Chuyên đề Phương trình và bất phương trình vô tỉ luyện thi đại học cập nhật bản 2013 Nguyễn Đức Thắng

Trang 1

NGUYEN DUC THANG BLEN SOAN 2008

TRUONG THPT NGUYEN VAN LINH-NINH THUAN

_ PHUONGTRING _

BAT PHUONG TRINH VO TY

X

M 8 m2

* Trong quá trình biền soạn tài liệu không tránh những thiếu sót,rất

mong được sự đóng góp ý kiên của các em để tài liệu được hoàn thiện hơn

Liên hệ: 01665188889

^ „4

Trang 2

Chuyén dé:

PHUONG TRINH - BAT PHUONG TRINH VO TY

* Tinh chat lũy thừa với số mũ hữu tỷ

(r=—.meZ,neZvàoeQ.,3eQ)

+) (ab)? =a B ; (3) =o +) (a}=a#£ b} b

+) Nếu a> 1 thì aZ >aŸ © ø>

+) Nếu 0<a< 1 thì aZ># ©ø< 8

+) Lưu ý: Với n chẵn : Ma xác định khi a >0 Với nlẻ: Xa xác định với mọi a

a _ Va

+) Trong cac điều kiện tồn tại,ta c6: pf— = Wo 2

Vab= YaXb Wa)" =¥a" =a" fa = "fa

A PHUONG PHAP BIEN ĐÔI TƯƠNG ĐƯƠNG

* Hai phương trình (Bắt phương trình) được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm * Một số phép biến đỗi tương đương

+) Cộng trừ hai về của phương trình (hay bất phương trình) với cùng biêu thức mà không làm thay đôi điều kiện của phương trình

+) Nhân chia hai về của phương trình của phương trình

với cùng biêu thức (luôn khác 0) mà không làm thay đôi điều kiện của phương trình (Đối với bắt phương trình, nhân âm đổi chiều , nhân đương không đổi chiều)

+) Lũy thừa bậc lẽ hai về khai căn bậc lẽ hai về của

phương trình (hay bát phương trình)

+) Lũy thừa bậc chăn hai về, khai căn bậc chăn hai về khi hai về của phương trình (hay bát phương trình) cùng đương

+) Nghịch đảo hai về của bát phương trình khi hai về cùng dương ta phải đơi chiều

1

Với ƒ(x)>0.g(x)>0 thì Jot

S@) s@œ

L/ Ky thuat luy thira hai vé

1) Pháp lũy thita hai vé:

a)_ *Äƒ/œ) =g()</ƒ@)=ø””@) =/<e) : f= (0) b) WF) =) =>{ sọ) <0 ©) 2?4ýƒ(x) =?*Ws(x) © f(x) = g(x) ® 37G) = 348G) © Ự (= 8@) f(x) 20

e) VA= pelts vMA= Mi:

A> *Bat phương trì a) HY F(a) > “JØG) © fX) > g0) b) 2Q) > Yee) © Ự 60 se) s(%)>0 4>0 2 nao pet bn | B20 B<0 4>0 *4<B©| >0: *A4<xA8 œ0<A<B A<B

( Đối với các trường hợp còn lại với dấu <, > , Š các em

có thể tự suy luận _ khi lấy thừa với mũ chẵn điều kiện biểu thức lũy thừa đương, lãyy thừa lẻ không cân điều kiện)

2) Lưu ý:

- _ Đặc biệt chú ý tới điều kiện bài toán (nếu điều

kiện đơn giản có thể kết hợp vào phương trình, cịn trường hợp điều kiện phức tạp nên tách riêng) 3) Ví dụ:

Bail: Giải các bất phương trình sau :

4)4x-3<2x-l : b) Ajx°—-x+l<x+3; ©xx-2>4x-3 : 4)A3x+x-4>x+l 1 Giải: a) Xx-3<2x—1 x> > 2x-1>0 T2 ©=+4x-3>0 5x33 x-3<(x-D ` |4Ì-5x+4>0 © x>3 Vậy tập nghiệm: T = b) ve —xt1<x+3 x'—x+l>0 Ẳ©S4x+3>0 [B ; +0) <x>-— x? -x41<(x4+3)

Vay tap nghigm: T=[-5 ; +00)

©) V3x-2 >4x-3

Trang 3

BOQ TAI LIEU ON THI DAI HOC Phan2: DAI SO 10

= a hoặc làn ©2x+4>2/(x-D(2x-4) (x>2—=x+2>0)

3x-220 3x-2>(4x-3)7 ©Œ+2>Œœ-D(x-4) ©0<x<10 @)

2 3 * Kết hợp (1) và (2) ta có tập nghiệm của bất

sŠ 1S} phương trình đã cho: T =[2; 10)

=|; Ss<x<l 11 Kỹ thuật chia điều kiện

"nàn 1) Thuật toán:

Vay tap nghiém: T= [$311

® 43x +x-4>x+l {ee 4 3x°+x-420 3 oO oO fee „I+V41 3x?+x—-4>(x+D? 4 Vậy tập nghiệm: 7= (+ tị Tnhh

\Bai 2: Gidipt: Vx + 4-vI1-x=vl-2x (1)

Gigi: (DS vVl-x+vVl—2x =Vx4+4 1-x>0 ea 1-2x>0 (Vix +Vi-2x) =x+4 1 eS x<l2 2x+l=x2x”~3x+l 1 xsl oS 2x+120 (2x +1) =2x?—3x+l1 Vậy pt có nghiệm x = 0

- Nếu bài tốn có điều kiện là x €D mà D =

D, UD, V UD,,

- Ta cé thé chia bai todn theo n trường hợp của tập

xác định (điêu kiện) :

+ Trường hợp 1: x €D¿, giải phương trình, bất phương trình ta được tập nghiệm T:¡

+ Trường hợp 2: x €D¿, giải phương trình, bắt phương trình ta được tập nghiệm T›

€D, ,giải phương trình, bắt

+ Trường hợp n:

phương trình ta được tập nghiệm Ta

> Khi lấy nghiệm phương trình, bất phương

trình ta phải lấy hợp tất cả các trường hợp nghiệm T = Tị (2T¡ (2 2T,,

2) Yêu cẩu :

- Cân phải xác định giao hợp trên các tập con thường dùng của R thành thạo

3) Ví dụ:

Bài 1: Giải bất phương trình 4-3#)+x+4+2 <2 (1)

x

Bai 3: Giải bất phương trình

v5x-l-Nx-l>x42x-4 TS(A) 2005

Giải:

5x-120

Điều kiện: J x-1I>0 @x>2 ()

2x-4>0

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

5x-l>xX/x-l+x2x-4 ©5x-l>x-l+2x-4+2./(x—])(2x- 4) Giải: + 3 =l<x< Điều kiện : x#0 4a o + 3 * Xe: 0<xst @đ (@â X3 X+42 2e 3v +x+4<2x—2 x 2x-2>0 x21 9 c- 3 12435 Sx> = (ii) -3x +x+4<(2x-2) 7xÌ~9x>0 7

Két hop (i) va (ii) = Tập nghiệm: T¡ = (3: 4 |

73

* Xết:—1<x<0 = (1) luôn đúng = Tập nghiệm : T› = [—1;0) * Vậy tập nghiệm (1) :

Trang 4

T=T¡ ut = (5: ;|9E 1;0)

7 3

|Bài 2:Giải bât phương trình:

Al2~3x+2 +vš?-4x+3> 24x )-5x+4 (2) Giải: x -3x+220 Điều kiện: Jx?—4x+3>0 x -5x+420 = x24 hoaic x<l *Trường hợp 1: x > 4 (2)>Œœ-Dœ&-2)+Jx— — 3)2=2/(«-De-4 () ôâXx-I(W-~2+xx-3)>2\xIx4 â4x-2+4x-3>2Ax-4 âxwx-2-vx-4>xx-4-x-3

Vỡx > 4 nờn về trái đương còn về phải âm nên bất phương trình nghiệm đúng Vậy x > 4 lànghiệm *Trường hợp 2: x < 1 (2)=/—9G-»)+/—z@-») > 2/0-x@->x)đ) © vl-x(xv2-x+x3-x)>2/1-xk4-x Ấ©Ẩxvl-x(42-x+†43-x)> 241-x 44-x oS x=l Qoxt+v3-x22V4-x (*) Dé thay("*)o J2—x-V4—-x > V4—x -\3B-x

Vi x < Inén0<2-x<4x & 2-x- y4-x<0 4-x>3-x> 0€ 4—x- 43_— x >0

= Œ)VN

Kết luận :Bpt có nghiệm x > 4 hoặc x= l

TIL/ Kỹ thuật khai căn

1) Đưa biễu thức ra ngoài căn thức :

vi ưc 4 khiA>0 2-48 i= =H= { Ex |E| perro) A khiA<0 *x T4 ¬.P \4| * 2nH[ 2m1 _ 4 2) Lưu ý:

- Biên đôi các biêu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức

3) Ví dụ:

3 lBài 1: Giải: ¥x+2Vx—-1+yxt+2¥x-1> 3 qd)

Gidi: wos — Ắ Ắ © /(Jx-1+1 + J(/x-1-1)? >> © vr-1t+ 1+|vx-1-1| > > *Với /x-l1-l >0 €© x-l>l© x>2 Bat phương trình trở thành 3 vx-l+†lt4x-l-l> zy & 4.x -1>3 16x-16>9 > 25 - X— a x ——— 16 Ta có tập nghiệm : — — , © 1<x<2 x- <

Bat phuong trinh tré thanh :

3 3

Ax—l+I-x-—l+1> 3© 2> 5 (n đúng)

Ta có tập nghiệm : T;=[1; 2)

* Vậy bất phương trình có nghiệm T= T¡CT; = [l;+%)

* Chú ý: Bài này ta có thê giả bằng phương pháp

bình phương hai về

1W./Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đưa về pIutrơng trình tích 1) Phương trình tích 25 T=(;+đ ECG ) â f(@).g(x) =0 | g(x) =0 2) Lưu ý:

Đây là kỳ thuật giải đòi hỏi phải có tư duy cao, kỳ

năng phân tích biều thức thành nhân tử thành

thạo,cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh

3) Ví dụ: Bài 1: Giai Jx—1(3x? +x+1)+3x ` +2x—1=0 Giải: Xx-1(3x?+x+l)+3xÌ+2x-1=0 ©x-l+3x*ÌJx-l+vx—l+x/x—1+3x`+x=0 ©vx-I(x—1+3x?°+])+x(Jx—I+3x?°+])=0 ©(4x-1+x)(Jx-I+3x?+1)=0 x 1+x=0 qd x-1+3x?+1=0 (2)

Trang 5

BO TAILIEU ON THI DAI HOC Phéan2: DAI SO 10

“Taxes off TP cvensiem x? +a? =cx-dt+ Vx? 4+)?

—x> xs

* jx—1>0 và 3x” >0—= VTQ) > 0 với Vx

=> (2) V6 nghiém

* Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm V./ Kỹ thuật nhân chỉa liên hợp

1) Biểu thức nhân chia liên hợp

« va+v TM: _ A-B (A#B)

» 1 44+

Gap ae ">

2) Lưu ý:

-Nên nhầm với một số nghiệm nguyên đơn giản - Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp

~ Phải dự đoán được nghiệm của phương trình -

3) Ví dụ: Bai 1: Giải pt: Jx? +15 =3x-2+Vx?+§ (1) Giải: * Ta cú () â Vvx?+l5-yx?+8Đ=3x-2 w?+lĐ-x?-Đ Spottt es vx? +15 + Vx? +8 7 © ——————=3x-2 Œ) vx?+l5 +Ax?+8 => (*)cénghiém thi 3x-2>0 Ox > 2/3 * Mat khac: 3x—2 ()© vx? +l5 -4=3x-3+x?+8-—3 x? -l xi TT © ———— -3(⁄-Ì)' ————— Xx?+l5+4 alx? +843 x41 x+l © (x-1)( = - = -3)=0 4v )+15+24 Vy? 4843 xl

2 z : >

*Dox> 3 nena 15 +4 > yar +843 vàx+1>0 x +1 —< x41 _

7 Vx +1544 xx?+8+3

=> Vétrai (*) uénam => (*) VN

*Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1

ŠChú ý: Bài này việc quan trọng nhất là phải nhdm

dugc nghiém x = 1 va cac em dé ¥ toi dac diém

xe 415 — 4 =0 3x —3 =0 va Jx? +8-3 =0 voix =1

Thurờng dùng cách giải trrơng tt cho các bài toán :

¡pt:x3x+1—x/6—x +3x”—14x—8=0 (2) (ĐH B 2010) Giải: 2 1 :

* Điều kiện: 35" <6 ,khi đó

@)©(x+1—4)+(—/6—x)+3x?—14x—5=0 3x+l-l6 1-6+x ©—='-—='(x-3)3x+l) =0 3x+l+4 1+6-x 3(x—5) x-5 So 4 =—:(‹-35)4x+l) =0 M3x+l+4 1+V6—x Ạ x › 3 1 © (x-5)} =.= + — + 3x41 (5 1+J6—x } x-5 =0 © 3 1 +———+3x4+1= 0 (*) N3x414+4 1+¥6—x

* Theo điều kiện 3x + 1> 0— VT (*) luôn dương

> (*) v6 nghigm

Do đó phương trình đã cho có nghiệm: x = 5 *Phân tích bài toán : Nhận thấy nếu phương trình có nghiệm ngun thì:

3x+1=a? l

+ TT T® 02437 =19 (a,b la số tự

6-x=b nhiên )

+ Chỉ có a = 4, b = 1 là thỏa mãn yêu câu, từ đó ta

có thề dự đốn x = 5 là nghiệm : VI Một số bài tập tự luyén:

Bail: Giai: x + 2/x—1 + fe —We- ao HD: Jx-1+1 +|\e11-=8 2

Dap: x=1,x=5

Bai2: Giaipt: ¥x-1+ Vx-2= V2x-3

HD:Lép phuong ca hai vé dua vé phuong trinh tich

Đáp : x=], x= 2 và x = 3/2

2

x

—=———— -v3x-2 = 1x

v3x-2

HD: Tìm điều kiện xác định ,quy đồng đưa về

phương trình tích Đáp: x = 1

Bài 4: Giảipt:AJx + 2x —1 +4|x-42x-1=x/2

HD : Bình phương cả hai vế( chú ý tới a/k, nén tim

Ä trước ) Đáp: T= [1/2: 1 ]

Bài5: Giảipt: 3x + 4- V2x+l=43+x

HD: Chuyển về,bình phương

Bài 3: Giải pt:

Trang 6

Đáp: x = -1⁄2 Bài 6: Giaipt: (4x-1) x? +1=2x°+ 2x41 HD: +)Vì 2x2+2x +1 >0,Alx” +1 >0 nên đếpt có 1 nghiệm thi 4x- 1 >0 <x >1 +) Bình phương hai về Đáp: x = 4⁄3

Bài 7: Giải bất phương trình

(x?~3x)N2x?—~3x—2>0 (TS(D)_2002)

HD: ĐK: 2xˆ2~ 3x — 2 > 0 Xét 2 trường hợp

+ Trường Hợp 1: 2xÌ~ 3x— 2 = 0

+ Truong Hop 1: 2x’ — 3x-2>0

Bài 8: Giải bất phương trình: yx* —x-12 <7-x HD : bình phương hai về

Dap: T=(-% ;-3)0 [4 ;61/13)

Bai 9: Giai bat pt: x +3 - Y7—-x >V2x-8

HD : Chuyển về,bình phương

Dap: T=[-4 ; 5) U6; 7]

Bài 10: Giải bất phương trình:

2

1 ¬

vx-3 vx-3

HD: Quy đồng Dap: T= (5 ;+ ©) Bài 11: Giải bất phương trình:

1 1

——————>

A42x)+3x-5 2x-l

HD: Chia điều kiện, dùng phép nghịch đảo Bình phương hai về Đáp: T=(-z ;-5/2)©) (1;3⁄2) v2 (2;+% ) Bài 12: Giải bắt pt:(x — 3)\Jx” =4 <x”—9 HD : Đưa về phương trình tích Đáp: T=(-œ ;-13⁄6]©2 [3 ;† ©) 1- vI- 4x? x

Bài 13: Giai bat pt: <3

Bail4: Giai bat phuong trinh: yx? — 3x -10 = x-2

HD : Bình phương hai về

Đáp: T = (%:~2]©2[14 +)

Bails: Giải các bất phương trình sau

ax —3x+2+¥ 0 —4x43 > 20 —5x 442: bx? —8x 415 + Vie? + 20-15 < fae? —18x 418 V4J-3x?+x+4 x HD :Chuyển về,quy đồng xét 2 TH: x < 0 và x > 0 Bài 16: Giải Đất pt: <2 Đáp: T=[-1 : 0 ]+2( 9/7: 4/3 ] Bài 17 Giải bpt: Vx +1 >3-Vx+4 HD : Chuyển về,bình phương Đáp: x> 0 Bai 18: Giai bpt Vx + 3 -Vx-1< Vx-2 HD : Chuyển về, bình phương Đáp: x> =

Bài19: Giải bất phương trình:

vx?+x-2 +Ax)+2x—3 <2j# +4x—5

HD: Tim TXD D=(- ;-5] U[1;+ © ) + Trường hợp]: x>1

+ Trường hợp2: x < —5

Đáp: x =1 Bài 20: Giải phương trình :

Trang 7

|B PHUONG PHAP BIEN DOI THEO

PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUÁ

(áp dụng cho giải phương trình ,ít áp dụng cho giải bắt phương trình )

1) Phương trình hệ quả:

2) Một số phép biến đỗi hệ quả cơ bản

* Với Dị là tập xác định của (1) : với D› là tập xác

định của (2) và Dị CD;

fx) = gœ&) (1) © (+) = g'@) (2) fix)=g@) () > Ñx) +h(x)= g(x) +h@) (2) f(x) = g(x) (1) > Ẩx) h(x) = g(x).h() (2)

- Binh phuong hai vé( khéng chi ÿ tới điều kiện cả hai về đều dương)

- Cộng trừ ,nhân(khác 0), chia(khác 0) hai về với

một biểu thức làm hạn chế điễu kiện của phương

trình 3) Lưu ý :

- Giải phương trình theo phương pháp hệ quả ta

không cân chú Tới điều kiện bài toán, sử đụng các

phép biến đổi hệ quả cho ra các nghiệm ,sau đó thé vào phương trình để loại các nghiệm ngoại lai (cũng

có thề kết hợp điều kiện xác định để loại bớt các

nghiệm ngoại lai)

- Điểm khó khăn nhất của phương pháp này là các

C PHƯƠNG PHÁP ĐẶT AN PHU]

1 Một số yêu cầu đối với phương pháp này:

- Dang nay HS cân nhớ các thế đặt ẩn Từ đó mở rộng cho các bài toán tương tự

-Chi ý tới các điều kiện của ẩn

IL Một số dạng toán và các bài làm mẫu

1) Đặt dn đưa về pt dơn giản hơn:

|Bài 1: Giải bất phương trình: —T— x+l

G * Điều kiện : x<_—1t/x>0: x+l x t>0>—=—> x x+l f * Đặt 1 * Ta được: =.1>3 © 2P +3? ~1<0 @>0) S(r+))(22+:—1)<0 Œ>0S0<r<E x+l 1 4 >0<,J— <-O <x<-l x 2 3

Bài 2: Giải phương trình:

vx?-3x+3 +4x?-3x+6 =3 qa nghiệm vô tỷ, 4) Một số vi du:

Bài 1: Giải pt: Jx + x29 =VI+x+ 41x ()

Giải: @đ)>x+x+9+2./z(x+9) = x+l+x+4+2./(x+])(x+4) = 4+2/jx(x+9) = 24/(x+1)(x+ 4) =2+vyœ+9 =JŒ+DŒ+9 4457 49x44 [xe $9) = (xt (x44) => 44x°49x4 4.[e(x +9) =x? 45x44 => 4 yx(x +9) =—-4x > x(x+9) =x? >x=0 Thay x=0 vào (1) ta có : 0 + j0+9 = Vl+0 +A/4+0 (đúng)

* Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0

Giải: * Đặt t= 4x” -3x+3 (t>0) ta có : X” -3x + 6 = + 3 Phương trình trở thành t†@fÐ+3 =3 œ Vf 2+3 =3-[E -t20 ss -$¿ ; © t =1 (hoảmản) £+3=(-?0) * Với t=l =x#Š~3x+3 =lœ© X”-3x+3=1 ox =1 hoặc x=2 *Chú ý: Có thê mở rộng cho các dạng : R.A//(x) +b.//(x)+k =d Bài 3: Giải bpt: s(W + I <2x+—+4 (2 ) K+> +4 G) 1 2 * Đặtt =xx + 1 2x (theo bất đẳng thức côsi) 1 2 Ủ=x+ +122x+L =2Ẻ-2 4x 2x * Bất phương trình (2) trở thành : t>2 1 t<— 5t<2-2+4© 2 Biên soạn: Nguyên Đức Thăng— THPT Nguyễn Văn Linh — Ninh Thuận 6

Trang 8

1 *Voit>2 tacd:vx += >2 2x 2+V2 Veo 2-J2 3 0<4#x< 2 0<x<Š-2 © 1 à

* Với t< 3 (loại - không tm điêu kiện)

* Vaynghigm: T= (0:5 "`

Chú ý: Có thể mỡ rộng cho dang :

A.[ f(x) +f (x) ]+b[ f(x) +f @œ)] +c =0

‘Bai 4: Giải phương trình:

x+3 +A46-x -.J(x+3)(6-x)=3 (3) Giải: *Đặtt= J/x+3 + 6— x (3) trởthành: t— F 5

* Vớit=—l = Ax +3 †6—x = —1 (vơ nghiệm)

*Vớit=3—= V¥x+3 +V6—x =3 “x2

x=6 *Chú ý: |

Bài tốn có thê giải bàng cách đưa về hệ phương trình với u= 4x+3 và v=xv6-—x

Hay áp dung đối với dạng :

vxta +tvb-x-m,/(x+a)(b-x)=¢

Bai 5: Giai phuong trinh :

AV7x+7 +4 7x—6 + 2549x? +7x—42 <181-14x (1) Gidi: sce 7x+7>0 6 * Điêu kiện : S©x>_: 7x-6>0 7 * Đặt t=A7x+7+xÏ7x-6,t>0 =P =7x+7+7x-6+24(7x+7)(7x-6) = 14x+2,{(7x+7)(7x-6) =P -1 * Ta Có : () SV 7x+7 +4 7x—6 + 14x + 2 49x? +7x —42 <181 * Vậy (1) trở thành: /2+r—1<1§1 P+t-182<0 Q <0</<13 t=0 >0 *Với0<t<13 = 4ñx+7+v7x-6<13 Tx+7+7x—6+24|(1x+77)(7x—6) <169 = xs 6 7 ~ 49x? +7x-42 <(84-7x) 4493) +7x—42 <84-7x 6 x<6 6 216 © -<x<6 pars 7 Vậy tập nghiệm: T = [ i 5} 2) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình :

Chú ý: Đối vơi ¡ phương pháp này ta có thể đưa về hệ hai â ân khác ân của phương trình hoặc có thé chi đặt một ân và ân còn lại của hệ là ân của phương trình ban đầu

Ví dụ 1: Giảipt : x”— =5 @j

Giải: Điều kiện : x > —5

Đặt t= XX +5 Œ>0) ©f =xt5 ©f-x=5 x-t=5 Ta có hệ pt: | (hệ đôi xứng loại 2) 2-x=5 Giải hệ ta được: _1-M2I v-I+V2I 2 (loai) : (vm) ; 1-21 ,.Ix⁄21 2 2 _-1-¥i7 v-_-L:MT 2 (m) : 2 (loai) - _ 14421 ;-I-v21 2 2 1-21 v- =7 2° 2 * Chú ý: Có thể mở rộng cho đạng( Bài tập 4) kh†aNx+0 Vậy pt có nghiệm: x= ¢| Vĩ dụ 3: Giâipt: 2Ä3x— 2 +326—5x—§ =0 Ts(A) 2009 — Gidi:

Trang 9

BO TAILIEU ON THI DAI HOC Phéan2: DAI SO 10 * Dat: w= Ơ3x-2 â 3x =zˆ +2 © 15x = 5` +10 v=V6-5x > 5x =-v?+6 => 15x =18-3v’(v > 0) * Ta có hệ phương trình: ty Sef 3v =8-2u a Su2+3v2=§ 15zỶ+(4v)°~24=0 (2)

* Thế (1) vào (2) ta được phương trình : 15ư` + (8— 2u)”— 24 =0 © (u+2)(15u”— 26u +20) =0 +2 — ©Su=-2=x= -2

* Vậy phương trình có nghiệm : x=-2_ *Chú ý: C6 thể mỡ rộng cho dạng

aijax +b, +bJax+b, +c=0

3) Đặt Ẩn phụ đưa về phương trình,bất phương trình lượng giác( lượng giác hoá)

*Chú ý:

4 Đối với phương pháp này ta cần chú ý tới d/k

của ân [-1: 1 ] hoặc một khoảng hay một đoạn

nằm trong [-1 ; 1 ] (vxe#) ặt x=sint với : 2%

> Dat x=sint vdixe [-1; ate 3 4

> pat x=cost vdixe[-1: 1]> t <0: 4

& Khoang ctiat luôn lấy trong một phần của chủ kì của hàm lượng giác vừa đặt sao cho tương img x vat la 1 và 1

a

* Đặt x=cost ,với t elo: | :

Ta có bất phương trinh : sin't+cos°**t < 1 * Do: sinÏt < sinÏt và cos “”t < cos”t nên

sin’t + cos**t < sin’*t +cos *t=1 véite [os =]

* Do đó bất phương trình có nghiệm là xe [—1; 1]

4) Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn :

Ví dụ1: Giải pt: (4x—-1)Jx? +1=2x°+2x +1 * Đặt = Ax?+1,Œ>0)—= x?=/?—1 *Pt trở thành: (4x —1)t = 2(t’-1) +2x+1 ©2-(4x-1)t+2x—1=0 @) * Ta có: A= (4x—1)”~ 8(2x- 1) = (4x-3)° * Phương trình có nghiệm : — 4x-1-(4x-3)_1 t= ——_—_— == hoact 4 2 _ 4-14 (4x-3) _ 4 2x-1 2 1 3 - *Vớit= 32 #-(3) ~1=~7 ( Võ nghiệm) *Vớit=2x~1= x2 =(2x-1) ~1 © 3X” —4x=0©x= 0 hoặc x= <

* Vậy pt có nghiệm x = 0 hoặc x = ị

3) Đặt đưa về đẳng cấp: Vĩ dụ 1: Giải 2x) <(1+2x—3x2)AJ2x+1 Vĩ dụ 1: Giải pt: xJ+ xh—x? =xa+2xÄ—x?)() Giải: *- Điều kiện x € [- 1] a aH t

* Đặt x=sint ,vớit €|—=: | =cos~ #0

2 2 2 * Ta có pt: 41+cos¿ =sin/(1+2cos?) t t 3t = ¥2cos—=cos—sin— 2 3x | Oo =sn- © 1

* Vay pt có nghiệm x = 1 hoặc x = >

Vi du 2: Giaibpt: —x*)° + Vx? <1 (2)

- Giải:

*- Điều kiện đề căn thức có nghĩa : x € [0: 1]

Giải: Đặt u= 42x+ 1 >0) — =l+2x Bắt phương trình trở thành

2x? <(u? —3x*)u © 2x7 -u? 43x70 <0 (*)

- 1+2x=0 1

+) Xétu=0, suy ra âđx=-

2x7 <0 2

1,

4) Xộtu> 0, khi ds x > ——, bat pt *) trở thành

3 2 1 › 2| Š| +ã| Š| -1<0Ý<Š©2x<u (viu> 0) u u u 2 Ax? <2x41 x<0 Suy ra 42x+1>2x hoặc y * oes no socre 8 # 1+x45 hoặc i <x<0 2 a aa 1

Suy ra tập nghiém 7 =| -—; y ra tập nghiệ za

Biên soạn: Nguyên Đức Thăng— THPT Nguyễn Van Linh— Ninh Thuận §

Trang 10

II Bai tép tur luyén:

Bail: Giaipt: Vx +34 -4/x-3 =1 HD: Đặt u= Vx +34 v= Vx -3

Dap: x = 30 va x=-61

Bai 2: Gidi pt: V3—x+x7- VJ2+x-x? =1

HD: Dat u=3-x4x° ,V= A2+x—x° đưa về

14.5 “2 u-v=1 hệ: Dap: x k + =5

Bài 3: Giải phương trình :

HD: Đặt u=‡Í(2-x) v=3/(+x) đưa vẻ hệ:

wtv=9

+ Đáp: X= -6 và x= 1

2 +y`—wy=3

Bài 11: Giải bọt: x(x—4)A|—x)+4x +(x—2)) <2 HD: Đặt t= /—x°+4x đưa bpt về: -ttt-t+4<2

Đáp : T=(2- 3; 2+ V3)

Bài 12: Giải bpt: 1-14 fe-lLax (12)

x x

HD: (Chia diéu kién)

2x+3+A/x+l=3x+242x?+5x+3-16

HD: Đặt t=J2x+3 +Vx4+1

Ta có:tf= 3x+4+242x?+5x+3 Đáp: x=3 Bài 4: Giải phương trình: x°+1=2Ä/2x —1

HD: Đặt t=4/2x—l đưa về hệpt In: Đáp: x=1,x= 1+5 +1=2x 2 Bài 5: a) Giải pt: x 4-27)? =x,20- x?) b) Mỡ rộng cho pt: x” +a/d-x))" =x/2d-x)) HD: Đặt t= V1— x” đưa vẻ hệ Bai 6: Giaipt : x°+x+12 Vx +1=36 HD: pat t= Vre1 >xtl=t? © X+x=-(x+l =É- (t>0) Ta có pt: tÍ — tŸ + 12t= 36 œ (-2(t13)(—t+6)=0 Đáp:x=3

Bài 7: Giải phương trình : x + 5 - ÄX =1

HD: Đặt u=Vx+5 w= My đưa về hệ pt

u-v=1

w4v=3

Bai 8: Giải phương trình : /x—1 + 2—x =1

HD: Đặt u=vx—l ,v= j2-x đưa về hệ pt Dap: X= 2.x= 10 va x=1

Bài 9: Giai phuong trinh: V/18 — x + Yx—1=3

HD: Đặt u=‡§-x VE Yx-1 đưa về hệ pt

utv=3 ub +y' =17 Bài 10: Giải phương trình :

{@-x +{Œ+xŸ - /@—~sđ+3 =3

Dap: x= 2/2 và x=l

Đáp: x = 2 và x =17

+) Với x e[T—1;0) (12) luôn đúng

+) Với xe[I;+) =(12)© Xx-l+x'-l>xvx

Bin T= (150) ES}

Bài3: Giải phương trình:

WX? ~16x+64 —ÄÍ@=x)Œ+27) +Ä/ +27)” =7

HD: Đặt u = f(x +27) ,v=j@-x)_

u?~wy+v?=7

„` +y) =35

Bài14: Giải phương trình: {57 -x +ƒx+40 = 5

HD: Đặt u=V57-x.v= {x+40 (u> 0,v> 0)

ut+v=5 ut t+v'=97

Bài 14: Giải phương trình:

4x-x?—1 +xtyx? -1 =2

HD: Đặt vx—-V¥e-1 =toyxiV¥e-1=

DS:x=1

Bài 15: Giải phương trình: ÿx+l=x?+4x+5

Trang 11

ID PHƯƠNG PHÁP DANH GIA

* Nhớ được cách xét tính đơn điệu của hàm số, lập bảng biến

thién, _

* Nhớ các bắt đẳng thức

* Thường áp dụng cho các bài toán đặc thù, phức tạp, khơng

có thuật toán cụ thể, nhưng hay có trong các kỳ thi Đại học

những năm gân đây

L/K§ thudt ste dung bat đẳng tluức để đánh giá hai về: 1) Bất đẳng thức thông dụng :

*) Bất đăng thức CauChy:

+

a) Cho a>0, = -

Đăng thức xây ra khi và chỉ khi a= b

ới ai AT

b)_ Vớia >0 a >0 4, >0 x >2

Dấu “=” khi đi =đ; = = đ„

*) Bất đẳng thức Bunhiacôpski :

a) Với mọi số thực ai, as, bị, bạ, ta ln có

(a:b, +ayb,)° <(a? +a3)(b? +b3)

a

Dấu “=* khi “t= &

bị by

b) Với mọi ai, a2, ,an, by, b2, , by ta ludn cd

(a,b, +2,b, + +4,b,) <(@? +a + +42)(bf +b} + +2) Dấu “ = ” khi HLM na bị by by 2) Lưu ý : 3) Ví dụ : * Ta có 42Œ°-x+Ð=š°+Œœ—D°+1>1 => 1Œ -x+]J) <0 =@)©x-x<1-2@œ ~x+Ð) © 2G? x41 <1-x+ve (a) * Mặt khác : ( theo bất đẳng thức Bunhiacôpski) 4œ? -x+1)= (140) G- x? +(09! | >I-x+š ®)

Dấu bằng xây ra khi :

l-x= -x= _

| xavx =" x) *y3 5

1-x+Xx>0 1-x20 2

* Vay: (a) 20° x4) =1-x4 ft Ox= >8

: 3-5

* Tap nghiém : r-|*#l

1H/Kỹ thuật sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá

1) Thuật tốn:

Đổ giải phương trình ƒ@Q) = g(x) , bat phuong trinh: f&) > #69 Ứ&) < g6) #4) > g(x), fl) S g(x) ), ta khao sat zhay

căn cứ vào tính chất hàm số y =fx) và =g(x) , dua ra bang

biến thiên và từ bảng biến thiên để đưa ra kết luận

2) Lưu ý :

Nếu m là tham số thì y = hím) là đường thẳng song song với trục hoành

3) Các ví dụ :

Ví dụ1: Tìm a đê bat phương trình sau có nghiệm

;

Vi dul: Giai bpt: Ji+x+V1—x sa

@(vi-x"-1) +20 Luén ding Vx €[-1:1]

Vậy nghiệm cua bat phuong trinh la: -1<x<1

Vi du2: Giai bpt: 21 (4) paw_2010

* Điều kiện : { > x x+3x°-1<a(y¥x—-¥e-1) (*) G

* Điều kiện: x > 1, khi đó

x-(x-1) vx +x—1 © (x+3x°-1)( vx +Vx-1) < a * Xét hàm số: f(x) =(x°+ 3x - 1)( Vx + Ve -1) f(x) = (3x? + 6x)(vx + Vx —1) +(x°+ 3x’ - 1) t,t 24x 24x-1 (Vi x = 1 thi3x’ + 6x >0, >0,x°+3x’-1>0 1 1 +4x-1>0va + ———— =0 Vytax T>0vA 5+ 7p 79)

Suy ra: Ñx) đồng biến trên [1; +) > f(x) >ÑI)=3

lim f(x) = lim[(x' +3x° - Ne +yx-1 )]= +0

f(x) lién tuc trén [1; +2) * Bang bién thién:

Œ)© x+34?-1<a

)>Ovdi x21

Trang 12

* Vậy bât phương trình có nghiệm khi a > 3

Vidul: Tim m dé pt: 2x° -2mx +1 =3 V2x° +x

có hai nghiệm thực phân biệt

Giải:

* Điều kiện bài tốn: 2xÌ+x > 0 @$ x>0

2#?-2mx +1 =342xÌ+x (1)

Nhận thấy x = 0 không phái là nghiệm của (1)

1 1

x x

* Đặt 2x+L=/,Vì x>0= 2x+L>2/2

x x

(theo bat dang thức cơ-sỉ) * Ta có :

2

* Xét y=Đ)= axed cóy = 2, 1 =0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với mỗi t > 212 thì

có hai nghiệm x °

sử r>2/2) @

(1) trở thành m = =5t -

coy = L_ 3 = 4yt-6 =0œt=#3É

2_ 4 — 4 2

*Bang bién thién y = g(t)

` t ¬ 2ý2 too YZ 77 2 + mg”

Vậy với t> -5R thì phương trình có hai

nghiệm phân biệt

THL./ Kỹ thuật sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số trên miền xác định :

1) Thuật toán:

_Nếu hàm số y = f4) chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên D,

u(x) va v(x) c6 mién gid tri là tập con của D

khi đó ta có : ƒfu@)) =f&&)) > ux) =v) ;

#4@) <ƒ&)) D ub) < ver)

( Tương tự cho các dấu <,> va >)

2) Lưu ý: 3) Các ví dụ : Ví dụ1: Giải pt: (x+3)4x+1+(x—3)J1—x +2x=0 (1) _Ngày 24102010] Giải: x > >— * Điều kiện:J*?!>6 _ J#>=l 1-x20 x<l © -l<x<l * Ta có : ()©(Œ+DNx+1+x+1+2jx+1= q-xxl-x+I-x+2—x SQW+D+(š+lŸ+2jx+l= (@M~x}+(@W=xŸ+2/1=x (*) * Xét hàm số : y= fx) = xÌ +x” + 2x Có f(x)=3x” +2x+2 >0 với mọi xe R Do đó y= x` +x” + 2x đồng biến trên R

* Xét u(%) = vx+l và v(%) = vI—x đều có miễn

gid tri [0 ; +00)

Ma: f|¥eH) =(e +1) +(e HY +241 = VTŒ)

1W/ Kỹ thuật sử dụng tính chất đối xứng hai nghiệm :

Bài 3: Cho phương trình

4x+2xJl—=x+2.|x1—x)—24Í*d-x) =mỄ (®)

.Tìm m đề phương trình (*) có nghiệm duy nhất

Giải:

* Điều kiện 0< x< 1

* Nhận xét nếu xa là nghiệm của phương trình thì 1 — xạ cũng là là nghiệm của phương trình

=> phương trình có nghiệm duy nhât khi : 1

X =1-X) Ox, ==

Trang 13

cl

* Thay x¿ =— vào (*) ta được :

fe 1-5 +2m Ba-t —24 Ha-t 2 [bem 0<a| m=1 > Vớim=0(*) trở thành 4x+x-x-24*đ-x)=0 (1) S(W-1 l—x x=l-x ©Sz=Vl-xe© œx=1 x20 2

Vậy m = 0 thỏa man

> Vớim =-l (*)trởthành Ax++x-x-2./*q-x)—24Íđ-x) =-1 @) S(-~1=xŸ +1-2/gq—» =0 ©(W-1=xŸ +1~x-2/*d=z)+x=0 = WEES SENT <0 oli Yirx=0 @ |°2 eit x=0 a xl 2 Vay m=-—l thỏa mãn +) Với m =1 (*) trở thành Ax+A-x+2./Jxd-x)-24ÍxI-x)=1l @) âlWx-W=x =1-2/gq=ằ ô>(W-l=x =(Wx-vl=xè @

Dé thấy (3') có hai nghiệm x = 0 và x = 1 Vậy m= —1 không thỏa mãn

* Kết luận: vớ 0 hoặc m = - 1 thì phương trình có nghiệm duy nhât

V Một số bài tập tự luyện:

Bài: Giải phương trình :

-x'+ 2- 2 =4-(x‡ 1⁄4) Œ)

| Ddp:x=1

Bài2 Xác định m đề phương trình vơ nghiệm:

m(1+x? -xl=x? +2)>VI—x! +Xjl+x?) -A1—x2 | (TS B_2004) (2) HD: Điêu kiện: - l1 < x < l t=All+x°-xl-x?=:>0 vì Vl+x?> 1 ©=x=— 2 -x >P=2-2V1-x* <2 =:<2 >re|0;42] _,# Pt trở thành m+ 2)=-1 414269 2 + (Đánh giá về trái ) Đáp: 42—1<m<1 Bài 3: Xác định a để pt V4x? 42x 41- 4x? -2x+1=2a có nghiệm Đáp : -1/2 < a< 1/2 Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m đề phương

trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :

4⁄2x+ 42x +2W6— x +24|6-— x =ứm TS) 2008 HD: * Đêu kiện : 0 <Šx <6 * Xétham sé f(x) = W2x +Al2x+2Ä/6—x+22l6—x gta eae es 2l@o” W@6-9)) (2x é~x 1 1 lươợ {oa x9 oe ] *Ta có:x> 2 thì u(x) > 0 và v(x) >0 > Ể(%) >0 X <2 thi u(x) <0 va v(x) <0 => f(x) <0 x =2 thiu(x) =0 va v(x) =0 > f(x) =0 Dap: 246 +26 <m<3V2+6

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi giá trị đương của

tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực

phân biệt: x”+2x—§= vm(x— 2) TSŒ)_2007 HD: Bình phương hai về đưa về phương trình :

&— 2)(x` + 6x- 32- m) = 0 Xét ham fx) = xÌ+ 6x— 32

Bài 6: Tìm m đê phương trình sau có nghiệm thực:

3/x~1+mmjx+1=2Wx? —1

HD: Điều kiện x >1

Chia cả hai về phương trình cho AJx+1 phương

x—] x—l

trình tương đương :/„=24|—— —3.|——

x11 x+l

Đặt r1 T—Ì~4]—— 2, vì x >1 nên 0< t<] x+l1 x41

Đánh giá hai về (xét hàm số)

Bài 7: Tìm m để pt m5 =(x+icx 06 nghiém

HD: Đặt Jx +1—x =t(Ddnh gid bang xét ham )

Bài 8 : Tima dé bat phương trình sau có nghiệm Xx'+ 3x?- 1<a(ýx=x=1)

Bài 9 : Giải pt:(x—2X\Ÿ +4x+7+0)+xQ# +3+)=0 (1)

ND: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm

Đáp :x= —1 * Đặt uœ)= TS(A)_2007

Trang 14

D SU DUNG TAM THUC BAC HAI

Vidu 1: Giai va bién luan phuong trinh :

Ja+x=a-VJa-x (I)

*Chú ý: Bài fốn trên nếu bình phương xế đơn giản hơn Giải: I) @ Jja+x+Ja-x=a

*Dat: u=Vat+x>0 ,V=vya-x>0 Khi đó:uˆ = x‡+a ,v =a-x

ut+v=a

, ut+v=a

*Tacó: 4 „ „, a’ -2a (1)

u-+v =2a 1V = a

Vậy u v là nghiệm pt: 2X - 2aX + a(a-2) =0 (*)

Vì u,v khơng âm nên (*) phải có nghiệm khơng âm * với A'=a(4-a) > 0

Xi =£= a= a)

=(1) có nghiệm : a hoặc b +;

v=X, v=X,

khi đó „XI =X,=a

PT (II) có nghiém duy nhất x = 0

+ TH 2: (*) có 2 nghiệm trái đấu = a.c<0

khi d6 X; < 0 (loai) ,X2.>0O(t/m) Suyra: xX = u-a=Xj)-a= aves a Ja@ - 4)

2

V ậy pt đã cho có 1 nghiệm x= Zv4(- 4)

2 + TH 3: (*) có 2 nghiệm phân biệt không âm

A'>0 0<a<4

P>0 a> 2 hoac a<0 khi đó X; >0 (tm), X› > 0(t/m) Do đó pt đã cho có 2 nghiệm : 5 a,ja(4—a) X,;=X ~ -a=———— :; 2 _ 5 _ aja(4- a) X= X;-âa=————— 2

+ Các trường hợp còn lại đêu VN

Kết luận: /

+ Với a = 0 hoặc a = 4 phương trình có nghiệm duy nhat:x = 0 +Với 0 <a<2 phương trình có 1 nghiệm x= aa(4~ 4)

2 + Với 2 < a< 4 phương trình có 2 nghiệm:

x= 4/44-4) aad)

2 bố 2

Ví dụ 2: (ĐH Khối B— 2006) Tìm m đề phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt: Vix? + mx +2 =2x+1, (1)

Giai: na {224120 We 3x° —(m-4)x-1=0,(2)

Đề (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng — ; hay

A=(m-4) +12>0 1 9 ——|>0 om>— s(-5) S i 2 2

Cach 2: dat r=x +7, khi đó để (2) có hai nghiệm lớn

hơn hoặc bằng -5 thi

2

a(+-5) -(m=4)(:=3]~1=0 có hai nghiệm thực

lớn hơn hoặc bằng 0 Cách 3: 1 x2 We} 2, m= x -1 +4 x Xét ham y = ffx) =3 ls véi x2-5

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,4 MB