Phương pháp đồ thị và sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp đồ thị và sử dụng tính đơn điệu của hàm số Bài viết trước đã nói về phương pháp mũ hóa và lôgarit hóa.. Trong bài viết này, chúng ta nói về phương pháp đồ thị và phương pháp

Phương pháp đồ thị và sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Bài viết trước đã nói về phương pháp mũ hóa và lôgarit hóa Trong bài viết này, chúng ta nói về phương pháp đồ thị và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải PT mũ và lôgarit

Phương pháp đồ thị

PP: Vẽ đồ thị của các hàm số trong phương trình cần giải trên cùng một

hệ trục tọa độ Sau đó tìm giao điểm của chúng và biện luận, kết luận nghiệm của phương trình là hoành độ của các giao điểm đó

Ví dụ 1

Giải phương trình \

Lời giải Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ Ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất

có hoành độ Thử lại ta thấy giá trị này thoả mãn phương trình đã

cho Mặt khác, là hàm số nghịch biến, là hàm số đồng biến nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là

Nhận xét Việc vẽ đồ thị thực chất là để áng khoảng và dự đoán nghiệm (nếu có) của phương trình Sau khi dự đoán được nghiệm, ta thử trực tiếp vào phương trình, nếu thỏa mãn thì kết luận ngay (như lời giải trên) – khi đó nhờ đồ thị ta biết rằng phương trình có nghiệm duy nhất

Bài tập tương tự

Giải các phương trình sau bằng đồ thị

Hướng dẫn Giải tương tự ví dụ trên

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số lôgarit

PP: Sử dụng các tính chất cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit, đó

là

1) Hàm số luỹ thừa đồng biến trên nếu , nghịch biến trên nếu

2) Hàm số lôgarit đồng biến trên

nếu , nghịch biến trên nếu

3) Các hàm số mũ và hàm số luỹ thừa đều liên tục trên tập xác định của chúng

Ví dụ 2

Giải các phương trình

Lời giải a) Chia cả hai vế của phương trình cho , ta có

Do đó đồng biến trên Mặt khác Do đó là nghiệm duy nhất của phương trình

b) Phương trình tương đương với

Với thì phương trình trên đúng, do đó là nghiệm của

phương trình

Phương trình đã cho vô nghiệm

Phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3

Giải các phương trình

Lời giải a) Điều kiện

Ta có đồng biến trên và nghịch biến trên Hơn nữa , đo đó là nghiệm duy nhất của phương trình

b) Tương tự ĐS

Bài tập tương tự

Bài 1

Giải các phương trình sau

ĐS a) ; b) ; c) ; d)

Bài 2

Giải phương trình

Hướng dẫn Dễ thấy là nghiệm của phương trình Nếu thì

Tương tự khi Vậy là nghiệm duy nhất

Bài 3

Giải phương trình

Hướng dẫn Biến đổi phương trình về dạng

Nhận thấy là nghiệm Nếu thì , và

Suy ra , phương trình vô nghiệm Tương tự khi

ĐS