CHUYÊN đề bài tập PHƯƠNG TRÌNH bất PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH có lời GIẢI CHI TIẾT

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nguyễn Trường Sơn – THPT Chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình   x  y   x3  y  x   Câu Giải hệ phương trình sau:  3 2   x  y  12 x  y  y  x  x  Lời giải Điều kiện:   y  1 Phương trình thứ tương đương với ( x  2)3  ( y  1)3  y  x  (3) Thay (3) vào phương trình thứ ta được:  x  x   x3  x2  5x  điều kiện 2  x    x  x   x3  x  x    x  x    x  x  x   2( (3  x)( x  2)  2) 3 x  x  3  x3  x  x   2( x  x  2)  ( x  1)( x  2)( x  3) (  x  x   3)( (3  x)( x  2)  2)  2( x  x  2)  ( x  x  2)( x  3) (  x  x   3)( (3  x)( x  2)  2)  ( x  x  2)(  ( x  3))  (  x  x   3)( (3  x)( x  2)  2) Do điều kiện 2  x  nên  ( x  3)  (  x  x   3)( (3  x)( x  2)  2) Suy x2  x    x  1; x  thoả mãn điều kiện Khi x  1  y  TMĐK Khi x   y  TMĐK Vậy hệ cho có hai nghiệm (-1;0), (2;3) 2 x  y   x  1 x  x   x  y   Câu Giải hệ phương trình   x, y  xy   y  x   x     Lời giải Từ phương trình thứ hai hệ ta có: y   x   x  Thay vào phương trình thứ ta được:  x  1 1    x  1     x 1    x  2  t f  t   t 1  t    f '  t    t    0, t   t2    Cho ta x    x  x    y  Nghiệm hệ :  x; y     ;0    Câu Giải hệ phương trình 2   xy ( x   1)  y   y   ( xy  x) x    x  xy  34  34 x  xy  10 x  x (x,y  ) x x  (1)  x  log x  log   y.2  ( x, y  ) Câu Giải hệ phương trình  2log x  6log y   x log x  y   (2)    2  Lời giải Điều kiện: x  0; y  1 (1)  log x  log  y  1  x  y   y  x  Thay y  x  vào phương trình (2) ta phương trình: 2log 22 x  6log x  x log x  3x  log x     log x  3 2log x  x      2log x  x  (3)  x   y  (t/m đk) - Xét hàm số f ( x)  2log x  x với x  (3) (4)  x ln 2 , f '( x)   x  x ln ln Bảng biến thiên Ta có f '( x)  x + x0 - f(x) x Theo BBT, pt f ( x)  có nhiều nghiệm (0; ) , có f (2)  f (4)  Do đó, phương trình (4) có hai nghiệm x  2; x   y  1; y  (t/m đk) Vậy: Hệ phương trình cho có nghiệm (2;1), (4;3), (8;7) Câu Giải phương trình ( x  2)   x   x   x2  5x    x     x  y   xy  y  x  y  Câu Giải hệ phương trình  (x, y  R)  x  y   x  14 y  12   x Lời giải  x  y  ( x  y )( y  1)  2( y  1)  (1) (I)   3  x  y   x  14 y  12 (2) Điều kiện: x  8, y  – 1, (x – y)(y + 1)  (*) Nếu (x ; y) nghiệm hệ (I) y > – Suy x – y  Do đó: (1)  x y x y  2 0  y 1 y 1 x y x y 1   x  y 1 y 1 y 1 Thay x = 2y + vào (2) ta được:  y  y   (2 y  1)2 14 y 12  y    y  y 10 y 11   4( y   2)  3(  y  1)  y 10 y      ( y  3)    y  1  (3)  y 1    y 1   Vì 1  y   nên 2 2  , y 1   2 3  , 2y + > –1  y 1   y 1  y 1   y 1 Do đó: (3)  y    y   x = (thỏa (*)) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x ; y) = (7 ; 3) Câu Giải phương trình 32 x4  16 x2  x  x    tập số thực Lời giải Điều kiện x  , phương trình cho tương đương 32 x  32 x  16 x  16 x  x    x      32 x  x  1  16 x  x  1  7( x  1)   x    32 x  x  1 ( x  1)  16 x  x  1  7( x  1)    2x  2x 1 18     x  1 32 x ( x  1)  16 x   0 1 2x 1   18     x  1 32 x3  32 x  16 x     (*)  2x 1   Ta có 0 32  32 x     32 x   32 x    32 x3  32 x  16 x   27  16  16 x    18 1 2x 1     18 1 2x 1 18  32 x3  32 x  16 x     1 2x 1 Vậy (*)  x  Kết luận: Phương trình có nghiệm x =1 Câu Giải hệ phương trình:  x   xy  x  y   x   y  y  1   x    2  x  3 y  1   y  1 x  x     Lời giải Pt(1)  x    x  3 y  1  x  y   y 1 a  x  a  b Đặt   a, b   , (1) trở thành: a  2b2  ab  a  b     a  2b   b  y  + a  2b   vô nghiệm a, b  + Xét a = b  y  x  thay vào (2) ta được:  x  3 x  3   x  1  x2  2x  3  x 1    x  3 x  3   x  1  x  2x  3 x 3 x 1    x   y  5(tm)   x  3 x     x  1  x  2x  3 *     Xét hàm số f  t    t    t   , t  có f '  t   0t  Suy f  t  đồng biến mà f  x    f  x  1  x   x  (*)    x 1   2   x     x  1    x  1     x    x  3 y   x  3x  Vậy hpt có nghiệm:  3;5  Câu Giải bất phương trình: x   x   3x  2 x  5x   16 Lời giải Điều kiện: x  1 Bpt (1) tương đương: 2x   x     2 x   x   20 Đặt t  x   x  , t >0 t  Bpt trở thành: t  t  20    Đối chiếu đk t  t  4 Với t  , ta có: x   x    2 x2  5x   3x  21  3 x  21   x   2 x  x      x3 3 x 7 3 x  21       x  146 x  429  Kết hợp với điều kiện x  1 suy tập nghiệm bất pt là: S= 3;    Câu 10 Giải bất phương trình: x  x   x( x  x  4)   1   x  Lời giải ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥    x  1  Khi (*)  x( x  x  4)  x  5x   x( x  x  4)  ( x  x  4)  3x (**) TH 1: x  1  , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**)  Đặt t  1 x2  x  x2  x   3 x x x2  x  , t  , ta có bpt: t  4t     t  x  x2  x  1  17  65 x  7x   3  x  x 2  x  x   TH 2: 1   x  , x2  5x   , (**) thỏa (x R)  1  17  65  ;  2   Vậy tập nghiệm bpt (*) S   1  5;0       x  y   x  y  2( x  y )  Câu 11 Giải hệ phương trình:  1 1  x  y  x2  y   x  y   x  y  2( x  y ) (1)  Lời giải:  1 1  x  y  x  y (2)   x  y  2 Điều kiện:   xy  Ta thấy x + y = không nghiệm hpt Do ta xét hai trường hợp sau: TH1: 2  x  y  1 1 1 1 1 Từ pt (2 ) ta suy xy < pt (2)           0(3) x y x y x y Giả sử hệ phương trình cho có nghiệm x, y Khi phương trình (3) có nghiệm 1 1      xy    xy  8 x y x y Khi ta có x  y  xy  16 Đặt t  x  y    t  Từ pt (1) ta có t  t   32  t  t  34  điều vô lí Vậy TH1 hệ phương trình vô nghiệm TH2: x + y >0 Từ (2) suy xy > 0, x y dương Ta có (2)  ( x  y) xy  x  y ( x  y)2 ( x  y)2 xy  nên ta có ( x  y)2 ( x  y) 2  x  y  ( x  y) xy  ( x  y)  x y  2 Do x  y  Đặt t  x  y   t  Từ (1)  t  t   (t  2)2  t  5t  t    (t  2)(t  2t  t  3)  (4) Ta có t  2t  t    t  , đó, từ (4)  t    t  Từ suy ra: t =  x  y  , thay vào hpt ta có xy=1  x  y  x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  y 1 2  4 x  y  x    3x  y  x  x  Câu 12 Giải hệ phương trình :  2   x  x  11x  y x   y  12  x  12  y tập số thực Lời giải Phương trình (2) tương đương với x  x  1 y  12  x    y  12  x Thay vào phương trình 1 ta được: 3x2  x   3x   5x        x  x   x   3x   x   x   1     x2  x     0 x   3x  x   x     x2  x   x  x  Khi ta nghiệm  x; y  (0;12) (1;11) 3  7 x  y  3xy ( x  y )  12 x  x  (1) Câu 13 Giải hệ phương trình  ( x, y  ) x  y   3x  y  (2)   Lời giải Điều kiện: 3x+2y  (1)  x3  12 x  x   x3  3x y  3xy  y  (2 x  1)3  ( x  y )3  x   x  y  y   x Thế y = 1 x vào (2) ta được: 3x   x   Đặt a  3x  2, b  x  (b  0) a  b  Ta có hệ  a  3b  b   a b   a b   a    2 a  3(4  a)  a  3(16  8a  a )  a  3a  24a  44  b   a a    b  (a  2)(a  a  22)    3x     x   y =  (thỏa ĐK) x     Kết luận: Nghiệm hệ phương trình (x; y) = (2;1) 3 2  x  y  x  y  2x  3y   Câu 14 Giải hệ phương trình :     xy  x  2015  x  x  y   2016 x 8  xy  x  Lời giải Điều kiện:  x  x  y   1  y  y  y   x3  x  x   y  y  y    x3  3x  3x  1   x  x  1  3x   y  y  y    x  1    x  1    x  1 Xét hàm số f  t   t  2t  3t , t  Có f ' t   3t  4t   t  Ta Thay , suy 1  f  y   f   x  1  y   x  y   x  vào   rút gọn phương trình x2   2015  x2   2016 x Ta có f  t  đồng biến * x   x   2016 x  2015   x  Xét hàm số g  x   x g'  x   x 8 x   x   x   2016 x  2015 , x  x x 3  2016 x2   x2  x 2015 2016   x  3   2016  x  2015 2016 2015 2016 1  2 Suy g  x  nghịch biến  2015 ;    2016 g  x   (Phương trình (*)) có tối đa nghiệm Suy phương trình Mặt khác  g 1  Từ ta x  nghiệm phương trình (*) Với x   y  2 (thỏa mãn điều kiện ban đầu) Vậy hệ cho có nghiệm  x; y   1; 2 x  13  57  10 x  3x  x2  x  Câu 15 Giải bất phương trình: x   19  3x 19  3  x  Lời giải Điều kiện:   x  Bất phương trình tương đương:   x   19  3x x   19  3x x   19  3x x  2x   x   19  3x  x2  x  x5  13  x    2 x      19  3x   x  x2        x2  x  2 x5  9 x        x2  x   x2  x  13  x    19  3x         0   x2  x  2     x   x    19  3x  13  x            Với x5  9 x       *  19   chọn x   3;  \ 4 ta có 13  x  3    19  x     *  x2  x    2  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S   2;1 Câu 16 a) Giải phương trình: x  x  3x  3(x  2) (x  x  2)y  x  b) Giải hệ phương trình:  (x  4x  1)y2  (2x  x)y  x  Lời giải a.Đặt t  x  3x , t  PT (1) trở thành: t2 + t – =  t = –3 (loại) t = (thỏa t  0) x  3x   x  3x    x = –1 x = Ghi chú: Điều kiện t ≥ thay cho điều kiện x ≤ x ≥ b.+ (x ; y) = (0 ; 0) nghiệm (I) + Mọi cặp số (x ; 0) (0 ; y) với x0, y0 nghiệm (I) + Trường hợp x  0, y  0:  x y  xy  2y  x  (I)    x y2  4x y2  y2  2x y  xy  x   x(xy  1)  2y  xy   2 2   x (xy  1)  xy(xy  1)  y  5x y  (x  y )  x     x     x         y  y  x x2   1 a  2b  Đặt a  x  , b  (b ≠ 0), hệ trở thành: (II)  2 y x  a  ab  b  Giải hệ (II) được: (a ; b) = (3 ; –1) (a ; b) = (–7 ; 4)  1 + Với (a ; b) = (3 ; –1) thì:  x; y    1;  4   1 + Với (a ; b) = (–7 ; 4) thì:  x; y    ;    29  * Một cách giải khác: +y=0x=0 + Trường hợp y  0: x   x  x   y  (1)  Biến đổi được:   x  4x   (2x  1) x   x   (2)    y y  x (1)    x  x  (3) y + Với t = thì: Thay (3) vào (2), khai triển rút gọn được:  x  1  y   4 x  3x     x   y    29 x   x  x    y    x  1 y  1 Câu 17 Giải hệ phương trình:   x, y   3x  x    x  1 y    x  1 Lời giải Điều kiện:   y  1 x3  x  x   y  2 1  x 1  x  1 y  1   x3  x  x  1  x  1 x 1   y  2 y   x  x    y 1  y 1   x 1  x 1  Xét hàm số f  t   t  t có f   t   3t   0t   x  Nên f   f  x 1  3x2  8x   x x  biến    x  1  x  x     y 1  suy f(t) đồng x  y  Thay vào (2) ta x 1   x 1    x  3  x  6x    x   x 1       13 x  x  x    3x     9 x  10 x   x2 Ta có y  1 x 1 Với x    y  43  13 41  13 Với x   y 72 Các nghiệm thỏa mãn điều kiện  43  KL: Hệ phương trình có hai nghiệm  x; y     3;      13 41  13  &  x; y    ;  72   Câu 18 Giải hệ phương trình:   2027  3x   x   6y  2024   2y  (1) (x,y )  2 x  y  14x-18y  x  x  13 ( )   Lời giải ĐKXĐ: x  4,y  , 7x  8y  0,14x  18y  PT (1) 3(4  x)  2015  x  3(3  2y)  2015  2y (3) Xét hàm số: f(t)   3t  2015  t liên tục 0;    Có f '(t)  t  3t  2015 t  0, t  Suy hàm số đồng biến  0;    Nên pt (3) f   x   f   2y    x   2y  y  Thay y  x 1 x 1 vào pt (2) ta pt: 2 7x  4(x  1)  14x  9(x  1)  x2  6x  13  3x   5x+9  x2  6x  13  3x   2(x  2)  5x+9  3(x  3)  x2  x  2x(x  1) 3x   (x  2)  3x(x  1) 5x   (x  3)  x(x  1)    x(x  1)    1  5x   (x  3)   3x   (x  2) x   x(x  1)    ( Vì  x  1 3x   (x  2)   x  4)  1 Vậy hệ pt có hai nghiệm:  0;   ;  1; 1 2   5x   (x  3)   với 32 x5  y   y ( y  4) y   x  x, y  Câu 19 Giải hệ phương trình:  ( y   1) x   x  13( y  2)  82 x  29   Lời giải 32 x5  y   y ( y  4) y   x(1)  x, y   ( y   1) x   x  13( y  2)  82 x  29(2)  Đặt đk x   , y  2 +) (1)  (2 x)5  x  ( y  y) y   y   (2 x)5  x    y   y  2(3) f (t )  t  t , f '(t )  5t   0, x  R , suy hàm số f(t) liên tục R Từ (3) ta có f (2 x)  f ( y  2)  x  y  Thay x  y  2( x  0) vào (2) (2 x  1) x   x  52 x  82 x  29  (2 x  1) x   (2 x  1)(4 x  24 x  29)  (2 x  1)   x   x  24 x  29   x    x   x  24 x  29  0(4) Với x=1/2 Ta có y=3 (4)  ( x   2)  (4 x  24 x  27)   2x   (2 x  3)(2 x  9)  2x 1  x  /   (2 x  9)  0(5)  x   Với x=3/2 Ta có y=11 Xét (5) Đặt t  x    x  t  Thay vao (5) t  2t  10  21   (t  3)(t  t  7)  Tìm t  x 13  29 103  13 29 ,y Câu 20 Giải hệ phương trình:  29 Từ tìm Xét hàm số  xy ( x  1)  x3  y  x  y   y  x2    y  2        x  x2   y  x Lời giải Biến đổi PT (1)   x  y   x  y  1     y  x 1   3x  x    x   x = y vào PT (2) ta được:   x  1   x  1    x  x2        (3x)  (3 x)    f  x  1  f  3x  Xét f (t )  t   t   có f '(t )  0, t f hàm số đồng biến nên: x    3x  x    y      2 y  x  vào (2) 3( x  1)  x    x       x  x2   Vế trái dương, PT vô nghiệm  1 Vậy hệ có nghiệm nhất:   ;    5  cos x  cos y  y  x Câu 21 Giải hệ phương trình :   4 x  y  ( x  1) y   (1) (2) Lời giải Xét f(t) = cost + 2t có f'(t) = –sint + >  t  f(t) đồng biến R Do (1)  f(x) = f(y)  x = y Thay vào (2) ta được: x3  x  ( x  1) x    (2 x)3  x  ( x  1)2  x  (3) Xét g(t) = t3 + t có g'(t) = 3t2 + > 0,  t  g(t) đồng biến R Do (3)  f(2x) = f( x  )  x  = 2x 2 x  1   x 4 x  x   3 2   x  y  3x  12 y   3x  y Câu 22 Giải hệ phương trình :    x    y  x  y  4x  y x    x  2  Lời giải Điều kiện :  4  y  y  1  2 Từ phương trình 1 ta có  x  1   y    x   y   y  x  3  3 Thay  3 vào   ta pt:      x     x  1  x3   x  1  x   x  1 x    x  x3  x  x  , Đ/K 2  x   x    x   x3  x  x    x    x     x   3 x    x    x      x2  x  2  x   3 x      x  x    x         x    x       x    x     x   3 x 3   x  1  x     x  1  x     x  2  x2  x  2   0  x    x   x    x     0     x2  x    x   x  1    x    y    x; y    2;3 ( thỏa mãn đ/k)    x  1   y    x; y    1;0  ( thỏa mãn đ/k) 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    2;3 ,  x; y    1;0  Câu 23 Chohai phương trình: x3  x2  3x   x3  8x2  23x  26  Chứng minh phương trình có nghiệm, tính tổng hai nghiệm Lời giải Hàm số f  x   x3  x  3x  xác định liên tục tập Đạo hàm f   x   3x  x   0, x   f  x  đồng biến  * f  4 f     40   160    a   4;0  : f  a   ** Từ * ** suy phương trình x3  x2  3x   có nhiệm x  a Tương tự phương trình x3  8x2  23x  26  có nhiệm x  b Theo : a3  2a  3a   1 Và b3  8b2  23b  26     b     b     b     2 Từ 1    a3  2a  3a     b     b     b    3 Theo hàm số f  x   x3  x  3x  đồng biến liên tục tập Đẳng thức  3  f  a   f   b   a   b  a  b  Vậy tổng hai nghiệm hai phương trình 1  y  x  y  3  x  ( y  1)3 x  Câu 24 Giải hệ phương trình:  (x, y  ) 3   x  y  x    y  2  x  x3  y  x  y  (1)  x 1 Câu 25 Giải hệ phương trình   x  x  y  x y  xy  y x    2 ( x, y  )  x  1 5 x  y   Lời giải +) ĐK:  x  x  y +) Ta có (2)  ( x  1)( x  y )    +) Với x  , (1) trở thành :   65 y  4 y   y  11   y  y  11    y 2 y  y    x   +) So sánh với ĐK ta có   65 nghiệm hệ cho y    +) Với y  x (1) trở thành: x  x3  x  ( x  1) x  x   ( x  2)2  ( x3  x  x  4)  ( x  1) ( x  2)( x  1)  ( x3  x  x  4) u  x  Đặt  v  x  x   u  ( x  x  x  4)  ( x  1)v Ta có hệ   v  ( x  1)u  ( x  x  x  4) Ta có u  v2  ( x  1)(v  u) u  v  (u  v)(u  v  x  1)   u  v  x   Với u  v  x   Ta có 5x  x   x  x   0( ptvn) x  x   0, x Với u  v ta có x   x  x  2  x4  x2   5x2  x   x4  x2  6x    ( x  1)2  3( x  1)2 Giải phương trình nghiệm: x  1 So sánh với ĐK ta có hệ cho có nghiệm x     65 ; y      1 x   ;    1 y     1 x      1 y   3x  xy  y  3x  y  Câu 26 Giải hệ phương trình  2 5x  xy  5y  3x  3y   (1) (2) Lời giải Nhân hai vế phương trình (1) với trừ theo vế cho (2), ta phương trình: x  xy  y2  x  3y    (2 x  y)2  3(2 x  y)    2 x  y  2 x  y  Nếu x  y  y   x , thay vào (1) ta được: x   y  x  5x    x   y   7  Nếu x  y  y   x , thay vào (1) ta được: x   y  x  11x     x   y   7 5 7 3 4 6 7  7 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  0;1 ; 1;  ;  ;   ;  ;   x2 y  x2   2x x2 y  Câu 27 Giải hệ phương trình:  ( x, y  )  2 y ( x  1)  y ( x  2)  y     Lời giải Điều kiện: x y  2 Gọi hai phương trình (1) (2) (2)  x6 y3  3x2 y  y3  y  y   3( y 1) ( x y)3  3x y  ( y  1)3  3( y  1) (3) Xét hàm số f (t )  t  3t có f '(t )  3t   0, t   Do (3)  f ( x2 y)  f ( y 1)  x2 y  y 1,( y  1) 2 Thế vào (1) ta x y  x   x y    x ( y  1)  x y     ( x y   1)   x y   Do hệ cho tương đương với x2 y  x2   y   x2  x y       x y  y    x (2  x )  x  (4)   x y  y  x  x    (4)  x  3x    ( x  1)2  x   ( x  x  1)( x  x  1)   1 x   1 1  Do x > nên x  x  2  1 x   Với x  1 1 1 1 y y Với x  2 2 1 1   1     , ( x; y)    ;   ;  2     Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )   Câu 28 Cho x, y, z số thực mà số không nhỏ thỏa mãn điều kiện x2 y z  x2 y  y z  z x  4xyz (xy  yz  xz ) Chứng minh : xy xz zy    xy  2(2 x  y  1) xz  2(2 x  z  1) zy  2(2 z  y  1) Lời giải Theo giả thiết ta có x, y, z không nhỏ nên 2  4  4    8 9 9     x y xy  x y xy  4  4      0,9        x z xz   z y zy  Tương tự :   x y z  x y  y z  z x  xyz ( xy  yz  xz ) Lại có :   4  1  4  1              x y z x y z  x y z  xy yz zx   18  8 8  1 8 1  1           27           x y z  xy yz zx   xy yz zx   x y z xy xz zy   xy  2(2 x  y  1) xz  2(2 x  z  1) zy  2(2 z  y  1) 1    4  4  4  9    9    9    x z xz    x y xy   z y zy   1 8 8 2  27          x y z xy xz zy  3 2   x  y  17 x  32 y  x  y  24(1) Câu 29 Giải hệ phương trình  3 3   y  x  3x   x  x  2(2) Lời giải Từ phương trình (1) suy : x3  x2  17 x  y3  y  32 y  24  ( x  2)3  5( x  2)  ( y  3)  5( y  3) Xét hàm f (t )  t  at (t  R, a  0) Ta có f '(t )  3t  a  0, t  R Do hàm số f đồng biến R Khi suy x   y   y  x  Phương trình (2) trở thành : ( x  1)3  x3  3x   x3  x   ( x  1)3  x   x3  x   x3  x   x   Suy x   x3  x   3x  x     x    13 13 [...]...  0   x; y    1;0  ( thỏa mãn đ/k) 3 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    2;3 ,  x; y    1;0  Câu 23 Chohai phương trình: x3  2 x2  3x  4  0 và x3  8x2  23x  26  0 Chứng minh rằng mỗi phương trình trên có đúng một nghiệm, tính tổng hai nghiệm đó Lời giải Hàm số f  x   x3  2 x 2  3x  4 xác định và liên tục trên tập Đạo hàm f   x   3x 2  2 x  3  0, x  ... 2 So sánh với ĐK ta có hệ đã cho có các nghiệm là x  1   5  65 ; y   4   3  4 3 1 x   2 ;   3  4 3 1 y   2  3  4 3 1 x   2   3  4 3 1 y   2 3x 2  2 xy  2 y 2  3x  2 y  0 Câu 26 Giải hệ phương trình  2 2 5x  2 xy  5y  3x  3y  2  0 (1) (2) Lời giải Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 rồi trừ theo vế cho (2), ta được phương trình: 4 x 2  4 xy ... x   x3  2 x 2  3x  4 đồng biến và liên tục trên tập Đẳng thức  3  f  a   f  2  b   a  2  b  a  b  2 Vậy tổng hai nghiệm của hai phương trình đó bằng 2 1  y  x  3 y  3  x 2  ( y  1)3 x  Câu 24 Giải hệ phương trình:  (x, y  ) 3 3 2   x  y  2 x  4  2  y  2  x 4  x3  4 y  5 x 2  6 y  6 (1)  x 1 Câu 25 Giải hệ phương trình  3 2  x  x  y 2  2 x 2 y... 41  7 13 Với x   y 2 9 72 Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện  43 3  KL: Hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    3  2 3;  2    5  2 13 41  7 13  &  x; y    ;  9 72   Câu 18 Giải hệ phương trình:   2027  3x  4  x   6y  2024  3  2y  0 (1) (x,y )  2 2 7 x  8 y  3 14x-18y  x  6 x  13 ( 2 )   3 Lời giải ĐKXĐ: x  4,y  , 7x  8y  0,14x  18y  0... x  9 y  24(1) Câu 29 Giải hệ phương trình  3 3 3 3   y  x  3x  1  x  4 x  2(2) Lời giải Từ phương trình (1) suy ra : x3  6 x2  17 x  y3  9 y 2  32 y  24  ( x  2)3  5( x  2)  ( y  3) 3  5( y  3) Xét hàm f (t )  t 3  at (t  R, a  0) Ta có f '(t )  3t 2  a  0, t  R Do đó hàm số f đồng biến trên R Khi đó suy ra x  2  y  3  y  x  1 Phương trình (2) trở thành : (...  1 thì y  1  2 x , thay vào (1) ta được: x  0  y  1 7 x 2  5x  0   x  5  y   3 7 7  Nếu 2 x  y  2 thì y  2  2 x , thay vào (1) ta được: x  1  y  0 7 x  11x  4  0   x  4  y  6  7 7 2 5 7 3 4 6 7  7 7 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là  0;1 ; 1; 0  ;  ;   ;  ;   x2 y  x2  1  2x x2 y  2 Câu 27 Giải hệ phương trình:  ( x, y  )  3 6... 5  2  x 4 4 x  2 x  1  0 3 3 2 2   x  y  3x  12 y  7  3x  6 y Câu 22 Giải hệ phương trình :  3 2   x  2  4  y  x  y  4x  2 y x  2  0  x  2  Lời giải Điều kiện :  4  y  0 y  4 1  2 Từ phương trình 1 ta có  x  1   y  2   x  1  y  2  y  x  1 3 3  3 Thay  3 vào  2  ta được pt:      x  2  4   x  1  x3   x  1  4 x  2  x ...  ;    5 5  cos x  cos y  2 y  2 x Câu 21 Giải hệ phương trình :  3  4 x  y  ( x  1) 2 y  1  0 (1) (2) Lời giải Xét f(t) = cost + 2t có f'(t) = –sint + 2 > 0  t  f(t) đồng biến trên R Do đó (1)  f(x) = f(y)  x = y Thay vào (2) ta được: 4 x3  x  ( x  1) 2 x  1  0  (2 x)3  2 x  ( 2 x  1)2  2 x  1 (3) Xét g(t) = t3 + t có g'(t) = 3t2 + 1 > 0,  t  g(t) đồng biến trên R... 40  4  160  0   a   4;0  : f  a   0 ** Từ * và ** suy ra phương trình x3  2 x2  3x  4  0 có một nhiệm duy nhất x  a Tương tự phương trình x3  8x2  23x  26  0 có một nhiệm duy nhất x  b Theo trên : a3  2a 2  3a  4  0 1 Và b3  8b2  23b  26  0   2  b   2  2  b   3  2  b   4  0 3 2  2 Từ 1 và  2   a3  2a 2  3a  4   2  b   2  2  b   3...  2) x  0  x(x  1)  0   ( Vì  x  1 2 3x  4  (x  2) 4   x  4) 3  1 Vậy hệ pt có hai nghiệm:  0;   ;  1; 1 2   3 5x  9  (x  3)  1  0 với 32 x5  5 y  2  y ( y  4) y  2  2 x  x, y  Câu 19 Giải hệ phương trình:  3 ( y  2  1) 2 x  1  8 x  13( y  2)  82 x  29   Lời giải 32 x5  5 y  2  y ( y  4) y  2  2 x(1)  x, y   3 ( y  2  1) 2 x  1