Chuyên đềphươngtrìnhlượnggiác Chương I: PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Cung liên kết a) Cung đối: ( ) ( ) cos cos ; sin sin ; x x x x− = − = − b) Cung bù: ( ) ( ) cos cos ; sin sin ; x x x x π π − = − − = c) Cung phụ: cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan 2 2 2 2 x x x x x x x x π π π π − = − = − = − = ÷ ÷ ÷ d) Cung hơn kém π : ( ) ( ) cos cos ; sin sin ; x x x x π π + = − + = − e) Cung hơn kém 2 π : cos sin ; sin cos ; 2 2 x x x x π π + = − + = ÷ ÷ 2. Công thức lượnggiác a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi ( ) cos cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin tan tan tan( ) 1 tan tan cotacot 1 cot( ) cota cot a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b b + = − + = + + + = − − + = + 2 2 2 2 2 sin 2 2sin .cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2tan tan 2 1 tan a a a a a a a a a a a = = − = − = − = − c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos a a a a a a = − = − 2 2 3 3 1 cos2 1 cos2 sin ; cos 2 2 3sin sin3 3cos cos3 sin ; cos 4 4 a a a a a a a a a a − + = = − + = = e) Công thức tích thành tổng f) Công thức tổng thành tích [ ] [ ] [ ] 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + − − = + − − = + + − cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − + = + − − = − + − + = + − − = 3. Hằng đẳng thức thường dùng ( ) 2 2 4 4 2 6 6 2 2 2 2 2 2 1 3 sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2 2 4 1 1 1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos cos sin a a a a a a a a a a a a a a + = + = − + = − + = = ± = ± GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 1 Chuyênđềphươngtrìnhlượnggiác 4. Phươngtrìnhlượnggiác cơ bản khi 1 2 sin ( ) ; sin sin ( ) arcsin 2 2 khi 1 ( ) arcsin 2 VN m x k f x m x f x m k x k m f x m k α π α π π α π π π > = + = ⇔ = ⇔ = + = − + ≤ = − + khi 1 2 cos ( ) ; cos cos ( ) arccos 2 2 khi 1 ( ) arccos 2 VN m x k f x m x f x m k x k m f x m k α π α π α π π > = + = ⇔ = ⇔ = + = − + ≤ = − + tan ( ) ( ) arctan ; tan tanf x m f x m k x x k π α α π = ⇔ = + = ⇔ = + cot ( ) ( ) arccot ; cot cotf x m f x m k x x k π α α π = ⇔ = + = ⇔ = + 5. Phươngtrình thường gặp a. Phươngtrình bậc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .sin ( ) .cos ( ) 0 sin ( ) 1 cos ( ) .cos ( ) .sin ( ) 0 ( ) 1 sin ( ) cos2 ( ) cos ( ) 0 cos2 ( ) 2cos ( ) 1 cos2 ( ) sin ( ) 0 cos2 ( ) 1 2sin ( ) .t a f x b f x c Thay f x f x a f x b f x c Thay f x f x a f x b f x c Thay f x f x a f x b f x c Thay f x f x a + + = ⇒ = − + + = ⇒ = − + + = ⇒ = − + + = ⇒ = − cos 1 an ( ) cot ( ) 0 cot ( ) tan ( ) f x b f x c Thay f x f x + + = ⇒ = b. Phươngtrình dạng sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ = Điều kiện có nghiệm: 2 2 2 a b c+ ≥ Chia 2 vế cho 2 2 a b+ , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos. c. Phươngtrình đẳng cấp Dạng 2 2 .sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + = Xét cosx = 0 có thỏa mãn phươngtrình hay không. Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 2 x để được phươngtrình bậc 2 theo tanx. Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx. Dạng 3 2 2 3 .sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + = Xét cosx = 0 có thỏa mãn phươngtrình hay không. Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 3 x để được phươngtrình bậc 3 theo tanx. Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx. d. Phươngtrình đối xứng loại 1: (sin cos ) .sin cosa x x b x x c± + = Đặt t = sinx ± cosx, điều kiện 2t ≤ Thay vào phươngtrình ta được phươngtrình bậc 2 theo t. e. Phươngtrình đối xứng loại 2 : ( ) tan cot ) (tan cot 0 n n a x x b x x + + ± = Đặt t = tanx - cotx thì t ∈ R ; Đặt t = tanx + cotx thì 2t ≥ . Chuyển về phươngtrình theo ẩn t. GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 2 Chuyên đềphươngtrìnhlượnggiác f. Các phương pháp giải phươngtrìnhlượnggiác tổng quát Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản Phương pháp biến đổi phươngtrình đã cho về dạng tích. Phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp đối lập. Phương pháp tổng bình phương. B./ BÀI TẬP RÈN LUYỆN I. Phươngtrìnhlượnggiác cơ bản Bài 1. Giải các phươngtrìnhlượnggiác sau: a. 2sin 3x 3 6 π − = ÷ b. ( ) ( ) 0 0 sin 2x 45 c x 60 0os− + + = c. tan3x cot 2x= d. ( ) x cot c 2 = − 0 ot 2x-30 e. 1 cosx.cos2x.cos4x.cos8x= 16 g. 4sinx+cosx = 2 sin x h. 2 cos( ) sinx x= Bài 2. Tìm nghiệm của các phươngtrình sau trên các khoảng đã cho: a. 0 tan(2x 15 ) 1− = , với ( ) 0 0 x 180 ;90∈ − b. s 3cinx = osx , với 2 x ; 3 π ∈ − π ÷ II. Phươngtrình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Bài 3. Giải các phươngtrình a. 3 tan 3x 3 0− = b. ( ) ( ) s 2c 0inx+1 os2x - 2 = c. 2 3 2 7 os2x - 3 = 0+sin x c d. 2 3 4 3 0− + =cot x cot x Bài 4. Giải các phươngtrình a. cos2x - sinx +2 =0 b. 2 2 2 3 + = tan x cot x c. 2 2 cos2x + sin x cosx +1 = 0+ d. 2 4 2 8 9 0 2 sin x cos x+ − = III. Phươngtrình bậc nhất đối với sinx và cosx (asinx + bcosx = c) Bài 5. Giải các phươngtrình sau: a. 3cosx + 4sinx = -5 b. 5 2 6 13 2 sin x cos x− = c. 3cos2x - 2sinxcosx = 2sin7x d. sin8 cos6 3(sin 6 cos8 )x x x x− = + e. (3sin cos )(cos 2sin ) 1x x x x+ − = g. 2cos cos( ) 4sin 2 1 3 x x x π + + = Bài 6. Giải phương trình: a. 2 2 cos 2 3sin cos 3sin 1x x x x+ + = . b. 3 3 4sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos4 3x x x x x+ + = . c. cos7 sin 5 3(cos5 sin 7 )x x x x− = − . d. 2 4sin ( ) sin 2 1 6 x x π + + = e. 2 2sin(2 ) 4sin 1 6 x x π + + = Bài 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số : a. 2 2 2sin ( ) 2cos cos2 6 y x x x π = + + + b. 2sin( )cos( ) sin 2 6 3 y x x x π π = + + + GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 3 Chuyên đềphươngtrìnhlượnggiác c. 2sin(2 ) 4cos cos( ) 3 3 y x x x π π = + + + d. 6 6 sin cos sin 4y x x x= + + . Bai 8. Tìm GTLN và GTNN của hàm số : a. sin 2cos 1 sin cos 2 x x y x x + + = + + . b. sin cos 3 x y x = + c. 2 4sin 2 sin(2 ) 6 x y x π = + + . Bài 9. Tìm các giá trị của x để 1 sin 2 cos x y x + = + là số nguyên. IV. Phươngtrình bậc thuần nhất đối với sinx và cosx Bài 10. Giải các phương trình: a. 2 6 2 2 sin x s inxcosx - cos x+ = b. 2 2 2 3 2 2 2 sin x sin2xcos2x + cos x− = c. 2 3 6 2 cos x sinxcosx = 3 + 3+ d. 2 4 3 3 2 2 4 2 sin x sin x cos x+ − = e. ( ) ( ) 4 4 1 3 sinxcos x - sin x cosx + 2sin x cos x + 2 2 π π π π + + − = ÷ ÷ Bài 11. Giải các phươngtrình a. ( ) 2 3 8 9 0 2 sin x s inxcosx + 8 3 cos x+ − = b. 2 1 2 2 2 sin x s in2x - cos x+ = c. ( ) ( ) 2 2 3 3 1 1 2 sin x sinxcosx + 3 cos x+ + − = − d. 4sinx + 6cosx = 1 cosx Bài 12. Giải các phươngtrình a. 2 2 4 3 3 sin x cos x s inx+ = b. 2sin 3 x = cos3x c. 3 2 4 sin x sinx π + = ÷ d. 2sin 3 x = cosx Bài 13. Giải các phươngtrình a. 2 3 6 3 sin x sin x sin x cos x+ = b. 3 4 0sin x sin x cosx− + = c. 3 4 3 3 2 cos x sin x cosxsin x s inx=0− − + d. 3 2 sin 3cos 3sin cos 2sinx x x x x+ = + e. 3 cos2 sin cos cos sinx x x x x+ = + g. 3 sin 3 cos cos sinx x x x+ = + V. Phươngtrình đối xứng với sinx và cosx, đối xứng với tanx và cotx Bài 14. Gải các phươngtrình a. ( ) 3 2 2 3 0sinx+cosx sin x+ + = b. sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 c. ( ) 2 12 12 0sin x sinx - cosx− + = d. 3 3 1sin x cos x+ = e. 1 + sin 3 2x + cos 3 2x = 3 4 2 sin x g. 3 4 3 sin x sin x cos x π + = + ÷ h. 1 t anx = 2 2 sinx+ i. sinx + 1 sinx + cosx + 1 cos x = 10 3 VI. Phươngtrìnhlượnggiác khác Bài 15. Giải các phươngtrình a. cos5xcos3 = cosxcos7x b. sin2x - cos5x = cosx - sin6x c. cosx + cos11x = cos6x d. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x e. tanx + tan2x = tan3x g. 2 sinx+sin3x+sin5x tan 3 osx+cos3x+cos5x x c = Bài 16. Giải các phươngtrình a. 2 2 2 5 2 3sin x sin x sin x+ = b. 3 3 4 5 2 2 2 2 cos x cos x cos x+ + = c. 8cos 4 x = 1 + cos4x d. sin 4 x + cos 4 x = cos4x GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 4 Chuyên đềphươngtrìnhlượnggiác e. 3cos 2 2x - 3sin 2 x + cos 2 x g. sin 3 xcosx - sinxcos 3 x = 2 8 h. ( ) ( ) 1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + i. tanx + tan2x = sin3xcosx Bài 17.(B1.43 +44 SBT Tr 15) Giải các phươngtrình a. tanx = 1- cos2x b. tan(x - 15 0 )cot(x - 15 0 ) = 1 3 c. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx d. 3sin 4 x + 5cos 4 x - 3 = 0 e. (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin 2 x g. 1 + sinxcos2x = sinx + cos2x h. sin 2 xtanx + cos 2 xcotx - sin2x = 1 + tanx + cotx i. sin 2 x + sinxcos4x + cos 2 4x = 3 4 . VII. Tổng hợp các phương pháp giải phươngtrìnhlượnggiác 1. Đặt ẩn phụ Áp dụng cho các loại phươngtrình : • Phươngtrình bậc hai, bậc ba… với một hàm số lượnggiác • Phươngtrình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Đặt t = tanx) • Phươngtrình đối xứng với sinx, cosx (đặt t = sinx cosx ± ) ; đối xứng với tanx và cotx (đặt t = tanx cotx± ) • Một số phươngtrình khác……. Bài tập vận dụng : Bài 22. Giải các phươngtrìnhlượnggiác sau 1. 1 3sin 2 2 tanx x+ = 2. ( ) ( ) 1 t anx 1 sin 2 1 t anxx− + = + 3. ( ) 2 2 t anx.sin 2sin 3 os2x+sinx.cosxx x c− = 4. 6 3cos 4sin 6 3cos 4sin 1 x x x x + + = + + 5. 2 4 tan 5 0 cos x x − + = 6. 2 2 4 2 2 cos cos 3 0 cos 3 cos x x x x + − + − = ÷ 7. ( ) 2 2 2 4 4 tan 10 1 tan tan 0 cos x x x x + + + = 8. 2 cos cos cos sin 1x x x x+ + + = 9. 3 1 3 sin sin 10 2 2 10 2 x x π π − = + ÷ ÷ 10. 2 cos9 2cos 6 2 0 3 x x π + + + = ÷ Bài tập vận dụng Bài 23 : Giải các phươngtrình 1. 3 3 3 cos 4 cos3 .cos sin sin 3x x x x x= + 2. 2 2 1 sin sin sin cos 2cos 2 2 4 2 x x x x x π + − = − ÷ 3. 10 10 6 6 2 2 sin cos sin cos 4 4sin 2 cos 2 x x x x x x + + = + 4. cos cos3 2cos5 0x x x+ + = 5. sin 3 sin 5 3 5 x x = 6. ( ) ( ) 2 2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x+ + − + = VIII. Phươngtrìnhlượnggiác trong một số đề thi ĐH 1. 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x π π + = − ÷ − ÷ (ĐH A-2008) 2. 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3 sin .cosx x x x x x− = − (DH B-2008) 3. ( ) 2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = + (ĐH D-2008) 4. ( ) ( ) 2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + (ĐHA07) 5. 2 2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = (B07) GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 5 Chuyên đềphươngtrìnhlượnggiác 6. 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x + + = ÷ (ĐHB07 7. ( ) 6 6 2 cos sin sin cos 0 2 2sin x x x x + − = − (ĐHA_06) 8. cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x + + = ÷ (ĐHB_06) 9. cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = (ĐH D - 06) 10. 2 2 cos 3 cos 2 cos 0x x x− = (ĐH A-05)11. 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ + + + = (ĐH B_ 05) 12. 4 4 3 cos sin cos sin 3 0 4 4 2 x x x x π π + + − − − = ÷ ÷ (ĐH D – 2005) 13. 4 4 sin cos 1 2sin 2 2 x x x+ = − 14. ( ) 2 5sin 2 3 1 sin tanx x x− = − (ĐH B - 2004) 15. ( ) ( ) 2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = − (ĐH D - 2004) 16. 2 cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x − = + − + (ĐH A - 2003) 17. 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x − + = (ĐH B - 2003) 18. 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 x x x π − − = ÷ (ĐH D - 2003) 19. Tìm các nghiệm thuộc (0;2π) của pt: cos3 sin 3 5 sin cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x + + = + ÷ + (ĐH A - 2002) 20. 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − (ĐH B - 2002) 21. cos3 4cos2 3cos 4 0x x x − + − = (ĐH D - 2002) 22. 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2 x x x x x + − − = 23. ( ) 2 2cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + = + 24. 5 3 sin cos 2 cos 2 4 2 4 2 x x x π π − − − = ÷ ÷ 25. sin 2 cos2 tan cot cos sin x x x x x x + = − 26. 2 2 sin cos 1 12 x x π − = ÷ 27. A10 (1 sinx os2 )sin 1 4 cos . 1 t anx 2 c x x x π + + + ÷ = + 28. B10: GPT (sin 2 os2 )cos 2cos2 sinx 0.x c x x x + + − = 29. D10: GPT sin 2 os2 3sin cos 1 0.x c x x x − + − − = 29. (A09)Gpt: ( ) ( ) ( ) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x − = + − 30. (B09)Gpt: ( ) 3 sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = + 31. (D09)Gpt: 3 cos5 2sin 3 .cos2 sin 0x x x x− − = 32. 2 1 sin 8cos x x = 33. ( ) 2 2 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x π − − − ÷ = − GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 6 . về phương trình theo ẩn t. GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây 2 Chuyên đề phương trình lượng giác f. Các phương pháp giải phương trình lượng. Chuyên đề phương trình lượng giác Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Cung liên kết a)