Các dạng phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỷ trọng tâm trong đề thi đại học

http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 1 CHỦ ĐỀ 10 : MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ. PHẦN A: PHƢƠNG TRÌNH Dạng I: Phƣơng pháp biến đổi trực tiếp Sau khi tìm tập xác định của phương trình ta dùng phép bình phương hoặc lập phương hai vế của phương trình ta được phương trình tương đương howacj phương trình hệ quả. Giải phương trình này ta tìm được nghiệm thuộc tập xá định. Ví dụ 1 : Giải phương trình 5 1 3 2 1 0x x x        1 Giải Điều kiện : 1x  Phương trình   1    5 1 3 2 1 5 1 3 2 2 3 2 1 1x x x x x x x x                       2 2 2 2 2 3 2 1 2 4 3 2 1 11 24 4 0 2 11 x x x x x x x x x x                      2x . Vậy nghiệm của phương trình là: 2x  . Ví dụ 2 : Giải phương trình 3 3 3 1 2 3 0x x x        2 Giải Phương trình   2        3 3 3 3 3 3 1 3 2 1 3 1 3 1 3 3 2x x x x x x x x x x                             33 33 3 1 3 1 3 3 6 1 2 3 2x x x x x x x x x                * http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 2              32 1 2 3 2 2 1 3 2 0 2x x x x x x x x x                   .Thay 2x  vào phương trình   2 thấy đúng. Vậy nghiệm cuả phương trình là : 2x  . Chú ý: Phép biến đổi ra phương trình   * là phép biến đổi “không tương đương” nên khi tìm được 2x  ta phải thử lại. Bài tập : Giải các phương trình sau 1. 55xx   . Đáp số: 5x  . 2.   2 2 8 3 4x x x    . Đáp số: 4x  , 7x  . 3. 10 3 4 2 2x x x     . Đáp số: Phương trình vô nghiệm. 4. 33 1 1 2xx    . Đáp số: 0x  . Dạng II: Phƣơng pháp đặt ẩn phụ Nhiều phương trình nếu dùng phương pháp biến đổi trực tiếp thì lời giải phức tạp hoặc không đi đến kết quả. Để khắc phục tình trang đó ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp đặt ẩn phụ gồn các bước cơ bản sau: Bước 1: Đặt ẩn phụ, xác định điều kiện của ẩn phụ. Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn phụ. Giải phương trình ẩn phụ tìm nghiệm thích hợp. Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ. Ta thường gặp các dạng đặt ẩn phụ cơ bản sau đây: Ví dụ 1 : Giải phương trình 2 3 1 4 4 3 2x x x x          1 Giải Điều kiện : 13x Đặt 31t x x    với 0t  22 2 2 4 3t x x     , thay vào phương trình   1 ta có : http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 3   22 2 2 2 2 6 0 3 2 t t t t t t                2 2 4 3 2 2t x x x        (Thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình là: 2x  . Chú ý: Dạng tổng quát của ví dụ 1 là phương trình:    a cx b cx d a cx b cx m       (với , , , ,a b c d m là hằng số ,0dc ). Cách giải: Đặt t a cx b cx    với 0t  . Ví dụ 2 : Giải phương trình 2 2 2 2 4 2 2x x x x          2 Giải Điều kiện : 2x  Đặt 22x x t    với 0t  22 2 2 4t x x    , thay vào phương trình   2 ta có : 2 1 2 0 2 2 2 2 4 2 0 2 t t t t x x x t                     2x . Vậy nghiệm của phương trình là: 2x  . Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình   2 là phương trình:               20m f x g x n f x g x m f x g x k         với 22 0mn Cách giải : Đặt     t f x g x . Ví dụ 3 : Giải phương trình   23 2 3 2 3 8x x x      3 Giải Điều kiện : 2x  http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 4 Phương trình   3          22 2 2 4 2 2 3 2 2 4x x x x x x          * Do 2x  không phải là nghiệm  20x , chia 2 vế phương trình   * ta được : 22 2 4 2 4 2 3 2 0 22 x x x x xx         . Đặt 2 24 2 xx t x    với 0t  , ta được phương trình sau 2 22 2 24 2 3 2 0 2 2 6 4 0 1 2 2 t xx t t t x x x t                     3 13x   . Vậy nghiệm của phương trình là : 3 13x  . Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình   3 là :         a.f . . . 0x b g x c f x g x   với 0abc  . Cách giải : - Nếu     00f x g x   , kiểm tra trực tiếp. - Nếu           00 g x g x f x a b c f x f x      , đặt     gx t fx  . Ví dụ 4 : Giải phương trình 23 6 9 6 9 6 x x x x x          4 Giải Điều kiện : 9x  Phương trình   4 6 9 3 9 3 23x x x           , đặt 9tx với 0t  2 9xt   . Khi đó ta có phương trình:   2 6 3 3 32t t t       * Với 3t  thì   * 2 4 73 12 32 0 8 25 tx tx tx            . Với 03t thì   * 2 4 2 13t t x      . http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 5 Vậy nghiệm của phương trình là : 13x  , 25x  , 73x  . Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình   4 là phương trình: 22 22x a b a x b x a b a x b cx m           ,với , , ,a b c m là hằng số, 0a  . Cách giải : t x b , 0t  . Bài tập : Giải các phương trình sau 1. 22 3 21 18 2 7 7 2x x x x      HD: Đặt 2 77t x x   , với 0t  . Đáp số : 6x  , 1x  . 2.    1 4 1 4 5x x x x       HD: Đặt 14t x x    , với 0t  . Đáp số : 0x  , 3x  . 3. 2 3 2 1 2 3 5 2 4 9x x x x x        HD: Đặt 3 2 2t x x    , với 0t  . Đáp số : 2x  . 4. 2 2 3 1 2 2 5 3 3 16x x x x x        HD: Đặt 2 3 1t x x    , với 0t  . Đáp số : 3x  . 5.   2 3 3 2 2 5 1x x x    HD:         2 22 2 11 2 1 2 1 5 1 1 2 2 5 11 x x x x x x x x x x x x                  . Đặt 2 1 1 xx t x    với 0t  . Đáp số : 5 37 2 x   . 6. 5 2 2 1 2 2 1 2 x x x x x          HD: Đặt 1tx , với 0t  2 4 11 2 t tt       . Đáp số : 3x  , 1x  . Loại 2 : Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình tích Ví dụ 1 : Giải phương trình   23 2 2 5 1x x x      1 Giải http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 6 Điều kiện : 1x  Phương trình   2         22 2 1 2 1 5 1 1x x x x x x         . Đặt 2 1 1 xu x x v          , 0 0 u v   Ta có :    22 2 2( ) 5 2 2 0 2 uv v u uv u v v u vu             . Với : 22 2 1 2 1 4 5 3 0u v x x x x x           Vô nghiệm. Với : 22 2 2 1 1 5 3 0v u x x x x x          5 37 2 x   . Vậy nghiệm của phương trình là: 5 37 2 x   . Bài tập : Giải các phương trình sau 1. 22 7 25 9 2 35 7 2x x x x x       HD: 22 7 25 9 7 2 2 35x x x x x            2 3 11 22 7 2 5 7x x x x x               22 3 5 14 4 5 7 5 5 14x x x x x x         . Đặt Đặt 5ux , 0u  ; 2 5 14v x x   , 0v  . Đáp số: 3 2 7x  , 61 11137 18 x   . 2. 24 7 10 14 5 4x x x    HD: 2 2 2 2 ( 2 2) 5 ( 2 2)( 2 2) 6( 2 2) 0x x x x x x x x            . Đặt:Đặt 2 22u x x   0u  ; 2 22v x x   , 0v  . Đáp số: 57 3 x   . Loại 3 : Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Ví dụ 1 : Giải phương trình   22 1 2 3 1x x x x       1 Giải http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 7 Đặt : 2 23x x t   với 0t  22 23x t x    , Khi đó phương trình   1 trở thành :          22 1 2 2 1 2 1 0 1 2 0x t t x t x t x x t t               2 1 t tx       . Với : 22 2 2 3 2 2 1 0 1 2t x x x x x            . Với : 2 1 2 3 1t x x x x        Phương trình vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là: 12x  . Ví dụ 2 : Giải phương trình   22 10 3 1 1 6 3x x x x       2 Giải Đặt : 2 3tx , 0t  22 3xt   . Thay vào phương trình   2 và thu gọn ta được   22 1 6 9 3 2 0t x t x x      , Xem đây là phương trình bậc hai ẩn t 90 t     nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1 6 3 23 2 1 6 3 13 2 x tx x tx                . Với : 2 2 2 6 40 2 3 3 2 3 3 8 8 12 1 0 x t x x x x xx                    . Với : 2 2 1 1 3 3 1 3 1 3 4 3 1 0 x t x x x x xx                     . Vậy nghiệm của phương trình là : 6 40 8 x   , 1x  . Bài tập : Giải các phương trình sau 1.   22 3 1 3 1x x x x     http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 8 HD: Đặt 2 1tx . Đáp số : 22x  . 2.    2 4 4 1 2 1 4x x x x x        HD: Đặt 2 44t x x t       2 1 4 1 2t x x x             2 2 2 1 4 1 2 4 3 1 2 t t t x x x x x               . Đáp số : 20 8 13 9 x   . 3.   22 2 4 2 2 8 4x x x x      HD:     2 2 2 2 2 2 4 2 2 8 4 2 4 2 2 8 4x x x x x x x x                   22 5 8 16 4 2 2 4 0x x x x         * . Đặt 2 22 4 24 2 t t x x      , thay vào phương trình   * được :   2 5 8 2 16 32 0t x t x     . Đáp số :Phương trình vô nghiệm. Loại 4 : Đặt ẩn phụ chuyển phƣơng trình vô tỉ về hệ phƣơng trình vô tỉ Ví dụ 1 : Giải phương trình 3 2 3 2 3 6 5 8 0xx       1 Giải Điều kiện: 6 5 x  , Đặt : 3 32 65 xu xv        , với 0v  , ta có hệ phương trình 32 238 5 3 8 uv uv          * ** Từ   * 82 3 u v   , thay vào   ** thu gọn ta được :     2 2 15 26 20 0u u u    2u    3 3 2 2 3 2 8 2x x x          ( Thỏa mãn điều kiện). Vậy nghiệm của phương trình là : 2x  . Ví dụ 2 : Giải phương trình 22 4 5 1 2 1 9 3x x x x x         2 Giải http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 9 Điều kiện: 1 4 1 x x       , Đặt : 2 2 4 5 1 21 x x u x x v            , với 0 0 u v      , ta có hệ phương trình 22 93u v x u v u v          22 22 0 4 5 1 2 1 56 1 4 5 1 1 2 1 65 x u v x x x x uv x x x x x                            . Vậy nghiệm của phương trình là: 0x  , 56 65 x  . Ví dụ 3 : Giải phương trình 32 3 3 3 3 5 1 3x x x x       3 Giải Phương trình   3   3 3 1 3 3 5 2xx     . Đặt : 3 3 5 1xy   ta có:     3 3 1 3 5 1 3 5 xy yx            Trừ vế theo vế của hai phương trình ta được :          22 1 1 1 1 3 0x y x x y y              3 32 1 3 5 3 4 0 1x y x x x x x            , 2x  . Vậy nghiệm của phương trình là : 1x  , 2x  . Bài tập : Giải các phương trình sau 1. 22 4 5 1 4 5 7 3x x x x      Đáp số : 5 13 8 x   . 2. 3 11 1 22 xx    HD: Đặt 3 11 , 22 x u x v    . Đáp số : 17 2 x  , 1 2 x  . 3. 3 2 2 4 2 1 17 1xx     HD: Đặt 32 2 1 ,xu 2 4 17 xv . Đáp số : 1x  . 4. 2 2 3 1 1x x x     http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com. Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học. 10 HD: Đặt: 22 2 12 13 1 x a a b a ab a xb                   . Đáp số : 24 25 x  , 3 2 x  . 5. 2 3 1 4 13 5x x x     HD:   2 3 1 2 3 3x x x       . Đặt : 3 1 2 3xy        2 2 2 3 3 1 2 3 2 1 yx x y x               Đáp số: 15 97 8 x   , 11 73 8 x   . 6. 32 3 3 5 8 36 53 25x x x x     HD:   3 3 3 5 2 3 3x x x      .Đặt : 3 3 5 2 3xy   ,Đáp số 53 ,2 4 xx   . Loại 5 : Đặt ẩn phụ là lƣợng giác ( Phƣơng pháp lƣợng giác hóa) Ví dụ : Giải phương trình   22 1 1 1 2 1x x x       1 Giải Điều kiện: 11x   Đặt : sin ; 22 x t t         , ta có phương trình :   1 cos sin 1 2cost t t   3 3 2 2 os 2cos sin sin 2 2 2 2 2 t t t t c    (vì ; 22 t      nên os 0 2 t c  )  1 6 1 2 2 x t x t                  Vậy nghiệm của phương trình là : 1x  , 1 2 x  . Bài tập : Giải các phương trình sau 1.     33 22 1 1 1 1 2 1x x x x            [...]... gia luyện thi Đại Học 19 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 http://baigiangtoanhoc.com 5 16 x 4  5  6 3 4 x3  x HD: 6 VP  4 x2  4 x  3 Đáp số : x  1 2 4 x  1  8 x3  1  1 1 Đáp số: x  2 PHẦN B: BẤT PHƢƠNG TRÌNH Dạng I: Phƣơng pháp biến đổi trực tiếp Ta thực hiện theo các bước sau đây  Bước 1: Tìm tập xác định của bất phương trình  Bước 2: Bình phương, lập phương bất phương trình đã... , D2 , Dn ta giải bất phương trình đã cho  Kết hợp nghiệm của bất phương trình trên D1 , D2 , Dn suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho Ví dụ 1 : Giải bất phương trình x2  4 x  3  2 x 2  3x  1  x  1 1 Giải Bất phương trình 1   x 1 x  3   x 1 2 x 1  x  1 * Trường hợp 1: x 1  0  x  1 thỏa mãn bất phương trình * Trường hợp 2: x  1 , bất phương trình *  x  3... được tập nghiệm của bất phương 2  9   7 trình là: D    ;0    0;   2   2 Ví dụ 2 : Giải bất phương trình Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học 22 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 http://baigiangtoanhoc.com 1 x  1 x  x  2 Giải Điều kiện : 1  x  1 Bất phương trình  2   1 ... Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học 23 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 http://baigiangtoanhoc.com Ví dụ 1 : Giải bất phương trình 7 x  7  7 x  6  2 49 x 2  7 x  42  181  14 x 1 Giải Điều kiện : x  6 7 Bất phương trình 1  Đặt  7x  7  7x  6  2  7 x  7  7 x  6  182 7 x  7  7 x  6  t với t  0 , ta có bất phương trình t 2  t  182  0  t  13 6  6... g  x  f  x  g  x  0 Ví dụ 1 : Giải bất phương trình 5  2x  3  x  x  2 1 Giải Điều kiện : 2  x  5 * , khi đó bất phương trình 1 tương đương với bất phương trình 2 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học 20 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 http://baigiangtoanhoc.com 2 x  3... 4 x2  18x  18 Đáp số: x  17 3 Dạng V: Phƣơng pháp không mẫu mực Ta thường dùng các phương pháp sau  Phương pháp đánh giá  Dùng bất đẳng thức  Dùng hàm số Ví dụ 1 : Giải bất phương trình Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học 27 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 http://baigiangtoanhoc.com... Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học 28 2 x 1    2 x 1  2 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 http://baigiangtoanhoc.com Bất phương trình  x 3  1  3  u.v  u v ; mà u.v  u v  u.v  u v  u, v cùng hướng  x 1 x  3 0  x  5 1  x 1  x  3  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là D  5 Bài tập : Giải các bất phương trình sau 1 x  1  3 5x  7  4 5x  7  5 13x... 1; v  x  3 Đáp số: x  5 2 Dạng IV: Phƣơng pháp chia tập xác định  Bất phương trình có tập xác định D , việc giải bất phương trình trên tập D gặp khó khăn, khi đó ta chia D  D1  D2  D3  Dn Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học 25 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013 http://baigiangtoanhoc.com... * vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là : x  2 Ví dụ 3 : Giải phương trình 5 x  1  3 9  x  2 x 2  3x  1  3 Giải Điều kiện : x  1 , khi đó phương trình  3  ( 5 x  1  2)  5  3  9  x  2  2 x 2  3x  5 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học 12 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học. .. Đáp số: x  Dạng III: Phƣơng pháp đặt ẩn phụ Ta thực hiên theo các bước sau  Bước 1: Chọn ẩn phụ thích hợp, tìm điều kiện của ẩn phụ  Bước 2: Chuyển bất phương trình đã cho về bất phương trình ẩn phụ, giải bất phương trình ẩn phụ, tìm nghiệm của ẩn phụ  Bước 3: Từ tập nghiệm của bất phương trình ẩn phụ suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com . đổi, ta được bất phương trình đơn giản hơn và tìm được nghiệm của bất phương trình này.  Bước 3: Kết hợp tập xác định suy ra nghiệm của bất phương trình. Chú ý : Các bất phương trình cơ bản. B: BẤT PHƢƠNG TRÌNH Dạng I: Phƣơng pháp biến đổi trực tiếp Ta thực hiện theo các bước sau đây  Bước 1: Tìm tập xác định của bất phương trình.  Bước 2: Bình phương, lập phương bất phương trình.   , thay vào phương trình   * được :   2 5 8 2 16 32 0t x t x     . Đáp số :Phương trình vô nghiệm. Loại 4 : Đặt ẩn phụ chuyển phƣơng trình vô tỉ về hệ phƣơng trình vô tỉ Ví