Đang tải... (xem toàn văn)
A.. Khẳng định nào dưới đây đúng.. b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM.[r]
(1)CHỦ ĐỀ
4 GIỚI HẠN
Baøi 01
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1 Định nghĩa
Định nghĩa
Ta nói dãy số ( )un có giới hạn n dần tới dương vơ cực, un nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở
Kí hiệu: lim n
n→+∞u = hay un→0 n→ +∞
Định nghĩa
Ta nói dãy số ( )vn có giới hạn a (hay vn dần tới a) n→ +∞,nếu ( )
lim n
n→+∞ v −a =
Kí hiệu: lim n
n→+∞v =a hay vn →a n→ +∞
2 Một vài giới hạn đặc biệt a) lim 0;
n→+∞n= lim k
n→+∞n = với k nguyên dương;
b) lim n
n→+∞q = q<1;
c) Nếu un=c (c số) lim n lim n→+∞u =n→+∞c=c
Chú ý: Từ sau thay cho lim n
n→+∞u =a ta viết tắt limun =a
II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí
a) Nếu limun=a limvn=b
( )
lim un vn a b
• + = + • lim(un−vn)= −a b ( )
lim u vn n a b
• = lim n
n
u a
v b
• =
(nếu b≠0) b) Nếu lim
0, n n
u a
u n
=
≥ ∀
lim
0 n
u a
a
=
≥
III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân vơ hạn ( )un có công bội q, với q <1 gọi cấp số nhân lùi vô hạn
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
( )
1
1 1
1 n
S u u u u u q
q
= + + + + =
−
… <
(2)IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC 1 Định nghĩa
• Ta nói dãy số ( )un có giới hạn +∞ khin→ +∞, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở
Kí hiệu: limun= +∞ hay un → +∞ n→ +∞
• Dãy số ( )un có giới hạn −∞ n→ +∞, lim(−un)= +∞ Kí hiệu: limun= −∞ hay un → −∞ n→ +∞
Nhận xét: un= +∞ ⇔lim(−un)= −∞ 2 Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau
a) lim k
n = +∞ với k nguyên dương; b) lim n
q = +∞ q>1 3 Định lí
a) Nếu limun= a limvn = ±∞ thìlim n n u v =
b) Nếu limun= >a 0, limvn=0 vn>0,∀ >n lim n n
u
v = +∞ c) Nếu limun = +∞ limvn= >a limu vn n =+∞
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Câu Kết giới hạn lim sin
n n
−
bằng:
A −2 B C D 5
(3)Lời giải Ta có sin 1,
n
n n
≤ ≤ mà lim1
n= nên
sin
lim 0,
3
n
n =
sin
lim 2
3
n n
− = −
Chọn A
Nhận xét: Có thể dùng MTCT để tính (có thể xác gần đúng) giới hạn sau (các sau làm tương tự):
Nhập sin 5( )
X X −
Bấm CALC nhập 9999999999(một số dịng MTCT bấm nhiều số « 9 »
báo lỗi, ta cần bấm số « »
Bấm « = » ta kết (có thể gần đúng), sau chọn đáp án có giá trị gần với kết MTCT
Câu Có số tự nhiên chẵn k để
1 cos
1
lim
2
k
n n
n n −
=
A 0 B C 4 D Vô số
Lời giải Ta có sin sin
2
n n n n n
n n
−
= −
Điều kiện toán trở thành
1 cos
lim
k n
n
n =
Ta có lim cos1 cos
n= = nên tốn trở thành tìm k cho *
1
,
lim lim
2 k
k
k k l
n k
n k
n ∈
−
=
= = ⇔ − < ⇔ < →ℕ không tồn k (do k nguyên dương chẵn) Chọn A
Câu Kết giới hạn lim3 sin cos
n n
n +
+ bằng:
A B C D
Lời giải Ta có 3sin cos 7
1
3sin cos
0 lim
1
n n n n
n n n n
+
≤ ≤ ≤ → → +
+
=
+ + Chọn B
Câu Kết giới hạn lim cos 22
n n n
−
+ bằng: A B 1
4 C D −4
Lời giải Ta có
2 2
cos c cos
0 lim os lim
1 1
n n n n n n n
n n n n
n
≤ ≤ ≤ → → = →
+ + +
− =
+ Chọn C
Câu Kết giới hạn lim 2sin 2
5 n
n π n
−
là:
A −∞ B −2 C D +∞
Lời giải Ta có 3 sin
lim sin lim
5
n n
n n n
n
π π
− = −
(4)3
3
lim lim
1 sin
lim
1 sin
5
0 sin lim 2
5
n
n n
n n
n
n
n n n
π
π π
= +∞ = +∞
→ → − = −∞
− = − <
≤ ≤ →
Chọn A
Câu Giá trị giới hạn lim ( 1)
n n −
+
+
bằng:
A B C D
Lời giải Ta có 0 ( )1 1 lim( )1 lim ( )1
1 1
n
n n
n n n n n
− −
≤ ≤ ≤ → → =
−
+ =
+
→
+ + +
Chọn C
Câu Cho hai dãy số ( )un ( )vn có
( )
2
1 n n
u n
− =
+
1 n
v n =
+ Khi lim(un+vn) có giá trị bằng:
A B C D
Lời giải Ta có ( )
2
0
lim lim li
1
0
1
0
m
0
0
n n
n
n n
n u
n
u
n
u v
n
v n
v
≤ ≤ + ≤ → → = =
≤ ≤ ≤
→ + =
→
+
Chọn B
Chú ý: Cho P n( ),Q n( ) đa thức bậc m k, theo biến n:
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
1
0
m
k k
k k k
m m
m m a n a a
Q n b n b n b n
P x a n
b b a n
− −
− −
= + + + + =/
= + + + + =/
⋯ ⋯
Khi ( ) ( )
lim lim
m m
k k P n a n
Q n = b n , viết tắt
( ) ( )
m m
k k P n a n
Q n ∼ b n , ta có trường hợp sau:
Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu (m<k) ( )
( )
limP n
Q n =
Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu (m=k) ( )
( )
lim m
k P n a Q n =b
Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu (m>k) ( )
( )
0
lim
0
m k m k khi a b P n
khi a b Q n
+∞ >
=
−∞ <
Để ý P n( ),Q n( ) có chứa « » ta tính bậc Cụ thể mnk tì có bậc k
n Ví dụ n có bậc
1 ,
2 n có bậc
,
3
Trong sau ta dùng dấu hiệu để kết cách nhanh chóng!
Câu Giá trị giới hạn lim 2 4n 2n
−
− + là: A
4
(5)Lời giải Ta có 2 2
3
3
lim lim
2
4
4
n
n n
n n − −
= = =
− + − + Chọn C
Giải nhanh: Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết Câu Giá trị giới hạn lim 3 2
3
n n
n n
+
+ − bằng:
A B C 2
3 D
Lời giải Ta có 3 2
2
1
2
lim lim
3 1
3
1
n n n n
n n
n n
+ +
= = =
+ − + − Chọn D
Giải nhanh: Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết Câu 10 Giá trị giới hạn lim3 34
4
n n
n n
− +
+ + là:
A +∞ B C 2
7 D
3
Lời giải Ta có 34
3
3
3
lim lim
2
4
4
n n n n n
n n
n n
− +
− +
= = =
+ + + + Chọn B
Giải nhanh: Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết Câu 11 Giá trị giới hạn lim
2 n n
n2 +
+ bằng: A 3
2 B C D
Lời giải Ta có
2
1
1
lim lim
2
2
1
n n n n
n
n
2
+ +
= = =
+ + Chọn D
Giải nhanh: 2
2
n n n n
n2 n n
+
= →
+ ∼
Câu 12 Cho hai dãy số ( )un ( )vn có
1 n
u n =
+
2 n
v n =
+ Khi lim n n v
u có giá trị bằng:
A B C D
Lời giải Ta có
1
1
lim lim lim
2
2
1
n n
v n n
u n
n
+ +
= = = =
+ + Chọn A
Giải nhanh: 1
n n
n n
+
=
+ ∼
Câu 13 Cho dãy số ( )un với
4 n
an u
n + =
(6)A a=10 B a=8 C a=6 D a=4 Lời giải Ta có
4
lim lim lim
3
5
5
n
a
an n a
u
n
n
+ +
= = =
+ + Khi
lim 2 10
5
n
a
u = ⇔ = ⇔ =a → Chọn A
Giải nhanh: 2 10
5 5
an an a a
n n
+
= ⇔ =
+
∼ ∼
Câu 14 Cho dãy số ( )un với n
n b u
n + =
+ b tham số thực Để dãy số ( )un có giới hạn hữu hạn, giá trị b là:
A b số thực tùy ý B b=2 C không tồn b D b=5
Lời giải Ta có ( )
2
2
lim lim lim
3
5
5
n
b
n b n
u
n
n
b
∀ +
+
= = = →
+ + ∈ℝ Chọn A
Giải nhanh: 2 2
5 5
n b n
n n
+
=
+ ∼ với b∈ℝ
Câu 15 Tính giới hạn lim 2
n n
L
n + + =
+ A
2
L= B
2
L= C L=2 D L=1
Lời giải Ta có 2
2
1
5
lim lim
1
2
2
n n n n
L
n
n
+ + + +
= = = →
+ + Chọn B
Giải nhanh: 2 22
2
n n n
n n
+ +
=
+ ∼
Câu 16 Cho dãy số ( )un với
2
4
n
n n
u
an + + =
+ Để dãy số cho có giới hạn 2, giá trị a là:
A a= −4 B a=4 C a=3 D a=2
Lời giải ( )
2 2
2
2
1
4
2 lim lim lim
5
5
n
n n n n
u a a
a
an a
n
+ + + +
= = = = ⇔ =
+ + =/ Chọn D
Giải nhanh: 2 2 22
n n n
a a
an an
+ +
= ⇔ =
+
∼ ∼
Câu 17 Tính giới hạn lim 32 3
2
n n
L
n n
− =
+ −
A
L= − B
5
L= C
2
(7)Lời giải 32
2
1
3
lim lim
5 2
2
2
n n n
L
n n
n n
−
− −
= = = →
+ − + − Chọn A
Giải nhanh: 32 3 333
2 2
n n n
n n n
− −
= −
+ − ∼
Câu 18 Tìm tất giá trị tham số a để
( )
2
4
5
lim
1
n an
L
a n n
−
= >
− + +
A a≤0;a≥1 B 0< <a C a<0;a>1 D 0≤ <a
Lời giải
( ) ( ) ( )
2 2
4
3
5
3 0
5 3
lim lim
2 1
1 1
a a
n an n a
L
a a
a n n a
n n
− <
− −
= = = > ⇔
> −
− + + − + + Chọn C
Câu 19 Tính giới hạn ( )( ) ( )( )
3
4
2
lim
2
n n n
L
n n
− +
=
− −
A
L= − B L=1 C L=3 D L= +∞
Lời giải Ta có
( )( )
( )( )
3
3 2 2 2 2
4
4
4
2
1 3
2 1.3 3
lim lim lim
1 7 2.1
2
2
n n
n n n n n n n
L
n n
n n
n n n n
− + − +
− + −
= = = = = −
− − − − − −
Chọn A
Giải nhanh: ( )( ) ( )( )
3 3 2
4
2 .3 3
2
2
n n n n n
n n n n
− + −
= −
− − ∼
Câu 20 Tính giới hạn ( )( )( )
( )( )
2
4
2
lim
3
n n n n
L
n n n
+ + +
=
− − −
A L=0 B L=1 C
3
L= D L= +∞
Lời giải ( )( )( )
( )( )
2 3
4
3
2
1
2 1.2.4 8
lim lim
3 1.3
3
1
n n n n n n n
L
n n n
n n n
+ + +
+ + +
= = = =
− − − − − −
Chọn C
Giải nhanh: ( )( )( )
( )( )
2 2 3
4
4
2 .2 .4 8
3 3
n n n n n n n
n n
n n n
+ + +
=
− − − ∼
Câu 21 Tính giới hạn
3
1 lim
8 n L
n + =
+ A
2
L= B L=1 C
8
(8)Lời giải 3 3 1 1
lim lim
8
1 n n L n n + + = = = = → + + Chọn B
Giải nhanh: 3 3 1 n n n n + = + ∼
Câu 22 Kết giới hạn lim 22
n n
n − − là: A
3
− B +∞ C −∞ D 2
3
Lời giải
3
3 2
2 2 2 2 1
lim lim lim
1 1 3 n
n n n n
n n n n n − − − = = − − − Ta có 2 2 2 lim 2
im lim
1
1
lim
3
1
3
n
n n n
n n n n n = +∞ − − − → = = −∞ →
= − < −
−
−
Chọn C
Giải nhanh: 22 32
3
1 3
n n n
n
n n
−
= − →−∞
− ∼−
Câu 23 Kết giới hạn lim 22 3
4
n n
n n
+
+ + là: A 3
4 B +∞ C D
5
Lời giải
3
3 2
2 2 2 2 3
lim lim lim
2
4
4
n
n n n n
n n n n n n n n + + + = = + + + + + + Ta có 2 2 2 lim 2 3
im lim
3
2
lim
4
2
4
n
n n n
n
n n n
n n n n = +∞ + + + → = = +∞
= > + +
+ +
+ +
Chọn B
Giải nhanh: 22 3 32
4
n n n
n
n n n
+
= →+∞
+ + ∼
Câu 24 Kết giới hạn lim3 4 n n
n −
− là:
A 0 B +∞ C −∞ D 3
4
Lời giải
4
4 3
3
3 3
1 1
3
lim lim lim
5 5 4 n
n n n n n
(9)3 3 3 lim 3 3
1 lim l lim . .
1 5 lim 4 n
n n n
n n n n n = +∞ − − − → = = −∞
= − < −
−
−
Chọn C
Giải nhanh: 3 4
4 4
n n n
n
n n
− −
= − →−∞
− ∼
Câu 25 Trong giới hạn sau đây, giới hạn 0? A lim3 22
2 n n + − B 3 lim n n −
− − C
3 2 lim n n n −
− − D
2 4 2 lim n n n n − − +
Lời giải Theo dấu hiệu nêu phần Chú ý ta chọn giới hạn rơi vào trường hợp « bậc tử » < « bậc mẫu » !
3 lim n n + = +∞
− : « bậc tử » > « bậc mẫu » a bm k =2.2= >4 3 lim n n − =
− − : « bậc tử » < « bậc mẫu » Chọn B 2 lim n n n − = +∞
− − : « bậc tử »> « bậc mẫu » a bn k= −( ) (− >2)
2
4
2 3
lim 2 n n n n − − = = −
− + : « bậc tử » = « bậc mẫu »
3 2 m k a b − = = −
Câu 26 Dãy số sau có giới hạn − ? B 22
3 n n n u n − =
+ A
4
3
2
3
n n n u n n − + − =
+ − C
2 3 n n n u n n − =
+ − D
2
2
3
n n n u n n − + − = + −
Lời giải Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » a bm k>0 Chọn C
2
3
3
lim lim
9 n n n u n n − − = = = − + −
Câu 27 Dãy số sau có giới hạn +∞? A
5 n n u n + = + B 5 n n u n n − = + C 2 5 n n n u n n − =
+ D
1 5 n n n + + Lời giải Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » > « bậc mẫu » với a bm k>0 Chọn A
2 2
1 1
lim lim lim 5 5 n n n u n n n + + = = = +∞
+ +
2 lim 1 lim 5 m k n a n b n = +∞ +
= = >
+
Các đáp án cịn lại rơi vào trường hợp « bậc tử » ≤ « bậc mẫu » nên cho kết hữa hạn
Câu 28 Dãy số sau có giới hạn −∞? A 2
5 n n n + + B 3 n n n u n n + − =
− + C
(10)2
2
2
2
n
n n u
n n − =
+ : « bậc tử » > « bậc mẫu » a bm k= −3.2= − < 6 →limun= −∞
Chú ý: (i) ( 0)
1
0
lim
0
n
m m
m n
n khi a a n a n
khi a a n a
− −
+∞ >
+ + =
− <
+ +
∞
⋯
(ii) Giả sử q >max{qi :i=1; 2…;m}
( )
0 1
1
lim 0,
0,
n n
m m
n
a khi q
a q a q khi a q
khi a
q a q
a
<
+ + + + = +∞ > >
−∞ < >
⋯
Ta dùng « dấu hiệu nhanh » để đưa kết nhanh chóng cho sau Câu 29 Tính giới hạn lim 3( 5 3 )
L= n + n−
A L=3 B L= −∞ C L=5 D L= +∞
Lời giải ( )
2
5 lim lim
L n n n
n n
= + − = + − = +∞
2
lim
lim 2
n
n n
= +∞
+ − = >
Chọn D
Giải nhanh: 2
3n +5n−3∼3n → +∞
Câu 30 Có giá trị nguyên tham số a thuộc khoảng (−10;10) để
( )
( 3)
lim
L= n− a − n = −∞
A 19 B C D 10
Lời giải Ta có ( ( ) 3) ( )
5
lim 5n a n limn a n
− − = − − = −∞
( ) ( )
2
2 , 10;10
5
lim 2 2 1; 0;
a a
a a a a
n ∈ ∈ −
⇔ − − = − < ⇔ − < < → = −ℤ Chọn B
Câu 31 Tính giới hạn lim 3( 4 1 )
n + n − +n
A L=7 B L= −∞ C L=3 D L= +∞ Lời giải Ta có
( )
2
4 1
lim 3n 4n n limn
n n n
+ − + = + − + = +∞
2
lim
4 1
lim 3
n
n n n
= +∞
+ − + = >
Chọn D
Giải nhanh: 4
3n +4n − +n 1∼3n →+∞
Câu 32 Cho dãy số ( )un với ( ) ( )
2
2 n n
u = + + + Mệnh đề sau đúng?
A limun = −∞ B lim
1
n u =
−
C limun = +∞ D Khơng tồn limun Lời giải Vì ( )2 ( )
2, ,…, n lập thành cấp số nhân có u1= 2=q nên ( )
( ) ( )
1
2 2 lim
1
n
n
n n
u = − = − − → u = +∞
−
2
2
a q
= − >
= >
(11)Câu 33 Giá trị giới hạn 2
1
1
2 2
lim
1 n n
+ + + +
+ bằng:
A 1
8 B 1 C
1
2 D
1 Lời giải Ta có 1 1(1 ) ( 1)
2 2 n 2
n n n
+ +
+ + + + = + +⋯ = Do
2
2
1
1
1
2 2
lim lim
4
1 4
n
n n
n n
+ + + + +
= =
+ + (“bậc tử” = “bậc mẫu”) Chọn D
Câu 34 Giá trị giới hạn lim 12 22 n 21
n n n
−
+ + +
bằng:
A B 1
3 C
1
2 D
Lời giải Ta có ( ) ( )( )
2
2 2 2
1 1
1 1
2
2
n n
n n n
n n n n +n n n
− + −
− −
+ + + = + +⋯ − = =
Do
2
2 2
1 1
lim lim
2
n n n
n n n n
− −
+ + + = =
Chọn C
Câu 35 Giá trị giới hạn lim 2 (2 1)
3
n n
+ + + + +
+
⋯
bằng:
A B 1
3 C
2
3 D
Lời giải Ta có ( ) (1 1)
5
2
1+3+ +⋯ n− =n + n− =n nên
( )
2
1 1
lim lim
3
3 4
n n
n n
+ + + + +
= = →
+ +
⋯
Chọn B
Câu 36 Giá trị giới hạn
( )
1 1
lim
1.2 2.3 n n
+ + +
+
là:
A 1
2 B 1 C 0 D −∞
Lời giải Ta có
( )
1 1 1 1
lim lim lim 1
1.2 2.3 2
1
1
n n n n n
+ + + = − + − + = − =
+ + − + +
⋯
Chọn B
Câu 37 Giá trị giới hạn
( )( )
1 1
lim
1.3 3.5 2n 2n
+ + +
− +
bằng:
A 1
2 B
1
4 C D
Lời giải Với *
k∈ℕ
( )( )
1 1
2k 2k 2k 2k
= −
(12)( )( )
1 1 1 1 1
lim lim
1.3 3.5 2 3 2
1 1
lim
2 2
n n n n
n
+ + + = − + − + −
− + − +
= − =
+
Chọn A
Câu 38 Giá trị giới hạn
( )
1 1
lim
1.4 2.5 n n
+ + +
+
bằng:
A 11
18 B C D
3 Lời giải Ta có
( )
1 1 1 1 1
1.4 2.5 3
1 1 1
1
3
1 1 1
1
3 3
1
1
3
1
3
11 1
3
n n
n n
n n
n n
n
n n n
+ + + = − + − + − +
+
= + + + − + + + + −
+
+ +
+
= + + − − −
+ + +
= − − −
+ + +
⋯
⋯ ⋯
Do
( )
1 1 11 1 11
lim lim
1.4 2.5 n n 3 n n n
+ + + = − − − =
+ + + +
Chọn A
Câu 39 Giá trị giới hạn
( )
2 2
2
1 lim
1 n n n
+ + +
+ bằng:
A B C 1
2 D
1
Lời giải Đặt ( ) ( )( )
3 1 2 1
2
6
n n n n n n
P n = − + = − + ta có
( ) ( )
( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( )( )
2 2
1
1
1
6
2 n P P P P P n P n
n n n P n P
+ = − + − + + + −
+ +
= + =
+ +
−
+ ⋯ ⋯
Do
( )
( )( )
( )
2 2
2
1
lim li
3
1 m 6
n n n n
n n n n
+ +
= +
+ +
= +
=
+ Chọn D
Câu 40 Cho dãy số có giới hạn ( )un xác định
1
1
,
n n
n u
u n
u
+
=
= ≥
−
Tính limun
A limun = −1 B limun=0 C lim n
u = D limun=1 Lời giải Giả sử lim
n
u =a ta có
( )
1
2
2
1
lim lim
2
2
2
n
n
a a
a u
a a a
u a a a
+
=/ =/
− = − + =
= = = ⇔ ⇔ ⇔ =
(13)Câu 41 Cho dãy số có giới hạn ( )un xác định
1
1
2
,
n n u
u
u+ n
=
+
= ≥
Tính limun A limun =1 B limun=0 C limun =2 D limun= +∞ Lời giải Giả sử lim
n
u =a ta có
1
1
lim lim
2
n n
u a
a= u+ = + = + ⇔ = a → Chọn A Câu 42 Kết giới hạn lim
4
n n
n − +
− bằng: A 2
3 B
3
4 C D
Lời giải 2
1
9
lim lim
2
4
4
n n n n
n
n − + − +
= = →
− − Chọn B
Giải nhanh: 9
4 4
n n n
n n
− +
=
− ∼
Câu 43 Kết giới hạn
4
2 lim
3
n n
n
− + +
+
bằng:
A
− B 1
2 C
3
− D
2 −
Lời giải 2
4
4
2 1
2 1
lim lim
2
3
3
n n n n
n
n − + +
− + +
= = − →
+ +
Chọn C
Giải nhanh: 2
4
2 1
3
n n n
n n
− + + −
= − +
∼
Câu 44 Kết giới hạn lim
n n
+ + là: A 5
2 B
5
7 C +∞ D 1
Lời giải
3
2
lim lim
5
2 2
n n
n
n + +
= = =
+ + Chọn D
Giải nhanh:
2
n n
n n
+
=
+ ∼
Câu 45 Kết giới hạn lim n
n n
+ −
+ + bằng:
A B C −1 D 1
(14)Lời giải 2
1
1
lim lim
1
1 1
1
n n n n
n n
n n
+ −
+ −
= = = →
+ +
+ +
Chọn B
Giải nhanh:
1
n n
n
n n n
+ −
= →
+ + ∼
Câu 46 Biết
2
1
lim sin
4
n n
a b
n n
π
+ +
= +
− −
Tính 3.
S=a +b
A S=1 B S=8 C S=0 D S= −1
Lời giải Ta có 2
2
1 1
1 1
lim lim 2 sin
1
1
2 1
n n n
n n
n n
π
+ +
+ + +
= = =
− − − −
2
8
a
S b
=
→ → = →
=
Chọn B Câu 47 Kết giới hạn
4
10 lim
1 n +n + là:
A +∞. B 10 C D −∞
Lời giải
4
2
10
10
lim lim
1 1
1
n n n
n n
= = =
+ + + +
Chọn C
Giải nhanh: 2
4
10 10 10
0
1 n
n n n
= →
+ +
∼
Câu 48 Kết giới hạn ( )
2 lim
1 n n
n n
+ +
+ − là:
A +∞. B C D −∞
Lời giải ( ) ( )
3
4
2
2
lim lim
1
n n
n
n n n n
+ +
+ = =
+ − + − (“bậc tử”< “bậc mẫu”) Chọn C
Giải nhanh: ( ) 4
2 2
1
1
n n
n n
n n n n
+
+ = →
+ − ∼
Câu 49 Biết 3
2
5
lim
3
an n
b c
n n
+ −
= +
− +
với a b c, , tham số Tính giá trị biểu thức P a 3c
b +
=
A P=3. B
P= C P=2 D
2 P=
Lời giải Ta có
3
3
3 3
2
2
5 7
lim lim
3
1
3 3
a
an n n n b a
n n
n n + −
+ −
= = =
(15)3 1
3
3
b a
b c P
c
=
= + ⇒ ⇒ =
=
Chọn B
Câu 50 Kết giới hạn lim 2005 −3n5+2n2 là:
A +∞. B C D −∞
Lời giải Ta có
5
5 5
5
200
lim 200 3n 2n limn
n n
− + = − + = −∞
5
5
lim
200
lim 3
n
n n
= +∞
− + = − <
Chọn D
Giải nhanh: 5 5 5
200−3n +2n ∼ −3n = − 3.n→−∞
Vấn đề DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 51 Giá trị giới hạn lim( n+ −5 n+1) bằng:
A 0 B 1 C 3 D 5
Lời giải n+ −5 n+1∼ n− n= 0 →nhân lượng liên hợp:
( )
lim lim
5
n n
n n
+ − + = = →
+ + + Chọn A
Câu 52 Giá trị giới hạn lim( 1 )
n − + −n n là: A
2
− B 0 C 1 D −∞
Lời giải 2
1
n − + −n n∼ n − = n →nhân lượng liên hợp:
( )
2
2
1
1
lim lim lim
2
1
1
1
n n
n n n
n n n
n n
− + − +
− + − = = = − →
− + + − + +
Chọn A
Giải nhanh:
2
1
1
2
n n
n n n
n n n n n
− + −
− + − = = −
− + + +
∼
Câu 53 Giá trị giới hạn ( 2 )
lim n − −1 3n +2 là:
A −2 B 0 C −∞ D +∞
Lời giải ( 2 )
2
1
lim n 3n limn
n n
− − + = − − + = −∞
2
1
limn , lim 3
n n
= +∞ − − + = − <
Chọn C
Giải nhanh: 2 2 ( )
1 3
n − − n + ∼ n − n = − n→−∞ Câu 54 Giá trị giới hạn lim( 2 2 )
(16)A 1 B 2 C 4 D +∞
Lời giải 2 2
2
n + n− n − n∼ n − n = →nhân lượng liên hợp:
( 2 )
2
4
lim 2 lim lim
2
2
1
n
n n n n
n n n n
n n
+ − − = = =
+ + − + + −
Chọn B
Giải nhanh: 2
2 2
4
2 2
2
n n
n n n n
n n n n n n
+ − − = =
+ + − +
∼
Câu 55 Có giá trị a để lim( 2 ( 2) 1) 0. n +a n− n + a+ n+ =
A 0 B C 1 D
Lời giải 2 ( 2) 1 2 0
n +a n− n + a+ n+ ∼ n − n = →nhân lượng liên hợp:
Ta có ( ( ) ) ( )
2
2 2
2
2
lim lim
1
a a n
n a n n a n
n n n
− − −
+ − + + + =
+ + +
2
2
2
1
2 1
2
lim
2
1
1
a a a
a a
n
b
n n
− − − − − = −
= = = ⇔
=
+ + +
Chọn B
Câu 56 Giá trị giới hạn ( 2 )
lim 2n − + −n 2n −3n+2 là: A 0 B
2 C −∞ D +∞
Lời giải 2 2
2n − + −n 2n −3n+2∼ 2n − 2n = 0 →nhân lượng liên hợp:
( 2 )
2
2
2
lim 2 lim
2
1
1
lim
1 2
2
n
n n n n
n n n n
n
n n n n
−
− + − − + =
− + + − +
−
= =
− + + − +
Chọn B Giải nhanh:
2
2 2
2
2
2
2 2
n n
n n n n
n n n n n n
−
− + − − + = =
− + + − + +
∼
Câu 57 Giá trị giới hạn lim( 2 1 2 )
n + n− − n +n là:
A −1 B 1− C −∞ D +∞
Lời giải Giải nhanh: 2 2 ( )
2 2
n + n− − n +n∼ n − n = − n→−∞
Cụ thể: ( 2 )
2
2 1
lim n 2n 2n n lim n
n n n
+ − − + = + − − + = −∞
2
2 1
limn , lim 2
n n n
= +∞ + − − + = − < →
Chọn C
Câu 58 Có giá trị nguyên a thỏa lim( n2−8n− +n a2)=0
(17)Lời giải Nếu 8 2 0
n − n− +n a ∼ n − = n →nhân lượng liên hợp:
Ta có ( ) ( )
2 2
2
2
2 2 8
lim lim lim
1
1
a n a
n n n a
n n n
n
− −
− − + = =
+ + + +
2 4 0 2.
a a
= − = ⇔ = ± Chọn B
Câu 59 Giá trị giới hạn lim( 2 3 )
n − n+ −n là:
A −1 B 0 C 1 D +∞
Lời giải 2
2
n − n+ −n∼ n − = n →nhân lượng liên hợp:
( )
2
2
3 2
lim lim lim
2 3
1
n n
n n n
n n n
n n − +
− +
− + − = = = − →
− + + − + + Chọn A
Giải nhanh:
2
2
2
2
n n
n n n
n n n n n
− + −
− + − = = −
− + + +
∼
Câu 60 Cho dãy số ( )un với
2 5 1
n
u = n +an+ − n + , a tham số thực Tìm a để limun = −1
A 3 B 2 C −2 D −3
Lời giải: 2 2
5
n +an+ − n + ∼ n − n = →nhân lượng liên hợp:
( 2 )
2
2
4
1 lim lim lim
5
4
lim
2
5
1
n
an
u n an n
n an n
a
a
n a
a
n n n
+
− = = + + − + =
+ + + +
+
= = ⇔ = −
+ + + +
Chọn C Giải nhanh:
2
2 2
4
1
2
5
an an a
n an n a
n an n n n
+
− + + − + = = ⇔ = −
+ + + + +
∼ ∼
Câu 61 Giá trị giới hạn lim(3 1 3 2)
n + − n + bằng:
A 3 B 2 C 0 D 1
Lời giải 3 1 3 2 3 3 0
n + − n + ∼ n − n = →nhân lượng liên hợp:
( )
( ) ( )
3
3
2
3 3 3
3
1
lim lim
1 2
n n
n n n n
−
+ − + = = →
+ + + + + +
Chọn C
Câu 62 Giá trị giới hạn lim(3 )
n −n +n là: A 1
3 B +∞ C 0 D 1
Lời giải 3 3
0
(18)( )
( )
2 3
2 3
2 3
3
3
1
lim lim lim
3
1
1 1
n n n n
n n n n n n
n n
− + = = =
− − − + − − − +
Chọn A
Giải nhanh:
( )
2
3
3
2 3
2 3
3
1
n n
n n n
n n n n n n n n n n
− + = =
− − +
− − − +
∼
Câu 63 Giá trị giới hạn lim(3 2 )
n − n −n bằng: A 1
3 B
2
− C 0 D 1
Lời giải 3 3
2
n − n −n∼ n − = n →nhân lượng liên hợp:
( )
( )
2 3
2 3
3 2
3
3
2 2
lim lim lim
3
2
2
1 1
n n n n
n n n n n n
n n
− −
− − = = = −
− + − + − + − +
Chọn B
Giải nhanh:
( )
2
3
3
2 3
3 2
3
2 2
2
3
2
n n
n n n
n n n n
n n n n n n
− −
− − = = −
+ +
− + − +
∼
Câu 64 Giá trị giới hạn lim n( n+ −1 n−1)
là:
A −1 B +∞ C 0 D 1 Lời giải n( n+ −1 n−1)∼ n( n− n)= 0 →nhân lượng liên hợp:
( ) 2
lim 1 lim lim
1 1
1
n
n n n
n n
n n
+ − − = = = →
+ + −
+ + −
Chọn D
Giải nhanh: ( 1) 2
1
n n
n n n
n n n n
+ − − = =
+ + − ∼ +
Câu 65 Giá trị giới hạn lim n( n+ −1 n)
bằng:
A 0 B 1
2 C
1
3 D
1 Lời giải n( n+ −1 n)∼ n( n− n)= 0 →nhân lượng liên hợp:
( ) 1
lim lim lim
2
1
1
n
n n n
n n
n
+ − = = = →
+ +
+ +
Chọn B
Giải nhanh: ( )
2
n n
n n n
n n n n
+ − = =
+ + ∼ +
Câu 66 Giá trị giới hạn lim ( 1 3)
n n n
+ − −
bằng:
A −1 B 2 C 4 D +∞ Lời giải ( 2 ) ( 2)
1
(19)( 2 )
2
2
4
lim lim lim
1
1
1
n
n n n
n n
n n
+ − − = = = →
+ + − + + −
Chọn B
Giải nhanh: ( 2 )
2 2
4
1
1
n n
n n n
n n n n
+ − − = =
+ + − +
∼
Câu 67 Giá trị giới hạn lim ( 1 6)
n n n n n
+ + − + −
là:
A 7−1 B 3 C 7
2 D +∞
Lời giải ( 2 ) ( 2)
1
n n + + −n n + −n ∼n n − n = →nhân lượng liên hợp:
( 2 )
2
2
7
lim lim
1
7
lim
2
1 1
1
n
n n n n n
n n n n
n n n n
+ + − + − =
+ + + + −
= =
+ + + + −
Chọn C
Giải nhanh: ( 2 )
2 2
7 7
1
2
1
n n
n n n n n
n n n n n n
+ + − + − = =
+ + + + − +
∼
Câu 68 Giá trị giới hạn
2
1 lim
2
n2+ − n + là:
A 1 B 0 C −∞ D +∞
Lời giải 2
2
n2+ − n + ∼ n − n = →nhân lượng liên hợp:
( 2 )
2
2
1 1
lim lim lim 1
2
2
n n n
n n
n2 n
= − + + + = − + + + = −∞
+ − +
vì lim , lim 1 22 42
n
n n
= +∞ − + + + = − < →
Chọn C Giải nhanh:
( 2 ) ( 2)
2
1 1
2
2
2
n n n n n
n2 n
= − + + + − + = − →−∞
+ − +
∼
Câu 69 Giá trị giới hạn lim 2
n n n
n
− − +
− là:
A 1 B 0 C 3 D +∞
Lời giải 2
9n −n− n+2∼ 9n =3n=/ 0 → giải nhanh:
2
9
1
3
n n n n
n n
− − +
= →
− ∼ Chọn A
Cụ thể: 2
1
9
9
lim lim
2
3
3
n n n n n n
n
n
− − +
− − +
= = =
− −
Câu 70 Giá trị giới hạn
3
1 lim
1 n + −n
(20)A 2 B 0 C −∞ D +∞ Lời giải 3 3
1
n + −n∼ n − = n →nhân lượng liên hợp:
( )
( )
3
2
3 3
3
1
lim lim
1
n n
n n n n
+ − = = →
+ + + +
Chọn B
Vấn đề DÃY SỐ CHỨA H=M LŨY THỪA
Câu 71 Kết giới hạn lim 2.5 n
n n
+ −
+ bằng: A 25
2
− B 5
2 C 1 D
5 − Lời giải Giải nhanh:
2
2 5 25
2 2.5 2.5
n n
n n n
+ +
− −
= − →
+ ∼ Chọn A
Cụ thể:
2
1
2 25
2 5 25
lim lim
2
3 2.5
2
n n
n n n
+ − −
= = −
+
+
Câu 72 Kết giới hạn lim3 12.5
2
n n
n n
+ + −
+ bằng:
A −15 B −10 C 10 D 15
Lời giải Giải nhanh: 12.5 2.5 10
2 5
n n n
n n n
+ +
+
− −
= − →
+ ∼ Chọn B
Cụ thể: 1
3 10
3 2.5
lim lim 10
2
2
5
n
n n
n n n
+ +
− −
= = −
+
+
Câu 73 Kết giới hạn lim3 4.2 3.2
n n
n n +
− −
+ là:
A 0 B 1 C −∞ D +∞
Lời giải Giải nhanh: 4.2 3
3.2 4
n
n n n
n n n
+
− −
= →
+ ∼ Chọn A
Cụ thể:
1
3 1
8
3 4.2 4
lim lim
1
3.2 1
3
2
n n n
n n
n n n
+
− −
− −
= = =
+
+ Câu 74 Kết giới hạn lim
2 2.3 n
n n
−
− + bằng: A −1 B
2
− C 1
2 D
(21)Lời giải Giải nhanh: 3
2 2.3 2.3
n n
n n n
−
= − →
− + ∼− Chọn B
Cụ thể:
1
3
lim lim
2
2 2.3
2
3
n n
n n n n
−
−
= = −
− + − +
Câu 75 Biết ( ) ( )
1
2
1
5 2 3 5
lim
1
5.2
n n
n n
n a
c b n
+ +
− + +
+ = +
−
+ −
với a b c, , ∈ℤ Tính giá trị biểu thức 2 2.
S=a +b +c
A S=26 B S=30 C S=21 D S=31 Lời giải Giải nhanh:
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1 2
1
5 2 3 2 1 5
2
5
1
5.2 5 2
n n
n
n n
n
a
n n
b
n n
c
+
+ +
=
− + +
+ + = + = + → =
−
+ − =
∼
Vậy 12 52 22 30.
S= + + = Chọn B
Cụ thể: ( ) ( )
1
2 2
1
2
2 3
1 2
5 2 3 5 5
lim lim
1
1 2 1
5.2 5. 5 .
5
n n
n n
n n n
n
n n
n
n
+ +
− + +
− + +
+ + = +
−
+ − −
+ −
1
2
5
= + = +
Câu 76 Kết giới hạn lim 222 2
3
n n n
n n n
π
π +
+ +
− + là:
A 1 B 1
3 C +∞ D
1 Lời giải Giải nhanh: 222 2 4
4
3 3 4.4 4.4
n n n n n n n
n n n n n n n
π π
π + π
+ + + +
= = →
− + − + ∼ Chọn D
Cụ thể:
2 2
3
3 4
lim lim
4
3 3
3
4
n n
n n n
n n n n n
π
π π
π +
+ +
+ +
= =
− +
− +
Câu 77 Kết giới hạn lim 3 n 5n −
là:
A 3 B − C −∞ D +∞
Lời giải Giải nhanh: Vì 3> nên 3n− 5n ∼3n→+∞.Chọn D
Cụ thể: lim lim
n n
n n
− = − = +∞
lim
lim1
3
n n
= +∞
− = >
Câu 78 Kết giới hạn ( )
(22)A
3 B −1 C −∞ D
1
Lời giải Giải nhanh: ( )
3 2n+ −5.3n ∼−5.3n= −∞ − <5 →Chọn C
Cụ thể: ( )
lim 5.3 lim 162
3
n
n+ − n = n − = −∞
lim
lim 162 5
3
n n
= +∞
− = − <
Câu 79 Kết giới hạn lim3 4.2 3.2
n n
n n
+
− −
+ là:
A 0 B 1 C −∞ D +∞
Lời giải Giải nhanh:
1
3 4.2 3
0
3.2 4
n
n n n
n n
n
+
− −
= →
+ ∼ Chọn A
Cụ thể: 8.3 24
4
3 4.2 3 4.2
0 lim
3.2 3.2
n n n n
n n n
n n
n n
+ +
+
≤ − − ≤ = → → − − =
+ +
Câu 80 Kết giới hạn lim2 12 10
3
n n
n n
+ + +
− + là: A +∞ B 2
3 C
3
2 D −∞
Lời giải Ta có ( )( )
0
3
2
2
0
1 2
6
2
6
n
n n
n
n k n
n k
n
n n n n
C
n C
=
→
− −
≥ = ⇒
→ +∞
=∑ ⇒ ∼ Khi đó:
1
2
2
1
2 10
2 10 2
lim lim
1
3
3
n
n n n
n n
n n n
n n + + + + +
= = +∞
− + − +
2
2
2 lim
1 .
2 10
2 2
lim
1
3
n
n n
n n
n n
= +∞
+ +
= >
− +
Chọn A
Câu 81 Tìm tất giá trị nguyên a thuộc (0;2018) để
1
4 .
1024
lim
3 n n n n a
+ + +
+ ≤
A 2007 B 2008 C 2017 D 2016
Lời giải Giải nhanh: 4 10
2
4
3 4
1
2 1024 10 1024
n n n
a
n n n a a a
+
+ + ≤ ⇔ ≥
+
= ⇔ ≥
=
+ ∼
Mà a∈(0;2018) a∈ℤ nên a∈{10;2017}→có 2008 giá trị a Chọn B
Cụ thể:
( )
4
4
1
4 2 1
lim lim
3 4 2
4
n n n
n n a n a a a
a +
+
+ +
= = = =
+
+
Câu 82 Kết giới hạn lim 2 ( 1)
3
n n
n n
n
+ −
+
−
(23)A
3 B −1 C
1
3 D
1 −
Lời giải Ta có lim 2 ( )1 lim 2 lim( )1
3 3
n n
n n
n n n n
n n
+ − + −
+ = +
− −
Ta có
( ) ( )
( )
2
1
0 lim
2
2
lim lim
1
3
3
1
2
3 lim .
3 3
1
3
n
n n
n
n n
n
n n n
n n n
n n
−
≤ ≤ → ⇒ =
+
+
= =
−
− + −
⇒ + =
−
−
Chọn C
Câu 83 Kết giới hạn lim ( cos 3) n
n n
n
+ −
−
bằng:
A
2 B C D −1
Lời giải lim ( )1 cos lim ( )1 cos
1
n n
n n n n
n n n
+ − −
= +
− −
Ta có:
( ) ( )
( )
1 cos 1 cos
0 li
3
lim
1
1 co
m
s
lim
0
1 1
0
n
n n
n n
n n n
n
n n n
n
= =
−
+ −
⇒ =
−
≤ − ≤ → ⇒ − =
− − −
Chọn B
Câu 84 Có giá trị nguyên a thuộc (0;20) cho
2
1 lim
3 2n an
n −
+ −
+ số nguyên
A 1 B 3 C 2 D 4
Lời giải Ta có
2 2
2
2 2
1
lim lim
3
3 1 1
lim 3
3
1
lim lim
2
n n
n
a
an n
a
n an
a
n n
−
−
= =
+ −
+ ⇒ + − = +
+
= =
Ta có (0;20 ,) {1;6;13 }
a a
a a
∈ ∈ ∈
→
+ ∈
ℤ ℤ
Chọn B
Câu 85 Kết giới hạn lim 2.3n n
− + là:
A 0 B 2 C 3 D +∞
Lời giải Ta có lim 2.3 lim 2 3
n
n n
n n
n
− + = − +
(24)( )
lim
0
1
2 2
3 lim
2
0 lim ,
1
3 lim
2
lim
3
3
n
n n
n
n n
n n
n n n n
n n n n
C
= +∞
= +∞
− +
≤ ≤ = =
= >
→ ⇒ = →
− −
=
lim 2.3n− + = +∞n Chọn D
Vấn đề TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Câu 86 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 2, tổng ba số hạng cấp số nhân
4 Số hạng đầu u1 cấp số nhân là: A u1=3 B u1=4 C
9
u = D u1=5
Lời giải Gọi q công bội cấp số nhân, ta có: ( )
( )
1
1
3
1
1
2 2 1
1
9 1
1
2
4
2
1
u
q
u q
q
q q u
S u q
= = − = −
−
⇔ ⇔
− − =
= = = + =
−
Chọn A
Câu 87 Tính tổng 1 13 3n
S= + + + + +⋯+ − +⋯
A 27
S= B S=14 C S=16 D S=15 Lời giải Ta có
1
3
1 : 1,
1
1 1 1 1 27
9 9
1
3
1
3 3
1 3
n
CSN lvh u q n
S −
= = −
= + + + + + + + = + + + + = =
−
+ +
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
Chọn A
Câu 88 Tính tổng 1 1
2 2n
S= + + + +⋯+ + ⋯
(25)1
1 : 1,
2
1 1 1
2 2
1
2
1
n
CSN lvh u q S = = = + + + + + + = = −
⋯ ⋯ Chọn C
Câu 89 Tính tổng
3
n n S= + + +⋯+ +⋯
A S=3 B S=4 C S=5 D S=6 Lời giải Ta có
1
2 : 1,
3
2 2
1
3 3
2 3 3 n CSN lv n
h u q n S = = + + = = + + + + + = + + + = − ⋯ ⋯
⋯ ⋯ Chọn A
Câu 90 Tổng cấp số nhân vô hạn ( )
1
1 1
, , , , , 18 2.3
n n
+ −
−
− bằng:
A 3
4 B C D Lời giải Ta có:
( ) ( ) 1 1 : 1 1,
1 1 1
1
1
2 3
1
1 1
2 18 2.3
3
n n
CSN lvh u n n q S + + − = = − − − + = − + + + = = + − = + + +
− ⋯ ⋯ ⋯ Chon D
Câu 91 Tính tổng 1 1 1 2n 3n S= − + − + + − + A 1 B 2
3 C D Lời giải Ta có
1 1 : :
1 1
1
2
1
2
1 1
2 n 3n
CSN lvh
n
u q
n
CSN lvh u q S = = = = = − + − + + − + = + + − + + + + + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 1
2 1 .
1 2
1 = − = − = − − Chọn D
Câu 92 Giá trị giới hạn 22 ( )
1
lim 1,
1
n n
a a a
a b
b b b
+ + + +
< <
+ + + + bằng:
A 0 B 1
1 b a − − C a b −
− D Không tồn
Lời giải Ta có 1 n
a a a
+ + + + tổng n+1 số hạng cấp số nhân với số hạng đầu công bội a, nên ( )
1 1
2 1
1
1
n n
n a a
a a a
a a
+ +
− −
+ + + + = =
− −
Tương tự: ( )
1 1
2 1
1
1
n n
n b b
b b b
b b
+ +
− −
+ + + + = =
(26)Do ( )
1
2
2 1
1
1 1 1
lim lim lim 1,
1
1 1
1 n
n n
n n n
a
a a a a b a b
a b
a a
b b b b b
b
+
+
+ +
−
+ + + + − − − −
= = = < <
− −
+ + + + − −
− Chọn B
Câu 93 Rút gọn
cos cos cos
1 x x x cos nx
S= + + + +⋯+ +⋯ với cosx≠ ±1
A sin2 .
S= x B cos2 .
S= x C 12
sin S
x
= D 12
cos S
x = Lời giải Ta có
2
2
2
: 1, cos
1
cos cos cos cos
1
1 cos sin
n CSN lvh u q x
x x x x
x x
S
= =
+ + + + + = =
= +
−
⋯ ⋯ Chọn C
Câu 94 Rút gọn 1 sin2 sin4 sin6 ( 1)n.sin2n
S= − x+ x− x+⋯+ − x+⋯ với sinx≠ ±1 A sin2 .
S= x B cos2 .
S= x C 2
1 sin S
x =
+ D
2
tan
S= x
Lời giải Ta có
( )
2
2 : 1, s
6 n
2
i
1 sin sin sin s
1 n
in
si
n
CSN lvh x
n
u q
S x x x x
x = =−
+ − + + −
− +
= =
+
⋯ ⋯ Chọn C
Câu 95 Thu gọn 1 tan tan2 tan3
S= − α+ α− α+… với
4
α π
< <
A
1 tan S
α
=
− B
cos sin
4
S α
π α
=
+
C tan
1 tan
S α
α
=
+ D
2
tan
S= α
Lời giải Ta có tanα∈( )0;1 với 0; , π α∈
1
2
: 1, tan
1 cos cos
tan
1 tan sin co
1 tan tan
s
2 sin
CSN lvh u q S
α
α α
π
α α α
α α α
α
= =−
− +… = = =
+ + +
= − + Chọn B
Câu 96 Cho m n, số thực thuộc (−1;1) biểu thức:
2
1
M = +m+m +m +⋯
2
1
N= + +n n +n +⋯
2 3
1
A= +mn+m n +m n +⋯
Khẳng định đúng?
A
1
MN A
M N
=
+ − B
MN A
M N
=
+ + C A 1
M N MN
= + − D A 1
M N MN
= + +
Lời giải Ta có
1
1
, 1
1
M m
m M
n N
N n
= = −
−
⇒
= = −
−
1
1
1
1 1
MN A
mn M N
M N
= = =
− + −
− − −
(27)Câu 97 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111⋯ biểu diễn phân số tối giản
a
b Tính tổng T= +a b
A 17 B 68 C 133 D 137
Lời giải Ta có 0,5111⋯=0,5+10−2+10−3+⋯+10−n+⋯ Dãy số
10 ;10 ; ;10 ; − − −n cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu
2
1 10 ,
u = − công bội 10
q= − nên
2
1
10
1 10 90
u S
q
− −
= = =
− −
Vậy 0,5111 0,5 46 23 23 68
45 90 45
a
S T a b
b =
= + = = → → = + =
=
Chọn B
Câu 98 Số thập phân vô hạn tuần hoàn A=0,353535 biểu diễn phân số tối giản a
b Tính T=ab
A 3456 B 3465 C 3645 D 3546
Lời giải Ta có
2
2
2
35
35
35 35 10 35
0, 353535 0, 35 0, 0035 3465
1 99 99
10 10
1 10
a
A T
b =
= = + + = + + = = ⇒ ⇒ =
= −
Chọn B
Câu 99 Số thập phân vơ hạn tuần hồn B=5, 231231 biểu diễn phân số tối giản a
b Tính T= −a b
A 1409 B 1490 C 1049 D 1940
Lời giải Ta có
3
3
3
5, 231231 0, 231 0, 000231
231
1742
231 231 10 231 1742
5 5 1409
1 999 333 333
10 10
1 10
B
a
T b
= = + + +
=
= + + + = + = + = → ⇒ =
= −
Chọn A
Câu 100 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323… biểu diễn phân số tối giản a
b Khẳng định đúng?
A 15
2
a− >b B 14
2
a− >b C 13
2
a− >b D 12
2
a− >b
(28)4
12 13
1 1
0,17232323 0,17 23
10 10 10
1
17 10000 17 23 1706 853
23
100 100 100.99 9900 4950
1 100 853
2 4097
4950
a
T b
… = + + +
= + = + = =
− =
→ ⇒ < = <
=
⋯
(29)
Bài 02
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA H M SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1 Định nghĩa Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số y= f x( ) xác định K
{ }0
\
K x
Ta nói hàm số y= f x( ) có giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số ( )xn
bất kì, xn ∈K\{ }x0 xn→x0, ta có f x( )n →L
Kí hiệu: ( )
0
lim
x→x f x =L hay f x( )→L x→x0
Nhận xét:
0
lim ;
x→x x=x lim
x→x c=c với c số
2 Định lí giới hạn hữu hạn Định lí
a) Giả sử ( )
0 lim
x→x f x =L ( ) lim
x→x g x =M Khi đó:
( ) ( )
0
lim ;
x→x f x g x L M
• + = +
( ) ( )
0
lim ;
x→x f x g x L M
• − = −
( ) ( )
0
lim ; x→x f x g x L M
• =
( ) ( )
0
lim x x
f x L
g x M
→
• = (nếu M≠0)
b) Nếu f x( )≥0 ( )
0
lim
x→x f x =L, L≥0 ( )
lim
x→x f x = L
3 Giới hạn bên Định nghĩa
• Cho hàm số y= f x( ) xác định (x b0; )
Số L gọi giới hạn bên phải hàm số y= f x( ) x→x0 với dãy
số ( )xn bất kì, x0<xn <b xn →x0, ta có f x( )n →L
Kí hiệu: ( )
0
lim
x→x+ f x =L
• Cho hàm số y= f x( ) xác định (a x; 0)
Số L gọi giới hạn bên trái hàm số y= f x( ) x→x0 với dãy số
( )xn bất kì, a<xn <x0 xn →x0, ta có f x( )n →L
Kí hiệu: ( )
0
lim
x→x− f x =L
Định lí
( ) ( ) ( )
0 0
lim lim lim .
(30)II – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA H M SỐ TẠI VÔ CỰC Định nghĩa
a) Cho hàm số y= f x( ) xác định (a;+∞)
Ta nói hàm số y= f x( ) có giới hạn số L x→ +∞ với dãy số ( )xn bất
kì, xn>a xn → +∞, ta có f x( )n →L
Kí hiệu: lim ( )
x→+∞ f x =L
b) Cho hàm số y= f x( ) xác định (−∞;a)
Ta nói hàm số y= f x( )có giới hạn số L x→ −∞ với dãy số ( )xn bất
kì, xn<a xn → −∞, ta có f x( )n →L
Kí hiệu: lim ( )
x→−∞f x =L
Chú ý:
a)Với c k, số k nguyên dương, ta có:
lim ; lim ; lim k 0; lim k
x x x x
c c
c c c c
x x
→+∞ = →−∞ = →+∞ = →−∞ =
b) Định lí giới hạn hữu hạn hàm số x→x0vẫn
n
x → +∞ x→ −∞
III – GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA H M SỐ 1 Giới hạn vô cực
Định nghĩa
Cho hàm số y= f x( ) xác định (a;+∞)
Ta nói hàm số y=f x( ) có giới hạn −∞ x→ +∞ với dãy số ( )xn bất
kì, xn>a xn → +∞, ta có f x( )n → −∞
Kí hiệu: lim ( )
x→+∞f x = −∞
Nhận xét: lim ( ) lim ( ( ))
x→+∞f x = +∞ ⇔x→+∞ −f x = −∞
2 Một vài giới hạn đặc biệt a) lim k
x→+∞x = +∞với k nguyên dương
b)
→−∞
+∞ =
−∞
nếu chẵn
lim
nếu lẻ k
x
k x
k
3 Một vài quy tắc giới hạn vơ cực a) Quy tắc tìm giới hạn tích f x g x( ) ( )
( )
0
lim
x→x f x =L ( )
lim
x→x g x ( ) ( )
lim
x→x f x g x
+∞ +∞
0
L>
−∞ −∞
+∞ −∞
0
L<
(31)b) Quy tắc tìm giới hạn thương ( )
( )
f x g x
( )
0
lim
x→x f x =L ( )
lim
x→x g x Dấu g x( )
( ) ( )
0
lim x x
f x g x
→
L ±∞ Tùy ý
+ +∞
0
L>
− −∞
+ −∞
0
L<
0
− +∞
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Câu 1. Giá trị giới hạn ( )
2
lim 11
x→ x + x+ là:
A 37 B 38 C 39 D. 40
Lời giải ( )
2
lim 11 3.2 7.2 11 37
x→ x + x+ = + + = →Chọn A
Câu 2. Giá trị giới hạn
3
lim x→ x − là:
A 0 B 1 C 2 D.
Lời giải ( )2
3
lim 4
x
x
→ − = − = →Chọn B
Câu 3. Giá trị giới hạn
0
1 lim sin
2
x→ x là:
A sin
2 B +∞ C −∞ D.
Lời giải Ta có
0
1
lim sin 0.sin
2
x→ x = = →Chọn D.
Câu 4. Giá trị giới hạn 32
1
3 lim
2
x
x x
→−
− + là:
A 1 B. −2 C 2 D
2
−
Lời giải ( )
( )
2
3
1
1 3
lim
2
x
x x
→−
− −
−
= = − →
+ − + Chọn B
Câu 5. Giá trị giới hạn
( )( )
3
lim
2 x
x x
x x
→
−
(32)A 1 B. −2 C 0 D
− Lời giải
( )( ) ( )( )
3
4
1
1
lim
2 2.1 1
x
x x
x x
→
− −
= = →
− − − − Chọn C
Câu 6. Giá trị giới hạn 4
1
1 lim
3 x
x
x x
→−
−
+ − là:
A
2
− B 2
3 C
3
2 D.
2
−
Lời giải Ta có 4
1
1
1
lim
1 3
x
x
x x
→−
− − −
= = − →
− −
+ − Chọn D.
Câu 7. Giá trị giới hạn
1
3 lim
1 x
x x
x
→−
+ −
− là:
A
2
− B 1
2 C
1
− D 3
2
Lời giải Ta có
1
3 1
lim
1 1
x
x x
x
→−
+ − + +
= = − →
− − − Chọn A.
Câu 8. Giá trị giới hạn
( )( )
2
9 lim
2 x
x x
x x
→
−
− − là:
A 1
5 B C
1
5 D
5
Lời giải
( )( ) ( )( )
2
4
3
9 9.3
lim
2 2.3 3
x
x x
x x
→
− −
= = →
− − − − Chọn C
Câu 9. Giá trị giới hạn
2
1 lim
2 x
x x
x x
→
− +
+ là:
A 1
4 B
1
2 C
1
3 D
1
Lời giải 2
2
2
1 2 1 lim
2 2 2.2
x
x x
x x
→
− + − +
= = →
+ + Chọn B
Câu 10. Giá trị giới hạn
2
3 lim
1 x
x x
x
→
− − −
+ là:
A
2
− B
3
− C. D +∞
Lời giải Ta có:
3
2
3 12
lim
1 3
x
x x
x
→
− − − − − −
= = = →
+ Chọn C
Vấn đề GIỚI HẠN MỘT BÊN
Câu 11. Kết giới hạn
2
15 lim
2 x
x x
+
→
− − là:
A −∞ B. +∞ C. 15
2
(33)Lời giải. Vì ( )
( )
2
2
lim 15 13
15
lim
2 lim & 0,
x
x x
x
x x
x x x
+
+ +
→
→ →
− = − <
−
→ = −∞
− = − > ∀ > −
Chọn A.
Câu 12. Kết giới hạn
2
2 lim
2 x
x x
+
→
+ − là:
A −∞ B +∞ C 15
2
− D Không xác định
Lời giải.
2
lim 2
2
lim
2 lim & 0,
x
x x
x
x x
x x x
+
+ +
→
→ →
+ = >
+
→ = +∞
− = − > ∀ > −
Chọn B.
Câu 13. Kết giới hạn
( 2)
3 lim
2 x
x x
+
→ −
+
+ là:
A −∞ B C +∞ D Không xác định
Lời giải Ta có x+2= +x với x> −2, đó:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
3 3
lim lim lim lim 3
2 2
x x x x
x x x
x x x
+ + + +
→ − → − → − → −
+ + +
= = = = →
+ + + Chọn B.
Câu 14. Kết giới hạn 2
2
2 lim
2 x
x
x x
−
→
−
− + là:
A −∞ B +∞ C
3
− D 1
3
Lời giải Ta có
( )( )
2
2 2
2 1
lim lim lim
2 2
x x x
x x
x x x
x x
− − −
→ → →
− −
= = = −
− − −
− + Chọn C.
Câu 15. Kết giới hạn
( )( )
2
13 30 lim
3 x
x x
x x
+
→−
+ +
+ +
là:
A. −2 B. C. D.
15
Lời giải Ta có x+ >3 với x> −3, nên:
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )
2
2
2
3 3
3 10 10 3 13 30
lim lim lim
5
3 5
x x x
x x x x
x x
x
x x x x
+ + +
→− →− →−
+ + + + − + − +
+ +
= = = =
+
+ + + + − +
Chọn C
Câu 16. Cho hàm số ( )
2
2
1
3 1
x
x x
f x
x x
< −
=
+ ≥
víi
víi
Khi ( )
1
lim
x→+ f x là:
A +∞ B 2 C 4 D −∞
Lời giải ( ) 2
1
lim lim 3.1
x x
f x x
+ +
→ = → + = + = →Chọn B
Câu 17. Cho hàm số ( )
2
1
1
2
x
x
f x x
x x
+
<
= −
− ≥
víi víi
Khi ( )
1
lim
x→− f x là:
(34)Lời giải ( )
2
1
1 lim lim
1
x x
x f x
x
− −
→ →
+
= = +∞
−
( )
( ) ( )
2
1
lim
lim 0& 1
x x
x
x x x
− −
→
→ ∀ <
+ =
− = − >
Chọn A
Câu 18. Cho hàm số ( )
1
x x
f x
x x
− ≥
=
− <
víi
víi Khi limx→2 f x( ) là:
A −1 B 0 C 1 D Khơng tồn
Lời giải Ta có ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
lim lim
lim lim lim
lim lim 1
x x
x
x x
x x
f x x
f x f x f x
f x x
+ +
+ −
− −
→ →
→
→ →
→ →
= − =
⇒ = = ⇒ =
= − =
Chọn C
Câu 19. Cho hàm số ( )
1
x x
f x
ax x
− + ≥
= −
<
víi
víi Tìm a để tồn limx→2 f x( )
A a=1 B a=2 C a=3 D a=4
Lời giải Ta có ( ) ( )
( ) ( )
2
2
lim lim lim lim 3
x x
x x
f x ax a
f x x
− −
+ +
→ →
→ →
= − = −
= − + =
Khi ( )
2
lim
x→ f x tồn ( ) ( )
lim lim
x x
f x f x a a
− +
→ →
⇔ = ⇔ − = ⇔ = Chọn B.
Câu 20. Cho hàm số ( )
2
2
2 3
1
2
3
x x x
f x x
x x
− + >
= =
− <
víi víi víi
Khẳng định sai?
A ( )
3
lim
x
f x +
→ = B Không tồn ( )
lim
x→ f x
C ( )
3
lim
x
f x −
→ = D ( )
lim 15
x
f x −
→ = −
Lời giải Ta có ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
2 3
3
lim lim
lim lim lim lim 15
+ +
+ −
− −
→ →
→ →
→ →
= − + =
→ ≠
= − = −
x x
x x
x x
f x x x
f x f x
f x x
→ không tồn giới hạn x→3
Vậy có khẳng định C sai Chọn C.
Vấn đề GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC
Câu 21. Giá trị giới hạn ( )
lim
x→−∞ x−x + là:
A 1 B −∞ C 0 D +∞
Lời giải ( )
2
1
lim lim
x→−∞ x x x→−∞x x x
− + = − + = +∞
3
2
lim
1
lim 1
x
x
x
x x
→−∞ →−∞
= −∞
− + = − <
Chọn D
Giải nhanh: ( )
1
x−x + ∼ − x →+∞ x→ −∞
Câu 22. Giá trị giới hạn ( )
lim
(35)A 0 B +∞ C 1 D −∞ Lời giải Ta có
( ) ( )
2
2
lim lim lim
x→−∞ x x x x→−∞ x x x x→−∞x x x
+ + = − + − = − + − = +∞ Chọn B
Giải nhanh: 3
2
x + x + x∼ x → +∞ x→ −∞
Câu 23. Giá trị giới hạn ( )
lim
x→+∞ x + +x là:
A. B +∞ C 2−1 D −∞
Lời giải Giải nhanh: 2
:
x→ +∞ x + +x∼ x + =x x→ +∞ Chọn B
Đặt x làm nhân tử chung: ( )
2
1
lim lim 1
x→+∞ x x x→+∞x x
+ + = + + = +∞
2
lim
lim 1
x
x
x
x
+
→+∞
→
= +∞
+ + = >
Câu 23. Giá trị giới hạn (3 )
lim
x→+∞ x − + x + là:
A 33+1. B +∞. C 33−1. D −∞
Lời giải Giải nhanh: 3 3 (3 )
: 3
x→ +∞ x − + x + ∼ x + x = + x→ +∞ Chọn B
Đặt x làm nhân tử chung:
(3 ) 3
3
1
lim lim
x→+∞ x x x→+∞x x x
− + + = − + + = +∞
3
3
lim
1
lim 3
x
x
x
x x
→+∞
→+∞
= +∞
− + + = + >
Câu 25. Giá trị giới hạn ( )
lim
x→+∞x x + x+ x là:
A 4 B −∞ C 6 D +∞
Lời giải Giải nhanh: ( ) ( )
: 4
x→ +∞ x x + x+ x ∼x x + x = x → +∞ Chọn D
Đặt
x làm nhân tử chung:
( )
lim lim
x x
x x x x x
x
→+∞ →+∞
+ + = + + = +∞
2
lim
lim 4
x
x
x
x
→+∞
→+∞
= +∞
+ + = >
Vấn đề DẠNG VÔ ĐỊNH 0
0
Câu 26 Giá trị giới hạn 32
2
8 lim
4
x
x x
→
(36)A 0 B +∞ C 3 D Không xác định
Lời giải Ta có 32 2
2 2
8 ( 2)( 4) 12
lim lim lim
( 2)( 2)
4
x x x
x x x x x x
x x x
x
→ → →
− − + + + +
= = = =
− + +
− Chọn C.
Câu 27 Giá trị giới hạn 53
1
1 lim
1
x
x x
→−
+ + là:
A
5
− B 3
5 C
5
− D.
3
Lời giải ( )( )
( )( )
4
5
3 2
1 1
1
1
lim lim lim
3
1 1
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
→− →− →−
+ − + − +
+ − + − +
= = =
+ + − + − +
Chọn D.
Câu 28 Biết 2
3
2
lim
3
x
x
a b
x
→−
+
= +
− Tính
2
a +b
A 10 B 25 C 5 D. 13
Lời giải Ta có ( )( )
( )( )
( )
2
3
3 3
2 3 3
2 3
lim lim lim
3 3
x x x
x x x x x
x
x x x x
→− →− →−
+ − + − +
+
= =
− − + −
( ) ( ) ( )
2
2
2 3 3 3
18
3 10
1
3
a
a b
b
− − − +
=
= = = → ⇒ + =
=
− −
Chọn A.
Câu 29 Giá trị giới hạn 22
3
6 lim
3 x
x x
x x
→−
− − +
+ là:
A 1
3 B
3 C
5
3 D.
3
Lời giải ( )( )
( )
2
3 3
3
6
lim lim lim
3 3
3
x x x
x x
x x x
x x x
x x
→− →− →−
+ −
− − + − − −
= = = =
+ −
+ Chọn C
Câu 30 Giá trị giới hạn
3
3 lim
27
x
x x
−
→
− −
là: A 1
3 B 0 C
5
3 D.
3 Lời giải Ta có 3− >x với x<3, đó:
( )( )
3
3
3
lim lim
27
x x
x x
x x x x
− −
→ →
− −
=
− − + +
2
3
3 3
lim
9 3.3
x
x
x x
−
→
− −
= = =
+ + + + Chọn B.
Câu 31 Giá trị giới hạn ( )
2 21 21
0
1 lim
x
x x
x
π π
→
+ − −
là:
A 21
7 π
− B
21
2 π
− C
21
2 π
− D
21
1
(37)
( 21)7 21 ( 21)(7 ) 21
0 0
1
1 2
lim lim lim
7
x x x
x x
x x
x
x x
π
π π π
→ → →
+ − −
+ − −
= + = − Chọn A
Câu 32 Giá trị giới hạn 2
0
lim
x
x x x
x
+
→
+ − là:
A 0 B −∞ C 1 D. +∞
Lời giải Ta có ( )
( )
2
2 2 2 2
0 0
1
lim lim lim
x x x
x x x
x x x
x x x x x x x x
+ + +
→ → →
+ −
+ −
= = = +∞
+ + + +
vì 1>0; ( )
0
lim
x→+ x + +x x =
2
0
x + +x x> với x>0 Chọn D
Câu 33 Giá trị giới hạn
3
1 lim
4 x
x x
→
−
+ − là:
A. −1 B. C.1 D. +∞
Lời giải Ta có ( ( ) )
( )( )
2 3
3
3
1 3
( 1) 4 4
1
lim lim
4 4 4 8 1
x x
x x x
x
x x x x
→ →
− + + + +
− =
+ − + − + +
( )
( )
( )
2 3
3
1 3
4 4 4
12
lim
12
4
x
x x
x x
→
+ + + +
= = =
+ +
Chọn C.
Câu 34 Giá trị giới hạn
0
2
lim
x
x x
x
→
+ − − là:
A.
6 B.
13
12 C.
11
12 D.
13 12 −
Lời giải Ta có 3
0
2 2
lim lim
x x
x x x x
x x x
→ →
+ − − = + − + − −
( )2
0 3 3
2 1 13
lim
12 12 1 4 2 8 8
x x
x x
→
= + = + =
+ +
+ − + −
Chọn B. Câu 35 Biết b>0,a+ =b
3
1
lim
x
ax bx
x
→
+ − −
= Khẳng định
đây sai?
A. 1< <a B b>1 C 2
10
a +b > D a− <b
Lời giải Ta có 3
0
1 1 1
lim lim
x x
ax bx ax bx
x x x
→ →
+ − − = + − + − −
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 3 3
0 3 3
lim
1
1 1
lim
3
1
1 1
x
x
ax bx
x x
x x x
a b a b
x
x x
→
→
= +
+ −
+ + + +
= + = + =
+ −
+ + + +
Vậy ta được:
5
5
3,
2 12
2
3
a b
a b
a b
a b
a b
+ =
+ =
⇔ ⇔ = = →
+ = + =
(38)Vấn đề DẠNG VÔ ĐỊNH ∞
∞
Câu 36. Kết giới hạn lim 222
6
x
x x
x x
→−∞
+ −
+ + là:
A. −2 B. +∞ C. D.
Lời giải. Ta có 22
2
5
2
2
lim lim
6
6 1
x x
x x x x
x x
x x
→−∞ →+∞
+ −
+ −
= =
+ + + + Chọn D.
Giải nhanh: x→ −∞ thì:
2
2
2
2
6
x x x
x x x
+ −
=
+ + ∼
Câu 37. Kết giới hạn lim 23
6
x
x x
x x
→−∞
+ −
+ + là:
A −2 B +∞ C −∞ D 2
Lời giải. Ta có: 23
2
5
2
2
lim lim
6
6 1
x x
x x x x
x
x x
x x
→−∞ →−∞
+ −
+ −
= = −∞
+ + + + Chọn C.
Giải nhanh: x→ −∞ thì:
3
2
2
2
6
x x x
x
x x x
+ −
= → −∞
+ + ∼
Câu 38. Kết giới hạn lim 36 25 11
3
x
x x
x x
→−∞
− +
+ − là:
A. −2 B. +∞ C. D. −∞
Lời giải. Ta có: 36 25
6
2 11
2 11
lim lim
2
3
3
x x
x x x x x
x x
x x
→−∞ →−∞
− +
− +
= = =
+ − + − Chọn C.
Giải nhanh: x→ −∞ thì:
3
6
2 11 2
3
3
x x x
x x x x
− +
= →
+ − ∼
Câu 39. Kết giới hạn
2
2
lim
1
x
x
x x
→−∞
−
+ − là:
A. −2 B. +∞ C. D. −1
Lời giải. Khi x→ −∞ 2
2
1
x = − x → x + −x∼ x − = − − = −x x x x=/
→chia tử mẫu cho x, ta
2
2
3
2
lim lim
1
1
x x
x x
x x
x
→−∞ →−∞
− −
= = −
+ − − + −
Chọn D
Câu 40 Biết ( )
2
2
1
a x
x x
− −
+ −
có giới hạn +∞ x→ +∞ (với a tham số)
Tính giá trị nhỏ
2
P=a − a+
(39)Lời giải Khi x→ +∞ 2
1
x =x→ x + −x∼ x − = − =x x x → Nhân lượng liên hợp:
Ta có ( ) (( ) )( )
2
2 3
lim lim lim 1
1
x x x
a x
a x x x x a
x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
− −
= − − + + = − − + +
+ −
Vì ( )
2
2
lim
2
lim
lim 1 x
x x
x
a x
x x
x
→+∞
→+∞ →+∞
= +∞
− −
⇒ = +∞
+ + = > + −
3
lim 2 x→+∞ a x a a
⇔ − − = − > ⇒ <
Giải nhanh: ta có
2
2
x x
x x
− → +∞ →
+ −
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 a x x x a x x x 2 a x a
= − − + + ∼ − + = − → +∞ ⇔ <
Khi ( )2
in
m
3,
2 3
P=a − a+ = a− + ≥ P= ⇔a= < ⇒P = Chọn B
Câu 41. Kết giới hạn lim
1 x
x x
x
→−∞
− +
+ là:
A. −2 B. −1 C. −2 D. +∞
Lời giải.Giải nhanh: 4 2
1
x x x x
x
x x x
− + −
→ −∞ → = = −
+ ∼ Chọn C.
Cụ thể: 2
1
4
lim lim
1
1 1
x x
x x x x
x
x
→−∞ →−∞
− − +
− + −
= = = −
+ +
Câu 42. Kết giới hạn
2
4 2 lim
9 x
x x x
x x x
→+∞
− + + −
− +
là:
A
5
− B +∞ C −∞ D 1
5
Lời giải Giải nhanh:
2
2
4 2
9
x x x x x x x
x
x x
x x x x x
− + + − − −
→ +∞ → = =
+
− + ∼ +
Chọn D.
Cụ thể: 2
2
2
4
4 2
lim lim
5
9 9 2
x x
x x x x x x
x x x
x
→+∞ →+∞
− + + −
− + + −
= =
− + − +
Câu 43 Biết
2
4 2
lim
3 x
x x x
L
ax x bx
→−∞
− + + −
= >
− +
hữu hạn (với a b, tham số)
Khẳng định
A a≥0 B L
a b
= −
+ C
3
L
b a
=
− D b>0
Lời giải Ta phải có
3
ax − x> (−∞;α)⇔ ≥a
Ta có 2
4 2
(40)Như xem “tử” đa thức bậc Khi
2
4 2
lim
3 x
x x x
ax x bx
→−∞
− + + − >
− +
3
ax − x+bx đa thức bậc
Ta có 2 ( )
0
ax − x+bx∼ ax +bx= − a+b x →− a+ =b /
Khi
( )
2
4 2 3
0
3
x x x x
L b a b a
b a
a b x
ax x bx
− + + − −
= = > ⇔ − > ⇒ > −
− +
− + ∼
Chọn B
Câu 44. Kết giới hạn 3
2
2
lim
2
x
x x
x
→−∞
+ +
+
là:
A
2 B 0 C
2
− D 1
Lời giải Giải nhanh: 3 3
2
2 1
2
2
x x x x
x
x
x x
+ +
→ −∞ → = = −
−
+ ∼
Chọn C.
Cụ thể:
3
3
3
2
2
2
1
2 1
lim lim
1
2 2
x x
x x x x
x
x
→−∞ →−∞
+ +
+ +
= = −
+ − +
Câu 45 Tìm tất giá trị a để lim( 2 )
x→−∞ x + +ax +∞
A. a> B. a< C. a>2 D. a<2
Lời giải Giải nhanh: 2
2
x→ −∞ → x + +ax∼ x +x
( )
2x ax a x a a
= − + = − → +∞ ⇔ − < ⇔ < Chọn B.
Cụ thể: lim
x→−∞x= −∞ nên ( )
2
2
1
lim lim
x→−∞ x ax x→−∞x x a
+ + = − + + = +∞
2
1
lim 2
x→−∞ x a a a
⇔ − + + = − < ⇔ <
Vấn đề DẠNG VÔ ĐỊNH ∞−∞
Câu 46 Giá trị giới hạn ( 2)
lim
x→−∞ x −x là:
A. B. +∞ C. −1 D. −∞
Lời giải Giải nhanh: 3
2
x→ −∞ → x −x ∼ x → −∞ Chọn D
Cụ thể: ( 2)
lim lim
x→−∞ x x x→−∞x x
− = − = −∞
3
lim
lim 2
x
x
x
x
→−∞ →−∞
= −∞
− = >
Câu 47 Giá trị giới hạn 2
2
1
lim
2
x→− x x
−
− − là:
(41)Lời giải Ta có 2 2 2
2 2
1 1
lim lim lim
2 4
x x x
x x
x x x x
− − −
→ → →
+ − +
− = = = −∞
− − − −
Vì ( ) ( )
2
lim 0; lim
x→− x+ = > x→− x − =
2
4
x − < với x∈ −( 2;2 ) Chọn A.
Câu 48 Biết a+ =b 3
1
lim
1
x
a b
x x
→
−
− − hữu hạn Tính giới hạn
3
lim
1
x
b a
L
x x
→
= − −
−
A 1 B 2 C. D −2
Lời giải Ta có
( )( )
2
3
1 1
lim lim lim
1 1 1
x x x
a b a ax ax b a ax ax b
x x x x x x
→ → →
+ + − + + −
− = =
− − − − + +
Khi 3
1
lim
1
x
a b
x x
→
−
− − hữu hạn
2
1 a.1 a.1 b 2a b
⇔ + + − = ⇔ − = −
Vậy ta có 3
1
4
lim
2 x 1
a b a a b
L
a b b → x x
+ = =
⇔ ⇒ = − −
− = − = − −
( )( )
( )
2
2
1
2
lim lim
1
1
x x
x
x x
x x
x x x
→ →
− + + −
= − = − =
+ +
− + + Chọn C
Câu 49 Giá trị giới hạn ( )
lim
x→+∞ + x −x là:
A. B. +∞ C. 2−1 D. −∞
Lời giải Ta có ( )
2
1
lim lim
x→+∞ x x x→+∞x x
+ − = + − = +∞
Vì lim ; lim 12 2
x→+∞x x→+∞ x
= +∞ + − = − >
Chọn B.
Giải nhanh: 2 ( )
1 2 2
x→ +∞ → + x −x∼ x − =x x− =x − x→ +∞
Câu 50 Giá trị giới hạn ( )
lim
x→+∞ x + −x là:
A 0 B. +∞ C 1
2 D −∞
Lời giải 2
1
x→ +∞ → x + −x∼ x − = − = x x x →Nhân lượng liên hợp
Giải nhanh:
2
1 1
1
2
x x x
x
x x x x
→ +∞ → + − = = →
+ + ∼ + Chọn A.
Cụ thể: ( )
2
2
1
1
lim lim lim
2
1 1 1
x x x
x
x x
x x
x
→+∞ + − = →+∞ + + = →+∞ = =
+ +
Câu 51 Biết ( )
lim 5
x→−∞ x + x+x =a +b Tính S=5a+b
A. S=1 B S= −1 C S=5 D S= −5
Lời giải: 2
5 5 5
x→ −∞ → x + x+x ∼ x +x = − x+x =
→Nhân lượng liên hợp:
Giải nhanh:
5
(42)2
2 2
2 5
5 5
x x x
x
x x x x x
= = = −
−
+ + ∼ −
Cụ thể: Ta có ( )
2
2
lim 5 lim
5
x x
x
x x x
x x x
→−∞ + + = →−∞ + +
1
2 1
lim 5
5
2 5 0
5
x
a
S b
x
→−∞
= −
= = = − = − → ⇒ = −
− =
− + +
Chọn A.
Câu 52 Giá trị giới hạn ( 2 )
lim
x→+∞ x + x− x + x là:
A.
2 B
1
− C +∞ D −∞
Lời giải Khi 2 2
3
x→ +∞ → x + x− x + x∼ x − x =
→Nhân lượng liên hợp:
Giải nhanh: 2
3
x→ +∞ → x + x− x + x
2 2
1 2
3
x x x
x
x x x x x x
− − −
= = = −
+ + + ∼ +
Chọn B.
Cụ thể: ( 2 )
lim
x→+∞ x + x− x + x =
2
1
lim lim
2
3
3 1 1
x x
x
x x x x
x x
→+∞ →+∞
− −
= = −
+ + + + + +
Câu 53 Giá trị giới hạn (3 )
lim x→−∞ x − + x + là:
A.
3+1 B. +∞ C.
3−1. D. −∞
Lời giải.Giải nhanh:
( )
33 1 2 33 33 1 .
x→ −∞ → x − + x + ∼ x + x = − x→ −∞ Chọn D
Cụ thể: (3 ) 3
3
1
lim lim x→−∞ x x x→−∞x x x
− + + = − − + = −∞
Vì 3
3
1
lim , lim 3 x→−∞x x→−∞ x x
= −∞ − − + = − >
Câu 54 Giá trị giới hạn ( 3 2)
lim
x→+∞ x + −x x −x là:
A 5
6 B +∞ C −1 D −∞
Lời giải Khi 3 2 3
0
x→ +∞ → x + −x x −x ∼ x −− x = − =x x
→Nhân lượng liên hợp:
Giải nhanh: 3 ( ) ( 3 2)
x + −x x −x = x + −x x + x− x −x
( )
2
3
2 2 3 3 3 2
3
1 1 1
x x x x
x x x x x x x x x x x x
= + +
+ + + − + − ∼ + + +
( )
1
x
(43)Cụ thể: ( 3 2) ( 3 2)
lim lim
x→+∞ x + −x x −x =x→+∞ x + − + −x x x x −x
( )
2
2 2 3 3 3
3
1
lim
2
1 1 1
x
x x
x x x x x x
→+∞
= + = + =
+ +
+ − + −
Câu 55 Giá trị giới hạn lim (32 1 32 1)
x→+∞ x− − x+ là:
A. B +∞ C −1 D −∞
Lời giải 3 3
2 2
x→ +∞ → x− − x+ ∼ x− x= →nhân lượng liên hợp:
Giải nhanh: 32x− −1 32x+ =1
( )2 ( )2 3 3
3
2 2
0 4 4
2x 4x 2x x x x x
− − −
= →
+ +
− + − − + ∼
Chọn A.
Cụ thể: ( )
( ) ( )( ) ( )
3
2
3 3
2
lim 2 lim
2 2
x x x x
x x x x
→+∞ →+∞
−
− − + = =
− + − + + +
Vấn đề DẠNG VÔ ĐỊNH 0.∞
Câu 56. Kết giới hạn
0
1 lim x→ x x
−
là:
A +∞ B −1 C D +∞
Lời giải Ta có ( )
0
1
lim lim 1 x→ x x x→ x
− = − = − = −
Chọn B
Câu 57. Kết giới hạn lim2 ( 2)
4 x
x x
x
+
→ − − là:
A. B. +∞ C. D. −∞
Lời giải Ta có 2 ( ) 2
2
lim lim
2
4
x x
x x x
x
x x
+ +
→ →
−
− = = =
− + Chọn C
Câu 58. Kết giới hạn lim 32 21
3
x
x x
x x
→+∞
+
+ + là:
A 2
3 B
6
3 C +∞ D −∞
Lời giải Giải nhanh:
3 2 2
2 6
3 3
3
x x
x x x x x
x
x x x x
+
→ +∞ → = = =
+ + ∼ Chọn B
Cụ thể: 3 2 23( 2 )
3
1 2
2
lim lim lim
1
3 3
x x x
x x
x x
x
x x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
+ +
+
= = =
+ + + + + +
Câu 59. Kết giới hạn
2
1 lim sin x x x x
π
→
−
là:
(44)Lời giải Ta có ( )
0
1
lim sin lim sin 1 x x x x x x x
π π
→ →
− = − = −
Chọn B.
Câu 60. Kết giới hạn
( ) ( )
3
2
lim
1 x
x x
x
+
→ −
+
− là:
A. B. +∞ C. D. −∞
Lời giải Với x∈ −( 1;0) x+ >1
x x− > Do
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
3
2
1
lim lim 1
1 1
x x
x x
x x x x
x x
x
+ +
→ − + − = → − + − + − +
( ) ( )
2
lim 1
1 x
x
x x x
x
+
→ −
= + − + =
(45)Baøi 03
HÀM SỐ LIÊN TỤC
I – H M SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Định nghĩa
Cho hàm số y= f x( ) xác định khoảng K x0∈K
Hàm số y= f x( ) gọi liên tục x0 ( ) ( )
0
0
lim
x→x f x = f x
II – H M SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
Định nghĩa
Hàm số y=f x( ) gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng
Hàm số y= f x( ) gọi liên tục đoạn [a b; ] liên tục khoảng
(a b; )
( ) ( ) ( ) ( )
lim , lim
x→a+ f x =f a x→b− f x = f b
Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng ''đường liền''
khoảng
Hàm số liên tục khoảng (a b; ) Hàm số không liên tục khoảng (a b; ) III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN
Định lí
a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực ℝ
b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng
Định lí
Giả sử y= f x( ) y=g x( ) hai hàm số liên tục điểm x0 Khi đó:
a) Các hàm số y= f x( )+g x( ), y= f x( )−g x( ) y= f x g x( ) ( ) liên tục x0;
b) Hàm số ( )
( ) f x
g x liên tục x0 g x( )0 ≠0
O
x y
b a
y
O
x
(46)Định lí
Nếu hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [a b; ] f a f b( ) ( ) <0, tồn
một điểm c∈(a b; ) cho f c( )=0
Định lí phát biểu theo dạng khác sau:
Nếu hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [a b; ] f a f b( ) ( ) <0, phương trình
( )
f x = có nghiệm nằm khoảng (a b; )
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA H M SỐ
Câu 1. Hàm số ( )
4
f x x
x
= − +
+ liên tục trên:
A [−4;3 ] B. [−4;3 ) C (−4;3 ] D. [−∞ − ∪; 4] [3;+∞)
Lời giải Điều kiện: ( 4; ]
4 3
TXD
x x
D
x x
≥
+ > ≤ −
− > −
⇔ → = − →
hàm số liên tục (−4;3 ) Xét x=3, ta có
( ) ( )
3
1
lim lim 3
4
x→− f x x→− x x f
= − + = = →
+ Hàm số liên tục trái x=3
Vậy hàm số liên tục (−4;3 ] Chọn C
Câu 2. Hàm số ( )
3
cos sin sin
x x x x
f x
x
+ +
=
+ liên tục trên:
A [−1;1 ] B. [1;5 ] C 3;
2
− +∞
D. ℝ
Lời giải Vì sinx+ =3/ với TXD
x∈ℝ→D=ℝ→ Hàm số liên tục ℝ
Chọn D.
Câu 3. Cho hàm số f x( ) xác định liên tục ℝ với ( )
2
3
1
x x
f x
x
− +
=
− với
1
x=/ Tính f( )1
A. B. C. D. −1
Lời giải Vì f x( ) liên tục ℝ nên suy
( ) ( ) ( )
2
1 1
3
1 lim lim lim
1
x x x
x x
f f x x
x
→ → →
− +
= = = − = −
− Chọn D
Câu 4. Cho hàm số f x( ) xác định liên tục [−3;3] với f x( ) x 3 x
x
+ − −
=
với x≠0 Tính f( )0
A.
3 B.
3
(47)Lời giải Vì f x( ) liên tục [−3;3] nên suy
( )0 lim0 ( ) lim0 3 lim0
3 3
x x x
x x
f f x
x x x
→ → →
+ − −
= = = =
+ + − Chọn B
Câu 5. Cho hàm số f x( ) xác định liên tục (− +∞4; ) với ( )
4
x f x
x
=
+ −
với x≠0 Tính f( )0
A. B. C. D.
Lời giải Vì f x( ) liên tục (− +∞4; ) nên suy
( ) ( ) ( )
0 0
0 lim lim lim 4
4
x x x
x
f f x x
x
→ → →
= = = + + =
+ − Chọn C
Vấn đề H M SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Câu 6. Tìm giá trị thực tham số m để hàm số ( )
2
2
khi 2
khi
x x
x
f x x
m x
− −
≠
= −
=
liên tục x=2
A m=0 B m=1 C m=2 D m=3
Lời giải Tập xác định: D=ℝ, chứa x=2 Theo giả thiết ta phải có
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2 lim lim lim
2
x x x
x x
m f f x x
x
→ → →
− −
= = = = + =
− Chọn D
Câu 7. Tìm giá trị thực tham số m để hàm số ( )
3
2
khi 1
3
x x x
x
f x x
x m x
− +
− ≠
= −
+
=
liên tục x=1
A m=0 B m=2 C m=4 D m=6
Lời giải Hàm số xác định với x∈ℝ Theo giả thiết ta phải có
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
3
2
1 1
1
2
3 lim lim lim lim
1
x x x x
x x
x x x
m f f x x m
x x
→ → → →
− +
− + −
+ = = = = = + = ⇔ =
− −
Chọn A
Câu 8. Tìm giá trị thực tham số k để hàm số ( )
1
khi 1
1
x
x
y f x x
k x
−
≠
= = −
+
=
liên tục x=1
A
2
k= B. k=2 C
2
k= − D. k=0
Lời giải Hàm số f x( ) có TXĐ: D=[0;+∞) Điều kiện tốn tương đương với
Ta có: ( )
1 1
1 1
1 lim lim lim
1 2
x x x
x
k y y k
x x
→ → →
−
+ = = = = = ⇔ = −
(48)Câu 9. Biết hàm số ( )
3
khi
1
khi
x
x
f x x
m x
− ≠
= +
−
=
liên tục x=3 (với m
tham số) Khẳng định đúng?
A m∈ −( 3; ) B m≤ −3 C m∈[0;5 ) D m∈[5;+∞)
Lòi giải Hàm số f x( ) có tập xác định (− +∞1; ) Theo giả thiết ta phải có
( )3 lim3 ( ) lim3 lim3(3 )( 2) lim3( 2)
1
x x x x
x x
x
m f f x x
x x
→ → → →
− + +
−
= = = = = − + + = −
− + −
Chọn B
Câu 10. Tìm giá trị thực tham số m để hàm số ( )
2
sin
khi
x x
f x x
m x
≠
=
=
liên tục x=0
A m∈ − −( 2; ) B m≤ −2 C m∈ −[ 1; ) D m∈[7;+∞)
Lời giải Với x=/ ta có
( ) 2
si
0 f x x n x
x
≤ = ≤ → x→ 0 → lim0 ( )
x→ f x =
Theo giải thiết ta phải có: ( ) ( )
0
0 lim
x
m f f x
→
= = = Chọn C
Câu 11 Biết
0 sin
lim
x
x x
→ = Hàm số ( )
tan
khi
0
x x
f x x
x
≠ =
=
liên tục khoảng sau đây?
A 0;
π
B ;4
π
−∞
C 4;
π π
−
D (−∞ +∞; )
Lời giải Tập xác định:
3
| ; ;
2 k 2 2 2
k k k
D π π π π π kπ π π π π
∈
+ ∈ = + + = ∪ − ∪ + ∪
=
ℤ
ℝ∖ ℤ ∪ ⋯ ⋯
Ta có ( ) ( )
0 0
tan sin 1
lim lim lim 1
cos cos0 0
x x x
x x
f x
x x x f
→ = → = → = = =/ = → f x( ) không liên
tục x=0 Chọn A
Câu 12 Biết
0 sin
lim
x
x x
→ = Tìm giá trị thực tham số m để hàm số
( )
sin
khi
1
khi
x x
f x x
m x
π
≠
= −
=
liên tục x=1
A m= −π B. m=π C m= −1 D. m=1
Lời giải Tập xác định D=ℝ Điều kiện toán tương đương với
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
sin
1 lim lim
1
sin sin sin
lim lim lim *
1 1
x x
x x x
x
m f f x
x
x x x
x x x
π
π π π π π
π π
→ →
→ → →
= = =
−
− + − − −
= = = −
− − −
(49)( )
0
sin
lim
t
t m
t
π π
→
= − = − Chọn A
Câu 13 Biết
0 sin
lim
x
x x
→ = Tìm giá trị thực tham số m để hàm số
( ) ( )2
1 cos
khi
x x
f x x
m x
π π
π
+
≠
= −
=
liên tục x=π
A
2
m=π B.
2
m= −π C
2
m= D.
2
m= −
Lời giải Hàm số xác định với x∈ℝ Điều kiện củz toán trở thành:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2 sin sin
2 cos
1 cos 2 2 2
lim lim lim lim lim *
2
2
x x x x x
x x
x x
m f f x
x
x x x
π π π π π
π
π π
π
π π π
→ → → → →
− −
+
= = = = = =
− − − −
Đặt
2
x
t= −π→ x→1 Khi (*) trở thành:
2
1 sin 1
lim
2t 2
t m
t
→
= = =
Chọn C.
Câu 14. Hàm số ( )
4
3
khi 1,
1
x
x x
f x x x
x x
x
= − +
=
≠ − ≠
+
=
liên tục tại:
A. điểm trừ x=0, x=1 B. điểm x∈ℝ
C. điểm trừ x= −1 D. điểm trừ x=0
Lời giải Hàm số y= f x( ) có TXĐ: D=ℝ
Dễ thấy hàm số y= f x( ) liên tục khoảng (−∞ −; ,) (−1;0) (0;+∞) (i) Xét x= −1, ta có
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 1
1
lim lim lim lim
1
x x x x
x x x x
x x
f x x x f
x x
x x
→− →− →− →−
+ − +
+
= = = − + = = −
+ +
→ hàm số y= f x( ) liên tục x= −1
(ii) Xét x=0, ta có
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
2
0 0
1
lim lim lim lim 1
1
x x x x
x x x x
x x
f x x x f
x x
x x
→ → → →
+ − +
+
= = = − + = =
+ +
→ hàm số y= f x( ) liên tục x=0 Chọn B
Câu 15. Số điểm gián đoạn hàm số ( ) (2 )
0,5
1
khi 1,
1
1
x x x
f x x x
x
x
= − +
= ≠
− ≠
−
=
là:
A. B.1 C. D
(50)Hàm số ( ) (2 )
1
x x f x
x
+ =
− liên tục khoảng (−∞ −; 1), (−1;1) (1;+∞)
(i) Xét x= −1, ta có 1 ( ) 1 (2 ) 1 ( )
1
lim lim lim
1
1
x x x
x x x
f x f
x x
→− →− →−
+
= = = = −
−
− → Hàm số
liên tục x= −1
(ii) Xét x=1, ta có
( ) ( )
( ) ( )
2
1 1
2
1 1
1
lim lim lim
1
1
lim lim lim
1
x x x
x x x
x x x
f x
x x
x x x
f x
x x
+ + +
− − −
→ → →
→ → →
+
= = = +∞
− −
→
+
= = = −∞
− −
Hàm số y= f x( )
gián đoạn x=1 Chọn B.
Vấn đề H M SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
Câu 16. Có giá trị thực tham số m để hàm số
( )
( )
2
khi
1
m x x
f x
m x x
≤
= −
>
liên tục ℝ?
A. B 1 C 0 D.
Lời giải TXĐ: D=ℝ Hàm số liên tục khoảng (−∞;2); (2;+∞) Khi f x( ) liên tục ℝ⇔ f x( ) liên tục x=2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
lim lim lim
x x x
f x f f x f x f
+ −
→ → →
⇔ = ⇔ = = ( )*
Ta có ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2
2
2 1
lim lim * 1
2
lim lim
x x
x x
f m m
f x m x m m m
m
f x m x m
+ +
− −
→ →
→ →
=
= −
= − = − → ⇔ = − ⇔
=
= =
Chọn A
Câu 17. Biết hàm số ( ) [ ]
( ]
khi
1
0;4 4;6
x x
f x
m x
∈
∈ =
+
tục [0;6 ] Khẳng định
sau đúng?
A. m<2 B 2≤m<3 C 3<m<5 D. m≥5
Lời giải Dễ thấy f x( ) liên tục khoảng (0;4) (4;6) Khi hàm số liên tục đoạn [0;6] hàm số liên tục x=4,x=0,x=6
Tức ta cần có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0
6
4
lim
lim *
lim lim
x
x
x x
f x f
f x f
f x f x f
+
−
− +
→
→
→ →
=
=
= =
( ) ( )
0
lim lim
;
0 0
x f x x x
f
+ +
→ →
= =
•
= =
(51)( ) ( ) ( )
6
lim lim 1
;
6
x f x x m m
f m
− −
→ →
= + = +
•
= +
( )
( ) ( )
( )
4
4
lim lim
lim lim 1 ;
4
x x
x x
f x x
f x m m
f m
− −
+ +
→ →
→ →
= =
• = + = +
= +
Khi ( )* trở thành 1+m= ⇔2 m= <1 Chọn A.
Câu 18. Có giá trị tham số a để hàm số ( )
2
3
khi
1
khi
x x
x x
f x
a x
− +
≠
−
=
=
liên tục ℝ
A. B 2 C 0 D.
Lời giải Hàm số f x( ) liên tục (−∞;1) (1;+∞) Khi hàm số cho liên
tục ℝ liê tục x=1, tức ta cần có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
lim lim lim *
x x x
f x f f x f x f
+ −
→ = ⇔ → = → =
Ta có ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
2 lim lim 2 1
khi *
lim lim
2
x x
x x
x x f x x
f x a x
f x x
x x
− −
+ +
→ →
→ →
− > = − =
= = →
= − = −
− <
→
không tỏa mãn
với a∈ℝ Vậy không tồn giá trị a thỏa yêu cầu Chọn C.
Câu 19. Biết ( )
2
1
khi 1
khi
x
x
f x x
a x
−
≠
= −
=
liên tục đoạn [0;1] (với a tham
số) Khẳng định giá trị a đúng?
A. a số nguyên B. a số vô tỉ
C. a>5 D. a<0
Lời giải Hàm số xác định liên tục [0;1) Khi f x( ) liên tục [0;1]
và ( ) ( ) ( )
1
lim *
x→− f x =f
Ta có ( )
( ) ( )( ) ( )
2
1 1
1
*
1
lim lim lim 1
1
x x x
f a
a x
f x x x
x
− − −
→ → →
=
→ ⇔ =
−
= = + + =
−
Chọn A.
Câu 20. Xét tính liên tục hàm số ( )
1
khi
2
2
x
x
f x x
x x
− <
= − −
− ≥
Khẳng định đúng?
A f x( ) không liên tục ℝ B f x( ) không liên tục (0;2 )
C f x( ) gián đoạn x=1 D f x( ) liên tục ℝ
(52)Ta có ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1 1
1
lim lim 2
1
lim lim lim 2
2
x x
x x x
f
f x x f x
x
f x x
x
+ +
− − −
→ →
→ → →
= −
= − = − →
−
= = − − + = −
− −
liên tục x=1
Vậy hàm số f x( ) liên tục ℝ Chọn D
Câu 21. Tìm giá trị nhỏ a để hàm số ( )
2
2
5
khi
4
1
x x
x
f x x x
a x x
− +
>
= − −
− ≤
liên tục x=3
A
3
− B.
3 C.
4
− D 4
3
Lời giải Điều kiện toán trở thành: ( ) ( ) ( ) ( )
3
lim lim *
x→+ f x =x→− f x = f
Ta có ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
3 3
2
3
3
2
5
lim lim lim
1
4
lim lim 1
x x x
x x
f a
x x x
x x
f x
x
x x
f x a x a
+ + +
− −
→ → →
→ →
= −
− − +
− +
= = = −
− − −
= − = −
( )
2
3
*
3
a ± →a
→ ⇔ = = − Chọn A.
Câu 22 Tìm giá trị lớn a để hàm số ( )
3
2
3 2
khi 2
1
khi
x
x x
f x
a x x
+ −
> −
= +
≤
liên tục x=2
A amax=3 B amax=0 C amax=1 D amax=2
Lời giải Ta cần có ( ) ( ) ( ) ( )
2
lim lim *
x→+ f x =x→−f x = f
Ta có ( )
( ) ( )
( )
2
3
2
2
ma
2
2
x
7
2
4
3 2
lim lim *
2
1
lim li
1
4
1
m
x x
x x
f a
x
f x a
x
f x
a
a x a
+ +
− −
→ →
→ →
= −
+ −
= = → ⇔ =
−
= +
± →
= −
=
Chọn C
Câu 23 Xét tính liên tục hàm số ( ) cos
1
x x
x f
x
x − ≤
+
> =
Khẳng định sau
đây đúng?
A f x( ) liên tục x=0 B f x( ) liên tục (−∞;1 )
C f x( ) không liên tục ℝ D f x( ) gián đoạn x=1 Lời giải Hàm số xác định với x∈ℝ
(53)Mặt khác ( )
( ) ( )
( )
( )
0
0
0
lim lim cos cos 0
lim lim 1
x x
x x
f
f x x f x
f x x
− −
+ +
→ →
→ →
=
= − = − = →
= + = + =
gián đoạn x=0
Chọn C
Câu 24 Tìm khoảng liên tục hàm số ( ) cos
1
f x
x
x
x x
π
≤
− >
=
Mệnh đề sau sai?
A Hàm số liên tục x= −1
B Hàm số liên tục khoảng (−∞ −, 1) (; 1;+∞) C Hàm số liên tục x=1
D Hàm số liên tục khoảng (−1,1)
Lời giải Ta có f x( ) liên tục (−∞ −; ,) (−1;1 , 1;) ( +∞)
• Ta có ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 cos
2
lim lim
x x
f
f x
f x x
π
− −
→ − → −
− = − =
→
= − = −
gián đoạn x= −1 Chọn A.
• Ta có
( )
( ) ( )
( )
( )
1
1
1 cos
2
lim lim
lim lim cos
2
x x
x x
f
f x x f x
f x πx
π
+ +
− −
→ →
→ →
= =
= − = →
= =
liên tục x=1
Câu 25 Hàm số f x( ) có đồ thị hình bên khơng liên tục điểm có hồnh độ bao nhiêu?
A. x=0 B x=1 C. x=2 D. x=3
x
2
y
1
O
1
Lời giải Dễ thấy điểm có hồnh độ x=1 đồ thị hàm số bị ''đứt'' nên hàm số
khơng liên tục
Cụ thể: ( ) ( )
1
lim lim
x→+ f x = =/ =x→− f x nên f x( ) gián đoạn x=1 Chọn B
Câu 26. Cho hàm số ( )
2
khi 1,
0
khi
x
x x
x
f x x
x x
< ≠
= =
≥
Hàm số f x( ) liên tục tại:
A. điểm thuộc ℝ B. điểm trừ x=0
C. điểm trừ x=1 D. điểm trừ x=0 x=1
Lời giải Hàm số y= f x( ) có TXĐ: D=ℝ
(54)Ta có ( )
( ) ( )
( )
2
0 0
2
0 0
0
lim lim lim
lim lim lim
x x x
x x x
f
x
f x x f x
x x
f x x
x
− − −
+ + +
→ → →
→ → →
=
= = = →
= = =
liên tục x=0
Ta có ( )
( ) ( )
( )
2
1 1
1
1
lim lim lim
lim lim
x x x
x x
f
x
f x x f x
x
f x x
− − −
+ +
→ → →
→ →
=
= = = →
= =
liên tục x=1
Vậy hàm số y=f x( ) liên tục ℝ Chọn A
Câu 27. Cho hàm số ( )
2
1
khi 3,
1
4
1
x
x x
x
f x x
x x
−
< ≠
−
= =
+ ≥
Hàm số f x( ) liên tục tại:
A. điểm thuộc ℝ B. điểm trừ x=1
C. điểm trừ x=3 D điểm trừ x=1 x=3
Lời giải Hàm số y= f x( ) có TXĐ: D=ℝ
Dễ thấy hàm số y= f x( ) liên tục khoảng (−∞;1 , 1;3) ( ) (3;+∞)
Ta có ( )
( ) ( ) ( )
2
1 1
1
1
lim lim lim
1
x x x
f
f x x
f x x
x
→ → →
=
→
−
= = + =
−
gián đoạn x=1
Ta có ( )
( ) ( ) ( )
2
3 3
3
1
lim lim lim
1
x x x
f
f x x
f x x
x
− − −
→ → →
=
→
−
= = + =
−
gián đoạn x=3 Chọn D
Câu 28. Số điểm gián đoạn hàm số ( )
2 khi
x x
h x x x
x x
<
= + ≤ ≤
− >
là:
A. B. C. D.
Lời giải Hàm số y=h x( ) có TXĐ: D=ℝ
Dễ thấy hàm số y=h x( ) liên tục khoảng (−∞;0 , 0;2) ( ) (2;+∞)
Ta có ( )
( ) ( )
0
0
lim lim
x x
h
f x
h x x
− −
→ →
=
→
= =
khơng liên tục x=0
Ta có ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
lim lim
lim lim
x x
x x
h
h x x f x
h x x
− −
+ +
→ →
→ →
=
= + = →
= − =
liên tục x=2
(55)Câu 29. Tính tổng S gồm tất giá trị m để hàm số ( )
2
2
khi
2
1
x x x
f x x
m x x
+ <
= =
+ >
liên tục x=1
A. S= −1 B. S=0 C. S=1 D. S=2
Lời giải Hàm số xác định với x∈ℝ
Điều kiện toán trở thành ( ) ( ) ( ) ( )
1
lim lim *
x x
f x f x f
+ −
→ = → =
Ta có ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
1
2
1
1
lim lim 1 *
lim lim
x x
x x
f
f x m x m m
f x x x
+ +
− −
→ →
→ →
=
= + = + → ⇔ + =
= + =
1 S
m ± → =
⇔ = Chọn B
Câu 30. Cho hàm số ( )
2
3
cos
1
x x x
x
f x x
x
x x
− <
= ≤ <
+
≥
Hàm số f x( ) liên tục tại:
A. điểm thuộc x∈ℝ B. điểm trừ x=0
C. điểm trừ x=1 D. điểm trừ x=0; x=1
Lời giải Hàm số y= f x( ) có TXĐ: D=ℝ
Dễ thấy f x( ) liên tục khoảng (−∞;0 , 0;1) ( ) (1;+∞)
Ta có ( )
( ) ( )
( )
( )
0
2
0
0
lim lim cos
lim lim
1
x x
x x
f
f x x x f x
x f x
x
− −
+ +
→ →
→ →
=
= − = →
= =
+
liên tục x=0
Ta có ( )
( ) ( )
( )
2
1
3 1
1
1
lim lim
1
lim lim
x x
x x
f
x
f x f x
x
f x x
− −
+ +
→ →
→ →
=
= = →
+
= =
không liên tục x=1
Chọn C
Vấn đề SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN MỘT KHOẢNG
Câu 31. Cho hàm số ( )
4
f x = − x + x− Mệnh đề sau sai?
(56)B. Phương trình f x( )=0 khơng có nghiệm khoảng (−∞;1 )
C. Phương trình f x( )=0 có nghiệm khoảng (−2;0 )
D. Phương trình f x( )=0 có hai nghiệm khoảng 3;1
2
−
Lời giải (i) Hàm f x( ) hàm đa thức nên liên tục ℝ→ A
(ii) Ta có ( )
( ) ( )
1
0
2 23
f
f x f
− = − <
→ =
− = >
có nghiệm x1 (−2;1), mà (− −2; 1) (⊂ −2; 0) (⊂ −∞;1)→ B sai C → Chọn B
(iii) Ta có ( )
( )
0
0
1
0
2
f
f x f
= − <
→ =
= >
có nghiệm x2 thuộc
1
0;
2
Kết hợp với (1) suy
ra f x( )=0 có nghiệm x x1, thỏa:
1
3
2
x x
− < < − < < < → D
Câu 32. Cho phương trình
2x −5x + + =x Mệnh đề sau đúng?
A. Phương trình khơng có nghiệm khoảng (−1;1 )
B. Phương trình khơng có nghiệm khoảng (−2;0 )
C. Phương trình có nghiệm khoảng (−2;1 )
D. Phương trình có hai nghiệm khoảng (0;2 )
Lời giải Hàm số ( )
2
f x = x − x + +x hàm đa thức có tập xác định ℝ nên
liên tục ℝ
Ta có
(i) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
1 0
1
f
f f f x
f
=
⇒ − < → =
− = −
có nghiệm x1 thuộc (−1; 0)
(ii) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
1
f
f f f x
f
=
⇒ < → =
= −
có nghiệm x2 thuộc ( )0;1
(iii) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 0
2 15
f
f f f x
f
= −
⇒ < → =
=
có nghiệm x3 thuộc (1;2 )
Vậy phương trình f x( )=0 cho có nghiệmx x1, 2, x3 thỏa
1
1 x x x
− < < < < < < → Chọn D.
Câu 33. Cho hàm số
( )
f x =x − x− Số nghiệm phương trình f x( )=0
ℝ là:
A 0 B. C D 3
Lời giải Hàm số ( )
3x
f x =x − − hàm đa thức có tập xác định ℝ nên liên tục
trên ℝ Do hàm số liên tục khoảng (− −2; , ) (−1;0 , 0;2 ) ( )
Ta có
• ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1
1
f
f f
f
− = −
⇒ − − < →
− =
(57)• ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 0
0
f
f f
f
− =
⇒ − < →
= −
có nghiệm thuộc (−1;0 )
• ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 0
0
f
f f
f
=
⇒ < →
= −
có nghiệm thuộc (0;2 )
Như phương trình ( )1 có ba thuộc khoảng (−2;2) Tuy nhiên phương
trình f x( )=0 phương trình bậc ba có nhiều ba nghiệm Vậy phương trình
( )
f x = có nghiệm ℝ Chọn D
Cách CASIO. (i) Chọn MODE (chức TABLE) nhập:
3
( )
F X =X − X−
(ii) Ấn “=” tiếp tục nhập: Start↔ −5(có thể chọn số nhỏ hơn)
End↔5 (có thể chọn số lớn hơn)
Step↔1 (có thể nhỏ hơn, ví dụ 2)
(iii) Ấn “=” ta bảng sau:
Bên cột X ta cần chọn hai giá trị a b (a<b) cho tương ứng bên cột F X( )
nhận giá trị trái dấu, phương trình có nghiệm (a b; ) Có cặp số
,
a b cho khác khoảng (a b; ) rời phương trình f x( )=0 có
nhiêu nghiệm
Câu 34. Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [−1; 4] cho f(− =1) 2, f( )4 =7 Có
thể nói số nghiệm phương trình f x( )=5 đoạn [ 1;4]− :
A. Vơ nghiệm B. Có nghiệm
C. Có nghiệm D. Có hai nghiệm
Lời giải Ta có f x( )= ⇔5 f x( )− =5 Đặt g x( )= f x( )−5 Khi
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 5
1
4
g f
g g
g f
− = − − = − = −
⇒ − <
= − = − =
Vậy phương trình g x( )=0 có nghiệm thuộc khoảng (1;4) hay phương
trình f x( )=5 có nghiệm thuộc khoảng (1;4) Chọn B
Câu 35. Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (−10;10) để
phương trình ( )
3 2
x − x + m− x+m− = có ba nghiệm phân biệt x1, , x2 x3 thỏa
mãn x1< − <1 x2<x3?
A 19 B 18 C 4 D 3
Lời giải Xét hàm số ( ) ( )
3 2
f x =x − x + m− x+m− liên tục ℝ
● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt
1, ,
x x x cho x1< − <1 x2 <x3
Khi f x( ) (= x−x1)(x−x2)(x−x3)
(58)Mà f(− = − −1) m nên suy − − > ⇔m m< −5
● Thử lại: Với m< −5, ta có
▪ lim ( )
x→−∞f x = −∞ nên tồn a< −1 cho f a( )<0 ( )1
▪ Do m< −5 nên f(− = − − >1) m ( )2
▪ f( )0 =m− <3 ( )3
▪ lim ( )
x→+∞f x = +∞ nên tồn b>0 cho f b( )>0 ( )4
Từ ( )1 ( )2 , suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (−∞ −; 1); Từ ( )2 ( )3 ,
suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (−1;0); Từ ( )3 ( )4 , suy phương
trình có nghiệm thuộc khoảng (0;+∞)
Vậy m< −5 thỏa mãn ( 10;10) { 9; 8; 7; }
m
m m
∈ ∈ −