Tài liệu Chương 1 - Bài 1 (Dạng 6): Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình pptx

Nguy n Phú Khánh – L t D ng : Dùng ơn i u hàm s b t phương trình gi i bi n lu n phương trình Chú ý : N u hàm s y = f x ơn i u nghiêm cách D ( ho c ( ) ng bi n ( ) ho c ngh ch bi n D ) s nghi m c a phương trình : f x = k s ( ) () không nhi u m t f x = f y ch x = y Chú ý 2: • N u hàm s y = f x ơn i u nghiêm cách D ( ho c ( ) ng ( ) bi n ho c ngh ch bi n D ) hàm s y = g x ơn i u nghiêm ngo c ( ho c ng bi n ho c ngh ch bi n ) D , s nghi m D c a phương trình f x = g x khơng nhi u m t • N u hàm s ( ) ( ) y = f ( x ) có o hàm n c p n D phương trình f (k )(x ) = có m nghi m, ó phương trình f (k −1)(x ) = có nhi u nh t m + nghi m Ví d : Gi i phương trình 3x (2 + 9x + 3) + (4x + 2)( + x + x + 1) = x − 4x − 5x + = 7x + 9x − Gi i : 3x (2 + 9x + 3) + (4x + 2)( + x + x + 1) = (1) ( ) Phương trình (1) ⇔ −3x (2 + (−3x )2 + 3) = (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) (2) t u = −3x , v = 2x + 1, u, v > Phương trình (1) ⇔ u(2 + u + 3) = v(2 + v + 3) (3) * Xét hàm s f (t ) = 2t + t + 3t liên t c kho ng * Ta có f '(t ) = + 2t + 3t t + 3t () > 0, ∀t > ⇒ f t ( 0; +∞ ) ng bi n kho ng ( 0; +∞ ) Khi ó phương trình (3) ⇔ f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ −3x = 2x + ⇔ x = − 35 Nguy n Phú Khánh – L t V yx =− nghi m nh t c a phương trình x − 4x − 5x + = 7x + 9x − t y = y = 7x + 9x − Khi ó phương trình cho x − 4x − 5x + = y  ⇔ 7x + 9x − = y  x − 4x − 5x + = y  ⇔ ⇔ y + y = x + 3x + 4x +   x − 4x − 5x + = y  y + y = x + + x + *  ( ( ) ( ) (a ) * Xét hàm f (t ) = t + t, t ∈ » * Vì f ' (t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ » nên hàm s Khi ó (a ) ⇔ y = x + ( *) có d ng ) (I ) () f y = f x +1 H ng bi n t p s th c »  x − 4x − 5x + = y  x − 4x − 6x + = * * I ⇔ ⇔ y = x + y = x +   ( ) ()  −1 + −1 −    Gi i phương trình * * ta có t p nghi m : S = 5, ,  2     ( ) Ví d : Ch ng minh r ng phương trình: 2x x − = 11 có nghi m nh t Gi i : Cách : Xét hàm s y = 2x x − liên t c n a kho ng 2; +∞  ) Ta có: y ' = ( x 5x − x −2 B ng bi n thiên : x y' ) > 0, ∀x ∈ (2; +∞ ) ) ( lim y = lim 2x x − = +∞ x →+∞ x →+∞ +∞ + +∞ y 36 Nguy n Phú Khánh – L t D a vào b ng bi n thiên ta th y th c a hàm s y = 2x x − c t ng th ng y = 11 t i nh t m t i m Do ó phương trình 2x x − = 11 có nghi m nh t Cách 2: Xét hàm s y = f x = 2x x − − 11 liên t c n a kho ng 2; +∞  ( ) ) Ta có f ( ) = −11, f ( ) = Vì f ( ) f ( ) = −77 < ⇒ f ( x ) = có nh t m t nghi m kho ng ( 2; ) x ( 5x − ) > 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇒ f ( x ) liên t c ng bi n kho ng f ' (x ) = x −2 (2; ) ( ) V y phương trình cho có nghi m nh t thu c kho ng 2; Ví d : Gi i b t phương trình sau : 5x − + x + ≥ Gi i : i u ki n : x ≥ 1  * Xét hàm s f (x ) = 5x − + x + liên t c n a kho ng  ; +∞  5  1 * Ta có : f '(x ) = + > ,∀x > ⇒ f x 5x − x − ( ) 1  ng bi n n a kho ng  ; +∞  f (1) = , ó b t phương 5  trình cho ⇔ f (x ) ≥ f (1) ⇔ x ≥ V y b t phương trình cho có nghi m x ≥ Ví d : Gi i b t phương trình sau 3 − 2x + − 2x ≤ 2x − Gi i : i u ki n: < x ≤ 2 * B t phương trình cho ⇔ 3 − 2x + ≤ 2x + ⇔ f (x ) ≤ g (x ) (*) 2x −  3 * Xét hàm s f (x ) = 3 − 2x + liên t c n a kho ng  ;  2x −  2 hàm s 37 Nguy n Phú Khánh – L t −3 * Ta có : f '(x ) = − − 2x 1 3 < 0, ∀x ∈  ;  ⇒ f (x ) hàm 2 2 ( 2x − 1)3  3 ngh ch bi n n a o n  ;   2 Hàm s g (x ) = 2x + hàm ng bi n » f (1) = g(1) = i N u x > ⇒ f (x ) < f (1) = = g(1) < g(x ) ⇒ (*) úng i N u x < ⇒ f (x ) > f (1) = = g(1) > g(x ) ⇒ (*) vô nghi m V y nghi m c a b t phương trình ã cho là: ≤ x ≤ Ví d : Gi i b t phương trình sau (x + 2)(2x − 1) − x + ≤ − (x + 6)(2x − 1) + x + Gi i : i u ki n: x ≥ B t phương trình cho ⇔ ( x + + x + 6)( 2x − − 3) ≤ ( *) i N u 2x − − ≤ ⇔ x ≤ ⇒ (*) úng iN u x > * Xét hàm s f (x ) = ( x + + x + 6)( 2x − − 3) liên t c kho ng ( 5; +∞ ) * Ta có: f '(x ) = ( x +2 ( ) ⇒f x + )( 2x − − 3) + x +6 x +2 + x +6 > 0, ∀x > 2x − ( ) ng bi n kho ng 5; +∞ f (7) = , ó (*) ⇔ f (x ) ≤ f (7) ⇔ x ≤ V y nghi m c a b t phương trình Ví d : Gi i b t phương trình sau ã cho là: ≤x ≤ 2x + 3x + 6x + 16 < + − x Gi i : 2x + 3x + 6x + 16 ≥  i u ki n:  ⇔ −2 ≤ x ≤ 4 − x ≥  B t phương trình cho ⇔ 2x + 3x + 6x + 16 − − x < ⇔ f (x ) < ( *) 38 Nguy n Phú Khánh – L t * Xét hàm s f (x ) = 2x + 3x + 6x + 16 − − x liên t c o n  −2;    3(x + x + 1) * Ta có: f '(x ) = 2x + 3x + 6x + 16 ( + ( ) ( ) > 0, ∀x ∈ −2; ⇒ f x 4−x ) ng bi n n a kho ng −2; f (1) = , ó (*) ⇔ f (x ) < f (1) ⇔ x < V y nghi m c a b t phương trình ã cho là: −2 ≤ x < Ví d : Ch ng minh r ng x − x + > , ∀ x ∈ » Gi i : * Xét hàm s f (x ) = x − x + liên t c » * Ta có f '(x ) = 4x − f '(x ) = ⇔ x = * Vì f '(x ) f (x ) = f ( i d u t âm sang dương x qua )= 43 V y f (x ) > , ∀x − , ó +1> Ví d : Ch ng minh r ng phương trình : x + x − 2009 = có x −2 úng hai nghi m dương phân bi t Gi i : * i u ki n: x > (do x > ) x * Xét hàm s : f (x ) = x + − 2009 v i x > x2 − * Ta có f '(x ) = 5x − (x − 2)3 ⇒ f "(x ) = 20x + 3x > ,∀x > (x − 2) ⇒ f '(x ) = có nhi u nh t m t nghi m ⇒ f (x ) = có nhi u nh t hai nghi m 39 Nguy n Phú Khánh – L t lim f (x ) = +∞, f ( 3) < 0, lim f (x ) = +∞ ⇒ f (x ) = có hai nghi m Mà: x→ x1 ∈ ( x →+∞ + ) 2; x > Ví d : Gi i h phương trình  2x + +    2y + +  − x = (2)   x + 2x = y   y + 2y = x  x − 3x = y − 3y (1)   6 (2) x + y =  (1) (2) − y = (1) Gi i :  2x + +    2y + +  − y = (1) − x = (2)  − ≤ x ≤ i u ki n:  − ≤ y ≤  Cách 1: Tr (1) (2) ta c: 2x + − 4−x = * Xét hàm s f (t ) = 2y + − 2t + − 4−y (3)   − t liên t c o n  − ;    * Ta có:   > 0, ∀t ∈  − ;  2t + − t   ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y Thay x = y vào (1) ,ta c: f / (x ) = 2x + + + − x = ⇔ x + + (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = 9 − x ≥  ⇔ −2x + 5x + 12 = − x ⇔  ⇔   x = 11 9x − 38x + 33 =    40 Nguy n Phú Khánh – L t  11 x = x =  V y h phương trình có nghi m phân bi t  ,  y =3  11   y =  Cách 2: Tr (1) (2) ta c: ( 2x + − ⇔ ) ( 2y + + (2x + 3) − (2y + 3) 2x + + 2y + + 4−y − 4−x (4 − y ) − (4 − x ) 4−y + 4−x )=0 =0   ⇔ (x − y )  +  = 0(*) 4−y + 4−x   2x + + 2y + Vì + > nên ( * ) ⇔ x = y 2x + + 2y + 4−y + 4−x Thay x = y vào (1) ,ta c: 2x + + − x = ⇔ x + + (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = 9 − x ≥  ⇔ −2x + 5x + 12 = − x ⇔  ⇔   x = 11 9x − 38x + 33 =    11  x = x =  V y h phương trình có nghi m phân bi t  ,   y =  y = 11    x + 2x = y    y + 2y = x  (1) (2) Cách : * Xét hàm s f (t ) = t + 2t ⇒ f / (t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ »  f (x ) = y (1)  * H phương trình tr thành   f (y ) = x (2)  + N u x > y ⇒ f (x ) > f (y ) ⇒ y > x (do (1) (2) d n + N u x < y ⇒ f (x ) < f (y ) ⇒ y < x (mâu thu n) Suy x = y , th vào h ta c ( n mâu thu n) ) x + x = ⇔ x x + = ⇔ x = x + > 41 Nguy n Phú Khánh – L t x =  V y h có nghi m nh t  y =  Cách 2: Tr (1) (2) ta c: x − y + 3x − 3y = ⇔ (x − y )(x + y + xy + 3) =   y 3y ⇔ (x − y )   x +  + + 3 = ⇔ x = y 2     Th x = y vào (1) (2) ta c: x + x = ⇔ x x + = ⇔ x = ( ) x =  V y h phương trình có nghi m nh t  y =  x − 3x = y − 3y (1)   6 (2) x + y =  T (1) (2) suy −1 ≤ x , y ≤ (1) ⇔ f (x ) = f (y ) (*) * Xét hàm s f (t ) = t − 3t liên t c o n [ −1;1] , ta có () f '(t ) = 3(t − 1) ≤ ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f t ngh ch bi n o n [ −1;1] * Do ó: (*) ⇔ x = y thay vào (2) ta c nghi m c a h là: x =y =± Ví d 10 : Gi i h phương trình 1  (1) x − = y −  x y  2x − xy − = (2)  1  (1) x − = y −  x y  2y = x + (2)  Gi i : 1  (1) x − = y −  x y  2x − xy − = (2)  i u ki n: x ≠ 0, y ≠ Ta có: 42 Nguy n Phú Khánh – L t y = x    (1) ⇔ (x − y )  + =0⇔  xy  y =−   x i y = x phương trình (2) ⇔ x − = ⇔ x = ±1 i y = − phương trình (2) vơ nghi m x  x =  x = −1   V y h phương trình có nghi m phân bi t  ;  y =  y = −1    Bình lu n: 1  (1) x − = y − Cách gi i sau ây sai:  x y  2x − xy − = (2)  i u ki n: x ≠ 0, y ≠ * Xét hàm s 1 f (t ) = t − , t ∈ » \ {0} ⇒ f / (t ) = + > 0, ∀t ∈ » \ {0} t t2 Suy (1) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y ! Sai hàm s f (t ) ơn i u kho ng r i (c th f ( −1 ) = f ( ) = ) 1  (1) x − = y −  x y  2y = x + (2)  Cách 1: i u ki n: x ≠ 0, y ≠ x = y x −y   = ⇔ (x − y )  + =0⇔   y = − xy xy    x x = i x = y phương trình (2) ⇔   x = −1 ±   (1) ⇔ x − y + i y =− phương trình (2) ⇔ x + x + = x Xét hàm s f (x ) = x + x + ⇒ f / (x ) = 4x + = ⇔ x = −1 43 Nguy n Phú Khánh – L t  −1  f  = − > 0,  4 4 lim = lim = +∞ x →−∞ x →+∞ ⇒ f (x ) > 0, ∀x ∈ » ⇒ x + x + = vô nghi m Cách 2: i u ki n: x ≠ 0, y ≠ x = y x −y    (1) ⇔ x − y + = ⇔ (x − y )  + =0⇔  xy xy  y =−   x x = i x = y phương trình (2) ⇔   x = −1 ±   i y =− phương trình (2) ⇔ x + x + = x i V i x < ⇒ x + > ⇒ x4 + x + > i V i x ≥ ⇒ x ≥ x ≥ −x ⇒ x + x + > Suy phương trình (2) vơ nghi m V y h phương trình có nghi m phân bi t  −1 +  −1 −  x = x = x =   2 ∨ ∨  y =1  −1 +  −1 −   y = y =     2 Bài t p t luy n: Gi i phương trình: 5x − + 2x − + x = 81 Gi i phương trình: 81 sin10 x + cos10 x = * 256 Gi i b t phương trình: a 3x + + x + 7x + = b () (x + 2)(2x − 1) − x + ≤ − (x + 6)(2x − 1) + x + Gi i h phương trình  2x y = − x2  2y  z = − y2  2z  x = − z  y − 9x + 27x − 27 =  z − 9y + 27y − 27 = x − 9z + 27z − 27 =  44 Nguy n Phú Khánh – L t D ng : Dùng ơn i u hàm s b t phương trình ch a tham s gi i bi n lu n phương trình nh v i m ( ) Bi n i ( * ) v d ng f ( x ) = f (m ) Xét hàm s y = f ( x ) liên t c I Cho hàm s f x ; m = xác • • ( *) i x ∈I • Dùng tính ch t ơn i u c a hàm s k t lu n ptrình x + 3x + = m có nghi m th c Gi i : Ví d 1: Tìm tham s th c m ( ) f x = x + 3x + y = m * Xét hàm s ( ) * Hàm s f x = x + 3x + liên t c » 3x ( ) * Ta có : f ' x = + = 3x + x <  3x + = −3x ⇔  2 3x + = 9x  ( ) f' x =0⇔ 3x + 3x + + 3x x < −  ⇔ ,f ±1 ± ⇔ x = x = =  6  − 6  =     6 mà f x = m ó m ≥ phương 3 ( ) ( ) B ng bi n thiên : suy f x ≥ trình cho có nghi m th c Ví d : Tìm tham s th c m phương trình : () x + − x = m có nghi m th c Gi i : * Xét hàm s f x = x + − x liên t c n a kho ng 0; +∞    1 x  * Ta có : f ' x =  −  0, ∀t ∈  0;  ⇒ f t t  2 () ng bi n n a kho ng  3 13  0;  ,suy : < f t ≤  2 13 ng th c f t = x y t = cos A + cos B + cosC = hay tam giác ABC u () () 47 ... − 1) ≤ ∀t ∈ [ ? ?1; 1] ⇒ f t ngh ch bi n o n [ ? ?1; 1] * Do ó: (*) ⇔ x = y thay vào (2) ta c nghi m c a h là: x =y =± Ví d 10 : Gi i h phương trình 1  (1) x − = y −  x y  2x − xy − = (2)  1. .. Suy phương trình (2) vơ nghi m V y h phương trình có nghi m phân bi t  ? ?1 +  ? ?1 −  x = x = x =   2 ∨ ∨  y =1  ? ?1 +  ? ?1 −   y = y =     2 Bài t p t luy n: Gi i phương trình: ... − + 2x − + x = 81 Gi i phương trình: 81 sin10 x + cos10 x = * 256 Gi i b t phương trình: a 3x + + x + 7x + = b () (x + 2)(2x − 1) − x + ≤ − (x + 6)(2x − 1) + x + Gi i h phương trình  2x y =