Bài tập trắc nghiệm giới hạn có lời giải chi tiết – nguyễn phú khánh, huỳnh đức khánh

CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN Bài 01 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa Định nghĩa Ta nói dãy số (un ) có giới hạn n dần tới dương vơ cực, un nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = hay un → n → +∞ n →+∞ Định nghĩa Ta nói dãy số (vn ) có giới hạn a (hay dần tới a ) n → +∞, lim (vn − a ) = n →+∞ Kí hiệu: lim = a hay → a n → +∞ n →+∞ Một vài giới hạn đặc biệt 1 = 0; lim k = với k nguyên dương; n →+∞ n n →+∞ n n b) lim q = q < 1; a) lim n →+∞ c) Nếu un = c ( c số) lim un = lim c = c n →+∞ n →+∞ Chú ý: Từ sau thay cho lim un = a ta viết tắt lim un = a n →+∞ II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí a) Nếu lim un = a lim = b • lim (un + ) = a + b • lim (un − ) = a − b • lim (un ) = a.b u  a • lim  n  = (nếu b ≠ )   b lim u = a lim un = a n b) Nếu     un ≥ 0, ∀n a ≥  III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vơ hạn (un ) có cơng bội q , với q < gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u2 + u3 +… + un +… = u1 1− q ( q < 1) IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC Định nghĩa • Ta nói dãy số (un ) có giới hạn +∞ n → +∞ , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ n → +∞ • Dãy số (un ) có giới hạn −∞ n → +∞ , lim (−un ) = +∞ Kí hiệu: lim un = −∞ hay un → −∞ n → +∞ Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim (−un ) = −∞ Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau a) lim n k = +∞ với k nguyên dương; b) lim q n = +∞ q > Định lí a) Nếu lim un = a   limvn = ±∞ lim un =0 b) Nếu lim un = a  > , limvn = > 0, ∀n > lim un = +∞ c) Nếu lim un = +∞ lim = a > lim un = +∞ CÂU HỎI V= B=I TẬP TRẮC NGHIỆM 11 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn trắc nghiệm 11 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC  sin 5n  Câu Kết giới hạn lim  − 2 bằng:  3n  A −2 B C D Lời giải Ta có 0≤ sin 5n ≤ , 3n n mà lim =0 n nên lim sin 5n = 0, 3n  sin 5n  lim  − 2 = −2 Chọn A  3n  Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể xác gần đúng) giới hạn sau (các sau làm tương tự) : sin (5 X ) Nhập − 3X Bấm CALC nhập 9999999999 (một số dịng MTCT bấm nhiều số « » báo lỗi, ta cần bấm số « » Bấm « = » ta kết (có thể gần đúng), sau chọn đáp án có giá trị gần với kết MTCT n − n k cos n = Câu Có số tự nhiên chẵn k để lim 2n A B C D Vô số n − n sin n n sin 2n = − 2n n n k cos n Điều kiện toán trở thành lim = n Ta có lim cos = cos = nên tốn trở thành tìm k cho n Lời giải Ta có lim k −1 nk k = lim n = ⇔ −1 < ⇔ k <  → không tồn k (do k nguyên k ∈ℕ * , k = l n dương chẵn) Chọn A Câu Kết giới hạn lim 3sin n + cos n bằng: n +1 A B C D 3sin n + cos n 7 3sin n + cos n Lời giải Ta có ≤ ≤ ≤ →  → lim = Chọn B n +1 n +1 n n +1  n cos 2n  Câu Kết giới hạn lim 5 −  bằng:  n +  A B C D −4 Lời giải Ta có  n cos 2n n n cos 2n n cos 2n  0≤ ≤ ≤ →  → lim =  → lim 5 −  = Chọn C  n +1 n +1 n n +1 n +    nπ Câu Kết giới hạn lim n sin − 2n  là:   A −∞ B −2 C    sin nπ  n π 3 Lời giải Ta có lim n sin − 2n  = lim n  − 2 Vì      n D +∞ lim n3 = +∞ lim n3 = +∞    sin nπ    →   sin nπ  → lim n3  − 2 = −∞  sin n π 0 ≤ lim   n  ≤ →0 − 2 = −2 <    n  n n Chọn A n  (−1)   Câu Giá trị giới hạn lim 4 +  bằng:  n +  A B C D n  (−1) (−1) (−1)  1  Lời giải Ta có ≤ → lim 4 + ≤ ≤ →  → lim =   = n +1 n +1 n n +1 n +   n n Chọn C n Câu Cho hai dãy số (un ) (vn ) có un = (−1) n2 +1 = Khi lim (un + ) n2 + có giá trị bằng: A B C D  1 0 ≤ un ≤ ≤ →0  n +1 n  → lim un = lim =  → lim (un + ) = Lời giải Ta có   1 ≤ v ≤ ≤ →  n n2 + n  Chọn B Chú ý : Cho P ( n) , Q (n) đa thức bậc m, k theo biến n : / 0) P ( x) = am n m + am−1n m−1 + ⋯ + a1n + a0 ( am = Q ( n) = bk n k + bk −1n k −1 + ⋯ + b1n + b0 (bk = / 0) Khi lim P (n ) Q (n ) = lim P (n) am n m am n m , viết tắt , ta có trường hợp sau : ∼ bk n k Q (n ) bk n k Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) lim Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m = k ) lim Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) lim P (n ) Q (n ) P (n) Q (n) = = am bk +∞ am bk > =  Q (n )  −∞ am bk < P (n ) Để ý P ( n) , Q (n) có chứa « » ta tính bậc Cụ thể m nk k Ví dụ n có bậc , n có bậc , n Trong sau ta dùng dấu hiệu để kết cách nhanh chóng ! −3 Câu Giá trị giới hạn lim là: n − 2n + A − B −∞ C D −1 tì có bậc −3 −3 n2 Lời giải Ta có lim = lim = = Chọn C 4n − 2n + 4− + n n Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết n + 2n Câu Giá trị giới hạn lim bằng: n + 3n −1 A B C D + n + 2n n = = Chọn D Lời giải Ta có lim = lim n n + 3n −1 1+ − n n Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết 3n − 2n + Câu 10 Giá trị giới hạn lim là: n + 2n + A +∞ B C D − 2+ 3n3 − 2n + n = = Chọn B Lời giải Ta có lim = lim n n 4n + 2n + 4+ + n n Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết Câu 11 Giá trị giới hạn lim A B n n +1 bằng: n2 + C D 1 + n n +1 n Lời giải Ta có lim = lim n = = Chọn D n +2 1+ n n n +1 n n Giải nhanh : ∼ =  → n +2 n n v Câu 12 Cho hai dãy số (un ) (vn ) có un = = Khi lim n có giá un n +1 n +2 trị bằng: A B C D 1+ n +1 n = = Chọn A Lời giải Ta có lim = lim = lim un n+2 1+ n n +1 n Giải nhanh : ∼ = n+2 n an + Câu 13 Cho dãy số (un ) với un = a tham số thực Để dãy số (un ) 5n + có giới hạn , giá trị a là: A a = 10 B a = C a = D a = 4 a+ an + n = a Khi Lời giải Ta có lim un = lim = lim 5n + 5+ n a lim un = ⇔ = ⇔ a = 10  → Chọn A an + an a Giải nhanh : ∼ ∼ = ⇔ a = 10 5n + 5n 2n + b Câu 14 Cho dãy số (un ) với un = b tham số thực Để dãy số (un ) 5n + có giới hạn hữu hạn, giá trị b là: A b số thực tùy ý B b = C không tồn b D b = b 2+ 2n + b n = ( ∀b ∈ ℝ )  Lời giải Ta có lim un = lim = lim → Chọn A 5n + 5+ n 2n + b 2n Giải nhanh : ∼ = với b ∈ ℝ 5n + 5n Câu 15 Tính giới hạn L = lim A L = n2 + n + 2n + 1 B L = C L = n2 + n + = lim Lời giải Ta có L = lim 2n + Giải nhanh: D L = 1 1+ + n n =  → Chọn B 2+ n n2 + n + n2 ∼ = 2 2n + 2n Câu 16 Cho dãy số (un ) với un = 4n2 + n + Để dãy số cho có giới hạn , an + giá trị a là: A a = −4 B a = C a = D a = 2 4+ + 4n + n + n n = (a = Lời giải = lim un = lim = lim / 0) ⇔ a = Chọn D an + a a+ n 4n + n + 4n ∼ = ⇔ a = Giải nhanh : ∼ an + an a n − 3n Câu 17 Tính giới hạn L = lim 2n + 5n − 1 A L = − B L = C L = D L = 2 −3 n − 3n3 −3 n Lời giải L = lim = lim =  → Chọn A 2 n + 5n − 2 2+ − n n n − 3n3 −3n3 Giải nhanh: ∼ =− 2n3 + 5n − 2n3 5n − 3an Câu 18 Tìm tất giá trị tham số a để L = lim > (1 − a ) n + 2n + A a ≤ 0; a ≥ B < a < C a < 0; a > D ≤ a < − 3a a < 5n − 3an −3a n Lời giải L = lim lim Chọn C = = >0⇔   (1 − a ) n + 2n + a > (1 − a ) + + (1 − a ) n n (2n − n )(3n + 1) Câu 19 Tính giới hạn L = lim (2n −1)(n − 7) A L = − Lời giải Ta có B L = C L = 3 2      D L = +∞ 2     n  n  −13 +  n  −1.n 3 +   n (2n − n3 )(3n2 +1)    n  n  n  −1.3 = lim = lim = =− L = lim        7 2.1 2 n − n − ( )( ) 2 − 1−  n  − .n 1−   n   n   Chọn A (2n − n3 )(3n2 +1) −n3 3n2 ∼ =− 4 2n.n (2n −1)(n − 7) (n + 2n )(2n + 1)(4 n + 5) Câu 20 Tính giới hạn L = lim (n − 3n −1)(3n − 7) Giải nhanh: C L = D L = +∞    5 1 + 2 + 4 +  (n2 + 2n)(2n3 + 1)(4n + 5) 1.2.4 n n n = lim = = Lời giải L = lim    1.3 (n − 3n −1)(3n − 7) 1− − 3 −    n3 n  n  A L = B L = Chọn C Giải nhanh: (n2 + 2n)(2n3 +1)(4n + 5) n 2n3 4n ∼ = n 3n (n − 3n −1)(3n2 − 7) Câu 21 Tính giới hạn L = lim A L = B L = n +1 n +8 C L = D L = +∞ n +1 n = =  Lời giải L = lim = lim → Chọn B 3 n +8 1+ n 1+ Giải nhanh: 3 n +1 n +8 ∼ n n = Câu 22 Kết giới hạn lim A − B +∞ n − 2n Lời giải lim = lim 1− 3n n − 2n là: − 3n C −∞ D  2 n3 1−  1−  n  n Ta có = lim n  1 2 −3 n  − 3  n n2  lim n = +∞  1− 2 n3 − 2n n  1− → im = lim n = −∞  → Chọn C n = − <  lim 1− 3n −  −3 n2  n2 n3 − 2n n3 Giải nhanh : ∼ = − n  →−∞ 1− 3n −3n n + 3n Câu 23 Kết giới hạn lim là: n + 2n + A B +∞ C D   2 n3  + 3 +3  n  2n + 3n3 n Lời giải lim = lim = lim n Ta có  2  4n + 2n + 2 + + n 4 + +   n n2 n n  lim n = +∞   +3 + n n +3 n2  → im = lim = +∞ Chọn B n  lim n = >0 4n + 2n + + +  4+ + n n2  n n  2n + 3n3 3n3 ∼ = n  →+∞ 2 4n + 2n + 4n 3n − n Câu 24 Kết giới hạn lim là: 4n − Giải nhanh : A B +∞ C −∞ 3  n  −1 −1  n  3n − n n Lời giải lim = lim = lim n Ta có  5  4n −  4− n  −   n n D  lim n = +∞ −1  3 n − n n −1  → lim = l lim n = −∞ Chọn C  n 4n − =− « bậc mẫu » am bk = 2.2 = > n −1 2n − lim = : « bậc tử » < « bậc mẫu » Chọn B −2 n − 2n − 3n3 lim = +∞ : « bậc tử » > « bậc mẫu » an bk = (−3).(−2) > −2 n − a 2n − 3n −3 −3 lim = = : « bậc tử » = « bậc mẫu » m = = bk −2 −2 n + n −2 Câu 26 Dãy số sau có giới hạn − ? n − 2n −n + 2n −1 n − 3n −n + n − B un = A un = C un = D un = 2 3n + 3n + n −1 9n + n − 3n + n − Lời giải Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » am bk > Chọn C lim un = lim n − 3n3 −3 = =− 9n + n −1 Câu 27 Dãy số sau có giới hạn +∞ ? + n2 n2 − n − 2n A un = B un = C u = n 5n + 5n + 5n 5n + 5n D + 2n 5n + 5n Lời giải Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » > « bậc mẫu » với am bk > Chọn A lim n = +∞   + 2 1+ n +1 lim un = lim = lim n n = +∞  a n lim = m = >0 5n + 5+  bk 5+ n  n  Các đáp án lại rơi vào trường hợp « bậc tử » ≤ « bậc mẫu » nên cho kết hữa hạn Câu 28 Dãy số sau có giới hạn −∞ ? + 2n n + 2n − 2n − 3n A B u = C u = n n 5n + 5n −n + 2n n + 2n3 D un = n − 2n 5n + Lời giải Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » am bk < Chọn C 2n − 3n : « bậc tử » > « bậc mẫu » am bk = −3.2 = −6 <  → lim un = −∞ n + 2n3 +∞ an > Chú ý : (i) lim (am n m + an−1n m−1 + ⋯ + a1n + a0 ) =   −∞ an < (ii) Giả sử q > max { qi : i = 1; 2…; m} un = a0 q <   lim (a.q + am q + ⋯ + a q + a0 ) = +∞ a > 0, q >  −∞ a < 0, q >  Ta dùng « dấu hiệu nhanh » để đưa kết nhanh chóng cho sau n n m n 1 Câu 29 Tính giới hạn L = lim (3n + 5n − 3) A L = B L = −∞ C L = D L = +∞ lim n = +∞     Lời giải L = lim (3n + 5n − 3) = lim n 2 + −  = +∞      lim 2 + − 32  = > n n     n n  Chọn D Giải nhanh : 3n + 5n − ∼ 3n  → +∞ 2 Câu 30 Có giá trị nguyên tham số a thuộc khoảng (−10;10 ) để L = lim (5n − (a − 2) n ) = −∞ A 19 B C D 10   Lời giải Ta có lim 5n − (a − ) n = lim n  − (a − ) = −∞  n  5  a = −1; 0; Chọn B ⇔ lim  − (a − ) = a − < ⇔ − < a < → a ∈ℤ , a ∈(−10;10 )  n  ( ) Câu 31 Tính giới hạn lim (3n + n − n + 1) A L = B L = −∞ C L = D L = +∞ Lời giải Ta có lim n = +∞    1 lim (3n + 4n − n + 1) = lim n 3 + − +  = +∞   1   n n n  lim 3 + − +  = > n n n  Chọn D Giải nhanh : 3n + 4n − n + ∼ 3n  →+∞ 4 Câu 32 Cho dãy số (un ) với un = + A lim un = −∞ + + n ( ) Mệnh đề sau ? B lim un = C lim un = +∞ Lời giải Vì ( 2) 1− D Không tồn lim un n ( ) , … , ( ) lập thành cấp số nhân có u = = q nên a = − > 1− ( )   = ( − ) ( ) −1  → lim u = +∞  Chọn C    1− 2, n un = n n q = >  1 Lời giải Ta có lim x sin π x −  = lim ( x sin π x −1) = −1 Chọn B  x →0 x  x →0 Câu 60 Kết giới hạn A lim + ( x + 1) x →(−1) x là: x −1 C x Lời giải Với x ∈ (−1;0 ) x + > >0 x −1 Do lim + ( x + 1) x →(−1) B +∞ x x = lim ( x + 1)( x − x + 1) x −1 x →(−1)+ ( x −1)( x + 1) = lim + x + ( x − x + 1) x →(−1) D −∞ x = Chọn C x −1 Bài 03 HÀM SỐ LIÊN TỤC I – H M SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng K x ∈ K Hàm số y = f ( x ) gọi liên tục x lim f ( x ) = f ( x ) x → x0 II – H M SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số y = f ( x ) gọi liên tục đoạn [a; b ] liên tục khoảng (a; b ) lim f ( x ) = f (a ), x →a + lim f ( x ) = f (b ) x →b− Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng '' đường liền '' khoảng y y x a O b x a O b Hàm số liên tục khoảng (a; b ) Hàm số không liên tục khoảng (a; b ) III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực ℝ b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Định lí Giả sử y = f ( x ) y = g ( x ) hai hàm số liên tục điểm x Khi đó: a) Các hàm số y = f ( x ) + g ( x ) , y = f ( x ) − g ( x ) y = f ( x ) g ( x ) liên tục x ; b) Hàm số f (x ) g (x ) liên tục x g ( x ) ≠ Định lí Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [a; b ] f (a ) f (b ) < 0, tồn điểm c ∈ (a; b ) cho f (c ) = Định lí phát biểu theo dạng khác sau: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [a; b ] f (a ) f (b ) < 0, phương trình f ( x ) = có nghiệm nằm khoảng (a; b ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA H M SỐ Câu Hàm số f ( x ) = − x + A [−4;3] x +4 liên tục trên: B [−4;3) C (−4;3] D [−∞; −4 ] ∪ [3; +∞) 3 − x ≥  x > −4 TXD Lời giải Điều kiện:  ⇔   → D = (−4; 3]  → hàm số liên tục   x + >  x ≤ −3 (−4;3) Xét x = 3, ta có    = lim f ( x ) = lim−  − x + = f (3)  → Hàm số liên tục trái x =  x →3   x+4 x → 3− Vậy hàm số liên tục (−4;3] Chọn C x + x cos x + sin x liên tục trên: sin x +   B [1;5] C − ; +∞   Câu Hàm số f ( x ) = A [−1;1] D ℝ TXD Lời giải Vì sin x + = / với x ∈ ℝ   → D = ℝ  → Hàm số liên tục ℝ Chọn D Câu Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục ℝ với f (x ) = x − 3x + với x −1 x= / Tính f (1) A B C D −1 Lời giải Vì f ( x ) liên tục ℝ nên suy f (1) = lim f ( x) = lim x →1 x →1 x − 3x + = lim ( x − 2) = −1 Chọn D x →1 x −1 Câu Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục [−3;3] với f (x ) = với x ≠ Tính f (0 ) A B C D x + − 3− x x Lời giải Vì f ( x ) liên tục [−3;3] nên suy x + − 3− x Chọn B = lim = x→0 x x + + 3− x f (0) = lim f ( x) = lim x→0 x→ Câu Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục (−4; +∞) với f ( x ) = x x + −2 với x ≠ Tính f (0 ) A B C D Lời giải Vì f ( x ) liên tục (−4; +∞) nên suy f (0) = lim f ( x) = lim x→0 x→ x x+4 −2 = lim x →0 ( x + + = Chọn C ) Vấn đề H M SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM  x − x −  Câu Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f ( x ) =   x −2  m tục x = A m = B m = C m = x ≠ liên x = D m = Lời giải Tập xác định: D = ℝ , chứa x = Theo giả thiết ta phải có x2 − x − m = f (2) = lim f ( x) = lim = lim ( x + 1) = Chọn D x→2 x→ x→2 x−2  x − x + x −  Câu Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f ( x ) =   x −1  3 x + m x ≠ x = liên tục x = A m = B m = C m = D m = Lời giải Hàm số xác định với x ∈ ℝ Theo giả thiết ta phải có ( x −1)( x + 2) x3 − x + x − = lim = lim ( x + 2) = ⇔ m = x →1 x →1 x −1 x −1 + m = f (1) = lim f ( x) = lim x →1 x →1 Chọn A  x −1  x ≠ Câu Tìm giá trị thực tham số k để hàm số y = f ( x) =  x −1 liên  x = k + tục x = 1 A k = B k = C k = − D k = 2 Lời giải Hàm số f ( x ) có TXĐ: D = [0; +∞) Điều kiện toán tương đương với Ta có: k + = y (1) = lim y = lim x →1 x →1 x −1 1 = lim = ⇔ k = − Chọn C x → x −1 x +1  − x  x ≠  Câu Biết hàm số f ( x ) =  x + − liên tục x = (với m  x = m tham số) Khẳng định đúng? A m ∈ (−3;0) B m ≤ −3 C m ∈ [0;5) D m ∈ [5; +∞) Lòi giải Hàm số f ( x ) có tập xác định (−1; +∞) Theo giả thiết ta phải có m = f (3) = lim f ( x) = lim x →3 x→3 3− x x +1 − = lim (3 − x)( x +1 + 2) x →3 x −3 = − lim x →3 ( ) x + + = −4 Chọn B  x sin Câu 10 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f ( x ) =  x   m x ≠ liên x = tục x = A m ∈ (−2; −1) B m ≤ −2 C m ∈ [−1;7) D m ∈ [ 7; +∞) Lời giải Với x = / ta có ≤ f ( x) = x sin ≤ x → x →  → lim f ( x ) = x →0 x Theo giải thiết ta phải có: m = f (0) = lim f ( x) = Chọn C x→0  tan x  sin x = Hàm số f ( x ) =  x x →0  x 0 Câu 11 Biết lim sau đây?  π A 0;     π B −∞;   4  π π C − ;   4  x ≠ liên tục khoảng x = D (−∞; +∞) Lời giải Tập xác định: π   π π   π 3π  3π  π  D = ℝ ∖  + k π | k ∈ ℤ = ∪  + k π; + k π  = ⋯ ∪ − ;  ∪  +  ∪ ⋯   k ∈ℤ    2   2 2 tan x sin x 1 Ta có lim f ( x ) = lim = lim = =1= / = f (0)  → f ( x ) không liên x →0 x→0 x → x x cos x cos tục x = Chọn A Câu 12 Biết lim x →0  sin π x  f ( x ) =  x −1  m A m = −π x ≠ sin x = Tìm giá trị thực tham số m để hàm số x liên tục x = x = B m = π C m = −1 D m = Lời giải Tập xác định D = ℝ Điều kiện toán tương đương với sin π x m = f (1) = lim f ( x ) = lim x →1 x →1 x −1  sin (π x − π + π ) − sin π ( x −1) sin π ( x −1)  = lim = lim = lim (−π ) (*) x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 π ( x −1)   Đặt t = π ( x −1) t → x → Do (*) trở thành: m = lim (−π ) t →0 Câu 13 Biết lim x →0 1 + cos x  f ( x ) =  ( x − π )  m sin t = −π Chọn A t sin x = Tìm giá trị thực tham số m để hàm số x x ≠ π liên tục x = π x = π π π 1 B m = − C m = D m = − 2 2 Lời giải Hàm số xác định với x ∈ ℝ Điều kiện củz toán trở thành:   x π  x π  2  x     2sin sin − −   cos    2    2  1 + cos x = lim   (*) m = f (π ) = lim f ( x) = lim = lim = lim 2 x→ π x→π x → π   x π   ( x − π ) x → π ( x − π ) x →π ( x − π )   −      2   A m = Đặt t =  sin t  x π 1 − → x → Khi (*) trở thành: m = lim   = =  t →  t  2 2 Chọn C 3   x + x Câu 14 Hàm số f ( x ) =   x + x  1 x = −1 x ≠ −1, x ≠ liên tục tại: x = A điểm trừ x = 0, x = B điểm x ∈ ℝ C điểm trừ x = −1 D điểm trừ x = Lời giải Hàm số y = f ( x ) có TXĐ: D = ℝ Dễ thấy hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng (−∞; −1), (−1;0) (0;+∞) (i) Xét x = −1 , ta có x ( x + 1)( x − x + 1) x4 + x lim f ( x) = lim = lim = lim ( x − x + 1) = = f (−1) x →−1 x →−1 x + x x →−1 x →−1 x ( x + 1)  → hàm số y = f ( x ) liên tục x = −1 (ii) Xét x = , ta có lim f ( x ) = lim x →0 x→0 x ( x + 1)( x − x + 1) x4 + x = lim = lim ( x − x + 1) = = f (0) x→0 x + x x →0 x ( x + 1)  → hàm số y = f ( x ) liên tục x = Chọn B 0,5 x = −1   x ( x + 1) Câu 15 Số điểm gián đoạn hàm số f ( x ) =  x ≠ −1, x ≠ là:  x −1  x = 1 A B C D Lời giải Hàm số y = f ( x ) có TXĐ D = ℝ Hàm số f ( x ) = x ( x + 1) x −1 liên tục khoảng (−∞; −1) , (−1;1) (1; +∞) (i) Xét x = −1 , ta có lim f ( x) = lim x →−1 x →−1 x ( x + 1) x −1 = lim x →−1 x = = f (−1)  → Hàm số x −1 liên tục x = −1   lim f ( x ) = lim x ( x + 1) = lim x = +∞  x →1+ x →1+ x −1 x →1+ x −1 (ii) Xét x = , ta có   → Hàm số y = f ( x )  x ( x + 1) x  lim− f ( x ) = lim− = lim− = −∞ x →1 x →1 x −1 x −1  x →1 gián đoạn x = Chọn B Vấn đề H M SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Câu 16 Có giá trị thực tham số m để hàm m x x ≤ f ( x ) =  liên tục ℝ ? (1 − m ) x x >  A B C D Lời giải TXĐ: D = ℝ Hàm số liên tục khoảng (−∞;2 ) ; (2; +∞) số Khi f ( x ) liên tục ℝ ⇔ f ( x ) liên tục x = ⇔ lim f ( x ) = f (2 ) ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (2 ) x →2 x →2 x →2 (* )   f (2 ) = m  m = −1    Ta có  lim+ f ( x ) = lim+ (1 − m ) x  = (1 − m )  → (*) ⇔ m = (1 − m ) ⇔  x →2 m = x →2    lim f ( x ) = lim m x = m x → 2− x →2− Chọn A  x x ∈ [ 0;4 ] Câu 17 Biết hàm số f ( x ) =  tục [0;6 ] Khẳng định  1 + m x ∈ (4;6 ]  sau đúng? A m < B ≤ m < C < m < D m ≥ Lời giải Dễ thấy f ( x ) liên tục khoảng (0;4 ) (4;6 ) Khi hàm số liên tục đoạn [0;6 ] hàm số liên tục x = 4, x = 0, x =  lim f x = f ( )  + ( ) x →0 Tức ta cần có  (* )  lim− f ( x ) = f (6 ) x →6  lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( ) x →4 x → 4−  lim f ( x ) = lim x =  + x → 0+ • x → ;  f = =  ( )  lim f ( x ) = lim (1 + m ) = + m  − x → 6− • x → ;  f (6) = + m   lim f ( x ) = lim x = x → 4− x → 4−  •  lim+ f ( x ) = lim+ (1 + m ) = + m ; x →4 x →  f = + m ( )  Khi (*) trở thành + m = ⇔ m = < Chọn A  x − x +  x ≠ Câu 18 Có giá trị tham số a để hàm số f ( x ) =   x −1  x = a liên tục ℝ A B C D Lời giải Hàm số f ( x ) liên tục (−∞;1) (1; +∞) Khi hàm số cho liên tục ℝ liê tục x = 1, tức ta cần có lim f ( x ) = f (1) ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1) (*) x →1 x →1 x →1 x − x >  lim f ( x ) = lim (2 − x ) =  x →1− x →1−  x =  Ta có f ( x ) = a →   → (*) không tỏa mãn   lim f ( x ) = lim ( x − ) = −1 2 − x x < x →1+ x →1+ với a ∈ ℝ Vậy không tồn giá trị a thỏa yêu cầu Chọn C  x −1  x ≠ Câu 19 Biết f ( x ) =  liên tục đoạn [0;1] (với a tham  x −1  a x = số) Khẳng định giá trị a đúng? A a số nguyên B a số vô tỉ C a > D a < Lời giải Hàm số xác định liên tục [0;1) Khi f ( x ) liên tục [0;1] lim− f ( x ) = f (1) (*) x →1  f (1) = a   Ta có   lim f ( x ) = lim x −1 = lim ( x + 1)  − x →1− x −1 x →1−  x →1 (  → (*) ⇔ a = Chọn A x +  =  )  x −1  x < Câu 20 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  − x −1 Khẳng định  x ≥ −2 x đúng? A f ( x ) không liên tục ℝ B f ( x ) không liên tục (0;2) C f ( x ) gián đoạn x = D f ( x ) liên tục ℝ Lời giải Dễ thấy hàm số liên tục (−∞;1) (1; +∞)    f (1) = −2  Ta có   lim+ f ( x ) = lim+ (−2 x ) = −2 x →1 x →1   lim f ( x ) = lim x −1 = lim −  x →1− x →1− − x −1 x →1−   → f ( x ) liên tục x = ( − x +  = −2  ) Vậy hàm số f ( x ) liên tục ℝ Chọn D  x − x +  Câu 21 Tìm giá trị nhỏ a để hàm số f ( x ) =   4x −3 − x  1 − a x x = 2 A − B C − 3 x > liên tục x ≤ D Lời giải Điều kiện toán trở thành: lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (3) (*) x →3 x →3   f (3) = − 3a  ( x − 2) x − + x  x − 5x + = lim+ = −3 Ta có   lim+ f ( x ) = lim+ x →3 x →3 1− x x − − x x →3   lim f ( x ) = lim (1 − a x ) = − 3a x → 3− x →3− 2  → ( *) ⇔ a = ±  → amin = − Chọn A 3  3 x + −   x −2 Câu 22 Tìm giá trị lớn a để hàm số f ( x ) =    a x +  ( ) x > liên tục x ≤ x = A amax = B amax = C amax = D amax = Lời giải Ta cần có lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (2 ) (*) x →2 x →2   f (2 ) = 2a −   3x + −  Ta có  lim+ f ( x ) = lim+ =  → (*) ⇔ a = ±1  → amax = Chọn C x →2 x →2 x −2   1  f ( x ) = lim− a x +  = a − xlim → 2− x →2   4  1 − cos x x ≤ Câu 23 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  Khẳng định sau  x >  x + đúng? A f ( x ) liên tục x = B f ( x ) liên tục (−∞;1) C f ( x ) không liên tục ℝ D f ( x ) gián đoạn x = Lời giải Hàm số xác định với x ∈ ℝ Ta có f ( x ) liên tục (−∞;0 ) (0; +∞)   f (0 ) =  Mặt khác  → f ( x ) gián đoạn x =  lim− f ( x ) = lim− (1 − cos x ) = − cos =  x →0 x →0  f ( x ) = lim+ x + = + = xlim x →0  → 0+ Chọn C  cos π x x ≤ Câu 24 Tìm khoảng liên tục hàm số f ( x ) =  Mệnh đề   x >  x −1 sau sai? A Hàm số liên tục x = −1 B Hàm số liên tục khoảng (−∞, −1); (1; +∞) C Hàm số liên tục x = D Hàm số liên tục khoảng (−1,1) Lời giải Ta có f ( x ) liên tục (−∞; −1), (−1;1), (1; +∞)     f (−1) = cos − π  =    • Ta có   → f ( x ) gián đoạn x = −1 Chọn A  f x lim x = − = − ( ) ( ) x →lim − − x →(−1)  (−1)   f = cos π =  ( )  • Ta có  lim+ f ( x ) = lim+ ( x −1) =  → f ( x ) liên tục x = x →1 x →1   lim f ( x ) = lim cos π x = x →1− x →1− Câu 25 Hàm số f ( x ) có đồ thị hình bên y khơng liên tục điểm có hồnh độ bao nhiêu? A x = B x = x C x = O D x = Lời giải Dễ thấy điểm có hồnh độ x = đồ thị hàm số bị '' đứt '' nên hàm số không liên tục Cụ thể: lim+ f ( x ) = = / = lim− f ( x ) nên f ( x ) gián đoạn x = Chọn B x →1 x →1  x   x  Câu 26 Cho hàm số f ( x ) =  0   x   A điểm thuộc ℝ C điểm trừ x = x < 1, x ≠ x = Hàm số f ( x ) liên tục tại: x ≥ B điểm trừ x = D điểm trừ x = x = Lời giải Hàm số y = f ( x ) có TXĐ: D = ℝ Dễ thấy hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng (−∞;0 ), (0;1) (1;+∞)    f (0 ) =  x2 Ta có  = lim− x =  → f ( x ) liên tục x =  lim− f ( x ) = lim− x →0 x →0 x →0 x  x2  f x lim = lim = lim+ x = ( ) x →0+ x → 0+ x x →0    f (1) =  x2  Ta có  lim− f ( x ) = lim− = lim− x =  → f ( x ) liên tục x = x →1 x x →1 x →1   lim+ f ( x ) = lim+ x = x →1 x →1 Vậy hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ Chọn A  x −1  x < 3, x ≠  x −1  Câu 27 Cho hàm số f ( x ) = 4 x = Hàm số f ( x ) liên tục tại:   x + x ≥   A điểm thuộc ℝ B điểm trừ x = C điểm trừ x = D điểm trừ x = x = Lời giải Hàm số y = f ( x ) có TXĐ: D = ℝ Dễ thấy hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng (−∞;1), (1;3) (3;+∞)  f (1) =   → f ( x ) gián đoạn x = Ta có   lim f ( x ) = lim x −1 = lim ( x + 1) = x →1 x −1 x →1  x →1  f (3) =   → f ( x ) gián đoạn x = Ta có    lim f ( x ) = lim x −1 = lim ( x + 1) = − − x →3− x →3 x −1 x →3 Chọn D x < 2 x  Câu 28 Số điểm gián đoạn hàm số h ( x ) =  x + ≤ x ≤ là:  3 x −1 x > A B C D Lời giải Hàm số y = h ( x ) có TXĐ: D = ℝ Dễ thấy hàm số y = h ( x ) liên tục khoảng (−∞;0), (0;2) (2;+∞) h (0 ) =  Ta có   → f ( x ) không liên tục x =   lim− h ( x ) = lim− x = x → x →   h (2 ) =  Ta có  → f ( x ) liên tục x =  lim− h ( x ) = lim− ( x + 1) =  x →2 x →2  h ( x ) = lim+ (3 x −1) = xlim →2+ x →2 Chọn A  x + x x <  Câu 29 Tính tổng S gồm tất giá trị m để hàm số f ( x ) =  x = 2  m x + x > liên tục x = A S = −1 B S = C S = D S = Lời giải Hàm số xác định với x ∈ ℝ Điều kiện toán trở thành lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1) (*) x →1 x →1   f (1) =  2 Ta có  → (* ) ⇔ m + =  lim+ f ( x ) = lim+ (m x + 1) = m +  x →1 x →1  f ( x ) = lim− ( x + x ) = xlim x →1  →1− ⇔ m = ±1  → S = Chọn B −x cos x x <   x Câu 30 Cho hàm số f ( x ) =  ≤ x < Hàm số f ( x ) liên tục tại: 1 + x  x ≥  x A điểm thuộc x ∈ ℝ B điểm trừ x = C điểm trừ x = D điểm trừ x = 0; x = Lời giải Hàm số y = f ( x ) có TXĐ: D = ℝ Dễ thấy f ( x ) liên tục khoảng (−∞;0 ), (0;1) (1;+∞)    f (0 ) =  → f ( x ) liên tục x = Ta có   lim− f ( x ) = lim− (−x cos x ) =  x →0 x →0   lim f ( x ) = lim x = + + x →0 x →0 + x   f (1) =   x2 Ta có  =  → f ( x ) không liên tục x =  lim− f ( x ) = lim− x →1 + x x →1   lim f ( x ) = lim x += x →1  x →1+ Chọn C Vấn đề SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN MỘT KHOẢNG Câu 31 Cho hàm số f ( x ) = −4 x + x −1 Mệnh đề sau sai? A Hàm số cho liên tục ℝ B Phương trình f ( x ) = khơng có nghiệm khoảng (−∞;1) C Phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng (−2;0 )  1 D Phương trình f ( x ) = có hai nghiệm khoảng −3;   2 Lời giải (i) Hàm f ( x ) hàm đa thức nên liên tục ℝ  → A  f (−1) = −1 < (ii) Ta có   → f ( x) = có nghiệm x1 (−2;1) , mà   f (−2) = 23 >  → B sai C  → Chọn B (−2; −1) ⊂ (−2;0) ⊂ (−∞;1)   f (0) = −1 <   1 (iii) Ta có   → f ( x ) = có nghiệm x2 thuộc 0;  Kết hợp với (1) suy       f   = >    f ( x ) = có nghiệm x1 , x2 thỏa: −3 < x1 < −1 < < x2 <  → D Câu 32 Cho phương trình x − x + x + = Mệnh đề sau đúng? A Phương trình khơng có nghiệm khoảng (−1;1) B Phương trình khơng có nghiệm khoảng (−2;0 ) C Phương trình có nghiệm khoảng (−2;1) D Phương trình có hai nghiệm khoảng (0;2) Lời giải Hàm số f ( x ) = x − x + x + hàm đa thức có tập xác định ℝ nên liên tục ℝ Ta có  f (0) = (i)  ⇒ f (−1) f (0) <  → f ( x) = có nghiệm x1 thuộc (−1;0)   f (−1) = −3   f (0) = (ii)  ⇒ f (0) f (1) <  → f ( x ) = có nghiệm x2 thuộc (0;1)   f (1) = −1   f (1) = −1 ⇒ f (1) f (2) <  → f ( x ) = có nghiệm x3 thuộc (1;2 ) (iii)    f (2) = 15  Vậy phương trình f ( x ) = cho có nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa −1 < x1 < < x2 < < x3 <  → Chọn D Câu 33 Cho hàm số f ( x ) = x − x −1 Số nghiệm phương trình f ( x ) = ℝ là: A B C D Lời giải Hàm số f ( x ) = x − x −1 hàm đa thức có tập xác định ℝ nên liên tục ℝ Do hàm số liên tục khoảng (−2; −1), (−1;0 ), (0;2 ) Ta có  f (−2 ) = −3 •  ⇒ f (−2) f (−1) <  → (1) có nghiệm thuộc (−2; −1)  f (−1) =   f •   f   f •   f  Như (−1) = ⇒ f (−1) f (0 ) <  → (1) có nghiệm thuộc (−1;0 ) ( ) = −1 (2 ) = ⇒ f (2 ) f (0 ) <  → (1) có nghiệm thuộc (0;2) ( ) = −1 phương trình (1) có ba thuộc khoảng (−2;2 ) Tuy nhiên phương trình f ( x ) = phương trình bậc ba có nhiều ba nghiệm Vậy phương trình f ( x ) = có nghiệm ℝ Chọn D Cách CASIO (i) Chọn MODE (chức TABLE) nhập: F ( X ) = X − X −1 (ii) Ấn “=” tiếp tục nhập: Start ↔ −5 (có thể chọn số nhỏ hơn) End ↔ (có thể chọn số lớn hơn) Step ↔ (có thể nhỏ hơn, ví dụ ) (iii) Ấn “=” ta bảng sau: Bên cột X ta cần chọn hai giá trị a b (a < b) cho tương ứng bên cột F ( X ) nhận giá trị trái dấu, phương trình có nghiệm (a; b) Có cặp số a, b cho khác khoảng (a; b) rời phương trình f ( x ) = có nhiêu nghiệm Câu 34 Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [−1; ] cho f (−1) = , f ( ) = Có thể nói số nghiệm phương trình f ( x ) = đoạn [−1;4] : A Vơ nghiệm B Có nghiệm C Có nghiệm D Có hai nghiệm Lời giải Ta có f ( x ) = ⇔ f ( x ) − = Đặt g ( x ) = f ( x ) − Khi  g (−1) = f (−1) − = − = −3  ⇒ g (−1) g ( ) <   g ( ) = f (4 ) − = − =  Vậy phương trình g ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng (1;4 ) hay phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng (1;4 ) Chọn B Câu 35 Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (−10;10 ) để phương trình x − x + (2m − ) x + m − = có ba nghiệm phân biệt x1 , x , x thỏa mãn x1 < −1 < x < x ? A 19 B 18 C D Lời giải Xét hàm số f ( x ) = x − x + (2m − ) x + m − liên tục ℝ ● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x , x cho x1 < −1 < x < x Khi f ( x ) = ( x − x1 )( x − x )( x − x ) Ta có f (−1) = (−1 − x1 )(−1 − x )(−1 − x ) > (do x1 < −1 < x < x ) Mà f (−1) = −m − nên suy −m − > ⇔ m < −5 ● Thử lại: Với m < −5 , ta có ▪ lim f ( x ) = −∞ nên tồn a < −1 cho f (a ) < x →−∞ (1) ▪ Do m < −5 nên f (−1) = −m − > (2 ) ▪ f (0 ) = m − < (3) ▪ lim f ( x ) = +∞ nên tồn b > cho f (b ) > (4 ) x →+∞ Từ (1) (2 ) , suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (−∞; −1) ; Từ (2 ) (3) , suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (−1;0 ) ; Từ (3) (4 ) , suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0; +∞) m ∈ℤ Vậy m < −5 thỏa mãn  → m ∈ {−9; −8; −7; −6} Chọn C m ∈(−10;10 ) ... B=I TẬP TRẮC NGHIỆM 11 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn trắc nghiệm 11 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có. .. − lim x → x0 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Câu Giá trị giới hạn lim (3 x + x + 11) là: x →2 A 37 B 38 C 39 D 40 → Chọn A Lời giải lim (3x + x + 11)...IV – GIỚI HẠN VƠ CỰC Định nghĩa • Ta nói dãy số (un ) có giới hạn +∞ n → +∞ , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ n → +∞ • Dãy số (un ) có giới hạn −∞