Bài tập có đáp án chi tiết về hàm số liên tục lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.. b..[r]

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN BÀI 6: HÀM SỐ LIÊN TỤC PHẦN KIẾN THỨC CƠ BẢN Hàm số liên tục: +) Cho hàm số y  f ( x) xác định K x0  K Hàm số y  f ( x) liên tục x0 lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 a; b +) Hàm số y  f ( x) liên tục khoảng   liên tục điểm x0 khoảng lim f ( x)  f (a ), a; b a; b +) Hàm số y  f ( x) liên tục   liên tục   x  a  lim f ( x)  f (b) x b Các định lý: a Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục khoảng xác định chúng b Tổng, hiệu, tích hàm số liên tục x0 liên tục x0 c Nếu hàm số y  f ( x) y  g ( x) liên tục x0 g ( x0 ) 0 hàm số y f ( x) g ( x) liên tục x0 a; b d Cho hàm số y  f ( x) liên tục   f (a ) f (b)  Khi phương trình f ( x) 0 có nghiệm  a; b  PHẦN CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM  f1  x  , x  x0 f  x    f  x  , x x0 Loại 1: Hàm số có dạng: Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) lim f  x   lim f  x  L x  x0 Bước 2: Tính x  x0 Bước 3: + Nếu f2(x0) = L hàm số f(x) liên tục x0 + Nếu f2(x0) L hàm số f(x) không liên tục x0  x2  , x   f  x   x  m  4, x   Ví dụ Giá trị tham số m để hàm số liên tục x  A B  C  D 2 Đáp án : C Cách : (Tự luận) f   1 m  Ta có : x 1 lim f  x   lim  lim  x  1  x  x  x 1 x  Hàm số liên tục x  lim f  x   f   1  m  x  x 1 Cách 2: Sử dụng MTCT Để tính giới hạn : x   x  ta sử dụng tính tính giá trị biểu thức  10 máy tính (CALC) với giá trị x   10 ta kết :  Ví dụ Hàm số có đồ thị gián đoạn điểm có hồnh độ bao nhiêu? lim A B C D Đáp án : C Cách giải : (Quan sát đồ thị) lim f  x  3; lim f  x  0 lim f  x   lim f  x  lim f  x  x x Quan sát đồ thị ta thấy x  1 Vậy x  1 nên x  khơng tồn Do hàm số gián đoạn điểm x 1  x4  , x 2  f  x   x a , x 2  Ví dụ Cho hàm số Tập hợp giá trị a để hàm số liên tục x 2              1 A B   C   D   Đáp án : B Cách : (Tự luận) f   a Ta có : x4  1 lim f  x   lim  lim  x x  x  x x4  6 Hàm số liên tục x 2 lim f  x   f    a  x 2 x4  x ta sử dụng tính tính giá trị biểu ta kết gần : 0.2042 Trong kết lim x  Cách 2: Sử dụng MTCT Để tính giới hạn :  10 thức máy tính (CALC) với giá trị x 2  10     cho đề kết gần với    f1  x  x x0 f  x    f  x  x  x0 Loại 2: Hàm số có dạng: Bước 1: + Tính + Tính + Tính lim f  x   lim f1  x  L1 x  x0 x  x0 lim f  x   lim f  x  L2 x  x0 x  x0 f  x0   f1  x0  L Bước 2: + Nếu L L1 hàm số liên tục bên phải x0 + Nếu L L2 hàm số liên tục bên trái x0 + Nếu L L1 L2 hàm số liên tục x0 * Nếu trường hợp khơng xảy hàm số khơng liên tục x0 Ví dụ  x  1 , x   f  x   x  , x  k , x 1 f  x  Cho hàm số Tìm k để gián đoạn x 1 A k 2 Đáp án : A Cách : (Tự luận) TXĐ: D  f  1 k Với x 1 ta có : Với x 1 ta có :  B k 2 C k  D k 1  lim f  x  lim x  4 lim f  x   lim  x  1 4 lim f  x  4 x x ; x suy x lim f  x  k  k 4  k 2 Vậy để hàm số gián đoạn x 1 x Cách 2: Sử dụng MTCT x x2 , x    f  x   x  2x  , x   Ví dụ Cho hàm số Khẳng định sau nhất: A Hàm số liên tục x0  B Hàm số liên tục điểm x  1 C Hàm số gián đoạn x0  D Tất sai Đáp án : C Cách : (Tự luận) lim  f  x  1 f   1 1 Ta có : x    1 x x2 x2  x  x lim  f  x   lim   lim   lim   x    1 x    1 x    1 x 1  x  1 x  x  x   1 x  x  2   lim  f  x   lim  f  x  x    1 Suy : x    1 Vậy hàm số gián đoạn x  x x2 x 1 Cách 2: Sử dụng MTCT Để tính giới hạn : x    1 ta sử dụng tính tính giá trị biểu  10 thức máy tính (CALC) với giá trị x   10 ta kết gần : 1.4999 Trong giá trị hàm số x  Vậy hàm số gián đoạn x  lim  DẠNG 2: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN MIỀN D f  x   x2  Ví dụ Cho hàm số Chọn câu câu sau: f  x (I) liên tục x 2 f  x (II) gián đoạn x 2 f  x  2; 2 (III) liên tục đoạn  A Chỉ (I) (III) B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Chỉ (II) (III) Đáp án : B Cách : (Tự luận) D   ;  2   2;   Ta có: Tập xác định hàm số lim f  x  lim x  0 x f   0 x Vậy hàm số liên tục x 2 f  x   x2  Cách 2: Sử dụng MTCT Tính giá trị hàm số x 0 ta thấy máy báo lỗi Math f  x  2; 2 Error ( không xác định x 0 ), nghĩa hàm số không liên tục đoạn  giá trị x  x  hàm số nên hàm số liên tục Ví dụ Tìm khẳng định khẳng định sau: f  x  x5  3x  (I) liên tục  f  x  x  liên tục   1;1 (II) f  x  x  2;   (III) liên tục đoạn  A Chỉ (I) (III) B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Chỉ (II) (III) Đáp án : A Cách : (Tự luận) f  x  x5  3x  Hàm số (I) hàm đa thức nên liên tục  f  x   f   0 f  x  x   2;  xlim  2 liên tục nên hàm số liên tục Hàm (III)  2;  Cách 2: Các hàm số học liên tục tập xác định Ta thấy hàm số (II) xác định x   , hàm số (II) gián đoạn   1;1 Ví dụ Cho hàm số  0;  Với Với x   9;   : Với x 0 ta có Ta có B f  x  3 f  x  : f   m lim f  x   lim x f  x Giá trị m để liên tục : A Đáp án : C Cách : (Tự luận) x   0;9  3   x , 0 x 9  x  f  x  m , x 0 3  , x 9  x C D 9 x  0;9  x liên tục x liên tục  9;   3 x Vậy để hàm số liên tục  x  lim   x   x x  0;  phải liên tục x 0  lim f  x  m  m  x  0;  nên ta cần tìm điều kiện để Cách 2: Sử dụng MTCT Dễ dàng thấy hàm số liên tục liên tục phải x 0 3 9 x 3 9 x lim f  x   lim  10 x x x Tính x  cách tính giá trị hàm số  10 (sử dụng chức f   m CALC) kết gần 0.1667 Vậy m 0.1667   sin x , x  f  x   ax  b, x    Ví dụ Cho hàm số  : 2   a  a      b 1 b 2 A B C Đáp án : D Cách : (Tự luận) Giá trị a, b để hàm số liên tục  a    b 0   a  b 1       a  b  x    hàm số liên tục  Hàm số liên tục DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM 3.1 Kiến thức cần nhớ : Định lí: (Định lí giá trị trung gian hàm số liên tục)  a    b 0 D  a    b 0 a; b  f  a  f  b Giả sử hàm số f liên tục đoạn  Nếu với số thực M nằm f  a , f  b c   a; b  f  c  M , tồn điểm cho y Ý nghĩa hình học : Y=F(x) F(b) y=M F(a) x a c b O a; b  f  a , f  b Nếu hàm số f liên tục đoạn  M số thực nằm đường thẳng y  f x c  a ; b   điểm có hồnh độ   y M cắt đồ thị hàm số Hệ : a; b  f  a f  b  c   a; b  Nếu hàm số f liên tục đoạn  tồn điểm f  c  0 cho Ý nghĩa hình học hệ : a; b  f  a f  b  y  f  x Nếu hàm số f liên tục đoạn  đồ thị hàm số cắt trục c   a; b  hồnh điểm có hồnh độ 3.2 Phương pháp giải f  x  0  * Cho phương trình  * có k nghiệm  a; b , ta thực bước sau : Để chứng minh phương trình a; b  Bước : Chọn số a  T1  T2   Tk   b chia đoạn  thành k đoạn thỏa mãn :  f  a  f  T1      f T f b 0   k1    Hàm số y  f  x liên tục  a; b nên liện tục k đoạn  *  a; b Bước : Kết luận số nghiệm phương trình 3.2 Các ví dụ :  a; T1  ;  T1; T2  ; ;  Tk  1; b    2;  : Ví dụ 10 Số nghiệm thực phương trình : x  x  0 thuộc khoảng A B C D Đáp án : D Hướng dẫn giải : f  x  2 x  x   2; 2 Cách 1: Xét hàm số liên tục  Ta có : Suy : f     3; f   1; f  1  3; f   5 f   2 f  0  ; f   f  1  f  1 f      2;  Do phương trình : x  x  0 có ngiệm thuộc khoảng Cách : Sử dụng MTCT + Bấm máy tính giải phương trình bậc (Mode + + 4) f  x  2 x  x  + Sử dụng chức Table (Mode + 7) với hàm số : Start: -2 End : Step : 1 f  x  x  x  x  0 Ví dụ 11 Cho phương trình Chọn khẳng định đúng: A Phương trình  1 có nghiệm khoảng B Phương trình  1 có hai nghiệm khoảng   1;3 C Phương trình  1 có ba nghiệm khoảng   1;3  1 có bốn nghiệm khoảng D Phương trình Đáp án : D Hướng dẫn giải   1;3   1;3 0  1;3 Cách 1: Xét hàm số liên tục  23 1 23 f   1  ; f    ; f    ; f  1  ; f    8   16 8 Ta có : f  x  x  3x3  x  1  1 f   f    f   f  1  f  1 f  3   2 Suy : ; ;  2   1;3 Do phương trình có ngiệm thuộc khoảng Mặt khác phương trình bậc có tối đa bốn nghiệm   1;3 Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng f  X  X  3X  X  , Start:  1, End: 3, Cách 2: Sử dụng chức Table MTCT: Step: 0.2 ta kết sau: f   1 f    Quan sát kết ta thấy giá trị f  x điểm khoảng phương trình bậc có tối đa nghiệm thực Vậy phương trình  1   1;3 đổi dấu lần Mà có bốn nghiệm   1;3 Do D đáp án khoảng Cách 3: Sử dụng chức Shift Calc (Solve) MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ phương   1;3 trình khoảng Table Tuy nhiên cách tiềm ẩn nhiều may rủi cách sử dụng chức Ví dụ 12 Cho phương trình x  ax  bx  c 0 (1) Chọn khẳng định khẳng định sau :  1 vô nghiệm với a, b, c A Phương trình a, b, c tham số thực B Phương trình  1 có nghiệm với a, b, c C Phương trình  1 có hai nghiệm với a, b, c  1 có ba nghiệm với a, b, c D Phương trình Đáp án : B Hướng dẫn giải  1 trở thành x3 0  x 0 Cách 1: Dễ thấy a b c 0 phương trình Vậy A, C, D sai Do B Cách : f  x  x  ax  bx  c Đặt Ta có:  lim  x  f x  0 với a, b, c nên tồn giá trị x  x cho  bx  c   f x  0 với a, b, c nên tồn giá trị x  x cho lim x  ax  bx  c   + x   + x   Vậy  ax f  x1  f  x2   f  x mà f  x  0 liên tục  nên suy có nghiệm  x ;x  khoảng Từ suy ĐPCM Kinh nghiệm Phương trình đa thức bậc lẻ hệ số bậc cao khác ln có nghiệm Ví dụ 13 Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm: 2017 2m  5m   x  1 x 2018   x  0  1  m   \  ; 2 2  A 1  m   ; 2 2  C    1  m    ;    2;   2  B D m   Đáp án : D Hướng dẫn giải x  0  x  + Nếu 2m  5m  0 phương trình cho trở thành + Nếu 2m  5m  0 phương trình cho đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết ví dụ 12, phương trình có nghiệm Vậy với m  , phương trình cho ln có nghiệm Ví dụ 14 Phương trình x   x 3 có nghiệm thuộc ( 7;9) A Đáp án : C Hướng dẫn giải B C D 3 Cách 1: Đặt t   x Khi phương trình cho có dạng 2t  6t  0 Xét hàm f (t) 2t  6t  liên tục R Ta có f ( 2)  3, f(0) 1, f(1)  3, f(2) 5 Suy :  f ( 2).f(0)   , phương trình có nghiệm t1  ( 2;0) Khi t   x  x1 1  t13 , t1  (1;9)  f (0).f(1)   , phương trình có nghiệm t1  (0;1) Khi t   x  x1 1  t13 , t2  (0;1)  f (1).f(2)  15  , phương trình có nghiệm t1  (1; 2) Khi t   x  x1 1  t13 , t1  ( 7;0) Cách 2: Sử dụng chức giải phương trình MTCT (SOLVE) để kiểm tra số nghiệm phương trình PHẦN BÀI TẬP A BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KIỂM TRA Câu Cho hàm số A  x2 1 x 3; x 2  f  x   x  x   x 3; b   b  f  x Tìm b để liên tục x 3 C B  D  Đáp án Chọn D Câu  x2  x   f  x   x  2 x   Cho hàm số  I  f  x  liên tục x   II  f  x  gián đoạn x   III  f  x  liên tục  Tìm khẳng định khẳng định sau: A Chỉ I  II  B Chỉ  II  C Chỉ I  III  D Cả I ,  II   III  ,  III  Lời giải Chọn C Câu Hàm số sau không liên tục x 1 :  x2  x 1  f  x   x  3 x  x 1  A  x2  x  x 1  f  x   x  2 x  x 1  C  x  x 1 f  x   2  x x 1 B  x  f  x   x 2 x  x 1 D Lời giải Chọn D Câu x2 1 f  x  x  5x  liên tục khoảng sau đây? Hàm số A   ;3 B  2;3 C   3;  D   3;   Lời giải Chọn B Câu Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số  ax   x 0  f  x   x  x  5b x 0  liên tục x 0 A a 5b B a 10b C a b D a 2b Lời giải Chọn B Cách 1: Theo kết biết liên tục x 0 lim f  x  lim x lim f  x   f    x x ax   a  x Mặt khác f   5b Để hàm số cho a 5b  a 10b Vậy đáp án B Cách 2: Sử dụng MTCT Chọn giá trị cụ thể a b thỏa mãn hệ thức tính toán kết lim x lim f  x   f   x Chẳng hạn với hệ thức đáp án A, chọn a 5; b 1 ta tìm x 1   ; f   5 x nên không thỏa mãn Với hệ thức đáp án B, chọn a 10; b 1 ta 10 x   5; f   5 lim f  x   f   x x nên thỏa mãn x Do đáp án B Kinh nghiệm: lim n lim x ax   a  x n  2x   x 2  f  x   x 1 x    x  2mx  3m  Câu Cho hàm số Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số liên tục  A m 3 B m 4 C m 5 D m 6 Lời giải Chọn C  2;   Cách 1: Hàm số xác định  , liên tục khoảng Ta có f   3; lim f  x   lim x x   x   3 x 1   x  x  12 x  20 Nếu m 6 x nên hàm số không liên tục x 2 x 1 lim f  x   lim  x  x  x  2mx  3m   m Nếu m 6 ta có 3   m 1  m 5 Để hàm số liên tục x 2  m lim f  x   lim x 1 x  10 x  17 liên tục   ;  Với m 5 x  , Tóm lại với m 5 hàm số cho liên tục  f  x   2;   Cách 2: Hàm số xác định  , liên tục khoảng Ta có f   3; lim f  x   lim x x   x   3 lim f  x  3 Thử giá trị từ A dến C thấy m 5 thỏa mãn x  2 Do chọn đáp án C 3 x  x   f  x    x  x  Chọn khẳng định khẳng định sau Câu Cho hàm số A f  x liên tục  f  x   1;   C liên tục B f  x liên tục   ;  1 D f  x liên tục x  Lời giải Chọn C Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: x 1 x  liên tục với x 1  II  f  x  sin x liên tục  x f x    III   x liên tục x 1  I  f  x  A Chỉ I B Chỉ I  II  C Chỉ  I   III  D Chỉ  II   III  Lời giải Chọn D a x x  2, a   f  x    a  x x   f  x   Câu Cho hàm số Giá trị a để liên tục  là: A B –1 C –1 D –2 Lời giải Chọn D TXĐ: D  f  x  a x Với x  ta có hàm số liên tục khoảng  2;      ; f  x    a  x Với x  ta có hàm số liên tục khoảng   f 2a x  Với ta có lim f  x   lim   a  x 2   a  x x Để hàm số liên tục x x x x  lim f  x   lim f  x   f x ; lim f  x   lim  a x 2a    2a  a 1  2   a   a  a  0  a  Vậy a 1 a  hàm số liên tục   x2 , x 1   2x f  x   , x  1  x  x sin x , x   Câu 10 Cho hàm số Tìm khẳng định khẳng định sau: f  x f  x  \  0 A liên tục  B liên tục f  x  \  1 f  x  \  0;1 C liên tục D liên tục Lời giải Chọn A Câu 11 Cho hàm số y  f  x có đồ thị hình đây: Chọn khẳng định đúng: A Hàm số liên tục   1;  C Hàm số liên tục B Hàm số liên tục   ;  D Hàm số liên tục  1;  Lời giải Chọn D Câu 12 Cho phương trình x  x  x  0 (1) Chọn khẳng định khẳng định sau:  1 khơng có nghiệm khoảng   1;1 A Phương trình  1 khơng có nghiệm khoảng   2;0  B Phương trình  1 có nghiệm khoảng   2;1 C Phương trình  1 có hai nghiệm khoảng  0;  D Phương trình Lời giải Chọn D Câu 13 Cho hàm số  x   3x 1 , x 1  f ( x )  x  ax, x 1  A -3 Tìm a để hàm số liên tục x0 1 3 C B D -2 Lời giải Chọn C lim f  x  lim x x  x   2  x 1  x   3x 1 lim    x x x  x        x  1 x lim   x   x  1  x   x     x  1  x          lim    x  x   x    x                x0 1  lim f  x   f  1  a  x Hàm số liên tục Câu 14 Phương trình x  x  23 0 có nghiệm thuộc khoảng A (-3;-2) B (0;1) C (-2;-1) Lời giải Chọn C Xét f (x) x  3x  23 liên tục R nên f(x) liên tục [-2,-1] D (2,3) Ta có f ( 2)  3;f(  1) 25  f ( 2).f(  1)  Vậy phương trình f(x) ln có nghiệm thuộc khoảng (  2,  1) Bấm máy tinh: mode  f (x) x  3x  23  =  Start -9  =  End  =  Step  = Câu 15 Trong phương trình sau, phương trình có nghiệm phân biệt 2 B x  x  15 x  14 x  3x  x  D x   x 3 A x  x  0 C x  x 4  3  x Lời giải Chọn B A Xét hàm số f ( x ) x  x  hàm liên tục  Mặt khác: f ( 1)  1, f (0) 1  f ( 1) f (0)     1;0  Nên phương trình f ( x ) 0 có nghiệm thuộc Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2   f ( x1 )  f ( x2 ) 0  x15  x25   x1  x2  0 Khi đó:   x1  x  x14  x13 x2  x12 x22  x1 x23  x24  0                A (1)   1  A  x12  x1 x2    x1 x2  x22   x12 x22     4  Do Nên (1)  x1  x2 Vậy phương trình ln có nghiệm B Phương trình cho tương đương với x  x3  15 x  14 x   3x  x   x  x  x  18 x  12 x  0 (1) Hàm số f ( x) x  x  x  18 x  12 x  liên tục    19  1 f ( 2)  95  0, f ( 1) 1  0, f     0 32  2 Ta có: f (0) 1  0, f (2)  47  0, f (10) 7921  Do phương trình f ( x ) 0 có nghiệm thuộc khoảng 1      1;   ,   ;0  ,  0;  ,  2;10  2    Mặt khác f ( x ) đa thức bậc nên có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x C Điều kiện: Phương trình  x  x  3  x  0   2;  1 , 3   ;   2 Xét hàm số f ( x )  x  x  3  x  liên tục    19  3 f (0)   3  0, f      f (0) f     2  2 Nên phương trình f ( x ) 0 có nghiệm Giả sử phương trình f ( x ) 0 có hai nghiệm x1 , x2      x13  x23   x1  x2   3  x1  f ( x )  f ( x )  Khi đó:     x1  x2   x12  x1 x2  x22    0    x   x                 2   x2 0 B  x1  x2 (Vì x  3x2  B  x1      0 2  x1   x2  ) Vậy phương trình ln có nghiệm D Phương trình có nghiệm phân biệt ... C liên tục D liên tục Lời giải Chọn A Câu 11 Cho hàm số y  f  x có đồ thị hình đây: Chọn khẳng định đúng: A Hàm số liên tục   1;  C Hàm số liên tục B Hàm số liên tục   ;  D Hàm. .. x Hàm số liên tục Câu 14 Phương trình x  x  23 0 có nghiệm thuộc khoảng A (-3 ;-2 ) B (0;1) C (-2 ;-1 ) Lời giải Chọn C Xét f (x) x  3x  23 liên tục R nên f(x) liên tục [-2 ,-1 ] D (2,3) Ta có. .. trị hàm số x  Vậy hàm số gián đoạn x  lim  DẠNG 2: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN MIỀN D f  x   x2  Ví dụ Cho hàm số Chọn câu câu sau: f  x (I) liên tục x 2 f  x (II) gián