Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
1
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀMSỐ ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TR
ÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Đối với các phươngtrình, bất phươngtrình ngoài các dạng quen thuộc, đôi khi
còn gặp dạng phức tạp mà để giải nó đòi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Dựa
trên cơ sở tính đơn điệ
u của hàmsố ta có thể tìm được nghiệm phươngtrình, bất
phương tr
ình.
Định lí 1: Nếu hàmsố y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên
D thì s
ố nghiệm của phươngtrình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y)
khi và ch
ỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sửphươngtrình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k. Do f(x) đồng biến nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên
phương trình f(x) = k vô nghiệm
* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phươngtrình f(x) = k vô nghiệm
Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giảiphươngtrình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương
đưa phương tr
ình về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và ta
ch
ứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)
Nếu là pt: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giảiphươngtrình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phươngtrình có
duy nh
ất nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàmsố y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàmsố
y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên
D c
ủa phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) = g(a).Ta giả sử f(x)
đồng biến còn g(x) nghịch biến.
*Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phươngtrình f(x) = g(x) vô
nghi
ệm khi x > a.
*N
ếu x < a suy ra f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phươngtrình f(x) = g(x) vô
nghi
ệm khi x < a.
V
ậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp phươngtrình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong
đó f
(x) và g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phươngtrình và
ch
ứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3: Nếu hàmsố y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên
D thì f(x) > f(y) n
ếu x > y (hoặc x < y )
Áp dụng các kết quả trên ta có thể giải các phươngtrình, bất phươngtrình
Sau đây là một số ví dụ:
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
2
Ví dụ 1:Giải các phươngtrình sau:
1.
3 7 2 4
x x x
.
2.
3
3
5 1 2 1 4
x x x
3.
3 2 3 2
3 3
2 1 2 1 2
x x x x
.
4.
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
.
Lời giải:
1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ
sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút ta sẽ thấy ngay VT là một hàm
đồng biến và x =1 là một nghiệm của phươngtrình nên theo định lí 1 ta có được x=1
là nghiệm duy nhất.
Vậy ta có cách giải như sau.
TXĐ
:
7 57
|
2
D x R x
Xét hàmsố
( ) 3 7 2
f x x x x
, ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
7
1
1
2 7 2
'( ) 0,
2 3
2 7 2
x
f x x D
x
x x
nên hàmsố f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1) = 4
*N
ếu x > 1 suy ra f(x) > f(1) = 4 nên phươngtrình vô nghiệm
*Nếu x < 1 suy ra f(x) < f(1) = 4 nên phươngtrình vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phươngtrình đã cho.
Chú ý:* Vì các hàmsố y = ax + b với a > 0 là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm
đồng biến thì hàm
( )
n
f x
( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến
nên ta dẽ dàng nhận ra VT của phươngtrình là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức
dưới dấu căn nhậ
n giá trị là số chính phương.
2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ
gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của phươngtrình là
m
ột hàm đồng biến và phươngtrình có nghiệm x=1. Do đó phươngtrình này có
nghi
ệm duy nhất x=1 (Cách giải tương tự như bài 1).
3) V
ới đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy
nhiên n
ếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối
liên h
ệ là x+2=(x+1)+1 và 2x
2
+1=(2x
2
)+1, do vậy nếu đặt
3 2
3
1, 2
u x v x
thì
phương trình đã cho trở thành:
3 3 3 3
1 1 ( ) ( )
u u v v f u f v
trong đó
3 3
( ) 1
f t t t
là một hàm liên tục và có
2
3 2
3
'( ) 1 0
( 1)
t
f t
t
nên f(t) luôn
đồng biến. Do đó
2
1
( ) ( ) 2 1 1,
2
f u f v u v x x x x
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
3
Vậy, phươngtrình có nghiệm x = 1, x =
1
2
.
4) Nh
ận xét các biểu thức tham gia trong phươngtrình ta thấy
( 2x
2
+4x +5) – (x
2
+ x +3 ) = x
2
+3x +2
Do v
ậy, nếu đặt u = x
2
+ x +3 , v = 2x
2
+ 4x + 5 (u,v > 0) thì v- u = x
2
+ 3x + 2,
khi đó phươngtrình trở thành:
3 3 3
log log log ( ) ( )
u
v u u u v v f u f v
v
trong đó
3
( ) log
f t t t
,với t > 0.
Ta th
ấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy
2
( ) ( ) 3 2 0 1, 2
f u f v u v x x x x
.
Ví dụ 2: Giải các phươngtrình sau:
1.3
x
+ 4
x
= 5
x
(1)
2.
( 3 2) ( 3 2) ( 5)
x x x
(2)
3. 9
x
+ 2(x-2)3
x
+ 2x – 5 = 0. (3)
Lời giải:
1) Với phươngtrình trên rất khó để ta sửdụng các phương pháp giảiphươngtrình mũ
để giải.
Tuy nhiên với phươngtrình (1) ta dễ dàng đoán được một nghiệm của phương
trình là x =2. Ta ch
ứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất cúa phương trình.
Th
ật vậy, phươngtrình (1)
4 3
1
5 5
x x
Vì hàmsố mũ với cơ số dương và nhỏ hơn 1 là hàm nghịch biến nên
4 3
( )
5 5
x x
f x
là hàmsố nghịch biến, còn vế phải là hàm hằng.
Do đó nghiệm x = 2 là nghiệm duy nhất.
2) Tuy nhiên, với pt (2) thì không dễ để ta đoán được nghiệm của pt (2) vì nó vô
nghi
ệm.
Ở đây ta để ý rằng
3 2 5
và
0 3 2 1
Do vậy, khi x > 0 ta có
3 2 5
3 2 0
x x
x
do đó pt không có nghiệm khi x>0
Khi x < 0 ta có
3 2 5
3 2 0
x x
x
do đó pt không có nghiệm khi x < 0
Với x = 0, rõ ràng không thỏa mãn.
V
ậy pt (2) vô nghiệm.
Từ hai phươngtrình trên ta có thể tổng quát:
Cho phương tr
ình a
x
+ b
x
= c
x
(*), với a,b,c đều dương
Khi đó: Nếu a
< b < c hoặc a > b > c thì pt (*) có nghiệm duy nhất
Nếu a < c < b thì pt (*) vô nghiệm
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
4
3) Đặt 3
x
= t > 0, phươngtrình trở thành: t
2
+ 2(x - 2)t + 2x – 5 = 0
5 2
1
t x
t
,
lo¹i
Với t = 5 – 2x ta có 3
x
= 5 – 2x
Nh
ận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình.
V
ế trái là hàmsố đồng biến còn vế phải là hàm nghịch biến.
Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: x
5
– x
2
-2x -1 = 0 luôn có nghiệm duy nhất.
Lời giải:
Để chứng minh phươngtrình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành
theo cách sau:
* Ch
ứng minh phươngtrình f(x) = 0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này
ta c
ần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0
* Ti
ếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm s
ố f(x) = x
5
– x
2
-2x -1
Ta có f(x) là hàm liên t
ục trên R và f(0).f(2) < 0, dẫn đến pt f(x) = 0 luôn có nghiệm
Giả sử
0
x
là nghiệm của phươngtrình f(x)=0, khi đó
5 2 2
0 0 0 0
2 1 ( 1)
x x x x
Từ đây ta suy ra được
5 2
0 0 0
0 ( 1) 1
x x x
.
Do v
ậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x
1
Ta có f’(x) = 5x
4
- 2x - 2 = 2x(x
3
-1)+ 2(x
2
– 1) + x
4
> 0 nên f(x) là hàm đồng biến.
Vậy phươngtrình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:
*
Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là
hàm đồng biến,do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ
vào bản thân của phương trình.
*
Để chứng minh phươngtrình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có
cách khác đó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta
suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.
Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng
toán về phươngtrình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó
hi vong các em có thêm những kĩ năng giảiphươngtrình và nhận dạng được những
dạng phươngtrình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến.
Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình.
Ví dụ 4 : Giải các bất phươngtrình sau:
1)
5
3 3 2 2 6
2 1
x x
x
2)
2 2
2 3 6 11 3 1
x x x x x x
3)
3 2
2 3 6 16 2 3 4
x x x x
4)
7 3
log log (2 )
x x
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
5
Lời giải:
1) ĐK:.
1 3
2 2
x
Xét hàmsố
5
( ) 3 3 2 2
2 1
f x x x
x
Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1) = 6.
Do đó
( ) 6 (1) 1
f x f x
.
K
ết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bpt là: T = [1;
3
2
].
2) ĐK :
1 3
x
Bất phươngtrình tương đương:
2 2
2 3 1 6 11 3
x x x x x x
2 2
( 1) 2 1 (3 ) 2 3
x x x x
Xét hàmsố
( ) 2
f x x x
Dễ dàng chứng tỏ được hàmsố đồng biến trên [1;3].
Khi đó bất phươngtrình đã cho tương đương với f(x - 1) > f(3 - x)
x – 1 > 3 – x
x > 2
V
ậy nghiệm của bất phươngtrình là:
2 3
x
.
3)
ĐK:
2 4
x
.
Xét hàm s
ố
3 2
( ) 2 3 6 16 4
f x x x x x
Ta có
2
3 2
3( 1) 1
'( ) 0
2 4
2 3 6 16
x x
f x
x
x x x
, do đó f(x) là hàm đồng biến.
M
ặt khác: f(1) =2
3
Do vậy bpt f(x) < 2
3
= f(1)
x < 1.
K
ết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là
2 1
x
.
4)
ĐK: x > 0
Đặt
7
log 7
t
x t x
Bất phươngtrình đã cho trở thành t
3
log (2 7 )
t
3 2 7
t t
1 7
1 2 ( )
3 3
t
t
f t
Do f(t) là hàm nghịch biến trên R , f(2) = 1.
Nên b
ất phươngtrình f(t) < f(2)
t >2 hay
7
log 2
x
x > 49.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phươngtrình sau:
1)
5 7 16 14
x x x x
2)
3
2 3 1 3 2
2
x x
x
3)
2
4 1 4 1 1
x x
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
6
4)
2 2
3 2 1
x x x x
5)
2 2
1 1 1 1
x x x x x x
6) 8
x
+ 18
x
= 2.27
x
7)
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
8)
25 2(3 )5 2 7 0
x x
x x
9)lg (x
2
– x – 6) +x = lg (x +2) + 4
10)
3
2 7
log (1 ) log
x x
Bài 2: Giải các bất phươngtrình sau
1)
9 2 4 5
x x
2)
2
7 2 7 35 2
x x x x x
3)
4 2 4
3 2 13
x x
4)
2
3 3 2
0
4 2
x
x
x
5)
2 3
log 1 log 9 1
x x
. Trường THPT Số 1 Bố Trạch
1
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TR
ÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Đối với các phương trình, bất phương trình ngoài. 5 = 0. (3)
Lời giải:
1) Với phương trình trên rất khó để ta sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ
để giải.
Tuy nhiên với phương trình (1) ta dễ