* Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nế[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A Phương trình - bất phương trình chứa thức I Phương pháp biến đổi tương đương Kiến thức cần nhớ: ( a) n n =a a = b Û a n = b n a = b Û a n+1 = b n+1 ( ab > 0) ( " a ,b) a ³ b ³ Û a n ³ b n a ³ b Û a n+1 ³ b n+1 ( " a ,b) Các dạng bản: * Dạng 1: * Dạng 2: ìï g ( x ) ³ f ( x) = g ( x) Û ïí ïï f ( x ) = g ( x ) ïî (Không cần đặt điều kiện f ( x) ³ ) f ( x) > g ( x) xét trường hợp: ìï g ( x ) < ï í ï f x ³ TH1: ïî ( ) ïìï g ( x ) ³ í ï f ( x) > g ( x ) TH2: ïî ìï f ( x ) ³ ïï f ( x) £ g ( x ) Û ïí g ( x ) ³ ïï ïï f ( x) £ g ( x ) ïî * Dạng 3: Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc (ax+b) có số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), đó tuỳ theo bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho g ( x) ³ bình phương vế đưa phương trìnhbất phương trình dạng quen thuộc n n- n- + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình a0 x + a1 x + a x +L + a n- x + a n = có ( x - a ) ( b0 x n- + b1 x n- +L + bn- x + bn- ) = nghiệm x= thì chia vế trái cho cho x– ta , tương tự cho bất phương trình * Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, không nhẩm nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và phương pháp hàm số không thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác * Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này đúng, còn nhẩm nghiệm thì sử dụng phương trìnhbất phương trình bậc và không ta phải chuyển sang hướng khác Ví dụ 1: Giải phương trình: x - + x - x + = (ĐH Khối D – 2006) Biến đổi phương trình thành: x - =- x + x - (*), đặt điều kiện bình phương vế ta được: x - x + 11x - x + = ta dễ dạng nhẩm nghiệm x = sau đó chia đa thức ta được: (*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ( ( x + 1) ³ ( x + 10 ) - +2x ) , ĐK: x³ - (2) ( pt Û x + x +1 ³ ( x + 5) + x - ) + x Û ( x +5 ) + 2x ³ +5 x x³ - (1), Với không âm nên ta bình phương vế: x3 – x2 – 5x – ³ Û ( x - 3) ( x + 1) ³ f ( x) ³ g ( x) f ( x) < g ( x ) b) Tương tự với dạng: * * hai vế (1) Ví dụ 1: Giải bất phương trình x - x + - x + < ( 1) Giải ( 1) Û x - x + < x - bất phương trình tương đương với hệ: ïìï x - > ïï Û í x - x +1 ³ ïï ïîï x - x + < x - ïìï x > ïï ïíï x £ - Ú x ³ + Û + £ x £ ïï 2 ïï < x < ïïî Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x - 2mx + = m - có nghiêm Giải * Nếu m < phương trình vô nghiệm * Nếu m phương trình x22mxm2+4m3=0 Phương trình này có =2m24m+3>0 với m Vậy với m thì phương trình đã cho có nghiêm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x + mx - = x + có hai nghiệm phân biệt Giải: ìï x ³ - PT Û ïí ïï x +( m - 2) x - = 0,(*) î Cách 1: , phương trình (*) luôn có nghiệm: - m + m - m + 20 - m - m - m + 20 > 0, x = <0 2 Phương trình đã cho có nghiệm Û (*) có nghiệm x ³ - Û ïì m £ x ³ - Û - m ³ m - m + 20 Û ïí Û m£ - ïï ( - m) ³ m - m + 20 î x1 = Chú ý: + x1 > 0, x2 < vì x1 > x2 và a.c < nên pt có nghiệm trái dấu + Cách thường dùng hệ số a luôn dương luôn âm + Cách 2: Đặt t = x + suy x = t – 1, đó với x ³ - Þ t ³ (*) trở thành: ( t - 1) +( m - 2) ( t - 1) - = (**) Để (*) có nghiệm x ³ - thì (**) phải có nghiệm t ³ Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x + mx + = x + , (1) ïì x + ³ pt Û ïí ïï x - ( m - ) x - = 0,( 2) î Giải: để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm ìï ïï ïï D = ( m - ) + 12 > ïï æ ö ïí f ç- ÷ ³ Û m³ ÷ ÷ ç ïï ç è 2ø ïï ïï S ïï >- lớn hay î (3) Chú ý : Cách 2: đặt t =x+ 1 , đó để (2) có hai nghiệm lớn thì æ 1ö æ 1ö ÷ 3ç t - ( m - 4) ç t- ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷- = ç ç 2ø è 2ø è có hai nghiệm thực lớn Các kỹ năng: a Để bình phương vế phương trình – bất phương trình thì là ta biến đổi cho vế không âm hai là đặt điều kiện cho vế không âm Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x - - x - > x - (ĐH Khối A – 2005) Vế phải không âm, vế trái chưa nhận xét đó ta phải biến đổi thành: x - > x - + x - đó ta bình phương vế đưa dạng để giải x x - 1) + x ( x + 2) = x ( 1) Ví dụ 2: Giải phương trình: ( Giải ( 1) Û x + x + x ( x - 1) ( x + 2) = x Û x ( x - 1) ( x + ) = x ( x - 1) éx ³ ê êx £ - ( * ) ê ê Điều kiện: ëx = Û x ( x + x - 2) = x ( x - 1) Û x ( x - 9) = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, (Hãy tìm thêm cách giải khác) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x - mx - x= x - = có nghiệm x 1,2 = m ± m - 16 Kết hợp với HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm điều kiện ta tìm |m| b Chuyển phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình: x + x +7 = HD: Bình phương hai vế Dùng đẳng thức a2 b2=0 Nghiệm x = 2, x = 1- 29 x2 Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a (x (1+ 1+ x ) > x- b - x) x - x - ³ æ 1ù ç - ¥ ; - úU { 2} U[ 3; +¥ ) ç ç 2ú û ĐS: a 1x<8, b è Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương x + x - = m( x - 2) trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: (1) Giải: ĐK: x ³ , m > éx = pt Û ( x - 2)( x + ) = m ( x - ) Û ê êx + x - 32 = m ,( ) ë Để chứng minh " m > , phương trình (1) có nghiệm phân biệt thì cần chứng minh phương trình (2) có nghiệm khác (4) f ( x ) = x + x - 32, x ³ Thật vậy: đặt , ta có f(2) = 0, lim f ( x) = +¥ , f ' ( x ) = x + 12 x > 0, " x ³ x®+¥ nên f(x) là hàm liên tục trên [ 2; +¥ ) và đồng biến trên khoảng đó suy " m > phương trình (2) luôn có nghiệm x0 mà < x0 < +¥ Một số dạng chuyển thành tích: ( a - c ) x +( b - d ) ax + b ± cx + d = m - Dạng: Ta biến đổi thành: m( ax + b ± cx + d ) = ( ax + b) - ( cx + d ) x +1 - 3x - = Ví dụ: Giải phương trình: - Dạng: u+v=1+uv (u-1)(v-1)=0 x +3 ĐS: x=2 3 Ví dụ: Giải phương trình: x + + x + = + x + x + x=1 4 ĐS: x=0, Ví dụ: Giải phương trình: x + + x = + x + x x=1 - Dạng: au+bv=ab+uv (ub)(va)=0 ĐS: x=0, Ví dụ 1: Giải phương trình: x + + x x + = x + x + x + x=1 ĐS: x=0, 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x + x + + x = x + + x + x - Dạng: a3b3 (ab)(a2+ab+b2)=0 a=b Ví dụ: Giải phương trình: + 3 x ( x + 2) = x + 3 x ( x + 2) ĐS: x=0 ĐS: x=1 c Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai ³ 0,1 £ i £ n đó pt tương đương với: A1 = 0, A2 = 0, L An = Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x + = x x + + 2 x - ( 4x HD: Phương trình tương đương )( ) - x x +3 + x +3 1- 2 x - +2 x - =0 Ví dụ 2: Giải phương trình: x - y Giải y +2 = 4x + y ĐS: x=1 2 ( x - 1) +( y + 2) + ( y + 2) ( x + y ) = Û x = , y =- Bình phương hai vế ta d Sử dụng lập phương: 3 Với dạng tổng quát a ± b = c ta lập phương hai vế và sử dụng đẳng thức ìï a ± b = c ï í 3 ( a ± b) = a ± b ± 3ab ( a ± b) đó phương trình tương đương với hệ ïïî a ± b ± 3 abc = c Giải hệ này ta có nghiệm phương trình 3 Ví dụ: Giải bất phương trình x - + x - = x - x = 1; x = 2; x = ĐS: e Nếu bất phương trình chứa ẩn mẩu: - TH1: Mẩu luôn dương luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu: ( x - 16 ) Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x- + x- > 7- x ( 1) x- (ĐH Khối A2004) (5) Giải ( 1) Û ( x - 16 ) + x - >7 - x Û ( x - 16 ) > 10 - x x ³ ĐK: éìï x ³ êïí Û x >5 êï10 - x < êïî Û êì êïï 10 - x ³ êí Û 10 - 34 < x £ êï ( x - 16 ) > ( 10 - x ) ïë êïî Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x > 10 - 34 - TH2: Mẩu âm dương trên khoảng thì ta chia thành trường hợp: Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a ( x - 3) x + £ x - HD: 1- b a Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3 b Xét hai trừng hợp x1 51 - x - x <1 1- x x <- Ú x ³ ĐS: ĐS: 52 £ x <- Ú x > Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a x - x - - x ( x - 1) + x - x = 2 HD: Bình phương vế và biến đổi thành: x x - x - x - x + x - x + x - = Û ( x - )( x - x + x - x + ) = 2 b x + x + - x - x - = x + HD: Nhân lượng liên hợp Bài 2: Giải bất phương trình sau: - x + + x ³ - x t = - x + + x Þ x =- HD: Cách 1: Đặt dạng:A1+A2 = 0, với A1, A2 ³ t - 4t 16 Cách 2: Bình phương đưa Bài 3: Giải phương trình - 10 - x = x - (HD: Bình phương hai lần phương trình bậc đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức) Bài 4: Giải phương trình 1+ x - x = x + 1- x Bài 5: Giải phương trình x + x + = x + Bài 6: Giải các phương trình sau: x - = x + 3 x - + x - = 3 3 x + + x - = x 3 x - + x + = x + x + 1- x = - x2 x + = x +1 + - x +2 x - + x - = x - (HD:Bình phương sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 ³ ) Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m + x + m - x = m Bài 8: Tìm m cho phương trình: 4x - x = x + m a Có nghiệm b Có hai nghiệm phân biệt Bài 9: Giải các bất phương trình sau: (6) 1- a 1- x <3 x 2 b x + x + + x + x + £ x + x +7 2 c x + x - + x + x - £ x + x - Bài 10: Giải các phương trình: 3 3 a x + + x = x + x + x c x +3 =1+4x + b x +3 + x 4x x +3 =4 x d x + = x - x - 2 e x x - x + + x + = x + x + II Phương pháp đặt ẩn phụ: F ( n f ( x) ) = t = n f ( x) Dạng 1: , đặt (lưu ý n chẵn ta phải thêm điều kiện t 0) Ví dụ 1: Giải các phương trình: ( x + 5) ( - x ) = x + x HD: 2 a x + x + 11 = 31 b a Đặt t = x + 11, t ³ ĐS: x=5 b Đặt t = x + x , t ³ ĐS: x= - ± 109 2 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + x + m - x - x = m Giải t = - x - x = - ( x + 1) Þ t Î é 0; ù ê ú ë û Đặt: 2 t - mt + m - = ( * ) Û t = m ± Khi đó phương trình trở thành Phương trình đã cho có é0 £ m + £ é- £ m £ - ê ê Û ê ê ù tÎ é 0; £ m- £ ê ê ê ú ë û ë ë £ m£ + nghiệm (*) có nghiệm hay Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: m( x - x + + ) + x ( - x) £ , (1) có nghiệm ù xÎ é ê0;1 + ú ë û 2 2 xÎ é 0;1 + ù t = ( x - 1) + Î [ 1; ] ê ú t = x x + Þ x x = t ë û Giải: Đặt Nếu thì m ( t + 1) + - t £ 0,( 2) BPT trở thành: t2 - t2 - 2 ³ m f ( t) = m£ t + , dùng đồ thị ta tìm Khi đó ta có t + , với £ t £ Đặt Dạng 2: m ( f ( x) ± g ( x) ) ± n f ( x) g ( x ) + n ( f ( x ) + g ( x) ) + p = , đặt t= hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t + x + - x = m + ( + x) ( - x ) Ví dụ 1: Cho phương trình a Giải phương trình m=3 b Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm Giải f ( x) ± g ( x) , bình phương (7) t = + x + - x Þ t = + ( + x )( - x) ( * ) Đặt: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ( + x)( - x ) £ nên từ (*) ta có £ t £ Phương trình đã cho trở thành t22t9=2m (1) a Với m=3 (1) t22t3 t =3 Thay vào (*) ta x=3, x=6 b PT đã cho có nghiệm và (1) có nghiệm ù tÎ é ê3; ú ë û Xét hàm số f ( t ) = t - 2t - ( ) tÎ é 3; ù - = f ( ) £ f ( t) £ f = - ê ú ë û, ta thấy f(t) là hàm đb nên: với ù é3; ù tÎ é ê3; û ú Do (1) có nghiệm t Î ë ê ú và ë û với - £ - 2m £ - Û 2- £ m£ Chú ý: Để tìm miền giá trị t ta có cách thương dùng sau: Cách 1: dùng BĐT bài trên 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ) Ví dụ 2: Giải phương trình HD: đặt: ( ) x 35 - x x + 35 - x = 30 t = 35 - x Þ x 35 - x = t - 35 3t ĐS: x=2, x=3 Ví dụ 3: Giải bất phương trình x +7 + x - + 49 x +7 x - 42 £ 181 - 14 x £ x£ HD: Đặt t = x +7 + x - ³ … Dạng 3: F ( n f ( x) , n g ( x) ) = , đó F(t) là phương trình đẳng cấp bậc k TH1: Kiểm tra nghiệm với g ( x ) = TH2: Giả sử g ( x) ¹ chia hai vế phương trình cho g ( x) và đặt k Ví dụ 1: Giải phương trình x + = ( x + 2) t=n f ( x) g ( x) x + = ( x + 2) Û ( x + 1) ( x - x + 1) = ( x - x + 1) + ( x + 1) ĐK: x ³ - x +1 x +1 - +2 =0 x - x +1 x - x +1 ét = ê ê t t + = Û x +1 êt = t= , t ³ ê x x + ë Đặt Phương trình trở thành Û 2 Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm Với t= ± 37 x= : Phương trình đã cho có nghiệm 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x + 14 x + Giải ĐK: x ³ x +14 x + - Bình phương hai vế: x - x - 20 = x + x - x - 20 = x + Û ( x - x - 5) + ( x + ) = ( x2 - x + 14 x + = x + + x - x - 20 x - 5) ( x + ) (8) Đặt x - 4x - , t ³ 2t - 5t + = Û t = 1, t = x +4 phương trình trở thành + 61 - 61 x= > 5, x = <5 2 Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm t= x = > 5, x =- < : Phương trình đã cho có nghiệm Với t= Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x= + 61 , x =8 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x - + m x + = x - HD: ĐK x ³ Xét hai trường hợp x = và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho t=4 x - đặt x- = 1- 1<m £ x +1 x + ( < t < 1) ĐS Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để) af ( x ) + g ( x ) f ( x ) + h ( x) = t = f ( x) Đặt , đó phương trình trở thành at + g ( x) t + h ( x) = 2 Ví dụ: Giải phương trình ( - x) x + x - = x - x - HD Đặt t = x + x - Þ L x =- ± (Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… hay!) Bài tập Giải các phương trình sau: x - x + = ( x - 21x - 20 ) ĐS: 3 x - x + ( x + 2) - x = ± 193 17 ± 73 , x= 4 Đặt y = x + , ĐS: x = 2, x = - ( x - x + 2) = x + 2x + x= ĐS: x = ± 13 x- 1 = 1- + x x x x t = 1+ 1+ x= x , ĐS: Đặt Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác) Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm cách đặt ẩn phụ để chuyển phương trình, bất phương trình đại số Tuy nhiên, nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ khá hiệu quả, tính chất hàm lượng giác ta đưa các bài toán đại số bài toán lượng giác và giải bài toán lượng giác này Lưu ý vài tính chất bản: * sin a £ 1, cos a £ * + tan a = cos a 2 * sin a + cos a = * + cot a = 2 Ví dụ 1: Giải phương trình + - x = x Giải sin a (9) ĐK x £ Đặt x = cos t , t Î [ 0; p] Khi đó phương trình trở thành + - cos t = cos t Û sin t + sin t - = Ta tìm được: x = cos t = ± - sin t =± Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định u ( x) £ a sin t = Khi đó Ta có thể nghĩ đến cách đặt é p pù u ( x ) = a sin t , t Î ê- ; ú ê ë 2ú û đặt u ( x ) = a cos t , t Î [ 0; p] é pù u ( x ) = a sin t , t Î ê0; ú ê ë 2ú û * Nếu u ( x ) Î [ 0; a ] ta có thể đặt ( 1- x3 + x ) = x 2( - x ) Ví dụ 2: Giải phương trình HD: Đặt x = cos t , t Î [0; p] dưa phương trình lượng giác ( sin t + cos t ) ( - sin t cos t ) = sin t cos t Để gải phương trình này ta lại đặt u = sin t + cos t , u £ ĐS: x= 1,x= 2- 2- 2 x =- 2+ , x =± Ví dụ 3: Giải phương trình - x = x - x ĐS: Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình) F ( f ( x) , n a + f ( x) ,m b - f ( x) ) = * Khi gặp phương trình có dạng ìï F ( u ,v) = ï í n m n m ï u = a + f ( x) , v = b - f ( x) Đặt Khi đó ta hệ phương trình sau: ïî u + v = a + b Giải hệ này tìm u, v ta lại tìm x Khi tìm x ta giải hai phương trình v = m b - f ( x) + x + - x = + ( + x) ( - x) Ví dụ 1: Giải phương trình: Ví dụ 2: Giải phương trình: 24 + x + 12 - x = x =- 24, x =- 88, x = Ví dụ 3: Giải phương trình: x + 17 - x = u = n a + f ( x) ĐS: x = 0, x =- ĐS: ĐS: x = 1, x = 16 2 - x) + ( + x) - ( - x) ( + x ) = ( Ví dụ 4: Giải phương trình: ĐS: x = 1, x =- Ví dụ 5: Giải phương trình: x - + x - = , đặt u = x - 1,v = x - , pt trở thành: ìï u + v = ï í ïï u - v = î Ví dụ 6: Giải phương trình: 1 1 +x + - x =1 u = + x ,v = - x 2 2 , đặt 3 Ví dụ 7: Với giá trị nào a thì phương trình: - x + + x = a có nghiệm ìï a ( u + v - uv ) = ï í ï 3 u = x , v = + x Đặt Phương trình trở thành: ïïî u + v = a TH1: a = hệ phương trình vô nghiệm (10) ìï u + v = a ïï í æ2 ö ïï uv = ç a - ÷ ÷ ç ÷ ç è ï aø a ¹ TH2: , hệ phương trình trở thành ïî Hệ có nghiệm S - P ³ Û < a £ Vậy phương trình có nghiệm < a £ * Khi gặp phương trình có dạng f n ( x ) + b = a n af ( x ) - b ìï t n + b = ay ï í n n ï t = f ( x) , y = af ( x) - b Đặt ta có hệ ïî y + b = at - 1± x = 1, x = 3 Ví dụ 1: Giải phương trình x + = 2 x - ĐS: x +3 2x + 4x = Ví dụ 2: Giải phương trình Giải ĐK x ³ - ( x + 1) + x +3 2 Û ( x + 1) - = Û ( x + 1) - = 2 2x + 4x = t = x + 1, y = x +1 t t +1 = +1 Þ y - = 2 Ta hệ phương trình Đặt thêm chút ta kết quả! x= x +1 +1 ìï ïï t - = y ïí ïï ïï y - = t ïî Giải ĐS: - - ± 17 - ± 13 , x= 4 Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất biểu thức giống và từ đó ta đặt ẩn phụ , x= 4 x =- 1, x =- Ví dụ 3: Giải phương trình x +7 x + = x + ĐS: Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp bình phương Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình sau: x - + x - = x - + x - x + 2 2 x + x + = x + x + x - = x + 2x x x x x + x + + x + x + = x + x + Bài 2: Giải cácbất phương trình sau: 2 x + 10 x + > - x - x 2 24 + x + 12 - x £ + x + 1- x £ - x + x - x - > 10 x + 15 Bài 3: Giải các phương trình sau: 3 12 - x + 14 + x = x - - 2 - x + - x = - x + = - x + x + 1- x = - x2 (đặt t = + x + - x ) III Phương pháp hàm số Các tính chất: x- = x2 (11) Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f ( u ) = f ( v) Û u = v Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm giảm khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn F'(x) trên khoảng (a;b) F ( b) - F ( a ) F ' c = ( ) b- a thì $c Î ( a; b) : Khi áp dụng giải phương trình: có F(b) – F(a) = thì $c Î ( a; b) : F ' ( c) = Û F ' ( x ) = có nghiệm thuộc (a;b) Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 không có quá hai nghiệm thuộc D Từ các tính chất trên ta có phương án biến đổi sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy phương trình có nghiệm Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu đó ta có: u = v Ví dụ: Giải phương trình: x - + x - = 4x 1 f ' ( x) = + >0 x ³ 2 f ( x) = x - + x - x x 2 ĐK: Đặt Miền xác định: , x³ , nên phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm Do đó hàm số đồng biến với x= là nghiệm phương trình Thấy x³ Đối với phương trình chứa tham số ta thực sau: Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1) B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng d: y = g(m) B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m) f ( x ,m) £ g ( m) £ max f ( x ,m) xÎ D B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: xÎ D * phương trình có k nghiệm: d cắt (C) k điểm * phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) x + x +1 - Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: TXĐ: R Xét hs: y = f ( x) = x + x + 2 x - x +1 x - x + = m có nghiệm y' = x +1 - x + x +1 , Df = R, ìï ( x - 1)( x + 1) > ï 2x - x - x +1 y ' = Û ( x - 1) x + x + = ( x + 1) x - x + Û ïí ïï ( x - 1) ( x + x + 1) = ( x + 1) ( x - x + 1) ïî (v.nghiệm) Mặt khác: f’(0) = > suy y’ > nên hàm số đồng biến (12) 2x lim = lim x®- ¥ x + x + + x - x +1 2x x ®- ¥ lim = lim Giới hạn: x®+¥ x + x + + x - x +1 x ®+¥ x -¥ y’ y 1 BBT: =- =1 +¥ + Vậy phương trình có nghiệm và 1 < m < Chú ý: Trong bài toán trên không thực việc xác định giới hạn hàm số, có thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm phương trình có nghiệm với m Do đó việc tìm giới hạn bài toán khảo sát là cần thiết để tìm tập giá trị Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx 1+ x - y= ³ m x- , xét hs f(3) = bpt Û 1+ x - 5- x Þ y' = x- x - ( x - 1) BBT: x y’ y + x - £ m + , ĐK: x ³ lim y = ' y = Û x = x®+¥ và +¥ y(5) Vậy bất phương trình có nghiệm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: Giải: ĐK: £ x £ ( pt Û ( x x + x + 12 ) +1 Û y ( 5) ³ m Û m £ x x + x + 12 = m ) 5- x + 4- x =m xét hs ( 5- x + 4- x ) có nghiệm ( y = f ( x ) = ( x x + x + 12 ) 5- x + 4- x Miền xác định: D = [ 0; ] Nhận xét: Hàm số h ( x) = x x + x + 12 đồng biến trên D Hàm số g ( x) = - x + - x đồng biến trên D Suy y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D Vậy phương trình có nghiệm và f ( ) £ m £ f ( ) Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x + = m x + ) (13) x +3 Giải: Phương trình viết lại dạng: x +1 =m y= Số nghiệm phương trình là số giao điểm (C): Lập BBT : +¥ - ¥ x 1/3 y’ + x +3 x + và đường thẳng: y = m 10 y 1 KL: m £ - Ú m > 10 : phương trình vô nghiệm - < m £ m = 10 : phương trình có nghiệm < m < 10 : phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x- + 3- x - ( x - 1) ( - x ) = m , (1) Giải: ĐK: £ x £ Đặt t = x - + - x , lập BBT t(x) với £ x £ ta có £ t £ Khi đó phương trình (1) trở thành: £ t £ từ đó kết luận: £ m £ - t2 + t + = m, lập bảng biến thiên hàm số vế trái với Bài tập: Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài Giải các phương trình sau: x + x + - x - x +1 = - x- + 3- x - x + - x = - x +9x +m ( x - 1)( - x ) = x x + x + 12 = 12 ( 5- x + 4- x ) B Hệ phương trình - hệ bất phương trình chứa Phương pháp biến đổi tương đương: Ta thực theo các bước sau: B1: Đặt điều kiện (nếu có) B2: Biến đổi phương trình – bất phương trình hệ phương trình đơn giản mà ta đã biết cách giải cách: thế, khử biến B3: Kết luận (chú ý điều kiện và biến đổi tương đương hay hệ quả) ìï x + + y - = ï í ï Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ïïî x - + y + = Giải Điều kiện: ïìï x ³ í ïïî y ³ x + 5) ( y - 2) = ( x - 2)( y + 5) Û x = y Bình phương vế và trừ vế theo vế ta có: ( Thay x = y vào phương trình, giải ta x = y = 11 ìï x ³ y + ï í ï y ³ x +1 Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình: ïïî (14) Giải Điều kiện: x , y ³ cộng vế theo vế ta được: ( ) x + y ³ x + y +2 Û ( ) x- + ( ) y - £ Û x = y =0 ïìï x - y - m = í ï x + xy = Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: ïî ïìï y = x - m ïìï y = x - m ( - x) ï ï hpt Û í Û í Þ = x - m Û x + ( - m) x - = (*) ïï xy = - x ïï y = ( - x) ,( x £ 1, x ¹ 0) x î ïïî x Phải tìm m để (*) có đúng nghiệm thoả: x £ 1, x ¹ TH1: xét x = 1: TH2: (*) có nghiệm kép x £ : TH3: (*) có nghiệm x1 < < x : Chú ý: Có thể dùng đồ thị y= ( - x) x , x £ 1, x ¹ ìï ( x + xy + y ) x + y = 185 ïï í ïï 2 2 Ví dụ 4: giải: ïî ( x - xy + y ) x + y = 65 Giải: Cộng vế phương trình ta được: ( x + y ) x + y = 250 Û ( x + y ) = 125 Û ìï ïï x + y + x í ïï Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: ïî y + x - y - Giải: ĐK: y ³ x, x ³ y ( 1) Û x2 + y2 =5 y = 2,( 1) x = 1,( ) ìï x £ x - y = - x Û ïí ïïî x - y = ìï ï y³ ( 2) Û y - = y - x Û ïí ïï ïî x - y =- æ ö 17 ÷ ç ; ÷ ç ÷ ç KQ: è12 ø Bài tập: Giải các hệ: phương trình sau: ìï x - = y ï í ï ïïî y - = x ìï ïï x - y = x y - xy 2 í ïï 3 ïïî x - y = ìï x + y - x - y = ïï í 2 2 ï ïïî x + y + x - y = ( ) ìï x + y + xy = ïí ï ïî x - y = ìï x + y xy = 420 ï í ï ïïî y + x xy = 280 ìï x + y - x - y = ïï í 2 2 ï ïïî x + y + x - y = (15) ìï u + v = ïï Û í ïï - u + - v £ ïî ìï ïï x + y - x - y = í ïï 2 ïî x - y + x + y = ìï ïï ( x + y ) = 3 x y + í ïï 3 îï y + x = ( ïìï £ u £ Û £ u £ 1Û x³ Û 0£ x£ í ï îï 4u - 4u + ³ y 2x ) (a > 0) ìï x y + y x = 30 ï í ï 10 ïïî x x + y y = 35 ìï ïï x - y = ïï í ïï ïï y - x = 11 ïî ìï x + y + xy = a ïí ï Bài 2: Tìm a để hệ phương trình có nghiệm: ïî x - y = a ìï x + + y + = m ïí ï Bài Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: ïî x + y = 3m Phương pháp đặt ẩn phụ: Ta thực theo các bước sau: B1: Điều kiện (nếu có) B2: Lựa chọn ẩn phụ, tìm đk cho ẩn phụ B3: Giải hệ nhận được, từ đó suy nghiệm x, y B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ đó kết luận ìï - x + - y = ïï í ïï x + y £ Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình: ïïî điều kiện: x , y £ u = - x ,v = - y u ,v ³ Đặt ĐK: ïìï u + v = ï Û í ïï - u + - v £ îï , đó hệ biến đổi dạng: ìï £ u £ ïí Û £ u £ 1Û x ³ Û 0£ x£ ï îï 4u - 4u + ³ ïìï £ x £ ïí ïï y = - - - x Vậy nghịêm hệ là cặp nghiệm (x;y) thoả: ïî ìï x + y - xy = ï ( x, y Î R ) í ïï x + + y + = ï î Ví dụ 2: (ĐH Khối A – 2006) Giải hệ phương trình: ( ) Điều kiện: xy ³ 0, x ³ - 1, y ³ - Đặt t = xy Þ x + y = + t Bình phương phương trình 2, thay ẩn phụ vào, giải tìm t = Giải thêm chút xíu ta nghiệm Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: ( ) ìï x + y = xy ï í ï ïïî xy = ìï x + + y = ï í ï ïïî x + + y = ìï ïï í ï ïïî ìï ï í ï3 ïïî x + y + xy = x + y =4 x- y = x- y x+y = x+y- (16) ìï ïï x + + x + y - = ïï y í ïï ïï x + y + = y ï ïî ìï x + y + xy = 14 ï í 2 ï ïïî x + y + xy = 84 Hết (17)