Bài tập ví dụ và tự luyện chuyên đề mặt cầu trong không gian oxyz phạm văn long file word có lời giải chi tiết

CHUYÊN ĐỀ: MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN OXYZI- LÝ THUYẾT:

1/ Định nghĩa

Cho điểm I cố định và một số thực dương R Tậphợp tất cả những điểm M trong không gian cách Imột khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu và mặt phẳng Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( )P  dIH là khoảng cách từ Iđến mặt phẳng (P) Khi đó:

+ Nếu d R: Mặt cầu và mặtphẳng không có điểm chung.

+ Nếu dR: Mặt phẳng tiếp

xúc mặt cầu Khi đó (P) là mặtphẳng tiếp diện của mặt cầu và

H là tiếp điểm.

+ Nếu d R: Mặt phẳng (P) cắtmặt cầu theo thiết diện là đường

tròn có tâm I' và bán kính

r  R  IH

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc

đó được gọi là đường tròn lớn có diện tích lớn nhất.

4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu ( ; )S I R và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của I lên  Khi đó:+ IH R: không cắt mặt

+ IH R: tiếp xúc với mặtcầu  là tiếp tuyến của (S) và Hlà tiếp điểm.

+ IH R: cắt mặt cầu tại haiđiểm phân biệt

* Lưu ý: Trong trường hợp  cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

5/ Đường tròn trong không gian Oxyz

* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S)và mặt phẳng (P).

( ) :S x y z  2ax 2by 2cz d 0( ) :P Ax By Cz D   0

* Xác định tâm I’ và bán kính r của (C).

+ Tâm 'I  d ( )

Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(P)

+ Bán kính r R2 ( ')II 2  R2 d I P ;( )2

5/ Điều kiện tiếp xúc: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của ( S ) d( I ; ) R. 

+ Mặt phẳng (P) là tiếp diện của ( S ) d( I ; P ) R.

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M ( x ; y ; z ).0000

Sử dụng tính chất:

IM( P )IMn

 

 

II VÍ DỤ MINH HỌA:

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d ( a2b2c2 d 0)

Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a) (S) có tâm 2 2 3I( ; ; ) và bán kính R = 3.b) (S) có tâm 1 2 0I( ; ; ) và (S) qua P( ;2 2 1 ; ).

Mặt cầu tâm 1 2 0I( ; ; ) và bán kính P( ;2 2 1 ; ), có phương trình:

( S ) :( x ) ( y ) z c) Ta có: AB ( 3 3 0; ; )  AB3 2.

Gọi I là trung điểm AB 1 3 12 2

I ; ; 

Mặt cầu tâm 1 3 12 2

Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A( ; ; ), B(5;5;0) và tâm I thuộc trục Ox.3 1 0

I( ; ; )

Mặt cầu tâm 10 0 0I( ; ; ) và bán kính R 5 2, có phương trình ( S ) : ( x10)2y2 z2 50

b) Do (S) tiếp xúc với 75 325

 

Mặt cầu tâm I(1 2 0; ; ) và bán kính 1011

a) Cách 1: Gọi I( x; y; z ) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

IA IB IC

  

 

và (S) tiếp xúc với

hai mặt phẳng ( ) : x 2y2z 3 0 và ( ) : x 2y2z 7 0.

Bài giải:

Gọi t( t; ; t )1    là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Suy ra: 3 1 3I( ; ;  ) và 23

R d( I ,( ))   . Vậy 3 2 1 2 3 2 49

Bài giải:

Ta có

  

Gọi 1I(  t; t;2  5 t ) d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) Theo giả thiết: 

2 194

ABR d( I , )  

: yt

 

  

Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

1 731 2

 

  

Viết phương trình

mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường

tròn có bán kính bằng 3.

Bài giải:

Gọi I( t; t 2 1 ;t2) d : là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).

Theo giả thiết: R d( I ;( P ))2r2  4 9  13.

* Với 1

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u ( ; ; ) 2 1 2 và P ( ; ; ) d 1 1 1 

Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu ( S ) : x2y2z2 4x 4y 4z0 và điểm A( ; ; ) Viết4 4 0

phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng: ax by cz  0 (a2b2c2 0) (*)

Do (P) đi qua A, suy ra: 4a4b 0 ba

 Theo (*), suy ra ( P ) : x y z  0 hoặc x y z  0.

Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).Bước 2: Tâm H của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).

Bước 3: Gọi r là bán kính của ( C ) : r  R2 d( I;( P ))2

Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( S ) : x2y2z2 2x 3 0 cắt mặt phẳng ( P ) : x  2 0

theo giao tuyến là một đường tròn (C) Xác định tâm và bán kính của (C).

Bài giải:

* Mặt cầu (S) có tâm 1 0 0I( ; ; ) và bán kính R2.

Ta có: d( I ,( P )) 1 2 R mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn (đ.p.c.m)

* Đường thẳng d qua 1 0 0I( ; ; ) và vuông góc với (P) nên nhận nP ( ; ; )1 0 0 làm 1 vectơ chỉ phương,

có phương trình

d : yz

 

 

+ Tọa độ tâm đường tròn là nghiệm của hệ H:

02 0

 

r R  d( I ,( P )) 

* Các điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của ( S ) d( I ; ) R. 

+ Mặt phẳng ( ) là tiếp diện của ( S ) d( I ;( )) R. 

* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

là bán kính mặt cầu cần tìm.

Phương trình mặt cầu là: ( x1)2( y2) ( z2  3)2 50.

 và điểm 4 1 6I( ; ; ) Đường thẳng d cắt mặt cầu có

tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB 6 Phương trình của mặt cầu (S) là:

Đường thẳng d đi qua M (5 7 0; ; ) và có vectơ chỉ phương2 2 1

u ( ;  ; ).Gọi H là hình chiếu của I trên (d) Ta có:22

và u,MI  ( ;5 2 1 ; )

Gọi H là hình chiếu của I trên (d) Ta có:5

u,MIIHd( I , AB )

IHIH R.  R 

Vậy phương trình mặt cầu là: 222 201

( S ) : x y z  x y z  . Viết phương trình tiếp tuyến của mặt

cầu (S) tại A( ; ; ) biết0 0 5

a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương u ( ; ; ). 1 2 2b) Vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x3  2y2z 3 0.

Bài giải:

a) Đường thẳng d qua A( ; ; ) và có một vectơ chỉ phương 0 0 5 u ( ; ; ), 1 2 2 có phương trình d:

25 2

x tyt

  

x tyt

  

( S ) : x y z  x y z  . và hai đường thẳng 1

1 31 21 2

 

  

 có một vectơ chỉ phương u2 ( ; ; ).2 2 1Gọi n là một vectơ pháp của mặt phẳng (P).

( P ) / /nu( P ) / /nu

     

Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng (P) là: 2 x y 2z  7 0 2;x y 2z17 0 .

Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S ) : x2y2z22x 4y 6z 5 0, biết:a) qua M ( ; ; ).1 1 1

b) song song với mặt phẳng ( P ) : x2y 2z1 0 .

b) vuông góc với đường thẳng 3 1 2

d :     

* Với m  suy ra mặt phẳng có phương trình: 6 x2y 2z 6 0 .

* Với m 12 suy ra mặt phẳng có phương trình: x2y 2z12 0 .c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

Do mặt phẳng ( ) d  nên ( ) nhận ud ( ; ;2 1 2 ) làm một vectơ pháp tuyến.Suy ra mặt phẳng ( ) có dạng: 2x y  2z m 0.

* Với m  suy ra mặt phẳng có phương trình: 3 x2y 2z 3 0

* Với m  suy ra mặt phẳng có phương trình: 15 x2y 2z15 0

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:

NHẬN BIẾT_THÔNG HIỂU

A x2y2 z22x y  1 0 B.x2y2z2 2x0C 2x22y2 (x y )2 z22x1 D (x y )2 2xy z 21

A 2x22y2 (x y )2 z22x1 B x2y2z2 2x0C x2y2z22x 2y 1 0 D (x y )2 2xy z 2 1 4x

(x1) (y1) (z1) 6C (2x1)2(2y1)2(2z1)2 6 D (x1)2(2y1)2(z1)2 6

A (x1)2(y 2)2(z3)2 3 B (x1)2(y 2)2(z3)2 9C (x1)2(y2)2(z 3)2 9 D (x1)2(y 2)2(z3)2 9

Câu 13: Gọi I là tâm mặt cầu (S): x2y2(z 2)2 4 Độ dài OI

(O là gốc tọa độ) bằng:

A x2y2z2 6x0 B x2y2z2 6y0C x2y2z2 6z0 D x2y2z2 9

A x2y2z2 2x y z   6 0 B x2y2z24x 2y2z0C x2y2z2 4x 2y2z0 D x2y2z2 4x 2y2z 6 0

tọa độ là:

A.1 1 0; ;  B 3 1 1; ; C.1 1 1; ;  D 1 2 1; ; 

4 0

x y z   và 4 điểm M(1;2;0), N(0;1;0), P(1;1;1), Q(1;-1;2) Trong

bốn điểm đó,có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu (S)?

A ( 1)2 ( 2)2 ( 3)2 163

Câu 24: Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với A(1;3;2), B(3;5;0) là:

A (x2)2(y4)2(z1)2 3 B (x 2)2(y 4)2(z1)2 2C (x2)2(y4)2(z1)2 2 D (x 2)2(y 4)2(z1)2 3

phương trình là:

(x1) (y2) (z4) 1C (x1)2(y 2)2(z 4)2 3 D (x1)2(y2)2(z 4)2 4

đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) là:

 

  

Gọi (S) là mặt cầu đi qua

A,B và có tâm thuộc đường thẳng d Bán kính mặt cầu (S) bằng:

A 222

(x1) (y2) (z 3) 50.C (x1)2(y2)2(z 3)2  50 D (x1)2(y 2)2(z3)2 50.

A 3x y z 22 0 B 6x2y3z55 0 C 6x2y3z55 0 D 3x y z 22 0

phẳng tiếp xúc với (S) và song song với ( ) có phương trình là:A 4x3y12z78 0 hoặc 4x3y12z78 0

B 4x3y12z78 0 hoặc 4x3y12z26 0C 4x3y12z26 0 hoặc 4x3y12z26 0D 4x3y12z78 0 hoặc 4x3y12z26 0

Phương trình nào sau đây là phương trình tiết diện của (S) tại B:

A 2x y3z 9 0 B.2x y3z9 0C.x2y z3 0 D.x2y z  3 0

phẳng (BCD) có phương trình là:

(x 3) (y2) (z2) 14C (x3)2(y 2)2(z 2)2  14 D (x 3)2(y2)2(z2)2  14

14 và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình:

A 2 2 1 2 27

x y ( z )  hoặc 2 2 2 2 27

x y ( z ) 

x y ( z )  hoặc 2 2 4 2 27

trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có

hoành độ x  , có phương trình là:M 1

A ( x 21)2( y 5)2( z10)2 600 B ( x19)2( y15)2( z10)2 600C ( x 21)2( y 5)2( z10)2 100 D ( x21)2( y5)2( z10)2 600

cầu (S) có bán kính bằng 6

Câu 18 Cho đường thẳng 1 2 3

  

Câu 21 Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là

Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A( ; ; )3 1 1 và song song với mặt phẳng (P) là:

A

1 42 61

 

 

  

B

3 41 61

 

 

  

C

3 41 61

 

 

  

D

3 211 2

 

 

  

A trên mặt phẳng (P) Phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H,

sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

A ( x16)2( y4)2( z7)2196 B ( x8)2( y8)2( z1)2196.

C ( x8)2( y8)2( z1)2196. D ( x16)2( y4)2( z7)2196

cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A ( x1)2( y1)2( z2)26. B ( x1)2( y1)2( z2)26.

C ( x1)2( y1)2( z2)26. D ( x1)2( y1)2( z2)26.

cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính bằng 2 Tọa độ điểm B là:

A ( ;0 4 0 ; ) B ( ; ; )0 2 0 C ( ; ; )0 2 0 hoặc ( ; ; )0 2 0 D ( ; ; )0 1 0

(S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A( ; ; )1 1 1 và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là:

A ( S ) : ( x3)2( y7)2( z3)214 B ( S ) : ( x3)2( y7)2( z3)256C ( S ) : ( x3)2( y7)2( z3)256 D ( S ) : ( x3)2( y7)2( z3)214.

d : yt

 

  

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt

đường thẳng d tại hai điểm sao cho tam giác vuông IAB là:

32

Câu 28 Cho đường thẳng 2 3

A A( ; ; ).2 3 2 B A(2 2 3; ; ).

C A( ; ; ), B(0 0 22 2 3; ; ). D () và (S) không cắt nhau

  

d :      Phương trình mặt cầu (S) có tâm

I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

A ( x1)2y2z212. B ( x1)2y2z210.

C ( x1)2y2z28. D ( x1)2y2z216.

Câu 33 Cho điểm 1 0 0I( ; ; ) và đường thẳng

11 2

 

  

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt

đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

( x ) y z  . B 222201

( x ) y z  .

13 22

 

   

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

C ( x4)2( y6)2( z1)74. D ( x4)2( y6)2( z1)104.

IAB vuông là:

A (x 4)2(y 6)2 (z1)2 34 B (x 4)2(y 6)2(z1)2 26C (x 4)2(y 6)2(z1)2 74 D (x 4)2(y 6)2(z1)2 104

IAC đều là:

A (x 3)2(y 3)2z2 8 B (x 3)2(y 3)2z2  9C (x 3)2(y 3)2z2  9 D (x 3)2(y 3)2z2  8

tam giác IAB bằng 6 5 là:

A (x 3)2(y 6)2(z4)2 45 B (x 3)2(y 6)2(z4)2 49

(x 3) (y 6) (z4) 54

Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S):

đều Điểm nào sau đây không thuộc mặt cầu (S):

 Phương trình mặt cầu có tâm I và

cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015 là:

A 14 B 2 14 C 2 10 D 2 6

hai điểm A, B và tâm thuộc trục hoành có đường kính là:

A 5 7 23; ;6 6 6

 

 

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông

góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:

Câu 54 Cho hai đường thẳng

xtd : y t

 

 

  

Phương trình mặt cầu có đường kính

đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và d’ là:

A (x 2)2y2z2 4 B (x 2)2(y1)2(z 2)2 4

(x 2) (y1) (z 2) 2 D 222(x2) (y1) z 4

Câu 56 Cho các điểm A( ; ;2 4 1 ) và B( ;0 2 1 ; ) và đường thẳng

xtd : yt

   

Gọi (S) là mặt cầu đi

qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d Đường kính mặt cầu (S) bằng:

phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):

A (x1)2(y2)2(z3)2 9 B (x1)2(y 2)2(z3)2 9C (x1)2(y 2)2(z3)2 9 D (x1)2(y2)2(z3)2 9

Câu 62 Cho mặt cầu 222

( S ) : ( x ) ( y ) ( z )  . Phương trình mặt cầu nào sau đây là

phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:

A (x1)2(y1)2(z 2)2 4 B (x1)2(y1)2(z 2)2 4C (x1)2(y1)2(z 2)2  4 D (x1)2(y1)2(z2)2  4

CLB sử dụng hệ thống sách chất lượng của NXBGD VN 2007, 2008 và các tài liệu tham

P/S: Trong quá trình sưu tầm và biên soạn chắc chắn không tránh khỏi sai sót, kính mong quí

thầy cô và các bạn học sinh thân yêu góp ý để các bản update lần sau hoàn thiện hơn! Xin chân thànhcảm ơn.