chuyen đề toán 11 phường trình lượng giác

Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình CHUN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Dạng 1: Phương trình lượng giác Phương trình: sin x = m (1) * Nếu: m > ⇒ Phương trình vơ nghiệm  π π * Nếu: m ≤ ⇒ ∃α ∈  − ;  : sin α = m  2  x = α + k2π ⇒ (1) ⇔ sin x = sin α ⇔   x = π − α + k2π ( k∈ ¢ )  π π − ≤ α ≤ Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2 ta viết α = arcsin m sin α = m *Các trường hợp đặc biệt: sin x = ⇔ x = π + k2π π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π sin x = ⇔ x = kπ Phương trình: cos x = m (2) * Nếu: m > ⇒ phương trình vơ nghiệm * Nếu: m ≤ ⇒ ∃α ∈ [0; π] : cos α = m ⇒ (2) ⇔ cos x = cosα ⇔  x = α + k2π ( k∈ Z )   x = −α + k2π 0 ≤ −α ≤ π Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  ta viết α = arccosm cos α = m * Các trường hợp đặc biệt: cos x = ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π Lê Hoàng Tùng cos x = ⇔ x = THPT Phú Bình π + kπ Phương trình : tan x = m (3)  π π Với ∀m⇒ ∃α ∈  − ; ÷: tan α = m  2 ⇒ (3) ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ  π π − < α < Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2 ta viết α = arctan m  tan α = m * Các trường hợp đặc biệt: tan x = ⇔ x = π + kπ π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ tan x = ⇔ x = kπ Phương trình: cot x = m (4) π π Với ∀m⇒ ∃α ∈ (− ; ) : cot α = m 2 ⇒ (4) ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ  π π − < α < Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2 ta viết α = arccot m cot α = m * Các trường hợp đặc biệt: cot x = ⇔ x = π + kπ π cot x = −1⇔ x = − + kπ cot x = ⇔ x = π + kπ Ghi chú: Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình u = v + k2π * sin u = sin v ⇔  u = π − v + k2π (k ∈ ¢ ) (k ∈ ¢ ) * cosu = cos v ⇔ u = ± v + k2π u = v + kπ  (k,n∈ ¢ ) * tan u = tan v ⇔  π u , v ≠ + n π  u = v + kπ * cot u = cot v ⇔  u, v ≠ nπ (k,n∈ ¢ ) Dạng Phương trình bậc sinx cosx Là phương trình có dạng: asin x + bcos x = c (1) ; với a,b,c∈ ¡ a2 + b2 ≠ Cách giải: Chia hai vế cho cos α = a a2 + b2 ⇔ sin(x + α) = ;sin α = c a2 + b2 b a2 + b2 a2 + b2 đặt ⇒ (1) ⇔ sin x.cosα + cos x.sin α = c a2 + b2 (2) Chú ý: • (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 1  π • sin x ± 3cos x = 2 sin x − cos x = 2sin(x − )   •   π 3sin x ± cos x = 2 sin x ± cos x = 2sin(x ± )     π • sin x ± cos x =  sin x ± cos x = 2sin(x ± )   Dạng Phương trình bậc hai chứa hàm số lượng giác  sin u(x)   sin u(x)      cosu(x) cosu(x) Là phương trình có dạng : a + b + c = 0,( a ≠ 0)  tan u(x)  tan u(x)      cot u(x)   cot u(x)   sin u(x)    cosu(x)  t = Cách giải: Đặt ta có phương trình : at2 + bt + c =  tan u(x)    cot u(x)  Giải phương trình ta tìm t , từ tìm x Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình  sin u(x)  Khi đặt t =   , ta co điều kiện: t∈ −1;1  cosu(x) Dạng Phương trình đẳng cấp Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) = luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ Cách giải: Xét xem cos x = ( sin x = ) có thõa mãn phương trình hay khơng Sau ( ) k chia hai vế phương trình cho cosk x ≠ sin x ≠ (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn tan x ( cot x ) Dạng Phương trình đối xứng (phản đối xứng) sinx cosx Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x) + bsin x cos x + c = (3) Để giải phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ  t2 − = sin x cos x  π  t = sin x + cos x = 2sin  x + ÷ ⇒  4    t ∈ − 2; 2    Thay (5) ta phương trình bậc hai theo t Ngồi gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x − cos x) + bsin x cos x + c = (3’) Để giải phương trình ta đặt t ∈  − 2; 2   π   t = sin x − cos x = 2sin  x − ÷⇒   sin x cos x = 1− t   Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t B CÁC VÍ DỤ Ví dụ Giải phương trình sau: sin x − cos2x = 2sin(2x− 350 ) = cos2 x − sin2x = sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = Ví dụ Giải phương trình sau: Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình sin3 x sin3x − cos3 x cos3x = − cos x − 2sin2x = sin2x.cos3x = sin5x.cos6x sin2 2x = cos2 2x + cos3x sin x + sin2x + sin3x = cos x + cos2x + cos3x sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x cos2 3x cos2x − cos2 x = Ví dụ Giải phương trình sau: 3sin x + 4cos x = sin 2x + 3cos2x = 2sin 3x + 5cos3x = 3cos x + 3sin x = sin7x − cos2x = 3(sin 2x − cos7x) sin 3x − 3cos3x = 2sin 2x sin x + cos x sin2x + 3cos3x = 2(cos4x + sin3 x) Ví dụ Giải phương trình sau: π  tan  ( sin x + 1)  = 4  cos(π sin x) = cos(3π sin x) Ví dụ Giải phương trình sau: ( ) − sin x + ( ) + cos x = 2sin 2x 3sin2 x + 5cos2 x − 2cos2x = 4sin2x 5sin x − = 3( 1− sin x) tan x π 2 x 2 x sin  − ÷tan x − cos =  4 Ví dụ Giải phương trình sau: sin3 x + cos3 x = sin x − cos x 2cos3 x = sin3x sin x + 3tan x = cos x( 4sin x − cos x) Ví dụ Giải phương trình sau: sin2 x − 5sin x cos x − 6cos2 x = sin2 x − 3sin x.cos x = −1 3sin2 x + 5cos2 x − 2cos2x = 4sin2x sin3 x + cos3 x = sin x − cos x Ví dụ Giải phương trình sau: cos3x + cos2x − cos x − = 3cos4x − 8cos6 x + 2cos2 x + = Lê Hoàng Tùng + sin x THPT Phú Bình sin(x − 3π ) = 4sin( 7π − x) 4 2sin x(1+ cos2x) + sin2x = 1+ 2cos x Ví dụ Giải phương trình sau: ( ) ( ) 3 4 cos3xcos x + sin 3xsin x + 3sin6x = 1+ cos x − sin x ( ) 4 sin x + cos x + sin 4x ( ) − 1− tan 2x tan x = Ví dụ 10 Chứng minh hàm số sau nhận giá trị dương : y = sin2 x − 14sin x.cos x − 5cos2 x + 3.3 33 Lời giải: • Nếu cos x = ⇒ y = 1+ 3.3 33 > 3 • Với cos x ≠ ta có: y = (1+ 33)tan x − 14tan x + 33 − cos2 x Vì ∆ = 72 − (1+ 3.3 33)(3.3 33 − 5) < Suy (1+ 33 33)tan2 x − 14tan x + 33 33 − > ∀x ∈ ¡ Suy điều phải chứng minh Ví dụ 11 Cho tan α ,tan β hai nghiệm phương trình x2 − 6x − = Tính giá trị biểu thức sau P = sin2(α + β) − 5sin(2α + 2β) − 2.cos2(α + β) Cho tan α ,tan β hai nghiệm phương trình x2 + bx + c = ( c ≠ 1) Tính giá trị biểu thức P = a.sin2(α + β) + bsin(2α + 2β) + c.cos2(α + β) theo a, b, c Lời giải: Theo định lí Viét ta có: tan α + tan β = 6, tan α.tan β = −2 Suy tan(α + β) = tan α + tan β = 1− tan α.tan β Ta có: P(1+ tan (α + β)) = P = tan2(α + β) − 10tan(α + β) − cos (α + β) Lê Hồng Tùng ⇒P= THPT Phú Bình tan (α + β) − 10tan(α + β) − 4− 20 − 18 = =− 1+ 1+ tan (α + β) 2 Theo định lí Viét ta có: tan α + tan β = −b,tan α.tan β = c Suy tan(α + β) = tan α + tan β −b = 1− tan α.tan β 1− c Ta có: P(1+ tan (α + β)) = P cos (α + β) = atan2(α + β) + 2btan(α + β) + c ⇒P= atan2(α + β) + 2btan(α + β) + c = 1+ tan2(α + β) = a b2 2b2 − +c (1− c)2 1− c b2 1+ (1− c)2 ab2 − 2b2(1− c) + c(1− c)2 (1− c)2 + b2 C CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN  π Bài Giải phương trình sin  2x + ÷ = − 3   π  x = − + kπ A  ,k ∈¢  x = 5π + kπ  12  x = B  x =   π  x = + kπ C  ,k ∈¢  x = π + kπ  12  π π x = − + k D  ,k ∈¢ x = π + k π  12 ( π + kπ ,k ∈¢ 5π + kπ 12 ) Bài Giải phương trình cos 3x+ 150 =  x = 250 + k.1200 A  ,k ∈¢ 0  x = −15 + k.120  x = 50 + k.1200 B  ,k ∈¢ 0  x = 15 + k.120  x = 250 + k.1200 C  k ∈¢ 0  x = 15 + k.120  x = 50 + k.1200 D  ,k ∈¢ 0  x = −15 + k.120 Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình 1 Bài Giải phương trình sin(4x+ ) =  π x = − + k A  , k ∈¢ x = π + k π   1 π  x = − − arcsin + k B  , k ∈¢  x = π − − arcsin + k π   1 π  x = − arcsin + k C  , k ∈¢  x = π − − arcsin + k π   1 π  x = − − arcsin + k D  , k ∈¢  x = π − arcsin + k π  4 Bài Giải phương trình sin(2x + 1) = cos(2 − x)  x = A  x =  π − + k2π , k ∈¢ π k2π + + 3  x = B  x =  π − 3+ k2π , k ∈¢ π k2π + + 3  x = C  x =  π − 3+ k2π , k ∈¢ π k2π − + 3  x = D  x =  π + k2π , k ∈¢ π k2π + + 3 Bài Giải phương trình 2cos x − = A x = ± π + k2π, (k∈ ¢ ) B x = ± π + k2π, (k∈ ¢ ) C x = ± π + k2π, (k∈ ¢ ) D x = ± π + k2π , (k∈ ¢ ) Bài Giải phương trình 2cot 2x = A x = 3 arccot + kπ (k∈ ¢ ) 2 B x = arccot + kπ (k∈ ¢ ) 2 C x = 3 arccot + kπ (k∈ ¢ ) D x = 3 arccot + kπ (k∈ ¢ ) 2 B x = π + kπ , k∈ ¢ π Bài Giải phương trình sin(4x − ) = A x = π + kπ , k∈ ¢ Lê Hoàng Tùng C x = THPT Phú Bình π + kπ , k∈ ¢ D x = kπ, k∈ ¢ Bài Giải phương trình cot(4x− 20 ) = A x = 300 + k.450 , k∈ ¢ B x = 200 + k.900 , k∈ ¢ C x = 350 + k.900 , k∈ ¢ D x = 200 + k.450 , k∈ ¢ Bài Giải phương trình sin 2x − 2cos2x = kπ , k∈ ¢ A x = arctan 2+ kπ , k∈ ¢ B x = arctan 2+ 3 kπ , k∈ ¢ C x = arctan2+ kπ , k∈ ¢ D x = arctan2+ 2 Bài 10 Giải phương trình tan2x = tan x A x = π + kπ, k∈ ¢ B x = k , k∈ ¢ 2 Bài 11 Giải phương trình A x = π + 2kπ C x = π + kπ (k∈ ¢ ) (k∈ ¢ ) C x = π + kπ , k∈ ¢ D x = kπ , k∈ ¢ 3tan 2x − = B x = π + 2kπ D x = π + kπ (k∈ ¢ ) (k∈ ¢ ) Bài 12 Giải phương trình cos2 x − sin2x =  π  x = + kπ A  ( k∈ ¢ )  x = arctan + kπ   π  x = + kπ B  ( k∈ ¢ )  x = arctan + kπ   π  x = + kπ C  ( k∈ ¢ )  x = arctan + kπ   π  x = + kπ D  ( k∈ ¢ )  x = arctan + kπ  Bài 13 Giải phương trình sin(2x + 1) + cos(3x − 1) =  π  x = + + k2π A  ( k∈ ¢ )  x = π + k 2π  10  π  x = + + k2π B  ( k∈ ¢ )  x = − π + k 2π  10 Lê Hoàng Tùng  π  x = + 3+ k2π C  ( k∈ ¢ )  x = − π + k 2π  10 THPT Phú Bình  π  x = + + k2π D  ( k∈ ¢ )  x = π + k 2π  10 π π Bài 14 Giải phương trình sin(4x − ) + sin(2x − ) =  7π kπ  x = 72 + A  ( k∈ ¢ )  x = π + kπ  24  7π kπ  x = 72 + B  ( k∈ ¢ )  x = 11π + 2kπ  24  7π kπ  x = 72 + C  ( k∈ ¢ )  x = 11π + kπ   7π kπ  x = 72 + D  ( k∈ ¢ )  x = 11π + kπ  24 π Bài 15 Giải phương trình cos7x + sin(2x − ) =  π k2π  x = 50 + A  ( k∈ ¢ )  x = − π + kπ  20  3π k2π  x = − 50 + B  ( k∈ ¢ )  x = − π + kπ  20  x = C  x =   3π k2π  x = 50 + D  ( k∈ ¢ )  x = − π + kπ  20 π k2π + 50 k∈ ¢ ( ) π kπ + 20 π Bài 16 Giải phương trình sin2 2x = cos2(x − )  x = A  x =  π + kπ ( k∈ ¢ ) π kπ +  π  x = − + kπ C  ( k∈ ¢ )  x = π + kπ  12  π  x = + 2kπ B  ( k∈ ¢ )  x = π + kπ  12  π  x = + kπ D  ( k∈ ¢ )  x = π + kπ  12 Bài 17 Giải phương trình sin2 x + cos2 4x = 10 Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình F MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO Vấn đề Tìm nghiệm phương trình lượng giác Các ví dụ Ví dụ Tìm tổng nghiệm khoảng (−π; π) phương trình: π π sin(3x + ) = cos(2x − ) π sin2 2x = cos2(3x − ) Ví dụ Tìm nghiệm dương nhỏ nghiệm âm lớn phương trình sau: (sin x + cos x)2 = 2cos2 3x sin2 2x + cos2 5x = Ví dụ Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình :   1 cos  π  x + 2x − ÷ = sin πx    ( ) ( ) 2 sin πx = sin  π ( x + 1)    Ví dụ ) ( π  Tìm nghiệm nguyên phương trình : cos 3x − 9x + 160x + 800 ÷ = 8  Ví dụ Tính tổng nghiệm nằm khoảng (0;2π) phương trình sau: ( ) − sin x + ( ) + cos x = 2sin 2x CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP π Bài Tìm tổng nghiệm phương trình: 2cos(x − ) = (−π; π) 2π A π B C 4π D 7π π π Bài Tìm tổng nghiệm phương trình sin(5x + ) = cos(2x − ) [0; π] 3 7π 18 A 4π 18 B C 47π Bài 3.Tìm sơ nghiệm ngun dương phương trình sau ( ) π  sin  3x − 9x2 − 16x − 80  = 4  47 D 47π 18 Lê Hoàng Tùng A THPT Phú Bình B C D Bài Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: cos π(3− 3+ 2x − x2 ) = −1 A B C D Bài Tìm số nghiệm x∈  0;14 nghiệm phương trình : cos3x − 4cos2x + 3cos x − = A B C D Bài Tìm số nghiệm khoảng (−π; π) phương trình : 2(sinx + 1)(sin2 2x − 3sinx + 1) = sin4x.cosx A B C Bài Tìm số nghiệm x∈ ( 0;2π ) phương trình : A B D sin3x − sin x 1− cos2x C = sin2x + cos2x D Vấn đề Phương pháp loại nghiệm giải phương trình lượng giác có điều kiện Phương pháp 1: Biểu diễn nghiệm điều kiện lên đưòng tròn lượng giác Ta loại điểm biểu diễn nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn điều kiện Với cách cần ghi nhớ • Điểm biểu diễn cung α α + k2π , k  trựng biu din cung α + 2kπ lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị n (thường chọn k = 0,1,2, ,n − 1) nên ta có n điểm phân biệt cách đường tròn tạo thành đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm α + k,l ∈ ¢ số chạy 48 kπ lπ β + , m,n∈ ¢ biết, n m Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình Ta xét phương trình : α + kπ lπ = β + ⇔ ak + bl = c (*) n m Với a, b, c số nguyên Trong trường hợp ta quy giải phương trình nghiệm nguyên ax + by = c (1) Để giải phương trình (1) ta cần ý kết sau: • Phương trình (1) có nghiệm ⇔ d = (a,b) ước c • Nếu phương trình (1) có nghiệm (x0 ; y0 ) (1) có vơ số nghiệm  b  x = x0 + d t   y = y − at  d Phương pháp 3: Thử trực tiếp Phương pháp ta giải phương trình tìm nghiệm thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua hàm số lượng giác: Giả sử ta có điều kiện u(x) ≠ ( u(x) ≥ 0,u(x) ≤ 0), ta biến đổi phương trình cho phương trình chứa u(x) giải phương trình để tìm u(x) Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: cot3x = cot x cot4x.cot7x = Ví dụ Giải phương trình sau: sin x cot5x =1 cos9x CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình : sin x = cos2x A x = ± π + k2π B x = ± π +k π C x = ± Bài 2: Giải phương trình : cos3x tan4x = sin5x 49 π +k π D x = ± π + kπ Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình A x = k2π, x = π k3π + 16 π k3π + B x = k π, x = 16 π kπ + C x = k π, x = 16 Bài 3: Giải phương trình D x = kπ, x = π kπ + 16 ( sin3x + cos3x) = 1+ 2sin6x + 2sin 2x A x = π 17π + nπ x = + 2nπ 12 12 B x = π 17π + 2nπ x = + nπ 12 12 C x = π 17π + nπ x = + 2nπ 12 12 D x = π 17π + 2nπ x = + 2nπ 12 12 Bài 4: Giải phương trình : tan2x tan3x tan7x = tan2x + tan3x + tan7x  k ≠ 2(2t + 1)  kπ A x = với  k ≠ 3(2t + 1) ,t ∈ ¢  k ≠ 6(2t + 1)   k ≠ 2(2t + 1)  kπ B x = với  k ≠ 5(2t + 1) ,t ∈ ¢ 12  k ≠ 6(2t + 1)   k ≠ 2(2t + 1)  kπ C x = với  k ≠ 5(2t + 1) ,t ∈ ¢  k ≠ 6(2t + 1)   k ≠ 2(2t + 1)  kπ D x = với  k ≠ 3(2t + 1) ,t ∈ ¢ 12  k ≠ 6(2t + 1)  Vấn đề Phương trình lượng giác chứa tham số Các ví dụ Ví dụ Tìm giá trị m để phương trình: 2sin(x + π ) = 2m+ 1vô nghiệm 10 Lời giải:  π  2m+ Phương trình ⇔ sin  x + ữ = 10 Nu 2m+ ≤ 1⇔ − ≤ m≤ phương trình có nghiệm 2  π 2m+  x = − 10 + arcsin + k2π   x = 9π − arcsin 2m+ + k2π  10 50 Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình   m< − • Nếu  ⇒ phương trình vơ nghiệm  m>  Ví dụ Giải biện luận phương trình: mcos2x = m− Lời giải: • Nếu m≥ m− ⇒ ≤ 1⇒ phương trình có nghiệm m m− x = ± arccos + k2π m • Nếu m< phương trình vơ nghiệm Ví dụ Cho phương trình : (m− 1)cos x + 2sin x = m+ Giải phương trình m= −2 Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải: Với m= ta có phương trình : 3cos x − 2sin x = −1 ⇔ 13 cos x − Với sin α = 13 13 sin x = − ,cos α = ⇔ x + α = ± arccos −1 13 13 ⇔ cos(x + α) = − 13  π ; α ∈  0; ÷ 13  2 + k2π ⇔ x = −α ± arccos −1 13 + k2π Phương trình cho có nghiệm ⇔ (m− 1)2 + ≥ (m+ 3)2 ⇔ m≤ − Ví dụ Tìm m để phương trình: ( m + 1) cosx + ( m − 1) sinx = 2m + có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 − x2 = π Lời giải: Ta có phương trình cho tương đương với m+ 2m2 + cosx + m−1 2m2 + sinx = 2m + 2m2 +   51 Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình ⇔ cos( x + α ) = cosβ (Trong cosα = 2m+3 (với đk −1≤ m+1 2m + 2 2m2 + 2m+3 ; cosβ = 2m2 + ≤ (*) ) ) ⇔ x = β ± α + k2π Do x1 , x2 có dạng x1 = β + α + k12π; x2 = β − α + k2 2π (Vì x1,x2 thuộc họ nghiệm x1 − x2 = l 2π , l ∈ Z ) Do đ ó: x1 − x2 = π ⇔ 2α+(k1− k2)2π = π π ⇔ cos 2α+(k1−k2)2π = cos ⇔ cos2α = Mặt khác cos2α = 2cos2α − nên ta có:  m+  ( m + 1) = 2 − ⇔ = ÷ ÷ 2 2m2 +  2m +  2 ⇔ m2 − 4m+ = ⇔ m= ± (ko thoả mãn (*)) Vậy không tồn m thoả mãn u cầu tốn CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Giải biện luận phương trình sau: 4sin 2x = 2m+ π (m− 1)cos2(4x + ) = 2m π tan(2x − ) = m+ π mcot2(2x − ) = 2m+ Lời giải: Phương trình ⇔ sin2x = • Nếu  x =  x =  2m+ 2m+ (1) ≤ ⇔ 2m+ ≤ ⇔ − ≤ m≤ phương trình (1) có nghiệm 2 2m+ arcsin + kπ , k∈ ¢ π 2m+ − arcsin + kπ 2 52 Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình  5 Nu m ; ữ  ; +∞ ÷ phương trình (1) vơ nghiệm 2    Lời giải: • Nếu m= 1⇒ phương trình (1) vơ nghiệm  π  2m • Nếu m≠ 1⇒ phương trình đa cho ⇔ cos2  4x + ÷ = (2)  m−   2m  m− ≥ m∈ (−∞;0] ∪ (1; +∞) ⇔ ⇔ −1≤ m≤ +) Nếu  m − ≤ m <  ≤1   m−  π 2m Phương trình (2) ⇔ cos 2x + ÷ = ± 3 m−  ⇔ 2x +   π 2m  π 2m  = ± arccos ± + k2π ⇔ x = − ± arccos ± + k , k  ữ m ữ m− ÷ ÷      m < −1 +) Nếu  phương trình (2) vơ nghiệm  m> Lời giải: Với giá trị m ta có phương trình cho tương đương với 2x − π π kπ = arctan(m+ 1) + kπ ⇔ x = + arctan(m+ 1) + 12 2 Lời giải: • Nếu m= ⇒ phương trình vơ nghiệm  π  2m+ • Nếu m≠ phương trình ch tương đương với cot2  2x − ÷ = 8 m  +) Nếu 2m+ 1 < ⇔ − < m< phương trình (4) vô nghiệm m  m≤ −  +) Nếu phương trình (4) có nghiệm  m >  2x −  2m+   2m+  kπ π π = arccot  ± + kπ ⇔ x = + arccot + , k  ữ ữ ÷  ÷ m 16 m     53 (4) Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình Bài Giải biện luận phương trình sau: msin2 2x + m− = (2m− 1)tan2 3x = m+ Lời giải: • Nếu m= ⇒ phương trình vơ nghiệm • Nếu m≠ ⇒ phương trình ⇔ sin2 2x = 1− m m  1− m  m< > 1⇔ 1− m > m ⇔  +) ⇒ phương trình vơ nghiệm m  m≠  x =  +) m≥ ⇒ phương trình có nghiệm :  x =    1− m  arcsin  ± + kπ ÷  ÷ m    1− m  π − arcsin  ± + kπ ÷  ÷ 2 m   Lời giải: • Nếu m= ⇒ phương trình vơ nghiệm • Nếu m≠ m+ phương trình ⇔ tan2 3x = 2m− +) Nếu −2 < m< ⇒ phương trình vơ nghiệm  m ≤ −2  m+  kπ ⇒ phương trình có nghiệm x = arct an ± + +) Nếu   2m− ÷ ÷  m>    Bài Cho phương trình (m− 1)sinx + mcos x = 2m− (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x = m vừa tìm đượC Tìm m để phương trình cho có nghiệm Lời giải: Phương trình có nghiệm x = π 54 π , giải phương trình với giá trị Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình π π 3− (m− 1)sin + mcos = 2m− ⇔ m= 3 Bạn đọc tự giải phương trình Lời giải: Phương trình có nghiệm ⇔ (m− 1)2 + m2 ≥ (2m− 1)2 ⇔ m2 − m≤ ⇔ ≤ m≤ Bài Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos2x + cos2 x + 3sin x + 2m= có nghiệm Lời giải: Phương trình ⇔ 3sin2 x − 3sin x = 2m+ 2 Đặt t = sin,t ∈ −  1;1 Ta có phương trình : 3t − 3t = 2m+ 2 Xét hàm số f (t) = 3t − 3t, t ∈ −  1;1 Bảng biến thiên t −1 f (t) Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình cho có nghiệm ⇔ ≤ 2m+ ≤ ⇔ −1≤ m≤ π  cos2x − (2m+ 1)cos x + m+ = có nghiệm  ; π  2  Lời giải: Phương trình ⇔ 2cos x − ( 2m + 1) cosx + m =  2cos x − = ⇔ ( 2cos x − 1) ( cos x − m) = ⇔   cos x − m= π  Ta có : x ∈  ; π ÷⇒ −1≤ cos x ≤ 2  π  Suy phương trình cho có nghiệm x ∈  ; π ÷ ⇔ −1≤ m≤ 2  55 Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình Bài 5: Giải biện luận phương trình : ( ) ( ) 3 8m + sin x − 4m + sin x + 2mcos x = Lời giải: • Nếu m= , phương trình ⇔ sin3 x − sin x = sin xcos2 x = ⇔ sin2x = ⇔ x = kπ • Nếu m≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos3 x ≠ ta ( ) (8m2 + 1)tan3 x − (4m2 + 1)tan x 1+ tan2 x + 2m= ⇔ 4m2 tan3 x − (4m2 + 1)tan x + 2m= ⇔ (2mtan x − 1)(2mtan2 x + tan x − 2m) =    x = arctan + kπ  tan x = tan x = m   ⇔ ⇔ 2m 2m ⇔    kπ  2mtan x + tan x − 2m=  tan2x = 4m  x = arctan(4m) +  2 KL: • Nếu m= phương trình có nghiệm x = kπ • Nếu m≠ phương trình có nghiệm x= kπ 1 kπ , x = arctan + kπ , x = arctan(4m) + 2m 2 2msin x cos x − ( sin x + cos x) + = Lời giải:  π t2 − Đặt t = sin x + cos x = 2cos x − ÷, t ∈  − 2; 2 ⇒ sin x cos x = 4  Thay vào phương trình ta có: t = m(t2 − 1) − t + = ⇔ (t − 1)(mt + m− 1) = ⇔   mt = 1− m  π x = + k2π  π  • t = 1⇔ cos x − ÷ = ⇔  4   x = k2π 56 Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình • Xét phương trình : mt = 1− m (*) +) Nếu m= ⇒ (*) vô nghiệm  m≤ −1− m≠ 1− m ≤ 2⇔  ⇔ m m + 2m− 1≥  m≥ −1+ +) Nếu ⇒ (*) ⇔ t =  1− m 1− m  π  1− m π ⇔ cos x − ÷ = ⇔ x = ± arccos ÷+ k2π m 4 m   m 2  m≠ 1− m ⇒ (*) ⇔ t = +)  vô nghiệm m  −1− < m< −1+ KL: • Nếu −1− < m< −1+ ⇒ phương trình có nghiệm x = π + k2π, x = k2π  m< −1− • Nếu  ⇒ phương trình có nghiệm  m> −1+ x=  1− m π π + k2π, x = k2π, x = ± arccos ÷+ k2π  m 2 mcot2x = cos2 x − sin2 x cos6 x + sin6 x Lời giải: cos2x cos2x = Phương trình ⇔ m sin2x 1− 3sin2 xcos2 x • Phương trình ln có nghiệm: x = • Phương trình: π π +k m = hay 3mt2 + 4t − 4m= (*) sin2x − 3sin 2x Với t = sin2x ∈ −  1;1 \ { 0} +) m= phương trình vơ nghiệm +) m≠ ⇒ phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt t1t2 = − có có nhiều nghiệm thuộc −  1;1 57 nên Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình 2 Nghiệm t = −2 + 1+ 3m ∈ −  1;1 ⇔ 1+ 3m − ≤ m 3m ⇔ 3m2 + ≤ 1+ 3m2 ⇔ 9m4 − 144m2 ≤ ⇔ m ≤ 2 Nghiệm t = −2 − 1+ 3m ∈ −  1;1 ⇔ 1+ 3m + ≤ m vô nghiệm 3m  m= π π Vậy : * Nếu  phương trình cho có nghiệm x = + k  m >  m≠ π π * Nếu  phương trình cho có nghiệm x = + k  m ≤ −2 + 1+ 3m2 π −2 + 1+ 3m2 x = arcsin + kπ , x = − arcsin + kπ 3m 2 3m Bài 6: Tìm m để phương trình mcos2x + sin x = cos x cot x có nghiệm thuộc ( 0;2π ) Lời giải:  sin x ≠ (1) Phương trình ⇔  cos2x(msin x − 1) = (2) • Nếu m= ⇒ phương trình ⇔ cos2x = ⇔ x= π 3π 5π 7π ,x = ,x = ,x = ⇒ m= thỏa yêu cầu toán 4 4 • m≠ Vì phương trình ln có nghiệm ( 0;2π ) nêu yêu cầu toán ⇔ phương trình msin x− = vơ nghiệm có nghiệm m≠  m≠  >   ⇔  m < Điều xảy   m      m= ± =   m m ∀x ∈ ( 1; +∞ ) cos x Ta có phương trình : (1− m)t2 − 2t + 4m= (*) Yêu cầu tốn ⇔ (*) có nhiều nghiệm t > ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt t1 ,t2 >  1− m≠ m≠ 1, m≠   ∆ ' = 1+ 4m(m− 1) >  ⇔ ⇔ t1 + t2 − > (t1 − 1) + (t2 − 1) > t t − (t + t ) + 1> (t1 − 1)(t2 − 1) > 12     m≠ 1, m≠ m≠ 1, m≠ m≠ 1, m≠     m≠     2m  ⇔ − 2> ⇔ >0 ⇔ 0 < m < ⇔   1− m  1− m 1  < m<  4m  3m−  < m<  3  1− m − 1− m + >  1− m >   mtan2 x + 2tan x − 1= có nghiệm cos2 x Lời giải: Phương trình ⇔ mtan2 x + 2tan x − = 1+ tan2 x ⇔ (m− 1)tan2 x + 2tan x − = (1) • m= 1⇒ (*) ⇔ tan x = • m≠ Ta có (*) có nghiệm ⇔ ∆ ' = 2m− 1≥ ⇔ m≥ Vậy m≥ giá trị cần tìm  π cos4x = cos2 3x + msin2 x có nghiệm x ∈  0; ÷  12  Lời giải: Phương trình ⇔ 2cos2 2x − = 1+ cos6x m(1− cos2x) + 2 59 Lê Hoàng Tùng THPT Phú Bình ⇔ 4cos 2x − 4cos 2x − 3cos2x + 3+ m(1− cos2x) = cos2x = ⇔ (cos2x − 1)(4cos 2x − 3− m) = ⇔  cos 2x = m+     π  π ;1÷ Vì x ∈  0; ÷⇒ 2x ∈  0; ÷⇒ cos2x ∈  ÷  12   6   Do phương trình cho có nghiệm ⇔ m+ < < ⇔ < m< 4 Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin4x + cos4x – cos2x + sin2 2x + m= Lời giải: Phương trình ⇔ 1− sin2 2x − cos2x + m= ⇔ cos2 2x − 4cos2x = −3− 4m Đặt t = cos2x ⇒ t ∈ −  1;1 Ta có phương trình f (t) = t2 − 4t = −4m− Bảng biến thiên t −1 f (t) −3 Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm ⇔ −3 ≤ −4m− ≤ ⇔ −2 ≤ m≤ Bài 9: Chứng minh phương trình cosx + mcos2x = ln có nghiệm với m Lời giải: Phương trình ⇔ 2mcos2 x + cos x − m= Đặt t = cos x,t ∈ −  1;1 ta có phương trình 2mt + t − m= • m= ⇒ t = nghiệm phương trình 60 Lê Hồng Tùng THPT Phú Bình • m≠ ta thấy phương trình ln có hai nghiệm t1 ,t2 t1t2 = nghiệm ln có nghiệm thuộc −  1;1 61 ⇒ hai ... phương trình 1+ tan x = 2sin x A x = x= π 11 5π + kπ , x = + kπ, x = − + kπ 12 12 B π 11 5π + k π, x = + k π,x = − +k π 12 12 C x = π 11 5π + k2π, x = + k π, x = − + k2π 12 12 D x = π 11 5π... Phương trình đẳng cấp Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) = luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ Cách giải: Xét xem cos x = ( sin x = ) có thõa mãn phương trình hay khơng Sau ( ) k chia hai vế phương trình. .. nhất) ta phương trình ẩn tan x ( cot x ) Dạng Phương trình đối xứng (phản đối xứng) sinx cosx Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x) + bsin x cos x + c = (3) Để giải phương trình ta sử dụng