Chuyên đề Phương trình lượng giác Thạc sỹ Lê Văn Đoàn

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG Công thức cung nhân đôi Công thức cung nhân đôi Công thức cung nhân đôi – – – Công thức hạ bậc Công thức hạ bậc Công

Ths Lê Văn Đoàn

MỤC LỤC

MỤC LỤC

Trang Công thức lượng giác cần nắm vững - 1

A – Ph ương trình lượng giác cơ bản - 4

Bài tập áp dụng - 4

Bài tập rèn luyện - 7

B – Ph ương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác - 9

Bài tập áp dụng - 10

Bài tập rèn luyện - 12

C – Ph ương trình bậc nhất theo sin và cos - 15

Bài tập áp dụng - 16

Bài tập rèn luyện - 18

D – Ph ương trình lượng giác đẳng cấp - 20

Bài tập áp dụng - 21

Bài tập rèn luyện - 23

E – Ph ương trình lượng giác đối xứng - 24

Bài tập áp dụng - 25

Bài tập rèn luyện - 26

F – Ph ương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối - 28

Bài tập áp dụng - 28

Bài tập rèn luyện - 30

G – Ph ương trình lượng giác không mẫu mực - 32

Bài tập áp dụng - 32

Bài tập rèn luyện - 35

H – Ph ương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương - 37

Bài tập áp dụng - 37

Bài tập rèn luyện - 43

I – H ệ phương trình lượng giác - 47

Bài tập áp dụng - 47

J – H ệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác - 52

Bài tập áp dụng - 53

Bài tập rèn luyện - 56

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG

 Công thức cung nhân đôi Công thức cung nhân đôi Công thức cung nhân đôi – – – Công thức hạ bậc Công thức hạ bậc Công thức hạ bậc – – – Công thức cung nhân ba Công thức cung nhân ba Công thức cung nhân ba

● sin 2x =2 sin x.cos x ●

cos x sin xcos 2x

cos 3x =4 cos x−3 cos x



 Công thức cộng cung Công thức cộng cung Công thức cộng cung

● sin a( ±b)=sin a.cos b±cos a.sin b ● cos(a±b)=cos a.cos b∓sin a.sin b

● tan a( b) tan a tan b

 Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tổng thành tích

● cos a cos b 2 cosa b.cosa b

 Một số công thức thông dụng khác Một số công thức thông dụng khác Một số công thức thông dụng khác

● sinx cos x 2 sin x π 2 cos x π

 Phương trình chứa cot x, điều kiện: sin x≠0 ⇔x ≠ πk (k∈ )

 Phương trình chứa cả tan x và cot x, điều kiện: x k (k )

 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện Nếu khi thế vào, giá trị

ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm

 Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của

nghiệm Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm

Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác AM có

Để giải được phương tr˜nh lượng giŸc cũng như cŸc ứng dụng của n‚, cŸc bạn học sinh cần nắm vững tất cả những c“ng thức lượng giŸc Đ‚ lš hšnh trang, lš c“ng cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang t˚n: "Phương tr˜nh lượng giŸc"

Biểu diễn cung x k

ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4

nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất Nghĩa là:

2 2

1cos x 2 cos x 1 0 cos 2x 0

2

1 2 sin x 1 0 cos 2x 0sin x

Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''

 Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác

 Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là cos( )−α =cosα, còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:

sin −α = −sin , tanα −α = −tan , cotα −α = −tanα

 Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là sin(π − α =) sinα, còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:

cos π − α = −cos , tanα π − α = −tan , cotα π − α = −tanα

 Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là:

 Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này:

Giải phương trình lượng giác: sin u =cos v

Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình

sin u =sin v, vậy còn phương trình sin u =cos v thì sao ?

Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u cos v sin u sin v

4π/3

–π/6

O

Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như 2

Bài 7 Giải phương trình: 4 4 7 ( )

Bài 14 Giải phương trình: cos x+cos 2x+cos 3x+cos 4x =0 ( )∗

sin x sin 2x sin 3x

2

Bài 16 Giải phương trình: sin x2 +sin 2x2 +sin 3x2 =2 ( )∗

sin x+sin 3x=cos 2x+cos 4x ∗

sin 3x−cos 4x=sin 5x−cos 6x ∗

sin x=cos 2x+cos 3x ∗

Bài 21 Giải phương trình: 2 sin 2x2 +sin 7x− =1 sin x ( )∗

Bài 22 Giải phương trình: sin x+sin 2x+sin 3x= +1 cos x+cos 2x ( )∗

Bài 23 Giải phương trình: sin x cos 3x3 +cos x sin 3x3 =sin 4x3 ( )∗

cos10x+2 cos 4x+6 cos 3x cos x=cos x+8 cos x cos 3x ∗

Bài 25 Giải phương trình: 4 sin x3 +3 cos x3 −3 sin x−sin x cos x2 =0 ( )∗

Bài 26 Giải phương trình: (2 sin x+1 3 cos 4x)( +2 sin x−4)+4 cos x2 =3 ( )∗

sin x+cos x =2 sin x+cos x ∗

sin x cos x 2 sin x cos x cos 2x

4

Bài 29 Giải phương trình: sin x3 +cos x3 =2 sin x( 5 +cos x5 ) ( )∗

Bài 31 Giải phương trình: 3 3 2 3 2 ( )

cos 3x cos x sin 3x sin x

Bài 33 Giải phương trình: 4 sin 3x cos 2x = +1 6 sin x−8 sin x3 ( )∗

Bài 34 Giải phương trình: cos x cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x 1 ( )

Bài 37 Giải phương trình: tan x+cot x=2 sin 2x( +cos 2x) ( ) ∗

tan x−tan x tan 3x =2 ∗

tan x cot x cot 2x

3

sin 2x cot x+tan 2x =4 cos x ∗

cot x tan x

16 1 cos 4xcos 2x

Bài 49 Giải phương trình: tan x.cot 2x.cot 3x2 2 =tan x2 −cot 2x2 +cot 3x ( )∗

Bài 50 Giải phương trình: cot x sin x 1 tan x tanx 4 ( )

BA I TÂ I TÂ P P P RE RE N N N LUYÊ LUYÊ NNNN

Câu 1 Giải phương trình: 2 sin x cos x−2 cos x+ 3 = 3 sin x

Câu 2 Giải phương trình: 2 tan x cos x+ =1 2 cos x+tan x

sin x cos x cos x sin x

8

cos x+cos 2x+cos 3x=1

sin 2x cos 8x sin 10x

cos x+sin x=cos2x

2 sin 2x 1 cos 4x

−

sin x cos x cos x

Câu 10. Giải phương trình: sin 4x+3 sin 2x=tan x

cos10x+2 cos 4x+6 cos 3x cos x=cos x+8 cos x cos 3x Câu 12. Giải phương trình: 2 cos x2 +2 cos 2x2 +2 cos 3x2 − =3 cos 4x 2 sin 2x( +1)

sin 4x cos 6x sin 10, 5 10x , 0;

Câu 16. Giải phương trình: sin x sin 2x sin 3x 3

cos x cos 2x cos 3x

Câu 20. Giải phương trình: 2 tan x cot2x 3 2

sin x+sin 2x+sin 3x=2 Câu 23. Giải phương trình: 25−4x 3 sin 2 x( π +8 sin xπ )=0

Câu 24. Giải phương trình: sin 2x 2 cos x 0

cos x cos 3x sin x sin 3x

Câu 30. Giải phương trình: 2 sin 3x 1( −4 sin x2 )=1

cos x−4 sin x−3 cos x sin x+sin x=0 Câu 32. Giải phương trình: 4 x 4 x

sin cos 1 2 sin x

cos x

−

tan x cos x cos x sin x 1 tan tan x

sin x cos 4x 2 sin 2x 4 sin x , x 1 3

Câu 37. Giải phương trình: sin x+sin 2x+sin 3x= +1 cos x+cos 2x

Câu 38. Giải phương trình: cos x2 +cos 2x2 +cos 3x2 +cos 4x2 =2

2

cos x cos x 1

2 1 sin xsin x cos x

−

Câu 40. Giải phương trình: sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x+sin 5x+sin 6x=0

Câu 41. Giải phương trình: cos x+cos 3x+2 cos 5x=0

Câu 42. Giải phương trình: 9 sin x+6 cos x−3 sin 2x+cos 2x=8

Câu 43. Giải phương trình: (cos x−sin x cos x sin x) =cos x cos 2x

Câu 44. Giải phương trình: (2 sin x+1 3 cos 4x)( +2 sin x−4)+4 cos x2 =3

2 sin x−sin x =2 cos x−cos x+cos 2x

sinx+sin x+sin x+sin x=cosx+cos x+cos x+cos x Câu 47. Giải phương trình: sin x tan x2 ( +1)=3 sin x cos x( −sin x)+3

tan 2x+cot x =8 cos x Câu 49. Giải phương trình: 3 cot x( −cos x)−5 tan x( −sin x)=2

a cot x+b cot x+ =c 0 t=cot x x ≠ πk , k ( ∈ )

(tương tự cho cos )

Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ

● 1+sin 2x=sin x2 +cos x2 +2 sin x cos x=(sin x+cos x)2

1−sin 2x=sin x+cos x−2 sin x cos x= sin x−cos x

● sin x cos x sin 2x

cos x sin x cos x sin x 2 cos 2x

1 sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cos x

cos x−sin x+cos 4x =0 ∗

Bài 53 Giải phương trình: 5 sin x cos 3x sin 3x 3 cos 2x ( ) , x (0;2 )

Bài 56 Giải phương trình: cos 3x cos 2x2 −cos x2 =0 ( )1

Bài 59 Giải phương trình: 5 sin x− =2 3 1( −sin x tan x) 2 ( )∗

Bài 60 Giải phương trình: (sin 2x 3 cos 2x)2 5 cos 2x ( )

Bài 64 Giải phương trình: ( )

3 cot x+2 2 sin x= 2+3 2 cos x ∗

Bài 68 Giải phương trình: 3 cos 4x−8 cos x6 +2 cos x2 + =3 0 ( )∗

Bài 69 Giải phương trình: cot x tan x 2 cos 4x ( )

sin x cos x cos 2x

16

Bài 74 Giải phương trình: 5x 3 x ( )

sin 5 cos x sin

Bài 75 Giải phương trình: sin 2x cot x( +tan 2x)=4 cos x2 ( )∗

sin x cos x 2 sin x cos x cos 2x

4

+

Bài 82 Giải phương trình: sin 2x+2 tan x =3 ( )∗

Bài 83 Giải phương trình: (1−tan x 1)( +sin 2x)= +1 tan x ( )∗

cos 2x+cos x 2 tan x−1 =2 ∗

sin2x cos x+3 −2 3 cos x−3 3 cos2x+8 3 cos x−sin x =3 3

Bài 86 Giải phương trình: 2

2

sin xsin x

tan x−tan x tan 3x =2 ∗

Bài 90 Giải phương trình: 4 sin 3x( −cos 2x)=5 sin x( −1) ( )∗

tan x+cot x+2 1+tan x+cot x = 0 ∗( )

2 tan x−3 tan x+2 cot x+3 cot x− =3 0 ∗( )

4 sin x cos x−4 cos x sin x =sin 4x ∗( )

Bài 97 Giải phương trình: 2 cos 2x tan x 4

5+ = ∗( )

cos x cos 2x cos 3x cos 4x

4 cos x+3 2 sin 2x=8 cos x

Câu 52. Giải phương trình: 2

6 sin 3x+cos12x=14

Câu 53. Giải phương trình: 3 tan x+cot x = +1 3

Câu 54. Giải phương trình: tan x− 3 cot x+ =1 3

Câu 58. Giải phương trình: ( ) 2

Câu 61. Giải phương trình: sin 4x=tan x

sin x sin x sin x

Câu 63. Giải phương trình: tan x+cot x=4

Câu 64. Giải phương trình: sin x 3 2( 2 cos x) 2 sin x2 1

Câu 65. Giải phương trình: 4 cos x4 +3 2 sin 2x=8 cos x

cos x +sin 2x = sin 4x

Câu 71. Giải phương trình: 1+3 tan x =2 sin 2x

2 cos 1 3 cos

Câu 73. Giải phương trình: cot x =tan x+2 tan 2x

Câu 74. Giải phương trình: 2 3x

Câu 77. Giải phương trình: 3 tan 2x−4 tan 3x= tan 3x tan 2x2

cos x cos 4x cos 2x cos 3x cos 4x

2

Câu 79. Giải phương trình: (1−tan x 1)( +sin 2x)= +1 tan x

sin x cos x cos 2x

8

sin x cos x cos 2x

16

Câu 83. Giải phương trình: 4 ( )4 1

cos 2x 3 cos x 4 cos

2

Câu 86. Giải phương trình: cos 5x cos x=cos 4x cos 2x+ −4 3 sin x2

Câu 87. Giải phương trình: 2 cos x cos 2x= +1 cos 2x+cos 3x

Câu 88. Giải phương trình: sin 3x+cos 2x=2 sin 2x cos x( −1)

Câu 89. Giải phương trình: 2 cos 2x( 4 −sin 2x4 )+cos 8x−cos 4x = 0

sin x cos x 2 sin x

2

sin x cos x sin 2x

− =+

Câu 96. Giải phương trình: sin x 1 1

1 cos 2x

+

=+

Câu 97. Giải phương trình: cos 2x 3 cot2x sin 4x 2

Câu 100. Giải phương trình: cos 2x+ =5 2 2( −cos x sin x)( −cos x)

C – – – PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ZPT CỔ ĐIỂN] BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ZPT CỔ ĐIỂN] BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ZPT CỔ ĐIỂN]

Dạng: a sin x+b cos x=c ( )∗ , a, b( ∈ \ 0{ } ) Phương pháp 1

Phương pháp 1:

Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 +b2 ≥c2

Chia 2 vế phương trình cho a2 +b2 ≠0, ta được:

sin x+cos x sin 2x+ 3 cos 3x=2 cos 4x+sin x ∗

Bài 107 Giải phương trình: 3 sin 3x− 3 cos 9x = +1 4 sin 3x3 ( )∗

Bài 108 Giải phương trình: 3 cos 5x−2 sin 3x cos 2x−sin x =0 ( )∗

Bài 109 Giải phương trình: 9 sin x+6 cos x−3 sin 2x+cos 2x=8 ( )∗

Bài 110 Giải phương trình: sin 2x+2 cos 2x = +1 sin x−4 cos x ( )∗

Bài 111 Giải phương trình: 2 sin 2x−cos 2x=7 sin x+2 cos x−4 ( )∗

Bài 112 Giải phương trình: sin 2x−cos 2x=3 sin x+cos x−2 ( )∗

2 cos x+cos 2x+sin x=0 ∗

Bài 114 Giải phương trình: 1 cot2x 1 cos 2x2 ( )

sin 2x

−

Bài 115 Giải phương trình: 4 sin x( 4 +cos x4 )+ 3 sin 4x =2 ( )∗

1 sin 2x cos 2x sin 4x

2

Bài 117 Giải phương trình: tan x−3 cot x =4 sin x( + 3 cos x) ( )∗

Bài 118 Giải phương trình: sin x3 +cos x3 =sin x−cos x ( )∗

Bài 120 Giải phương trình: 4 sin x cos 3x3 +4 cos x sin 3x3 +3 3 cos 4x =3 ( )∗

Bài 121 Giải phương trình: 2 2 sin x( +cos x cos x) = +3 cos 2x ∗( )

Bài 122 Giải phương trình: (2 cos x−1 sin x)( +cos x)=1 ∗( )

Bài 123 Giải phương trình: 2 cos 2x= 6 cos x( −sin x) ∗( )

Bài 124 Giải phương trình: 2 cos 3x+ 3 sin x+cos x=0 ∗( )

Bài 125 Giải phương trình: cos x+ 3 sin x=sin 2x+cos x+sin x ∗( )

cos x 3 sin x 1

+ + ∗( )

Bài 127 Giải phương trình: sin x+cos x =cos 2x ∗( )

Bài 128 Giải phương trình: 4 sin x3 − =1 3 sin x− 3 cos 3x ∗( )

Bài 129 Giải phương trình: cos 7x cos 5x− 3 sin 2x = +1 sin x2 ∗( )

Bài 130 Giải phương trình: 4 sin 2x−3 cos 2x =3 4 sin x( −1) ∗( )

Bài 131 Giải phương trình: tan x sin 2x cos 2x 4 cos x 2

Bài 133i 133 Giải phương trình: (3 cos x−4 sin x−6)2 + = −2 3 3 cos x( −4 sin x−6) ∗( )

sin x+1 cos 3x+cos x.sin 3x =2 ∗( )

Bài 136 Giải phương trình: cos x2 sin 2x 3 ( )

Bài 138 Giải phương trình: 3 sin 5x− 3 cos15x= +1 4 sin 5x3 ( )∗

cos x cos 3x sin x sin 3x

8

Bài 140 Giải phương trình: 10 cos x=3 cot x+4 ( )∗

Bài 141 Giải phương trình: cos 3x−sin x = 3 cos x( −sin 3x) ( ) ∗

Bài 142 Giải phương trình: 4 sin 2x 3 cos 2x 5 cos 3x 3 0 ( )

Bài 143 Giải phương trình: 4 sin 2x−3 cos 2x=3 4 sin x( −1) ( ) ∗

Bài 145 Giải phương trình: 2 cos x 5 sin x 8 cos 3x 1 ( )

sin x+cos x sin 2x+ 3 cos 3x=2 cos 4x+sin x ∗

Bài 147 Giải phương trình: (1+2 sin x cos x)2 = +1 sin x+cos x ( )∗

Bài 148 Giải phương trình: 3 cos 5x−2 sin 3x cos 2x−sin x=0 ( )∗

Bài 149 Giải phương trình: 2 cos x2 + 3 sin 2x+ =1 3 sin x( + 3 cos x) ( )∗

sin 5x− =2 3 1−sin x tg x ∗

BAI TÂ I TÂP P P RE REN LUYÊ N LUYÊNNNN

Câu 103. Giải phương trình: 3 cos 2x sin 2x 2 sin 2x 2 2

sin 2x 3 sin 2x cos 2x 2 sin x2

Câu 107. Giải phương trình: sin x= 2 sin 5x−cos x

Câu 108. Giải phương trình: sin x+cos x=2 2 sin x cos x

Câu 109. Giải phương trình: sin 5x+cos 5x= 2 cos13x

Câu 110. Giải phương trình: cos 7x−sin 5x = 3 cos 5x( −sin 7x)

Câu 111. Giải phương trình: sin 8x−cos 6x = 3 sin 6x( +cos 8x)

Câu 112. Giải phương trình: (sin x−1 1)( +cos x)=cos x2

Câu 118. Giải phương trình: sin 5x+ 3 cos 5x=2 sin 7x

Câu 119. Giải phương trình: 3 sin x+cos x=1

Câu 120. Giải phương trình: sin x+5 cos x=1

Câu 121. Giải phương trình: (1+ 3 sin x) +(1− 3 cos x) =2 , x ∀ ∈( )0;π

Câu 122. Giải phương trình: sin 3x ( 3 2 cos 3x) 1 , x ;13

Câu 123. Giải phương trình: ( 3− 2 sin x) +( 3 + 2 cos x) = 20

Câu 124. Giải phương trình: sin x 1( −sin x)=cos x 1( −cos x)

Câu 125. Giải phương trình: 3 cos x2 =sin x2 +sin 2x

Câu 126. Giải phương trình: 3 sin 3x− 3 cos 9x = +1 sin 3x3

Câu 127. Giải phương trình: cos 7x cos 5x− 3 sin 2x = −1 sin 7x sin 5x

Câu 129. Giải phương trình: sin x+ 3 cos x+ sin x+ 3 cos x =2

1 cos x cos 2x cos 3x 2

3 3 sin x3

2 cos x cos x 1

Câu 133. Giải phương trình: (cos 2x− 3 sin 2x)− 3 sin x−cos x+ =4 0

Câu 134. Giải phương trình: 3 sin 2x− 3 cos 6x= +1 4 sin 2x3

3 sin x cos x 1

Câu 136. Giải phương trình: cos 9x−2 cos 6x− =2 0

Câu 137. Giải phương trình: sin x sin 2x 3

cos x cos 2x

−

=

−

2 cos x+ 3 sin 2x+ =1 3 sin x+ 3 cos x

Câu 139. Giải phương trình: sin 2x+cos 2x+3 sin x−cos x− =2 0

Câu 140. Giải phương trình: 2 cos x 5 sin x 8 cos 3x 1

Câu 141. Giải phương trình: 4 sin x cos 3x+2 sin 2x = 3 sin x+cos x

Câu 144. Giải phương trình: cos 2x+3 sin 2x+5 sin x−3 cos x=3

sin2x cos x+3 −2 3 cos x−3 3 cos2x+8 3 cos x−sin x =3 3

Câu 147. Giải phương trình: sin x2 +4 sin x+ 3 sin2x+3cos x2 − =2 (1+2sin x sin x) ( + 3 cos x)Câu 148. Giải phương trình: cos x2 − 3 sin 2x = +1 sin x2

Câu 149. Giải phương trình: cos x2 − 3 sin 2x =sin x3 +1

Câu 150. Giải phương trình: sin 3x+ 3 cos 3x+sin 2x+ 3 cos 2x=sin x+ 3 cos x

D – – – PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP

a.sin X+b.sin X cos X+c.cos X=d 1 ∀a, b, c, d∈ 

Phương pháp 1

Phương pháp 1 Chia hai vế cho cos X2 (hay sin X2 )

cos X 0

sin x 12

Phương pháp 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi

 Bước 2: Giải phương trình ( )∗ , tìm nghiệm Đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2Xvà

cos 2X (phương trình cổ điển) mà đã biết cách giải

a.sin X b.sin X cos X c.sin X cos X d.cos X 0 2

a.sin X b.sin X cos X c.sin X cos X d.sin X cos X e.cos X 3

BA I TÂ I TÂ P A P A P DU P DU NG NG NG

cos x− 3 sin 2x = +1 sin x ∗

cos x−4 sin x−3 cos x sin x+sin x =0 ∗

3 cos x−4 sin x cos x+sin x=0 ∗

Bài 154 Giải phương trình: sin 2x+2 tan x=3 ( )∗

Bài 155 Giải phương trình: sin x sin 2x+sin 3x =6 cos x3 ( )∗

+

Bài 157 Giải phương trình: sin 3x+cos 3x+2 cos x=0 ( )∗

Bài 158 Giải phương trình: 3 5 sin 4x cos x ( )

6 sin x 2 cos x

2 cos 2x

sin x−4 sin x+cos x =0

tan x sin x−2 sin x=3 cos 2x+sin x cos x ∗

cos x+sin x−3 sin x cos x=0 ∗

Bài 162 Giải phương trình: sin x tan x2 ( +1)=3 sin x cos x( −sin x)+3 ( )∗

Bài 163 Giải phương trình: 2 cos x2 +cos 2x+sin x=0 ( )∗

3 2

3

1 cos xtan x

1 sin x

−

−

Bài 165 Giải phương trình: sin x3 −5 sin x cos x2 −3 sin x cos x2 +3 cos x3 =0 ( )∗

cos x+sin x−3 sin x cos x=0 ∗

Bài 167 Giải phương trình: 1+tan x =2 2 sin x ( )∗

sin x+cos x =sin x−cos x ∗

3 tan x+4 tan x+4 cot x+3 cot x+ =2 0 ∗

2

4 2cos x

4 cos x+2 sin x−3 sin x=0 ∗

Bài 172 Giải phương trình: 6 sin x−2 cos x3 =5 sin 2x cos x ( )∗

Bài 173 Giải phương trình: 1+3 tan x =2 sin 2x ( )∗

sin x+cos x =2 sin x+cos x ∗

Bài 175 Giải phương trình: 3 sin x4 +5 cos x4 − =3 0 ( )∗

Bài 176 Giải phương trình: sin x cos x 1 ( )

sin 2x

+

Bài 178 Giải phương trình: cot x2 +2 2 sin x3 =(2+3 2 cos x) ( )∗

Bài 179 Giải phương trình: sin x3 2 sin x ( )

4 sin x+cos x = cos x+3 sin x ∗

4 3 sin x cos x 4 cos x 2 sin x

2

Bài 185 Giải phương trình: sin x2 −3 sin x cos x+ =1 0 ( )∗

sin x cos x 2 sin 2x cos 2x cos 2x

2

sin x cos x sin 2x cos 2x cos 2x

sin x 3 sin x cos x 2 cos x

2

+

Bài 189 Giải phương trình: sin x2 +sin 2x+3 cos x2 =3

Bài 190 Giải phương trình: 2 sin x cos 15 x sin 17 x cos x 3 sin 7( x sin) 9 x

7 sin x+2 sin 2x−3 cos x−3 15 =0 ∗

Bài 196 Giải phương trình: 4 sin x3 +3 cos x3 −3 sin x−sin x cos x2 =0 ( )∗

Bài 197 Giải phương trình: 1+3 sin 2x=2 tan x ( )∗

Bài 198 Giải phương trình: 2 cos x 2 tanx ( )

2

Bài 199 Giải phương trình: 1+3 tan x=2 sin 2x( )∗

Bài 200 Giải phương trình: cot x =tan x+2 tan 2x( )∗

BA I TÂ I TÂ P P P RE RE N LUYÊ N LUYÊ NNNN

Câu 151. Giải phương trình: sin x2 +2 cos x2 =3 sin x cos x

Câu 152. Giải phương trình: sin x2 −3 sin x cos x = −1

2 sin x+3 cos x−cos2x−5 sin 2x =0

Câu 154. Giải phương trình: 4 sin x3 +3 cos x3 −3 sin x−sin x cos x2 =0

2 cos x 3 3 sin x cos x cos 3 x 2 , x 0;

cos x 3 sin x cos x sin 2x 0 , x ; 3

Câu 159. Giải phương trình: 2 sin 2x+3 tan x =5

sin x+3 cos x+sin x=0

Câu 161. Giải phương trình: cos x−sin x−4 cos x sin x2 =0

sin x tan x−2 =3 cos 2x+sin x cos x

sin x tan x+1 −sin x cos x−sin x − =1 0

Câu 164. Giải phương trình: 4 sin x 1 1

sin x cos x

Câu 165. Giải phương trình: 3 cos4(π −x)−sin 2x2 +sin 34( π −x)=0

Câu 166. Giải phương trình: sin 3x cos 3x 2 sin 7 x 0

Câu 167. Giải phương trình: 3 sin 2x 2 cos x( +1)+ =2 cos 3x+cos 2x−3 cos x

Câu 168. Giải phương trình: 3

2 cos x= sin 3x

1 sin 2x cos 2x sin 4x

2

Câu 170. Giải phương trình: ( 6 6 )

8 sin x+cos x +3 3 sin 4x =3 3 cos 2x−11sin 2x+11

4 sin x+3 cos x−3 sin x−sin x cos x =0

E – – – PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG

BA I TÂ I TÂ P A P A P DU P DU NG NG NG

Bài

Bài 201201201 Giải phương trình: 2 3 ( )

sin x+sin x+cos x=0 ∗ Bài

Bài 202202202 Giải phương trình: 3 3 3 ( )

sin x cos x 1 sin 2x

sin x+sin x+sin x+sin x=cos x+cos x+cos x+cos x ∗

Bài

Bài 202020888 Giải phương trình: tan x 12 ( −sin x3 )+cos x3 − =1 0 ( )∗

Bài

cos 2x+2 sin x+cos x −3 sin 2x=3 ∗

2 cos 2x+sin x cos x+sin x cos x =2 sin x+cos x ∗

cos x+cos x+2 sin x− =2 0 ∗

Bài

Bài 222222777 Giải phương trình: ( )

3 3

sin x cos x−cos 2x+sin x= cos x sin x+cos x ∗

4 sin x− =1 3 sin x− 3 cos 3x ∗

Bài

1+sin x cos x+ 1+cos x sin x = +1 sin 2x ∗

Bài 242424000 Giải phương trình: 2 ( )

tan 2x+cot x =8 cos x ∗

Bài

Bài 242424111 Giải phương trình: 3 ( )

tan x =cot x+2 cot 2x ∗

Bài

4 sin x+cos x + 3 sin 4x =2 ∗

Bài

Bài 242424333 Giải phương trình: 6 6 ( )

sin x+cos x= sin 2x ∗

tan x cot 2x cot 3x = tan x−cot 2x+cot 3x ∗

Bài

3 tan x+4 tan x+4 cot x+3 cot x+ =2 0 ∗

BA I TÂ I TÂP P P RE REN N N LUYÊ LUYÊNNNN Câu 172. Giải phương trình: sin 2x−2 2(sin x+cos x)=5

2

cos x cos x 1

2 1 sin xsin x cos x

−

+

Câu 174. Giải phương trình: 2 sin x2 2 sin x2 tan x

Câu 175. Giải phương trình: 3 3

sin x cos x cos 2x tan x tan x

Câu 176. Giải phương trình: 3 cos x4 −4 sin x cos x2 2 +sin x4 =0

Câu 177. Giải phương trình: 3 cot x( −cos x)−5 tan x( −sin x)=2

Câu 178. Giải phương trình: sin x−cos x =4 sin 2x=1

Câu 179. Giải phương trình: sin x cos x+ sin x+cos x =1

cos x+sin x−2 1−sin x cos x sin x cos x =sin x+cos x

Câu 182. Giải phương trình: (1+ 2 sin x) ( −cos x)+2 sin x cos x= +1 2

Câu 183. Giải phương trình: sin x cos x 2 3 1 sin x cos x

3

Câu 184. Giải phương trình: sin x−cos x+7 sin 2x=1

Câu 185. Giải phương trình: sin 3x−cos 3x+2 sin x( +cos x)=1

cos 3x cos x sin 3x sin x

8

+

Câu 189. Giải phương trình: 3 tan x( +cot x)=2 2( +sin 2x)

tan x cot x 1 02

tan x+cot x+3 tan x−cot x =6

Câu 192. Giải phương trình: 2 1( −sin x−cos x)+tan x+cot x=0

Câu 193. Giải phương trình:

tan x+cot x−8 tan x+cot x + =9 0

F – – – PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI

Lưu ý: Khi giải B≥0, ta áp dụng phương pháp thử lại

 Phương trình chứa giá trị tuyệt đốiPhương trình chứa giá trị tuyệt đốiPhương trình chứa giá trị tuyệt đối

Bài 2525111 Giải phương trình: 5 cos x−cos 2x+2 sin x=0 ( )∗

Bài 2525222 Giải phương trình: sin x3 +cos x3 +sin x cot x3 +cos x tan x3 = 2 sin 2x ( )∗

1 8 sin 2x cos 2x 2 sin 3x

Bài 2525555 Giải phương trình: sin x+ 3 cos x+ sin x+ 3 cos x =2 ( )∗

Bài 2525666 Giải phương trình: 3 tan x+1 sin x( +2 cos x)=5 sin x( +3 cos x) ( )∗

Bài 2525777 Giải phương trình: ( 1 cos x cos x cos 2x) 1sin 4x ( )

2

sin x 1+cot x +cos x 1+tan x =2 sin x cos x ∗ Bài 2525999 Giải phương trình: cos 2x + 1+sin 2x =2 sin x+cos x ( )∗

Bài 2626000 Giải phương trình: 1+sin x +cos x=0 ( )∗

Bài 2626111 Giải phương trình: ( )

2 2

4xcos cos x

Bài 2632633 Giải phương trình: 2 ( )

sin 2x−2 sin x+ =2 2 sin x−1 ∗

Bài 2642644 Giải phương trình: 2 3 sin x 3 tan x 3 ( )

= ∗

8 cos 4x cos 2x+ 1−cos 3x + =1 0 ∗ Bài 2672677 Giải phương trình: sin x +sin x+sin x2 +cos x=1 ( )∗

Bài 2682688 Giải phương trình: 5−3 sin x2 −4 cos x = −1 2 cos x ( )∗

cos 2x=cos x 1+tan x ∗ Bài 277000 Giải phương trình: cos 3x = −1 3 sin 3x ( )∗

Bài 2712711 Giải phương trình: 3 sin x+2 cos x − =2 0 ( )∗

Bài 2722722 Giải phương trình: sin x cos x+ sin x+cos x =1 ( )∗

Bài 2732733 Giải phương trình: sin x−cos x +2 sin 2x=1 ( )∗

sin x−cos x= sin x + cos x ∗

3 sin 2x−2 cos x=2 2+2 cos 2x ∗

Bài 2762766 Giải phương trình: sin 3x sin x sin 2x cos 2x , x (0,2 ) ( )

Bài 2762766 Giải phương trình: sin x−cos x = −1 4 sin 2x ( )∗

Bài 2782788 Giải phương trình: 4 sin x+3 cos x =3 ( )∗

Bài 2792799 Giải phương trình: tan x cot x 1 ( )

cos x

2 2

Bài 2822822 Giải phương trình: 2 cos x− sin x =1 ( )∗

Bài 2832833 Giải phương trình: 1 cos x 1 cos x 4 sin x ( )

Bài 2828777 Giải phương trình: cot x tan x 1 ( )

sin x

Bài 2828888 Giải phương trình: cos x+2 sin 2x−cos 3x = +1 2 sin x−cos 2x ( )∗

2

tan x 1tan x−1 = + + tan x−1 ∗

Bài 290900 Giải phương trình: sin x−cos x + sin x+cos x =2 ( )∗

Bài 2929111 Giải phương trình: 2 1 sin x

tan x

1 sin x

−

=+ ∗( ) Bài 2929333 Giải phương trình: sin x+ 2−sin x2 +sin x 2−sin x2 =3 ∗( )

Bài 2929444 Giải phương trình: 3 sin x− 4 sin x2 − =1 1 ∗( )

Bài 2929555 Giải phương trình: 2−3 cos 2x = sin x ∗( )

Bài 2929666 Giải phương trình: 3+4 cos 2x = 2 cos x ∗( )

Bài 2929777 Giải phương trình: 2+cos 2x+ 3 sin 2x = 3 sin 2x+cos 2x ∗( )

Bài 2929888 Giải phương trình: 1 8 sin 2x.cos 2x2 2 sin 3x

Bài 300300 Giải phương trình: 1+sin x + 1−sin x =k cos x ∗( ) với k=1, k=2

BA I TÂ I TÂP P P RE REN LUYÊ N LUYÊNNNN Câu 197. Giải phương trình: 1+cos x +sin x=0

Câu 198. Giải phương trình: 3 cos x 1( − sin x)−cos 2x=2 sin x sin x2 −1

Câu 199. Giải phương trình: 2 sin 3x 9 4 sin 2x 1( cos 4x) 1

Câu 200. Giải phương trình: 3 7+cot x +3 2−cot x =3

Câu 201. Giải phương trình: 2

cos 2x+2 cos 2x−2 2−sin x −sin x+ =4 0

Câu 202. Giải phương trình: 3−sin x = +2 sin x+1

sin x cos x 2 sin x

Câu 204. Giải phương trình: 5 cos x−cos 2x+2 sin x =0

Câu 205 cos x+2 sin 2x−cos 3x = +1 2 sin x−cos 2x