Chuyên đề Số Phức Thạc sỹ Lê Văn Đoàn

Chuyên đê Chuyên đê   6 6 Ho HoHo Ho va vava va tên ho tên hotên ho tên hoc sinh c sinhc sinh c sinh : L LL Lp pp p : Ths. Lê Vn Đoa  n 15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn “Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 1 - M y x O Chuyên đề  1/ Số phức và biểu diễn hình học của số phức  Số phức z a b.i = + có phần thực là a và phần ảo là b với a b , ∈  và i 2 1 = − .  Do i 2 1 = − nên ta có i ୬ =൞ 1nê ሖ un=4k inê ሖ un=4k+1 −1nê ሖ un=4k+2 −inê ሖ un=4k+3 (vớik∈  )  Nếu a c a b.i c d.i b d   =  + = + ⇔   =   (hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo)  Số phức z a b.i = + được biểu diễn bởi điểm ( ) M a b ; trên mặt phẳng tọa độ Oxy .  Mô đun của số phức z OM a b 2 2 = = +  .  Số phức liên hợp của z a b.i = + là z a b.i = − . 2/ Các phép toán trên số phức Cho hai số phức z a b.i 1 = + và z c d.i 2 = +  Phép cộng : ( ) ( ) ( ) ( ) z z a b.i c d.i a c b d .i 1 2 ± = + ± + = ± + ±  Phép nhân : ( ) ( ) ( ) ( ) z z a b.i c d.i a.c b.d a.d b.c .i 1 2 . . = + + = − + +  Phép chia : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b.i a b.i c d.i a b.i c d.i z z z z c d.i c d.i c d.i c d z z 1 1 2 2 2 2 2 2 . . + + − + − = = = = + + − + 3/ Giải phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai (phương trình trùng phương) vô nghiệm, nghĩa là 0 ∆ < . Khi đó, phương trình có nghiệm phức là b i. x a 1,2 2. − ± ∆ = . 4/ Căn bậc n của số phức Cho số phức z a b.i = + . Hãy tìm căn bậc n của số phức z ? ( ) n n z a b.i ? = + = SỐ PHỨC 6  Đặt ( ) ( ) n n n n z a b.i ω x y.i ω z x y.i a b.i = + = = + ⇒ = = + = + ∗  Khai tri ển ( ) n x y.i + . So sánh với ( ) ∗ dựa vào 2 số phức bằng nhau n x y z , ⇒ ⇒ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN a b ( ) a b , Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc Page - 2 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º 5 – Dạng lượng giác của số phức z = a + b.i  Ta có z OM a b r 2 2 0 = = + = >  . Đặt a r cosφ b φ φ b r sinφ a . tan ? .   =  ⇒ = ⇒ =   =    Khi đó z a b.i = + được biểu diễn dưới dạng lượng giác là: ( ) z a bi r φ i. φ cos sin = + = + và được biểu diễn dưới dạng mũ là φi z a b.i r.e = + = ( φ π hay π φ π 0 2 ≤ < − ≤ ≤ ; φ sin cùng dấu với b và φ gọi là một acgumen của z )  Lúc đó: + Tích: ( ) ( ) z .z r r φ φ i φ φ 1 2 1 2 1 2 1 2 . . cos .sin   = + + +     + Thương: ( ) ( ) z r φ φ i φ φ z r 1 1 1 2 1 2 2 2 cos .sin   = − + −     6 – Công thức Moivre và ứng dụng  Công thức Moivre: ( ) ( ) n n z r φ i φ z r n φ i n φ . cos .sin . cos .sin = + ⇒ = + . Công thức này dùng để nâng lũy thừa.  Công thức khai căn: + Cho dạng lượng giác của số phức ( ) z r φ i. φ cos sin = + (hoặc ta biến đổi). + Khi đó: ( ) n n n φ k π φ k π z r. φ i. φ r i. n n 2 2 cos sin cos sin   + +    = + = +        ; k n 0,1,2, , 1 = − 7 – Tính chất của số phức Cho số phức z a b.i z a b.i z a b 2 2   = −   = + ⇒   = +    . Khi đó:  z z =  z.z a b 2 2 = +  z z z z ' ' + = +  z z z z . ' . ' =  z z z z ' ' =  z z z z 1 2 1 2 + ≤ + Lưu ý: Cho số phức z a bi = + với a b , ∈  . Khi đó:  Để z là một số thực, điều kiện là: b 0 =  Để z là một số thực âm, điều kiện là: a b 0 0   <    =    Để z là một số thực dương, điều kiện là: a b 0 0   >    =    Để z là một số thuần ảo, điều kiện là: a 0 = , lúc đó: z bi = 15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn “Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 3 - ► Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần 1, 2, 4 Thí dụ 1. Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức a/ ( ) ( ) 2 4 2 1 3 z i i i = + + − (TN.THPT – 2011 Hệ bổ túc) ĐS: 8 6 , 10 z i z= − = . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… b/ ( ) ( ) 2 3 3 2 2 z i i = − + + ĐS: 7 5 2 z i z= − ⇒ = . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… c/ ω 1 2 2 z z = − với 1 1 2 z i = + và 1 2 3 z i = − (Trích đề TN.THPT – 2010 ban cơ bản) ĐS: 3 8 z i = − + . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… d/ ω 1 2 . z z = với 1 2 5 z i = + và 2 3 4 z i = − (Trích đề TN.THPT – 2010 ban nâng cao) ĐS: 26 7 z i = + …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… e/ ( )( ) 4 5 2 4 5 2 2 i z i i i − = − + + + ĐS: 93 94 5 5 z i = − . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… f/ 2 1 1 2 3 i i z i i − + = − − ĐS: 7 14 15 15 z i = + . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng toŸn 1 Dạng toŸn 1Dạng toŸn 1 Dạng toŸn 1 . CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức ¼ ¼¼ ¼ Sự bằng nhau của hai của số phức Sự bằng nhau của hai của số phứcSự bằng nhau của hai của số phức Sự bằng nhau của hai của số phức Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc Page - 4 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… g/ 2 1 3 2 1 3 i i z i i   −  −    = +       +   ĐS: ( ) 3 2 2 3 . 2 2 z i − = − + …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… h/ ( ) ( ) ( ) 6 5 100 2 3 3 1 z i i i = − + + + − ĐS: ( ) 50 3771 2 3844. z i = − + …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… i/ 2011 2012 2013 z i i i = + + ĐS: 1 z = . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… j/ ( ) ( ) ( ) 2 20 1 1 1 1 z i i i = + + + + + + + ĐS: ( ) 10 10 2 2 1 z i = − + + . Cách 1. Sử dụng hằng đẳng thức: ( ) ( ) n 2 3 n i i i i i i n N 1 * 1 1 1 ; − − = − + + + + + ∀ ∈ …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn “Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 5 - Cách 2. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân: ( ) n n q S u q q 1 1 . , 1 1 − = ≠ − . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… k/ ( ) 2012 1z i= + ĐS: 1006 1006 2 2 z z = − ⇒ = − . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… l/ ( ) ( ) 2 2 1 2 z i i= + − (Đại học khối A – 2010 ban cơ bản) ĐS: phần ảo là 2 − …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… m/ ( ) 1 n z i = + với N* n ∈ thỏa ( ) ( ) ( ) 4 4 log 3 log 9 3 1 n n − + + = ĐS: 8 8 z i = − . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… n/ 3 1 3 1 i z i   +     =     +     ĐS: 2 2 z i = + (Trích đề thi Đại học khối B – 2011 theo chương trình nâng cao) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc Page - 6 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º Thí dụ 2. Tìm các số thực x, y thỏa: a/ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 i x y i i − + + = + . ĐS: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… b/ ( ) ( ) 3 1 4 1 2 2 9 i x i y i − + + + = + . ĐS: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… c/ 3 2 1 x yi i i + = + − . ĐS: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… d/ 3 3 3 3 x y i i i − − + = + − . ĐS: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… e/ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 3 3 2 4 3 2 2 i x i xy y x xy y i − + + = − + − . ĐS: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn “Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 7 - Thí dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 8 1 2 i i z i i z + − = + + + . Hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z (Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D – 2009 ban cơ bản) ĐS: 2 3 z i = − . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Thí dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 1 3 i z i z i − + + = − + . Hãy tìm phần thực và phân ảo của số phức z (Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D – 2010 ban cơ bản) ĐS: 2 5 z i = − + …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Thí dụ 5. Tìm số phức z biết: 2 0 z z + = ĐS: 0; ; z z i z i = = = − …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Thí dụ 6. Tìm số phức z biết: 2 2 z z z = + ĐS: 1 1 1 1 0, , 2 2 2 2 z z i z i = = − − = − + (Trích đề thi Đại học khối A – 2011, theo chương trình chuẩn) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc Page - 8 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Thí dụ 7. Tìm môđun của số phức z biết: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 z i z i i − + + + − = − . ĐS: 2 3 z = (Đại học khối A – 2011, theo chương trình nâng cao) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Thí dụ 8. Tìm số phức z biết: 5 3 1 0 i z z + − − = ĐS: 1 3 z = − − hoặc 2 3 z = − (Đại học khối B – 2011, ban cơ bản) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Thí dụ 9. Tìm số nguyên , x y sao cho số phức z x yi = + thỏa mãn: 3 18 26 z i = + ĐS: 3; 1 3 x y z i = = ⇒ = + …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… [...]... y/ Tìm các s ph c (n u có) th a mãn ng th i các i u ki n: z = Page - 14 - 5 20 = 1 − 3i z 2 và z − 1 + i = 3 − 2i ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º 15 Chuyên ê ôn ai hoc và Cao ng môn Toan Ths Lê V n oàn 2 Dạng toŸn 2 T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức ¼ T˜m số phức c‚ m“đun max ¼ min ► Phương pháp: 1/ Tìm t p h p bi u di n s ph c Tìm t p h p i m M ( x, y ) bi u di n s ph c z = x + y.i là tìm h th c gi... ph c bi u di n i m D sao cho t giác ABCD là hình vuông z 2 = (1 − i )(1 + 2i ) và z 3 = Bài 5 Page - 26 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º 15 Chuyên ê ôn ai hoc và Cao ng môn Toan Ths Lê V n oàn Dạng toŸn 3 Căn bậc 2 của số phức ¼ Giải phương tr˜nh ¼ hệ phương tr˜nh số phức Thí d 1 Gi i phương trình b c nh t trên t p s ph c » Gi i phương trình b c nh t trên » th c ch t là th c hi n các phép tính c ng – tr... …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Page - 10 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º 15 Chuyên ê ôn ai hoc và Cao ng môn Toan Ths Lê V n oàn Thí d 16 Tìm s ph c z th a mãn i u ki n: z = 2 và z 2 là s thu n o ( i h c kh i D – 2010) S: z = 1 + i, z = 1 − i, z = −1 − i, z = −1 + i ……………………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… “T ng lai ngày mai ang b t u t ngày hôm nay…………” Page - 11 - Ths Lê V n oàn Chuyên ê 6: Sô ph c Bài t p rèn luy n Bài 1 Tìm ph n th c, ph n o, mô un và s ph c liên h p c a s ph c z a/ z = 3+i (1 − 2i )(1 + i ) b/ z = 2 c/ e/ 2 (1 + 2i ) − (1 − i ) z= 2 2 (3 + 2i ) − (2 +... 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) 2012 h/ Tính: G = (1 − i ) 2013 + (1 + i ) i/ Tính: F = z 2010 Bi t r ng: z = Page - 12 - 1−i 1+i ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º 15 Chuyên ê ôn ai hoc và Cao ng môn Toan 3 j/ Tính: G = (1 − i ) Ths Lê V n oàn 3 8 10 + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 − i ) 16 8 1 + i   1 − i     +          1 − i  1 + i  1 z , (z ≠ 0) k/ Tính: H = 1 z2 + −1 z z2 + l/... c z th a: z − 2z = −1 − 8i c/ Tìm s ph c z th a: z −  z + i 4  = 1  e/ Tìm s ph c z th a:     z − i   S: z = 0, z = ±1 “T ng lai ngày mai ang b t u t ngày hôm nay…………” Page - 13 - Ths Lê V n oàn Chuyên ê 6: Sô ph c 2 f/ Tìm s ph c z th a mãn 2 ng th i các i u ki n: z + 2.z z + z = 8 và z + z = 2 S: z = 1 ± i g/ Cho s ph c z th a: z = 3 ( 1 − 3.i 1−i ) Tìm mô un c a s ph c z + iz S: z +...15 Chuyên ê ôn ai hoc và Cao ng môn Toan Ths Lê V n oàn Thí d 10 Tìm mô un c a s ph c ω = z − 2 − 4i v i z = x + yi , (x , y ∈ » ) …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………... c tam giác: a − b ≤ a − b i s : S d ng B T Bunhiacopxki và gi i h b t phương trình tìm ra: A ≤ z = x 2 + y2 ≤ B ⇒ z “T ng lai ngày mai ang b t u t ngày hôm nay…………” max và z min Page - 15 - Ths Lê V n oàn Chuyên ê 6: Sô ph c Thí d 1 Trong m t ph ng t a Oxy, tìm t p h p i m M bi u di n các s ph c z th a mãn i u ki n: a/ z = z − 2 + 3i S: ư ng th ng: 4x + 6y = 13 ……………………………………………………………………………………………………………...  2 y − 9  = 9  S: (C ) : x +     8 64  2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… Page - 16 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º 15 Chuyên ê ôn ai hoc và Cao ng môn Toan Ths Lê V n oàn …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… e/... …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… “T ng lai ngày mai ang b t u t ngày hôm nay…………” Page - 17 - Ths Lê V n oàn ( Chuyên ê 6: Sô ph c ) h/ ω = 1 + i 3 z + 2 v i z − 1 ≤ 2 2 ( S: Hình tròn (x − 3) + y − 3 2 ) ( ) ≤ 16 có tâm I 3; 3 và bán kính R = 4 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… . …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… f/ 2 1 1 2 3 i i z i i − + = − − ĐS: 7 14 15 15 z i = + . …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… k/ ( ) 2012 1z i= + ĐS: 1 006 1 006 2 2 z z = − ⇒ = − . …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. và 1 3 2 z i i − + = − . 15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn “Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 15 -       