Tích lũy chuyên môn (Phương trình Lượng Giác)

Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. MỘT VÀI CHÚ Ý CHUNG 1. Công thức hay quên:   sin 2 sin k      ,   os +k2 os c c     2. Học thuộc 60 công thức lượng giác: Bắt buộc phải thuộc ở mức độ cao ( Tức là không phải thuộc kiểu học vẹt mà còn phải hình dung được công thức loại này khi vận dụng thì ta được gì? Có phù hợp với bài toán không? Điều đó giúp chúng ta định hướng bài toán tốt hơn). 3. Khi giải phương trình lượng giác cần tạo thói quen suy nghĩ: - Sử dụng 2 quy tắc cơ bản: Biến đổi về cùng góc và cùng hàm số lượng giác (nếu có thể) - Luôn tự đặt câu hỏi: Bài toán thuộc dạng nào đã biết? Nên sử dụng công thức nào? Vì sao? 4. Ví dụ: Giải phương trình: 2 2 3 sin sin 2 2 x x   Thoạt nhìn ta thấy: Biến đổi về cùng góc x tức là phải dùng CT nhân đôi của sin2a = 2 sina.cosa. Sau đó biến đổi về cùng hàm số sinx ta được phương trình bậc 4 trùng phương. Nhưng nếu ta nghĩ tới đưa về cùng góc 2x thì bài toán lại đơn giản hơn??? 5. Phải thấy được đường tròn lượng giác là công thức vạn năng??? 6. II. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1. sin 2 sin 6 x   1 sinx= 2 2 sinx= 3 3 sin3x=- 2 2. sin2x=sinx   0 2 sin 2 30 2 x   3. 2 os2x=1 c sinx-cosx=0 2 tan 1 0 x   4.     sin 2 1 sin 3 x x    sin 3 os2x x c      2 osx-1 2sin 2 2 0 c x   5. 3 3 sin . osx=cos sinx x c x ĐS: 6. tan .tan 5 1 x x  2 2 sin 2 os 2 x x c 7. 2 4sin 1 x  2 2 sin sin 2 1 x x   8. sin 2 .sin 6 osx.cos3x x x c  ĐS: 9. 4 3 sinxcosxcos2x=sin8x ĐS: , 4 24 2 x k x k        10. 4 4 3 sin os 4 x c x   11. 4 4 1 sin os 4 4 x c x           ĐS: , 4 x k x k        12. 4 4 1 sin os 2 x c x   ĐS: 13. sinx+cosx= 2 sin 7 x ĐS: 3 , 24 3 32 4 x k x k         14. sinx+cosx=cos2x ĐS: 3 , 2 , 2 4 2 x k x k x k            15.     2 2 sinx-cosx 1 sinx+cosx   ĐS: 16. Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 2 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - Khi nào giải một bài toán mà thấy khả năng quy về cùng góc và cùng hàm số lượng giác có thể thực hiện được một cách dễ dàng đơn giản thì ta nghĩ tới dạng toán này - Sau khi đưa về dạng bậc cao đối với một HSLG thì việc đặt ẩn phụ là cần thiết nhưng không bắt buộc. - Giải bài toán này cần chú ý loại nghiệm không thỏa mãn - Với những bài toán khó hơn ta dùng pp đổi biến không hoàn toàn - 1. 2 os 3 osx+2=0 c x c ĐS: 2 x k   2. 2 os sin 1 0 c x x    ĐS: 3. 2 2sin 2 5sin 2 3 0 x x    ĐS: 5 , 12 12 x k x k         4. 2 2 3 sin sin 2 2 x x   ĐS: 5. 2 os2x-3cosx=4cos 2 x c ĐS: 6. 2 os2x+2cosx+sin 1 0 c x   ĐS: 2 x k     7. 2 2 2sin 4sin 3 os x x c x   ĐS: 8. os2x+3sinx=2 c ĐS: 5 2 , 2 , 2 2 6 6 x k x k x k             9. t anx+cotx=2 ĐS 10.   2 2sin 2 3 sinx+ 3 0 x    ĐS: 11.   2 4 os 2 3 2 osx- 6 0 c x c    ĐS: 3 2 , 2 6 4 x k x k           12.   2 tan 3 1 t anx+ 3 0 x    ĐS: 3 x k      13. 3 2 3tan tan t anx-1=0 x x  ĐS: 14. 2 3 2 tan 3 osx x c   ĐS: 15.     2 3 cotx 5 3 cotx    ĐS: 16. 4 2 4sin 12 os 7 x c x   ĐS: 4 2 x k     17. 6 6 2 13 cos sin cos 2 8 x x x   DS: , 4 2 6 x k x k          18. 5 5 2 4cos sin 4sin cos sin 4 2 x x x x x    ĐS: 8 2 x k      19. 4 6 os os2x+2sin 0 c x c x   ĐS: x k   20. 6 6 2 2 sin os 1 tan 2 os sin 4 x c x x c x x    ĐS: vô nghiệm vì loại điều kiện 21. 4 4 4 sin 2 os 2 os 4 tan tan 4 4 x c x c x x x                   (ĐHXD-97) ĐS: 2 x k   Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 3 22. 2 3 2 2 os os 1 os2x-tan os c x c x c x c x    ĐS: 2 3 3 x k     23. 2 2 2 2 sin 1 2 os cot sin x c x x x    ĐS: 2 6 3 x k     (kết hợp nghiêm) 24.   4 4 2 2 1 sin cos sin cos sin cos 2 x x x x x x    ĐS: 25.     4 2 sin 2 3 sin sin 2 3 sin 1 0 x x x x      ĐS: 4 x k     HD: C1: Đổi biến không hoàn toàn C2:          2 2 2 2 3 2 1 sin 2 3 sin sin 1 1 0 sin 2 3 sin 2 1 0 4 sin 2 3sin 4 0 sin 2 1 sin 2 1 0 x x x x x x x x x                   26.   4 4 2 2 1 sin os sin . os sinx.cosx 2 x c x x c x   ĐS: , 2 2 x k x k           27.       4 2 sinx - 5 os 4 3sinx-5 os 16 sinx - 1 0 c x c x    ??? 28. IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN, COS Một vài chú ý khi giải phương trình: asinx + bcosx = c - Nắm đặc trưng của phương trình(có hàm số sin, cos cùng góc và phải bậc nhất ) bởi với phương trình loại này nếu nhận dạng sai thì có thể sẽ không giải được hoặc bài giải sẽ dài. - Phương trình này có nghiệm 2 2 2 a b c    . Tính chất này thường áp dụng để giải các bài toán dạng: Tìm m để phương trình có nghiệm, tìm GTLN- GTNN của hàm số… - Bài toán loại này có thể đưa về dạng phương trình đẳng cấp để giải. Chinh vì vậy khi giải toán cần chú ý yêu cầu bài toán để lựa chọn nên đưa về dạng nào cho phù hợp(thông thường nếu yêu cầu biện luận thì ta nên đưa về dạng bậc nhất đối với sinx, cosx) - Loại toán này người ta thường ra dưới dạng hỗn hợp - Làm toán lượng giác luôn tự đặt câu hỏi: Bài toán thuộc dạng nào quen thuộc? Nên vận dụng công thức nào? Vì sao? 1. sinx+cosx=1 ĐS: 2 , 2 2 x k x k       2. sin 3 cos 1 x x   ĐS: 2 , 2 2 6 x k x k          3. 3sinx + 4cosx = 5 ĐS: 4.   1 sinx= 3 3 osx 3 c ĐS: 2 , 2 2 6 x k x k         5. sin cos 2 sin 7 x x x   ĐS: 3 , 24 3 32 4 x k x k         6.   cos7 sin 5 3 cos5 sin 7 x x x x    ĐS: , 12 24 6 x k x k         7. 2sin17 3 cos5 sin 5 0 x x x    ĐS: , 18 6 66 11 x k x k           Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 4 8.   2 sin 2 3cos 2 5 cos 2 6 x x x            ĐS: 7 12 x k     9.   2 2 sin os x osx=3+cos2x x c c (ĐH -00) ĐS: VN HD: Đưa về phương trình theo sin2x, cos2x:   2 sin 2 2 1 os2x=3- 2 x c  10. 2 sin 2 2 os 1 3 x c x   ĐS: 6 2 x k      11.   2 2 2 os os 1 os sin2x 2 c c x c           ĐS: HD: Ta có:     2 2 2 cos sin 2 2 cos cos cos sin 2 cos sin 2 2 x x k x x k Z x x k                     a.)   1 2 4 1 4 1 cos2 2sin 2 4 1 cos2 sin 2 cos 2 5 5 5 5 k k x x k x x x             Phương trình có nghiệm 0 k        2 2 1 os +2x os - 2 2 5 x n c c x k                           b.) Tương tự ta có:     2 os 2x- os - 2 x n c c x n                       12. 3 3sin 3 3 os9x=1+4sin 3 x c x  ĐS: 13. 2 12sin 5cos 2 8 21 x x y y     ĐS: 5 arccos 2 ;2 13 k         14. Tìm GTLN- GTNN của hàm số: osx+2sinx+3 2 osx-sinx+4 c y c  ĐS: 2 axy=2, miny= 11 m 15. Tìm GTLN- GTNN của hàm số: 2 2 os sinxcosx 1 sin c x y x    ĐS: 2+ 6 2 6 axy= ,min 4 4 m y   16. Tìm m để phương trình có nghiệm:   1 osx+2msinx=2 m c ĐS: 3 1, 5 m m    17. Tìm m để phương trình có nghiệm:   2 2 2 os 4 sinxcosx+1=0 m c x m  ĐS: 1 m  18. V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG - Là phương trình có dạng đặc trưng:   sin cos sin cos a x x b x x c    - Đây là loại toán dễ chỉ có điều quá trình giải dài. Nhưng những bài toán dạng phương trình tích sau này quá trình giải sẽ xuất hiện dạng này vì vậy học sinh cần rèn luyên kỹ năng khi giải bài toán dạng này cho tốt - Khi giải bài toán này cần chú ý: sin cos 2 cos ,sin cos 2 sin 4 4 x x x x x x                     - Chú ý loại toán này sau này còn mở rộng ra một số dạng toán tương tụ Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 5 1.   2 cos sin 3sin 2 2 0 x x x     ĐS: 2 , 2 2 x k x k       2. osxsinx+ cosx+sinx 1 c  (không hay) ĐS: 2 x k   3.   3 cos sin 2sin 2 5 0 x x x     ĐS: VN 4. osx- sinx +3sin2x-1=0 c ĐS: 2 , 2 2 x k x k       , 2 4 x k        5.   2 cos sin sin 2 5 0 x x x     ĐS: VN 6. 3 3 sin cos 2 sin cos x x x x   ĐS: 1 2 , arccos 1 2 4 4 2 x k x k                 HD: Đây là bài toán sau khi đặt ẩn phụ thì đưa về phương trình bậc 3 phải nhẩm nghiệm 7. 3 3 3 1 sin 2 os 2 sin 4 2 x c x x    (ĐHGT-97) ĐS: , 2 4 x k x k          8. sin 2 2 sin 1 4 x x           ĐS: 9. 4sinxcosx-3 6 sinx+cosx 8 0   ĐS: 5 , 12 12 x k x k         10. VI .PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP - Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) bậc n tổng quát:     asinx, acosx . sinx, cosx n f a f - Giải phương trình loại này không khó. Nhưng nhận dạng nó thì khó. Vì vậy chúng ta cần phải hiểu rõ: Phương trình như thế nào gọi là đẳng cấp (cùng góc và cùng bậc ở mọi hạng tử). - Khi nhận dạng loại này cần khai thác công thức: 2 2 sin os 1 x c x   . Tức là nếu thấy có một và hạng tử lệch số bậc với nhau 2 bậc thì chắc chắn nó là phương trình thuần nhất - Nếu gặp bài toán biện luận thì ta nên đưa về phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx - 1. 2 2 2sin 5sinxcosx+4cos 2 x x   ĐS: 2 , arctan 2 5 x k x k         2. 3 2 2 2 2sin 4sin osx+sinxcos 2 os 0 x xc x c x    ĐS: arctan2+k x    3. 2 2sin 2 2 3sin 2 os2x=3 x xc ĐS: 6 2 x k      4.   2 2 3 sin 1 3 sinxcosx-cos 3 1 x x     ĐS: , 4 3 x k x k          5.   3 3 5 5 sin os 2 sin os x c x x c x    ĐS: 4 2 x k     (kết hợp nghiệm) 6. 4 2 2 4 3sin 4 os sin sin 0 x c x x x    ĐS: , 3 4 2 x k x k          HD:     2 3 3 3 2 os 3sinx-4sin tan 3t anx+2=0 t anx-1 t anx+2 0 c x x x       7. 3 3 4 os 2sin 3sinx=0 c x x  ĐS: 4 x k     8. 3 6sinx-2cos 5sin 2 osx x xc ĐS: 4 x k     Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 6 9. 3 2 os sin 3 c x x  ĐS:   , arctan -2 4 x k x k        10.   2 2 t anx.sin 2sin 3 os2x+sinxcosx x x c  ĐS: , 4 3 x k x k           11.     2 2 2 4 4 3 1 sin 2 3 sin 4 3 os 2 os sin x x c x c x x      12. Tìm m để phương trình có nghiệm:     2 3 1 sin 3 2 5 os 1 2 x m x m c     ĐS: 2, 1 m m   13. Tìm m để phương trình có nghiệm:       2 3 1 sinxcosx 2 os m m c x     ĐS: 1, 3 m m    14. VII. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH - Là phương trình có dạng:             0 0 . 0 0 f x g x f x g x h x h x             - Đây là loại phương trình lượng giác phong phú và đa dạng nhất.Nó hay bởi nó không có pp giải cụ thể mà pp giải của nó chỉ gói gọn là: “dựa vào kinh nghiệm giải toán”. Chính vì thế trình độ giải phương trình lượng giác của mỗi học sinh được đánh giá cao khi giải tốt phương trình loại này. - Muốn giải tốt phương trình dạng này thì mỗi học sinh khi đặt bút biến đổi cần phải hình dung được 3 bước biến đổi tiếp theo sau bước đầu tiên sẽ là gì? Và kết quả cần đạt là xuất hiện nhân tử chung nào? 1.   3 3 5 5 sin os 2 sin os x c x x c x    ĐS: 4 2 x k     (kết hợp nghiệm) 2. 1 sinxcos2x = sin2xcos3x- sin 5 2 x ĐS: 3 x k   (kết hợp nghiệm) 3.   2 sin 1 cos 1 cos cos x x x x     ĐS: 2 2 x k     4. 1 1 2 osx sin 2 sin 4 c x x   ĐS: 5 2 , 2 6 6 x k x k         (kết hợp nghiệm) 5.   2 2 2 os2x+sin osx+sin xcos 2 sinx+cosx c xc x  ĐS: , 2 , 2 4 2 x k x k x k             HD:     sinx+cosx 2sinx-2cosx+sinxcosx-2 0  6.   4sin 2 3 os2x=3 4sinx-1 x c ĐS: x k   HD:     2 8sinxcosx-3 1-2sin 12sinx-3 sinx 4cosx+3sinx -6 0 x     NX: Bài toán này rèn học sinh cách suy luận khi biến đổi và ôn pp giải phương trình bậc nhất 7.   5 7 3 5 1 os sin os sin sin 2 sinx+cosx 2 c x x c x x x    ĐS : 3 , 2 4 x k x k       HD:Ta có:         5 7 4 6 4 6 2 2 2 4 os sin os sinx+sin osx=sinx+cosx t anx=-1 sinx+cosx os sin 1 0 cos os 1 sin sin 1 0 c x x c x xc c x x x c x x x                 Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 7 8. 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8 x x x x     ĐS: 2 2 x k     HD: Ta có:      2 2 9sin 6cos 6sin cos 1 2sin 8 6cos 1 sin 2sin 9sin 7 sin 1 6cos 2sin 7 0 sin 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x k                        9. 4 4 2 2 sin os 1+sinx 2 2 tan .sinx= tan 1 sinx 2 x x c x x     ĐS: 10. 2 3tan 3 cot 2 2 tan sin 4 x x x x    ĐS: 11. cos cos5 8sin sin3 cos3 cos x x x x x x   12. 3 2 os os2x+sinx=0 c x c ĐS: 3 , 2 4 2 x k x k         13. 4 4 5 sin os 1 3 x c x   ĐS: 14. 2 2 os7x+sin 2 os 2 osx c x c x c  ĐS: 15. 3 2 3 1 os tan 1 sin c x x x    ĐS: 16.     1 t anx 1 sin 2 1 t anx x    ĐS: 17.   3 3 2 2 sin sin sin 3 sinx+sin2x+sin3x x x x   ĐS: HD: Ta có:       3 3 3 3 3 a b c a b c a b b c a c          18. 5 5 1 1 sin os osx sinx x c x c    ĐS: 4 x k     HD:Ta có:       5 5 4 3 2 2 3 4 2 sin os sin x- cos x sin sin osx+sin os sinxcos o s 1 1 sinx - cosx 1 sin 2 sin 2 2 4 x c x x xc xc x x c x x x                    2 3 2 t anx = 1 2 sinx - cosx 1 1 sinx - cosx 1 sin 2 sin 2 2 4 sin 2 sin 2 2sin 2 4sin 2 8 0( ) x x x x x x vn                  19. x 1 sinx+cosx=2cos 2 4          ĐS:   2 1 , 4 2 2 x k x k           HD: Ta có 2 2 2 2 x x x sin os 2sin os os sin 2 os sin 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 1 2 x x 2 2 sin os 2 os 2 0 2 2 2 x 2 4 os 2 2 2 x x x x x c c c c x x k x c c x k c                                                           Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 8 20. 2 3 sinx+sin os 0 x c x   ĐS: 21. 4 2 2 tan tan 4sin x x x   ĐS: , 4 2 x k x k       HD: C1: đưa về sin, cos C2:   2 2 2 2 2 2 2 1 tan tan 1 4 tan os tan 4 os 0 os x x xc x x c x c x            22. 2 2 17 sin 2 os 8 sin 10 2 x c x x           ĐS: , 20 10 6 3 x k x k         23.   3 2 2 3 1 sin 3tan tan 8cos 0 cos 4 2 x x x x x              ĐS: 24. VIII. PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 1.     2 sin t anx+1 3sinx. osx-sinx 3 x c   ĐS: 2.   4 4 sin os 1 tan cot sin 2 2 x c x x x x    ĐS: VN (loại ) 3. sin 5 1 5sin x x  ĐS: VN 4. sin 3 os 2x=1+2sin xcos2x x c  ĐS: 5 , 2 , 2 6 6 x k x k x k           5. 2sin cot 2sin 2 1 x x x    ĐS: HD: Ta có:         2 2 2 2 2sin cos 4sin cos sin 2sin sin cos 4sin 1 2sin 1 0 2sin 1 sin cos 2sin 1 0 sin cos 2sin cos 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                       6. 3 tan cot 2cot 2 x x x   ĐS: , 4 4 x k x k          7.   2 2 tan sin 2sin 3 os2x + sinxcosx x x x c  ĐS: , 4 3 x k x k           8.   2 2 sin x+ cosx os x =3 +cos2x c ĐS: VN 9.   2 sin 2 cot tan 2 4 os x x x c x   ĐS: , 2 6 x k x k          HD: Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 theo cos 2x 10.     4 2 sin 2 3 sin sin 2 3 sin 1 0 x x x x      11. 2 2 cos7 sin 2 cos 2 cos x x x x    12. 2 4cos sin cos sin x x x x   13. 2 2 7 sin os4x-sin 2 4sin 4 2 2 x xc x           ĐS: 7 2 , 2 6 6 x k x k          14. 2 2 x sin sin os sin 1 2 os 0 2 2 4 2 x x x c x c             ĐS: , 4 x k x k       Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 9 15.   2 2 2 2 os 2 os 2 2 os 3 3 4 os4x 2sin2x+1 c x c x c x c    ĐS: 8 4 x k     16.     2 2sin 1 3 os4x+2sinx - 4 4 os 3 x c c x    ĐS: 7 , 2 , 2 2 6 6 x k x k x k            \ HD:         2 2sin 1 3 os4x + 2sinx - 4 4sin 1 2sinx+1 3 os4x- 3 0 x c x c      17. 3 4 os 3 2 sin 2 8 osx c x x c  ĐS: 3 2 , 2 , 4 4 2 x k x k x k             18.     2 sin tan 1 3sin os x-sin x 3 x x x c    ĐS: , 4 3 x k x k           HD: Đưa về phương trình đẳng cấp :     2 t anx+1 tan 3 0 x   19. 6 32 os os6x=4 c x c ĐS: 20.   2 3 3 tan 1 sin os 0 x x c x    ĐS: 21. 6 8sin 3 os2x+2cos4x+1=0 x c ĐS: 4 2 x k     HD: Đưa về phương trình bậc cao theo góc 2x 22. 2 3 2 3 tan tan tan cot cot cot 6 x x x x x x       ĐS: 4 x k     23. 2 3 4 2 3 4 sin sin sin sin osx + cos os os x x x x c x c x c x       24. IX. BÀI TOÁN PHẢI KẾT HỢP NGHIỆM, LOẠI NGHIỆM - Để kết hợp nghiệm chúng ta cần nắm tốt các vấn đề sau: 1.) Nắm các tính chất của đường tròn lượng giác: chiều, điểm gốc, sin , cos   là gì? 2.) Biểu diễn cung lượng giác lên đường tròn lượng giác: 3.) Xác định số điểm ngọn của 1 cung lượng giác bất kỳ: 0 2 k n      ( n là số điểm ngọn mà cung lượng giác đó chia đường tròn lượng giác thành các phần bằng nhau) 4.) - 1.     sin 4 osx - 2sin4x os4x 1+sinx - 2cos4x 0 x c c   HD: Ta có: 2 sin5x = 1 10 5 sin 5 os4x = 2 2 , 4 1 cos4x = 1 2 2 x k x c x m t l m x l                           2. 2 3 2 2 os os 1 os2x-tan os c x c x c x c x    ĐS: 2 3 3 x k     3. 1 sinxcos2x = sin2xcos3x- sin 5 2 x ĐS: 3 x k   4.   2 sinx sinx+cosx 1 0 os sinx+1 c x    ĐS: 2 , 2 4 x k x k         (loại 2 2 x k      ) 5.   4 4 sin os 1 tan cot sin 2 2 x c x x x x    ĐS: VN (loại ) Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 10 6. 6 6 sin os 1 4 tan tan 4 4 x c x x x                    ĐS: VN 7.     sin 3 cos 2sin 3 cos3 1 sin 2cos3 0 x x x x x x      HD:Ta có:     2 2 sin 3 cos cos3 sin 2 sin 3 cos 3 cos3 0 sin 4 1 sin 4 cos3 2 0 cos3 1 x x x x x x x x x x VN x                  8. 3x os2x+cos 2 0 4 c   ĐS: 8 x n   HD: os2x=1 3 8 8 8 3x 8 3 cos 1 3 4 x kc l n l k x n l k n x                             9.   2 1 os x+cos2x+cos3x 2 3 3sin 2 os os x-1 3 c x c x c     ĐS: 2 x k   10.     os cosx+2sinx 3sin sin 2 1 sin 2 1 c x x x     ĐS: 2 4 x k      (loại 5 2 4 x k     ) 11. CÁC BÀI TOÁN TÌM NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 1. Tìm nghiệm phương trình : cos7 3 sin 7 2 x x    thỏa mãn : 2 6 5 7 x     2. Tìm các nghiệm của phương trình: x sin os 1 sinx 2 2 x c    thỏa mãn điều kiện; 3 2 2 4 x     3. X. PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG ĐÁNH GIÁ 2 VẾ: - Khi giải phương trình lượng giác nếu thấy khả năng biến đổi về phương trình đơn giản gặp nhiều khó khăn thì ta nghỉ tới pp đánh giá 2 vế. - PP giải: Giải phương trình: f(x)= g(x) (1) Dạng 1: Nếu ta đánh giá được:     , f x A g x A   thì       1 f x A g x A         (2) Việc đánh giá trên chúng ta có thể dùng tính chất của hàm số đã cho hoặc các BĐT quen thuộc (Thông thường việc giải phương trình (1) gặp khó khăn nhưng giải hệ (2) thì dơn giản.) Dạng 2: Nếu phương trình (1) có dạng một tam thức bậc 2 theo ẩn nào đó thì dùng pp đổi biến không hoàn toàn. Sau đó dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 để giải (thông thường khi dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 thì nó xãy ra trường hợp đặc biệt ) Dạng 3: Nếu (1) biến đổi được về dạng:           1 2 2 2 1 2 2 0 0 0 n f x f x f x f x f x            Nói chung đây là dạng toán khó đòi hỏi học sinh phải giải tốt các bài toán thông thường lúc đó mới có khả năng nhận dạng loại toán này. [...]... Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn 14 13   14 2cos 2  cos 2 x   1  cos   sin2x  2  HD: Ta có: ĐS:  cos2 x   sin 2 x  2k  cos  cos x   cos  sin 2 x    k Z 2  cos x   sin 2 x  k 2 1 2 4k  1 4k  1 a.) cos 2 x  2sin 2 x  4k  1  cos 2 x  sin 2 x   cos   2 x   5 5 5 5  2 x        2n 1 Phương trình có nghiệm... (2), (3)      A C   2 y   y  6    3 3   17 CMR tồn tại ít nhất 1 tam giác sao cho các góc là nghiệm của phương trình :  56  65s inx  80  64s inx-65cos2 x   0 HD: Ta có: Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn 15 56 56   s inx= 65 sin A  65  4   cosB= 5 3 3    56  65s inx  15  64s inx+65sin 2 x   0  s inx=  sin B...  x  2  k cosx=0  2   cos 2 x   sin 3 x  1  0    sin3x=-1  x     k 2  6 3  1 10 sin 2 x  sin 2 3 x  s inxsin 2 3 x ĐS: 4 HD: Ta có: Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn 12   2s inx-sin 2 3 x   sin 4 3 x  sin 2 3 x   2 s inx-sin 2 3 x   sin 2 3 x  sin 2 3 x  1 2 2   s inx=0  2s inx-sin 2 3 x  0   x  k  2  2... x  sin 3 x  1  0  2s inx - sin 3 x  0   2  5  sin 2 3 x  1 x   k 2  sin 2 3 x  1    6  2 2 3 8sin x  8cos x  10  cos 2 y ĐS: Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Ngày: 15/08/2008 13 Tích lũy chuyên môn 4 2 2 1   2 1  1    sin x  2   12  sin y ĐS: Nghiên cứu thêm 5  cos 2 x  2  cos   sin x  2   6 sin 2008 x  cos 2008 x  1 ĐS: x  k 2  7 7cos... phù hợp 2 18 a.) Giải phương trình:  cos4x-cos2x   5  sin 3 x (nghiên cứu thêm) b.) Tìm a để phương trình sau có nghiệm:  cos4x-cos2x    a 2  4a  3 a 2  4a  6   7  sin 3x 2 19 Giải biện luận nghiệm phương trình : a  bcosx 2 a 2  b 2 tan y  s inx 1  tan 2 y   k 2 TH1: Nếu a  b phương trình không xác định HD: ĐK x  k , y  TH2: Nếu a  b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x,... phương trình theo viet ta có: Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn 16 3 2 4  2 x12  x2   3sin a  cosa   8  cos2a+1  13  4cos2a - 3sin2a=13+5  cos2a - sin 2a  5 5  2 2  13  5cos  2a+   18a  x1  x2  18a 21 Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình: sin 2x  1 2x 1 2x 1  sin  3cos 2  0 với x  10 x 3x 3x HD: Ta có: 22 cos2x-cos6x+4...  a  KL: 20 CMR phương trình: x 2   cosa-3sina  x  4  cos2a+1  0 luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2 : x12  x2  18x  R HD: Ta có: 2 2    cosa-3sina   16  cos2a+1   cosa-3sina   32cos 2 a  0a cosa=0 0 VN  sina=0 Vậy với mọi giá trị a phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phương trình theo viet ta có: Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh...Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn 11 1 s inx+cosx= 2  2  sin 3x  ĐS: VN 5 sin 6 x  2sin 3 xcos  xy   1  0       ĐS: 1;  k 2  ;  1;  k 2  2  2     ĐS: x   k 2 2  ĐS: x    k 2 , 6 ĐS: (***)... Tương tự ta có: cos  2x-   cos  -     x       n  2  2 15 Tìm a,b để phương trình: x  5  2  x  2cos  ax+b   có nghiệm   2 HD: Ta có: x 1  0 x  1  2     x  1  4  cos  ax+b    0     a  b   k 2 cos  ax+b   0 cos  a+b   0   16 Tìm nghiệm của phương trình: sin 2  x  1 y   sin 2  xy   sin 2  x  1 y  (1) biết:      x  1 y,... x  k , y  TH2: Nếu a  b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x, y thỏa mãn điều kiện TH3: Nếu a  b  a  b  0 phương trình (1)  a  acosx=0  cosx=  1  sinx=0 (VN) TH4: Nếu a  b (1)  a  bcosx= a 2  b 2 sin 2 y.s inx    a 2  b 2 sin 2 y s inx+bcosx=a(2) Phương trình (2) có nghiệm   a 2  b 2  sin 2 2 y  b 2  a 2  sin 2 2 y  1  sin 2 2 y  1  cos2y=0  y=   l 4 2 Với sin . Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. MỘT VÀI CHÚ Ý CHUNG 1. Công thức hay quên:. sinx+cosx   ĐS: 16. Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh Lưu 2 2 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - Khi nào giải một bài toán mà.    Vậy với mọi giá trị a phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm phương trình theo viet ta có: Ngày: 15/08/2008 Tích lũy chuyên môn Phạm Ngọc Chuyên – Trường THPT Quỳnh