Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình

• Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp hàm số.. Vấn ñề quan trọng nhất khi sử dung phương pháp hàm số là chúng ta phải nhận ra ñược hàm số ñơn ñiệu và nhẩm ñược nghiệm của phương trình..

I – ƯNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÀM SỐ VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

1 Nếu hàm số y= f x ñơn ñiệu trên tập D thì phương trình ( ) f x( )=k nếu có nghiệm

0

=

x x thì ñó là nghiệm duy nhất của phương trình

2 Nếu hàm số y= f x ñơn ñiệu trên tập D và ( ) u x v x là các hàm số nhận các giá trị ( ) ( ),thuộc D thì f u x( ( ) )= f v x( ( ) )⇔u x( ) ( )=v x

• Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp hàm số

Vấn ñề quan trọng nhất khi sử dung phương pháp hàm số là chúng ta phải nhận ra ñược hàm số ñơn ñiệu và nhẩm ñược nghiệm của phương trình

1) ðể phát hiện ñược tính ñơn ñiệu của hàm số chúng ta cần nắm vững các tính chất: i) Nếu y= f x ñồng biến (nghịch biến) thì: ( )

+

x (nb) Từ cách nhìn nhận ñó có thể giúp

chúng ta ñịnh hướng ñược phương pháp giải là sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số

2) Việc nhẩm nghiệm cũng là một vấn ñề rất quan trong trong phương pháp này, khi nhẩm nghiệm ta thường ưu tiên chọn x mà biểu thức trong dấu căn là lũy thừa mũ n (nếu căn bậc n), hoặc nếu phương trình logarit thì ta chọn x mà biểu thức trong dấu loga là aαnếu pt có logarit cơ số a…

với mọi

3

1

;5

Ví dụ 5 : Giải các phương trình sau:

a)

2

2 2

Nhận xét : Khi gặp phương trình f x( ) ( )=g x trong ñó , f gcó một hàm ñồng biến và một hàm nghịch biến thì cách giải thường dùng là nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm ñó là duy nhất, tuy nhiên trong bài toán của ta ( ) 2 ( )

4xnên có nhiều nhất là 2 nghiệm suy ra PT f x( )=0có nhiều nhất 3 nghiệm, mà ta thấy

Dễ thấy f ( )− =x f x( ),∀ ∈x ℝdo ñó f x là hàm số chẵn, vì vậy chỉ cần giải trên [0;( ) +∞)

Ta có f '( )x = −x sin , ''x f ( )x = −1 cosx≥0, x [0;∀ ∈ +∞)suy ra f '( )x ñồng biến trên

[0;+∞)nên f '( )x ≥ f ' 0( )= ∀ ≥0, x 0do ñó f x ñồng biến trên [0;( ) +∞) Mà f( )0 =1Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của pt trên [0;+∞)và ñó cũng chính là nghiệm duy nhất của

1 1

2 3

2

+ +

1 1

vì vậy ( ) ( )2 2

1

Tóm lại PT có nghiệm duy nhất x=1

II- ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ðỂ TÌM ðIỀU KIỆN CỦA

THAM SỐ SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

1 Nếu hàm số y= f x liên tục trên ñoạn [ ; ]( ) a b và f a f b( ) ( )<0thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( )a b ;

2 Phương trình f x( )=m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số

( )

=

y f x

Và số nghiệm của PT là số giao ñiểm của ñồ thị hàm số y= f x và ñường thẳng ( ) y=m

Ví dụ 1 Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm thực nghiệm:

PT(1) có nghiệm khi và chỉ khi PT(2) có nghiệm 0≤ <t 1và ñiều này tương ñương với m

thuộc tập giá trị của hàm số ( ) 2

Mà u x v x cùng dương trên (0;2) và cùng âm trên (2;6) nên ta có bảng biến thiên : ( ) ( ),

Suy ra các giá trị cần tìm của m là : 4

nên ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra PT có ñúng hai nghiêm khi m>2

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể phương trình sau có nghiệm thực

Như chúng ta ñã biết nếu hàm số y= f x có tập giá trị là khoảng( ) (m M với ; ) x∈D thì

ii) Lựa chọn hàm số nào ñể xét cũng là khâu quyết ñịnh trong phương pháp hàm số , chẳng hạn khi giải bài toán :

f x x x x Các bạn thử suy nghĩ xem, căn cứ vào

ñiều gì mà ta chọn ñược hàm số ñó mà không phải là hàm ( ) 2, (0;1)

x

Ví dụ 6 Cho , ,A B Clà ba góc của một tam giác nhọn

Chứng minh rằng : tanA+tanB+tanC+6 sin( A+sinB+sinC)≥12 3(1)

Ta giải bài toán :

Xét: f x( )=tanx+6sinx−7x với (0; )

Theo VD4 : 2sin t anx 3 , [0; )

Chẳng hạn ở VD trên nếu chúng ta ñạo hàm ñến f '''( )x thì chỉ còn lại hàm lượng giác còn

3

x bị triệt tiêu và vấn ñề còn lại tương ñối dễ dàng, xin dành cho bạn ñọc tự kiểm tra

2) Bài toán trên có thể giải theo các cách khác

tương ñương với x2 <9, mà ñiều này lại hiển nhiên)

Bây giờ chỉ cần chứng minh

π

t t

Vậy f x giảm trên (0;1) nên ( ) f x( )< f ( )0 = ∀ ∈2, x ( )0;1

Chú ý: Ta có thể giải bài toán bằng cách sử dung BðT AM-GM

+ ++ +

x b

x a

suy ra f x( )≤max[0;1] f x( )=max{f ( ) ( )0 ; f 1}≤ ∀ ∈1, x [ ]0;1

+ Nếu f'( )x =0 có nghiêm x=x0khi ñó f'( )x ñồng biến trên [0;1] nên

Nhận xét : BðT (1) ñược gọi là bất ñẳng thức Bernouli, nó thường ñược sử dụng ñể chứng

minh các bất ñẳng thức có lũy thừa với số mũ hữu tỉ hoặc vô tỉ

3 3

21

Lập bảng biến thiên ta được 5 ( ) ( )

Chú ý: Bài tốn trên cĩ thể giải theo cách khác

Trước khi áp dụng BðT cauchy hoặc BðT CBS để giải bài tốn trên ta dư đốn điểm rơi

Lập bảng biến thiên ta ñược: ( ) ( ) 3

Ví dụ 19 Cho bốn số nguyên , , ,a b c d thay ñổi thỏa mãn 1≤ < < < ≤a b c d 50

= +

b

b u

b dùng phương pháp so sánh liên

tiếp

Ta có : u b+1≤u b ⇔ ≤b 6⇒u2 ≥ ≥ ≥ ≥u3 u6 u7≤ ≤ ≤u8 u băng cách tính trực tiếp 48

6, 7, 8

u u u ta thu ñược ñiều cần chứng minh

Ví dụ 20: Cho hai số thực x y thay ñổi và thỏa mãn hệ thức , x2 +y2 =1

2) Giả thiết xuất hiện x2 + y2 =1làm ta liên tưởng hệ thức tương tự là: sin2ϕ+cos2ϕ=1

Vì vậy ñặt : x=sin ,ϕ y=cos , ϕ ϕ∈[0;2 )π khi ñó

Từ các trường hợp trên, ta suy ra: − −1 2 7 ≤ ≤ − +b 1 2 7

Ví dụ 23 Cho các số dương , ,a b cvới a+ + ≤b c 1

Từ ñó lập bảng biến thiên ta suy ra ñược f t( )≥ f ( )− =2 0.

Ví dụ 26 Cho , ,a b clà ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3

Chứng minh : ( 2 2 2)

3 a +b +c +4abc≥13 (1) (ðH vinh-2001)

( ) ( )1 26 ( ) 13

2

Chú ý : Bài tốn tổng quát là :

1) Cho , ,a b c là ba cạnh của một tam giác cĩ chu vi bằng 2 p

* Vì hệ số của a b3, 3bằng 1 cịn hệ số của c bằng 16 nên 3 f a b c tăng nhanh nhất khi ( ; ; )

ctăng , vì vậy ta dự đốn f a b c( ; ; )=16 khi a= =b 0;c=1

Ví dụ 28 Cho các số thực dương , ,a b cthỏa mãn ( )3

Lập bảng biến thiên ta ñược ñpcm

Ví dụ 31 Cho các số thực không âm a b c thỏa mãn , , a+ + =b c 1

Từ (2) và (3) suy ra bài toán ñược giải quyết

Ví dụ 32 Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn 21 ab+2bc+8ca≤12

x

Ta thấy f '( )x tăng khi x>0 và f ' 3( )=0Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: ( ) 15

32

x y z f ðẳng thức xảy ra khi

13

x y z thay vào (1) ta ñược ñpcm

Ví dụ 32 Cho các số thực không âm , ,a b c thỏa mãn a+ + =b c 1

a b c nên trước tiên

ta dự đốn dấu bằng xảy ra khi cĩ một biến tại biên ( vì ta đang xét ba biến phân biệt nên chỉ cĩ một)

Mà ta đang xét a> >c b nên giá trị biên là b=0vì a=1thì 0 0 3

Ta có: ( ) ( ) ( )

2 1

2

2 2

1

6 0 ( )6

1

66

Nếu x2∉[0;1] thì hàm số tăng trên [0 ;1]⇒ f x( )≤ f ( )1

Trong hai trường hợp trên ta ñều có f x( )≤ f ( )0 và f x( )≤ f ( )1

Ví du 35 Cho các số thực , , , ,m n p a b>0 sao cho :

1,

3 Chứng minh với tam giác ABC nhọn ta có:

a) tanA+tanB+tanC+sinA+sinB+sinC>2π

sin sin sin

11 Cho a2+b2 +c2 =9.Tìm GTLN của: P=2(a+ + −b c) abc

12 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:

a) cos cos cos 1 13