04 phương pháp đồ thị

Sáng kiến kinh nghiệm - Ph-ơng Pháp đồ thị A ph-ơng pháp I) Biện luận ph-ơng trình đồ thị: 1) Cho ph-ơng trình: F(x, m) = (1), m tham số Biến đổi ph-ơng trình (1) dạng f(x) = g(m) (2) Trong hệ trục Oxy, vẽ đ-ờng (C): y = f(x) đ-ờng thẳng : y = g(m) Số hoành độ giao điểm (C) số nghiệm ph-ơng trình (1) 2) Chú ý: a) Đ-ờng thẳng có ba dạng sau: : y = g(m) đ-ờng thẳng // trục Ox : y = kx + m đ-ờng thẳng có hệ số góc k : y = m(x - x0) + y0 đ-ờng thẳng quay quanh điểm cố định A(x0; y0) b) Nếu F(x; m) = có nghiệm x thoả mãn điều kiện x Ta vẽ đ-ờng (C): y = f(x) với x [; ] Biện luận theo m chọn nghiệm thuộc đoạn [; ] c) Nếu phải đặt ẩn phụ, ta biện luận để tìm ẩn số phụ, sau biện luận để tìm m II) Đồ thị hàm số có chứa giá trị tuyệt đối 1) Dạng tổng quát: Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối A A Dựa vào định nghĩa: A để bỏ giá trị tuyệt đối A A Viết hàm số dạng đ-ợc cho nhiều công thức Khảo sát hàm số ứng với công thức Lập bảng biến thiên chung vẽ đồ thị hàm số 2) Các điều cần nhớ: Các phép biến đổi phần phép đối xứng qua trục toạ độ Cơ sở nhận xét sau đây: Hai điểm (x; y) (x; -y) đối xứng qua trục hoành Hai điểm (x; y) (-x; y) đối xứng qua trục tung Hai điểm (x; y) (-x; -y) đối xứng qua gốc toạ độ O Đồ thị hàm số y = f(x) đồ thị hàm số y = -f(x) đối xứng qua trục hoành 3) Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối th-ờng gặp: Trang:1 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph-ơng Pháp đồ thị a) Dạng đồ thị (C1) hàm số: y = f x f x f x Ta có: y = f x = - f x f x Vẽ đồ thị (C): y = f(x) Đồ thị (C1) gồm phần: Các phần đồ thị (C) nằm phía trục hoành (f(x) 0) Phần đối xứng đồ thị (C) nằm phía d-ới trục hoành qua Ox b) Dạng đồ thị (C2) hàm số: y = f x x f x Ta có y = f x = f - x x Vẽ đồ thị (C): y = f(x) Đồ thị (C2) gồm phần: Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0) Phần đối xứng phần đồ thị trục Oy c) Dạng đồ thị (C3) hàm số: y f x f x Ta có: y f x y f x (Do y f x đ-ợc coi hàm đa trị y theo x) Vẽ đồ thị (C) hàm y = f(x) Đồ thị (C3) gồm hai phần: Phần đồ thị (C) nằm phía trục hoành Phần đối xứng phần đồ thị qua trục Ox f x d) Dạng đồ thị hàm số: y = g x f x f x f x g x Ta có: y = = g x - f x f x g x f x Vẽ đồ thị (C) hàm số: y = g x Đồ thị (C4) gồm hai phần: Phần đồ thị (C) ứng với f(x) Phần đồ thị (C) ứng với f(x) < qua trục hoành f x e) Dạng đồ thị (C5) hàm số: y = g x Các b-ớc làm t-ơng tự nh- phần d) Chú ý: g(x) Trang:2 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph-ơng Pháp đồ thị f) Dạng đồ thị (C6) đồ thị hàm số: y = f x g x nế u f x f x g x Ta có: y = f x g x = nế u f x - f x gx đồ thị (C6) gồm hai phần: Phần đồ thị hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) Phần đồ thị hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < Mở rộng: Vẽ đồ thị hàm số: y = f1 x f x f k x g x Ta vẽ đồ thị khoảng mà biểu thức dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu g) Dạng đồ thị (C7) hàm số: y = f x Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x) Sau vẽ đồ thị (C2) hàm số: y = f( x ) Tiếp thực cách vẽ đồ thị (C 1) hàm số: y = f x Tóm lại ta thực dần b-ớc nh- sau: y = f(x) y = f( x ) y = f x B tập mẫu: ài số 1: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x - 2x2 - b) Với giá trị m ph-ơng trình: x x = log m có nghiệm phân biệt? Giải: TXĐ: D = R Hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trụ c đối xứng Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y' = 4x - 4x x y y' = 4x(x2 - 1) = x y Bảng xét dấu y': x - -1 + y' + 0 + Hàm số đồng biến khoảng: (- ; -1) (0; 1) Hàm số nghịch biến khoảng: (-1; 0); (1; + ) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x CĐ = y CĐ = -2 Hàm số đạt cực tiểu x CT = y CĐ = -1 Giới hạn: Trang:3 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph-ơng Pháp đồ thị lim x Đồ thị hàm số tiệm cận Tính lồi lõm điểm uốn: 14 y" = 12x - = x = y=9 x - - y" + Đồ thị hsố lõm Bảng biến thiên: x - -1 y' + + y + 3 3 lồi + lõm 3 0 CĐ + - + - + + U1 - Vẽ đồ thị: CT 14 U2 - 14 CT Giao với trục Ox: y = x4 - 2x2 - = x = Giao với trục Oy: x = y = -1 Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Các điểm khác: (2; 7) 14 (1; -2) ; b) Ph-ơng trình: x x log m có nghiệm phân biệt đồ thị hàm số: y = x x cắt đ-ờng thẳng y = log 2m điểm phân biệt Trang:4 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph-ơng Pháp đồ thị Vẽ đồ thị (C1) hàm số: y = x x f x f x Ta có: y = f x - f x f x Vậy đồ thị (C1) gồm hai phần: Phần đồ thị (C) ứng với f(x) có nghĩa phân đồ thị nằm phía trục Ox Phần đồ thị đối xứng (C) nằm phía d-ới trục hoành Vẽ đ-ờng thẳng D: y = log 2m; D // Ox cắt trục Oy điểm có tung độ log 2m Nhìn vào đồ thị: ta có kết quả: đ-ờng thẳng D cắt đồ thị (C 1) điểm < log 2m < < m < KL: Vậy ph-ơng trình: x x log m có nghiệm phân biệt 2 -2 Phần đồ thị đối xứng đồ thị (C) ứng với x < -2 qua trục Ox Đ-ờng thẳng y = 2m đ-ờng thẳng song song trục Ox cắt trục Oy điểm có tung độ 2m Vậy nhìn vào đồ thị ta có kết quả: Nếu 2m < m < ph-ơng trình (*) vô nghiệm Nếu m = ph-ơng trình (*) có nghiệm kép Nếu m ph-ơng trình (*) có nghiệm đơn Nếu m = ph-ơng trình (*) có nghiệm kép nghiệm đơn Nếu m > ph-ơng trình (*) có nghiệm phân biệt Bài số ĐHY D-ợc TPHCM - 93 Cho (Cm) đồ thị hàm số: y = x mx m x Trang:11 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph-ơng Pháp đồ thị Vẽ đồ thị (C-1) ứng với m = -1 Từ suy đồ thị (C) hàm số: x x y= x Giải: 2x x Với m = -1 ta đ-ợc y = 2x x x TXĐ: D = R\{-1} Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y' = 21 x 12 x 12 x y' = x Bảng xét dấu y': x y' - -2 + -1 - - 0 + + Hàm số đồng biến khoảng (- ; -2); (0; + ) Hàm số nghịch biến khoảng (-2; -1); (-1; 0) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x CĐ = -2 y CĐ = -9 Hàm số đạt cực tiểu x CT = y CT = -1 Giới hạn: lim y x = -1 ph-ơng trình đ-ờng tiệm cận đứng x1 lim y x lim = y = 2x + ph-ơng trình đ-ờng x x x tiệm cận xiên Bảng biến thiên: x - y' + -2 -9 -1 - + 0 CĐ - - -1 CT Vẽ đồ thị: Trang:12 + + + Sáng kiến kinh nghiệm - Ph-ơng Pháp đồ thị Giao với trục Ox: (1; 0) ;0 Giao với trục Oy: (0; -1) đồ thị nhận giao điểm I(-1; -5) hai đ-ờng tiệm cận làm tâm đối xứng x x f x x x 12 x N ếu x x x x Ta có: y = x 1 x x N ếu x x Vậy đồ thị (C) hàm số gồm phần: Phần đồ thị (C-1) ứng với x Phần đối xứng đồ thị (C-1) ứng với x < qua trục hoành Vẽ đồ thị (C) hàm số: y = Bài số 6: ĐH Mở HN - 99 Trang:13 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph-ơng Pháp đồ thị x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Vẽ đồ thị (C*) hàm số y = x x c) Tìm tất giá trị m để ph-ơng trình sau có nghiệm phân biệt: =m x x Giải: TXĐ: D = R\{1} x 2x Sự biến thiên: y' = x 12 x Chiều biến thiên: y' = x2 - = x Bảng xét dấu y': x - + y' + 0 + Hàm số đồng biến khoảng (- ; 0); (2; + ) Hàm số nghịch biến khoảng (0; 1); (1; 2) Cực trị: Hàm số đạt cực đại xCĐ = y CĐ = Hàm số đạt cực tiểu x CT = y CT = Giới hạn: lim y x = ph-ơng trình đ-ờng tiệm cận đứng Cho hàm số: y = x + + x1 lim y x lim = y = x + ph-ơng trình đ-ờng x x x tiệm cận xiên Bảng biến thiên: x - y' + 0 - + + + + CĐ y - - CT Vẽ đồ thị: Giao với trục Ox Oy: (0; 0) Đồ thị qua điểm khác: Trang:14 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph-ơng Pháp đồ thị ; ; 2 1; ; (2; 4) Nhận xét: đồ thị nhận giao điểm I(1; 2) hai đ-ờng tiệm cận làm tâm đối xứng Giao với trục Ox Oy: (0; 0) b) Vẽ (C*): y = x x (*) x Vậy đồ thị phần (C) t-ơng ứng với x -1 Với x < -1 (*) có dạng: y = -x -1 + x TXĐ: D = (- ; -1) Sự biến thiên: y 2' = -1 ph-ơng trình (*) vô nghiệm Nếu - m = m = ph-ơng trình (*) có nghiệm kép Nếu < - m < -1 < m < ph-ơng trình (*) có nghiệm phân biệt Nếu - m = m = -1 ph-ơng trình (*) có nghiệm kép nghiệm đơn Nếu - m > m < -1 ph-ơng trình (*) có nghiệm đơn c tập tự giải: Bài1: ĐH kỹ thuật công nghệ năm 1997 x 3x Cho hàm số: y = x2 Trang:18 Sáng kiến kinh nghiệm - Ph-ơng Pháp đồ thị a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Từ suy đồ x 3x thị (C1) hàm số: y = (Vẽ hình riêng) x2 b) Biện luận theo m số nghiệm ph-ơng trình: x 3x = 2m x2 đồ thị Bài2: ĐHSP Vinh - Khối A,B - 2001 x2 x Cho hàm số: y = x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm ph-ơng trình: x - (1 + m) x - m - =0 Bài3: Cho hàm số: y = -x4 + 3x2 - a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Suy đồ thị hàm số: y x 3x c) Biện luận số nghiệm ph-ơng trình: -x4 + 3x2 - + m = Bài4: x2 Cho hàm số: y = x2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Dùng đồ thị biện luận ph-ơng trình: x log2 5m x Bài5: x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm x (-4; 3) ph-ơng trình: x3 = 2m + x Bài6: Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 - (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Từ suy đồ thị: y = x x Cho hàm số: y = x c) Biện luận theo m số nghiệm ph-ơng trình: x x = -m +1 Trang:19