chuyen đề toán 11 phường trình lượng giác

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCA.. TÓM TẮT LÍ THUYẾT Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản... Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình... Phương

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản

* tan tan

,2

Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: sina x b cosx c (1) ; với a b c ¡, ,  và a2b2 0

Cách giải: Chia hai vế cho a2 b2 và đặt

tan ( ) tan ( )cot ( ) cot ( )

Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình

Cách giải: Đặt

sin ( )cos ( )tan ( )cot ( )

u x

u x t

Cách giải: Xét xem cosx 0 sinx 0 có thõa mãn phương trình hay không Sau đó chia

hai vế phương trình cho cosk x  0 sink 0

x  (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình

ẩn là tan x cot x 

Dạng 5 Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: (sina xcos )x bsin cosx x c  (3)0

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

2 1sin cos2

sin cos 2 sin

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng

(sin cos ) sin cos 0

a x x b x x c  (3’)

2; 2sin cos 2 sin

B CÁC VÍ DỤ.

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

1 sinx cos 2 x 0 2 2

cos x sin 2 x 0

2 sin(2x  35 ) 3 4 sin(2x1) cos(3 x 1) 0

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

2

x x x x

3 sin 22 xcos 22 xcos 3x 4 sin 2 cos 3x xsin 5 cos 6x x

5 sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos 3x

6 sin 32 x cos 42 xsin 52 x cos 62 x 7 cos 3 cos 22 x x cos2x0

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

1 3 sinx 4 cosx 0 2 sin 2x 3 cos 2x 1

3 2 sin 3x 5 cos 3x 5 4 3 cosx 3 sinx 1

5 sin 7x cos 2x 3(sin 2x cos 7 )x 6 sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2x

sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2(cos 4xsin x)

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

1 cos( sin ) cos(3 sin ) x   x 2 tan sin 1 1

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau:

1  3 1 sin  x 3 1 cos  x2 2 sin 2x

2 3sin2x5cos2x 2 cos 2x4 sin 2x

Ví dụ 6 Giải các phương trình sau:

1.sin3xcos3xsinx cosx 2 2 cos3xsin 3x

3 sin2x3 tanxcosx4 sinx cosx

Ví dụ 7 Giải các phương trình sau:

Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình

sin x 5 sin cosx x 6 cos x0 2 2

sin x 3 sin cosx x1

3.3 sin2x5cos2x 2 cos 2x4 sin 2x 4 sin3xcos3xsinx cosx

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:

1.cos 3xcos 2x cosx 1 0  2 3 cos 4x 8 cos6x2 cos2x 3 0

3.

4 sin( )3

2

x x

x





 4 2 sin (1 cos 2 ) sin 2x  x  x 1 2 cosx

Ví dụ 9 Giải các phương trình sau:

1.4 cos 3 cos x 3xsin 3 sinx 3x 3 sin 6x 1 3 cos 4x sin4x

4 sin xcos x sin 4x 3 1 tan 2 tan  x x 3

Ví dụ 10 Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :

Suy ra (1 3 33) tan 3 2x 14 tanx3 33 5 0 3    x ¡

Suy ra điều phải chứng minh

1 Theo định lí Viét ta có: tan tan 6, tan tan  2

Suy ra tan( ) tan tan 2

2 Theo định lí Viét ta có: tan tan b, tan tan  c

Suy ra tan( ) tan tan

1 tan tan 1

b c

1

1 tan ( )

1(1 )

C CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Bài 1 Giải phương trình sin 2 1

k x

k x

k x

k k x

k k x

¢

k k x

k k x

12 3

k k x

k x

k k x

k x

k k x

k x

k k x

k k x

¢

k k x

k k x

C 3    

2 ,4

,4

k k

Bài 26 Giải phương trình tan2 cot2 1 cos (32 )

k x

k x

k x

Bài 33 Giải phương trình  4 4 

4 sin xcos x  3 sin 4x2

k k x

k k x

k k x

k k x

Bài 36 Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2 sin xcosxcosx 3 cos 2x

A Có 1 họ nghiệm B Có 2 họ nghiệm C Vô nghiệm D Có 1 nghiệm duy nhất

Bài 37 Giải phương trình 3 cos 4x sin 22 xcos 2x 2 0

x k k ¢ hoặc x arc cot(2) k k ¢ 

Bài 39 Giải phương trình 3 tanxcotx 3 1 0 

36

Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình

C 2   

43

23

Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình

Bài 51 Giải phương trình 7 cosx4 cos3x 4 sin 2 x

A

22

5,

1arctan

cos x sin cosx x 2 sin x 1 0 là:

Bài 57 Giải phương trình 2

cos x 3 sin cosx x 1 0 là:

2 2 sinxcosx cosx 3 2 cos x, Khẳng định nào sau đây đúng?

A Có 1 nghiệm B Có 2 họ nghiệm C Vô nghiệm D Vô số nghiệm Bài 59 Giải phương trình tanxcotx2 sin 2 xcos 2xlà:

21

31

4 sin x3cos x 3sinx sin xcosx0

A

2324

Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình

A

3arcsin

53arcsin

52arcsin

k x

k x

k x

k x

32

4 sin x3cos x 3sinx sin xcosx0

sin x3 tanxcosx 4 sinx cosx

24

Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình

A

2

1arcsin( )

41arcsin( )

1arcsin( ) 2

41arcsin( ) 2

6arccos 2

Bài 88 Giải phương trình 4 6

cos x cos 2x2 sin x0

Bài 92 Giải phương trình 4 4

2 sin x2 cos x2 sin 2x 1

Bài 96 Giải phương trình   4 4

5 1 cos x  2 sin x cos x

526

526

Bài 98 Giải phương trình 3

7 cosx4 cos x4 sin 2x

A

22

5,

A cosx 1 B cosx 1 C tanx 0 D cotx 1.

Câu 10 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

Câu 13 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

Câu 17 Phương trình 2 cos2x 3 3 cosx 3 0

Câu 18 Phương trình 2 sin2x7 cosx 5 0

3

x x

2cos 0

x x

2

x x

2

x x

Câu 23 Phương trình cos 2x 5 sinx 6 0có tập nghiệm trùng với tập nghiệm củaphương trình nào sau đây?

2

x x

2

x x

k

¢

A sinx 0 B sinxsin 2n x C 1

2

x x





Câu 34 Phương trình sin2m xcos2m x1(m1,m ¡ ) có tập nghiệm trùng với tập

nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sinx 1 B sinx 1 C cosx 1 D sin 0

cos 0

x x

2cos 2 sin 2

Câu 38 Phương trình tanxtan 2xsin 3 cosx x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm củaphương trình nào sau đây?

cos 2 0

x x

A tsinx B tcosx C ttanx D tcotx

Câu 40 Phương trình 3 cos2x 4 sinx10 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩnphụ được đặt như sau

A tsinx B tcosx C ttanx D tcotx

Câu 41 Phương trình 2 cos 4x sin4x  1

Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình

6

x x

Câu 42 Phương trình cosxsinx2 3 sin 2x

512

x x

k

¢

Câu 43 Phương trình cosx sinx2  1 cos 3x

2

x x

Câu 45 Phương trình sin6 cos6 7

x k k ¢

C chỉ có các nghiệm  2 

,5



C

2316



D

264

Câu 59 Tổng các nghiệm thuộc 0; 2 của phương trình  sinxcos 3 x sinx 2 cos 3 x 2 0   

23

Câu 1 Nghiệm của phương trình sinx = 1 là:

Câu 36 Xét các phương trình lượng giác:

(I ) sinx + cosx = 3 , (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12 , (III ) cos2x + cos22x = 2

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm?

A Chỉ (III ) B Chỉ (I ) C (I ) và (III ) D Chỉ (II )

Câu 37 Nghiệm của pt sinx = –1

Câu 40 Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) Pt nào sau đây tương đương với pt (1)

A sin4x = 0 B cos3x = 0 C cos4x = 0 D sin5x = 0 Câu 41 Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là:

Câu 63 Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:

(I) cosx = 5 3 (II) sinx = 1– 2 (III) sinx + cosx = 2

F MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO Vấn đề 1 Tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm tổng các nghiệm trong khoảng (   của phương trình:; )

sin 2xcos 5x1 2 (sinxcos )x 2 2 cos 32 x

Ví dụ 3 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình :

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0; 2 ) của phương trình sau:

 3 1 sin  x 3 1 cos  x2 2 sin 2x

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2 cos( ) 1

Bài 5 Tìm số nghiệm x  0;14 nghiệm đúng phương trình :

cos 3x 4 cos 2x3 cosx 4 0

Bài 6 Tìm số nghiệm trên khoảng (   của phương trình :; )

22(sinx1)(sin x2  3sinx1)sin x cosx4

những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

 Điểm biểu diễn cung  và  k2, k ¢ trùng nhau

 Để biểu diễn cung 2k

n



  lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường chọn k0,1, 2, ,n 1) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm k

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

 Phương trình (1) có nghiệm  d( , )a b là ước của c

 Nếu phương trình (1) có nghiệm ( ;x y thì (1) có vô số nghiệm0 0)

Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm số lượng giác:

Giả sử ta có điều kiện là ( ) 0u x  ( ( ) 0, ( ) 0 u x  u x  ), ta biến đổi phương trình đã cho về phương trình chứa ( )u x và giải phương trình để tìm ( ) u x

Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

Ví dụ 2 Giải phương trình sau:sin cot 5 1

cos 9

x 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải phương trình : sinx cos 2x

phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình:mcos 2x m  1

Lời giải:

2

m m

m  thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3 Cho phương trình : (m 1)cosx2 sinx m 3

1 Giải phương trình khi m 2 2 Tìm m để phương trình có nghiệm

Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau:

2  Nếu m  1 phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu m  1 phương trình đa cho cos2 4 2

m x

 Nếu m  0 phương trình vô nghiệm

 Nếu m 0 thì phương trình đã ch tương đương vớicot2 2 2 1

8

m x

     thì phương trình (4) vô nghiệm

+) Nếu

120

 Nếu m  0 phương trình vô nghiệm

 Nếu m  0 phương trình sin 22 x 1 m

0

m m

Bài 3 Cho phương trình (m 1)s inxmcosx2m 1 (1)

Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình Phương trình  2cos x2  2m 1 cosx m   0

2 cos 1 cos   0 2 cos 1 0

Bài 5: Giải và biện luận phương trình :

1 8m21 sin 3x 4m21 sin x2 cosm 3x0

21

Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình

Phương trình cos 2 cos 22 2

sin 2 1 3 sin cos

+) m 0 phương trình vô nghiệm

+) m  0 phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 4

 m 0 Vì phương trình luôn có 4 nghiệm trên 0; 2 nêu yêu cầu bài toán  phương trình msinx  1 0 vô nghiệm hoặc có các nghiệm trên

Điều đó xảy ra khi

0

01

m m

m

m x x

tttt tt

3

m m

m m

Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình

Lời giải:

Phương trình  mtan2x2 tanx 1 1 tan  2x

2(m 1) tan x 2 tanx 2 0