Bài tập bất đẳng thức và bất phương trình có lời giải chi tiết – nguyễn phú khánh, huỳnh đức khánh

CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 01 BẤT ĐẲNG THỨC I – ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng '' a < b '' '' a > b '' gọi bất đẳng thức Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề '' a < b ⇒ c < d '' ta nói bất đẳng thức c < d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a < b viết a < b ⇒ c < d Nếu bất đẳng thức a < b hệ bất đẳng thức c < d ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a < b ⇔ c < d Tính chất bất đẳng thức Như để chứng minh bất đẳng thức a < b ta cần chứng minh a − b < Tổng quát hơn, so sánh hai số, hai biểu thức chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng tính chất bất đẳng thức tóm tắt bảng sau Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung Cộng hai vế bất a 0, c > a < b c < d ⇒ ac < bd n ∈ ℕ∗ a < b ⇔ a n +1 < b n +1 n ∈ ℕ∗ a > a < b ⇔ a 2n < b 2n a>0 a a Hệ Nếu x , y dương có tổng khơng đổi tích xy lớn x = y Hệ Nếu x , y dương có tích khơng đổi tổng x + y nhỏ x = y III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x ≥ 0, x ≥ x , x ≥ − x x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a a>0 x ≥ a ⇔ x ≤ − a x ≥ a a − b ≤ a +b ≤ a + b CÂU HỎI V7 B7I TẬP TRẮC NGHIỆM 10 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn trắc nghiệm 10 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? a < b a > b A  ⇒ a − c < b − d B  ⇒ a − c > b − d   c < d c > d a > b C  ⇒ a − d > b − c  c > d a > b > D  ⇒ a − c > b − d  c > d > a > b a > b a > b ⇔  ⇔  ⇒ a − d > b − c Chọn C Lời giải Ta có   c > d − c < − d − d > − c Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau sai? a > b a > b b+c A  ⇒a> B  ⇒ a − c > b − a   a > c a > c C a > b ⇒ a − c > b − c D a > b ⇒ c − a > c − b Lời giải Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: a > b b +c •  ⇒ a + a > b + c ⇒ 2a > b + c ⇒ a >  → A a > c a > b •  ⇒ a + a > b + c ⇒ a − c > b − a  → B a > c • a > b ⇒ a + (− c ) > b + (− c ) ⇒ a − c > b − c  → C • a > b ⇒ − a < − b ⇔ c − a < c − b  → D sai Chọn D Câu Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a < b a > b ⇒ ac < bd ⇒ ac > bd A  B    c < d c > d 0 < a < b C  ⇒ ac < bd D  0 < c < d 0 < a < b Lời giải Ta có  ⇒ ac < bd Chọn C  0 < c < d a > b ⇒ − ac > − bd  c > d Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? A a < b ⇒ ac < bc B a < b ⇒ ac > bc a < b C c < a < b ⇒ ac < bc D   ⇒ ac < bc  c > Lời giải Xét bất phương trình a < b (∗) c >  a < b ⇔ ac < bc  Chọn D Khi nhân hai vế (∗) với c , ta  c <   a < b ⇔ ac > bc Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? 0 < a < b a > b > a b a b A  B  ⇒ < ⇒ >   0 < c < d c > d > c d c d a < b a > b > a b a d C  ⇒ < D  ⇒ >   c < d c > d > b c c d Lời giải Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: 0 < a < b 0 < a < b a b •  ⇔  → A sai 1 ⇒ Chưa đủ kiện để so sánh ,  0 < c < d 0 < < c d  d c a > b > a > b >  a b •  ⇔ 1 ⇒ Chưa đủ kiện để so sánh ,  → B sai c d c > d >  > > d c a < b a b •  ⇒ <  → C sai chưa thiếu điều kiện a, b, c , d c < d c d  a  >1 a > b >  b a d a d •  ⇒ ⇒ > > ⇔ >  → D Chọn D c > d >  d b c b c >  c  Câu Nếu a + 2c > b + 2c bất đẳng thức sau đúng? A − 3a > − 3b B a > b C 2a > 2b D 1 < a b Lời giải Từ giả thiết, ta có a + 2c > b + 2c ⇔ a > b ⇔ 2a > 2b Chọn C Câu Nếu a + b < a b − a > b bất đẳng thức sau đúng? A ab > B b < a C a < b < D a > b < a + b < a b < a < Lời giải Từ giả thiết, ta có  ⇔ ⇔  ⇒ ab < Chọn A b − a > b − a > b < Câu Nếu < a < bất đẳng thức sau đúng? 1 A > a B a > C a > a a a D a > a Lời giải Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: ( )( ) 1− a + a + a 1− a a − a= = > ⇔ > a , ∀a ∈ (0;1)  → A a a a a a −1 (a −1)(a + 1) • a− = = < ⇔ a < , ∀a ∈ (0;1)  → B sai a a a a • • a− a = a ( a −1 < ⇔ a < a , ∀a ∈ (0;1)  → C sai ) • a − a = a (a −1) < ⇔ a < a , ∀a ∈ (0;1)  → D sai Chọn A Câu Cho hai số thực dương a, b Bất đẳng thức sau đúng? A C a2 ≥ a +1 B a2 +1 ≤ a2 + 2 ab ≥ ab + D Tất Lời giải Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: (a −1) a2 2a − a −1 a2 • − = = − ≤ 0, ∀ a ∈ ℝ ⇔ ≤  → A sai 4 a +1 a +1 2 (a + 1) (a + 1) ( ) ab −1 ab ab − ab −1 ab • − = =− ≤0 ⇔ ≤ , ∀a, b >  → B sai ab + 2 (ab + 1) (ab + 1) ab + 2 • 2 a +1 a +1 − a − = a2 + 2 (a + ) ( −2 =− ) a + −1 (a + ) ≤0⇔ a2 +1 ≤ , ∀a  → C a2 + Chọn C Câu 10 Cho a, b > x = 1+ a 1+ b , y= Mệnh đề sau đúng? 1+ a + a2 1+ b + b2 A x > y B x < y C x = y D Không so sánh Lời giải Giả sử x < y ⇔ 1+ a 1+ b < ⇔ (1 + a )(1 + b + b ) < (1 + b )(1 + a + a ) 1+ a + a 1+ b + b2 ⇔ + b + b + a + ab + ab < + a + a + b + ab + a b ⇔ b + ab < a + a b ⇔ (a − b ) + ab (a − b ) > ⇔ (a − b )(a + b + ab ) > với a > b > Vậy x < y Chọn B Câu 11 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f ( x ) = x + A m = − 2 B m = + 2 Lời giải Ta có f ( x ) = x + với x > x −1 C m = − D m = + 2 2 = x −1 + + ≥ ( x −1) + = 2 + x −1 x −1 x −1  x >  Dấu " = " xảy ⇔   ⇔ x = + Vậy m = 2 + Chọn B  x −1 =  x −1 x2 +5 Câu 12 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f ( x ) = x2 +4 A m = B m = C m = D Không tồn m x + +1 1 Lời giải Ta có f ( x ) = = x2 +4 + ≥ x + = 2 2 x +4 x +4 x +4 Dấu " = " xảy x2 + = ⇔ x = − : vô lý x +4 Lời giải sau: Ta có f ( x ) = x + +1 x2 +4 = x2 +4 + x2 +4 x2 +4 x2 +4 + + 4 x2 +4 =   x + x2 + + ≥2 =1  2 4 x +4 x +4 Do  Dấu " = " xảy ⇔ x =   3  x + ≥ =  4 Suy f ( x ) ≥ + = Chọn C 2 x + 2x + Câu 13 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f ( x ) = với x > −1 x +1 A m = B m = Lời giải Ta có f ( x ) = C m = D m = 2 x + x + + ( x + 1) + 1 = = x +1+ x +1 x +1 x +1 Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có x + + 1 ≥ ( x + 1) = x +1 x +1  x > −1 Dấu " = " xảy ⇔   ⇔ x = Vậy m = Chọn C  x + =  x +1 Câu 14 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f ( x ) = A m = B m = 18 ( x + 2)( x + 8) C m = 16 x với x > D m = Lời giải Ta có f ( x ) = ( x + 2)( x + 8) x Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có x + = x + 10 x + 16 16 = x + + 10 x x 16 16 ≥ x = ⇒ f ( x ) ≥ 18 x x  x >  Dấu " = " xảy ⇔   16 ⇔ x = Vậy m = 18 Chọn B  x =  x x Câu 15 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f ( x ) = + với > x > x 1− x A m = B m = C m = D m = (1 − x ) x 4x x x Lời giải Ta có f ( x ) − = + −4 = − + = + x 1− x x x 1− x x 1− x x Vì x ∈ (0;1) ⇒ > nên theo bất đẳng thức Cơsi, ta có 1− x f (x )− = (1 − x ) + (1 − x ) x x ≥2 = ⇔ f ( x ) ≥ 1− x x 1− x x 1 > x >  Dấu " = " xảy ⇔  (1 − x ) x ⇔ x = Vậy m = Chọn D  =  x 1− x Câu 16 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f ( x ) = A m = B m = C m = Lời giải Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có Mặt khác x (1 − x ) ≤ (x +1− x ) 1 + với < x < x 1− x = D m = 16 1 1 + ≥2 = x 1− x x 1− x 1  → x (1 − x ) ≤ ⇔ x (1 − x ) x (1 − x ) ≥ ⇒ f ( x ) ≥ 1 > x > Dấu " = " xảy ⇔  ⇔ x = Vậy m = Chọn B   x = − x 1 1− x + x 1− x + x 1− x x Cách Ta có f ( x ) = + = + = + + x 1− x x 1− x x 1− x Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có x 1− x 1− x x + ≥2 = ⇒ f ( x ) ≥ x 1− x x 1− x 1 > x >  Dấu " = " xảy ⇔   x 1− x ⇔ x =  = 1 − x x Câu 17 Tìm trị 85 Tìm tất giá thực tham số m để hàm số f ( x ) = (m + ) x − (m − ) x − 2m + xác định với x ∈ ℝ A m ≤ B − 20 ≤ m ≤ C m ≥ − 20 D m > Lời giải f ( x ) xác định với x ∈ ℝ ⇔ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ TH1: m = −4 f ( x ) = x + ≥ ⇔ x ≥ −  → m = −4 không thỏa a > m > −4 20 TH2: m ≠ −4 , yêu cầu toán ⇔  ⇔  ⇔ − ≤ m ≤ Chọn B  ∆ ≤ 9m + 20m ≤ Câu 86 Hàm số y = (m + 1) x − (m + 1) x + có tập xác định D = ℝ A −1 ≤ m ≤ B −1 < m < C −1 < m ≤ D m > −1 Lời giải Yêu cầu toán ⇔ f ( x ) = (m + 1) x − (m + 1) x + ≥ 0, ∀x ∈ ℝ (1) • m = −1 f ( x ) = > 0, ∀x ∈ ℝ : thỏa mãn m > −1 m + > m > −1 • m ≠ −1 , (1) ⇔  ⇔ ⇔  ⇔ −1 < m ≤ ∆ ' ≤ m − m − ≤ −1 ≤ m ≤ Kết hợp hai trường hợp ta −1 ≤ m ≤ Chọn A Câu 87 Tìm tất giá trị thực tham số m để biểu thức −x + (m + 1) x + − m f (x ) = dương −4 x + x − 5 5 A m ≥ − B m < − C m < D m ≥ 8 8  5 Lời giải Ta có −4 x + x − = −2 x −  − < với x ∈ ℝ   16 Do f ( x ) = −x + (m + 1) x + − m −4 x + x − > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ −x + (m + 1) x + − m < 0, ∀x ∈ ℝ a = −1 < ⇔ ⇔ 8m + < ⇔ m < − Chọn B ∆ ' = (m + 1)2 + (1 − m ) <  Câu 88 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình −2 x + (m − ) x + m − < có nghiệm A m ∈ ℝ B m ∈ (−∞;0 ) ∪ (2; +∞) C m ∈ (−∞;0 ] ∪ [2; +∞) D m ∈ [0;2 ] Lời giải Đặt f ( x ) = −2 x + (m − ) x + m − ∆ ' = (m − ) + (m − 2) = m − 2m a =−2 ⇔ x > Do m = thỏa mãn • m > , ta biện luận trường hợp câu 88 Do m > thỏa mãn • m < , ycbt ⇔ ∆ ' > ⇔ m > −  → f ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x1 < x Khi bất phương trình cho có nghiệm x ∈ ( x1 ; x ) Do − < m < thỏa mãn Hợp trường hợp ta m > − Chọn C Vấn đề HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2 − x ≥ Câu 91 Tập nghiệm S hệ bất phương trình  là:   x − x + < A S = [1;2 ) B S = [1;3) C S = (1;2 ] D S = [2;3) Lời giải Tập nghiệm − x ≥ S1 = (−∞;2 ] Tập nghiệm x − x + < S1 = (1;3) Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S = (1;2 ] Chọn C  x − x − > Câu 92 Tìm x thỏa mãn hệ bất phương trình    x − 11x + 28 ≥  A x > B < x ≤ C ≤ x ≤ D < x ≤ Lời giải Tập nghiệm x − x − > S1 = (−∞; −1) ∪ (3; +∞) Tập nghiệm x − 11x + 28 ≥ S = (−∞; ] ∪ [7; +∞) Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S2 = (−∞; −1) ∪ (3; ] ∪ [7; +∞) Chọn D  x − x + > Câu 93 Tập nghiệm S hệ bất phương trình  là:   x − x + >  A S = (−∞;1) ∪ (3; +∞) B S = (−∞;1) ∪ (4; +∞) D S = (1; ) C S = (−∞;2) ∪ (3; +∞) Lời giải Tập nghiệm x − x + > S1 = (−∞;1) ∪ (3; +∞) Tập nghiệm x − x + > S = (−∞;2 ) ∪ (4; +∞) Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S2 = (−∞;1) ∪ ( 4; +∞) Chọn B  x − x + ≤ Câu 94 Tập nghiệm S hệ bất phương trình  là:   x − ≤  A S = B S = {1} C S = [1;2 ] D S = [−1;1] Lời giải Tập nghiệm x − x + ≤ S1 = [1;2 ] Tập nghiệm x − ≤ S = [−1;1] Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S2 = {1} Chọn B 3 x − x + > Câu 95 Giải hệ bất phương trình   3 x − x + ≤  A x ≥ B x ≤ C x ∈ ∅ D x ≤ 3   Lời giải Tập nghiệm x − x + > S1 = −∞;  ∪ (1; +∞)  3 2  Tập nghiệm 3x − x + ≤ S =  ;1   Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S = ∅ Chọn C −2 x − x + < Câu 96 Có giá trị nguyên x thỏa mãn  ?  −x − x + 10 >  A B C D   −5 − 57   −5 + 57 Lời giải Tập nghiệm −2 x − x + < S1 = −∞; ; +∞  ∪   4    Tập nghiệm −x − x + 10 > S = (−5;2 )  −5 − 57   −5 + 57  Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S = −5; ;2  ∪  4     Do giá trị nguyên x thuộc tập S {−4;1} Chọn C  x − < Câu 97 Hệ bất phương trình  có nghiệm là:  ( x − 1)(3 x + x + 4) ≥  B −3 < x ≤ − hoặc −1 ≤ x ≤ A −1 ≤ x < 4 C − ≤ x ≤ −1 hay ≤ x ≤ D − ≤ x ≤ −1 hoặc ≤ x < 3 Lời giải Tập nghiệm x − < S1 = (−3;3)  −4  Tập nghiệm ( x − 1)(3 x + x + 4) ≥ S =  ; −1 ∪ [1; +∞)    −4  Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S2 =  ; −1 ∪ [1;3) Chọn D    x − x + < Câu 98 Tập nghiệm hệ bất phương trình  là:   x − <  A (1;2 ) B [1;2 ] C (– ∞;1) ∪ (2; +∞) D ∅ Lời giải Tập nghiệm x − x + < S1 = (1;6 ) Tập nghiệm x − < S = (−1;2 ) Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S2 = (1;2 ) Chọn A Câu 99 Hệ bất phương trình sau vô nghiệm?  x − x − >  x − x − <  A  B  −2 x + x − < −2 x + x − >    x − x − >  x − x − < C  D    2 x + x + > 2 x − x + >   Lời giải Đáp án A Tập nghiệm x − x − > S1 = (−∞; −1) ∪ (3; +∞) Tập nghiệm −2 x + x − < S2 = ℝ Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S = (−∞; −1) ∪ (3; +∞) Đáp án B Tập nghiệm x − x − < S1 = (−1;3) Tập nghiệm −2 x + x − > S = ∅ Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S = ∅ Đáp án C Tập nghiệm x − x − > S1 = (−∞; −1) ∪ (3; +∞) Tập nghiệm x + x + > S2 = ℝ Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S = (−∞; −1) ∪ (3; +∞) Đáp án D Tập nghiệm x − x − < S1 = (−1;3) Tập nghiệm x − x + > S2 = ℝ Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S2 = (−1;3) Chọn B  x + x + ≥  Câu 100 Số nghiệm nguyên hệ bất phương trình  2 x − x − 10 ≤ là:  2 x − x + >  A B C D Lời giải Tập nghiệm x + x + ≥ S1 = (−∞; −3] ∪ [−1; +∞)  5 Tập nghiệm x − x − 10 ≤ S = −2;    3  Tập nghiệm x − x + > S3 = (−∞;1) ∪  ; +∞   3 5 Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S2 ∩ S3 = [−1;1) ∪  ;   2  Suy nghiệm nguyên {−1;0;2} Chọn B ... −1 2 Lời giải Bất phương trình (1) ⇔ −1 ≤ x ≤ Suy S1 = [ −1; 4] Giải bất phương trình (2) Với m − = ⇔ m = bất phương trình (2) trở thành x ≥ : vô nghiệm m −1 Với m − > ⇔ m > bất phương trình. .. D m > 11 32 Lời giải Bất phương trình (1) ⇔ −8 ≤ x ≤ −2 Suy S1 = [ −8; −2] Giải bất phương trình (2) Với m = bất phương trình (2) trở thành x ≥ : vơ nghiệm Với m > bất phương trình (2) tương... hệ bất phương trình  Để hệ bất phương   x − x + ≤ (1)  Để hệ bất phương trình vơ nghiệm m > − trình có nghiệm, giá trị thích hợp tham số  a là: A ≤ a ≤ B ≤ a ≤ C ≤ a ≤ Lời giải Bất phương