Chuyên đề hệ phương trình nâng cao

Mục lục Lời nói đầu Các thành viên ban quản trị, nhóm biên soạn Sử dụng phép biến đổi đại số phép Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 75 Sử dụng phương pháp hàm số 110 Sử dụng phương pháp đánh giá 123 Sử dụng phép lượng giác 143 http://boxmath.vn/ Lời nói đầu Chúng tơi vui mừng “Tuyển tập hệ phương trình BoxMath” hồn thành, đáp ứng nhiều mong mỏi quý đọc giả, đặc biệt em học sinh Có thể nói tuyển tập hệ phương trình BoxMath tập hợp nhiều toán hay kỉ thuật thường dùng giải hệ phương trình Nội dung tuyển tập hệ phương trình BoxMath chia theo phương pháp giải toán sau: Sử dụng phép biến đổi đại số Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Sử dụng phương pháp hàm số Sử dụng phương pháp đánh giá Sử dụng phép lượng giác Hy vọng, tuyển tập hệ phương trình BoxMath góp phần nhỏ đem lại nhiều thành công cho bạn đọc giả, đặc biệt quý Thầy Cô công tác giảng dạy, em học sinh học tập, kì thi cấp khu vực, cấp quốc gia Cuối thay ban quản trị xin chúc bạn lời chúc sức, thành đạt công sống, tha thiết đón nhận ý kiến đóng góp quý báo bạn đọc tồi tài, thiếu sót để tuyển tập hệ phương trình BoxMath hồn thiện Hồng Ngự, ngày 16 tháng năm 2012 Thay mặt nhóm biên soạn lê trung tín http://boxmath.vn/ Các thành viên ban quản trị, nhóm biên soạn Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp Lê Trung Tín - THPT Hồng Ngự - Đồng Tháp Hồ Hoàng Việt - Gò Đen - Long An Nguyễn Văn Thoan - Nam Định Nguyễn Mạnh Tuấn - Khánh Hòa Thái Mạnh Cường - Nghệ An Đinh Văn Minh - Vĩnh Phúc Giang Hoàng Kiệt - TP Hồ Chí Minh 10 Ngơ Cơng Bình - THPT Quảng Xương - Thanh Hóa 11 Nguyễn Đức Huỳnh - THPT Hùng Vương - TP Hồ Chí Minh 12 Nguyễn Quốc Oanh - THPT Sào Nam -Quảng Nam A LTEX Hỗ trợ kĩ thuật Latex • Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận Trình bày bìa • Phạm Tuấn Khải http://boxmath.vn/ Sử dụng phép biến đổi đại số phép Giải hệ phương trình:  x3 + 4y = y + 16 (1) 1 + y = (1 + x2 ) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Phương trình (2) tương đương với y − 5x2 = (3) Thay vào phương trình (1) ta có: x3 + y − 5x2 y = y + 16 ⇔ x3 − 5x2 y − 16x = ⇔ x=0 x2 − 5xy − 16 = - Với x = ⇒ y = ⇔ y = ±2 x2 − 16 - Với x2 − 5xy − 16 = ⇔ y = , thay vào (3) ta có 5x x2 − 16 5x − 5x2 = ⇔ 124x4 + 132x2 − 256 = ⇔ x2 = ⇔ x = ⇒ y = −3 x = −1 ⇒ y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y) = (0; ±2) , (1; −3) , (−1; 3) Giải hệ phương trình:   − = (y − x4 )  x 2y  + = (x2 + 3y ) (3x2 + y )  x 2y **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Điều kiện: x=0 y=0 Hệ phương trình tương đương với 2  = 2y − 2x4 + 3x4 + 3y + 10x2 y  x  = 3x4 + 3y + 10x2 y − 2y + 2x4  y ⇔ ⇔ = 5y x + x5 + 10x3 y = 5x4 y + y + 10x2 y x5 + 5x4 y + 10x3 y + 10x2 y + 5xy + y = + x5 − 5x4 y + 10x3 y − 10x2 y + 5xy − y = −  √  √ x = + 5  (x + y) = x+y = √ ⇔ ⇔ ⇔ 5  (x − y) = x−y =1  y = − √ √ 3+1 53−1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y) = ; 2 http://boxmath.vn/ Giải hệ phương trình:  x3 (2 + 3y) = x (y − 2) = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Điều kiện: x = Biến đổi hệ phương trình thành   + 3y = (1)  x3  y − = (2) x Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: y + 3y = 1 =0 + ⇔y − + y − x x x x 1 y ⇔ y− y2 + + +3 y− x x x x y y2 + + + = ⇔ y− x x x ⇔ y− x ⇔y = y+ 2x + =0 +3 =0 4x2 x  x = −1 ⇒ y = −1 − = ⇔ 2x3 + 3x2 − = ⇔  x3 x x= ⇒y=2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x; y) = (−1; −1) , ;2 Thay vào (2) ta : Giải hệ phương trình:  x4 − y = 240 x3 − 2y = (x2 − 4y ) − (x − 8y) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Nhân phương trình thứ hai với -8 cộng với phương trình thứ ta x4 − 8x3 + 24x2 − 32x + 16 = y − 16y + 96y − 256y + 256 ⇔ (x − 2)4 = (y − 4)4 ⇔ x−2=y−4 ⇔ x−2=4−y x=y−2 x=6−y - Với x = y − 2, thay vào phương trình đầu ta được: − 8y + 24y − 32y + 16 = 240 ⇔ y − 3y + 4y + 28 = ⇔ (y + 2) y − 5y + 14 = ⇔ y = −2 ⇒ x = −4 http://boxmath.vn/ - Với x = − y, thay vào phương trình đầu ta được: − 24y + 216y − 864y + 1296 = 240 ⇔ y − 9y + 36y − 44 = ⇔ (y − 2) y − 7y + 22 = ⇔y=2⇒x=4 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y) = (−4; −2) , (4; 2) Giải hệ phương trình:  x3 − 8x = y + 2y (1) x2 − = (y + 1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Thế (2) vào (1) ta có: x3 − y = x2 − 3y (4x + y) ⇔x3 + x2 y − 12xy = ⇔x x2 + xy − 12y = ⇔x = ∨ x = 3y ∨ x = −4y - Với x = 0, thay vào (2) ta có: y = −2 (vơ nghiệm) - Với x = 3y, thay vào (2) ta có: y = ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±3 6 - Với x = −4y, thay vào (2) ta có: y = ⇒y=± ⇒x= 13 13 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y) = (3; 1) , (−3; −1) , −4 ; 13 13 , 13 ;− 13 13 Giải hệ phương trình:  x3 + y − xy = 4x4 + y = 4x + y (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Thay (1) vào (2), ta có: 4x4 + y = (4x + y) x3 + y − xy ⇔ xy 3y − 4xy + x2 =  x=0⇒y=1  y = ⇒ x =  ⇔   3y − 4xy + x2 = ⇔ x = y x = 3y Thay vào (1), ta có: x = y = Thay vào (1), ta có: x = √ , y = √ 3 25 25 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y) = (0; 1) , (1; 0) , (1; 1) , http://boxmath.vn/ √ ;√ 3 25 25 Giải hệ phương trình:    3−  √ 2y = y + 42x √   3+ x=2  y + 42x (I) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Điều kiện: x > 0, y >  √   √ − √2 =   x y y + 42x √ (I) ⇔    √ + √2 = (2)  y x (1) Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta được: 15 − = x y y + 42x ⇔ (y − 2x) (y + 42x) = 15xy ⇔y − 84x2 + 25xy = ⇔ (y − 3x) (y + 28x) = ⇔y = 3x ( y + 28x > 0) √ √ 5+2 5+2 Từ vào (2) ta được: x = ;y = 27 √ √ 5+2 5+2 ; Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y) = 27 Giải hệ phương trình:  xy + x + y = x2 − 2y x√2y − y √x − = 2x − 2y (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ (1) ⇔ x2 − xy − 2y − (x + y) = ⇔ (x + y) (x − 2y) − (x + y) = ⇔ (x + y) (x − 2y − 1) = ⇔ x − 2y − = ( x + y > 0) ⇔ x = 2y + Thế vào (2) ta được: y 2y + ⇔ (y + 1) 2y = 2y + 2y − = ⇔ 2y − = ( y ≥ ⇒ y + > 0) ⇔2y = ⇔y = ⇒ x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y) = (5; 2) http://boxmath.vn/ Giải hệ phương trình:  2x3 + 3x2 y = y + 6xy = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: 8x3 + 12x2 y + 6xy + y = 27 ⇔ (2x + y)3 = 27 ⇔ 2x + y = ⇔ y = − 2x Thay vào (2) ta được: 2y − 9y + =  y=1⇒x=1  √ √   y = + 105 ⇒ x = − 105 ⇔  √ √  − 105 + 105 y= ⇒x= Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y) = (1; 1) , 5+ √ √ 105 − 105 ; , 5− √ √ 105 + 105 ; 10 Giải hệ phương trình:  9x2 − 4y = log (3x + 2y) − log (3x − 2y) = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải:  3x + 2y > Điều kiện: 3x − 2y > http://boxmath.vn/ Thay y = x vào phương trình thứ hai ta được: √ x 2x2 + 5x + = 4x2 − 5x − √ ⇔2x2 + 5x + + x 2x2 + 5x + − 6x2 = √ 2x2 + 5x + = −3x (vô nghiệm) ⇔ √ 2x + 5x + = 2x  x = − (loại) ⇒ − 2x + 5x + = ⇔  x=3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (3; 3) 22 Giải hệ phương trình:   + 2x2 y − x4 y + x4 (1 − 2x2 ) = y (1) 1 + + (x − y)2 = x3 (x3 − x + 2y ) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Viết lại hệ phương trình: − (x2 y − 1)2 = 2x6 − x4 + y + + (x − y)2 = x3 (x3 − x + 2y ) Lấy phương trình (2) trừ (1) ta được: − (x2 y − 1)2 − − + (x − y)2 = (x3 − y )2 ≥ ⇒ − (x2 y − 1)2 ≥ + + (x − y)2 (3) Ta có − (x2 y − 1)2 ≤ ≤ + + (x − y)2 Do đẳng thức (3) xảy ⇔ x = y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 1) 23 Giải hệ phương trình:  (x − 1)√y + (y − 1)√x = √2xy √ x√2y − + y √2x − = 2xy **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Điều kiện: x, y ≥ Phương trình thứ hai tương đương với: √ √ x−1 y−1 + =1 x y √ √ x−1 y−1 Ta thấy , ≤ nên đẳng thức xảy ⇔ x = y = x y Thay vào phương trình thứ ta thấy thoả mãn Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nhất: (x; y) = (2; 2) 24 Giải hệ phương trình:  x2 + 2x − = 6x − y − 11 + √ −y − 4y − 10 − 4x − 2x2 = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: http://boxmath.vn/ 135 Từ phương trình thứ hai, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: y − 6x + 11 = √ 10 − 4x − 2x2 = 4(10 − 4x − 2x2 ) + 10 − 4x − 2x2 ≤ 4 Thu gọn ta có: 2x2 − 20x + 4y + 30 ≤ ⇒ x2 − 10x + 2y + 15 ≤ (1) Tiếp tục cho phương trình thứ hai ta có: x2 + 2x − = −y − 4y − = 1(−y − 4y − 2) −y − 4y − ≤ 2 Thu gọn ta có: 2x2 + 4x + y + 4y − ≤ (2) Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta có: 3x2 − 6x + y + 6y + 12 ≤ ⇔ 3(x − 1)2 + (y + 3)2 ≤ Nghiệm bất phương trình  là: x − = y + = ⇔  x = y = −3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; −3) 25 Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất: √  x2 + 2007 + |y + 1| =a √ |x| y + 2y + 2007 = 2007 − x2 − a **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: + Điều kiện cần: Cộng vế với vế hai phương trình ta được: √ √ x2 + 2007 + |y + 1| + |x| y + 2y + 2007 = 2007 − x2 Nhận xét: √ V T ≥ 2007 √ V P ≤ 2007 Suy ra: x = y = −1 √ Thay ngược lại vào hai phương trình ban đầu, suy a = 2007 + Điều kiện đủ: √ Với a = 2007 Thế vào hệ, để ý: x2 ≥ 0; |y + 1| ≥ suy ra: √ √ √ 2007 = x2 + 2007 + |y + 1| ≥= 2007 Dấu "=" xảy x = 0; y = −1 √ Vậy a = 2007 giá trị cần tìm 26 Giải hệ phương trình:  x + y − √xy = (1) √ √  x + + y + = (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: http://boxmath.vn/ 136 Điều kiện: x, y > Từ phương trình (1) ta suy ra: √ √ √ + xy = x + y ≥ xy ⇒ xy ≤ (∗) Tiếp tục từ phương trình (2) bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: √ √ √ √ 4= x+1+ y+1≤ 1+1 x+y+2 √ ⇒ x + y ≥ ⇔ xy = x + y − ≥ (∗∗) Từ (*) (**) suy ra:  x + y = √ xy = ⇒ ⇔x=y=3 xy = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x = y = 27 Giải hệ phương trình:  x + y + z = x4 + y + z = xyz **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: áp dụng liên tiếp lần bất đẳng thức quen thuộc: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với a, b, c Ta được: x4 + y + z ≥ x2 y + y z + z x2 ≥ xy z + xyz + x2 yz = xyz(x + y + z) = xyz Dấu "=" xảy ta x = y = z Kết hợp với x + y + z = ta suy nghiệm hệ phương trình cho là: x = y = z = 28 Giải hệ phương trình:  x + y + xy = z 22003 + 2z 22002    2004 x4 + y = 2z    (x + y)z−1 = (z + 2004)x−y (1) (2) (3) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Từ phương trình (2) ta có: 2004 2z 2003 = x4 + y ≥ 2x2 y ⇒ xy ≤ z (∗) Ta lại có: (x + y)2 ≤ x2 + y ⇒(x + y)4 ≤ x2 + y 2002 ⇒x + y ≤ 2z 2 2004 ≤ 4.2 x4 + y = 16z (∗∗) Từ (*) (**) cho ta: 2003 x + y + xy ≤ z 2002 + 2z 2002 Dấu = xảy khi: x = y = z Hệ phương trình tương đương với x=y=z 22002 (2x)z−1 = (z + 2004)x−y http://boxmath.vn/   ⇔ x=y=z=1 x = y = ;z = ± √ 22002 137 Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y; z) = (1; 1; 1) , 1 ; ;± 2 √ 22002 29 Giải hệ phương trình:  x2 + y = −y (x + z)    x2 + x + y = −2yz    3x + 8y + 8xy + 8yz = 2x + 4z + **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải:   x (x + y) + y (y + z) = (1)   (I) (I) ⇔ x (x + 1) + y (2z + 1) = (2)    4(x + y)2 + 4(y + z)2 = (x + 1)2 + (2z + 1)2 (3) − − − Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: → = (x, y) ; → = (x + y, y + z) ; → = (x + 1, 2z + 1) u v w Khi đó:   − − − −  →.→ =  →.→ = (4) u v u v   − − − − (I) ⇔ →.→ = ⇔ →.→ = (5) u w u w    →2  →  4|− | = |→|2 (6)  |− | = |→| (6) − − v w w v Ta xét trường hợp sau: → − − TH1: Nếu → = ⇒ x = y = (và lúc (4) , (5) thỏa mãn) Thay x = y = vào (6), u tức thay vào (3) ta có: 4z + = ⇔ z = − Do hệ có nghiệm: 0; 0; − → − → − − − − TH2: Nếu → = Từ (6) ta suy →, → = , chúng vectơ không u w v → − − a) Nếu → = → = w − v   x + =   x = −1        2z + = ⇔ ⇔ z=−  x + y =        z = x = −y y + z = Trường hợp vô nghiệm → − − − − − b) Nếu →, → = Khi (4) , (5) suy →, → vectơ phương (vì chúng w v w v →) Kết hợp với (6) suy ra: → = 2→ ∨ → = −2→ − − − − − vng góc với u w v w v → = 2→ − − Nếu w v  x = x + = 2x + 2y ⇔ ⇔ y = 2z + = 2y + 2z Thay x = 0, y = vào (1), ta có: z = − 2 Trường hợp hệ có nghiệm: 0; ; − 2 − − Nếu → = −2→ w v ⇔ http://boxmath.vn/   y = −1 − 3x  x + = −2x − 2y ⇔ 3x  2z + = −2y − 2z z = 138 Thay vào (1), ta có: 8x2 = 2(1 + 3x)2 = 7x + 21x2 ⇔ 5x2 + 5x + = Trường hợp vô nghiệm 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x; y; z) = 0; 0; − , 0; ; − 2 30 Giải hệ phương trình:   + + = (1) x y z  − 12 = (2) xy z **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: (1) ⇒ 1 + + x y z =4 1 ⇒ + + = − x y z xy z 1 2 2 ⇔ 2+ 2+ 2+ + + = − x y z xy yz zx xy z 2 1 ⇔ + + + + + =0 2 x xz z y yz z 2 1 1 + =0 + + x z y z 1  = −1  x z ⇔ 1 ⇔ x = y = −z  =−  y z ⇔ Thế vào hệ ta có nghiệm: x = , y = , z = − 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y; z) = 1 ; ; −2 2 31 Giải hệ phương trình:  2009x + 2010y = (x − y)2    2010y + 2011z = (y − z)2    2011z + 2009x = (z − x)2 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Đặt: a = 2009 >   ax + (a + 1) y = (x − y)2 (1)   (I) ⇔ (a + 1) y + (a + 2) z = (y − z)2 (2) (I)    (a + 2) z + az = (z − x)2 (3) 2 Ta có: ax = (x−y) +(z−x) −(y−z) = (x − y) (x − z) Tương tự: (a + 1) y = (y − x) (y − z) ; (a + 2) z = (z − x) (z − y) Từ suy ra: ax (a + 1) y (a + 2) z = −[(x − y) (y − z) (z − x)]2 ≤ Từ (I) ta thấy tổng cặp ax, (a + 1) y, (a + 2) z không âm, ta chứng minh ba giá trị không âm http://boxmath.vn/ 139 Thật vậy, giả sử ax < ⇔ x < Từ (1) (3), suy ra: (a + 1) y > 0; (a + 2) z > ⇔ y, z > hay x − y < 0; x − z < ⇒ ax = (x − y) (x − z) > ( mâu thuẫn) Do đó: ax ≥ Tương tự, ta có: (a + 1) y ≥ 0; (a + 2) z ≥ Nhưng tích ba số lại khơng âm nên ta phải có: ax = (a + 1) y = (a + 2) z = ⇔ x = y = z=0 Thử lại thấy thỏa Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x; y; z) = (0; 0; 0) 32 Giải hệ phương trình:  √ 3 3x1   √   3 3x √ 3 3x3    √   3x4 = cos (πx2 ) = cos (πx3 ) = cos (πx4 ) = cos (πx1 ) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Giả sử x1 = max (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) Vậy nên dẫn đến có điều kiện sau: < x1 ; x2 ; x3 ; x4 < π Do y = cosx nghịch biến 0; nên từ phương trình hệ ta kết sau: x2 = (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) x3 = max (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) x4 = (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) Thế nên hệ phương trình cho trở thành hệ:  √ 3 3x = cos (πx ) √ 3 3x2 = cos (πx1 ) Ta suy phân tích: √ π (x1 − x2 ) π (x1 + x2 ) 3 (x1 − x2 ) = sin sin 2 Hay là: √ 3 (x1 − x2 ) π (x1 − x2 ) π (x1 − x2 ) ≤ sin ≤ (1) 2 √ √ Mà giả thiết x1 ≥ x2 3 > π nên (1) xảy x1 = x2 hay 3π = cos (πx1 ) √ Vậy nên ta có phân tích sau: ⇔ 3π − cos (πx1 ) = (2) Vế trái (2) hàm đồng biến nên phương trình (2) có nhiều nghiệm Dễ thấy x1 = nghiệm phương trình (2) Tóm lại hệ phương trình cho có nghiệm x1 = x2 = x3 = x4 + 33 Giải hệ phương trình:  x + y + z =   1 1 + +z =3 x y    x, y, z > http://boxmath.vn/ 140 **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Ta có:  x + y + z =   1 + +1 =3 x y z    x, y, z > (I) 1 Nhân theo vế phương trình hệ ta được: (x + y + z)( + + z ) = 9(∗) x y Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức C-S ta có:V T(∗) ≥ (1 + + 1)2 = = V P(∗) Dấu "=" xảy x=y=z=1 Vậy hệ cho có nghiệm (1;1;1) 34 Giải hệ phương trình:  x3 + 3x2 + 2x − = y    y + 3y + 2y − = z    z + 3z + 2z − = x **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Cộng theo vế phương trình cho ta được: x3 + y + z + 3(x2 + y + z ) + x + y + z = 15(∗) Dễ thấy x=y=z=1 nghiệm Viết lại hệ cho dạng:  (x − 1)[(x + 2)2 + 2] = y −    (y − 1)[(y + 2)2 + 2] = z −    (z − 1)[(z + 2)2 + 2] = x − +Nếu x > ⇒ y > ⇒ z > Khi đó: VT(*)>15=VP suy hệ phương trình vơ nghiệm +Nếu x < ⇒ y < ⇒ z < Khi VT(*) Theo bất đẳng thức AM − GM x+y √ √ ta có : xy ≤ ⇒ = x + xy − y ≤ x + 3(x + y) − y = 4x + 2y ⇒ 2x + y ≥ Ta chứng minh: (x3 + y ) x+ − (x2 + y ) ≥ 2x + y ≥ x + xy + y ⇔ Ta có: x + y ≤ (x3 + y ) ≥ x2 + xy + y 2 (x2 + y ) + x + y ( ) 2(x2 + y ) Để chứng minh ( ) ta chứng minh bất đẳng thức mạnh là: (x3 + y ) ≥2 x2 + xy + y http://boxmath.vn/ 2(x2 + y ) (1) 142 x2 + y Mặt khác ta có: xy ≤ nên (1) chứng minh ta được: 6(x3 + y ) ≥ 2(x2 + y ) x2 + y x2 + y + ⇔ 2(x3 + y ) ≥ (x2 + y ) 2(x2 + y ) ⇔ x6 + y + 4x3 y − 3x2 y (x2 + y ) ≥ (2) x Vì y > chia hai vế cho y đặt t = > bất đẳng thức (2) trở thành y t6 − 3t4 + 4t3 − 3t2 + ≥ Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên do: t6 − 3t4 + 4t3 − 3t2 + = (t − 1)2 (t4 + 2t3 + 2t + 1) Như ta có: (x3 + y ) x+ − (x2 + y ) ≥ x + xy + y  x, y >    Kết hợp tất vấn đề vừa ta thấy có số x, y thỏa mãn điều kiện 2x + y =    x = y ⇔ x = y = nghiệm hệ phương trình Sử dụng phép lượng giác Giải hệ phương trình:  x + − y2 = √ √ y + − x = **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải:  −1 ≤ x ≤ Điều kiện: −1 ≤ y ≤ Đặt:  x = sin a ; a ∈ − π ; π 2 y = cos b ; b ∈ [0; π] Hệ cho trở thành:  sin a + sin b = √ cos a + cos b = Từ hệ ta thấy cos    a−b a+b cos =1 2 ⇔ 2 cos a + b cos a − b = √3  2 sin a−b = nên ta có: a+b π π tan = √ = tan ⇔ a + b = 3 Từ ta có: http://boxmath.vn/ 143 sin a + sin   x = sin π =  π √ Với a = ta có:  π  y = cos = π π π − a = ⇔ sin cos a − 6 π ⇔ cos a − =1 π ⇔a− =0 π ⇔a= Đối chiếu điều kiện thỏa nên hệ có nghiệm (x; y) = =1 √ ; 2 Giải hệ phương trình:  x2 + y = √ √  (x − y) (1 + 4xy) = (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Từ phương trình (1) gợi cho ta đặt ẩn phụ đưa lượng giác  x = sin α Đặt: (α ∈ [0; 2π]) y = cos α Khi phương trình (2) viết lại dạng: (sin α − cos α) (1 + sin 2α) = √ √ ⇔ sin α − cos α + sin 2α sin α − sin 2α cos α = 2√ ⇔ sin α − cos α + cos α − cos 3α − sin 3α − sin α = √ ⇔ sin 3α + cos 3α = − √2 π 5π ⇔ cos 3α + =− = cos  7π k2π α= +  36 ⇔ (k ∈ Z) 13π k2π α=− + 36 7π 31π 55π 11π 35π 59π Vì α ∈ [0; 2π] suy ra: α ∈ ; ; ; ; ; 36 36 36 36 36 36 7π 31π 55π 11π 35π 59π Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (sin α; cos α) với α ∈ ; ; ; ; ; 36 36 36 36 36 36 Giải hệ phương trình:  z + 2xyz =    3x2 y + 3xy = + x3 y    z + zy + 4y = 4y + 6y z (1) (2) (3) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: http://boxmath.vn/ 144 Vì z = khơng nghiệm hệ phương trình nên: (1) ⇔ xy = − z2 2z π π \ {0} Đặt z = tan ϕ (∗) với ϕ ∈ − , 2 Ta có: − z2 − tan2 ϕ xy = = = cot 2ϕ 2z tan ϕ Thay vào (2) ta : 3cot2 2ϕ + 3y cot 2ϕ = + ycot3 2ϕ ⇔ y = 3cot2 2ϕ − 1 = = tan 6ϕ cot 2ϕ − cot 2ϕ cot 6ϕ Ta suy ra: x = cot 2ϕ cot 6ϕ Thay vào (3) ta : z= tan 6ϕ − 4tan3 6ϕ = tan 24ϕ(∗∗) − 6tan2 6ϕ + tan4 6ϕ Từ (∗)và (∗∗) ta có: tan 24ϕ = tan ϕ ⇔ 24ϕ = ϕ + kπ, k ∈ Z kπ , k∈Z ⇔ϕ= 23 π π Với ϕ ∈ − , \ {0} ta thu được: 2 ϕ=± 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π 10π 11π π ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± ,± 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x; y; z) = (cot 2ϕ cot 6ϕ; tan 6ϕ; tan ϕ) π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π 10π 11π với ϕ = ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± ,± 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 Giải hệ phương trình:  2z (x + y) + = x2 − y (1)    y + z = + 2xy + 2zx − 2yz (2)    y (3x2 − 1) = −2x (x2 + 1) (3) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Vì x = ± √3 Lời giải: khơng thỏa phương trình (3) nên: (3) ⇔ y = −2x (x2 + 1) 3x3 − x − 2x (x2 + 1) x3 − 3x ⇔x+y = ⇔x+y = 3x2 − 3x2 − 3x − Đặt: x = tan ϕ, ϕ ∈ − π ; π \ − π ; π ⇒ cos ϕ = 0, cos 3ϕ = 2 6 Ta có: tan3 ϕ − tan ϕ tan ϕ + y = ⇔ y = tan 3ϕ − tan ϕ 3tan2 ϕ − http://boxmath.vn/ 145 (1) ⇔ z = x2 −y −1 2(x+y) (do x = −y khơng thỏa phương trình (1) ⇒ tan 3ϕ = 0) (2 tan ϕ − tan 3ϕ) tan 3ϕ − tan ϕ tan 3ϕ − tan2 3ϕ − = tan 3ϕ tan 3ϕ tan 3ϕ + cot 3ϕ sin 3ϕ cos 3ϕ ⇔ z = tan ϕ − = tan ϕ − + 2 cos 3ϕ sin 3ϕ ⇔ z = tan ϕ − sin 6ϕ ⇔z= (2) ⇔ x2 + y + z − 2xy − 2zx + 2yz = + x2 ⇔ (y + z − x)2 = + x2 ⇔ tan 3ϕ − tan ϕ + tan ϕ − − tan ϕ sin 6ϕ ⇔ sin 3ϕ − − tan ϕ cos 3ϕ sin 3ϕ cos 3ϕ ⇔ 2sin2 3ϕ − − tan ϕ sin 3ϕ cos 3ϕ ⇔ cos 6ϕ + tan ϕ sin 6ϕ ⇔ cos 6ϕ cos ϕ + sin 6ϕ sin ϕ sin 6ϕ cos ϕ ⇔ cos 5ϕ sin 6ϕ cos ϕ = = = = = + tan2 ϕ cos2 ϕ cos2 ϕ cos2 ϕ = cos2 ϕ cos2 ϕ ⇔ cos 5ϕ = ± sin 6ϕ π − 6ϕ ⇔ cos 5ϕ = ± cos  π cos 5ϕ = cos − 6ϕ  ⇔ π cos 5ϕ = cos + 6ϕ π − 6ϕ + k2π  ⇔ π 5ϕ = ± + 6ϕ + k2π  π k2π π ϕ= + , ϕ = − k2π  22 11 ⇔ (k ∈ Z) π k2π π ϕ=− + , ϕ = − − k2π 22 11 π π π π π 3π 5π 7π Với: ϕ ∈ − ; \ − ; ⇒ ϕ = ± 22 ; ± 22 ; ± 22 ; ± 22 ; ± 9π 22 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: π (x; y; z) = tan ϕ; tan 3ϕ − tan ϕ; tan ϕ − sin16ϕ , ϕ = ± 22 ; ± 3π ; ± 5π ; ± 7π ; ± 9π 22 22 22 22  5ϕ = ± Giải hệ phương trình:  3 x + = y + x xy + yz + zx = 1 y =5 z+ z (1) (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** http://boxmath.vn/ 146 Lời giải: ĐK: xyz = Nếu (x, y, z) nghiệm hệ (−x, −y, −z) nghiệm hệ từ (1) suy x, y, z dấu nên ta cần xét x, y, z dương đủ  x = tan α   ∀x, y, z ∈ R\ {0} Đặt: y = tan β , α; β; γ ∈ 0; π    z = tan γ (I) ⇔    tan α + tan α = tan α + tan β = tan γ + tan γ (3)   tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = (4) (3) ⇔ tan2 α + tan2 β + tan2 γ + =4 =5 tan α tan β tan γ = = (5) ⇔ sin 2α sin β sin γ (4) ⇔ tan α (tan β + tan γ) = − tan β tan γ − tan β tan γ = cot (β + γ) tan β + tan γ π ⇔ α + β + γ = (6) Từ (5) và(6), suy 2α, 2β, 2γ góc tam giác vng, có cạnh 3, 4, Do đó: 2γ = π ⇔ γ = π ⇔ tan γ = = z Từ ta có:   tan β = y =    tan α = x = ⇔ tan α = 1 ; ;1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y; z) = , − ; − ; −1 Giải hệ phương trình:   xy + yz + zx = 20 x +  x (1) = 11 y + y = 2007 z + z (2) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Điều kiện: xyz = Nếu (x; y; z) nghiệm hệ (−x; −y; −z) nghiệm hệ từ (1) suy x, y, z dấu nên ta cần xét  y, z dương x, x = tan α    π Với x, y, z ∈ R khác 0, đặt: y = tan β với < α, β, γ <    z = tan γ Từ hệ (1) (2) trở thành:  tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α =  20 tan α +  http://boxmath.vn/ tan α = 11 tan β + tan β (3) = 2007 tan γ + tan γ (4) 147 Ta có: • (3) ⇔ tan α (tan β + tan γ) = − tan α tan γ − tan β tan γ = cot (β + γ) ⇔ tan α = tan β + tan γ π ⇔α+β+γ = ⇒ 2α, 2β, 2γ góc tam giác tan2 β + tan2 γ + tan2 α + = 11 = 2007 tan α tan β tan γ 20 11 2007 ⇔ = = sin 2α sin 2β sin 2γ áp dụng định lý sin ta tính ba cạnh tam giác có góc 2α, 2β, 2γ là:  a = 20    b = 11    c = 2007 • (4) ⇔ 20 Dễ thấy a, b, c không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác tam giác khơng tồn Do hệ cho vơ nghiêm Giải hệ phương trình:  x2 y + 2√3xy − y =    z (yz − 2) + y =    z x + z + x = (1) (2) (3) **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Từ (2) ta có: yz − 2z + y = ⇔ y (z + 1) = 2z ⇔ y = 2z +1 z2 Từ (3) ta có: − z2 x (z + 1) = − z ⇔ x = + z2  x = cos a a Đặt: z = tan ; a ∈ (−π; π) ⇒ y = sin a Thế vào phương trình (1) ta được: √ cos2 a + sin a cos a = sin2 a + √ ⇔ cos 2a + sin 2x = √ ⇔ cos 2x + sin 2a = 2 π π ⇔ cos 2a − = = cos 3 π a = + kπ ⇔ a = kπ π 4π Vì: a ∈ (−π; π) suy ra: a ∈ 0; ; 3 Từ ta có: - Với a = suy ra: x = 1; y = 0; z = http://boxmath.vn/ 148 √ √ π ; z= - Với a = suy ra: x = ; y = 2 √ √ 4π suy ra: x = − ; y = − ; z=− - Với a = 2 √ √ ;− Vậy hệ cho có nghiệm (x; y; z) = (1; 0; 0); − ; − 2 √ √ 3 ; ; 2 Giải hệ phương trình:  x = y +    y2 = z +    z = x + **** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn **** Lời giải: Dẽ thấy x, y, x ≥ −2 Giả sử: x = M ax(x; y; z) +Nếu x > ⇒ y > ⇒ z > Do x=Max(x;y;z) suy x>y nên z = x + > y + = x2 ⇒ z > x(V L) +Nếu x ≤ suy x, y, z ≤ Đặt:x = cos a; y = cos b; z = cos c (a; b; c ∈ [0; π]) Thay vào cho dễ có:   b = 2a     b = 2π − 2a       cos b = cos 2a  c = 2b  ⇔ cos c = cos 2b  c = 2π − 2b     cos a = cos 2c   a = 2c      a = 2π − 2c Đây hệ bản, giải với ý a, b, c ∈ [0; π] ta thu nghiệm hệ phương trình cho hốn vị vịng quanh số sau: (a; b; c) = (0; 0; 0) ; 4π ; 8π ; 2π ; 2π ; 2π ; 2π ; 2π ; 4π ; 6π 9 3 7 http://boxmath.vn/ 149 ... sinh Có thể nói tuyển tập hệ phương trình BoxMath tập hợp nhiều tốn hay kỉ thuật thường dùng giải hệ phương trình Nội dung tuyển tập hệ phương trình BoxMath chia theo phương pháp giải toán sau:... = 12  y 31 12 Suy x, nghiệm phương trình t2 − t + = y 31 31 12 Phương trình có ∆t = − < nên vơ nghiệm 31 31 Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm 29 Giải hệ phương trình:  x2 (1 − 2y) = y (4x... − 33 x=  −1 −1 ⇒y= Suy hệ phương trình có nghiệm ; 7 −16 −16 Với x = −2 ⇒ y = Suy hệ phương trình có nghiệm −2; 7 √ √ −9 + 33 −9 + 33 Với x = → y = Suy hệ phương trình có nghiệm ;3 4 √ √ −9