Bài tập có đáp án chi tiết chương hàm số nhiều biến

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 1 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 (Lưu ý: Tài liệu này chưa được thẩm định nên vẫn còn có những phần chưa chính xác hoàn toàn) Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 1.1 Tìm miền xác định của các hàm số: a. 2 2 2 1 z a x y   Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 2 2 2 2 2 2 0a x y x y a       KL: Vậy miền xác định của hàm số là:   2 2 2 ( , ):D M x y x y a   b. 2 arcsin x z y     Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 2 2 22 2 2 22 2 2 10 11 1 0 x x y yx yy x yx x y x y y x y y                                   Với  0 ( ; ] ;x x x         còn Với 2 0x y x   (luôn đúng) KL: Vậy miền xác định của hàm số là:     ( , ): 0: ; ;D M x y x x x         c. ln x z y     Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 00 x x y x y y          KL: Vậy miền xác định của hàm số là:   ( , ): 0D M x y x y   d. u x y z   Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 0x y z    KL: Vậy miền xác định của hàm số là:   ( , , ): 0D M x y z x y z    1.2 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần. 1. ( , ) . x f x y xy y  Tính '' (2,1) (2,1) xy ff Hướng dẫn: Ta có: ' 2 '' 1 11 ( , ) (2,1) 2 222 xx x xy y y y y f x y f x x x xy xy y xy y y y               Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 2 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com ' 2 2 '' 2 ( , ) (2,1) 0 222 yy x x xy x y xy x y f x y f x x x xy xy y xy y y y               2. 22 . xy ze   Tính: '' , xy zy Hướng dẫn: Ta có:     2 2 2 2 2 2 ' ' ' 2 2 . 2 . x y x y x y x z e x y e xe        Chú ý CT: (e u )’ = u’.e u     2 2 2 2 2 2 ' ' ' 2 2 . 2 . x y x y x y y z e x y e ye        3. ( , ) ( 1)arcsin . x f x y x x y    Tính: ' (1,1) x f Hướng dẫn: Ta có:   '' ' 1 ( 1)arcsin 1 arcsin arcsin . 1 1 arcsin x x x x x x f x x x y y y y yx                             ( Như chúng ta đã biết 22 dx ax  là arcsin x C a  . Khi đó ta coi x ở CT trên chính là x ,a ở CT trên chính là y . Do đó ' 1 arcsin x y yx       ) Vậy ' 2 (1,1) 1 22 x f      4. 33 3 ( , ) .f x y x y Tính: '' (0,0), (0,0) xy ff Hướng dẫn: Ta có:             ' 1 2 2 ' ' ' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 ' 3 3 3 3 1 ( , ) . . . 0,0 0 3 xx f x y x y x y x y x y x x y f                            ' 1 2 2 ' ' ' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 ' 3 3 3 3 1 ( , ) . . . 0,0 0 3 yy f x y x y x y x y x y y x y f                5. Cho lnz y x .Tìm '' '' '' ,, xx xy yy z z z . Hướng dẫn: Ta có: '' '' ( ln ) '.ln (ln )'. ( ln ) '.ln (ln )'. ln x y y z y x y x x y x z y x y x x y x         Vậy:       ' '' ' 2 ' '' ' ' '' ' 1 0 xx x x xy x y yy y y y zz x zz x zz      6. Cho lntan . y z x     Tìm: '' xy z Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 3 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com Hướng dẫn: Ta có: '' ' 2 ' 22 2 tan 2 ln tan 22 tan cos .tan sin .sin x yy y yy xx x z y y y y y x x x x x x x                           Vậy:     '' ' ' 2 2 2 2 ' '' ' 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 .sin .sin .2 2 .sin sin . .2 2 2 2 2 .sin .sin .sin 2 4 2 2.sin .cos . 2 .sin xy x y y y y y y x x y x x y y x x x x zz y y y x x x x x x yy y x x x y x x                             7. Cho 1 ln 2 u z v  với 22 tan , cot .u x v x .Tìm ' x z . Hướng dẫn: Với 22 tan , cot .u x v x thì 2 24 2 4 2 24 2 sin 1 tan 1 1 sin 1 cos ln ln ln lntan cos 2 cot 2 2 cos 2 sin x xx x zx x xx x     . Khi đó:     3 ' ' 4 3 3 25 1 4sin tan 4. tan '.tan 4. .tan . cos cos x x z x x x x xx     8. a)   22 lnz x x y   Hướng dẫn: Ta có:       22 ' 22 2 2 2 2 22 ' 22 22 2 2 2 2 1 1 ln , ln x y x xy z z x x y x x y x y x xy x z z x x y x x y x x y x y                               Vậy   22 2 2 2 2 dx xdy dz xy x x y x y      . b)   cos sin x z e y x y Hướng dẫn: Ta có:     ' ' cos sin cos sin sin xx x z e y x y e y x y y        Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 4 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com     ' ' cos sin cos sin xx y z e y x y e x y y       Vậy:     cos sin sin cos sin x dz e y x y y dx x y y dy        . c) 2 . yz ux Hướng dẫn: Ta có:       2 2 2 2 22 '' ' 2 1 ' ' '2 , .2 .ln . .ln y z y z y z y z xy y z y z z u x y zx u x x yz x u x x y x       Vậy 2 2 2 ' ' ' 2 1 2 . 2 .ln . .ln y z y z y z x y z du u dx u dy u dz y zx d x x yz xdy x y xdz        . 9. 10. Cho 2 2 xy z xy    với y = 3x + 1. Tìm dz dx . Hướng dẫn: Từ đề bài ta có: 2 2 31 31 xx z xx    Ta có: '' ( ; ) ( ; ) xy dz z x y dx z x y dy Khi đó: ' ( ; ) x dz z x y dx  . Vậy:   ' ' 22 ' 2 22 2 3 1 6 2 6 20 9 ( ; ) 1 3 1 3 1 31 x x x x x x dz z x y x x x x dx xx                       11. Cho   22 ln .z y x y   Tính: 2 (0,1)dz . Hướng dẫn: Ta có: 2 '' 2 '' '' 2 (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) xx xy yy dz z dx z dxdy z dy          ' 22 22 ' ' 2 2 22 2 2 2 2 2 ln x xy xy x z y x y y x y x y y x y                    ' 22 2 2 2 2 ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 1 ln y xy y x y x y z y x y y x y y x y x y                  Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 5 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com                              ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . xx x x x y y x y x x y y x y x zz x y y x y x y y x y x y x y x y y x y x x y y x y x y x y x x y xy x y y x y x y x y y x y                                                                          ' ' 2 2 2 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . xy x y x x y y x y x zz x y y x y x y y x y y y x y x y x y xy xy y x y xy x y x x y x y y x y x y x y y x y                                                        ' 22 ' '' ' 2 2 2 2 22 ' 12 yy y y xy y zz x y x y xy               '' '' '' (0,1) 1 (0,1) 0 (0,1) 1 xx xy yy z z z      Vậy: 2 2 2 (0,1)dz dx dy 12. Cho (2 ).ln x z x y y     . Tính 2 (1,1)dz . Hướng dẫn: Ta có: 2 '' 2 '' '' 2 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) xx xy yy dz z dx z dxdy z dy    '' ' 2 (2 )ln 2.ln ln (2 ) 2.ln x x x x x x y z x y x y y y y y x                    '' ' 2 (2 )ln ln ln (2 ) ln y x x x x x y z x y x y y y y y y                      ' ' '' ' 2 22 2.ln xx x x x x y y zz y x x x             ' ' '' ' 2 2 1 2.ln xy x y x x y zz y x y x           Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 6 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com    ' ' '' ' 2 2 1 2 ln yy y y x x y x zz y y y y            '' '' '' (1,1) 1 (1,1) 1 (1,1) 1 xx xy yy z z z      Vậy: 2 2 2 (1,1)dz dx dxdy dy   13. 14. Cho   22 lnz y x y .Tính     2 2 2,1 ; 2,1 . x dz x   Hướng dẫn: Ta có:             '' ' 2 2 2 2 22 2 '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ln ln . 2 ln ln ln . ln x y xy z y x y x y y xy y z y x y x y x y y x y xy                                   ' 23 '' 2 2 2 22 2 2 xx xy x y y z xy xy               Vậy:       '' 2,1 2,1 2,1 2 2 2 xy dz z dx z dy dx dy    . Tính:   2 2 2,1 . x x             2 ' 2 2 2 22 2 '' 2 3 2 3 2 22 2 2. x xx xy z x y x xy xz x y y xy x y y xy           Vậy:   2 2 2,1 6 x x    . 15. Chứng tỏ rằng hàm số   22 lnz y x y thỏa mãn phương trình: 2 11z z z x x y y y    Hướng dẫn: Ta có:             '' ' 2 2 2 2 22 2 '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ln ln . 2 ln ln ln . ln x y z xy z y x y x y y x x y zy z y x y x y x y y x y y x y                                     Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 7 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com Như vậy ta có:         2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 . ln ln ln ln . 22 z z xy y VT x y x x y y x x y y x y x y x y x y y y y z VP x y y x y y y y                           đpcm. 16. 17. 18. 19. Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí. 20. 21. 22. 23. Xem lại cách giải của phần trên (Phần 1.2, ý 11) 24. Cho ( , ) cos sin .f x y x y Tìm     2 0,0 ; 0,0 .df df Hướng dẫn: Ta có:     ' ' ' ' cos sin sin .sin cos sin cos cos . x y f x y x y f x y x y     Nên:     ' ' 0,0 0 0,0 1 x y f f   Vậy   0,0df dy . Lại có:       2 '' 2 '' '' 2 0,0 0,0 2 0,0 (0,0) xx xy yy df f dx f dxdy f dy               '' '' '' ' '' ' ' ' '' ' sin .sin cos sin ; sin .sin sin cos cos cos cos sin . xx x xy x xy yy y y f f x y x y f f x y x y f f x y x y               Suy ra :       '' '' '' 0,0 0; 0,0 0; 0,0 0 xx xy yy f f f   . Vậy:   2 0,0 0df  25. Cho 3 2 3 ( , ) .f x y x xy y   Tính 2 ( , ); ( , ).df x y df x y Hướng dẫn: Ta có: '' ( , ) . xy df x y f dx f dy Tính:         '' ' 3 2 3 2 2 ' 3 2 3 2 ' ' 2 2 2 3 ; 2 3 ( , ) 3 2 3 xy xy f x xy y x y f x xy y xy y df x y f dx f dy x y dx xy y dy                           2 '' 2 '' '' 2 , , 2 , ( , ) xx xy yy df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy   Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 8 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com             ' ' ' ' '' ' 2 2 '' ' 2 2 '' '' ' 2 3 6 ; 3 2 2 3 2 6 xx x xy x xy yy y y f f x y x f f x y y f f xy y x y                 Vậy:     2 2 2 , 6 2 6 2df x y x dx y dxdy y x dy    . 1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp. 1. Cho z là hàm số của x và y xác định bởi 2 2 3 3 ,,x u v y u v z u v      . Tính: '' , xy zz Hướng dẫn: Ta có:      3 33 3.z u v u v uv u v      Vậy:     2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 1 3 2 2 2 2 2 x u v x u v y x uv y u v uv z x x y x x x xy x xy                         Nên ta có: ' '3 ' '3 1 3 3 3 2 2 2 2 1 3 3 2 2 2 x y z x xy x y z x xy x                 2. Cho hàm hợp   1z xy y (1) với 22 ,.x u v y u v    Tính 2 dz . Hướng dẫn: Ta có: 2 '' 2 '' '' 2 xx xy yy dz z dx z dxdy z dy   . 2 (1) y xy Nên:      '' ' 2 2 ' 2 ; 1 2 xy z y xy y z y xy xy                        ' ' ' ' '' ' 2 '' ' 2 ' ' '' ' 2 2 0; 2 2 ; 1 2 2 2 . xx x xy x xy yy y y z z y z z y y u v z z xy x u v               Vậy     2 2 2 2 22dz u v dxdy u v dy    . 3. 4. 1.4. Đạo hàm, vi phân của hàm ẩn (Không có trong chương trình học) 1.5 Tìm cực trị của các hàm số: 1. 33 3z x y xy   . Hướng dẫn:  MXĐ: 2 D  Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 9 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com  Ta có: ' 23 x z x y , '2 33 y z y x             ' '' ' ' '' ' '' '' ' 2 2 3 ' 2 2 3 ' 3 3 3 6 xx x x xy x y yy y y z z x y z z x y z z y x y               Ta xét hệ phương trình: ' 2 22 ' 2 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 3 3 0 0 x y z x y x y yy y x y x z yx                            2 0 0 9 3 4 2 3 2 xy y x y y yx                                Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng:   12 93 0;0 , ; . 42 MM     Xét điểm   1 0;0M .       '' '' '' 1 1 1 2, 3, 0. xx xy yy A z M B z M C z M        Ta thấy: AC – B 2 = – 9 < 0. Vậy hàm số đã cho không đạt cực trị tại   1 0;0M .  Xét điểm 2 93 ;. 42 M          '' '' '' 2 2 2 2, 3, 9. xx xy yy A z M B z M C z M        Ta thấy: AC – B 2 = 9 > 0 và A = 2 > 0. Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại 2 93 ;. 42 M    2. 22 ( , ) 1f x y x y   . Hướng dẫn:  MXĐ:     22 , : 0D M x y x y    Ta có:     '' ' 2 2 2 2 22 1 x x z x y x y xy              '' ' 2 2 2 2 22 1 y y z x y x y xy              ' 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 xx x x xy zz x y x y x y             Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 10 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com           ' 22 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 ' 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 xy x y yy y y xy x y x zz x y x y x y yx zz x y x y x y                          Ta xét hệ phương trình: ' 2 2 2 2 2 2 2 ' 22 22 0 0 0 0 0 0 x y x z x y x x y xy x yy y x y z y x y xy                                        . Vậy hàm số đã cho có điểm dừng   1 0;0M . '' '' '' 1 1 1 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 xx xy yy A z M B z M C z M       Ta thấy AC – B 2 = =. Vậy không có KL gì cho hàm số. 3. 10 20 ( , ) , 0, 0f x y xy x y xy      Hướng dẫn:  MXĐ:     , : 0, 0D M x y x y    Ta có: '' 22 50 20 , xy z y z x xy     .       '' '' '' ' '' ' 2 3 2 ' ' '' ' 23 50 100 50 ;1 20 40 xx x xy x xy yy x y z z y z z y x x x z z x yy                             Ta xét hệ phương trình: 4 3 ' 22 ' 2 22 2 50 50 50 0 8 0 5 400 20 20 20 20 2 0 0 x y y yy y y z x xx x y z xx x y yy y                                                   . Hàm số đã cho có điểm dừng M(5,2). '' '' '' 4 25 ( ) ; ( ) 1; ( ) 52 xx xy yy A z M B z M C z M       . Ta thấy AC – B 2 = 9 > 0 và 4 0 5 A  . Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(5,2). 4. ( , ) . y f x y x y x e   . [...]...  0 2e  e y  0  y  2 0  e  zy  0  ey   y 2 ey   2 e  Vậy hàm số đã cho có điểm dừng M(0, –2) '' '' ''  A  zxx (M )  0; B  zxy (M )  2; C  z yy (M )  1 2e 1 e Ta thấy AC  B 2   0& A  2  0 nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(0, –2) 16. 17. 18. 19. 20. - Có thể tham khảo tại Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí Email: caotua5lg3@gmail.com Page 19 Website:...  1  ' x 2 2 Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng: M1  1,0 ; M 2  0,1  Xét tại M1  1,0 '' '' ''  A  f xx (M1 )  0; B  f xy (M1 )  3; C  f yy (M1 )  0 Ta thấy AC  B2  9  0 nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại M1  1,0  Xét tại M 2  0,1 '' '' ''  A  f xx (M 2 )  6; B  f xy (M 2 )  3; C  f yy (M 2 )  6 Ta thấy AC  B2  27  0& A  6  0 nên hàm số đã cho đạt cực... www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng M(4,4) 1 1 '' ''  A  zxx (M )  2; B  zxy (M )  ; C  z ''yy (M )   4 8 3 Ta thấy AC  B2   0& A  2  0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại M(4,4) 16 15 z   x2  y  e y Hướng dẫn:  MXĐ: D  M  x, y  : e y  0  Ta có:     e   x  y   ' ' zx   x2  y  e y    x2... trình:  Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng M  6, 4 '' '' ''  A  f xx (M )  2; B  f xy (M )  2; C  f yy (M )  2 Ta thấy: AC  B2  0 nên chưa thể kết luận gì cho bài toán 3 8 f  x, y   2 y  x2 y  5 y 2  x2 Email: caotua5lg3@gmail.com Page 13 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Hướng dẫn:  MXĐ: D  2  Ta có: f x' ... trình:  '  y  4 zy  0 x  8  0   3  x  8  0 Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng: M  2, 4 '' ''  A  zxx (M )  24; B  zxy (M )  12; C  z ''yy (M )  0 Email: caotua5lg3@gmail.com Page 14 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Ta thấy: AC  B  12  0 nên hàm số không đạt cực trị tại M  2, 4 2 10 z  x3  y3  3x2... 1  0 nên hàm số đạt cực trị tại M1 (0, 0)  Xét tại điểm M 2  ,   2 2   1 1 3 1 3 '' ''  A  zxx (M 2 )   ; B  zxy (M 2 )   ; C  z ''yy (M 2 )   2 2 2 3 1 1 Ta thấy AC  B 2  2  0& A    0 nên hàm số đạt cực đại tại M 2  ,   2 2 2    Xét tại điểm M3 1,0  '' ''  A  zxx (M3 )  0; B  zxy (M3 )  2; C  z ''yy (M3 )  0 Ta thấy AC  B2  4  0 nên hàm số đạt cực... www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 x  y x  y  1    y  0    y  1  x  y  1  Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng: M1 1,1 ; M 2  1, 1  Xét tại M1 1,1 '' ''  A  zxx (M1 )  10; B  zxy (M1 )  2; C  z ''yy (M1 )  10 Ta thấy AC  B2  98  0& A 10  0 nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M1 1,1  Xét tại M 2  1, 1 '' ''...  0      Ta xét hệ phương trình:  Vậy hàm số đã cho có điểm dừng tại M (1,0) '' '' ''  A  f xx (M )  0; B  f xy (M )  1; C  f yy (M )  1 Ta thấy: AC – B2 = – 1 < 0 Vậy hàm số đã cho đạt cực trị tại M (1,0) 5 f  x, y   xy 1 x2  y2   x  0, y  0, x 2  y 2  1 Hướng dẫn:  MXĐ: D  M  x, y  : x  0, y  0, x2  y2  1 '  Ta có: zx  y  3x2 y  y3 ; z 'y  x  x3  3xy... 5 Vậy hàm số đã cho có 4 điểm dừng M1  0,0 ; M 2  0,   ; M3  2, 1 ; M 4  2, 1    3  Xét tại điểm M1  0,0  '' '' ''  A  f xx (M1 )  2; B  f xy (M1 )  0; C  f yy (M1 )  10 Ta thấy AC  B2  20  0& A  2  0 nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M1  0,0  Còn 3 điểm còn lại, ta làm tương tự và đi đến kết luận 9 z  x y  12x2  8 y 3 Hướng dẫn:  MXĐ: D  2 '  Ta có: zx...  1 2   y  0  Vậy hàm số đã cho có 9 điểm dừng: 1 1  1   1  1   1 M1  0,0 ; M 2  0,  ; M 3  0,   ; M 4 1,0 ; M 5 1, ; M 6 1,  ; M 7  1,  ; M8  1,0 ; M 9  1,  2 2 2  2   2    2  Xét tại điểm M1  0,0  '' '' ''  A  f xx (M1 )  4; B  f xy (M1 )  0; C  f yy (M1 )  2 Ta thấy: AC  B2  8  0& A  4  0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại . 22 tan , cot .u x v x .Tìm ' x z . Hướng dẫn: Với 22 tan , cot .u x v x thì 2 24 2 4 2 24 2 sin 1 tan 1 1 sin 1 cos ln ln ln lntan cos 2 cot. caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com Hướng dẫn: Ta có: '' ' 2 ' 22 2 tan 2 ln tan 22 tan cos .tan sin .sin x yy y yy xx x z y