PHƯƠNGPHÁPDÙNGLƯỢNGLIÊNHỢPĐỂ GIẢI PHƯƠNGTRÌNHVÔ TỈ
****
I. Một số kiến thức cần nhớ:
I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:
+
( ) ( )
2 2
x y x y x y
− = − +
+
( )
( )
3 3 2 2
x y x y x xy y
− = − + +
+
( ) ( )
( )
4 4 2 2
x y x y x y x y
− = − + +
…
+
( )
( )
1 2 2 1
n n n n n n
x y x y x x y xy y
− − − −
− = − + + + +
Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trìnhvôtỉ ban đầu về dạng phươngtrình
tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp!
Thường thì ở các bài toán sử dụngphươngpháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau:
- Giả sử nếu ta có phươngtrình dạng
( )
0F x =
với
( )
F x
xác định trên một miền D nào đó và
ta nhẩm được một nghiệm x = a của phươngtrình thì ta có thể biến đổi phươngtrình đã cho
lại thành
( ) ( )
0x a G x− =
. Đến đây ta chỉ việc xử lí phươngtrình G(x) = 0 nữa là ổn! (Việc
xử lí phươngtrình G(x)= 0 có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức).
II. Các ví dụ minh họa:
Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví
dụ sau:
II.1. Các bài toán mở đầu
Các bạn hãy thử sức mình với các bài toán này trước nhé!
Bài toán 1: Giảiphươngtrình sau:
1 4 9 16 100x x x x x+ + + + + + + = +
Bài toán 2: Giải các phươngtrình sau:
a)
3
3 3x x
+ + =
b)
3 3
2 1 1x x
+ + =
c)
2
2 1 3 1 0x x x
− + − + =
d)
( )
9 4 1 3 2 3x x x
+ − − = +
II. 2. Bài tập minh họa:
Ví dụ 1: Giảiphương trình
3
2 2 2
3 8 2 15x x x
+ + − = +
(1)
Giải:
Ta dự đoán được nghiệm
1x
= ±
, và ta viết lại phươngtrình như sau:
( )
(
)
(
)
(
)
3
2 2 2
1 3 1 8 3 15 4x x x
⇔ − + + − = + −
( )
2
2 2
3 34 2 2 2
3 1
1 1
1 8 3 15 4
x
x x
x x x x
−
− −
⇔ + =
+ + + + + +
2
3 3
4 2 2 2
1
1 1 1
1 8 3 15 4
x
x x x x
=
⇔
+ =
+ + + + + +
Mặt khác, ta có:
2 2 2 2
2 2
1 1
15 8 15 4 8 3
15 4 8 3
x x x x
x x
+ > + ⇒ + + > + + ⇒ <
+ + + +
Nên phươngtrình thức hai vô nghiệm.
Vậy (1) có 2 nghiệm
1, 1x x
= = −
.
Ví dụ 2: Giảiphươngtrình sau
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x
− + − − = − − − − +
(2)
Giải:
Ý tưởng:
Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phươngtrình đã cho có một nghiệm
2x
=
nên ta sẽ cố gắng đưa
phương trình trên về phươngtrình tích xuất hiện nhân tử
( )
2x
−
. Ta có nhận xét rằng:
( ) ( )
( )
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x
− + − − − = − −
và
( ) ( )
( )
2 2
2 3 4 3 2x x x x
− − − + = −
Ta đi đến lời giải như sau:
(2)
( )
2 2 2 2
3 5 1 3 1 2 3 4x x x x x x x
⇔ − + − − − = − − − +
( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
x x
x x x
x x x x
− + −
⇔ =
− + − +
− + + − +
( )
( )
2 2
2 2
2 3
2 0
2 3 4
3 5 1 3 1
x
x x x
x x x x
⇔ − + =
− + − +
− + + − −
Mặt khác, ta có:
( )
2 2
2 2
2 3
2 3 4
3 5 1 3 1
x x x
x x x x
+
− + − +
− + + − −
> 0 với mọi x
Vậy phươngtrình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 3: Giảiphương trình
2 2
2 7 10 12 20x x x x x
− + = + − +
(3)
Giải:
Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phươngtrình (3)
về dạng phươngtrình tích xuất hiện nhân tử
( )
1x
−
.
Ta viết lại như sau:
( ) ( ) ( )
2 2
3 2 7 10 1 12 20 2x x x x x x
⇔ − + − + = − + − +
(4)
Để ý rằng hai phươngtrình
( )
2
7 10 1 0x x x
− + − + =
và
( )
2
12 20 2 0x x x− + − + =
vô nghiệm nên
nhân liênhợp hai vế của (4) ta có:
( ) ( )
2 2
18 1 16 1
7 10 1 12 20 2
x x
x x x x x x
− − − −
=
− + + + − + + +
2 2
1
9 8
(*)
7 10 1 12 20 2
x
x x x x x x
=
⇔
=
− + + + − + + +
Pt (*)
2 2
8 7 10 9 12 20 10x x x x x
⇔ − + − − + = +
Đến đây ta có hai hướng giải quyết:
Hướng 1: bình phương hai vế…
Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau
2 2
2 2
8 7 10 9 12 20 10
2 7 10 12 20
x x x x x
x x x x x
− + − − + = +
− + − − + =
Lấy phươngtrình thứ nhất trừ đi 9 lần phươngtrình thứ hai, ta thu được:
2
2
5
15 5 5
5 7 10 4 5
4
2
15 25 0
x
x x x x
x x
≥
+
− + = − ⇔ ⇔ =
− + =
Vậy phươngtrình đã cho có 2 nghiệm
15 5 5
1,
2
x x
+
= =
.
Ví dụ 4: Giảiphương trình
3 3 2
162 2 27 9 1 1x x x
+ − − + =
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
(
)
( )
3
2
2
3 33 3
3 3 1
162 6
0
27 9 1 1
162 2 2 162 2 4
x x
x
x x
x x
−
−
− =
− + +
+ + + +
( )
( )
(
)
( )
2
2
2
3 33 3
2 3 1 9 3 1
3 3 1
0
27 9 1 1
162 2 2 162 2 4
x x x
x x
x x
x x
− + +
−
⇔ − =
− + +
+ + + +
( )
( )
(
)
2
2
2
3 33 3
2 9 3 1
3
3 1 0
27 9 1 1
162 2 2 162 2 4
x x
x
x
x x
x x
+ +
⇔ − − =
− + +
+ + + +
Xét phương trình:
( )
(
)
2
2
2
3 33 3
2 9 3 1
3
0
27 9 1 1
162 2 2 162 2 4
x x
x
x x
x x
+ +
− =
− + +
+ + + +
( )
(
)
2
2
3
3
3 33 3
2 9 3 1
3
162 2
162 2 2 162 2 4
x x
x
x
x x
+ +
⇔ =
+
+ + + +
Ta đặt
3 3
162 2a x
= +
suy ra:
1 4 1 2
2 3 1 2 3 1 1
3 3 2
a
x a x
x a x a
+ + = + + ⇔ + + = + +
÷
1
3
2 3
a
x x⇒ = ⇔ =
Vậy phươngtrình đã cho có một nghiệm duy nhất
1
3
x
=
.
Ví dụ 5: (Olympic 30/4 Đề nghị)
Giải phươngtrình sau:
2 2
12 5 3 5x x x
+ + = + +
Giải:
Đk:
5
3
x
≥
Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Như vậy phươngtrình đã cho có thể phân tích
được về dạng
( ) ( )
2 0x Q x− =
!
Phương trình đã cho tương đương với:
2 2
12 4 3 6 5 3x x x
+ − = − + + −
( )
2 2
2 2
4 4
3 2
12 4 5 3
x x
x
x x
− −
⇔ = − +
+ + + +
( )
2 2
2 2
2 3 0
12 4 5 3
x x
x
x x
+ +
⇔ − − − =
÷
+ + + +
2 2
2
2 2
3 0(*)
12 4 5 3
x
x x
x x
=
⇔
+ +
− − =
+ + + +
Do
2 2 2 2
1 1 2 2
0
12 4 5 3 12 4 5 3
x x
x x x x
+ +
< ⇒ − <
+ + + + + + + +
nên pt (*) vô nghiệm.
Vậy phươngtrình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 6: Giảiphương trình
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x
− + − − = − − − − +
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
2 2 2 2
3 5 1 3 7 3 2 3 4 0x x x x x x x
− − − − + + − − − + =
Bằng cách nhân liên hợp, ta có:
( )
2 2 2 2
2 3
2 0
3 5 1 3 7 3 2 3 4
x
x x x x x x x
− + =
÷
− − + − + − + − +
.
Do
2 2 2 2
2 3
3 5 1 3 7 3 2 3 4x x x x x x x
+
− − + − + − + − +
nên phươngtrình có nghiệm duy nhất x =
2.
Ví dụ 7: Giảiphương trình
2
3
5 1 9 2 3 1x x x x
− + − = + −
Giải:
ĐK:
1
5
x
≥
.
Phương trình đã cho tương đương với:
2
3
5 1 2 9 2 2 3 5x x x x
− − + − − = + −
( )
( )
( ) ( )
2
3 3
5 1
1
1 2 5
5 1 2
9 2 9 4
x
x
x x
x
x x
−
−
⇔ + = − +
− +
− + − +
⇔
( )
( )
2
3 3
5 1
1 2 5 0
5 1 2
9 2 9 4
x x
x
x x
− + − + =
− +
− + − +
( )
( )
2
3 3
5 5 1 5 1
1 2 0
5 1 2
9 2 9 4
x
x x
x
x x
− +
⇔ − + + =
− +
− + − +
Vậy phươngtrình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1.
Ví dụ 8: Giảiphương trình
3 2
3 1 8 3x x x− + = −
Giải:
Đk:
2 6 2 6
3 3
x− ≤ ≤
,
Ở bài này, khó là ở chỗ ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm của phươngtrìnhđểdùnglượngliên
hợp. Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của công nghệ là chiếc máy tính Casio fx570 Es thì mọi chuyện
có vẻ dễ dàng hơn!
Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm của phươngtrình là:
1 2
0,6180339887 ; 1,618033989 x x= − =
sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B.
Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng cách tình A + B và AB,
ta thu được kết quả “đẹp” sau:
1, 1A B AB
+ = = −
.
Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0X X
− − =
Và từ đây, ta có thể dự đoán được
2
1x x
− −
chính là nhân tử của pt!
Ta viết pt đã cho lại thành:
( )
3 2
3 1 8 3 0x x px q x px q− + − + − − + + =
( )
( )
( )
( )
2
2
3
2
8 3
3 1 0 2
8 3
px q x
x x px q
x px q
+ − −
⇔ − + − + + =
− + +
( )
( )
2 2 2
3
2
3 2 8
3 1 0
8 3
p x pqx q
x p x q
x px q
+ + + −
⇔ − + + − + =
− + +
Đến đây, để xuất hiện nhân tử
2
1x x
− −
thì
( ) ( )
2 2 2 2
3 2 8 1p x pqx q x x
+ + + − = ∂ − −
với
∂
là một
hệ số. Chọn
∂
= 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó (2) trở thành:
2
3
2
1
2 1 4 0
8 3 2
x x
x x
x x
− −
− − + =
− + −
( )
2
2
4
1 1 0
8 3 2
x x x
x x
⇔ − − + + =
÷
− + −
Xét
( )
2
8 3 2f x x x
= − + −
ta có:
( )
2
3
' 1
8 3
x
f x
x
−
= −
−
2
3 2
'( ) 0 1
3
8 3
x
f x x
x
−
⇒ = ⇔ = ⇔ = −
−
Ta có bảng biến thiên:
( )
6 4 6
3
f x
+
⇒ ≤
kết hợp với
2 6
3
x
≤
( )
6 4 6
0
3
f x
+
⇒ < ≤
( )
2
4 4 2 6 4
1 1 1 0
3
6 4 6
8 3 2
3
x x
f x
x x
⇒ + + = + + ≥ − + + >
+
− + −
Vậy phươngtrình đã cho có nghiệm
2
1 5
1 0
2
x x x
±
− − = ⇔ =
.
Ví dụ 9: Giảiphương trình
( )
2 2
1 2 2 2x x x x x
+ − = + − +
Giải:
Cũng bằng cách làm như ở Ví dụ 8 , ta phân tích được như sau:
( ) ( )
2 2
2 7 3 2 2 2 2 0x x x x x x
− − + + − + − + =
( )
(
)
2 2
2 7 2 3 2 2 0x x x x x
⇔ − − + + − − + =
( )
( ) ( )
2
2
2
1 1 1
2 7 0
2 2 3
x x
x x
x x
− + − −
÷
⇔ − − =
÷
− + +
1 7
1 7
x
x
= +
⇔
= −
.
Ta cũng có thể giải thích theo cách khác tại sao lại tìm được lượng
2
2 7x x− −
như sau:
Do x = -2 không là nghiệm của phươngtrình nên chia hai vế phươngtrình cho (x + 2) ta được:
2
2
1
2 2
2
x x
x x
x
+ −
− + =
+
. Giả sử ta cần thêm vào hai vế của phươngtrình một lượng
Ax B
+
, khi đó ta
có:
( ) ( )
2
2
1
2 2
2
x x
x x Ax B Ax B
x
+ −
− + − + = − +
+
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2
1 2 1 2
1 1 2 1 2
2
2 2
A x AB x B
A x A B x B
x
x x Ax B
− − + + −
− + − − − −
⇔ =
+
− + − +
Khi đó, ta cần chọn A, B sao cho
( )
2 2
2 1
1 2
1 2 1 2 1
AB
A B
A A B B
+
− −
= =
− + − +
. Từ đó ta có: A = 0, B = 3.
Ví dụ 10: Giảiphương trình
3 2
3 2 4 4 1x x x x x x x
− + + = + − − + + −
Giải:
ĐK:
2 3x
− ≤ ≤
.
Phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
3 2
3 1 2 4 4x x x x x x x
− − − + + − = + − −
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 1 2
3 1 2
x x x x
x x x
x x x x
− + + − + +
⇔ + = + + −
− + − + +
( ) ( ) ( )
1 1
2 1 2 0
3 1 2
x x x
x x x x
⇔ − + + + + =
− + − + +
1
2
x
x
= −
⇔
=
.
- Với bài này, việc xuất hiện thêm các đa thức chứa trị tuyệt đối tưởng chừng như sẽ gây cho ta thêm
khó khăn trong việc giải quyết. Nhưng nhờ sử dụngphươngpháp nhân lượngliên hợp, bài toán đã
được giải quyết nhanh chóng! Khi ấy, ta chỉ cần chuyển các lượng trên về đúng vị trí và sử dụng pp
nhân liênhợp là đủ.
Sau đây là một số bài toán khác:
Ví dụ 11: Giảiphương trình
3 2
2
3
1 3 1 5
6
x
x x x x
x
+
− + − + + + = +
−
Giải:
Đk:
3x ≥
Phương trình đã cho tương đương với:
(
)
( )
( )
3 2
2
3
1 2 3 1 2 3 2
6
x
x x x x
x
+
− − + − + + − + − = −
−
( )
( )
2 2
2
2
32 2
3
1 8 1 4 15 2
3 3
6
1 2
1 2 1 4
x x x x
x x
x
x
x x
− − + − + −
⇔ + − + + − =
−
+ +
− + − +
( )
( )
( )
2
2
32 2
3
3 3 3 2 5
3
3 1 3 0
6
1 2
1 2 1 4
x x x x
x
x x
x
x
x x
− + − +
−
⇔ − + + + − + =
−
+ +
− + − +
3x
⇔ =
.
III. Bài tập
Giải các phươngtrình sau:
(1)
2
2 1 3 1 0x x x− + − + =
ĐS:
1, 2 2x x= = −
Hướng dẫn:
2
2 1 1 3 2 0pt x x x⇔ − − + − + =
, trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung x – 1.
(2)
( )
3 2 2 2 6x x x+ − = + +
ĐS:
11 3 5
3;
2
x x
−
= =
Hướng dẫn:
( )
3 2 1 2 6 6 3pt x x x⇔ − − = − + + −
, sau đó trục căn thức làm xuất hiện nhân tử
chung x – 3.
(3)
2
2
1 2
1
x x x
x x
− +
=
+
ĐS:
1
2
x =
Hướng dẫn:
2
2
1 2
1 1
1
x x x
pt
x x
− +
⇔ − = −
+
, trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung là
2 1x
−
.
(4)
( )
9 4 1 3 2 3x x x+ − − = +
ĐS:
6x
=
Hướng dẫn:
( )
9 4 1 5 4 3 2 6pt x x x⇔ − − + − − = −
(5)
2
2 4 2 5 1x x x x− + − = − −
ĐS:
3x
=
Hướng dẫn:
2
2 1 4 1 2 5 3pt x x x x⇔ − − + − − = − −
, trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung là x
– 3.
(6)
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
ĐS:
2x
=
Hướng dẫn:
3
4 1 3 2 3 2 1
5
x
pt x x
+
⇔ + − + − − = −
sau đó trục căn thức làm xuất hiện nhân tử
chung x – 2.
(7)
2 2
2 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = +
ĐS:
32 513
1;
7
x x
− +
= ± =
Hướng dân:
( )
2 2
2 16 18 2 4 1 0pt x x x x⇔ + + − + + − =
, trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung
là
2
1x −
.
. PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
****
I. Một số kiến thức cần nhớ:
I.1. Một số. + =
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
15 5 5
1,
2
x x
+
= =
.
Ví dụ 4: Giải phương trình
3 3 2
162 2 27 9 1 1x x x
+ − − + =
Giải:
Phương trình đã