Chuyên đề Phương Trình Vô Tỉ - HOT

Phần I Một số kiến thức liên quan 1/ Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm. Khi giải các phơng trình ta thờng phải dùng các phép biến đổi tơng đơng. 2/ Một phơng trình đợc gọi là phơng trình hệ quả của phơng trình cho trớc nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phơng trình đã cho. Khi giải phơng trình, nếu ta dùng phép biến đổi đa phơng trình đã cho về một phơng trình hệ quả thì ta phải thử lại. 3/Môt số bài toán cơ bản liên quan đến định lý đảo về dâu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax 2 +bx+c (a khác 0), f(x) có hai nghiệm x 1 ;x 2 thoả mãn: x 1 < <x 2 khi và chỉ khi af( )<0. < > < 2 0)( 0 21 s afxx > > < 2 0)( 0 21 s afxx f(x) có hai nghiệm trong khoảng ( ) ; khi và chỉ khi : << > > 2 0)( 0)( 0 S af af 1 f(x) có một nghiệm nằm trong ( ) ; , nghiệm còn lại nằm ngoài [ ] ; khi và chỉ khi 0)().( < ff . 4/ Một số kiến thức trong lý thuyết hàm số : Hàm số y=f(x) xác định trên D. Khi đó phơng trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D khi và chỉ khi g(m) thuộc vào tập giá trị của f(x) trên D. Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D, x 0 thuộc D sao cho f(x 0 )=m ( trong đó m là hằng số ) thì phơng trình f(x) =m có nghiệm duy nhất trên D. Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D , x 0 thuộc D sao cho f(x 0 )= g(x 0 ) thì phơng trình f(x) =g(x) có nghiệm duy nhất trên D. 5/ Nội dung phơng pháp cần và đủ : Bài toán đặt ra là : tìm điều kiện của tham số m để phơng trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) nào đó.Khi giải bài toán này bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ ta tiến hành theo các bớc sau : Bớc 1 : (tìm điều kiện cần) Giả sử phơng trình đã cho đã thoả mãn tính chất (P).Ta đi tìm điều kiện ràng buộc của m. Giả sử điều kiên ràng buộc của m là m m D . Bớc2 : (tìm điều kiện đủ) : Với m m D ta kiểm tra lại xem khi đó phơng trình f(x,m)=0 đã thoả mãn tính chất (P) cha.ở bớc này nói chung ta thờng thay các giá trị cụ thể của m vào để xét, những giá trị của m m D mà làm cho phơng trình f(x,m)=0 thoả mãn tính chất (P) là đáp số bài toán. 2 Phần II Một số dạng phơng trình vô tỉ thờng gặp. I. Dạng 1 : dùng phép biến đổi tơng đơng = = = = )()( 0)( (**))()( )()( 0)( (*))()( 2 2 22 xgxf xg xgxf xgxf xf xgxf n n nn . Thực tế ta hay gặp trờng hợp n=1.ở dạng (**) học sinh yếu thờng hay mắc sai lầm nh sau: đặt điều kiện f(x) 0 sau đó luỹ thừa 2n hai vế của phơng trình để khử căn rồi giải phơng trình này , sau đó kiểm tra điều kiện f(x) 0 thấy thoả mãn, kết luận đó là nghiệm phơng trinh. ở (*) cũng vậy , mặc dù đơn giản nhng học sinh cũng hay quên điều kiện f(x) hoặc g(x) không âm. Bài tập áp dụng: giải phơng trình: 1. xxx =++ 242 2 . 2. 2193 2 =+ xxx . 3. xxx 224 2 =++ . 4. xx x x = 123 23 2 . 3 II. Dạng 2 : )()()( xhxgxf =+ Ph ơng pháp giải dạng này là : tìm tập xác định của phơng trình đã cho rồi bình phơng hai vế ,thu gọn để quy về dạng I. Khi gặp phơng trình dang: )()()( xhxgxf = học sinh thờng mắc sai lầm là: sau khi tìm tập xác định của phơng trình đã cho đem bình phơng hai vế , thu gọn để quy về dạng I. Trờng hợp này rất nhiều khi ta thu đợc phơng trình hệ quả( Do cha chắc đã có: 0)()( xgxf với mọi x thuộc tập xác định của phơng trình). Giáo viên cần lu ý học sinh điều này. Ta nên hớng dẫn học sinh chuyển )(xg sang vế phải để quy về dạng 2. Ví dụ: giải phơng trình: xxx 2114 =+ HD: Pt có tập xác định là: D= 2 1 ;4 Ta có: xxx 2114 =+ ( ) 0 )21)(1(12 2 1 )21)(1(12 )21)(1(2324 2114 2 = =+ =+ +=+ +=+ x xxx x xxx xxxx xxx Vậy nghiệm phơng trình là x=0. Bài tập áp dụng: giải phơng trình: 1. 2173 =++ xx 2. 94343 +=++ xxx 4 xxx =+ 7823 III/ Dạng 3: Dùng tính chất của hàm số: Cơ sở lý thuyết: Cho f xác định trên D = (a ;b) f tăng (đồng biến) khi 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( )x x D x x f x f x < < f giảm (nghịch biến) khi 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( )x x D x x f x f x < > Định lý: Nếu f có đạo hàm trên D = (a , b) và f không phải là hằng số thì: , ( ) 0,f x x D f tăng trên D. , ( ) 0,f x x D f giảm trên D. Tính chất: Nếu f đơn điệu thì phơng trình f(x0 = 0 có tối đa một nghiệm và nếu chỉ ra đợc nghiệm thì đó chính là nghiệm duy nhất. Từ đó ta có ứng dụng để giải phơng trình hoặc chứng minh sự tồn tại nghiệm. Cách giải: Các vế của phơng trình thờng chứa các hàm số một biến. Tính chất của hàm số không thể không ảnh hởng tới cách giải các bài toán đặt ra. Trong nhiều trờng hợp, việc sử dụng các tính chất của hàm số giúp ta tìm đợc cách giải hợp lý và hiệu quả. *Chú ý: -Trong nhiều trờng hợp HS sau khi nhẩm đợc nghiệm thì vội vàng kết luận tính duy nhất của nghiệm, mà quên đi cơ sở kết luận nghiệm phải dựa vào tính chất của hàm số có mặt trong bài toán đó. -Ta có thể lập bảng biến thiên để giải quyết bài toán dễ dàng hơn. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2 2 15 3 2 8x x x+ = + + Giải: Ta viết lại phơng trình: Và 2 2 15 8x x+ > + nên 2 3 2 0 3 x x > > Phơng trình: 2 2 15 8 3 2 0x x x+ + + = (*) Xét 2 2 2 ( ) 15 8 3 2, 3 f x x x x x= + + + > 2 2 , 2 2 2 2 15 8 ( ) 3 . 3 0 15 8 15. 8 x x x x f x x x x x x + + = = < + + + + nên f nghịch biến. Hơn nữa f(1) = 0 Do đó (*) ( ) (1) 1f x f x = = 5 Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 1 Ví dụ 2: Tìm a để phơng trình có nghiệm: 2 2 1 1x x x x a+ + + = Giải: Xét y = f(x) = 2 2 1 1x x x x+ + + , D = R thì f là hàm lẻ. Ta có : , 2 2 1 2 1 2 1 3 2. 1 ( ) 2 4 x x y x x x + = + + + Đặt 2 , 3 2 2 ( ) , 0 3 4 3 4 ( ) 0 3 ( ) 4 t g t t t g t t = + = > + nên g đồng biến. Mà , 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 x x g x g x y+ > + > > Bảng biến thiên: x 0 + , y + y 1 -1 Vậy điều kiện để PT có nghiệm là 1a < Ví dụ 3: Giải phơng trình: 11 3 2 9 7 2x x x x+ = + HD: Với phơng trình vô tỷ này ta có thể chuyển vế, bình phơng rồi khử dấu căn nh cách thông thờng. Tuy nhiên, nếu ta chú ý đến miền xác định của các hàm số 2y x= và 2y x= ta thấy ngay phơng trình đã cho chỉ xác định với x = 2. Hơn nữa, x = 2 thoả mãn PT. Vậy nghiệm của PT là x = 2. 6 Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 3 2 2 1x x+ + = HD: Đây là một ví dụ về phơng trình vô tỉ mà có thể dùng cách giải thông thờng là bình phơng 2 vế để khử căn. Tuy nhiên ta không vội làm điều đó mà để ý rằng: để PT có nghĩa thì 3 3 3 3 3 3 2 0 2 2 4 2 2 2 2 2 1 x x x x x x + + + + > Vậy PT vô nghiệm. Ví dụ 5: giải phơng trình 2 12 1 36x x x+ + + = Giải. Nếu ta bình phơng để khử căn thức thì sẽ đợc một phơng trình bậc 4 đầy đủ, việc giải nó rất phức tạp, nên ta tìm cách giải khác. Trớc hết ta để ý rằng x = 3 nghiệm đúng phơng trình. Nhng khác với các ví dụ trớc, hàm số ở vế trái 2 12 1x x x+ + + không phải là hàm đơn điệu trong miền xác định của nó: [ ) 1; . Tuy nhiên nếu ta xét khoảng ( ) 0;+ Thì vế trái là hàm số đơn điệu tăng do đó x= 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho trong khoảng ( ) 0;+ . Bây giờ ta xét đoạn [ ] 1;0 . Ta có với x [ ] 1;0 thì 2 0x x+ < , 12 1 12x + vế trái 2 12 1 12 36x x x+ + + < < nên phơng trình không có nghiệm trong đoạn [ ] 1;0 . Đáp số: x=3. Ví dụ 6: giải phơng trình: a) 3123 =+ xx b) xxx 2114 =+ HD: a) Pt đã cho có tập xác định là: D= [ ) + ;1 . Ta dễ kiểm tra hàm 123)( += xxxf đồng biến trên D. Mà f(2)=3. Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=2. b) Pt đã cho có tập xác định là: D= 2 1 ;4 . Ta dễ kiểm tra hàm xxxf += 14)( đồng biến trên D, hàm g(x)= x21 nghịch biến trên D . Mà f(0)=g(0). Do vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=0. Bài tập áp dụng: giải phơng trình: 7 1. 444 =++ xx . 2. 52314 =++ xx . 3. xxx 2532 =+ IV.Dạng 4: đặt ẩn phụ quy về phơng trình bậc hai Ví dụ: giải phơng trình: a. ( ) 732233 2 2 +=+ xxxx . b. 253294123 2 ++=+ xxxxx . c. 1)3(13 22 ++=++ xxxx . HD: a. Đặt y= )0(73 2 + yxx .Ta đợc pt: y 2 -y-20 = 0 Nghiệm y = -4 bị loại.Với y = 5 ta tìm đợc các nghiệm x = 6 ; x = -3. b. Đặt y= 123 + xx (y > 0). Ta thấy y 2 =4x-3+2 253 2 + xx Ta đợc phơng trình : y 2 -y-6=0 = = 2 3 y y Nghiệm y=-2 bị loại. Với y=3 ta đợc 3123 =+ xx .Trong phần dùng tính đơn điệu của hàm số ta đã tìm đợc nghiệm duy nhất của pt này là x = 2. Vậy pt ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2. c. Phần này phép đặt ẩn phụ ở phần này đợc gọi là không hoàn toàn.Cụ thể nh sau : Đặt y= )1(1 2 + yx . Ta đợc phơng trình : y 2 -(x+3)y+3x=0 = = xy y 3 Với y=3 ta đợc : = = =+ 22 22 31 2 x x x 8 Với y=x ta đợc : =+ =+ 22 2 1 0 1 xx x xx . PT vô nghiệm. Vậy nghiệm của pt đã cho là : = = 22 22 x x Bài tập áp dụng: giải phơng trình: 1. (x+5)(2-x)=3 xx 3 2 + . 2. 431132 22 +=++ xxxx . 3. 211 4 2 4 2 =++ xxxx . 4. 2 221)2)(1( xxxx +=+ . 5. 16212244 2 +=++ xxxx . 6. xxxx +=+ 1 3 2 1 2 . 7. 3522163132 2 +++=+++ xxxxx . 8. x+ 22 4324 xxx += . 9. (4x-1) 1221 22 ++=+ xxx . 10. 2(1-x) 1212 22 =+ xxxx . V. Dạng 5: các pt vô tỉ quy về pt chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: giải phơng trình: 21212 =++ xxxx . HD: Nhân cả hai vế của phơng trình với 2 ta đợc: 1 2 1 0112121112 21121122112112 2)112()112(212221222 22 = =++=++ =++=++ xxxx xxxx xxxxxx Bài tập áp dụng: giải phơng trình: 1. 275232522 =++++ xxxx . 2. 11 4 5 1 4 5 2222 +=++ xxxxx . 9 3. 2 5 122122 + =++++++ x xxxx . 4. 41268231243221222 =+++ xxxxxx . VI. Dạng 6: giải pt vô tỉ bằng phơng pháp nhân liên hợp. Ví dụ: giải phơng trình: 5 3 2314 + =+ x xx . Nếu ta dùng phép bình phơng để khử căn thì ta thu đợc pt vẫn còn rất phức tạp, không quy đợc về các dạng quen thuộc. Khi đó giáo viên cần hớng dẫn học sinh tìm tòi xem các số liệu trong bài toán có gì đặc biệt. Trong bài tập này ta thấy (4x+1)-(3x-2)=x+3. Do đó ta nghĩ đến việc nhân cả hai vế của pt với liên hợp của vế trái. Lu ý khi nhân cả hai vế của pt với u(x) ta cần quan tâm xem liệu u(x) có luôn khác 0 trên tập xác định của pt hay không. Nếu có ta phải xét riêng trờng hợp này. HD: Pt có tập xác định D = + ; 3 2 .Ta thấy Dxxx ++ 02314 . Do vậy pt đã cho tơng đơng với: 5(x+3)=(x+3) )2314( ++ xx 52314 =++ xx (Vì x+3 )0 Dx . Bằng phơng pháp dùng tính đơn điệu của hàm số ta tìm đợc nghiệm duy nhất của pt là x=2. Bài tập áp dụng: giải phơng trình: 1. 62)22(3 ++=+ xxx . 2. 113 103 3 += + x x x . 3. 2 2 )11(2 2 2 x xx ++ = . 4. 4(x+1) 2 =(2x+10)(1- )23 x + 2 . VII. Dạng 7: phơng pháp lợng giác hoá. Ví dụ: giải phơng trình: 23 134 xxx = HD: Pt đã cho có tập xác định là: D=[-1;1]. Đặt x=cost , ( ];0[ t ) 10 [...]... chú ý phân tích kỹ giúp học sinh tránh sai lầm này c x 2 + 2 x + m 3 2 x x 2 = m 2 có 4 nghiệm phân biệt HD : Pt có tập xác định là [-3 ;1] Đặt y = x -3 3 2x x 2 -1 2 Ta có bảng : 1 y 0 0 19 Ta đợc pt ẩn y : 3-y2 + my = m2 y 2- my + m2 -3 = 0 Đặt f(y)= y 2- my + m2 - 3 Từ bbt ta thấy pt ban đầu có 4 nghiệm khi và chỉ khi f(y) có hai nghiệm phân biệt thuộc [0 ;2) Điều kiện cần và đủ là : > 0 1 f... Dấu bằng xảy ra x= 31 (4 x).11 2 = (x + 5).20 2 Bài tập áp dụng: giải phơng trình: 1 4 x 1 + 4 x 2 1 = 1 2 6 x + x 4 = x 2 10 x + 27 3 x 4 2 x 2 x 2 2 x +16 + 2 x 2 6 x + 20 = 0 4 x 2 + 15 = 3 x 2 + x 2 + 8 5 5 x 2 10 x + 1 x2 = 2 x + 6 x 11 XI Dạng 11: các pt vô tỉ có chứa tham số Đối với các pt vô tỉ có chứa tham số ta thờng gặp các loại câu hỏi sau: 17 +) Tìm m để pt có nghiệm... 1)( x 1 0 += x =1 = 2 x 0 ( x 1) = (3 x + x 1)( 1) + Thay các giá trị x = 0 ; x =-1 vào pt ban đầu ta thấy chỉ có x =-1 là thoả mãn Vậy nghiệm pt ban đầu là x =-1 Bài tập áp dụng: giải phơng trình: 1 3 x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 2 3 1+ x +3 1 x = 2 IX Dạng 9: đặt ẩn phụ đa về hệ Ví dụ: giải phơng trình: a x2 + x + 5 = 5 ( Dạng tổng quát là: b x 3 + 2 = 33 3 x 2 c 3 2 x = 1 x 1 d 4 x... khi lập bảng biến thiên ở các chứa tham sô các em tính các nhánh vô cực nhiều khi còn khó khăn *) Thuận lợi : chuyên đề này kiến thức không trìu tợng, có thể nói là khá dễ dạy, học sinh dễ thu lợm đợc các dạng cơ bản 2 Một số quan điểm khi dạy học phần này : Dạy cho đối tợng đại chà những dạng cơ bản, cho học sinh khá giỏi cả chuyên đề Chú ý rèn kĩ năng tính toán cho học sinh Đối với học sinh lớp... 1 12 x 0 1 21 Với y=-x ta đợc : x + 5 x = 2 x= x x 5= 0 2 x 1 1+ 17 Với y=x+1 ta đợc: x + 5 = x 1 + 2 x= x + x 4= 0 2 Vậy pt dã cho có hai nghiệm: b Đặt y = 3 3x 2 x1 = 1 21 2 ; x2 = 1 + 17 2 x 3 + 2 = 3 y Ta đợc hệ đối xứng loại 2 : y 3 + 2 = 3x Sau khi giải hệ này ta thu đợc các nghiệm của hệ :(1 ; 1) ; (-2 ;-2 ) Vậy pt đã cho có hai nghiệm : x1=1 ; x2 =-2 c Đặt u =3 2x ;v= v ... hàm u(x)= 2x-x2 trên khoảng (0 ;1) ta đợc tập giá trị của y trên (0 ;1) cũng là (0 ;1) Ta đợc pt : y2+y = 1-m (*) Pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm trên (0 ;1) Xét hàm f(y) = y2+y trên (0 ; 1) Ta thấy f(y) đồng biến trên (0 ;1) , do vậy f (0) < f ( y ) < f (1) , y (0;1) hay tập giá trị của f(y) trên (0 ;1) là (0 ;2) Vậy pt ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi : 0< 1-m 1 hoặc m . là [-3 ;1]. Đặt y = 2 23 xx . Ta có bảng : x -3 -1 1 y 2 0 0 19 Ta đợc pt ẩn y : 3-y 2 + my = m 2 y 2 - my + m 2 -3 = 0. Đặt f(y)= y 2 - my + m 2 - 3. += . 9. (4x-1) 1221 22 ++=+ xxx . 10. 2(1-x) 1212 22 =+ xxxx . V. Dạng 5: các pt vô tỉ quy về pt chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: giải phơng trình: 21212