CHUYEN DE PHUONG TRINH VO TI 2014 TUAN ANH

Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ Mục lục Mục lục I PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP II PHƯƠNG PHÁP ĐẰT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN III PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐỂ LÀM XUẤT HIỆN ẨN PHỤ IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Lê Tuấn Anh Page Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ I PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP Bài (Khối B 2010): Giải phương trình sau x + − − x + x − 14 x − = + + x + 1) = Nghiệm x = HD: PT ⇔ ( x − 5)( 3x + + − x +1 Bài 2: Giải phương trình sau 3 x − − − x + 16 = 15 + ] = ⇔ x = −2 HD: PT ⇔ ( x + 2)[ 3 ( x − 2) − x − + − 5x + x + + x = + 3x HD: x + + x = + x ⇔ x + − x + x − =  x − = ⇔ x =  − 2x ⇔ + ( x − 1) ( x + 1) = ⇔  x + + 3x 2 x + = ( *)  x + + 3x ≤ Vậy x = nghiệm pt ( *) Do điều kiện x ≥ ⇒ x + ≥ x + + 3x Bài 3: Giải phương trình sau Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; Bài 4: Giải phương trình sau x + 3x + = ( x + 3) x + 2 HD: x + 3x + = ( x + 3) x + ⇔ x − = ( x + 3) ( x2 + − )  x2 =   x −  ⇔ x − = ( x + 3)  ⇔ x = ±2 x+3 ÷⇔  2 = x + < x + + x + +    x2 + + ( ) Bài 5: Giải phương trình sau x + x + + x − x + = x + HD: Cách 1: x + x + + x − x + = x + Ta có VT > ⇒ ( x + 4) > ⇒ x + x + ≠ x − x + x = 4( l) = x+4⇔  x2 + x + − x2 − x +  x + x + − x − x + = x + x + − x − x + = ⇒ 2 x + x + = x + ⇔ x = 0; x2 + x + + x2 − x + = x + ⇔ 2x − Thử lại ta có hai nghiệm hai nghiệm phương trình Cách 2: (tuyệt chiêu) Lê Tuấn Anh Page Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ 1  1  x + x + + x − x + = x + ⇔ x + x + −  x + ÷+ x − x + −  x + 1÷ = 2  2  7 x = x − 2x x − 2x 4 ⇔ + =0⇔  x = 1  1  2 2x + x + +  x + 3÷ x − x + +  x + 1÷  2  2  1 + =0 1  1  2 2x + x + +  x + 3÷ x − x + +  x + 1÷ 2  2  1  1  ⇔ x + x + +  x + ÷ = − x − x + −  x + 1÷ ⇔ x + x + + x − x + = − x − ( ) 2  2  Lưu ý: Phương trình hệ Sai lầm quan trọng: Chứng minh pt x + x + = có nghiệm x = Ta có: −1 = x + x ⇔ −1 = x ( x + 1) ⇔ −1 = − x ⇔ x = Một số phương trình sử dụng phương trình hệ hiệu Bài 5.1: Giải phương trình sau x + + x + = x + x + Đk x ≥ HD: x + + x + = x + x + ⇔ x + − x + = x − x + ⇒ x + x + = x + 12 x ⇔ x = Thử lại ta thấy x = nghiệm phương trình Bài 5.2: Giải phương trình sau x3 + + x + = x2 − x + + x + x+3 Điều kiện : x ≥ −1 x3 + − x + = x2 − x + − x + x+3 pt ⇔ x = 1− x3 + = x2 − x − ⇔ x2 − 2x − = ⇔  Bình phương vế ta được: x+3  x = + Thử lại : x = − 3, x = + nghiệm Bài 6: Giải phương trình sau 10x + + 3x - = 9x + + 2x - Điều kiện: x ³ ( *) Û ( 10x + - ) ( 9x + + 3x - - ) 2x - = Û 10x + 1- ( 9x + 4) 10x + + 9x + + 3x - - ( 2x - 2) 3x - + 2x - =0 ổ 1 ữ ữ ỗ ( x - 3) ỗ + =0 ữ ỗ ữ ỗ ữ è 10x + + 9x + 3x - + 2x - 2ø Vì " x ³ Þ 10x + + 9x + + 3x - + 2x - > nên ( 1) Û x = So với điều kiện, phương trình có nghiệm x = Lê Tuấn Anh Page Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giả phương trình sau x + 12 + = x + x + x + 12 + = x + x + Nghiệm x = HD: ⇔ x + 12 − x + = x − ⇔ x + 12 − − ( ) x + − = 3x − x = ⇔ − = 3x − ⇔  x+2 x+2 2  − = ( *) x + 12 + x +5 +3  x + 12 + x2 + + x+2 x+2 ≤ > nên ( *) vô nghiệm Do x + 12 − x + = x − ⇒ x > nên 2 x + 12 + x +5 +3 x2 − x2 − Bài 2: Giải phương trình x2 + x + - x2 + x + - 2x2 + 2x + = 2x2 + 2x + = x2 + x (x )( (x x2 + x )( ) + x + 2x2 + 2x + æ ữ ỗ 1 ữ ỗ ữ x +x ỗ + = ữ ỗ ữ 2 ỗ x + x + 2x + 2x + x + x + + 2x + 2x + ữ ỗ ố ứ ( ) + x + 2x2 + 2x + ) ( )( ) ( éx = ê êx = - ê ë ) Bài 3: (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình 10 − x − x − 37 = 4x − 15 x − 33 ( ) ( ) ĐK: x ≤ Pt ⇔ 4 + x − 37 + − 10 − x + x − 15 x − 81 = ⇔ ( 27 + x ) 16 − x − 37 + ( x − 37 ) + 8(6 + x) + ( x + 3)(4 x − 27) = + 10 − x TH x + = ⇔ x = −3 (TMPT) TH x ≠ −3 pt ⇔ ⇔ 36 16 − x − 37 + 12 + ( 36 x − 37 − ( ) x − 37 + ) + 16 + x − 27 = + 10 − x 16 36 16 + x − 27 = Do x ≤ nên VT ≤ + + 4.5 − 27 = + 10 − x 12 Đẳng thức xảy ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm −3 Bài 4: Giải phương trình Điều kiện : x ≥ x − + x = x3 − HD: Ta có:   x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 +  x+3 1+ (x − 1) + x − + = 1+ (   ( x − 3) ( x + x + ) = 2 3 x −1 x3 − + ( ) + x − +  x+3 < < x + 3x + x2 − + + x3 − + x+3 ) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 5: Giải phương trình x + x + + x − x + = x Lê Tuấn Anh Page Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ HD: Điều kiện có nghiệm phương trình x > 2x + ( x + x + − x) + ( x − x + − x) = ⇔ ( x − 1)[ Bài 6: Giải phương trình 2x2 + x + + 2x + x2 − x + + x ]=0 ⇔ x = x - + - x = 2x2 - 5x - Điều kiện: £ x £ ( *) Û ( ) ( ) ( æ Û ( x - 3) ç ç ç ç è x- ) - x - - 2x2 - 5x - = Û x - 2- + x - +1 x - +1 g'( x) = - x- ( éx = ê ÷ - 2x - 1÷ =0 Û ê ÷ ê ÷ ø 4- x +1 ê ë x - +1 - x - +1 ) x - +1 - - ( x - 3) ( 2x + 1) = 4- x + = 2x + ( 1) ( 2) ù x Ỵ é ê2;4ú ë û 4- x + - 4- x ( ) 4- x + ù < 0, " x Ỵ é ê ë2;4ú û g( x) = g( 2) = 1Þ g( x) nghịch biến max é2;4ù ê ë 4- x + 1 ù thấy f ( x) = 2x + ³ Xét hàm số f ( x) = 2x + x Ỵ é ê2;4ú ë û Xét hàm số g( x) = 3- x + ( 3) +1 ú û Từ ( 2) ,( 3) Þ hàm sớ f ( x) , g( x) có đờ thị khơng thể cắt Do ( 1) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = Bài (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đờng năm 2008): Giải phương trình 3x2 - 5x + - ( *) Û ( 3x2 - 5x + - ( x2 - 3x + ) ( ) 3x2 - 3x - - - 2x + Û ) x2 - = x2 - x - - 3x - 5x + + 3x - 3x - x2 - - x2 - 3x + = 3x - - ( *) 2 x - + x - 3x + æ - ỗ ( x - 2) ỗ ỗ ç è 3x2 - 5x + + 3x2 - 3x - =0 ÷ ÷ =0 ÷ ÷ 2 ÷ x - + x - 3x + ø éx = ê Û ê ê + = ( 1) ê 2 2 3x 5x + + 3x 3x x + x 3x + ê ë Ta có: 2 3x - 5x + + 3x - 3x - Lê Tuấn Anh + 2 x - + x - 3x + > 0, " x xác định Page Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ Thay x = vào phương trình ( *) Þ ( *) thỏa Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 8: Giải phương trình ( x + 1) x2 - 2x + = x2 + HD: ( *) Û Û x2 - 2x + = x2 + x +1 Û x2 - 2x + - = x2 - 2x - ( )( x2 - 2x + - ) x2 - 2x + + éx2 - 2x - = ê Û ê 1 ê = ê x +1 ê ë x - 2x + + ( *) = x2 - 2x - x +1 ỉ x2 - 2x - 1 ữ ỗ ữ ỗ x 2x ữ ( ) ỗỗ x +1 ữ= è x - 2x + + x + 1÷ ø éx = ± ê Û ê ê x - 2x + + = x + ( VN) ê ë Vậy nghiệm phương trình x = ± Cách giải Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Đặt t = x2 - 2x + Þ t2 = x2 - 2x + Þ x2 = t2 + 2x - ( *) Û ( x + 1) t = t + 2x - Û t2 - ( x + 1) t + ( 2x - 2) = ( 1) Ta xem ( 1) phương trình bậc hai với ẩn t x tham sớ, lúc đó: é x + 1+ x - êt = = x- ê 2 Þ D = x + 2x + 1- 8x + = x - 6x + = ( x - 3) ê x + x + êt = =2 ê ë + Với t = x2 - 2x + = x - Û x2 - 2x + = x2 - 2x + ( VN) + Với t = x2 - 2x + = Û x2 - 2x + = Û x2 - 2x - = Û x = ± Vậy nghiệm phương trình x = ± Thí dụ Giải phương trình: ( 3x + 1) x2 + = 3x2 + 2x + ( *) Bài giải tham khảo Do x = - 1 không nghiệm phương trình, nên với x ¹ - , ta được: 3 3x2 + 2x + 3x + 3x2 + 2x + Û x + - 2x = - 2x 3x + x2 + - 4x2 3x2 + 2x + - 6x2 - 2x Û = 3x + x2 + + 2x ( *) Û Lê Tuấn Anh x2 + = Page Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ ( 1- x2 Û ) x2 + + 2x ( 1- x2 Û ) = = - 3x2 + 3x + ( 1- x2 ) 3x + x2 + + 2x ổ 1 ữ ỗ ữ ỗ 1- x ỗ =0 ữ ữ ỗ 3x + ữ ố x + + 2x ø éx = ±1 ê Û ê 1 ê = ( 1) ê 3x + x + + 2x ê ë ( ( 1) Û ) x2 + + 2x = 3x + ïì x ³ - x2 + = x + Û ïí Û ïï x + = x2 + 2x + ỵ Û ïìï x ³ - Û x = í ïï x = ỵ ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±1 Nhận xét: Để đặt số - 2x vào hai vế, ta xét dạng tổng quát 3x2 + 2x + x + - ( ax + b) = - ( ax + b) sau sử dụng đờng để tìm hai thực 3x + a, b cho xuất nhân tử chung Thí dụ Giải phương trình: 3x + - - x + 3x2 - 14x - = ( *) Đề thi Đại học khối B năm 2010 Bài giải tham khảo  Nhận xét: Nhận thấy phương trình có nghiệm x = ( SHIFT - SOLVE hay ALPHA - CALC) , é ù - ;6ú Do đó, ta cần phải tách ghép để nhân liên hiệp cho xuất khoảng điều kiện: x Ỵ ê ê ú ë û nhân tử chung ( x - 5) hoặc bợi Vì vậy, ta cần tìm hai số a, b> thỏa mãn đồng (sau nhân lượng liên hợp): ìï ( 3x + 1) - a 3( x - 5) ïï ìï 3x + 1- a = 3x - 15 = ï ïï ìï a = 3x + + a Û ïï b2 - + x = x - ï ïí 3x + + a Û í í ïï b2 - ( - x) ï ïï b = x- ï ỵ ïï ï a, b> = ỵï ïï b+ - x b+ x ỵ Nên ta có lời giải sau: ● Điều kiện: Lê Tuấn Anh £ x £ Page Tài liệu LTĐH ( *) Û Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ ( ) ( 3x + - + 13( x - 5) Û 3x + + + ) - x + 3x2 - 14x - = x- 1+ - x + ( 3x + 1) ( x - 5) = ỉ ữ ữ ỗ ( x - 5) ỗ + + 3x + =0 ữ ỗ ữ ỗ ÷ è 3x + + + - x ø é ù - ;6úÞ ● Ta có " x Ỵ ê ê ú ë û 3x + + + 1+ - x ( 1) + 3x + > Do ( 1) Û x = ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm x = Thí dụ ( *) Giải phương trình: 2x2 - 11x + 21 = 33 4x -  Nhận xét: Nhận thấy phương trình có nghiệm x = ( SHIFT - SOLVE hay ALPHA - CALC ) , đó, ta cần phải tách ghép để sau nhân liên hiệp cho xuất nhân tử chung ( x - 3) hoặc bội ( ) Vì vậy, ta cần tìm số a đặt vào 4x - - a để sau nhân liên hiệp bằng hẳng đẳng 2 3 thức: ( A - B) ( A + AB + B ) = A - B , có dạng 12( x - 3) Do đó, phải thỏa mãn đờng 3é (ë4x - 4) - a ùúû= 12( x - 3) Û 12x - 12 - 3a = 12x - 36 Û 3a = 24 Û a = ê Ta có lời giải sau: Bài giải tham khảo ( *) Û ( 3 ) ( ) 4x - - - 2x2 - 11x + 15 = 3( 4x - - 8) Û ( 4x - 4) + 4x - + - ( 2x - 5) ( x - 3) = é ù ê ú 12 ú= Û ( x - 3) ê 2x ( ) ê ú ê3 ( 4x - 4) + 23 4x - + ú ê ú ë û éx = ê ê Û ê2x - ê ê ê ë 12 ( 4x - 4) + 4x - + =0 ( 1) ● Với x > Þ 2x - > 1, đặt t = 4x - > Þ t2 + 2t + > 12 Lê Tuấn Anh Page Tài liệu LTĐH Þ Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ 12 < tức ( 2) vô nghiệm t + 2t + ● Với x < Û 2x - < 1, đặt t = 4x - < Þ < t2 + 2t + > 12 Þ 12 > tức ( 2) vơ nghiệm t + 2t + ● Vậy phương trình có nghiệm x = Thí dụ - x + + x = x3 + x2 - 4x - + x + x - Giải phương trình: ( *) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: - £ x £ ( ( *) Û ) ( ( - x) - Û x2 + 2x - 3- x + x + - x2 + x + Û ) 3- x + x + + ( ) + x - x = ( x + 2) x2 - x - 3- x - x - + + ( + x) - x2 2+ x + x - x2 + x + 2+ x + x ( ) - ( x + 2) x2 - x - = ( ) + ( x + 2) - x2 + x + = ổ ữ ỗ 1 ữ ỗ ữ - x + x +2 ỗ + + x + =0 ữ ỗ ữ ỗ ữ x + x + + x + x ç è ø ( ) é- 2;3ùÞ ê ú ● Do " x Ỵ ë û 3- x + x + 1 + 2+ x + x ( 1) + x + 2> Þ ( 1) Û - x2 + x + = Û x = - Ú x = ● So với điều kiện, nghiệm phương trình x = - Ú x = 2x2 Thí dụ Giải bất phương trình: ( 3- + 2x ) < x + 21 ( *) Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1999 Bài giải tham khảo ìï + 2x ³ ï Û - £ x ùợ x iu kin: ớù ( *) Lờ Tun Anh ổ ỗ 2ỗ ỗ ỗ3 ố ( ộ ờx + + 2x x ÷ ÷ < x + 21 Û ê ÷ ê ÷ - 2x ø + 2x ê ë ) ù ú ú < x + 21 ú ú û Page Tài liệu LTĐH Û Û Các phương pháp giải phương trình vô tỉ ( + + 2x ) < x + 21 Û + + 2x + + 2x < 2x + 42 + 2x < Û + 2x < 16 Û x < é 7ö ÷ - ; ÷ \ { 0} ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm hệ x Î ê ÷ ê ÷ ë 2ø x2 Thí dụ Giải bất phương trình: ( 1+ 1+ x ) > x- ( *) Đại học Sư Phạm Vinh năm 2001 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 1+ x ³ Þ x ³ - ìï x ³ - ï Û - 1£ x < Þ ● Nếu íï ï x- 4< ( *) ợ luụn ung Do ú: x ẻ ộ- 1;4) một tập nghiệm ê ë bất phương trình ( *) ● Khi x ³ : ïìï x ³ ïï ïé ( *) Û ïíï êê x 1- + x ïï ê ïï ê1+ 1+ x 1- + x ỵï ë ( ( ìï x ³ ï Û ïí ïï 1- + x ïỵ ( )( ) ïìï x ³ Û í Û ïï + x < ïỵ ● Thí dụ ) ) ïìï x ³ ïï ù2 ïé ú Û ïí êx 1- + x ú > x - ïï ê ú ïï ê 1- 1- x ú ïỵï ê û ë ( ) ù2 ú ú > x- ú ú û ìï x ³ Û íï > x - ïïï 1- + x + + x > x - ỵ ïìï x ³ Û í ïï + x < ỵ ïìï x ³ Û xỴ é í ê ë4;8) ùù x < ợ ộx ẻ Vy nghiệm bất phương trình ê xỴ ê ë Giải bất phương trình: é- 1;4) ê ë Û xỴ é ê ë- 1;8) é4;8) ê ë x2 - 3x + + x2 - 4x + ³ x2 - 5x + ( *) Đại học Y Dược năm 2001 – Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh năm 1996 Bài giải tham khảo ( ( ) ( ) ( ) ) ìï x2 - 3x + - x2 - 5x + = 2x - = x - ( ) ï Nhận xét: ïíï Nên ta có lời giải sau: ïïỵ x - 4x + - x - 5x + = x - ● Điều kiện: x £ Ú x ³ Lê Tuấn Anh Page 10 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ III PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐỂ LÀM XUẤT HIỆN ẨN PHỤ Bài Giải phương trình ( )( ) a) ( x − 2) x − x + = x ⇒ x − x + x − x + = x + x = nghiệm phương trình ( )( )   2 + x ≠ : x − 4x + x − x + = 4x ⇔  x − +  4 ÷ x − + ÷ = x  x t = ⇒x=4 phương trình ( t − ) ( t − 1) = ⇔  x t = b) x + x − + x − x − = x chia cho x ⇒ Nghiệm x = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1 ⇒ x = 4; a) x + + x − x + = x Chia vế cho x đặt t = x + x b) (Thi thử ninh giang 2013) x + 14 x + − x − x − 20 = x + Đặt t = x + - Chuyển vế, bình phương rút gọn ta x − x + = ( x − x − 20)( x + 1) ⇔ 2( x − x − 5) + 3( x + 4) = ( x + 4)( x − x − 5) x2 − 4x − x2 − 4x − 5 + 61 ⇔2 +3=5 ⇔ x = 8; x+4 x+4 c) x + 25 x + 19 − x − x − 35 = x + Chuyển vế, bình phương ta : 3( x − x − 14) + 4( x + 5) = ( x − x − 14)( x + 5) 61 + 11137 18 IV ĐẶT MỘT HOẶC NHIỀU ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHUƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP THUẦN NHẤT Bài 1: Giải phương trình sau: ± 37 a) 2( x + 2) = x + Đặt a = x + 1; b = x − x + PT ⇔ 2a + 2b = 5ab ⇒ x = 2 b) Thi thử NG 2013: x + 14 x + − x − x − 20 = x + Chia vế cho ( x + 5) ⇒ Nghiệm + 7; Chuyển vế, bình phương rút gọn ta x − x + = ( x − x − 20)( x + 1) + 61 3 c) x − 3x + ( x + 2) − x = Đặt y = x + ta phương trình : ⇔ 2( x − x − 5) + 3( x + 4) = ( x + 4)( x − x − 5) ⇔ x = 8; x − 3x + y − x = ⇔ x3 + y − 3x( x + 2) = ⇔ x3 − 3xy + y = x = x = y ⇔ ⇒  x = −2 y  x = - BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình sau: a) x + x − = x − Đặt u = x − 1; v = x + x + PT ⇔ 3u + 2v = 7uv ⇒ x = ± Lê Tuấn Anh Page 22 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ b) x + x − = x − x + a + 3b ≥ 2 Cách : Đặt a = x ; b = x − PT ⇔ a + 3b = a − b ⇔  nghiệm : x = ±1 10b + 6ab = Cách : Đặt a = x , thay vào PT ta 36a − 136a + 200a − 100 = ⇔ a = 61 + 11137 c) x + 25 x + 19 − x − x − 35 = x + Nghiệm : + 7; 18 2 Chuyển vế, bình phương ta : 3( x − x − 14) + 4( x + 5) = ( x − x − 14)( x + 5) x + x + x − = x + x + Điều kiện : x ≥ d) (x + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x Bình phương vế ta có : + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1)  1− u= v  u = x + x 2 Ta có thể đặt :  ta có hệ : uv = u − v ⇔   1+ v = x − v u =  1+ 1+ Do u , v ≥ nên u = v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) ⇔ x + − x + 2 ( ( ∆' = − ) −2 ( ) ( ) ( ) +1 = ) + = − < Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm Bài 12 Giải phương trình : x2 + 5x + − x2 − x + = x − -  x + x + = a a = b a, b > ) ta có : a − b = a − b2 ⇔ ( a − b ) ( a + b − 1) = ⇔  ( Đặt  a + b =  2 x − x + = b - 4 x2 + 5x + = x − x + ⇔ ⇔  x + x + + x − x + = 1  x = ⇔   x + x + = − x − x + 1  x =  x =  Bài 2: Giải phương trình sau a) x − ( x + 2)(3x − x + 2) = b) x − 3x + ( x + 1)3 − x = c) x3 + (3x − x − 4) x + = Đưa phương trình đẳng cấp Bài 1: Giải phương trình a) A – 2009: 3 x − + − x − = Nghiệm x = −2 Đặt b) x + − x + + (2 x + 1)( x + 4) + = Đặt u = x + 1, v = x + ⇒ 2v − u = Khi phương trình trở thành: −u + 2v = −u + 2v = −u + 2v = ⇔ ⇔ ⇔ x=0  2 3u − 6v + uv + = (2v − u )(u + v − 3) = 3u − 6v + uv − u + 2v = c) x + 17 − x + x 17 − x = Lê Tuấn Anh Nghiệm x = 1; Page 23 Tài liệu LTĐH x + = x − Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ Nghiệm x = 1; Bài Giải phương trình: −1 ± 5 Ta biến đổi phương trình sau: x − 12 x − = x + ⇔ (2 x − 3) = x + + 11 a) x − x − = x + Điều kiện x ≥ − (2 x − 3) = y + ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = Đặt y − = x + ta hệ phương trình sau:  (2 y − 3) = x + Với x = y ⇒ x − = x + ⇒ x = + Với x + y − = ⇒ y = − x → x = − Kết luận: Nghiệm phương trình {1 − 2; + 3} Các bạn hãy xây dựng số hệ dạng này ? Bài tập tương tự PT vô nghiệm a) x + = x2 + x + c) 4x + = x2 + x 28 x + = x + x + 10 d) x + = x − 12 x + b) Đặt 4x + =y+ 28 x+2 = y+3 Đặt 2x + = y − Đặt b) x + − 13 x + x + = 13  33  Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm phương trình trước :  x − ÷ = x + − 4  13 Đặt y − = x + chúng ta khơng thu hệ phương trình mà chúng ta có thể giải Để thu hệ (1) ta đặt : α y + β = 3x + , chọn α , β cho hệ chúng ta có thể giải , (đối xứng gần đối xứng ) 2 ( α y + β ) = 3x + α y + 2αβ y − 3x + β − = (1) ⇔ (*) Ta có hệ :  (2) 4 x − 13 x + = −α y − β 4 x − 13 x + α y + + β = Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cợng với (2) mong ḿn chúng ta có nghiệm x = y α 2αβ − β − = = Nên ta phải có : , ta chọn α = −2; β = α − 13 5+ β Ta có lời giải sau : Điều kiện: x ≥ − , 3 Đặt x + = −(2 y − 3), ( y ≤ ) (2 x − 3) = y + x + ⇒ ( x − y )(2 x + y − 5) = Ta có hệ phương trình sau:  (2 y − 3) = x + Lê Tuấn Anh Page 24 Tài liệu LTĐH Với x = y ⇒ x = Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ 15 − 97 Với x + y − = ⇒ x = 11 + 73 15 − 97 11 + 73  ; Kết luận: tập nghiệm phương trình là:   8   Chú ý : đã làm quen, chúng ta có thể tìm α ; β bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình sau: (2 x − 3) = − x + + x + đặt x + = −2 y + , đặt y − = x + chúng ta khơng thu hệ mong muốn , ta thấy dấu α dấu với dấu trước Một cách tổng quát  f ( x) = A.x + B y + m Xét hệ:   f ( y ) = A '.x + m ' (1) (2) để hệ có nghiệm x = y : A-A’=B m=m’, Nếu từ (2) tìm hàm ngược y = g ( x ) thay vào (1) ta phương trình Như để xây dựng pt theo lối ta cần xem xét để có hàm ngược tìm hệ phải giải Một số phương trình xây dựng từ hệ Giải phương trình sau 1) x − 13 x + + x + = 2) x − 13x + + x + = 81x − = x − x + x − 3) 3 4) 6x + = 8x − x − 15 30 x − x ) = 2004 30060 x + + 5) ( 6) x − = x3 − 36 x + 53 − 25 8/ 9/ 10/ ( ) 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ Lê Tuấn Anh Page 25 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ 19/ 20/ Giải (3): Phương trình : ⇔ 27 81x − = 27 x − 54 x + 36 x − 54 ⇔ 27 81x − = ( x − ) − 46 Ta đặt : y − = 81x − BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình sau: a) 3 x − − − x + 16 = Nghiệm x = −2 b) x 35 − x ( x + 35 − x ) = 30 Nghiệm x = ; 1 + =2 x − x2 d) x + = 3 x − Nghiệm x = 1; c) −1 ± I Phương pháp đánh giá Bài Giải PT sau : a) x − + − x = x − x + 11 Nghiệm x = b) x − + 10 − x = x − 12 x + 52 c) x − 2x + + d) 2 x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x e) x − + 19 − x = Nghiệm x = x −1 = Nghiệm x = −1 − x + 10 x − 24 Bài Giải PT sau : a) x −11x + 25 x − 12 = x + x − - VT : = (7 x − 4)( x − x + 3) (côsi ) ≤ VP Nghiệm x = 1;7 b) x +3 x + x − = x + x − c) 2−x + 2− 1 = − (x + ) x x Bài Giải phương trình: (1) ⇔ + Lê Tuấn Anh ( x − 3) Nghiệm x = 1; PT ⇔ ( − x x − x + 15 = x − x + 18 x − x + 11 +2 = ( x − 3) 2 + x) + ( − 1 + )≤4 x x (1) +9 Page 26 Tài liệu LTĐH Mà : + Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ ( x − 3) +2 ≤ 1+ = ( x − 3) +9 ≥ Do ta có: ( x − 3) = ⇔ x = Bài Giải phương trình 13 x − x + x + x = 16 - Bình phương vế ta : x (13 − x + + x ) = 256 - Áp dụng bđt bunhia : (13 − x + + x ) = ( 13 13 − 13 x + 3 + x ) ≤ 40(16 − 10 x ) - ⇒ VT ≤ x 40(16 − 10 x ) Áp dụng cosi VT ≤ VP Nghiệm x = ± Lê Tuấn Anh Page 27 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Dạng 1: y = f ( x ) đơn điệu phương trình f ( x ) = vơ nghiệm có nghiệm Bài 1: Giải phương trình HD: Điều kiện: x ³ - 3x + + x + 7x + = Ù x³ Ù x + 7x + ³ ( *) ( 1) Xét hàm số f ( x) = 3x + + x + 7x + miền ( 1) f '( x) = ỉ ữ ữ ỗ +ỗ + > 0, " x thoa ( 1) ữ ỗ ữ ố 7x + 2ứ 3x + ỗ x + 7x + Þ f ( x) = 3x + + x + 7x + đồng biến " x thỏa ( 1) Ta có: f ( x) = = f ( 1) Û x = Thử lại thấy x = thỏa phương trình Vậy phương trình có mợt nghiệm x = Bài 2: Giải phương trình (Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B, D – Đại học Ngân Hàng khối D năm 2001) 4x - + 4x2 - = ìï 4x - ³ ï Û HD: Điều kiện: íï ïỵï 4x - ³ ● Nhận thấy x = ( *) ìï ïï x ³ 1 ï Û x³ í ï 1 ïïï x £ - Ú x ³ 2 ïỵ mợt nghiệm phương trình ( *) é ; +¥ ● Xét hàm sớ f ( x) = 4x - + 4x2 - nửa khoảng ê ê ë2 f '( x) = 4x - + ộ1 > 0, " x ẻ ; +Ơ ê2 4x2 - ë ỉư 4x ÷ ÷ ÷ ÷ ø é1 ÷ ÷ Þ f ( x) ụng bin trờn ; +Ơ ữ ê2 ÷ ø ë ÷ ÷ ÷ ÷ ứ ữ = ị x = l nghim nht ca phng trỡnh ( *) ỗ ữ M f ( x) = f ỗ ữ ữ ỗ è2ø ● Vậy phương trình có nghiệm x = BÀI TẬP TƯƠNG TƯ Bài 1: Giải phương trình: Lê Tuấn Anh + = 14 3- x 2- x ( *) Page 28 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ HD: Điều kiện: x < Xét hàm số f ( x) = f '( x) = 6( - x) 2( - x) + 2( - x) ( - x) khoảng ( - ¥ ;2) , ta có: + 3- x 2- x > 0, " x Ỵ ( - Ơ ;2) ị f ( x) ụng bin trờn khong ( - Ơ ;2) ị f ( x) = + = 14 có nghiệm sẽ nghiệm 3- x 2- x ổử 3ữ ữ ỗ Nhn thy f ( x) = 14 = f ỗ ữ x = ỗ ữ ố2ứ Th li thy x = 3 thỏa phương trình Vậy phương trình có một nghiệm x = 2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình …………………………………………… Dạng 2: y = f ( x ) đơn điệu f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v Bài 1: Giải phương trình (CĐ – 2012) x + x − ( x + 1) x + = HD: Nhân vế với biến đởi phương trình ⇔ (2 x)3 + x = (2 x + 1) x + + x + Xét hàm số f (t ) = t + t ⇒ f '(t ) = 3t + > ⇒ Hàm sớ ln đờng biến Từ phương trình có f (2 x) = f ( x + 1) ⇒ x = x + ⇔ x = 1+ Bài 2: Giải phương trình (CĐ – 2012) 8x3 - 36x2 + 53x - 25 = 3x - ( m( px + u) + ( px + u) = m ) ( *) 3x - + 3x - é m = 1, p = Dễ thấy ( 2x) = 8x3 nên mp3 = có trường hợp sau xảy ê êm = 8, p = ê ë Nếu m = 1, p = f ( t) = t + t Do đó, cần viết phương trình dạng: ( m( px + u) + ( px + u) = m ( ) 3 3x - + 3x - Û ( 2x + u) + ( 2x + u) = 3x - + 3x - ) Û 8x3 + ( 12u) x2 + 6u2 - x + u3 + u + = 3x - Lê Tuấn Anh Page 29 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ ìï 12u = - 36 ïï ï Û u = - Đồng hệ số với vế trái phương trình, ta hệ: íï 6u - = 53 ïï u3 + u + = - 15 ïỵ Do trường hợp m = 1, p = cho kết nên ta không xét trường hợp ( m = 8, p = 1) HD: ( *) Û ( 2x - 3) + ( 2x - 3) = ( ) Û f ( 2x - 3) = f 3x - + 3x - ( ) 3x - ( 1) Xét hàm số f ( t) = t + t liên tục xác định ¡ f '( t) = 3t2 + > 0, " t ẻ Ă ị t ( t) đồng biến ¡ Từ ( 1) ,( 2) Þ f ( 2x - 3) = f ( ( 2) ) 3x - Û 2x - = 3x - ( ) Û 8x3 - 36x2 + 51x - 22 = Û ( x - 2) 8x2 - 20x + 11 = Û x = Ú x = Bài 3: Giải phương trình 2x3 + x2 - 3x + = 2( 3x - 1) 3x - 1 ( ) ( Điều kiện: x > ( *) Û 2x3 + x2 = 3x - + ) 3x - 5± ( *) Û f ( x) = f ( ) 3x - ( 1) ● Xét hàm số f ( t) = 2t + t liên tục khoảng ( 0;+¥ ) f '( t) = 6t2 + 2t > 0, " t ẻ ( 0; +Ơ ) Þ Hàm sớ f ( t) đờng biến ( 0; +Ơ T ( 1) ,( 2) ị f ( x) = f ( ) ) ( 2) 3x - Û x = 3x - Û x2 = 3x - Û x = 3± ● So với điều kiện, nghiệm phương trình x = ± BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình x3 - 15x2 + 78x - 141 = 53 2x - HD: ( *) Û ( x - 5) + 5( x - 5) = ( ) ( *) 2x - + 53 2x - Û f ( x - 5) = f ( ) 2x - ( 1) ● Xét hàm số f ( t) = t + 5t ¡ , có f '( t) = 3t + > 0, " t ẻ Ă ị f ( t) ụng biến ¡ ● Từ ( 1) ,( 2) Þ f ( x - 5) = f ( ) ) 2x - Û x - = 2x - Û x3 - 15x2 + 75x - 125 = 2x - ( ( 2) Û x3 - 15x2 + 73x - 116 = Û ( x - 4) x2 - 11x + 29 = Û x = Ú x = 11 ± Bài 2: Giải phương trình (Đề nghị Olympic 30/04/2009) x3 - 6x2 + 12x - = - x3 + 9x2 - 19x + 11 Lê Tuấn Anh ( *) Page 30 Tài liệu LTĐH HD: ( *) Û Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ 1 x - 1) + ( x - 1) = ( 2 Û f ( x - 1) = f ( ( ) - x3 + 9x2 - 19x + 11 + - x3 + 9x2 - 19x + 11 ) - x3 + 9x2 - 19x + 11 ( 1) ● Xét hàm số f ( t) = t3 + t xác định liên tục ¡ f '( t) = t + > 0, " t ẻ Ă ị f ( t) ụng bin ¡ ( 1) ,( 2) Þ f ( x - 1) = f ( ( 2) ) - x3 + 9x2 - 19x + 11 Û x - = - x3 + 9x2 - 19x + 11 Û ( x - 1) = - x3 + 9x2 - 19x + 11 = Û x = Ú x = Ú x = Bài 3: Giải phương trình x3 + = 23 2x - ( *) HD: ( *) Û x3 + 2x = 2x - + 23 2x - Û x3 + 2x = ( ) 2x - + 23 2x - Û f ( x) = f ( ) 2x - ( 1) ● Xét hàm số f ( t) = t + 2t liên tục ¡ f '( t) = 3t2 + > 0, " t ẻ Ă ị f ( t) ụng bin ¡ ● Từ ( 1) ,( 2) Þ f ( x) = f Û x3 = 2x + ( ( 2) ) 2x - Û x = 2x - ( ) Û ( x - 1) x2 + x - = Û x = Ú x = - ±  Lưu ý: Ta có thể giải toán bằng cách đặt y = 2x - để đưa hệ đới xứng loại II dạng ìï y3 = 2x - ï í mà đã trình bày phương pháp giải bằng cách đặt ẩn phụ ïï x = 2y - ïỵ Bài 4: Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh khối A năm 2001 1+ 2x - x2 + 1- HD: ( 1) Þ + 1- ( x - 1) + 1- ( ) ( 1) 2x - x2 = 2( x - 1) 2x2 - 4x + 4é ù 1- ( x - 1) = 2( x - 1) ê2( x - 1) - 1ú ( 2) ê ú ë û 2 ù Lúc đó: Điều kiện: 1- ( x - 1) ³ Û ( x - 1) £ Đặt t = ( x - 1) ³ Þ t Ỵ é ê0;1ú ë û ( 2) Û é + 1- t + 1ö 1- t = 2t2 ( 2t - 1) ìï VT > ( 3) ÷thì phương trình ( 3) có ïí 0; ÷ Þ ( 3) vơ nghiệm với t Ỵ Với t Î ê ê 2÷ ÷ ïï VP = ë ứ ợ Lờ Tun Anh ộ 1ử ờ0; ữ ữ ê 2÷ ø ë ÷ Page 31 Tài liệu LTĐH é ù ë û Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ ú ;1 , Với t Ỵ ê ê2 ú bình phương hai vế ( ) ta được: ( 3) Û + t = 4t4 ( 2t - 1) Û 1 + = 2t3 ( 2t - 1) t t ( 4) (chia hai vế cho t ¹ 0) t Nhận thấy t = một nghiệm ( 4) Xét hàm số f ( t) = + f '( t) = - 1 + < 0, " t ẻ t t ộ1 ự ;1ỳị f ( t) : nghịch biến ê2 ú ë û é t é ù ú ;1 đoạn ê ê ú ë2 û é1 ù ê ;1ú ê2 ú ë û ù ú ;1 Xét hàm số g( t) = 2t3 ( 2t - 1) đoạn ê ê ú ë2 û é1 ù g'( t) = 6t2 ( 2t - 1) + 4t3 ( 2t - 1) > 0, " t Ỵ ê ;1úÞ f ( t) : đờng biến ê2 ú ë û ● é1 ù ê ;1ú ê2 ú ë û éx = Vậy t = nghiệm ( 4) Þ t = ( x - 1) = Û ê êx = ê ë ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = Ú x = Bài 5: Giải phương trình ( ) x3 + 3x2 + 5x + = x2 + 3 1 HD: PT Û ( x + 1) + ( x + 1) = 2 ( ) x2 + x + + x2 + Þ x = Bài 6: (không khả thi) Giải phương trình 8x3 + 8x - = - 6x 8x3 + 8x - = - 6x Û ( 2x) + 2x = - 6x + - 6x Û f ( 2x) = f Û 2x = - 6x Û 8x3 + 6x - = Û x = ( - 6x ) + + 2- Bài 7: Giải phương trình x3 - 2x2 + x - = 81x - 3 ỉ 2ư 46 81x - ÷ x - 2x + x - = 81x - ỗ = 33 ỗx - ữ ữ ữ 27 ỗ 3ứ 27 ố HD: 3 ỉ 2÷ ỉ 2ư ỉ 2ư 81x 81x 81x - 81x - ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ x + 3x = + Û x + x- ữ = + 33 ỗ ỗ ỗ ( ) ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ 3ứ 27 27 3ø 3ø 27 27 è è è ỉ 81x - 8ư ỉ 2÷ ÷ ç ÷ ç fç = f Û x Û çx - ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ç 3÷ 27 ứ ữ ố ứ ỗ ố Bi 7: Giải phương trình Lê Tuấn Anh 81x - Û 27 - 2x3 + 10x2 - 17x + = 2x2 5x - x2 Page 32 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ HD: Chia hai vế x3 ¹ ta - + 10 - 17 12 + 83 = 23 - 12 x x æ2 18 5 Û - + - + = - + 23 - Û ç ç ç x x x x x x x ốx x x x ổ2 ữ ỗ ữ ữ 1ữ + ỗ ữ ữ ỗ ÷ ÷ x ø è ø ỉ1ư ÷ ÷ ç Biến đổi dạng : f ( t) = f ỗ vi hm c trng: f ( t) = t + 2t ữ ỗ ữ x ố ứ ĐS: x = 17 ± 97 12 Bài tập 66 Giải phương trình: 3x3 - 6x2 - 3x - 17 = 33 9( - 3x2 + 21x + 5) 3 HD: Chia hai vế Þ ( x + 2) = 4x Û x = Lê Tuấn Anh 4- Page 33 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ Bài 3: Giải phương trình: x + x - + x + + x + 16 = 14 x + + x + + x + = ĐS: x = ĐS: x = - 3x + + x + 7x + = ĐS: x = 5x3 - + 2x - + x = ĐS: x = 2x - + x2 + = - x ĐS: x = 5x + + - x + 5x + 10 = 61- 4x ĐS: x = x - + - x + 3x2 + 71 = 30x ĐS: x = x + + x + = 2x2 + + 2x2 ĐS: x = Ú x = - ĐS: x = + 10 Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2012 4x3 + x - ( x + 1) 2x + = 11 Đề thi thử Đại học 2013 lần khối A – THPT Tuy Phước ( ) x 4x2 + + ( x - 3) - 2x = - + 21 HD: PT Û 2x ( 4x2 + 1) = é (ë5 - 2x) + 1ùúû - 2x Þ x = ê 12 Đề nghị Olympic 30/04 – THPT Chuyên Lê Quý Đơn ĐS: x Ỵ 6x + = 8x3 - 4x - ïìï p 5p 7pïü í cos ;cos ;cos ùý ùợù 9 ùỵ ù 13 ( x + 3) x + + ( x - 3) 1- x + 2x = ĐS: Dạng f ( ) ( x +1 = f ) 1- x với hàm đặc trưng f ( t) = t3 + t2 + 2t Þ x = 14 Đề nghị Olympic 30 – 04 năm 2009 x3 + 3x2 - 33 3x + = 1- 3x ĐS: x = - Ú x = 15 4x3 + 18x2 + 27x + 14 = 4x + ĐS: x = - Ú x = - ± Bài tập 67 Giải phương trình: x3 + 3x2 + 4x + = ( 3x + 2) 3x + ĐS: x = Ú x = Bài tập 68 Giải phương trình: x3 - 4x2 - 5x + = 7x2 + 9x - HD: Đặt y = 7x2 + 9x - đưa hệ, sau cợng lại Þ x = Ú x = - ± Lê Tuấn Anh Page 34 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ ( ) Bài tập 69 Giải phương trình: 3x + 9x + ĐS: x = - + ( 4x + 2) ( ) 1+ x + x2 + = Bài tập 70 Giải phương trình: 3x + = x3 + 3x2 + x - ìï ïï x = - 1+ 2cos p ïï ïï 5p HD: PT Û ( x + 1) + x + = 3x + + 3x + Þ íï x = - + 2cos ïï ïï x = - 1+ 2cos p ïï ïỵ ( ) 2 Bài tập 71 Giải phương trình: ( 2x + 3) 4x + 12x + 11 + 3x + 9x + + 5x + = ĐS: x = - ( ) với hàm đặc trưng f ( t) = t + t + Bài 3: Tìm m để phương trình có nghiệm : m = x + x + + x − x + - y ' = ⇔ x = , vẽ bảng biến thiên ⇒ m ∈ [4; +∞) Bài 4: Tìm m để phương trình có nghiệm : − x = mx − m + - Cô lập tham số, y ' = ⇔ x = 0; Bài 5: Tìm m để phương trình có nghiệm : x + + x − − − x − 18 − x = 2m + Bài 6: (A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm : x − + m x + = x − x −1 x −1 −3 x +1 x +1 Bài 7: (B – 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm : - Cơ lập tham sớ m = m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x - Đặt ẩn phụ : t = + x − − x Bài 8: (B – 2007) Chứng minh rằng với m > phương trình ln có hai nghiệm phân biệt : x + x − = m( x − 2) Bình phương vế đưa phương trình bậc ba Lê Tuấn Anh Page 35 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ BÀI : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ II Phương pháp lũy thừa - Nêu dạng phương trình Bài Giải phương trình a) x − 3x + = x + b) x − x + = x − c) x − x = 3x − e) x + − − x = 2x − g) ( x − 3) x − x + = x − x + 15 x i) 3x − − 3x − = − x d) ( x − 3) x − = x − f) x + − − x = − 2x h) ( x + 4) 10 − x = x + x − x j) 4x − − 4x − = − x Bài Giải phương trình a) x + 3x + + x + x + = x + x + b) x + 3x + + x + x + = x + x + c) x − 3x + + x − x + = x − x + Bài Giải phương trình a) x + + x + = x + 11 c) b) x + + x − = 5x x − + x − = 3 x + x = (Phải thử , loại nghiệm) Bài Giải phương trình a) x − x + − x + + x + = Bình phương lần nghiệm x = b) x + + x + 16 = x + + x + Bình phương lần nghiệm x = c) x + + x + = x + x + VI PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH Bài Giải phương trình sau: a) x + + x x + = x + x + x + ⇔ ( x + − x)( x + − 1) = ⇔ x = 0; x+3+ b) 4x x+3 =4 x c) x + = x − x − HD ⇔ ( x + − x ) = ⇔ x = HD : ⇔ (1 + x + 3) = x ⇔ x = 1; −5 − 97 18 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình a) x + 10 x + 21 = x + + x + − b) x + x + 15 = x + + x + − c) x − x − − ( x − 1) x + x − x = d) - x2 + x + =4 x x+2 Lê Tuấn Anh Page 36 ... trình: Lê Tuấn Anh x- + + = 2x x x2 + x + x2 + = + x+4 x2 + Page 19 Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ Bài tập 65 Giải phương trình: Giải phương trình: Lê Tuấn Anh x- 2x - -... 10x + + 9x + + 3x - + 2x - > nên ( 1) Û x = So với điều kiện, phương trình có nghiệm x = Lê Tuấn Anh Page Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giả phương... − + x+3 ) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 5: Giải phương trình x + x + + x − x + = x Lê Tuấn Anh Page Tài liệu LTĐH Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ HD: Điều kiện có nghiệm phương trình