Chuyên đề phương trình vô tỉ

Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phươ

LỜI NÓI ĐẦU:

Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình

Toán phổ thông Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh

hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng

trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỷ

Trong những năm gần đây, phương trình vô tỷ thường xuyên xuất hiện

ở câu II trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng Vì vậy, việc

trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỷ kèm

với phương pháp giải chúng là rất quan trọng Như chúng ta đã biết phương

trình vô tỷ có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải khác nhau Trong bài

tập lớn này, tôi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vô

tỷ”, mỗi phương pháp đều có bài tập minh họa được giải rõ ràng, dễ hiểu;

sau mỗi phương pháp đều có bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hành

giải toán và nắm vững cái cốt lõi của mỗi phương pháp

Hy vọng nó sẽ góp phần giúp cho học sinh có thêm những kĩ năng cần

thiết để giải phương trình chứa căn thức nói riêng và các dạng phương trình

nói chung

A BÀI TOÁN MỞ ĐẦU:

(thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x0;x1

t t

Với t 0 ta có x 0x0(thỏa điều kiện)

Với t 1 ta có x  1 x1 (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x0;x1

a b ab

a b ab

01

a b

a b

a b ab

(thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x0;x1

Với a 1 ta có x  1 x1 (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x0;x1

Qua bài toán mở đầu, ta thấy có nhiều cách khác nhau để giải một phương

trình vô tỷ Tuy nhiên, các cách đó đều dựa trên cơ sở là phá bỏ căn thức và đưa

về phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải Sau đây, tôi xin trình bày

một số phương pháp cụ thể để giải phương trình vô tỷ

B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

 Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập

nghiệm

 Một số phép biến đổi tương đương:

 Cộng, trừ hai vế của phương trình với cùng biểu thức mà không

làm thay đổi tập nghiệm của phương trình

 Nhân, chia hai vế của phương trình với cùng biểu thức khác 0

mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình

 Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình

 Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế

của phương trình cùng dương

1 Lũy thừa hai vế của phương trình:

 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B  C  D , ta

thường bình phương 2 vế, điều đó nhiều khi cũng sẽ gặp khó khăn

2 2(*)2x11 2 x 11x10 2x 7 2 x 7x10

(thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: x  1

Bài 2: Giải phương trình: 3 3 3

Thử lại, x  2 thỏa mãn phương trình (*)

Vậy nghiệm của phương trình là: x  2

Bài 3: Giải phương trình: x 3 3x 1 2 x 2x2

Thử lại, x 1thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là: x 1

 Nhận xét : Nếu phương trình : f x   g x   h x  k x 

Mà có : f x h x g x k x , thì ta biến đổi phương trình về dạng :

f x  h x  k x  g x sau đó bình phương hai vế, giải phương trình

hệ quả và thử lại nghiệm

Bài 4: Giải phương trình :

f x  h x  k x  g x sau đó bình phương hai vế, giải phương trình

hệ quả và thử lại nghiệm

2.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung:

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x Như vậy, phương trình 0

luôn đưa về được dạng tích xx0  A x  ta có thể giải phương trình 0

  0

A x  hoặc chứng minh A x  vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm   0

của phương trình để ta có thể đánh giá A x  vô nghiệm   0

Bài 1: Giải phương trình:

Vậy x 2 là nghiệm của phương trình.

Bài 2: Giải phương trình: x2 12 5 3x x25

Vậy x 2 là nghiệm của phương trình.

Bài 3: Giải phương trình : 3 x2  1 x x3 2

Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C , mà : A B C

ở đây C có thể là hằng số, có thể là biểu thức của x

Ta có thể giải như sau :



   



Vậy nghiệm của phương trình là: x0;x 1

Bài 2: Giải phương trình : 3 3 2 3 3 2

1

x  x  x x  x Giải:

 x  , không phải là nghiệm 0

 x  , ta chia hai vế cho 0 3

3

3

11

1

x x

Vậy nghiệm của phương trình là: x  1

Bài 3: Giải phương trình: x 3 2x x 1 2x x24x  3

Vậy nghiệm của phương trình là: x0;x  1

Bài 4: Giải phương trình : 4

Bài 1: Giải phương trình : 3x x 3 x

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường:

Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t  f x và chú ý điều kiện của t Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến

t và quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt ẩn phụ xem như “hoàn toàn ”

Bài 1: Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 2

Giải:

Vậy nghiệm của phương trình là: x  1

Bài 2: Giải phương trình: 2x26x 1 4x  5

Vậy nghiệm của phương trình là: x 1 2;x2 3

Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện

2

2x 6x   1 0

Ta được: x2(x3)2(x1)2  , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng 0

Đơn giản nhất là ta đặt : 2 y 3 4x  và đưa về hệ đối xứng(Xem phần dặt 5

y y

Vậy nghiệm của phương trình là: x  0

Bài 5: Giải phương trình: 2 1

Vậy nghiệm của phương trình là: 1 5

x  không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả hai vế cho x ta được: 1 3 1

Nhận xét: Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp

bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2uvv2  (1) bằng cách 0

Nếu thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được

phương trình vô tỉ theo dạng này

Bài 3: Giải phương trình : 3 2  3

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện” hơn dạng trên , nhưng nếu

ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên

Bài 1: Giải phương trình : x23 x2  1 x4x2 1

Giải:

Ta đặt :

2 2

Bài 2: Giải phương trình : x22x 2x 1 3x24x  1

Giải:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 3: Giải phương trình : 5x214x 9 x2 x 205 x  1

- Với uv ta có phương trình

5 612

5 612

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn:

Phương pháp giải: Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai dạng:

Bài 1: Giải phương trình : 2  2  2

x   x  x  x  (*) Giải:

Vậy nghiệm của phương trình là x   7

Bài 2: Giải phương trình :   2 2

Bây giờ ta thêm bớt, để được phương trình bậc 2 theo t có  là một số chính phương:

Vậy nghiệm của phương trình là x  1 2

Từ một phương trình đơn giản :  1x2 1x 1x 2 1x , khai 0

triển ra ta sẽ được pt sau:

Bài 3: Giải phương trình: 4 x  1 1 3x2 1x 1x2

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo  1x 2, 1x2

Cụ thể như sau : 3x  1 1x2 1 x thay vào pt (1) ta được:

2

4 x   1 t  2(1 x)  2tt 1 x t2  (2  1 x t)  4 1 x 2(1 x)  0 (*)

2 (3 1 x 2)

Bài 4: Giải phương trình: 2 2x44 2x  9x216 (1)

242

x t x t

4.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường:

 Đặt u x v,  x và tìm mối quan hệ giữa  x và  x

Từ đó tìm được hệ theo u,v

Bài 1: Giải phương trình: 3 3 3 3

Giải hệ này ta được nghiệm( ; )x y (2;3);( ; )x y (3;2)

Vậy nghiệm của phương trình là x2;x3.

Bài 2: Giải phương trình sau: x 5 x   1 6

Lấy (1)-(2) vế theo vế ta được phương trình:

1(a b a b)( 1) 0 a b

4.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại I:

Bài 1: Giải phương trình: 2 x 3 x   1 (2 x)(3 x)

1221

a b a b

Vậy nghiệm của phương trình là x 1;x2

Bài 2: Giải phương trình: 4 x417x3

a b a b

Vậy nghiệm của phương trình là x1;x16

Bài 3: Giải phương trình: 3 3 3

1221

a b a b

Vậy nghiệm của phương trình là x 6;x3

Bài 4: Giải phương trình 2x2 (2 x)2

Vậy nghiệm của phương trình là x 1

4.3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II:

4.3.1 Dạng 1: Giải phương trình x n ba ax b n 

Cách giải: Đặt t n ax b  ta có hệ phương trình đối xứng loại II:

n n

Vậy nghiệm của phương trình là 1 5; 1

(loại vì

x x

Bài 1: Giải phương trình: 4x2 5 13x 3x 1 0

Nhận xét: Nếu chúng ta nhĩm như những phương trình trước:

Để thu được hệ (1) ta đặt : y  3x1, chọn  , sao cho hệ có thể giải

được (đối xứng hoặc gần đối xứng )

2 2

Khi đó đặt 3 x  1 2y3, nếu đặt 2 y 3 3x1 thì chúng ta không thu

được hệ như mong muốn, ta thấy dấu của  cùng dấu với dấu trước căn

Một số phương trình được xây dựng từ hệ:

Giải các phương trình sau:

III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

2 Bài tập minh họa:

Bài 1: Giải phương trình: x42x2 x22x162x26x200 (1)

Vậy nghiệm của phương trình là x  2

Bài 3: Giải phương trình: 2 2

21

51

 Nếu hàm số y f x( )đơn điệu (tăng hoặc giảm) trên khoảng ( ; )a b thì

phương trình f x( )k k( const) có không quá một nghiệm thuộc( ; )a b

 Nếu hàm số y f x( )đơn điệu (tăng hoặc giảm) trên D thì u v, D ta có

( ) ( )

f u  f v uv

 Nếu hàm số y f x( )đơn điệu tăng và g x( )là hàm hằng hoặc đơn điệu giảm

trên( ; )a b thì phương trình f x( )g x( ) có không quá một nghiệm thuộc( ; )a b

2 Bài tập minh họa:

Bài 1: Giải phương trình: 3 3

Suy ra f x( ) đồng biến trên D

Do đó, phương trình f x ( ) 0 nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất

Dễ thấy f ( 1)0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1

Bài 2: Giải phương trình: 3 2 2 3 2  2

Vậy nghiệm của phương trình là x 1;x0;x3

Bài 3: Giải phương trình: 2

Do đó, phương trình f x( )g x( )nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất

1 1x x 1 2 1 x

Giải:

Điều kiện x 1

Vậy nghiệm của phương trình là x 0

Bài 4: Giải phương trình: 3

cos 3 os

42

k t

t t

t t

x x

Vậy phương trình có một nghiệm x 3 2

TỔNG QUÁT: Giải phương trình

Bài 2: Giải phương trình:  

2 2 2

2

2

11

1

x x

t t t

6

2

35121

x x

ngược hướng với b

 a b   a b 

Dấu “=” xảy ra a

cùng hướng với

b

2 Bài tập minh họa:

Bài 1: Giải phương trình: 2 2

x  x  x  x  (*) Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn a x (  2;1); b x (  5;5) a b   (3; 4) 

5

k

k k

k k k

9x  18x  36x  9x   9 x Giải:

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

[1] Nguyễn Quốc Hoàn, Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương

trình vô tỷ

[2] Nguyễn Phi Hùng – Võ Thành Văn, Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải

phương trình vô tỷ

[3] Nguyễn Đức Thắng, chuyên đề: Phương trình – Bất phương trình vô tỷ

[4] SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục

[6] Http://violet.vn