Chuyên đề chuyên môn: Phương trình . ..

Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2 PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong thời kì cả nước đang tiến nhanh trên con đường công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước. Song song với sự phát triển mạnh mẽ về các lĩnh vực kinh tế, xã hội, công nghệ thông tin,… Sự nghiệp giáo dục cũng đang được đổi mới và phát triển không ngừng, nhất là đổi mới về phương pháp dạy học (PPDH) - một vấn đề đang được đề cập, nghiên cứu và bàn luận sôi nổi. Đặc biệt, đối với bộ môn toán là một bộ môn khoa học trừu tượng nhưng có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc đổi mới PPDH nói chung và dạy toán trong nhà trường THCS nói riêng đã được định hướng pháp chế hoá trong luật giáo dục đó là: “PPDH phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS, phù hợp với đặc điểm của từng lớp, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho HS,…”. Giúp HS hướng tới học tập chủ động, sáng tạo, chống lại thói quen học tập thụ động vốn có của đa số HS trong nhà trường THCS. Trong quá trình giảng dạy việc đánh giá chất lượng, năng lực tư duy, hay khả năng tiếp thu kiến thức của HS đối với bộ môn toán chủ yếu thông qua giải bài tập. Thông qua việc giải bài tập nhằm củng cố hoàn thiện kh¾c sâu nâng cao (mức độ cho phép) những nội dung kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, thuật giải, nguyên t¾c giải toán. Đối với HS lớp 9 ngoài việc truyền đạt cho HS những kiến thức, kĩ năng toán học theo yêu cầu của nội dung chương trình giáo khoa đại trà chúng ta còn rất cần đầu tư bồi dưỡng cho một bộ phận HS khá, giỏi đây là một việc rất cần thiết và phải được tiến hành thường xuyên ở trong các nhà trường thcs. Nhằm tạo điều kiện để cho HS phát huy được năng lực trí thông minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dưỡng đội ngũ HSG các cấp, phát triển nhân tài cho đất nước. Một trong những vấn đề kiến thức quan trọng đối với HS lớp 9 cần nắm vững đó là giải bài tập về “Giải phương trình” nhưng nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 9 môn đại số mới chỉ quan tâm hướng dẫn HS cách giải phương trình bậc hai, những phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải còn ít dạng, bài tập còn ít và dễ 1 Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2 do các yêu cầu về nội dung chương trình khung của Bộ giáo dục đào tạo đã đề ra. Chưa đáp ứng được yêu cầu học tập nâng cao tri thức kĩ năng của những em HS có năng lực học tập khá, giỏi. Vì vậy, chúng ta cần quan tâm đến việc hướng dẫn, bồi dưỡng cho HS lớp 9 cách giải các phương trình có thể quy về phương trình bậc hai. Những phương trình quy về phương trình bậc hai này không mới, nhưng nó có thể mới với nhiều thầy cô, nhất là đối với các em HS. Bởi vì dạy giải những phương tr×nh quy về phương trình bậc hai là vấn đề dạy giải các bài tập có đặc thù riêng. Lí thuyết chỉ dạy về phương trình bậc hai nhưng ở đây dạy giải những phương trình ở các dạng khác có thể đưa về phương trình trung gian là những phương trình bậc hai thường gặp trong chương trình lớp 9, những bài toán hay và khó đặc biệt thường gặp trong việc thi chọn HSG, thi vào trường chuyên. Về hệ thống bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai trong SGK và SBT có nhiều đề cập tới nhưng chưa nhiều, chưa đa dạng, chưa có sự hướng dẫn cụ thể nên chưa thực sự thuận lợi cho người dạy và người học tiếp thu và nghiên cứu. Với sự xác nhận đúng đắn mục tiêu, nội dung chương trình dạy học của môn Đ¹i số 9. Kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp, tổ khoa học tự nhiên trường THCS Yên Bình xây dựng chuyên đề “Hướng dẫn HS giải một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai”. Chuyên đề này hi vọng có thể làm tài liệu nghiên cứu, tham khảo cho GV và HS, giúp người thầy đổi mới PPDH, giúp các em HS tự tin và thêm yêu môn toán và học toán ngày càng có kết quả tốt hơn. II. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. MỤC TIÊU: -Về giáo dục: Đóng góp tích cực vào việc cải tiến, đổi mới phương pháp là phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của HS. -Về toán học: Góp phần rèn luyện các hoạt động trí tuệ của HS như phân tích, tổng hợp, so sánh Tạo cho HS niền hứng thú say mê tìm tòi khai thác khám phá những vấn đề mới trong toán học. Đóng góp một phần vào nguồn tư liệu tham khảo tri thức toán học. 2 Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2 -Về chuyên đề: Nhằm hệ thống hoá, phân loại các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. Giúp HS biết cách giải một số dạng phương trình đặc biệt, thường gặp bằng cách quy về phương trình bậc hai. Từ đó thấy được cái hay cái đẹp của toán học nói chung và bộ môn đại số nói riêng. 2. NHIỆM VỤ: Với mục đích là hướng dẫn HS cách giải phương trình quy về phương trình bậc hai nên xuyên suốt quá trình nghiên cứu nhiệm vụ được đề ra như sau: - Trên cơ sở những bài tập trong SGK, nghiên cứu tham khảo thêm các tài liệu, sách bồi dưỡng để hệ thống, tìm tòi bổ sung thêm một số dạng bài tập, để sắp xếp ra thành hệ thống bài tập cho phần dạy phương trình quy về phương trình bậc hai, sử dụng bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho HS THCS. - Nghiên cứu xác định nội dung kiến thức cơ bản cần thiết để giảng dạy. - Dựa vào căn cứ yêu cầu, lựa chọn hệ thống bài tập phục vụ cho việc giảng dạy nói chung. - Nghiên cứu tìm ra phương pháp giải cơ bản, dễ hiểu khoa học, chính xác mẫu mực cho HS noi theo. - Rèn luyện cho HS nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo. Cũng thông qua đó giáo dục cho HS giá trị đạo đức, tư tưởng, lối sống phù hợp với mục tiêu, giúp trau dồi cho các em các kiến thức phổ thông cơ bản gắn với cuộc sống cộng đồng và thực tiễn địa phương, có kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống giải quyết một số vấn đề thường gặp trong cuộc sống của bản thân, gia đình và cộng đồng. Đồng thời giúp các em tự tin giải toán trong các kì thi cử. 3. PHƯƠNG PHÁP: Trong quá trình nghiên cứu chuyên đề “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai”, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp sau: - Nghiên cứu lí luận - Tham khảo thu thập tài liệu 3 Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2 - Thông qua các hoạt động học tập của HS “Cách tốt nhất để hiểu là làm” (theo Kant). Tự lực khám phá những điều mình chưa biết làm phát huy tính tích cực chủ động của HS. - Phân tích tổng kết kinh nghiệm. - Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra kết quả HS, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, theo dõi quá trình học tập tiếp thu kiến thức của HS, từ đó điều chỉnh và sử dụng linh hoạt các PPDH. - Trưng cầu, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhất là những GV trực tiếp giảng dạy toán lớp 9 để hoàn thiện thêm kiến thức, phương pháp. III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. ĐỐI TƯỢNG: HS lớp 9 - Trường THCS Yên Bình – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc. 2. PHẠM VI: - Giới hạn ở vấn đề hướng dẫn HS giải các phương trình cơ bản, một số phương trình bậc cao (một số dạng đặc biệt, thường gặp trong chương trình THCS) có thể quy được về phương trình bậc hai để giải. - Chuyên đề cũng chỉ đề cập nghiên cứu đối với các phương trình một ẩn số. 4 Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2 PHẦN THỨ HAI: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ A. CƠ SỞ LÍ LUẬN: Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói riêng con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng những tri thức đó trong cuộc sống hằng ngày. Muốn có những tri thức đó con người cần phải học mà nhà trường là nơi cung cấp hành trang đó. Nếu “Toán học là một môn thể thao của trí tuệ” thì công việc của người dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào thuận lợi hơn môn toán trong công việc đầy hứng thú và khó khăn ấy. Trong chương trình toán THCS, với sự đa dạng của các loại phương trình thì việc hệ thống, tổng hợp, xâu chuỗi, phân loại các dạng phương trình là rất cần thiết và là một vấn đề rất quan trọng. Với thời lượng ít ỏi dành cho một tiết luyện tập thì việc hướng dẫn cho HS cách giải phương trình quy về phương trình bậc hai là rất khó khăn. Vì vậy giáo viên thường ít quan tâm hướng dẫn HS giải phương trình quy về phương trình bậc hai đặc biệt là các phương trình bậc cao, phương trình có dạng đặc biệt. Qua quá trình công tác, giảng dạy và bồi dưỡng HSG tôi thấy: Đa số HS biết rất ít các dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải. Từ đó dẫn đến không hứng thú, thậm trí còn ngại và “sợ” khi gặp dạng toán giải phương trình. HS yếu toán nói chung và yếu giải phương trình, đặc biệt là yếu về giải phương trình quy về phương trình bậc hai nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập. Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao. Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố và khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới. Do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết. 5 Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2 Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc hệ thống, hướng dẫn HS giải các loại phương trình quy về phương trình bậc hai. Việc tổng hợp, hệ thống hoá được các loại phương trình quy về phương trình bậc hai và hướng dẫn HS giải sẽ giúp cho HS nẵm vững được một dạng bài tập toán quan trọng trong chương trình toán THCS, nhất là với HS lớp 9 chuẩn bị thi vào lớp 10. Quan trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán. Trước thực trạng trên đòi hỏi người giáo viên phải hướng dẫn HS giải và hệ thống được các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai để khắc phạc các điểm yếu của HS, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, đáp ứng yêu cầu và mục tiêu giáo dục. B. NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ: I. CÁC YÊU CẦU VÀ CĂN CỨ LỰA CHỌN HỆ THỐNG BÀI TẬP: 1. Các yêu cầu của việc lựa chọn hệ thống bài tập: 1.1. Hệ thống bài tập đưa ra phải đầy đủ, hợp lí, phải làm cho HS nắm vững bản chất các kiến thức đã học, rèn luyện cho HS khả năng độc lập trong suy nghĩ, sáng tạo và khả năng suy luận. - Hệ thống bài tập đầy đủ là hệ thống không những đầy đủ về nội dung mà còn phải đầy đủ về loại hình. - Các bài tập đưa ra cả đơn giản lẫn phức tạp. Có bài thuần tuý toán học và có cả những bài mang nội dung thực tế. 1.2. Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính mục đích của việc dạy học. - Hệ thống bài tập chọn phải củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản - vì kiến thức cơ bản là cơ sở để giải quyết nh÷ng vấn đề có liên quan. Có nắm vững kiến thức cơ bản mới có hướng để vận dụng vào thực tế giải bài tập. - Hệ thống bài tập phải đảm bảo trang bị kiến thức cho HS một cách có hệ thống, chính xác. Góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho HS. 6 Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2 - Hệ thống bài tập chọn phải có tác dụng giáo dục tư tưởng cho HS, giúp HS thấy rõ vai trò của toán học với thực tiễn, làm cho HS yêu thích và có hứng thú học tập đối với môn toán. 1.3. Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu vừa sức, phù hợp với đối tượng HS. Phải làm cho HS thấy cần thiết và có khả năng giải các bài tập đã ra. Nếu ra bài tập quá khó sẽ gây tâm lí lo ngại cho HS. Vì vậy, khi ra bài tập để áp dụng cho phù hợp, chúng ta có thể chia ra thành 3 loại bài tập sau: Loại 1: Bài tập có tính chất củng cố lí thuyết. Loại bài này đòi hỏi tư duy ít phức tạp. Loại bài tập này nên ra với HS trung bình, yếu. Loại 2: Bài tập có sự vận dụng bước đầu các hình thức tư duy, áp dụng lí thuyết có tính chất phức tạp không nhiều nhưng cũng không quá đơn giản. Loại này thường ra với HS trung bình, khá. Loại 3: Loại bài tập có tính phức tạp hơn, đòi hỏi các thao tác tư duy khéo léo, mềm dẻo hơn, sử dụng lí thuyết phức tạp thường là không trực diện. Loại bài này thường ra đối với đối tượng HS khá, giỏi, HS lớp chọn, lớp chuyên. 1.4. Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu cân đối: Cân đối về thời gian với hoàn cảnh, quy định của chương trình, nhưng sao cho học sinh phải nỗ lực mới hoàn thành được. Đồng thời nên giao cho HS những bài tập có gắn với thực tiễn (Ví dụ như bài toán về dân số, lãi suất, năng suất công việc,…). 1.5. Phải phát huy được năng lực tư duy của HS, lựa chọn những loại bài tập mà HS phải tư duy suy nghĩ, tìm tòi mới ra hướng giải. 2. Các căn cứ lựa chọn hệ thống bài tập: 2.1. Căn cứ vào mục đích dạy học: Với bài tập về phương trình bậc hai giúp HS giải tốt phương trình bậc hai, biết cách đưa các phương trình bậc cao hoặc các dạng khác về phương trình bậc hai trung gian. Bồi dưỡng cho HS những kỹ năng và thói quen giải bài toán trong thực tế. Giúp cho HS phát huy, phát triển tư duy ở khía cạnh tính toán biến đổi, có những thao tác tư duy mềm dẻo. 7 Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2 2.2. Dựa vào tình hình dạy và học ở trường THCS: - Dựa vào tình hình dạy và học ở trường THCS về năng lực nổi lên rất rõ: số HS học chuyên, chăm chỉ chiếm tỉ lệ không lớn, số HS khá giỏi không nhiều. Hơn nữa ở những nơi có điều kiện tự học và học thêm thì có chất lượng học tập cao hơn. - Căn cứ vào thực tế dạy học phần này ở THCS chưa nhiều. Đội ngũ GV chưa được nghiên cứu thường xuyên. - Về hệ thống bài tập của SGK, SBT chưa đáp ứng được nhu cầu học tập, giảng dạy của GV và HS. Khi soạn giảng phần này đòi hỏi GV phải tự tìm tòi tài liệu, biên soạn lấy bài tập vì thế nội dung giảng dạy chưa thống nhất chung được. - SGK và chương trình hiện hành đã đưa ra cho HS một số loại phương trình quy về phương trình bậc hai nhưng mới chỉ dừng lại ở việc nhận dạng, biết giải các phương trình đơn giản ở diện HS đại trà. - Căn cứ vào tình huống dạy học: Bài tập của mỗi tiết học phải đảm bảo phù hợp với đặc điểm của tiết học ấy. Chẳng hạn mới học xong lí thuyết ta có thể đưa ra cho HS những bài tập áp dụng đơn giản trực tiếp về những phương trình có thể quy về phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình trùng phương, phương trình vô tỷ II. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT 1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ. 2. Các quy tắc tính toán, biến đổi biểu thức đại số. 3. Kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử. 4. Hai quy tắc cơ bản biến đổi tương đương phương trình: a, Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. b, Quy tắc nhân với một số: -Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. -Hoặc: Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0. *Chú ý: Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với một số, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. 8 Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2 5. Các phép biến đổi phương trình khác: Muốn giải phương trình, ta phải biến đổi phương trình đó thành các phương trình tương đương với nó. Tuy nhiên, nhiều khi để giải phương trình, ta phải thực hiện những phép biến đổi khác. Do đó cần chú ý có những phép biến đổi có thể làm mất nghiệm hoặc làm xuất hiện thêm nghiệm (nghiệm ngoại lai) của phương trình. Các phép biến đổi không tương đương đó cùng với cách giải quyết được hệ thống ở bảng sau: Những phép biến đổi không tương tương Cách giải quyết Phép biến đổi có thể làm xuất hiện nghiệm ngoại lai Bỏ đi ở 2 vế của phương trình cùng một phân thức mà mẫu chứa ẩn Phải đặt ĐK cho phân thức có nghĩa (tìm ĐKXĐ của phương trình), hoặc thử lại giá trị tìm được của ẩn Nhân 2 vế của phương trình với cùng một đa thức chứa ẩn Phải đặt ĐK cho đa thức khác 0, hoặc thử lại giá trị tìm được của ẩn Bình phương (hoặc lấy luỹ thừa chẵn) 2 vế của phương trình Phải thử lại giá trị tìm được của ẩn Phép biến đổi có thể làm mất nghiệm Chia 2 vế của phương trình cho cùng một đa thức chứa ẩn Phải đặt ĐK cho đa thức khác 0, rồi xét trường hợp đa thức bằng 0, hoặc đưa về phương trình tích Bỏ luỹ thừa chẵn (hoặc khai căn bặc chẵn) của phương trình dạng [f(x)] 2n = [g(x)] 2n thành f(x) = g(x) Phải thay bằng 2 phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x =   = −  , hoặc đưa về phương trình tích. 6. Kĩ năng giải phương trình dạng ax + b = 0 và phương trình bậc hai một ẩn. 7. Phép biến đổi, đặt ẩn phụ với biểu thức đại số và khi giải phương trình. III. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP CÓ THỂ QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 9 Hướng dẫn HS giải một số dạng PT quy về PT bậc 2 Ta thường gặp một số dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải sau đây: Dạng 1. Phương trình tích. Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Dạng 3. Phương trình trùng phương. Dạng 4. Phương trình dạng: a[f(x)] 2 + bf(x) + c = 0 hoặc ( ) ( ) . . 0 ( ) ( ) f x g x a b c g x f x + + = . Dạng 5. Phương trình dạng (x + a) 4 + (x + b) 4 = c. Dạng 6. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, trong đó: a+b = c+d, m ≠ 0. Dạng 7. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx 2 , trong đó: ab = cd, m ≠ 0. Dạng 8. Phương trình đối xứng Dạng 9. Phương trình hồi quy. IV. CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: 1. Phương trình tích : là phương trình có một vế bằng không, vế còn lại là một tích của các nhân tử chứa ẩn. 1.1. Cách giải: Áp dụng công thức: 1 2 1 2 ( ) 0 (1) ( ) 0 (2) ( ). ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) n n A x A x A x A x A x A x n =   =  = ⇔   =  (Trong đó: 1 2 ( ), ( ), , ( ) n A x A x A x là các đa thức bậc không lớn hơn 2). Ta giải n phương trình (1), (2), . . ., (n) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng. 1.2. Ví dụ 1 (Bài 36, trang 56 SGK Toán 9): Giải các phương trình a) (3x 2 - 5x + 1)(x 2 - 4) = 0 b) (2x 2 + x - 4) 2 = 4x 2 – 4x + 1 Giải: a) (3x 2 - 5x + 1)(x 2 - 4) = 0 2 2 x - 4 = 0 3x - 5x + 1 0  ⇔  =  ⇔      ± = ±= 6 135 2 x x 10 [...] .. . 9- NXBGD Sách bài tập đại số lớp 9- NXBGD Sách giáo viên đại số lớp 9 _ NXBGD Một số vấn đề phát triển đại số lớp 9 NXBGD Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS _ Đại số Một số bộ đề thi học sinh giỏi cấp thị , cấp tỉnh Sách bồi dỡng học sinh khá giỏi đại số 9 NXBGD Một số tạp chí toán học khác Một số vấn đề đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng THCS 26 .. . 20 Hng dn HS gii mt s dng PT quy v PT bc 2 y2 + (a + b + c + d)x + (a + b)(c + d) m = 0 l phng trỡnh bc hai n y d dng lm tip 7.2 Vớ d: Gii phng trỡnh sau (x 3)(x 9)(x + 4)(x + 12) = 147x2 Gi ý: Chỳ ý: - 3.1 2 = - 9.4 = -36 lm tip theo cỏch trờn 8 Phng trỡnh i xng: 8.1 nh ngha: -Phng trỡnh i xng bc 3 l phng trỡnh cú dng ax3 + bx2 + bx + a = 0 (a 0) -Phng trỡnh i xng bc 4 l phng trỡnh cú dng ax4+bx 3.. . Phng trỡnh dng: a[f(x)]2 + bf(x) + c = 0 (hoc a f ( x) g ( x) + b + c = 0 ) vi a 0: g ( x) f ( x) 4.1 Cỏch gii: +Tỡm KX ca phng trỡnh (nu cn) f ( x) +t f(x) = t (hoc tng ng g ( x) = t) Ta cú phng trỡnh: at2 + bt + c = 0 (**) +Gii phng trỡnh (**) bc hai (n t) +Tr bin v gii tip phng trỡnh f(x) = t ri kt lun 4.2 Vớ d: Gii cỏc phng trỡnh sau: a, 3( x 2 + x)2 - 2( x 2 + x) - 1 = 0 b, ( x 2 - 4 x + 2)2 + x .. . a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, trong ú a+b = c + d v m 0 6.1 Cỏch gii: -Vỡ a + b = c + d nờn ta t: x2 + (a + b)x = x2 + (c + d)x = y - Khi ú, phng trỡnh ó cho cú dng: (y + ab)(y + cd) = m (*) - Gii phng trỡnh (*), ((*) l phng trỡnh bc hai ca y) - Vi mi giỏ tr tỡm c ca y, thay vo x2 + (a + b)x = y ri tip tc gii cỏc phng trỡnh bc hai n x v i n kt lun 6.2 Vớ d: Gii cỏc phng trỡnh sau a, (x + 4)(x + 5)(x +.. . dng phng trỡnh thng gp trong chng trỡnh toỏn THCS 2.1 Cỏch gii: Khi gii phng trỡnh cha n mu, ta thng gii theo 4 bc sau: Bc 1 Tỡm iu kin xỏc nh (KX) ca phng trỡnh; Bc 2 Quy ng mu thc hai v ri kh mu thc; Bc 3 Gii phng trỡnh nhn c; Bc 4 Kt lun: Trong cỏc giỏ tr tỡm c ca n, loi cỏc giỏ tr khụng tho món KX, cỏc giỏ tr tho món KX l nghim ca phng trỡnh ó cho 2.2 Vớ d: Gii phng trỡnh: 3x 1 x2 + 2 = 2 2x 2.. . l phng trỡnh cú dng a nxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0, trong ú: an = a0, an-1 = a1, , v an 0 8.2 Chỳ ý: +Trong phng trỡnh i xng, nu k l nghim thỡ 1 cng l nghim k +Phng trỡnh i xng bc l luụn nhn x = -1 lm mt nghim +Phng trỡnh i xng bc chn (bc = 2m) luụn a c v bc m bng cỏch t n 1 x ph x + = t 8.3 Cỏch gii: Da vo chỳ ý trờn: - gii phng trỡnh i xng bc 3, ta bin i a v phng trỡnh tớch: ax3 + bx 2.. . 0 8.4 Vớ d : Gii phng trỡnh : b, x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0 Hng dn: a, Bin i thnh: (x + 1)(3x2 8x + 3) = 0 (Kt lun: Phng trỡnh cú 3 nghim l x1 = 1; x2;3 = 4 7 ) 3 b, Chia 2 v cho x2 (vỡ x 0), ta c: ( x2 + 1 1 ) 3( x + ) + 4 = 0 2 x x 1 x +t x + = t => x 2 + 1 = t2 2 v ta cú phng trỡnh: 2 x t2 - 3t + 2 = 0 t1 = 1; t2 = 2 (Kt lun: Phng trỡnh cú nghim duy nht x = 1) 9 Phng trỡnh hi quy: 9.1 nh .. . 2 (Kt lun: Phng trỡnh cú nghim duy nht x = 1) 9 Phng trỡnh hi quy: 9.1 nh ngha: Phng trỡnh hi quy l phng trỡnh cú dng: ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0 (vi a.k 0) Nhn xột: Phng trỡnh i xng bc 4 ch l mt dng c bit ca phng trỡnh hi quy (vi k = 1) 9.2 Cỏch gii: -Ta thy x = 0 khụng phi l nghim ca phng trỡnh Chia hai v ca phng trỡnh cho 2 x , ta c: -t t = x + k2 k a ( x + 2 ) + b( x + ) + c = 0 x x 2 k k 2.. . 2 + px + b ax 2 + qx + b Dng 3: cú dng sau : ax 2 + mx + b nx + 2 =0 2 ax + px + b ax + qx + b 2 3 Phng trỡnh trựng phng: 3.1 nh ngha: Phng trỡnh trựng phng l phng trỡnh cú dng ax 4 + bx2 + c = 0, trong ú a, b, c l cỏc s cho trc, a 0 13 Hng dn HS gii mt s dng PT quy v PT bc 2 3.2 Cỏch gii: Khi gii dng phng trỡnh ny, ta thng a v phng trỡnh bc hai bng cỏch t n ph x2 = t (t 0), ta cú phng trỡnh bc hai .. . t t = x + a+b a+b ab ab x+a =t +a=t+ ; x+b =t 2 2 2 2 2 4 a b 2 a b Thay vo v bin i, ta c phng trỡnh: 2t + 12 ữ t + 2 ữ c = 0 2 2 4 õy l phng trỡnh trựng phng n t -> ó bit cỏch gii trờn 5.2 Vớ d: Gii phng trỡnh ( x + 6) 4 + ( x 4) 4 = 82 (1) 64 = x + 1 x + 6 = t + 5; x 4 = t 5 t t = x + 2 Ta cú: ( 1) ( t + 5 ) 4 + ( t 5 ) 4 = 82 2t 4 + 300t 2 + 1250 = 82 2t 4 + 300t 2 + 1168 = . = cd, m ≠ 0. Dạng 8. Phương trình đối xứng Dạng 9. Phương trình hồi quy. IV. CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: 1. Phương trình tích : là phương trình có một vế bằng không,. tập áp dụng đơn giản trực tiếp về những phương trình có thể quy về phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình trùng phương, phương trình vô tỷ II. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN. số loại phương trình khác đã giới thiệu ở trên, số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phương trình bậc hai trung gian. - Phương trình trùng phương (cũng như phương trình bậc