Chuyen de Phuong trinh vo ti

Nếu phương trình trung gian có nghiệm nhưng nghiệm đó không thỏa điều kiện nghiệm của phương trình ban đầu thì phương trình ban đầu vô nghiệm. + Phương trình dạng 2n+1 f x ( )  g x [r]

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Cơng Thuận Tổ: Tốn - Lý-Tin-KT

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 25

CHUN ĐỀ 4

PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ

(phương trình chứa ẩn số dấu bậc hai)

I CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

1 Phương pháp luỹ thừa hai vế:

Dạng tổng quát:

2 2

0; ( ) ( )

( )

c f x f x c

f x c

         

hoặc 2

( ) 0; ( ) ( ) ( )

( ) ( )

g x f x f x g x

f x g x

         

hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0, ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h x g x h x

f x g x h x

f x g x f x g x h x

             

2 2 2

( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )]

h x h x f x g x f x g x h x f x g x

            

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a x2 = - x b x 3 x25

Giải: a x2 = - x 2

2 2

2 4 (2 )

x x

x x x

x x                  

2 2

5 ( 2)( 3)

x x

x x x x

             2 x x x          

Vì x  nên x = (loại ) Vậy phương trình x2 = - x có nghiệm x = b x 3 x25

ĐK: 3

2

x x x x               x

  (1)

Với x2: x 3 x25 2

( x x 2)

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Cơng Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-KT

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 26

 x   3 x 2 (x3)(x2) 25

2 (x3)(x2)24 2 x  (x3)(x2) 12x (*) ĐK: 12 - x 0 x12

(*) 2

(x 3)(x 2) (12 x)

      x2 + x - = 144 - 24x + x2  25x = 150  x = (2)

Đối chiếu vớiđiều kiện (1) (2) x = thỏa mãn Vậy phương trình x 3 x25 có nghiệm x =

2 Phương pháp đưa phương trình chứa dấu : Dạng tổng quát: f x( ) g x( ) h x( )

Cách giải:

Bước 1: Biếnđổi f(x) = [A(x)]2  g(x) = [B(x)]2  Bước 2: Biếnđổi f x( ) g x( )h x( )    

2

( ) ( ) ( )

( )

A x B x h x

h x



  

 

 



( ) ( ) ( ) ( )

A x B x h x h x

  

 

 

Bước 3: Bỏ dấu trị tuyệtđối giải ta tìm x

Ví dụ 2: Giải phương trình:

2

2 4

x  x  x  x 

Giải: Vì x2 - 2x + = (x - 1)2  x2 + 4x + = (x + 2)2  nên:

2

2 4

x  x  x  x   x 1 x2 3 (*) Nếu x > (*)  x - + x + =

 2x =  x = ( không thỏađiều kiện x > 1) Nếu  2 x1 (*)  - x + x + =  0x =

Phương trình (*) nghiệmđúng với  2 x1

Nếu x < -2 phương trình (*)  - x - x - =  -2x =

 x = -2 ( không thỏađiều kiện x < -2)

Vậy phương trình 2

2 4

x  x  x  x  có nghiệm  2 x1

3 Phương pháp đặt ẩn phụ ( phương pháp hữu tỷ hóa):

Dạng tổng quát: f x( ) g x( ) h x( )

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Cơng Thuận Tổ: Tốn - Lý-Tin-KT

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 27

Bước 1: Đặt điều kiện

( ) ( ) ( )

f x g x h x        

Bước 2: Đặt ẩn phụ t = f x( ) ( t  0) biếnđổi g x( ) theo ẩn t

Bước 3: Thay ẩn t vào phương trình f x( ) g x( ) h x( ) giải phương trình theo ẩn t

Bước 4: Thay gía trị củaẩn t vào bước ta tìm x Ví dụ: Giải phương trình:

1

1

x x

x x

 

 

 

Giải: Điều kiện: 1 1 1 x x x x x x                    

Đặt t = 1

x x



 ( t > 0)

1 1 1

1 1

1

x x

x x x x t

x x             

1

1

x x x x       t t

    2t2 - 2= 3t  2t2 - 3t -2 = (*) Giải phương trình (*) ta được: t1 = t2 = -0,5 ( loại )

Thay t = ta được: 1

x x



 =

1 x x    

 x + = 4x -

 x =

3 ( thỏađiều kiện x > 1)

Vậy phương trình 1

1

x x

x x

 

 

  có nghiệm x =

5

Chú ý: + Ngoài phương pháp giải nêu trên, giải phương trình vơ tỷ ta vận dụng tính chất bất đẳng thức để giải nhân với lượng liên hợp để đưa dạng phương trình đơn giản

+ Trong trình biến đổi ta cần lưu ý điều kiện nghiệm phương trình trung gian Nếu phương trình trung gian có nghiệm nghiệm khơng thỏa điều kiện nghiệm phương trình ban đầu phương trình ban đầu vơ nghiệm

+ Phương trình dạng 2n+1 f x( ) g x( ) Ta biến đổi thành phương trình: f(x) = g(x)2n+1

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Cơng Thuận Tổ: Tốn - Lý-Tin-KT

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 28

II BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1 Giải phương trình:

a x 1 x1 b 1x 2x 1

c 14x x4 x1 d x 1 5x 1 3x2 e x 1 x10 x2 x5

2 Giải phương trình sau:

a x2 x 1 x2 x 1 b x4 x4   x x4 6

c + x2 x 1 x2 x1 d x 3 x 1 x 8 x 1 Giải phương trình:

a.3x x2x8 x 0 b 3x2 + 2x = 2

x x + - x c (5 2 x)x  (5 6) x 10 d x2 + 2x =