Sáng kiến kinh nghiệm dùng hàm số giải phương trinh, hệ pt và bất phương trình của thế anh

SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A LÝ THUYẾT CƠ BẢN a TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = f(x) xác định D y = f (x) đồng biến D ⇔ ∀x1 < x2 ∈ D ta có f ( x1 ) < f ( x ) y = f (x) nghịch biến D ⇔∀x1 < x2 ∈ D ta có f ( x1 ) > f ( x ) y = f (x) đồng biến D ⇔ ƒ′ (x) ≥ ∀x ∈ D đồng thời ƒ′(x) = số hữu hạn điểm ∈ D y = f (x) nghịch biến / D ⇔ ƒ′(x) ≤ ∀x ∈ D đồng thời ƒ′(x) = số hữu hạn điểm ∈ D Cực trị hàm số : Hàm số đạt cực trị điểm x = x k ⇔ f ′ ( x ) đổi dấu qua x k ( ý hàm số liên tục x k ) Giá trị lớn nhỏ hàm số • Giả sử y = ƒ(x) liên tục [a, b] đồng thời đạt cực trị x1 , , x n ∈ ( a, b ) Khi đó: Max f ( x ) = Max { f ( x1 ) , , f ( x n ) , f ( a ) , f ( b ) } ; x∈[ a ,b ] M in f ( x ) = M in { f ( x1 ) , , f ( x n ) , f ( a ) , f ( b ) } x∈[ a ,b ] • Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] Min f ( x ) = f ( a ) ; Max f ( x ) = f ( b ) x∈[ a ,b ] x∈[ a ,b ] f ( x ) = f ( b ) ; Max f ( x ) = f ( a ) • Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] xMin ∈[ a ,b ] x∈[ a ,b ] b PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Nghiệm phương trình u(x) = v(x) hồnh độ giao điểm đồ thị y = u ( x ) với đồ thị y = v ( x ) u(x Nghiệm bất phương trình u(x) ≥ v(x) ) phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y = u ( x ) nằm phía v(x) so với phần đồ thị y = v ( x ) Nghiệm bất phương trình u(x) ≤ v(x) a β b x phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y = u ( x ) nằm phía so với phần đồ thị y = v ( x ) Nghiệm phương trình u(x) = m hồnh độ giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị y = u ( x ) u ( x) ≥ m BPT u(x) ≥ m nghiệm ∀x∈I ⇔ Min x∈I y= α m a b x u ( x) ≤ m BPT u(x) ≤ m ngh ∀x∈I ⇔ Max x∈I u ( x) ≥ m BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔ Max x∈I u ( x) ≤ m BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔ Min x∈I Chú ý: Hàm tăng giảm nghiêm ngặt Mệnh đề 1: Xét phương trình f(x) = m, m số x ∈ D Nếu miền D hàm số f(x) đồng biến ( Hoặc nghịch biến) phương trình có nghiệm nghiệm Mệnh đề 2: Xét phương trình f(x) = g(x) với x ∈ D Nếu miền D hàm f(x) đồng biến g(x) nghịch biến phương trình có nghiệm nghiệm B BÀI TẬP ỨNG DỤNG: a ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TỐN KHƠNG CHỨA THAM SỐ: Bài 1: Cho phương trình x − x − x − = (1) Chứng minh phương trình có nghiệm ( Đề khối D -2004) Giải Ta có x = ( x + 1) (2), từ (2) ⇒ x ≥ 0.khi x ≥ ⇒ (x+1) ≥ , từ (2) ta có x5 ≥ ⇒ x ≥ Như nghiệm phương trình (1) (nếu có) x ≥  f ( x) = x − x − x − = (1) ⇔ Nên  (3) x ≥ Ta có f '( x) = x − x − = (2 x − x) + (2 x − 2) + x > 0∀x ≥ Mặt khác f(x) liên tục ∀x ≥ , suy hàm số f(x) đồng biến ∀x ≥ (*) Mà f(1).f(2)0 ∀x ≠ , nên hệ phương trình (3) vơ nghiệm Chú ý: Rất nhiều học sinh giải toán theo hướng : t > 0, ∀t ∈ R nên f(x) = f(y) => x = y vào t2 Đặt f (t ) = t − ⇒ f '(t ) = + phương trình lại hệ đề giải Đây sai lầm thường mắc phải em học sinh sử dụng phương pháp này, hàm số f(t) gián đoạn t = Nhận xét: Với f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ D f y = f(x) liên tục D f  f ( x) = f ( y ) x = y ⇔   F ( x; y ) =  F ( x; y ) = Bài 3: Giải phương trình 100 x − + 90 x − = Giải: Với điều kiện x ≥ , xét hàm số 100 x − + 90 x − = f ( x), f '( x) = 100100 ( x − 1) + 4590 (2 x − 3) 3 liên tục ∀x ≥ suy hàm số đồng biến [ ; +∞) 2 99 89 > 0∀x > , mà hàm số Mặt khác, phương trình có nghiệm x = Vậy x=2 nghiệm phương trình Bài 4: Giải phương trình 4( x − 2)[log ( x − 3) + log ( x − 2)] = 15( x + 1) (1) Giải: Đkiện x>3, với đk pt(1) ⇔ f ( x) = log ( x − 3) + log ( x − 2) = 15( x + 1) = g ( x) 4( x − 2) 1 + > 0, ∀x > ( x − 3) ln ( x − 2) ln Ta có: Vậy với x>3 hsố f(x) đồng −5 g '( x) < 0, ∀x > 4( x − 2) f '( x ) = biến, g(x) nghịch biến Mặt khác f(11) = g(11) = 5, phương trình có nghiệm x = 11 Bài 5: Giải bất phương trình: x − ( x − x + 1) > x − x + 15 x − 14 (6) Giải: (6) ⇔ x − ( x − 1) + 3 > ( x − ) + x − ⇔ 2x −1 + 2x −1 > ( x − 2) + ( x − 2) 3 Xét hàm số f(t)= t3+3t, D = R Ta có : f’(t) = 3t2+2 > nên f đồng biến R f ( 2x −1 ) > f ( x − 2) ⇔ 2x −1 > x − Xét x-2 < BPT nghiệm Xét x-2 ≥ 2x-1 > nên BPT ⇔ x − > x − ⇔ x > −1 : Vậy tập nghiệm S = R sin2 x Bài 7: Giải bất phương trình:  ÷  3 + 3cos2 x − log 2005 ≥ Giải: (7) Ta có: sin2 x sin2 x cos2 x  2 cos2 x +3 − log 2005 ≥ ⇔  ÷ + ≥ log 2005 6 2x  3 sin sin2 x 1−sin2 x sin2 x  2  2 ⇔ ÷ + ≥ log 2005 ⇔  ÷ + ≥ log 2005 6 2x 2x 3  3  sin 2sin 3 Đặt t = sin x, t ∈ [ 0;1] t t 2 1 Bất phương trình trở thành:   + 3.  ≥ log 2005 3 9 t t  2 1 Hàm f (t ) =   + 3.  nghịch biến với ∀t ∈ [ 0;1] ⇒ f (t ) ≤ f (0) =  3 9 Mà log 2005 > Suy ra, bất phương trình cho vơ nghiệm 2 3÷   b ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA THAM SỐ: Bài Cho hàm số f ( x ) = mx + 2mx − a Tìm m để phương trình ƒ(x) = có nghiệm x∈[1; 2] b Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ nghiệm ∀x∈[1; 4] c Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ có nghiệm x∈ [ −1;3] Giải: a Biến đổi phương trình ƒ(x) = ta có: f ( x ) = mx + 2mx − = ⇔ m ( x + x ) = ⇔ g ( x ) = = =m ( x + 1) − Min g ( x ) ≤ m ≤ Max g ( x ) ⇔ ≤ m ≤ x + 2x Để ƒ(x) = có nghiệm x∈[1; 2] x∈[ 1;2] x∈[ 1;2] b Ta có ∀x∈[1; 4] g ( x) = f ( x ) = mx + 2mx − ≤ ⇔ m ( x + 2x ) ≤ ⇔ in g ( x ) ≥ m ≥ m , ∀x ∈ [ 1; 4] ⇔ M x∈[ 1;4] x + 2x g ( x ) = g ( 4) = ≥ m Do g ( x ) = ( x + 1) − giảm [1; 4] nên ycbt ⇔ xMin ∈[ 1;4] c Ta có với x∈ [ −1;3] f ( x ) = mx + 2mx − ≥ ⇔ m ( x + 2x ) ≥ Đặt g ( x ) = x + x , x ∈ [ −1;3] Xét khả sau đây: + Nếu x=0 + Nếu x ∈ ( 0;3] BPT ⇔ g ( x) ≤ m có nghiệm Do g ( x ) = ( x + 1) − giảm / ( 0; 3] nên ycbt + Nếu x ∈ [ −1; ) ⇔ Max g ( x ) ≥ m [ −1;0 ) m.0 = ≥ bất phương trình trở thành x + 2x < Ta có g′( x) = nên BPT −3 ( x + ) ( x + 2x) Do g ( x ) nghịch biến nên ta có g ( x) ≤ m x ∈ ( 0;3] ⇔ xMin ∈( 0;3] ⇔ Min g ( x ) = g ( 3) = ≤ m x∈( 0;3] ⇔ g ( x) ≥ m ≤ 0, ∀x ∈ [ −1; 0] có nghiệm x ∈ [ −1; ) Max g ( x ) = g ( −1) = −3 ≥ m [ −1;0 ) Kết luận: ƒ(x) ≥ có nghiệm x∈ [ −1;3] Bài (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình x − + m nên vô nghiệm ⇔ m ∈ ( −∞; −3] U  ; +∞  x + = 24 x2 −1 ) có nghiệm thực Giải: ĐK: x ≥1 , biến đổi phương trình ⇔ −3 x − + x − = m x +1 x +1 t01+0–0– u = x − = − ∈ [ 0,1) x +1 x +1 Khi g ( t ) = −3t + 2t = m Ta có g ′ ( t ) = −6t + = ⇔ t = 13 Do yêu cầu ⇔ −1 < m ≤ 13 Đặt Bài (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với m > , phương trình x + x − = m ( x − ) ln có hai nghiệm phân biệt Giải: Điều kiện: x ≥ Biến đổi phương trình ta có: ⇔ ( x − 2) ( x + 6) = m ( x − 2) 2 ⇔ ( x − 2) ( x + 6) = m ( x − 2) ⇔ ( x − ) ( x + x − 32 − m ) = ⇔ x = V g ( x ) = x + x − 32 = m Ycbt ⇔ g ( x) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 2; +∞ ) Thật ta có: g ′ ( x ) = 3x ( x + ) > 0, ∀x > g ( ) = 0; lim g ( x ) = +∞ x →+∞ Do g ( x ) đồng biến mà g ( x ) liên tục nên g ( x ) = m có nghiệm ∈ ( 2; +∞ ) Vậy ∀m > , phương trình x + x − = Bài (Đề TSĐH khối D, 2007): Tìm m để hệ phương trình có nghiệm m ( x − 2) có hai nghiệm phân biệt x + + y + =  x y   x + 13 + y + 13 = 15m − 10 x y  Đặt u = x + ;v = y + x y ta có ( Giải: x + 13 = x + x x ) ) ( − 3x ×1 x + = u − 3u x x u = x+ = x + ≥2 x =2 ; v = y + ≥2 y =2 x x x y y Khi hệ trở thành u + v = u + v = ⇔  3 u + v − ( u + v ) = 15m − 10 uv = − m ⇔ u, v nghiệm phương trình bậc hai f ( t ) = t − 5t + = m Hệ có nghiệm ⇔ f ( t ) = m có nghiệm t1 , t thỏa mãn Lập Bảng biến thiên hàm số f ( t ) với t ≥ T −∞ –2 f ′( t) f ( t) t1 ≥ 2; t ≥ +∞ 5/2 – – +∞ + +∞ 22 Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm Bài 5: Tìm m để 7/4 ⇔ ≤ m ≤ ∨ m ≥ 22 y = −1 x + ( m − 1) x + ( m + 3) x − đồng biến (0, 3) Giải Hàm số tăng (0,3) ⇔ (1) ( Dấu = xảy số điểm hữu hạn ∈ ( 0,3) ) Do y ′ ( x ) liên tục x = x = nên (1) ⇔ y′ ≥ ∀x∈[0, 3] y ′ = − x + ( m − 1) x + ( m + 3) ≥ ∀x ∈ ( 0, ) ⇔ m ( x + 1) ≥ x + x − ∀x ∈ [ 0, 3] ⇔ g ( x ) = x ⇔ Max g ( x ) ≤ m x∈[ 0,3] Ta có: ⇒ g(x) đồng biến + x − ≤ m ∀x ∈ [ 0, 3] 2x + g ′ ( x ) = x + x +2 > ∀x ∈ [ 0, 3] ( x + 1) g ( x ) = g ( 3) = 12 [0, 3] ⇒ m ≥ Max x∈[ 0,3] Nhận xét: Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán phương pháp tối ưu giải toán đề thi đại học phần phương trình, hệ phương trình bất phương trình, đặc biệt toán tham số Tuy nhiên, phạm vi viết tơi nêu số tốn để em học sinh tham khảo Tơi hy vọng em ứng dụng thành công tơi truyền đạt đề tài để đạt kết tốt trình học tập kỳ thi tốt nghiệp kỳ thi tuyển sinh tới C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x 2x + (Đại học, cao đẳng khối B – 2004) 2.Giải phương trình: log ( x − 1) = x − x Giải phương trình: log 2007 ( x + 1) = 2007 x − Tìm m để bất phương trình (4 + x)(6 − x) ≤ x − x + m ∀x ∈ [ − 4;6] Giải bất phương trình x( x + x + 16) > 6(4 − x ) Giải bất phương trình x + 12 x > 13 x Giải phương trình sau: Giải bất phương trình sau: − x + 3mx − < −13 nghiệm ∀x ≥ x x ( ) trình m.4 + m − x + + m − > ∀x ∈ ¡ Tìm m để bất phương trình: 10 Tìm m để bất phương 11 Tìm m để phương trình: x x + x + 12 = m ( − x + − x ) 12 Tìm m để bất phương trình: 13 Tìm m để ( + x ) ( − x ) x + 3x − ≤ m ( x − x − ) ≤ x − 2x + m có nghiệm có nghiệm nghiệm ∀x ∈ [ −4, 6] ... dụng phương pháp hàm số để giải toán phương pháp tối ưu giải tốn đề thi đại học phần phương trình, hệ phương trình bất phương trình, đặc biệt toán tham số Tuy nhiên, phạm vi viết tơi nêu số tốn... ) Giải bất phương trình x + 12 x > 13 x Giải phương trình sau: Giải bất phương trình sau: − x + 3mx − < −13 nghiệm ∀x ≥ x x ( ) trình m.4 + m − x + + m − > ∀x ∈ ¡ Tìm m để bất phương trình: ... – 2004) 2 .Giải phương trình: log ( x − 1) = x − x Giải phương trình: log 2007 ( x + 1) = 2007 x − Tìm m để bất phương trình (4 + x)(6 − x) ≤ x − x + m ∀x ∈ [ − 4;6] Giải bất phương trình x( x