Chuyên đề Số Phức Thạc sỹ Lê Văn Đoàn

1/ Số phức và biểu diễn hình học của số phức hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo 3/ Giải phương trình bậc hai A.. CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc

1/ Số phức và biểu diễn hình học của số phức

(hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo)

3/ Giải phương trình bậc hai

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

a

5 – Dạng lượng giác của số phức z = a + b.i

(0≤φ<2π hay− ≤π φ≤π; sinφ cùng dấu với b và φ gọi là một acgumen của z)

Công thức này dùng để nâng lũy thừa

 Công thức khai căn:

► Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần 1, 2, 4

Thí dụ 1 Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức

a/ z =(2+4i)+2 1i( −3i) (TN.THPT – 2011 Hệ bổ túc) ĐS: z = −8 6 ,i z =10

……… ………

b/ z =(3−2i) (2 + 2+i)3 ĐS: z = − ⇒7 i z =5 2

……… ………

c/ ω=z1−2z2 với z1 = +1 2i và z1= −2 3i (Trích đề TN.THPT – 2010 ban cơ bản)

ĐS: z = − +3 8i ……… ………

d/ ω=z z1 2 với z1 = +2 5i và z2 = −3 4i (Trích đề TN.THPT – 2010 ban nâng cao)

……… ………

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng toŸn 1 Dạng toŸn 1 CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức ¼ ¼¼ ¼ Sự bằng nhau của hai của số phức Sự bằng nhau của hai của số phức Sự bằng nhau của hai của số phức

………

………

g/ 2 1 3 2 1 3 i i z i i  −  −    =  +    +   ĐS: 3 ( 3 2 2) 2 2 z i − = − + ………

………

………

………

………

h/ z =(2−i) (6 + 3+3i) (5 + 1 − i )100 ĐS: ( 50) 3771 2 3844 z = − + i ………

………

………

………

………

i/ 2011 2012 2013 z =i +i +i ĐS: z =1 ………

………

j/ z = +1 (1+i) (+ 1+i)2+ +(1+i)20 ĐS: 10 ( 10 ) 2 2 1 z = − + + i Cách 1 Sử dụng hằng đẳng thức: in ( i) ( i i2 i3 in 1) n N* 1− = 1− 1+ + + + + − ; ∀ ∈

………

………

………

………

………

………

………

Cách 2 Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân: n n ( )

q

q

1

1

1

−

………

………

………

………

k/ z =(1+i)2012 ĐS: 1006 1006 2 2 z = − ⇒ = −z ………

………

………

l/ z =( 2+i) (2 1−i 2) (Đại học khối A – 2010 ban cơ bản) ĐS: phần ảo là − 2 ………

………

………

m/ z =(1+i)n với n∈N* thỏa log4(n−3)+log4(n +9)=3 ( )1 ĐS: z = −8 8i ………

………

………

………

n/ 3 1 3 1 i z i  +     =   +    ĐS: z = +2 2i (Trích đề thi Đại học khối B – 2011 theo chương trình nâng cao) ………

………

………

………

………

Thí dụ 2 Tìm các số thực x, y thỏa:

a/ (1−2i x) +(1+2y i) = +1 i ĐS:

………

………

………

b/ (− +1 4i x) +(1+2i y)3 = +2 9i ĐS: ………

………

………

………

c/ 3 2 1 x yi i i + = + − ĐS: ………

………

………

d/ 3 3 3 3 x y i i i − − + = + − ĐS: ………

………

………

………

e/ ( ) 2 ( ) 2 1 2 ( 2) 4 3 3 2 4 3 2 2 i x i xy y x xy y i − + + = − + − ĐS: ………

………

………

………

………

Thí dụ 3 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (1+i) (2 2−i z) = 8+ +i (1+2i z) Hãy tìm phần thực

………

………

………

………

………

Thí dụ 4 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (2−3i z) +(4+i z) = −(1+3i)2 Hãy tìm phần thực và phân ảo của số phức z (Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D – 2010 ban cơ bản) ĐS: z = − +2 5i ………

………

………

………

………

Thí dụ 5 Tìm số phức z biết: 2 0 z + z = ĐS: z =0; z =i z; = −i ………

………

………

………

………

Thí dụ 6 Tìm số phức z biết: 2 2 z = z +z ĐS: 0, 1 1 , 1 1 2 2 2 2 z = z = − − i z = − + i (Trích đề thi Đại học khối A – 2011, theo chương trình chuẩn) ………

………

………

………

………

………

………

………

Thí dụ 7 Tìm môđun của số phức z biết: (2z−1 1)( +i)+(z+1 1) ( −i)= −2 2i ĐS: 2 3 z = (Đại học khối A – 2011, theo chương trình nâng cao) ………

………

………

………

………

………

Thí dụ 8 Tìm số phức z biết: z 5 i 3 1 0 z + − − = ĐS: z = − −1 3 hoặc z = −2 3 (Đại học khối B – 2011, ban cơ bản) ………

………

………

………

………

Thí dụ 9 Tìm số nguyên x y, sao cho số phức z =x +yi thỏa mãn: 3 18 26 z = + i ĐS: x = 3; y = ⇒1 z = +3 i ………

………

………

………

………

………

Thí dụ 10 Tìm môđun của số phức ω= − −z 2 4i với z =x +yi, (x y, ∈
)

………

………

………

………

Thí dụ 11 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: z− + =2 i 2 và phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị ĐS: z = − 2 2 − ( 1 + 2 ) i hoặc z = + 2 2 − ( 1 − 2 ) i ………

………

………

………

………

………

………

Thí dụ 12 Tìm các số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện:z+ −1 2i = z− −2 i và z− =1 5 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

z = − − i

Thí dụ 13 Tìm z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2z− =i z− +z 2i và 2 ( )2

4

3

1

4

………

………

………

………

………

………

………

Thí dụ 14 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 12 5 8 3 z z i − = − và 4 1 8 z z − = − ĐS: z = +1 i ………

………

………

………

………

………

Thí dụ 15 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: z−(2+i) = 10 và z z = 25 (Đại học khối B – 2009, theo chương trình chuẩn) ĐS: z = +3 4i hoặc z =5 ………

………

………

………

………

………

Thí dụ 16 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z = 2 và 2

………

………

………

………

………

………

Thí dụ 17 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: (z−1) (z+2i) là số thực và z− =1 5 ĐS: z =2 ,i z = −2 2i ………

………

………

………

………

………

Thí du 18 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời z =5 và 7 1 z i z + + là số thực ………

………

………

………

Thí dụ 19 Tìm số phức z sao cho z + −1 2i = z + +3 i và z 2i z i − + là một số thuần ảo ………

………

………

………

−

=+

zz

11

f/ Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: z2+2 .z z + z2 = 8 và z + = z 2

ĐS: z = ±1 i

1

iz

q/ Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3

w/ Tìm các số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện:z+ −1 2i = z− −2 i và z− =1 5

x/ Tìm các số phức (nếu có) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: z− +2 i và 20

Các mối liên hệ giữa x và y thường gặp:

2/ Tìm tất cả các số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Thí dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

………

………

………

………

………

………

b/ z− =i (1+i z) (Trích đề thi Đại học khối B – 2010) ĐS: Đường tròn ( ) 2 ( )2 : 1 2 C x + y+ = có tâm I(0;–1) và bán kính R= 2 ………

………

………

………

………

………

c/ z−(3−4i) =2 (Trích đề thi Đại học khối D – 2009) ĐS: Đường tròn ( ) (C : x−3)2 +(y+4)2 =4 có tâm I(3;–4) và bán kính R =2 ………

………

………

………

………

………

d/ z 3 z i = − ĐS: ( ) 2 2 9 9 : 8 64 C x +y−  =      ………

………

………

………

………

………

e/ z− +i z + =i 4 ĐS: Elíp ( )E 2 2 : 1 3 4 x y + = ………

………

………

………

………

………

………

………

f/ z i 1 z i − = + ĐS: Đường thẳng y =0⇒ Trục thực Ox ………

………

………

………

………

g/ z ≤2 ĐS: Hình tròn 2 2 4 x +y ≤ tâm O(0;0), bán kính R = 2 ………

………

………

………

………

………

h/ ω = ( 1 + i 3 ) z + 2 với z− ≤1 2

………

………

………

………

………

………

………

………

i/ 1≤ z+ − ≤1 i 2 ĐS: Hình vành khăn có tâm I(–1;1) bán kín R1 = 1; R2 = 2 ………

………

………

………

………

………

………

j/ 2z−1 = z− +z 2 ĐS: Hai đường thẳng x = 0 và x = 2 ………

………

………

………

………

………

………

k/ z− + −z 1 2i =3 ĐS: Hai đường thẳng song song với trục hoành y = ±1 2

………

………

………

………

………

………

………

l/ 2 z− =i z− +z 2i ĐS: Parabol ( )P 2 : 4 x y = ………

………

………

………

………

………

………

m/ z2 là số thuần ảo ĐS: Hai đường phân giác y =x y; = −x ………

………

………

………

………

………

z i

+

1 0

x

 + =





 ≠



……… ……… ……… ……… ………

Thí dụ 2 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiệnz− −2 4i = z−2i Tìm số phức có môđun nhỏ

nhất ?

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

Thí dụ 3 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z− −2 4i = 5 Tìm số phức có môđun lớn nhất,

môđun nhỏ nhất ?

min max

……… ……… ………

Thí dụ 4 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z− +3 4i =4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

Thí dụ 5 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 3

……… ……… ……… ……… ……… ………

z

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

Thí dụ 7 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z−(2+i) = 10 Tìm số phức z có môđun nhỏ

nhất, lớn nhất (nếu có) ?

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………

Bài 2 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

lớn nhất (nếu có) ? Khi đó hãy tìm số phức liên hiệp của z

z

nhất, lớn nhất (nếu có) ? Khi đó hãy tìm số phức liên hiệp của z

Bài 3 Cho số phức z =m+(m−3) (i , m ∈
)

x

= − c/ Tìm tham số m để khoảng của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ là nhỏ nhất

1

iz

i

+

=

− a/ Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông

b/ Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

Bài 5

b/ (4−5i z) = +2 i ĐS: 3 14

41 41

z = + i

……… ………

d/ (3−2i) (2 z+i)=3i ĐS:

……… ………

Dạng toŸn

Dạng toŸn 3333 Căn bậc 2 của số phức Căn bậc 2 của số phức Căn bậc 2 của số phức ¼ ¼¼ ¼ Giải phương tr˜nh Giải phương tr˜nh Giải phương tr˜nh ¼ ¼¼ ¼ hệ phương tr˜nh số phức hệ phương tr˜nh số phức hệ phương tr˜nh số phức

g/ 3 5

i

iz

+

……… ………

h/ z+2z = −2 4i ĐS:

……… ……… ……… ……… ………

……… ……… ……… ……… ………

j/ 2z −3z = −1 12i ĐS:

……… ……… ……… ……… ………

……… ……… ……… ……… ………

l/ (z+5i z)( −3)=0 ĐS: z = −5i, z = 3

………

m/ (2−3i z) +(4+i z) = −(1+3i)2 ĐS: z = − +2 5i (CĐ khối A,B,D – 2010)

……… ……… ……… ……… ……… ………

Thí dụ 2 Tìm căn bậc 2 (căn bậc n của số phức z= +a bi với a b, ∈
)

a/ z = −17 ĐS: có một căn bậc hai là z =i 17

………

b/ z = − +5 12i ĐS: Có 2 căn bậc hai củazlà 2+3ivà− −2 3i

……… ……… ……… ………

 Đặt nz = na+b.i =ω= x +y.i⇒ωn = z=(x+y.i)n = a+b.i ( )∗

c/ z = +8 6i ĐS: Có 2 căn bậc hai củazlà 3+i và − −3 i.

……… ……… ……… ………

……… ……… ……… ………

……… ……… ……… ………

f/ z = +4 6 5.i ĐS: Có 2 căn bậc hai của z là z = ± ±3 5.i

……… ……… ……… ……… ………

g/ z = − −1 2 6.i ĐS: Có hai căn bậc hai của z là z = ± 2 ∓ 3.i

……… ……… ……… ……… ………

Thí dụ 3 Tìm căn bậc ba của các số phức sau

………

b/ z = −27 ĐS:

……… ……… ………

c/ z = +2 2i ĐS:

……… ……… ……… ………

d/ z =18+6i ĐS:

……… ……… ……… ……… ………

Thí dụ 4 Tìm căn bậc bốn của các số phức sau

a/ z = −2i ĐS:

……… ……… ………

b/ z = −2 i 12 ĐS:

……… ………

……… ……… ……… ……… ………

c/ z = 3 +i ĐS:

……… ……… ……… ……… ……… ………

……… ……… ……… ……… ……… ………

……… ……… ……… ……… ……… ………

………

Thí dụ 5 Giải các phương trình bậc hai – bậc bốn trùng phương với hệ số thực

………

h/ 2 7x +3x + =2 0 ĐS: 1,2 3 47 14 i x − ± = ………

………

i/ 2 5x −7x+11=0 ĐS: 1,2 7 171 10 i x ± = ………

………

j/ 4 2 6 0 z +z − = ĐS: x1,2 = ± 2 và x3,4 = ±i 3 ………

………

………

k/ z4+7z2 +10=0 ĐS: x1,2 = ±i 2 và x3,4 = ±i 5 ………

………

………

l/ z2 + + =z 2 0 ĐS: ………

………

………

………

………

m/ 2 2 z =z + ĐS: ………

………

………

n/ 3 125 0 z − = ĐS: ………

………

………

o/ 4 16 0 z + = ĐS: ………

………

Thí dụ 6 Giải các phương trình bậc hai với hệ số phức a/ 2 2z −iz + =1 0 ĐS: 1 , 2 1 2 z =i x = − i (TN.THPT – 2009 Nâng cao) ………

………

b/ (z−i)2+ =4 0 ĐS: z1=3 ;i z2 = −i (TN.THPT – 2011 Nâng cao) ………

………

c/ 4 3 7 2 z i z i z i − + = − − ĐS: z1 = +3 i ; z2 = +1 2i (CĐ khối A,B,D – 2009 Nâng cao) ………

………

………

d/ z2−(1+i z) + +6 3i=0 ĐS: z1 = −1 2 ;i z2 =3i (CĐ khối A,B,D – 2010 Nâng cao) ………

………

………

………

e/ 2 ( )

x − + i x + i− = ĐS: x1 = +2 3 ;i x2 = +1 i

………

………

………

………

f/ x2+(1+i x) − − =2 i 0 ĐS: x1 =1 ; x2 = − −2 i ………

………

………

………

g/ 2 ( ) 8 1 63 16 0 z − −i z + − i = ĐS: z1 = −5 12 ;i z2 = +3 4i ………

………

………

………

h/ ix2 +4x + − =4 i 0 ĐS: ………

………

………

………

i/ i x 2 +2 i x − =4 0 ĐS: ………

………

………

j/ ( ) 2 ( )

2−3i z + 4i−3 z + − =1 i 0 ĐS: 1 1 ; 2 1 5

13

i

………

………

………

k/ ( ) 2 ( ) 2 1+i x −4 2−4i x− −5 3i =0 ĐS: 1 3 5 2 2 x = − i và 2 1 1 2 2 x = − − i ………

………

………

………

l/ 4 ( ) 2 8 1 63 16 0 z − −i z + − i = ĐS: ………

………

………

………

m/ 4 ( ) 2 24 1 308 144 0 z − −i z + − i = ĐS: ………

………

………

………

n/ 4 ( ) 2 6 1 5 6 0 z + +i z + + i= ĐS: ………

………

………

………

………

………

Thí dụ 7 Giải các phương trình bậc cao trên tập số phức 

a/ z3+3z2 +3z−63=0 ĐS: z =3 ; z = − +3 2 3 ;i z = − −3 2 3.i

………

………

………

………

………

b/ z3+(1+i z) 2+(3+i z) +3i=0 ĐS: ; 1 11 2 i z i z − ± = − = ………

………

………

………

………

c/ ( 2 )2 ( 2 ) 4 12 0 z +z + z +z − = ĐS: 1 23. , 1 , 2

2 i z − ± z z = = = − ………

………

………

………

d/ 3 2 1 0 z i z i z i z i z i z i  −   −  −   +  + + =          +  + +     ĐS: z = −1 , z =0 , z =1 ………

………

………

………

………

e/ (z+2011−i)2−4z−8036+4i = 0 ĐS: z = −2009+3 ,i z = −2009−i

………

………

………

………

………

f/ ( 2 )2 3 2 3 6 2 3 12 0 z + z+ + z + z + z = ĐS: z = − ±1 i 5 , z = − ±3 3 ………

………

………

………

………

g/ z4−2z3−z2−2z+ =1 0 ĐS: 1 3 ; 3 5 2 2 i z − ± z ± = = ………

………

………

………

………

h/ 4 ( ) (3 ) 2 1 2 2 2 1 0 z − + z + + z − + = z ĐS: ………

………

………

………

………

………

2

2

z

z = ±i z = − ± i

………

………

………

………

………

j/ 4 3 2 4 7 16 12 0 z − z + z − z + = ĐS: z =1 , z =3 , z = ±2i ………

………

………

………

………

k/ 4 3 2 6 8 16 0 z −z + z − z− = ĐS: z = −1 , z =2 , z = ±2 2i ………

………

………

………

………

l/ z4−2z3 +6z2−8z + =8 0 ĐS: ………

………

………

………

………

m/( 2 ) ( )( )

z −z z + z+ = ĐS: z = − ±1 i ; z = − ±1 6

………

………

………

………

n/ (z−1)(z−3)(z +5)(z+7)=28 ĐS: ………

………

………

………

………

o/ (2z−1)(z−1)(z−3 2)( z +3)=18 ĐS: ………

………

………

………

………

p/ (z+6)4 +(z +4)4 = 82 ĐS: ………

………

………

………

………

q/ z5+z4 +z3+z2 + + =z 1 0 ĐS: ………

………

………

………

r/ z6 +z5−13z4−14z3+ + =z 1 0 ĐS: 1 3 2 3, 2 3, 2 i z z z ± = − ± = ± = ………

………

………

………

………

………

s/ ( 2 )2 ( 2 ) 2 1 3 1 2 0 z + + z z + + z = ĐS: ………

………

………

………

………

………

t/ ( 2 )4 2( 2 )2 2 1 10 1 9 0 z − +z − z z − +z + z = ĐS: ………

………

………

………

………

………

………

Thí dụ 8 Giải các phương trình sau trên tập số phức 

………

………

………

………

………

………

b/ 3 ( ) 2 ( ) 2 1 4 1 8 0 z − +i z + +i z− i= Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo ĐS: z =2 ,i z = +1 i 3 , z = −1 i 3 ………

………

………

………

………

………

c/ 2z3−5z2+3z+ +3 (2z +1)i =0 Biết rằng phương trình có một nghiệm thực ĐS: 1 , 2 , 1

2 z = − z = −i z = +i ………

………

………

………

………

………

………

Thí dụ 9 Các bài toán liên quan đến tham số và định lí Viét

………

………

b/ Trên tập số phức, hãy tìm m để phương trình bậc hai: 2 0 z +mz + =i có tổng bình phương hai nghiệm bằng −4i ………

………

c/ Cho z z1; 2 là hai nghiệm của phương trình: ( ) 2 ( ) 1 + i 2 z − 3 + 2 i z + − = 1 i 0 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 , , z z A z z B z z z z C z z = + = + = + ………

………

………

………

………

………

d/ Tìm các số thực b, c để phương trình 2 0 z +bz + =c nhận số phức z = +1 i làm một nghiệm của phương trình ………

………

………

e/ Cho các số phức ω1 = +1 2 ,i ω2 = −3 4i Hãy xác định các số phức z z,( ≠0), đồng thời thỏa mãn các điều kiện: ω1z là số thực và ω2 1 z = Từ đó, lập phương trình bậc hai là các số phức đã tìm được ………

………