Đs9 chủ đề 10 phương trình vô tỉ điểm 9+ ( 2 buổi )

ĐS9-CHỦ ĐỀ 10 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐIỂM 9+ ( BUỔI) BUỔI Dạng 1: Phương pháp nâng lên lũy thừa Câu 1: Giải phương trình sau: x 1 5x   3x  Lời giải Cách 1:   x 1  x  0    Điều kiện xác định: 5 x  0   x   x 1 3 x  0     x  Với x 1 phương trình cho tương đương với x   5x   3x  Bình phương hai vế phương trình ta có: x  5 x   3x    x   8x  2   x 2 Vì  5x  1  3x    x  1  3x    x  1  3x    x  1  3x   0   x  1  x   0   x 0  x Mà điều kiện xác định x 1 nên không tồn x thỏa mãn phương trình Vậy phương trình vơ nghiệm Cách 2: Điều kiện xác định: x 1 Với x 1 ta thấy  x   x  , suy Mà x   5x   x 1 3x  0, x nên khơng tồn x thỏa mãn phương trình Vậy phương trình vơ nghiệm Câu 2: Giải phương trình sau: x 1 x  1  x x x Lời giải   x  x 0   Điều kiện xác định: 1  0   x  x 0    x 1   x   (*) Dễ dàng nhận thấy x 1 nghiệm phương trình cho 5x    3x   Với x 1 thỏa mãn (*), phương trình cho tương đương với x 1 x  1   x x x x x   x 1 x   1 x x x 1   x x x (1) Xét phương trình (1) kết hợp với phương trình ban đầu ta có 1 1 x  x 1 x      x x x x Từ phương trình trên, ta nhận thấy (1) có nghiệm dương Do đó, bình thường hai vế phương trình ta 2  1    x     x   x   x   0 x x x x  x Đặt t x  1 2 x  t  Khi đó, phương trình (2) trở thành x x t   2t  0  t  2t  0  t 1 x 1 1  x  x  0  x  x 1 Dựa vào điều kiện xác định ta chọn nghiệm x  (thỏa mãn) 1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 1 x  Câu 3: Giải phương trình sau: x    x 2 Lời giải Xét phương trình: x    x 2  x    x  3  x  1   x    x    x 8    x  1   x  8   x  1   x  0   x  1   x  0  x  0     x 0  x   x 7  Vậy tập nghiệm phương trình S   1;7 Câu 4: Giải phương trình sau: Lời giải x  x   x  x  2 (2)  x  0  Điều kiện xác định:  x  x  0  x 1   x  x  0 Xét phương trình: x  x   x  x  2  x2 x 1 x x 12  x2   x  x  x  4  x  x  x  4  2x   x  2 4  x    x  4 (víi x  2)   x   x   4 (víi x  2)  x   x 4   x 8  x 2  x  x  4 Kết hợp với điều kiện xác định x 1 ta có  x 2 Vậy  x 2 thỏa mãn phương trình đề Phương pháp nâng lên lũy thừa sử dụng vào giải số dạng phương trình vơ tỉ quen thuộc, song cần ý nâng lên lũy thừa bậc chẵn phải có điều kiện để hai vế phương trình không âm Với hai số dương a, b a b a n b n ngược lại ( n 1, 2,3, ) Từ ý đến điều kiện tồn thức, điều kiện hai vế phương trình khơng âm Đây vấn đề dễ mắc sai lầm, chủ quan Ngồi cịn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp với nhiều phương pháp khác lại với Dạng 2: Phương pháp đưa phương trình ẩn dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải   f    f f  x   g  x   f  x  g  x      f  f    x  0  x  g  x   x  0  x   g  x  Bài tập mẫu Câu 1: Giải phương trình sau: 25 x  20 x   x  Lời giải 25 x  20 x  0  Điều kiện xác định:   x  0  x   0, x  x 2   x 2 25 x  20 x   x   x   x  Xét phương trình  x   x     x  x  2   x  (thỏa mãn)   x 0  2 Vậy tập nghiệm phương trình S 0;   3 Câu 2: Giải phương trình sau: x  x   x  x  8 Lời giải Điều kiện xác định: x   x  x   x  x  8  x   x  8 Ta có: (*) Xét trường hợp: +) Nếu x  1 1 phương trình (*) trở thành:  x  x  8  x  (thỏa mãn x  ) 2 1  x  phương trình (*) trở thành:  x  x 1 8  x 4 (không thỏa mãn +) Nếu 1 x  ) 10 +) Nếu x 3 phương trình (*) trở thành: x   x  8  x  (thỏa mãn x 3 )  10  Vậy tập nghiệm phương trình S  2;  3  Câu 3: Giải phương trình sau: x  x    x  x   1 Lời giải Điều kiện xác định: x  0  x 1 Ta có: x  x    x  x   1   x  1     x 1 x 1  x 14      x  1  x 1  x   1 1 x   1 Xét trường hợp: +) Nếu  x  ta có phương trình trở thành:   x  3 x  1 x  2  x 5 (không thỏa mãn  x  ) +) Nếu  x  10 ta có phương trình trở thành: +) Nếu x 10 ta có phương trình trở thành:  x   3 x  1  1 (luôn đúng) x    x   1 x  3  x 10 (thỏa mãn x 10 ) Vậy  x 10 thỏa mãn phương trình đề Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối cần lưu ý: - Áp dụng đẳng thức A2  A - Cần tránh mắc sai lầm xét khoảng giá trị ẩn Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ Câu 1: Giải phương trình sau: x  10 x   x  x  Định hướng Đặt ẩn phụ đưa phương trình biến Lời giải Điều kiện xác định: x  10 x  0 (*) 2 Đặt t  x  10 x   t 0  Suy t 5  x  x    t  (kh«ng tháa m·n) Phương trình trở thành t  5t  36 0    t 4 (tháa m·n)  x 1 Với t 4 , ta x  x  0   (thỏa mãn (*))  x  Vậy tập nghiệm phương trình S   3;1 Câu 2: Giải phương trình sau:  x   5 x3  Định hướng Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp Lời giải Điều kiện xác định: x  0  x   a  x   a 0; b   Đặt  b  x  x  Phương trình trở thành:  a  b 2   a 2b 5ab    a b  +) Nếu a 2b , ta x  x  0 Phương trình vơ nghiệm   37 x  b 2 +) Nếu a  , ta x  x  0   (thỏa mãn)   37 x    37  37  ; Vậy tập nghiệm phương trình S       3 3 Câu 3: Giải phương trình sau: x 35  x x  35  x 30 Lời giải Đặt 35  x a  a  x 35 Khi đó, phương trình trở thành: x.a  x  a  30  3ax  a  x  90  3ax  a  x    x3  a  125   a  x  125 a  x 5 Thay a  35  x3 vào ta có: 35  x 5  x  35  x3   x   35  x 125  x3  3.5 x   x   90  15 x   x  0  x   x  6  x  x  0   x  3  x   0  x 2   x 3 Vậy tập nghiệm phương trình S  2;3 Câu 4: Giải phương trình sau: 4  x x Định hướng Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Lời giải  x 0    x 12 Điều kiện xác định:   x 0     x 0  x   y  x 4  y  Đặt y   x  y 0  ta có hệ phương trình   y 4  x  y   x  x  y   x  y   x  y   x  y  1 0    x 4  y  x 4  y  x  y  0 Vì  x  y  0 nên ta có hệ phương trình:   x 4  y    13 x 2 Suy x 4  x   x  x  0      13 (lo¹i) x     13  Vậy tập nghiệm phương trình S     Lưu ý: Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vơ tỉ cần lưu ý tìm điều kiện ẩn phụ sau đặt Dạng 4: Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp – trục thức Phương pháp giải Với phương trình vơ tỉ nhẩm nghiệm x0 phương trình ln đưa dạng tích x x0  A  x  0 , sau giải phương trình A  x  0 chứng minh A  x  0 phương trình vơ nghiệm (chú ý điều kiện nghiệm phương trình) Bài tập mẫu Câu 1: Giải phương trình sau: x 1  3x2  x   x  Lời giải Điều kiện xác định: x 0 Phương trình cho tương đương với:  x  x 1 x   3x  x   x  0  x  1  3x    3x  x  1   3x  x  1  x 1   x 1     x  1   x 1  0    0 2 3 3x  x      3x  x  1  x 1   x 1  3x   x 1 (tháa m·n)  3x    0 (*)  x  3x  x   3x  x  x 1  x 1         Do x 0 nên vế trái phương trình (*) ln lớn 0, suy phương trình (*) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S  1 Nhận xét: Để chứng minh phương trình (*) vơ nghiệm ta sử dụng x 0 để chứng minh x 1  sử dụng kết 3x   để chứng minh: x  xy  y 0  3x 2  x  1   x  x  1  x  1   x  1  Câu 2: Giải phương trình sau: x    x  x  1  3x  x 1  x  3x  Lời giải 3 x  x  0   x  0 Điều kiện xác định   x  x  0  x  3x  0   3x Ta có: Và x 2  x  1   3x  3x  3   x       x  x   3  x    2x  Trục thức hai vế ta được: x  x    x  x  1 2  3x  x   x  3x  Dễ dàng nhận thấy x 2 nghiệm phương trình Vậy tập nghiệm phương trình S  2 Dạng 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp giải Thực theo bước sau: - Biển đổi phương trình dạng f  x  g  x  f  x  a; g  x  a (a số) Nghiệm phương trình giá trị x thỏa mãn đồng thời f  x  a g  x  a - Biển đổi phương trình dạng h  x  m (m số) mà ta ln có h  x  m h  x  m nghiệm phương trình giá trị x làm cho dấu xảy - Áp dụng bất đẳng thức Cô-si Bu-nhi-a-cốp-xki,… Bài tập mẫu Câu 1: Giải phương trình sau: x 1 Định hướng So sánh hai vế phương trình với Lời giải 5x   3x    x 1  x  0    Điều kiện xác định: 5 x  0   x   x 1 3 x  0     x  Với x 1 x  , suy Mà 3x  0 nên x   5x   x 1 x 1 5x   5x   3x  Vậy phương trình vơ nghiệm Câu 2: Giải phương trình sau: x  29 x  34 x  24 2 x  x  Định hướng Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để xét trường hợp dấu đẳng thức xảy Lời giải Điều kiện xác định: x  29 x  34 x  24 0  x  Phương tình cho tương đương:  x    x  x   2 x3  3x  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương ta có:  x  6  4x  5x     x  6   4x2  5x  4 Dấu xảy  x  4 x  x   x  x  0   1 x   (thỏa mãn ĐKXĐ)   1 x         ; Vậy tập nghiệm phương trình S     2 x  x  BUỔI Dạng 6:Bài toán tổng hợp Câu 1: Giải phương trình:  x   x  7 x   x Lời giải Điều kiện xác định:  x  Đặt a  x b   x ta có a, b 0 2a  b 3 Ngoài ra, từ giả thiết ta có  3ab 7 a  5b hay  a  b    2a  b  3 0 Suy b 2  a b 3  2a +) Với b 2  a , thay vào (1), ta  3a   a  2a  10 Giải phương trình này, ta a  (tương ứng b  x  ) a 1 (tương ứng b 1 3 x 1 ) +) Với b 3  2a , thay vào (1), ta  3a   2a  7 a    2a  Giải phương trình này, ta a 1 (tương ứng b 1 x 1 ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x 1 Câu 2: Giải phương trình: x   x  x 7 Lời giải Điều kiện xác định: x  Với điều kiện phương trình cho tương đương với: x    x  x  0  x   x  1  x   0 x 3 2     x  1   x   0  x 3   Do x  nên x   , suy  x   với x x 3 2 Do phương trình có nghiệm x 1 (thỏa mãn điều kiện)   2 Câu 3: Giải phương trình:   x  x  x   x  x  Lời giải Điều kiện xác định: x  x  0 Ta có:   x  x  x   x  x     x     x  x  x   x  x   x  1    1 x  x2  x  1  x     x  x  x  x   x  1 2  x  x   x  x  x   x   x  x  2 (lo¹i)   x 0    3x  x  0 (vô nghiệm)  x   (thỏa mãn)  x  x  4  Vậy phương trình cho có nghiệm x   Câu 4: Giải phương trình: x  2 x  Lời giải Đặt x  a  x  a Phương trình trở thành: x  2a 3 2 Suy a  x 2  x  a    a  x   a  ax  x  2  x  a    a  x   a  ax  x   0 (*) a  Xét a  ax  x   x     a 2  2 a  Vì  x   0;  0; a 0 suy x  ax  a   2  Kết hợp (*) suy a  x 0 hay x a Ta có: x  x   x 2 x    x  1  x  x  1 0  x 1   x  x  0   x 1    x    x   51 51      ; Vậy tập nghiệm phương trình S 1;  2   x    x 2 x  x  Câu 5: Giải phương trình: Lời giải Điều kiện xác định:  x 4 Với điều kiện trên, phương trình cho tương đưog với x     x  2 x  x     x  3    x  1 Mà x 2 nên Từ suy   x  1 0  x 1  1  2x     x  1  1  x  1  2x    x 1 Do x 3 (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy tập nghiệm phương trình S  3    x 1   x   x Câu 6: Giải phương trình:  x  1 x   Lời giải Điều kiện xác định:   x 1 Phương trình tương đương với x 1   x 1  2       x 1   x  x      x 1    x 1   x  1 x    x    x  1  3  x 0 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S  0 Câu 7: Giải phương trình: x  12  3 x  x  Lời giải Điều kiện xác định: x   Phương trình cho tương đương với x  12  3x   x    x2  x  12  3  x     x2   x  2   3  x  12  Ta có 3x   x  12  Với x  ta có x   x2  x2   x2   0 x2    x   nên để phương trình có nghiệm x  x  Mặt khác x2 x  12   x    nên x  12   x2 x2    30 Do phương trình có nghiệm x 2 x  x    x  x  1 2 x Câu 8: Giải phương trình: Lời giải  x  x   0  Điều kiện xác định:  x  x  1 0    x 0  x 0  x    x 1  x  x  x  x  1  x  x      x 0  x 0 Xét Thay x 0 vào phương trình ban đầu thấy thỏa mãn Xét x 0 , phương trình cho tương đương x2  x  x2  x x  x  1  x  x  2 2 x   3x x  x  1  x  x  2 2 x   x  x  1  x  x     x  x  1  x  +) Nếu x  ta có   x  x  1  x  x    x  (1) Giải phương trình (1) ta thấy phương trình vơ nghiệm 3  3  x  x  1  x  x     x  x  1 2 x  +) Nếu x 1 ta có   x  x  1  x  x   2 x  Giải phương trình (2) ta tìm x  Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 0 x  Câu 9: Giải phương trình: x3  5x   5x2  Lời giải 2 Điều kiện xác định: x  Đặt x  x a, 5x2  b 0 Ta có: a  b Từ cách đặt ta có: 3  a  x 5 x 3  a  b   x  a  x3  a  x    2 6b  5 x (2)   2 Từ x nghiệm phương trình:  x    x 5 x  x  12 x  0  x 2   Thử lại ta x   thỏa mãn   Vậy tập nghiệm phương trình S    13x  28 x  24 Câu 10: Giải phương trình: x  2 x   x 1 Lời giải Điều kiện xác định: x  2 Phương trình cho tương đương với x  x  1   x  1 x  13 x  28 x  24   x     x   2   2x   2x  Từ đây, suy x   x   x 5 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình cho có nghiệm x 5 Câu 11: Giải phương trình: x   3x  x  Lời giải Điều kiện: x   a  x   a, b   Đặt  b  x  Ta có hệ: a  b a   2 3a  b 8 3a   a  a  8  a    a  2a   0 a 2    2 b   a  a  b  a  a b Từ ta có: x 1 (thỏa mãn điều kiện) nghiệm phương trình cho Câu 12: Giải phương trình: x   x  13 x Lời giải Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với:   x    x    3  Đặt  y   x      x   y   (*) ta hệ: 2   x  4    2x    x    x      y  (1)    y    x      x  (2) Trừ vế với vế (1) (2) ta được:   x     y    x     y     x   y    x   y  1 0   x  y   x  y   0  x  15  97   x +) Nếu x  y , thay vào (*) ta được:  x  x    4 x  15 x  0  +) Nếu y   x 1 11  73  2x  x , thay vào (*) ta được: x   x    4 x  11x  0 Thử lại thấy hai nghiệm thỏa mãn 15  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  97 11  73 x   x   3 x  x  13 x  15  x   2x    Câu 13: Giải phương trình: x x    Lời giải Điều kiện: x     x   3  x  Phương trình cho tương đương với: x x 5    2x     x   0 Giải phương trình ta tìm nghiệm x 3, x 4 Câu 14: Giải phương trình: x  x   x2  x  Lời giải Điều kiện xác định: x 0 x  x   x  x   x  x   x  3x 2 x  x   x  3x x  x  x  3x  x  x   x  3x x  x  x  x  x  x  3 0  x 0   x 1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 0 x 1 Câu 15: Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: x   a x   b 0  Đặt  b  x  x  x  12 2 x   x   x   0 Từ đó, ta có phương trình:  2a  b 0  2a  b 0 a  8b 2a  b     a  b 0  2 2  a  8b 4a  4ab  b 3a  4ab  7b 0  x  x  x   13  x a b hay x   x    (thỏa mãn)  x 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x  Câu 16: Giải phương trình:  x4   13 x   x  x   5 Lời giải Điều kiện: x 1  x  a 0   a  b   ab  1 a  b   a  b   a  1  b  1 0 Đặt   x  b 0 +) Nếu a  b 0  a b vô nghiệm +) Nếu a 1 , thay vào ta x  không thỏa mãn điều kiện xác định +) Nếu b 1 , thay vào ta tìm x 2 Thử lại thấy nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x 2 Câu 17: Giải phương trình: x  x   x   x  x  Lời giải Do x  x   nên phương trình cho xác định với x   Từ phương trình ban đầu ta có  x  x    x   x  x  2  x  x  64  x  48 x  16 x  x  10 x  25   x  x    x  x  25 x  48 x  64  x  11x  37 x  45 x  50  x  12 x  x  14 0   x  1  x    x   0   x 1    x  (thỏa mãn)   x   Vậy phương trình cho có ba nghiệm x 1, x  x  HẾT -0