chuyên đề phương trình vô tỉ được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi vào lớp 10, ôn thi học sinh giỏi

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT STT CHỮ VIẾT TẮT THCS HD HS HSG SGK TXĐ ĐK ĐKXĐ NỘI DUNG Trung học sở Hướng dẫn Học sinh Học sinh giỏi Sách giáo khoa Tập xác định Điều kiện Điều kiện xác định MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giới hạn phạm vi nghiên cứu 3 Phương pháp nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Cấu trúc đề tài ………… NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn vấn đề Chương II: CÁC DẠNG TỐN VÀ CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ Một số phương pháp Một số sai lầm mắc phải giải phương trình vơ tỉ…………… 13 Chương III: KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ ĐỐI CHỨNG 14 Kết chung 14 Kết cụ thể 14 PHẦN KẾT LUẬN ………… 16 Kết luận 16 2.Khuyến nghị 16 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vô tỉ đề tài lý thú vị Đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỉ mãi cịn đối tượng mà người đam mê Tốn học ln tìm tịi học hỏi phát triển tư Mỗi loại toán phương trình vơ tỉ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Bên cạnh đó, tốn giải phương trình vơ tỷ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi Tốn THCS kì thi vào lớp 10 hàng năm Chun đề '' Phương trình vơ tỉ'' viết theo chương trình SGK hành nhằm dạy học sinh đại trà lớp ôn thi vào lớp 10, ôn thi học sinh giỏi Chuyên đề giới thiệu số phương pháp hay dùng để giải phương trình vơ tỉ: Trong chun đề phương pháp có dành nhiều tập cho học sinh tự luyện Tôi hy vọng chuyên đề mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích giúp bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp Toán học qua phương trình vơ tỷ Mặc dù cố gắng nhiều, chuyên đề không tránh khỏi sai sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô em học sinh để chuyên đề ngày hoàn thiện hơn! Giới hạn phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu thực giảng dạy HS lớp từ năm học 20182019 tiếp tục áp dụng, có bổ sung năm học 2019-2020 Phương pháp nghiên cứu Tôi sử dụng phối hợp phương pháp nghiên cứu sau: - Tìm đọc tài liệu tham khảo: SGK đại số 8, SGK đại số 9, Sách bồi dưỡng đại số 9, Toán nâng cao chuyên đề đại số 9, Các đề thi vào lớp 10, đề thi HSG mơn Tốn - Khảo sát thực trạng HS, trắc nghiệm đối tượng: Khá giỏi- trung bình- yếu - Phương pháp quan sát; - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục; Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài: - Nghiên cứu khái niệm phương trình ẩn, khái qt giải phương trình - Kỹ giải phương trình: Phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình bậc ẩn, phương trình chứa hệ số ba chữ, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình tích, thương, phương trình bậc cao… - Kỹ giải phương trình bậc cao đưa phương trình bậc 1, bậc 2, phương trình vơ tỉ … - Làm tập minh họa - Một số phương pháp dạng tập thường gặp Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, phần kết luận khuyến nghị, phần nội dung đề tài gồm chương: CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TỐN VÀ CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ CHƯƠNG III: KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ ĐỐI CHỨNG NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận Khi giảng dạy môn đại số lớp 9, bắt gặp môt số dạng phương trinh vô tỉ đề cập sách giáo khoa học sinh giải dạng tập cách nhuần nhuyễn thành thạo Thực tế cho thấy dạng phương trình vơ tỉ phong phú, đa dạng dạng tập khó học sinh cấp Với suy nghĩ đó, tơi mạnh dạn đưa số dạng phương trình vơ tỉ cách giải dạng phương trình nhằm giúp em nắm cách thức giải dạng từ giúp em dễ dàng giải phương trình vơ tỉ bồi đắp thêm cho em niềm say mê, hứng thú học tập mơn tốn Cơ sở thực tiễn vấn đề Trong q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 9, tơi thấy đa số HS có nhận dạng phương trình vơ tỉ, đại đa số thấy khó, chưa nắm cách giải Do đó, mạnh dạn phân dạng số tập nhằm giúp HS nhận dạng nhanh phương trình từ tìm hướng giải vấn đề Khi giải phương trình vơ tỉ, cần định hướng học sinh nắm vững vấn đề sau: 2.1 Khái niệm phương trình vơ tỉ Phương trình vơ tỉ phương trình chứa ẩn dấu VD: x   x  3 2.2 Các bước giải phương trình vơ tỉ (dạng chung) - Tìm TXĐ (cịn gọi ĐK) phương trình - Biến đổi đưa phương trình dạng phương trình học - Giải phương trình vừa tìm - Đối chiếu với TXĐ kết luận 2.3 Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ Phương pháp Nâng lên luỹ thừa để làm vế phương trình (thường dùng vế có luỹ thừa bậc) Phương pháp 2: Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ Ngoài phương pháp trên, thực tế giảng dạy số phương pháp khó như: dùng bất đẳng thức, dự đốn nghiệm chứng minh nghiệm nhất, phương pháp nhân với biểu thức liên hợp, phương pháp đánh giá Nhưng điều kiện khơng cho phép nên xin bổ sung nghiên cứu phương pháp năm học Để làm điều đó, em cần nắm kiến thức sau: - Các tính chất luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng qt hố tính chất luỹ thừa bậc chẵn luỹ thừa bậc lẻ - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đẳng thức - Cách giải phương trình, bất phương trình bậc bậc ẩn, cách giải hệ phương trình - Bổ sung kiến thức để giải phương trình đơn giản: Chương II: CÁC DẠNG TỐN VÀ CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ Một số phương pháp PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-KIẾN THỨC: �f ( x) �0 � f ( x)  g ( x ) ۳ �g ( x ) �f ( x)  g ( x) � 1/ �g ( x) �0 f ( x )  g ( x) � � �f ( x)  g ( x ) �f ( x ) �0 � 3/ f ( x)  g ( x)  h( x) ۳ �g ( x) � �f ( x )  g ( x)  f ( x).g ( x)  h( x) �f ( x) �0 � n g ( x) (n N * ) 4/ n f ( x) ۳� �g ( x ) �f ( x)  g ( x ) � 2/ �g ( x) �0 f ( x)  g ( x) � � ( n �N * ) 2n �f ( x )  g ( x ) 6/ n 1 f ( x)  2n 1 g ( x) � f ( x)  g ( x) (n �N * ) 5/ 2n 7/ … n 1 f ( x)  g ( x) � f ( x)  g n 1 ( x) (n �N * ) II-BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: x   x  (1) �x  �0 x �1 � �x �1 � �2 �� � x3 x  3x  �x  �x   (x  1) � Bài 2: Giải phương trình: x  x   HD: Ta có: x  x   � x   x  x 0  x 0  x 0       x   2x  x  x  x  0   x 3  HD: (1)  � Trong giá trị trên, dễ dàng nhận thấy có x=3 nghiệm phương trình Bài 3: Giải phương trình: x    x   x HD: Vế trái phương trình chưa xác định dương hay âm, nên khơng thể bình phương ln hai vế Ta có: x    x   x � x    x   x �  x �0 � � �x � ��  x �0 �� � � x   x  3x  � �x    x   x  (1  x)(1  x) � 1 �1 �x �2 �x � �1 � � � �x � �2 �� x  �0 � �2 � x0 �� x0 � � � � 2 (2 x  1)  x  3x  � �x  x  � � x  7 �� � Cái khó dạng phương trình HS cần giải lần TXĐ Khi giải tiếp phương trình 2x+1= x  3x  HS hay quên TXĐ, thực tế lại dạng phương trình giống tập vừa giải Bài 4: Giải phương trình: x   x   (1) �x  �0 HD:ĐK: �2 �x  �0 ۳ x (*) PT (1) � x   ( x  2)( x  2)  � x   x     �x   �� � �1  x   �   x2 � � 17 � x � (2) Kết hợp (*) (2) ta được: x = Bài Giải phương trình : 3x  x 3x HD: ĐK: �x � pt cho tương đương: x  3x  x   3 10  � � 10 � �x  �x � 3� 3 � Bài Giải phương trình sau : x   x  x  HD: ĐK: x �3 phương trình tương đương : x 1 � � x    3x 2 �   x  9x � � � 5  97 � x � x    3x � 18   Bài Giải phương trình sau :  3 x  x    x  3 x  x   HD: pt �  x   3x   � x 1 Bài Giải biện luận phương trình: x   x  m �x �m �x �m �� HD: Ta có: x   x  m  � 2 2mx  (m  4)  �x   x  4xm  m � – Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm m2  m2  Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤   m �2 – Nếu m ≠ 0: x  + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 < m ≤ 2: phương trình có nghiệm x  m2  2m – Nếu –2 < m ≤ m > 2: phương trình vơ nghiệm Bài Giải biện luận phương trình với m tham số: x  x  m (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) �x �m �x �m � � 2 2mx  (m  3)  �x   x  m  2mx � HD: Ta có: x   x  m � � – Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm m2  m2  �m – Nếu m ≠ 0: x  Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  �m � + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤  Tóm lại: – Nếu �m � m � Phương trình có nghiệm: x  – Nếu   m �0 m  : phương trình vơ nghiệm Bài 10 Giải biện luận theo tham số m phương trình: x  x  m  m HD: Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vơ nghiệm m2  2m – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x  1)   có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình cho tương đương với ( x  m)( x  m  1)  �x  m  �� �x  1 m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1  m) + Nếu m > 1: phương trình có nghiệm: x = m III- BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1:Giải phương trình sau: a) x  x   13 b) x  34  x   c) x   3x   d) x    x  e) x    f) x   x   12  x Bài 2: Giải phương trình: b) x  x   c) x  x   a) x   x  d)  x   x  e) 3x   x   g) x    x  h) 3x   x   x  Bài 3: Cho phương trình: x   x  m a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm f)  x   x  i) x  x   PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC: Sử dụng đẳng thức sau: �f ( x )  g ( x) ( f ( x) �0) f ( x)  g ( x ) � f ( x)  g ( x) � � �f ( x )   g ( x ) ( f ( x)  0) II-BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: x  4x   x  (1) HD: (1)  (x  2)   x  |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1)  – x = – x (vô nghiệm) – Nếu x �2 : (1)  x – = – x  x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 2: Giải phương trình: x   x   x  10  x   x   x  (2) � �x  �0 HD: (2)  � � x   x    x   2.3 x    x   x   �x �1 � (*) � x   1 | x   | 2.| x   | Đặt y = x  (y ≥ 0)  phương trình(*) cho trở thành: y  1 | y  | | y  1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y  y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y –  y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y =  x + =  x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 3:Giải phương trình: x   x   x   x   HD:ĐK: x � PT � x   2 x    x   x    14 � 2x    x    14 � 2x   � x  15 (Thoả mãn) Vậy: x = 15 Bài 4:Giải phương trình: x  x   x  x   HD:ĐK: x �1 Pt � x   x    x   x    � x 1 1 x 1 1  Nếu x  pt � x    x    � x  (Loại) Nếu x �2 pt � x     x   � x  (Luôn với x )  x R | x 2 Vậy tập nghiệm phương trình là: S Σ� III- BÀI TẬP ÁP DỤNG: Giải phương trình sau: a) x  x   b) x  x   c) x  x   x  d) e) x  x   x  x   f) x  x   x  x   10 g) x  x   x  x   i) x  x   x  10 h) x   x   x  x   k) x  x    x x  x   5x  PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ Bài 1: Giải phương trình sau: a) x  x  0 b) x  x   0 Lời giải: a) Điều kiện: x 0 Đặt x t (t 0)  x t , ta có phương trình t  t  0 (a  b  c 0)  t1 1(t / m), t  (loại) t1 1  x 1  x 1 Phương trình có nghiệm x = 10 x  2 b) Điều kiện: x  0  x 2    x  Ta có: x  x   0  x   x   10 0 Đặt x  t (t 0)  x  t , ta có phương trình ẩn t: t  7t  10 0 3 7  ( 7)  4.1.10 9   3  t1  5 (t / m); t  2 (t / m) 2 Với t1 5  x  5  x 27  x1  27  3 (t / m), x  27 3 (t / m) Với t 2  x  2  x 6  x3  (t / m), x  (t / m) Vậy phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt: x1  3, x2 3 3, x3  , x4  Bài 2: Giải phương trình: + =7 (1) Hướng dẫn: (Đây dạng trên, giải tập theo cách) Điều kiện: x  Đặt: = y   2x - = y2 (1) � 2( x  2)  2   2x   2x   14 Có: 2(x – 2) + 2x  = ( 2x  )2 + 2x  + = y2 + 2y + = (y + 1)2 2x + + 2x  = ( 2x  )2 + 2x  + = y2 + 6y + = (y + 3)2 (1) � + = 14   y + 1 +  y + 3 = 14 y  nên: � y + + y + = 14  2y = 10  y = (thỏa mãn điều kiện y  0)  = với điều kiện x  vế khơng âm Bình phương vế ta có:  2x - = 25  x = 30  x = 15 Phương trình cho có nghiệm x = 15 Nhận xét : Cách có phần phức tạp cách phương pháp nói 11 Bài 3: Giải phương trình: x2 + = 3x + (1) (Tốn bồi dưỡng đại số lớp 9) Hướng dẫn: 11 + + 4 11 = (x - )2 + > 0; x  R Điều kiện: x2 – 3x + = x2 – 2x (1)  x2 - 3x + + - 12 = (2) Đặt: = t (t  0) (2)  t + t - 12 =  = 49 >  = Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: t1 = (thỏa mãn); t2 = - (loại) =3  x2 - 3x - = Vậy nghiệm phương trình là: x = -1; x = Bài 4: Giải phương trình: 3x  21x + 18 + x  7x   (1) Hướng dẫn: Điều kiện: x2 + 7x +  Đặt: x  7x   y �0 => x2 + 7x + = y2 (1) � 3y2 – + 2y = � 3y2 + 2y – = � (y – 1)(3y + 5) = < (loại) x  7x   � x + 7x + = � (x + 1) (x + 6) = � y1 = (thỏa mãn); y2 =  � x1 = -1; x2 = -6 (thỏa mãn điều kiện x2 + 7x +  0) Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = -1; x = -6 Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ: x  7x   y �0 làm cho phương trình chuyển dạng hữu tỉ Bài 5: Giải phương trình: x2 + 2x + = x3  4x (1) (Trích đề thi vào 10 chuyên toán trường ĐHKHTN năm 1994) Hướng dẫn: (1) � x   2x  ( x  4) x  12 Điều kiện: x �0 Đặt: x   u; x  v , phương trình có dạng: u2 + 2v2 – 3uv = � (u – v)(u – 2v) = � u = v u = 2v * Với u = v: x   x � x   x => Phương trình vơ nghiệm * Với u = 2v: x   x � x   4x � x  (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: a) x  3x  ( x  3) x  b) x  x  2( x  3) x  20 12 c) x    x  ( x  1)(3  x) 2 Một số sai lầm mắc phải giải phương trình vơ tỉ: Thơng thường giải phương trình vơ tỉ, học sinh thường hay mắc sai lầm sau: - Qn khơng tìm tập xác định giải phương trình - Khơng đặt điều kiện biến đổi tương đương 2.1 Qn khơng tìm tập xác định phương trình: Ví dụ: Giải phương trình: + 2x 1 = x (1) Học sinh thường giải: (1)  x  = x-  2x – = x2 – 4x +  x2 – 6x + = Vậy phương trình có nghiệm là: x1 = 1; x2 = * Sai lầm cách giải là: Học sinh khơng tìm điều kiện xác định phương trình nên kết luận nghiệm phương trình khơng xác (giá trị x = không nghiệm phương trình) 2.2 Khơng đặt điều kiện biến đổi tương đương: Ví dụ: Giải phương trình: - =2 (1) Học sinh giải: (1)  x + = + x  +2x - 13 4 =4-x (3) Bình phương vế ta có: (3)  16 (2x - 6) = 16 - 8x + x2  32x - 96 = 16 - 8x + x2  x2 - 40 + 112 = ' = 400 - 112 = 288 >  = 12  x1 = 20 + 12 ; x2 = 20 - 12 Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = 20  12 * Sai lầm cách giải là: + Khơng tìm điều kiện (1) là: x  + Khi biến đổi tương đương đến phương trình (3), học sinh khơng đặt điều kiện - x   x  + Kết luận nghiệm khơng xác khơng đặt điều kiện Chương III: KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ ĐỐI CHỨNG Kết chung: Sau học sinh thực hành sáng kiến “Phương pháp giải phương trình vơ tỉ”, đa số học sinh khá, giỏi nắm vững dạng phương pháp giải chúng mà biết vận dụng linh hoạt phương pháp giải dạng Kết cụ thể: Qua việc dạy chun đề phương trình vơ tỉ học sinh nói chung đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau trắc nghiệm số học sinh thu kết đây: - Học sinh khơng cịn ngại gặp dạng tốn giải phương trình vơ tỉ - Một số học sinh thấy hứng thú thực tốn giải phương trình đặc biệt phương trình vô tỉ Qua việc kiểm tra đánh giá chất lượng sau lần kiểm tra 28 học sinh với đề sau: Đề 1: Giải phương trình: x    x  (Trích đề thi vào 10 chuyên ĐHQG năm 2013) x  6x   x  2011 (Trích đề thi vào 10 tỉnh Tuyên Quang năm 2012 - 2013) x   x  x(1  x)  Đề 2: Giải phương trình sau: x   5x   3x  14 x  2x   x  2x   x   x  3 Tôi có kết cụ thể sau: Điểm