Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 67 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
67
Dung lượng
746,76 KB
Nội dung
1
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH, HỆPHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNGTRÌNH
TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2010 - 2011
(Lê Phúc Lữ - tổng hợp và giới thiệu)
Bài 1.
1/ Giải phươngtrình
2 1 3 4 1 1
x x x x
.
2/ Giải phươngtrình với ẩn số thực
1 6 5 2
x x x
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long)
Bài 2. Giải phươngtrình
5 4 3 2
11 25 14 0
x x x x x
(Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai)
Bài 3. Giải hệphươngtrình
2 2 4
2 5 2 5 6
x y
x y
(Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu)
Bài 4. Giải hệphươngtrình sau
1
3 3
1
2 8
x x y
y
x y
y
(Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A)
Bài 5. Giải hệphươngtrình
2 4 3
2 2
4 4 1
4 2 4 2
x y xy
x y xy
(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng)
Bài 6. Giải hệphươngtrình trên tập số thực
4
2 2
5 6
5 6
x y
x y x
(Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai)
2
Bài 7. Giải hệphươngtrình
2 2
2 2
3 2
1
1
2
4
y
x y x
x
x y
y
(Đề thi HSG Hà Tĩnh)
Bài 8. Giải phươngtrình
2
3
6 7 1
x x x
(Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng)
Bài 9. Giải hệphươngtrình
2 2
1 1
2 0
x x y
y x y x y x
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình)
Bài 10.
1/ Giải bất phươngtrình
2 2
( 4 ) 2 3 2 0
x x x x
.
2/ Giải hệphươngtrình sau
2
2
7
12
xy y x y
x
x
y
(Đề thi HSG Điện Biên)
Bài 11. Giải hệ bất phươngtrình
6 8 10
2007 2009 2011
1
1
x y z
x y z
.
(Đề thi chọn đội tuyển Bình Định)
Bài 12.
1/ Giải phươngtrình
1 1
2
1 3
x
x
x x
2/ Giải hệphươngtrình
2
2
2
2
x x y
y y x
(Đề thi HSG tỉnh Bến Tre)
3
Bài 13.
1/ Giải phươngtrình
2
4 3 5
x x x
.
2/ Giải phươngtrình
3 2
3 1 2 2
x x x x
trên
[ 2,2]
(Đề thi HSG tỉnh Long An)
Bài 14. Giải hệphươngtrình sau
2 2
1 2
2
1 1 3 3
( )
y x
x y
x
y x x
(Đề chọn đội tuyển trường Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định).
Bài 15. Giải hệphươngtrình sau
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
(Đề thi chọn đội tuyển Nha Trang, Khánh Hòa)
Bài 16.
1/ Giải phươngtrình
2
2 7 2 1 8 7 1
x x x x x
2/ Giải hệphươngtrình
3
2 2 3 2
6 1 4
x y x y
x y
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc)
Bài 17. Giải phươngtrình sau
2
4 3 2 3
1
2 2 2 1 ( )
x
x x x x x x
x
(Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh)
Bài 18. Giải phươngtrình
2 2 3 2 2 5 0
sin sin cosx x x
.
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi)
Bài 19.
1/ Giải phươngtrình
2 2
4 2 4
x x x x
.
4
2/ Giải hệphươngtrình
2 2
2 2
2 ( ) 3
( ) 10
y x y x
x x y y
(Đề thi chọn đội tuyển THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa)
Bài 20. Giải phươngtrình
2
3
6 7 1
x x x
.
(Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng)
Bài 21. Giải hệphươngtrình
5( ) 6( )
4
6 5
6( ) 4( )
5
4 6
4( ) 5( )
6
5 4
x y x z
x y xy x z xz
z y x y
z y zy x y xy
x z y z
x z xz y z yz
(Đề chọn đội tuyển trường PTNK, TPHCM)
Bài 22.
1/ Giải phươngtrình
1
2 1 3 2 ( 11)
2
x y z x y z
2/ Giải hệphươngtrình
2
2
2 2
121
2 27
9
3 4 4 0
x
x x
x y xy x y
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Nam)
Bài 23.
1/ Tìm tất cả các giá trị của
,
a b
đểphươngtrình
2
2
2
2 1
x ax b
m
bx ax
có hai nghiệm phân biệt với
mọi tham số m.
2/ Giải hệphươngtrình
2 2
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x
(Đề thi HSG vòng tỉnh Bình Phước)
Bài 24.
5
1/ Giải hệphươngtrình
2 2 2 2
3 3 3 3
2010
2010
x y z
x y z
2/ Giải phươngtrình
3 3
2 2 2 3
3 3 3 2 0
x x x x
x x
(Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình)
Bài 25.
1/ Giải bất phươngtrình sau
2
2
2 1 2( 1) 2(2 )
4 1 17 0
x y x x x y
y x x
2/ Với n là số nguyên dương, giải phươngtrình
1 1 1 1
0
sin 2 sin 4 sin8 sin2
n
x x x x
.
(Đề thi HSG tỉnh Khánh Hòa)
Bài 26.
1/ Giải phươngtrình sau
3sin 2 cos2 5sin (2 3)cos 3 3
1
2cos 3
x x x x
x
.
2/ Giải phươngtrình
2
3
2
2 1
log 3 8 5
( 1)
x
x x
x
(Đề thi HSG tỉnh Thái Bình)
Bài 27.
1/ Giải hệphươngtrình
2 2
2
1
2
1
x y xy y
y
x y
x
2/ Giải phươngtrình lượng giác
2 2
2 2sin 2
tan cot 2
x
x x
(Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ)
Bài 28. Giải phươngtrình
2
1 1
24 60 36 0
5 7 1
x x
x x
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh)
6
Bài 29. Giải phươngtrình
3 2 3 2 2
3 2 2 3 2 1 2 2 2
x x x x x x x
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội)
Bài 30. Giải hệphươngtrình
2 2
2 2
2 3 4 2 3 4 18
7 6 14 0
( )( )x x y y
x y xy x y
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội)
Bài 31. Giải hệphươngtrình
3
2 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
( ) ( )x x y y
x y
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)
Bài 32. Giải hệphươngtrình
4 3 3 2 2
3 3
9 9
7( )
x x y y y x x y x
x y x
(Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên)
Bài 33. Giải hệphươngtrình
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x
(Đề thi chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk)
Bài 34. Giải hệphươngtrình
3 3
2 2
35
2 3 4 9
x y
x y x y
(Đề thi HSG tỉnh Yên Bái)
Bài 35. Giải phươngtrình
3 2
3
2 2 1 27 27 13 2
x x x x
(Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1)
Bài 36. Giải hệphươngtrình
2 2
2 2
1 1
2( )
2
1 1
2
x y
x y
y x
x y
(Đề thi chọn đội tuyển Quảng Ninh)
7
Bài 37. Giải hệphươngtrình
3
3
3
3 12 50
12 3 2
27 27
x x y
y y z
z x z
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng)
Bài 38. Giải phươngtrình
9 2
3
9 1
2 1
3
x x
x
(Đề thi chọn đội tuyển Phú Yên)
Bài 39.
1/ Giải phươngtrình sau
2
1 1 2 2
x x x x
2/ Giải hệphươngtrình sau
3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y
(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An)
Bài 40.
1/ Giải hệphươngtrình
3 3 2
4 4
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y
2/ Chứng minh phươngtrình sau có đúng một nghiệm
2011 3 3 2
( 1) 2( 1) 3 3 2
x x x x x
.
(Đề dự bị thi HSG tỉnh Nghệ An)
Bài 41. Giải hệphươngtrình sau
3
3
3
3 12
4 6
9 2 32
x y x
y z y
z x z
(Đề thi chọn đội tuyển KHTN, vòng 1)
Bài 42. Giải hệphươngtrình
2 2
2
2
2 2
1
1
3 2 6 2 2 1
log ( ) log ( )
y x
x
e
y
x y x y
8
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp)
Bài 43. Giải phươngtrình sau
2 2
2
2 2
2
1
1 2 1 4
x x x x
x
x x x x
(Đề thi HSG tỉnh Bình Phước)
Bài 44.
1/ Giải phươngtrình
3 2
3
3 4 3 2
x x x x
2/ Tìm số nghiệm của phươngtrình
2011 2009 4 2011 2009 2 2
(4022 4018 2 ) 2(4022 4018 2 ) cos 2 0
x x x x x x x
(Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Nguyễn Du)
Bài 45. Giải hệphươngtrình sau
2 2 2 2 2
(2 )(1 2 )(2 )(1 2 ) 4 10 1
2 2 1 0
x x y y z
x y z xz yz x y
(Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh)
Bài 46.
1/ Giải phươngtrình sau
2
2010 ( 1 ) 1
x
x x
.
2/ Giải hệphươngtrình
4 2 4
3 3
4 2 5
2 2
xy x
x y
y x
x y
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Sào Nam, tỉnh Quảng Nam)
Bài 47. Giải hệphươngtrình
11 10 22 12
4 4 2 2
3
7 13 8 2 (3 3 1)
x xy y y
y x y x x y
(Đề thi chọn đội tuyển TP.HCM)
Bài 48. Giải hệphươngtrình
2
2
2
2009 2010 ( )
2010 2011 ( )
2011 2009 ( )
x y x y
y z y z
z x z x
(Đề thi chọn đội tuyển chuyên Quang Trung, Bình Phước)
9
Bài 49. Giải hệphươngtrình sau
2 2
2
1
5
57
4 3 (3 1)
25
x y
x x y x
(Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An)
Bài 50. Cho các tham số dương
, ,
a b c
. Tìm nghiệm dương của hệphươngtrình sau :
2 2 2
4
x y z a b c
xyz a x b y c z abc
(Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình)
Bài 51. Giải hệphươngtrình sau trên tập hợp số thực
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
y
x y
(Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc)
Bài 52. Giải hệphươngtrình
4 4
2 2 3
2
3
( )
x x y y
x y
(Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội)
Bài 53. Giải phươngtrình
2 3 5
3
2 .sin .cos 2 1 1
x x x x x x x x
(Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội)
Bài 54. Giải hệphươngtrình
2 2
2
2 2
( 2) ( 3) ( 3)( 2)
5 9 7 15 3
8 18 18 18 84 72 24 176
x y y x z
x x z y yz
x y xy yz x y z
(Đề thi chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội, ngày 2)
Bài 55.
Tìm
, ,
x y z
thỏa mãn hệ
2 2
2 2
2 2
2 ( ) 1
1 2 2 2
(3 1) 2 ( 1)
z x y x y
y z xy zx yz
y x x x
(Đề thi chọn đội tuyển trường ĐH KHTN Hà Nội, vòng 3)
10
LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT
Bài 1.
1/ Giải phươngtrình
2 1 3 4 1 1
x x x x
.
2/ Giải phươngtrình với ẩn số thực
1 6 5 2
x x x
(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long)
Lời giải.
1/Điều kiện
1
x
. Phươngtrình đã cho tương đương với
2 2
( 1 1) ( 1 2) 1 1 1 1 2 1
x x x x
(*)
-Nếu
1 1
x
thì
(*) ( 1 1) ( 1 2) 1 3 2 1 1 1 1
x x x x
, loại.
-Nếu
1 1 2 2 5
x x
thì
(*) ( 1 1) ( 1 2) 1 1 1
x x
, luôn đúng.
-Nếu
1 2
x
thì
(*) ( 1 1) ( 1 2) 1 2 1 3 1 1 2
x x x x
, loại.
Vậy phươngtrình đã cho có nghiệm là mọi x thuộc
2;5
.
2/ Điều kiện
5
2
x
. Phươngtrình đã cho tương đương với
2
2
1 5 2 6
(1 ) ( 5 2 ) 2 (1 )( 5 2 ) 6
(1 )( 5 2 ) 5 (1 )( 5 2 ) 10 25
7 30 0 3 10
x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x
Thử lại, ta thấy chỉ có
3
x
là thỏa mãn.
Vậy phươngtrình đã cho có nghiệm duy nhất là
3
x
.
Nhận xét. Các dạng toán phươngtrình vô tỉ này khá cơ bản và quen thuộc, chúng hoàn toàn có
thể giải bằng cách bình phươngđể khử căn mà không cần lo ngại về tính giải được của phương
trình hay không. Để đơn giản trong việc xét điều kiện, ta có thể giải xong rồi thử lại cũng được.
[...]... như sau Giải phươngtrình 32 x 5 32 x 4 16 x3 16 x 2 2 x 1 0 Phươngtrình này được giải bằng cách đặt ẩn phụ y 2 x rồi bình phương lên, nhân vào hai vế cho y 2 để đưa về phươngtrình quen thuộc y 3 3 y y2 Bài toán như thế này khá đánh đố và phức tạp! 1 y 2 x 2 y Bài 14 Giải hệphươngtrình sau x x 2 2 y ( x 1 1) 3 x 3 (Đề chọn đội tuyển trường Chuyên Lê Quý... thế cũng khá là mò mẫn, chúng ta có thể rút y từ phươngtrình ở dưới để thay lên rồi đánh giá phươngtrình một ẩn x thu được Bài 24 x 2 y 2 z 2 2010 2 1/ Giải hệphương trình: 3 3 3 3 x y z 2010 2/ Giải phương trình: 32 x 3 x2 3x 3 2x x3 3x 2 0 (Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) Lời giải 1/ Từ phươngtrình thứ nhất của hệ, ta có x , y , z 2010 31 Suy ra x 3 y 3... x 2 1 y 2 xy y 1/ Giải hệphươngtrình y x y2 1 x2 2/ Giải phươngtrình lượng giác 2 2 2 2 sin 2 x tan x cot 2 x (Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ) Lời giải 1/ Ta thấy hệphươngtrình này không có nghiệm thỏa y 0 nên ta chỉ xét y 0 , khi đó, x2 1 phươngtrình thứ nhất của hệ tương đương với x y 1 y 35 x2 1 Đặt u , v x y Ta có hệ y a b 4 b 4 a b 4... 2 2ax 1 nếu m 1 thì phươngtrình này vô nghiệm, nếu m 1 thì phươngtrình này có vô số nghiệm, không thỏa mãn đề bài -Nếu b 1 thì phươngtrình đã cho trở thành 29 -Nếu b 1 thì x0 1 , tương ứng với 1 2a b 0 hoặc 1 2a b 0 Do đó, khi 1 2a b 0 hoặc 1 2a b 0 thì tương ứng hai phươngtrình đã cho có nghiệm chung là x0 1 và x0 1 Phươngtrình ban đầu tương đương... ta thấy tất cả đều thỏa Vậy hệphươngtrình đã cho có 4 nghiệm là ( x, y ) (3,1), (5, 1), (4 10, 3 10), (4 10,3 10) Nhận xét Dạng hệphươngtrình giải bằng cách đặt ẩn phụ này thường gặp ở nhiều kì thi, từ ĐH-CĐ đến thi HSG cấp tỉnh và khu vực Chúng ta sẽ còn thấy nó xuất hiện nhiều ở các đề thi của các tỉnh được nêu dưới đây 4 x 2 y 4 4 xy 3 1 Bài 5 Giải hệphươngtrình 2 2 4... 7 Vậy hệphươngtrình đã cho có bốn nghiệm là ( x, y ) (2, 16 1 1 9 3 33 ), ( , ), ( ,3) 7 2 7 4 Nhận xét Bài này có thể còn nhiều biến đổi đơn giản hơn nhưng rõ ràng cách rút y ra rồi thay vào một phươngtrình như trên là tự nhiên hơn cả Bài 16 1/ Giải phươngtrình x 2 7 x 2 x 1 x 2 8 x 7 1 2 2 x y 3 2 x y 2/ Giải hệphươngtrình 3 x 6 1 y 4 (Đề thi... ta cũng có y 2 Vậy hệphươngtrình đã cho có nghiệm là ( x, y ) (2, 2) Nhận xét Ngoài cách giải tận dụng tính chất của các căn thức, ta cũng có thể đặt ẩn phụ rồi biến đổi; trong phươngtrình thứ hai, các số hạng tự do có thể khác nhau mà lời giải vẫn được tiến hành tương tự Chẳng hạn, giải hệ phươngtrình sau 2x 2 y 6 2x 5 2y 9 8 Bài 4 Giải hệ phươngtrình sau 1 x ... trường hợp -Nếu y x , thay vào phươngtrình thứ hai của hệ, ta được: x ( x 2 1 1) 3 x 2 3 Dễ thấy: x ( x 2 1 1) 0 3 x 2 3 nên phươngtrình này vô nghiệm -Nếu y 2 x , thay vào phươngtrình thứ hai của hệ, ta được: 2 x( x 2 1 1) 3 x 2 3 x 2 1.(2 x 3 ) 2 x 2x x2 1 (*) 2x 3 3 3 không thỏa mãn đẳng thức nên chỉ xét x và phép biến đổi trên là phù 2 2... bốn Chẳng hạn như khi giải phươngtrình 2 x 4 3x 3 10 x 2 16 x 3 0 , nếu tính toán trên giấy thì không phải dễ dàng mà có được phân tích (2 x 2 5 x 1)( x 2 x 3) 0 để giải từng phươngtrình tích 2x 2 y 4 Bài 3 Giải hệ phươngtrình 2x 5 2y 5 6 (Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu) Lời giải Điều kiện: x, y 0 Cộng từng vế hai phươngtrình của hệ, ta có: ( 2 x 5 2 x )... 2 Phươngtrình đã cho tương đương với ( x 2) ( x 1) 4 x 2 ( x 2) 2 ( x 1) 2 (4 x 2 ) x( x 2)( x 2 2) 0 x 0 x 2 x 2 Thử lại ta thấy thỏa Vậy phươngtrình đã cho có 4 nghiệm là x 0, x 2, x 2 2/ Ta thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại nên hệphươngtrình đã cho có nghiệm ( x, y ) (0, 0) Xét trường hợp xy 0 Chia từng vế phươngtrình thứ nhất cho phương . trình
2 2 3 2 2 5 0
sin sin cosx x x
.
(Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi)
Bài 19.
1/ Giải phương trình
2 2
4 2 4
x. 2
2 ( ) 3
( ) 10
y x y x
x x y y
(Đề thi chọn đội tuyển THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa)
Bài 20. Giải phương trình
2
3
6 7 1
x x x