Các cách giải phơng trình vô tỷ Trong chơng trình đại số 9 Trong chơng trình toán học phổ thông thì phơng trình nói chung và phơng trình vô tỷ nói riêng là một trong những đơn vị kiến th
Trang 1Các cách giải phơng trình vô tỷ
Trong chơng trình đại số 9
Trong chơng trình toán học phổ thông thì phơng trình nói chung và phơng trình vô tỷ nói riêng là một trong những đơn vị kiến thức rất cơ bản và phổ biến Với bài viết này chỉ xin đợc trao đổi cùng các bạn về các cách giải phơng trình vô tỷ 1 ẩn mà ở đó chỉ chứa các căn thức bậc hai cho phù hợp với chơng trình đại
số lớp 9
Cách 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc 2 số học
x 0
x2 = a
Ví dụ: Giải phơng trình
Ta có: x 0
x2 = 3x + 4 Giải: x2 = 3x + 4 ta đợc x = -1 ; x = 4
Đối chiếu với x 0 thì nghiệm của phơng trình là x = 4
Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức |A| để đa phơng trình vô tỷ về
ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Với điều kiện x 4 ta có:
(2)
thì ta có
4 = 4 Vậy phơng trình có vô số nghiệm x thoả mãn 4 x 8
x
a
x
x 4 3
x
x 4 3
2 A
4 4 4 4
x
4 4 4 4 4 4
4 4
x
x 4 22 x 4 22 4
4 2 4 2
4
x
4 2 4 2
0 2
x
4 4
0 2
4
x
4 4 2
2
x
Trang 2 Cách 3: Bình phơng 2 vế của phơng trình vô tỷ đã cho để có phơng trình hữu tỷ:
điều kiện 2x + 5 0
3x – 5 0
Ta có (3) (3’)
Hai vế của (3’) không âm, ta bình phơng 2 vế của (3’) thì đợc
Với điều kiện 6 – x 0 x 6
Hai vế của (3’’) không âm nên ta bình phơng 2 vế của (3’’) thì đợc
16(3x – 5) = 36 + x2 – 12x
x2 – 60x + 116 = 0
x = 2 , x = 58
Đối chiếu với các điều kiện và x 6 thì nghiệm của phơng trình là
x = 2
Chú ý rằng: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho 2 vế của phơng
trình đều không âm (không dơng) thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai Thật vậy ở trong ví dụ này nếu chỉ có điều kiện rồi bình phơng 2 vế của (3) thì ta sẽ đợc
Bình phơng 2 vế của phơng trình (3’’’) ta đợc
x2 – 60x + 116 = 0
x = 2 , x = 58
Đối chiếu với điều kiện thì phơng trình có 2 nghiệm x = 2 , x = 58
Mà khi thử lại ta lại thấy:
- Khi x = 2 giá trị các vế trái là (VP)
- Khi x = 58 giá trị của vế phải là
(Vế phải)
Rõ ràng chỉ x = 2 là nghiệm của phơng trình đã cho mà thôi
2 5 3 5
2
5
x
3
5
x
3
5
x
2 5 3 5
2x x
4 5 3 4 5 3 5
x
x 5 6 3
4
3
5
x
3
5
x
4 ) 5 3 )(
5 2 ( 2 5 3 5
2x x x x
4 5 ) 5 3 )(
5 2 (
2 x x x
3
5
x
2 1 9 5 2 3 5 2
2 2 13 11 169 121
5 58 3 5 58
Trang 3 Cách 4: Phân tích thành nhân tử để xuất hiện những phơng trình vô tỷ
đơn giản hơn:
Với điều kiện x 3 ta có
(4’)
(vô lý) Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
Cách 5: Đặt ẩn phụ
a) Đặt ẩn phụ để có phơng trình bậc 2
Ví dụ: Giải phơng trình 3x2 + 6x + 20 = (5)
Ta có (5)
Vì x2 + 2x + 8 = (x + 1)2 + 7 TXĐ: x
Khi đó ta có: 3t2 – 4 = t
3t2 – t – 4 = 0
t = -1 < loại
t = < = (loại) Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
b) Đặt ẩn phụ để có phơng trình hữu tỷ bậc cao
Ví dụ: Giải phơng trình
Điều kiện: x + 1 0 x -1
Đặt t 0
x + 1 = t2 x = t2 – 1 x2 = t4 – 2t2 + 1 Khi đó ta có t4 – 2t2 + 1 + t2 – 1 + 12t – 36 = 0
t4 – t2 + 12t – 36 = 0 t4 – 2t3 + 2t3 – 4t2 + 3t2 – 6t + 18t – 36 = 0
3 2
3 2
3
2 x x x x x
x
3 )
2 )(
1 ( 2 )
3 )(
1 (x x x x x x
3 2
1 2
3 ) 1 (x x x x x x
0 3 2
0 1 1
x x
x
3 2
1 1
x x
x
3 2
3 0
x
8 2 2
x
x
8 2 2
x
7
9
16 3
4
36 1 12
2
x
t
x 1
9
Trang 4 (t – 2) (t3 + 2t2 + 3t + 18) = 0
t = 2
t3 + 2t2 + 3t + 18 = 0 vô nghiệm vì t 0 t3 + 2t2 + 3t + 18 18 > 0
t = 2 x + 1 = 4 x = 3 > -1
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 3
c) Đặt ẩn phụ để có hệ phơng trình hữu tỷ đơn giản
Ví dụ 1: Giải phơng trình
Điều kiện x -2004
Đặt Theo phơng trình đã cho thì x2 + y = 2004
Từ phép đặt ta lại có y2 = x + 2004
Vậy có hệ x2 + y = 2004
y2 = x + 2004 Giải hệ này ta có: x = y
x = -y
Vậy nghiệm của phơng trình là
Ví dụ 2: Giải phơng trình
điều kiện:
đặt theo phơng trình ta có a – b = 3
mà theo phép đặt ta có a2 – b2= (25 – x2) – (10 – x2) = 15
vì thế ta có hệ: a – b = 3 a – b = 3 a = 4
a2 – b2 = 15 a + b = 5 b = 1
Từ đây x = +3 (thoả mãn đ/k)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = +3
2004 2004
2
x
2004
x y
2004
2
8017 1
x
2004
4009 1
2
8017
x
2
8017
1
x
3 10
10
a
x
2 25
b
x
2 10
4
x
1
x
Trang 5 Cách 6: Nhẩm nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất
- Ta thấy với x = 0 thì giá trị vế trái =
và giá trị vế phải =
x = 0 là nghiệm
- Giả sử phơng trình có nghiệm x > 0 Tiến hành chia 2 vế của (6) cho ta
mà
phơng trình (6) không có nghiệm x > 0
- Giả sử phơng trình có nghiệm x < 0 Tiến hành chia 2 vế của (6) cho
mà
phơng trình (6) không có nghiệm x < 0
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho
Cách 7: Sử dụng bất đẳng thức
a) Chứng tỏ tập giá trị của 2 vế không giao nhau, khi đó phơng trình vô nghiệm
Ví dụ: Giải phơng trình
điều kiện: x 0
x + 1 0 x 3
x – 3 0 Khi đó ta có
giá trị của vế trái nhận giá trị âm
Mà giá trị vế phải lại không âm
Do đó phơng trình đã cho vô nghiệm
b) Chứng tỏ tập giá trị của 2 vế giao nhau tại cùng một giá trị Khi đó phơng trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn.
Ví dụ: Giải phơng trình
) 3 ( 2 ) 2 ( ) 1 (x x x x x
x
0 ) 2 0 ( 0 ) 1 0 (
0 ) 3 0 (
x
3 2 2
x
3 )
1 (x x
3 )
2 (x x
3 2 ) 2 ( ) 1 (x x x
x
x x
1
x
x
1
x
x
2
x x
1
3
x
1
x
0
3
x
2 2
2 2x 2 3x 6x 7 2 2x x
2
2
x
Trang 6dấu = xảy ra khi x = -1
giá trị vế trái dấu = xảy ra khi x = -1
mà 2 – 2x – x2 = - (x2 + 2x + 1) + 3
= - (x + 1)2 + 3 3 dấu = xảy ra x = -1
giá trị vế phải 3 dấu = xảy ra khi x = -1
Vì thế x = -1 là nghiệm của phơng trình đã cho
c) Sử dụng dấu = xảy ra trong bất đẳng thức:
Ví dụ: Giải phơng trình
điều kiện: x > 2 ta có: ;
áp dụng a + b 2 a, b 0 Dấu = xảy ra a = b
Ta có
x = 6 > 2 (thoả mãn) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 6
Và dới đây là các ví dụ để chúng ta cùng nhau luyện tập
Hãy giải các phơng trình sau:
9
Giáo viên Trờng T.H.C.S hảI vân (suu Tâm)
0 2
4
ab
1 2 1 5
2
7 4 8 5 3
x
33 4
4 16 16
12
x
5 5 2
4
x
x x
x x
x 1 3 2 ( 1 )( 3 ) 4 2
4 2 1
x
3 1
2
x x
x
4 2 2
4
x
4 2 2
4 2 2 2
4
x
x x
4 2 2
4
4
x
x 22 4
4 4 ) 1 ( 3 7 6
3 4