ứng dụng hàm số giải phương trình và hệ phương trình

ứng dụng hàm số giải pt và hệ pt là một phương pháp rất hay xuất hiện trong các đề thi hiện nay

GII PHNG TRÌNH-H PHNG TRÌNH( S DNG O HÀM) Bài 1: Gii phng trình 13232 122 +++=+ + x xx x x Gii: Ta có xxf xx ++= 32)( tng trên R, nên phng t rình tng đng )1()2( += xff x 12 +=⇔ x x Hàm s )1(2)( +−= xxg x xác đnh trên R ( ) exxgxg x 22 // loglog0)(12ln2)( ≥⇔≥⇒−= Vy phng trình có nhiu nht 2 nghim trên ( ) )(loglog; 22 e∞− v ( ) ∞+;)(loglog 22 e Th trc tip tìm đc hai nghim là 1;0 == xx Bài 2: Gii phng trình 1514312log 114312 5 −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−++−− −−−++−− xxxx xxxx Gii : iu kin 1≥x .t 0114312 ≥−−−++−−= xxxxt (chng minh) phng trình tng đng 15)1(log 5 −=+ t t ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ = += ⇔ −=− += ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ += += ⇔ ty t ty y t y t yt t y t 15 (*)55 15 15 15 0=⇔ t 0114312 =−−−++−−⇔ xxxx 52 ≤≤⇔ x Bài 3: Gii phng trình 324 42442 2 1 −+−= xxxx Gii : 021224 234 =−+−−⇔ xxxx Xét hàm s 12412421224 23/234 +−−=⇒−+−−= xxxyxxxxy Lp bng bin t hiên, suy ra hàm s có trc đi xng x =1 Do đó đt 1+= Xx , ta có phng tr ình ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +±= −±= ⇔=+− 1141 1141 058 24 x x XX Bài 4: Gii phng trình ( ) x x x coscos 4.342)cos1( =++ Gii : t 11cos ≤≤−= yyx ( ) yy y 4.342)1( =++⇔ t () 1 42 4.4ln.6 )(1 42 4.3 )( 2 / − + =⇒−− + = y y y y yfyyf www.VNMATH.com www.VNMATH.com 1 () 2 / 424.4ln.160)( yy yf +=⇔= ây là phng trì nh bc hai theo y 4 , nên có không quá 2 nghim. Vy theo đnh lý Roolle phng trình 0)( =yf có không quá 3 nghim. Ta có 1, 2 1 ,0 === yyy là 3 nghim ca p hng trình 0)( =yf Suy ra phng t rình có nghim π π π π π 2 3 2 , 2 ,2 kxkxkx +±=+== Bài 5: Gii phng trình 13 1 24 log 26 26 2 2008 −−= ++ + xx x x x Gii : 241 2008 2008 1 24 226 26 2 2 2 4 1 26 +=++⇔= ++ + + ++ xxx xx x x xx vì hàm s x xxf 2008.)( = tng trên R Gii phng trình 013013 326 ≥−−⇔=−− uuuxx phng tr ình ch có nghim trong (0,2) t 2 0cos2 π <<= ttu 2 1 3cos =⇒ t Suy ra phng t rình có nghim 9 cos2 π ±=x Bài 6: Gii phng trình xx xx cossin 2 5 .sin 2 5 .cos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Gii : Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghim . Xét 2 π k x ≠ xx xx cos 2 5 sin 2 5 cossin ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ Xét hàm s 0,1 2 5 )( ≠< ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = tt t tf t . Hà m s )(tf nghch bin Suy ra π π kxxx +=⇔= 4 cossin Bài 7: Gii phng trình 322 32 54 log)2( 2 2 2 += + ++ ++ x x xx x Gii : k 032 >+x [] 322log3221)2(log1)2( 2 2 2 2 +++=+++++⇔ xxxx t )0(log)( 2 >+= ttttf Tng t www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2 Phng tr ình có nghim 1−=x Bài 8: Gii phng trình x x xx 20072007 19751975 cos 1 sin 1 cossin −=− Gii : x x x x 2007 1975 2007 1975 cos 1 cos sin 1 sin −=− 1cos;1sin == xx không là nghim ca p hng trình t hàm s )1;0()0;1( 1 )( 2007 1975 ∪−∈−= t t ttf Ta có 0 2007 1975)( 2008 1974/ >+= t ttf nê n hàm s tng trên mi khong )(:)0;1( tft −∈ ch nhn giá tr dng )(:)1;0( tft ∈ ch nhn gi á tr âm Nên π π kxxxxfxf +=⇔=⇔= 4 cossin)(cos)(sin Bài 9: Gii phng trình xxxxxx 4422 cos2cos3sin.sin22cos. 2 cossin. 2 sin −+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ππ Gii : () xxxxxx 442222 cos2cos2coscos22cos. 2 coscos. 2 cos −+−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ ππ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−⇔ xxxxxx 224224 cos. 2 coscos2cos2cos. 2 cos2cos22cos ππ Xét hàm s 10. 2 cos2)( 2 ≤≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= tttttf π . )(tf gim 3 cos2cos)(cos)2(cos 2222 π k xxxxfxf =⇔=⇔= Bài 10: Gii phng trình [ ] 35)37634(log337634)37634(2 2 2 2329334 2 =+−+++−+− +− xxxxxx xx Gii : t )87(37634 2 ≥+−= txxt )256.256(log256.22.35).2(log.2 3 2 32562833 2 3 ttt tt ==⇔ Hàm s ).2(log.2)( 3 2 3 tttf tt = đng bin trê n [ ) ∞+;1 4;3025637634256 2 ==⇔=+−⇔=⇔ xxxxt Bài 11: Gii phng trình )16cos2cos4(log2cos 2 1 2 1 3 4 2 sin2 −−+=+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ xxx x Gii : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 3 t )1 3 1 (2cos ≤<= yxy )13(log 2 1 2 4 1 −+=+⇔ − yy y t )1(132)13(log 2 ≤−=⇔−= tyyt t Ta có h ty y ty ty t y +=+⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −= −+= 22 132 122 Xét hàm s uug u += 2)( , hà m s đng bin trên R 0132)(132 =+−=⇔−=⇔ ttft tt Xét hàm s 132)( +−= ttf t , s dng đnh lý Roll cm phng trình có không quá 3 nghim Phng trình có nghim )(31 Ltt == , suy ra phng trình có nghim π kx = Bài 12: Gii phng trình 11 7.4.128343.864 −− +=− xxxx Gii : t 1 7.2;4;2 − =−== xx cba 03 333 =−++⇔ abccba 00 2 )()()( )( 222 =++⇔= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+−+− ++⇔ cba accbba cba 07.242 1 =+−⇔ −xx Xét hàm s 7ln.7. 7 2 4ln.4)(7.242)( /1 xxxx xfxf +−=⇒+−= − Phng tr ình 0)( / =xf có nghim duy nht nên theo đnh lí Lagrange phng trình 0)( =xf không có quá 2 nghim phân bit Phng trình có nghim 2;1 == xx Bài 13: Gii phng trình )32(log)22(log 2 32 2 322 −−=−− + + xxxx Gii : iu kin xvx <−< 31 )32(log)22(log 2 347 2 348 −−=−−⇔ ++ xxxx t 347 +=a và 32 2 −−= xxt tt aa log)1(log 1 =+⇔ + t ty a log= 1 1 1 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇔ yy aa a 1=⇔ y l à nghim duy nht Phng trình có nghim 34111 +±=x Bài 14: Gii h phng trình www.VNMATH.com www.VNMATH.com 4 () () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += += += 4loglog 4loglog 4loglog 35 35 35 xz zy yx Gii : H phng trình không đi qua phép hoán v vòng quanh zy x ==⇒ T đó ta có ( ) 4loglog 35 += xx , đt xt 5 log= 1 3 1 4 3 5 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ t t Phng tr ình có đúng 1 ngim 2=t do hàm s 1 3 1 4 3 5 )( = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = t t tf nghch bin H phng trình có 1 nghim 25=== zyx Bài 15: Gii h phng trình () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+−+ −−=− − 04122 2 3 22 2 2 2 2 2 1 xyxxyx xy y x x Gii : T phng trình (2) 2 21 1)2( x x yxyx − =⇔=+⇔ (1) 22 2 2 21 2 2 1 2 2 21 2 2 1 x x x x x x x x − = − ⇔ + − + − xé t hàm s 0 2 1 2ln2)( 2 2)( / >+=⇒+= tt tf t tf 22 2 2 21 2 1 x x x x − = − ⇔ H phng trình có 1 nghim 4 3 ,2 −== yx Bài 16: Gii h phng trình ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +++=++ + + = − 1)2(log2)62(log3 1 1 23 2 2 22 yxyx y x e xy Gii : k 062 >++ yx và 02 >++ yx (1) 1)1ln(1)1ln( 2222 +++=+++⇔ yyxx Hàm s 1ln)( >+= ttttf đng bin trên );0( ∞+ yxyx ±=⇔+=+⇔ 11 22 .Nu 3;31)6(log)2( 3 −==⇔=−⇔−= yxxyx www.VNMATH.com www.VNMATH.com 5 .Nu y x = (2) uxx 6)1(log2)2(log3 23 =+=+⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ =+ =+ ⇔ 1 9 8 9 1 21 32 3 2 uu u u x x Hàm s uu ug ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 9 8 9 1 )( nghch bin trên R, suy ra 1=u là nghim duy nht H phng trình có 2 nghim 4 3 ,2 −== yx và 7;7 == yx Bài 17: Gii h phng trình () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ −=− + + + 2 7 2 3 2 )2(342 2 2 1 2 8 1 2 yx xy yx y x Gii : k 0; ≥yx () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ +=+ ⇔ ++ + + 732 43232 1 2 1 2 )4( 1 2 yx yx yx y x Hàm s xxf x 32)( 1 2 += + đng bin trên [ ) ∞;0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇔ =+ = ⇔ =+ = ⇔ 5 1 5 4 1 4 )1()( )4()( y x yx yx fyxf yfxf Bài 18: Gii h phng trình ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−= −−= −−= )52coscos8(logcos )52coscos8(logcos )52coscos8(logcos 2 2 2 zyz yxy xzx Gii : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++= ++= ++= ⇔ 4228 4228 4228 2 2 2 ZY YX XZ Z Y X Hàm s () 422 8 1 )( 2 ++= ttf t đng bin trê n ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ 1; 2 1 () 422 8 1 2 ++===⇔ XZYX X Gii bng đ th ⎢ ⎣ ⎡ === === ⇔ )(2 1 lZYX ZYX H phng trình có 2 nghim π π π 2;2,2 mzlykx === www.VNMATH.com www.VNMATH.com 6 Bài 19: Gii h phng trình ⎩ ⎨ ⎧ +=+ +=+ 2)(coslog)sin31(log 2)(sinlog)cos31(log 32 32 xy yx Gii : k 0sin;cos ≥yx )(sinlog)sin31(log)(coslog)cos31(log 3232 yyxx =+=++⇒ Hàm s tttf 32 log)31(log)( ++= 0 3ln 2 2ln)31( 3 )( / >+ + =⇒ tt tf đng bin trên 0>∀t xy cossin =⇒ Thay vào phng trình (1) 2)(coslog)cos31(log 32 +=+⇒ xx Lp BBT hàm s vvvg 32 log)31(log)( −+= vi ( ] 1,0cos ∈= xv phng tr ình ch có 2 nghim 3 1 cos,1cos == xx Bài 20: Gii h phng trình 34 22 3 28 21 82 xy y xy xy y ⎧ −= ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ Gii: H tng đng ( ) 33 2 28 (1) 0 ( ) 18 2 (2) yx y xy yx y ⎧ −= ⎪ ⇒>> ⎨ += ⎪ ⎩ (2) 4 38 x y y ⇒= − , tha y vào (1) đc: 3 4 3 38 28 yy y y ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ − −= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ (3) t 0ty=> , (3) tr thành: () 3 4 3 22 6 93 4 38 28 3 8 28 0 tt t ttt t ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ − −=⇔− − += ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ Xé t hàm () 3 93 4 () 3 8 28 f tt t t=− − + ta có: () 82 3 4 '( ) 9 9 3 8 28 0, 0 f tt t t t=+ −+>∀> Chng t hàm s f(t ) đng bin trên khong (0;+∞) phng trình f(t) = 0 nu có nghim trên Khong (0;+∞) thì nghim đó là nghim duy nht. T đó suy ra h phng trình đ cho nu có nghim (x 0 , y 0 ) thì nghim đó là nghim duy nht ca h. Nu chn x = 2y thì t (1) ta có: 4 4222yy x=⇔= ⇒= . R rà ng cp s (2 2; 2) tha (2). Vy h có nghim duy nht (2 2; 2) . Bài 21: Tìm s nghim ca nm trong khong )2;0( π ca p hng trình 2 5 )sin10sin12sin8( 246cos2 2 +=+− exxxe x Gii : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 7 0 1 1 t g' g 1- 3 6 0 + _ -5 f u 0 1 6 t f' 0 + _ 0 t 10sin 2 ≤≤== tyxt 2 5 )10128( 23)1(2 +=+−⇔ − etxtxte t Xét hàm s )10128()( 23)1(2 tttexf t +−= − [ ] )( 2)10128(2)102424()( )1(2232)1(2/ tgetttttexf tt −− −=+−−+−=⇒ Vi )112412(2)(522248)( 2/23 +−=⇒−+−= tttgttttg Lp bng bin t hiên, suy ra phng trình 0)( =tg có nghim duy nht 6 3 10, −<<= uut Lp bng bin thiên hàm s )(tf , suy ra phng trình 0)( =tf có nghim duy nht uvvt <<= 0, Suy ra phng tr ình vx ±= sin c ó 4 nghim phân bit )2,0( π ∈x www.VNMATH.com www.VNMATH.com 8