vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ). Chọn đáp án sai.. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.. Viết phư[r]
(1)MỤC LỤC
BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ 1
►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT
►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM
►DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 10
►DẠNG XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU 10 ►DẠNG LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC 12
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 17
► DẠNG 1: TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG 17
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 19
► DẠNG 3: ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG 22
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 25
►DẠNG 1: TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG 25
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG 27
►DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG VÀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐT VÀ MẶT PHẲNG 32 BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TỔNG HỢP 35
►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG 35
►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG 37
►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG 40
►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG 42
► DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG 45
BÀI 6: KHOẢNG CÁCH TỔNG HỢP 49
►DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM 49
►DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG 51
►DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG 54
(2)BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ
►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT PHƯƠNG PHÁP:
Định nghĩa: a=a1.i +a2.j+a3.k =a (a1;a2;a 3)
Tính chất: Cho a=(a a a1; 2; 3);b =(b b b 1; ;2 3) •
1 2 3
= = =
=
a b
a b a b
a b
• a b =(a1b a1; 2b a2; 3b 3)
• ka=(ka ka ka1; 2; 3), k
• 0=(0;0;0), i =(1;0;0 ,) j =(0;1;0 ,) k =(0;0;1) • a phương b k :a=kb (b0) ( )
1 3
, ,
= =a
a a
b b b
b b b
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho a=(1; 2; 3− ); b= −( 2; 2;0) Tọa độ vectơ c=2a−3b là
A c=(4; 1; 3− − ) B c=(8; 2; 6− − ) C c=(2;1;3) D c= −( 2; 4;3) Lời giải
Chọn B
Ta có: ( )
( )
2 2; 4; 6; 6;
= −
= −
a b
Suy c=2a−3b =(2 6; 6; 0+ − − − ) (8; 2; 6)
=c − −
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a=(2; 5;3− ), b =(0; 2; 1− ) Tọa độ vectơ x thỏa mãn 2 +a x=b là
A (−4; 2;−7) B (−4; 2; 3) C (−4; 12; −7) D (−4; 12; −3) Lời giải
Chọn C
Ta có 2a+ = = −x b x b 2a
Ta có: ( )
( )
2 4; 10; 0; 2;
6
= −
=
−
(3)Suy x= −b 2a=(0 4; 10; 6− + − − ) ( 4;12; 7)
= −x −
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a=(3; 2;1− ), b = −( 1;1; 2− ), (2;1; 3)
= −
c , u=(11; 6;5− ) Mệnh đề sau đúng?
A u=3a−2b c + B u=2a+ +3b c C u=2a− +3b c D u=3a−2b−2c
Lời giải Giả sử u=xa+yb+zc
Ta có hệ phương trình: 11
2
2 − + =
− + + = −
− − =
x y z
x y z
x y z
Giải hệ ta được:
3
x y z
= = − = Vậy u=2a− +3b c
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a= − +i 2j−3k Tọa độ vectơ a là
A (−1; 2; 3− ) B (2; 3; 1− − ) C (2; 1; 3− − ) D (−3; 2; 1− ) Câu Câu sau sai?
A 3;1;1
2
= − + + = −
a i j k a B 1; 0;
2
= − = −
a i j a
C a= −2i 3j =a (2; 3;0− ) D 3; ;12
5
= + − = −
a j k i a
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai véc tơ u= −( 1;3; 2− ) v=(2;5; 1− ) Tìm tọa độ vectơ a=2u−3v
A a= −( 8;9; 1− ) B a= − −( 8; 9;1) C a=(8; 9; 1− − ) D a= − − −( 8; 9; 1) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ u= − −2j 3k u= +i 2k , tọa độ
của u v hệ tọa độ Oxyz là:+
A (1; 2; 1− − ) B (1; 0;1) C (1; 2; 2) D (−1; 0; 2)
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai vectơ , a=(2; 3;1)− b= −( 1;0; 4) Tìm tọa độ vectơ u= − +2a 3b
A u= −( 7;6; 10)− B u= − −( 7; 6;10) C u=(7;6;10) D u= −( 7;6;10) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vecto a=(5; 4; 1− );b=(2; 5;3− ) c thỏa mãn
hệ thức c =2a−3 b Tìm tọa độ ?c
(4)Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a=(1; 2;3), b=(2; 2; 1− ), c=(4;0; 4− ) Tọa độ vectơ d= − +a b 2c là
A d = −( 7;0; 4− ) B d = −( 7;0; 4) C d =(7;0; 4− ) D d =(7;0; 4) Câu Trong không gian Oxyz , cho a=(1; 2; 3− ), b= − −( 2; 4;6) Khẳng định sau đúng?
A a=2b B b= −2a C a= −2b D b=2a
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai véctơ a=(m; 2;3) b=(1; ; 2n ) phương m n bằng:+
A 11
6 B
13
6 C
17
6 D 2
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vec tơ a=(2;1;1), b=(3; 1; 2− ) Tọa độ vec tơ c thỏa mãn biểu thức 2b a− +3c=0 là:
A 3;1;
2
− −
B
1
; 2;
2
− − −
C
7
; 2;
2
− −
D
7 ;1; − −
►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM
Định nghĩa: M x y z( ; ; )OM = x i +y j +z k (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ) Chú ý:
•M(Oxy) =z 0;M(Oyz) =x 0;M(Oxz) =y •MOx = =y z 0;MOy = =x z 0;MOz = =x y Tính chất: Cho A x( A; yA; zA), B x( B; yB; zB)
• AB=(xB −xA;yB−yA;zB−zA)
• 2
( ) ( ) ( )
= B− A + B− A + B− A
AB x x y y z z
• Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: ; ;
2 2
+ + +
A B A B A B
x x y y z z
M
• Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC :
• ; ;
3 3
+ + + + + +
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
• Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD :
• ; ;
4 4
+ + + + + + + + +
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 3; ,− ) (B 0;1; 1− ) C(5; 1; 2− ) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
(5)Lời giải Chọn A
G trọng tâm tam giác ABC nên:
2
3
3 1
3
2
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
z z
z y
z
+ + + +
= =
+ + − + −
= = −
+ + =
= =
+
= =
− Vậy G(2; 1;1− )
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 0; ,− ) (B 2;1; ,− ) (C 1; 3;3− ) điểm
M thỏa mãn hệ thức AM =2AB+3BC Tìm tọa độ điểm M
A (0; 5; 6− − ) B (0; 5; 2− ) C (0; 10;12− ) D (0; 5; 4− ) Lời giải
Chọn C
Ta có: AB=(1;1;1)2AB=(2; 2; 2) ( 1; 4; 4) ( 3; 12;12)
BC = − − BC= − −
( )
2AB 3BC 1; 10;14
+ = − −
Gọi M x y z( ; ; )AM =(x−1; ;y z+ 2)
1
2 10 10
2 14 12
x x
AM AB BC y y
z z
− = − =
= + = − = − + = =
Vậy M(0; 10;12− )
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11 Trong không gian Oxyz , cho điểm M(1; 2;3) Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox A (2; 0; 0) B (1; 0; 0) C (3; 0; 0) D (0; 2;3)
Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; 2;3) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oxy)
A N(− − −1; 2; 3) B N(1; 2; 0) C N(− −1; 2;3) D N(1; 2; 3− ) Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(1;1; 0), B(0;3;3) Khi
A AB= −( 1; 2;3) B AB=(1; 2;3) C AB= −( 1; 4;3) D AB=(0;3;0) Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(1; 2; 0); B(3; 1;1− ) C(1;1;1) Tính tọa độ
trọng tâm G tam giác ABC A 2; ;
3 3
G B 2; ;
3 3
−
G C 5; 2;
3 3
−
G D 5; 2;
3 3
− −
(6)Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm (1;0; 2)A − , (2;1; 1)B − Tìm độ dài đoạn
thẳng AB?
A B 18 C 2 D
Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ (O i j k; , , ),cho hai điểm ,A B thỏa mãn OA=2i − +j k
3 = + −
OB i j k Tìm tọa độ trung điểm M đoạn AB
A 1; 1; 2
− −
M B 3; 0;
2
−
M C M(3; 0; −2) D 1; 1; 2
−
M
Câu 17 Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;3; 1− ), B(3; 1;5− ) Tìm tọa độ điểm M
thỏa mãn hệ thức MA=3MB
A 13; ;1 3
M B 1; ;3
3
M C 1; ;3
3
M D M(4; 3;8− )
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1; 0; 2), B(−2;1;3), C(3; 2; 4), (6;9; 5− )
D Hãy tìm tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD
A (2;3; 1− ) B (2; 3;1− ) C (2;3;1) D (−2;3;1)
Câu 19 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; ,− ) (B 2; 1;3 ,− ) (C −3;5;1) Tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
A D(−4;8; 5− ) B D(−2; 2;5) C D(−4;8; 3− ) D D(−2;8; 3− ) Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM =(1;5; 2), ON =(3;7; 4− ) Gọi P điểm đối
xứng với M qua N Tìm tọa độ điểm P
A P(5;9; 10− ) B P(7;9; 10− ) C P(5;9; 3− ) D P(2; 6; 1− )
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M(0;1; ,) (N 7;3; ,) (P − −5; 3; 2) Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãn MN =QP
A Q(12;5; 2) B Q(−12;5; 2) C Q(−12; 5; 2− ) D Q(− −2; 1; 2) Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC cóA(1; 2; 1− ), B(3; 0;3) Tìm tọa độ
điểm C cho G(2; 2; 2) trọng tâm tam giác ABC
A C(2; 4; 4) B C(0; 2; 2) C C(8;10;10) D C(− − −2; 4; 4) Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D Biết tọa độ đỉnh
( 3; 2;1)
A − ,C(4; 2; 0), B −( 2;1;1), D(3;5; 4) Tìm tọa độ điểm A hình hộp A A −( 3;3;1) B A − −( 3; 3;3) C A − − −( 3; 3; 3) D A −( 3;3;3)
Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(3; 2;1 ,) (B 1; 1; ,− ) (C 1; 2; 1− ) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn OM =2AB−AC
(7)Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2;3), trục Oz lấy điểm M cho
=
AM Tọa độ điểm M
A M(0; 0;3) B M(0; 0; 2) C M(0; 0; 3− ) D M(0;3; 0)
►DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
PHƯƠNG PHÁP:
Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a=( ;a a a1 2; 3), b=( ;b b b1 2; )3
• Tích vơ hướng hai véc tơ: a b = a b .cos( )a b, =a b1 1+a b2 2+a b 3 3
• Tích có hướng hai vectơ a ,b kí hiệu a b , xác định ,
( )
2 3 1
2 3 1 2 3 1
, ; ; ; ;
= = − − −
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số Tính chất:
• [ , ]a b ⊥ a; [ , ]a b ⊥b
• a b, = −b a ,
• i j, = k; j k, =i; k i, = j
• [ , ]a b =a b .sin( )a b ,
• ,a b cùng phương [ , ]a b =0 Ứng dụng tích có hướng:
• Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: ,a b c đồng phẳng [ , ].a b c=0 • Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD = AB AD,
• Diện tích tam giác ABC: ,
ABC =
S AB AC
• Thể tích khối hộp ABCDA B C D : VABCD A B C D ' ' ' ' = [AB AD AA, ] • Thể tích tứ diện ABCD: [ , ]
6 =
ABCD
V AB AC AD
• Góc hai vectơ: ( ) 1 2 3
2 2 2 2 3
cos ;
+ +
= =
+ + + +
a b a b a b
a b a b
a b a a a b b b
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
(8)sai?
A a = B a c = −1 C a⊥b D c⊥b
Lời giải Chọn D
Ta có: c b =2.1+ −( ) ( )1 − +1 1.0= 3 c b khơng vng góc ,
Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho a= − +i j ,k b= +i (m+1) j k Tìm tham số − m để a⊥b
A m=2 B m= −2 C m=0 D m= −1
Lời giải Chọn B
Ta có: a=(1; 1; ,− ) b =(1;m+ −1; 1); a⊥ b a b = − − − = = −0 m m
Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a=(2;1;0) b= −( 1;0; 2− ) Tính
( )
cos a b,
A cos( ), 25 = −
a b B cos( ),
5 = −
a b C cos( ),
25 =
a b D cos( ),
5 =
a b
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 26 Trong không gian Oxyz cho u= −j 3k ; v= +i k Tìm tích vơ hướng u v
A – B – C D
Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho vecto ( 1;1;0)
→
= −
a ; (1;1;0)
→
=
b ; (1;1;1)
→
=
c Trong mệnh đề
sau, mệnh đề sai
A a = B c = C a⊥b D b⊥c
Câu 28 Gọi góc hai vectơ a=(1; 2;0) b=(2;0; 1− ), cos
A B 2
5 C
2
5 D
2 − Câu 29 Trong không gian Oxyz , cho u(1; 2;1 ,− ) (v −2;1;1); góc hai vectơ là:
A 5
B
3
C
6
D 2
3
Câu 30 Trong không gian tọa độ Oxyz , độ dài véc tơ u=(1; 2; 2)
A 3 B 5 C 2 D 9
Câu 31 Tính góc hai vecto a = (–2; –1; 2) b = (0; 1; –1)
A 60° B 120° C 45° D 135°
Câu 32 Trong hệ trục Oxyz, cho ba điểm A(−2,1, 0), B(−3, 0, 4), C(0, 7,3) Khi đó, cos(AB BC , ) bằng:
A 14
3 118 B
7 59
− C 14
57 D
14 57
(9)Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a(4; 2; ,− − ) b=(6; 3; 2− ) (2a−3b a)( +2b có giá trị là:)
A 200 B 200 C 2002 D 200
Câu 34 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ a(3;0;1 ,) (b 1; 1; ,− − ) (c 2;1; 1− ) Tính ( )
= +
T a b c
A T =3 B T =6 C T =0 D T =9
Câu 35 Cho điểm A(4; 3; 5− − ) (,B 2;1; 2− ) Gọi a số đo góc AOB với O gốc tọa độ Giá trị
a
A a=150 B a= 30 C a=135 D a= 45 Câu 36 Cho bốn véc tơ a= −( 1;1;0), b=(1;1;0), c=(1;1;1), d =(2;0;1) Chọn mệnh đề
A a , b , c đồng phẳng B a , b , c đồng phẳng
C a , b , c đồng phẳng D a , b , c đồng phẳng
Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a=(2; 2; 4− ), b=(1;1; 2− ) Mệnh đề sau sai?
A a b, = B a b, C a =2b D a=2b
Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A(1;1;1), B(4;3; 2), C(5; 2;1) Diện tích tam giác ABC
A 42
4 B 42 C 2 42 D 42
Câu 39 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có (1; 0;1 ,)
A B(2; 0; ,− ) C(0;1;3 ,) D(3;1;1) Thể tích khối tứ diện ABCD
A
3 =
V B
3 =
V C V =4 D V =2
Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(0;1;1), (1; 2; 0− )
B ,C(−2;1; 1− ) Diện tích tam giác ABC bao nhiêu? A 22 B 2 22 C 22
2 D
(10)BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
►DẠNG XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU PHƯƠNG PHÁP:
Dạng tắc: ( ) (2 ) (2 )2 2
− + − + − =
x a y b z c R , có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R Dạng khai triển: 2
2 2
+ + − − − + =
x y z ax by cz d , đk: a2+b2+ − c2 d 0, có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R= a2+b2+ −c2 d
A VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu có phương
trình (x+2) (2+ y−3)2+z2 =5 :
A I(2;3; 0), R= B I(−2;3; 0), R= C I(2;3;1), R=5 D I(2; 2; 0− ), R=5
Lời giải Chọn B
Mặt cầu có tâm I(−2;3; 0) bán kính R=
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x+4y−4z−25=0 Tìm tọa độ tâm I bán kính mặt cầu ( )S
A I(1; 2; ; − ) R= 34 B I(−1; 2; ; − ) R=5 C I(−2; 4; ; − ) R= 29 D I(1; 2; ; − ) R=6
Lời giải Chọn A
Từ phương trình ta có : a=1,b= −2,c=2,d = −25
Suy ( )S tâm I(1; 2; ; − ) R= 12+ −( )2 2+22+25= 34
Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình ( ) 2
:
S x +y +z − x− y− z+ = Tính diện tích mặt cầu ( )S
A 42 B 36 C 9 D 12
Lời giải Chọn B
Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) bán kính R = 12+22 + −32 = Diện tích mặt cầu ( )S : S=4R2 =4 3 =36
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) (S : x−5) (2+ y−1) (2+ z+2)2 =16 Tính bán kính ( )S
(11)Câu Trong không gian Oxyz , mặt cầu (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =4 có tâm bán kính
A I(1; 2; 3− ), R=2 B I(− −1; 2;3), R=2 C I(1; 2; 3− ), R=4 D I(− −1; 2;3), R=4
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình
( ) (2 )2 2
1 16
x+ + y− +z = Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu A I −( 1;3; 0); R =16 B I −( 1;3; 0); R =4 C I(1; 3; 0− ); R =16 D I(1; 3; 0− ); R =4
Câu Cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x+4y+2z− =3 Tính bán kính R mặt cầu ( )S
A R= B R=3 C R=9 D R=3
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−6x+4y−8z+ =4 Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu ( )S
A I(3; 2; ,− ) R=25 B I(3; 2; ,− ) R=5 C I(−3; 2; ,− ) R=25 D I(−3; 2; ,− ) R=5
Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S : x2+y2+z2−4x+2y−6z− =11 Tìm tâm bán kính ( )S là:
A I( 2; 1; 3− ),R=25 B I( 2; 1; 3− − ),R=5 C I( 2; 1; 3− ),R=5 D I( 2; 1; 3− − ),R=
Câu Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho phương trình sau, phương trình khơng phải phương trình mặt cầu?
A 2
2 2
+ + − − − − =
x y z x y z B (x+1) (2+ y−2) (2+ −z 1)2 =9
C 2x2+2y2+2z2−4x+2y+2z+16=0 D 3x2 +3y2+3z2−6x+12y−24z+16=0 Câu Phương trình sau phương trình mặt cầu?
A x2+y2+z2−10xy−8y+2z− =1 B 3x2+3y2+3z2−2x−6y+4z− =1 C x2+y2+z2−2x−4y+4z+2017=0 D x2+(y−z)2−2x−4(y− − =z)
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S :x2+(y−1)2+z2 =2 Trong điểm cho đây, điểm nằm mặt cầu ( )S ?
A M(1;1;1) B N(0;1; 0) C P(1; 0;1) D Q(1;1; 0)
Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho phương trình
( )
2 2
2
x +y +z − m+ x+ my− mz+ m + = Tìm m để phương trình phương trình mặt cầu
(12)Câu 11 Trong không gian Oxyz , tìm tất giá trị m để phương trình
2 2
4 2
+ + + − + + =
x y z x y z m phương trình mặt cầu
A m6 B m6 C m6 D m6
Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I(1; 2;1− ) mặt phẳng ( ) :x+2y−2z− =4 Mặt cầu ( )S có tâm I tiếp xúc với ( ) có phương trình
A (x−1) (2+ y+2) (2+ z−1)2 =9 B (x+1) (2+ y−2) (2+ z+1)2 =9 C (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 =3 D (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 =3
Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử tồn mặt cầu ( )S có phương trình 2
4
+ + − + − + =
x y z x y az a Nếu ( )S có đường kính 12 giá trị a A a= −2;a=8 B a=2;a= −8 C a= −2;a=4 D a=2;a= −4 ►DẠNG LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC PHƯƠNG PHÁP: Xác định tâm bán kính, hệ số a b c d, , ,
Mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R có phương trình tắc là: ( − ) (2+ − ) (2+ − )2 =
x a y b z c R
Mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ) qua điểm A
• Tính bán kính ( ) (2 )2
= = A− I + A− I
R IA x x y y
• Viết phương trình mặt cầu Mặt cầu có đường kính AB
• Tìm tọa độ tâm I (trung điểm đoạn AB)
• Tính bán kính ( ) ( )
2
2
− + −
= AB = xB xA yB yA
R
• Viết phương trình mặt cầu
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (hoặc là: Mặt cầu qua điểm A B C D, , , có tọa độ cho trước)
• Gọi mặt cầu 2 2 2
( ) :S x +y +z −2ax−2by−2cz+ =d (a +b + − c d 0)
• Thay tọa độ điểmA B C D, , , vào phương trình mặt cầu, lập hệ phương trình ẩn , , ,
a b c d
• Kết luận phương trình cần lập
Mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ) Và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P :Ax+By Cz+ + =D • Tính bán kính ( ( ))
2 2
, + + +
= =
+ +
Aa Bb Cc D R d I P
A B C
• Viết phương trình mặt cầu: ( − ) (2+ − ) (2+ − )2 =
(13) Mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ) Và tiếp xúc với đường thẳng ( ) 0
1
: − − −
x x = y y = z z
u u u
• Xác đinh tọa độ điểm M x y z( 0; 0; 0) véc tơ phươngu u u u đường thẳng( 1; 2; 3) ( )
• Tính bán kính ( ,( )) ,
= = M I u
R d I
u
• Viết phương trình mặt cầu
B.BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( )S có tâm I(−1; 4; 2) bán kính R=9 Phương trình mặt cầu ( )S là:
A (x+1) (2+ y−4) (2+ −z 2)2 =81 B (x+1) (2+ y−4) (2+ −z 2)2 =9 C (x−1) (2+ y+4) (2+ −z 2)2 =9 D (x−1) (2+ y+4) (2+ +z 2)2 =81
Lời giải Chọn A
Mặt cầu ( )S có tâm I(−1; 4; 2) bán kính R=9 nên ( )S có phương trình: ( ) (2 ) (2 )2
1 81
+ + − + − =
x y z
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I −( 1; 2; 0) qua điểm A(2; 2; 0− ) A (x+1) (2+ y−2)2+z2 =100 B (x+1) (2+ y−2)2+z2 =5
C (x+1) (2+ y−2)2+z2 =10 D (x+1) (2+ y−2)2+z2 =25 Lời giải
Chọn D
Ta có: Tâm I −( 1; 2; 0) bán kính R=IA= 32+42 =5 Vậy phương trình mặt cầu có dạng: ( ) (2 )2 2
1 25
x+ + y− +z =
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A −( 2;1; 0), B(2; 1; 2− ) Phương trình mặt cầu có đường kính AB
A x2+y2+(z−1)2 = 24 B x2+y2+(z−1)2 = C x2+y2+(z−1)2 =24 D x2 +y2+(z−1)2 =6
Lời giải Chọn D
Gọi I trung điểm AB ( )
2
0 0; 0;1
1
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y I
z z
z
+
= =
+
= =
+
= =
( ) (2 ) (2 )2
0 1
(14)Mặt cầu đường kính AB nhận điểm I(0; 0;1)làm tâm bán kính R=IA= có phương trình là: x2+y2+(z−1)2 =6
Ví dụ Gọi ( )S mặt cầu qua điểmA(2; 0; 0), B(1;3; 0), C(−1; 0;3), D(1; 2;3) Tính bán kính R ( )S
A R=2 B R=3 C R=6 D R=
Lời giải Chọn D
Giả sử phương trình mặt cầu ( ) 2 ( 2 )
: + + −2 −2 −2 + =0 + + − 0
S x y z ax by cz d a b c d
Vì ( )S qua điểmA(2; 0; ,) (B 1;3; ,) (C −1; 0;3 ,) (D 1; 2;3) nên ta có hệ phương trình:
4
2 10
2 10
2 14
− + = − =
− − + = − =
− + = − =
− − − + = − = −
a d a
a b d b
a c d c
a b c d d
( )
2 2
0 1
=R + + − − =
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho điểm I(−1; 2;3) mặt phẳng( )P : 4x+ − − =y z Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng( )P
A 2
(x+1) +(y−2) + −(z 3) =2 B 2
(x+1) + −(y 2) + −(z 3) = C (x−1)2+(y+2)2+ +(z 3)2 =2 D (x+1)2+(y−2)2+ −(z 3)2 =1
Lời giải Chọn A
Gọi ( )S mặt cầu tâm I, bán kính R ( )S tiếp xúc với ( )P : 4x+ − − =y z Ta có ( ( ))
2 2
4.( 1)
2 (
;
1) − + − −
= =
+ + − =
P
d I R
Vậy mặt cầu (S) có phương trình: 2
(x+1) +(y−2) + −(z 3) =2
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 14 Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3− ) bán kính R=2 là:
A x2+y2+z2−2x−4y+6z+10=0 B (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =2 C x2+y2+z2+2x−4y−6z+10=0 D (x+1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =22
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I( 1; 2;( − 3) qua điểm A(3; 0; 2)
A (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =3 B (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9 C (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =9 D (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =3
(15)A (x+1)2+(y−1)2+ −(z 2)2 =1 B (x−1)2+(y+1)2+ +(z 2)2 =6 C (x+1)2+(y−1)2+ −(z 2)2 =6 D (x+1)2+(y−1)2+ −(z 2)2 =
Câu 17 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I(1; 0;−1) A(2; 2;−3) Mặt cầu ( )S tâm I qua điểm A có phương trình
A (x+1)2+y2+ −(z 1)2 =3 B (x−1)2+y2+ +(z 1)2 =3 C (x+1)2+y2+ −(z 1)2 =9 D (x−1)2+y2+ +(z 1)2 =9
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(6; 2; 5− ), B(−4; 0; 7) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
A (x+5) (2+ y+1) (2+ −z 6)2 =62 B (x−1) (2+ y−1) (2+ z−1)2 =62 C (x+1) (2+ y+1) (2+ +z 1)2 =62 D (x−5) (2+ y−1) (2+ +z 6)2 =62
Câu 19 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;3) B(3; 2;1) Phương trình mặt cầu đường kính AB
A (x−2) (2+ y−2) (2+ −z 2)2 =2 B (x−2) (2+ y−2) (2+ −z 2)2 =4 C x2+y2+z2 =2 D (x−1)2+y2+ −(z 1)2 =4
Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(2;1;1), B(0;3; 1− ) Mặt cầu ( )S đường kính AB có phương trình
A x2+(y−2)2+z2 =3 B (x−1) (2+ y−2)2+z2 =3 C (x−1) (2+ y−2) (2+ z+1)2 =9 D (x−1) (2+ y−2)2+z2 =9
Câu 21 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( )S có tâm I(2;1; 1− ) tiếp xúc với mp P( ) có phương trình: 2x−2y− + =z Bán kính mặt cầu ( )S là:
A
9 =
R B
3 =
R C
3 =
R D R=2
Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2x+2y− − =z điểm (1; 3− )
I Mặt cầu ( )S tâm I tiếp xúc mp P( ) có phương trình:
A ( ) : (S x+1)2+(y−2)2+ −(z 3)2 =4 B ( ) : (S x−1)2+(y−2)2+ +(z 3)2 =16 C ( ) : (S x−1)2+(y−2)2+ +(z 3)2 =4 D ( ) : (S x−1)2+(y−2)2+ +(z 3)2 =2
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình dây phương trình mặt cầu có tâm I(1; 2; 1− ) tiếp xúc với mặt phẳng ( )P :x−2y−2z− =8 0?
A (x+1) (2+ y+2) (2+ z−1)2 =3 B (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 =3 C (x−1) (2+ y−2) (2+ z+1)2 =9 D (x+1) (2+ y+2) (2+ z−1)2 =9
Câu 24 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu ( )S qua bốn điểm
( ) ( )
, 1; 0; , 0; 2; 0−
O A B C(0; 0; 4)
(16)C ( )S : x2+y2+z2− +x 2y−4z=0 D ( )S : x2+y2+z2+2x−4y+8z=0
Câu 25 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm I(0; 3; 0− ) Viết phương trình mặt cầu tâm
I tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)
A ( )2
3
+ + + =
x y z B ( )2
3
+ − + =
x y z
C ( )2
3
+ − + =
x y z D ( )2
3
+ + + =
x y z
Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C(0; 3; 0− ) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
A 14
3 B
14
4 C
14
2 D 14
Câu 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;1;3 ,) (B −1;3; ,) (C −1; 2;3) Mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R
A R=3 B R= C
2 =
R D
2 =
R
Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S có tâm I(2; 1;−4) mặt phẳng ( )P :x+ −y 2z+ =1 Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu ( )S
(17)BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
► DẠNG 1: TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP:
Định nghĩa: Vectơ n0, n có giá vng góc với ( )P n VTPT ( )P
Chú ý:
• Nếu n VTPT mặt phẳng ( )P k n (k0) VTPT mp ( )P
• Nếu mp ( )P có phương trình Ax+By Cz+ + =D có VTPT ( ; ; )n A B C
• Nếu ( )P có cặp ,u v khơng phương với có giá song song nằm mặt phẳng
( )P n=[ , ]u v VTPT ( )P
A VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 3x+2y−4z+ =1 Vectơ sau vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) ?
A n2 =(3; 2; 4) B n3 =(2; 4;1− ) C n1 =(3; 4;1− ) D n4 =(3; 2; 4− )
Lời giải Chọn D
Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: Ax+By Cz+ + =D 0với A=3;B=2;C= −4;D=1 Suy ( ) có n4 =(3; 2; 4− ) vecto pháp tuyến mặt phẳng ( )
Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2x−3z+ =4 Vectơ có giá vng góc với mặt phẳng ( )P ?
A n3 =(2; 3; 4− ) B n1 =(2; 0; 3− ) C n2 =(3; 0; 2) D n4 =(2; 3; 0− ) Lời giải
Chọn B
Vectơ n1=(2; 0; 3− )có giá vng góc với mặt phẳng ( )P vectơ pháp tuyến ( )P Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2; 1;3− ), B(4; 0;1) C(−10;5;3) Vectơ
đây vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC)?
A n=(1; 2; 2) B n=(1; 2; 2− ) C n=(1;8; 2) D n=(1; 2; 0) Lời giải
Chọn A
Ta có AB=(2;1; 2− ), AC= −( 12;6;0), AB AC, = (12; 24; 24)=12 1; 2; 2( )
( )
(18)B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( )P : −x 2z− =1 có véctơ pháp tuyến A u=(3;0; 2) B u= −( 3;0; 2) C u=(3; 2;0− ) D u=(3; 2; 1− − ) Câu Trong không gian Oxyz , vectơ pháp tuyến n mặt phẳng 2x+3y− + =z
A n=(2;3;1) B n=(3; 2;1) C n=(2;3; 1− ) D n=(3; 2; 1− ) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2x−3z+ =2 Vectơ
là vectơ pháp tuyến ( )P ?
A n= −( 2;3;0) B n=(2; 3;1− ) C n=(2; 3; 2− ) D n=(2;0; 3− ) Câu Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) :x−3y−2z− =6 Vecto
không phải vecto pháp tuyến ( ) ?
A n=(1; 3; 2− − ) B n= −( 1;3; 2) C n=(1;3; 2) D n= −( 2; 6; 4) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A B C, , khơng thẳng hàng Tìm
vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) Chọn đáp án sai
A AB AC , B AB BC , C AC BC D 1 ,
CB CA
Câu Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1; 0), B(2; 1;1− ) Một vectơ pháp tuyến n mặt phẳng (OAB)
A n= −( 3;1; 1− ) B n=(1; 1; 3− − ) C n=(1; 1;3− ) D n=(1;1;3)
Câu Mặt phẳng ( ):
2+ +3 −2=
x y z
P có vectơ pháp tuyến là:
A n=(3; 2;3) B n=(2;3; 2− ) C n=(2;3; 2) D n=(3; 2; 3− ) Câu Trong không gian Oxyz , vectơ pháp tuyến mặt phẳng
2+ 1+ =3 − −
x y z
A n=(3;6; 2)− B n=(2; 1;3)− C n= − − −( 3; 6; 2) D n= − −( 2; 1;3) Câu Toạ độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) qua ba điểm M(2; 0; 0), N(0; 3; 0− ),
(0; 0; 4)
P
A (2; 3; 4− ) B (−6; 4; 3− ) C (− −6; 4;3) D (−6; 4;3)
Câu 10 Toạ độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) qua ba điểm M(2; 0; 0), N(0; 3; 0− ), (0; 0; 4)
P
A (2; 3; 4− ) B (−6; 4; 3− ) C (− −6; 4;3) D (−6; 4;3)
(19)A (−1;3;1) B (−1;1; 2) C (− −3; 1;3) D (1; 2; 1− )
Câu 12 Trong không gian với hệ trục độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;1− ),B(−1;3;3), C(2; 4; 2− ) Một véc tơ pháp tuyến n mặt phẳng (ABC) là:
A n1 = −( 1;9; 4) B n4 =(9; 4; 1)− C n3 =(4;9; 1)− D n2 =(9; 4;11) Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng ( ) song song mặt phẳng
( )P : 3x−2y+ + =z Tìm vecto pháp tuyến mặt phẳng ( )
A n=(3; 2;1− ) B n= −( 1;3; 2) C n=(3; 2;1) D n=(3; 2; 1− − ) Câu 14 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng (Oyz)có
một vecto pháp tuyến là:
A k=(0;0;1) B n=(0;1;1) C j=(0;1;0) D i=(1;0;0)
Câu 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( 1;0;1), ( 2;1;1)− B − ( ) mặt phẳng trung trực đoạn AB.Tìm vecto pháp tuyến mặt phẳng ( )
A n= −( 1;1; 0) B n=(1;1;1) C n=(1;1; 0) D n=(0;1; 1− ) ►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến
⬧ Mặt phẳng ( ) qua điểm M x y z( 0; 0; 0) nhận vectơ n=(A B C làm VTPT có phương ; ; )
trình dạng ( ) ( :A x−x0)+B y( −y0)+C z( −z0)=0 hay ( ) :Ax+By Cz+ + =D
⬧ Mặt phẳng ( ) qua điểm ba điểm A a( ; 0; ,) (A 0; ; 0b ) (A 0; 0;c) có phương trình theo đoạn chắn: x+ + =y z
a b c
Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M x y z( 0; 0; 0) song song với mặt phẳng
( ) :Ax+By+Cz+ =D 0cho trước ⬧ VTPT ( ) n( ) =(A B C; ; )
⬧ Vì ( ) ( ) // nên VTPT mặt phẳng ( ) n( ) =n( ) =(A B C; ; ) ⬧ Phương trình mặt phẳng ( ) ( :A x−x0)+B y( −y0)+C z( −z0)=0
Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm A B C, , khơng thẳng hàng ⬧ Tìm tọa độ vectơ: AB AC ,
(20)⬧ Điểm thuộc mặt phẳng A (hoặc B C )
⬧ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT n( )
Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua hai điểm A B, vng góc với mặt phẳng ( ) ⬧ Tìm VTPT ( ) n( )
⬧ Tìm tọa độ vectơ AB
⬧ VTPT mặt phẳng ( ) n( ) = n( ) ,AB
⬧ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT
A BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình cho phương trình , mặt phẳng (Oyz)?
A x= +y z B y− =z C y+ =z D x=0 Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng (Oyz) qua O(0; 0; 0) nhận n=(1;0;0) làm vec tơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (Oyz) x=0
Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;5; 2− ), B(3;1; 2) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳngAB
A 2x+3y+ =4 B x−2y+2x=0 C x−2y+2z+ =8 D x−2y+2z+ =4 Lời giải
Chọn D
Ta có:AB=(2; 4; 4− ) VTPT mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Gọi I trung điểm AB I(2;3; 0)
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua điểm I có VTPT n=(2; 4; 4− ) nên có phương trình là:2(x− −2) (4 y− +3) (4 z−0)=0 −x 2y+2z+ =4
Ví dụ Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa trục Oz vng góc với mặt phẳng
( ) :x− +y 2z− =1 có phương trình
A x+ =y B x+2y=0 C x− =y D x+ − =y Lời giải
Chọn A
(21)Mặt phẳng chứa trục Oz vng góc với mặt phẳng ( ) mặt phẳng qua O nhận
( )
; 1; 1;0
= − −
n k làm vectơ pháp tuyến Do có phương trình − − = + =x y x y
B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 16 Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng (Oxz) có phương trình
A z=0 B x+ + =y z C y=0 D x=0
Câu 17 Cho hai điểm A(1;3; 4− ), B(−1; 2; 2) Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB
là
A 4x+2y−12z−17=0 B 4x+2y+12z−17=0 C 4x−2y−12z−17=0 D 4x−2y+12z+17=0
Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1; 2− ) mặt phẳng ( )P : 2x− + + =y z Mặt phẳng ( )Q qua điểm A song song với ( )P Phương trình
mặt phẳng ( )Q
A ( )Q : 2x− + − =y z B ( )Q : 2x− + =y z C ( )Q :x+ + − =y z D ( )P : 2x+ − + =y z
Câu 19 Cho điểm A(2;1; ,− ) (B −1; 0; ,) (C 0; 2; 1− − ) Phương trình mặt phẳng qua điểm , ,
A B C
A x−2y−5z− =5 B 2x− +y 5z− =5 C x−2y− =5 D x−2y−5z+ =5
Câu 20 Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1;0)− ,
0; 0;
C
A x− +y 2z− =1 B x− +y 2z=0
C x− +y 2z+ =1 D
2 − + − =z
x y
Câu 21 Cho hai điểm A(1; 1;5− ), B(0; 0;1) Mặt phẳng ( )P chứa ,A B song song với trục Oycó phương trình
A 4x− + =z B 4x+ − + =y z C 2x+ − =z D x+4z− =1 Câu 22 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng chứa hai điểm A(1; 0;1), B(−1; 2; 2) song
song với trục Ox có phương trình
A y−2z+ =2 B x+2z− =3 C 2y− + =z D x+ − =y z
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa trục Oz điểm (1; 2;1)
M
(22)Câu 24 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) qua điểm A(1;1;1) có phương trình
A y− =1 B x+ + − =y z C x− =1 D z− =1
Câu 25 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) qua điểm ( 1; 1; 1)− − −
A có phương trình
A y− =1 B x+ + − =y z C x+ =1 D z− =1
Câu 26 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− =5 hai điểm (−3; 0;1)
A , B(0; 1;3− ) Lập phương trình mặt phẳng ( )Q qua A song song với mặt phẳng ( )P
A x−2y+2z− =1 B x−2y−2z+ =1 C x−2y−2z− =1 D x−2y+2z+ =1
Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; ;− ) (B 2;1; 0) mặt phẳng ( )P : 2x+ −y 3z+ =1 Gọi ( )Q mặt phẳng chứa ;A B vng góc với ( )P Phương trình
mặt phẳng ( )Q
A 2x+5y+3z− =9 B 2x+ −y 3z− =7 C 2x+ − − =y z D x−2y− − =z
Câu 28 Trong hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x−4y−6z=0 cắt trục Ox Oy Oz, , điểm , ,A B C ( khác O Phương trình mặt phẳng ) (ABC)
A
2− − =4
x y z
B
2+ + =4
x y z
C
2+ + =4
x y z
D
2+ − =4
x y z
Câu 29 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo 1:
2
− − +
= =
−
x y z
d
2
4
:
1
− = + = + −
x y z
d Phương trình mặt phẳng ( )P chứa d1 ( )P song song với đường thẳng d2
A ( )P :x+5y+8z−16=0 B ( )P :x+5y+8z+16=0 C ( )P :x+4y+6z−12=0 D ( )P : 2x+ − =y Câu 30 Cho A(1; 1; 0− ) : 1
2
+ = − = −
x y z
d Phương trình mặt phẳng ( )P chứa A d là
A x+2y+ + =z B x+ + =y z C x+ =y D y+ =z 0 ► DẠNG 3: ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
(23)A VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , điểm nằm mặt phẳng ( )P : 2x− + − =y z 0? A Q(1; 2; 2− ) B P(2; 1; 1− − ) C M(1;1; 1− ) D N(1; 1; 1− − )
Lời giải Chọn D
Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng ( )P ta 2.1− − + − = ( )2 2 nên ( )
Q P
Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng ( )P ta 2.2− − + − − = ( ) ( )1 2 nên ( )
P P
Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( )P ta 2.1 1− + − − = − ( )1 2 nên ( )
M P
Thay toạ độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( )P ta 2.1− − + − − =( ) ( )1 nên ( )
N P
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : 2x− +y 3z− =7 ( ) :x−2y+ − =z 0 Đường thẳng d qua điểm đây?
A Q(2; 1;3)− B M(1;0; 3)− C P( 1;0;3)− D N(1; 2;1)− Lời giải
Chọn C
Điểm ( ) ( )
P
P d
P
B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng 3x−5y+ − =z qua điểm sau đây? A M(1; 2; 1− ) B N(1;1; 1− ) C P(2; 0; 3− ) D Q(1; 0; 1− ) Câu 32 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x− + − =y z qua điểm đây?
A P(1; 2; 0− ) B M(2; 1;1− ) C N(0;1; 2− ) D Q(1; 3; 4− − )
Câu 33 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm M(3; 4; 2− ) thuộc mặt phẳng mặt phẳng sau?
A ( )S :x+ + + =y z B ( )P :z− =2 C ( )Q :x− =1 D ( )R :x+ − =y
Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) :x+ + − =y z Điểm đây không thuộc mặt phẳng ( ) ?
(24)Câu 35 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2x− + − =y z Điểm sau thuộc mặt phẳng ( )P ?
A M(2; 1;1− ) B N(0;1; 2− ) C Q(1; 3; 4− − ) D H(1; 2; 0− ) Câu 36 Trong không gian Oxyz , điểm nằm mặt phẳng ( )P : 2x− + − =y z 0?
A M(1;1; 1− ) B Q(1; 2; 2− ) C P(2; 1; 1− − ) D N(1; 1; 1− − ) Câu 37 Trong không gian Oxyz , điểm thuộc mặt phẳng ( ) :− + +x y 3z− =2 0?
A (1; 3; 2− ) B (1; 2;3) C (1;3; 2) D (− −1; 3; 2)
Câu 38 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( )P :x−2y+3z−10=0 cắt trục Ox điểm có hồnh độ
A 10 B − 10 C D
Câu 39 Trong không gian Oxyz , hình chiếu điểm M(1; 2;3) mặt phẳng (Oxy) A (1; 2;0) B (1; 0;3) C (0; 2;3) D (0; 0;3)
Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; 2;3− ) Tìm tọa độ điểm A hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (Oyz)
(25)BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
►DẠNG 1: TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP:
Định nghĩa: Vectơ u , u có giá song song 0 trùng với d VTCP đường thẳng d u
Chú ý:
Nếu u VTCP đường thẳng d ku (k 0) VTCP đường thẳng d
• Nếu có trình tham số dạng: ( )
0
,
x x a t
y y a t t
z z a t
= +
= +
= +
thì có VTCP a=(a a a1; 2; 3)
• Nếu a a a 1 0
0 0
1
x x y y z z
a a a
− − −
= = gọi phương trình tắc
• Nếu có giá song song nằm mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng d có VTCP a=[u nd, p]
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong không gian Oxyzcho đường thẳng song song với đường thẳng
: 1
x t
d y t
z t
Một vectơ phương
A a 2;0; 6( − ) B b −( 1;1;3) C v(2;1; 1− ) D u(1;0;3) Lời giải
Chọn A
Theo phương trình tham số đường thẳng ta thấy có vectơ phương
( )
2;0;
a −
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , vectơ vectơ phương đường thẳng
1
:
2
x y z
d − = − =
− ?
A (2; 1;3− ) B (2;1;3 ) C (1; 2; 0− ) D (1; 2; ) Lời giải
Chọn A
Theo phương trình tắc đường thẳng dthì ta thấy dcó vectơ phương
(26)Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d song song với trục Oy Đường thẳng d có
vectơ phương
A u =1 (2019; 0; 0) B u =2 (0; 2021; 0) C u =3 (0; 0; 2019) D u =4 (2020; 0; 2020)
Lời giải Chọn B
Vì đường thẳng d song song với trục Oy nên vectơ phương d phương với vectơ đơn vị j =(0; 1; 0) Vậy đường thẳng d có vectơ phương u =2 (0; 2021; 0)
Ví dụ Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua hai điểm M −( 2;1; 2), N(3; 1; 0− ) có vectơ phương
A u =(1; 0; 2) B u =(5; 2; 2− − ) C u = −( 1; 0; 2) D u =(5;0; 2) Lời giải
Chọn B
Đường thẳng qua hai điểm M −( 2;1; 2) N(3; 1; 0− ) nhận MN =(5; 2; 2− − làm ) VTCP
Vậy u =(5; 2; 2− − VTCP đường thẳng cho )
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu Trong không gian Oxyz,đường thẳng :
2
x y z
d − = − = −
− có vectơ phương
A u =1 (1; 2;3) B u =2 (2;1; 2) C u =3 (2; 1; 2− ) D u = − − −4 ( 1; 2; 3)
Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng :
2
x y z
d = + =
− ?
A u =(2; 6;1− ) B u =(4; 6; 2− ) C u =(1; 3; 2− ) D u =(2;3;1)
Câu Trong không gian Oxyz cho đường thẳng vng góc với mặt phẳng : x 2z Một véc tơ phương
A a 1;0; 2( ) B b(2; 1;0− ) C v(1; 2;3) D u(2;0; 1− )
Câu Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( )P : 2x−3z+ = Một vectơ phương đường thẳng d là
A u =(2; 3;5− ) B u =(2;0; 3− ) C u =(2; 3;0− ) D u =(2;0;3)
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 : 2
1
x t
d y t
z t
= −
= − +
= +
Vectơ vectơ phương d ?
(27)Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( )
1
:
3 = +
= + −
= −
x t
d y m t
z t
Tìm tất giá trị tham số m để d viết dạng tắc?
A m R B m −1 C m1 D m = 1
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 2; 0− ); B(3; 2; 8− Tìm vectơ ) phương đường thẳng AB
A u =(1; 2; 4− ) B u =(2; 4;8) C u = −( 1; 2; 4− ) D u =(1; 2; 4− − ) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 2; 2), B(3; 2; 0− ) Một vectơ
phương đường thẳng AB
A u =(1; 2; 1− ) B u =(2; 4; 2− ) C u =(2; 4; 2− ) D u = −( 1; 2;1) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OA= +2i 3j−5k; OB= − −2j 4k Tìm vectơ
chỉ phương đường thẳng AB
A u =(2;5; 1− ) B u =(2;3; 5− ) C u = −( 2; 5; 1− − ) D u =(2;5; 9− ) Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = − = + nhận vectơ ( ; 2; )
u= a b vectơ phương Tính a+b
A −8 B 8 C 4 D −4
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP:
. Xác định điểm cố định M x y z( 0; ;0 0) thuộc Xác định vectơ phương a a a a( 1; ;2 3) .Viết PT đường thẳng:
Phương trình tham số có dạng:
0
: ,
= +
= + = +
x x a t
y y a t t
z z a t
Phương trình tắc có dạng: 0
1
− = − = −
x x y y z z
a a a , ( a a a 1 .2 0)
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
2
:
3 = + = −
= − +
x t
d y t
z t
Phương trình
(28)A 3
2
− = + = + −
x y z
B
2
+ = = − −
x y z
C
2 =−3=5
x y z
D
2
− +
= = −
x y z
Lời giải Chọn D Ta có: 2 2 : 3 5 x t x t y
d y t t
z t z t − = = + = − = − = − + = +
Do phương trình tắc d là:
2
x− y z+
= =
−
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, trục Ox có phương trình tham số
A x y z t = = =
B
0 x t y z = = =
C
0 x y t z t = = =
D
1 x t y z = = = Lời giải Chọn B
Trục Ox qua O(0;0;0) nhận i =(1;0;0) làm vectơ phương nên có phương trình tham số
0 x t y z = = =
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, phương trình tắc đường thẳng qua điểm M(2; 1;3− ) có vectơ phương u(1; 2; 4− ) là
A
2
+ = + = − −
x y z
B
2
− = − = + −
x y z
C
1
+ = − = + −
x y z
D
1
− = + = − −
x y z
Lời giải
Chọn D
Phương trình tắc đường thẳng qua điểm M x( 0;y z0; 0) có vectơ phương ( ; ; )
u a b c với a b c 0 x−x0 = y−y0 = z−z0
a b c nên phương trình đường thẳng cần tìm
2
1
− + −
= =
−
x y z
Ví dụ Cho điểm A(1; 2;3) hai mặt phẳng ( )P : 2x+2y+ + =z 0, ( )Q : 2x− +y 2z− =1 Phương trình đường thẳng d qua A song song với ( )P ( )Q là
A
1
− = − = − −
x y z
B
1
− = − = − −
x y z
(29)C
1
− = − = −
x y z
D
5
− = − = −
− −
x y z
Lời giải
Chọn D
Ta có ( )P : 2x+2y+ + =z có véctơ pháp tuyến n( )P =(2; 2;1) ( )Q : 2x− +y 2z− =1 có véctơ pháp tuyến n( )Q =(2; 1; 2− ) Đường thẳng d có véctơ phương u d
Do đường thẳng d song song với ( )P ( )Q nên ( )
( ) ( ) ( )
( )
, 5; 2;
d P
d P Q
d Q
u n
u n n
u n ⊥ = = − − ⊥
Mặt khác đường thẳng d qua A(1; 2;3) có véctơ phương u =d (5; 2; 6− − nên phương ) trình tắc d
5
− − −
= =
− −
x y z
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11 Cho đường thẳng qua điểm M(2;0; 1)− có vectơ phương a =(2; 3;1)− Phương trình tham số đường thẳng
A 2 x t y t z t = + = − = − +
B
2 x t y t z t = − + = − = +
C
2 x t y t z t = − + = − = +
D
4 x t y t z t = + = − = +
Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số đường thẳng d qua
gốc tọa độ O có vectơ phương u =(1;3; 2)
A ( )
0 :
x
d y t t
z t = = =
B ( )
1 :
2
x
d y t
z = = =
C : ( )
2
x t
d y t t
z t = = =
D : ( )
3
x t
d y t t
z t = − = − = −
Câu 13 Trong không gian Oxyz , đường thẳng Oz có phương trình là
A x y t z t = = =
B
0 x y z t = = = +
C
0 x t y z = = =
D
0 x y t z = = =
Câu 14 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng qua điểm M(2; 0; 1− có vectơ ) phương a =(4; 6; 2− ) Phương trình tham số là
A x t y t z t = − + = = +
B
2 x t y t z t = + = − = − +
C
4 x t y z t = + = − = +
D
(30)Câu 15 Trong không gian tọa độ Oxyz, đường thẳng qua điểm I(1; 1; 1− − ) nhận u= −( 2;3; 5− ) vectơ phương có phương trình tắc
A 1
2
x− y− z+
= = B 1
2
x− y− z−
= =
C 1
2
x− y+ z+
= =
− − D
1 1
2
x− y− z+
= =
−
Câu 16 Trong không gian Oxyz , đường thẳng d qua điểm E −( 1; 0; 2) có vectơ phương (3;1; 7)
a = − Phương trình đường thẳng d
A
3
x− = =y z+
− B
1
3
x+ = =y z−
− C
1
1
x− = =y z−
− D
1
1
x+ = =y z−
Câu 17 Trong khơng gian tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình tắc đường
thẳng qua hai điểm A(1; 2;5− ) B(3;1;1)?
A 1
1
x− = y− = z−
− B
1
1
x− = y+ = z−
−
C
2
x− = y+ = z−
− D
1
2
x+ = y− = z+
−
Câu 18 Trong khơng gian Oxyz , phương trình đường thẳng qua hai điểm A −( 3;1; 2), B(1; 1; 0− )
A 1
2 1
x− = y+ = z
− − B
3
2 1
x+ = y− = z−
−
C
2 1
x+ = y− = z−
− D
1
2 1
x− = y+ = z
− −
Câu 19 Trong không gian Oxyz , cho điểm (1; ; 3)A mặt phẳng ( ) : 3P x−4y+ + =7z Đường
thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ( )P có phương trình là
A
4 ( ) = + = − + = + x t
y t t
z t
B
1
2 ( ) = + = − = + x t
y t t
z t
C
1
2 ( ) = − = − = + x t
y t t
z t
D
1
2 ( ) = − = + = + x t
y t t
z t
Câu 20 Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1; 2;3− ) vng góc với mặt phẳng ( )P :x+ −y 2z+ =
A 1 x t y t z t = + = − + = −
B x t y t z t = + = + = −
C 1 2 x t y t z t = + = − = − +
D 1 2 x t y t z t = − = + = − −
Câu 21 Trong khơng gian Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm M(1; 2; 3− vng góc với ) mặt phẳng ( )P :x− +y 2z− =
A
1
x− = y− = z+
− − B
1
1
x− = y+ = z−
(31)C
1
x− = y− = z+
D
1
x− = y− = z+
−
Câu 22 Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình tham số
2 ;
x t
y t t
z t = + = − = − + Khi
đó phương trình tắc d
A
2
− +
= = −
x y z
B
2
− −
= = −
x y z
C x− = = −2 y z D x+ = = −2 y z Câu 23 Trong hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 2
1
x y z
d − = − = +
− Phương trình sau phương trình tham số d ?
A 2 x y t z t = = − = − +
B 2 x t y t z t = + = + = +
C 2 x t y t z t = + = − = − +
D x y t z t = = + = −
Câu 24 Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với , A(1; 4; ,− ) B(2; 4;3 ,) C(2; 2; − ) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC là
A = = + = − + x y t z t
B = = + = + x y t z t
C = = + = − − x y t z t
D = = − = − + x y t z t
Câu 25 Cho điểm A(1; 2;3) hai mặt phẳng ( )P : 2x+2y+ + =z 0, ( )Q : 2x− +y 2z− =1 Phương trình đường thẳng d qua A song song với ( )P ( )Q là
A
1
− = − = − −
x y z
B
1
− = − = − −
x y z
C
1
− − −
= =
x y z
D
5
− − −
= =
− −
x y z
Câu 34 Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) :x−3y+ = z ( ) :x+ − + = Phương trình tham số đường thẳng d y z
A 2 x t y t z t = − = − −
B 2 x t y t z t = + = = +
C
2 2 x t y t z t = − + = = +
D 2 x t y t z t = + = = − +
Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P : x+ − − = đường y z thẳng :
2
x y z
d − = + = +
− Viết phương trình đường thẳng d hình chiếu vng góc
d mặt phẳng ( )P
A
5
x y+ z+
= = B
5
x y− z−
= =
−
C
5
x y+ z+
= =
− D
2
5
x y− z−
(32)►DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG VÀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐT VÀ MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP:
Phương trình tham số
0 0
:
x x at
d y y bt
z z ct
= +
= +
= +
Điểm M d M x( 0+a t y1 ; 0+a t z2 ; 0+a t3 ) ( )
M P A x( 0+at) (+B y0+bt)+C z( 0+ct)+ = D từ suy t suy tọa độ giao điểm M
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = + = +
− Điểm sau không thuộc đường thẳng d
A M(1; 1; 5− − ) B M(1; 1;3− ) C M(3; 2; 1− − ) D M(5; 3;3− ) Lời giải
Chọn B
Thử đáp án A ta được: 1
2
− = − + =− + = −
− Suy M thuộc đường thẳng d Thử đáp án B ta được: 3
2
− − + +
=
− Suy M không thuộc đường thẳng d Thử đáp án C ta được: 3 2 1
2
− − + − +
= = =
− Suy M thuộc đường thẳng d Thử đáp án D ta được: 3 1
2
− =− + = + =
− Suy M thuộc đường thẳng d Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng :
1 2
x y z
d − = − =
− mặt phẳng ( )P :x+2y− − = Tọa độ giao điểm d z ( )P là
A (2;1; 1− ) B (3; 1; 2− − ) C (1;3; 2− ) D (1;3; ) Lời giải
Chọn D
Xét hệ: 2
2
x t
y t
z t
x y z
= − = + =
+ − − =
( )
2 t 2t 2t − + + − − =
1
t
= A(1;3; 2) tọa độ giao điểm đường thẳng mặt phẳng Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, giao điểm đường thẳng :
1
x y z
d − = + =
(33)A (3; 1;0)− B (0;2; 4)− C (6; 4;3)− D (1;4; 2)− Lời giải
Chọn A
Phương trình tham số d:
1
x t
y t
z t
= + = − −
=
Tọa độ giao điểm d (P) nghiệm hệ:
3 3
1 1
2
2 2(3 ) 0
x t x t x
y t y t y
z t z t z
x y z t t t t
= + = + =
= − − = − − = −
= = =
− − − = + + + − − = =
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: (3; 1;0)−
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 36 Trong không gian Oxyz đường thẳng , :
2
x y z
d − = = + qua điểm đây? A M(−1; 0; 2) B N(2; 3; 1) C P(1; 0; 2) D Q(1; 0;− 2) Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = + = +
− Điểm sau không thuộc đường thẳng d
A M(1; 1; 5− − ) B M(1; 1;3− ) C M(3; 2; 1− − ) D M(5; 3;3− ) Câu 38 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3; 2;1− ) Đường thẳng sau qua A ?
A
1 1
x− = y+ = z−
B
1 1
x+ = y+ = z−
C
4
x− = y− = z−
− − D
3
4
x− = y+ = z+
− − Câu 39 Trong không gian với hệ trục độ Oxyz , cho phương trình đường thẳng :
1
x t
y t
z t
= +
= − +
= −
Trong điểm đây, điểm thuộc đường thẳng ?
A (1;4; 5)− B ( 1; 4;3)− − C (2;1;1 ) D (− − − 5; 2; 8)
Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,đường thẳng
2 :
2
x t
y
z t
= − =
= − +
không qua điểm sau
đây?
A M(2;1; 2− ) B P(4;1; 4− ) C Q(3;1; 5− ) D N(0;1; 4) Câu 41 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng :
3
x− = =y z+
(34)A M(5; 1; 3− − ) B M(1;0;1) C M(2;0; 1− ) D M −( 1;1;1)
Câu 42 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
4
:
1
x t
d y t
z t
= −
= − +
= −
(t ), giao điểm d với mặt
phẳng (Oxy có tọa độ là)
A (4; 3; 0− ) B (2; 2; 0− ) C (0; 1; 1− − ) D (−2; 0; 2− )
Câu 43 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;3− ), B(2; 0; 1− ) mặt phẳng ( )P :x+ + − = Tọa độ giao điểm C đường thẳng AB mặt phẳng y z ( )P
A C(2;0; 1− ) B C(1;1; 1− ) C C(0; 2; 1− ) D C(2; 1;0− )
Câu 44 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x−2y− + = điểm (1;1; 2)z A −
Điểm ( ; ; 1)H a b − hình chiếu vng góc ( )A ( )P Tổng a+b
A 2 B 3 C − D −3
Câu 45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi ( ) mặt phẳng chứa đường thẳng
2
( ) :
1
x y z
d − = − = vuông góc với mặt phẳng ( ) :x+ −y 2z 0+ = Hỏi giao tuyến ( ) ( ) qua điểm nào?
(35)BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TỔNG HỢP
►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP:
Cho mặt phẳng ( )P :A x1 +B y C z1 + +D1=0 ( )Q :A x2 +B y C z2 + +D2 =0
( )P có VTPT n1=(A B C1; 1; 1) ( )Q có VTPT n2 =(A B C2; 2; 2)
• Nếu 1 1
2 2
= =
A B C D
A B C D ( ) ( )P // Q
• Nếu 1 1
2 2
= = =
A B C D
A B C D ( ) ( )P Q
• Nếu n1 và.n2 khơng phương ( )P , ( )Q • Nếu n1 ⊥n2 ( ) ( )P ⊥ Q
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x−2y+ − =z mặt phẳng ( )Q : 3x−3y+2z+ =6 Mệnh đề đúng?
A ( )Q cắt không vuông góc với ( )P B ( ) ( )Q ⊥ P C ( )Q song song với ( )P D ( ) ( )Q P
Lời giải Chọn A
(1; 2;1)
= −
P
n , nQ =(3; 3; 2− ) Ta có:
3 −
− ( )P ( )Q cắt Xét: n nP Q =1.3 2.− ( )− +3 1.2 11= 0
( )
P ( )Q cắt khơng vng góc
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P : 2x+4y−6z+ =5 mặt phẳng ( )Q :x+2y+mz+ =1 Tìm m để hai mặt phẳng ( )P ( )Q song song
A m=3 B m= −3 C m=2 D m= −2
Lời giải Chọn B
( )P có vtpt nP =(2; 4; 6− ) ( )Q có vtpt nQ=(1; 2;m)
Để mặt phẳng song song nP, n phương Q
2
3
−
= = = −m
(36)Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P : 5x−2y+ − =z mặt phẳng ( )Q :x−3y+mz+ =11 Tìm m để hai mặt phẳng ( )P ( )Q vng góc
A m= −11 B m=1 C m=11 D m= −1
Lời giải Chọn A
( )P có vtpt nP =(5; 2;1− ) ( )Q có vtpt nQ=(1; 3;− m)
Để mp vng góc nP ⊥nQ n nP Q =0
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P : 4x+2y+ − =z mặt phẳng ( )Q :x−3y+2z+ =1 Mệnh đề đúng?
A ( ) ( )Q P B ( )Q cắt khơng vng góc với ( )P C ( )Q song song với( )P D ( ) ( )Q ⊥ P
Câu Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )P : 2x−3y+ − =z 0; ( )Q : 5x−3y−2z− =7 Vị trí tương đối ( ) ( )P & Q
A Song song B Cắt khơng vng góc
C Vng góc D Trùng
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P : 2x+2y− =z mặt phẳng ( )Q :x+ +y mz+ =1 Tìm m để hai mặt phẳng ( )P ( )Q cắt
A
2 −
m B
2
m C m −1 D
2 = −
m
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P : 2x+4y−6z+ =5 mặt phẳng ( )Q :x+2y+mz+ =1 Tìm m để hai mặt phẳng ( )P ( )Q song song
A m=3 B m= −3 C m=2 D m= −2
Câu Trong hệ trục tọa độ Oxyz , điều kiện m để hai mặt phẳng ( )P : 2x+2y− =z ( )Q :x+ +y mz+ =1 cắt
A
2 −
m B
2
m C m −1 D
2 = −
m
Câu Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) :x+2y− − =z ( ) : 2x+4y−mz− =2 Tìm m để ( ) ( ) //
A m=1 B m=2 C m= −2 D Không tồn m
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( )P : 2x+ +y mz− =2 ( )Q :x+ny+2z+ =8 song song với Giá trị m n
A 4và
4 B 4
2 C 2
(37)Câu Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( )P : 2x+my+3z− =5 ( )Q :nx−8y−6z+ =2 Tìm giá trị tham số m, n để ( )P ( )Q song song
A m= −4, n=3 B m=4, n=3 C m= −4, n=4 D m=4, n= −4 Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M(3; 1; 2− − ) mặt phẳng
( ) : 3x− +y 2z+ =4 Phương trình phương trình mặt phẳng qua M song song với ( ) ?
A 3x− +y 2z− =6 B 3x− +y 2z+ =6 C 3x− −y 2z+ =6 D 3x+ +y 2z−14=0
Câu 10 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm A(2; 1; 2− ) song song với mặt phẳng ( )P : 2x− +y 3z+ =2 có phương trình
A 2x+ +y 3z− =9 B 2x− +y 3z+ =11 C 2x− −y 3z+ =11 D 2x− +y 3z− =11 ►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP:
Cho đường thẳng d qua điểm M x( 0;y0;z0) có vectơ phương ud =(a b c; ; ) mặt phẳng
( )P :Ax+By Cz+ + =D có vectơ pháp tuyến nP =(A B C; ; ) • d//( )P u ⊥d nP khơng có điểm chung
• d ( )P u ⊥d nP có điểm chung
• d ⊥( )P ud =k n P Sơ đồ tư duy:
Xét
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
//
*
*
* sai caét
d P
d P
d P
M d M P d P
u n
M d M P d P
u n
d P
a b c
u n
A B C
d P
=
⊥
= =
Cho đường thẳng
0
:
= +
= +
= +
x x a t
d y x a t
z z a t
mặt phẳng ( )P :Ax+By Cz+ + =D
(38)• Nếu pt (1) có vơ số nghiệm d( )P
• Nếu pt (1) có nghiệm t t= 0 d caét ( )P điểm M x( 0+a t1 ; y0+a t2 ; z0+a t3 0)
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :
1
+ = = − − −
x y z
d mặt phẳng ( )P : 3x−3y+2z+ =6 Mệnh đề đúng?
A d cắt khơng vng góc với ( )P B d vng góc với ( )P C d song song với ( )P D d nằm ( )P
Lời giải Chọn A
Đường thẳng d qua M(−1; 0;5) có vtcp u=(1; 3; 1− − ) mặt phẳng ( )P có vtpt
(3; 3; 2)
= −
n
Vì u n = 1.3+ −( ) ( ) ( )3 3− + −1 10 0= , suy d cắt vng góc vói ( )P Vì
3 −
− n u không phương , n u, khơng vng góc Vậy d cắt khơng vng góc với ( )P
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng có phương trình:
10 2
5 1
− − +
= =
x y z
Xét mặt phẳng ( )P :10x+2y+mz+ =11 0, m tham số thực Tìm tất giá trị m để mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng
A m= −2 B m=2 C m= −52 D m=52
Lời giải Chọn B
Đường thẳng : 10 2
5 1
− − +
x = y = z có vectơ phương u =(5;1;1) Mặt phẳng ( )P :10x+2y+mz+ = có vectơ pháp tuyến 11 n=(10; 2;m)
Để mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng u phải phương với n 1
10 = =
m =m
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x+2y+3z− =6 đường thẳng
: 1
1 1
+ = + = −
− −
x y z
Mệnh đề sau đúng?
A //( ) B ⊥( )
(39)Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :
1
+ = = − − −
x y z
d mặt phẳng ( )P : 3x−3y+2z+ =6 Mệnh đề sau đúng?
A d vuông góc với ( )P B d nằm ( )P C d cắt khơng vng góc với ( )P D d song song với ( )P
Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng
2
:
2 1
− −
= =
−
x y z
d song song với mặt phẳng ( )P : 2x+ −(1 2m y) +m z2 + =1
A m − 1;3 B m=3
C Khơng có giá trị m D m= −1
Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có vectơ phương u mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến n Mệnh đề đúng?
A u vng góc với n d song song với ( )P B u khơng vng góc với n d cắt ( )P
C d song song với ( )P u phương với n D d vng góc với ( )P u vng góc với n
Câu 15 Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua điểm A(1; 4; 7− ) vng góc với mặt phẳng
2
+ − − =
x y z có phương trình
A
1 2
− = − = − −
x y z
B
1
+ = + = − −
x y z
C
1 2
− − +
= =
− −
x y z
D
1 2
− − +
= =
−
x y z
Câu 16 Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua điểm A(2; 4;9) vng góc với mặt phẳng
2
+ − − =
x y z có phương trình
A
1
− = − = − −
x y z
B
1
− = − = −
x y z
C
1
− + −
= =
−
x y z
D
1
− − +
= =
−
x y z
Câu 17 Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua điểm A(1; 2;3) vuông góc với mặt phẳng 4x+3y−3z+ =1 có phương trình
A 3 = − + = − + = − − x t y t z t B 3 = + = + = − x t y t z t C 3 = − = − = − x t y t z t D 3 = + = + = − x t y t z t
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình phương trình đường
thẳng qua A(2;3; 0) vuông góc với mặt phẳng ( )P :x+3y− + =z 0? A 1 = + = + = − x t y t z t
B = + = = − x t y t z t
C
1 3 = + = + = − x t y t z t
D
(40)Câu 19 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm A(1; 2; 2− ) vng góc với đường thẳng
1
:
2
+ − +
x = y = z có phương trình
A 3x+2y+ − =z B 2x+ +y 3z+ =2 C x+2y+3z+ =1 D 2x+ +y 3z− =2
Câu 20 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(−1;1;1), B(2;1; 0), C(1; 1; 2− ) Mặt phẳng quaA
và vng góc với đường thẳng BC có phương trình
A x+2y−2z+ =1 B x+2y−2z− =1 C 3x+2z− =1 D 3x+2z+ =1 ►DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
Cho đường thẳng d1 qua điểm M x y z( 1; 1; 1), có vectơ phương ud1 =(a b c1; 1; 1) d2 qua điểm
( 2; 2; 2)
M x y z , có vectơ phương ( ) = 2; 2;
d
u a b c
• d1//d2
1 =
d d
u k u có khơng có điểm chung
• d1d2 ud1 =k u có điểm chung d2
• d1 cắt d2 u khơng song song d1 u d2 MM.ud1,ud2=0
• d1 chéo d2
d
u không song song
2
d
u
1
. , d d
MM u u
Sơ đồ tư duy:
Xét ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
2
1 1
1 2 2 2
1 2 2
1
// *
* . . . 0 caét
,
* sai
, cheùo
d d
d d
M d d d
M d d d
a b c
a a b b c c d d
a b c MM u u
a a b b c c d d
MM u u d d
→ →
→
= = →
+ +
= →
+ + = ⊥
→
→
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vị trí tương đối đường thẳng 1: 1
2
+ = − = + −
x y z
d
và đường thẳng 2: 2
2
+ = + = + −
x y z
d
A Cắt B Song song C Chéo D Trùng
Lời giải Chọn A
1
(41)2
d qua M2(− − −3; 2; 2), có vectơ phương ( ) = 2; 2; 1−
d
u
1
d
u không phương
2
d
u
( )
1 = − − −2; 3;
M M , ( )
1, 5; 4;
= −
ud ud
Ta có: ( )( ) ( )
1
1 2. d , d = − 2.5+ −3 − + −4 2=0
M M u u
1
d cắt d2
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , vị trí tương đối 1
2 : = = = x t
d y t
z
2
3 : = − = = x t
d y t
z
A Trùng B Cắt C Song song D Chéo
Lời giải Chọn D
1
d qua M1(0; 0; 4), có vectơ phương ud1 =(2;1; 0)
d qua M2(3; 0; 0), có vectơ phương ud2 = −( 1;1; 0)
1
d
u không phương
2
d
u
( )
1 = 3;0; 4−
M M , ( )
1, 0; 0;3
=
ud ud
Ta có: ( )
1
1 2. d , d = − 30
M M u u
1
d
chéo d 2
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
1 : = − + = − = − x t
d y t
z t
2:
3
− − −
= =
−
x y z
d Vị trí tương đối d1 d2
A Chéo B Cắt C Trùng D Song song
Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1: 1 − = = + −
x y z
d
2
1
:
1
− = − = −
− −
x y z
d Vị trí tương đối d1 d2
A Cắt B Trùng C Chéo D Song song
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1: = = − + = − x t
d y t
z t
2
4
:
6
+ − +
= =
x y z
d Mệnh đề sau đúng?
A d1 song song d2 B d1 d2 chéo
(42)Câu 24 Cho hai đường thẳng 1: 1; 2:
1 1
− + − −
= = = =
−
x y z x y z
d d Vị trí tương đối d 1
2
d là
A Chéo B Trùng C Cắt D Song song
Câu 25 Cho hai đường thẳng 1
2 :
2 = = + = + x t
d y t
z t
2:
1
− = = −
x y z
d Khẳng định sau đúng?
A d1//d2 B d1d2 C d1, d2 chéo D d1 cắt d2 Câu 26 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1:
2
− = − = −
x y z
d
2
3 5
:
3
+ = − = + −
x y z
d Vị trí tương đối hai đường thẳng
A Song song B Chéo C Trùng D Cắt
Câu 27 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1
1 : = + = = − + x at
d y t
z t
; 2
1 : 2
3 = − = + = − x t
d y t
z t
; ( ;t t )
Tìm a để hai đường thẳng d1 d2 cắt
A a=0 B a=1 C a= −1 D a=2
Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
1 : = + = − = − x t y t z
đường thẳng
3 : = + = − = − x t y t z
Vị trí tương đối
A // B C cắt D chéo
Câu 29 Cho đường thẳng : 1
2
− + −
= =
−
x y z
d Đường thẳng sau song song với d ?
A : 1
2
+ −
= =
− −
x y z
B :
2
− −
= =
− −
x y z
C :
2
− −
= =
−
x y z
D :
2
− + −
= =
− −
x y z
Câu 30 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
1 : = + = + = − x t
d y t
z t
1 :
2 = + = − + = − x t
d y t
z t
Mệnh đề sau đúng?
A Hai đường thẳng d d chéo B Hai đường thẳng d d song song
C Hai đường thẳng d d cắt D Hai đường thẳng d d trùng
(43)Cho mặt cầu ( ) (S : x–a) (2+ y–b) (2+ z–c)2 =R2 tâm I a b c( ; ; ) bán kính R mặt phẳng ( )P :Ax+By Cz+ + =D
• Nếu d I( ,( )P )R mp ( )P mặt cầu ( )S khơng có điểm chung • Nếu d I( ,( )P )=R mặt phẳng ( )P mặt cầu ( )S tiếp xúc Khi ( )P gọi tiếp diện mặt cầu ( )S điểm chung gọi tiếp điểm
• Nếu d I( ,( )P )R mặt phẳng ( )P mặt cầu ( )S cắt theo giao tuyến đường trịn có phương trình: ( ) ( ) ( )
2 2 2
0
− + − + − =
+ + + =
x a y b z c R
Ax By Cz D
Trong bán kính đường tròn ( ( ))2 ,
= −
r R d I P tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu ( )S lên mặt phẳng ( )P
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x−2y+ − =z mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
: −1 + −2 + +1 =4
S x y z Mệnh đề đúng?
A ( )P không cắt ( )S B ( )P tiếp xúc ( )S C ( )P cắt ( )S D ( )P qua tâm ( )S
Lời giải Chọn A
( )S có tâm I(1; 2; 1− ) bán kính R=2 Khoảng cách từ tâm I đến ( )P :
( )
( ) 2.22 ( )2 2 5 6
,
6
1
− + − −
= = =
+ +
d I P R
Vậy ( )P khơng cắt ( )S
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x+3y+4z+ =m mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
: −1 + −2 + −3 =26
S x y z Xác định m để ( )P tiếp xúc với ( )S ?
(44)Lời giải Chọn A
( )S có tâm I(1; 2;3) bán kính R= 26 ( )P tiếp xúc với ( )S
( )
( ) 3.2 4.32 2 2
, 26
1
+ + +
= =
+ +
m d I P
2 2
19 26 26 +m = + + =
19 26
19 26 45
+ = =
+ = − = −
m m
m m
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I(1; 0; 2− ) mặt phẳng ( )P có phương trình: x+2y−2z+ =4 Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I tiếp xúc với ( )P
A (x−1)2+y2+(z+2)2 =9 B (x−1)2+y2+(z+2)2 =3 C (x+1)2+y2+(z−2)2 =3 D (x+1)2+y2+(z−2)2 =9
Lời giải Chọn A
Ta có R=d I( ,( ) ) 4 3
+ +
= =
Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(1; 0; 2− ), bán kính R=3 có dạng ( )S : ( )2 2 ( )2
1
− + + + =
x y z
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x+4y−2z− =3 Hỏi mặt phẳng sau, đâu mặt phẳng khơng có điểm chung với mặt cầu ( )S ?
A ( )4 : 2x+2y− +z 10=0 B ( )1 :x−2y+2z− =1 C ( )2 : 2x− +y 2z+ =4 D ( )3 :x−2y+2z− =3
Câu 32 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( )S :x2+y2+ −(z 2)2 =1 mặt phẳng ( ) : 3x+4z+12=0 Khi khẳng định sau đúng?
A Mặt phẳng ( ) qua tâm mặt cầu ( )S B Mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu ( )S
C Mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu ( )S theo đường tròn D Mặt phẳng ( ) không cắt mặt Cầu ( )S
Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu , ( )S mặt phẳng ( )P có phương trình x2+y2+z2−2x+2y−2z− =6 0, 2x+2y+ +z 2m=0 Có giá trị nguyên
m để ( )P tiếp xúc với ( )S ?
(45)Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( )P :x+ 2y− + =z cắt mặt cầu ( ) 2
: + + =5
S x y z theo giao tuyến đường trịn có diện tích
A 11
B 9
4
C 15
4
D 7
4
Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) ( )2 ( )2
: +3 + + −1 =10
S x y z Mặt
phẳng mặt phẳng cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính ?
A ( )P1 :x+2y−2z+ =8 B ( )P1 :x+2y−2z− =8 C ( )P1 :x+2y−2z− =2 D ( )P1 :x+2y−2z− =4
Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;1; 0) mặt phẳng ( )P :x+ + + =y z Biết ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu ( )S
A (x−1) (2+ y−1)2+z2 =2 B (x−1) (2+ y−1)2+z2 =4 C (x−1) (2+ y−1)2+z2 =1 D (x−1) (2+ y−1)2+z2 =3
Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I(1; 0;−2) mặt phẳng ( )P có phương trình: x+2y−2z+ =4 Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P
là
A (x−1)2+y2+(z+2)2 =9 B (x−1)2+y2+(z+2)2 =3 C (x+1)2+y2+(z−2)2 =3 D (x+1)2+y2+(z−2)2 =9
Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 2)2 =9 mặt phẳng ( )P : 2x− −y 2z+ =1 Biết ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính r Tính r
A r=3 B r=2 C r= D r=2
Câu 39 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x+4y−4z−16=0 mặt phẳng ( )P :x+2y−2z− =2 Mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính là:
A r= B r=2 C r=4 D r=2
Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S :x2+y2+z2+4x−2y− =4 điểm A(1;1; 0) thuộc ( )S Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S A có phương trình
A x+ + =y B x+ =1 C x+ − =y D x− =1 ► DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
(46)Cho đường thẳng
( ) ( )
( )
0 1
:
= +
= +
= +
x x a t
d y y b t
z z c t
qua M0(x0;y0;z0) có vectơ phương ud =(a b c1; 1; 1)
Mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2 2
: x−a + y b− + −z c =R
S có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R
Gọi khoảng cách từ tâm I mặt cầu ( )S đến đường thẳng d ( ) , ,
= = d
d
IM u
h d I d
u
• Nếu d I d( ), R d khơng cắt ( )S • Nếu d I d( ), =R d tiếp xúc ( )S
• Nếu d I d( ), R d cắt ( )S hai điểm phân biệt A B, AB vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu Khi ( )
2 2
,
2
= +
AB
R d I d
A.VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng :
2 1
− −
= =
−
x y z
d mặt cầu ( ) 2
: + + −2 +4 + =1
S x y z x z Số điểm chung d ( )S
A 3 B 0 C 2 D 1
Lời giải Chọn B
d qua M(0;1; 2), có vectơ phương ud =(2;1; 1− ) ( )S có tâm I(1; 0; 2− ) R= 12+ + −02 ( )2 2− =1
( 1;1; 4) = −
IM
( )
, 5;7; = − − IM ud
( ), , 3, 7193
= d =
d
IM u
d I d R
u
(47)Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :
2
− = = −
x y z
d , mặt cầu tâm (2;5;3)
I tiếp xúc với d
A ( ) (S : x−2) (2+ y−5) (2+ −z 3)2 =18 B ( ) (S : x−2) (2+ y−5) (2+ −z 3)2 =16 C ( ) (S : x−2) (2+ y−5) (2+ −z 3)2 =25 D ( ) (S : x−2) (2+ y−5) (2+ −z 3)2 =9
Lời giải Chọn A
d qua M(1; 0; 2), có vectơ phương ud =(2;1; 2) ( 1; 5; 1)
= − − −
IM
( )
, 9;0;
= −
IM ud
Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên ( )
,
, 18
= = d =
d
IM u
R d I d
u
2
18 R =
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(0;1; ,− ) (B −2;3;1) mặt cầu ( ) 2
: + + +2 −4 =0
S x y z x y Đường thẳng AB mặt cầu ( )S có điểm chung?
A Vô số B 0 C 1 D 2
Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng :
2
+ +
= =
x y z
d mặt cầu ( ) ( )2 2 ( )2
: −1 + + −2 =9
S x y z Số điểm chung d ( )S
A 0 B 1 C 2 D 3
Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I(2;1; 3− ) tiếp xúc với trục Oy có phương trình
A (x−2) (2+ y−1) (2+ +z 3)2 =4 B (x−2) (2+ y−1) (2+ +z 3)2 =13 C (x−2) (2+ y−1) (2+ +z 3)2 =9 D (x−2) (2+ y−1) (2+ +z 3)2 =10
Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , bán kính mặt cầu tâm I(1;3;5) tiếp xúc với
đường thẳng : =
= − −
= −
x t
d y t
z t
A B 14 C 14 D
Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , bán kính mặt cầu tâm I(3;3; 4− ) tiếp xúc với trục Oy bằng
A B C D 5
(48)Câu 46 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I(1; 2;3− ) tiếp xúc với trục
Oy
A (x−1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =9 B (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =9 C (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =10 D (x−1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =10
Câu 47 Cho đường thẳng :
1 1
+ −
= =
− −
x y z
và mặt cầu ( )S :x2+y2+z2+4x−2y−21 0= Số giao điểm ( ) ( )S
A B C D
Câu 48 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )S :x2 +y2+z2−2x+4z+ =1 đường thẳng :
2 1
− −
= =
−
x y z
d Khẳng định sau nhất? A d cắt ( )S hai điểm B d không cắt ( )S
C d tiếp xúc với ( )S M(−2; 2;3) D d cắt ( )S qua tâm ( )S Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng :
2
− − +
= =
x y z
d mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
: −4 + +1 + −2 =27
S x y z Số điểm chung d ( )S
A 3 B 0 C 2 D 1
Câu 50 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
+ − +
= =
−
x y z
d điểm (1; 2;3 − )
I Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d
(49)BÀI 6: KHOẢNG CÁCH TỔNG HỢP
►DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP:
Cho hai điểm ( ) ( ) ( ) (2 ) (2 )2 1; 1; , 2; 2; = 2− + 2− + 2−
A x y z B x y z AB x x y y z z
A VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A(2; 2;1) Tính độ dài đoạn thẳng OA
A OA=3 B OA=9 C OA= D OA=5
Lời giải Chọn A
2 2
2 = + + =
OA
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A(4;3; 2− ) B(3; 5; 0− ) Độ dài đoạn thẳng AB
A 69 B 38 C 96 D 4
Lời giải Chọn A
Với A(4;3; 2− ) B(3; 5; 0− ) AB= − −( 1; 8; 2), ( ) ( )2 2
1 69
= − + − + =
AB
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; 4; 0− ), B(−1;1;3), C(3,1, 0) Tìm tọa độ điểm D trục hoành cho AD=BC
A D(−2;1; 0), D(−4; 0; 0) B D(0; 0; 0), D(−6; 0; 0) C D(6; 0; 0),D(12; 0; 0) D D(0; 0; 0), D(6; 0; 0)
Lời giải Chọn D
Gọi D x( ; 0; ) Ox
( )2
3 16
6 =
= − + = =
x
AD BC x
x
B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(2; 1; 2− ) Tính độ dài đoạn thẳng OM
A OM =9 B OM = C OM =3 D OM =
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; 1;1− ) Gọi A hình chiếu A
lên trục Oy Tính độ dài đoạn OA
A OA = −1 B OA = 10 C OA = 11 D OA =1
(50)A AB = 61 B AB =3 C AB =5 D AB =2
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M(3; 2;1− ), N(0;1; 1− ) Tìm độ dài đoạn thẳng MN
A MN= 22 B MN =10 C MN =22 D MN = 10
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M(2; 3;5− ), N(6; 4; 1− − ) đặt =
u MN Mệnh đề sau mệnh đề đúng?
A u= −( 4;1; 6) B u= 53 C u=3 11 D u=(4; 1; 6− − ) Câu Trong không gian Oxyz , cho A(1;1; 3− ), B(3; 1;1− ) Gọi M trung điểm AB, đoạn
OM có độ dài bằng
A 2 B C D
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M(3; 0; ,) (N 0; 0; 4) Tính độ dài đoạn thẳng MN
A MN =1 B MN =5 C MN =7 D MN =10
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; ;− ) (B 1;1;3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB , tính độ dài đoạn thẳng OI
A 17
4 =
OI B
2 =
OI C 11
2 =
OI D 17
2 =
OI
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A(1; 1; ,) B(−1; 1; ,) (3; 1; 2)
C Chu vi tam giác ABC bằng:
A 4+ B 4 C 3 D 2 5+
Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(2; 0; 0), B(0;3;1),C(−3; 6; 4) Gọi M điểm nằm đoạn BC cho MC=2MB Độ dài đoạn AM
A AM =3 B AM =2 C AM = 29 D AM = 19
Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−2;3;1) B(5; 6; 2) Đường thẳng
ABcắt mặt phẳng (Oxz) điểm M Tính tỉ số AM
BM
A AM =2
BM B
1 =
AM
BM C
1 =
AM
BM D =3
AM
BM
Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;1 ; − ) (B 3; 2; 1− − ) Tìm điểm N trên Ox cách A B
A (−4; 0; 0) B (4; 0; 0) C (1; 0; 0) D (2; 0; 0)
Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2; 0; 0), B(0;3;1) C(−3; 6; 4) Gọi M điểm nằm đoạn BC cho MC=2MB Độ dài đoạn AM
(51)Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi I tâm mặt cầu qua bốn điểm A(2;3; ,− ) (−1; 2;1 ,)
B C(2;5;1 ,) D(3; 4;5 ) Tính độ dài đoạn thẳng OI A 123
3 B
41
3 . C
113
2 D
Câu 15 Trong không gian Oxyz , cho E(−5; 2;3), F điểm đối xứng với E qua trục Oy Độ dài EFlà
A 2 34 B 2 13 C 2 29 D 14
►DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x ;0 y z0; 0) mặt phẳng ( ) :Ax+By+Cz+ =D Khi khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) tính: 0
0 2 2 2
| |
( , ( )) = + + +
+ +
Ax By Cz D
d M
A B C
Đặc biệt: d M Oxy( ,( ))= z0 ;d M Oxz( ,( ))= y0 ;d M Oyz( ,( ))= x0
Khoảng cách hai mp song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng
Khoảng cách đường thẳng song song với mặt phẳng tới mặt phẳng khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng
Chú ý: Nếu đường thẳng không song song với mặt phẳng khoảng cách chúng
A VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(2; 3;5)− mặt phẳng ( ) có phương trình: 2x− +y 2z− =6 Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng ( )
A 5
7 B
11
3 C
17
3 D
5 Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức ( ( )) ( ) ( )2
2
2.2 2.5 11 ,
3
2
= − − + − =
+ − +
d M
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : 2x+3y− + =z 0, ( ) : 2x+3y− +z 16=0 Khoảng cách hai mặt phẳng ( ) ( )
A 14 B 0 C 15 D 23 Lời giải
(52)Lấy điểm M(0; 0; 2) ( )
Áp dụng công thức d(( ) ( ) , )=d M( ,( ) ) ( )2
2
2.0 3.0 16 14
14 14
+ − +
= = =
+ + −
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2x−2y− + =z đường thẳng
1
:
2
− + −
x = y = z Tính khoảng cách d ( )P
A
3 =
d B
3 =
d C
3 =
d D d =2
Lời giải Chọn D
( )P có vecto pháp tuyến (2; 2; 1)n − − đường thẳng có vecto phương (2;1; 2)u thỏa mãn n u=0 nên / /( )P P( )
Do đó: lấy A(1; 2;1)−
ta có: ( ( )) ( ;( )) 2.1 2.( 2) 1 4
− − − +
= = =
+ +
d P d A P
B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 16 Trong không gian Oxyz , cho điểm (3; 1;1)A − Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (Oyz)
A 1 B 3 C 0 D 2
Câu 17 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )P có phương trình 2x+2y+ − =z Khoảng cách từ điểm A(1; 1;1− ) đến mặt phẳng ( )P
A 2
3 B
2
− C 0 D 1
Câu 18 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )P có phương trình 2x−3y+6z−21 0= Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( )P
A 3 B − C 21 D 21
31
Câu 19 Trong không gian Oxyz , cho điểm M(2; 3;5)− mặt phẳng ( ) có phương trình 2x− +y 2z− =6 Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng ( )
A 5
7 B
11
3 C
17
3 D
5
Câu 20 Tính khoảng cách từ điểm B x y z( 0; 0; 0) đến mặt phẳng ( )P :z+ =1 0 Chọn khẳng định
trong khẳng định sau:
A z0 B z0 C
0
2 +
z
(53)Câu 21 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : 2x+3y− + =z 0,( ) : 2x+3y− +z 16=0 Khoảng cách hai mặt phẳng ( ) ( ) là:
A 14 B 0 C 15 D 23
Câu 22 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : 2x−2y+ + =z 0, ( ) : 4x−4y+2z+ =5 Khoảng cách hai mặt phẳng ( ) ( ) là:
A B 1 C D 1
6
Câu 23 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( )P : 5x+5y−5z− =1 0và( )Q :x+ − + =y z Khoảng cách hai mặt phẳng ( )P ( )Q
A 2
15 B
2
5 C
2
15 D
2
Câu 24 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;1;3 ,) (B −1;3; ,) (C −1; 2;3) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mp(ABC)
A B C
2 D
3
Câu 25 Trong không gian Oxyz , cho điểm M(1; 2;3) gọi A B C, , hình chiếu vng góc điểm M lên trục Ox Oy Oz Khi khoảng cách từ điểm , , O(0; 0; 0) đến mặt phẳng
(ABC) có giá trị A 1
2 B C
6
7 D
1 14
Câu 26 Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A(1; 2;3 ,) (B −3; 0; ,) (C 0; 3; ,− ) (D 0; 0; ) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A tứ diện ABCD
A 9 B 1 C 6 D 3
Câu 27 Trong không gian Oxyz cho điểm M(1; 2; 1− ) Tìm phương trình mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O cách M khoảng lớn
A x+2y− =z B
1+ +2 −1=
x y z
C x− − =y z D x+ + − =y z Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 3x−2y+6z+14=0 mặt cầu
( ) 2 ( )
: + + −2 + + −22=0
S x y z x y z Khoảng cách từ tâm I mặt cầu ( )S tới mặt phẳng ( )P
A 1 B 2 C D 4
Câu 29 Trong khơng gian Oxyz mặt cầu , ( )S có tâm I(2;1; 1− ) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2x−2y− + =z Bán kính ( )S
A 2 B 2
3 C
4
3 D
(54)Câu 30 Trong không gian Oxyz, cho A(3, 2, , − − ) (B 3, 2, 0), C(0, 2,1) D(−1,1, 2) Mặt cầu tâm
A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có bán kính
A 9 B 5 C 14 D 13 ►DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Xác định hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng
Bước 1: Gọi H hình chiếu vng góc A lên Khi tham số hóa tọa độ điểm Htheo t Bước 2: Từ AH u =0 tìm tham số t suy tọa độ điểm H
Bước 3: Tính đoạn AH Cách 2: Sử dụng công thức: ( )
,
, ,
= AM u
d A M
u
A VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho điểm P a b c( ; ; ) Khoảng cách từ P đến trục toạ độ Oy
A a2+c 2 B a2+c2 C b D b
Lời giải Chọn B
Gọi H hình chiếu P lên trục Oy Khi H(0; ; 0b ) ( ;0; )
HP= a c
( , )
d P Oy =PH = a2+c2
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , tính khoảng cách từ điểm M(4; 3; 2− ) đến đường thẳng
2
:
3
+ +
= =
−
x y z
A d M( ; =) 3 B d M( ; =) C d M( ; =) D d M( ; =) Lời giải
Chọn A
Đường thẳng có VTCP u=(3; 2; 1− ) qua điểm B(− −2; 2; 0) ( 6;1; 2)
= − −
MB , MB u; = (3; 12; 15− − )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
; 3 12 15
; 3
3
+ − + −
= = =
+ + −
MB u d M
u
B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31 Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách h từ điểm A(−4;3; 2) đến trục Ox là
(55)Câu 32 Khoảng cách điểm M(1; 4; 3− ) đến đường thẳng ( ):
2
− + −
= =
−
x y z
A 6 B 3 C 4 D 2
Câu 33 Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; −6) đến đường thẳng d :
2 1
− − +
= =
−
x y z
A B 30
6 C
30
2 D 11 Câu 34 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;1;1) đường thẳng :
1 2
− − −
= =
−
x y z
d Khoảng
cách từ A đến đường thẳng d
A 3 B 3
2 C 2 D
Câu 35 Trong không gian Oxyz , cho điểm M(4; 1; 2− ) đường thẳng :
1 2
− +
= =
x y z
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
A d M( , =) 10 B d M( , =) 10
C ( , ) 10
2 =
d M D d M( , =) 10
Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tính khoảng cách từ điểm M(1;3; 2) đến đường thẳng
: = + = +
= −
x t
y t
z t
A 3 B C 2 D 2
Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A(−4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2;1− ) Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là:
A 3 B 13 C 2 D 3
Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC vớiA(1; 2; 1− ), B(0; 3; 4), (2; 1; 1− )
C Độ dài đường cao từ A đến BC bằng:
A B 5 C 50
33 D 33 50
Câu 39 Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;1; 2− ), B(1; 3;1− ), C(3; 5; 2− ) Độ dài đường cao
AH tam giác ABC
A 17
2 B 2 17 C 17 D 3
Câu 40 Bán kính mặt cầu tâm I(1;3;5) tiếp xúc với đường thẳng : =
= − −
= −
x t
d y t
z t
(56)
►DẠNG KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Tính đoạn vng góc chung ABcủa 1 2
• Bước 1: Tham số hóa tọa độ hai điểm ,A B theo t t1, 2 Xác định hai vec tơ phương hai đường thẳng u u1,
• Bước 2: Sử dụng 1 1
2
,
=
=
AB u
t t AB u
Từ xác định tọa độ hai điểm ,A B
• Bước 3: Tính đoạn AB
Cách 2: Quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
• Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa 1 song song với 2
• Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm A 1 đến mặt phẳng ( )P Khi d( =1, 2) d A P( ,( )) Cách 3: Sử dụng công thức: ( 2) 2
1
, ,
,
=
u u M M d
u u
A VÍ DỤ MINH HỌA:
Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : 1
2
+ + −
= =
x y z
d
1
:
2 1
− + −
x = y = z
d Tính khoảng cách h hai đường thẳng d d
A 21
21 =
h B 10 21
21 =
h C 21
21 =
h D 22 21
21 =
h
Lời giải Chọn A
d có vectơ phương u=(2;3; 2), qua M(− −1; 1;1)
d có vectơ phương u =(2;1;1), qua M −(1; 2;3)
Ta có: u u, = (1; 2; 4− ), MM =(2; 1; 2− )u u, .MM=1.2 2.+ ( ) ( )− + −1 2= − 8 ,
d d chéo
Khi đó: khoảng cách h hai đường thẳng d d là:
, 8 8 21
21 21 ,
= = =
u u MM h
u u
B BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : 1
2
+ = + = −
x y z
d
1
:
2 1
− + −
x = y = z
(57)A 21 21 =
h B 10 21
21 =
h C 21
21 =
h D 22 21
21 =
h
Câu 43 Tính khoảng cách hai đường thẳng d1:
1
− −
= =
x y z
d2:
1
− + −
= =
−
x y z
A 12
5 B
3
2 C 3 D
2
Câu 44 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1
1 :
3 = −
= − = − +
x t
y t
z t
2:
4 1
+ +
= =
−
x y z Khoảng
cách hai đường thẳng 1và 2 bao nhiêu?
A 1 B 2 C 3 D 4
Câu 45 Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(1; 2;3− ), B(2; 1;1− ),C(−1;1; 0), D(1; 2; 1− ) Khoảng cách hai đường thẳng AB CD bao nhiêu?
A
11 B
6
11 C
11 D 10