Chuyên đề phương trình vô tỉ – phạm kim chung

MỤC LỤC CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÀ CÁC KỸ THUẬT XỬ LÝ A PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA Dạng f (x) = g(x) Dạng f (x) = g(x) Dạng f (x) = g(x) Dạng f (x) = g(x) √ √ √ Dạng a1 x + b1 + a2 x + b2 = a3 x + b3 √ √ √ Dạng a1 x2 + b1 x + c1 + a2 x2 + b2 x + c2 = a3 x2 + b3 x + c3 Dạng G √ √ √ Dạng a1 x + b1 + a2 x + b2 = a3 x + b3 Dạng (ax + b) (m1 x + n1 )+ (ax + b) (m2 x + n2 ) = (ax + b) (m3 x + n3 ) Dạng 10 f (x) + g(x) = u(x) + v(x) 10 B PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP 15 C PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ẨN PHỤ 34 D PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 68 E PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 90 CHƯƠNG PHÂN TÍCH, SUY LUẬN ĐỂ TÌM LỜI GIẢI 94 CHƯƠNG SỰ KẾT HỢP GIỮA CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ19 A SỰ KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP NÂNG LŨY THỪA VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC 192 TOÁN THPT CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÀ CÁC KỸ THUẬT XỬ LÝ Chương giới thiệu bạn đọc: Các phương pháp giải phương trình vơ tỷ điển hình Rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp giải toán Phân tích sai lầm giải khó khăn phương pháp Phân tích ưu điểm nhược điểm phương pháp giải tốn Những góc nhìn cho dạng tốn cũ Trải nghiệm số phương pháp giải toán kỹ thuật lạ như: Khép chặt miền nghiệm để đánh giá, truy ngược dấu biểu thức liên hợp A PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA Một số dạng tốn DẠNG f (x) = g(x) ® Phương pháp giải g(x) ⇔ f (x) = Ví dụ Giải phương trình √ 2x − = g(x) ≥ 0( f (x) ≥ 0) f (x) = g(x) √ x2 + 2x − ✍ Lời giải     x≥          2x − ≥     x≥ √ √ ⇔ 2x − = x2 + 2x − ⇔ ⇔  x = −2         x2 + 2x − = 2x −  x2 =       x=2 ⇔ x = Chú ý Các bạn để ý việc chọn f (x) = 2x − ≥ khiến giải toán cách ! đơn giản việc chọn f (x) = x + 2x − ≥ Bài tập tương tự √ √ Giải phương trình √4 − x = x2 + 3x √+ 2 Giải phương trình √2x + 3x − √1 = − x Giải phương trình 2x + = x2 + 2x + PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Ví dụ Giải phương trình √ x3 − 3x + = √ x3 + 2x − ✍ Lời giải √ x3 − 3x + = √ x3 + 2x − ⇔     x3 + 2x − ≥    x3 − 3x + = x3 + 2x − ⇔     x3 + 2x − ≥ ⇔    5x =     x3 + 2x − ≥    x= (Phương trình vơ nghiệm) Chú ý ! Trong việc giải phương trình vơ tỷ việc tìm giá trị x để g(x) ≥ phức tạp, nên triển khai việc tìm nghiệm phương trình sau thử vào điều kiện để xét xem nghiệm vừa tìm có thỏa mãn điều kiện tốn hay khơng Chẳng hạn toán ta cần thử xem x = có thỏa mãn điều kiện f (x) = x3 + 2x − ≥ Å ã 109 =− không cách thay trực tiếp giá trị cần tìm vào hàm f(x), ta thấy f < 0, 125 nên giá trị x = khơng nghiệm phương trình cho Bài tập tương tự √ Giải phương trình √x3 + 2x2 + √1 = x (x + 2) + 3x Giải phương trình √x4 + = √x4 − 3x + Giải phương trình x3 − = x3 + x2 − Ví dụ Giải phương trình √ √ x3 + x2 − = x3 − 3x + ✍ Lời giải √ x3 + x2 − = √ x3 − 3x + 1⇔     x3 + x − ≥    x3 + x2 − = x3 − 3x + ⇔     x3 + x2 − ≥    x2 + 3x − =     x3 + x2 − ≥ √ ⇔ (Phương trình vơ nghiệm)  −3 ± 29   x= Chú ý ! Với tốn có nghiệm số phức tạp hơn, ta làm sau: f (x) = x3 + x2 − = (x2 + 3x − Ç 5)(x − 2) å − 14 Ç √+ 11x √ å −3 ± 29 −3 ± 29 (x + 3z − 5)(x − 2) + g(x) ⇒ f =g 0, > 0, 3x + ≥ ⇒ V T(∗) > 0, nên phương trình (∗) vơ nghiệm Do 1+ 6−x 3x + đó, x = nghiệm phương trình cho -Bình luận Như qua lời giải trên, sau thực phép nhân liên hợp nghiệm phương trình Ngay lúc này, ta tự đặt câu hỏi: Liệu phương trình cịn nghiệm khác khơng? Câu trả lời nằm phương trình (∗) Mà phương trình (∗) lại có hình thức phức tạp phương trình ban đầu, có nghiệm phải giải đây? 209 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Ta cần ý điều rằng, giải phương trình, ta ln cố gắng đưa phương trình phương trình khác đơn giản tìm nghiệm Chính thế, có quyền nghi ngờ phương trình (∗) khơng có nghiệm thực Và công cụ giúp ta làm sang tỏ nghi ngờ Cụ thể lời giải ta sử dụng phương pháp đánh giá xuất phát từ điều kiện tốn để khẳng định phương trình (∗) vô nghiệm Như vậy, kết hợp phương pháp nhân liên hợp phương pháp đánh giá bất đẳng thức giúp giải phương trình cách nhanh chóng Bài tập tương tự: √ √ Giải phương trình x2 + 4x = 1√+ 3x + 2x√− Giải phương trình x2 + 4x + = 3x + + 3x + √ Ví dụ Tìm số thực x thỏa mãn phương trình x2 − 3x − + x3 + = ✍ Lời giải -Phân tích Kiểm tra máy tính CaSiO ta tìm nghiệm phương trình x = 0, x = Tương tự 1, ý tưởng xuất phát sử dụng phươngÅpháp nhân liên hợp nhằm tạo nhân tử ã x+1 =0 x (x − 2) Khi phương trình tương đương với: x (x − 2) + √ x3 + + x + x+1 Khó khăn ta phải giải phương trình + √ = x3 + + x + Với điều kiện toán ta dụng phương pháp đánh giá để hứng minh phương trình vơ nghiệm Từ ta có lời giải Điều kiện: x ≥ −1 Nhận thấy x = −1 khơng thỏa mãn phương trình nên tchỉ ó trình điều kiện x > −1 Khi đó, phương trình tương đương với √ cần giải phương x + − (x + 1) = (x − 2x) + Å ã x (x − 2) (x + 1) x+1 ⇔ x (x − 2) + √ = ⇔ x (x − 2) + √ =0 x3 + + (x + 1) x3 + + x + x+1 Với điều kiện toán, x > −1 ⇒ + √ >0 x3 + + x + Do đó, phương trình cho có hai nghiệm x = 0; x = -Bình luận lời giải nhiều học sinh dễ mắc sai lầm chỗ không kiểm tra trường hợp x = −1 có phải nghiệm phương trình khơng Ngồi phương trình cịn đưa dạng phương x+1 + trình đẳng cấp sau: (1) ⇔ x2 − x + + (x + 1) (x2 − x + 1) − (x + 1) = ⇔ −2 x −x+1 √ x+1 √ + = x2 − x + √ Ví dụ Giải phương trình: 6x2 − x − + √ 46x + 17 √ = − 8x 2x − − 3x + ✍ Lời giải -Phân tích Phương trình có hình thức cồng kềnh , cồng kềnh thức xuất mẫu số Điều khiến cho phép quy đồng gặp trở ngại Cho nên thay thực phép quy đồng biểu thức mà ta không mong muốn này, sử dụng phép nhân liên hợp để khử thức mẫu số Theo kinh nghiệm chúng tơi, đứng trước tốn có hình thức phức tạp này, nghĩ hẳn tác giả muốn gửi gắm điều đặc biệt đằng sau cánh cửa với vẻ ngồi phức tạp Và chìa khóa để mở cánh cửa dầu tiên quan sát tinh tế mối quan hệ hơn, đẳng thức: √ số trong√phương trình √ Cụ thể √ 46x + 17 = 16 (3x + 1) − (2x − 1) = 3x + − 2x − 3x + + 2x − 6x2 − x − = (3x + 1) (2x − 1) Sau √ phép nhân liên√hợp √ phương trình tương đương với: 6x − x − − 2x − + 3x + = − 8x Nhẩm nghiệm x = ta nghĩ đến biện pháp nhân liên hợp lần thứ hai 210 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ TOÁN THPT ï 211 ò 12 18x + 15 √ √ − Ta thu phương trình: (x − 1) √ − +8 =0 6x2 − x − + + 2x − + 3x + Sự khó khăn lớn sau sử dụng phương pháp nhân liên hợp tìm nghiệm vế sau howacj chứng minh vế sau vô nghiệm Và biết khơng có nghiệm ta  dựa vào điều kiện    6x2 − x − ≥         2x − ≥ toán để đánh giá vơ nghiệm Cụ thể lời giải sau đây: Điều kiện:    3x + ≥       √ √   2x − = 3x + 1 ⇔ x ≥ − Khi đó, phương trình cho tương đương với √ √ √ 6x2 − x − − 2x − + 3x + = − 8x √ √ √ ⇔ 6x2ï− x − − + − 2x − + − 3x + + 8xò − = 12 18x + 15 √ √ − ⇔ (x − 1) √ − +8 =0 6x2 − x − + + 2x − + 3x + 12 2 12 √ √ + = Chú ý rằng, ≤ + + 2x − + 3x + 18x + 15 12 √ √ Suy √ − − + > 0, ∀x ≥ 6x2 − x − + + 2x − + 3x + Do đó, x = nghiệm phương trình cho -Bình luận Đôi việc đánh giá vế sau vô nghiệm đơn giản, ta cần phải có tinh tế có đánh giá hiệu √ √ √ Ngồi ra, phương trình 6x2 − x − − 2x − + 3x + = − 8x giải phương pháp đặt ẩn phụ đưa việc giải hệ phương trình Ý tưởng dành cho độc giả tự tìm hiểu Ví dụ Giải phương trình √ x−1+ √ x + + (x − 1) (x2 − 3x + 5) = 2x ✍ Lời giải Điều kiện x ≥ Tương tự trên, ta nhẩm nghiệm x = phương trình Khi phương trình cho tương đương với √ (x − 1) (4x + 3) x − + (x − 1) (x2 − 3x + 5) = √ x + + 2x đ √ √ √ x − (4x + 3) ⇔ x − 1 + x2 − 3x + − √ =0 x + + 2x   x=1 √ ⇔  √ x − (4x + 3) + x2 − 3x + = √ (∗) x + + 2x ỵ ó √ Mặt khác, ta có + x2 − 3x + = + x2 + (x − 3)2 + > + x √ Lại có, theo bất đẳng thức AM – GM x = (x − 1) + ≥ x − x √ (4x + 3) √ x − (4x + 3) Do vậy, ta có √ ≤ < x + < + x2 − 3x + 2x x + + 2x Điều chứng tỏ phương trình (∗) vơ nghiệm Kết luận, phương trình cho có nghiệm x = -Bình luận Vấn đề khó khăn lời giải chứng minh phương trình (∗) vơ nghiệm Ở lời giải ta sử dụng bất đẳng thức AM – GM (Cauchuy) cách hợp lý để giải triệt để đoạn 211 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ cuối tốn Tuy nhiên, khơng phải cách đánh giá Chẳng hạn, ta đánh sau: √ » √ √ Ta có + x − 3x + = + (x − 2)2 + x + ≥ + x + > x − √ √ √ √ x − (4x + 3) x − (4x + 4) Mặt khác ta lại có √ = x − < + x2 − 3x + ≤ + 2x x + + 2x Do đó, (∗) vơ nghiệm √ √ √ √ Ví dụ Giải phương trình x + + x + = 2x2 + 2x2 + ✍ Lời giải -Phân tích Quan sát phương trình ta nhận thấy rằng: (2x2 + 1) − (x + 3) = 2x2 − (x + 2) = 2x2 − x − Do ta nghĩ đến biện pháp ghép đôi để thực phép nhân√liên hợp √ Khi ta được: √ √ √ √ √ √ 3 3 x + + x + = 2x + 2x2 + ⇔ x + − 2x2 + = 2x2 − x + 2x2 − x − 2x2 − x − » » » + =0 ⇔ √ √ √ √ √ 3 4x4 + 2x2 x + + (x + 2)2 (x + 3)2 + x + 3 2x2 + + (2x2 + 1)2   2x − x − = 0(1)  ⇔ 1  » » +» = 0(2) √ √ √ √ √ 3 4x4 + 2x2 x + + (x + 2)2 (x + 3)2 + x + 3 2x2 + + (2x2 + 1)2 Phương trình (1) ta dễ dàng giải Vấn đề phương trình (2) ta giải phương pháp gì? Câu thể√hiện lời √ trả lời √ √ giải sau√đây: Ta có √ √ √ 3 x + + x + = 2x2 + 2x2 + ⇔ x + − 2x2 + = 2x2 − x + 2x2 − x − 2x2 − x − » » » ⇔ √ + =0 √ √ √ √ 3 2 3 3 2 4x + 2x x + + (x + 2) (x + 3) + x + 2x + + (2x2 + 1)2   2x − x − = 0(1)  ⇔ 1  » » +» = 0(2) √ √ √ √ √ 3 2 3 3 3 2 4x + 2x x + + (x + 2) (x + 3) + x + 2x + + (2x + 1) √ ± 17 Phương trình (1) cho ta hai nghiệm x = Å ã2 b 3b2 Để ý, a2 + ab + b2 = a + ≥ nên dẫn đến vế trái phương trình (2) ln dương, tức + phương trình (2) vơ nghiệm -Bình luận Trong lời giải trên, khơng có phối hợp sử dụng phương pháp đánh giá, phương pháp nhân liên hợp không đủ sức để giải trọn vẹn phương Tuy nhiên, phương trình √ trình √ giải theo phương pháp hàm số: Ta có hàm số f (t) = t + t +√1 hàm đồng biến theo ± 17 t , nên từ phương trình ta có f (x + 2) = f (2x2 ) ⇔ 2x2 = x + ⇔ x = √ √ Ví dụ Giải phương trình x2 + = x − + 2x − ✍ Lời giải -Phân tích Đối với phương trình có nhiều loại dấu thức phương trình phương pháp nhân lũy thừa bất lực Trong trường hợp này, ta nhẩm nghiệm x = , nên định hướng sử√dụng phương pháp √ nhâ liên hợp cho √ √ khai Sau phép nhân liên hợp ta thu được: 3 2 x + = x − + 2x − ⇔ x + − = x − − + (x − 2) x2 − x−2 ⇔ » =√ + (x − 2) √ x−1+1 (x2 + 4)2 + x2 + + 212 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ TOÁN THPT 213   x=2  ⇔ x+2  » −√ − = 0(∗) √ 3 x−1+1 (x2 + 4) + x2 + + Việc lại ta phải giải phương trình (∗) Với hình thức phức tạp phương trình (∗) , kết hợp việc kiểm tra nghiệm máy tính√CaSiO ta đánh√ giá để khẳng định √ √ phương trình (∗) 3 2 vơ nghiệm Với điều kiện x ≥ 1, ta có x + = x − 1+2x−3 ⇔ x + 4−2 = x − 1−1+2 (x − 2) x2 − x−2 ⇔ » =√ + (x − 2) √ 3 x − + 2 (x + 4) + x + +   x=2  ⇔ x+2  » −√ − = 0(∗) √ 3 x − + 2 (x + 4) + x + + » x+2 < ⇒ V T(∗) < Từ điều kiện x ≥ suy (x2 + 4)2 > x ⇒ » √ (x2 + 4)2 + x2 + + Do đó, phương trình (∗) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Như vậy, qua tốn trên, nhìn lợi ích kết hợp hai phương pháp nhân liên hợp phương pháp đánh giá chưa nào? Sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta nghiệm phương trình, cị phương pháp đánh giá chứng minh tính nghiệm hay vơ nghiệm phương trình Điều khó khăn hi thực kết hợp hai phương pháp để giải triệt để phương trình vơ tỷ kỉ đánh giá √ √ Ví dụ Giải phương trình 162x3 + − 27x2 − 9x + = ✍ Lời giải -Phân tích Kiểm tra máy tính CaSiO ta tìm nghiệm x = phương trình Với ý tưởng √ √ 3+2− − 9x + = nhân liên hợp ta có được: 162x 27x   2 (9x + 3x + 1) 3x =0 ⇔ (3x − 1)  Ä√ −√ ä2 √ − 9x + + 3 3 27x 162x + + 162x + + Vấn đề lúc ta giải phương trình sau nào: (9x2 + 3x + 1) 3x −√ =0 Ä√ ä2 √ 27x2 − 9x + + 162x3 + + 162x3 + + Phương trình có √ √ hình thức phức tạp, nhiên ta có: 162x3 + = 27x2 − 9x + + Và sau đó, để việc xử lý phương trình Å thuận tiệnã ta sử dụng √ phép đặt ẩn a = 162x3 + Khi đó, phương trình chuyển thành: 3x + +1 = α+ +2 3x α α ⇔ 3x + +1= + +1 3x α Từ ta có lời giải: Ta có 27x2 − 9x + > 0, nên phương trình ln xác định với số thực x Viết lại phương trình cho√dưới dạng: √ 162x3 + − + − 27x2 − 9x + = 162x3 − 3x (3x − 1) ⇔ Ä√ −√ =0 ä2 √ 3 27x2 − 9x + + 162x3 + + 162x3 + +   2 (9x + 3x + 1) 3x =0 ⇔ (3x − 1)  Ä√ −√ ä2 √ 3 3 27x − 9x + + 162x + + 162x + + 213 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ 3x (9x2 + 3x + 1) −√ =0 ä2 √ 27x − 9x + + 162x3 + + 162x3 + + (9x2 + 3x + 1) 3x −√ =0 Ä√ ä2 √ 3 162x3 + 162x3 + + 162x3 + + √ Đặt a = 162x3 +  α Å ã  3x = α 2 Suy 3x + + = α + + ⇔ 3x + +1= + +1 ⇔  3x α 3x α 3x = α α 3 -Với 3x = ⇔ 216x = 162x + ⇔ x = 3 x=  3… -Với 3x = ⇔ 27x3 (162x3 + 2) = ⇔   α x=−3 81 Thử lại phương trình cho ta có nghiệm thỏa mãn x = Xét phương trình Ä√ -Bình luận Trong lời giải ta kết hợp ba phương pháp để giải phương trình, phương pháp nhân liên hợp, phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp nâng lũy thừa Rõ ràng thiếu ba phương pháp ta khơng thể giải tốn hồn tồn Chú ý phương trình α 3x + +1= + +1 3x α Ta giải phương pháp hàm số với f (t) = t + + Nhưng để hàm f (t) đơn điệu t α gắn t = 3x, t = hay t = , ta cần ý thu hẹp điều kiện biến α Ví dụ Tìm tất giá trị x < thỏa mãn phương trình sau: (2 − x) (5 − x) = x + (2 − x) (10 − x) ✍ Lời giải -Phân tích Dễ dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình Bằng ý tưởng nhân liên hợp để tạo nhân tử x − ta được: (2ỵ − x) (5 − x) = x + ó (2 − x) (10 −ỵx) ó (2 − x) (5 − x) − = (x − 1) + (2 − x) (10 − x) − ⇔2 (x − 1) (x − 6) (x − 1) (x − 11) ⇔ = (x − 1) + (2 − x) (5 − x) + (2 − x) (10 − x) + (x − 6) = Bài toán giải hồn tồn nế phương trình sau giải quyết: (2 − x) (5 − x) + x − 11 1+ (2 − x) (10 − x) + Chú ý giả thiết lại cho x < Do đó, kết hợp với phương pháp đánh giá ta giải phương trình sau: Với x < biểu thức tổng phương trình ln xác định Thực trục thức cho phương trình,ó ta được: ỵ(2 − x) (5 − x) = x + ó(2 − x) (10 − x) ỵ ⇔2 (2 − x) (5 − x) − = (x − 1) + (2 − x) (10 − x) − (x − 1) (x − 6) (x − 1) (x − 11) ⇔ = (x − 1) + (2 − x) (5 − x) + (2 − x) (10 − x) + 214 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ TOÁN THPT 215   x=1 ⇔  x − 11 (x − 6) =1+ (∗) (2 − x) (5 − x) + (2 − x) (10 − x) + Do x < nên (2 − x) (10 − x) ≥ (2 − x) (5 − x) 1 Suy ≤ (2 − x) (10 − x) + (2 − x) (5 − x) + Nhưng x < nên x − 11 < Vì dấu bất đẳng thức đổi chiều, hay là: x−1 ≥ (2 − x) (10 − x) + x − 11 (1) (2 − x) (5 − x) + Mặt khác hiển nhiên ta có: (2) 1≥ (2 − x) (5 − x) + x − 11 (x − 6) x − 11 +1− ≥ + (2 − x) (10 − x) + (2 − x) (5 − x) + (2 − x) (5 − x) + 2 (x − 6) 2−x − = >0 (2 − x) (5 − x) + (2 − x) (5 − x) + (2 − x) (5 − x) + Do đó, phương trình (∗) vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình cho x = -Bình luận Bài tốn thực tế khó Do đó, cần phải linh hoạt thực nhân liên hợp kết hợp kĩ đánh giá cần bám sát giả thiết x < Tuy nhiên, liệu ta mở rộng tập giá trị x khơng? Nếu giải phương trình tập số thực ta nào? Sau đây, tham khảo hướng giải khác phương trình Với kết hợp hai phương pháp nhân liên hợp, phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp nâng lũy thừa, ta giải phương trình sau:ỵ ó (2 − x) (5 − x) − (x + 1) = (2 − x) (10 − x) − (x + 2) Biến đổi phương trình dạng: 16 (1 − x) Thực trục thức (Kiểm tra điều kiện cho hai mẫu khác 0) Ta có phương trình tương đương: = B+x+2 18 (1 − x) với A = (2 − x) (5 − x), B = (2 − x) (10 − x) A+x+1 Ngồi nghiệm x = ta cịn giải hệ phương trình:     2A = B + x ⇒ 5B = 3x − 10 ⇔ (2 − x) (10 − x) = 3x − 10    (A + x + 1) = (B + x + 2) √ 15 + 5 Bằng phương pháp nâng lũy thừa đưa phương trình bậc Từ ta có thêm nghiệm x = Từ (1) (2) ta có: Ví dụ 10 Giải phương trình x3 − 3x + = √ − 3x2 ✍ Lời giải -Phân tích Kiểm tra máy tính CaSiO ta tìm nghiệm lẻ phương trình Mặt khác, phương pháp nâng lũy thừa phương pháp đặt ẩn phụ lại khơng thể giúp cho ta trường Do đó, ta dùng hệ số bất định để thực phép nhân liên hợp x2 − x − Khi đó, ta có được: x3 − 2x − + √ =0 − 3x Å ã +2−x ⇔ (x2 − x − 1) x + + √ =0 − 3x2 + − x Và chắn đến phương trình chưa giải hồn tồn Nếu có kết hợp sử dụng 215 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ đánh giá phương pháp hàm số liệu√phương trình √ có giải hồn tồn khơng? Chúng 6 ≤x≤ ta xem xét lời giải sau: Điều kiện: − 3 x −x−1 Khi đó, phương trình trở thành: x3 − 2x − + √ =0 − 3x2 + − x ã Å =0 ⇔ (x2 − x − 1) x + + √ − 3x2 + − x √ −3x Xét f (x) = − 3x2 + − x ta có: f (x) = √ −1 − 3x2 … −3x ⇒ f (x) = ⇔ √ =1⇔x=− − 3x2 Ta có bảng biến√thiên: √ √ 6+4 6+4 kết hợp với |x| ≤ ⇒ < f (x) ≤ ⇒ f (x) ≤ 3 √ 4 √ >0 ⇒x+1+ √ =x+1+ ≥− +1+ f (x) − 3x + − x 6+4 √3 ± Vậy phương trình cho có nghiệm x2 − x − = ⇔ x = -Bình luận Như vậy, kết hợp phương pháp nhân liên hợp phương pháp hàm số, ta tìm tất nghiệm phương trình Ngồi kỉ đánh giá bất đẳng thức, phương pháp hàm số phương pháp mạnh để khẳng định phương trình có nghiệm vơ nghiệm nhờ vào tính đơn điệu hàm số Do đó, kết hợp phương pháp nhân liên hợp phương pháp hàm số công cụ mạnh để giải phương trình vơ tỷ √ √ Ví dụ 11 Giải phương trình x + + 22 − 3x = x2 + ✍ Lời giải -Phân tích Bằng kĩ nhẩm nghiệm ta có x = nghiệm phương trình Từ nảy sinh ý tưởng nhân liên hợp Và tất nhiên, để giải nốt vế sau ta phải nhắc đến phương 22 pháp hàm số Từ ta có lời giải cho tốn sau: Điều kiện −2 ≤ x ≤ Khi phương trình √ cho tương đương√với 22 − 3x − = x2 − 4 x+2− Å2 + ã ⇔ (x − 2) x + − √ +√ =0 22 − 3x + x+2+2   x=2 ⇔  x+2− √ +√ = 0(∗) 22 − 3x + x+2+2 Xét hàm số f (x) = x + − √ +√ 22 − 3x + x+2+2 Å ã 22 Ta có f (x) = + √ √ √ + √ > 0, ∀x ∈ −2; x + x + 2ï + ò 22 − 3x 22 − 3x + 22 Vậy f (x) hàm đồng biến −2; Mà f (−1) = nên phương trình (∗) có nghiệm x = −1 Tóm lại, phương trình ban đầu có nghiệm x = −1; x = -Bình luận Sau phép nhân liên hợp ta tìm nghiệm phương trình Tuy nhiên, vấn đề khó khăn lại tạo phương trình (∗) có hình thức phức tạp phương trình ban đầu Tuy nhiên, cách sử dụng tính đơn điệu hàm số ta chứng minh 216 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ TOÁN THPT 217 phương trình (∗) có nghiệm x = −1 Sự kết hợp hai phương pháp tạo nên nét đặc trưng cho lời giải gặp dạng phương trình vơ tỷ Ví dụ 12 Giải phương trình √ √ x2 + 9x − + x 11 − 3x = 2x + ✍ Lời giải -Phân tích Ý tưởng sử dụng phương pháp nhân liên hợp mở đầu xuất phát từ việc ta nhẩm nghiệm phương trình ị ï 1 =0 Khi ta có: (3x − 10) √ −√ 11 − 3x + x2 + 9x − + x + Khó khăn vế sau chúng √ta giải phương pháp hàm số, cụ thể thể lời 85 − 11 giải sau đây: Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình tương đương với 2√ √ x2 + 9x − 1ï− (x + 3) + x 11 − 3x − = ò 1 −√ ⇔ (3x − 10) √ =0 11 − 3x + x2 + 9x − + x +  10  x= ⇔  √ √ x2 + 3x + x x2 + 9x − = 11 − 3x + 1(1) √ √ Xét f (x) = x2 + 3x + x x2 + 9x − 1, g(x) = 11 − 3x + Ta có √ 2x2 + 9x f (x) = 2x + + x2 + 9x − + √ > 0, g (x) = − √ < 11 − 3x x2 + 9x − Do đó, (1) có nghiệm Å ã có Å ã nghiệm 2 Hơn nữa, ta lại có f =g = nên (1) có nghiệm x = 3 10 Vậy, phương trình cho có nghiệm x = ; x = 3 -CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN √ √ Bài Giải phương trình … x + + −2 x = x − x + Đáp số: x = −1; x = 2x + x 1−x Bài Giải phương trình = Đáp số: x = x 1+x … 1−x 2x + x2 Hướng dẫn: P T ⇔ −1= − 1, trục thức làm xuất nhân tử chung 2x − x √ +√ x2 Bài Giải phương trình 4x + − 3x − = x + Đáp số:x = √ √ Hướng dẫn: P T ⇔ 4x − − + − 3x − = x − 6, trục thức làm xuất nhân tử chung x − √ √ Bài Giải phương √ trình x − 2√ + − x = 2x2 − 5x − Đáp số: x = Hướng dẫn: P T ⇔ x − − + − x − = 2x2 − 5x − 3, trục thức làm xuất nhân tử chung x − √ √ x+3 Bài Giải phương trình 4x + − 3x − = √ √ x+3 Hướng dẫn: P T ⇔ 4x + − + − 3x − = − 1, trục thức làm xuất nhân tử chung x − Đáp số: x = √ Bài Giải phương trình x2 √ + 9x + 20 = √ 3x + 10 Đáp số: x = −3 Bài Giải phương trình 4x + − 3x − = x + (HSG HN2010) Đáp số: x = √ √ Bài Giải phương trình √3 − x + 2√+ x = x3 + x2 − 4x − Đáp số: x = −1; x = Bài Giải phương trình x2 + 12 − x2 + = 3x − Đáp số: x = √ √ √ √ Bài 10 Giải phương trình x + x + = 2x2 + 2x2 + Đáp số: x = −1; x = − 217 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ √ √ Bài 11 Giải phương trình x − − x +√3 + (x − 1) (x2 − 3x + 5) = −2x Đáp số: x = Bài 12 Giải phương trình x2 − 3x − = x − (x2 − 4x − 2) Đáp số: x = √ √ √ x+3 Bài 13 Giải phương trình x2 − + x − + x + + x = + Đáp số: x = x −6 √ 1 Bài 14 Giải phương trình √ + x + x2 = x + + Đáp số: x = x …x − x + √ x+9 x +1 √ + Đáp số: x = ± Bài 15 Giải phương trình = x2 + x + x2 − 1 = Đáp số: x = Bài 16 Giải phương trình √ + 2+ x − x √2x √ 3 Bài 17 Giải phương trình x − + x = x − x+3 x2 + 3x + √ Hướng dẫn: Chứng minh + √ < < Đáp số: x = 3 x3 − + x2 − + + Ä ä √ √ Bài 18 Giải phương trình − 64 − x2 = x + + + x2 Đáp số:x = ä Ä ä Ä√ √ x2 + x + − = (4x2 + 2x) (x + 1) − 9x2 + Bài 19 Giải phương trình (27x3 − 3x) Đáp số: x = − √ √ x − ± Bài 20 Giải phương trình 2x2 − 3x + = Đáp số: x = 1; x = 2x − … √ √ 2x3 − 7x2 + 19 Bài 21 Giải phương trình (x − 1) 2x2 − 5x − 15 + = 2x3 − 7x2 − 12x + 17 + 7x √ ± 177 Đáp số: x = 1; x = 4 SỰ KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC Ví dụ Giải phương trình 8x3 − 36x2 + 53x − 25 = √ 3x − ✍ Lời giải -Phân tích Phương trình được√ biến đổi thành dạng: 3 (2x − 3) + 2x − = 3x − + 3x − Sự phân tích dẫn đến ý tưởng sử dụng tính đơn √ điệu hàm số để giải phương trình Sau đó, ta cần tìm nghiệm phương trình 2x − = 3x − 5(∗) Chắc chắn chưa thể kết luận nghiệm phương trình lúc Và có lẽ biện pháp nâng lũy thừa giải pháp an tồn cho √ 3 phương trình (∗) Từ đó, ta có lời giải: Ta có: 8x − 36x + 53x − 25 = 3x − ⇔ (2x − 3)3 + 2x − = √ 3x − + 3x − 5(1) Xét hàm f (t) = t3 + t đồng biến √ với √ Do đó, (1) ⇔ f (2x − 3) = f 3x − ⇔ 2x − = 3x −   x=2 √ ⇔ (2x − 3)3 = 3x − ⇔ (x − 2) (8x2 − 20x + 11) = ⇔   5± x= √ 5± Vậy, phương trình cho có nghiệm: x = 2; x = -Bình luận Trong lời giải ta cần ý đến kĩ tìm hàm số đặc trưng hàm số kết hợp với phương pháp nâng lũy thừa để tìm nghiệm phương trình Bài tập tương tự: √ Giải phương trình x − 4x − = x + » √ Giải phương trình (x + 6) + x + − x6 − 12x5 − 48x4 − 64x3 − x2 − 4x = (Đề thi Olympic 30/04/2011) 218 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ TỐN THPT Ví dụ Giải phương trình √ 219 6x + = 8x3 − 4x − ✍ Lời giải -Phân tích √ Phương trình biến đổi thành dạng: 6x + + 6x + = (2x)3 + 2x Ý tưởng tương tự trước, kết hợp hai phương pháp hàm số phương pháp nâng lũy thừa quy việc giải phương trình giải phương trình 8x3 − 6x − = Tuy nhiên , phương trình bậc lại có nghiệm phân biệt số vô tỷ thuộc (−1; 1) , để ý đến đẳng thức 4x3 −3x = cos3 t−3√cos t giúp định hướng √ cách giải phương trình bậc √ Cụ thể lời giải sau: Ta có: 6x + = 8x3 − 4x − ⇔ 6x + + 6x + = (2x)3 + 2x ⇔ f 6x + = f (2x) Trong f (t) = t3 + t Dễ thấy f (t) hàm đồng biến nên √ √ f 6x + = f (2x) ⇔ 6x + = 2x ⇔ 8x3 = 6x + ⇔ 4x3 − 3x = (1) 2 -Nếu |x| > |V T (1)| = |x (4 cos −3)| > > -Nếu |x| ≤ đặt x = cos ϕ, ϕ ∈ [0; π] π 3kπ Phương trình trở thành: cos4 ϕ − cos ϕ = ⇔ cos 3ϕ = ⇔ ϕ = ± + 2 π 5π 7π Vậy phương trình cho có nghiệm x = cos ; x = cos ; x = cos 9 -Bình luận Với phương trình trên, phương pháp hàm số ta thực công đoạn cơng việc giải phương trình Do đó, để hồn thành cơng việc giải phương trình ta cần có kết hợp phương pháp nâng lũy thừa, phương pháp đánh giá phương pháp đặt ẩn phụ Nếu thiếu cơng đoạn ta khơng hồn thành cơng việc không giải trọn vẹn phương trình Ví dụ Giải phương trình √ √ √ + 4x − 4x2 + + 2x + + − 2x = (2x − 1)2 (4x2 − 4x + 3) ✍ Lời giải -Phân tích Quan sát kĩ phương trình ta nhận thấy số điều sau đây: 4√ = (2x + 1) + (3 − 2x) ; 4x − 4x2 + = (2x + 1) (3 − 2x); î ó (2x − 1)2 (4x2 − 4x + 3) = (2x − 1)2 (2x − 1)2 + Dựa điều này, phương trình biến đđổi tương đương thành: ô 2 √ √ √ √ (2x − 1) (2x − 1)2 2x + + − 2x + 2x + + − 2x = + 2 Từ đây, ý tưởng sử dụng phương pháp hàm số rõ ràng Ta quy tốn giải phương trình: √ √ (2x − 1)2 2x + + − 2x = (∗) Đến phương trình chưa giải hoàn toàn Vấn đề nảy sinh giải phương (2x + 1) − (3 − 2x) trình (∗) Để ý 2x − = gợi cho ta nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình (∗) Cụ thể lời gải toán sau: Điều kiện − ≤ x ≤ Khi đó, phương trình 2 viết lại dạng sau: đ ơ2 √ √ √ √ (2x − 1)2 (2x − 1)2 2x + + − 2x + 2x + + − 2x = + 2 Xét hàm số f (t) = t + t, ∀t ∈ [0; +∞) có f (t) = 2t + > 0, ∀t ∈ [0; +∞) nên hàm số f (t) đồng biến [0; +∞) 219 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ √ √ (2x − 1)2 Do đó, phương trình tương đương với 2x + + − 2x = (∗)  √    a = 2x + ≥ Đặt ⇒ a2 + b2 =  √   b = − 2x ≥        = (a − b)2 (a + b)  (a + b) = (a2 − b2 )2 ⇔ Ta có hệ phương trình     2  a2 + b =  a +b =4           (4 − 2ab) (a + b) =  (2 − ab) (a + b) =  S =a+b≥0 ⇔ ⇔ Tiếp tục đặt        a2 + b2 =  (a + b)2 − 2ab =  P = ab ≥        S=  (2 − P ) S = 2−P ⇔ Ta cần giải hệ phương trình      P (P − 4P − 4) =  S − 2P =   P =0⇒S=2   √ ⇔ √ (loại)  P =1+ 5⇒S =  1−  √ P =1−         √   a=2   2x + =         √          S=2  x=   b=0   − 2x =   ⇔ Với ⇔ ⇔ (thỏa mãn điều kiện phương     √          P =0  x=−   a=0   2x + =       √    − 2x =  b=2 trình ban đầu) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = − ; x = 2 -Bình luận Một phương trình có hình thức cồng kềnh kết hợp hai phương pháp hàm số phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải phương trình cách tự nhiên trọn vẹn Bằng kết hợp phương pháp hàm số số phương pháp khác, bạn độc giả thực giải số toán sau đây: BÀI TẬP TỰ LUYỆN √ Bài Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + = (3x + 2) 3x + Đáp số: x = 0; x = √ Bài Giải phương trình x√ − 6x2 + 12x − = −x3 + 9x2 − 19x + 11 Đáp số: x = 1; x = 2; x = Bài Giải phương trình 2x − = 27x3 − 27x2 + 13x − (Trích đề thi HSG Hải Phịng) … Đáp số: x = x − 9x + Bài Giải phương trình = 2x + (Trích đề thi chọn đội tuyển Phú Yên) Đáp số: x ≈√−0, 3; x ≈ −0, 2; x ≈ 1, Bài Giải phương trình 4x3 + 18x2 + 27x + 14 = 4x + Hướng dẫn: Chú ý 4x3 = 4(x)3 = (2x)3 Đáp số: x = 2; x = 220 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ TOÁN THPT 221 MỘT SỐ KIỂU KẾT HỢP KHÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ √ Ví dụ Giải phương trình x3 − 3x = x + ✍ Lời giải -Phân tích Kiểm ta nghiệm phương trình máy tính CaSiO ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt thuộc (−2; 2) Do đó, kết hợp phương pháp đánh giá phương pháp đặt ẩn phụ ta có lời giải: Nếu x < −2; phương√trình khơng xác định Nếu x > 2, ta có: x3 − 3x = x + x (x2 − 4) > x > x + Suy phương trình vơ nghiệm Do đó, ta cần giải phương trình cho với −2 ≤ x ≤ Đặt x = cos t, t ∈ (0; π) Khi đó, phương trình trở thành:   t=0  Å ã  t 4π (vì t ∈ (0; π) ) ⇔ (4 cos t − cos t) = (1 + cos t) ⇔ cos 3t = cos  t=   4π t= 4π 4π Tóm lại, phương trình cho có nghiệm: 2; x = cos ; x = cos -Bình luận Bởi phương trình xuất nghiệm lẻ nên ta không nên sử dụng phương pháp nâng lũy thừa từ đầu Phép đặt ẩn phụ cách lượng giác hóa phương trình ta nhận liên tưởng đến công thức quen thuộc lượng giác: (2 cos t)3 − (2 cos t) = cos 3t √ Bài tập tương tự: Giải phương trình x3 − 3x2 + = x + √ Ví dụ Giải phương trình 9x2 − 28x + 21 = x − ✍ Lời giải -Phân tích Phương trình dạng √ quen thuộc, ta giải phương pháp nâng lũy thừa phương pháp đặt ẩn phụ x − = 3y − để đưa hệ đối xứng loại Nhưng với ý tưởng táo bạo sử dụng phương pháp hàm số, ta xử lý phương trình sau chứng minh cho ý tưởng này: Điều kiện xác định: x ≥ -Nếu x ≥ ⇒ 3x − ≥ − 2 √ Phương trình viết lại dạng: (3x − 5)2 + (3x − 5) = (x − 1) + x − 1(1) Ta có hàm số f (t) = t2 + t có f (t) = 2t + ≥ 0, ∀t ≥ −     (3x − 5)2 = x − √ √ Do (1) ⇔ f (3x − 5) = f x − ⇔ 3x − − x − ⇔ ⇔ x =    x≥ 3 -Nếu ≤ x < ⇒ 4x − > − Phương trình viết lại dạng: 2√ √ (4x − 3)2 + (4x − 3) = (x − 1) + x − ⇔ f (4x − 3) = f x−1   √   (4 − 3x)2 = x − √ 25 − 13 ⇔ − 3x = x − ⇔ ⇔x=  18   x≤ ® √ ´ 25 − 13 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 2; 18 -Bình luận Qua lời giải thấy rằng, việc xây dựng hàm số cần phải có linh hoạt Như vậy, kết hợp phương pháp đánh giá phương pháp nâng lũy thừa đứng thời điểm mà ý tưởng 221 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ sử dụng phương pháp hàm số thành cơng … ã Å √ 1 Ví dụ Giải phương trình − x + − = − x + x x ✍ Lời giải -Phân tích Phương trình viết lại dạng: √ … ã Å 1 = 2−x + 2− + x+ x x 1 + x2 + = Để có điều ta sử dụng bất đẳng x x thức Bunhiacopxki để đánh giá Nhưng điều quan trọng việc tìm nghiệm phương  trình    − x2 ≥ tìm điều kiện để đẳng thức xảy Khi ta có lời giải sau: Điều kiện:    2− ≥0 x2  √ √    − 2≤x≤− √ Với điều kiện phương trình cho biến đổi thành: − x2 + √ ⇔ √    ≤x≤ 2 Å … ã 1 2− + x+ = x x Áp dụng bất ta có: … đẳng thứcÅBunhiacopxki ã   Å ã √ 1 1 2 2−x + 2− + x+ ≤ (1 + + + 1) − x + − + x + = x x x x … √ 1 Đẳng thức xảy − x2 = − = x = x x      − x2 = x2  √      − x2 = x  1 ⇔ x = … ⇔ ⇔ − =   1 x2 x2    2−  =   x x   x>0 Ta để ý − x2 + − Vậy phương trình cho có nghiệm x = -Bình luận Sự tinh tế lời giải trênđó sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cách hiệu Tuy nhiên ta khơng thể dừng đây, việc tìm dấu đẳng thức xảy bất đẳng thức dẫn đế việc giải hệ phương trình chứa thức phương pháp nâng lũy thừa giúp ta vấn đề Ví dụ Giải phương trình √ √ = √ + x + − x x + x2 + ✍ Lời giải -Phân tích Đối với phương trình ta cần cách nhân lượng liên hợp √ trục √ thức √ Khi đó, phương trình tương đương với x + + x + x2 + − x = 3(∗) Quan sát kĩ phương trình (∗) ta nhận thấy biểu thức phương trình dễ dàng lấy đạo hàm √ √ √ Nếu xét hàm số f (x) = x + + x + x2 + − x, x ≥ 1 x Khi f (x) = √ + √ +√ − Vấn đề đặt liệu hàm f (x) có đơn điệu x x+1 x +1 hay khơng? Hay đơn điệ khoảng giải lời giải sau: Điều √ nào? Vấn √ đề sẽ√ kiện x ≥ Phương trình tương đương với x + + x + x2 + − x = 3(∗) √ √ -Nếu x > V T(∗) > x + + x > = V P(∗) 222 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ TOÁN THPT 223 -Nếu : Dễ thấy x = nghiệm phương trình (∗) Xét hàm số f (x) = √ ≤ x√≤ √ x + + x + x2 + − x, x ≥ Å ã 1 x x −1 = √ −1 + √ > 0, ∀x ∈ (0; 1] Ta có f (x) = √ + √ +√ +√ x x x+1 x+1 x2 + x2 + Do đó, hàm f (x) đồng biến (0; 1] Suy f (x) > f (0) = + = , hay phương trình (∗) vơ nghiệm Tóm lại, x = nghiệm phương trình ban đầu -Bình luận Sự khéo léo ta kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp lời giải nhờ kĩ đánh giá để chia trường hợp Sự vắng mặt phương pháp đánh giá lời giải hai phương pháp nhân liên hợp phương pháp hàm số ta khơng thể giả trọn vẹn phương trình Bước vào giới phương trình vơ tỷ ta biết phương trình vơ tỷ đa dạng Có phương trình đơn thuần, cần chọn phương pháp ta giải phương trình Nhưng hầu hết toán mà thường gặp đề thi Đại học, đề thi HSG tầm thường Chính thế, cần phải biết phối hợp cách nhuần nhuyễn, linh hoạt phương pháp giải cách hiệu giiar triệt để phương trình Khi ta sử dụng cơng cụ mà khơng thể giải triệt để phương trình, ta nghĩ đến việc sử dụng thêm công cụ khác chs có nhiều cơng cụ khác 223 PHẠM KIM CHUNG LATEX-https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ ȍ ... CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ ® -Kết luận Tập nghiệm phương trình cho T = √ ´ 1± C PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ẨN PHỤ Đưa phương trình vơ tỷ dạng phương trình ẩn 1.1 Đưa phương trình vơ tỷ vầ dạng phương trình. .. TỐN THPT Giải phương trình Giải phương trình Giải phương trình Giải phương trình Giải phương trình 10 Giải phương trình 11 Giải phương trình 12 Giải phương trình 43 √ √ 11 − 17 x + + x − = Đáp... nghiệm phương trình cho T = 1; − Chú ý ! -Quan sát phương trình, ta nhận thấy sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa phương trình cho đưa phương trình hữu tỷ bậc Để tìm nghiệm phương trình bậc