Chuyên đề ViiI. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng Ban KHTN Chuyên đề ViiI. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng (6 tiết ) A. Mục tiêu. - Học sinh thành thạo cách viết phơng trình đờng thẳng khi biết các yếu tố xác định đờng thẳng; biết cách tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng, từ đó suy ra vị trí tơng đối giữa các đờng thẳng; có kĩ năng tính toán các đại lợng nh độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc, diện tích; biết vận dụng công thức khoảng cách để giải các bài toán có liên quan; biết giải các bài toán đối xứng: tìm toạ độ điểm đối xứng với điểm qua đờng thẳng, viết phơng trình đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng qua điểm, - Học sinh thành thạo cách viết phơng trình đờng tròn khi biết các yếu tố xác định đờng tròn: tâm, bán kính; nhận ra đợc phơng trình đờng tròn, thành thạo xác định toạ độ tâm, bán kính; viết đợc phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn trong hai trờng hợp: tiếp tuyến tại điểm, đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn thoả mãn một điều kiện ; biết xác định giao điểm của một đờng thẳng với đờng tròn, cách xác định vị trí tơng đối của một điểm với đờng tròn. - Biết dạng chính tắc của các đờng conic, biết định nghĩa riêng của elip, hypebol, parabol và định nghĩa nghĩa chung của đờng conic, xác định đợc các tính chất của conic khi biết ph- ơng trình chính tắc; viết đợc phơng trình chính tắc của conic khi biết một số yếu tố. B. Phân bố giảng dạy. Tiết 1- 2 - 3: Phơng trình đờng thẳng. Tiết 4: Đờng tròn Tiết 5 6: Ba đờng conic. Chủ đề 1 : Các khái niệm cơ bản 1/ Toạ độ của vectơ và điểm a) Toạ độ của vectơ : Cặp số (x ; y) gọi là toạ độ của u r ta viết nh sau : u r (x ; y) hoặc u r =(x ; y) Trong đó : + x : đọc là hoành độ của vectơ + y : đọc là tung độ của vectơ . b) Tính chất : Cho u r (x 1 ; y 1 ) và v r (x 2 ; y 2 ) + u r v r = (x 1 x 2 ; y 1 y 2 ) + k u r = (kx 1 ; ky 1 ) với k là một số bất kì . Bùi Thái Nam THPT Lục Ngạn số 2 1 Chuyên đề ViiI. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng Ban KHTN + Hai véctơ bằng nhau : + Độ dài của Vectơ : + Góc giữa hai véctơ : 2/ Điểm * Cặp số (x ; y) gọi là toạ độ của điểm M ta viết nh sau : M(x ; y) hoặc M = (x ; y) * Toạ độ của Vectơ khi biết toạ độ của hai đầu mút : Cho điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) . Khi đó : (Toạ độ điểm cuối trừ điểm đầu) 3/ Các công thức cơ bản trong hệ toạ độ Oxy */ Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm : Cho điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) Khi đó : */ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo một tỉ số k cho trớc Cho điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) . Điểm M(x ; y) chia đoạn AB theo tỉ số k khi MA=kMB uuuur uuur Khi đó toạ độ của M tính theo công thức sau : */ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : (Trung bình cộng toạ độ hai đầu mút ) Bùi Thái Nam THPT Lục Ngạn số 2 2 u r = v r 1 2 1 2 x x y y = = B A B A AB (x - x ;y - y )= uuur AB = | AB uuur | = 2 2 2 1 2 1 (x - x ) + (y - y ) x = A B x - kx 1 - k ; y = A B y - ky 1 - k x = A B x + x 2 ; y = A B y +y 2 2 2 1 1 u = x + y r cos( u r ; v r ) = 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 . . . x x y yu v u v x y x y + = + + r r r r x = A B C x + x + x 3 ; y = A B C y + y + y 3 Chuyên đề ViiI. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng Ban KHTN */ Toạ độ trọng tâm G(x ; y) của tam giác ABC : Chủ đề 2 : Phơng trình đờng thẳng I Lý thuyết 1/ Phơng trình tổng quát của đờng thẳng 1.1/ Vectơ pháp tuyến của đờng thẳng + Véctơ n r gọi là VTPT của đờng thẳng nếu : n 0 n r r r + Một đờng thẳng hoàn toàn xác định khi biết một VTPT và một điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc nó . 1.2/ Phơng trình tổng quát của đờng thẳng Để viết đợc pt tổng quát của đờng thẳng ta cần biết đợc hai yếu tố sau : + Một VTPT : n r (A ; B) + Một điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc Khi đó phơng trình tổng quát của là : Chú ý : Cho đờng thẳng có pttq : Ax + By + C = 0 khi đó : n r (A ; B) là một VTPT của 2/ Phơng trình tham số của đờng thẳng 2.1/ Vectơ chỉ phơng của đờng thẳng + Véctơ u r gọi là VTPT của đờng thẳng nếu : u 0 u // r r r + Một đờng thẳng hoàn toàn xác định khi biết một VTCP và một điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc nó . 2.2/ Phơng trình tham số của đờng thẳng Để viết đợc pt tham số của đờng thẳng ta cần biết đợc hai yếu tố sau : + Một VTCP : u r (a ; b) + Một điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc Khi đó phơng trình tổng quát của là : Bùi Thái Nam THPT Lục Ngạn số 2 3 A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 0 0 x = x + at y = y + bt Chuyên đề ViiI. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng Ban KHTN Chú ý : * Cho đờng thẳng có ptts : 0 0 x = x + at y = y + bt khi đó : u r (a ; b) là một VTCP của và M(x 0 ; y 0 ) là một điểm thuộc . * Mối quan hệ giữa VPPT và VTCP của một đờng thẳng Giả sử : n r và u r lần lợt là VTPT và VTCP của n r u r . Do đó nếu biết một véctơ thì biết véctơ còn lại . Giả sử : n r (A ; B) u r (B ; - A) . 3/ Phơng trình chính tắc của đờng thẳng * Cho đờng thẳng có ptts : 0 0 x = x + at y = y + bt khi đó phơng trình : gọi là phơng trình chính tắc của đờng thẳng . Chú ý : Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì không có phơng trình chính tắc . 4/ Mối quan hệ giữa ba loại phơng trình 4.1/ Pttq Ptts Cho : Ax + By + C = 0 Tìm VTCP u r (B ; - A) và một điểm M(x 0 ; y 0 ) 4.2/ Ptts Pttq * Cho đờng thẳng có ptts : 0 0 x = x + at y = y + bt . Khử tham số t ta đợc Pttq 5/ Các loại phơng trình đờng thẳng thờng gặp 5.1/ Đờng thẳng viết dới dạng hệ số góc : y = kx + b hsg k Pttq : ax y + b = 0 5.2/ Phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) + Khi đó Vectơ 2 1 2 1 AB = (x - x ; y - y ) uuur là VTCP của đt . + Điểm A hoặc B thuộc đờng thẳng . 5.3/ Đờng thẳng qua điểm M(x 0 ; y 0 ) cho trớc và song song với một đờng thẳng (d) cho trớc . Khi đó ta có : d u = u uur uur . 5.4/ Đờng thẳng qua điểm M(x 0 ; y 0 ) cho trớc và vuông góc với một đờng thẳng (d) cho trớc . Khi đó ta có : d u = n uur uur . Hình vẽ minh hoạ Bùi Thái Nam THPT Lục Ngạn số 2 4 0 0 x - x y - y = a b Chuyên đề ViiI. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng Ban KHTN 6/ Các bài toán hay gặp trong phần này 6.1/ Tìm toạ độ hình chiếu của một điểm trên một đờng thẳng cho trớc . Bài toán : Cho điểm M(x 0 ; y 0 ) và đờng thẳng . Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên . Cách giải : Bài tập ví dụ Bài 1. Lập phơng trình tham số, chính tắc, tổng quát của đờng thẳng đi qua hai điểm M(3;6)và N(5; -3). Bài 2. Cho đờng thẳng d: 3x+ 4y 10 = 0, điểm M(1; 2). a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d b) Viết phơng trình tham số, phơng trình tổng quát của đờng thẳng d 1 đi qua M và song song với d. c) Viết phơng trình tổng quát và phơng trình chính tắc (nếu có) của đờng thẳng d 2 đi qua M và vuông góc với d. d) Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên d. e) Tìm toạ độ điểm M' đối xứng với M qua d. f) Tìm khoảng cách từ N(2; -1) đến d. g) Tìm toạ độ hai điểm A, B trên d sao cho tam giác MAB là tam giác đều. Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng d: 2 4 2 x t y t = = + và điểm M(1; 3). a) Điểm M có nằm trên d hay không? b) Viết phơng trình tổng quát, phơng trình tham số, phơng trình chính tắc (nếu có) của đờng thẳng đi qua M và vuông góc với d. c) Viết phơng trình đờng thẳng d' đối xứng với d qua M. d) Tìm diện tích tam giác tạo bởi đờng thẳng d và các trục toạ độ. e) Tính góc giữa đờng thẳng d và các trục toạ độ. f) Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua M và tạo với đờng thẳng d một góc 60 0 . Bùi Thái Nam THPT Lục Ngạn số 2 5 Chuyên đề ViiI. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng Ban KHTN Bài tập về nhà: Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, trong đó A(4; -1), B(-3; 2), C(1; 6). a) Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. b) Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD. c) Viết phơng trình đờng phân giác trong góc B của tam giác ABC. d) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. e) Tính các cạnh, các góc và diện tích hình bình hành trên. f) Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối của hình bình hành ABCD. Bài 5. Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2). Viết phơng trình các cạnh của tam giác biết rằng 9x - 3y 4 = 0; x + y 2 = 0 lần lợt là phơng trình các đờng cao kẻ từ B và C. Bài 6. Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm A(2;1) và tạo với đờng thẳng 2x + 3y + 4 = 0 một góc bằng 45 0 . Bài 7. Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu B(2 ;-1), đờng cao và phân giác trong qua hai đỉnh A ; C lần lợt là 3x - 4y + 27 = 0 ; x + 2y 5 = 0. Bài 8. Cho hình vuông có một đỉnh là A(0 ;5) và một đờng chéo nằm trên đờng thẳng có ph- ơng trình : 7x y + 8=0. Viết phơng trình các cạnh và đờng chéo thứ hai của hình vuông đó Bài 9. Cho tam giác có M(-1;1) là trung điểm của một cạnh, còn hai cạnh kia có phơng trình lần lợt là: x + y 2 = 0 ; 2x + 6y + 3 = 0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. Bài 10. Cho tam giác ABC, biết A(2; -1) và phơng trình hai đờng phân giác trong của góc B và góc C lần lợt là : d b : x 2y + 1 = 0 ; d c : x + y + 3 = 0. Tìm phơng trình đờng thẳng chứa cạnh BC. Bài 11. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4; -1), đờng cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phơng trình là: 2x 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0. Bài 12. Trong mặt với hệ toạ độ Oxy cho hai đờng thẳng d 1 : x y = 0 và d 2 : 2x + y 1 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết rằng đỉnh A thuộc d 1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. (Đề thi khối A năm 2005) Bài 13. Trong mặt phẳng cho ba đờng thẳng 1 2 3 : 3 0; : 4 0; : 2 0.d x y d x y d x y+ + = = = Bùi Thái Nam THPT Lục Ngạn số 2 6 Chuyên đề ViiI. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng Ban KHTN Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng d 3 sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng d 1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đờng thẳng d 2 . (Đề khối A - 2006) I. Đờng tròn. Bài tập ví dụ Bài 1. Cho ba điểm A(4; 6), B(-3; 5), C(1; 7). a) Viết phơng trình đờng tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C. Tìm toạ độ tâm I và bán kính của đờng tròn đó. b) Hãy xác định vị trí tơng đối của các điểm sau đây với đờng tròn (C): D(-2; -2), E(2; 8), F(0; 2), G(1; -3). c) Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn tại hai điểm A và B. Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến đó. d) Viết phơng trình các tiếp tuyến của đờng tròn song song với trục hoành. e) Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn song song với đờng thẳng OI. f) Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn đi qua điểm E(2; 8). Tìm góc giữa hai tiếp tuyến đó. Bài 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy a) Cho điểm I(2; 3) và đờng thẳng : x 3y + 1 = 0. Viết phơng trình đờng tròn tâm I và tiếp xúc với . b) Cho đờng thẳng d: x 7y + 10 = 0. Viết phơng trình đờng tròn có tâm thuộc đờng thẳng d': 2x + y = 0 và tiếp xúc với d tại A(4; 2). Bài tập về nhà Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ cho ba đờng tròn (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ) lần lợt có phơng trình là: (C 1 ): x 2 + y 2 8x 10y + 16 = 0; (C 2 ): x 2 + y 2 6x 8y = 0; (C 3 ): x 2 + y 2 2x 12y + 12 = 0. a) Tìm toạ độ tâm và bán kính của mỗi đờng tròn đó. b) Viết phơng trình đờng tròn đi qua tâm của ba đờng tròn trên. Bài 4. Viết phơng trình đờng tròn đi qua điểm A(2; -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ. II. Ba đờng conic Bùi Thái Nam THPT Lục Ngạn số 2 7 Chuyên đề ViiI. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng Ban KHTN Bài tập ví dụ Bài 1. Viết phơng trình chính tắc của (E) biết: a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6. b) Tiêu cự bằng 4 và tâm sai e = 3 5 . c) Một tiêu điểm là F ( ) 3;0 và điểm N 3 1; 2 ữ thuộc (E). d) (E) đi qua hai điểm M(1; 0) và N 3 ;1 2 ữ . Bài 2. Cho elip (E) có phơng trình 2 2 1 12 3 x y + = . a) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ hai tiêu điểm F 1 , F 2 , tìm tâm sai của (E). Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của (E). b) Gọi K là một giao điểm của đờng thẳng x 1 = 0 và (E). Tính độ dài KF 1 , KF 2 . c) Viết phơng trình các đờng chuẩn của (E) và tính khoảng cách từ một tiêu điểm đến đờng chuẩn tơng ứng. d) Tìm toạ độ giao điểm của (E) với đờng thẳng x + y 1 = 0. e) M là điểm thuộc (E) sao cho tam giác MF 1 F 2 vuông tại M. Tính diện tích tam giác MF 1 F 2 . Bài 3. Lập phơng trình chính tắc của hypebol (H) biết: a) Trục thực bằng 8, tiêu cự bằng 10. b) Tiêu cự bằng 2 13 , một tiệm cận là 2 3 y x= . c) Tâm sai e = 5 và (H) đi qua điểm ( ) 10;6 . Bài 4. Cho hypebol (H) có phơng trình: 2 2 1 16 9 x y = . a) Tìm toạ độ các đỉnh, các tiêu điểm và tính tâm sai của (H). b) Viết phơng trình các đờng tiệm cận của (H). c) Cho điểm M(x; y) nằm trên (H). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến các đờng tiệm cận của (H) không phụ thuộc vào vị trí của M. Bùi Thái Nam THPT Lục Ngạn số 2 8 Chuyên đề ViiI. Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng Ban KHTN d) Tìm toạ độ các điểm N thuộc (H) sao cho MF 1 = 2MF 2 . e) Viết phơng trình các đờng chuẩn của (H). Bài 5. Lập phơng trình chính tắc của parabol (P) biết: a) (P) có tiêu điểm F(1; 0). b) (P) có tham số tiêu p = 5. c) (P) nhận đờng thẳng d: x = - 2 làm đờng chuẩn. Bài tập về nhà Bài 6. Cho hypebol (H) có phơng trình 4x 2 9y 2 = 36. a) Xác định toạ độ các đỉnh, toạ độ tiêu điểm, tính tâm sai của (H). b) Viết phơng trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm A 7 2 ;3 2 ữ và có chung các tiêu điểm với (H) đã cho. c) M là điểm thuộc (E) trên sao cho MF 1 = 4MF 2 . Tính MF 2 ? d) Tìm m để đờng thẳng y = mx 1 có điểm chung với (H). Bài 7. Cho parabol (P): y 2 = 64x và đờng thẳng d: 4x + 3y + 46 = 0. Xác định điểm M trên (P) sao cho khoảng cách từ M đến d là ngắn nhất. Tính khoảng cách đó. Bài 8. Cho (P) y 2 = 4x. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm I(3; 1) cắt (P) tại hai điểm M và N sao cho I là trung điểm của MN. Bùi Thái Nam THPT Lục Ngạn số 2 9