Chu de 8 phuong trinh vo ty

CHỦ ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG .2 DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH .3 DẠNG 3: DỰ ĐOÁN NGHIỆM ĐỂ TỪ ĐĨ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 12 DẠNG : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ 12 DẠNG BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHỤ RỒI ĐƯA VỀ TÍCH 14 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH .16 DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY  MỘT SỐ, VẾ KIA  SỐ ĐĨ BẰNG BĐT CỚI, BUNHIA 18 HỆ THỚNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 22 I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG .22 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ .22 III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 23 I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình: x   2012 x  2012   x  9  x  6 Lời giải Điều kiện: x   2012 x   2012  x   Phương trình  2012 x    x  x   0      x 6    x    x   0   x   2012 0  x  5, x 4048135 ( thỏa mãn điều kiện) S   5; 4048135 Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: 2x   4x  2x  3  8x  Lời giải x  Điều kiện: Phương trình      2x   3  2x    2x    4x  2x   4x  2x    2x  1  4x  2x 1 0  2x   0  4x  2x   0  2x  3    4x  2x  1  x 4  2x  9    x 0, x  4x  2x     (Thỏa mãn điều kiện) 1  S 0; 4;  2  Vậy tập nghiệm phương trình cho là: Ví dụ Giải phương trình: x    x   x 8  2x  x Lời giải Điều kiện: x 4    x 2 Khi phương trình cho trở thành x     x   x  x  x 0   x    x  x     x  x    x 0   x  0   3  x      x  x   x    x 0    x  1   x 2  x   x 0   2 4  x 4  x  x  x 0   x 2 S  0; 2 So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình x   x  x  x  x  0 Lời giải  x  Điều kiện: Khi đó, ta có x   x  x  x  x  0   x  x  x(7  x )  (7  x) 0 2    7 x  7 x   x2 x  7 x  7 x    x 0   x  x 0     x 0   x x    x 4  x 3   x 7   7 S 3;   2 So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH a b a  b biểu thức xác định a  b2 a b a  b biểu thức xác định a   b  x 0 2 Ví dụ Giải phương trình x   x  x  2 x  x  Lời giải x  Điều kiện: Khi x   x  x  2 x  x   x2  x 1  x2  x   x   x  1  2 x  0  x     x  1 x2  x   3x 1  x  1   x  1  0 x2  x   3x 1 0  2   x  1    0 x  x   x     x 1 S  1 So với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình 2 Ví dụ Giải phương trình x  2018 x  x   2018 x  x  Lời giải 1  x  x   x     0, x 2  Ta có Khi x  2018 x 1 x   2018 x  x    x  x  1  2018  2x   x  x  1  2018 2  1   x  x   2x2 1  x2  x   x 1  0   x  x  1  2018   2018   x  x  1    0  x  x  0 2 2x 1  x  x    1  x 1   S     Vậy tập nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình x  x   2 x  x   x Lời giải 1  x  x   x     0, x 2  Ta có nên điều kiện x  x  0 Khi  x  x  0 x2  x  2x2 1  x2  x  0 x  x   2 x  x   x  x2  5x 1   4x   x  x   x  0  x  1   x  x   x2  5x 1  x2  x  9x  x2  5x 1  x2  x    x  3 0   x  3 0     x  3   1 0 2  x  5x 1  x  x   x  0  x  (thỏa) Trường hợp Trường hợp  0 x  5x 1  x2  x   1 x  5x 1  x2  x   Vì 4x2  4x    x  1 x  x   x  x  1 3  nên trường hợp vô nghiệm 1  S   3 Vậy phương trình có tập nghiệm Ví dụ Giải phương trình 5x   3x   x   x  Lời giải Điều kiện: Với điều kiện phương trình trở thành x   3x   x   x  x    5x     4x   3x    x  0  x     x     3x     x  3 0 5x   x  3x   x  x x   0 5x   x  3x   x  1     x  1    0 3x   x    5x   4x   x 1 S  1 So với điều kiện ta có tập nghiệm phương trình  Ví dụ Giải phương trình 3x  x   x   3x  x   Lời giải x  3x  3x  x  0   x  0  x  x  0  3  x  x   x     0, x 2  Ta có nên điều kiện Với điều kiện trên, phương trình trở thành 3x  x   x   3x2  x      3x     3x  x   3x  x    x  3   x  x  1 3x  x   3x  x   2x 3x  x   3x  x  x  x  3x  x  3x    3x     x   x  3x   x   3x   x  0 x  3x   x  0 0      x    0 2 2 x  3x   x    3x  x   3x  x    x 0  x 2 S  2 So với điều kiện ta tập nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình  x  x 3   1 x  Lời giải Điều kiện:   x 1 Khi đó, phương trình trở thành  x  x 3   1 x    x   x  x  0     x  x   x  0 Û 1+ x Û 1+ x 4(1 - x ) - 12 - x +1 - 4x +3 = - 4x - 4x +3 = - x +1 ỉ 1+ x ữ ỗ (3 - x ).ỗ +1ữ =0 x = ữ ỗ ữ ỗ ữ è2 - x +1 ø ( thỏa mãn) ìï S = ïí ïỵï Vậy tập nghiệm phương trình ó cho l ùù 3ỹ ý ùỵ ù DNG 3: DỰ ĐỐN NGHIỆM ĐỂ TỪ ĐĨ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH  Nếu nhẩm nghiệm x = α phương trình ta tách phương trình dạng tích (x – α).f(x) =  Nếu nhẩm nghiệm x = –α phương trình ta tách phương trình dạng tích (x +α).f(x) = 0.α).f(x) =  Trong trường hợp f(x) = mà phức tạp ta thường chứng minh f(x) = vô nghiệm chứng minh f(x) = có nghiệm Bước 1: Nhẩm số nguyên thỏa mãn điều kiện xem số thỏa mãn phương trình, ta thường nhẩm số mà thay vào khai Bước 2: Lập bảng để chọn số cần chèn vào phần a - b= Bước 3: Kết hợp công thức Ví dụ 1: Giải phương trình 3x+1 - a-b2 a + b để đưa tích - x + 3x - 14x - = Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – 3x+1 x=5 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: Điều kiện : - Phương trình Û ( 3x+1) - 6- x 3x+1 với số 4, - x với số 1 £ x£ Û 42 ( ) ( 3x+1 - + ( - x) - 12 ) - x - + 3x - 14x - = + 3x - 15x+x - = 3x+1 +1 - x +2 3x-15 5- x Û + + 3x ( x - 5) + ( x - 5) = 3x+1 +1 - x +2 ỉ ÷ Û ( x - 5) ç + + 3x+1÷ =0 ç ÷ ÷ ç è 3x+1 +1 ø - x +2 Trường hợp 1: Xét x – = Û x = ( thỏa mãn điều kiện) 1 + + 3x+1 - x +2 Trường hợp 2: Xét 3x+1 +1 =0 loại 1 + + 3x+1 - £ x£ 3x+1 +1 - x +2 >0∀ Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình S = { 5} x - + - x = 3x2 - 4x - Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x- x=2 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: Phương trình Û ( x - với số 1, - x với số Điều kiện : £ x £ Û 6- x ) ( x- 1- + ( x - 1) - 12 x - +1 x- + ) - x - = 3x - 4x - ( - x) - 22 = 3x - 6x+2x - - x +2 2- x Û + = 3x ( x - 2) +2 ( x - 2) x - +1 - x +2 æ ữ ( x - 2) ỗ - 3x - 2ữ =0 ỗ ữ ỗ ữ ố x - +1 ø - x +2 Trường hợp 1: Xét x – = Û x = ( thỏa mãn điều kiện) 1 - 3x - = x + x + Trường hợp 2: Xét 1 Û = - 3x - (*) x - +1 - x +2 1 Û = + 3x+2 x - +1 - x +2 Do x - +1 ³ nên x - +1 £1 Với £ x £ 3x + ³ 3.1 + = nên Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 3: Giải phương trình ( - x +2 + 3x + > S = { 2} ) 3x - + x + = 4x - 24x + 35 Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x +3 3x - x=1 Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: x - với số 1, - x với số 2 Điều kiện : é ù ê 3x - - + x + - ú= 4x - 24x + 20 û Phương trình ë é( 3x - 2) - 12 ( x + 3) - 2 ù ú= 4x - 24x + 20 Û ê + ê ú x +3 +2 ú ê ë 3x - +1 û 2 æ ( 3x - 2) - ( x + 3) - ửữ ỗ ữ ỗ 5.ỗ + = 4x - 4x - 20x + 20 ữ ữ ỗ ữ ỗ 3x + x + + è ø æ 3x - x- ữ ỗ ữ 5.ỗ + = 4x ( x - 1) - 20 ( x - 1) ữ ỗ ữ ỗ ố 3x - +1 x +3 +2ø ỉ 15 ữ ữ ( x - 1) ỗ + 4x+20 =0 ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 3x - +1 ø x +3 + Trường hợp 1: Xét x – = Û x = ( thỏa mãn điều kiện) 15 + - 4x+20=0 x +3 +2 Trường hợp 2: Xét 3x - +1 x³ ( ) ( 15 Û 3x - +1 15 Û 3x - +1 + + 3x - +1 15 ) + x +3 +2 - 4x+20=0 x +3 + x +3 +2 > = 4x - 20 15 3.6 - +1 + Nếu x < Mà 4.x – 20 < 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vô nghiệm 15 3x - +1 + x +3 +2 < 15 3.6 - +1 Nếu x >6 Mà 4.x – 20 > 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vơ nghiệm Nếu x = thỏa mãn (*) thỏa mãn điều kiện Vậy tập nghiệm phương trình cho + (*) +3 +2 +3 +2 =4 (*) =4 (*) S = {1;6} Ví dụ 4: Giải phương trình x - x + - = Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x – x +2 x=2 x + với số Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: Điều kiện : x ³ Phương trình (x - 8) - ( ) x +2 - = ( x + 2) - Û ( x - 2) ( x + 2x + 4) - 2 22 x +2 +2 x- Û ( x - 2) ( x + 2x + 4) - =0 =0 x +2 +2 ÷ ÷ ÷= ø x + +2÷ æ2 Û ( x - 2) ỗ x + 2x + ç ç ç è Trường hợp 1: Xét x – = Û x = ( thỏa mãn điều kiện) 2 x + 2x + Û x + 2x + = (*) x +2 +2 x +2 +2 Trường hợp 2: Xét x + + ³ nên Do x +2 +2 £1 x + 2x + = ( x +1) + ³ Mà nên phương trình (*) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { 2} Ví dụ 5: Giải phương trình x  x   x  Phân tích bài toán: Phương trình ta nhẩm nghiệm x 2 nên ta tách nhân tử x  x2  x 2 x  với số Từ bảng ta suy Trình bày lời giải: Phương trình  x  x  10  x   x2   3  x    x  2  x2   x2    x  2 x  2x    x  2  0 x2    x2    x  2  x2  2x    0 x2           10 Trường hợp 1: Xét x  0  x 2 ( thỏa mãn điều kiện ) Trường hợp 2: x2 x2 x2  2x   0  x  x   x2   x2   Xét  x   x  x  x x2  1 2   x    x   x   Do nên hay 2 x  x   x  1  4   vô nghiệm Mà nên phương trình S  2 Vậy tập nghiệm phương trình cho x Ví dụ 6: Giải phương trình x2   x  x  1 Phân tích bài toán: Phương trình ta nhẩm nghiệm x 1 nên ta tách nhân tử x  x x 1 x x x với số Từ bảng , ta suy x2  x  x x nên điều kiện : x  Do  x  x2  x  x   x2   x  1 x  2 2 x 2 x  x  1 x Phương trình  1  x2  4x  x2  x   x2  4x       0  x  1 x  x3  3x  x x  x  x   2  x  x  0  x  x  0  x 1     3  x  3x  x 2 x   x  x  0  x 3 ( thỏa mãn)  Vậy tập nghiệm phương trình cho  S  1;3 11 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỢT ẨN PHỤ Ví dụ 1: Giải phương trình x   x  2 x  12  x  16 Lời giải Điều kiện : x 4  x   x  2x  12  Phương trình   x4  x  x 4x42  x4  x   x 4  x  x  4  x  4  x    x     12   12 2 Đặt t  x   x  0 , ta t t  12  t  t  12 0   t  3  t   0  t  ( loại ), t 4 ( thỏa mãn )  t  t  12 0   x   x  4  x  x  16 16 8  x 0 x  16 8  x   2  x  16 x  16 x  64  x 5 ( thỏa mãn ) Vậy nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình Điều kiện :   x 4 Phương trình   2 2 2  x 1   x   x 1   x    4 x  S  5 x 1   x  x  1   x  5  x  1   x  10  x  1   x   15 x 1   x  x 1   x  x 1   15 2   t  1 16  t  4 Đặt t  x    x 0 , ta 2t  t 15  t  2t  16  t 3 ( thỏa mãn ), t  (loại)  x    x 3    x  1   x  9 x   x 4  x  x 0  x 0, x 3 ( thỏa mãn ) S  0;3 Vậy tập nghiệm phương trình cho   x  1   x  2  4x  x Ví dụ 3: Giải phương trình Điều kiện : x  x 2 x  4 2x 12      5 x   2  x  x   x    Phương trình       5 x   x     4    x x     t x Đặt x 2 x x  5t 2  t  1  ta  2t  5t  0  2t  4t  t  0  2t  t     t   0   t    2t  1 0  t  (loại), t 2 ( thỏa mãn )  x 2  x  x  0 x 2  x  x  2 ( thỏa mãn ) 3  S    2  Vậy tập nghiệm phương trình cho 2 Ví dụ 4: Giải phương trình  x  1 2  x x  x Lời giải x   0  x  0   x x   x 0  x 0  Điều kiện   x  x  2  x x  1  x   x  x x  0 x x Phương trình 1 1  x    x  0  x   x   0 x x x x t  x  0   t  1  t   0 x Đặt , ta t  t  0  x 1 x  t 2 (loại), t 1 (thỏa mãn) 1  x  x  0  x  (thỏa mãn điều kiện) 1   S      Vậy tập nghiệm phương trình cho x  x  0 Ví dụ 5: Giải phương trình Lời giải  Nếu x 0 phương trình cho vơ nghiệm x  3x   13  Xét x  , chia hai vế cho x ta  1 x   3 x   0  x     x    0 x  x x x t x  Đặt ta 1 2 x 2 x x t  3 t  0  t2   3 t 3  t 0 t 3 2   t 2  x 1 t    t  t t  18 t  28      (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S  1 DẠNG BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHỤ RỒI ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x3  2  x  x   Lời giải Điều kiện: x   x  Phương trình 5 5  x  2  x2   x  2  x2  x   2  x  x   x   2   x  x     x    Đặt a  x  x   0, b  x  0 , ta 2a  5ab  2b 0   a  2b   2a  b  0  a 2b    2a b  x  x  4 x    x  x   x      x  x  0   x  x  14 0  x 3  13 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho   S   13 Ví dụ Giải phương trình x  x  3 x  3x  x  Lời giải Điều kiện: x  Phương trình  x  1  x  3  x  1  x  3  x  x  3   x  1   x  3 3 2 Đặt a  x   0, b  x  0 , ta a  2b 3ab  a  3ab  2b 0   a  b   a  2b  0 14  x2 1  x   x  x  0    x  2 x   x  x  11 0  x  1, x 2, x 2  15 (thỏa mãn)  a b  a 2b   Vậy tập nghiệm phương trình cho  S   1; 2;  15   x  x  x  x x Ví dụ Giải phương trình x Lời giải Điều kiện: x 0, x   x Phương trình 0, x  0 x x  2x   x x x 5  1  0   x     x    x   x  x x x  0, b  x  0 2 x x Đặt ta a  b  a  b 0   a  b   a  b  1 0  a b  x   x  x x  x 4  x  (loại), x 2 (thỏa mãn) S  2 a  2x  Vậy tập nghiệm phương trình cho  4x Ví dụ Giải phương trình  1 x   x   x Lời giải Điều kiện: x Phương trình   x  1  x    x   x   x  1  x     x   1  x  a  1 a  b2  1 b  a3  a b3  b a 2 x, b   x 0 Đặt , ta  b  3b    a  b   a  ab  b  1 0   a  b    a     1 0 2    2 x 0  a b  x   x   4 x 5  x   21  x (thỏa mãn)    21  S      Vậy tập nghiệm phương trình cho 2 15 x 0 x Ví dụ Giải phương trình x  x  x    x  10   x 0 Lời giải Điều kiện:  x 0  x 4  x3  x  x   x   10  x   x Phương trình   x  1   x  1     x    x    x  1   x  1  4 x  6 4 x Đặt a  x  1, b   x , b 0 ta  a  6a b3  6b   a  b3    6a  6b  0   a  b   a  ab  b   0   b  3b   a  b   a      0  a b 2     x  0  x    x x      2 4  x  x  x   x  3x  0   21  x (thỏa mãn)    21  S      Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình 5x2  x   64 x  x 5x2  6x  Lời giải Vì x  x   x nên phương trình xác định x  5x2  x   Phương trình    64 x  x  x  x  5  3 x  x   x  x   x   x Đặt a  x  x   0, b 4 x ta a  a b3  b   a  b   a  ab  b  1 0  b  3b    a  b   a     1 0  a b  x  x  4 x 2     x 0  x 0    x 1  2 5 x  x  16 x 11x  x  0 Vậy tập nghiệm phương trình cho S  1 16 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x  x  3 x x  Lời giải Điều kiện: x  Phương trình  18 x   x  3 9 x x  2 Đặt y  x  0 ta 18 x  y 9 xy  18 x  xy  y 0   x  y   x  y  0  y 3x  x  3x     y  x   x  6 x  x  x  0, x 0   36 x  x  0, x 0  13  x 1, x  12 (thỏa mãn)   13  S 1;  12    Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình x   x  x  14 Lời giải Điều kiện x 1 x  x  14  x  0  x  x   x   x  0   x  3   x 1   x  0   x 3 x     Phương trình tương đương với Vậy nghiệm phương trình x 3 Ví dụ 3: Giải phương trình x  x    x 11 Lời giải  x  Điều kiện Phương trình  11  x  x    x 0  x   x     x   x  0     x 3     x  0  x  2   x 1   x 1 17  0 Vậy nghiệm phương trình cho x 1 Ví dụ 4: Giải phương trình x  x   x  0 Lời giải Điều kiện x 8 Phương trình  x  x   x  0  x   x    1x  x  0      x 8  x  0  x  1   x 9 x   Vây nghiệm phương trình x 9 Ví dụ 5: Giải phương trình x2  x   x  8  x    x2   x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình   x2    x  x  18 2 x 2    x  8  x    x2   x  2   x2     x   0  x2   x      x  1  x 3   x  1 Vậy nghiệm phương trình x 3 Ví dụ 6: Giải phương trình  x   x 2  x Lời giải Điều kiện  1 x    x  2 Phương trình    x x  x  x  x   x  0  x    x    x  0  x4     x  0  x 0   x 0   x 1 Vậy nghiệm phương trình x 0 18 DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY  MỢT SỚ, VẾ KIA  SỚ ĐĨ BẰNG BĐT CỐI, BUNHIA x    x  x  x  11 Ví dụ 1: Giải phương trình Lời giải Điều kiện  x 4 x  x  11  x  3  2 Có Ta đánh giá x    x 2 Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi)   x  4 x 2   x     x  2  x     x 4 Xét  x    x 2 Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)  Xét x    x   1   2 x  4 x  4  x    x 2 Như x    x 2 , x  x  11 2 nên phương trình xảy dấu bằng  x  0  x 3   x  4  x Vậy nghiệm phương trình x 3 Ví dụ 2: Giải phương trình x    x  x  x3  x  12 x  14 Lời giải Điều kiện  x 3 x  x3  x  12 x  14  x  x  x    3x  12 x  12   Ta có 2  x  x    x    2 Ta đánh giá x    x 2 Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi)  x  1 3 x  2   x  1   x  2  x  1   x 4 Xét  x    x 2 Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)  Xét x    x   1   2 x   3 x  4  x    x 2 Như x    x 2 , x  x  x  12 x  14 2 nên phương trình xảy dấu bằng  x  x 0   x  0  x 2  x  3  x  19 Vậy nghiệm phương trình x 2 x    x  x  x  x  12 x  11 Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải x  Điều kiện x  x  x  12 x  11  x  x  x   x  12 x  11 Ta có 2  x  x    x  x   11  x  x    x  x    2  x  x  3  2 Ta đánh giá x    x 2 Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi)  Xét 2x    2x  2   x     x  2  5x     x  4  x    x 2 Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)  Xét x    x   Bunhia  12 12   2x    2x  4 x    x 2 Như x    x 2 , x  x  x  12 x  11 2 nên phương trình xảy  x  x  0  x 3   x  7  x (thỏa mãn) S  3 Vậy tập nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình x  x 3 x  x  Lời giải  x 0  x  Điều kiện: Cách (Đánh giá vế) Có 3x  x  3 x  x   3  x  1  1 Suy x  x 1  x   x  x   2x  x  x  x   x   x.x   x     1   Do Nên x  x 1 Như nên phương trình xảy x  0  x 1 x 3  x ( thỏa mãn)  20