Bài tập có đáp án chi tiết chương hàm số nhiều biến

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 Lưu ý: Tài liệu này chưa được thẩm định nên vẫn còn có những phần chưa chính xác

Trang 1

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2

(Lưu ý: Tài liệu này chưa được thẩm định nên vẫn còn có những phần chưa chính xác hoàn toàn)

Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 1.1 Tìm miền xác định của các hàm số:

a

2 2 2

1

z



  Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định 2 2 2 2 2 2

0

KL: Vậy miền xác định của hàm số là:  2 2 2

( , ) :

D M x y x y a

b z arcsin x2

y

 

  Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định

2

x

 



0

x y x (luôn đúng)

KL: Vậy miền xác định của hàm số là: DM x y( , ) :x0 : ; x   x; 

c z ln x

y

  

  Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định x 0 x y x y 0

y

KL: Vậy miền xác định của hàm số là: DM x y( , ) :x y 0

d u x y z Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định    x y z 0

KL: Vậy miền xác định của hàm số là: DM x y z( , , ) :x  y z 0

1.2 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần

1 f x y( , ) xy x

y

  Tính f x'(2,1) f y'(2,1)

Hướng dẫn:

Ta có:

'

2

1

2

x

  



Trang 2

'

2 2

2

  



2 ze x2y2. Tính: ' '

,

x y

z y

Hướng dẫn:

x

z  e   x y e   x e  Chú ý CT: (eu)’ = u’.eu

 2 2 '  ' 2 2 2 2

' x y 2 2 x y 2 x y y

z  e   x y e   y e 

3 f x y( , ) x (x 1) arcsin x

y

(1,1)

x f Hướng dẫn:

( 1) arcsin 1 arcsin arcsin 1 1 arcsin

x



( Như chúng ta đã biết

2 2

dx

a x

 là arcsinx C

a Khi đó ta coi x ở CT trên chính là x,a

ở CT trên chính là y Do đó

'

1 arcsin x



(1,1) 1

x

f    

4 f x y( , )3 x3y3. Tính: ' '

(0,0) , (0,0)

Hướng dẫn:

3

f x y  x y  x y   x y x y  x x y   f 

3

5 Cho zylnx Tìm z xx'' , z''xy,z''yy.

Hướng dẫn:

Ta có:

( ln ) '.ln (ln ) '

( ln ) '.ln (ln ) ' ln

x

y

x

Vậy:

 

' '' '

2 '

'' '

' '' '

1 0

xx x x

xy x y

yy y y

y

x

 

  Tìm:

''

xy

z

Trang 3

Hướng dẫn:

Ta có:

'

2 '

2 tan

2

ln tan

x

z



 

Vậy:

'

' '' '

2

2.sin cos

2 sin

xy x y

y

y x

x



2

u z

v

tan , cot

u x v x Tìm '

x

z .

Hướng dẫn:

tan , cot

u x v x thì

2

4 2

2

sin

cos

sin

x

8

ln

z  x  x  y Hướng dẫn:

Ta có:

2 2 '

2 2

2 2 2 2

2 2 '

2 2

1

ln

x

y

x

x y

z z x x y

x x y x y x

z z x x y

x x y x x y x y



Vậy

dx xdy dz

x y x x y x y

b) z  ex cos y  x sin y  Hướng dẫn:

cos sin cos sin sin

x

z e yx y  e yx y y

Trang 4

cos sin cos sin

y

z e yx y  e x y y

Vậy: dz   ex  cos y  x sin y  sin y dx    x cos y  sin y dy   

c) u  xy z2 Hướng dẫn:

Ta có:

 

'

z

u x y zx u x x yz x

u x x y x



Vậy du  u dx u dy u dzx'  'y  'z  y zx2 y z2 1dx  xy z2 .2 ln yz xdy  xy z2 y2.ln xdz

9 -

2 2

z





 với y = 3x + 1 Tìm

dz

dx

Hướng dẫn:

Từ đề bài ta có:

2 2

3 1

z



( ; ) ( ; )

dzz x y dx z x y dy

Khi đó: dz z x y'x( ; )

dx Vậy:

'

2

x

z x y

z y x y Tính: 2

(0,1)

Hướng dẫn:

(0,1) xx(0,1) xy(0,1) yy(0,1)

'

2 2

2 2 '

2 ln

x



 2 2'

'

ln

y



Trang 5



' '

'

'' '

2

2 2

xx x x

x





' '

'

'' '

2

2 2

xy x y

x

2 2

'

yy y y





''

(0,1) 1

(0,1) 0

(0,1) 1

xx

xy

yy

z

(0,1)

dz dx dy

y

 

  Tính

2

(1,1)

dz .

Hướng dẫn:

(1,1) xx(1,1) xy(1,1) yy(1,1)

x

y

2

2.ln

xx x x

2.ln

xy x y

Trang 6

2

ln

yy y y



'' '' ''

(1,1) 1 (1,1) 1 (1,1) 1

xx

xy

yy

z z z

(1,1)

dz dx dxdy dy

13 -

ln

zy x y .Tính   2  

2

dz

x



Hướng dẫn:

Ta có:

2 2

2

2 2

2

x

y

xy

y



''

2

xx

xy x y y z

x y x y



dz  z dx  z dy  dx  dy Tính: 2  

x x



 

2

2 2

2

x xx

xy

x z x y y xy x y y

x y



Vậy: 2  

2 2,1 6

x x

ln

zy x y thỏa mãn phương trình: 1 z 1 z z2

   

Hướng dẫn:

2 2

2

2 2

2

x

y

Trang 7

Như vậy ta có:

2

2 2

VP

 đpcm

16 -

17 -

18 -

19 - Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí

20 -

21 -

22 -

23 Xem lại cách giải của phần trên (Phần 1.2, ý 11)

24 Cho f x y( , ) cos sin  x y Tìm df  0,0 ;df2 0,0

Hướng dẫn:

' '

cos sin sin sin cos sin cos cos

x

y

  Nên:

 

' '

0, 0 0

0, 0 1

x

y

f f



 Vậy df  0,0 dy

Lại có: 2  ''   2 ''   '' 2

0,0 xx 0,0 2 xy 0,0 yy(0,0)

'' '

cos cos cos sin

yy y y

Suy ra : ''   ''   ''  

Vậy: 2 

0, 0 0

f x y x xy y Tính 2

( , ); ( , )

df x y df x y

Hướng dẫn:

( , ) x y

df x y  f dxf dy

Tính:

df x y  f x y dx  f x y dxdyf x y dy

Trang 8

yy y y

df x y  xdx  ydxdy y x dy

1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp

x u v yu v zu v Tính: z z x', 'y

Hướng dẫn:

Ta có:

3

z   u v u v  uv u v

 

2 2

 



 





Nên ta có:

'

x

y

      

2 Cho hàm hợp z 1 xy y (1) với xu2v y2,  u v. Tính 2

d z

Hướng dẫn:

Ta có: 2 '' 2 '' '' 2

dz z dx z dxdy z dy

2

(1) y xy Nên:

z  yxy  y z  yxy   xy

yy y y

Vậy dz22u v dxdy  2u2v dy2 2

3 -

4 -

1.4 Đạo hàm, vi phân của hàm ẩn. -(Không có trong chương trình học)

1.5 Tìm cực trị của các hàm số:

1 zx3y33xy

Hướng dẫn:

D

Trang 9

 Ta có: '

x

z  x y, z'y 3y23x

   

' '' '

2 3 ' 2

xx x x

xy x y

yy y y

 Ta xét hệ phương trình:

0

x

y







2

0 0

9 3

4 2

3 2

x y y

x y

y

 





Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng: 1  2

9 3

4 2

 Xét điểm M1 0;0

A z M B z M C z M

Ta thấy: AC – B2 = – 9 < 0

Vậy hàm số đã cho không đạt cực trị tại M1 0;0

 Xét điểm 2 9 3;

4 2

Ta thấy: AC – B2 = 9 > 0 và A = 2 > 0

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại 2 9 3;

4 2

( , ) 1

f x y   x y

Hướng dẫn:

 MXĐ: DM x y , :x2y20

2 2

1

x

   ' '

2 2

1

y



' '' '

xx x x

Trang 10

'

2 2 '

'' '

'

2 '

'' '

xy x y

yy y y

x

2 2 2

2 2

0

0 0

0

x

y

x



Vậy hàm số đã cho có điểm dừng M1 0;0

Ta thấy AC – B2 = =

Vậy không có KL gì cho hàm số

3 f x y( , ) xy 10 20,x 0,y 0

Hướng dẫn:

 MXĐ: DM x y , :x0,y0

,

 

' '

'' '

yy x y

4

3

'

2

20

x

y







Hàm số đã cho có điểm dừng M(5,2)

( ) ; ( ) 1; ( )

A z M B z M C z M

Ta thấy AC – B2 = 9 > 0 và 4 0

5

A 

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(5,2)

4 f x y( , )  x y x e y

Trang 11

Hướng dẫn:

D

 Ta có: f 'x   x y x e y' 1 e y; f 'y   x y x e y' 1 x e .y

' '

''

' '

0 1

x

y

y e

Vậy hàm số đã cho có điểm dừng tại M(1,0)

Ta thấy: AC – B2 = – 1 < 0

Vậy hàm số đã cho đạt cực trị tại M(1,0)

f x y xy  x y x y x y 

Hướng dẫn:

 MXĐ: DM x y , :x0,y0,x2y21

 Ta có: z'x y 3x y2 y3; z'y   x x3 3xy2

''   ' ' 2 3'

xx x x

z  z  y x yy   xy

xy x y

yy x y

2 2

0

x

y

x y

y

 



   









   



Trang 12

 2 2  2 2

0

1

0

2

x y

x

x y y

y

 













 Vậy hàm số đã cho có bốn điểm dừng: 1 2 3  4 

1 1 (0,0); , ; 1,0 ; 0,1

2 2

 Xét tại điểm M1(0,0)

Ta thấy: 2

AC B    nên hàm số đạt cực trị tại M1(0, 0)

 Xét tại điểm 2 1 1,

2 2

 

A z M B z M C z M

2 0& 0

2

2 2

 

 Xét tại điểm M3 1,0

Ta thấy 2

AC B    nên hàm số đạt cực đại tạiM3 1,0

Ta thấy 2

AC B    nên hàm số đạt cực đại tại M4 0,1

6 f x y , x42y4y22x2

Hướng dẫn:

 MXĐ: D 2

f  x  y y  x  x  x f  x  y y  x  y  y

yy x y

Trang 13

 

2

0

1 0

1 1

2 1

1 0

0 0

1 1

1 2

2

2 1

0

x

y

x y

x x

x

y x

y

x x

x

y y

y x

y

 



 











 



        



 



0 1 1 2

x y













 







 



Vậy hàm số đã cho có 9 điểm dừng:

Ta thấy: 2

8 0& 4 0

AC B   A   nên hàm số đã cho đạt cực đại tại M1 0,0

 Xét tại điểm 2 0,1

2

 

Ta thấy 2

16 0

AC B    nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại 2 0,1

2

 

 7 điểm còn lại làm tương tự và đi đến kết luận

f x y  x xy x y

Hướng dẫn:

D

f  x  xy x y  x y f  x  xy x y  x

   

'' '

yy x y

' '

0

x

y

f



Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng M6, 4 

Ta thấy: 2

AC B  nên chưa thể kết luận gì cho bài toán

f x y  y x y y x

Trang 14

Hướng dẫn:

D

f  y x y y x  xy x f  y x y y x  y x  y

yy x y

 Xét hệ phương trình:

'

2 2

0 0 0

1

3

2 1 2

0

1 0

2 5

x

y

x y x

x y

y x

x y

y

 

 



  

  





 

 



Vậy hàm số đã cho có 4 điểm dừng 1  2 3  4 

5

0, 0 ; 0, ; 2, 1 ; 2, 1

3

Ta thấy 2

20 0& 2 0

AC B   A  nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M1 0,0

 Còn 3 điểm còn lại, ta làm tương tự và đi đến kết luận

12 8

zx y x  y

Hướng dẫn:

 MXĐ: D 2

z  x y x  y  x y x z  x y x  y x 

   

yy x y

3

0

8 0

4

8 0

x

y

x

xy

y

x

 

 

 Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng: M2, 4 

Trang 15

Ta thấy: 2

12 0

AC B    nên hàm số không đạt cực trị tại M2, 4 

10 zx3y33x23xy3x3y1

Hướng dẫn:

D

'

x

y

yy x y

2

1 1

0

1

x

y

x

x y

y

  







 Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng: M11,0 ; M2 0,1

 Xét tại M11,0

Ta thấy 2

AC B    nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại M11,0

 Xét tại M2 0,1

Ta thấy 2

27 0& 6 0

2 , 0

zx y  x y  xy x

Hướng dẫn:

D

'

x

y

yy x y

3

x

y



Trang 16

1 1

x y

x y y





 





     

 



 Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng: M1 1,1 ;M2 1, 1 

 Xét tại M1 1,1

Ta thấy 2

98 0& 10 0

 Xét tại M2 1, 1

Ta thấy 2

194 0& 14 0

2 1, 1

M  

2 2

x y

z x y e 

Hướng dẫn:

 MXĐ: D 2

 Ta có:

'

x

           

'

y

'

xx x x

       

.ex y

'

2 2

xy x y

       

Trang 17

'

yy y y

       

x y

2 2

2 2 '

2 2

0 0 0

1

1 1 0

x y x

x y y

x y x

y x y

 

 

 



    







   

  



 



1 0

0 0

1

x y

y x

y





 









  

 Vậy hàm số đã cho có 5 điểm dừng M1 0, 0 ;M2 0,1 ;M30, 1 ;  M4 1, 0 ;M41, 0

Ta thấy 2

4 0& 2 0

AC B   A  nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M1 0, 0

 Các điểm còn lại làm tương tự và đi đến kết luận

zx y  x y  x y x y x y x y

Hướng dẫn:

 MXĐ: DM x y( , ) :x0,y0

 Ta có:

' ' 3 2 4 2 3 3 2 2 3 2 2 3

'

x

y

xx x x

xy x y

Trang 18

''   ' ' 3 4 3 2' 3 4 3

yy y y

z  z  x y x y x y  x  x  x y

2 2

0

0 ( )

2 9

8 2

0 ( )

x

y

x y

x

y

x







  



 

   

 



 Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng 9,8

2

 

8

Ta thấy AC B  2 58104216 0 nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại 9,8

2

 

zx y  x y x

Hướng dẫn:

 MXĐ: DM x y( , ) :y0

 Ta có:

'

2

x

y

x

y

 

' '

'' '

' '

'' '

' '

'' '

1

2

1

xx x x

xy x y

yy y y

y

     

' '

4

1 0 0

2 2

2

x

y

x

z

x y

z

y y





Trang 19

Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng M(4,4)

Ta thấy 2 3

16

AC B   A   nên hàm số đã cho đạt cực đại tại M(4,4)

15 zx2y e y

Hướng dẫn:

 MXĐ: DM x y , :e y 0

 Ta có:

'

2 '

2

x

y

e



   

' '

'' '

' '

'' '

' 2 '

'' '

2

4

y

xx x x

y y

y

y y

xe

e

 Xét hệ phương trình :

'

0

2 2

y

x

x e

e y

e e





Vậy hàm số đã cho có điểm dừng M(0, –2)

2

e

Ta thấy 2 1

e

     nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(0, –2)

16 -

17 -

18 - Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí

19 -

20 -

Trang 20

Gợi ý:

16 Hệ phương trình có các nghiệm là:

'

1

0

x

y

x

y

  





 

 







 



0 1 3

1

0 1

x

y

x y

x

x y

 





  



 





 



' '

2 2 2 0

2 2 2

x

y

x

y

z

x y









  









 





20.Hệ phương trình có các nghiệm là:

'

2

3 3 3

0

9

3 3

x

y

x y

y

















  



Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,27 MB