4;1) có véctơ phương MN (4; −6; −1) Góc hai đường thẳng cos  = u.MN = u MN 15 53 = 15 318  sin  = 31 106 u , MN  AM 2m − 8m + 19 11   =  Khoảng cách hai đường thẳng MN HK d = 93 93 u , MN    Do VHKMN = 1 15 11 31 55 HK MN d sin   53 = 6 93 106 12 x − y +1 z + = = −2 Đường thẳng Δ véctơ phương u (1; −2;1) Vì H hình chiếu M lên Δ nên 16 MH u =  H ( ; ; − ) T = a − 2b + c = −8 3 Câu 49 Chọn C Do C nằm Oxy nên C ( x; y;0 ) Dấu '' = '' xảy m = Khi phương trình đường thẳng Δ : A, B, C thẳng hàng  AC phương AB  x − y −1 −1 = = −2 −2 Suy x = 1, y = Chọn đáp án C Câu 50 Chọn D Mặt cầu ( S ) có tâm I (1,0,0 ) bán kính R = x = 1+ t  Gọi  đường thẳng qua I vng góc với ( P )  pt  :  y = z = t  Gọi H tâm đường trịn giao tuyến Ta có H =   ( P )  tọa độ H nghiệm hệ pt: x = 1+ t x = y =     y =  H (0;0; −1)  z = t  z = −1  x + z + =  Câu 51 Chọn A Giả sử B( x; y;0)  (Oxy), ( x  ) , C (0;0; z )  Oz  AH BC =  AH ⊥ BC   H trực tâm tam giác ABC  CH ⊥ AB  CH AB =     AB, AH  AC =  AB, AC , AH đồng phẳng Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 395 CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ x = x + z =    y = ( Vì x  ) Vậy B ( 3;1;0 ) , C ( 0;0; −3)  2x + y − =  x − y + yz − z =  z = −3   Câu 52 Chọn C  5 Gọi I điểm thỏa mãn 3IA + 2IB + IC = , I 1; ; −   6 ( ) ( ) ( ) T = 3MA + 2MB + MC = MI + IA + MI + IB + MI + IC = MI = 6MI Do T nhỏ MI nhỏ  M hai giao điểm đường thẳng qua IE 1  mặt cầu (S) với E 1;1; −  tâm (S) 2     3 2 x =  M 1; 2; −   IM = 2   ( IE ) :  y = + t M = IE  (S)   1    M 1;0;   IM = z = − − t 2    3  Vậy M1 1;2; −  điểm cần tìm P = x + y + z = 2  Câu 53 Chọn B Gọi H hình chiếu vng góc B lên ( P ) Khi đó: d ( B;( P) ) = BH  BA = const Vậy d ( B;( P) ) lớn H trùng A  ( P ) qua A ( −1; 2;0 ) vng góc với đoạn thẳng AB nên ( P ) nhận AB ( 2; − 4; − ) làm VTPT Hay n (1; − 2; − 1) VTPT ( P )  Phương trình mặt phẳng ( P ) là: ( x + 1) − ( y − ) − z =  x − y − z + = Dựa vào phương trình ( P ) ta có a = d = Câu 54 Chọn A Gọi I điểm thõa mãn: IA + IB = Khi I trung điểm AB nên I ( 3;3;3) ( ) ( ) ( ) + ( IB − IM ) + 2IM − 2IM ( IA + IB ) = IA + IB + 2IM 2 MA2 + MB2 = MA + MA = IA − IM = IA2 + IB2 2 2 2 Vì IA + IB khơng đổi nên MA2 + MB nhỏ IM nhỏ 396 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ  M hình chiếu I lên ( P )  x = + 2t  Khi đường thẳng IM qua I ( 3;3;3) vng góc với ( P ) nên có phương trình:  y = + t z = − t  Tọa độ giao điểm đường thẳng IM ( P ) ứng với t nghiệm phương trình: ( + 2t ) + ( + t ) − ( − t ) + =  6t + 12 =  t = −2 Giao điểm tìm hình chiếu I lên ( P ) Vậy M ( −1;1;5 ) nên a + b + c = Câu 55 Chọn D Gọi I hình chiếu vng góc A lên BC Khi đó: S ABC = AI BC 1 b 2c 2 = +  OI = OI OB OC b2 + c b 2c a 2b + b c + a c Ta có IOC vng O nên: IA2 = OI + OA2 = 2 + a = b +c b2 + c 2 Ta có OBC vuông O nên: BC = b + c , S ABC = a 2b + b c + a c 2 2 2 b + c = a b + b c + a 2c 2 2 b +c 2 2 4 2 2 2 Vì a + b + c = 12  12 = a + b + c + 2a b + 2b c + 2a c  a b +b c +a c = 2 ( 2 Mà: a + b + c 4 2 ( 122 − a + b4 + c )  (a 2 +b +c ) 2 ) (1) (  a +b +c 4  S ABC = ( ) (a  12 − a + b + c Từ (1) (2) suy ra: a 2b + b 2c + a 2c = 4 + b2 + c )  12 ) 122 = (2) = 48 2 2 a b + b c + a 2c  48 = 2 S ABC nhỏ khi: a = b = c = 12 = Vậy ( P ) qua điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; ) có phương trình là: Kiểm tra thấy ( P ) qua điểm (1;0;1) Câu 56 x y z + + =1 2 Chọn B Cho hệ trục tọa độ Cxyz , B  Cx, S  Cz Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 397 CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ ( Khi A ( a; a;0) , B ( 2a;0;0) , C ( 0;0;0 ) , S 0;0; a ) x = a − t  Phương trình đường thẳng SA là:  y = a − t , t    z = 2t ( ) M a − t; a − t; 2t  SA 2 2 2 Giả sử AM = u nên u = AM = t + t + 2t = 4t  t = u  u u u 2 M  a − ; a − ;  ; N  BC  N ( u;0;0 ) NC = AM 2   2 3u   u  u2 2a  2a 2a   MN =  a −  +  a −  + = 3 u −  +    2  3   2 a Cách khác: TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Lấy M a − t0 ; a − t0 ; 2t0 ; t0  0; a  , AM = −t0 ; −t0 ; 2t0  AM = 2t0 Min MN = ( ) ( Vì N  BC NC = AM nên N ( 2to ;0;0 ) ( ) ) MN = 3to − a; to − a; − 2to  MN = 12t02 − 8ato + 2a , (t0  0; a ) Suy Min MN = 2a a to = 3 Câu 57 Chọn A Chọn hệ trục Axyz hình vẽ AB =  AA' = ; B  Ax  B ( 2;0;0 ) D  Ay  D ( 0; 2;0 ) ; A'  Az  A' ( 0;0;1) ; C ( 2; 2;0 ) ; M  AB  M ( x;0;0 )  x  MA' ( − x;0;1) ; MC ' ( − x; 2;1) cos A MC = ' A' MC '  398 '  MA' MC ' = MA' MC '  max A' MC ' = − x(2 − x) + x +  (2 − x) + +1 (1 − x ) 0 x + ( − x ) + =  x = Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ  M (1;0;0 ) trung điểm AB Nhận xét: Hình vẽ hệ trục lại chọn sai so với lời giải Câu 58 Chọn D Cho hệ trục Axyz hình vẽ, D  Ax, B  Ay, S  Az  A ( 0;0;0 ) , B ( 0; a;0 ) , C ( a; 2a;0 ) , S ( 0;0; a ) ( a  ) Gọi D ( xD ;0;0 ) ta có: SC ( 2a; a; −a ) ; BD ( xD ; −a;0 ) SC ⊥ BD  SC ' BD =  2a.xD − a =  xD = Vì M  SA AM = x nên M ( 0;0; x ) a  BD, BM  a 4a   DE = = 5− x + a2 BM 4a nhỏ x2 + a2  x + a lớn  x = a Nhận xét: Một lần hình vẽ lại chọn sai tọa độ so với lời giải Câu 59 Chọn B  qua điểm A (1;1; − 1) , có véctơ phương u = (1; − 2; ) Ta có DE lớn  d qua điểm B (1; − 1;1) , có véctơ phương ud = ( 2; 2;1) Ta có u ud = 1.2 − 2.2 + 2.1 =  u ⊥ ud suy  vng góc với d Mặt khác u ; ud  = ( −6;3;6) , AB = ( 0; −2;2 )  u ; ud  AB = −6.0 + ( −2 ) + 6.2 =  Suy  d chéo Vậy  d chéo nhau,  vng góc với d Câu 60 Chọn B  qua điểm A (1; − m; n ) có véctơ phương u = ( −2; 2;1) d có véctơ phương ud = ( 6; −6; −3) −2 = = nên u phương với ud −6 −3 Vậy đường thẳng  d trùng A (1; − m; n ) nằm  Vì Dó m = −3 − −m − n − = =  −6 −3 n = Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 399 CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Suy K = m2 + n2 = 62 + ( −3) = 45 Câu 61 Chọn B ( D ) qua A ( 2, −1,1) có vecto phương a = ( 2,1, )  a = AI = ( 2, 3, −2 )   a, AI  = ( −8,8, )   a, AI  = 12     2 12  R = d I , ( D) = =  (S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 16 Chọn B ( Câu 62 ) Chọn B A  1  A (1; + t ; − t ) , B    B ( + t ;3 − 2t ;1 − t  ) Ta có AB = ( + t ;1 − 2t  − t;1 − t  + t ) VTCP đường thẳng 1 u1 = ( 0;1; − 1) VTCP đường thẳng  u2 = (1; − 2; − 1)    AB.u1 = 1 − 2t  − t − (1 − t  + t ) =  Ta có    3 + t  − (1 − 2t  − t ) − (1 − t  + t ) =  AB.u2 = −t  − 2t =   t = t  = Suy AB = ( 3;1;1)  AB = 11 6t  + t = Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng 1  có đường kính độ dài đoạn AB nên có bán kính r = Câu 63 AB 11 = 2 Chọn A I H K Phương trình mặt phẳng ( ABC ) M x y z + + =1 a b c Vì mặt phẳng ( ABC ) qua điểm M (2; 4;5) nên ta có + + = có vectơ pháp tuyến a b c 1 1 n= ; ;  a b c Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;2;3) bán kính R = Ta có IM = (1; 2; ) nên IM = (1) Gọi H hình chiếu I mặt phẳng ( ABC ) Khi giao tuyến ( ABC ) với mặt cầu ( S ) đường trịn tâm H có chu vi 8 suy bán kính r = Ta có IH = R − r = 52 − 42 = (2) Vì IH ⊥ ( ABC ) M  ( ABC ) nên IM  IH (3) Từ (1), (2) ta có IM = IH = Do (3) phải xảy đẳng thức hay M  H 400 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Khi IM ⊥ ( ABC ) nên IM vectơ pháp tuyến ( ABC ) 1 a = k  1 Suy n = k IM ( k  )   = 2k b 1  c = 2k  Vì + + = nên 2k + 8k + 10k =  k = Từ suy a = 20, b = 10, c = 10 a b c 20 Vậy a + b + c = 40 Câu 64 Chọn B Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy G (1;2; −2) Ta có T = d1 + d + d3 = 3d (G;( )) (Theo tính chất hình thang) Do T = 3d ( G; ( ) )  3d ( G; (  ) ) Gọi H (1 + t ;1 − 2t ;1 − t ) hình chiếu G lên đường thẳng  , ta có GH = ( t ; −2t − 1;3 − t ) GH u =  t − ( −2t − 1) − ( − t ) =  t = Câu 65 354 Vậy Tmax = 3GH = Chọn B x − y − − m z + − 2m (d ) : = = m −1 2m − (m − 1) x − 2m + = y − − m m( x − 1) = y + x − 4(1)   (2m − 3) x − 4m + = z + − 2m 2m( x − 1) = z + 3x − 4(2)  x −1 = x =   (1), (2) m    x + y − =   y = 3x + z − =  z =    ( d ) qua điểm M (1;3;1) Lấy 2(1) − (2) ta được: y − z − x − =  x − y + z + =  (d )  ( ) : x − y + z + = 0, m   ( S ) tiếp xúc ( d ) M x −1 y − z −1 = =  IM qua M vng góc với ( )  IM : −2  x −1 y − z −1 = =  I = IM  ( P)  tọa độ điểm I thỏa:  = −2  I (2;1; 2), R = d ( I , ( )) =  2 x + y + z − =  T = + 1.2 + − = Câu 66 Chọn B ( S ) : ( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) = có tâm J (−1; −2; −3) , bán kính R = M cách A, B  M  ( ) mặt phẳng trung trực AB  ( ) qua N (0; 0; −3) trung điểm AB có VTPT n = AB = (−8;6;2) = −2(4; −3; −1)  ( ) : x − y − z − = M  ( )  ( S )  M  (C ) : đường tròn tâm H hình chiếu J ( ) (Vì d ( J , ( )) = −4 + + − 16 + + =  R nên M ) 26 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 401 CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Ta có I  ( ) (Vì 4.2-3.1-2-3=0)  IM max = IH + r x +1 y + z + = = IH qua J vng góc với ( )  IH : −3 −1  x +1 y + z + = =   17 23 38  H = IH  ( )  Tọa độ H thỏa:  −3 −1  H  − ; − ; −   13 13 13   4 x − y − z − = r = R − d ( J , ( )) = −  IM max = Câu 67 50 557 = , IH = 26 13 13 ( 50 + 557)  a = 50, b = 557  T = 57 13 Chọn B Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2; − 3) bán kính R = 3 Gọi ( C ) đường tròn giao tuyến mặt phẳng ( ABC ) mặt cầu ( S ) Đặt MA = MB = MC = x AB = x , BC = x , CA = x ABC vng B nên trung điểm H AC tâm đường tròn ( C ) H , I , M thẳng hàng Vì AMC = 120 nên AIC x = R  x = suy IM = AM = 2x = Lại có M  d nên M ( −1 + t ; − + t ;1 + t ) , ( t  1) t = Mà IM = nên ( t − ) + ( t − ) + ( t + ) = 36  3t − 4t =   t =  112 1 7 Do a  nên t = suy H  ; − ;  Vậy a + b3 + c = 3 3 Câu 68 2 Chọn D P C D M I B O Q A Dựng hình hộp chữ nhật OAQB.CMDP Gọi I giao điểm đường chéo hình hộp, dễ thấy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Ta có A ( m ;0;0 ) , B ( 0; m + 2;0 ) , C ( 0;0; m − 5) suy D ( m ; m + 2; m − 5) 1 26 3m2 − 6m + 29  Bán kính R = OD = 2 402 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 403 ...CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trang Dạng Điểm vecto hệ tọa độ Oxyz Dạng Tích vơ hướng ứng... 372 Đáp án 381 CHUYÊN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ CHỦ ĐỀ : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ LÍ THUYẾT ➢ Trong khơng gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vng góc với trục Oy... nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 39 CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ DẠNG MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN Câu 1: Trong khơng gian gian Oxyz, cho mặt cầu ( S